เนื้อหาเรื่องวงกลม64

คณติ ศาสตร์
3ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี เล่ม 2

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

แผนผงั สาระการเรียนรู้

วงกลม
1. ส่วนต่าง ๆ ของวงกลม
2. มุมในส่วนตา่ ง ๆ ของวงกลม
3. รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
4. วงกลมแนบในรูปสามเหล่ียมและรูปส่ีเหลี่ยม
5. ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งส่วนต่าง ๆ ของวงกลม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั ช้ีวดั
เขา้ ใจและใชท้ ฤษฎีบทเกี่ยวกบั วงกลมในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์ (ค 2.2 ม.3/3)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

หน่วยการเรียนรู้ที่ 2

วงกลม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

1. ส่วนต่างๆ ของวงกลม

เส้นผา่ นศูนยก์ ลาง • O เป็นจุดคงที่
เรียกจุด O วา่ จุดศูนย์กลางของวงกลม
A
• E เป็นจุดบนวงกลม

O เรียกส่วนของเสน้ ตรง OE (OE)
B วา่ รัศมีของวงกลม

E • A และ B เป็นจุดอยบู่ นวงกลม

รัศมี และมี O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม

เรียกส่วนของเสน้ ตรง AB (AB)
วา่ เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน
ส่วนโคง้ นอ้ ย
• C และ D เป็นจุดอยบู่ นวงกลม
เส้นผา่ นศูนยก์ ลาง C
เรียกส่วนของเสน้ ตรง CD (CD)
AO วา่ คอร์ด CD

D • คอร์ดท่ียาวที่สุด คือ เส้นผา่ นศูนยก์ ลาง
ซ่ึงแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กนั

B เรียกวา่ คร่ึงวงกลม

• ส่วนโคง้ CGD เรียกวา่ ส่วนโค้งน้อย CD

E เขียนแทนดว้ ย CGD
ส่วนโคง้ CFD เรียกวา่ ส่วนโค้งใหญ่ CD

ส่วนโคง้ ใหญ่ รัศมี เขียนแทนดว้ ย CFD

และ m(CGD) และ m(CFD)
แทนความยาวของส่วนโคง้

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ส่วนโคง้ นอ้ ย เซกเมนต์

เสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง C G ของส่วนโคง้ • พ้ืนท่ีระหวา่ งเสน้ คอร์ด CD กบั

D ส่วนโคง้ CGD วา่ เซกเมนต์ของ
ส่วนโค้ง (segment)

A O B • พ้นื ท่ีระหวา่ งจุดศูนยก์ ลางของวงกลม
กบั ส่วนโคง้ BHE วา่
ส่วนโคง้ ใหญ่ H เซกเตอร์ของส่วนโค้ง (sector)

E

รัศมี เซกเตอร์
ของส่วนโคง้

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

เส้นสัมผสั วงกลม เสน้ ตรง AB (AB) เป็นเส้นสัมผสั วงกลม
จุด P เป็นจุดสมั ผสั วงกลม
CD ไม่ใช่เส้นสมั ผสั วงกลม
เรียก CD วา่ เส้นตดั วงกลม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ทฤษฎบี ท
จุดสมั ผสั วงกลมท่ีเส้นสัมผสั ลากผา่ นจะต้งั ฉากกบั รัศมีของวงกลมวงน้นั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

กาหนดให้ O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม
และ PT เป็นเส้นสัมผสั ซ่ึงลากมาสมั ผสั วงกลม
ท่ีจุด P

สิ่งทตี่ ้องพสิ ูจน์ เส้นสมั ผสั PT ต้งั ฉากกบั
กบั เสน้ รัศมี OP ที่จุด P

สร้าง ใหจ้ ุด Q เป็นจุดใด ๆ อยบู่ น
อยบู่ น PT ลาก OQ

พสิ ูจน์ เม่ือ PT เป็นเส้นสัมผสั ทุก ๆ จุดท่ีอยบู่ นเส้นตรง PT ยกเวน้ จุด P
เป็นจุดบนเสน้ รอบวงกลม
เพราะฉะน้นั
ดงั น้นั OQ ยาวกวา่ OP และเป็นจริงสาหรับทุก ๆ จุดบน PT
OP ต้งั ฉากกบั PT เพราะเส้นท่ีลากจากจุดจุดหน่ึงมายงั เสน้ ตรง
เสน้ ต้งั ฉากจะส้ันท่ีสุด

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ทฤษฎบี ท
ลากเสน้ สัมผสั จากจุดภายนอกมาสมั ผสั วงกลมไดเ้ พียงสองเส้นเทา่ น้นั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

กาหนดให้ O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม
PA และ PB เป็นเสน้ สัมผสั

สิ่งทตี่ ้องพสิ ูจน์ PA = PB
สร้าง ลาก PO, OA และ OB

พสิ ูจน์ ใน POA และ POB

PAොO = PBොO = 90° (มุมที่เสน้ สมั ผสั ต้งั ฉากกบั รัศมีวงกลม)

OA = OB (รัศมีของวงกลมเดียวกนั )

OP (ดา้ นร่วม)

ดงั น้นั POA ≅ POB รูปสามเหล่ียมสองรูปเท่ากนั ทุกประการแบบ ดา้ น-มุม-ดา้ น

จะได้ PA = PB เพราะเป็นดา้ นท่ีสมนยั กนั ของรูปสามเหล่ียมที่เท่ากนั ทุกประการ

นน่ั คือ เส้นสมั ผสั สองเสน้ คือ PA และ PB รองรับมุมท่ีจุดศูนยก์ ลางเท่ากนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

คอร์ด ส่วนของเสน้ ตรงที่มีจุดปลายท้งั สอง
อยบู่ นวงกลมเดียวกนั เรียกวา่ คอร์ด
คอร์ดแตล่ ะเสน้ จะแบ่งวงกลมออก
เป็ นสองส่วน

ทฤษฎบี ท
คอร์ดท่ียาวเท่ากนั ยอ่ มอยหู่ ่างจากจุดศูนยก์ ลางเป็นระยะทางเท่ากนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

กาหนดให้ OP ต้งั ฉากกบั AB, OQ
ต้งั ฉากกบั CD และ AB = CD
ส่ิงทต่ี ้องพสิ ูจน์ OP = OQ

สร้าง ลาก AO และ CO

พสิ ูจน์ AO = C21COQAB และ ((CรAัศQBม=ีข=อCงDว12)งCกDลมเดียวกนั )
AP =
AP =

APƸO = CQොO = 90° (กาหนดให)้

ดงั น้นั APO ≅ CQO เป็นรูปสามเหล่ียมท่ีเท่ากนั ทุกประการแบบ ดา้ น-มุม-ดา้ น

จะได้ OP = OQ เพราะดา้ นท่ีสมนยั กนั ของรูปสามเหล่ียมท่ีเท่ากนั ทุกประการ

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ทฤษฎบี ท
คอร์ดท่ีอยใู่ กลจ้ ุดศูนยก์ ลางยอ่ มยาวกวา่ คอร์ดท่ีอยไู่ กลจุดศูนยก์ ลาง

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

สิ่งทต่ี ้องพสิ ูจน์ ความยาวของคอร์ด AB
ยาวกวา่ ความยาวของคอร์ด CD

สร้าง ลาก BO และ DO

พสิ ูจน์ ใน PBO และ QDO
เป็ นรู ปสามเหล่ียมมุมฉาก

BO2 = OP2 + PB2 (พ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสบนดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก
DO2 = PB2 + QD2 เท่ากบั ผลบวกของพ้นื ท่ีของรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัส

บนดา้ นประกอบมุมฉาก)

OB = OD ซ่ึง OB2 = OD2 (เป็นรัศมีของวงกลมเดียวกนั )

OP2 + PB2 = OQ2 + QD2 (BO2 = OP2 + PB2 และ DO2 = OQ2 + QD2)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

แต่ PO2 ส้ันกวา่ QO2 (กาหนดให)้

จะได้ 1 AB 2 ยาวกวา่ 1 CD 2
2 2

AB2 ยาวกวา่ CD2

ดงั น้นั ความยาวของคอร์ด AB ยาวกวา่ ความยาวของคอร์ด CD

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ทฤษฎบี ท
เส้นต้งั ฉากท่ีลากผา่ นจุดก่ึงกลางของคอร์ดสองเส้นในวงกลมเดียวกนั
จะตดั กนั จุดตดั ดงั กล่าวเป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลมน้นั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

กาหนดใหจ้ ุด O อยใู่ นวงกลมและมี A, B และ C
เป็นจุดบนเสน้ รอบวงกลมที่ทาให้ AO = BO = CO

สิ่งทต่ี ้องพสิ ูจน์ จุด O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม

สร้าง ให้ D เป็นจุดก่ึงกลางของ AB

ลาก OD และให้ E เป็นจุดก่ึงกลาง
ของ BC ลาก OE

พสิ ูจน์ DA = DB (D เป็นจุดก่ึงกลางของ AB)

DO (เป็นดา้ นร่วม)
AO = BO (กาหนดให)้

ดงั น้นั AOD ≅ BOD เป็นรูปสามเหลี่ยมท่ีเท่ากนั ทุกประการแบบ ดา้ น-ดา้ น-ดา้ น

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ODොA = ODොB (มุมท่ีสมนยั กนั ของรูปสามเหล่ียมที่เท่ากนั ทุกประการ)

ODොA = ODොB = 90° (ODොA = ODොB และ ODොA + ODොB = 180°)

DO แบ่งคร่ึงและต้งั ฉาก AB
DO ผา่ นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม (เส้นที่ผา่ นจุดก่ึงกลางของคอร์ดและ

ต้งั ฉากกบั คอร์ด)
EO ผา่ นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม (พสิ ูจน์เช่นเดียวกนั กบั ขา้ งตน้ )

ดงั น้นั O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ทฤษฎบี ท

ถา้ วงกลมสองวงสัมผสั กนั จุดศูนยก์ ลางและจุดสัมผสั ของวงกลม
จะอยใู่ นแนว เส้นตรงเดียวกนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

กาหนดให้ O และ Q เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลมสองวงที่สมั ผสั กนั ที่จุด P

ส่ิงทต่ี ้องพสิ ูจน์ จุด O จุด Q และจุด P อยใู่ นเสน้ ตรงเดียวกนั
สร้าง ลาก OP และ QP
พสิ ูจน์ ให้ PT เป็นเสน้ สัมผสั สัมผสั วงกลมท้งั สองท่ีจุด P

OP และ QP เป็นรัศมีที่ลากมาท่ีจุดสมั ผสั
จะได้ OP ต้งั ฉากกบั PT และ QP ต้งั ฉากกบั PT

OP และ QP อยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกนั
ดงั น้นั จุด O จุด Q และจุด P อยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

2. มุมในส่วนต่างๆ ของวงกลม

มุมทจี่ ุดศูนย์กลางของวงกลม คือ มุมที่มีจุดศูนยก์ ลางเป็นจุดยอดมุม และมีรัศมีเป็นแขน
ของมุม ดงั รูป

AOොB และมุมกลบั AOB
เป็นมุมที่จุดศูนยก์ ลางของวงกลม

มีส่วนโคง้ AB รองรับ AOොB
และมีส่วนโคง้ ACB รองรับมุมกลบั AOB

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

มุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยบู่ นวงกลม และแขนท้งั สองของมุมตดั
วงกลม ดงั รูป

BAොC เป็นมุมในส่วนโคง้ ของวงกลม BAොC เป็นมุมในส่วนโคง้ ของวงกลม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

มุมในคร่ึงวงกลม คือ มุมท่ีมีจุดยอดมุมอยบู่ นวงกลม และแขนท้งั สองของมุมผา่ นจุดปลาย
ท้งั สองของเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง ดงั รูป

BC เป็นเส้นผา่ นศูนยก์ ลางของวงกลม
BAොC เป็นมุมในคร่ึงวงกลม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างที่ 1
จากรูปท่ีกาหนด O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม ABොC เป็นมุมในคร่ึงวงกลมมีขนาดก่ีองศา

วิธีทา

เนื่องจาก AO = BO = CO (เป็นรัศมีของวงกลม

เดียวกนั ยาวเท่ากนั )

ดงั น้นั AOB และ BOC

เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั

จะได้ BAොO = ABොO และ CBොO = BCොO

BAොO + ABොO + CBොO + BCොO = 180° (ผลบวกของมุมภายในรูปสามเหล่ียม)

ดงั น้นั 2(ABොO) + 2(CBොO) = 180° (แทนมุมท่ีมีขนาดเท่ากนั )

ABොO + CBොO = 90°

นน่ั คือ ABොC = 90°

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ ABොC เป็นมุมในคร่ึงวงกลมมีขนาด 90 องศา

ทฤษฎบี ท
มุมในคร่ึงวงกลมมีขนาด 90 องศา หรือหน่ึงมุมฉาก

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างท่ี 2

จากรูปที่กาหนด O เป็นจุดศูนยก์ ลาง
ของวงกลม AC เป็นเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง
ของวงกลมและ ACොB = 25° หาวา่ BAොC
มีขนาดก่ีองศา

วิธีทา เนื่องจาก ABොC = 90° (เป็นมุมในคร่ึงวงกลม)

ACොB = 25° (กาหนดให)้

ABොC + ACොB + BAොC = 180° (ผลบวกของมุมภายในรูปสามเหล่ียม)

จะได้ 90° + 25° + BAොC = 180°

BAොC = 65°
ดงั น้นั BAොC มีขนาด 65 องศา

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างที่ 3

จากรูปท่ีกาหนด O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม ABොC เป็นมุมในคร่ึงวงกลม และ AOොD = 74°
หาขนาดของ ABොO

วธิ ีทา เน่ืองจาก AOොD = 74° (กาหนดให)้
จะได้ BOොC = 74° (เป็นมุมตรงขา้ มมีขนาดเท่ากนั )

ดงั น้นั BO = CO (เป็นรัศมีของวงกลมเดียวกนั ยาวเท่ากนั )
BOC เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

CBොO = BCොO (เป็นมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั )

จะได้ BOොC + 2(CBොO) = 180° (ผลบวกของมุมภายในรูปสามเหลี่ยม)

แทนค่า 74° + 2(CBොO) = 180°
2(CBොO) = 180° – 74°

2(CBොO) = 106°

CBොO = 53°

เนื่องจาก ABොC = 90° (เป็นมุมในคร่ึงวงกลม)

จะได้ ABොO = ABොC – CBොO

= 90° – 53°

= 37°

ดงั น้นั ABොO มีขนาด 37 องศา

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ทฤษฎบี ท

ในวงกลมเดียวกนั มุมที่จุดศูนยก์ ลางจะมีขนาดเป็นสองเท่าของ
ขนาดของ มุมในส่วนโคง้ ของวงกลมที่รองรับดว้ ยส่วนโคง้ เดยี วกนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

กาหนดให้ O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม

มี AOොC เป็นมุมท่ีจุดศูนยก์ ลางของวงกลม
และ ABොC เป็นมุมในส่วนโคง้ รองรับ
ดว้ ยส่วนโคง้ AC ตอ้ งการพิสูจนว์ า่

AOොC = 2(ABොC)

พสิ ูจน์ เน่ืองจาก AO = CO = BO (เป็นรัศมีของวงกลมเดียวกนั ยาวเท่ากนั )

ABොO = BAොO (เป็นมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั )

CBොO = BCොO (เป็นมุมที่ฐานของรูปสามเหล่ียมหนา้ จวั่ )

AOොX = ABොO + BAොO (มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมจะมีขนาด

เท่ากบั ผลบวกของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ABොO = BAොO (เป็นมุมที่ฐานของรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั )

CBොO = BCොO (เป็นมุมท่ีฐานของรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั )

AOොX = ABොO + BAොO (มุมภายนอกของรูปสามเหล่ียมจะมขี นาด

เท่ากบั ผลบวกของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด)

COොX = CBොO + BCොO (มุมภายนอกของรูปสามเหล่ียมจะมีขนาดเท่ากบั

ผลบวกของมุมภายในท่ีไม่ใช่มุมประชิด)

AOොX = 2(ABොO) (แทนคา่ ABොO = BAොO)

COොX = 2(CBොO) (แทนค่า CBොO = BCොO)

AOොX + COොX = 2(ABොO) + 2(CBොO) (สมบตั ิการเท่ากนั )

AOොC = 2(ABොO + CBොO) (สมบตั ิการแจกแจง)

แสดงวา่ AOොC = 2(ABොC)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างท่ี 4

จากรูปท่ีกาหนด O เป็นจุดศูนยก์ ลาง
ของวงกลม หาคา่ ของ x

วิธีทา เน่ืองจาก AOොC = 2(ABොC) (ขนาดของมุมในส่วนโคง้ ของวงกลม

แทนคา่ AOොC = 2(68° ) ที่รองรับดว้ ยส่วนโคง้ เดียวกนั )

AOොC = 136°

ดงั น้นั คา่ ของ x คือ AOොC เท่ากบั 136°

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างที่ 5

จากรูปที่กาหนด O เป็นจุดศูนยก์ ลาง
ของวงกลม หาคา่ ของ y

วธิ ีทา เนื่องจาก AOොC = 2(ABොC) (ขนาดของมุมในส่วนโคง้ ของวงกลม

แทนค่า 86° = 2(y) ท่ีรองรับดว้ ยส่วนโคง้ เดียวกนั )

y = 43°

ดงั น้นั ค่าของ y คือ ABොC เท่ากบั 43°

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างที่ 6

จากรูปที่กาหนด O เป็นจุดศูนยก์ ลาง
ของวงกลม ABොC เป็นมุมในส่วนโคง้
ของวงกลมและ มีขนาด 70°
พิสูจน์วา่ CAොO = 20°

วธิ ีทา เนื่องจาก AOොC = 2(ABොC) (ขนาดของมุมในส่วนโคง้ ของวงกลม

แทนคา่ ที่รองรับดว้ ยส่วนโคง้ เดียวกนั )
AOොC = 2(70° ) = 140°

AO = CO (รัศมีของวงกลมเดียวกนั ยาวเท่ากนั )

ดงั น้นั AOC เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จวั่

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

แทนค่า CAොO = ACොO (มุมท่ีฐานของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั )
แสดงวา่ AOොC + CAොO + ACොO = 180° (ผลบวกมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม)
140° + CAොO + ACොO = 180°
(แทนค่า CAොO = ACොO)
140° + 2(CAොO) = 180°
2(CAොO) = 40°
CAොO = 20°

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างที่ 7

จากรูปที่กาหนด O เป็นจุดศูนยก์ ลาง
ของวงกลม BAොC และ BDොC อยใู่ น
ส่วนโคง้ ของวงกลม BC
เดียวกนั พิสูจน์วา่ BAොC = BDොC

พสิ ูจน์ ลาก BO และ CO (มุมท่ีจุดศูนยก์ ลางมีขนาดเป็นสองเท่าของ
BOොC = 2(BAොC)
มุมที่เสน้ รอบวง ซ่ึงต้งั อยบู่ นส่วนโคง้ เดียวกนั )
BOොC = 2(BDොC) (มุมท่ีจุดศูนยก์ ลางมีขนาดเป็นสองเท่าของ
มุมที่เสน้ รอบวง ซ่ึงต้งั อยบู่ นส่วนโคง้ เดียวกนั )
ดงั น้นั 2(BAොC) = 2(BDොC)
แสดงวา่ BAොC = BDොC

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ทฤษฎบี ท

ในวงกลมเดียวกนั มุมในส่วนโคง้ ของวงกลมที่รองรับดว้ ยส่วนโคง้
เดียวกนั จะมีขนาดเท่ากนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างที่ 8

จากรูปท่ีกาหนด O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม บอกวา่ มุมคูใ่ ดมีขนาดเท่ากนั
พร้อมใหเ้ หตุผลประกอบ

วิธีทา

1) BAොC = BDොC (มุมในส่วนโคง้ ของวงกลมท่ีรองรับดว้ ยส่วนโคง้ BC เดียวกนั )
2) ABොD = ACොD (มุมในส่วนโคง้ ของวงกลมท่ีรองรับดว้ ยส่วนโคง้ AD เดียวกนั )

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างท่ี 9

กาหนดให้ FDොC = 60° และ DFƸC = 80°
หาวา่ ABොF มีขนาดก่ีองศา

วธิ ีทา FDොC = 60° และ DFƸC = 80° (กาหนดให)้

FDොC + DFƸC + DCොF = 180° (ผลบวกมุมภายในของรูปสามเหล่ียม)

แทนค่า 60°+ 80° + DCොF = 180°
DCොF = 40°

จาก ABොF = DCොF (มุมในส่วนโคง้ ของวงกลมที่รองรับดว้ ยส่วนโคง้ AD เดียวกนั )
ดงั น้นั ABොF = 40°

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

3. รูปส่ีเหลยี่ มแนบในวงกลม

นกั เรียนพิจารณาตวั อยา่ งต่อไปน้ี

ตวั อย่างที่ 1

ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมแนบในวงกลม ซ่ึงมี O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม
พิสูจน์วา่ ABොC + ADොC = BCොD + BAොD

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

พสิ ูจน์ ลาก AO, BO, CO และ DO
1
ADොC = 2 AOොC (มุมท่ีจุดศูนยก์ ลางจะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของ
มุมในส่วนโคง้ ของวงกลมท่ีรองรับดว้ ยส่วนโคง้ เดียวกนั )
ABොC = 1 12AOොC 1 (มุมกลบั AOොC)
ABොC 2 2
+ ADොC = + (มุมกลบั AOොC) (มุมกลบั กบั มุมในส่วนโคง้

ABොC + ADොC = 1 (AOොC + มุมกลบั AOොC) ไดม้ ุมรอบจุดศูนยก์ ลางเท่ากบั 360°)
2
1
ABොC + ADොC = 2 (360°)

ABොC + ADොC = 180°

ในทานองเดียวกนั BCොD + BAොD = 180°

แสดงวา่ ABොC + ADොC = BCොD + BAොD

และผลบวกมุมตรงขา้ มเท่ากบั 180°

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ทฤษฎบี ท
มุมตรงขา้ มของรูปสี่เหลี่ยมซ่ึงแนบในวงกลมรวมกนั เท่ากบั 180 องศา

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างที่ 2 หาค่าของ x และ y

วธิ ีทา 1) เนื่องจาก x + 96° = 180° (มุมตรงขา้ มของรูปสี่เหลี่ยมซ่ึงแนบในวงกลม)

x = 84

y + 78° = 180° (มุมตรงขา้ มของรูปส่ีเหล่ียมซ่ึงแนบในวงกลม)
y = 102°

2) เนื่องจาก x = 180° – 115°

= 65 °

y = 180° – (180° – 57° – 65°)

= 122°

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

4. วงกลมแนบในรูปสามเหลย่ี มและรูปส่ีเหลยี่ ม

วงกลมแนบในรูปสามเหลย่ี ม

การสร้างวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยมใชท้ ฤษฎีเก่ียวกบั วงกลมในเร่ืองเส้นสมั ผสั ของวงกลม
และเสน้ แบ่งคร่ึงมุมของรูปสามเหล่ียม เพอ่ื หาจุดศูนยก์ ลางของวงกลมสามารถสร้างได้ ดงั รูป

จากรูป AD, BD และ CD เป็นเสน้ แบ่งคร่ึงมุมของรูปสามเหลี่ยม จะตดั กนั ที่จุด D ซ่ึงเป็น จุด
ศูนยก์ ลางของวงกลมที่จะสร้างใหแ้ นบในรูปสามเหล่ียม แลว้ ลากเสน้ จากจุด D ไปต้งั ฉากที่ดา้ น
ใด กไ็ ดข้ องรูปสามเหลี่ยมกจ็ ะไดเ้ ป็นรัศมีของวงกลม กจ็ ะไดว้ งกลมแนบในรูปสามเหล่ียม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

วงกลมแนบในรูปส่ีเหลยี่ ม

การสร้างวงกลมแนบในรูปส่ีเหล่ียมอาศยั ทฤษฎีเกี่ยวกบั เส้นสมั ผสั ของวงกลม และทฤษฎีบท
เก่ียวกบั การสร้างวงกลมแนบในรูปสี่เหลี่ยม ดงั รูป

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ทฤษฎบี ท

รูปส่ีเหลี่ยมจะมีวงกลมแนบในไดก้ ต็ อ่ เม่ือผลบวกของความยาวดา้ น
ตรงขา้ มของรูปสี่เหลี่ยมยาวเท่ากนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

กาหนดให้ O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม และ OE ต้งั ฉาก AB, OF ต้งั ฉาก BC, OG
ต้งั ฉาก CD และ OH ต้งั ฉาก DA

สิ่งทตี่ ้องพสิ ูจน์ AB + CD = BC + DA

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

พสิ ูจน์ AEƸO = AHොO = 90° (กาหนดให)้
OE = OH (รัศมีของวงกลมเดียวกนั )

OA (เป็นดา้ นร่วม)

ดงั น้นั AEO ≅ AHO (เป็นรูปสามเหล่ียมท่ีเท่ากนั ทุกประการแบบ ดา้ น-มุม-ดา้ น)
จะได้ AE = AH (เพราะดา้ นที่สมนยั กนั ของรูปสามเหลี่ยมท่ีเท่ากนั ทุกประการ)

ซ่ึง BEO ≅  BFO

CFO ≅ CGO

DGO ≅ DHO
ดงั น้นั BE = BF, CG = CF และ DG = DH
จะได้ AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH

(AE + BE) + (CG + DG) = (AH + DH) + (BF + CF)
ดงั น้นั AB + CD = AD + BC