แผนการจัดการเรียนรู้20000-1402

งานทมี่ อบหมาย
งานท่มี อบหมายนอกเหนือเวลาเรียน ใหท้ ำแบบฝกึ หัดให้เรยี บร้อย ถูกต้อง สมบรู ณ์ และนำมาส่งในครง้ั

ต่อไป

ผลงาน/ชนิ้ งาน/ความสำเร็จของผ้เู รยี น
1. คะแนนแบบทดสอบหลังเรียน (Post–test) หนว่ ยท่ี 4

สอื่ และแหลง่ การเรยี นรู้
1. สื่อการเรยี นรู้ หนังสอื เรียนคณติ ศาสตร์อุตสาหกรรมหนว่ ยท่ี 4
2. แหล่งการเรยี นรู้ หนงั สอื คมู่ อื หนงั สือเรยี น หรอื อนิ เทอรเ์ นต็ www.google.com

การวัดและการประเมินผล
แบบทดสอบหลงั เรียน (Post–test) หนว่ ยท่ี 4 เกณฑผ์ า่ น 50 ขน้ึ ไป

แบบทดสอบหลังเรียนหนว่ ยที่ 4
เมทรกิ ซ์

จุดประสงค์ เพอ่ื ประเมินความรพู้ ื้นฐานในการเรยี นรขู้ องนักเรยี นเกี่ยวกับเร่อื ง “เมทริกซ”์

คำแนะนำ 1. อ่านคำถามต่อไปนี้แลว้ ทำเครอื่ งหมายกากบาท ขอ้ ความทีถ่ ูกทส่ี ดุ ในกระดาษคำตอบ
2. เวลาสำหรับการทำแบบทดสอบ 20 นาที

 3 −1 8 4
 −2 5 7 −5 
1. กำหนดให้ A =  0 −3 2 1  จงหาขนาด A
 
ก. 3 x 4 ข. 4 x 3

ค. 3 x 3 ง. 4 x 4

 −3 5 7 
 6 2 1 
2. กำหนดให้ A =  0 8 9  จงหา a11, a21, a32

ก. –3, 1, 9  ข. 0, 6, 8

ค. –3, 6, 8 ง. –3, 5, 7

 3 x  3 1 
 − 2 y   2 −1 
3. จงหาคา่ x, y, z กำหนดให้  0 1  =  − z cos 
  
0

ก. x = 1, y = –1, z = 0 ข. x = –2, y = –1, z = 1

ค. x = 1, y = –2, z = –2 ง. x = 1, y = –2, z = –3

4. จงหา x และ y กำหนดให้  x+y 5  =  −1 5
 2 2x   2 3x + 2y 

ก. x = –1, y = –2 ข. x = 1, y = –2

ค. x = –2, y = –1 ง. x = –2, y = 1

ใชข้ อ้ มลู ต่อไปน้ี ตอบโจทยข์ อ้ 5 – 7

 2 3  2 3 1 0
 6 3   6 3   0 1 
กำหนดให้ A =  1 −1  B=  1 −1  C =  2 3 
   
 

5. จงหา A + B

ก. 3 6 8 ข. 2 4 5
 2 4 5   3 6 8 

3 2 4 6
   
ค.  6 4  ง.  12 6 
 8 5   2 −2 

6. จงหา A + B – C

ก.  2 6 6  ข.  2 3 2 
 2 3 2   2 6 6 

3 6 2 2
   
ค.  12 5  ง.  6 3 
 0 −5   2 2 

7. จงหา (A – B) – (A – C)

1 6 1 3
   
ก.  6 5  ข.  9 7 
 −1 −4   −1 −4 

5 6  −1 − 3 
   
ค.  3 6  ง.  −6 −2 
 3 9   1 4 

ใชข้ อ้ มูลต่อไปน้ี ตอบโจทย์ ข้อ 8 – 11

กำหนดให้ A =  1 2  และ B =  3 2 
 3 0   4 −1 

8. จงหา AT + BT

ก. 4 7 ข.  4 4
 4 − 1   7 −1 

ค.  7 −1  ง.  −1 4
4 4  7 4 
 
 


9. จงหา A AT

ก. 5 3 ข. 9 3
 3 9   3 5 

ค. 3 9 ง. 3 5
 5 3   9 3 

10. จงหา AT BT

ก. 6 8 ข. 9 6
 9 1   1 8 
9 1
ค.  6 8  ง.  1 8 
 6 9 

11. จงหา 2 (A + B)T

ก. 8 14  ข. 8 8
 8 − 2   14 −2 

ค.  14 −2  ง.  −2 8
8 4  14 8 
 
 


ใชข้ ้อมลู ตอ่ ไปน้ี ตอบโจทย์ ข้อ 12 – 15

 3 2 −1  0 −4  2 1 0  3 
 1 2 0   1 2   1 0 −1   1 
กำหนดให้ A = B=  2 1  C=  5 3 1  D =  4 
     

12. จงหา AB

ก. 0 2 ข. 0 −9
 −9 0   2 0 

 −5   −4 −8 0 
 −7   5 6 −1 
ค.  −8  ง.  7 6 −2 
   

13. จงหา CD

7
 
ก.  −1  ข.  7 −1 22 
 22 

ค.  −11  ง.  −11 −1 
−1  
 
 

14. จงหา AD

ก.  1 −6  ข.  −4 −8 0 
 −2 −5  5 6 −1
−13  7 6 −2 
 5 
   
 

ค.  0 −2  ง. 7
 9 0  5 


15. จงหา ขนาดของเมทรกิ ซ์ BA

ก. [ ... ]2  3 ข. [ ... ]3  3
ค. [ ... ]2  2 ง. [ ... ]2  1

………………………………………………………………

แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 15 หน่วยท่ี 5
ช่อื วชิ า คณติ ศาสตรอ์ ุตสาหกรรม รหสั วชิ า 20000–1402
ช่อื หน่วย ดเี ทอร์มิแนนต์ สอนครัง้ ท่ี 29 – 30
ช่อื เร่ือง ดีเทอรม์ แิ นนต์ จำนวน 2 ชว่ั โมง

หวั ขอ้ เรื่อง/งาน
ภาคทฤษฎี
1. ความหมายของดเี ทอร์มิแนนต์
2. การหาคา่ ดเี ทอรม์ ิแนนต์โดยวธิ ีคูณทแยง
ภาคปฏิบตั ิ
1. ใบความร้ทู ี่ 10
2. ใบงานท่ี 11 เรอื่ ง ดีเทอร์มิแนนต์

สาระการเรยี นรู้
5.1 ความหมายของดเี ทอรม์ แิ นนต์
5.2 การหาค่าดเี ทอรม์ ิแนนต์โดยวธิ คี ณู ทแยง
5.2.1 การหาดเี ทอรม์ แิ นนต์ของเมทริกซอ์ นั ดับ 2 หรือ เมทริกซม์ ติ ิ 2 x 2
5.2.2 การหาดเี ทอร์มิแนนตข์ องเมทรกิ ซ์อันดบั 3 หรือ เมทริกซ์มติ ิ 3 x 3

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรเู้ กีย่ วกบั ความหมาย การหาคา่ ดเี ทอร์มิแนนต์โดยวิธีคณู ทแยง

วตั ถุประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม
1. มคี วามรู้ ความเขา้ ใจ เกดิ ความคดิ รวบยอดเกย่ี วกับดเี ทอร์มแิ นนต์
2. มีทักษะ กระบวนการคิด และดำเนนิ การเกย่ี วกบั ดเี ทอร์มิแนนต์
3. นำความรู้ และทักษะทไี่ ดจ้ ากการเรียนรเู้ รอื่ งดีเทอรม์ แิ นนต์ ไปใช้แกป้ ญั หาในสถานการณ์จริง ตลอดจน

นำไปประยกุ ตใ์ ช้ ในอาชพี และการดำรงชวี ติ ได้
4. มเี จตคตทิ ด่ี ีตอ่ การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์

ดา้ นคณุ ธรรม จริยธรรม/บรู ณาการปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพียง

แสดงออกดา้ นความสนใจใฝร่ ู้ การตรงต่อเวลา ความซือ่ สัตย์ สุจริต ความมีนำ้ ใจ และแบง่ ปัน
ความร่วมมอื /ยอมรบั ความคดิ เห็นสว่ นใหญ่

กจิ กรรมการเรียนรู้
1. ครนู ำเข้าสบู่ ทเรยี น และครแู จ้งจดุ ประสงค์การเรียน
2. เตรียมความพรอ้ ม ทบทวนเน้ือหาเรื่อง เมทริกซ์
3. ครูสอนสาระการเรียนรู้ เรื่อง ความหมายของดีเทอร์มิแนนต์ การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์โดยใช้วิธีคูณ

ทแยง
4. นกั เรยี นทำใบงานท่ี 11
5. ครแู ละนักเรยี นรว่ มกันเฉลยแบบฝกึ หัด และร่วมอภิปรายสรุปบทเรยี น

งานทีม่ อบหมาย
งานท่ีมอบหมายนอกเหนอื เวลาเรียน ใหท้ ำแบบฝกึ หัดใหเ้ รยี บรอ้ ย ถูกตอ้ ง สมบรู ณ์ และนำสง่ ในครั้ง

ตอ่ ไป

ผลงาน/ชนิ้ งาน/ความสำเรจ็ ของผู้เรยี น
1. ผลการทำ ใบงานท่ี 11

ส่อื และแหลง่ การเรยี นรู้
1. ส่ือการเรยี นรู้ หนังสือเรียนคณิตศาสตรอ์ ุตสาหกรรมหน่วยท่ี 5
2. แหล่งการเรียนรู้ หนงั สอื คู่มอื หนงั สอื เรียน หรือ อินเทอร์เนต็ www.google.com

การวัดและการประเมินผล
ใบงานที่ 11 เกณฑผ์ า่ น 50 ขน้ึ ไป

ใบความรทู้ ่ี 10 หน่วยท่ี 5
แผนการจัดการเรยี นรูแ้ บบบรู ณาการที่ 15 สอนครงั้ ท่ี 1-2
รหัส 20000-1402 วชิ า คณติ ศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม จำนวนชั่วโมง 2 ชวั่ โมง
ชือ่ หนว่ ย ดีเทอรม์ แิ นนต์

สาระการเรยี นรู้
1. ความหมายของดีเทอร์มแิ นนต์
2. การหาคา่ ดเี ทอรม์ ิแนนตโ์ ดยวธิ ีคูณทแยง

สมรรถนะการเรยี นรู้

แสดงความรเู้ ก่ยี วกับความหมาย การหาค่าดีเทอร์มแิ นนต์โดยวธิ คี ณู ทแยง

ใบความร้ทู ่ี 10 เร่ือง ดเี ทอร์มนิ นั ต์ (Determinant)

กำหนดให้ A = a ij  ดเี ทอร์มินนั ตข์ อง A จะเขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ det(A) หรอื A หรือ

nn a11 a12  a1n

a 21 a 22  a 2n

 

a n1 a n2  a nn

บทนยิ าม ถ้า A = [a] เปน็ เมทรกิ ซ์ทม่ี ีมติ ิ 11 แล้ว det(A) = a

บทนิยาม ถา้ A = a b เปน็ เมทรกิ ซ์ท่มี ีมิติ 22 แล้ว det(A) = ad – bc
c d

จากบทนิยาม อาจจะสรุปได้ว่า ถา้ A เปน็ เมทรกิ ซ์ 22 แลว้ ดีเทอรม์ ินันต์ของ A จะเท่ากบั

ผลต่างของผลคณู ทแยง ดังน้ี

A = a b
c d

= ad – bc

a b c
ถา้ A = d 
บทนยิ าม e f  เป็นเมทริกซท์ ่ีมีมิติ 33 แลว้

g h i

= aed + bfg + cdh – gec – hfa - idb

Ex 1. จงหาดีเทอร์มินันตข์ องเมทริกซต์ อ่ ไปนี้

1. A =5 7. A = 3 0
0 − 2
2. A =−10

3. A =0 2 5 2
 
4. A = 2 1 8. A =  1 −3 1 
1 3
3 4 −1 1 −5
− 2 5
5. A = 2 −3 −4

6. A = 4 6 9. A = 1 0 − 2
2 3
0 −5 −6

Ex 2. จงหาจำนวนจรงิ x ทีส่ อดคลอ้ งกบั สมการตอ่ ไปนี้

x 14

1. 3 11 = 2

2x1

2. 1 0 1 = 0

342

 2 x 2
Ex 3. ถา้ กำหนดให้ A = −1 x2 2 จงหาจำนวนจรงิ x ทที่ ำให้ det(A)  0
 4 x3 2
1 −2 2 4
Ex 4. กำหนดให้ A = 3 −1 , B = 1 1 จงหาคำตอบในขอ้ ตอ่ ไปนี้

1. det(A)

2. det(A t )

3. det(AB)

4. det(A)det(B)

5. det(5A)

6. 52 det(A)

7. det(A−1 )
1
8. det( A )

1

สมบัตขิ องดเี ทอรม์ นิ นั ต์

1. ถา้ A เป็นเมทรกิ ซจ์ ตั ุรัสใด ๆ แลว้ det( A)=det(At )

2. ถ้า A เปน็ เมทรกิ ซจ์ ตั ุรสั ที่มีสมาชิกทกุ ตวั แถวใดแถวหน่ึง(หรือหลักใดหลักหนึ่ง) เทา่ กบั 0 แล้ว

det( A) = 0

3. ถา้ A เป็นเมทริกซจ์ ัตรุ ัสทมี่ สี มาชิกในแถว 2 แถว(หรอื 2 หลกั ) ซำ้ กนั แล้ว det( A) =0

4. ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตรุ สั และ B เป็นเมทรกิ ซ์อนั เกดิ จาก A โดยการสลับกนั ระหวา่ งแถวคู่ใดคู่หน่งึ (หรอื

หลักใดหลักหนึง่ ) ของ A เพยี งคู่เดียว แล้ว det( B) = − det( A)

5. ถา้ A เป็นเมทรกิ ซ์จตั รุ สั และ B เปน็ เมทริกซอ์ ันเกดิ จาก A โดยการสลบั กนั ระหวา่ งแถว(หรอื หลัก)

จำนวน k คู่ แล้ว det( B) =(−1)k det( A)

6. ถ้า A เป็นเมทรกิ ซจ์ ัตุรัสและ B เป็นเมทริกซท์ ค่ี ูณแถวใดแถวหนงึ่ (หรอื คูณหลกั ใดหลกั หนึ่ง) ของ A

ดว้ ยจำนวนจริง k แล้ว det( B) = k det( A)

7. ถา้ A เปน็ เมทริกซ์จัตรุ ัสท่มี มี ติ ิ nn และ k เปน็ จำนวนจรงิ แล้ว det(kA)= k n det( A)

8. ถ้า A เปน็ เมทรกิ ซ์จัตรุ ัสและ B เป็นเมทรกิ ซอ์ ันเกดิ จาก A โดยนำจำนวนจริง k ไปคูณแถวใดแถวหนง่ึ

(หรอื หลักใดหลักหนึ่ง) ของ A แล้วนำผลทไ่ี ด้ไปบวกกับแถวอื่น(หรอื หลกั อ่นื ) ของ A จะได้

det( B) = det( A)

9. ถา้ A เปน็ เมทริกซ์จัตรุ สั และ B เปน็ เมทรกิ ซ์อันเกดิ จากการบวกหรอื การลบกนั ระหวา่ งแถว(หรือ

ระหวา่ งหลกั ) ของ A แล้ว det(B) = det(A)

10. ถ้า A เปน็ เมทรกิ ซจ์ ตั ุรัส โดยสมาชกิ ในแถวใดแถวหนึง่ (หรอื หลกั ใดหลกั หนง่ึ ) เท่ากบั ผลบวกหรอื

ผลตา่ งของอกี 2 แถว (หรอื ของอีก 2 หลกั ) ของ A แล้ว det(A) =0

11. ถ้า A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส โดยมสี มาชกิ ในแถวใดแถวหนงึ่ (หรอื หลกั ใดหลักหนึง่ ) ของ A ซ่ึงสมมตใิ ห้

เป็นแถวที่ k เขยี นอยใู่ นรปู ผลบวกของจำนวน 2 จำนวนแลว้ det(A) = det(A1 )+ det(A2 ) โดยท่ี

- แต่ละแถวของ A1 และ A2 ยกเวน้ แถวที่ k จะเหมอื นกับแตล่ ะแถวของ A
- แถวท่ี k ของ A1 คอื จำนวนหนง่ึ ของแถงท่ี k ของ A และแถวที่ k ของ A2 คอื อกี จำนวนหนึ่งของ

แถวที่ k ของ A

12. ถ้า  A = aij nn เป็นเมทรกิ ซ์สามเหลยี่ มแล้ว det(A) =a11 a12 a22 ann (ผลคณู ของสมาชกิ บนเสน้

ทแยงมุมหลัก)

13. ถ้า A และ B เปน็ เมทริกซท์ ่มี ีมิติ nn แล้ว det(AB) = det(A) + det(B)

14. ถ้า A เปน็ เมทรกิ ซจ์ ตั รุ สั แลว้ A จะเปน็ เมทริกซ์นอนซงิ กลู าร์ กต็ ่อเมอื่ det(A) 0

15. ถ้า A เป็นเมทริกซ์นอนซงิ กลู าร์ แลว้ det(A−1 )= 1
det( A )

2

ใบงานที่ 11 หนว่ ยที่ 5
แผนการจดั การเรียนรู้แบบบรู ณาการท่ี 15 ท-ป-น 2-0-2
รหัส 20000-1402 วชิ า คณิตศาสตรอ์ ุตสาหกรรม
ชื่อหนว่ ย ดเี ทอรม์ ิแนนต์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรู้เกย่ี วกับความหมาย การหาค่าดีเทอร์มแิ นนต์โดยวธิ คี ณู ทแยง

ใบงานที่ 11 เรอ่ื ง ดีเทอร์มิแนนต์

1. จงหาดเี ทอร์มนิ นั ต์ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ 1.2 5 −6
4 3
34
67 0
1.1 9 − 7
1.4 0 − 9 2
345
4 0 −5
1.3 2 1 4

321

−3 5 1

1.5 − 4 1 3

3 10

2. กำหนดให้ A = 1 2 , B = 1 − จงหาคำตอบในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้
3 4 4 − 1

2.1 det(A)

2.2 det(B)

2.3 det(A + B)

2.4 det(A) + det(B)

2.5 det(AB)

………………………………………………………

3

แผนการจัดการเรียนรูท้ ่ี 16 หนว่ ยที่ 5
ชื่อวิชา คณิตศาสตร์อตุ สาหกรรม รหัสวชิ า 20000–1402
ชือ่ หน่วย ดีเทอรม์ ิแนนต์ สอนคร้ังที่ 31 – 32
ช่ือเรือ่ ง ดเี ทอรม์ แิ นนต์ จำนวน 2 ช่ัวโมง

หัวข้อเรื่อง/งาน
ภาคทฤษฎี
2. การหาค่าดเี ทอร์มแิ นนตโ์ ดยวิธคี ณู ทแยง
3. สมบตั ิของดเี ทอรม์ ิแนนต์
ภาคปฏบิ ตั ิ
-

สาระการเรยี นรู้
5.2 การหาคา่ ดเี ทอร์มแิ นนต์โดยวิธีคูณทแยง
5.2.1 การหาดเี ทอร์มแิ นนต์ของเมทริกซอ์ นั ดบั 2 หรอื เมทรกิ ซ์มิติ 2 x 2
5.2.2 การหาดีเทอรม์ ิแนนต์ของเมทรกิ ซอ์ ันดับ 3 หรือ เมทรกิ ซ์มิติ 3 x 3
5.3 สมบตั ิของดเี ทอรม์ ิแนนต์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรู้เกี่ยวกับความหมาย การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์โดยวิธีคูณทแยง และสมบัติของดีเทอร์

มิแนนต์

วัตถปุ ระสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม
1. มีความรู้ ความเข้าใจ เกิดความคิดรวบยอดเก่ยี วกบั ดีเทอร์มิแนนต์
2. มีทักษะ กระบวนการคดิ และดำเนินการเก่ียวกบั ดีเทอรม์ ิแนนต์
3. นำความรู้ และทักษะที่ได้จากการเรียนรู้เรื่องดีเทอร์มิแนนต์ ไปใช้แก้ปัญหาในสถานการณ์จริง

ตลอดจนนำไปประยกุ ต์ใช้ ในอาชีพ และการดำรงชีวิตได้
4. มีเจตคติที่ดตี อ่ การเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์

ด้านคณุ ธรรม จรยิ ธรรม/บรู ณาการปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพียง
แสดงออกดา้ นความสนใจใฝ่รู้ การตรงต่อเวลา ความซ่อื สตั ย์ สจุ ริต ความมีนำ้ ใจ และแบ่งปนั

ความรว่ มมอื /ยอมรับความคดิ เห็นส่วนใหญ่

4

กจิ กรรมการเรียนรู้
1. ครูนำเข้าสบู่ ทเรียน และครแู จง้ จดุ ประสงคก์ ารเรียน
2. เตรียมความพร้อม ทบทวนเนื้อหาเรื่อง ความหมายของดีเทอร์มิแนนต์ และการหาดีเทอร์มิแนนต์

โดยใชว้ ธิ ีคณู ทแยง
3. ครสู อนสาระการเรียนรู้ เรอื่ ง สมบัติของดเี ทอรม์ ิแนนต์
4. นกั เรยี นทำแบบฝกึ หัดหนว่ ยท่ี 5
5. ครแู ละนักเรียนร่วมกันเฉลยแบบฝกึ หดั และรว่ มอภปิ รายสรุปบทเรียน

งานทม่ี อบหมาย
งานทมี่ อบหมายนอกเหนือเวลาเรียน ใหท้ ำแบบฝึกหดั ใหเ้ รยี บร้อย ถกู ต้อง สมบรู ณ์ และนำส่งในครง้ั

ตอ่ ไป

ผลงาน/ชน้ิ งาน/ความสำเร็จของผเู้ รยี น
1. ผลการทำ และนำเสนอแบบฝกึ หัดหน่วยท่ี 5

ส่ือ และแหล่งการเรยี นรู้
1. สอ่ื การเรยี นรู้ หนงั สอื เรยี นคณิตศาสตร์อตุ สาหกรรมหน่วยท่ี 5
2. แหล่งการเรยี นรู้ หนงั สอื ค่มู อื หนงั สอื เรยี น หรือ อนิ เทอรเ์ น็ต www.google.com

การวดั และการประเมนิ ผล

ใบความรูท้ ่ี 11 5
แผนการจัดการเรยี นร้แู บบบรู ณาการท่ี 16
รหสั 20000-1402 วชิ า คณิตศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม หนว่ ยที่ 6
ชือ่ หนว่ ย การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ โดยใช้เมทรกิ ซ์ สอนครั้งท่ี 1-2
จำนวนชว่ั โมง 2 ช่ัวโมง

สาระการเรียนรู้
การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้กฎคราเมอร์

สมรรถนะการเรยี นรู้
แสดงความรูเ้ ก่ยี วกบั การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชก้ ฎคราเมอร์

ใบความรทู้ ี่ 16 เรอ่ื ง ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

ให้ a, b, c, d, e และ f เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ ที่ a, b ไมเ่ ปน็ ศูนยพ์ ร้อมกัน และ c, d ไม่เป็นศูนย์พรอ้ มกนั

เรียก ax + by =e วา่ ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร โดยที่ x และ y เปน็ ตัวแปร
cx + dy =f

คำตอบของระบบสมการนค้ี ือ จำนวนท่นี ำไปแทน x และ y ในทง้ั สองสมการของระบบสมการน้แี ล้วได้

สมการที่เปน็ จรงิ

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรอาจมคี ำตอบเดยี ว หรอื มหี ลายคำตอบ หรอื ไม่มีคำตอบเลยกไ็ ด้

ในหัวข้อนีจ้ ะศึกษาระบบสมการเชิงเสน้ n ตัวแปร โดยท่ี n เป็นจำนวนเต็มบวกทม่ี ากกว่า 1

บทนิยาม

ให้ a1, a2, a3, . . ., an, b เปน็ จำนวนจริงใด ๆ ท่ี a1, a2, a3, . . ., an ไมเ่ ปน็ ศนู ย์พรอ้ มกัน เรยี กสมการ
a1x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn = b ว่าสมการเชิงเสน้ n ตัวแปรโดยท่ี x1, x2 , x3,. . ., xn เป็นตัวแปร
บทนิยาม

ระบบสมการเชิงเสน้ ทม่ี ี x1, x2 , x3,. . ., xn เป็นตวั แปร หมายถึง ชุดของสมการเชิงเสน้ ทีป่ ระกอบด้วย

สมการเชงิ เสน้ ทม่ี ี x1, x2 , x3,. . ., xn เปน็ ตวั แปร จำนวน m สมการ โดยท่ี m  2
คำตอบของระบบสมการนี้ คือ จำนวน n จำนวนที่นำไปแทนตัวแปร x1, x2 , x3,. . ., xn ในทุก ๆ

สมการตามลำดับ แล้วได้สมการทีเ่ ปน็ จรงิ ทั้งหมด

จากบทนิยามจะเห็นได้ว่า ระบบสมการเชิงเส้นที่มี x1, x2 , x3,. . ., xn เป็นตัวแปรและประกอบด้วย

สมการเชิงเส้น m สมการ (m  2) จะมรี ปู แบบเป็น

a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1

6

a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2

am1x1 + am2 x2 + am3 x3 + . . . + amn xn = bm
เมื่อ ai1x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + . . . + ain xn = bi เปน็ สมการเชิงเสน้ ทุก i{1, 2, 3, . . ., m} และ ai1,
ai2, ai3, . . ., ain bi เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ ท่ี ai1, ai2, ai3, . . ., ain ไม่เป็นศูนยพ์ ร้อมกนั
ในระบบสมการเชงิ เส้นทมี่ ี n ตัวแปร มกั นยิ มแทนตวั แปร ดังน้ี

ถา้ n = 2 แล้วจะให้ x, y เป็นตัวแปร
ถา้ n = 3 แลว้ จะให้ x, y, z เปน็ ตวั แปร
ถ้า n = 4 แล้วจะให้ x, y, z, t เป็นตวั แปร

ถา้ n  5 แลว้ จะให้ x1, x2, x3, . . ., xn เป็นตวั แปร
(เราอาจให้ x1, x2, x3, . . ., xn เป็นตัวแปร กรณี n คอื 2, 3 หรอื 4 ก็ได้)
สำหรับคำตอบของระบบสมการนิยมเขียนในรูปของ n สิ่งอันดับ(Ordered n – tuple) เช่น (x1, x2,
x3, . . ., xn)
ตัวอย่างตอ่ ไปน้ีเปน็ ตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้นท่ีมีคำตอบเดียว มหี ลายคำตอบ และไม่มคี ำตอบ

Ex 1. จงแก้ระบบสมการ 2x + y = 3, 3x – 2y = 8

วธิ ที ำ

2x + y = 3 (1)

3x – 2y = 8 (2)

(1)  2 จะได้ 4x + 2y = 6 (3)

(3) + (2) จะได้ 7x = 14

x=2

แทน x = 2 ในสมการ (1)จะได้ 2(2) + y = 3

4+y=3

y = -1

ดังนั้น คำตอบของระบบสมการคือ (2, -1)

Ex 2. จงแก้ระบบสมการ 4x - 2y = 5, 8x – 4y = 10

วิธีทำ

4x - 2y = 5 (1)

8x – 4y = 10 (2)

จาก (1) จะได้ 2y = 4x – 5

7

y = 4x − 5
2
4x − 5 4x − 5 
แทน y = 2 ในสมการ (2) จะได้ 8x − 4 2  = 10

16x - 16x + 20 = 20

20 = 20 เปน็ จรงิ

แสดงว่า y = 4x − 5 สอดคล้องกับสมการ (1) และ (2)
2
4x − 5
ดังนน้ั คำตอบของระบบสมการ มคี ำตอบมากมาย คือ (x, y) =  x, 2 

xR หรอื เซตของคำตอบของระบบสมการ คอื (x, y) y = 4x − 5 , xR 
 2 

Ex 3. จงแก้ระบบสมการ 4x + 2y = 1, 6x + 3y = 4

วิธที ำ

4x + 2y = 1 (1)

6x + 3y = 4 (2)

(1)  3 จะได้ 12x + 6y = 3 (3)

(1)  2 จะได้ 12x + 6y = 8 (3)

(3) - (4) จะได้ 0 = -5 เป็นเทจ็

แสดงว่าไม่มีคา่ ของ x และ y ที่ทำให้สมการ (1) และ (2) เป็นจริงพรอ้ มกัน

ดังนน้ั ระบบสมการทีก่ ำหนดให้ไม่มีคำตอบ

Ex 4. จงแกร้ ะบบสมการ x + y + z = 6, 2x – 2y + 2z = 4, 3x + 3y – 3z = 0

วธิ ีทำ

x +y+z =6 (1)

2x – 2y + 2z = 4 (2)

3x + 3y – 3z = 0 (3)

(2)  2 จะได้ x – y + z = 6 (4)

8

(3)  3 จะได้ x + y - z = 0 (5)

(4) + (5) จะได้ 2x = 2

x =1

(1) - (4) จะได้ 2y = 4

y =2

(1) - (5) จะได้ 2z = 6

z =3

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมการคอื (1, 2, 3)

แผนการจัดการเรยี นรูท้ ่ี 17 9
ช่อื วชิ า คณิตศาสตรอ์ ุตสาหกรรม
ช่อื หน่วย การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ โดยใชเ้ มทริกซ์ หนว่ ยที่ 6
ชื่อเรือ่ ง การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ โดยใช้เมทริกซ์ รหสั วชิ า 20000–1402
สอนคร้งั ท่ี 33 – 34
จำนวน 2 ชวั่ โมง

หัวข้อเรอ่ื ง/งาน
ภาคทฤษฎี
1. การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นโดยใช้กฎคราเมอร์
ภาคปฏิบัติ
1. ใบงานท่ี 12 เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นโดยใชเ้ มทรกิ ซ์

สาระการเรียนรู้
6.1 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎคราเมอร์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรเู้ กี่ยวกบั การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ โดยใช้กฎคราเมอร์

วตั ถปุ ระสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม
1. มคี วามรู้ ความเข้าใจ เกดิ ความคิดรวบยอดเกี่ยวกับการแก้ระบบสมการเชงิ เสน้
2. มีทักษะ กระบวนการคิด และดำเนนิ การเก่ยี วกับการแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้
3. นำความรู้ และทักษะที่ได้จากการเรียนรู้เรื่องการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ไปใช้แก้ปัญหาใน

สถานการณจ์ รงิ ตลอดจนนำไปประยุกตใ์ ช้ ในอาชีพ และการดำรงชวี ิตได้
4. มีเจตคติที่ดีต่อการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์

ด้านคณุ ธรรม จรยิ ธรรม/บรู ณาการปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง
แสดงออกด้านความสนใจใฝร่ ู้ การตรงตอ่ เวลา ความซอ่ื สตั ย์ สุจริต ความมนี ้ำใจ และแบง่ ปัน

ความร่วมมือ/ยอมรบั ความคดิ เห็นสว่ นใหญ่

กจิ กรรมการเรยี นรู้
1. ครนู ำเขา้ สบู่ ทเรียน และครูแจง้ จุดประสงค์การเรียน
2. เตรียมความพรอ้ ม ทบทวนเน้อื หาเรือ่ ง ดีเทอร์มแิ นนต์
3. ครสู อนสาระการเรยี นรหู้ วั ข้อ 6.1 การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ โดยใช้กฎคราเมอร์
4. นกั เรยี นทำแบบฝกึ หัดหนว่ ยท่ี 6 ข้อ 1

10

5. ครแู ละนักเรียนรว่ มกันเฉลยแบบฝกึ หดั และร่วมอภิปรายสรปุ บทเรียน

งานทมี่ อบหมาย
งานทีม่ อบหมายนอกเหนือเวลาเรียน ใหท้ ำแบบฝกึ หดั ใหเ้ รียบรอ้ ย ถกู ตอ้ ง สมบรู ณ์ และนำมาสง่ กอ่ น

สอบปลายภาค
ให้นักเรยี นทบทวนเน้ือหาหน่วยที่ 4 – 6 เพอื่ เตรียมสอบปลายภาคเรยี น

ผลงาน/ชนิ้ งาน/ความสำเร็จของผเู้ รยี น
1. ผลการทำ และนำเสนอแบบฝึกหัดหน่วยท่ี 6

ส่อื และแหล่งการเรยี นรู้
1. ส่ือการเรียนรู้ หนงั สอื เรียนคณติ ศาสตร์อตุ สาหกรรมหนว่ ยท่ี 6
2. แหล่งการเรียนรู้ หนงั สือ คมู่ ือหนงั สือเรยี น หรือ อินเทอร์เน็ต www.google.com

การวัดและการประเมนิ ผล

ใบความรู้ท่ี 12 11
แผนการจดั การเรียนรแู้ บบบรู ณาการที่ 17
รหสั 20000-1402 วชิ า คณติ ศาสตรอ์ ุตสาหกรรม หน่วยท่ี 6
ชื่อหนว่ ย สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว สอนคร้งั ที่ 1-2
จำนวนชว่ั โมง 2 ช่ัวโมง

สาระการเรียนรู้
การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นโดยใช้กฎคราเมอร์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรู้เกีย่ วกบั การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชก้ ฎคราเมอร์

ใบความรู้ที่ 12 เรือ่ ง การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ โดยใช้เมทริกซ์และดเี ทอร์มินันต์

การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ เราสามารถใชค้ วามรเู้ กย่ี วกับเมทริกซแ์ ละดเี ทอร์มินันต์ช่วยใน

การหาคำตอบได้ ซึ่งนับว่ามปี ระโยชนม์ าก ในที่นี้จะขอกล่าวถึงแตเ่ ฉพาะระบบสมการท่ีมีจำนวนตัวแปรเท่ากับ

จำนวนสมการเทา่ น้ัน

ถา้ กำหนดระบบสมการเชิงเส้นดงั น้ี

3x + 4y = 1

4x – 2y = 2

เราสมารถเขยี นระบบสมการนี้ ใหเ้ ป็นสมการในรูปของเมทรกิ ซไ์ ด้ดงั น้ี

3 4 x = 1
4 − 2y 2

ในทำนองเดยี วกัน ถ้ากำหนดระบบสมการเชิงเสน้ ดังน้ี

3x + 4y - z = 1

-3x – y + 4z = 0

5x + 2y – 3z = 2

เราสมารถเขยี นระบบสมการนี้ ใหเ้ ป็นสมการในรูปของเมทรกิ ซไ์ ด้ดังนี้

 2 3 −1x 1
−3 −1 y  0 
4  =

 5 2 −3z 2

ดังนนั้ โดยทัว่ ไป ถ้ากำหนดระบบสมการเชงิ เส้น

a11x1 + a12 x 2 + a13 x 3 ++ a1n x n = b1

12

a 21x1 + a 22 x 2 + a 23x3 ++ a 2n x n = b 2

   

a n1x1 + a n2 x 2 + a n3x 3 ++ a nn x n = b n

โดยท่ี x1, x2, x3, . . ., xn เป็นตัวแปร เราสมารถเขียนระบบสมการน้ี ในรปู ของสมการเมทริกซ์ ดังนี้

a11 a12  a1n x1  b1 
a  x  b 
 21 a 22  a 2 n   2  =  2 
 
     
a n1  x  b 
an2  a nn  n  n 

สมการจะอยู่ในรูป AX = B

a11 a12  a1n 
a 
ต่อไปนี้เราจะเรียกเมทริกซ์ A =  21 a 22  a 2 n  ว่าเป็นเมทริกซ์สัมประสิทธิ์(Coefficient
 
 
a n1 
an2  a nn 

a11 a12  a1n x1 
a 21 
matrix) และเรยี ก  a 22  a2n x 2  วา่ เป็นเมทรกิ ซแ์ ตง่ เตมิ (Augmented matrix)
  

a n1 
an2  a nn x n 

1. การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้ดเี ทอรม์ นิ นั ต์

การหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เส้นทม่ี ีจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปร โดยใชค้ วามร้เู ก่ยี วกับดี

เทอร์มนิ ันต์เป็นไปตามกฎที่เรยี กว่า กฎของคราเมอร์(Cramer’ s rule) ซึ่งมีรายละเอียดดงั นี้

กำหนดระบบสมการเชงิ เสน้ ท่ีมีจำนวนสมการเท่ากบั จำนวนตวั แปร ดงั น้ี

a11 a12  a1n x1  b1 
a  x   
AX =  21 a 22  a2n   2  =  b2  = B
      
 
a n1  x  b 
an2  a nn  n  n 

ถา้ det (A)  0 แล้ว คำตอบของระบบสมการนคี้ อื x1 = det(A1 ) , x2 = det(A2 ) ,

det( A ) det( A)

x3 = det(A3 ) ,. . . , xn = det(An ) โดยที่ Ai เป็นเมทริกซท์ ีเ่ กิดจากการนำ B ไปแทนท่ีหลักท่ี i ของ A เมือ่

det( A) det( A )

i = 1,2, 3, . . ., n

 2 1 −1x  1 
 y  
ตวั อยา่ งเชน่ AX =  3 0 4 =  1  =B

−3 1 2 z −1

13

จะไดว้ ่า

1 1 −1  2 1 −1
 0   
A1 =  1 1 4  A2 =  3 1 4 

−1 2  −3 −1 2 

2 1 1
 
A3 =  3 0 1 

− 3 1 −1

ใบงานที่ 12 14
แผนการจัดการเรียนรแู้ บบบรู ณาการที่ 17
รหัส 20000-1402 วชิ า คณติ ศาสตร์อุตสาหกรรม หนว่ ยท่ี 6
ชือ่ หน่วย การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นโดยใช้เมทริกซ์ ท-ป-น 2-0-2

สมรรถนะการเรยี นรู้
แสดงความรเู้ กีย่ วกบั การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นโดยใช้กฎคราเมอร์

ใบงานที่ 12 เรอื่ ง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ โดยใช้เมทรกิ ซ์

จงหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ ท่กี ำหนดให้ตอ่ ไปน้ี โดยใชก้ ฎของคาร์เมอร์

1.1 2x + 3y = 8,
x – 2y = -3

1.2 3x – 5y = -6,
4x + 2y = 5

1.3 3x + y -2z = 1,
2x + 3y – z = 2,
x – 2y + 2z = -10

………………………………………………………

แผนการจดั การเรยี นรูท้ ี่ 18 15
ชอื่ วิชา คณติ ศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม
ชอ่ื หนว่ ย การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทรกิ ซ์ หน่วยที่ 6
ช่ือเรอ่ื ง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทรกิ ซ์ รหสั วชิ า 20000–1402
สอนครั้งที่ 35 – 36
จำนวน 2 ชัว่ โมง

หัวข้อเรือ่ ง/งาน
ภาคทฤษฎี
1. การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชก้ ฎคราเมอร์
ภาคปฏิบตั ิ
1. แบบทดสอบหลงั เรียน เร่ือง การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้เมทริกซ์

สาระการเรยี นรู้
6.1 การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ โดยใช้กฎคราเมอร์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรเู้ ก่ยี วกับการแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้กฎคราเมอร์

วัตถปุ ระสงคเ์ ชงิ พฤติกรรม
1. มีความรู้ ความเข้าใจ เกดิ ความคดิ รวบยอดเกย่ี วกบั การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้น
2. มีทกั ษะ กระบวนการคดิ และดำเนนิ การเกย่ี วกบั การแก้ระบบสมการเชิงเสน้
3. นำความรู้ และทักษะที่ได้จากการเรียนรู้เรื่องการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ไปใช้แก้ปัญหาใน

สถานการณ์จรงิ ตลอดจนนำไปประยกุ ตใ์ ช้ ในอาชีพ และการดำรงชีวติ ได้
4. มีเจตคตทิ ีด่ ตี ่อการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์

ด้านคณุ ธรรม จรยิ ธรรม/บรู ณาการปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง
แสดงออกด้านความสนใจใฝ่รู้ การตรงตอ่ เวลา ความซอื่ สตั ย์ สจุ ริต ความมนี ้ำใจ และแบ่งปัน

ความรว่ มมือ/ยอมรบั ความคิดเหน็ สว่ นใหญ่

กจิ กรรมการเรียนรู้

1. ครูนำเขา้ สู่บทเรียน และครูแจง้ จุดประสงค์การเรยี น
2. เตรยี มความพรอ้ ม ทบทวนเนอื้ หาเร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นโดยใช้กฎคราเมอร์
3. ครูสอนเนอ้ื หาสาระหัวขอ้ 6.1 การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้กฎคราเมอร์ (ตอ่ )
4. นกั เรยี นทำแบบฝกึ หัดหนว่ ยท่ี 6 ขอ้ 2 - 3

16

5. ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกันเฉลยแบบฝึกหดั และรว่ มอภิปรายสรปุ บทเรยี น

งานทม่ี อบหมาย
งานที่มอบหมายนอกเหนือเวลาเรยี น ใหท้ ำแบบฝึกหดั ใหเ้ รยี บร้อย ถกู ตอ้ ง สมบูรณ์ และนำมาสง่ กอ่ น

สอบปลายภาค
ให้นกั เรียนทบทวนเน้ือหาหน่วยท่ี 4 – 6 เพือ่ เตรียมสอบปลายภาคเรยี น

ผลงาน/ชน้ิ งาน/ความสำเร็จของผ้เู รยี น
1. คะแนนแบบทดสอบหลงั เรียน (Post–test) หนว่ ยที่ 6

สอ่ื และแหลง่ การเรียนรู้
1. ส่ือการเรียนรู้ หนังสอื เรยี นคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมหนว่ ยท่ี 6
2. แหลง่ การเรียนรู้ หนังสอื คู่มอื หนงั สือเรยี น หรือ อินเทอร์เน็ต www.google.com

การวดั และการประเมินผล

17

แบบทดสอบกอ่ นเรียนหนว่ ยที่ 5
ดีเทอร์มแิ นนตแ์ ละการแก้สมการเชงิ เส้นโดยใช้เมทรกิ ซ์

จุดประสงค์ เพอ่ื ประเมนิ ความรู้พื้นฐานในการเรียนรู้ของนักเรยี นเกยี่ วกบั เร่ือง “เทอร์มแิ นนต์และการแก้
สมการเชิงเสน้ โดยใชเ้ มทรกิ ซ”์

คำแนะนำ 1. อา่ นคำถามตอ่ ไปนแี้ ลว้ ทำเคร่ืองหมายกากบาท ขอ้ ความที่ถกู ทสี่ ดุ ในกระดาษคำตอบ
2. เวลาสำหรับการทำแบบทดสอบ 30 นาที

1. กำหนดให้ A = 2 3  จงหาคา่ det A
−1 4 

ก. 5 ข. –5
ง. –11
ค. 11

 2 2 −2 
 1 2 3 
2. กำหนดให้ A =  2 3 4  จงหาค่า det A
 
ก. 2 ข. 3

ค. 4 ง. 8

3. กำหนดให้ A2 =  2 1  จงหา det A
 0 8 

ก. 4 ข. 5

ค. 6 ง. 12

4. กำหนด A =  2 1  จงหา det AT
 0 8 

ก. 11 ข. 16

ค. 5 ง. –5

5. กำหนดให้ B =  −7 −9  จงหา det B
 −3 −4 

ก. 1 ข. 2

ค. 3 ง. 4

18

6. กำหนดให้ A = 5 6  และ B =  −7 7 จงหา det A  det B
 7 9   3 1 

ก. –84 ข. –49 ค. –51 ง. –52

 1 3 −2 
 0 4 3 
7. กำหนดให้ A =  1 −2 5  จงหา det A
 

ก. 19 ข. 43 ค. 35 ง. –3

8. กำหนดให้ A =  7 9  และ B =  −8 9  จงหา A +B มคี ่าเทา่ กบั ข้อใด
 −3 4   −6 4 

ก. 54 ข. 67

ค. 70 ง. 77

9. กำหนดให้ C =  10 5 แล้ว C –5 มีค่าเท่ากับข้อใด
 −8 5 

ก. 70 ข. 80

ค. 85 ง. 90

 8 −9 4
 
10. กำหนด D =  4 5 6  แล้ว D + 210 มคี า่ เท่ากบั ข้อใด
3 6 4
 
ก. 100 ข. 200

ค. 300 ง. 400

ใชข้ ้อมลู ต่อไปนี้ ตอบโจทย์ ขอ้ 11 – 12

กำหนดใหส้ มการในรูปเมทริกซ์ ไดด้ ังนี้

 3 −2   x  =  −2 
 1 3   y   14 

11. สมการเชิงเส้นข้อใดถกู ต้อง ข. 3x – 2y = –2 และ x + 3y = 14
ก. 3x – y = –2 และ x + 3y = 14 ง. –2x + 3y = –2 และ 3x – y = 14
ค. x + 3y = –2 และ 3x – 2y = 14
ข. x = –2, y= –4
12. จงหา คา่ ของ x และ y ง. x = –4, y= –2
ก. x = 2, y = 4
ค. x = 4, y = 2

19

ใชข้ อ้ มูลตอ่ ไปนี้ ตอบโจทย์ ข้อ 13 – 15
กำหนดให้ 2x + y – z = 3

4x – y + 4z = 0
–3y + 2z = 6
13. รูปสมการเมทริกซ์ตรงกบั ข้อใด

 2 4 0 x 3  2 1 −1  x  3
 
ก.  1 −1 4   y  =  0  ข.  4 −1 4   y  =  0 
 −1 0 2   z   6  −3 2   z   6 
       0    

 3 1 −1   x   2  2 3 −1   x   1 
 0 −1 4   y   4   1 0 4   y   −1 
ค.  6 −3 2   z  =  0  ง.  −1 6 2   z  =  −3 
         
 

14. จงหาค่า A =  16 8  จงหาคา่ det A
 −4 1 

ก. 38 ข. 48

ค. 58 ง. 68

15. ค่าของ (x + y + z) ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. –7 ข. –5

ค. –3 ง. 2

…………………………………………………..

20