แผนการจัดการเรียนรู้20000-1402

51

8. รูปสามเหล่ียม ABC กำหนดให้ a = 4.2 , b = 6 , c = 3.5 มุม C ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 101.99 ํ ข. 68.23 ํ ค. 43.21 ํ ง. 34.79 ํ

9. รูปสามเหลย่ี ม ABC กำหนดให้ a = 12 , b = 5 , c = 13 มุม B ตรงกับขอ้ ใด

ก. 22.62 ํ ข. 45 ํ ค. 67.38 ํ ง. 90 ํ

10. รปู สามเหล่ียม ABC กำหนดให้ มุม A = 60 ํ , b = 20 , c = 20 จงหาด้านตรงขา้ มมมุ A

ก. 16.15 ข. 18.24 ค. 20 ง. 24.35

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะ ชดุ ท่ี 2 เร่ืองกฎของโคไซน์
ขอ้ 1. ตอบ ค.
ข้อ 2. ตอบ ข.
ข้อ 3. ตอบ ก.
ข้อ 4. ตอบ ง.
ข้อ 5. ตอบ ก.
ขอ้ 6. ตอบ ค.
ขอ้ 7. ตอบ ข.
ข้อ 8. ตอบ ง.
ข้อ 9. ตอบ ก.
ข้อ 10. ตอบ ค.

แผนการจัดการเรียนร้ทู ่ี 10 52
ชื่อวิชา คณิตศาสตร์อตุ สาหกรรม
ชื่อหน่วย การประยกุ ตข์ องอัตราส่วนตรโี กณมิติ หนว่ ยที่ 3
ชื่อเรอ่ื ง การประยกุ ต์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ รหสั วชิ า 20000–1402
สอนคร้งั ที่ 19 – 20
จำนวน 2 ชัว่ โมง

หัวข้อเรื่อง/งาน
ภาคทฤษฎี
1. การวัดระยะทาง และความสูงโดยใชอ้ ัตราสว่ นตรีโกณมิติ
ภาคปฏิบัติ
1. ใบความรู้ที่ 5 เร่ือง การประยุกต์กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
2. ใบงานท่ี 6 เรอ่ื ง การประยกุ ต์ของอัตราส่วนตรีโกณมติ ิ

สาระการเรยี นรู้
3.3 การวัดระยะทาง และความสูงโดยใชอ้ ัตราสว่ นตรโี กณมิติ

สมรรถนะการเรยี นรู้
แสดงความรู้เก่ียวกับการวดั ระยะทาง และความสงู โดยใชอ้ ตั ราสว่ นตรีโกณมิติ

วตั ถปุ ระสงคเ์ ชิงพฤติกรรม
1. มคี วามรู้ ความเขา้ ใจ เกดิ คดิ รวบยอดเก่ยี วกบั การประยุกตข์ องอัตราส่วนตรีโกณมิตไิ ด้
2. มีทกั ษะกระบวนการคดิ และดำเนนิ การเก่ียวกับ การประยุกตข์ องอตั ราสว่ นตรีโกณมติ ไิ ด้
3. นำความรู้ และทักษะท่ไี ดจ้ ากการเรยี นรู้เรื่องการประยกุ ต์ของอตั ราส่วนตรโี กณมิติ ไปใชแ้ กป้ ัญหาใน

สถานการณจ์ รงิ ตลอดจนนำไปประยุกต์ในใชใ้ นงานอาชพี และการดำรงชีวิตได้
4. มีเจคตทิ ีด่ ตี ่อการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์

ดา้ นคณุ ธรรม จริยธรรม/บรู ณาการปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง
แสดงออกด้านความสนใจใฝ่รู้ การตรงต่อเวลา ความซ่อื สัตย์ สุจริต ความมีน้ำใจ และแบง่ ปนั

ความร่วมมือ/ยอมรบั ความคิดเห็นส่วนใหญ่

กจิ กรรมการเรียนรู้
1. ครนู ำเข้าสู่บทเรยี น และครแู จ้งจุดประสงค์การเรียน
2. เตรียมความพรอ้ ม และทบทวนเนื้อหาเรื่อง กฎของไซน์ และกฎของโคไซน์

53

3. ครสู อนสาระการเรยี นรู้ เรอื่ ง การวัดระยะทาง และความสูงโดยใชอ้ ัตราสว่ นตรีโกณมิติ
4. นกั เรยี นทำใบงานที่ 6
5. ครแู ละนักเรยี นร่วมกันเฉลยแบบฝกึ หดั และรว่ มอภิปรายสรปุ บทเรยี น

งานทีม่ อบหมาย
งานท่ีมอบหมายนอกเหนอื เวลาเรียน ใหท้ ำแบบฝึกหัดให้เรียบร้อย ถูกตอ้ ง สมบรู ณ์ และนำมาสง่ ใน

คร้ังต่อไป

ผลงาน/ชน้ิ งาน/ความสำเร็จของผเู้ รยี น
1. ผลการทำ ใบงานที่ 6

สื่อ และแหลง่ การเรียนรู้
1. สอื่ การเรยี นรู้ หนังสือเรยี นคณิตศาสตรอ์ ตุ สาหกรรมหน่วยท่ี 3
2. แหลง่ การเรยี นรู้ หนังสือ คู่มอื หนังสือเรียน หรือ อนิ เทอรเ์ น็ต www.google.com

การวดั และการประเมินผล
ใบงานท่ี 6 เกณฑ์ผา่ น 60 ขึ้นไป

ใบความรทู้ ่ี 5 54
แผนการจัดการเรียนรู้แบบบรู ณาการที่ 10
รหสั 20000-1402 วิชา คณติ ศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม หนว่ ยท่ี 3
ชอ่ื หนว่ ย การประยกุ ต์ของอัตราส่วนตรโี กณมิติ สอนครัง้ ท่ี 1-2
จำนวนชวั่ โมง 2 ชัว่ โมง

สาระการเรียนรู้
การวดั ระยะทาง และความสงู โดยใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ

สมรรถนะการเรยี นรู้
แสดงความรู้เกีย่ วกบั การวดั ระยะทาง และความสงู โดยใชอ้ ัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ

ใบความรู้ที่ 5 เรอ่ื ง การประยุกต์กฎของไซน์และกฎของโคไซน์

คำช้ีแจง : 1. แบบฝึกทกั ษะฉบบั นี้ จดั ทำเพือ่ เป็นการเพิ่มเติมความรู้เร่ืองเกย่ี วกบั กฎของไซนแ์ ละกฎของ
โคไซน์ นกั เรยี นชน้ั ปวช.2 วิทยาลยั สารพัดช่างระยอง

2. แบบฝึกทกั ษะฉบบั นี้ ประกอบด้วย
1.1 การประยุกตก์ ฎของไซน์และกฎของโคไซน์
1.2 แบบฝึกหัด
1.3 เฉลยแบบฝึกหดั

กฎของไซน์
A, B, C เปน็ จดุ ยอดของรปู สามเหลย่ี มทม่ี ีความยาวของด้านซ่ึงอยู่ตรงข้ามมุม A, B, C เท่ากบั a, b, c

ตามลำดบั จะได้วา่

sinA = sinB = sinC
abc

55
กฎของโคไซน์

ในรูปสามเหลยี่ ม A, B, C เปน็ จดุ ยอดของรูปสามเหลย่ี มทมี่ คี วามยาวของดา้ นซึ่งอยตู่ รงขา้ มมมุ A, B,
C เทา่ กบั a, b, c ตามลำดบั จะไดว้ ่า

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A หรอื
b2 = a2 + c2 - 2accosA หรอื
c2 = a2 + b2 - 2abcosA

สรปุ ขน้ั ตอนการทำโจทย์ปญั หาการหาความยาวของดา้ นหรอื มมุ ของสามเหลยี่ มใดๆ โดยใช้กฎของไซน์
และโคไซน์

1. อา่ นโจทยใ์ ห้เขา้ ใจว่าโจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ า้ ง และโจทยต์ ้องการใหเ้ ราหามมุ หรอื ดา้ นใด
2. นำสิง่ ท่ีโจทยก์ ำหนดใหม้ าเขียนรูปสามเหลยี่ ม ABC กำหนดมมุ และดา้ น โดยลงมมุ และด้านตามที่โจทย์

กำหนด
3. พิจารณาความสัมพันธ์ของด้านหรอื มุมที่โจทยก์ ำหนดกบั ดา้ นหรอื มมุ ท่โี จทย์ตอ้ งการ เลือกใช้กฎของ

ไซน์หรอื กฎของโคไซนใ์ นการแกโ้ จทย์ปัญหาน้นั
4. แทนคา่ สิง่ ท่ีโจทย์กำหนดให้ลงให้สูตร
5. แก้สมการหาคำตอบทโ่ี จทย์ต้องการ

ตัวอย่างที่ 1 นายหน่มุ เดินไปทางทศิ เหนอื 3 กโิ ลเมตรแลว้ เดนิ ไปในทศิ 45° กับทศิ เหนอื ไปทาง

ตะวันออกอกี 4 กิโลเมตร อยากทราบวา่ เขาอยู่หา่ งจากจุดเร่มิ ต้นเทา่ ไหร่
วิธีทำ จากโจทย์ จะไดร้ ูป

ต้องการหาด้าน b

56

โจทยก์ ำหนด a = 4 , c = 3 เราต้องทราบมุม B จงึ สามารถใชก้ ฎของโคไซนไ์ ด้

หามมุ B

มมุ B = 180 ํ – 45 ํ

= 135 ํ

จากกฎของโคไซน์ b2 = a2 + c2 - 2accosB

แทนค่า a = 4 , c = 3 และมมุ B = 135 ํ ลงในสมการ

จะได้ b2 = (4)2 + (3)2 - 2(4)(3)cos135๐ 
= 16 + 9 – 24cos135 ํ
= 25 – 24(-0.7071)
= 25 + 16.9706

b2 = 41.9706
b = 6.48
ดังนน้ั เขาอยหู่ า่ งจากจดุ เรม่ิ ต้นเปน็ ระยะทาง 6.48 กโิ ลเมตร

ตวั อยา่ งที่ 2 หลงั คาโรงฝกึ งานหลังหนง่ึ ความลาดของหลงั คาเปน็ มุม 25 องศา ความกว้างของโรงฝกึ งาน
12 เมตร (ดังรปู ) จงหาความยาวของจันทัน (AD)

วธิ ีทำ จากโจทย์ เพ่อื ความเขา้ ใจสรา้ งรูปและกำหนดตวั แปร

57

ตอ้ งการหา AD แต่เน่อื งจาก AD = AB + BD

เราทราบ BD แลว้ จงึ ตอ้ งหาคา่ AB (ดา้ น c)

ในรปู สามเหลยี่ ม ABC จะได้ มมุ A = 180 – (25 + 25)

= 180 – 50

= 130

ตอ้ งการหาด้าน c c = a
จากกฎของไซน์ sinC sinA

b sin C

c = sinA

แทนคา่ a = 12 , มุม A = 130 และ มุม C = 25 ลงในสมการ
(12 ) sin 25

จะได้ c = sin130
(12)(0.4226)

= 0.7660

c = 6.62

นน่ั คือ ดา้ น c หรือด้าน AB ยาว 6.62 เมตร

จะได้ ความยาวของจันทัน (AD) = AB + BD

= 6.62 + 1.2

= 7.82

ดงั นัน้ ความยาวของจนั ทนั เท่ากบั 7.72 เมตร 

ตัวอยา่ งท่ี 3 เรือสองลำจอดอยใู่ นทะเล ชายคนหนงึ่ อยบู่ นฝง่ั ห่างจากเรือทงั้ สองลำเป็นระยะทาง 100 เมตร
และ 200 เมตร ถ้ามมุ ระหวา่ งเส้นตรงซงึ่ เป็นแนวสังเกตท่ีเขาดูเรือทง้ั สองลำเท่ากบั 30 องศา
จงหาระยะทางระหวา่ งเรอื ท้ังสอง

วธิ ีทำ จากโจทย์ จะไดร้ ปู

58

ต้องหารหาดา้ น c

จากกฎของโคไซน์ c2 = a2 + b2 - 2abcosC

แทนคา่ มมุ C = 30 , a = 100 , b = 200 ลงในสมการ

จะได้ c2 = (100)2 + (200)2 - 2(100)(200)cos30

= 10,000 + 40,000 – 40,000(0.8660)

= 50,000 – 34,641.0161

c2 = 15,358.9838

c = 123.93

ดังนนั้ ระยะหา่ งระหว่างเรอื ทั้งสองเทา่ กับ 123.93 เมตร 

59

ใบงานท่ี 6 หนว่ ยที่ 3
แผนการจัดการเรียนรแู้ บบบรู ณาการท่ี 10 ท-ป-น 2-0-2
รหัส 20000-1402 วชิ า คณิตศาสตร์อตุ สาหกรรม
ช่อื หนว่ ย การประยุกต์ของอัตราส่วนตรโี กณมติ ิ

สมรรถนะการเรียนรู้
การวัดระยะทาง และความสงู โดยใช้อัตราสว่ นตรีโกณมิติ

ใบงานท่ี 6 เร่ือง การประยุกต์ของอัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ

1. กำหนดสามเหล่ยี ม ABC มมุ A เป็นมมุ ยอดเท่ากบั 85 ํ , มมุ B เทา่ กับ 65 ํ ; sin C มีค่าตรงกับขอ้ ใด

ก. 0.34 ข. 0.50 ค. 0.64 ง. 0.71

2. รูปสามเหลยี่ มหน้าจั่วรปู หน่ึง มมุ ยอดมขี นาด 62 องศา และดา้ นยาวเท่ากนั ยาว 25 เซนตเิ มตร

ฐานของสามเหล่ียมนีย้ าวเทา่ กบั ข้อใด

ก. 12.14 ข. 12.86 ค. 24.27 ง. 25.75

3. รปู สามเหลย่ี ม ABC มมุ B เทา่ กบั 60 องศา ด้าน a ยาว 3 เซนตเิ มตร และดา้ น b ยาว 5.2 เซนตเิ มตร
, ขนาดของมุม A เทา่ กับขอ้ ใด
ก. 90 ข. 75 ค. 60 ง. 30

4. จากข้อ 3. ด้าน c ยาวเทา่ ใด
ก. 3 ข. 4 ค. 6 ง. 15.59

จากรปู ใช้ตอบคำถามขอ้ 5 – 7

5. ด้าน AC ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 5.77 ข. 10 ค. 11.55 ง. 13.34

60

6. มุม ACD ตรงกับข้อใด
ก. 45 ข. 50 ค. 65 ง. 70

7. ด้าน AC ตรงกับขอ้ ใด

ก. 5.77 ข. 9.76 ค. 10 ง. 11.55

8. ณ จดุ หนึ่งอยูห่ า่ งจากตน้ ไม้ 30 ฟุต ถ้ามมุ เงยทีว่ ัดไปยงั ยอดตน้ ไมเ้ ทา่ กบั 60 องศา ต้นไมน้ ้ีสงู กฟ่ี ุต

ก. 34.64 ข. 51.96 ค. 69.28 ง. 86.60

9. ชายคนหนงึ่ ยืนอยทู่ ่ีริมเข่ือนซ่ึงสงู จากระดบั น้ำทะเล 300 เมตรมองเห็นเรือ A และ B เปน็ มุม 30 ํ และ

45 ํ ตามลำดบั จงหาระยะระหว่าง A และ B

ก. 424.26 ข. 173.21 ค. 126.79 ง. 346.41

10. รปู สีเ่ หลี่ยมด้านขนาน ABCD มมี มุ ABC เทา่ กบั 120 องศา ดา้ นประกอบมุมยาว 4 และ 6 ตามลำดับ

เส้นทแยงมมุ เสน้ ยาวของรูปส่ีเหลีย่ มน้เี ทา่ กบั ขอ้ ใด

ก. 8.72 ข. 9.24 ค. 10.12 ง. 12.34

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะ ชดุ ท่ี 1 เร่ืองกฎของไซน์และโคไซน์
ข้อ 1. ตอบ ข.
ข้อ 2. ตอบ ง.
ข้อ 3. ตอบ ง.
ข้อ 4. ตอบ ค.
ข้อ 5. ตอบ ค.
ขอ้ 6. ตอบ ค.
ขอ้ 7. ตอบ ข.
ข้อ 8. ตอบ ข.
ข้อ 9. ตอบ ค.
ขอ้ 10. ตอบ ก.

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 11 61
ชอื่ วชิ า คณติ ศาสตร์อุตสาหกรรม
ช่ือหนว่ ย เมทรกิ ซ์ หน่วยท่ี 4
ชือ่ เรอื่ ง เมทริกซ์ รหัสวิชา 20000–1402
สอนครงั้ ท่ี 21 – 22
หัวข้อเรือ่ ง/งาน จำนวน 2 ชั่วโมง
ภาคทฤษฎี
1. ความหมายของเมทริกซ์
2. ชนิดของเมทริกซ์
3. การเทา่ กันของเมทรกิ ซ์
ภาคปฏบิ ัติ
1. ใบความร้ทู ่ี 6 เรอื่ ง เมทรกิ ซ์
2. ใบงานที่ 7 เร่ือง เมทรกิ ซ์
3. ใบงานที่ 8 เรอื่ ง ชนิดเมทรกิ ซ์

สาระการเรียนรู้
4.1 ความหมายของเมทรกิ ซ์
4.2 ชนดิ ของเมทรกิ ซ์
4.2.1 เมทริกซแ์ ถว
4.2.2 เมทรกิ ซห์ ลัก
4.2.3 เมทริกซศ์ ูนย์
4.2.4 เมทริกซจ์ ัตรุ สั
4.2.5 เมทริกซท์ แยงมุม
4.2.6 เมทริกซเ์ ชิงสเกลาร์
4.2.7 เมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์
4.2.8 เมทริกซส์ ามเหลี่ยมบน
4.2.9 เมทรกิ ซส์ ามเหลย่ี มล่าง
4.3 การเท่ากนั ของเมทริกซ์

สมรรถนะการเรยี นรู้
แสดงความร้เู กยี่ วกบั ความหมาย ชนิด การเท่ากนั เมทริกซ์

62

วัตถุประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม
1. มคี วามรู้ ความเขา้ ใจ เกดิ ความคิดรวบยอดเกยี่ วกับเมทรกิ ซ์
2. มที ักษะ กระบวนการคิด และดำเนนิ การเกยี่ วกับเมทรกิ ซ์
3. นำความรู้ และทักษะที่ได้จากการเรยี นรูเ้ ร่อื งเมทรกิ ซ์ไปใชแ้ ก้ปญั หาในสถานการณจ์ รงิ ตลอดจน

นำไปประยุกตใ์ ช้ ในอาชพี และการดำรงชวี ติ ได้
4. มีเจตคติท่ีดีตอ่ การเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์

ดา้ นคณุ ธรรม จริยธรรม/บูรณาการปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพียง
แสดงออกด้านความสนใจใฝร่ ู้ การตรงตอ่ เวลา ความซ่ือสตั ย์ สุจรติ ความมนี ำ้ ใจ และแบ่งปนั

ความร่วมมือ/ยอมรับความคิดเหน็ สว่ นใหญ่

กิจกรรมการเรยี นรู้
1. ครูนำเขา้ สู่บทเรยี น และครแู จง้ จุดประสงค์การเรียน
2. เตรียมความพร้อม
3. ครูสอนสาระการเรียนรู้เรื่อง ความหมายของเมทริกซ์ ชนิดของเมทริกซ์ และการเท่ากันของเมท

ริกซ์
4. นกั เรยี นทำใบงานที่ 7 และใบงานที่ 8
5. ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกันเฉลยใบงาน และรว่ มอภปิ รายสรุปบทเรียน

งานทมี่ อบหมาย
งานท่ีมอบหมายนอกเหนือเวลาเรยี น ใหท้ ำแบบฝึกหัดให้เรียบรอ้ ย ถกู ต้อง สมบรู ณ์ และนำมาสง่ ใน

คร้งั ต่อไป

ผลงาน/ชนิ้ งาน/ความสำเร็จของผู้เรยี น
1. ผลการทำ ใบงานท่ี 7 และใบงานท่ี 8

ส่ือ และแหล่งการเรยี นรู้
1. ส่ือการเรียนรู้ หนังสอื เรียนคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมหน่วยท่ี 4
2. แหล่งการเรยี นรู้ หนงั สือ คู่มือหนังสือเรียน หรือ อนิ เทอรเ์ นต็ www.google.com

การวดั และการประเมนิ ผล
1. ใบงานที่ 7 เกณฑ์ผา่ น 60 ขนึ้ ไป
2. ใบงานท่ี 8 เกณฑผ์ า่ น 60 ข้ึนไป

ใบความรู้ท่ี 6 63
แผนการจดั การเรียนรูแ้ บบบรู ณาการท่ี 11
รหัส 20000-1402 วชิ า คณติ ศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม หนว่ ยท่ี 4
ชอ่ื หน่วย เมทริกซ์ สอนครงั้ ที่ 1-2
จำนวนชั่วโมง 2 ช่วั โมง

สาระการเรียนรู้
1. ความหมายของเมทรกิ ซ์
2. ชนิดของเมทรกิ ซ์
3. การเทา่ กันของเมทริกซ์

สมรรถนะการเรยี นรู้
แสดงความรู้เกย่ี วกับความหมาย ชนิด การเท่ากนั เมทรกิ ซ์

ใบความรูท้ ี่ 6 เรื่อง เมทรกิ ซ์

เมตรกิ ซ์

1. ความหมายและสัญลักษณข์ องเมตริกซ์

นกั เรยี นอาจจะเคยพบขอ้ มลู ทเ่ี ก่ียงขอ้ งกบั จำนวน ซง่ึ มกี ารจดั จำนวนทป่ี รากฏในขอ้ มลู ใหเ้ รยี งเปน็ แถว
เพ่อื สะดวกใน

การศึกษาขอ้ มูลนนั้

ตัวอย่างเชน่ ขอ้ มลู เก่ยี วกบั จำนวนพนักงานของบริษัทแห่งหนง่ึ แยกตามเงนิ เดือนและตามเพศ ดงั
ตารางตอ่ ไปน้ี

เงนิ เดอื น ตำ่ กว่า 8,000 8,001 – 10,001 – สูงกวา่ 12,000
เพศ 10,000 12,000

ชาย 25 48 30 18
หญิง 20 36 32 18

ถ้าเรานำตวั เลขเฉพาะในสว่ นทแ่ี รเงา ซึ่งมี 2 แถว(Row) และ 4 หลัก (Column) มาเขียนภายในวงเลบ็
( ) หรอื [ ] จะได้

64

ดงั น้ี

 25 48 30 18  หรือ 25 48 30 18
20 36 32 18 20 36 32 18

เราจะเรียกสงิ่ ที่เขยี นใหมน่ ี้วา่ เมตริกซ์ และเรียกจำนวนแตล่ ะจำนวนในเมตรกิ ซ์ว่า สมาชิกของ

เมตริกซ์

บทนิยาม 1 การจดั เรียงจำนวนให้เปน็ แถว แต่ละแถวมจี ำนวน ๆ เท่า ๆ กนั ภายในวงเลบ็ ( ) หรือ [ ]
เรยี กวา่ เมตรกิ ซ์ แตล่ ะ

จำนวนในเมตริกซ์ เรยี กว่า สมาชิกของเมตรกิ ซ์

การเรียกชือ่ เมตรกิ ซ์ โดยปกตแิ ล้วเราจะใชอ้ ักษรภาษาองั กฤษตัวพมิ พใ์ หญแ่ ทนชอ่ื ของเมตรกิ ซ์ เชน่
เมตรกิ ซ์ A

เมตรกิ ซ์ B เปน็ ต้น

สมาชกิ ของเมตรกิ ซ์ที่เรยี งกนั อยู่ตามแนวนอน เรยี กว่าสมาชิกที่อยใู่ นแถว(row)ของเมตริกซ์ แต่ละ
เมตริกซจ์ ะมีกแี่ ถวกไ็ ด้

สมาชกิ ของเมตริกซท์ ี่เรียงกนั อยตู่ ามแนวดิง่ เรียกวา่ สมาชกิ ท่อี ยใู่ นหลกั (column)ของเมตรกิ ซ์ แตล่ ะ
เมตริกซจ์ ะมกี แี่ ถวกไ็ ด้

ตวั อยา่ งเชน่

(1) A = 2 3 A เปน็ เมตริกซ์ท่ีมี 2 แถว และ มี 2 หลกั
4 0  B เป็นเมตรกิ ซ์ท่ีมี 2 แถว และ มี 3 หลกั
C เป็นเมตรกิ ซท์ ี่มี 1 แถว และ มี 4 หลัก
(2) B = 1 1 3
0 4 6

(3) C = 2 5 −3 1

 8
−1 
(4) D =  D เปน็ เมตรกิ ซ์ทมี่ ี 4 แถว และ มี 1 หลัก
 0 

 1


(5) E = −1 E เป็นเมตรกิ ซ์ทมี่ ี 1 แถว และ มี 1 หลกั

65

2. มติ ขิ องเมตรกิ ซ์

บทนิยาม 2 ถา้ A เป็นเมตรกิ ซ์ท่มี ี m แถว และมี n หลกั จะเรียก A วา่ มี มติ ิ m  n (อา่ นว่า เอ็มคณู เอน็ )
เช่น

(1) A = 2 3 A มีมติ ิ 2  2 หรือเป็น 2  2 เมตรกิ ซ์
4 0  B มมี ิติ 2  3 หรอื เป็น 2  3 เมตริกซ์
C มีมติ ิ 1  4 หรอื เปน็ 1  4 เมตริกซ์
(2) B = 1 1 3
0 4 6

(3) C = 2 5 −3 1

 8
−10 
(4) D =  D มมี ติ ิ 4  1 หรอื เปน็ 4  1 เมตริกซ์

 1


(5) E = −1 E มมี ิติ 1  1 หรือเปน็ 1  1 เมตรกิ ซ์

3. การเขยี นเมตริกซ์ในรูปทั่วไป

โดยปกตแิ ล้ว เราจะใชอ้ กั ษรภาษาองั กฤษตัวเขยี นเล็กซึง่ เปน็ อักษรตัวเดยี วกบั ช่อื ของเมตริกซ์แทน
สมาชกิ

ของเมตริกซน์ นั้ เชน่ สมาชิกของเมตรกิ ซ์ A จะใช้อกั ษร a แทน เปน็ ตน้ และเพื่อให้ทราบว่าสมาชิกแตล่ ะตวั อยู่
ในตำแหน่งแถวทเ่ี ท่าใด และหลักท่ีเท่าใด เราจะใช้ดรรชนลี า่ ง(Subscript ij) ตรงมุมลา่ งขวามอื ของสมาชิกตัว
นนั้ เชน่ ถา้ เขียนว่า aij เราทราบทนั ทีว่า สมาชกิ ตัวน้อี ยู่ในตำแหน่งแถวที่ i และหลักท่ี j

ตัวอย่างเชน่ a11 แทนสมาชิกอยใู่ นตำแหน่งแถวที่ 1 และหลักท่ี 1

a12 แทนสมาชกิ อยใู่ นตำแหน่งแถวท่ี 1 และหลกั ที่ 2

a21 แทนสมาชกิ อยใู่ นตำแหน่งแถวท่ี 2 และหลักที่ 1 เปน็ ตน้

ตัวอย่างท่ี 1 จงเขยี นเมตรกิ ซ์ A ซ่งึ มมี ติ ิ 32 ในรูปท่ัวไป

วิธที ำ

A เปน็ เมตรกิ ซท์ ีม่ ี 3 แถว และ 2 หลกั ซงึ มรี ปู ทว่ั ไปดังนี้

66

A = aa1211 a12 
a22 
a31 
a32 

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงเขยี นเมตรกิ ซ์ A ซง่ึ มมี ติ ิ 34 ในรูปทว่ั ไป

วธิ ีทำ

B เป็นเมตรกิ ซ์ที่มี 3 แถว และ 4 หลกั ซงึ มรี ูปทว่ั ไปดังนี้

B = bb1211 b12 b13 b14 
b22 b23 b24 

b31 b32 b33 b34 

ในกรณีทว่ั ๆ ไป ถ้า A มมี ติ ิ mn สัญลกั ษณ์ท่วั ไปของ A เป็นดังนี้

ซ่งึ ต่อไปนี้ อาจจะเขียนอย่างยอ่ ไดว้ า่ A =  aij mn
a11 a12 a13 a14 
ตวั อย่างเชน่  A =aij 24 = a21 a22 a23 a24 

 0 −1 2 3 8

ตวั อย่างที่ 3 กำหนดให้ A = − 2 −3 4 5 7 จงตอบคำถามตอ่ ไปนี้

 6 −6 1 − 4 −8 

1. เมตริกซ์ A มีมตี ิ 35 5. a12 = -1

2. a23 = 4 6. a35 = -8

3. a33 = 1 7. a14 = 3

4. a21 = -2 8. a31 = 6

67

1 เมื่อ i = j
 เม่ือ i  j
ตัวอยา่ งท่ี 4 จงเขยี นเมตริกซ์  A = aij 44 โดยท่ี aij =  0 เม่ือ i  j

−1

วธิ ที ำ

A เป็นเมตริกซท์ ี่มี 4 แถว และ 4 หลัก ซงึ มรี ูปทว่ั ไปดังนี้

a11 a12 a13 a14  1 −1 −1 −1
A = aa3211  0 −−11
a22 a23 a24  = 0 1 −1
a32 a33 a34  0 1

a41 a42 a43 a44  0 0 0 1


ตวั อยา่ งที่ 5 กำหนดให้ A = 2 −1 − 3 , B = − 3 0 5 และ C = −8 1 −7
− 2 1 3 − 5 −2 4   7 9 11

จงตอบคำถามตอ่ ไปนี้

1. a12 + b21 – c22 2. a21 + b13 – c23 3. 2a22 + 10b12 + 3c12

วธิ ีทำ

1. a12 + b21 – c22 = (-1) + (-5) – 9
= -15

2. a21 + b13 – c23 = (-2) + 5 – 11
= -8

3. 2a22 + 10b12 + 3c12 = 2(1) + 10(0) + 3(1)
=2+3
=5

ชนิดของเมทริกซ์
ในหัวข้อน้ีจะพดู ถึงลักษณะและช่อื ของเมทริกซ์บางชนิดทีส่ ำคญั และจะมีบทบาทตอ่ ไปภายหลัง

1. เมทริกซจ์ ัตุรสั (Square matrix)

 บทนิยาม ก็ตอ่ เม่ือ
เมทรกิ ซ์ A = ai j m  จะเปน็ เมทริกซ์จตั รุ ัส m = n

n

แสดงวา่ เมทรกิ ซจ์ ัตรุ สั คอื เมทรกิ ซ์ท่มี จี ำนวนแถวเท่ากบั จำนวนหลัก

68

 ถ้า A = ai j m  n เปน็ เมทรกิ ซจ์ ัตรุ ัส แลว้ เสน้ ทแยงมมุ ทล่ี ากจากมมุ บนซ้ายมอื มายงั มมุ ล่างขวามอื

จะผ่านสมาชิก a11, a22, a33, . . ., ann เสน้ ทแยงมุมนี้เรียกว่า เสน้ ทแยงมุมหลกั (main diagonal)

a 11 a 12 a13 . . . a1n 
a 21 a 22 a 23 . . . a 2n 

a 
A =  31 a 32 a 33 . . . a 3n 


a n1 
an2 an3 . . . a nn 

จะพบวา่ สมาชิกท่ีอยเู่ หนอื เส้นทแยงมมุ หลักทกุ ตวั คอื aij เมือ่ i < j

สมาชกิ ทอ่ี ยใู่ ตเ้ สน้ ทแยงมมุ หลกั ทุกตัว คอื aij เมื่อ i > j

สมาชิกทีอ่ ยบู่ นเสน้ ทแยงมุมหลกั ทุกตัว คือ aij เมือ่ i = j

ตัวอยา่ งของเมทรกิ ซ์จตั รุ สั ไดแ้ ก่

−5 มิติ 11
มติ ิ 22
 1 2 มติ ิ 33
−5 −1
มติ ิ 44
 1 2 3
− 2 
−4 0 

 1 −1 1 

1 3 4 6 เปน็ ตน้
0 −1 −1 5
2 6 1 −5
0 0 5 1

2. เมทรกิ ซศ์ นู ย์ (Zero matrix)

บทนิยาม  ถ้าA= ai j m  เราจะเรียก A วา่ เป็นเมทรกิ ซศ์ นู ย์ กต็ ่อเมอื่ aI j = 0 เม่อื i = 1, 2,
3, …,m
n

และ j = 1, 2, 3, …, n

กล่าวอย่างง่าย ๆ ไดว้ ่า เมทรกิ ซใ์ ดกต็ ามท่มี สี มาชกิ ทกุ ตัวเทา่ กับ 0 หมด เราจะเรียกเมทรกิ ซ์น้นั วา่
เปน็ เมทรกิ ซ์ศนู ย์ ตวั อย่างเช่น

69

0 เป็นเมทรกิ ซ์ศนู ย์ ทมี่ ีมิตเิ ท่ากับ 11

0 0 เปน็ เมทรกิ ซศ์ นู ย์ ทีม่ มี ติ ิเทา่ กบั 22
0 0

0 0 0 เป็นเมทรกิ ซ์ศนู ย์ ที่มมี ิติเทา่ กบั 33
0 0 0
0 0 0

สญั ลกั ษณ์ ถา้ A เป็นเมทรกิ ซศ์ ูนย์ทีม่ ีมิติ m  n เราจะใช้สัญลักษณแ์ ทน A ดังน้ี A = 0

3. เมทรกิ ซส์ ามเหล่ียมด้านบน (Upper triangular matrix)

 บทนยิ าม ถ้า A = ai j m  m เป็นเมทริกซ์จตั รุ สั แลว้ เราจะเรียก A ว่าเปน็ เมทรกิ ซส์ ามเหล่ียม

ดา้ นบนก็ตอ่ เม่อื aij = 0 เมื่อ i > j

จากบทนิยามอาจจะกลา่ วไดว้ ่า เมทรกิ ซ์จัตุรสั ใดก็ตามจะไดช้ อ่ื ว่าเปน็ เมทริกซส์ ามเหลยี่ มดา้ นบนก็
ต่อเมือ่ สมาชิกของ

A ทุกตัวทีอ่ ยู่ใตเ้ สน้ ทแยงมมุ หลักมีคา่ เทา่ กบั 0 สว่ นทีอ่ ยู่บนเส้นทแยงมมุ หลกั หรือเหนอื เสน้ ทแยงมมุ หลักจะมี
คา่ เทา่ กับเท่าไรกไ็ ด้ ตวั อยา่ งของเมทรกิ ซ์สามเหล่ยี มด้านบน ไดแ้ ก่

1 2 1 0 2 5 2 1 0
0 3 0 3  0 1 0 1
, 0 0 4  , 0 0 4
0 0 0 6 เปน็ ต้น
0
0

4. เมทรกิ ซส์ ามเหลี่ยมด้านลา่ ง (Lower triangular matrix)

 บทนิยาม ถา้ A = ai j m  m เปน็ เมทรกิ ซ์จัตุรัส แล้วเราจะเรยี ก A ว่าเปน็ เมทริกซ์สามเหลย่ี ม

ด้านลา่ งกต็ ่อเมือ่ aij = 0

เมอ่ื i < j

ถา้ i < j เราจะได้ว่า aij จะเป็นสมาชกิ ท่อี ยู่เหนอื เสน้ ทแยงมมุ ดงั น้นั จากบทนยิ ามอาจจะกลา่ วได้วา่
เมทรกิ ซจ์ ัตุรสั A

จะได้ชอ่ื ว่าเปน็ เมทรกิ ซส์ ามเหล่ียมด้านบนกต็ อ่ เมอื่ สมาชิกทกุ ตวั ที่อยเู่ หนอื เสน้ ทแยงมุมหลักมคี ่าเทา่ กบั 0
ส่วนที่อยบู่ นเส้นทแยงมุมหลกั หรอื ใตเ้ ส้นทแยงมมุ หลกั จะมคี ่าเท่ากับเทา่ ไรก็ได้ ตวั อยา่ งของเมทริกซ์
สามเหล่ียมด้านล่าง ได้แก่

70

1 0 0 5 0 0 0
0 3 2 1 0 0
1 0 , 2 4 0  , 1 0 4  เปน็ ตน้
2 3  0 1 6 0 
0
0 


บทนยิ าม  ถ้า A = ai j m  m เปน็ เมทรกิ ซจ์ ตั ุรัส แลว้ เราจะเรียก A วา่ เปน็ เมทริกซส์ ามเหลย่ี ม

(triangularu matrix)

ก็ต่อเมื่อA เปน็ เมทริกซส์ ามเหล่ียมด้านบนหรอื สามเหลย่ี มด้านลา่ ง (อย่างใดอยา่ งหน่ึงทงั้
สองอย่าง)

5. เมทรกิ ซ์เฉยี ง

 บทนยิ าม ถ้า A = ai j m  m เปน็ เมทรกิ ซจ์ ัตรุ ัส แลว้ เราจะเรยี ก A วา่ เป็น เมทริกซ์เฉยี ง ก็

ต่อเมือ่ ai j = 0 เมือ่ i  j

แสดงว่า A จะเปน็ เทริกซเ์ ฉียง ก็ตอ่ เมื่อ A เปน็ เทริกซส์ ามเหล่ียมดา้ นบนและเปน็ เมทรกิ ซ์
สามเหลี่ยม

ด้านลา่ ง น่ันคือ สมาชิกทุกตวั ของ A ทีอ่ ย่ใู ตเ้ ส้นทแยงมุมหลัก และอยเู่ หนือเสน้ ทแยงมมุ หลกั มีค่าเทา่ กับ 0
หมดทกุ ตวั ส่วนสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลกั จะมีคา่ เท่าใดกไ็ ด้ ตัวอย่างของเมทรกิ ซ์เฉยี ง ไดแ้ ก่

1 0 0 5 0 0 0
0 3 0 1 0 0
1 0 , 0 0 0  , 0 0 4
0 3  0 0 0 0 เปน็ ตน้
0
6 


 สัญลักษณ์ ถา้ A = ai j m  m เปน็ เมทรกิ ซเ์ ฉียงเราจะเขียนวา่ A = diag(a11, a22, . . ., amm)

6. เมทริกซ์สเกลาร์

บทนยิ าม  ถ้า A = ai j m  m เป็นเมทริกซ์จตั รุ ัส แล้วเราจะเรียก A ว่าเปน็ เมทรกิ ซ์สเกลาร์ ก็
ต่อเมื่อ

1) A = เป็นเมทรกิ ซ์เฉยี ง และ

2) สมาชิกทกุ ตวั บนเสน้ ทแยงมมุ หลกั มีค่าเทา่ กนั

ตวั อย่างของเมทรกิ ซส์ เกลาร์ ได้แก่

71

1 0 , 2 0 0 , 3 0 0 0
0 1 0 2 0 0 3 0 0
0 0 2 0 0 3
หมายเหตุ 0 0 0 0 เป็นต้น

3

1) ถ้า A เปน็ เมทรกิ ซส์ เกลาร์ แลว้ A จะเปน็ เมทริกซ์เฉยี ง (บทกลับไมจ่ ริง)

2) ถา้ A เป็นเมทรกิ ซส์ เกลาร์ แลว้ A จะเปน็ เมทรกิ ซ์สามเหลย่ี ม(บทกลบั ไม่จรงิ )

7. เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ (Identity matrix)

บทนิยาม  ถา้ A = ai j m  m เป็นเมทรกิ ซ์จัตุรสั แลว้ เราจะเรียก A วา่ เป็น เมทรกิ ซ์เอกลักษณ์ ก็
ตอ่ เม่ือ

1) A เป็นเมทริกซส์ เกลาร์ และ

2) สมาชิกทุกตัวบนเสน้ ทแยงมุมหลกั มคี ่าเท่ากบั 1

ตวั อยา่ งของเมทริกซ์เอกลักษณ์ ได้แก่

1 0 , 1 0 0 , 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 เป็นต้น

1

สญั ลักษณ์ ตอ่ ไปนี้จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ In แทนเมทรกิ ซเ์ อกลักษณท์ มี่ ีมติ ิ n  n

หมายเหตุ 1) ถ้า A เปน็ เมทรกิ ซ์เอกลกั ษณ์ แล้ว A จะเป็นเมทรกิ ซส์ เกลาร์ (บทกลบั ไมจ่ รงิ )

2) ถ้า A เป็นเมทริกซ์เอกลกั ษณ์ แล้ว A จะเปน็ เมทรกิ ซเ์ ฉียง (บทกลับไม่จรงิ )

3) ถา้ A เป็นเมทริกซเ์ อกลกั ษณ์ แล้ว A จะเปน็ เมทริกซส์ ามเหลี่ยม (บทกลบั ไม่จรงิ )
8. เมทริกซแ์ บบแถว (Row matrix)

บทนิยาม เมทรกิ ซแ์ บบแถว หมายถึงเมทรกิ ซท์ ่มี ีมติ ิ 1n

หรอื อาจกล่าวได้ว่า เมทรกิ ซแ์ บบแถว คือ เมทรกิ ซท์ มี่ แี ถวเดียว และจะมจี ำนวนหลกั เท่าใดก็
ได้ เชน่

1 2 −1 มมี ตี ิ 13 0 1 0 2 3 มีมีติ 15

1 มีมตี ิ 11 เปน็ เตน้

72

9. เมทริกซ์แบบหลัก (Column matrix)

บทนิยาม เมทริกซ์แบบหลกั หมายถงึ เมทริกซท์ ม่ี ีมติ ิ n  1
แสดงว่า เมทริกซ์แบบหลกั จะตอ้ งเปน็ เมทรกิ ซ์ทมี่ ีหลกั เพยี งหลกั เดยี ว แต่จะมกี แ่ี ถวก็ได้ เชน่

0
1 
1  ,  , 1 เป็นเตน้
2 0
1  2
3 

เมทริกซท์ ่คี วรรจู้ กั เพิม่ เติมอกี มีดงั ต่อไปนี้
1. เมทริกซ์สมมาตร(Symmetric Matrix)
บทนิยาม เมทรกิ ซ์ A จะเปน็ เมทรกิ ซส์ มมาตร(Symmetric Matrix) ก็ต่อเม่ือ At = A-1

3 1 4 3 1 4
เช่น A = 1 2 0 จะได้ At = 1 2 0
4 0 5 4 0 5
เนอ่ื งจาก At = A−1 ดงั น้นั A เป็นเมทริกซ์สมมาตร

ขอ้ สังเกต 1. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สมมาตร จะได้ว่า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส เพราะถ้า A มีมิติ m  n จะได้
A t มมี ิติ

n  m แต่ At = A ดังนั้น m = n

2.
2. เมทริกซเ์ สมือนสมมาตร (Skew Symmetrix Matrix)
3. เมทริกซเ์ ชงิ ต้ังฉาก (Orthogonal Matrix)

73

ใบงานที่ 7 หนว่ ยท่ี 1
แผนการจดั การเรียนรแู้ บบบรู ณาการที่ 11 ท-ป-น 2-0-2
รหัส 20000-1402 วชิ า คณติ ศาสตรอ์ ุตสาหกรรม
ชอ่ื หน่วย สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว

สมรรถนะการเรยี นรู้

แสดงความรู้เกยี่ วกับความหมาย ชนิด การเทา่ กนั เมทรกิ ซ์

ใบงานท่ี 7 เร่ือง เมทรกิ ซ์

1. กำหนดให้ A = 2 4 24 จงหา
6 5 − 4 

(1) มติ ขิ อง A ตอบ …………………………………………

(2) a13 = …………………………………………

(3) a21 = …………………………………………

(4) a22 = …………………………………………

(5) a11 = …………………………………………

(6) a23 = …………………………………………

2. กำหนดให้ A = 1 2 3 −4  , B = 0 −1 2 − 3 และ C = − 3 −4 1 0 จงหา
3 0 5 1  1 0 5 6  − 2 0 0 1

คำตอบในข้อต่อไปนี้

2.1 มิตขิ อง A, B และ C

2.2 (a12 + b12) + c12

2.3 (2 a23 - 3b14) + 5c12

2 −3 1 4 −2
0 −2 3   
3. กำหนดให้ A = aij  = , B = bij  =  2 3  จงหาคำตอบในข้อตอ่ ไปน้ี

− 2 1 

5.1 มิติของ A และ B

5.2 a11b12 + a12b22 + a13b32
5.3 a11b11 + a12b21 + a13b31

5.4 a21b11 + a22b21 + a23b31
5.5 a21b12 + a22b22 + a23b32

…………………………………………………………………

74

ใบงานที่ 8 หน่วยท่ี 4
แผนการจัดการเรยี นรู้แบบบรู ณาการที่ 11 ท-ป-น 2-0-2
รหสั 20000-1402 วิชา คณิตศาสตร์อุตสาหกรรม
ชอ่ื หนว่ ย เมทรกิ ซ์

สมรรถนะการเรียนรู้
1. บอกชนติ ของเมทรกิ ซ์
2. หาค่าการเท่ากันของเมทริกซ์

ใบงานท่ี 8 เรือ่ ง ชนดิ เมทรกิ ซ์

คำชีแ้ จง จงบอกชนดิ ของเมทริกซ์ท่กี ำหนดให้ต่อไปน้ี

1.  1 2 6. 0 1
−1 0 −1 0

ตอบ ………………………………………………………………………………... ตอบ ………………………………………………………………………………...

1 0 0 7. 0 2
0 3
2. 0 1 0

0 0 1

ตอบ ………………………………………………………………………………... ตอบ ………………………………………………………………………………...

3. 0 0 0 0 1 0 0

ตอบ ………………………………………………………………………………... 8. 0 2 0

0 0 3

ตอบ ………………………………………………………………………………...

0 0 0 1

4. 1 9. 0 2 0

0 3 0 0

ตอบ ………………………………………………………………………………... ตอบ ………………………………………………………………………………...

75

5. 0 0 5 0 0
0 0
10. 0 5 0
ตอบ ………………………………………………………………………………...
0 0 5

ตอบ ………………………………………………………………………………...

2. กำหนด A = a 1 และ B = b − a 1 จงหาจำนวนจรงิ a และ b ทท่ี ำให้ A = B
0 b  0 a − b

3. กำหนด A = x + 2y 1 และ B =  3 1 จงหาจำนวนจรงิ a และ b ทท่ี ำให้ A = B
 0 2 2x + 4y 2

…………………………………………………………………………………………………………………………

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 12 76
ชือ่ วชิ า คณิตศาสตรอ์ ุตสาหกรรม
ชื่อหนว่ ย เมทริกซ์ หน่วยท่ี 4
ช่อื เร่ือง เมทรกิ ซ์ รหสั วชิ า 20000–1402
สอนครัง้ ท่ี 23 – 24
จำนวน 2 ชวั่ โมง

หวั ข้อเร่ือง/งาน
ภาคทฤษฎี
4. การบวก และการลบเมทริกซ์
ภาคปฏบิ ัติ
1. ใบความรูท้ ่ี 7 เรื่อง การบวก ลบเมทริกซ์
2. ใบงานท่ี 9 เรือ่ ง การบวก ลบเมทรกิ ซ์

สาระการเรียนรู้
4.4 การบวก และการลบเมทริกซ์
4.4.1 การบวกเมทริกซ์
4.4.2 การลบเมทริกซ์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรู้เกี่ยวกับ การบวก การลบ และการคณู เมทริกซ์

วัตถุประสงคเ์ ชงิ พฤติกรรม
1. มีความรู้ ความเขา้ ใจ เกดิ ความคิดรวบยอดเกีย่ วกบั เมทริกซ์
2. มที ักษะ กระบวนการคดิ และดำเนินการเกี่ยวกบั เมทริกซ์
3. นำความรู้ และทักษะที่ได้จากการเรียนร้เู ร่ืองเมทริกซไ์ ปใช้แกป้ ัญหาในสถานการณ์จริง ตลอดจน

นำไปประยุกตใ์ ช้ ในอาชพี และการดำรงชวี ติ ได้
4. มเี จตคติทีด่ ีต่อการเรยี นรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์

ดา้ นคณุ ธรรม จริยธรรม/บรู ณาการปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง
แสดงออกดา้ นความสนใจใฝ่รู้ การตรงต่อเวลา ความซอื่ สัตย์ สุจรติ ความมนี ้ำใจ และแบ่งปนั

ความรว่ มมือ/ยอมรบั ความคดิ เหน็ สว่ นใหญ่

77

กจิ กรรมการเรยี นรู้ (สปั ดาห์ท่ี 11/18, ชวั่ โมงที่ 21–22/36)
1. ครนู ำเขา้ สู่บทเรียน และครแู จง้ จดุ ประสงค์การเรียน
2. เตรียมความพร้อม ทบทวนเนื้อหาเรื่อง ความหมายของเมทริกซ์ ชนิดของเมทริกซ์ และการเท่ากัน

ของเมทรกิ ซ์
3. ครูสอนสาระการเรียนรู้ เรื่อง การบวก และการลบเมทรกิ ซ์
4. นกั เรยี นทำแบบฝกึ หัดหนว่ ยท่ี 4
5. ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกันเฉลยแบบฝึกหดั และรว่ มอภปิ รายสรปุ บทเรยี น

งานท่ีมอบหมาย
งานที่มอบหมายนอกเหนอื เวลาเรียน ใหท้ ำแบบฝกึ หัดใหเ้ รียบรอ้ ย ถูกต้อง สมบรู ณ์ และนำมาสง่ ใน

ครง้ั ตอ่ ไป

ผลงาน/ชน้ิ งาน/ความสำเร็จของผเู้ รียน
1. ผลการทำ ใบงานที่ 9

สอ่ื และแหลง่ การเรยี นรู้
1. สอื่ การเรยี นรู้ หนงั สือเรียนคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมหนว่ ยที่ 4
2. แหลง่ การเรยี นรู้ หนังสอื คมู่ ือหนังสอื เรยี น หรือ อนิ เทอร์เน็ต www.google.com

การวัดและการประเมินผล
ใบงานท่ี 9 เกณฑผ์ ่าน 50 ขึน้ ไป

ใบความรู้ที่ 7 78
แผนการจัดการเรยี นรูแ้ บบบรู ณาการที่ 12
รหัส 20000-1402 วชิ า คณติ ศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม หนว่ ยท่ี 4
ชื่อหนว่ ย เมทริกซ์ สอนครัง้ ที่ 1-2
จำนวนชวั่ โมง 2 ชว่ั โมง

สาระการเรียนรู้
การบวก และการลบเมทรกิ ซ์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรู้เกยี่ วกบั การบวก การลบ และการคูณเมทรกิ ซ์

ใบความรู้ท่ี 7 เรื่อง การดำเนินการบนเมทรกิ ซ์

การดำเนนิ การบนเมทริกซ์

การดำเนินการ (operations) บนเมทรกิ ซท์ ี่จะกล่าวได้แก่ การบวกของเมทริกซ์ การลบของเมทริกซ์ การ
คูณเมทริกซ์ดว้ ยจำนวนจริง

และการคณู เมทรกิ ซ์ด้วยเมทริกซ์

1. การเทา่ กันของเมทรกิ ซ์

บทนยิ าม    เมทริกซ์A = aij n และ B= bi j จะเปน็ เมทริกซท์ ่เี ทา่ กนั (เขยี นแทนด้วย A
m
pq

= B) กต็ ่อเมอ่ื

1) m = p และ n = q และ

2) ai j = bij สำหรบั I = 1, 2, . . ., m และ j = 1, 2, . . ., n
น่ันคอื A = B กต็ ่อเม่ือ

1) A และ B มมี ติ เิ ดยี วกนั

2) สมาชิกของ A และ B ซ่ึงอยู่ตำแหนง่ เดยี วกันเทา่ กนั ทกุ ตวั

ถา้ ขาดคณุ สมบัตขิ ้อหน่งึ ขอ้ ใด จะกล่าวว่า A ไมเ่ ทา่ กบั B และเขียนแทนด้วย A  B

79

Ex 1. กำหนดให้ A= 2 9 , B =  4 3 ,  4 3 , D = 2 − 3 จงหาว่าเมทรกิ ซใ์ ดเท่ากันบ้าง
− 1  − 1 0 C = 3 −1 0 − 1 
0  0 

วธิ ที ำ

จะพบว่า

(1) A = B ทงั้ น้เี พราะ 4 = 2, 9 = 3 และสมาชกิ ตวั อน่ื ๆ เทา่ กัน

(2) A  C ทง้ั นเี้ พราะ 9  −3

(3) A  D ทงั้ นี้เพราะ 9  −3

(4) C = D ท้งั นเี้ พราะ 4 = 2,

0 = 0 , 3 −1 = −1 และ-3 = -3

x2 − 1 2 −1  3 2 −1
  B = 0 x − 1 5
Ex 2. จงหาจำนวนจริง x ทีท่ ำใหเ้ มทริกซ์ A = B เมอ่ื กำหนด A =  0 1 5  , 6 8 

2x + 1 6 8 5

วิธที ำ

กอ่ นอื่นเราจะตอ้ งพจิ ารณาสมาชิกของ A และ B ที่ไม่มตี ัวแปร และอยูใ่ นตำแหนง่ เดยี วกันเสยี กอ่ น วา่ เทา่ กนั
หรอื ยงั ซงึ่ ในตวั อย่างน้ีพบวา่ สมาชกิ เหลา่ นเี้ ท่ากนั อย่แู ล้ว

ต่อไปพิจารณาสมาชกิ ท่ีอยใู่ นเทอมของตวั แปร x จะไดว้ า่ A = B ก็ต่อเมื่อ

x2 – 1 = 3 และ 1 = x – 1 และ 2x + 1 = 5

 x2 = 4 และ 2 = x และ 2x = 4

 x = 2, -2 และ x = 2 และ x = 2

ดังน้ัน A = B กต็ ่อเม่อื x = 2

 x 3 + 1 −4 x 0 −4 −1
 5 0 6 5 x −1 6 
Ex 3. ถา้ กำหนดให้ A =  , B = จงหาจำนวนจริง x ทที่ ำให้ A = B

วธิ ที ำ

จากเมทรกิ ซ์ A และ B ทก่ี ำหนดให้ จะไดว้ า่ A = B กต็ อ่ เมอ่ื

x3 + 1 = 0 และ x = – 1 และ 0=x-1

80

 x3 = -1 และ x = -1 และ x = 1

 x = -1 และ x = -1 และ x = 1

จะเหน็ ว่าเงื่อนไขท่ีกล่าวว่า x = -1 และ x = 1 น้นั เปน็ เง่ือนไขทีข่ ัดแยง้ กนั ไม่สามารถหาจำนวนจริง x ทมี่ คี ่าเท่ากบั 1
และในขณะเดยี วกันก็มคี ่าเท่ากับ -1 ได้ แสดวา่ A  B

3 −1 y 

Ex 4. จงหาจำนวนจริง x และ y ทที่ ำให้เมทรกิ ซ์ A และ B ทกี่ ำหนดใหต้ ่อไปนเ้ี ทา่ กนั A = x + 1 0 2 ,

2x − 4 1

3 −1 x 
B = 4 0 y − 1
− 4 1 
6

วิธที ำ

จากเมทริกซ์ A และ B ทก่ี ำหนดให้ จะไดว้ ่า A = B กต็ ่อเมื่อ

y = x และ x + 1 = 4 และ 2 = y – 1 และ 2x = 6

 y = x และ x = 3 และ 3 = y และ x = 3

ดงั นนั้ A = B กต็ ่อเม่อื x = 3 และ y = 3

 x 0 1
 y 2 5 ,
Ex 5. จงหาจำนวนจริง x และ y ท่ที ำให้เมทริกซ์ A และ B ทกี่ ำหนดใหต้ อ่ ไปนเ้ี ทา่ กัน A = − 4

 1 0 6


 x 0 1
B = − 4 
−y 5 

 1 0 6

วธิ ีทำ

จากเมทรกิ ซ์ A และ B ทก่ี ำหนดให้ จะไดว้ ่า A = B กต็ ่อเมอ่ื

x = x และ y2 = − y

 x  0 และ y  0

81

Ex 6. ถา้ กำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนจรงิ โดยที่ x2 – x – 2  0 และ y2 – y – 6  0 และกำหนดเมทริกซ์

5 − 2 1   5 −2 1
A = x 2 − 4 6 
0  , B =  0 6 0

 4 y 2 + 3 − 7 7 4y
− 7

วิธีทำ

จากเมทรกิ ซ์ A และ B ทกี่ ำหนดให้ จะได้ว่า A = B กต็ ่อเมือ่

x2 – x - 2  0 และ x2 - 4 = 0 และ x2 – x - 6  0

และ y2 + 3 = 4y

(x – 2)(x + 1)  0 และ x2 = 4 และ (x – 3)(x + 2)  0

และ y2 -4y + 3 = 0

-1  x  2 และ x = 2, -2 และ (y  -2 หรอื y  3)

และ (y – 3)(y – 1) = 0

 -1  x  2 และ x = 2, -2 และ (y  -2 หรือ y  3)

และ y = 3, 1

ดงั นนั้ A = B กต็ ่อเมือ่ x = 2 และ y = 3

82

ใบงานที่ 9 หน่วยท่ี 4
แผนการจดั การเรยี นรู้แบบบรู ณาการท่ี 12 ท-ป-น 2-0-2
รหสั 20000-1402 วชิ า คณติ ศาสตร์อุตสาหกรรม
ช่ือหนว่ ย เมทริกซ์

สมรรถนะการเรียนรู้
1. การแกส้ มการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว
2. โจทยส์ มการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ใบงานท่ี 9 เรื่อง การบวก ลบเมทริกซ์

1. จงหาผลลัพธ์ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี

1.1 1 2 3 + − 2 −3 −4 + 1 1 1
4 5 6 − 3 −4  −1 −1 −1
− 5 

1.2  5 − 4 − − 4 1  +  3 6
3 2 2 − 4
 0 2 
 

− 2 1  4 1  5 1 
  2 − 3 − −1 3  
1.3 −1 3  +  0 1  
3  2
 4 0

2. จงหาเมทรกิ ซ์ X ท่สี อดคล้องกบั สมการตอ่ ไปน้ี

2.1 2 3 0 + − 4 2 1 + X = 1 0 1
−1 −3   −2  2 1 −1
1   4 0 

2.2 X + 3 1 = 4 5 − 3 4
2 6 − 4 6 − 5 5

…………………………………………………………………………..

83

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 13 หนว่ ยท่ี 4
ชอ่ื วิชา คณติ ศาสตรอ์ ุตสาหกรรม รหัสวิชา 20000–1402
ชือ่ หนว่ ย เมทรกิ ซ์ สอนครง้ั ท่ี 25 – 26
ช่ือเรื่อง เมทริกซ์ จำนวน 4 ชั่วโมง

หัวขอ้ เร่อื ง/งาน
ภาคทฤษฎี
5. การคูณเมทรกิ ซ์ดว้ ยสเกลารห์ รอื จำนวนจริง
6. การคูณเมทรกิ ซด์ ว้ ยเมทรกิ ซ์
ภาคปฏิบตั ิ
1. ใบความรทู้ ่ี 8 เรือ่ ง การคณู เมทรกิ ซ์
2. ใบงานที่ 10 เร่อื ง การคูณเมทริกซ์

สาระการเรียนรู้
4.5 การคูณเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์หรือจำนวนจริง
4.6 การคูณเมทรกิ ซ์ด้วยเมทริกซ์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรเู้ กย่ี วกบั การคณู เมทรกิ ซ์

วตั ถปุ ระสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม
1. มคี วามรู้ ความเขา้ ใจ เกิดความคิดรวบยอดเก่ยี วกับเมทริกซ์
2. มที ักษะ กระบวนการคิด และดำเนินการเกีย่ วกบั เมทรกิ ซ์
3. นำความรู้ และทกั ษะทไ่ี ด้จากการเรยี นรเู้ ร่ืองเมทรกิ ซไ์ ปใช้แกป้ ญั หาในสถานการณจ์ ริง ตลอดจน

นำไปประยุกต์ใช้ ในอาชพี และการดำรงชวี ติ ได้
4. มเี จตคติท่ดี ตี ่อการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์

ดา้ นคณุ ธรรม จริยธรรม/บรู ณาการปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพียง
แสดงออกด้านความสนใจใฝ่รู้ การตรงตอ่ เวลา ความซื่อสัตย์ สจุ ริต ความมีนำ้ ใจ และแบ่งปนั

ความรว่ มมือ/ยอมรับความคิดเห็นสว่ นใหญ่

84

กิจกรรมการเรียนรู้
1. ครูนำเข้าสูบ่ ทเรียน และครูแจ้งจุดประสงค์การเรียน
2. เตรยี มความพร้อม ทบทวนเนือ้ หาเรื่อง การบวก ลบเมริกซ์ และการคูณเมทรกิ ซ์ด้วยสเกลาร์หรอื จำนวนจริง
3. ครูสอนสาระการเรยี นรู้ เร่อื ง การคูณเมทรกิ ซ์ดว้ ยเมทรกิ ซ์
4. นกั เรยี นทำใบงานท่ี 10
5. ครูและนกั เรยี นรว่ มกนั เฉลยแบบฝึกหดั และรว่ มอภปิ รายสรุปบทเรียน

งานที่มอบหมาย
งานทมี่ อบหมายนอกเหนือเวลาเรียน ให้ทำแบบฝกึ หัดใหเ้ รียบรอ้ ย ถกู ตอ้ ง สมบรู ณ์ และนำมาส่งในครั้งตอ่ ไป

ผลงาน/ชนิ้ งาน/ความสำเร็จของผู้เรยี น
1. ผลการทำ ใบงานที่ 10

สือ่ และแหล่งการเรียนรู้
1. ส่ือการเรยี นรู้ หนังสือเรียนคณิตศาสตรอ์ ตุ สาหกรรมหนว่ ยท่ี 4
2. แหล่งการเรียนรู้ หนังสือ คู่มอื หนงั สอื เรียน หรอื อินเทอรเ์ นต็ www.google.com

การวดั และการประเมินผล
ใบงานที่ 10 เกณฑผ์ า่ น 50 ขนึ้ ไป

85

ใบความรูท้ ี่ 8 หน่วยท่ี 4
แผนการจดั การเรียนรู้แบบบรู ณาการท่ี 13 สอนครัง้ ท่ี 1-2
รหสั 20000-1402 วิชา คณติ ศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม จำนวนชัว่ โมง 2 ช่ัวโมง
ชือ่ หนว่ ย เมทริกซ์

สาระการเรยี นรู้
1. การคูณเมทริกซด์ ว้ ยสเกลาร์หรอื จำนวนจรงิ
2. การคณู เมทรกิ ซ์ดว้ ยเมทรกิ ซ์

สมรรถนะการเรยี นรู้
แสดงความร้เู ก่ียวกบั การคูณเมทรกิ ซ์

ใบงานท่ี 8 เรือ่ ง การคณู เมทรกิ ซ์

3. การคณู เมทริกซด์ ้วยจำนวน
 บทนิยาม
ให้ A = aij และ c เป็นจำนวนจริง ผลคณู ของ c และ A จะเขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ cA ซึง่ เปน็

mn

เมทริกซ์

 ทม่ี ีมิติ m  n และนิยามดงั น้ี cA = cai j m  n

86

2 1 3  1 2 2
Ex 1. ถ้ากำหนดให้ A = 1 −1 2 และ B = 2 1 2 จงหาคา่ ของ
1 2 1  2 2 1

2 1 3
1. 3A = 31 −1 1

1 2 2

6 3 9
= 3 − 3 3

3 6 6

1 2 2
2. -4B = − 42 1 2

2 2 1

− 4 −8 −8
= − 8 − 4 − 8

− 8 − 8 − 4

1. 5(A + B)

=  2 1 3 1 2 2 
5 1 −1 1 + 2 1 2 
 1 2 2 2 2 1


=  3 3 5 
5 3 0 3 
 3 4 3


15 15 25
= 15 0 15

15 20 15

87

2. 5A + 5B

2 1 3 1 2 2
= 51 −1 1 +52 1 2

1 2 2 2 2 1

10 5 15  5 10 10
  10 10
=  5 −5 5  + 5

 5 10 10 10 10 5 

15 15 25
= 15 0 15
15 20 15

3. (-2 + 5)A

= 3A

2 1 3
= 31 −1 1

1 2 2

6 3 9
= 3 − 3 3

3 6 6
4. -2A + 5 A

2 1 3 2 1 3
= − 21 −1 1 +51 −1 1
1 2 2 1 2 2

− 4 − 2 − 6 10 5 15
= − 2 2  
2 − +  5 −5 5 

− 2 − 4 − 4  5 10 10

6 3 9
= 3 − 3 3
3 6 6

88

Ex 2. ให้ A = 1 0 , B = 0 1 , C = 1 0 ,
0 1 1 0 0 −1
0 1
D =  1 0 จงหาจำนวนจริง a, b, c และ d ที่ทำให้
−
1 2
aA + bB + cC + dD = 3 4

วิธีทำ

aA + bB + cC + dD = 1 2
3 4
a 10 0 b10 1 +c10 0 d−01 1 1 2
1 + 0 −1 + 0 = 3 4

a 0 + 0 b + c − 0 + 0 d = 1 2
0 a b 0 0 c  − d 0 3 4
a + c b + d 1 2
b − d a − c = 3 4

จะไดว้ ่า a + c = 1 (1)

b+d =2 (2)

b-d =3 (3)

a-c =4 (4)

(1) + (4) จะได้ 2a = 5

a = 5
2
(1) - (4) จะได้ 2c = -3

c = − 3
2
(2) + (3) จะได้ 2b = 5

a = 5
2
(2) - (3) จะได้ 2d = -1

d = − 1
2

89

คุณสมบัตขิ องการคณู เมทริกซ์ดว้ ยจำนวนจริง

1. ถา้ A เปน็ เมทรกิ ซ์ใด ๆ แล้ว 1 × A = A

2. ถ้า A เป็นเมทริกซ์ใด ๆ แล้ว (-1) × A = A

3. ถ้า A เป็นเมทริกซใ์ ด ๆ และ c, d เป็นจำนวนจริง แลว้ (c + d)A = cA + dA

4. ถา้ A เป็นเมทริกซใ์ ด ๆ และ c, d เป็นจำนวนจรงิ แล้ว (cd)A = c(dA) = d(cA)

5. ถ้า A และ B เปน็ เมทริกซท์ ่ีมมี ิตทิ เี่ ทา่ กัน และ c เปน็ จำนวนจรงิ แล้ว c(A + B) = cA + cB

6. ถา้ A เปน็ เมทริกซ์ใด ๆ และ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก แล้ว nA = A + A + A + . . . + A (n เมทรกิ ซ)์

7. ถ้า A เปน็ เมทริกซใ์ ด ๆ แล้ว 0 × A = 0

8. ถ้า C เป็นเมทรกิ ซใ์ ด ๆ แลว้ c × 0 = 0

Ex 3. ให้ A = 1 −1 , B = 2 − 2 , C = 0 4 , D = 3 − 5 จงหาคา่ ของ
0 1 1 3 − 3 2 1 2
1. (2A + 2B) – (3C + 3D) 2. (4A – 5B) + (4C + 5D)

วธิ ีทำ

1. (2A + 2B) – (3C + 3D)

= 2(A + B) - 3(C + D)

= 2 1 −1 + 2 − 32  −3 0 4 + 3 − 5 
0 1 1 − 3 2 1 2
3 − 3 3 −1
= 2 1 4   −3 − 2 4  

= 6 −6 − 9 − 3
2 8  − 6 12
− 3 − 3
=  8 − 4

2. (4A – 5B) + (4C + 5D)

= (4A + 4C) + (5D – 5B)

= 4(A + C) + 5(D – B)

= 4 1 −1 + 0 42  +5 3 − 5 − 2 − 2 
0 1 − 3 1 2  1 3
1 3 1 −3
= 4 − 3 3  +5 0 −1 

90

= 4 12 + 5 −15
−12 12 0 5
9 − 3
= −12 7 

3 −2 0 1 0 0
Ex 4. จงหาเมทริกซ์ X จากสมการ 5X + 21  0 0
0 2  = 1

4 −5 1  0 0 1

วิธที ำ

3 −2 0 1 0 0
5X + 21  = 0 1 0
0 2  0 0 1

4 −5 1 

1 0 0 6 −4 0
= 0 1 0 − 2 
5X 0 4 

0 0 1 8 −10 2 

−5 4 0 
= −2 1 −4
5X

−8 10 −1
4
 −1 15 0 
 5 
2 2 4
X = − 85 − 15 
 5 − 5 
−
 




Ex 5. ให้ A = 2 −5 1 , B = 3 2 0 , C = 1 −1 5 จงหาเมทรกิ ซ์ X จากสมการ
1 0 4  1 0 5 2 −4 0

5 ( X − 2A) = 2{2X − (X + 3B)} + 4C
2
วธิ ที ำ

5 91
2
(X − 2A) = 2{2X − (X + 3B)} + 4C
= 2{2X − X − 3B} + 4C
5 X − 5A = 4X − 2X − 6B + 4C
2 = 5A − 6B + 4C
5 = 10A − 12B + 8C
2 X − 5A

5 X − 4X + 2X
2
5X − 8X + 4X

X = 10A − 12B + 8C

= 1012 −5 1 − 1213 2 0 + 812 −2 5
0 4  0 5 −4 0

= 20 − 50 10 − 36 24 0 + 8 −16 40
10 0 40 12 0 60 16 − 32 0 

= − 8 − 90 50 
 14 − 32 − 20

92

ใบความรู้ที่ 9 หน่วยท่ี 4
แผนการจัดการเรียนรูแ้ บบบรู ณาการที่ 13 สอนครั้งท่ี 1-2
รหัส 20000-1402 วชิ า คณติ ศาสตรอ์ ุตสาหกรรม จำนวนชัว่ โมง 2 ชัว่ โมง
ช่อื หนว่ ย สมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว

สาระการเรียนรู้
การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทรกิ ซ์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรู้เก่ยี วกับการคณู เมทรกิ ซ์

ใบความร้ทู ่ี 9 เรื่อง การคณู เมทริกซ์ด้วยเมทรกิ ซ์

การคณู เมทริกซ์ด้วยเมทริกซอ์ นั ดับแรกทีน่ ักเรียนควรทราบกค็ อื การคูณเมทรกิ ซ์แถวดว้ ยเมทริกซห์ ลกั ซึง่ จะ

นิยามดังนี้

b11 

บทนยิ าม ถา้ A = [a11, a12, . . ., a1n] และ B = b 21  เปน็ เมทรกิ ซท์ ่ีมมี ิติ 1 n และ n  1 ตามลำดบั ผล
 
 

 b n 1 
 

คูณ A ดว้ ย B จะเขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ AB โดยท่ี AB = [a11b11 + a12b21 + . . . + a1nbn1]1  1

หมายเหตุ 1. ขอให้สังเกตมิตขิ อง A และ B จะพบวา่ AB จะหาคา่ ได้กต็ ่อเม่ือ จำนวนหลกั ของ A = จำนวนแถว

ของ B

2. มติ ิของ AB เท่ากับ 1  1

− 3 93
 4
 Ex 1. จงหาผลคณู ของ 1 2

วิธีทำ

   1 − 3
2  4 = (1)(−3) + (2)(4)

= − 3 + 8

= 5

 1

 Ex 2. จงหาผลคูณของ 5 0 − 2 −1
 3
วธิ ที ำ

 1

5 0 − 2 −1
 3

 = (5)(1) + (0)(−1) + (−2)(3)

= 5 − 6

= −1

−1

 Ex 3. จงหาผลคูณของ − 2 − 5  1
2 3  1
−

 0


วธิ ีทำ

−1

  1

− 2 − 5 2 3 −1

 0

 = (−2)(−1) + (−5)(1) + (2)(−1) + (3)(0)

= 2 − 5 − 2 + 0 94

= − 5

 2x 
 
   Ex 4. จงหาค่า x จากสมการ 1  
2 x 1 = x−4

− 3

วธิ ีทำ

 2x 
 
1 2 x  1  = x − 4

− 3

   (1)(2x) + (2)(1) + (x)(−3) = x − 4

2x + 2 − 3x = x − 4

2 − x = x − 4

จะไดว้ า่ 2-x = x–4

2x = 6

x =3

−1

 Ex 5. จงหาค่า x จากสมการ 3 −x −6  −x1 = 0
− 2x 



− x

วิธที ำ

−1

3 −1 −6   = 0
−x − 2x  x 

− x 

 − 3 + x − 6x + 2x2 = 0

 2x2 − 5x − 3 = 0

95

จะได้ว่า 2x2 – 5x – 3 = 0

(2x + 1)(x – 3) = 0

x 3, − 1
2

บทนิยามท่ีจะกล่าวต่อไปนี้ จะนยิ ามการคูณของเมทริกซด์ ้วยเมทรกิ ซ์ซึง่ ไม่จำเป็นตอ้ งเปน็ การคณู เมทรกิ ซ์แถวดว้ ยเมท

รกิ ซ์หลัก

บทนยิ าม ถา้ A = [ai j]m  n และ B = [bi j]n  k ผลคณู AB จะเป็นเมทรกิ ซท์ ม่ี มี ติ ิเท่ากบั m  k สมมตใิ ห้ AB =

C = [Ci j]m  k จะ
ไดว้ ่า cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj
เพอ่ื ความสะดวกในการทำความเข้าใจเกี่ยวกบั ผลคณู ของเมทรกิ ซ์ ดแู ผนภาพประกอบต่อไปนี้

   ai1 b1 j 

 a ip  = c ij

 a11  a1p  bpj 

    b11  b1j  b1n   c11  c1n 
 a ip           c ij  
 a i1     b pj  =   

    b p1 bpn  cm1 cmn 

am1  amp 

หมายเหตุ 1. ผลคณู AB จะคณู กนั ไดก้ ต็ อ่ เมอื่ จำนวนหลกั ของตัวต้ัง = จำนวนแถวของตวั คูณ
2. ผลคณู AB ทเ่ี กิดขึ้น จะมจี ำนวนแถวเท่ากบั จำนวนแถวของตัวต้ัง และมีจำนวนหลกั เทา่ กบั จำนวน

หลักของตัวคณู

นัน่ คือ (m  n)(n  k) = (m  k)

3. ถ้า AB = [ci j]m  n จะไดว้ า่ cij = (แถวท่ี i ของ A) (หลกั ท่ี j ของ B)

Ex 5. จงหาผลคูณของ 2 1  −1 0
0 −1  3 1 
วิธีทำ

2 1 −1 0

0 −1  3 1

=  (2)(−1)+(1)(3) (2)(0)+(1)(1) 
(0)(−1) + (−1)(3) (0)(0) + (−1)(1)

= 1 1 0 2 1 
− 3 −1 1 0 −1

Ex 6. จงหาผลคูณของ −1
 3
วิธที ำ

−1 0 2 1 
 3 1 0 −1

= (−1)(2) + (0)(0) (−1)(1) + (0)(−1)
 (3)(2)+(1)(0) (3)(1)+(1)(−1) 

= − 2 −1
 6 2 

2 1 0  1 0 5 2 1 3
Ex 7. กำหนดให้ A = −1 0 1 2 −1 0 2 1 
1 , B =  2 0 , C = และ D =  จงหาผลคณู
 3 
5 −1
4

ตอ่ ไปนี้

1. AB 2. CB 3. CD

วธิ ีทำ

 2 1 0 1 0
AB = −1   2 2
0 1  

 3 1 5−1 0

=

คณุ สมบัตกิ ารคณู เมทริกซ์

1. คุณสมบัติการเปลยี่ นกลมุ่

ถ้า A = [ai j]m  n, B = [bi j]n  k และ C = [ci j]k  t แลว้ ABC = (AB)C = A(BC)
2. คุณสมบตั กิ ารแจกแจง

การแจกแจงทางซ้ายมอื

ถา้ A = [ai j]m  n, B = [bi j]m  n และ C = [ci j]n  k แลว้ (A +B)C = AC + BC
การแจกแจงทางขวามือ

ถา้ A = [ai j]m  n, B = [bi j]n  k และ C = [ci j]n  k แลว้ A(B + C) = AB + AC

3. ถ้า A = [ai j]m  n, B = [bi j]n  k และ c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ แล้ว c(AB) = (cA)B = A(cB)
บทนิยาม ถา้ A เป็นเมทรกิ ซ์จตั รุ ัสใด ๆ และ n เปน็ จำนวนเต็มบวก แล้ว An = AAA. . .A (n เมทริกซ)์
✓ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 กต็ อ่ เม่อื AB = BA
✓ (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 กต็ ่อเม่ือ AB = BA
✓ (A + B)(A – B) = A2 – B2 กต็ ่อเมื่อ AB = BA

4. คณุ สมบตั ขิ องเมทริกซ์เอกลกั ษณ์

1.1 ถา้ A = [ai j]m  n แล้ว AIn = A

1.2 ถา้ A = [ai j]n  m แล้ว InA = A

1.3 ถ้า A = [ai j]n  n แลว้ AIn = InA = A
5. คณุ สมบตั ิการคณู เทริกซ์เฉยี ง

ถา้ A = diag(a11, a22, . . ., ann) และ B = diag(b11, b22, . . ., bnn) เปน็ เมทริกซ์เฉยี งท่ีมีมติ ิเท่ากันแลว้

AB และ BA จะยงั คงเปน็ เมทรกิ ซ์เฉยี ง โดยท่ี AB = BA = diag(a11b11, a22b22, . . ., annbnn)
( )ถ้า A = diag(a11, a22, . . ., ann) และ
k เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ แล้ว Ak = diag ak , a k ,, a k
11 22 nn

ขอ้ ควรระวงั

1. AB ไม่จำเป็นตอ้ งเท่ากบั BA
2. ถา้ AB = 0 ไมจ่ ำเป็นท่ี A =0 หรอื B=0

3. ถา้ AB = AC โดยท่ี A 0 ไมจ่ ำเปน็ ที่ B = C

4. ถา้ AB = CB โดยท่ี B0 ไม่จำเปน็ ที่ A = C

ใบงานที่ 10 หน่วยที่ 4
แผนการจัดการเรยี นรแู้ บบบรู ณาการท่ี 13 ท-ป-น 2-0-2
รหัส 20000-1402 วชิ า คณติ ศาสตร์อุตสาหกรรม
ชือ่ หน่วย สมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรเู้ กย่ี วกบั การคูณเมทริกซ์
ใบงานท่ี 10 เรื่อง การคณู เมทริกซ์

1. จงหาผลคณู ของเมทริกซ์ต่อไปน้ี

− 3
  1 
1.1 1 2 0 3  1 
 
 
 4 

−1
  1 
1.2 5 −1 4 0  2 
 
 
 5 

2. จงพิจารณาดูวา่ เมทริกซ์ A และ B ท่ีกำหนดให้สามารถหา AB หรอื BA ได้หรือไม่และถา้ หาได้จงบอกมิตขิ อง

ผลคณู

   A = a ij 23 และ B = bij 32

ตอบ ……………………………………………………………………

   2.1 A = aij 33 และ B = bij 34

ตอบ ……………………………………………………………………

   2.2 A = a ij 22 และ B = bij 33

ตอบ ……………………………………………………………………

   2.3 A = aij 35 และ B = bij 43

ตอบ ……………………………………………………………………

   2.4 A = aij 13 และ B = bij 31

ตอบ ……………………………………………………………………

3. จงหาค่าของ AB และ BA (ถา้ หาได)้ เมอ่ื กำหนดเมทริกซ์ A และ B ดังนี้

1 2 −1 1 −1
0 1 3  2 
3.1 A = และ B = 0 2 

1 

− 2 0 1 0 1 −1
1  5 1 6 
3.2 A = −1 1 3  และ B=

 0 − 2

……………………………………………………………….

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 14 หนว่ ยท่ี 4
ชื่อวชิ า คณติ ศาสตร์อตุ สาหกรรม รหัสวิชา 20000–1402
ชอื่ หนว่ ย เมทรกิ ซ์ สอนครงั้ ท่ี 27 – 28
ชอ่ื เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์ จำนวน 2 ช่ัวโมง

หวั ข้อเรอ่ื ง/งาน
ภาคทฤษฎี
7. เมทริกซส์ ลับเปลีย่ น
ภาคปฏบิ ตั ิ
1. แบบทดสอบหลงั เรียน เรือ่ ง เมทรกิ ซ์

สาระการเรียนรู้
4.7 เมทริกซ์สลบั เปล่ยี น

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรเู้ กีย่ วกับเมทริกซส์ ลับเปล่ียน

วัตถุประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม
1. มีความรู้ ความเขา้ ใจ เกิดความคิดรวบยอดเกย่ี วกบั เมทรกิ ซ์
2. มีทักษะ กระบวนการคดิ และดำเนนิ การเก่ียวกับเมทริกซ์
3. นำความรู้ และทกั ษะทีไ่ ด้จากการเรียนรู้เรื่องเมทริกซ์ไปใช้แกป้ ัญหาในสถานการณ์จริง ตลอดจน

นำไปประยุกต์ใช้ ในอาชีพ และการดำรงชวี ิตได้
4. มเี จตคตทิ ี่ดตี ่อการเรยี นรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์

ดา้ นคณุ ธรรม จริยธรรม/บรู ณาการปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง
แสดงออกดา้ นความสนใจใฝ่รู้ การตรงต่อเวลา ความซ่อื สตั ย์ สจุ รติ ความมีนำ้ ใจ และแบง่ ปัน

ความร่วมมือ/ยอมรับความคิดเห็นสว่ นใหญ่

กิจกรรมการเรยี นรู้ (สปั ดาหท์ ่ี 13/18, ชว่ั โมงที่ 25–26/36)
1. ครนู ำเขา้ สบู่ ทเรยี น และครูแจง้ จุดประสงคก์ ารเรียน
2. เตรียมความพร้อม ทบทวนเนอื้ หาเรื่อง การคูณเมทรกิ ซด์ ว้ ยเมทริกซ์
3. ครูสอนสาระการเรยี นรู้ เรอื่ ง เมทริกซส์ ลบั เปลย่ี น
4. นกั เรยี นทำแบบทดสอบหลังเรยี น
5. ครูและนกั เรยี นรว่ มกันเฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน