พื้นที่ผิวและปริมาตร 64

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างท่ี 1

ความสูงของกรวยเป็น 14 เมตร เส้นผา่ นศูนยก์ ลางของฐานมีความยาว 6 เมตร
กรวยน้ีมีปริมาตรกี่ลูกบาศกเ์ มตร กาหนด (กาหนด π ≈ 272)

วธิ ีทา 6
2
จากโจทย์ รัศมีของฐาน = = 3 เมตร

ปริมาตรของกรวย = 1 πr2 h
3
1 22
≈ 3 × 7 × 32 × 14

= 22 × 3 × 2

= 132 ลูกบาศกเ์ มตร

ดงั น้นั กรวยมีปริมาตรประมาณ 132 ลูกบาศกเ์ มตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

2ตวั อย่างที่

กรวยไอศกรีมอนั หน่ึงมีความสูงเอียงยาว 15 เซนติเมตร รัศมีของฐานมีความ
ยาว 9 เซนติเมตร กรวยจุไอศกรีมไดก้ ี่ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร (กาหนด π ≈ 3.14)

วธิ ีทา

ใหค้ วามสูงของกรวย h เซนติเมตร
หาความสูงของกรวย โดยใชท้ ฤษฎีบทพที าโกรัส

h2 = 152 – 92
= 225 – 81

= 144

h = 12

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ปริมาตรของกรวย = 1 πr2 h
3
1
≈ 3 × 3.14 × 92 × 12

= 3.14 × 27 × 12

= 1,017.36 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

ดงั น้นั กรวยจุไอศกรีมไดป้ ระมาณ 1,017.36 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างท่ี 3

กรวยมีปริมาตร 1,004.80 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร เส้นผา่ นศูนยก์ ลางของฐานมี

ความยาว 16 เซนติเมตร ความสูงของกรวยเป็นกี่เซนติเมตร (กาหนด π ≈ 3.14)

วธิ ีทา จากโจทย์ รัศมีของฐาน = 16
2
= 8 เซนติเมตร
1
ปริมาตรของกรวย = 3 πr2 h

1004.80 ≈ 1 × 3.14 × 82 × h
3
1004.80 × 3
h ≈ 3.14 × 6

h = 15

ดงั น้นั ความสูงของกรวยประมาณ 15 เซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

4. พืน้ ทผี่ วิ และปริมาตรของทรงกลม

ทรงกลม คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีผวิ โคง้ เรียบ และจุดทุกจุดบนผวิ
โคง้ อยหู่ ่างจากจุดคงที่ จุดหน่ึงเป็นระยะทางเท่ากนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

4.1 พืน้ ทผี่ วิ ของทรงกลม

จะไดจ้ ากสูตร พ้นื ที่ผวิ ของทรงกลม = 4πr2

ตวั อย่างท่ี 1

ลูกโลกลูกหน่ึงมีเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลางยาว 28 เซนติเมตร ลูกโลกน้ีมีพ้ืนท่ีผวิ กี่
ตารางเซนติเมตร (กาหนด π ≈ 272)
วธิ ีทา จากโจทย์ รัศมีของฐาน = 28 = 14 เซนติเมตร
2
พ้นื ท่ีผวิ ของทรงกลม = 4πr2
22
≈ 4 × 7 × 142

= 4 × 22 × 2 × 14

= 2,464 ตารางเซนติเมตร

ดงั น้นั ลูกโลกน้ีมีพ้ืนท่ีผวิ ประมาณ 2,464 ตารางเซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างท่ี 2

แตงโมลูกหน่ึงเป็นทรงกลม มีพ้นื ท่ีผวิ เท่ากบั 2,816 ตารางเซนติเมตร ถา้ ผา่
คร่ึงแตงโมลูกน้ี มีเส้นผา่ นศูนยก์ ลางของวงกลมใหญ่กี่เซนติเมตร (กาหนด π ≈ 272)
พ้นื ท่ีผวิ ของทรงกลม = 4πr2
วธิ ีทา 2,816 227221×6

r2 ≈ 4 × r2 7
≈ 4 × ×
4 × 22
r2 = 224

r ≈ 14.97

r ≈ 15

จะได้ รัศมียาวประมาณ 15 เซนติเมตร
ดงั น้นั แตงโมมีเส้นผา่ นศูนยก์ ลางยาวประมาณ 30 เซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

4.2 ปริมาตรของทรงกลม
นกั เรียนปฏิบตั ิกิจกรรม ดงั น้ี

เตรียมทรงกระบอกและทรงกลมที่มีรัศมีเท่ากนั และความสูงของทรงกระบอก
เท่ากบั สองเท่า ของรัศมีของทรงกลม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

นาคร่ึงทรงกลมไปตวงทรายจนเตม็ แลว้ เทใส่ทรงกระบอก พบวา่ ตอ้ งตวง
ทรายใส่ คร่ึงทรงกลมจนเตม็ ถึงสามคร้ัง จึงจะเททรายใส่ทรงกระบอกเตม็ พอดี
แสดงวา่ ปริมาตรของคร่ึงทรงกลม เป็น 1 ใน 3 ของปริมาตรทรงกระบอก

จะไดว้ า่ 1 ของปริมาตรของทรงกลม = 1 ของปริมาตรของทรงกระบอก
2 3
2
ของปริมาตรของทรงกลม = 3 ของปริมาตรของทรงกระบอก

= 2 × πr2 h
3
2
= 3 × πr2 × 2r

ดงั น้ัน ปริมาตรของทรงกลม = 34πr3
เม่ือ r แทนรัศมีของทรงกลม

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตัวอย่างที่ 1

ลูกฟุตบอลพลาสติกมีเส้นผา่ นศูนยก์ ลางยาว 14 เซนติเมตร ปริมาตรของอากาศ
ที่บรรจุในลูกฟุตบอลเป็นกี่ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร (กาหนด π ≈ 272)

วธิ ีทา ปริมาตรของทรงกลม = 43πr3

≈ 4 × 22 × 73
3 7
4
= 3 × 22 × 7 × 7

≈ 1,437.33 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

ดงั น้นั ปริมาตรอากาศที่บรรจุในลูกฟตุ บอลประมาณ 1,437.33 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างท่ี 2

ลูกตุม้ ทรงกลมตนั ลูกหน่ึงมีรัศมียาว 3 นิ้ว ถา้ ตอ้ งการหล่อลูกตุม้ ขนาดเดียวกนั
จานวน 7 ลูก ตอ้ งใชป้ ูนหล่อท้งั หมดกี่ลูกบาศกน์ ิ้ว (กาหนด π ≈ 272)

วธิ ีทา = 34πr3

ปริมาตรของทรงกลม

≈ 4 × 22 × 33
3 7
4 × 22 × 3 × 3
= 7

= 792 ลูกบาศกน์ ิ้ว
7
ตอ้ งการหล่อลูกตุม้ ท้งั หมด 7 ลูก
792
ดงั น้นั ตอ้ งใชป้ ูนหล่อท้งั หมดประมาณ 7 ×7 = 792 ลูกบาศกน์ ิ้ว

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ตวั อย่างที่ 3

ทรงกลมมีปริมาตร 38,808 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร ทรงกลมน้ีมีพ้นื ที่ผวิ ก่ีตาราง
เซนติเมตร (กาหนด π ≈ 272)

วธิ ีทา = 43πr3

ปริมาตรของทรงกลม

38,808 ≈ 4 × 22 × r3
3 7
38808 × 3 × 7
r3 = 4 × 22

r3 = 9261

r = 21
ทรงกลมน้ีมีรัศมี 21 เซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

พ้ืนที่ผวิ ของทรงกลม = 4πr2

≈ 4 × 22 × 212
7
= 4 × 22 × 3 × 21

= 5,544 ตารางเซนติเมตร

ดงั น้นั ทรงกลมน้ีมีพ้นื ท่ีผวิ ประมาณ 5,544 ตารางเซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

5ตวั อย่างที่

ทรงกลมตนั ลูกหน่ึง มีเส้นรอบวงกลมใหญ่ยาว 176 เซนติเมตร ทรงกลมตนั น้ี
มีปริมาตรก่ีลูกบาศกเ์ ซนติเมตร (กาหนด π ≈ 272)

วธิ ีทา

เสน้ รอบวงกลม = 2πr 22
176 7
≈ 2 × × r
r
= 176 × 7
2 × 22

r = 28

ทรงกลมตนั มีรัศมียาว 28 เซนติเมตร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 3 เล่ม 2 สอนโดย คุณครูสุมาลี ภูศรีอ่อน

ปริมาตรของทรงกลม = 43πr3

≈ 4 × 22 × 283
3 7
4 × 22 × 28 × 28 × 28
= 3×7

≈ 91,989.33 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

ดงั น้นั ทรงกลมตนั น้ีมีปริมาตรประมาณ 91,989.33 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร