เนื้อหาเรื่องวงกลม64

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

5. ความสัมพนั ธ์ระหว่างส่วนต่างๆ ของวงกลม

ความสัมพนั ธ์ระหว่างมุมและส่วนโค้งของวงกลม

จากที่นกั เรียนไดร้ ู้จกั ส่วนโคง้ ใหญ่ ส่วนโคง้ นอ้ ย คอร์ด และคร่ึงวงกลมมาแลว้
ตอ่ ไปน้ี จะพจิ ารณาถึงความสัมพนั ธ์ต่าง ๆ เกี่ยวกบั ส่วนโคง้ คอร์ดของวงกลม

นกั เรียนพิจารณามุมท่ีจุดศูนยก์ ลางของวงกลม แลว้ พบความสมั พนั ธ์ใดบา้ ง

จากรูป O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม
และ AOොB = COොD จะไดว้ า่ m(AB) = m(CD)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ในวงกลมเดียวกนั หรือวงกลมท่ีเท่ากนั ถา้ มุมท่ีจุดศูนยก์ ลางมีขนาด
เท่ากนั แลว้ ส่วนโคง้ ที่รองรับมุมที่จุดศูนยก์ ลางน้นั จะยาวเท่ากนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

และพจิ ารณามุมท่ีส่วนโคง้ ดงั รูปตอ่ ไปน้ี

จากรูป O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม
และ ABොC = DEƸF จะไดว้ า่ m(AC) = m(DF)

ในวงกลมเดียวกนั หรือวงกลมที่เท่ากนั ถา้ มุมในส่วนโคง้ ของ
วงกลมมีขนาด เท่ากนั แลว้ ส่วนโคง้ ที่รองรับมุมท้งั สองน้นั จะยาวเท่ากนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ลองพจิ ารณาวงกลม O และวงกลม P ท่ีเท่ากนั ซ่ึงก่อนหนา้ น้ีนกั เรียนทราบวา่ ส่วนโคง้ ท่ี
รองรับมุมที่จุดศูนยก์ ลางน้นั ยาวเท่ากนั แลว้ ส่วนโคง้ ใหญ่จะเท่ากนั หรือไม่

จากรูป ให้ O และ P เป็นวงกลมท่ีเท่ากนั และ AOොB = MPƸN
ดงั น้นั m(AXB) เท่ากบั m(MYN) หรือไม่ เพราะเหตุใด

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ถา้ ส่วนโคง้ ยาวเท่ากนั มุม
ท่ีจุดศูนยก์ ลางของวงกลมกเ็ ท่ากนั

ในวงกลมท่ีเท่ากนั หรือในวงกลมเดียวกนั ถา้ ส่วนโคง้ ยาวเท่ากนั
แลว้ มุมที่จุดศูนยก์ ลางท่ีรองรับดว้ ยส่วนโคง้ น้นั จะมีขนาดเท่ากนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

เช่นเดียวกนั ถา้ ส่วนโคง้ ที่รองรับมุม
ใน ส่วนโคง้ ยาวเท่ากนั กจ็ ะทาใหม้ ุมใน

ส่วนโคง้ มีขนาดเท่ากนั ดงั รูป

ในวงกลมที่เท่ากนั หรือในวงกลมเดียวกนั ถา้ ส่วนโคง้ ยาวเท่ากนั
แลว้ มุมในส่วนโคง้ ของวงกลมที่รองรับดว้ ยส่วนโคง้ น้นั จะมีขนาดเท่ากนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ความสัมพนั ธ์ระหว่างคอร์ดและเส้นทลี่ ากจากจุดศูนย์กลางมายงั คอร์ดของวงกลม

นกั เรียนจะตอ้ งใชค้ วามรู้เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสเขา้ มาหาความยาวของคอร์ด
เสน้ ที่ลากจากจุดศูนยก์ ลางมายงั คอร์ดหรือรัศมีของวงกลม ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี

ตวั อย่างท่ี 1

ในวงกลมวงหน่ึง รัศมียาว 5 เซนติเมตร
คอร์ดอยหู่ ่างจากจุดศูนยก์ ลางของวงกลม
ยาว 4 เซนติเมตร คอร์ดยาวเท่าไร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

วธิ ีทา กาหนดให้ รัศมี OB ยาว 5 เซนติเมตร
ระยะห่างจากจุดศูนยก์ ลางมายงั คอร์ด OP ยาว 4 เซนติเมตร
เน่ืองจาก OPB เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

จะไดว้ า่ BP2 + PO2 = OB2 หรือ BP2 = OB2 – PO2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)
แทนคา่ BP2 = 52 – 42

= 25 – 16
=9
BP = ±3

เน่ืองจาก ความยาวเป็นจานวนบวก จะได้ BP = 3
AB = 2(BP)

= 2(3)

=6
ดงั น้นั คอร์ด AB ยาว 6 เซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ จะไดว้ า่
1. ส่วนของเสน้ ตรงที่ลากจากจุดศูนยก์ ลางมาต้งั ฉากกบั คอร์ดจะแบ่งคร่ึงคอร์ดน้นั
2. ส่วนของเส้นตรงท่ีลากจากจุดศูนยก์ ลางมาแบ่งคร่ึงคอร์ดจะต้งั ฉากกบั คอร์ดน้นั ดงั รูป

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างที่ 2

จากรูปท่ีกาหนด O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม มีเส้นผา่ นศูนยก์ ลาง AB และคอร์ด CA
ยาว 8 เซนติเมตร ถา้ คอร์ดห่างจากจุดศูนยก์ ลาง 3 เซนติเมตร เสน้ ผา่ นศูนยก์ ลางยาวเท่าไร

วธิ ีทา

เน่ืองจาก AOD เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

AD = 8 = 4 (เสน้ ที่ลากจากจุดศูนยก์ ลางมาต้งั
2 ฉากกบั คอร์ดจะแบ่งคร่ึงคอร์ด)

AO2 = AD2 + DO2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

แทนคา่ AO2 = 42 + 32
= 16 + 9
= 25

AO = ±5

เนื่องจาก ความยาวเป็นจานวนบวกจะได้ AO = 5
AB = 2(AO)
= 2(5)
= 10

ดงั น้นั เส้นผา่ นศูนยก์ ลาง AB ยาว 10 เซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ความสัมพนั ธ์ระหว่างเส้นสัมผสั กบั รัศมีของวงกลม

พจิ ารณาวงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลมกบั เส้นสมั ผสั วงกลม O ดงั รูป

ตัวอย่างท่ี 1

1. ให้ O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม MN
เป็นเส้นสัมผสั วงกลมท่ีจุด P ลาก OP

แลว้ วดั ขนาดของมุม MPƸO วา่ มีขนาด
ก่ีองศา

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สถาบนั พฒั นาคุณภาพวชิ าการ (พว.)

2. ให้ O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม PQ
และ RS เป็นเส้นสมั ผสั วงกลมที่จุด A
และจุด B ตามลาดบั ใหน้ กั เรียนวดั
PAොO และ RBොO ขนาดของมุมที่วดั ได้
เป็นกี่องศา และวาดเส้นตรงต่อ
ความยาว ของเสน้ ตรงท้งั สองเสน้
หาจุดตดั กนั ของ เส้นสมั ผสั ท้งั สอง
วา่ ตดั กนั ที่จุดใด

จากที่นกั เรียนไดว้ ดั มุมจากรูปขา้ งตน้ จะไดเ้ ห็นความสมั พนั ธ์ของรัศมีของวงกลม
และเส้นสัมผสั ดงั น้ี

เส้นสัมผสั ของวงกลมจะต้งั ฉากกบั รัศมขี องวงกลมทจ่ี ุดสัมผสั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างที่ 3

จากรูปที่กาหนด O เป็นจุดศูนยก์ ลาง
ของวงกลม AOොB เท่ากบั 115° มี MN
และ PQ สมั ผสั วงกลมที่จุด A และจุด B
ตามลดบั ACොB มีขนาดกี่องศา

วธิ ีทา เน่ืองจาก MN และ PQ สมั ผสั วงกลมที่จุด A และจุด B

ดงั น้นั OAොC = 90° และ OBොC = 90° (เสน้ สมั ผสั ของวงกลมจะต้งั ฉาก

กบั รัศมีของวงกลม)

และ AOොB = 115° (กาหนดให)้

ดงั น้นั ACොB = 360° – 115° – 90° – 90° (มุมภายในรูปสี่เหล่ียมรวมกนั

ACොB = 65° เท่ากบั 360 องศา)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างท่ี 4

จากรูปท่ีกาหนด O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม มี
AC และ BC สัมผสั วงกลมท่ีจุด A และจุด B

ตามลาดบั ACොB เท่ากบั 50 องศา และจุด D อยบู่ น
วงกลม ดงั รูป หาขนาดของ ADොB

วธิ ีทา ลาก OA และ OB เป็นรัศมีของวงกลม
OAොC และ OBොC เป็นมุมฉาก เน่ืองจากรัศมีต้งั จุดสมั ผสั วงกลม
ACBO เป็นรูปส่ีเหลี่ยม ผลบวกมุมภายในเท่ากบั 360°

จะได้ AOොB + OAොC + ACොB + CBොO = 360°

แทนคา่ AOොB + 90°+ 50° + 90° = 360°
AOොB = 130°

เน่ืองจาก AOොB = 2(ADොB) (มุมท่ีจุดศูนยก์ ลางมีขนาดเป็นสองเทา่ ของ

ดงั น้นั 130° = 2(ADොB) มุมในส่วนโคง้ ซ่ึงรองรับดว้ ยส่วนโคง้ เดียวกนั )

ADොB = 65°