MAT-K13-KelasVII-Subehan

MATEMATIKA

Untuk Siswa Kelas VII SMP/MTs.

7

MOH. SUBEHAN, S.Pd

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 1

MATEMATIKA

Untuk Siswa Kelas VII SMP/MTs.

Penulis : Moh. Subehan, S.Pd,
Editor : Drs. H. Irfan Wahyudi
Perancang Kulit : Drs. Ahmad Sholahuddin, M.M
Ilustrasi, Tata Letak : Islamudin Akbar, S.Kom
Ukuran Buku : 21,59 x 29,74 cm

SUB, Moh. Subehan, S.Pd.
MATEMATIKA Untuk siswa kelas VII SMP/MTs., Moh. Subehan,
Editor: Drs. H. Irfan Wahyudi.
Tegal. 2018

ISBN-13: 978- 1548546897
ISBN-10: 1548546897

Diterbitkan Oleh: FGP Press
Tahun 2018

2 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

KATA
PENGANTAR

Puji syukur dihaturkan ke Hadirat Allah SWT Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan
segala rahmat, taufik, hidayahNya kepada kita sekalian, sehingga penulis dapat
menyelesaikan buku ini. Buku Matematika Kelas VII ini disusun untuk membantu
siswa SMP/MTs dalam proses pembelajaran IPA Biologi.

Buku pelajaran Matematika ini disusun berdasarkan KI/KD Kurikulum 2013
yang telah direvisi tahun 2017. Buku ini dilengkapi soal-soal latihan yang digunakan
sebagai ajang latihan menghadapi penilaian semester dan penilaian akhir semester.
Semoga buku ini dapat dijadikan referensi mata kuliah tertentu. Tentu
kekurangsempurnaan pada penulisan bisa ditemukan, sehingga saran-kritik yang
membangun sangat kami harapkan. Semoga buku ilmiah populer ini pada penerbitan
edisi perdana ini dapat dipergunakan sebagaimana mestinya.

Slawi 31, Agustus 2018
Penulis

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 3

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR...................................................................................................................... iii
DAFTAR ISI..................................................................................................................................... iv
BAB 1 BILANGAN BULAT

A. Bilangan Bulat................................................................................................................ 5
B. Operasi Hitung pada Bilangan Bulat.............................................................................. 5
C. Bilangan Pecahan ........................................................................................................... 8
D. Operasi Hitung pada Pecahan....................................................................................... 10
E. Bilangan Bentuk Baku.................................................................................................. 12
BAB 2 RELASI DAN FUNGSI
A. Relasi ............................................................................................................................ 14
B. Fungsi ........................................................................................................................... 18
BAB 3 PERSAMAAN GARIS LURUS
A. Persamaan Garis Lurus................................................................................................. 23
B. Gradien ......................................................................................................................... 24
C. Persamaan Garis........................................................................................................... 25
BAB 4 SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
A. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel........................................................................ 26
B. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ................................................. 26
BAB 5 PERBANDINGAN
A. Arti Perbandingan......................................................................................................... 29
B. Skala ............................................................................................................................. 30
C. Skala sebagai Suatu Perbandingan ............................................................................... 31
D. Perbandingan Senilai.................................................................................................... 33
C. Perbandingan Berbalik Nilai ........................................................................................ 34
BAB 6 HIMPUNAN
A. Pengertian Himpunan ................................................................................................... 37
B. Notasi Himpunan dan Anggota Himpunan .................................................................. 37
C. Menyatakan suatu Himpunan dan Himpunan Kosong................................................. 37
D. Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga.................................................. 38
E. Macam-macam Bentuk Himpunan ............................................................................... 42
BAB 7 BANGUN RUANG SISI DATAR
A. Kubus............................................................................................................................ 50
B. Balok ............................................................................................................................ 51
C. Limas............................................................................................................................ 52
C. Prisma........................................................................................................................... 54
BAB 8 SEGI EMPAT
A. Persegi .......................................................................................................................... 55
B. Persegi Panjang ............................................................................................................ 55
C. Trapesium..................................................................................................................... 56
D. Jajaran Genjang............................................................................................................ 56
E. Belah Ketupat ............................................................................................................... 57
F. Layang-layang .............................................................................................................. 58
BAB 9 SEGI TIGA
A. Segitiga......................................................................................................................... 59
B. Jenis Segitiga................................................................................................................ 59
DAFTAR PUSTAKA

4 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

BAB 1
BILANGAN BULAT

A. BILANGAN BULAT

Bilangan bulat adalah bilangan yang memuat bilangan bulat positif, nol dan

bilangan bulat negatif. Dan dinyatakan dengan B.
Jadi B = { …,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,… }

Gambar bilangan bulat pada garis bilangan adalah sebagai berikut :

... . . . . . . . .

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 45

bilangan bulat negatif bilangan bulat positif

Pada garis bilangan di atas, jika suatu bilangan semakin ke kanan nilai
bilangannya semakin besar, dan semakin ke kiri semakin kecil.

B. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT

1. Penjumlahan Dua Bilangan Bulat dan Sifat-Sifatnya

a. Penjumlahan dua bilangan bulat tanpa alat Bantu
Contoh : -5 + 3 =…….

Caranya jika kita pinjam 5 kemudian membayar 3, maka kita masih punya

pinjaman 2. Jadi -5 + 3 = -2

b. Penjumlahan dua bilangan bulat dengan garis bilangan

Contoh
1. 5 + (-3) =…….

... . . . . . . . .

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

5 + (-3) = 2

2. -7 + 2 =…….

... . . . . . . . .

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-7 + 2 = -5

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 5

c. Sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat
Operasi pada himpunan bilangan bulat memenuhi sifat :
1) Tertutup
Untuk sembarang bilangan bulat p dan q, jika p + q = r, maka r adalah
bilangan bulat
Contoh
2 + (-5) = -3
2 dan -5 adalah bilangan bulat, maka -3 adalah bilangan bulat.
2) Komunitatif
Untuk sembarang bilangan bulat p dan q, berlaku p + q = q + p
Contoh
1. 2 + 3 = 3 + 2 = 5
2. -3 + 1 = 1 + (-3) = -2
3) Asosiatif
Untuk sembarang bilangan bulat p, q, dan r, berlaku
(p + q) + r = p + (q + r).
Contoh : (2 + (-1)) + 3 = 2 + (-1 + 3)
1+3=2+2
4=4
4) Mempunyai unsur identitas
Untuk sembarang bilangan bulat p, maka p + 0 = 0 + p = p
0 adalah unsur identitas ( elemen netral ) pada penjumlahan.

2. Pengurangan Bilangan Bulat
a. Pengurangan dua bilangan bulat dengan garis bilangan
Contoh :
5 - 3 =……….

... . . . . . . . .

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

5-3=2
b. Pengurangan sebagai penjumlahan dengan lawan pengurangnya

Dalam bentuk umum ditulis jika a dan b adalah bilangan bulat, maka a – b = a +
(-b)
Contoh :
1. 4 – 6 = 4 + (-6) = -2
2. 2 – (-3) = 2 + 3 = 5
c. Pengurangan dua bilangan bulat bersifat tertutup
Untuk sembarang bilangan bulat p dan q, jika p - q = r, maka r adalah bilangan
bulat
Contoh : 2 - 5 = -3
2 dan 5 adalah bilangan bulat, maka -3 adalah bilangan bulat.

6 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

3. Perkalian Bilangan Bulat dan Sifat-Sifatnya
a. Mengingat kembali arti perkalian dua bilangan
Contoh :
1. 2 x 3 artinya 3 + 3 = 6
2. 4 x (-2) artinya -2 + (-2) + (-2) + (-2) = -8
3. (-7) x (-3) = 21
Hal di atas menunjukan bahwa :
1) Hasil kali dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.
2) Hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, atau sebaliknya
adalah bilangan bulat negatif.
3) Hasil kali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.
b. Sifat-sifat perkalian bilangan bulat
1) Tertutup
Untuk sembarang bilangan bulat p dan q, jika p x q = r, maka r adalah
bilangan bulat
Contoh : 2 x (-5) = -10
2 dan _5 adalah bilangan bulat, maka -10 adalah bilangan bulat.
2) Komunitatif
Untuk sembarang bilangan bulat p dan q, berlaku p x q = q x p
Contoh
1. 2 x 3 = 3 x 2 = 6
2. -3 x 1 = 1 x (-3) = -3
3) Asosiatif
Untuk sembarang bilangan bulat p, q, dan r, berlaku (p x q) x r = p x (q x r).
Contoh : (2 x (-1)) x 3 = 2 x (-1 x 3)
-2 x 3 = 2 x -3
-6 = -6
4) Mempunyai unsur identitas
Untuk sembarang bilangan bulat p, maka p x 1 = 1 x p = p
1 adalah unsur identitas ( elemen netral ) pada perkalian.
5) Perkalian bilangan nol
Untuk sembarang bilangan bulat p, maka 0 x p = p x 0 = 0
Contoh : 3 x 0 = 0 x 3 = 0
6) Distributif
Untuk sembarang bilangan bulat p, q dan r berlaku
 p x (q + r) = (p x q) + (p x r)
 p x (q - r)=(p x q) - (p x r)
Contoh : 8 x ((-2) + 3) = (8 x (-2)) + (8 x 3)

4. Pembagian Bilangan Bulat
Pembagian merupakan kebalikan dari perkalian
Contoh :
a. 8 : 2 = 4 sebab 2 x 4 = 8
b. -9 : 3 = -3 sebab 3 x (-3) = 9
c. -10 : (-2)=5 sebab -2 x 5 = -10

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 7

Dari contoh diatas terlihat bahwa :
a. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif
b. Hasil bagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, atau sebaliknya

adalah bilangan bulat negative.
c. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.

5. Perpangkatan Bilangan Bulat.
a. Mengingat kembali arti perpangkatan
Contoh
1. 22 = 2 x 2 = 4
2. 44 = 4x4x4x4 = 256
3. (-3)3 = (-3)x(-3)x(-3)= -27
Secara umum perpangkatan ditulis :
Untuk sembarang a bilangan bulat, dan n bilangan asil, berlaku
an = nxnxn x....xn

n suku

b. Sifat-sifat perpangkatan
Untuk sembarang bilangan bulat a,m dan n , berlaku
1) amxan=am+n
2) am:an=am-n
3) (am)n=amxn
Contoh
1. 52x53=52+3=55
2. 35:32=35-2=33
3. (23)2=23x2=26

C. BILANGAN PECAHAN

1. Pengertian
Pengertian pecahan melalui benda konkrit gambar dan lambangnya,

1 bagian 1 bagian 1 bagian 3 bagian
4 2 4

│││││││││
0 12345678

88888888
Jarak titik 0 sampai 1 dibagi menjadi 8 bagian yang sama, sehingga terdapat bilangan
1 , 2 , 3 , dan seterusnya.
888

8 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

2. Mengurutkan pecahan

Contoh :

Susunlah deretan pecahan 3 , 5 , 1 dalam urutan naik
462

Jawab

3  9 , 5  10 , 1  6
4 12 6 12 2 12

Karena 6  9  10 maka 1  3  5
12 12 12 246

Jadi, deretan pecahan dalam urutan naik adalah 1 , 3 , 5
246

3. Jenis-Jenis Pecahan

a. Pecahan Murni

Pecahan murni adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya.

Contoh : 1 , 2 , 3 , dan seterusnya
484

b. Pecahan Tidak Murni

Pecahan tidak murni adalah pecahan yang pembilangnya lebih dari atau sama

dengan penyebutnya. Contoh : 25 , 7 , 10 , dan seterusnya.
423

c. Pecahan Campuran

Pecahan campuran adalah pecahan yang terdiri atas bilangan bulat dan bagian

bilangan pecahan murni. Contoh : 1 2 ,3 1 ,5 2 , dan seterusnya.
343

Pecahan tidak murni dapat dinyatakan menjadi pecahan campuran dan sebaliknya.

Contoh :

1. Nyatakan 25 menjadi pecahan campuran
4

Jawab : 25  24  1  24  1  6  1  6 1
4 4 44 44

2. Nyatakan 3 1 dalam bentuk pecahan tidak murni.
4

Jawab : 3 1  3  1  12  1  12 1  13
4 4 44 4 4

d. Bentuk desimal

1) Dalam sistem desimal, angka-angka dalam suatu bilangan mempunyai arti :

Ribuan 1 2 3 4, 5 6 7 Perseribuan
Ratusan Perseratusan
Puluhan Persepuluhan

Satuan

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 9

2) Dengan menggunakan pengertian tersebut, maka

 Bilangan desimal dapat diubah menjad pecahan campuran atau pecahan

murni

Contoh : 0,2 = 2  1
10 5

 Pecahan campuran atau pecahan murni dapat diubah menjadi bilangan

desimal.

Contoh : 1  1 5  5  0,5
2 2  5 10

e. Persen

Persen artinya perseratusan, ditulis dengan notasi %. Jadi pecahan dengan

penyebut 100 disebut persen

Contoh : 30  30 %, 42  42 %
100 100

Untuk mengubah pecahan menjadi persen :

a  a 100 % , dengan b  0
bb

Contoh : 3  3 100 %  300 %  25 %
12 12 12

15 %  15  3
100 20

D. OPERASI HITUNG PADA PECAHAN

1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan
a. Penjumlahan atau pengurangan dua pecahan atau lebih, dapat dilakukan jika
pecahan-pecahan itu memiliki penyebut yang sama
a  c  a  c ,b  0
bb b

a  c  a c ,b  0
bb b
Contoh :
1. 3  1  3  1  4

55 5 5
2. 9  2  9  2  7  1 3

44 4 4 4
b. Untuk penjumlahan atau pengurangan yang penyebutnya tidak sama kita harus

samakan dahulu penyebutnya dengan menggunakan KPK dari penyebut-
penyebutnya.
a  c  ad  cb  ad  cb
b d bd bd bd
a  c  ad  cb  ad  cb
b b bd bd bd

10 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

Contoh

1. 2  4  10  12  10  12  22  1 7
3 5 15 15 15 15 15

2. 3  1  12  5  12  5  7
5 4 20 20 20 20

c. Penjumlahan pecahan memiliki sifat-sifat berikut :

1) Komutatif

ac  ca
bd db

Contoh

23  3 2
35 53

2) Asosiatif

 a  c   e  a   c  e 
b d f b d f

Contoh

 1  3   4  1   3  4 
5 5 7 5 5 7

2. Perkalian dan Pembagian Pecahan
a. Hasil perkalian dua pecahan diperoleh dengan mengalikam pembilang dengan
pembilang dan penyebut dengan penyebut.
a  c  a  c  ac
b d b  d bd
Contoh : 2  4  2  4  8
3 5 3 5 15
b. Untuk membagi suatu pecahan dengan pecahan lain sama artinya dengan
mengalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua
a : c  a  d  a  d  ad
b d b c b  c bc
Contoh : 2 : 4  2  5  2  5  10  5
3 5 3 4 3 4 12 6

3. Penjumlahan dan Pengurangan pada Pecahan Desimal

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan bilangan-bilangan decimal, maka tanda

koma desimal diletakan pada satu lajur, sehingga angka ratusan, puluhan, satuan,

persepuluhan, perseratusan dan seterusnya masing-masing terletak pada satu lajur.

Contoh :

1. 234,56 + 45,678 disusun menjadi 234,56

45,678 +

280,238

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 11

2. 67,27 – 21,213 disusun menjadi 67,27
21,213 –

46,057

4. Perkalian dan Pembagian pada Pecahan Decimal
a. Perkalian pada pecahan decimal
Perkalian dengan 10,100,1000, dan seterusnya dilakukan dengan menggeser koma
decimal ke kanan menurut angka nol pada bilangan-bilangan di atas2,723 x 100 =
272,3

Tanda koma bergeser 2 kali berdasarkan banyaknya 0

Banyaknya tempat decimal dari hasil kali dua bilangan decimal dengan

menjumlahkan banyak tempat dari pengali-pengalinya

Contoh : 3,67  4, 258  15,62686

2 tempat decimal 3 tempat decimal 5 tempat decimal

b. Pembagian bilangan dalam bentuk decimal

Pembagian dengan 10, 100, 1000 dan seterusnya dilakukan dengan menggeser

tanda koma kekiri menurut banyaknya angka nol pada bilangan-bilangan diatas.

Contoh : 1,725 x 1000 = 0,001725

Tanda koma bergeser 3 angka.
Untuk membagi suatu bilangan dengan bilangan decimal, buatlah agar
pembaginya menjadi bilangan bulat contoh
1. 13,2183 : 0,14 diubah menjadi :
2. 1321,83 : 14 ( pembagi dan bilangan yang dibagi dikalikan 100 )

E. BILANGAN BENTUK BAKU

1. Untuk menuliskan barisan bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 10 dengan 2
cara yaitu
a. ..., 1 , 1 , 1 , 1 ,1,10,100,1000,10.000,... dapat diubah
10.000 1000 100 10
b. …, 10-4, 10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103, 104,…

2. Cara menulis bilangan bentuk baku :

a. Menulis bentuk baku lebih dari 1 ( bilangan besar )
Rumus bentuk baku a x 10n dengan 1  a  10

Contoh :

Bilangan Bentuk Baku
1. 800.000 8 x 105
2. 180.000 1,8 x 105
3. 2.340.000 2,34 x 106
4. 345,72 3,4572 x 102
5. 3.456.000 3,456 x 106

12 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

b. Menentukan bilangan bentuk baku antara 0 dan 1 atau bilangan kecil
Rumus Bentuk baku a x 10n dengan 1  a  10

Contoh :

1. 0,087 = 8,7  8,7  1  8,7 102
100 100

2. 0,00081= 8,1  8,1 1  8,1104
10000 10000

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 13

BAB 2
RELASI DAN FUNGSI

A. RELASI
1. Pengertian Relasi
Antara elemen-elemen dari dua buah himpunan seringkali terdapat suatu relasi
atau hubungan tertentu.
Misalnya :
A = { 2, 3, 5 }
B = { 1, 4, 7, 10, 14 }

Akan kita tinjau relasi “ adalah faktor dari “ antara elemen-elemen himpunan
A dengan elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa :

2 adalah faktor dari 4
2 adalah faktor dari 10

2 adalah faktor dari 14
5 adalah faktor dari 10

Sedangkan 3 A tidak berrelasi dengan suatu elemenpun dari himpunan B.
Relasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram panah. Gambarlah Diagram
Panah tersebut! Relasi itu dikatakan sebagai suatu relasi dari himpunan A ke
himpunan B. Perhatikan bahwa suatu relasi mempunyai arah tertentu. Dalam diagram
diatas arah itu dinyatakan dengan anak panah. Relasi tersebut juga dapat dinyatakan
sebagai himpunan pasangan terurut. Elemen dari himpunan A yang berrelasi dengan
elemen dari himpunan B di susun menjadi suatu pasangan terurut, diman elemen dari
A pada urutan pertama dan elemen dari B pada urutan yang kedua. Jadi kalau relasi “
adalah faktor dari “ tersebut diberi nama R, maka :

R = { (2, 4), (2, 10), (2, 14), (5, 10) }

Jelaslah bahwa R  A x B
Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu relasi dari himpunan A ke

himpunan B merupakan himpunan bagian dari AXB (produk Cartesius A dan B).
sehingga dapat didefinisikan:

R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B bhb. R  A x B

A disebut daerah asal (domain) dan B disebut daerah kawan (kodomain) dari relasi R
tersebut.

Jika (x,y)  R, maka dikatakan bahwa ”x berelasi dengan y” (ditulis ”xRy”).
Jika R adalah suatu relasi dari B ke A dengan R 1 = {(y, x) (x,y)  R}, maka
jelaslah bahwa R 1  B x A

14 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

Contoh :
A = { -3, 3, 4, 7, 10 }
B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Relasi “berselisih 2 dengan” antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-
elemen himpunan B dapat disajikan sebagai himpunan bagian dari A x B, yaitu :
R = { ( x,y ) x A, y B, x  y = 2 }

= { (3,5), (4,2), (4,6),(7,5),(10,8) }  A X B
( 4,6 )  R, maka dikatakan bahwa “ 4 berelasi dengan 6 “ ( 4 berselisih 2 dengan 6

) atau 4R6.
R 1 = { (5,3),(2,4),(6,4),(5,7),(8,10)}

2. Relasi-relasi Khusus dari A
Jika A = B maka relasinya disebut sebagai relasi pada himpunan A.

a. Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi refleksif bhb setiap elemen
berrelasi R dengan dirinya sendiri.

R refleksif pada A bhb. (  xA). (x,x)  R
(  xA). x R x

Contoh : R
A adalah suatu keluarga himpunan. R adalah relasi ”himpunan bagian” yaitu:

={ (x,y) xA, yA, x  y }

R adalah relasi refleksif pada A karena untuk setiap xA berlakulah bahwa x
 x, yaitu (xA). (x,x) R

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi non- refleksif bhb. ada elemen
dari A yang tidak berrelasi R dengan dirinya sendiri.

R non-refleksif pada A bhb. (  x  A).( x,x)  R

(  xA). x R x

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi irrefleksif bhb. setiap elemen
dari A tidak berelasi R dengan dirinya sendiri.
R irrefleksif pada A bhb. (  xA).( x,x)  R

(  xA). x R x

Perhatikan bahwa suatu relasi yang irrefleksif dengan sendirinya adalah
non-refleksif, tetapi sebaliknya belum tentu.
Contoh :

A = himpunan semua bilangan nyata.
Relasi “ > “ adalah suatu relasi yang irrefleksif (jadi juga non- refleksif ) pada A
karena setiap bilangan nyata tidak lebih besar dari pada dirinya sendiri.
A = himpunan semua manusia

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 15

Relasi “ dapat menguasai” adalah relasi yang non – refleksif pada A ( karena ada
orang yang tidak dapat menguasai dirinya sendiri), tetapi bukan relasi yang irrefleksif
( karena tidak semua orang tidak dapat menguasai dirinya sendiri)

b. Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi simetris bhb. Untuk setiap dua elemen

x dan y dalam A, jika x berrelasi R dengan y, maka y berrelasi R dengan x.

R simetris pada A bhb. (  x,yA) (x,y)  R (y,x)  R

(  x,yA) (x,y)  R (x,y)  R 1

(  x,yA) xRy  yRx

Contoh :

A = himpunan semua garis lurus pada bidang datar.
Relasi “ sejajar” adalah relasi yang simetris pada A, karena untuk setiap dua garis

lurus x dan y, di mana x//y, maka pastilah y//x
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi non – simetris bhb. Ada sepasang

elemen x dan y A dimana x berrelasi R dengan y tetapi y tidak berrelasi R dengan

x.

R non- simetris pada A bhb. (  x,yA). (x,y) R  ( y,x ) R

(  x,yA). (x,y) R  ( y,x ) R 1

(  x,yA). xRy  y R x

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi asimetris bhb. Untuk setiap pasangan

elemen x dan yA di mana x berrelasi R dengan y, maka y tidak berrelasi R dengan

x.

R asimetris pada A bhb. (  x,yA). (x,y) R  ( y,x ) R

(  x,yA). (x,y) R  ( y,x ) R 1

(  x,yA). xRy  y R x

Jelas bahwa suatu relasi yang asimetris pada himpunan A pasti juga non-simetris pada

A, tetapi sebaliknya belum tentu.

Contoh:
A = Keluarga himpunan.
Relasi “ himpunan bagian sejati” adalah suatu relasi yang asimetris pada A (jadi juga

non-simetris ) karena untuk setiap dua himpunan x dan yA dimana x  y, maka
pastilah bahwa y  x

A = himpunan semua manusia.
Relasi “mencintai” adalah relasi yang non simetris pada A, tetapi bukan relasi yang

asimetris pada A.

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi anti-simetris bhb. Untuk setiap

pasang elemen x dan y A, jika x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan x,

maka x = y.

R antisimetris pada A bhb.
(  x,yA). (x,y)  R  ( y,x ) R  x = y

(  x,yA). (x,y)  R  ( y,x ) R 1  x = y
(  x,yA). xRy  y R x  x = y

16 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

Contoh:
A = keluarga himpunan.
Relasi “ himpunan bagian” adalah relasi yang antisimetris pada A, karena untuk
setiap dua himpunan x dan y, jika x  y dan y  x, maka x = y.

c. Suatu relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb. Untuk setiap tiga elemen x,y

dan z  A, jika x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan z , maka x berrelasi R

dengan z. R transitif pada A bhb.

(  x,yzA). (x,y) R  ( y,z ) R  (x,z) R
(  x,yzA). xRy  yR z  x Rz

Contoh:
A = himpunan semua bilangan nyata.
Relasi “adalah faktor dari” adalah relasi yang transitif pada A.
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi non-transitif bhb. Ada tiga elemen x,y
dan z A dimana x berrelasi R dengan y dan y berrelasi z, tetapi x tidak berrelasi R
dengan z.
R non-trasitif pada A bhb :

(  x,yzA). (x,y) R  ( y,z ) R  (x,z) R
(  x,yzA). xRy  yR z  x R z
Jelaslah bahwa relasi yang intransitif pada himpunan A pasti juga non-transitif pada
A.

Contoh:
A = himpunan semua garis lurus pada bidang datar.
Relasi “ tegaklurus” adalah relasi yang intransitif pada A (jadi juga non-transitif)
karena untuk setiajp tiga garis x,y dan z, jika x tegak lurus y dan y tegaklurus z maka
pastilah bahwa x tidak tegak lurus z.
A = himpunan semua manusia.
Relasi “ mengenal” adalah relasi yang non – transitif tetapi bukan relasi yang
intransitif pada himpunan A tersebut.

d. Suatu relasi R pada himpunan A yang sekaligus bersifat refleksif,simetris dan transitif
disebut relasi ekuivalensi pada A.
Contoh:
A = himpunan semua segitiga.
Relasi “sebangun” adalah relasi ekuvalensi pada A sebab relasi tersebut sekaligus
bersifat refleksif, simetris dan transitif pada A
A = himpunan semua bilangan bulat
Relasi “kongruen” (lambangnya “  ”) dalam suatu modulo m (m = bilangan asli )
yang didefinisikan sbb :
x  y ( mod.m ) bhb. x – y = k. m, dimana k adalah suatu bilangan bulat, adalah suatu
relasi ekuivalensi pada A, karena:

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 17

(1) Untuk setiap bilangan bulat x :
x – x = 0.m, sehingga x  x ( mod.m )
Jadi relasi kongruensi bersifat refleksif.

(2) Untuk setiap pasang bilangan bulat x dan y dimana
x  y ( mod.m ), maka :
x – y = k.m(k = bilangan bulat)
Sehingga y – x = - (k.m) = (-k).m
Dimana –k adalah bilangan bulat sebab k adalah bilangan bulat.
Jadi : x  x ( mod.m ).
Maka : (  x,yA). x  y  y  x
Jadi relasi kongruensi bersifat simetris.

(3) Untuk setiap tiga bilangan bulat x,y dan z diman x  y ( mod.m ) dan y  z (
mod.m ) maka : x – y = k1 .m (k1 = bilangan bulat).
y – z= k 2 .m (k 2 = bilangan bulat).
( x – y ) + ( y – z ) = k1 .m + k 2 .m
x– z = (k 1 + k 2 ).m
x– z = k 3 .m

dimana k 3 = k 1 + k 2 = bilangan bulat sebab k 1 dan k 2 masing-masing adalah
bilangan bulat. Jadi x  z ( mod.m ).

Maka (  x,yz  A). x  y  y  z  x  z

Jadi relasi kongruensi bersifat transitif.
Karena relasi kongruensi sekaligus bersifat refleksif, simetris dan transitif, maka
relasi tersebut adalah relasi ekuivalensi.

B. FUNGSI
1. Pengertian Fungsi

Antara anggota-anggota dari suatu himpunan dapat terjadi suatu relasi dengan
anggota-anggota dari himpunan yang lain. Misalnya antara anggota-anggota
himpunan semua pria dengan anggota-anggota semua wanita dapat diadakan relasi “
suami “.

Secara matematis suatu relasi R antara anggota-anggota himpunan A dengan
anggota-anggota himpunan B dapat dipandang sebagai himpunan bagian dari produk
Cartesius kedua himpunan itu.

R  A x B.

Misalnya : A = { 1, 3, 5 } dan B = { 2, 0, 4 }, maka relasi ”lebih kecil” antara
anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B dapat disajikan
dengan: R = { (1, 2), (1, 4), (3, 4) }  A x B.

Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi khusus antara anggota-anggota dua
buah himpunan. Sehingga fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut.

18 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

Suatu relasi antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan
B disebut Fungsi (pemetaan) bhb relasi itu mengkaitkan setiap anggota A dengan
tepat satu anggota B.

Suatu fungsi biasanya disajikan dengan lambang f. Jika fungsi f mengkaitkan
anggota-anggota himpunan A, maka dikatakan bahwa f adalah fungsi dari A ke B dan
disajikan dengan lambang:

f:A B

A disebut daerah asal (daerah sumber, domain ) dari fungsi f, sedangkan B disebut
daerah kawan. (daerah jajahan , kodomain) dari fungsi f. Jika xA oleh fungsi f
dikaitkan (dikawankan) dengan suatu anggota dari B, maka anggota dari B itu disebut
”bayangan dari x” dan disajikan dengan lambang ”f(x)”. f(x) seringkali juga disebut
”nilai fungsi” untuk x.
Secara simbolis matematis, definisi fungsi f dapat disajikan sbb.

f : A  B bhb. (  xA).(  ! yB) . y = f (x)

Perhatikan bahwa suatu fungsi f dari A ke B adalah suatu relasi yang
mempunyai dua sifat khusus, yaitu:

a. Setiap anggota himpunan A (daerah asal) dikawankan dengan anggota
himpunan B (Seringkali dikatakan bahwa ”daerah asal dihabiskan”

b. Kawan dari anggota-anggota himpunan A (daerah asal) adalah tunggal. Sifat
ini dapat dinyatakan secara simbolis:
(  x 1 , xA). x 1 = x 2  f (x 1 ) = f (x 2 )

Pada umumnya, untuk suatu fungsi f : A  B, anggota-anggota dari himpunan

B (daerah kawan ) tidak perlu mempunyai kawan anggota himpunan A (daerah kawan
tidak perlu di habiska), dan jika anggota himpunan B mempunyai kawan anggota
himpunan A, kawannya diA itu tidak harus tunggal.

Suatu fungsi f dari A ke B dapat diilustrasikan dengan diagram panah sebagai
berikut.

f

xy

AB

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 19

Himpunan semua anggota himpunan B yang merupakan bayangan dari suatu
anggota himpunan A disebut daerah hasil (range) dari fungsi f dan disajikan dengan R
f . Jadi:

R f = { yB (  xA). y = f (x) }

Misalnya untuk fungsi f : A  B yang disajikan dengan diagram panah sebagai

berikut.

f (1) = f (2) = 7 ; f (3) = 9 ; F (4) = f (5) = 10
R f = { 7, 9, 10 }

Seperti telah diuraikan di atas, jika suatu anggota dari daerah kawan mempunyai
kawan anggota dari daerah asal, maka kawannya itu tidak harus tunggal. Himpunan
semua anggota dari daerah asal yang merupakan kawan dari suatu anggota daerah
kawan disebut bayangan invers dari y dan disajikan dengan lambang f 1 (y). Jadi:

f 1 (y) = {xA y = f (x) }

Pada contoh fungsi : f : A  B di atas:

f 1 ( 7 ) = { 1, 2 };
f 1 ( 9 ) ={ 3 } ;
f 1 ( 10 ) ={ 4, 5 };
f 1 ( 6 ) = f 1 ( 8 ) = f 1 ( 11 ) = .

Jika f : A  B adalah suatu fungsi dari A ke B, maka yang dimaksud dengan

invers dari fungsi f, disajikan dengan f 1 , adalah relasi yang mengkaitkan anggota-
anggota himpunan B dengan anggota-anggota himpunan A. Jelaslah bahwa pada
umumnya invers dari suatu fungsi tidak merupakan fungsi (dari B ke A) melainkan
hanyalah merupakan suatu relasi biasa.

20 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

2. Cara menyajikan fungsi
Ada dua macam cara untuk menyajikan suatu fungsi , yaitu :
a. Cara aturan : fungsi itu disajikan dengan cara menyatakan aturan yang
menentukan relasi antara angggota – anggota daerah asal dengan anggota –
anggota daerah kawannya.
Contoh :

f: R  R dimana f (x) = x 2

R = himpunan semua bilangan nyata.

b. Cara himpunan : Seperti halnya relasi, maka fungsi f dari A ke B dapat dipandang
sebagai himpunan bagian ( khusus ) dari A x B.

Maka fungsi f : R  R dimana f ( x ) = x 2 dapat juga disajikan sebagai

suatu himpunan, yaitu himpunan bagian dari R x R :
f = { (x,y) x R, y  R y = x 2 }

Fungsi f : A  B yang digambarkan dengan diagram panah pada contoh diatas

dapat juga disajikan sebagai :
f = { (1,7),(2,7),(3,9),(4,10),(5,10)}
Perhatikan bahwa dalam penyajian fungsi dengan cara himpunan, setiap anggota
dari daerah asalnya muncul tepat satu kali sebagai komponen yang pertama dari
anggota – anggota himpunan itu.

3. Kesamaan dua buah fungsi.

Dua buah fungsi f : A  B dan g : A  B dikatakan sama jika kedua fungsi

itu mengkaitkan anggota-anggota dari daerah asalnya dengan anggota- anggota yang
sama di daerah kawannya.
f = g bhb (  xA). f(x) = g (x)
Contoh :

f : R R dengan f (x) = 2(x+1) (x-2), dan g : R R dengan g(x) = 2 x 2 -2x-4

Karena f (x) = 2(x+1) (x-2) = 2( x 2 -x-2) = 2 x 2 -2x-4 = g (x), maka f = g

4. Fungsi – fungsi Khusus.
Beberapa fungsi khusus yang diberi sebutan karena sifat-sifat/ karakteristiknya

adalah sebagai berikut.

a. Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi surjektif dari A kepada (onto) B jika setiap

anggota B merupakan bayangan dari suatu anggota A. Jadi pada fungsi yang surjektif,
daerah hasilnya berimpit dengan daerah kawan (atau daerah kawannya dihabiskan ).

f : A  B adalah fungsi surjektif bhb.
(  yB) (  xA). y = f (x) bhb R f = B bhb (  yB) f 1 (y)  

Contoh :
A = {x x = bilangan bulat }

B = {x x = bilangan cacah}

f : A  B dimana f(x) = x

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 21

b. Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi injektif bila anggota – anggota dari B yang

merupakan bayangan dari A, merupakan bayangan dari tepat satu anggota A. Dengan

perkataan lain f : A  B adalah fungsi injektif bhb.(  x1 , x 2 A ). x1  x 2 
f(x 1 )  f (x 2 ) bhb. (  x1 , x 2 A ). f(x1 ) = f (x 2 )  x 1 = x 2

Contoh:

A = {x x = bilangan asli}

B = {x x = bilangan nyata}

Fungsi f ini adalah fungsi yang injektif, karena jika f (x 1 ) = f (x 2 ), maka x1 -1 =

x2 -1 sehingga x 1 = x 2 .
Fungsi f ini tidak surjektif karena ada anggota B yang tidak merupakan bayangan dari
suatu anggota A, misalnya ½ B.

c. Suatu fungsi f : A  B yang sekaligus surjektif dan injektif disebut daerah kawannya

merupakan bayangan dari tepat suatu anggota dari daerah asalnya. Dengan demikian
jika f adalah fungsi bijektif maka setiap anggota dari daerah asal mempunyai satu
kawan di daerah kawan dan sebaliknya setiap anggota dari daerah kawan mempunyai
satu kawan di daerah asal. Karena itu fungsi bijektif seringkali disebut juga
korespondensi satu-satu.
Contoh :

A = {x x = bilangan positif}

B = {x x = bilangan nyata}

f : A  B di mana f (x) = log x

Fungsi f surjektif karena setiap yB merupakan bayangan suatu xA, yaitu x =
10 y .

Fungsi f ini injektif karena jika f (x 1 ) = f (x 2 ), maka log x1 = log x 2 , sehingga
10 log x1 = 10 log x2

x1 = x2 .
Dengan demikian f adalah fungsi bijektif. Mudah dibuktikan bahwa f adalah fungsi
bijektif bhb. f 1 merupakan fungsi.
Invers dari suatu fungsi bijektif disebut fungsi invers.

Jadi jika f : A  B adalah fungsi bijektif, maka fungsi inversnya adalah f 1 :
B  A.
Pada contoh diatas fungsi invers dari fungsi bijektif f : A B di mana f (x) =
log x ialah f 1 : B  A dimana f 1 ( y )= 10 y .
d. Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi konstan jika bayangan semua anggota A

adalah satu anggota yang sama dari B.

f : A  B adalah fungsi konstan bhb (  !cB) (  xA) . f ( x ) = c
e. Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi indentitas jika bayangan dari setiap anggota

dari A ialah dirinya sendiri. ( Daerah asal dan saerah kawan dari suatu fungsi identits
adalah himpunan yang sama ).

f : A  A adalah fungsi indentitas bhb.(  xA). f ( x ) = x

Jelaslah bahwa suatu fungsi identitas adalah fungsi yang bijektif.

22 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

BAB 3
PERSAMAAN GARIS LURUS

A. PERSAMAAN GARIS LURUS
1. Mengingat Kembali Koordinat Cartesius
a) Garis mendatar dinamakan sumbu x dan garis tegak (vertical) dinamakan
sumbu y.
b) Titil O merupakan titik potong sumbu x dan sumbu y dinamakan titik potong
sumbu koordinat atau titik pangkal atau titik asal.
Pada gambar titik A(1, 2), 1 dinamakan absis atau koordinat pertama dan 2
dinamakan ordinat atau koordinat kedua. Pasangan (1, 2) dinamakan
koordinat dari titik A. dengan cara yang sama koordinat B (-2, 1), C(-2, -3)
dan D(3, 2).
2. Pengertian Persamaan Garis Lurus
Pada gambar menunjukkan grafik fungsi f(x) = x + 2. jika f(x) = y, maka y = x + 2
disebut persamaan garis lurus.
Contoh lain persamaan garis lurus adalah y = x – 2, y = 2x, y = 3x + 4, dan lain-
lain.
3. Persamaan Garis Lurus Dalam Berbagai Bentuk
Bentuk umum persamaan garis lurus :
a. Bentuk implicit, yaitu ax +by + c= 0, variable x dan y terletak dalam satu ruas,
a, b, c adalah konstanta. Misalnya 2x – 3y -5 = 0, nilai a = 2, b = -3, c = -5.
b. Bentuk eskplisit, yaitu y = mx + n, m dan n merupakan konstanta dan m
adalah gradient. Variable x dan y berlainan ruas. Misalnya y = 2x – 3, nilai m
= 2 dan n = 3.
4. Mengubah Bentuk Implisit Ke Bentuk Eskplisit Dan Sebaliknya
Contoh :
Ubahlah persamaan garis berikut :
1. 2x + 3y -6 = 0 ke bentuk eksplisit.
2. y = 1/2x -1 ke bentuk implicit.
Jawab :
a. 2x + 3y -6 = 0
3y = -2x + 6
y = -2/3x + 2
(bentuk eksplisit)
b. y = 1/2x – 1
2y = x – 2
-x + 2y + 2 = 0
x – 2y – 2 = 2
(bentuk implicit)
5. Menggambar Grafik Pada Koordikat Kartesius
Untuk selanjutnya persamaan garis lurus cukup disebut persamaan garis saja.

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 23

Contoh :
Gambarlah grafik garis yang mempunyai persamaan 4x + 3y – 12 =8
Jawab :
Langkah pertama adalah membuat table koordinat dan cukup dipilih dua pasangan
koordinat yang mudah, yaitu titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y.
1. Titik potong terhadap sumbu x, y = 0

4x + 3y – 12 = 0
4x + 0 – 12 = 0

4x = 12
x = 3, didapat titik (3, 0)
2. Titik potong terhadap sumbu y, x = 0
4x + 3y -12 = 0
0 + 3y – 12 = 0
3y = 12
y = 4, didapat titik (0, 4)
Table koordinat
Sehingga garis 4x + 3y – 12 = 0 melalui titik (3, 0) dan (0, 4) seperti tampak pada
gambar berikut :

B. GRADIEN
1. Pengertian Gradien
Gradien atau koefisien kemiringan atau koefisien angka arah suatu garis adalah
ukuran kecondongan garis dan merupkanperbandingan perubahan nilai y terhadap
nilai x.
2. Gradien garis melalui titik pangkal dan titik A (x1, y1)
Perubahan nilai y adalah y1 dan perubahan x adalah x1 maka gradien = m = y1/x1
Contoh :
Tentukan gradien garis melalui titik O(0, 0) dan A(2, -4).
Jawab :
Perubahan nilai y dari 0 ke -4 adalah -4
Perubahan nilai x dari 0 ke 2 adalah 2
Gradien = m = -4/2 = -2
3. Gradien garis melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2)
Perubahan nilai x adalah x2 – x1 dan perubahan nilai y adalah y2 – y1.
Jadi m =
Contoh :
Tentukan gradien garis melalui A(2, -1) dan B(-1, 8)
Jawab :
4. Gradien garis dalam bentuk persamaan
1. Dalam bentuk y = mx + n, gradiennya = m
2. Dalam bentuk ax + by + c, gradiennye = -a/b
Contoh :
Tentukan gradien garis dengan persamaan :
a. y = ½ x – 9
b. 2x – 3y -1 = 0

24 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

Jawab :
a. y = ½ x – 9 , gradien m = ½
b. 2x – 3y – 1 = 0, gradien m = -a/b = -2/-3 = 2/3
5. Sifat-sifat gradient suatu garis
a) Garis sejajar sumbu x, gradiennya 0
b) Garis sejajar sumbu y, tidak mempunyai gradien.
c) Gradien garis bernilai positif,arah garis condong ke kanan.
d) Gradien garis bernilai negatif,arah garis condong ke kiri
e) Dua buah garis sejajar, gradiennya sama (m1 = m2).
f) Duah buah garis saling tegak lurus, hasil perkalian gradiennya = -1 (m1 x m2
= -1)
Contoh :
Ditentukan garis k dengan persamaan 3x – 7y = 21 dan garis l dengan persamaan
14x + 6y – 1 = 0. berilah keterangan tentang hubungan kedua garis itu !
Jawab :

C. PERSAMAAN GARIS (2)
1. Persamaan garis melalui titik A(x, y) dengan gradien m adalah y – y1 = m(x – x1)

Contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 4) dan bergradien 3.
Jawab :

2. Persamaan garis melalui titik A(x1, y1) dan sejajar dengan garis y = mx + n adalah y
– y1 = m (x – x1)
contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-1, 3)dan sejajar dengan garis y – 2x =
9.
Jawab :

3. Cara lain untuk mencari garis persamaan garis yang sejajar dan tegak lurus garis lain
Missal : diketahui persamaan garis k = ax + by + c = 0
1. Persamaan garis yang sejajar garis k adalah ax + by = ax1 + by1
2. Persamaan yang tegak lurus k adalah bx – ay = bx1 – ay1
Contoh :
Ditentukan garis k dengan persamaan 4x + 3y – 11 = 0 dan titik A (1, 2).
Tentukan persmaan garis yang melalui titik A dan
a. Sejajar garis k
b. Tegak lurus dengan garis k

4. Pesamaan garis melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah :
5. Menentukan titik potong dua buah garis

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 25

BAB 4
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Bentuk Umum

ax + by = c
px + qy =r

a, b, c, p, q, r R
a, p = koefisien dari x
b, q = koefisien dari y
c, r = konstanta
x, y = variabel

B. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel,

antara lain
1. Cara Grafik

Langkah-langkahnya sebagai berikut :
1) Gambarlah grafik garis lurus pada bidang koordinat.
2) Tentukan titik potong kedua garis tersebut. Koordinat titik potong tersebut

merupakan pasangan penyelesaian dari system persamaan yang dimaksud.

2. Cara Eliminasi
Langkah-langkahnya sebagai berikut :
1) Menyamakan koefisien salah satu variabel dengan cara mengalikan
dengan bilangan selain nol.
2) Menjumlahkan atau mengurangkan ruas-ruas yang bersesuaian dari kedua
persamaan linear yang baru tersebut.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
5x  3y  19
2x  2 y  10 dengan cara eliminasi !

Jawab:
Eliminir y
5x  3y  19 x2 10x  6y  38
2x  2 y  10 x2 6x  6y  30

4x = 8
x=2

26 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

Eliminir x
5x  3y  19 x2 10x  6y  38

2x  2 y  10 x5 10x 10 y  50

-4y = -12
y=3

Jadi HP = {(2,3)}

3. Cara Substitusi
Substitusi artinya mengganti. Langkah-langkahnya sebagai berikut :
1) Nyatakan salah satu variabel yang memuat variabel yang lain dari salah satu
persamaan.
2) Substitusikan hasil dari langkah 1) ke persamaan yang lain.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

4x  2 y  12 dengan cara substitusi !

 x y 9

Jawab:
4x  2 y  12 …………… (1)

x + y = 9  x = 9 – y ….. (2)

(2) substitusi ke (1)
4(9-y) – 2y = 12

 36 – 4y – 2y = 12

 -6y = 12 - 36

 -6y = -24

 y = 4 ………………… (3)

(3) substitusi ke (2)
x=9–4

x=5

Jadi HP = {(5,4)}

4. Cara Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

 3x  y  5
2x  y  10 dengan cara gabungan antara eliminasi dan substitusi !
Jawab:
Eliminir y
3x – y = 5
2x + y = 10 +
5x = 15
x=3

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 27

x = 3 substitusi ke 3x – y = 5
 3(3) – y = 5
9–y=5

 -y = 5 - 9

 -y = -4
y=4

Jadi HP = {(3,4)}

5. Cara Determinan

Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar

(persegi).

Untuk menyelesaikan dengan cara determinan dari bentuk persamaan :

ax + by = c

px + qy = r

diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, Dx, Dy.

Dengan : a b = aq – bp
D=
pq

c b = cq – br
Dx = r q

a c = ar – cp
Dy = p r

Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan :

x = Dx dan y = Dy
DD

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

2x  3y  1 dengan cara determinan !

 3x  y  5

Jawab:

2 3 = 2.1 – 3.3 = 2 – 9 = -7
D=
31

1 3 = 1.1 – 3.5 = 1 – 15 = -14
Dx = 5 1

2 1 = 2.5 – 1.3 = 10 – 3 = 7
Dy = 3 5

x = Dx =  14 = 2
D 7

y = Dy = 7 = -1
D 7

Jadi HP = {(2, -1)}

28 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

BAB 5
PERBANDINGAN

A. ARTI PERBANDINGAN
Perbandingan merupakan suatu hal

yang sangat penting dalam matematika,
demikian juga dalam kehidupan sehari-hari
kita pun tidak lepas dari perbandingan.
Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut :
1. Usia Ayah 45 tahun dan usia ibu 40 tahun,
sedangkan usia Ali 15 tahun serta usia Ani
10 tahun.
Perbandingan usia ayah dan ibu = 45 tahun :
40 tahun = 45 : 40 = 9 : 8
Perbandingan Usia Ali dan Ani = 15 tahun :
10 tahun = 15 : 10 = 3 : 2
Perbandingan usia Ayah dan Ali = 45 tahun :
15 tahun = 45 : 15 = 3 : 1

2. Tinggi badan Dewa 160 cm, tinggi badan

Dewi, 120 cm dan tinggi badan Gita
60 cm Perbandingan tinggi badan Dewa dan
Dewi = 160 cm:120 cm = 160:120 = 4:3
Perbandingan tinggi badan Dewi dan Gita =
120 cm:60 cm = 120:60 = 2:1
Perbandingan tinggi badan Dewa dan Gita =
160 cm:60 cm = 160:60 = 8:3

Dari contoh tersebut dapat diketahui bahwa untuk membandingkan dua buah
besaran perlu diperhatikan :
a. Bandingkan besaran yang satu dengan yang lain
b. Samakan satuannya
c. Sederhanakan bentuk perbandingannya

Dari uraian dan contoh masalah di atas dapat diperoleh arti perbandingan
sebagai berikut :

a. Perbandingan antara a dan b ditulis dalam bentuk sederhana atau a : b, dengan
a dan b merupakan bilangan asli, dan b 0.

b. Kedua satuan yang dibandingkan harus sama.
c. Perbandingan dalam bentuk sederhana atinya antara a dan b sudah tidak

mempunyai faktor persekutuan, kecuali 1.

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 29

B. SKALA
Istilah skala sering kita jumpai kalau kita membuka peta/atlas.

Jika pada peta tertulis skala 1 : 5.000.000, berarti :
1 cm pada peta mewakili 5.000.000 cm jarak yang sebenarnya, atau
1 cm pada peta mewakili 50.000 m jarak yang sebenarnya, atau
1 cm pada peta mewakili 50 km jarak yang sebenarnya

Skala adalah perbandingan ukuran pada gambar (cm) dengan ukuran
sebenarnya (cm) Tampak bahwa skala menggunakan satuan cm untuk dua
besaran yang dibandingkan Perlu diingat bahwa : 1 km = 1.000 m = 100.000 cm.

Contoh berikut menjelaskan bagaimana kita menggunakan skala pada sebuah
peta.
1. Pada sebuah peta jarak tempat A dan B adalah 3 cm, padahal jarak A dan B
sebenarnya 450 km.
Tentukan skala yang dipergunakan pada peta tersebut !
Jawab :
Skala = Ukuran pada peta : Ukuran yang sebenarnya
= 3 cm : 450 km
= 3 cm : 45.000.000 cm (pada skala harus menggunakan satuan cm)
= 3 : 45.000.000
= 1 : 15.000.000
2. Pada sebuah peta jarak kota A ke kota B adalah 8 cm. Jika skala peta itu
adalah 1 : 500.000, maka berapakah jarak sebenarnya kedua kota tersebut ?
Jawab :
Skala 1 = 500.000 berarti 1 cm pada peta mewakili jarak 500.000 cm jarak
sesungguhnya, atau 1 cm pada peta mewakili jarak 5 km jarak sesungguhnya.

30 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

3. Sebuah peta menggunakan skala 1 : 25.000.000 . Jika jarak dua tempat
sebenarnya 300 km, berapakah jarak kedua tempat itu pada peta ?
Jawab :
Skala 1 : 25.000.000
Artinya 1 cm pada peta mewakili 25.000.000 cm jarak sesungguhnya, atau 1 cm
pada peta mewakili 250 km jarak sesungguhnya.
Jadi jarak kedua tempat itu pada peta adalah 300 : 250 = 1,2 cm
Nah kalian sudah mempelajari perbandingan, skala dan penggunaannya, mudah
bukan ?

C. SKALA SEBAGAI SUATU PERBANDINGAN
Sekarang coba bandingkan ketiga ukuran pas foto berikut :

Apakah pas foto 2 cm x 3 cm sebanding dengan pas foto 3 cm x 4 cm ?

ternyata pernyatannya salah, jadi tidak sebanding
Sekarang bandingkan pas foto 2 cm x 3 cm dengan pas foto 4 cm x 6 cm !

ternyata pernyatannya benar, jadi sebanding
Contoh perbandingan di atas akan kita pergunakan untuk menentukan ukuran suatu
benda dengan model/benda tiruan/maketnya.
1) Sebuah model pesawat terbang panjang badannya 18 cm, lebar sayapnya 12 cm.

Jika lebar sayap pesawat sesungguhnya 8 m, berapakah panjang badan pesawat
sesungguhnya?

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 31

Jawab:

Jadi panjang badan pesawat sesungguhnya adalah 12 meter.
2) Sebuah gedung bertingkat tampak dari depan lebarnya 20 meter dan tingginya

60 meter. Jika tinggi gedung pada model adalah 12 cm, berapakah lebar gedung
pada model ?

Jawab :

Jadi lebar gedung pada model adalah 4 cm.
32 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

D. PERBANDINGAN SENILAI
Perbandingan senilai berkaitan dengan perbandingan dua buah besaran, di mana jika
besaran yang satu berubah naik/turun, maka besaran yang lain juga berunah
naik/turun.
Contoh masalah yang berkaitan dengan perbandingan senilai adalah :
1) Jumlah barang yang dibeli dengan harga yang harus di bayar
2) Jumlah konsumsi bahan bakar dan jarak yang ditempuh
3) Jumlah kaleng cat dan luas permukaan yang bisa di cat
4) dan lain-lain

Cara menyelesaikan masalah perbandingan senilai adalah dengan :
1. Menentukan nilai satuan

Dilakukan dengan menentukan nilai satuan dari besaran yang dibandingkan, baru
kemudian dikalikan dengan besaran yang ditanyakan.

2. Menuliskan perbandingan senilai
Dilakukan dengan perbandingan langsung antara dua keadaan atau lebih
Misalkan diketahui dua besaran A dan B

Karena berlaku perbandingan senilai maka :

Berdasarkan hubungan tersebut diperoleh :

Contoh Soal:
1) Sebuah kendaraan dapat menempuh jarak 24 km dengan mengkonsumsi

bensin 2 liter. Berapa liter bensin yang diperlukan untuk menempuh jarak 60
km ?
Jawab :
Cara 1 :
2 liter bensin dapat menempuh jarak 24 km
1 liter bensin dapat menempuh jarak 12 km
Jadi untuk menempuh jarak 60 km diperlukan bensin sebanyak 60 : 12 = 5
liter.
Cara 2 :
Di buat tabel sebagai berikut :

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 33

Perhitungan dilakukan dengan :

Jadi untuk menempuh jarak 60 km diperlukan bensin sebanyak 60 : 12 = 5
liter.

2) 1 lusin baju dibeli dengan harga Rp 480.000,00. Berapakah harga 15 buah
baju yang sama ?
Jawab :

Cara 1 :
1 lusin baju harganya Rp 480.000,00
1 buah baju harganya Rp 480.000,00 : 12 = Rp 40.000,00
Jadi harga 15 buah baju adalah 15 x Rp 40.000,00 = Rp 600.000,00

Cara 2 :
Dibuat tabel sebagai berikut :

Perhitungan dilakukan dengan :

Jadi harga 15 buah baju adalah 15 x Rp 40.000,00 = Rp 600.000,00
Nah materi perbandingan senilai sudah kalian pelajari, bahkan ada 2 cara
menjawab soal, silahkan dipilih alternatif mana yang kalian anggap mudah,
tentunya tidak sulit bukan ?

E. PERBANDINGAN BERBALIK NILAI
Perbandingan berbalik nilai berkaitan dengan membandingkan dua buah

keadaan di mana jika besaran yang satu bertambah/berkurang maka besaran yang lain
berkurang/bertambah.
Masalah yang berkaitan dengan perbandingan berbalik nilai antara lain :
1) Banyaknya pekerja dengan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan

pekerjaan (untuk pekerjaan yang sama)
2) Kecepatan dengan waktu tempuh (untuk jarak yang sama)
3) Banyaknya ternak dan waktu untuk menghabiskan makanan tersebut (untuk

jumlah makanan ternak yang sama)
4) Dan sebagainya

34 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

Misalkan diketahui dua besaran A dan B

Karena berlaku perbandingan berbalik nilai maka :

Berdasarkan hubungan tersebut diperoleh :

Contoh Soal:
1. Suatu pekerjaan akan selesai dalam waktu 42 hari jika dikerjakan oleh 12
orang. Berapa lama pekerjaan yang sama akan selesai jika dikerjakan oleh 14
orang ?
Jawab :
Dibuat tabel sebagai berikut :

Perhitungan perbandingan berbalik nilai dilakukan dengan membalik Salah
satu ruas:

Jadi jika pekerjaan tersebut dikerjakan oleh 14 pekerja akan selesai dalam
waktu 36 hari.
2. Jarak kota A ke kota B sama dengan jarak kota B ke kota C. Jika AB dapat
ditempuh dengan kecepatan 40 km/jam selama 10 jam, berapakah kecepatan
yang harus ditambahkan jika jarak BC akan ditempuh selama 8 jam ?
Jawab :
Dibuat tabel sebagai berikut :

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 35

Perhitungan perbandingan berbalik nilai dilakukan dengan membalik salah
satu ruas:
Kecepatan yang harus ditambahkan adalah 50 – 40 = 10 km/jam.

36 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

BAB 6
HIMPUNAN

A. PENGERTIAN HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau objek yang didefinisikan (diberi

batasan) dengan jelas. Benda-benda atau objek yang termasuk dalam suatu himpunan
disebut anggota atau elemen himpunan itu.

B. NOTASI HIMPUNAN DAN ANGGOTA HIMPUNAN
Suatu “himpunan” dapat ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal “{

}”, dan anggota-anggota himpunannya ditulis diantara pasangan kurung kurawal tersebut.

Anggota suatu himpunan dinyatakan dengan lambang , sedangkan notasi bukan anggota

himpunan dinyatakan dengan . Himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf

kapital, yaitu A, B, C, dan seterusnya.

Contoh himpunan : Contoh bukan himpunan :
 Kumpulan warna-warni lampu lalu  Kumpulan warna yang menarik
 Kelompok siswa yang berbadan tinggi
lintas
 Kelompok siswa yang di kelasmu

yang tingginya lebih dari 150 cm

Jika himpunan yang berbunyi “Kumpulan warna-warni lampu lalu lintas” kita beri

nama dengan huruf A maka dapat ditulis :

A = {warna-warni lampu lalu lintas} B = {merah, kuning, hijau}

Dari contoh himpunan tersebut kita bisa melihat :

● merah anggota A atau merah  A ● hijau anggota A atau hijau  A

● kuning anggota A atau kuning  A ● biru anggota A atau biru  A

Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan notasi n(A).

Dari contoh di atas n(A) = 3.

C. MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN DAN HIMPUNAN KOSONG

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan

1. kata-kata

2. notasi pembentuk himpunan

3. mendaftar anggota-anggotanya

Contoh :

No kata-kata Dinyatakan dengan :
Notasi pembentuk himpunan mendaftar anggota

A = {xx bilangan cacah

1. A = {bilangan cacah kurang dari 6} A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
kurang dari 6} atau

A = {xx6, xC}

2. K = {huruf vokal dalam K = { xx huruf vocal dalam K = {a, i, u, e, o}

abjad} abjad}

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 37

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Lambang /
notasi himpunan kosong adalah { } atau .
Contoh himpunan kosong :
Himpunan bilangan prima genap yang merupakan kelipatan 5.

D. HIMPUNAN BERHINGGA DAN HIMPUNAN TAK BERHINGGA
Untuk suatu himpunan, jika banyaknya anggota himpunan tersebut dapat

dinyatakan dengan suatu bilangan cacah tertentu, maka himpunan itu disebut himpunan
berhingga.
Contoh himpunan berhingga :
A = {warna-warni lampu lalu lintas}

Untuk suatu himpunan, jika banyaknya anggota himpunan tersebut tidak dapat
dinyatakan dengan suatu bilangan tertentu, maka himpunan itu disebut himpunan tak
berhingga.
Contoh himpunan tak berhingga :

Himpunan bilangan asli, yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah
bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Sehingga tidak ada bilangan cacah
tertentu yang dapat digunakan untuk menyatakan banyaknya anggota himpunan bilangan
asli.

Latihan
1. Tentukan apakah kumpulan-kumpulan atau kelompok-kelompok berikut merupakan suatu

himpunan atau bukan himpunan?
a. kelompok siswa di kelasmu yang berat badannya kurang dari 40 kg
b. kelompok siswa di kelasmu yang cantik
c. kumpulan makanan yang lezat
d. kumpulan bilangan asli ganjil

2. A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 7.
a. sebutkan anggota-anggota dari A diantara kurung kurawal
b. nyatakan A dengan notasi pembentuk himpunan
c. tentukan n(A)

3. Dari himpunan-himpunan berikut, manakah yang merupakan himpunan kosong?
a. himpunan bilangan asli yang kurang dari 1
b. himpunan bilangan genap yang habis dibagi 3

38 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

c. himpunan bilangan cacah diantara 7 dan 8
d. himpunan nama hari dalam seminggu yang dimulai dari huruf P.

4. Nyatakan himpunan berikut dengan kata-kata !
a. A = {hewan berkaki empat}
b. B = {x x adalah anggota himpunan bilangan cacah yang kurang dari 9}

5. Nyatakan himpunan berikut dengan notasi himpunan !
a. M = {binatang pemakan tumbuh-tumbuhan}
b. N = {Senin, Selasa, Sabtu}

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 39

I. Berilah tanda silang pada huruf a, b, c, atau d pada jawaban yang benar !

1. Jika A = { x / 10<x<20, x bilangan prima }. 5. Ditentukan :
A = { bilangan ganjil < 5 }
Himpunan – himpunan dibawah ini yang B = { bilangan cacah diantara 3 dan 5}
C = { bilangan asli antara –1 dan 1 }
ekuivalen dengan dengan A adalah …. D = { bilangan bulat antara 0 dan 2 }
Diantara keempat himpunan diatas
a. B = {x / 10<x<20, x bilangan yang merupakan himpunan kosong
genap} adalah ….
a. D c. C
b. C = {x / 10<x<20, x bilangan b. B d. A
kuadrat }
6. Pernyataan dibawah ini yang
c. D = {x / x bilangan – bilangan merupakan himpunan kosong adalah
prima} ….
a. A = { 0 }
d. E = {x/x factor dari 4 } b. B = { k, o, s, o, n, g }
c. C adalah himpunan yang
2. Ungkapan–ungkapan dibawah ini, yang mempunyai nol anggota
d. D = { n, o, l }
merupakan himpunan adalah….
7. Diantara himpunan – himpunan
a. Kumpulan orang – orang ahli dibawah ini, yang merupakan
b. Kumpulan ibu – ibu memasak lezat himpunan kosong adalah ….
c. Kumpulan danau – danau indah a. himpunan bilangan prima kurang
d. Kumpulan siswa kelas VII A yang dari 3
b. himpunan ayam jantan yang
umurnya kurang dari 15 tahun bertelur
c. { bilangan genap yang habis dibagi
3. Pernyataan–pernyataan berikut yang benar 3}
d. { bilangan kuadrat diantara 9 dan
adalah …. 20 }

a. { x / x<6, x  bilangan asli } = {1, 8. P = { x / x  5, x  C }, maka ….
2, 3, 4, 5} a. P = { 1, 2, 3, 4, 5 }
b. P = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
b. himpunan nama bulan dalam satu c. P = { 1, 2, 3, 4 }
tahun dengan huruf pertama J = d. P = { 0, 1, 2, 3, 4 }
{Juni, Juli}
9. Pernyataan – pernyataan dibawah ini
c. {bilangan prima diantara 1 dan 13} yang benar adalah ….
= { 2, 3, 5, 7, 13 }
a. sepeda  { kendaraan }
d. himpunan bilangan kuadrat bilangan
asli kurang dari 49 = { 0, 1, 4, 9, 16, b. { 5 }  { 0, 5, 10, 15 }
25, 36} c. 3  { factor dari 6 }

4. { 178, 187, 718, 781, 817, 871 } d. 0  { kuadrat 3 bilangan asli yang
dinyatakan dengan notasi pembentuk
himpunan menjadi …. pertama }
a. { x / x bilangan ratusan dari
kombinasi angka 1, 7, dan 8 }
b. { x / x bilangan cacah }
c. { x / x bilangan asli }
d. { x / x bilangan prima }

40 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

II. Kerjakan soal – soal berikut dengan benar!

1. Diketahui : A = { a, i, u, e, o } D = { lima bilangan asli yang pertama}

B = { warna lampu lalu lintas} E = { m, e, r, p, a, t, i, }

C = { 3, 5, 7 } F = { 4, 7, 2, 3, 5, 1, 6 }

a. Himpunan yang ekuivalen dengan himpunan A adalah….

b. Himpunan yang ekuivalen dengan himpunan C adalah ….

c. Himpunan yang ekuivalen dengan himpunan E adalah ….

2. Nyatakan himpunan – himpunan berikut dengan mendaftar anggotanya!.

a. K = { bilangan prima antara 3 dan 23 }

b. P = { bilangan kuadrat antara 20 dan 100 }

3. Sebutkan anggota dari himpunan berikut:

a. P = { x / x < 1, x  Ganjil }

b. Q = { bilangan genap kurang dari 2 }
4. Tulislah dengan notasi pembentuk himpunan dari himpunan – himpunan berikut :

a. A = { 6, 7, 8, 9 }

b. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

5. Bila :

P = { 1, 3, 5, 7, 9 }
Q = { 3, 6, 9, …, 30 }

R = { r, o, t, i }

S = { huruf vokal }

Isikan tanda “” atau “” sehingga kalimat berikut menjadi benar!

a) 7 ……. P e) t ……. { r, o, t, i }

b) 33 ……. Q f) a ……. r, o, t, i }

c) 13 ……. P g) t ……. { huruf vokal }

d) 24 ……. Q h) a ……. { huruf vokal }

E. MACAM HIMPUNAN

1. Himpunan Bagian

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A

menjadi anggota B. A himpunan bagian dari B ditulis dengan notasi A  B.

Contoh :

i) B = {a, i, u, e, o} A = {a, i, u}, maka AB

ii) E = {merah, kuning, hijau} D = {merah}, maka DE

☻Menentukan banyaknya himpunan bagian
Setiap himpunan kosong dan himpunan itu sendiri termasuk himpunan bagian dari
himpunan bagian itu.

Contoh :
Tentukan banyaknya himpunan bagian dari :
1. A = {1}

Jawab :
Himpunan bagiannya adalah { } dan {1}. Banyaknya himpunan bagian = 2 buah.

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 41

2. B = {1, 2}

Jawab :

Himpunan bagiannya adalah { }, {1}, {2}, {1,2}

Banyaknya himpunan bagian adalah = 4 buah

3. C = {1, 2, 3}

Jawab :

Himpunan bagiannya adalah { }, {1}, {2}, {3}{1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}

Banyaknya himpunan bagian adalah = 8 buah.

Dari contoh di atas dapat diamati :

n(A) = 1 himpunan bagian A = 2 = 21

n(B) = 2 himpunan bagian B = 4 = 22

n(C) = 3 himpunan bagian C = 8 = 23

Sehingga rumus banyaknya himpunan bagian dari P = 2n(P)

2. Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang
sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan atau himpunan
universum, dan ditulis dengan lambang S.
Contoh :
A = {1,2,3,4,5}, maka himpunan semestanya adalah
S = {bilangan asli kurang dari 6}
S = {bilangan asli}
S = {bilangan bulat}

Latihan
1. Dari {1,2,3,4,5}, tentukan :

a. himpunan bagian yang memiliki 2 anggota
b. himpunan bagian yang memiliki 3 anggota
c. himpunan bagian yang memiliki 4 anggota
d. banyaknya seluruh himpunan bagian dari himpunan tersebut

2. Tentukan himpunan semesta dari A = {0,2,4,6}
3. Tentukan himpunan bagian dari B = {merah, kuning, hijau}
42 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

4. Tentukan pernyataan-pernyataan berikut, benar atau salah !
a. {ayam}  {binatang bersayap}
b. {a, i, u, e, o}  {huruf vokal}

5. Diketahui A = { 1, 3, 5, 7 }
a. Tuliskanlah semua himpunan bagian dari A yang banyak anggotanya 2 !
b. Tuliskanlah semua himpunan bagian dari A yang banyak anggotanya 3 !

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 43

I. Berilah tanda silang pada huruf a, b, c, atau d pada jawaban yang benar !

1. P = { 1, 3, 5, 7 }, semesta pembicaraan 6. Pernyataan – pernyataan berikut yang
yang mungkin adalah …. benar adalah ….

a. { bilangan prima } a. { a, b, c, d } { konsonsn }

b. { bilangan ganjil < 9 } b. { merpati, ayam, itik } 

c. { bilangan kuadrat } { hewan bermamah biak }

d. { bilangan asli } c. { merah, biru } 
2. Himpunan – himpunan berikut dapat
{ warna bendera kita }
menjadi himpunan semesta dari {0, 2,
4, 6, 8, …}, kecuali …. d. { 7, 11, 13, 17 } 

a. { bilangan asli } { bilangan prima kurang dari 25 }

b. { bilangan cacah } 7. Banyaknya himpunan bagian dari M =
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } adalah ….
c. { bilangan bulat }
a. 64 c. 24
d. { bilangan genap }

b. 36 d. 12
3. Diketahui: 8. Banyaknya himpunan bagian dari D =

K ={ bilangan bulat } { s, i, n, a, r } yang mempunyai dua
anggota ada ….
L ={ bilangan prima }

M = { bilangan prima } a. 4 c. 9

Dari ketiga himpunan diatas, yang b. 7 d. 10

dapat menjadi himpunan semesta bagi 9. Banyaknya himpunan bagian dari { 1,
{ 73, 79, 83, 87 } adalah ….

a. hanya K dan L 2, 3, 4, 5, 6 } yang mempunyai tiga
anggota adalah ….
b. hanya K dan M

c. hanya L dan M a. 10 c. 20

d. K, L, dan M

4. Diketahui: b. 15 d. 21

A = { 1, 2, 4 } B = { 2, 4, 6, 8 } 10. Dari pernyataan berikut :

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } (i) { 4 }  { 2, 4, 6, 8 }

Pernyataan yang benar untuk (ii) { 3, 5 }  { 1, 3, 5, 7 }
himpunan – himpunan di atas adalah ..

a. A  B c. B  C

b. A  C d. C  A (iii) 5  { 5, 7, 9, 11}

5. Diketahui A = { b, e, r, l, i, m, p, a, h} (iv) {8, 12}  { 0, 2, 4, 6 … }
Dari himpunan – himpunan berikut :

(i) K = { r, u, a, h } Yang merupakan pernyataan benar
adalah ….
(ii) L = { h, a, m, p, i, r } a. hanya (i) dan (ii)
b. hanya (i) dan ( iv)
(iii) M = { l, i, m, p, a, h } c. hanya (ii) dan ( iii)

(iv) N = { b, e, l, i, a, n } d. hanya (ii) dan (iv)

Yang merupakan himpunan bagian
dari A adalah ….

a. (i) dan (iii) c. (i) dan (iv)

b. (ii) dan (iii) d. (ii) dan (iv)

44 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

II. Kerjakan soal – soal berikut dengan benar!

1. Sebutkan tiga semesta pembicaraan yang mungkin dari himpunan berikut :
a. P = { 2, 3, 5, 7, 11}
b. Q = { kambing, kerbau, sapi }
c. R = {1, 3, 5, 7, 9 … }

2. Diketahui M = { k, a, i, n }
Tentukan :
a. Banyaknya himpunan bagian M yang mempunyai 1 anggota, sebutkan !
b. Banyaknya himpunan bagian M yang mempunyai 2 anggota, sebutkan !
c. Banyaknya himpunan bagian M yang mempunyai 3 anggota, sebutkan !
d. Banyaknya himpunan bagian M yang mempunyai 4 anggota, sebutkan !
e. Banyaknya semua himpunan bagian M !

3. A adalah himpunan yang terdiri dari huruf pembentuk kata “ matematika “.
a. Tentukan n (A)
b. Tentukan pula banyaknya himpunan bagian A

4. Diketahui P = { bilangan cacah < 5 }
Tentukan banyaknya himpunan bagian P

5. Untuk B = { bilangan bulat }, tulislah semua himpunan bagian dari { x / -1  x 
4, x  B} yang mempunyai 3 anggota.

3. Irisan Himpunan
Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya menjadi

anggota A dan sekaligus menjadi anggota B.
Dengan notasi pembentuk himpunan, irisan himpunan A dan B didefinisikan :
AB = { xx  A dan x  B}
Contoh :
1. A = {1,2,3,4,5}, B = {3,4,5,6,7,8},

maka AB = {3,4,5}

4. Gabungan Himpunan
Gabungan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya

menjadi anggota A saja atau anggota B saja atau persekutuan A dan B.
Dengan notasi pembentuk himpunan, gabungan himpunan A dan B didefinisikan :
AB = { xx  A atau x  B}
Contoh :
2. A = {1,2,3,4,5}, B = {3,4,5,6,7,8},

maka AB = {1,2,3,4,5,6,7,8}

5. Selisih Dua Himpunan
Selisih antara himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua elemen di

dalam A yang tidak menjadi anggota B
Selisih dua himpunan dapat dinyatakan dengan lambang :
A-B = { xx  A dan x  B}

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 45

Contoh :

3. Diketahui A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, B = {3,4,5,6},

Tentukan : b. B – A
a. A – B

Jawab :

a. A – B = {1,2,7,8,9} b. B – A = 

6. Komplemen Himpunan
Komplemen himpunan A adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota

himpunan A tetapi masih dalam semesta pembicaraan S. Komplemen himpunan A
dilambangkan dengan AC.

Contoh :
4. S = {0,2,4,6,8,10} A = {4,6,8} maka AC = {0,2,10}

Latihan c. CD d. CD

1. Jika C = { xx  8, x  A}
D = { x2  x  8, x  A}

Tentukan anggota-anggota dari himpunan :
a. C b. D

2. Jika S = {bilangan asli yang kurang dari 20} g. BC
A = {bilangan prima kurang dari 20} h. (AB)C
B = {bilangan ganjil kurang dari 20} i. (AB)C
Tentukan anggota-anggota dari himpunan :
a. S d. AB
b. A e. AB
c. B f. AC

46 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

3. Diketahui P adalah himpunan bilangan bulat antara 2 dan -2.
Q adalah himpunan bilangan genap antara 2 dan -2.
Tentukan anggota-anggota dari himpunan P-Q, dan Q-P.

4. Diketahui :A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

B = { 1, 2, 3, 4 }

Tentukan :

a. A  B c. A – B

b. A  B d. ( A  B )c

5. Dari soal no 4, apakah A – B sama dengan ( A  B )c ? Mengapa ?

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 47

Uji Kompetensi

I. Berilah tanda silang pada huruf a, b, c, atau d pada jawaban yang benar !

1. A = { 1, 2, 3, 4, 5 } 6. Jika K = { lima bilangan cacah genap

B = { 2, 4, 5, 6 }, A  B = …. yang pertama , dan L = { factor dari 12
}, maka K  L = ….
a. { 1, 3 } c. { 1, 3, 6 }

b. { 2, 4, 5 } d. { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } a. { 2, 4, 6 }

2. D = {faktor dari 24} E ={faktor dari 16}, b. { 0, 2, 3, 4, 6, 8 }
D  E = ….
c. { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 }

a. { 2, 4, 8 } d. { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 }

b. { 1, 2, 4, 8 } 7. Diketahui n(A) = 19, n(B) = 22 dan
n(A  B) = 16. Maka n(A  B) = ….
c. { 2, 4, 8, 16, 24 }

d. { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 } a. 19 c. 41

3. Diketahui K = { x / x = 6n, n bilangan b. 25 d. 57

asli }dan L = { x / x = 8n, n bilangan asli 8. Jika n(P) = 50, n(Q) = 40, n(P 
Q) = 35, Maka nilai n(P  Q) = ….
}. K  L = ….

a. { x / x = 6n, n bilangan asli } a. 55 c. 85

b. { x / x = 8n, n bilangan asli } b. 75 d. 125

c. { x / x = 12n, n bilangan asli } 9. Jika P  Q, n(P) = 6, dan n(Q) =
10, maka n(P  Q) = ….
d. { x / x = 24n, n bilangan asli }
4. Diketahui himpunan – himpunan berikut: a. 4 c. 10

A = {x / x = 4p, x <25, p bilangan cacah} b. 6 d. 16

B = {x / x = 6q, x <25, q bilangan cacah} 10. Pada diagram venn dibawah,

Maka A  B = …. daerah yang merupakan (A  B) adalah
….
a. { 0, 12, 24 }

b. { 0, 6, 12, 18, 24 } a. II

c. { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24 } b. I dan III

d. { 0, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24 } c. II dan IV

5. Jika A = { bilangan prima yang kurang d. I, II, dan III

dari 11 , dan B = { factor dari 70 }, maka

A  B = …. SA

a. { 2, 5, 7 } c. { 1, 2, 3, 5, 7 } B

b. { 1, 2, 5, 7 } d. { 1, 2, 3, 5, 7, 11} I III IV

II

II. Kerjakan soal – soal berikut dengan benar!

1. Gambarlah diagram Venn untuk himpunan A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {4, 6, 8, 10}
dengan himpunan semesta S = {1, 2, 3, 4, …, 10}

2. Diketahui M = {2, 4, 6, 8, …, 20} dan N = {4, 8, 12, 16, …, 20}.

a. Tentukanlah MN dan NM ! b. Apakah MN = NM ?

48 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.

3. Diketahui :

P = {bilangan asli yang ganjil} Q = {bilangan asli yang genap}

R = {bilangan prima} Tentukanlah PQ, PR, QR, dan RQ !

4. Gambarlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut pada satu gambar !

A = {bilangan asli} C = {bilangan bulat}

B = {bilangan cacah} D = {bilangan prima}

5. Tentukan AB, AC, ABC, dan ABD jika :

A = {hewan berkaki empat} C = {hewan buas}

B = {hewan memamah biak} D = {hewan berbelalai}.

Matematika Kelas VII SMP/MTs. | 49

Bab 7
BANGUN RUANG SISI DATAR

Materi Bangun Ruang Sisi Datar – Kali ini Kita akan belajar mengenai
bangun ruang sisi datar. Bangun ruang ada banyak macamnya. Mereka bisa
dikelompokkan dalam dua golongan besar yakni bangun ruang sisi datar dan
bangun ruang sisi lengkung. Bangun ruang sisi lengkung seperti bola, tabung,
dan kerucut, sedangkan bangun ruang sisi datar akan kita pelajari berikut.

Apa itu bangun ruang sisi datar?
Kelompok bangun ruang sisi datar adalah bangun ruang yang sisinya

berbentuk datar (tidak lengkung). Coba soba amati dinding sebuah gedung
dengan permukaan sebuah bola. Dinding gedung adalah contoh sisi datar dan
permukaan sebuah bola adalah contoh sisi lengkung. Jika sebuah bangun ruang
memiliki satu saja sisi lengkung maka ia tidak dapat dikelompokkan menjadi
bangun ruang sisi datar. Sebuah bangun ruang sebanyak apapun sisinya jika
semuanya berbentuk datar maka ia disebut dengan bangun ruang sisi datar.

Macam-macam Bangun Ruang Sisi Datar
Ada banyak sekali bangun ruang sisi datar mulai yang paling sederhana

seperti kubus, balok, limas sampai yang sangat kompleks seperti limas segi
banyak atau bangu yang menyerupai kristal. Namun demikian kali ini kita akan
membahas spesifik tentang bangun ruang kubus, balok, limas, dan juga prisma.

A. KUBUS
Disebut bangun ruang kubus ketika bangun tersebut dibatasi oleh 6

buah sisi yang berbentuk persegi (bujur sangkar). Bangun ruang ini
mempunyai 6 buah sisi, 12 buah rusuk, dan 8 buah titik sudut. Beberapa orang
sering menyebut bangun ini sebagai bidang enam beraturan dan juga prisma
segiempat dengan tinggi sama dengan sisi alas.

Bagian-bagian Kubus
TIga bagian utama dalam bangun ruang kubus adalah sisi, rusuk, dan
titik sudut. Selain itu masih ada yang disebut dengan diagonal bidang dan
diagonal ruang. Perhatikan gambar kubus di bawah ini.

Kubus ABCD.EFGH dibatasi oleh bidang ABCD, ABFE, BCGF, CDHG,
ADHE, dan EFGH. Bidang-bidang tersebut disebut sisi-sisi kubus ABCD.EFGH.

50 | Matematika Kelas VII SMP/MTs.