พื้นที่ผิวและปริมาตร 64

คณติ ศาสตร์
3ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี
เล่ม 2

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

แผนผงั สาระการเรียนรู้ พ้นื ที่ผวิ ของพรี ะมิด
ปริมาตรของพีระมิด
1. ทบทวนรูปเรขาคณิตสามมิติ 2. พ้นื ที่ผวิ และปริมาตร ของพีระมิด

พืน้ ทผ่ี วิ และปริมาตร

4. พ้ืนที่ผวิ และปริมาตรของทรงกลม 3. พ้นื ที่ผวิ และปริมาตรของกรวย
พ้นื ที่ผวิ ของทรงกลม พ้ืนท่ีผวิ ของกรวย
ปริมาตรของทรงกลม ปริมาตรของกรวย

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

แผนผงั สาระการเรียนรู้ ปริมาตรของพีระมิด
พ้ืนท่ีผวิ และปริมาตร พ้นื ที่ผวิ ของพีระมิด
พ้นื ท่ีผวิ ของกรวย
1. ทบทวนรูปเรขาคณิตสามมิติ ปริมาตรของกรวย
2. พ้นื ที่ผวิ และปริมาตร ของพีระมิด พ้ืนที่ผวิ ของทรงกลม
ปริมาตรของทรงกลม
3. พ้นื ที่ผวิ และปริมาตรของกรวย

4. พ้นื ท่ีผวิ และปริมาตรของทรงกลม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั ช้ีวดั

1. ประยกุ ตใ์ ชค้ วามรู้เร่ืองพ้นื ที่ผวิ ของพรี ะมิด กรวย และทรงกลมในการแกป้ ัญหา
คณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง (ค 2.1 ม.3/1)

2. ประยกุ ตใ์ ชค้ วามรู้เรื่องปริมาตรของพีระมิด กรวย และทรงกลมในการแกป้ ัญหา
คณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง (ค 2.1 ม.3/2)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

หน่วยการเรียนรู้ที่ 3

พืน้ ท่ีผวิ และปริมาตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

1. ทบทวนรูปเรขาคณติ สามมติ ิ

รูปเรขาคณติ สามมิติ คือ รูปเรขาคณิตท่ีมีลกั ษณะสาคญั ไดแ้ ก่ ความกวา้ ง
ความยาว และความสูง หรือความลึก เช่น ปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย

ทรงกลม

ปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด

กรวย ทรงกลม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ปริซึม

ปริซึม (prism) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานท้งั สองเป็นรูปหลายเหล่ียมที่เท่ากนั
ทุกประการ ฐานท้งั สองอยบู่ นระนาบท่ีขนานกนั ในกรณีที่เป็นปริซึมตรงผวิ ขา้ ง
ของปริซึมแต่ละรูปเป็น รูปสี่เหล่ียมมุมฉาก ในกรณีท่ีเป็นปริซึมเอียงผวิ ขา้ งของปริซึม
เป็นรูปสี่เหลี่ยมดา้ นขนาน การเรียกช่ือปริซึม จะเรียกตามลกั ษณะของฐาน

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ทรงกระบอก

ทรงกระบอก (cylinder) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติท่ีมีฐานท้งั สองเป็นวงกลมที่เท่ากนั ทุก
ประการ และอยบู่ นระนาบท่ีขนานกนั เมื่อตดั ทรงสามมิติน้ีดว้ ยระนาบที่ขนานกบั ฐานแลว้
จะไดร้ อยตดั เป็นวงกลม ที่เท่ากนั ทุกประการกบั ฐาน

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

พรี ะมิด

พรี ะมดิ (pyramid) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติท่ีมีฐานเป็นรูปหลายเหล่ียมใด ๆ มียอดแหลม
ซ่ึงไม่อยบู่ นระนาบเดียวกนั กบั ฐาน หนา้ ทุกหนา้ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกนั ท่ี
จุดยอดของพรี ะมิด และการเรียกชื่อพีระมิดเรียกตามลกั ษณะของฐานของพีระมิด

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

กรวย

กรวย (cone) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติท่ีมีฐานเป็นวงกลม มียอดแหลมท่ีไม่อยบู่ นระนาบ
เดียวกนั กบั ฐาน และเส้นท่ีตอ่ ระหวา่ งจุดยอดกบั จุดใด ๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของ
เสน้ ตรง

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ทรงกลม

ทรงกลม (sphere) คือ รูปทรงเรขาคณิตสามมิติท่ีมีผวิ โคง้ เรียบ และจุดทุกจุดบนผวิ โคง้
อยหู่ ่างจากจุดคงที่จุดหน่ึงเป็นระยะเท่ากนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

2. พืน้ ทผี่ วิ และปริมาตรของพรี ะมิด

พรี ะมดิ ท่ีไดร้ ับการยกยอ่ งวา่ เป็นส่ิงมหศั จรรยข์ องโลก ไดแ้ ก่ พีระมิด
เมืองกีซา ซ่ึงเป็นที่บรรจุพระบรมศพของกษตั ริยค์ ีออปส์ หรือคูฟู ซ่ึงพระองค์
เป็นผสู้ ร้างข้ึนเองเม่ือก่อนคริสตกาล ถือเป็นพีระมิดท่ียงิ่ ใหญ่ท่ีสุดในโลกต้งั อยู่
ที่กลางทะเลทราย ใชห้ ินทรายตดั เป็นแท่งหนกั ประมาณ กอ้ นละ 2 ตนั คร่ึง
โดยการนาเอามาซอ้ นกนั เป็นช้นั ข้ึนไป เช่ือกนั วา่ พีระมิดองคน์ ้ีจะทนแดด
ทนฝนอยไู่ ดอ้ ีกนานกวา่ 5,000 ปี และเป็นสิ่งมหศั จรรยข์ องยคุ โบราณส่ิงเดียว
เท่าน้นั ที่มีอายยุ นื ยาวมาจนถึงปัจจุบนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

พรี ะมิดเป็นรูปเรขาคณิตสามมิติ มีท้งั พรี ะมิดตรงและพรี ะมิดเอียง
มีฐานเป็นรูปหลายเหล่ียมใด ๆ มียอดแหลมซ่ึงไม่อยบู่ นระนาบเดียวกนั กบั ฐาน
หนา้ ทุกหนา้ เป็นรูปสามเหล่ียมที่มีจุดยอดของพีระมิด เพอ่ื ใหน้ กั เรียนมีความ
เขา้ ใจ ในการนาไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา ศึกษาส่วนประกอบต่าง ๆ ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ข้อสังเกต

• การเรียกชื่อพรี ะมิดจะเรียกช่ือตามฐาน

• ฐานของพีระมิดมีฐานเดียวเป็นรูปหลายเหล่ียมใด ๆ มียอดปลายแหลม
• หนา้ ทุกหนา้ ของพรี ะมิดเป็นรูปสามเหล่ียม มีจานวนเท่ากบั จานวนเหลี่ยม
ของฐาน
• ส่วนสูงของพีระมิดตรงใด ๆ จะต้งั ฉากกบั ฐานท่ีจุด ซ่ึงอยหู่ ่างจากจุดยอด
ของรู ปหลายเหลี่ยมท่ีเป็ นฐานเป็ นระยะทางเท่ากนั

• พีระมิดตรงที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมดา้ นเท่ามุมเท่า จะมีสูงเอียงทุกเส้น
ยาวเท่ากนั และมีสนั ส่วนขา้ งยาวเท่ากนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

2.1 พืน้ ที่ผวิ ของพรี ะมดิ

รูปคลี่
พรี ะมิดฐานสามเหล่ียมดา้ นเท่า

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

รูปคลี่
พีระมิดฐานส่ีเหล่ียมจตั ุรัส

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

รูปคลี่
พรี ะมิดฐานหา้ เหลี่ยมดา้ นเท่า

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

จากรูปคลี่พีระมิดรูปหลายเหลี่ยมดา้ นเท่ามุมเท่าไดว้ า่ ฐานของพรี ะมิด

คือ รูปหลายเหล่ียม ที่เป็นฐานและหนา้ ของพรี ะมิดเป็นรูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั มีจานวนเท่ากบั
จานวนเหล่ียมของฐานน้นั ดงั น้นั พ้นื ท่ีผวิ ท้งั หมดของพีระมิดประกอบดว้ ย พ้ืนที่ฐานและ
พ้นื ท่ีผวิ ขา้ ง และพ้นื ท่ีผวิ ขา้ งของ พรี ะมิดเท่ากบั จานวนหนา้ ของพรี ะมิดหรือจานวนเหล่ียม
ของฐานคูณดว้ ยพ้ืนที่รูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั ดงั น้นั

พืน้ ทผี่ วิ ข้างของพรี ะมดิ = 1 × ความยาวของฐาน × ความสูงเอยี ง
2

พืน้ ทผี่ วิ ท้งั หมดของพรี ะมดิ = พืน้ ทฐ่ี าน + พืน้ ทผ่ี วิ ข้าง

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

การหาพ้ืนท่ีฐานของพรี ะมิด ควรศึกษาสูตรต่อไปน้ี

1. พ้นื ที่ของรูปสามเหล่ียม = 1 × ความยาวของฐาน × ความสูง
2

2. พ้ืนท่ีของรูปสามเหล่ียมดา้ นเท่า = 3 × (ความยาวของดา้ น) 2
4

3. พ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัส = (ความยาวของดา้ น) 2

4. พ้ืนท่ีของรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ = ความกวา้ ง × ความยาว

5. พ้ืนท่ีของรูปหกเหลี่ยมดา้ นเท่ามุมเท่า = 323 × (ความยาวของดา้ น) 2

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างท่ี 1

หาพ้ืนท่ีผวิ ขา้ งของพีระมิดฐานรูปหลายเหลี่ยมดา้ นเท่ามุมเท่าตอ่ ไปน้ี

1) วธิ ีทา พ้นื ท่ีผวิ ขา้ ง = จ44าน××ว2112น××หนค6 วา้×า×1ม0พยา้ืนวทข่ีรอู ปงฐสาานมเ×หคลวี่ยามมหสนูงา้ เอจวีั่ยง
=

=

= 120 ตารางเซนติเมตร

2) วธิ ีทา พ้นื ท่ีผวิ ขา้ ง = จ55าน××ว1122น××หน4ควา้×า×1ม5พยา้ืนวทขี่รอู ปงฐสาานมเ×หคลว่ียามมหสนูงา้ เอจวี่ัยง
=

=

= 150 ตารางนิ้ว

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างท่ี 2

หาพ้ืนที่ผวิ ของพีระมิดฐานส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสต่อไปน้ี

1) วธิ ีทา พ้นื ท่ีฐาน = (ความยาวของดา้ น)2
= 62

= 36 ตารางเซนติเมตร

พ้นื ที่ผวิ ขา้ ง = จานวนหนา้ × พ้นื ที่รูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั
1
= 4 × 1 2 × ความยาวของฐาน × ความสูงเอียง
= 4 × 2 × 6×5

= 60 ตารางเซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ดงั น้ัน = พ้นื ที่ฐาน + พ้ืนท่ีผวิ ขา้ ง
พ้ืนที่ผวิ ของพีระมิด = 36 + 60
= 96 ตารางเซนติเมตร
หรือ
พ้นื ท่ีผวิ ของพรี ะมิด = พ้ืนที่ฐาน + พ้นื ที่ผวิ ขา้ ง

= (ความยาวของดา้ น)2 + (จานวนหนา้ × พ้ืนที่รูปสามเหล่ียม)
1
= 62+ 4 × 2 × 6 × 5

= 36 + 60

= 96 ตารางเซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

2) พ้ืนที่ฐาน = (ความยาวของดา้ น)2
= 102
= 100 ตารางนิ้ว

จากรูป ยงั ไม่ทราบความสูงของรูปสามเหล่ียมหรือความสูงเอียงของพีระมิด
นกั เรียนสามารถใชท้ ฤษฎีบทพีทาโกรัสในการหาความสูงเอียงได้ ดงั น้ี

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะไดว้ า่

x2 = 52 + 122
= 25 + 144
= 169

x = 13

ดงั น้นั ความสูงของรูปสามเหล่ียม คือ 13 นิ้ว

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

จะได้ พ้ืนที่ผวิ ขา้ ง = จานวนหนา้ × พ้ืนท่ีรูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั
1
พ้ืนท่ีผวิ ของพรี ะมิด = 4 × 2 × 10 × 13

= 260 ตารางนิ้ว

= พ้นื ท่ีฐาน + พ้นื ท่ีผวิ ขา้ ง
= 100 + 260
= 360 ตารางนิ้ว

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างที่ 3

พีระมิดฐานสี่เหล่ียมจตั ุรัส ซ่ึงมีฐานยาวดา้ นละ 18 เซนติเมตร สนั ยาว 15 เซนติเมตร
หาความสูงเอียงและพ้นื ที่ผวิ ขา้ งของพรี ะมิด

วธิ ีทา ใหค้ วามยาวของความสูงเอียง x เซนติเมตร

ดงั น้นั จะไดว้ า่ x2 = 152 – 92
จะได้ = 225 – 81
ดงั น้นั
= 144

x = 12

ความยาวของความสูงเอียงเท่ากบั 12 เซนติเมตร

พ้นื ท่ีผวิ ขา้ ง = จานวนหนา้ × พ้นื ท่ีรูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั
1
= 4 × 2 × 18 × 12

= 432 ตารางเซนติเมตร

พ้ืนที่ผวิ ขา้ งของพรี ะมิดเท่ากบั 432 ตารางเซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างท่ี 4

พีระมิดฐานสามเหล่ียมดา้ นเท่า ซ่ึงมีฐานยาวดา้ นละ 10 เซนติเมตร พ้นื ท่ีฐาน
ของพรี ะมิดเป็นเท่าไร

วธิ ีทา

เน่ืองจาก พีระมิดฐานสามเหล่ียมดา้ นเท่า ยาวดา้ นละ 10 เซนติเมตร
ฉะน้นั 3
พ้นื ที่ฐานของพีระมิด = 4 × (ความยาวของดา้ น)2

= 3 × 102
4
= 25 3 ตารางเซนติเมตร

ดงั น้นั พ้ืนท่ีฐานของพรี ะมิดเท่ากบั 25 3 ตารางเซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างที่ 5

พรี ะมิดฐานหา้ เหลี่ยมดา้ นเท่ามีพ้ืนที่ผวิ ท้งั หมด 614 ตารางเซนติเมตร ฐานของพีระมิดมีพ้ืนท่ี
344 ตารางเซนติเมตร พรี ะมิดมีความสูงเอียง 12 เซนติเมตร ฐานของพีระมิด
มีความยาวดา้ นละก่ีเซนติเมตร

วธิ ีทา พ้ืนที่ผวิ ของพีระมิด = พ้ืนที่ฐาน + พ้ืนที่ผวิ ขา้ ง
1
แทนค่า 614 = 344 + 5 × 2 × ความยาวของดา้ น × 12

= 344 + ความยาวของดา้ น × 30

ความยาวดา้ น = 614 – 344
30
270
ความยาวดา้ น = 30

ความยาวดา้ น = 9 เซนติเมตร

ดงั น้นั ฐานของพีระมิดมีความยาวดา้ นละ 9 เซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างที่ 6

ตอ้ งการทาสีพีระมิดดา้ นขา้ งใหม่ โดยที่พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจตั ุรัสมีความยาวฐาน
ดา้ นละ 5 เมตร ความสูงเอียง 10 เมตร ตอ้ งใชส้ ีกี่ถงั ถา้ สี 1 ถงั ทาไดพ้ ้นื ท่ี 8 ตารางเมตร

วธิ ีทา

พ้นื ที่ผวิ ขา้ ง = จานวนหนา้ × พ้นื ท่ีรูปสามเหลี่ยม
1
= 4 × 2 × 5 × 10

= 100 ตารางเซนติเมตร

ตอ้ งการทาสีผวิ ดา้ นขา้ งโดยสี 1 ถงั ทาไดพ้ ้ืนท่ี 8 ตารางเมตร
ดงั น้นั ตอ้ งใชส้ ีท้งั หมด 100 ÷ 8 = 12.5 ถงั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

2.2 ปริมาตรของพรี ะมดิ
เตรียมปริซึมและพีระมิดท่ีมีฐานและความสูงเท่ากนั

นาพีระมิดไปตวงทรายจนเตม็ แลว้ เทใส่ปริซึม พบวา่ ตอ้ งตวงทรายใส่พรี ะมิด
จนเตม็ ถึงสามคร้ัง จึงจะเททรายใส่ปริซึมเตม็ พอดี แสดงวา่ ปริมาตรของพรี ะมิดเป็น
1 ใน 3 ของปริมาตรปริซึม จากท่ีนกั เรียนเคยศึกษามาแลว้ วา่

ปริมาตรของปริซึม = พ้นื ที่ฐาน × ความสูง

ดงั น้ัน ปริมาตรของพรี ะมิด = 1 × พ้นื ท่ีฐาน × ความสูง
3

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ข้อสังเกต = 1 × พ้นื ท่ีฐาน × ความสูง
= 31 × (ความยาวของดา้ น)2
ความสูง หมายถึง ความสูงตรงของพีระมิด = 13 × 102 × 15
ตวั อย่างเช่น 3

ปริมาตรของพรี ะมิด

× ความสูง

= 500 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างท่ี 1

หาปริมาตรของพรี ะมิดฐานส่ีเหลี่ยมจตั ุรัส ซ่ึงมีฐานยาวดา้ นละ 8 เซนติเมตร

และสูงตรง 12 เซนติเมตร 1
31
วธิ ีทา ปริมาตรของพรี ะมิด = 3 × พ้ืนที่ฐาน × ความสูง
= × (ความยาวของดา้ น)2
× ความสูง

= 1 × 82 × 12
3

= 256 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

ดงั น้นั ปริมาตรของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจตั ุรัสเท่ากบั 256 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างที่ 2

พีระมิดฐานสี่เหล่ียมผนื ผา้ กวา้ ง 9 นิ้ว ยาว 10 นิ้ว และสูงตรง 15 นิ้ว พรี ะมิดมี
ปริมาตรกี่ลูกบาศกน์ ิ้ว
1
วธิ ีทา ปริมาตรของพีระมิด = 3 × พ้นื ที่ฐาน × ความสูง

= 1 × (ความกวา้ ง × ความยาว) × ความสูง
3
1
= 3 × (9 × 10) × 15

= 450 ลูกบาศกน์ ิ้ว

ดงั น้นั พีระมิดมีปริมาตร 450 ลูกบาศกน์ ิ้ว

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างที่ 3

หาปริมาตรของพรี ะมิดฐานสามเหลี่ยมดา้ นเท่า ซ่ึงมีฐานยาวดา้ นละ 10 นิ้ว และสูง 18 นิ้ว
1
วธิ ีทา ปริมาตรของพรี ะมิด = 3 × พ้นื ที่ฐาน × ความสูง

= 1 × 3 × (ความยาวของดา้ น)2 × ความสูง
3 4

= 1 × 3 × 102 × 18
3 4

= 1× 3× 100 × 18
3×4

= 150 3 ลูกบาศกน์ ิ้ว

ดงั น้นั ปริมาตรของพรี ะมิดเท่ากบั 150 3 ลูกบาศกน์ ิ้ว

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างที่ 4

พรี ะมิดฐานส่ีเหล่ียมจตั ุรัสมีปริมาตร 256 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร มีฐานยาวดา้ นละ
8 เซนติเมตร หาความสูงของพรี ะมิด

วธิ ีทา 1
3
ปริมาตรของพรี ะมิด = × พ้นื ท่ีฐาน × ความสูง

ปริมาตรของพรี ะมิด = 311325××6(8×ค2ว3×ามควยาามวขสอูงงดา้ น)2 × ความสูง
256 = 64
=
ความสูง

ความสูง = 12 เซนติเมตร

ดงั น้นั ความสูงของพรี ะมิดเท่ากบั 12 เซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างท่ี 5

พรี ะมิดฐานหกเหล่ียมดา้ นเท่ามุมเท่ามีปริมาตรเท่ากบั 1,800 3 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร
ความสูงของพรี ะมิด 9 เซนติเมตร หาความยาวรอบฐาน

วธิ ีทา ใหฐ้ านของพีระมิด ยาวดา้ นละ x เซนติเมตร
1
ปริมาตรของพรี ะมิด = 3 × พ้นื ที่ฐาน × ความสูง

1,800 3 = 1 × 33 × x2 ×9
3 2
1,800 3 2
x2 = 93
x2 =
400

x = 20

ฐานของพีระมิดยาวดา้ นละ 20 เซนติเมตร

ดงั น้นั ความยาวรอบฐานของพรี ะมิด 6 × 20 = 120 เซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างที่ 6

พีระมิดฐานส่ีเหล่ียมจตั ุรัส ซ่ึงวดั โดยรอบฐานยาว 56 เซนติเมตร และความสูงเอียง
25 เซนติเมตร พีระมิดมีปริมาตรก่ีลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

วธิ ีทา เนื่องจากโจทยไ์ ม่ทราบพ้ืนที่ฐานและความสูงตรง ดงั น้นั ตอ้ งหาความยาวของ
ฐานและความสูงตรง ดงั ตอ่ ไปน้ี

ความยาวรอบฐานยาว 56 เซนติเมตร จะไดว้ า่ พรี ะมิดมีความยาวของฐาน
56
ดา้ นละ 4 = 14 เซนติเมตร และหาความสูงตรง โดยใชท้ ฤษฎีบทพที าโกรัส ดงั น้ี

ให้ x เป็นความสูงของพีระมิด

x2 = 252 – 72

= 625 – 49

= 576

x = 24

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

จะไดว้ า่ พีระมิดสูง 24 เซนติเมตร และมีความยาวของฐาน 14 เซนติเมตร

ปริมาตรของพรี ะมิด = 1 × พ้ืนที่ฐาน × ความสูง
3
1
= 3 × (ความยาวของดา้ น)2 × ความสูง

= 1 × 142 × 24
3

= 1,568 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

ดงั น้นั พีระมิดมีปริมาตร 1,568 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

3. พืน้ ทผ่ี วิ และปริมาตรของกรวย

กรวย คือ รูปเรขาคณิตสามมิติท่ีมีฐานเป็นวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยบู่ น
ระนาบเดียวกนั กบั ฐาน และเสน้ ท่ีตอ่ ระหวา่ งจุดยอดกบั จุดใด ๆ บนขอบของฐานเป็น
ส่วนของเสน้ ตรง

ในระดบั มธั ยมศึกษาตอนตน้ จะกล่าวถึงกรวยตรงเท่าน้นั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

3.1 พืน้ ทผ่ี วิ ของกรวย

รูปคล่ีของกรวยประกอบดว้ ย วงกลมซ่ึงเป็นฐานของกรวยจานวน 1 รูป
และส่วนของวงกลม จานวน 1 รูป ดงั น้ี

พ้ืนที่ผวิ ของกรวย ส่วนของฐานพ้ืนที่ฐาน
เป็นวงกลม = πr2

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

เม่ือนากรวยตดั ตามแนวสูงเอียง l และคลี่ออกจะได้ ดงั รูป

จากรูป กรวยมีความสูงเอียงยาว l
รัศมีของฐานยาว r และความยาวเสน้ รอบวง (ฐาน)
เท่ากบั 2πr เมื่อคล่ีกรวยออกจะไดร้ ูปสามเหลี่ยม
ฐานโคง้ ซ่ึงจะเป็นส่วนหน่ึงของวงกลม
ท่ีจุดศูนยก์ ลาง เป็นจุดยอดของกรวย

เม่ือ พ้ืนที่วงกลม O เท่ากบั πl2 ความยาวเสน้ รอบวงกลม O เท่ากบั 2πl

พ้ืนท่ีรูปสามเหล่ียมฐานโคง้ OAB คือ พ้นื ท่ีผวิ ขา้ งของกรวย
ความยาวส่วนโคง้ AB คือ เสน้ รอบฐานของกรวย

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

เนื่องจากอตั ราส่วนของพ้ืนท่ีของวงกลม O กบั พ้นื ท่ีของรูปสามเหล่ียมฐาน
โคง้ OAB เท่ากบั อตั ราส่วนของความยาวเสน้ รอบวงกลม O กบั ความยาวส่วนโคง้ AB

จะได้ พ้ืนท่ีวงกลม O = ความยาวของเสน้ รอบวงกลม O
พ้ืนท่ีของรูปสามเหล่ียมฐานโคง้ OAB ความยาวส่วนโคง้ OAB

πl2 = 2πl
พ้นื ท่ีของรูปสามเหลี่ยมฐานโคง้ OAB 2πr

πl2 = l
พ้นื ท่ีของรูปสามเหล่ียมฐานโคง้ OAB r

พ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยมฐานโคง้ OAB = πl2r = πrl
l

ดงั น้นั พ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยมฐานโคง้ OAB หรือพ้ืนที่ผวิ ขา้ งของกรวยเท่ากบั πrl

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ดงั น้นั = พ้ืนที่ฐาน + พ้นื ท่ีผวิ ขา้ ง
พ้ืนที่ผวิ ของกรวย = πr2 + πrl
พ้ืนที่ผวิ ของกรวย = πr (r + l)
หรือ

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างท่ี 1 = πr2
22
หาพ้นื ท่ีผวิ ของกรวยตอ่ ไปน้ี (กาหนด π ≈ 272) 7
1) วธิ ีทา พ้นื ท่ีฐาน

≈ × 72

= 154 ตารางเซนติเมตร

พ้นื ท่ีผวิ ขา้ ง = πrl
22
≈ 7 × 7 × 10

= 220 ตารางเซนติเมตร

พ้ืนท่ีผวิ ของกรวย = πr2 + πrl
≈ 154 + 220

= 374 ตารางเซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

หรือ พ้นื ท่ีผวิ ของกรวย = πr2 + πrl

≈ 22 × 72 + 22 × 7 × 10
7 7

≈ 154 + 220

= 374 ตารางเซนติเมตร

ดงั น้นั พ้นื ที่ผวิ ของกรวยประมาณ 374 ตารางเซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

2) วธิ ีทา จากรูป หาความยาวของความสูงเอียง โดยใชท้ ฤษฎีบทพีทาโกรัส

จะได้ l2 = 82 + 62
l = 64 + 36
= 100
= 10

พ้นื ที่ผวิ ของกรวย = πr2 + πrl

≈ 22 × 62 + 22 × 6 × 10
7 7
≈ 792 + 1,320
7
≈ 301.71 ตารางเซนติเมตร

ดงั น้นั พ้นื ท่ีผวิ ของกรวยประมาณ 301.71 ตารางเซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างท่ี 2

กรวยสังกะสีอนั หน่ึงมีเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลางของฐานยาว 10 เซนติเมตร และความ
สูงเอียงยาว 12 เซนติเมตร พ้ืนที่ผวิ ของกรวยสังกะสีประมาณกี่ตารางเซนติเมตร
(กาหนด π ≈ 3.14)

วธิ ีทา ใหร้ ัศมีของวงกลมยาว r เซนติเมตร

ดงั น้นั r = 10 = 5 เซนติเมตร
2
พ้ืนที่ผวิ ของกรวย = πr2 + πrl

≈ (3.14 × 52) + (3.14 × 5 × 12)

= 78.5 + 188.4

= 266.9 ตารางเซนติเมตร

ดงั น้นั พ้นื ที่ผวิ ของกรวยสังกะสีประมาณ 266.9 ตารางเซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างท่ี 3

กรวยอนั หน่ึงมีรัศมีของฐาน 7 นิ้ว และกรวยสูง 24 นิ้ว พ้ืนที่ผวิ ของกรวย
ประมาณก่ีตารางนิ้ว (กาหนด π ≈ 272)

วธิ ีทา

ใหค้ วามสูงเอียงยาว l นิ้ว
หาความยาวของความสูงเอียง โดยใชท้ ฤษฎีบทพที าโกรัส

จะได้ l2 = 72 + 242
= 49 + 576

= 625
l = 25

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

พ้ืนท่ีผวิ ของกรวย = πr2 + πrl

≈ 22 × 72 + 22 × 7 × 25
7 7

= 154 + 550

= 704 ตารางนิ้ว
ดงั น้นั พ้นื ท่ีผวิ ของกรวยประมาณ 704 ตารางนิ้ว

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

3.2 ปริมาตรของกรวย
นกั เรียนปฏิบตั ิกิจกรรม ดงั น้ี

เตรียมทรงกระบอกและกรวยท่ีมีรัศมีและความสูงเท่ากนั

นากรวยไปตวงทรายจนเตม็ แลว้ เทใส่ทรงกระบอก พบวา่ ตอ้ งตวงทราย

ใส่กรวยจนเตม็ ถึงสามคร้ัง จึงจะเททรายใส่ทรงกระบอกเตม็ พอดี
แสดงวา่ ปริมาตรของกรวยเป็น 1 ใน 3 ของปริมาตร ทรงกระบอก

จะได้ว่า ปริมาตรของกรวย = 1 ของปริมาตรของทรงกระบอก
3

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ดงั น้ัน

V = 1 πr2 h
เมื่อ V 3

แทน ปริมาตรของกรวย

r แทน รัศมีของฐานของกรวย
h แทน ความสูงของกรวย