แผนการจัดการเรียนรู้ 20000-1402 คณิตศาสตร์อุตสาหกรรรม

แบบทดสอบหลังเรียนหนว่ ยที่ 4
เมทริกซ์

จดุ ประสงค์ เพื่อประเมนิ ความร้พู น้ื ฐานในการเรียนรู้ของนักเรยี นเก่ียวกับเร่ือง “เมทริกซ”์

คำแนะนำ 1. อา่ นคำถามต่อไปน้แี ลว้ ทำเคร่ืองหมายกากบาท ข้อความท่ีถูกทส่ี ุดในกระดาษคำตอบ
2. เวลาสำหรบั การทำแบบทดสอบ 20 นาที

 3 −1 8 4
 −2 5 7 −5 
1. กำหนดให้ A =  0 −3 2 1  จงหาขนาด A
 
ก. 3 x 4 ข. 4 x 3

ค. 3 x 3 ง. 4 x 4

 −3 5 7 
 6 2 1 
2. กำหนดให้ A =  0 8 9  จงหา a11, a21, a32

ก. –3, 1, 9  ข. 0, 6, 8

ค. –3, 6, 8 ง. –3, 5, 7

 3 x  3 1 
 2 y   2 −1 
3. จงหาคา่ x, y, z กำหนดให้  − 0 1  =  − z cos 
   
0

ก. x = 1, y = –1, z = 0 ข. x = –2, y = –1, z = 1

ค. x = 1, y = –2, z = –2 ง. x = 1, y = –2, z = –3

4. จงหา x และ y กำหนดให้  x+y 5  =  −1 5
 2 2x   2 3x + 2y 

ก. x = –1, y = –2 ข. x = 1, y = –2

ค. x = –2, y = –1 ง. x = –2, y = 1

ใช้ขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้ ตอบโจทยข์ อ้ 5 – 7

 2 3 2 3 1 0
 6 3   6 3   0 1 
กำหนดให้ A =  1 −1  B=  1 −1  C =  2 3 
    


5. จงหา A + B

ก.  3 6 8  ข.  2 4 5 
 2 4 5   3 6 8 

3 2 4 6
   
ค.  6 4  ง.  12 6 
 8 5   2 −2 

6. จงหา A + B – C

ก.  2 6 6  ข.  2 3 2 
 2 3 2   2 6 6 

3 6 2 2
   
ค.  12 5  ง.  6 3 
 0 −5   2 2 

7. จงหา (A – B) – (A – C)

1 6 1 3
   
ก.  6 5  ข.  9 7 
 −1 −4   −1 −4 

5 6  −1 − 3 
   
ค.  3 6  ง.  −6 −2 
 3 9   1 4 

ใชข้ อ้ มูลต่อไปน้ี ตอบโจทย์ ข้อ 8 – 11

กำหนดให้ A =  1 2  และ B =  3 2 
 3 0   4 −1 

8. จงหา AT + BT

ก. 4 7 ข. 4 4 
 4 − 1   7 −1 

ค.  7 −1  ง.  −1 4 
4 4  7 4 
 
 


9. จงหา A AT

ก. 5 3 ข.  9 3 
 3 9   3 5 

ค.  3 9  ง.  3 5 
 5 3   9 3 

10. จงหา AT BT

ก.  6 8  ข.  9 6 
 9 1   1 8 

ค. 9 1 ง.  1 8 
 6  6 9 
8 

11. จงหา 2 (A + B)T

ก. 8 14  ข. 8 8
 8 − 2   14 −2 

ค.  14 −2  ง.  −2 8 
8 4  14 8 
 
 


ใชข้ ้อมลู ต่อไปน้ี ตอบโจทย์ ข้อ 12 – 15

 3 2 −1  0 −4  2 1 0  3 
 1 2 0   1 2   1 0 −1   1 
กำหนดให้ A = B=  2 1  C=  5 3 1  D =  4 
     

12. จงหา AB

ก. 0 2 ข. 0 −9
 −9 0   2 0 

 −5   −4 −8 0 
 −7   5 6 −1 
ค.  −8  ง.  7 6 −2 
   

13. จงหา CD

7
 
ก.  −1  ข.  7 −1 22 
 22 

ค.  −11  ง.  −11 −1 
 −1   

 

14. จงหา AD

ก.  − 1 −6  ข.  −4 −8 0 
 2 −5  5 6 −1
5 −13  7 6 −2 
 
   
 

ค.  0 −2  ง. 7
 9 0  5 


15. จงหา ขนาดของเมทรกิ ซ์ BA

ก. [ ... ]2  3 ข. [ ... ]3  3
ค. [ ... ]2  2 ง. [ ... ]2  1

………………………………………………………………

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 15 หน่วยท่ี 5
ชอ่ื วิชา คณติ ศาสตร์อุตสาหกรรม รหสั วชิ า 20000–1402
ชื่อหน่วย ดีเทอร์มิแนนต์ สอนครัง้ ท่ี 29 – 30
ชื่อเรื่อง ดีเทอร์มิแนนต์ จำนวน 2 ชว่ั โมง

หวั ข้อเร่ือง/งาน
ภาคทฤษฎี
1. ความหมายของดเี ทอรม์ ิแนนต์
2. การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์โดยวธิ ีคูณทแยง
ภาคปฏบิ ตั ิ
1. ใบความรทู้ ่ี 10
2. ใบงานที่ 11 เรื่อง ดีเทอร์มิแนนต์

สาระการเรยี นรู้
5.1 ความหมายของดเี ทอรม์ ิแนนต์
5.2 การหาคา่ ดเี ทอร์มิแนนต์โดยวธิ คี ณู ทแยง
5.2.1 การหาดีเทอรม์ แิ นนตข์ องเมทริกซ์อนั ดับ 2 หรือ เมทริกซม์ ติ ิ 2 x 2
5.2.2 การหาดีเทอรม์ ิแนนต์ของเมทรกิ ซอ์ ันดบั 3 หรือ เมทริกซ์มติ ิ 3 x 3

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรู้เก่ียวกบั ความหมาย การหาค่าดีเทอรม์ แิ นนต์โดยวิธีคณู ทแยง

วัตถุประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม
1. มคี วามรู้ ความเข้าใจ เกดิ ความคดิ รวบยอดเกี่ยวกบั ดเี ทอร์มแิ นนต์
2. มีทักษะ กระบวนการคดิ และดำเนนิ การเกย่ี วกับดเี ทอร์มิแนนต์
3. นำความรู้ และทักษะท่ีได้จากการเรียนรู้เร่ืองดีเทอร์มแิ นนต์ ไปใช้แกป้ ญั หาในสถานการณ์จริง ตลอดจน

นำไปประยกุ ตใ์ ช้ ในอาชีพ และการดำรงชวี ติ ได้
4. มีเจตคตทิ ดี่ ตี อ่ การเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์

ด้านคุณธรรม จรยิ ธรรม/บูรณาการปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง

แสดงออกด้านความสนใจใฝ่รู้ การตรงต่อเวลา ความซือ่ สัตย์ สจุ ริต ความมีนำ้ ใจ และแบง่ ปัน
ความร่วมมือ/ยอมรบั ความคดิ เห็นส่วนใหญ่

กจิ กรรมการเรียนรู้
1. ครูนำเขา้ สบู่ ทเรียน และครูแจ้งจดุ ประสงคก์ ารเรียน
2. เตรียมความพรอ้ ม ทบทวนเนอื้ หาเร่ือง เมทริกซ์
3. ครูสอนสาระการเรียนรู้ เรื่อง ความหมายของดีเทอร์มิแนนต์ การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์โดยใช้วิธีคูณ

ทแยง
4. นกั เรยี นทำใบงานที่ 11
5. ครแู ละนักเรียนร่วมกนั เฉลยแบบฝกึ หดั และร่วมอภิปรายสรุปบทเรียน

งานที่มอบหมาย
งานท่ีมอบหมายนอกเหนือเวลาเรยี น ให้ทำแบบฝกึ หัดใหเ้ รียบรอ้ ย ถกู ต้อง สมบรู ณ์ และนำสง่ ในครั้ง

ตอ่ ไป

ผลงาน/ชิ้นงาน/ความสำเร็จของผู้เรียน
1. ผลการทำ ใบงานท่ี 11

ส่ือ และแหลง่ การเรยี นรู้
1. สื่อการเรียนรู้ หนงั สือเรยี นคณติ ศาสตรอ์ ตุ สาหกรรมหน่วยที่ 5
2. แหล่งการเรียนรู้ หนงั สือ ค่มู ือหนังสือเรยี น หรือ อินเทอรเ์ นต็ www.google.com

การวัดและการประเมินผล
ใบงานที่ 11 เกณฑผ์ า่ น 50 ขึ้นไป

ใบความร้ทู ี่ 10 หน่วยที่ 5
แผนการจดั การเรียนรู้แบบบรู ณาการท่ี 15 สอนครั้งท่ี 1-2
รหสั 20000-1402 วิชา คณิตศาสตร์อตุ สาหกรรม จำนวนชัว่ โมง 2 ชวั่ โมง
ช่อื หน่วย ดเี ทอร์มแิ นนต์

สาระการเรยี นรู้

1. ความหมายของดเี ทอรม์ ิแนนต์

2. การหาคา่ ดีเทอรม์ ิแนนตโ์ ดยวธิ ีคณู ทแยง

สมรรถนะการเรียนรู้

แสดงความรู้เกย่ี วกบั ความหมาย การหาคา่ ดีเทอรม์ แิ นนต์โดยวธิ คี ูณทแยง

ใบความร้ทู ี่ 10 เรือ่ ง ดเี ทอรม์ นิ นั ต์ (Determinant)

กำหนดให้ A =a ij  ดเี ทอร์มินนั ต์ของ A จะเขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ det(A) หรือ A หรือ

nn a11 a12  a1n

a 21 a 22  a 2n

 

a n1 a n2  a nn

บทนยิ าม ถ้า A = [a] เป็นเมทรกิ ซ์ที่มีมิติ 11 แล้ว det(A) = a

บทนยิ าม ถา้ A = a b เป็นเมทรกิ ซท์ ม่ี ีมิติ 22 แลว้ det(A) = ad – bc
c d

จากบทนยิ าม อาจจะสรุปไดว้ ่า ถ้า A เป็นเมทริกซ์ 22 แลว้ ดีเทอรม์ นิ นั ต์ของ A จะเท่ากับ

ผลตา่ งของผลคูณทแยง ดงั นี้

A = a b
c d

= ad – bc

a b c
ถ้า A = d 
บทนยิ าม e f  เปน็ เมทริกซท์ ่ีมีมติ ิ 33 แล้ว

g h i

= aed + bfg + cdh – gec – hfa - idb

Ex 1. จงหาดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซต์ ่อไปนี้

1. A =5 7. A = 3 0
0 − 2
2. A =−10

3. A =0 2 5 2
 
4. A = 2 1 8. A =  1 −3 1 
1 3
3 4 −1 1 −5
− 2 5
5. A = 2 −3 −4

6. A = 4 6 9. A = 1 0 − 2
2 3
0 −5 −6

Ex 2. จงหาจำนวนจรงิ x ทีส่ อดคล้องกบั สมการต่อไปนี้

x 14

1. 3 11 = 2

2x1

2. 1 0 1 = 0

342

 2 x 2
Ex 3. ถา้ กำหนดให้ A = −1 x2 2 จงหาจำนวนจรงิ x ทที่ ำให้ det(A)  0
 4 x3 2
1 −2 2 4
Ex 4. กำหนดให้ A = 3 −1 , B= 1 1 จงหาคำตอบในข้อต่อไปนี้

1. det(A)

2. det(A t )

3. det(AB)

4. det(A)det(B)

5. det(5A)

6. 52 det(A)

7. det(A−1 )
1
8. det( A )

1

สมบัตขิ องดีเทอร์มนิ นั ต์

1. ถา้ A เปน็ เมทริกซ์จัตรุ สั ใด ๆ แล้ว det( A)=det(At )

2. ถา้ A เปน็ เมทริกซ์จัตรุ ัสที่มีสมาชิกทกุ ตัวแถวใดแถวหนึ่ง(หรือหลกั ใดหลกั หน่ึง) เท่ากับ 0 แล้ว

det( A) = 0

3. ถา้ A เปน็ เมทริกซจ์ ตั รุ ัสท่มี สี มาชิกในแถว 2 แถว(หรือ 2 หลัก) ซ้ำกัน แลว้ det( A) =0

4. ถา้ A เป็นเมทริกซจ์ ัตรุ ัสและ B เปน็ เมทรกิ ซ์อันเกดิ จาก A โดยการสลบั กันระหวา่ งแถวคู่ใดคหู่ น่งึ (หรือ

หลักใดหลักหนึ่ง) ของ A เพยี งคเู่ ดียว แล้ว det( B) = − det( A)

5. ถ้า A เปน็ เมทริกซ์จัตรุ สั และ B เปน็ เมทรกิ ซอ์ ันเกดิ จาก A โดยการสลับกันระหวา่ งแถว(หรอื หลัก)

จำนวน k คู่ แลว้ det( B) =(−1)k det( A)

6. ถา้ A เป็นเมทริกซจ์ ัตุรัสและ B เป็นเมทรกิ ซท์ ค่ี ูณแถวใดแถวหนึง่ (หรือคณู หลักใดหลักหนึ่ง) ของ A

ดว้ ยจำนวนจรงิ k แล้ว det( B) = k det( A)

7. ถ้า A เป็นเมทริกซ์จตั ุรสั ทม่ี ีมิติ nn และ k เปน็ จำนวนจริง แลว้ det(kA)= k n det( A)

8. ถ้า A เป็นเมทริกซจ์ ตั ุรัสและ B เปน็ เมทริกซ์อันเกดิ จาก A โดยนำจำนวนจริง k ไปคูณแถวใดแถวหนึ่ง

(หรือหลกั ใดหลักหนึ่ง) ของ A แลว้ นำผลทไ่ี ด้ไปบวกกบั แถวอนื่ (หรือหลักอน่ื ) ของ A จะได้

det( B) = det( A)

9. ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรสั และ B เปน็ เมทริกซ์อันเกิดจากการบวกหรือการลบกันระหวา่ งแถว(หรือ

ระหว่างหลัก) ของ A แลว้ det(B) = det(A)

10. ถา้ A เปน็ เมทริกซจ์ ตั ุรสั โดยสมาชกิ ในแถวใดแถวหนงึ่ (หรือหลกั ใดหลกั หน่ึง) เท่ากับผลบวกหรอื

ผลตา่ งของอกี 2 แถว (หรอื ของอีก 2 หลัก) ของ A แล้ว det(A) =0

11. ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรสั โดยมสี มาชิกในแถวใดแถวหน่งึ (หรือหลกั ใดหลกั หนึ่ง) ของ A ซึ่งสมมตใิ ห้

เปน็ แถวที่ k เขียนอยู่ในรูปผลบวกของจำนวน 2 จำนวนแล้ว det(A) = det(A1 )+ det(A2 ) โดยท่ี

- แต่ละแถวของ A1 และ A2 ยกเวน้ แถวที่ k จะเหมือนกบั แตล่ ะแถวของ A
- แถวท่ี k ของ A1 คือจำนวนหนึ่งของแถงท่ี k ของ A และแถวท่ี k ของ A2 คือ อีกจำนวนหนึ่งของ

แถวที่ k ของ A

12. ถา้  A = aij nn เป็นเมทริกซ์สามเหล่ยี มแลว้ det(A) =a11 a12 a22 ann (ผลคณู ของสมาชิกบนเสน้

ทแยงมุมหลัก)

13. ถ้า A และ B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ nn แลว้ det(AB) = det(A) + det(B)

14. ถ้า A เปน็ เมทริกซ์จตั รุ สั แล้ว A จะเป็นเมทริกซ์นอนซิงกลู าร์ กต็ ่อเม่ือ det(A) 0

15. ถา้ A เปน็ เมทริกซน์ อนซิงกลู าร์ แล้ว det(A−1 )= 1
det( A )

2

ใบงานที่ 11 หนว่ ยที่ 5
แผนการจัดการเรยี นรูแ้ บบบรู ณาการที่ 15 ท-ป-น 2-0-2
รหัส 20000-1402 วิชา คณิตศาสตร์อุตสาหกรรม
ชื่อหน่วย ดีเทอร์มิแนนต์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความร้เู กี่ยวกบั ความหมาย การหาค่าดีเทอร์มแิ นนต์โดยวธิ คี ณู ทแยง

ใบงานที่ 11 เรือ่ ง ดีเทอร์มิแนนต์

1. จงหาดเี ทอร์มนิ นั ต์ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี 1.2 5 −6
4 3
34
67 0
1.1 9 − 7
1.4 0 − 9 2
345
4 0 −5
1.3 2 1 4

321

−3 5 1

1.5 − 4 1 3

3 10

2. กำหนดให้ A = 1 2 , B = 1 − จงหาคำตอบในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้
3 4 4 − 1

2.1 det(A)

2.2 det(B)

2.3 det(A + B)

2.4 det(A) + det(B)

2.5 det(AB)

………………………………………………………

3

แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 16 หน่วยที่ 5
ชอ่ื วิชา คณิตศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม รหสั วชิ า 20000–1402
ชือ่ หน่วย ดเี ทอร์มแิ นนต์ สอนครง้ั ที่ 31 – 32
ชอื่ เร่อื ง ดีเทอร์มิแนนต์ จำนวน 2 ชั่วโมง

หัวข้อเรือ่ ง/งาน
ภาคทฤษฎี
2. การหาคา่ ดีเทอรม์ ิแนนตโ์ ดยวธิ ีคณู ทแยง
3. สมบตั ิของดีเทอรม์ ิแนนต์
ภาคปฏิบัติ
-

สาระการเรียนรู้
5.2 การหาค่าดเี ทอร์มแิ นนตโ์ ดยวิธคี ูณทแยง
5.2.1 การหาดเี ทอรม์ แิ นนต์ของเมทริกซ์อันดบั 2 หรือ เมทรกิ ซ์มิติ 2 x 2
5.2.2 การหาดีเทอรม์ แิ นนต์ของเมทรกิ ซ์อันดับ 3 หรือ เมทรกิ ซ์มติ ิ 3 x 3
5.3 สมบัตขิ องดีเทอร์มแิ นนต์

สมรรถนะการเรยี นรู้
แสดงความรู้เกี่ยวกับความหมาย การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์โดยวิธีคูณทแยง และสมบัติของดีเทอร์

มแิ นนต์

วตั ถปุ ระสงคเ์ ชิงพฤติกรรม
1. มีความรู้ ความเขา้ ใจ เกิดความคดิ รวบยอดเกี่ยวกับดเี ทอร์มิแนนต์
2. มีทกั ษะ กระบวนการคดิ และดำเนนิ การเกีย่ วกบั ดเี ทอร์มิแนนต์
3. นำความรู้ และทักษะที่ได้จากการเรียนรู้เรื่องดีเทอร์มิแนนต์ ไปใช้แก้ปัญหาในสถานการณ์จริง

ตลอดจนนำไปประยุกตใ์ ช้ ในอาชพี และการดำรงชีวติ ได้
4. มเี จตคตทิ ดี่ ีตอ่ การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์

ดา้ นคุณธรรม จรยิ ธรรม/บูรณาการปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง
แสดงออกด้านความสนใจใฝ่รู้ การตรงตอ่ เวลา ความซือ่ สัตย์ สจุ รติ ความมีนำ้ ใจ และแบง่ ปนั

ความร่วมมอื /ยอมรับความคิดเห็นส่วนใหญ่

4

กจิ กรรมการเรียนรู้
1. ครูนำเขา้ สบู่ ทเรยี น และครแู จ้งจดุ ประสงค์การเรยี น
2. เตรียมความพร้อม ทบทวนเนื้อหาเรื่อง ความหมายของดีเทอร์มิแนนต์ และการหาดีเทอร์มิแนนต์

โดยใชว้ ธิ ีคณู ทแยง
3. ครสู อนสาระการเรยี นรู้ เร่ือง สมบตั ิของดีเทอร์มแิ นนต์
4. นกั เรียนทำแบบฝกึ หดั หน่วยท่ี 5
5. ครแู ละนักเรยี นร่วมกันเฉลยแบบฝึกหัด และรว่ มอภิปรายสรุปบทเรียน

งานทม่ี อบหมาย
งานทมี่ อบหมายนอกเหนือเวลาเรยี น ให้ทำแบบฝึกหดั ใหเ้ รียบร้อย ถกู ต้อง สมบรู ณ์ และนำส่งในครง้ั

ตอ่ ไป

ผลงาน/ชิน้ งาน/ความสำเรจ็ ของผเู้ รียน
1. ผลการทำ และนำเสนอแบบฝึกหดั หนว่ ยท่ี 5

ส่ือ และแหล่งการเรียนรู้
1. สอ่ื การเรยี นรู้ หนงั สือเรียนคณติ ศาสตรอ์ ตุ สาหกรรมหน่วยที่ 5
2. แหลง่ การเรียนรู้ หนงั สอื คูม่ ือหนงั สือเรียน หรือ อินเทอรเ์ น็ต www.google.com

การวดั และการประเมินผล

ใบความรูท้ ี่ 11 5
แผนการจดั การเรยี นรแู้ บบบรู ณาการท่ี 16
รหสั 20000-1402 วิชา คณิตศาสตร์อุตสาหกรรม หน่วยท่ี 6
ชอื่ หน่วย การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชเ้ มทรกิ ซ์ สอนครัง้ ท่ี 1-2
จำนวนชัว่ โมง 2 ชั่วโมง

สาระการเรยี นรู้
การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้กฎคราเมอร์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรู้เกี่ยวกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใชก้ ฎคราเมอร์

ใบความรู้ท่ี 16 เรือ่ ง ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร

ให้ a, b, c, d, e และ f เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ ที่ a, b ไม่เป็นศนู ยพ์ ร้อมกนั และ c, d ไม่เป็นศนู ย์พร้อมกนั

เรยี ก ax + by =e วา่ ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร โดยท่ี x และ y เปน็ ตวั แปร
cx + dy =f

คำตอบของระบบสมการนี้คือ จำนวนที่นำไปแทน x และ y ในท้ังสองสมการของระบบสมการนี้แล้วได้

สมการทเ่ี ป็นจริง

ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรอาจมีคำตอบเดยี ว หรอื มหี ลายคำตอบ หรอื ไม่มคี ำตอบเลยก็ได้

ในหัวขอ้ นจ้ี ะศกึ ษาระบบสมการเชงิ เส้น n ตัวแปร โดยท่ี n เป็นจำนวนเต็มบวกท่ีมากกวา่ 1

บทนิยาม

ให้ a1, a2, a3, . . ., an, b เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ ที่ a1, a2, a3, . . ., an ไมเ่ ปน็ ศนู ย์พร้อมกัน เรยี กสมการ
a1x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn = b ว่าสมการเชงิ เส้น n ตวั แปรโดยที่ x1, x2 , x3,. . ., xn เป็นตัวแปร
บทนยิ าม

ระบบสมการเชงิ เส้นทีม่ ี x1, x2 , x3,. . ., xn เป็นตวั แปร หมายถึง ชดุ ของสมการเชิงเสน้ ที่ประกอบด้วย

สมการเชงิ เส้นทม่ี ี x1, x2 , x3,. . ., xn เป็นตวั แปร จำนวน m สมการ โดยที่ m  2
คำตอบของระบบสมการนี้ คือ จำนวน n จำนวนที่นำไปแทนตัวแปร x1, x2 , x3,. . ., xn ในทุก ๆ

สมการตามลำดบั แลว้ ได้สมการท่ีเป็นจริงทัง้ หมด

จากบทนิยามจะเห็นได้ว่า ระบบสมการเชิงเส้นที่มี x1, x2 , x3,. . ., xn เป็นตัวแปรและประกอบด้วย

สมการเชิงเส้น m สมการ (m  2) จะมรี ูปแบบเปน็

a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1

6

a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2

am1x1 + am2 x2 + am3 x3 + . . . + amn xn = bm
เมือ่ ai1x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + . . . + ain xn = bi เป็นสมการเชิงเสน้ ทกุ i{1, 2, 3, . . ., m} และ ai1,
ai2, ai3, . . ., ain bi เปน็ จำนวนจริงใด ๆ ที่ ai1, ai2, ai3, . . ., ain ไมเ่ ปน็ ศูนย์พร้อมกัน
ในระบบสมการเชงิ เส้นท่ีมี n ตวั แปร มักนิยมแทนตวั แปร ดังน้ี

ถา้ n = 2 แลว้ จะให้ x, y เปน็ ตวั แปร
ถ้า n = 3 แลว้ จะให้ x, y, z เปน็ ตวั แปร
ถา้ n = 4 แลว้ จะให้ x, y, z, t เป็นตวั แปร

ถา้ n  5 แล้ว จะให้ x1, x2, x3, . . ., xn เป็นตวั แปร
(เราอาจให้ x1, x2, x3, . . ., xn เปน็ ตวั แปร กรณี n คอื 2, 3 หรือ 4 ก็ได)้
สำหรับคำตอบของระบบสมการนิยมเขียนในรูปของ n สิ่งอันดับ(Ordered n – tuple) เช่น (x1, x2,
x3, . . ., xn)
ตวั อย่างต่อไปนเี้ ป็นตัวอย่างของระบบสมการเชงิ เสน้ ท่ีมีคำตอบเดียว มหี ลายคำตอบ และไม่มคี ำตอบ

Ex 1. จงแกร้ ะบบสมการ 2x + y = 3, 3x – 2y = 8

วิธที ำ

2x + y = 3 (1)

3x – 2y = 8 (2)

(1)  2 จะได้ 4x + 2y = 6 (3)

(3) + (2) จะได้ 7x = 14

x=2

แทน x = 2 ในสมการ (1)จะได้ 2(2) + y = 3

4+y=3

y = -1

ดงั น้ัน คำตอบของระบบสมการคอื (2, -1)

Ex 2. จงแก้ระบบสมการ 4x - 2y = 5, 8x – 4y = 10

วิธีทำ

4x - 2y = 5 (1)

8x – 4y = 10 (2)

จาก (1) จะได้ 2y = 4x – 5

7

y = 4x − 5
2
4x − 5 4x − 5 
แทน y = 2 ในสมการ (2) จะได้ 8x − 4 2  = 10

16x - 16x + 20 = 20

20 = 20 เปน็ จริง

แสดงว่า y = 4x − 5 สอดคล้องกบั สมการ (1) และ (2)
2
4x − 5
ดงั นั้น คำตอบของระบบสมการ มคี ำตอบมากมาย คือ (x, y) =  x, 2 

xR หรือเซตของคำตอบของระบบสมการ คือ (x, y) y = 4x − 5 , xR 
 2 


Ex 3. จงแกร้ ะบบสมการ 4x + 2y = 1, 6x + 3y = 4

วธิ ที ำ

4x + 2y = 1 (1)

6x + 3y = 4 (2)

(1)  3 จะได้ 12x + 6y = 3 (3)

(1)  2 จะได้ 12x + 6y = 8 (3)

(3) - (4) จะได้ 0 = -5 เปน็ เทจ็

แสดงว่าไม่มคี ่าของ x และ y ทที่ ำใหส้ มการ (1) และ (2) เปน็ จรงิ พร้อมกนั

ดงั น้ัน ระบบสมการท่ีกำหนดให้ไมม่ คี ำตอบ

Ex 4. จงแก้ระบบสมการ x + y + z = 6, 2x – 2y + 2z = 4, 3x + 3y – 3z = 0

วิธีทำ

x +y+z =6 (1)

2x – 2y + 2z = 4 (2)

3x + 3y – 3z = 0 (3)

(2)  2 จะได้ x – y + z = 6 (4)

8

(3)  3 จะได้ x + y - z = 0 (5)

(4) + (5) จะได้ 2x = 2

x =1

(1) - (4) จะได้ 2y = 4

y =2

(1) - (5) จะได้ 2z = 6

z =3

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมการคือ (1, 2, 3)

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 17 9
ชือ่ วิชา คณติ ศาสตร์อตุ สาหกรรม
ช่ือหน่วย การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ โดยใชเ้ มทรกิ ซ์ หนว่ ยที่ 6
ช่อื เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นโดยใชเ้ มทรกิ ซ์ รหสั วิชา 20000–1402
สอนครั้งที่ 33 – 34
จำนวน 2 ชัว่ โมง

หัวข้อเรอ่ื ง/งาน
ภาคทฤษฎี
1. การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ โดยใชก้ ฎคราเมอร์
ภาคปฏิบัติ
1. ใบงานที่ 12 เร่ือง การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้เมทริกซ์

สาระการเรียนรู้
6.1 การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้กฎคราเมอร์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรเู้ กย่ี วกบั การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชก้ ฎคราเมอร์

วตั ถุประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม
1. มีความรู้ ความเขา้ ใจ เกดิ ความคดิ รวบยอดเก่ยี วกบั การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้
2. มที ักษะ กระบวนการคิด และดำเนนิ การเกย่ี วกับการแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้
3. นำความรู้ และทักษะที่ได้จากการเรียนรู้เรื่องการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ไปใช้แก้ปัญหาใน

สถานการณจ์ รงิ ตลอดจนนำไปประยุกตใ์ ช้ ในอาชีพ และการดำรงชีวติ ได้
4. มเี จตคตทิ ด่ี ีตอ่ การเรียนรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์

ดา้ นคณุ ธรรม จริยธรรม/บูรณาการปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง
แสดงออกด้านความสนใจใฝ่รู้ การตรงต่อเวลา ความซ่ือสัตย์ สจุ ริต ความมีนำ้ ใจ และแบง่ ปนั

ความรว่ มมอื /ยอมรบั ความคิดเหน็ ส่วนใหญ่

กจิ กรรมการเรยี นรู้
1. ครูนำเขา้ สู่บทเรยี น และครูแจง้ จดุ ประสงค์การเรยี น
2. เตรียมความพรอ้ ม ทบทวนเนอื้ หาเรอ่ื ง ดีเทอร์มแิ นนต์
3. ครูสอนสาระการเรียนรู้หวั ขอ้ 6.1 การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้กฎคราเมอร์
4. นักเรียนทำแบบฝึกหดั หน่วยท่ี 6 ขอ้ 1

10

5. ครแู ละนักเรียนรว่ มกันเฉลยแบบฝกึ หดั และร่วมอภิปรายสรปุ บทเรียน

งานทมี่ อบหมาย
งานทีม่ อบหมายนอกเหนือเวลาเรยี น ให้ทำแบบฝกึ หดั ใหเ้ รียบรอ้ ย ถกู ต้อง สมบรู ณ์ และนำมาสง่ ก่อน

สอบปลายภาค
ให้นกั เรียนทบทวนเน้ือหาหน่วยที่ 4 – 6 เพ่ือเตรียมสอบปลายภาคเรยี น

ผลงาน/ชนิ้ งาน/ความสำเร็จของผเู้ รียน
1. ผลการทำ และนำเสนอแบบฝกึ หดั หน่วยท่ี 6

ส่อื และแหลง่ การเรยี นรู้
1. ส่ือการเรียนรู้ หนงั สือเรียนคณิตศาสตรอ์ ุตสาหกรรมหนว่ ยท่ี 6
2. แหล่งการเรียนรู้ หนงั สือ คู่มอื หนงั สือเรยี น หรอื อินเทอร์เนต็ www.google.com

การวัดและการประเมินผล

ใบความรูท้ ี่ 12 11
แผนการจัดการเรียนร้แู บบบรู ณาการท่ี 17
รหัส 20000-1402 วชิ า คณิตศาสตร์อตุ สาหกรรม หน่วยที่ 6
ชอ่ื หน่วย สมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว สอนคร้งั ที่ 1-2
จำนวนชว่ั โมง 2 ช่ัวโมง

สาระการเรียนรู้
การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นโดยใชก้ ฎคราเมอร์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรเู้ กยี่ วกบั การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ โดยใช้กฎคราเมอร์

ใบความร้ทู ี่ 12 เรอ่ื ง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์และดเี ทอร์มินันต์

การหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เส้น เราสามารถใช้ความรเู้ กย่ี วกับเมทริกซแ์ ละดเี ทอรม์ ินันต์ช่วยใน

การหาคำตอบได้ ซึ่งนบั ว่ามปี ระโยชนม์ าก ในทน่ี ีจ้ ะขอกล่าวถึงแต่เฉพาะระบบสมการท่ีมีจำนวนตัวแปรเท่ากับ
จำนวนสมการเทา่ นน้ั

ถ้ากำหนดระบบสมการเชงิ เสน้ ดังน้ี
3x + 4y = 1

4x – 2y = 2

เราสมารถเขยี นระบบสมการนี้ ให้เปน็ สมการในรปู ของเมทริกซไ์ ด้ดงั น้ี

3 4 x = 1
4 − 2y 2

ในทำนองเดยี วกัน ถ้ากำหนดระบบสมการเชงิ เสน้ ดงั น้ี

3x + 4y - z = 1

-3x – y + 4z = 0

5x + 2y – 3z = 2

เราสมารถเขยี นระบบสมการนี้ ใหเ้ ป็นสมการในรปู ของเมทรกิ ซไ์ ด้ดังนี้

 2 3 −1x 1
−3 −1 y  0 
4  =

 5 2 −3z 2

ดงั นนั้ โดยท่ัวไป ถา้ กำหนดระบบสมการเชิงเสน้

a11x1 + a12 x 2 + a13 x 3 ++ a1n x n = b1

12

a 21x1 + a 22 x 2 + a 23x3 ++ a 2n x n = b 2

   

a n1x1 + a n2 x 2 + a n3x 3 + + a nn x n = b n

โดยที่ x1, x2, x3, . . ., xn เปน็ ตวั แปร เราสมารถเขียนระบบสมการนี้ ในรูปของสมการเมทริกซ์ ดงั น้ี

a11 a12  a1n x1  b1 
a  x   
 21 a 22  a 2 n   2  =  b 2 
 
     
a n1  x   
an2  a nn  n   b n 

สมการจะอยูใ่ นรปู AX = B

a11 a12  a1n 
a 
ต่อไปนี้เราจะเรียกเมทริกซ์ A=  21 a 22  a 2 n  ว่าเป็นเมทริกซ์สัมประสิทธ์ิ(Coefficient
 
 
a n1 
an2  a nn 

a11 a12  a1n x1 
a 21 
matrix) และเรยี ก  a 22  a2n x 2  วา่ เปน็ เมทริกซ์แต่งเตมิ (Augmented matrix)
  

a n1 
an2  a nn x n 

1. การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชด้ ีเทอรม์ นิ ันต์

การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ ท่มี จี ำนวนสมการเทา่ กบั จำนวนตวั แปร โดยใช้ความรเู้ กี่ยวกบั ดี

เทอร์มินันต์เปน็ ไปตามกฎท่ีเรยี กวา่ กฎของคราเมอร(์ Cramer’ s rule) ซึง่ มรี ายละเอียดดังน้ี

กำหนดระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนสมการเท่ากบั จำนวนตวั แปร ดังนี้

a11 a12  a1n x1  b1 
a  x  b 
AX =  21 a 22  a2n   2  =  2  = B
    
  
a n1  x  b 
an2  a nn  n  n 

ถ้า det (A)  0 แลว้ คำตอบของระบบสมการน้ีคอื x1 = det(A1 ) , x2 = det(A2 ) ,

det( A ) det( A )

x3 = det(A3 ) ,. . . , xn = det(An ) โดยท่ี Ai เป็นเมทริกซ์ทเี่ กดิ จากการนำ B ไปแทนทห่ี ลักท่ี i ของ A เมอื่

det( A ) det( A )

i = 1,2, 3, . . ., n

 2 1 −1x  1 
 y  
ตวั อยา่ งเชน่ AX =  3 0 4 =  1  = B

−3 1 2 z −1

13

จะได้ว่า

1 1 −1  2 1 −1
 0   
A1 =  1 1 4  A2 =  3 1 4 

−1 2  −3 −1 2 

2 1 1
 
A3 =  3 0 1 

− 3 1 −1

14

ใบงานท่ี 12 หน่วยที่ 6
แผนการจดั การเรียนรแู้ บบบรู ณาการท่ี 17 ท-ป-น 2-0-2
รหสั 20000-1402 วชิ า คณติ ศาสตรอ์ ุตสาหกรรม
ชื่อหน่วย การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ โดยใช้เมทรกิ ซ์

สมรรถนะการเรียนรู้
แสดงความรเู้ กย่ี วกบั การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎคราเมอร์

ใบงานที่ 12 เรอื่ ง การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยใช้เมทริกซ์

จงหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ ท่กี ำหนดให้ต่อไปน้ี โดยใช้กฎของคาร์เมอร์

1.1 2x + 3y = 8,
x – 2y = -3

1.2 3x – 5y = -6,
4x + 2y = 5

1.3 3x + y -2z = 1,
2x + 3y – z = 2,
x – 2y + 2z = -10

………………………………………………………

แผนการจดั การเรยี นรูท้ ่ี 18 15
ชอื่ วิชา คณติ ศาสตรอ์ ุตสาหกรรม
ชื่อหน่วย การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นโดยใชเ้ มทรกิ ซ์ หนว่ ยที่ 6
ช่ือเรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ โดยใช้เมทรกิ ซ์ รหสั วิชา 20000–1402
สอนคร้ังท่ี 35 – 36
จำนวน 2 ชวั่ โมง

หวั ข้อเร่ือง/งาน
ภาคทฤษฎี
1. การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชก้ ฎคราเมอร์
ภาคปฏบิ ตั ิ
1. แบบทดสอบหลงั เรยี น เร่ือง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์

สาระการเรยี นรู้
6.1 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใชก้ ฎคราเมอร์

สมรรถนะการเรยี นรู้
แสดงความร้เู ก่ียวกับการแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎคราเมอร์

วัตถุประสงคเ์ ชงิ พฤติกรรม
1. มคี วามรู้ ความเขา้ ใจ เกิดความคดิ รวบยอดเกย่ี วกบั การแก้ระบบสมการเชิงเส้น
2. มีทกั ษะ กระบวนการคดิ และดำเนินการเก่ยี วกบั การแก้ระบบสมการเชงิ เส้น
3. นำความรู้ และทักษะที่ได้จากการเรียนรู้เรื่องการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ไปใช้แก้ปัญหาใน

สถานการณจ์ ริง ตลอดจนนำไปประยุกตใ์ ช้ ในอาชีพ และการดำรงชีวติ ได้
4. มเี จตคติทด่ี ตี ่อการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์

ด้านคุณธรรม จรยิ ธรรม/บรู ณาการปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง
แสดงออกด้านความสนใจใฝ่รู้ การตรงต่อเวลา ความซื่อสตั ย์ สุจริต ความมีนำ้ ใจ และแบ่งปัน

ความรว่ มมอื /ยอมรับความคิดเหน็ สว่ นใหญ่

กิจกรรมการเรยี นรู้

1. ครนู ำเขา้ สบู่ ทเรียน และครูแจง้ จดุ ประสงค์การเรียน
2. เตรียมความพรอ้ ม ทบทวนเนอื้ หาเร่อื ง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎคราเมอร์
3. ครูสอนเนอื้ หาสาระหวั ขอ้ 6.1 การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นโดยใชก้ ฎคราเมอร์ (ตอ่ )
4. นกั เรียนทำแบบฝกึ หดั หนว่ ยท่ี 6 ขอ้ 2 - 3

16

5. ครแู ละนกั เรียนรว่ มกันเฉลยแบบฝึกหดั และรว่ มอภิปรายสรปุ บทเรียน

งานทม่ี อบหมาย
งานทีม่ อบหมายนอกเหนือเวลาเรยี น ใหท้ ำแบบฝกึ หดั ใหเ้ รียบร้อย ถกู ต้อง สมบรู ณ์ และนำมาส่งก่อน

สอบปลายภาค
ใหน้ กั เรยี นทบทวนเน้ือหาหน่วยท่ี 4 – 6 เพือ่ เตรยี มสอบปลายภาคเรียน

ผลงาน/ชิน้ งาน/ความสำเรจ็ ของผู้เรียน
1. คะแนนแบบทดสอบหลงั เรียน (Post–test) หน่วยที่ 6

สอ่ื และแหล่งการเรียนรู้
1. ส่ือการเรียนรู้ หนังสอื เรียนคณติ ศาสตรอ์ ตุ สาหกรรมหนว่ ยที่ 6
2. แหลง่ การเรียนรู้ หนังสอื คูม่ ือหนงั สือเรียน หรือ อินเทอร์เนต็ www.google.com

การวัดและการประเมินผล

17

แบบทดสอบกอ่ นเรียนหน่วยที่ 5
ดเี ทอร์มแิ นนต์และการแก้สมการเชงิ เส้นโดยใช้เมทรกิ ซ์

จุดประสงค์ เพ่ือประเมนิ ความรู้พื้นฐานในการเรียนร้ขู องนักเรยี นเกยี่ วกบั เร่ือง “เทอร์มิแนนต์และการแก้
สมการเชิงเส้นโดยใชเ้ มทริกซ์”

คำแนะนำ 1. อ่านคำถามต่อไปนีแ้ ลว้ ทำเคร่ืองหมายกากบาท ข้อความท่ีถกู ทีส่ ดุ ในกระดาษคำตอบ
2. เวลาสำหรบั การทำแบบทดสอบ 30 นาที

1. กำหนดให้ A = 2 3  จงหาคา่ det A
−1 4 

ก. 5 ข. –5
ง. –11
ค. 11

 2 2 −2 
 1 2 3 
2. กำหนดให้ A =  2 3 4  จงหาคา่ det A
 
ก. 2 ข. 3

ค. 4 ง. 8

3. กำหนดให้ A2 =  2 1  จงหา det A
 0 8 

ก. 4 ข. 5

ค. 6 ง. 12

4. กำหนด A =  2 1  จงหา det AT
 0 8 

ก. 11 ข. 16

ค. 5 ง. –5

5. กำหนดให้ B =  −7 −9  จงหา det B
 −3 −4 

ก. 1 ข. 2

ค. 3 ง. 4

18

6. กำหนดให้ A = 5 6  และ B =  −7 7 จงหา det A  det B
 7 9   3 1 

ก. –84 ข. –49 ค. –51 ง. –52

 1 3 −2 
 0 4 3 
7. กำหนดให้ A =  1 −2 5  จงหา det A
 

ก. 19 ข. 43 ค. 35 ง. –3

8. กำหนดให้ A =  7 9  และ B =  −8 9  จงหา A +B มีคา่ เทา่ กบั ข้อใด
 −3 4   −6 4 

ก. 54 ข. 67

ค. 70 ง. 77

9. กำหนดให้ C =  10 5 แลว้ C –5 มคี ่าเทา่ กับข้อใด
 −8 5 

ก. 70 ข. 80

ค. 85 ง. 90

 8 −9 4
 
10. กำหนด D =  4 5 6  แล้ว D + 210 มคี ่าเทา่ กบั ข้อใด
3 6 4
 
ก. 100 ข. 200

ค. 300 ง. 400

ใชข้ ้อมูลตอ่ ไปน้ี ตอบโจทย์ ขอ้ 11 – 12

กำหนดให้สมการในรูปเมทริกซ์ ไดด้ ังน้ี

 3 −2   x  =  −2 
 1 3   y   14 

11. สมการเชิงเส้นขอ้ ใดถูกต้อง ข. 3x – 2y = –2 และ x + 3y = 14
ก. 3x – y = –2 และ x + 3y = 14 ง. –2x + 3y = –2 และ 3x – y = 14
ค. x + 3y = –2 และ 3x – 2y = 14
ข. x = –2, y= –4
12. จงหา ค่า ของ x และ y ง. x = –4, y= –2
ก. x = 2, y = 4
ค. x = 4, y = 2

19

ใชข้ อ้ มูลตอ่ ไปนี้ ตอบโจทย์ ข้อ 13 – 15
กำหนดให้ 2x + y – z = 3

4x – y + 4z = 0
–3y + 2z = 6
13. รูปสมการเมทรกิ ซต์ รงกบั ข้อใด

 2 4 0 x 3  2 1 −1 x  3
 
ก.  1 −1 4   y  =  0  ข.  4 −1 4   y  =  0 
 −1 0 2   z   6  −3 2   z   6 
       0    

 3 1 −1   x   2  2 3 −1   x   1 
 0 −1 4   y   4   1 0 4   y   −1 
ค.  6 −3 2   z  =  0  ง.  −1 6 2   z  =  −3 
         
 

14. จงหาค่า A =  16 8  จงหาคา่ det A
 −4 1 

ก. 38 ข. 48

ค. 58 ง. 68

15. ค่าของ (x + y + z) ตรงกับข้อใด

ก. –7 ข. –5

ค. –3 ง. 2

…………………………………………………..

20