ฟังก์ชันตรีโกณมิติและการประยุกต์ น.ส.กัญญาณัฐ ปุยฝ้าย ม.5_1 เลขที่ 12

ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิและการ
ประยุกต์

คณติ เพม่ิ

น.ส.กญั ญาณฐั ปุยฝ้าย ม.5/1 เลขท่ี 12



° °°
0
อ qo
o 01
°
10
ao
0
COS

sin

1T ° 1T

= 180 2
01

°

21T = 360

T -10 10

21T

0 -1 31T
2

อํ

•

cos ✗

siny

+- ++
++
÷

°° - -

150 210 33 ( วง 3) 21T เอง " ( ง E)
3
,, (- งzง { ) 5T ④ 1 ¥ งา )
เ• •
12%24 , 30 •

1T ••

(-1,0 )

ก( - • (• 11T f)-
6
) 71T ,
6

• • 1{ง )

( ¥ 41T 10,1J

)-
3

31T
2

ฺรุ๋งุ่วู๊ญุ๋วุ่รุ๋นู้รํอํอํอ

E)(- E. 31T (ง )

4• •

45)

5T

4• E ¥( )• 7

¥ E)(- -

,

-

,

ysin 0- = ÷

COSQ = ✗ ก

โอ ×

• 1T ำ

1T Qz I

21T T 21T

• #" Q Q4

3

☐# อ ☐2# 0

¥

3I

2

ุ๋ซุ๋ยุ๋ษุ๋ญุ๋ญู๋ตุ๋ฑุ๋ภู้ภูส๋ัภ

tt Ysin e- e) = -

" t- sin 1- G) = - sin อ

. cos ( - G) = cos -0
.
.

.
.

i.

ำ2

COSIT = ☐

62

f Q
3

COS 71T = ร3_

62

COS 1T = Tz

42

dำ
COS 31T = - Tz

42

- sin แ ☐= -

3 2

gำ

- sin 21T J= -

32

Q2 Q

g p3

- sin 51T + cos 41T

63

{ ( 1)= - = -1
+-

i

TT (-1,0 ) ( 1ญื๋)

1. จงหาคา่ ของ และ เมือ เป็ นจาํ นวนจริงตอ่ ไปนี (0 - 1)
,
y × y ×



1. 3 ......0....... ....-..1...... . 8 0 1

3. −5 .....0........ .....-..1..... . −2 ๐ 1

5. − ...-...1....... .......0..... 6. − 1 0

7. .....0........ ....-..1...... 8. − 1 0

9. .......1...... .......0..... 10. − า- 0
11. 57 ....-...1...... .....0.......
13. 53 ....-..1....... .....0....... 12. −57 -1 0

14. −53 0 -1

15. ....-...1...... ......0...... 16. − 10
2.
|71-.00-a
Tt 0 21T - G

④= 0,1T , 2T 31T 41T Q= T 31T 5T 71T 91T
, ,
,, ,,

0 = % ญื๋ง , ฑึ๋0 = 8
,,
,

Qz ง § Qz ,

§อ = , , ÷, 5 # ญื๋

อ=

๋ืซ๋ืฏ๋ืฏุ๊ญุ๋ฑุ๋ญุอุ๋ณุ๋ญุ๋ภุ๋ภุ๋ซุ๋ฑ๋ัฎุ๋ฑ

. จงหาคา่ ของ และ เมือ เป็ นจาํ นวนจริงตอ่ ไปนี



Qg 1. − ......2..... TZ Q .− ......2..... .......2....
Q 3. 2 + 4
...-........ 2 2
5. − Qz . 2 +
7. − 22 8 6. − .......2.... ...-.....2...

....F....... ...โ...2..... 8. 2 2

22 ....1....... ......3.....

.-....3...... .......1.... 2 2

22 ........... .....า......

.-....:...... .....ะ......

9. ....1....... ....ง....... 10. − ......ำ..... ...-..า......

4. จงหาค่าของ

( E) ( %). + ¥= × ¥= +
+ า×

|+- + +
- - +-

gg g g กกต

2. − + − + f :) (E)= - +3
+ า-

= 3 + โ3 + 1

= 2 ร3+1

3. 3 − − +

f 24=3 (E)2- ( 3-
µ § (E)2 2 า -14-# =
ร2) +
=

4. sin secπ + −

- c- แ- แ +

(E){ [ (1) § }_
ะ (1) = 1 + - =

5. + + + − + sec(− ) + cos(− )

¥ ¥ ¥ )= + - + 1- C- 2) + E)+ 1-
_

§ ¥+2= - + +z = -6 ร2+253+3 3+12 = - เรา +5 3+12

6 6

้ข้ข้ข๋ัญุ๋หูรุ่ว้ขุอุอ๋ัญุอุอุภุอุอ้ป้ข

T -0 ( Q 2)

i

sin (= sin 1T - ) - sin 201T (= - sin 71T - )

ะ s In T }= 3
g *
= - sin ¥= -
*
ญื๊COS COSCT-5 )
=

= I ¥- cos = - * (COS -2 ) = cos 20In
3
6
{ะ
-

*

(E) ( )sih
si " " cos (= COS " )

=

= Sin I = - cos 1T

40 TO

= 0.309 = - 0.951

ู๋ณุ๋ห๋ัหุ๋ภ๋ัซุ๋งุ๋รุ๋รุ๋ภ

( Q 3)

-

- -

1T +0

f 5in 51T µ= sin (1T + COS ¥= COSCIT + )
4
( Q g) = - sin T = - cos 1T
I
I

÷= ร ร2=
- -

=

Q

3

( [ ) ¥cos
-- = cos 1

= sin (T
ฐ E)sin 1
E)(= COS 1T
E= sin = - อ . 25g

( Q 4) = - COSI

12

966=
อ-
.

21T +0

+-
,

21T - ①

ญุทุ๋

①

p4

÷sin 11 = sin ( 21T - ) Cos 111T = COS ( 21T - )

= - sin 1T 6 = COSIT

ะ ะ

{= - ¥ะ

E)sin (- = - sin = cos

L = COS ( 21T- )

= - Sin 12T - )
0
E) ¥( sin4
= - - = I= cos 1T =
5
แบบฝกหัด 2

1. จงหาคาของ sin และ cos เมอื่ เปนจาํ นวนจรงิ ตอไปน้ี

sin( 5 ) = sin 5 cos( 5 ) = cos 5
4 4 4 4

= sin( 4) = cos( 4)

E)= …- …e…-…s…in……………… = …-…c…o…s…1T…………..

= ……r……………………… I
T
= ………………………..

1. sin( 7 ) = - sin 7 cos( 7 ) = COS 71T
4 4
I
04 = - sin ( 21T-1T ) = )
I COS ( 21T -

¥=)sin(=-- = = cos 1T = ร2

IT

2. sin 9 = sin ( 21T + ) cos 9 ¥= COS ( 2T + )
4 4
= COS 1T
= sin I
I
4
t=
= 52
2
z

้ขุอุ๋ภุหุ๋ภ๋ัฏุอุ๋ฐุ๋รุ๋ศุ๋ญู๋สุ๋ช

3. sin 11 = sin ( 31T - ) cos 11 = cos 131T - )
4 4

Qz = sin H = - cos 1T
-4
I

= ร2 E=
= -

=

4. sin 10 = Sih ( 31T + ) cos 10 = COSC 31T + )
3 3

= - sin I = - cos T
J
33Q
ร3 = {= -
_

=

5. sin( 7 ) = sin cos( 7 ) = #cos
6 6
-

ฐะ - sin (1T + g = cos CT + )

Q 12)( sin3 = - cos 3

= - - = -

==

6. sin( 7 ) = sin cos( 7 ) = cos
3 - 3

= - sin C 21T+ ) = c OS ( 21T + )

= COS I=

ะ - sin ¥= -

7. sin 13 = sin 141T + ) cos 13 = (COS 41T + )
3 3

= sin 1T = cosg
ง
¥=
¥=

ุอุ๋ภุ๋กุ๋หุ๋กุ๋ฎุอุ๋ร๋ัญุ๋ษ้ขู๋ธู๋ธู๋ธู๋ษุ๋ฐุ๋ธ๋ัฎุ๋ห

8. sin 37 = sin 161T + ) cos 37 = Cos ( 61T + )
6 6
= sih 1T
Qy = COSIT
z ะ

I= ¥=

9. sin 2 = sin ( 1T - ) cos 2 = f)Cos CH -
3 3
#=
= -

Qz

2. กําหนดให 0 < < 2 และ sin ใ 1 5
7
1 CQ

5 จงหาคาของ

1. sin( ) = sine 1= v524
5

2. sin( ) = - sin อ = -1
5

3. sin( = [ ]) sin [ -1T +0 ] = sin - (1T + )

= - sin 11T+ e) = 1

= 24 -

5

4. cos 5 22 =1
× +y
5. cos(
6. cos( ) = าE4Q- cos = - C 0520 tsin 2อ = ๆ

"""

[ ]COS - 121T - G)
= ÷2 )

= COSC 21T- G) 215 ¥052C € = 1- =

= COSQ ฐEanCOS 0 =

¥=

้ชูวุ๋วู๋ชู๋ฐ

3. จงหาคาประมาณของ cos( 73 ) เมือ่ sin 36 9
36 100

COS 731T = [ OS ( 21T + ) 2 = 1- 81

6 36 = c OS COS 10000

2 = 1000 0-81
10000
cos I

36

cos 20 + sin 20- = 1 = 9 9 19

10 00 0

Icos + sin I = 1 COSIอ = 0.9919
อ . 9 9 59
..

36 36 36

~

4. ให cos2 sin 2 1 ( )- เมอ่ื 2 < < Q2

2 จงหาคาของ cos

20COS - - ( 1- co อง = 1
2C 0520-1
2

{=

cos20 ? §= × =

ำ cos 0 = ☐-

• 2

แบบฝกหัดท่ี 3

Q3 Qz Q4 Q
3

= - sin + fcos ) §- _ c- 2) = - โ3 +2C 3)

# ฐ= - 2 3
- -2 ร= _ 2
= -0+6
=

2 3

Q 2 กม ำ Qz

C- 2) - C- 1) = - 1 -2 + C- 1) = -2 า-

☐

= - 2 3- 3

3

้ขุ๋ย๋ึผุ๋หุ๋ชุ่ร้รุอ๋ัฐ๋ืฏ๋ืฐ

าQz → 1 C- B) 2- 2

- rz +1 c- ก

3- 3 = 0

(2) จงหาคาตอไปน้ี อ ปใน cos20 sin 2
อcos2-0 + si + อ
Qz Qz Q 4 =า

1.1 cos2Lใใ[=sin2 sin2 cos2,11 "" "
4 4 6 6

E)(2) + c- (E)

= -

, + = -4 โ3+3

.

¥ ) §) §(=
- ( 2)ร- C- (- 2) = 1- 2

- = 3- 2 ☐

3

1.4 sin 5 tan 7 Qz 3 § 4
6 6
cos sin
43

± § ( ¥ E)+ ×=- - - = § ¥+ -

Q1 Q3 Q3 Q4

[ ]1) (1)] ([= ร2. (- ร2) + -

¥ ¥2-= = -

-

ุวู่วุฎูรู่ย้ทุ๋ฐ

Q3 Q 1 ำ Q3

(- E)2. (1) 2- (E) }

¥ ¥ ¥ §= = - = -

-

(3) กาํ หนดให 0 2 และ sin 4 cos ec

5 จงหาคา sec

sece + cosece

4 5 =+

7 G-

3 = 20 + 1 5

12

= 35

3 Q4 12 1 cos

(4) กาํ หนดให 2 2 และ tan 6 จงหาคา cot

COS t Sih _

cote, - cos -0

37 = C- 6) - ×

e) ๆ ๆ
r
6
= -6-6 ง

37

③= -613 7) - 6 7 = - 222 - 6 7#

(5) จงหาคาตอไปน้ี Q 37 37

Qz Qz 4
1.1 sin1500 cos1200 tan3150

tanำ= ° + ( 360°-459
ำ° COSC180 -60
5in ( +
180 -30

°° - °

tan)= sin 30 + c- cos 60 45

¥ -1= - า= -

ู้ย๋ัญฺย๋ัฐุ๋งำน

1.2 sin( 405 ) cos 780 ° °
cos ec( 390 )
(csc - 390 ) = - CSC 390
°
5in (-405 °) = - sin = °
405 30
ำ- CSC ( 360

Q = -5in ( 360° +45 °) °

= - csc 30

sin= โ° 2
- 45 = -

= 2= -

cos 78 = COSC 720 ° +60 ำ - # t 12 1- ร2

° 2- = = -1 + ร2
4
= COS 60 = 2

Q4 z_

Q3
1.3 sin2( 3150) tan2 9300

92= (- sin 31 5 + tan 2 930 °

° 2 ]

-45
[ ] [ tan= ° °
- sin ( 360 ) +
1 9 00 +3

12
[ ¥ ] ำ [ ] { }= -
+-
==

1.4 3 tan2 135 sec2 300
2sin 330
2
=3 (tan 1 1 80 °-45° ) 2- °

-60
)1sec ( ° )
360

2 Sin (° 60 ° )

360 -

3 (- tan 45ำ 2- Csec ° ) 2 3 C-1)2- 22

= 60 = = - =1

2 C- sin 30 ° ) 2 (- 1)

(6) กําหนดให sec 5 และ tan Q 3 Qz
3
0 จงหาคาของ sin(180 ) + 3cos(180 )

§COSO = gsin 0 = ± = - sin 0 +3 C- cos e)

5

¥ ) f } |(-- - +3

5 _

4 59mn= 4- = - = -1

e) r

3

ุ๋งุ่กุ๋รํอุ่วํอ

กราฟของฟงกชน่ั ตรีโกณมติ ิ

T ÷
C0,1 )
C- 1,0) (1,0 )
21T

1. พจิ ารณากราฟของ y = sin x ตอไปน้ี

(0 - 1)
,
31T

T

•3 71T
=
-
•
z

• •• • •••

- 5

@

1-
1-

{ ( 1- (- 1) ) = 1

ู๋หุ๋ภุ๋ญุ๋ภ

T ÷
CO, 1)
C- 1,0) งG.
_

ไป÷#- (9-1)

3±

ะ •

±.

สรุป

กราฟ โดเมน เรนจ คาบ คาสูงสดุ คาตาํ่ สุด แอมพลิจดู

y = sin x R [-1,1 ] 2T า 1
y = cos x
R y[- ๆ ๆ 2T า

ดูภาพประกอบจาก https://www.tertututor.com/m5/graph-trigonometry.php
ตวั อยาง จงเขยี นกราฟของ y = 3 cos x พรอมทั้งหาโดเมน เรนจ คาบและแอมพลิจูดของฟงกชนั

ตุ

Lางด

-- -

- - - . .

-- - _ - _ _

_ _ _

e -- - Tn _ Tn - - - - te

_ - - nn nn rrn

e- _ nr

าด

R

[ -3,3 ]

21T

} C 3- C- 3)) =3

ุสำต่คุสูส่ค

y = cosx 3 COS ✗ ห า บอก แอบ
คาบ
cos 3 × ใน บอก

•

• • • •• •
0
÷ ¥ 21T
5

R

[- 1,1 ]

±

;

สรปุ

21T 1 21T 1
n
n
[-1,1 ]
[-1,1 ]

21T 21T
n
n
lal
[ ]aa- 1 al

, [ ]- a , a

น๋ัช๋ืศ้

3

21T = 1T
2

y = 35in 4

l1

31T

I

กราฟของฟงกชันตรโี กณมติ อิ ื่นๆ

ยุ๋

แบบฝกหัด #

1. จงหาแอมพลจิ ดู และคาบของฟงกชนั ตอไปน้ี a า คาบ
,
แอมพลิจูด …………21…T…………….

1. = ……………12………………. …………21…T…………….
2. = 3 ……………3……………….
…………4…1T…………….
3. = 3 ……………3……………….
…………2…1T…………….
4. = 4 3 ……………4……………….
3
5. = − 4 ……………2…2 …………….
…………1…T…………….
6. = −2 ………………2 ……………. 2
7. = sin(− ) − 1- sinQ -1
………………1 ……………. …………4…1…1 ………….
- ……………3……………….
…………2…1T…………….
8. = 3 + 1 …………2…1T…………….

t
เ อนแกน

ล่ื

2. จงจับคขู องฟงกชนั ตรีโกณมติ ิตอไปน้ี

คง 1. y = 2 cos 2
2. y = cos

ก 3. y = 3 − {=3 GSIn × )

บ 4. y = 2sin = 2 ( sin ×)

sin sin

COS

cos

เรยี นเสรมิ ความรเู พมิ่ ไดที่
https://www.youtube.com/watch?v=4U68YxgsQlg
https://www.youtube.com/watch?v=0r1r0gkrrwY

หู๋

T- Q 2T +0 ฟงกชนั ตรโี กณมิติของผลบวกและผลตางของจาํ นวนจริงหรือมมุ

s In ° = c GS °

75 15

Tt -0 21T-0 ° sin °

COS 75 = 15

COS 135 g

COS ( 180 ำ ° )

45

° ° cos ( 9 t3 )

_ co S 45 = - • cos 120 =

(E)3 (อ ) +2 = cos 90°C 053 -5in9 5in °

30

= - sih °

30

3 ( )t 2 ) sin ° sin (° °
90 -15
75 =
)•

AB ำะ SI h 90 0515 ° - co 590°sin 15 °

sin 12 4°

า3 5 = COS 15

sin Acos B- CO1.SAจ5งใiชnฟBงกชันตรีโกณมติ ิของผลบวกแแลบะบผลฝตกาหงดั ของจาํ นวนจรงิ หรือมุมหาคาตอไปนี้

1. =° C 0560°C0545 Esin 6 °

22.6 53 sin 45
cos(60 45 )

= (E) (E) - ( E.) (E)

= E- รอ

4

0

2. cos(32 s3) = co #cos T + sin sin
5

(E)= e- 1) ร= - 3

T

3. sin135 = sin ° ° )

( 90 +45

= sin 90 ° cos ° cos ° sin °

45 + 90 45

)( ÷= ยาง

E=

ุ๋ฐ๊ีฐํอุ๋หุ๋ฎํอํอํอํอู้ญำย

4. tan75 = tan ( ° ) = tan 45 ° + tan °

45 +3 30

tan |1-
°°

45 - a ท 30

§1 + 3t 3 : 3-

= = 12 + 6 ง

3 f6

¥1-

=3 + ง 3+3T 9+6 3 + 3 = 2+53

× =

.e e

3- B 3 + โ3 9- 3

( )5.cos( 7 )
12 = cos +

°° = cos co 51T - sin 1T sin T

105 = 6 +45 ¥ 5I

= #(E) - (E) (E)

โ= 2- 6

6. sin(1172 ) 4 + )
= sin (

° °° = sjn Ecos + cos 51T SI " "

255 = 225 +30 IT

ะ (E)(E) + (E)(E)

5-=- ร2

4

7. taQn4(19 ) tan ( 2T- - )
12
_

° 360ำ ° 0

285 = 75 # tan
tanfi #=

#ำ1 + 1- I- an

12

= - tan I

Tz

3)ร(= = - 2-
- 2+ 3*

้ข๋ัญุ๋รู๋ร๋ัฑ้ขุ๋รํอุ๋ภุ๋ภ้ข้ขํอ

2. จงหาคาของ SIn ° +15° )

1) sin120 cos15 cos120 sin15 = ( 120

sin 135° = sin ( 18 °

- 45
sin )° ° ° )=
=
( 90 +45 cos 45

sin °

45
¥= #= =

2) sin83 cos 38 cos83 sin 38 = sin ( ° °

83 -38 )

°

= sin 45

=2

=

3) cos 40 cos 20 sin 40 sin 20 °°

= cos C 40 + 20 )

=

4) sin 342 sin117 cos 342 cos117 = ° )117 ° = COS °

COS ( 342 - 225

= COS ( ° ° )

180 +45

= - COS 45 ° #=

5) tan 48 tan 72 tan= 148 ° ° ) tan °
1 tan 48 tan 72
+72 = 120

= tan ( ° เ )= - tan °

180 - 60

ร= 3
-

tan 200 tan170 tan= (° 170 ° )

6) 1 tan 200 tan170 200 -

tan °

30
§= =

cot10 cot 50 1 = cot C ° +50 ° )
7) cot10 cot 50
10

= cot 6

§=

ํอํอุ่ว้ขํอ

cot 3 cot 5 (1 cot -
4 4 =
8) cot 3 cot 5 |
4 4 = cotf fgeeom

=0

9) sin 3 sin 8 cos 3 cos 8
8 8

[=- cos c 05 Sih ]si " co, แ

- ×

(= - cos +)

= - c 05 =0

10) cot x y cot x 1 = [cot ]ycx - ง ×-
cot x cot x y
= cot c- y ง

ooty--

_

11) sin 3 A cos 6 A cos 3 A sin 6 A

[ (= sin ( + a)]
A)- -

(= sin -2 A)

12) cos 4 A cos 7 A sin 4 A sin 7 A
4 4

[( (= cos fthlc+A) |
A) +-

= cos 2T 1,0)

=1

ุ๋ษุ๋ภุ๋ชุ๋หุ๋งู๋ฐู๋ร๋ิสู๋ร๋ืซู๋ซ๋ืซุ๋ภุ๋กืฅุ๋ฑ

Qz Q tan B =
3
3. กาํ หนด 2 A , 3 และ cos A 3 , cot B 12 จงหาคาของ
1) cos A B 5 B 5 5
2
4
A) r 2) tan A B 13 3) cos ec A B

3 5

B) T

ๆๆ

① cos CA B) =- COSACOSB tsin Asin B ③ cosec ( A- B) = 1

= # )(ก +(E) ) sinea - B)

ะ

= 3 6 20
'

้

6 5 65

ฐ= """" """
5
¥= ) - f :) (÷)
② tancat B) = tan AttanB
= - 48 -15
1- tan Atan B 65

§( )= - +

§ ก( )(า -- = - 63

65

= -16+5

12

ไอ 1 + 20
งอe
36

3

¥ ¥=- ×

= - 33
56

Qz 4 และ sin A 0 , tan B 5 , Q3 3 5
5 12 3
4. กาํ หนด cos A B 2
A) r
จงหาคาของ cot A B
4
cotc A + B) = COtA.CO t B +1 ¥- +1
า3
cot B- CO t A = อ 5

¥ +± r
3 12

( ¥ )( )= 4- +1 ¥= - ×
-
5

¥ - (E) ฐะ - ✓

๋ึต่ก๋ัฑู่ห๋ัญ

5. กําหนด cos A B 1 และ cos A B 3 จงหาคา cos Acos B
2 4

cos ACOS B- sin A 5in B = ①-

COSACOSB + sin ASIh B = 3- ②
I

① +② ; 2C 05A COSB =±
4

COSACOSB =

6. กาํ หนด cos A 4 , cos A B 12 และ 0 Qy A Qz 3
5 13
A 2, B 2

จงหา 1) sin A B ±= - 2) sin B

13

13 5 [ ]2. sin B = sin CA + B) A-
At B)
r = sin ( At B) C 05 A- COSCA t B) Sin A
12

5 3 = (g)(E) - ( กก

a) r

4

= -20 36
+

65 65

= 16,5

7. กาํ หนด A B 225 จงหาคาของ 1 tan A 1 tan B = 2

tan ( At B) = tan ° → Q3 1 + tan Attan B + tan A- tan B

225

tan Attan B = tan )1 1 80°+45 ° า + 1- tan Atan B + tan A. tan B
า - tan Atan B
= 2*
tan Attan B = 1 ( 1- tan A. tan B)

= า - tan A. tan B

วู๋รุ่

8. กําหนด cos A B 7 ถา A Q และ tan B 2 แลวจงหาคา
cos A B 3
เปนามุมแหลม

tan A B

]3 [ cos ACOSB + Sin ASIh B = [ ]7 cos ACOSB - sin Asin B

10s In Asin B = 4 COSACOSB

sin Asin B = §=

COSACOSB

④ไtan A- Z=

5

÷ ฐtan A = =

• ะ tan ( At B) = tan Attan B

1- tan Atan B

¥ +2

=

1- ( 15) (2)

¥=
×

=

ุ๊ก๊ํง้ตู้ฐ

sin ° +15 ° ) sin ° ° )° ° sin- ° °

45 45 -15 45 +15 45 - 15
= ( + L ) )(= sin

= sin ° sin 3 = sin ° sin °

60 + 60 - 30

£= 3 + = ง +1 * = 1mn *
{ นา= -

-

22

2 COS 45°C OS ° = - 2s in ° 5in °

= 15 45 15

2 z-

° ° = - [ ]° °
cos 60 - cos 30
60 + c 0530
)=
ccos

= :( ะ + E) :( E)-- ±-

-

-1- *
_

= 1+ *
4

sin ° ° ) +5in ( ° °

+75 -75
= )( 15 15

= sih ° sin ( -60 ° g { [ ¥ ]= 2C 05 Cos

90 +

sin 90 ° sin ° { [ }=
= cos + COS
- 60

¥= 1- 1)(= อ +

ฐ= 2- 3 * 14= ××
_

ูวุ๋ภู๋ธ๋ัภู่วุ่วฺหํอ

° °°

160 = -20
)sin 11
ตวั อยาง จงหาคาของ 40° 80° 160° sin 80

{ [ ]= ° ° ° Qz = sin 2

- 2s in 40 sin 80 sin 160 sih °

60 - sin 2
{ [ { ( ฦsin 2 +
I- ° =
2
cos 40

[ ]° °
cos 120 -
= - cos C- 40° ) sin 160

= [{ sih ° + ]- sin °

sinisin[41 ]= tcos40° ° 20 20

2อ

° ° sin ° ะ

20 + cos 40 20 ☒
14 {= sih

° 2C 0540 °sinzo°

/2 SI h 20
= ฐ [ ๆ4/z +

2

ตัวอยาง จงหาคาของ 4 20° 40° 80° °

100 =
ำCOS
COS ( 1 8 08 )

Qz °
= - COS 80

ำ= 2 C 2C 0520 ำ 0540 cos 8

[ ]= 2 C- ° ) °
cos 6 + cos
20 c 0580

+ cos 20 °
[{ ]= 2 °

cos 80

= COS ° COS 20 ำ °

80 +2 0580

= cos ° cos 100 °+ COSG 60°)

80 +
gost-gofttcc.se
=

{ *=

ํอํอํอํอฺรุ่วุรู่วุ่กํอํอ

( ) (2 °

)Qz 195
1. sin105° + sin195° = 2s ih °° cos 105 ำ

105 +195

2

= 2s In ° ํ tcos °

150 cos 45 ( -45 )

180ำ °

30

°

= 2s ih 3 cos 45

(E)(1)ะ-

-

° ¥= Sin )( ° °
* 90 -15
75
2. Qy °
−
= COS 15

= cos 5 (¥sin - )

-

E-= cos COS

sinf )ะะ - ¥+ "" )

2

sin
¥ (E) (E) #zsin- -

_
= -2/ = - *

3. Ccos20° + cos100°)+ cos140°

°°

20 +100

2
( ) ( |= 2 cos
ำ
( ° 5 20 ° -100 ° °
2
+ cos 140

ไอ= 8 อ 56 ° cos 140°

cos 40 +

= COS ° c OS °

40 + 14 o

= zcos ° COSG 50° )

90

= 0*

1. 2 15° 15° = sin 2C ° )

15

°

30
I= sin = ××

ํอุ๋ห๋ัภุ๊ต๋ัฑ๋ัภ๋ัห๋ัหํอ

[ ]2.
2 18° 36° = 1 2 SI h 18°C 0s 18 ° cos 36

cosygo

° °

36 cos 36
ำ )= C 5in
cos go

หน= ( 28 Ih ° GOS ° )

36 36

ๆ g.

°

90 -18
= sin ° sih ฦ(

72 →

2 COS 18 ° COS 18°

° {= [ร0าคา8 ° *
=
cos 2
° 2 cosofggo
°°
3. °

sin ° sincaoำ ° ) sih 1°C° °

89 = 1 cos os 2

° =
= cos า

sin 4 °

= ( 2s in ° ° °

1 cos 1 ) cos 2

2s in 4 °

= sin °°

2 cos 2

2 sin 40

= 2s Ih 2 ° °

cos 2

4s ih 4 °

14= sin 4 *
=
4 sin 40

4. จงหาคาของ 2 , 2 , 2 เม่ือกําหนด = −

และ π ≤ θ ≤

1.si n 20 = 25in QCOSQ 5 3
r
= ะ (- :)(E) e)

= 24 4

_ 3. tan 20- = 2 tane

25 า - tan2 อ

2. cos 2 ② = C0520 - SIท 20 = 2 (G)

= # (÷ า § )1- 2

=I ± ÷= ÷
6
25

{ #=
×
>

= 24

_

ๆ

5. ถา A เปนจํานวนจรงิ หรือมุมใด ๆ แลว 3 = 3 − 4

sin 3A = sin ( 2A + A)

cos 2A tsi A = 1 = sin 2A cos A + cos 2A SI n A
cos2A = 1- sin 2A
SI n 2A = 1- cos 2A = 2 sinacos Acos At (1- 2 sin 2A ) Sin A

cos 2A

1

= 25in A ( 1- 5in 2A) + sin A- 25in 3A

= 25in A- 25in 3A tsin A- 2 sin 3A

3A= 35in A- 45in *

6. ถา A เปนจาํ นวนจรงิ หรือมุมใด ๆ แลว 3 = 4 − 3

COS 3A = COS ( 2A t A)

= COS 2A COSA -2 SIMACOSA.SIh A

= ( 2 COS 2A - 1) cos A- 2 sin ACOSA.si n A

053A= 2C - COS A- 2C 05A sin 2A

053A= 2C - COSA - 2C 05A ( 1- COS 2A )

= 4C 0 A- 3 COSA *

7. กําหนด sin( 30 ) cos( 60 ) 1 จงหาคาของ cos 3
4

°° ① +② ; cose =

sin (0 + 38) = Sih 0 COS 30 + cos Qc OS 30 อ= 4 COS

Cos 3 Q -3C OSQ

# +21C= sin Q 050 ① = 4 ( 14) 3- 3 ( 14)

° cos ⑦ COS 6 - Sinosin 6 น= -

COSCQ +60 ) =

ร sin 0 ② 1%2 น=

.
{ ÷= -
cos อ
=

ุ๋ฎํอํอุ่ภ้ร้ท

ตัวผกผัน(อินเวอรส)ของฟงกชนั ตรโี กณมิติ

× = siny

× = cosy

tany× -
_

1. จงหาคาของมุมทเ่ี ทากับตวั ผกผันของฟงกชันในแตละขอ

1) arcsin 0 = ………0………. 2) arcsin 1 = ………1T………. 3) arcsin 2 = ……………….
2 6) arcsin 2
ะ
4) arcsin 3 = ………±………. 5) arcsin 1 1 = …-…±……. f.
2 = ………±………. 2
3 6
2

7) arcsin 2 = …-…1…T…… 8) arcsin 3 = …-…1…T…… 9) arcsin 1 = ……-…±……….
25
2_ 2

4

10) arccos 0 = ………T………. 11) arccos 1 = ……H………. 12) arccos 2 = ………1T……….
z 2J 2_

4 #I

13) arccos 3 = ……I…………. 14) arccos 1 = ………0……. 15) arccos 1 p 3

26 2 = ……21…T….
5
T -1T

16) arccos 2 = ……31…T……17) arccos 3 ะ ^\ 1 = ……1T………

2I = ……31…T……18) arccos
2T

19) arctan 0 = …………0……. 20) arctan 1 = ………1…T……. 21) arctan 1 = ……1…T……….
3อ 7

ภุอ๋ั

22) arctan 3 = ……I………. 23) arctan 1 = …-…………. 24) arctan 1 = …-…1…T……

3 3I

25) arctan 3 = ……-……….

2. จงหาคาตอไปนี้

1. sin(arccos ( 3 )) 2. cos(2arccos ( 1 ))
3 3
2 ใ }arccos
=A น
ใ arccos 3 = A
z §COS A = 1

¥COSA = ; 0 EA ETI G)i. eos (2 arccos = COS 2A

A= = Cos 2A - sin 2A

E)i. sincarccos = sin A µะ 2. 2

(E)

= sin ะ- -

=

=

3. cos(2arcsin ( 1 )) 4. sin(arcsin ( 1 ))
3 2

ใ ( E)arcsin - =A (1)arcsin - =A

%sih A = CQ4)

arcsinf }i. cos (2 ) ) = cos 2A {sin A = -

ะ 1- 2s in2A

( g)= า -2 - 2 sin (arcsin ×) = ✗

=

A 23) 6. tan(arctan ( 1 )) = 12
2
5. cos(arccos

( ÷ )ใ arccos ร- =A tan ( arctan × ง = ×

COSA = - 3 ( 1)** arcsin sin -

=☐

• ° .CO S ( arccos × ) = ✗ avcsin A = ☐

sin A = A = sinf 1)

±☐ = -

ู้ร้หุร้หฺขุ๊รุ้รุ่ภู๋ฐุ๋ห้ข้ห้หุ๋ฐุ๋ช

A 1 5 × 5
5
7. sec(arcsin 2 5 ) = Sec A = COS A =
5
5

5)arcsin (-2 ร =A =5

5 ☒

sin A = -2 ร5

5

5

2 ร5 → c 05A = ร

r
÷A)
ร5

8. sin(arcoAs 3 + arcsBin(- 3 ) ) = sin (At B)
55

?arccos =A ะ sin Acos BtcosAtsin B

COSA = 5 ะ (E) (E) + (3-5)f ;-)
A) 3
5
4

sinA =4

_ = 16 - 9
25
5

( f)csih =B Q
-
sin B ก4 5 = 7

3= - ☐) 3 25 #

5 4

A B มอง tan CA t B)

9. [PAT 1 ป 2563]

#i. tan +2 arctan E) tan 3T 4)(tan

4 =
1T #

= tan + tan (2 arctan f)

#1- tan tanuarctan f) ¥= - tan

(= - 1) + = -1

(g)1- C- 1) zace

= ±÷÷ หา า tan (2 arctah 1)
มอง tan 2A

= 2 tanlarctan f)

= 1g × § 1- tan 2 ( arctan E)

1 #(= /2

=* (E)ะ - 2

ๆ

=1 §=

3-

4

่คุ๋ขุ๋ภฺป

10. {PAT 1 ป 2562}

0

จารณา SI n 1 ( F)= sin 21T + |ด ;☐ = ±

ใ function = SI h ☐ =T _ 31T

co _ µ )= sin

hs = COSI าT

14 = 7T- 61T

14

=±

14

° arccoscsin 1 ( ภื๋ )) = arccos เอ =
•.

กQ 3

จารณา sin 10 = Sin ก +

( # )7

-sin-

_

(= sin )
-

(ะ• arcsin sin ( )) = arcsin
sin 1- ) = -31T

T

Ansen
° ) Tt 6T
=
¥ f• • 14

=I

14

=T

= ××

ุ๋ตุ๋ภุ๊ษุ๋กุ๋ซิพ๋ัหุ๋ษ๋ัศุ๋ญ้ช๋ืยิคิพ

เอกลกั ษณและสมการตรีโกณมติ ิ

เอกลักษณ หมายถงึ สมการท่ีเปนจรงิ เมอื่ แทนตวั แปรในสมการนนั้ ดวย

จาํ นวนจรงิ ใดๆ ซ่ึงทาํ ใหพจนแตละพจนในสมการนั้นมคี วามหมาย

การพสิ ูจนเอกลกั ษณ จาํ เปนตองใชเอกลักษณพน้ื ฐานทกี่ ลาวไปแลว และ

การจะพสิ จู นไดอยางชํานาญขึน้ อยูกับประสบการณท่ีสามารถฝกฝนได และ

เอกลกั ษณบางอยางสามารถพิสจู นไดหลายวิธี 20sin 20 + cos =1

ตวั อยาง 1 จงพิสจู นวา = 3

LS 0520= 2 COS 2- ( 1- c ) +1
..

COS ④

2

= 3 COS ④ = 3 COSQ
COSQ

ตัวอยาง 2 จงพิสูจนวา =

LS = COSQ × 1 + sin 0
.. 1- sin 0 COSQ

= [ 050 (1 + sin 0 )

1- sin 2 ①

ะ COS ( 1 + sih Q ) = 1 + sin 0

COS 2 ② COSQ

ตวั อยาง 3 จงพิสจู นวา =

×

Ls sin × . 1- COSX tan ± = 1- c 05 ✗ = sin ✗
.. 1- cos × sin ×
= 2 1 + cos ×

า + cosx

= sinx ( 1- COSX) ¥tan ¥= sin ¥ ¥= 2 sin
cos
1- cos 2 ×
¥COS ¥2 COS 2
ะ Sinx ( 1- cosx )
sin 2 × (E)-

_
sin 2

= 1- cos ✗ 2 (1+6050)
2
sin ✗

= tan ตร * * = sinx

1 tcosx

วูสุ

TT =

ตัวอยาง 4 จงพิสจู นวา

Ls

(30+50) (30+50), .
= -2 Sin sin

2 2

2 sin (30+250) cos (30+250)

= - Esin/4 € sin (- e)

fs.int/fEcOS(- E)

= sin 0 = tan 0

cos 0

แบบฝกหดั

จงพสิ จู นเอกลกั ษณตอไปน้ี

1. ( h + g )2+ ( − ) = 2

= sin 20- +2sinecosoit-cos2-otsin2o-zsin-OTI-c.es 2 อ
lzeml luned

= 1t 1 = 2

2. sec − = ออ รอ

1 sine วา%ะ 1- sin

= - c 050 COSQ ( 1 +5in G)

coso = COS 0
1 tsin 0
= 1- sin 0 1 tsin ⑦

COS ⑦ ×

1 tsine

3. + = 2

= sin Q sin Q

+

COS 0 COS 0

( e)= 2 sine
cos

= 2 tan Q

4. + = 2

Ls = ( 1- sin 0 2 + ย0520 = 2 ( 1- Sin 0 )
,. )
cosc 1- sin G)
COS 0 (1- sin G)
= 2sec 0
ะ 1- 25in 0- + sin 2 อ + g- sin 2
②

COS ⑦ (1- sin G)

= 2- 2 sin 0
cos 0 ( า- si ทอง

5. =

( 1- sin 2 e)

L 5. = COS ( 2 Sin Q - 1)
.

- sin Q +2 sin 20

= COSQ ( 25in 0 - 1)
sin 0 ( 2 sin G- 1)

= cote

6. ถา A + B + C =180° จงพสิ ูจนวา

6.1 = sin( + )

จาก A ° ( B + c) 5in CT - G) = sin อ

= 180 -

°

180 - ( Bt c)
[ ]sin A = sin

= sin ( Bt C)

6.2 = −cos( + ) Qz

A = ° CB t C) COSCIT - E) = - cose
ก
180 -

[ ]cos A
= c 05 °

180 - CB + c)

= - Cos CB + C)

กึ

7. จงพสิ ูจนวา =

L 5. = 25in 0 COSQ + sin Q
. 2 COS 20-1 tc 05② +1

= sin -0 (22080-+1)
COS 0 ( ZCOSTQ t 1)

= tan 0

8. จงพิสจู นวา = 5

(80+20)L.si = tsin 2 c อ5 ⑦ )ft

(/2 Cos 80 /( )) co 5 8←

= sin 50

COS 50

= tan 50

9. จงพสิ ูจนวา 20° 40° 80° = (โดยใชมมุ 2 เทา)

= 25in 2 ำ°

COS 20 0s 4 cos 80

2 sin °

20

= 2s In ° ° cos °

40 cos 40 80

2. 25in °

20

= 2. sin ° cos 8

80

2- 4 sinzo °

= sin °

160

8 sin °

20

= sin ° )= Sin ° f=

( า 80 -2 20

85in ° 8 sin 2

20

ํอํอํอํอํอ๋ํบ๊ํษุ๋ษ

สมการตรโี กณมิติ

การแกสมการตรีโกณมิตทิ ําไดในทํานองเดียวกันกับการแกสมการท่วั ไป สมการ
ลอการทิ มึ หรอื สมการเอกซโพเนนเชยี ล โดยอาศัยความรเู กีย่ วกับฟงกชันตรีโกณมติ ิ
เพอื่ หาคาํ ตอบของสมการ

ตัวอยางที่ 1 จงแกสมการ 2 + 3 − 3 = 0 เมอ่ื 0° ≤ ≤ 360°

2 ( 1- C 0520 ) +3 COSQ -3=0 21COS Q = CQ1,04)

20+3- 2 COS COSQ - 1 = 0 ง°

2C 0520 -3C 05 ② t 1 = 0 ① = 60 300

COSQ = 1

( 2 COS 0 - 1) ( COS ⑦ - 1) =0 Q= °

, 360

{Cos 0 = g1 ำ, 6
ตอบ ④ = 300 36

,

ตัวอยางที่ 2 จงแกสมการ 3sec − + 2 = 0 เมอ่ื 0 ≤ ≤ 2

3 - COSQ t 2 = 0 ( [ OSQ - 3) (COSQ + 1) = ๐

COS Q COS 0 ☒= -1
,
203- COS
+2C 050 = 0 ⑤ =T

2

cos ⑦ -2 COS ⑦ -3 = ๐

แบบฝกหดั
1.จงหาเซตคําตอบของสมการ √3 + 2 = 0 เมือ่ 0 ≤ ≤ 2

2 ๆ = 2ั

3 C 0sec × + 2C0sec × = 0 sinx ร3

[ 0sec × ( น cosecx + 2) = 0

C 0sec ✗ ☒ 2=- SI ×ท = - 3

3 2

{ }ตอบ × = 41T 51T

G) 3

%

ุ๋ซํอํอํอํอ

2. จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ 2 + 2 = 1 เมอ่ื 0 ≤ ≤ 2

2 1 0- = cos × =1 l Q ง Q4)

COS 2 × +2 cos I

(E)2C 052×-1 + COS 2 =0 I× = =511

,
33

2C 052 ✗ + cos X -1 =๐

( 2 COSX - 1) Ccos × + 1) = 0 cosx = -1

× = 1T

cos × ฐ= -1
,
{ตอบ ,% }

3.จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ + 2 = เมื่อ 0 ≤ ≤ 2

COSX + 25in × = 1 #C 0s × = 1
,
sinx sinx -

cosx +2 SI × = 1 COSX =1

0522C 1- [ × ) + cosx -1 = ๐ ✗ = 0,21T
cos ×
2 {= - ( Q2 ง Q4)

- 2 COS × + c OSX +1 = 0

2 COS 2 [ OSX -1 ¥ #× = ,

× - =๐

( 2 cosx + 1)( cosx - 1) = o ตอบ {☒ }, ,

4.จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ 4 − 3 = 0 เม่อื 0° ≤ < 360°

4 ta %)อ -3 (1 + tan 1 + tano

=o

4 tan20-3tane -3 = ๐ tan ② = - ง ( Q 2,04)

tan 20 = 3 ง°

Q = 120 300

tano = ±

tane = ( Q1g Q 3) ตอบ { ง ; }6 120 240 30
,
0- = °°

60 , 240

ํอํอัข้ทุ๋หุ๋ห้ทุ๋ฑุ๋ภูฐ

5.จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ 3 − 3 =

เมื่อ 0° ≤ < 360° 25in Q -1 = ๐ (Q , Qz )
,
sin (30--0) = C ① s ① {sine =
5in 20- = cose

25in Qcos 0- - coso = 0 °

ำ0- = 30 150

[C050 2 Sin 0-1 ] = 0 ตอบ { }° ° ° °
30
,90 150 270
,
,

cos 0 =๐

0 =9 , °

270

PAT 1 ป 2563

C° Q
p 94

อ Nco
3

- asin A [ } ( )cot A 1
- =3
- sin A
_
cota COS 30

L cos ( 36 °

-60 )

a + 1 = 3 C 2) °
a= 5
= COS 60

{ะ

อํอํอํ

3µCใn1nr2ไ5น6 ไไ
Q
4 +-

ํ

Cosx + sinx = E

5

sinxjง ( ¥( cos× = -

= → mam ☐น§ )(-4 (2) =3
_
f ±5

1- sinx = si × - 2 ร5 sinx + ☒ า 2 ร5
5 25/25
5 =

2s i §× - 2 5 sinx - =0 ,

5

2×2-2 ร- × -
** 0ยมอง

5

b× = - ± b 2- 4 ac Q Q4

29 tan4× - cotx

% %ง่ " " t"
"±

5

4 {= - +2

§ § ¥= ± + £=

=8 1- £×

I× ง

5

ร5

ใน ใน( Q4) sinx = ☒ 1
งาน
r

2

๋ืว๋ัญึวุ๋ป้ข้ท้กูว

กฎของไซนและโคไซน
กฎของโคไซน

ตัวอยางท่ี 1 กาํ หนดให a = 15 , b = 7 , c = 13 จงหาคาของ C

2 a2 + b2- 2abcos C

c=

132 = 152+72-2115) (7) COSC

169 = 225 + 49 - 210 COSC

COSC = 225+49 - 169 1 05 า=

=

21 o

210

ตอบ °

C = 60

°

60 *