แผนการจัดการเรียนรู้ 20000-1402 คณิตศาสตร์อุตสาหกรรรม

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 10 51
ชอื่ วิชา คณติ ศาสตรอ์ ุตสาหกรรม
ชื่อหน่วย การประยุกต์ของอัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ หนว่ ยที่ 3
ช่อื เรื่อง การประยกุ ต์ของอตั ราสว่ นตรีโกณมิติ รหสั วิชา 20000–1402
สอนคร้งั ที่ 19 – 20
จำนวน 2 ชัว่ โมง

หวั ข้อเร่อื ง/งาน
ภาคทฤษฎี
1. การวัดระยะทาง และความสงู โดยใชอ้ ัตราส่วนตรีโกณมติ ิ
ภาคปฏิบตั ิ
1. ใบความรทู้ ี่ 5 เร่ือง การประยุกตก์ ฎของไซนแ์ ละกฎของโคไซน์
2. ใบงานท่ี 6 เร่ือง การประยกุ ต์ของอัตราสว่ นตรีโกณมิติ

สาระการเรยี นรู้
3.3 การวัดระยะทาง และความสงู โดยใชอ้ ตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ

สมรรถนะการเรยี นรู้
แสดงความรเู้ กยี่ วกบั การวดั ระยะทาง และความสงู โดยใช้อัตราส่วนตรโี กณมิติ

วตั ถุประสงค์เชิงพฤติกรรม
1. มคี วามรู้ ความเขา้ ใจ เกดิ คดิ รวบยอดเกย่ี วกบั การประยุกตข์ องอัตราสว่ นตรีโกณมิติได้
2. มีทกั ษะกระบวนการคิด และดำเนนิ การเก่ยี วกับ การประยุกต์ของอัตราสว่ นตรโี กณมติ ไิ ด้
3. นำความรู้ และทกั ษะท่ีได้จากการเรียนรูเ้ ร่ืองการประยกุ ต์ของอัตราส่วนตรโี กณมิติ ไปใชแ้ ก้ปัญหาใน

สถานการณ์จรงิ ตลอดจนนำไปประยกุ ตใ์ นใชใ้ นงานอาชีพ และการดำรงชีวิตได้
4. มเี จคตทิ ีด่ ตี อ่ การเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์

ด้านคณุ ธรรม จริยธรรม/บูรณาการปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง
แสดงออกด้านความสนใจใฝ่รู้ การตรงต่อเวลา ความซอ่ื สัตย์ สุจรติ ความมีนำ้ ใจ และแบง่ ปนั

ความร่วมมอื /ยอมรับความคดิ เห็นส่วนใหญ่

กิจกรรมการเรียนรู้
1. ครูนำเขา้ สูบ่ ทเรียน และครูแจง้ จดุ ประสงค์การเรยี น
2. เตรียมความพรอ้ ม และทบทวนเนื้อหาเรื่อง กฎของไซน์ และกฎของโคไซน์

52

3. ครสู อนสาระการเรยี นรู้ เรอื่ ง การวดั ระยะทาง และความสูงโดยใช้อัตราสว่ นตรีโกณมิติ
4. นักเรยี นทำใบงานที่ 6
5. ครูและนักเรียนร่วมกนั เฉลยแบบฝึกหดั และรว่ มอภิปรายสรปุ บทเรยี น

งานทีม่ อบหมาย
งานท่ีมอบหมายนอกเหนือเวลาเรียน ใหท้ ำแบบฝึกหัดให้เรียบร้อย ถกู ต้อง สมบรู ณ์ และนำมาสง่ ใน

คร้ังต่อไป

ผลงาน/ชน้ิ งาน/ความสำเร็จของผเู้ รียน
1. ผลการทำ ใบงานที่ 6

สื่อ และแหล่งการเรียนรู้
1. สอื่ การเรยี นรู้ หนังสือเรยี นคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมหน่วยท่ี 3
2. แหลง่ การเรยี นรู้ หนังสือ คู่มอื หนงั สือเรยี น หรือ อินเทอรเ์ น็ต www.google.com

การวดั และการประเมนิ ผล
ใบงานท่ี 6 เกณฑ์ผ่าน 60 ขึ้นไป

ใบความรทู้ ่ี 5 53
แผนการจดั การเรยี นรแู้ บบบรู ณาการที่ 10
รหสั 20000-1402 วิชา คณติ ศาสตร์อตุ สาหกรรม หนว่ ยท่ี 3
ช่อื หน่วย การประยุกต์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ สอนครัง้ ท่ี 1-2
จำนวนชวั่ โมง 2 ชัว่ โมง

สาระการเรียนรู้
การวัดระยะทาง และความสูงโดยใช้อัตราสว่ นตรโี กณมิติ

สมรรถนะการเรยี นรู้
แสดงความรเู้ ก่ยี วกบั การวัดระยะทาง และความสงู โดยใชอ้ ัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ

ใบความรู้ท่ี 5 เร่อื ง การประยุกต์กฎของไซน์และกฎของโคไซน์

คำชแ้ี จง : 1. แบบฝึกทักษะฉบบั นี้ จัดทำเพื่อเป็นการเพิ่มเติมความรู้เร่ืองเกย่ี วกบั กฎของไซนแ์ ละกฎของ
โคไซน์ นกั เรียนชั้นปวช.2 วทิ ยาลยั สารพัดชา่ งระยอง

2. แบบฝึกทักษะฉบบั นี้ ประกอบดว้ ย
1.1 การประยกุ ต์กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
1.2 แบบฝกึ หัด
1.3 เฉลยแบบฝึกหัด

กฎของไซน์
A, B, C เปน็ จดุ ยอดของรูปสามเหลี่ยมท่มี ีความยาวของดา้ นซ่ึงอยู่ตรงขา้ มมุม A, B, C เท่ากบั a, b, c

ตามลำดับ จะได้วา่

sinA = sinB = sinC
abc

54
กฎของโคไซน์

ในรูปสามเหล่ยี ม A, B, C เปน็ จดุ ยอดของรปู สามเหลย่ี มท่ีมคี วามยาวของดา้ นซ่ึงอยตู่ รงข้ามมุม A, B,
C เทา่ กบั a, b, c ตามลำดบั จะไดว้ ่า

a2 = b2 + c2 - 2bc cosA หรอื
b2 = a2 + c2 - 2accosA หรอื
c2 = a2 + b2 - 2abcosA

สรปุ ขน้ั ตอนการทำโจทย์ปญั หาการหาความยาวของดา้ นหรือมุมของสามเหล่ียมใดๆ โดยใช้กฎของไซน์
และโคไซน์

1. อา่ นโจทย์ใหเ้ ขา้ ใจว่าโจทย์กำหนดอะไรมาใหบ้ ้าง และโจทยต์ อ้ งการให้เราหามุมหรอื ดา้ นใด
2. นำสงิ่ ทโ่ี จทยก์ ำหนดให้มาเขยี นรปู สามเหลยี่ ม ABC กำหนดมมุ และด้าน โดยลงมุมและดา้ นตามที่โจทย์

กำหนด
3. พิจารณาความสมั พันธ์ของด้านหรอื มุมที่โจทย์กำหนดกับดา้ นหรอื มมุ ทโ่ี จทย์ตอ้ งการ เลอื กใช้กฎของ

ไซน์หรอื กฎของโคไซน์ในการแก้โจทย์ปัญหาน้ัน
4. แทนคา่ ส่งิ ที่โจทย์กำหนดใหล้ งให้สูตร
5. แก้สมการหาคำตอบทโ่ี จทยต์ ้องการ

ตัวอย่างที่ 1 นายหน่มุ เดินไปทางทิศเหนอื 3 กโิ ลเมตรแลว้ เดนิ ไปในทิศ 45° กบั ทิศเหนือไปทาง

ตะวันออกอีก 4 กิโลเมตร อยากทราบวา่ เขาอยู่หา่ งจากจดุ เริม่ ตน้ เทา่ ไหร่
วิธีทำ จากโจทย์ จะได้รูป

ต้องการหาดา้ น b

55

โจทย์กำหนด a = 4 , c = 3 เราต้องทราบมมุ B จึงสามารถใชก้ ฎของโคไซน์ได้

หามมุ B

มมุ B = 180 ํ – 45 ํ

= 135 ํ

จากกฎของโคไซน์ b2 = a2 + c2 - 2accosB

แทนคา่ a = 4 , c = 3 และมุม B = 135 ํ ลงในสมการ

จะได้ b2 = (4)2 + (3)2 - 2(4)(3)cos135๐ 
= 16 + 9 – 24cos135 ํ
= 25 – 24(-0.7071)
= 25 + 16.9706

b2 = 41.9706
b = 6.48
ดังนน้ั เขาอยู่หา่ งจากจดุ เริม่ ต้นเปน็ ระยะทาง 6.48 กิโลเมตร

ตวั อย่างท่ี 2 หลังคาโรงฝึกงานหลังหนงึ่ ความลาดของหลังคาเป็นมุม 25 องศา ความกว้างของโรงฝกึ งาน
12 เมตร (ดังรูป) จงหาความยาวของจันทัน (AD)

วิธที ำ จากโจทย์ เพื่อความเขา้ ใจสร้างรปู และกำหนดตัวแปร

56

ตอ้ งการหา AD แต่เนื่องจาก AD = AB + BD

เราทราบ BD แลว้ จงึ ต้องหาคา่ AB (ดา้ น c)

ในรปู สามเหลี่ยม ABC จะได้ มมุ A = 180 – (25 + 25)

= 180 – 50

= 130

ตอ้ งการหาด้าน c c = a
จากกฎของไซน์ sinC sinA

b sin C

c = sinA

แทนคา่ a = 12 , มุม A = 130 และ มุม C = 25 ลงในสมการ
(12 ) sin 25

จะได้ c = sin130
(12)(0.4226)

= 0.7660

c = 6.62

นน่ั คอื ดา้ น c หรือด้าน AB ยาว 6.62 เมตร

จะได้ ความยาวของจันทัน (AD) = AB + BD

= 6.62 + 1.2

= 7.82

ดงั นัน้ ความยาวของจนั ทนั เท่ากับ 7.72 เมตร 

ตัวอยา่ งท่ี 3 เรือสองลำจอดอยใู่ นทะเล ชายคนหน่ึงอยู่บนฝัง่ ห่างจากเรือทงั้ สองลำเป็นระยะทาง 100 เมตร
และ 200 เมตร ถ้ามุมระหวา่ งเสน้ ตรงซ่ึงเปน็ แนวสังเกตท่ีเขาดูเรือทง้ั สองลำเท่ากบั 30 องศา
จงหาระยะทางระหวา่ งเรอื ท้ังสอง

วธิ ีทำ จากโจทย์ จะได้รูป

57

ต้องหารหาดา้ น c

จากกฎของโคไซน์ c2 = a2 + b2 - 2abcosC

แทนคา่ มุม C = 30 , a = 100 , b = 200 ลงในสมการ

จะได้ c2 = (100)2 + (200)2 - 2(100)(200)cos30

= 10,000 + 40,000 – 40,000(0.8660)

= 50,000 – 34,641.0161

c2 = 15,358.9838

c = 123.93

ดังนนั้ ระยะห่างระหว่างเรือทัง้ สองเทา่ กับ 123.93 เมตร 

58

ใบงานที่ 6 หนว่ ยที่ 3
แผนการจัดการเรยี นรแู้ บบบรู ณาการท่ี 10 ท-ป-น 2-0-2
รหัส 20000-1402 วชิ า คณติ ศาสตร์อตุ สาหกรรม
ช่อื หน่วย การประยุกต์ของอัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ

สมรรถนะการเรียนรู้
การวัดระยะทาง และความสงู โดยใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ

ใบงานที่ 6 เรือ่ ง การประยุกต์ของอตั ราสว่ นตรีโกณมิติ

1. กำหนดสามเหล่ยี ม ABC มมุ A เป็นมุมยอดเทา่ กบั 85 ํ , มมุ B เท่ากบั 65 ํ ; sin C มีค่าตรงกับข้อใด

ก. 0.34 ข. 0.50 ค. 0.64 ง. 0.71

2. รูปสามเหลยี่ มหน้าจั่วรปู หน่ึง มมุ ยอดมีขนาด 62 องศา และดา้ นยาวเทา่ กนั ยาว 25 เซนตเิ มตร

ฐานของสามเหลี่ยมนี้ยาวเท่ากับข้อใด

ก. 12.14 ข. 12.86 ค. 24.27 ง. 25.75

3. รูปสามเหลย่ี ม ABC มมุ B เท่ากับ 60 องศา ดา้ น a ยาว 3 เซนติเมตร และดา้ น b ยาว 5.2 เซนติเมตร
, ขนาดของมุม A เทา่ กบั ข้อใด
ก. 90 ข. 75 ค. 60 ง. 30

4. จากข้อ 3. ด้าน c ยาวเทา่ ใด
ก. 3 ข. 4 ค. 6 ง. 15.59

จากรปู ใช้ตอบคำถามข้อ 5 – 7

5. ด้าน AC ตรงกบั ข้อใด

ก. 5.77 ข. 10 ค. 11.55 ง. 13.34

59

6. มุม ACD ตรงกบั ข้อใด
ก. 45 ข. 50 ค. 65 ง. 70

7. ด้าน AC ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 5.77 ข. 9.76 ค. 10 ง. 11.55

8. ณ จดุ หนึ่งอย่หู ่างจากตน้ ไม้ 30 ฟุต ถ้ามุมเงยทว่ี ัดไปยังยอดตน้ ไม้เท่ากับ 60 องศา ต้นไม้น้ีสูงก่ฟี ุต

ก. 34.64 ข. 51.96 ค. 69.28 ง. 86.60

9. ชายคนหน่ึงยนื อยทู่ ่ีริมเข่ือนซึ่งสูงจากระดับน้ำทะเล 300 เมตรมองเหน็ เรือ A และ B เป็นมุม 30 ํ และ

45 ํ ตามลำดบั จงหาระยะระหว่าง A และ B

ก. 424.26 ข. 173.21 ค. 126.79 ง. 346.41

10. รปู สีเ่ หลี่ยมดา้ นขนาน ABCD มมี มุ ABC เท่ากับ 120 องศา ดา้ นประกอบมุมยาว 4 และ 6 ตามลำดับ

เส้นทแยงมมุ เสน้ ยาวของรูปสี่เหลีย่ มนี้เทา่ กับข้อใด

ก. 8.72 ข. 9.24 ค. 10.12 ง. 12.34

เฉลยแบบฝกึ ทักษะ ชดุ ท่ี 1 เรื่องกฎของไซนแ์ ละโคไซน์
ข้อ 1. ตอบ ข.
ขอ้ 2. ตอบ ง.
ข้อ 3. ตอบ ง.
ข้อ 4. ตอบ ค.
ข้อ 5. ตอบ ค.
ขอ้ 6. ตอบ ค.
ข้อ 7. ตอบ ข.
ข้อ 8. ตอบ ข.
ข้อ 9. ตอบ ค.
ข้อ 10. ตอบ ก.

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 11 60
ชอื่ วิชา คณติ ศาสตรอ์ ุตสาหกรรม
ช่ือหน่วย เมทริกซ์ หน่วยที่ 4
ชือ่ เรอื่ ง เมทริกซ์ รหัสวิชา 20000–1402
สอนครง้ั ที่ 21 – 22
หัวข้อเรือ่ ง/งาน จำนวน 2 ชวั่ โมง
ภาคทฤษฎี
1. ความหมายของเมทริกซ์
2. ชนิดของเมทริกซ์
3. การเทา่ กันของเมทริกซ์
ภาคปฏบิ ัติ
1. ใบความร้ทู ี่ 6 เรอื่ ง เมทริกซ์
2. ใบงานที่ 7 เร่ือง เมทริกซ์
3. ใบงานที่ 8 เรอ่ื ง ชนดิ เมทรกิ ซ์

สาระการเรียนรู้
4.1 ความหมายของเมทรกิ ซ์
4.2 ชนดิ ของเมทรกิ ซ์
4.2.1 เมทริกซ์แถว
4.2.2 เมทรกิ ซ์หลัก
4.2.3 เมทริกซ์ศนู ย์
4.2.4 เมทริกซจ์ ัตุรัส
4.2.5 เมทริกซท์ แยงมุม
4.2.6 เมทริกซ์เชิงสเกลาร์
4.2.7 เมทรกิ ซเ์ อกลักษณ์
4.2.8 เมทริกซ์สามเหลีย่ มบน
4.2.9 เมทรกิ ซ์สามเหลีย่ มล่าง
4.3 การเท่ากนั ของเมทริกซ์

สมรรถนะการเรยี นรู้
แสดงความร้เู กยี่ วกับความหมาย ชนดิ การเทา่ กนั เมทริกซ์

61

วัตถปุ ระสงคเ์ ชิงพฤติกรรม
1. มีความรู้ ความเขา้ ใจ เกิดความคดิ รวบยอดเกีย่ วกับเมทรกิ ซ์
2. มีทักษะ กระบวนการคดิ และดำเนินการเกยี่ วกบั เมทรกิ ซ์
3. นำความรู้ และทักษะทไ่ี ดจ้ ากการเรยี นรูเ้ รื่องเมทรกิ ซ์ไปใช้แกป้ ญั หาในสถานการณ์จรงิ ตลอดจน

นำไปประยกุ ต์ใช้ ในอาชพี และการดำรงชีวติ ได้
4. มีเจตคติท่ีดตี ่อการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์

ด้านคณุ ธรรม จรยิ ธรรม/บูรณาการปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง
แสดงออกดา้ นความสนใจใฝ่รู้ การตรงต่อเวลา ความซอ่ื สัตย์ สุจริต ความมีน้ำใจ และแบ่งปนั

ความร่วมมอื /ยอมรบั ความคดิ เห็นส่วนใหญ่

กจิ กรรมการเรยี นรู้
1. ครูนำเขา้ ส่บู ทเรยี น และครูแจง้ จดุ ประสงคก์ ารเรียน
2. เตรยี มความพร้อม
3. ครูสอนสาระการเรียนรู้เรื่อง ความหมายของเมทริกซ์ ชนิดของเมทริกซ์ และการเท่ากันของเมท

รกิ ซ์
4. นกั เรียนทำใบงานท่ี 7 และใบงานที่ 8
5. ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกันเฉลยใบงาน และร่วมอภปิ รายสรุปบทเรียน

งานท่ีมอบหมาย
งานทม่ี อบหมายนอกเหนือเวลาเรียน ใหท้ ำแบบฝึกหดั ใหเ้ รียบร้อย ถูกต้อง สมบูรณ์ และนำมาสง่ ใน

ครั้งตอ่ ไป

ผลงาน/ชิ้นงาน/ความสำเรจ็ ของผ้เู รียน
1. ผลการทำ ใบงานที่ 7 และใบงานท่ี 8

สื่อ และแหล่งการเรียนรู้
1. สื่อการเรยี นรู้ หนงั สอื เรยี นคณติ ศาสตร์อุตสาหกรรมหน่วยที่ 4
2. แหลง่ การเรียนรู้ หนงั สือ คู่มือหนงั สือเรยี น หรอื อนิ เทอรเ์ น็ต www.google.com

การวดั และการประเมินผล
1. ใบงานที่ 7 เกณฑผ์ า่ น 60 ขึน้ ไป
2. ใบงานท่ี 8 เกณฑ์ผา่ น 60 ขน้ึ ไป

ใบความรู้ที่ 6 62
แผนการจัดการเรียนรู้แบบบูรณาการท่ี 11
รหัส 20000-1402 วิชา คณติ ศาสตร์อตุ สาหกรรม หน่วยที่ 4
ชื่อหน่วย เมทริกซ์ สอนครง้ั ที่ 1-2
จำนวนช่วั โมง 2 ชว่ั โมง

สาระการเรยี นรู้
1. ความหมายของเมทริกซ์
2. ชนดิ ของเมทริกซ์
3. การเท่ากนั ของเมทริกซ์

สมรรถนะการเรยี นรู้
แสดงความรู้เกย่ี วกับความหมาย ชนดิ การเท่ากนั เมทรกิ ซ์

ใบความรทู้ ี่ 6 เรอื่ ง เมทริกซ์

เมตรกิ ซ์

1. ความหมายและสัญลกั ษณข์ องเมตรกิ ซ์

นักเรียนอาจจะเคยพบข้อมลู ทเ่ี กีย่ งข้องกบั จำนวน ซึง่ มีการจัดจำนวนที่ปรากฏในข้อมลู ใหเ้ รยี งเป็นแถว
เพ่อื สะดวกใน

การศึกษาข้อมูลนั้น

ตวั อย่างเช่น ข้อมลู เกี่ยวกบั จำนวนพนักงานของบริษทั แห่งหน่ึง แยกตามเงนิ เดอื นและตามเพศ ดัง
ตารางต่อไปนี้

เงนิ เดอื น ตำ่ กว่า 8,000 8,001 – 10,001 – สงู กว่า 12,000
เพศ 10,000 12,000
25
ชาย 20 48 30 18
หญงิ 36 32 18

ถา้ เรานำตวั เลขเฉพาะในสว่ นที่แรเงา ซ่งึ มี 2 แถว(Row) และ 4 หลัก (Column) มาเขียนภายในวงเล็บ
( ) หรือ [ ] จะได้

63

ดงั น้ี

 25 48 30 18  หรอื 25 48 30 18
20 36 32 18 20 36 32 18

เราจะเรียกสิ่งท่ีเขียนใหมน่ วี้ า่ เมตรกิ ซ์ และเรยี กจำนวนแต่ละจำนวนในเมตรกิ ซว์ ่า สมาชิกของ

เมตรกิ ซ์

บทนิยาม 1 การจัดเรยี งจำนวนใหเ้ ป็นแถว แตล่ ะแถวมีจำนวน ๆ เท่า ๆ กนั ภายในวงเลบ็ ( ) หรือ [ ]
เรยี กว่า เมตรกิ ซ์ แต่ละ

จำนวนในเมตรกิ ซ์ เรียกวา่ สมาชิกของเมตรกิ ซ์

การเรยี กชื่อเมตรกิ ซ์ โดยปกติแล้วเราจะใชอ้ ักษรภาษาองั กฤษตัวพิมพใ์ หญแ่ ทนช่ือของเมตรกิ ซ์ เชน่
เมตริกซ์ A

เมตรกิ ซ์ B เปน็ ตน้

สมาชกิ ของเมตรกิ ซ์ทเี่ รียงกนั อย่ตู ามแนวนอน เรียกว่าสมาชิกที่อย่ใู นแถว(row)ของเมตริกซ์ แต่ละ
เมตรกิ ซจ์ ะมกี ่ีแถวก็ได้

สมาชิกของเมตริกซ์ที่เรียงกนั อยตู่ ามแนวด่ิง เรียกวา่ สมาชกิ ทอี่ ยู่ในหลัก(column)ของเมตรกิ ซ์ แตล่ ะ
เมตริกซจ์ ะมีกี่แถวก็ได้

ตวั อย่างเช่น

(1) A = 2 3 A เป็นเมตรกิ ซ์ท่มี ี 2 แถว และ มี 2 หลกั
4 0  B เป็นเมตรกิ ซท์ ีม่ ี 2 แถว และ มี 3 หลกั
1 3 C เปน็ เมตรกิ ซ์ทีม่ ี 1 แถว และ มี 4 หลัก
(2) B = 1 4 6
0
5 −3
(3) C = 2 1

 8
−10 
(4) D =  D เป็นเมตรกิ ซท์ ีม่ ี 4 แถว และ มี 1 หลัก

 1


(5) E = −1 E เป็นเมตรกิ ซท์ ี่มี 1 แถว และ มี 1 หลัก

64

2. มิติของเมตริกซ์

บทนยิ าม 2 ถ้า A เป็นเมตรกิ ซ์ทม่ี ี m แถว และมี n หลกั จะเรียก A วา่ มี มติ ิ m  n (อ่านวา่ เอ็มคูณเอน็ )
เช่น

(1) A = 2 3 A มมี ิติ 2  2 หรอื เป็น 2  2 เมตริกซ์
4 0  B มมี ติ ิ 2  3 หรอื เป็น 2  3 เมตรกิ ซ์
C มมี ติ ิ 1  4 หรือเปน็ 1  4 เมตริกซ์
(2) B = 1 1 3
0 4 6

(3) C = 2 5 −3 1

 8
−1 
(4) D =  D มีมิติ 4  1 หรือเปน็ 4  1 เมตรกิ ซ์
 0 

 1


(5) E = −1 E มีมิติ 1  1 หรอื เปน็ 1  1 เมตรกิ ซ์

3. การเขยี นเมตรกิ ซใ์ นรปู ท่ัวไป

โดยปกตแิ ลว้ เราจะใช้อักษรภาษาอังกฤษตวั เขียนเล็กซึง่ เป็นอักษรตวั เดยี วกบั ช่อื ของเมตรกิ ซ์แทน
สมาชกิ

ของเมตริกซน์ ัน้ เชน่ สมาชิกของเมตริกซ์ A จะใช้อกั ษร a แทน เปน็ ตน้ และเพื่อให้ทราบว่าสมาชกิ แตล่ ะตวั อยู่
ในตำแหน่งแถวทีเ่ ทา่ ใด และหลกั ท่เี ทา่ ใด เราจะใช้ดรรชนีล่าง(Subscript ij) ตรงมุมลา่ งขวามอื ของสมาชิกตัว
นนั้ เช่นถา้ เขียนว่า aij เราทราบทันทวี า่ สมาชกิ ตัวน้อี ย่ใู นตำแหน่งแถวที่ i และหลักท่ี j
ตวั อย่างเชน่ a11 แทนสมาชิกอยู่ในตำแหน่งแถวท่ี 1 และหลกั ท่ี 1

a12 แทนสมาชิกอยใู่ นตำแหน่งแถวที่ 1 และหลกั ที่ 2
a21 แทนสมาชกิ อยใู่ นตำแหน่งแถวที่ 2 และหลักที่ 1 เปน็ ตน้

ตัวอย่างท่ี 1 จงเขียนเมตรกิ ซ์ A ซ่ึงมีมติ ิ 32 ในรูปทวั่ ไป

วธิ ที ำ

A เปน็ เมตรกิ ซ์ท่มี ี 3 แถว และ 2 หลกั ซงึ มีรูปทว่ั ไปดังนี้

65

A = aa1211 a12 
a22 
a31 
a32 

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงเขยี นเมตรกิ ซ์ A ซึง่ มีมติ ิ 34 ในรูปทว่ั ไป

วธิ ีทำ

B เปน็ เมตรกิ ซ์ที่มี 3 แถว และ 4 หลกั ซงึ มีรูปทว่ั ไปดงั นี้

B = bb1211 b12 b13 b14 
b22 b23 b24 

b31 b32 b33 b34 

ในกรณีทว่ั ๆ ไป ถ้า A มีมิติ mn สัญลกั ษณ์ท่วั ไปของ A เปน็ ดงั นี้

ซ่งึ ต่อไปนี้ อาจจะเขียนอย่างยอ่ ได้ว่า A  = aij mn
a11 a12 a13 a14 
ตวั อยา่ งเชน่  A =aij 24 = a21 a22 a23 a24 

 0 −1 2 3 8
ตวั อย่างที่ 3 กำหนดให้ A = − 2 −3 4 
5 7  จงตอบคำถามต่อไปนี้

 6 −6 1 − 4 −8 

1. เมตริกซ์ A มีมีติ 35 5. a12 = -1

2. a23 = 4 6. a35 = -8

3. a33 = 1 7. a14 = 3

4. a21 = -2 8. a31 = 6

66

1 เม่ือ i = j
 เมื่อ i  j
ตัวอย่างที่ 4 จงเขยี นเมตริกซ์ A =  aij 44 โดยที่ aij =  0 เมื่อ i  j

−1

วธิ ีทำ

A เปน็ เมตริกซ์ท่ีมี 4 แถว และ 4 หลัก ซึงมีรปู ทวั่ ไปดงั นี้

a11 a12 a13 a14  1 −1 −1 −1
A = aa3211  0 −−11
a22 a23 a24  = 0 1 −1
a32 a33 a34  0 1

a41 a42 a43 a 44  0 0 0 1


ตัวอยา่ งที่ 5 กำหนดให้ A = 2 −1 3 , B = − 3 0 5 และ C = −8 1 −7
− 2 1 − 3 − 5 −2 4   7 9 11

จงตอบคำถามต่อไปน้ี

1. a12 + b21 – c22 2. a21 + b13 – c23 3. 2a22 + 10b12 + 3c12
วธิ ีทำ

1. a12 + b21 – c22 = (-1) + (-5) – 9
= -15

2. a21 + b13 – c23 = (-2) + 5 – 11
= -8

3. 2a22 + 10b12 + 3c12 = 2(1) + 10(0) + 3(1)
=2+3
=5

ชนิดของเมทรกิ ซ์
ในหวั ข้อนจ้ี ะพดู ถงึ ลักษณะและชือ่ ของเมทริกซบ์ างชนิดท่สี ำคญั และจะมีบทบาทตอ่ ไปภายหลัง

1. เมทรกิ ซ์จัตุรสั (Square matrix)

 บทนิยาม จะเปน็ เมทรกิ ซจ์ ัตุรัส ก็ตอ่ เม่ือ m =
เมทรกิ ซ์ A= ai j n
mn

แสดงว่า เมทรกิ ซจ์ ัตรุ สั คือเมทรกิ ซ์ท่ีมีจำนวนแถวเท่ากบั จำนวนหลัก

67

ถ้า A = ai j m  n เปน็ เมทรกิ ซ์จตั ุรัส แลว้ เสน้ ทแยงมมุ ท่ีลากจากมมุ บนซ้ายมอื มายงั มมุ ลา่ งขวามือ

จะผ่านสมาชกิ a11, a22, a33, . . ., ann เสน้ ทแยงมุมนี้เรียกว่า เส้นทแยงมุมหลัก (main diagonal)

a 11 a 12 a13 . . . a1n 
a 21 a 22 a 23 . . . a 2n 

a 
A =  31 a 32 a 33 . . . a 3n 


a n1 
an2 an3 . . . a nn 

จะพบวา่ สมาชิกท่ีอยเู่ หนือเส้นทแยงมุมหลกั ทกุ ตวั คือ aij เมือ่ i < j

สมาชกิ ที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลกั ทกุ ตัว คือ aij เมื่อ i > j

สมาชิกทีอ่ ยู่บนเส้นทแยงมุมหลกั ทุกตัว คือ aij เมือ่ i = j

ตัวอยา่ งของเมทรกิ ซ์จตั รุ ัส ได้แก่

−5 มิติ 11
มติ ิ 22
 1 2 มติ ิ 33
−5 −1
มติ ิ 44
 1 2 3
− 2 
−4 0 

 1 −1 1 

1 3 4 6
0 5
2 −1 −1 − 5 เปน็ ตน้
6 1

0 0 5 1

2. เมทรกิ ซศ์ นู ย์ (Zero matrix)

บทนิยาม  ถ้าA= ai j m เราจะเรียก A วา่ เป็นเมทริกซ์ศนู ย์ กต็ ่อเมื่อ aI j = 0 เมอ่ื i = 1, 2,
3, …,m
n

และ j = 1, 2, 3, …, n

กล่าวอย่างง่าย ๆ ได้ว่า เมทริกซ์ใดกต็ ามท่ีมีสมาชกิ ทกุ ตวั เทา่ กับ 0 หมด เราจะเรียกเมทริกซ์นน้ั วา่
เป็นเมทรกิ ซ์ศนู ย์ ตวั อย่างเช่น

68

0 เปน็ เมทรกิ ซ์ศนู ย์ ท่ีมีมิติเท่ากับ 11

0 0 เป็นเมทรกิ ซ์ศูนย์ ท่ีมีมิตเิ ทา่ กับ 22
0 0

0 0 0 เป็นเมทรกิ ซ์ศูนย์ ที่มีมิตเิ ทา่ กับ 33
0 0 0
0 0 0

สัญลกั ษณ์ ถา้ A เปน็ เมทริกซ์ศนู ยท์ ี่มีมิติ m  n เราจะใช้สัญลกั ษณ์แทน A ดังนี้ A = 0

3. เมทรกิ ซส์ ามเหล่ียมด้านบน (Upper triangular matrix)

บทนิยาม ถ้า A = ai j m  เป็นเมทริกซ์จัตรุ ัส แล้วเราจะเรยี ก A ว่าเปน็ เมทรกิ ซส์ ามเหล่ียม

m

ด้านบนก็ต่อเมื่อ aij = 0 เมือ่ i > j

จากบทนิยามอาจจะกลา่ วได้ว่า เมทริกซจ์ ตั รุ ัสใดกต็ ามจะได้ชอื่ วา่ เป็นเมทริกซส์ ามเหลยี่ มดา้ นบนก็
ต่อเม่ือสมาชกิ ของ

A ทกุ ตวั ท่ีอยใู่ ตเ้ ส้นทแยงมมุ หลกั มคี ่าเท่ากบั 0 สว่ นที่อยู่บนเส้นทแยงมมุ หลักหรือเหนือเส้นทแยงมมุ หลักจะมี
ค่าเท่ากับเท่าไรก็ได้ ตัวอยา่ งของเมทรกิ ซส์ ามเหลีย่ มด้านบน ไดแ้ ก่

1 2 , 1 0 2 , 5 2 1 0
0 3 0 3 4 0 1 0 1
0 0 0 0 0 4
0 0 0 6 เป็นตน้

0

4. เมทริกซส์ ามเหล่ียมดา้ นล่าง (Lower triangular matrix)

บทนิยาม ถ้า A = ai j m  เปน็ เมทริกซ์จตั ุรัส แล้วเราจะเรียก A วา่ เปน็ เมทริกซ์สามเหลี่ยม

m

ดา้ นลา่ งกต็ ่อเมื่อ aij = 0

เม่ือ i < j

ถ้า i < j เราจะได้วา่ aij จะเปน็ สมาชกิ ท่อี ยเู่ หนือเสน้ ทแยงมุม ดงั น้นั จากบทนยิ ามอาจจะกล่าวได้วา่
เมทริกซจ์ ตั ุรสั A

จะไดช้ ื่อว่าเป็นเมทริกซส์ ามเหลย่ี มด้านบนกต็ ่อเมื่อ สมาชิกทกุ ตวั ที่อยเู่ หนือเสน้ ทแยงมุมหลักมคี ่าเท่ากับ 0
สว่ นทอ่ี ยู่บนเส้นทแยงมมุ หลักหรอื ใต้เสน้ ทแยงมมุ หลักจะมีคา่ เท่ากบั เทา่ ไรก็ได้ ตวั อย่างของเมทริกซ์
สามเหล่ยี มด้านล่าง ได้แก่

69

1 0 0 5 0 0 0
0 3 2 1 0 0
1 0 , 2 4 0  , 1 0 4
2 3  0 1 6 0 เป็นตน้
0
0 


บทนิยาม ถ้า A = ai j m  m เป็นเมทรกิ ซ์จตั ุรัส แลว้ เราจะเรยี ก A วา่ เปน็ เมทรกิ ซส์ ามเหล่ียม

(triangularu matrix)

ก็ต่อเม่ือA เป็นเมทริกซ์สามเหลยี่ มดา้ นบนหรอื สามเหลี่ยมดา้ นล่าง (อยา่ งใดอยา่ งหน่งึ ท้ัง
สองอย่าง)

5. เมทรกิ ซ์เฉียง

บทนิยาม  ถ้า A = ai j m  เปน็ เมทริกซจ์ ตั รุ ัส แล้วเราจะเรยี ก A ว่าเป็น เมทริกซเ์ ฉยี ง ก็

m

ต่อเมื่อ ai j = 0 เมอ่ื i  j

แสดงว่า A จะเป็นเทริกซ์เฉียง ก็ตอ่ เมื่อ A เป็นเทริกซส์ ามเหล่ยี มด้านบนและเป็นเมทริกซ์
สามเหล่ียม

ดา้ นลา่ ง นนั่ คอื สมาชกิ ทุกตวั ของ A ท่ีอยูใ่ ต้เส้นทแยงมุมหลกั และอยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ 0
หมดทุกตวั ส่วนสมาชิกบนเส้นทแยงมมุ หลักจะมีค่าเทา่ ใดก็ได้ ตวั อย่างของเมทริกซเ์ ฉยี ง ได้แก่

1 0 0 5 0 0 0
0 3 0  0 1 0 0
1 0 , 0 0 0 , 0 0 4 0 เป็นตน้
0 3 0 0 0
6 


 สญั ลกั ษณ์ ถา้ A = ai j m  m เป็นเมทริกซเ์ ฉยี งเราจะเขียนว่า A = diag(a11, a22, . . ., amm)

6. เมทริกซ์สเกลาร์

บทนิยาม  ถา้ A = ai j m  เป็นเมทริกซ์จัตรุ สั แลว้ เราจะเรยี ก A วา่ เป็น เมทรกิ ซส์ เกลาร์ ก็
ตอ่ เมื่อ
m

1) A = เป็นเมทริกซ์เฉยี ง และ

2) สมาชกิ ทกุ ตวั บนเส้นทแยงมมุ หลักมีคา่ เท่ากนั

ตวั อย่างของเมทรกิ ซ์สเกลาร์ ไดแ้ ก่

70

1 0 , 2 0 0 , 3 0 0 0
0 1 0 2 0 0 3 0 0
0 0 2 0 0 3
หมายเหตุ 0 0 0 0 เป็นต้น

3

1) ถา้ A เปน็ เมทรกิ ซส์ เกลาร์ แลว้ A จะเปน็ เมทริกซ์เฉยี ง (บทกลับไมจ่ รงิ )

2) ถา้ A เปน็ เมทริกซส์ เกลาร์ แลว้ A จะเปน็ เมทริกซ์สามเหลย่ี ม(บทกลบั ไม่จรงิ )

7. เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity matrix)

บทนิยาม ถา้ A = ai j m  เป็นเมทริกซ์จัตุรสั แลว้ เราจะเรียก A วา่ เป็น เมทริกซ์เอกลักษณ์ ก็
ตอ่ เม่ือ
m

1) A เป็นเมทริกซ์สเกลาร์ และ

2) สมาชิกทุกตัวบนเสน้ ทแยงมุมหลกั มคี ่าเท่ากบั 1

ตวั อยา่ งของเมทริกซ์เอกลักษณ์ ได้แก่

1 0 , 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 1 0 0
0 0 0 , 0 0 1
0 0 0 0 เป็นต้น
1
1

สญั ลักษณ์ ต่อไปนี้จะใชส้ ญั ลักษณ์ In แทนเมทรกิ ซเ์ อกลักษณท์ ีม่ ีมติ ิ n  n

หมายเหตุ 1) ถ้า A เปน็ เมทรกิ ซ์เอกลกั ษณ์ แล้ว A จะเป็นเมทริกซส์ เกลาร์ (บทกลบั ไมจ่ รงิ )

2) ถ้า A เป็นเมทริกซ์เอกลกั ษณ์ แลว้ A จะเปน็ เมทริกซเ์ ฉียง (บทกลับไม่จรงิ )

3) ถา้ A เป็นเมทริกซเ์ อกลกั ษณ์ แล้ว A จะเปน็ เมทริกซส์ ามเหลี่ยม (บทกลับไมจ่ รงิ )

8. เมทริกซแ์ บบแถว (Row matrix)

บทนิยาม เมทริกซ์แบบแถว หมายถึงเมทรกิ ซท์ ี่มีมิติ 1n

หรอื อาจกล่าวได้ว่า เมทริกซ์แบบแถว คือ เมทรกิ ซ์ท่ีมแี ถวเดียว และจะมจี ำนวนหลกั เท่าใดก็
ได้ เชน่

1 2 −1 มมี ีติ 13 0 1 0 2 3 มีมตี ิ 15

1 มีมตี ิ 11 เป็นเตน้

71

9. เมทรกิ ซ์แบบหลัก (Column matrix)

บทนิยาม เมทริกซ์แบบหลกั หมายถงึ เมทริกซท์ ่มี ีมติ ิ n  1

แสดงวา่ เมทรกิ ซแ์ บบหลกั จะต้องเป็นเมทริกซ์ที่มีหลักเพยี งหลักเดยี ว แต่จะมีกแ่ี ถวกไ็ ด้ เชน่

0
1 
1  ,  , 1 เป็นเตน้
2 0
1  2
3 

เมทรกิ ซท์ ่ีควรรูจ้ กั เพมิ่ เตมิ อีก มีดังตอ่ ไปน้ี
1. เมทรกิ ซส์ มมาตร(Symmetric Matrix)

บทนยิ าม เมทริกซ์ A จะเปน็ เมทรกิ ซ์สมมาตร(Symmetric Matrix) ก็ต่อเม่ือ At = A-1

3 1 4 3 1 4
เชน่ A = 1 2 0 จะได้ At = 1 2 0
4 0 5 4 0 5
เน่ืองจาก At = A−1 ดงั นัน้ A เป็นเมทรกิ ซ์สมมาตร

ข้อสังเกต 1. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สมมาตร จะได้ว่า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส เพราะถ้า A มีมิติ m  n จะได้
A t มมี ติ ิ

n  m แต่ At = A ดงั นัน้ m = n

2.
2. เมทรกิ ซ์เสมือนสมมาตร (Skew Symmetrix Matrix)

3. เมทริกซเ์ ชงิ ตัง้ ฉาก (Orthogonal Matrix)

72

ใบงานท่ี 7 หนว่ ยท่ี 1
แผนการจัดการเรยี นรแู้ บบบูรณาการที่ 11 ท-ป-น 2-0-2
รหสั 20000-1402 วชิ า คณติ ศาสตร์อตุ สาหกรรม
ช่ือหน่วย สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว

สมรรถนะการเรียนรู้

แสดงความรเู้ กีย่ วกบั ความหมาย ชนิด การเทา่ กนั เมทริกซ์

ใบงานท่ี 7 เร่อื ง เมทริกซ์

1. กำหนดให้ A = 2 4 24 จงหา
6 5 − 4 

(1) มติ ิของ A ตอบ …………………………………………

(2) a13 = …………………………………………
(3) a21 = …………………………………………

(4) a22 = …………………………………………

(5) a11 = …………………………………………

(6) a23 = …………………………………………

2. กำหนดให้ A = 1 2 3 − 4 , B = 0 −1 2 − 3 และ C = − 3 −4 1 0 จงหา
3 0 5 1  1 0 5 6  − 2 0 0 1

คำตอบในข้อต่อไปนี้

2.1 มติ ขิ อง A, B และ C

2.2 (a12 + b12) + c12
2.3 (2 a23 - 3b14) + 5c12

2 −3 1 4 −2
0 −2 3   
3. กำหนดให้ A = aij  = , B = bij  =  2 3  จงหาคำตอบในขอ้ ต่อไปน้ี

− 2 1 

5.1 มติ ขิ อง A และ B

5.2 a11b12 + a12b22 + a13b32
5.3 a11b11 + a12b21 + a13b31
5.4 a21b11 + a22b21 + a23b31
5.5 a21b12 + a22b22 + a23b32

73

………………………………………………………………… หน่วยท่ี 4
ใบงานท่ี 8 ท-ป-น 2-0-2

แผนการจดั การเรียนรู้แบบบรู ณาการที่ 11
รหัส 20000-1402 วชิ า คณติ ศาสตร์อุตสาหกรรม
ชอ่ื หน่วย เมทริกซ์

สมรรถนะการเรียนรู้
1. บอกชนิตของเมทริกซ์
2. หาคา่ การเทา่ กนั ของเมทริกซ์

ใบงานท่ี 8 เรอื่ ง ชนดิ เมทริกซ์

คำชีแ้ จง จงบอกชนดิ ของเมทรกิ ซท์ ่กี ำหนดใหต้ ่อไปนี้

1.  1 2 6. 0 1
−1 0 −1 0

ตอบ ………………………………………………………………………………... ตอบ ………………………………………………………………………………...

1 0 0 7. 0 2
0 3
2. 0 1 0

0 0 1

ตอบ ………………………………………………………………………………... ตอบ ………………………………………………………………………………...

3. 0 0 0 0 1 0 0

ตอบ ………………………………………………………………………………... 8. 0 2 0

0 0 3

ตอบ ………………………………………………………………………………...

0 0 0 1

4. 1 9. 0 2 0

0 3 0 0

ตอบ ………………………………………………………………………………... ตอบ ………………………………………………………………………………...

74

5. 0 0 5 0 0
0 0
10. 0 5 0
ตอบ ………………………………………………………………………………...
0 0 5

ตอบ ………………………………………………………………………………...

2. กำหนด A = a 1 และ B= b − a 1 จงหาจำนวนจริง a และ b ท่ที ำให้ A = B
0 b  0 a − b

3. กำหนด A = x + 2y 1 และ B =  3 4y 1 จงหาจำนวนจริง a และ b ทีท่ ำให้ A = B
 0 2 2x + 2

…………………………………………………………………………………………………………………………

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 12 75
ช่ือวิชา คณิตศาสตร์อุตสาหกรรม
ชอื่ หน่วย เมทริกซ์ หน่วยที่ 4
ช่อื เรือ่ ง เมทรกิ ซ์ รหสั วิชา 20000–1402
สอนครั้งท่ี 23 – 24
จำนวน 2 ชั่วโมง

หวั ข้อเรื่อง/งาน
ภาคทฤษฎี
4. การบวก และการลบเมทริกซ์
ภาคปฏบิ ัติ
1. ใบความรู้ที่ 7 เรอ่ื ง การบวก ลบเมทรกิ ซ์
2. ใบงานท่ี 9 เรือ่ ง การบวก ลบเมทริกซ์

สาระการเรียนรู้
4.4 การบวก และการลบเมทรกิ ซ์
4.4.1 การบวกเมทริกซ์
4.4.2 การลบเมทริกซ์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรเู้ ก่ยี วกับ การบวก การลบ และการคูณเมทริกซ์

วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม
1. มคี วามรู้ ความเข้าใจ เกิดความคิดรวบยอดเกย่ี วกับเมทริกซ์
2. มีทกั ษะ กระบวนการคดิ และดำเนินการเก่ยี วกับเมทริกซ์
3. นำความรู้ และทกั ษะท่ไี ด้จากการเรยี นรู้เร่ืองเมทรกิ ซ์ไปใชแ้ ก้ปญั หาในสถานการณ์จรงิ ตลอดจน

นำไปประยุกต์ใช้ ในอาชีพ และการดำรงชีวติ ได้
4. มีเจตคตทิ ด่ี ีตอ่ การเรียนรูว้ ชิ าคณิตศาสตร์

ดา้ นคณุ ธรรม จริยธรรม/บรู ณาการปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง
แสดงออกดา้ นความสนใจใฝร่ ู้ การตรงต่อเวลา ความซือ่ สตั ย์ สุจริต ความมีน้ำใจ และแบ่งปัน

ความร่วมมอื /ยอมรับความคดิ เหน็ สว่ นใหญ่

76

กจิ กรรมการเรียนรู้ (สัปดาห์ที่ 11/18, ชั่วโมงที่ 21–22/36)
1. ครูนำเขา้ สู่บทเรียน และครูแจง้ จดุ ประสงคก์ ารเรียน
2. เตรียมความพร้อม ทบทวนเนื้อหาเรื่อง ความหมายของเมทริกซ์ ชนิดของเมทริกซ์ และการเท่ากัน

ของเมทรกิ ซ์
3. ครสู อนสาระการเรยี นรู้ เรอ่ื ง การบวก และการลบเมทรกิ ซ์
4. นกั เรยี นทำแบบฝึกหัดหน่วยท่ี 4
5. ครแู ละนักเรยี นรว่ มกนั เฉลยแบบฝึกหัด และร่วมอภปิ รายสรุปบทเรยี น

งานท่ีมอบหมาย
งานทีม่ อบหมายนอกเหนือเวลาเรียน ใหท้ ำแบบฝึกหัดใหเ้ รียบรอ้ ย ถกู ต้อง สมบูรณ์ และนำมาส่งใน

ครง้ั ตอ่ ไป

ผลงาน/ชน้ิ งาน/ความสำเร็จของผ้เู รียน
1. ผลการทำ ใบงานที่ 9

สอ่ื และแหล่งการเรียนรู้
1. สอ่ื การเรียนรู้ หนงั สอื เรยี นคณิตศาสตร์อตุ สาหกรรมหน่วยที่ 4
2. แหลง่ การเรยี นรู้ หนังสือ คมู่ ือหนังสือเรียน หรอื อินเทอรเ์ น็ต www.google.com

การวัดและการประเมินผล
ใบงานท่ี 9 เกณฑผ์ ่าน 50 ขึน้ ไป

ใบความรู้ที่ 7 77
แผนการจัดการเรยี นรูแ้ บบบูรณาการที่ 12
รหัส 20000-1402 วิชา คณิตศาสตร์อุตสาหกรรม หนว่ ยท่ี 4
ชือ่ หน่วย เมทริกซ์ สอนครัง้ ที่ 1-2
จำนวนชว่ั โมง 2 ชว่ั โมง

สาระการเรียนรู้
การบวก และการลบเมทริกซ์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรู้เกยี่ วกบั การบวก การลบ และการคูณเมทริกซ์

ใบความรทู้ ่ี 7 เรื่อง การดำเนินการบนเมทรกิ ซ์

การดำเนนิ การบนเมทริกซ์

การดำเนินการ (operations) บนเมทรกิ ซ์ทจี่ ะกล่าวได้แก่ การบวกของเมทริกซ์ การลบของเมทริกซ์ การ
คูณเมทริกซ์ดว้ ยจำนวนจรงิ

และการคณู เมทรกิ ซ์ด้วยเมทริกซ์

1. การเทา่ กันของเมทรกิ ซ์

   เมทริกซ์
บทนยิ าม A= aij และ B= bi j จะเปน็ เมทริกซ์ที่เท่ากนั (เขยี นแทนดว้ ย A

mn pq

= B) กต็ ่อเมอ่ื

1) m = p และ n = q และ

2) ai j = bij สำหรับ I = 1, 2, . . ., m และ j = 1, 2, . . ., n
น่ันคอื A = B กต็ อ่ เมื่อ

1) A และ B มมี ิติเดยี วกนั

2) สมาชิกของ A และ B ซ่ึงอยู่ตำแหนง่ เดยี วกนั เทา่ กันทุกตวั

ถา้ ขาดคณุ สมบตั ิข้อหน่ึงข้อใด จะกล่าวว่า A ไมเ่ ท่ากบั B และเขียนแทนด้วย A  B

78

Ex 1. กำหนดให้ A = 2 9 , B = 4 3 ,  4 3 , D = 2 − 3 จงหาว่าเมทรกิ ซใ์ ดเท่ากันบ้าง
− 1 0  −1 0 C = 3 −1 0 −1 
0 

วิธที ำ

จะพบว่า

(1) A = B ทัง้ นี้เพราะ 4 = 2, 9 = 3 และสมาชิกตัวอ่นื ๆ เทา่ กัน

(2) A  C ท้ังนเ้ี พราะ 9  −3

(3) A  D ท้งั นเ้ี พราะ 9  −3

(4) C = D ทัง้ น้ีเพราะ 4 = 2,

0 = 0 , 3 −1 = −1 และ-3 = -3

x2 − 1 2 −1  3 2 −1
  B = 0 x − 1 5
Ex 2. จงหาจำนวนจรงิ x ทที่ ำใหเ้ มทริกซ์ A = B เมือ่ กำหนด A =  0 1 5  , 6 8 

2x + 1 6 8 5

วิธีทำ

กอ่ นอน่ื เราจะต้องพิจารณาสมาชกิ ของ A และ B ท่ไี มม่ ตี ัวแปร และอยู่ในตำแหนง่ เดยี วกันเสียกอ่ น วา่ เท่ากัน
หรอื ยงั ซึง่ ในตัวอย่างน้ีพบว่าสมาชกิ เหลา่ นีเ้ ทา่ กนั อยแู่ ล้ว

ตอ่ ไปพจิ ารณาสมาชิกท่ีอยใู่ นเทอมของตวั แปร x จะไดว้ ่า A = B ก็ต่อเมือ่

x2 – 1 = 3 และ 1 = x – 1 และ 2x + 1 = 5

 x2 = 4 และ 2 = x และ 2x = 4

 x = 2, -2 และ x = 2 และ x = 2

ดงั น้นั A = B ก็ต่อเมอื่ x = 2

 x 3 + 1 −4 x 0 −4 −1
 5 0 6 5 x −1 6 
Ex 3. ถา้ กำหนดให้ A =  , B = จงหาจำนวนจรงิ x ท่ีทำให้ A = B

วธิ ีทำ

จากเมทริกซ์ A และ B ท่ีกำหนดให้ จะไดว้ า่ A = B กต็ ่อเม่ือ

x3 + 1 = 0 และ x = – 1 และ 0=x-1

79

 x3 = -1 และ x = -1 และ x = 1

 x = -1 และ x = -1 และ x = 1

จะเหน็ ว่าเงื่อนไขท่ีกลา่ วว่า x = -1 และ x = 1 นนั้ เปน็ เงอื่ นไขที่ขัดแยง้ กัน ไม่สามารถหาจำนวนจริง x ทมี่ คี ่าเท่ากบั 1
และในขณะเดยี วกันก็มคี ่าเท่ากบั -1 ได้ แสดวา่ A  B

3 −1 y 

Ex 4. จงหาจำนวนจริง x และ y ทที่ ำให้เมทริกซ์ A และ B ทกี่ ำหนดให้ตอ่ ไปนเ้ี ทา่ กนั A = x + 1 0 2 ,

2x − 4 1

3 −1 x 
B = 4 0 y − 1
− 4 1 
6

วิธีทำ

จากเมทริกซ์ A และ B ท่ีกำหนดให้ จะไดว้ ่า A = B ก็ต่อเม่ือ

y = x และ x + 1 = 4 และ 2 = y – 1 และ 2x = 6

 y = x และ x = 3 และ 3 = y และ x = 3

ดงั นนั้ A = B กต็ ่อเมอื่ x = 3 และ y = 3

 x 0 1
 y 2 5 ,
Ex 5. จงหาจำนวนจริง x และ y ท่ที ำให้เมทริกซ์ A และ B ทกี่ ำหนดให้ตอ่ ไปนเ้ี ทา่ กัน A = − 4

 1 0 6


 x 0 1
B = − 4 
−y 5 

 1 0 6

วิธีทำ

จากเมทรกิ ซ์ A และ B ท่ีกำหนดให้ จะไดว้ ่า A = B ก็ต่อเม่ือ

x = x และ y2 = − y

 x  0 และ y  0

80

Ex 6. ถา้ กำหนดให้ x และ y เปน็ จำนวนจริงโดยท่ี x2 – x – 2  0 และ y2 – y – 6  0 และกำหนดเมทริกซ์

5 − 2 1  5 −2 1
A = x 2 − 4 6   6 0
0  , B =  0

 7 4 y 2 + 3 − 7 7 4y
−

วิธีทำ

จากเมทริกซ์ A และ B ท่ีกำหนดให้ จะได้ว่า A = B ก็ต่อเม่ือ

x2 – x - 2  0 และ x2 - 4 = 0 และ x2 – x - 6  0

และ y2 + 3 = 4y

(x – 2)(x + 1)  0 และ x2 = 4 และ (x – 3)(x + 2)  0

และ y2 -4y + 3 = 0

-1  x  2 และ x = 2, -2 และ (y  -2 หรือ y  3)

และ (y – 3)(y – 1) = 0

 -1  x  2 และ x = 2, -2 และ (y  -2 หรอื y  3)

และ y = 3, 1

ดงั นนั้ A = B กต็ ่อเมอื่ x = 2 และ y = 3

81

ใบงานที่ 9 หน่วยท่ี 4
แผนการจดั การเรยี นร้แู บบบรู ณาการท่ี 12 ท-ป-น 2-0-2
รหสั 20000-1402 วิชา คณติ ศาสตร์อตุ สาหกรรม
ชื่อหน่วย เมทริกซ์

สมรรถนะการเรียนรู้
1. การแกส้ มการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว
2. โจทย์สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว

ใบงานที่ 9 เรื่อง การบวก ลบเมทริกซ์

1. จงหาผลลัพธใ์ นแตล่ ะข้อต่อไปนี้

1.1 1 2 3 + − 2 −3 −4 + 1 1 1
4 5 6 − 3 −4  −1 −1 −1
− 5 

1.2  5 − 4 − − 4 1  +  3 6
3 2 2 − 4
 0 2 
 

− 2 1  4 1  5 1 
  2 − 3 − −1  
1.3 −1 3  +  0 3  
3  2
 4 0 1 

2. จงหาเมทรกิ ซ์ X ท่สี อดคลอ้ งกบั สมการต่อไปนี้

2.1 2 3 0 + − 4 2 1 + X = 1 0 1
−1 −3   −2 0 2 1 −1
1   4

2.2 X + 3 1 =  4 5 − 3 4
2 6 − 4 6 − 5 5

…………………………………………………………………………..

82

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 13 หนว่ ยท่ี 4
ชือ่ วิชา คณติ ศาสตร์อตุ สาหกรรม รหัสวชิ า 20000–1402
ชือ่ หน่วย เมทริกซ์ สอนครงั้ ที่ 25 – 26
ชอื่ เรื่อง เมทริกซ์ จำนวน 4 ชั่วโมง

หัวข้อเร่อื ง/งาน
ภาคทฤษฎี
5. การคูณเมทรกิ ซ์ดว้ ยสเกลารห์ รอื จำนวนจริง
6. การคูณเมทริกซด์ ้วยเมทริกซ์
ภาคปฏิบตั ิ
1. ใบความรทู้ ี่ 8 เรื่อง การคูณเมทริกซ์
2. ใบงานที่ 10 เร่ือง การคณู เมทริกซ์

สาระการเรียนรู้
4.5 การคูณเมทรกิ ซ์ด้วยสเกลารห์ รือจำนวนจรงิ
4.6 การคูณเมทรกิ ซ์ด้วยเมทริกซ์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความร้เู ก่ียวกับการคูณเมทริกซ์

วตั ถปุ ระสงคเ์ ชิงพฤติกรรม
1. มีความรู้ ความเขา้ ใจ เกดิ ความคดิ รวบยอดเก่ยี วกับเมทริกซ์
2. มที ักษะ กระบวนการคดิ และดำเนนิ การเกย่ี วกบั เมทริกซ์
3. นำความรู้ และทกั ษะทีไ่ ดจ้ ากการเรียนรูเ้ ร่อื งเมทรกิ ซ์ไปใช้แกป้ ญั หาในสถานการณจ์ ริง ตลอดจน

นำไปประยุกตใ์ ช้ ในอาชีพ และการดำรงชีวติ ได้
4. มีเจตคติท่ดี ีต่อการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์

ดา้ นคณุ ธรรม จริยธรรม/บรู ณาการปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง
แสดงออกด้านความสนใจใฝ่รู้ การตรงต่อเวลา ความซื่อสตั ย์ สจุ ริต ความมีนำ้ ใจ และแบ่งปัน

ความรว่ มมือ/ยอมรับความคิดเห็นส่วนใหญ่

83

กจิ กรรมการเรียนรู้
1. ครูนำเข้าสูบ่ ทเรียน และครแู จ้งจดุ ประสงค์การเรียน
2. เตรยี มความพรอ้ ม ทบทวนเนื้อหาเรื่อง การบวก ลบเมรกิ ซ์ และการคูณเมทรกิ ซด์ ้วยสเกลาร์หรอื จำนวนจริง
3. ครูสอนสาระการเรยี นรู้ เร่อื ง การคูณเมทรกิ ซ์ดว้ ยเมทริกซ์
4. นักเรียนทำใบงานที่ 10
5. ครแู ละนักเรียนร่วมกันเฉลยแบบฝกึ หัด และรว่ มอภิปรายสรปุ บทเรียน

งานท่มี อบหมาย
งานท่มี อบหมายนอกเหนือเวลาเรยี น ใหท้ ำแบบฝกึ หัดใหเ้ รียบร้อย ถกู ต้อง สมบรู ณ์ และนำมาสง่ ในครง้ั ต่อไป

ผลงาน/ชิน้ งาน/ความสำเร็จของผเู้ รียน
1. ผลการทำ ใบงานที่ 10

สื่อ และแหลง่ การเรยี นรู้
1. สอื่ การเรียนรู้ หนงั สอื เรียนคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมหนว่ ยท่ี 4
2. แหลง่ การเรยี นรู้ หนังสือ คู่มือหนังสือเรียน หรอื อนิ เทอรเ์ นต็ www.google.com

การวดั และการประเมินผล
ใบงานที่ 10 เกณฑผ์ า่ น 50 ข้นึ ไป

84

ใบความรู้ที่ 8 หนว่ ยท่ี 4
แผนการจดั การเรยี นรู้แบบบรู ณาการที่ 13 สอนครั้งท่ี 1-2
รหัส 20000-1402 วิชา คณิตศาสตร์อุตสาหกรรม จำนวนชว่ั โมง 2 ชวั่ โมง
ชอ่ื หน่วย เมทริกซ์

สาระการเรยี นรู้
1. การคณู เมทริกซ์ด้วยสเกลารห์ รอื จำนวนจรงิ
2. การคณู เมทรกิ ซด์ ้วยเมทริกซ์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความร้เู ก่ยี วกบั การคูณเมทริกซ์

ใบงานที่ 8 เรื่อง การคูณเมทรกิ ซ์

3. การคณู เมทริกซด์ ้วยจำนวน

บทนิยาม  ให้ A = ai j m  n และ c เป็นจำนวนจริง ผลคณู ของ c และ A จะเขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ cA ซึง่ เปน็

เมทริกซ์

 ท่ีมีมิติ m  n และนิยามดังนี้ cA = cai j m  n

85

2 1 3  1 2 2
Ex 1. ถ้ากำหนดให้ A = 1 −1 2 และ B = 2 1 2 จงหาคา่ ของ
1 2 1  2 2 1

2 1 3
1. 3A = 31 −1 1
1 2 2

6 3 9
= 3 − 3 3
3 6 6

1 2 2
2. -4B = − 42 1 2
2 2 1

− 4 −8 −8
= − 8 − 4 − 8

− 8 − 8 − 4

1. 5(A + B)

=  2 1 3 1 2 2 
5 1 −1 1 + 2 1 2 
 1 2 2 2 2 1


=  3 3 5 
5 3 0 3 
 3 4 3


15 15 25
= 15 0 15

15 20 15

86

2. 5A + 5B

2 1 3 1 2 2
= 51 −1 1 +52 1 2

1 2 2 2 2 1

10 5 15  5 10 10
  10 10
=  5 −5 5  + 5

 5 10 10 10 10 5 

15 15 25
= 15 0 15
15
15 20
3. (-2 + 5)A

= 3A

2 1 3
= 31 −1 1

1 2 2

6 3 9
= 3 − 3 3

3 6 6
4. -2A + 5 A

2 1 3 2 1 3
= − 21 −1 1 +51 −1 1
1 2 2 1 2 2

− 4 − 2 − 6 10 5 15
= − 2 2  
2 − +  5 −5 5 

− 2 − 4 − 4  5 10 10

6 3 9
= 3 − 3 3
3 6 6

87

Ex 2. ให้ A = 1 0 , B = 0 1 , C = 1 0 ,
0 1 1 0 0 −1
0 1
D = −1 0 จงหาจำนวนจริง a, b, c และ d ทท่ี ำให้

aA + bB + cC + dD = 1 2
3 4
วิธที ำ

aA + bB + cC + dD = 1 2
3 4
1 0 b10 1 +c10 0 d−01 1 1 2
a 0 1 + 0 −1 + 0 = 3 4

a 0 + 0 b + 0c − 0 + 0 d = 1 2
0 a b 0 c  − d 0 3 4
a + c b + d 1 2
b − d a − c = 3 4

จะได้ว่า a + c = 1 (1)

b+d =2 (2)

b-d =3 (3)

a-c =4 (4)

(1) + (4) จะได้ 2a = 5

a = 5
2
(1) - (4) จะได้ 2c = -3

c = − 3
2
(2) + (3) จะได้ 2b = 5

a = 5
2
(2) - (3) จะได้ 2d = -1

d = − 1
2

88

คุณสมบัตขิ องการคณู เมทริกซด์ ว้ ยจำนวนจริง

1. ถา้ A เปน็ เมทริกซใ์ ด ๆ แล้ว 1 × A = A

2. ถ้า A เป็นเมทริกซใ์ ด ๆ แล้ว (-1) × A = A

3. ถ้า A เป็นเมทริกซใ์ ด ๆ และ c, d เป็นจำนวนจริง แลว้ (c + d)A = cA + dA

4. ถา้ A เป็นเมทริกซ์ใด ๆ และ c, d เปน็ จำนวนจรงิ แล้ว (cd)A = c(dA) = d(cA)

5. ถ้า A และ B เปน็ เมทริกซท์ ี่มีมิติท่ีเทา่ กัน และ c เปน็ จำนวนจรงิ แล้ว c(A + B) = cA + cB

6. ถ้า A เปน็ เมทริกซใ์ ด ๆ และ n เป็นจำนวนเตม็ บวก แล้ว nA = A + A + A + . . . + A (n เมทรกิ ซ์)

7. ถา้ A เป็นเมทริกซ์ใด ๆ แล้ว 0 × A = 0

8. ถา้ C เป็นเมทริกซ์ใด ๆ แล้ว c × 0 = 0

Ex 3. ให้ A = 1 −1 , B = 2 − 2 , C = 0 4 , D = 3 − 5 จงหาคา่ ของ
0 1 1 3 − 3 2 1 2
1. (2A + 2B) – (3C + 3D) 2. (4A – 5B) + (4C + 5D)

วธิ ีทำ

1. (2A + 2B) – (3C + 3D)

= 2(A + B) - 3(C + D)

= 2 1 −1 + 2 − 2  −3 −03 4 + 3 −25 
0 1 1 3 2 1
3 − 3 3 −1
= 2 1 4   −3 − 2 4  

= 6 −6 − 9 − 3
2 8  − 6 12
− 3 − 3
=  8 − 4

2. (4A – 5B) + (4C + 5D)

= (4A + 4C) + (5D – 5B)

= 4(A + C) + 5(D – B)

= 4 1 −1 + −03 4  +5 3 − 5 − 2 − 2 
0 1 2 1 2  1 3
1 3 1 −3
= 4 − 3 3  +5 0 −1 

89

= 4 12 + 5 −15
−12 12 0 5
9 − 3
= −12 7 

3 −2 0 1 0 0
Ex 4. จงหาเมทริกซ์ X จากสมการ 5X + 21  0 0
0 2  = 1

4 −5 1  0 0 1

วิธที ำ

3 −2 0 1 0 0
5X + 21  = 0 1 0
0 2 
0 0 1
4 −5 1  1 0 0 6 −4 0
= 0 1 0 − 2 0 4
5X 0 0 1 8 −10 2 

−5 4 0 
5X = −2 1 −4
−8 10 −1
4
 −1 15 0 
 5 
2 2 4
X = − 85 − 15 
 5 − 5 
−


Ex 5. ให้ A = 2 −5 1 , B = 3 2 0 , C = 1 −1 5 จงหาเมทรกิ ซ์ X จากสมการ
1 0 4  1 0 5 2 −4 0

5 (X − 2A) = 2{2X − (X + 3B)} + 4C
2
วธิ ที ำ

5 90
2
(X − 2A) = 2{2X − (X + 3B)} + 4C
= 2{2X − X − 3B} + 4C
5 X − 5A = 4X − 2X − 6B + 4C
2 = 5A − 6B + 4C
5 = 10A − 12B + 8C
2 X − 5A

5 X − 4X + 2X
2
5X − 8X + 4X

X = 10A − 12B + 8C

= 1012 −5 1 − 1213 2 0 + 812 −2 5
0 4  0 5 −4 0

= 20 − 50 10 − 36 24 0 + 8 −16 40
10 0 40 12 0 60 16 − 32 0 

= − 8 − 90 50 
 14 − 32 − 20

91

ใบความรู้ที่ 9 หน่วยท่ี 4
แผนการจัดการเรียนรแู้ บบบูรณาการที่ 13 สอนครั้งที่ 1-2
รหัส 20000-1402 วชิ า คณติ ศาสตร์อุตสาหกรรม จำนวนชวั่ โมง 2 ช่วั โมง
ชอื่ หน่วย สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

สาระการเรียนรู้
การคณู เมทริกซด์ ้วยเมทริกซ์

สมรรถนะการเรยี นรู้
แสดงความรเู้ ก่ียวกบั การคูณเมทรกิ ซ์

ใบความร้ทู ี่ 9 เรอ่ื ง การคณู เมทริกซ์ด้วยเมทรกิ ซ์

การคณู เมทรกิ ซ์ดว้ ยเมทริกซ์อนั ดบั แรกทีน่ ักเรยี นควรทราบกค็ ือ การคูณเมทริกซแ์ ถวด้วยเมทริกซห์ ลกั ซง่ึ จะ

นิยามดงั นี้

b11 

บทนยิ าม ถา้ A = [a11, a12, . . ., a1n] และ B = b 21  เป็นเมทรกิ ซ์ท่มี ีมิติ 1 n และ n  1 ตามลำดบั ผล
 
 

 b n 1 
 

คณู A ด้วย B จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ AB โดยที่ AB = [a11b11 + a12b21 + . . . + a1nbn1]1  1

หมายเหตุ 1. ขอใหส้ ังเกตมิตขิ อง A และ B จะพบวา่ AB จะหาค่าได้ก็ต่อเม่ือ จำนวนหลกั ของ A = จำนวนแถว

ของ B

2. มิตขิ อง AB เทา่ กับ 1  1

− 3 92
 4
 Ex 1. จงหาผลคณู ของ 1 2

วิธีทำ

   1 − 3
2  4 = (1)(−3) + (2)(4)

= − 3 + 8

= 5

 1

 Ex 2. จงหาผลคูณของ 5 0 − 2 −1
 3
วธิ ที ำ

 1

5 0 − 2 −1
 3

 = (5)(1) + (0)(−1) + (−2)(3)

= 5 − 6

= −1

−1

 1

 Ex 3. จงหาผลคูณของ − 2 − 5 2 3 −1

 0


วธิ ีทำ

−1

  1 2 3  1
−2 −5 −

 0

 = (−2)(−1) + (−5)(1) + (2)(−1) + (3)(0)

= 2 − 5 − 2 + 0 93

= − 5

 2x 
   Ex 4. จงหาค่า x จากสมการ 1  
2 x  1  = x−4

− 3

วธิ ีทำ

 2x 
  = x − 4
1 2 x  1 

− 3

   (1)(2x) + (2)(1) + (x)(−3) = x − 4

2x + 2 − 3x = x − 4

2 − x = x − 4

จะได้ว่า 2-x = x–4

2x = 6

x =3

−1

 Ex 5. จงหาค่า x จากสมการ 3 −1 = 0
−x −6 − 2x  
 x 

− x

วธิ ีทำ

−1

3 −1   = 0
−x −6 − 2x  x 

− x
 − 3 + x − 6x + 2x2 = 0

 2x2 − 5x − 3 = 0

94

จะไดว้ า่ 2x2 – 5x – 3 = 0

(2x + 1)(x – 3) = 0

x 3, − 1
2

บทนยิ ามทีจ่ ะกลา่ วต่อไปน้ี จะนิยามการคณู ของเมทริกซด์ ้วยเมทริกซ์ซง่ึ ไมจ่ ำเป็นตอ้ งเป็นการคูณเมทรกิ ซแ์ ถวดว้ ยเมท

รกิ ซ์หลกั

บทนิยาม ถา้ A = [ai j]m  n และ B = [bi j]n  k ผลคณู AB จะเปน็ เมทรกิ ซ์ทม่ี ีมิตเิ ท่ากับ m  k สมมตใิ ห้ AB =

C = [Ci j]m  k จะ
ได้วา่ cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj
เพอ่ื ความสะดวกในการทำความเขา้ ใจเก่ยี วกบั ผลคณู ของเมทรกิ ซ์ ดแู ผนภาพประกอบต่อไปนี้

   ai1 b1 j 

 a ip  = c ij

 a11  a1p  bpj 

    b11  b1j  b1n   c11  c1n 
 a ip          c ij  
 a i1      =  
  b pj
    b p1 bpn  cm1  cmn 

am1  amp 

หมายเหตุ 1. ผลคณู AB จะคูณกนั ไดก้ ็ต่อเม่ือ จำนวนหลกั ของตัวตั้ง = จำนวนแถวของตวั คูณ
2. ผลคูณ AB ทีเ่ กดิ ขนึ้ จะมีจำนวนแถวเท่ากับจำนวนแถวของตัวตัง้ และมจี ำนวนหลกั เท่ากับจำนวน

หลักของตัวคณู

นน่ั คือ (m  n)(n  k) = (m  k)

3. ถ้า AB = [ci j]m  n จะได้วา่ cij = (แถวท่ี i ของ A) (หลกั ที่ j ของ B)

Ex 5. จงหาผลคูณของ 2 1  −1 0
0 −1  3 1 
วิธีทำ

2 1 −1 0

0 −1  3 1

=  (2)(−1)+(1)(3) (2)(0)+(1)(1) 
(0)(−1) + (−1)(3) (0)(0) + (−1)(1)

= 1 1 0 2 1 
− 3 −1 1 0 −1

Ex 6. จงหาผลคูณของ −1
 3
วิธที ำ

−1 0 2 1 

 3 1 0 −1

= (−1)(2) + (0)(0) (−1)(1) + (0)(−1)
 (3)(2)+(1)(0) (3)(1)+(1)(−1) 

= − 2 −1
 6 2 

2 1 0  1 0 5 2 1 3
Ex 7. กำหนดให้ A = −1 0 1 , −1 0 2 1 
1 B =  2 2  , C = และ D =  จงหาผลคณู
 3  
5 −1 0
4

ตอ่ ไปนี้

1. AB 2. CB 3. CD

วธิ ีทำ

 2 1 0 1 0
AB = −1   2
0 1   2

 3 1 5−1 0

=

คณุ สมบัตกิ ารคณู เมทริกซ์

1. คุณสมบัติการเปลย่ี นกลุ่ม

ถ้า A = [ai j]m  n, B = [bi j]n  k และ C = [ci j]k  t แลว้ ABC = (AB)C = A(BC)
2. คุณสมบตั กิ ารแจกแจง

การแจกแจงทางซา้ ยมือ

ถา้ A = [ai j]m  n, B = [bi j]m  n และ C = [ci j]n  k แลว้ (A +B)C = AC + BC
การแจกแจงทางขวามอื

ถา้ A = [ai j]m  n, B = [bi j]n  k และ C = [ci j]n  k แลว้ A(B + C) = AB + AC

3. ถ้า A = [ai j]m  n, B = [bi j]n  k และ c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ แล้ว c(AB) = (cA)B = A(cB)
บทนิยาม ถ้า A เป็นเมทริกซ์จตั รุ ัสใด ๆ และ n เปน็ จำนวนเต็มบวก แลว้ An = AAA. . .A (n เมทริกซ)์
✓ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ก็ตอ่ เมือ่ AB = BA
✓ (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 ก็ต่อเม่ือ AB = BA
✓ (A + B)(A – B) = A2 – B2 กต็ ่อเมื่อ AB = BA

4. คณุ สมบตั ิของเมทรกิ ซ์เอกลักษณ์

1.1 ถ้า A = [ai j]m  n แล้ว AIn = A

1.2 ถ้า A = [ai j]n  m แลว้ InA = A

1.3 ถา้ A = [ai j]n  n แล้ว AIn = InA = A
5. คณุ สมบตั กิ ารคูณเทริกซ์เฉยี ง

ถา้ A = diag(a11, a22, . . ., ann) และ B = diag(b11, b22, . . ., bnn) เปน็ เมทรกิ ซ์เฉยี งที่มีมิติเท่ากันแลว้

AB และ BA จะยังคงเป็นเมทรกิ ซ์เฉียง โดยท่ี AB = BA = diag(a11b11, a22b22, . . ., annbnn)
( )ถ้า A = diag(a11, a22, . . ., ann) และ
k เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ แลว้ Ak = diag ak , a k ,, a k
11 22 nn

ขอ้ ควรระวงั

1. AB ไม่จำเป็นตอ้ งเท่ากบั BA
2. ถา้ AB = 0 ไมจ่ ำเป็นท่ี A =0 หรือ B=0

3. ถา้ AB = AC โดยที่ A 0 ไมจ่ ำเป็นที่ B = C

4. ถา้ AB = CB โดยที่ B0 ไม่จำเป็นท่ี A = C

ใบงานที่ 10 หนว่ ยที่ 4
แผนการจดั การเรียนร้แู บบบรู ณาการท่ี 13 ท-ป-น 2-0-2
รหสั 20000-1402 วชิ า คณติ ศาสตร์อุตสาหกรรม
ชอื่ หน่วย สมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว

สมรรถนะการเรยี นรู้
แสดงความรู้เกี่ยวกบั การคณู เมทรกิ ซ์
ใบงานท่ี 10 เรื่อง การคณู เมทริกซ์

1. จงหาผลคณู ของเมทริกซต์ ่อไปน้ี

− 3
  1 
1.1 1 2 0 3  1 
 
 
 4 

−1
  1 
1.2 5 −1 4 0  2 
 
 
 5 

2. จงพจิ ารณาดูวา่ เมทริกซ์ A และ B ท่ีกำหนดให้สามารถหา AB หรอื BA ได้หรือไม่และถ้าหาได้จงบอกมิติของ

ผลคูณ

   A = a ij 23 และ B = b ij 32

ตอบ ……………………………………………………………………

   2.1 A = aij 33 และ B = bij 34

ตอบ ……………………………………………………………………

   2.2 A = a ij 22 และ B = bij 33

ตอบ ……………………………………………………………………

   2.3 A = aij 35 และ B = bij 43

ตอบ ……………………………………………………………………

   2.4 A = aij 13 และ B = bij 31

ตอบ ……………………………………………………………………

3. จงหาค่าของ AB และ BA (ถา้ หาได)้ เมื่อกำหนดเมทริกซ์ A และ B ดังนี้

1 2 −1 1 −1
0 1 3  2 
3.1 A = และ B = 0 2 

1 

− 2 0 1 0 1 −1
1  5 1 6 
3.2 A = −1 1 3  และ B =

 0 − 2

……………………………………………………………….

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 14 หน่วยที่ 4
ช่อื วิชา คณิตศาสตร์อตุ สาหกรรม รหัสวิชา 20000–1402
ชือ่ หน่วย เมทริกซ์ สอนครงั้ ท่ี 27 – 28
ชอ่ื เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์ จำนวน 2 ช่ัวโมง

หัวข้อเรือ่ ง/งาน
ภาคทฤษฎี
7. เมทรกิ ซส์ ลับเปลีย่ น
ภาคปฏิบตั ิ
1. แบบทดสอบหลงั เรียน เร่ือง เมทริกซ์

สาระการเรียนรู้
4.7 เมทริกซ์สลบั เปลีย่ น

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรเู้ กี่ยวกบั เมทริกซ์สลับเปลีย่ น

วัตถุประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม
1. มคี วามรู้ ความเข้าใจ เกดิ ความคดิ รวบยอดเกี่ยวกบั เมทรกิ ซ์
2. มีทกั ษะ กระบวนการคิด และดำเนินการเก่ยี วกบั เมทริกซ์
3. นำความรู้ และทกั ษะทไ่ี ด้จากการเรยี นรเู้ รื่องเมทริกซ์ไปใช้แกป้ ญั หาในสถานการณจ์ ริง ตลอดจน

นำไปประยกุ ตใ์ ช้ ในอาชีพ และการดำรงชวี ติ ได้
4. มเี จตคติทดี่ ตี ่อการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์

ดา้ นคุณธรรม จริยธรรม/บรู ณาการปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง
แสดงออกด้านความสนใจใฝร่ ู้ การตรงต่อเวลา ความซ่อื สตั ย์ สุจรติ ความมีน้ำใจ และแบง่ ปัน

ความร่วมมือ/ยอมรบั ความคดิ เห็นสว่ นใหญ่

กจิ กรรมการเรียนรู้ (สัปดาห์ที่ 13/18, ช่ัวโมงที่ 25–26/36)
1. ครูนำเขา้ สู่บทเรยี น และครูแจง้ จุดประสงค์การเรียน
2. เตรียมความพรอ้ ม ทบทวนเนื้อหาเรื่อง การคูณเมทริกซด์ ว้ ยเมทริกซ์
3. ครูสอนสาระการเรยี นรู้ เรื่อง เมทรกิ ซส์ ลบั เปลีย่ น
4. นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรยี น
5. ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกันเฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน

งานทมี่ อบหมาย
งานท่มี อบหมายนอกเหนือเวลาเรียน ใหท้ ำแบบฝกึ หัดให้เรียบร้อย ถูกต้อง สมบรู ณ์ และนำมาส่งในครง้ั

ต่อไป

ผลงาน/ช้ินงาน/ความสำเร็จของผ้เู รียน
1. คะแนนแบบทดสอบหลังเรียน (Post–test) หนว่ ยท่ี 4

สอื่ และแหลง่ การเรยี นรู้
1. สื่อการเรยี นรู้ หนังสอื เรียนคณติ ศาสตร์อตุ สาหกรรมหนว่ ยท่ี 4
2. แหล่งการเรยี นรู้ หนงั สอื คมู่ อื หนังสือเรยี น หรอื อนิ เทอรเ์ นต็ www.google.com

การวัดและการประเมินผล
แบบทดสอบหลงั เรียน (Post–test) หน่วยท่ี 4 เกณฑผ์ า่ น 50 ขน้ึ ไป