MODUL PEMBELAJARAN
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 1
DAFTAR ISI
Daftar Isi ................................................................................................................................. 2
Bab 1 Trigonometri 1 ............................................................................................................ 3
Persamaan Trigonometeri ....................................................................................................... 3
Uji Kompetensi ........................................................................................................................ 8
Persamaan Trigonometri ......................................................................................................... 9
Uji Kompetensi ........................................................................................................................ 11
Bab 2 Trigonometeri II .......................................................................................................... 12
Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut ............................................................... 12
Uji Kompetensi ........................................................................................................................ 15
Rumus Trigonometri Sudut Rangkap ...................................................................................... 16
Uji Kompetensi ........................................................................................................................ 17
Rumus Perkalian dan Penjumlahan Bentuk Trigonometri ....................................................... 18
Uji Kompetensi ........................................................................................................................ 19
Penilaian Harian ...................................................................................................................... 20
Bab 3 Program Linear ........................................................................................................... 23
Sistem Pertidaksamaan Linear ............................................................................................... 23
Penyesuaian Optimum ............................................................................................................ 25
Program Linear ....................................................................................................................... 28
Uji Komptensi .......................................................................................................................... 32
Bab 4 Matriks ........................................................................................................................ 35
Pengertian, Notasi dan Ordo Matriks ...................................................................................... 35
Transpose Suatu Matriks ........................................................................................................ 36
Kesamaan Dua Matriks ........................................................................................................... 36
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks ................................................................................. 38
Perkalian Bilangan Real (Skalar) Dengan Matriks ................................................................... 40
Perkalian Matriks .................................................................................................................... 43
Invers Matriks ......................................................................................................................... 46
Pemakaian Matriks Pada Sistem Persamaan Linear ............................................................... 50
Uji Kompetensi ........................................................................................................................ 52
Bab 5 Transformasi .............................................................................................................. 54
Jenis Transformasi .................................................................................................................. 54
Uji Kompetensi ........................................................................................................................ 58
Komposisi Transformasi .......................................................................................................... 61
Uji Kompetensi ........................................................................................................................ 62
2 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
Trigonometri I
Persamaan Trigonometri
1. Jika sin x = sin α, nilai x = α + k . 360o atau x = (180o – α) + k . 360o
2. Jika cos x = cos α, nilai x = α + k . 360o atau x = – α + k . 360o
3. Jika tan x = tan α, nilai x = α + k . 180o
Dengan k adalah bilangan bulat
Atau
1. Jika sin x = sin α, nilai x = α + k . 2 atau x = ( – α) + k . 2
2. Jika cos x = cos α, nilai x = α + k . 2 atau x = – α + k . 2
3. Jika tan x = tan α, nilai x = α + k .
Dengan k adalah bilangan bulat
Contoh Soal dan Alternatif Penyelesaiannya
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. sin x = 1 3 , 0o < x < 360o
2
b. cos x = 1 , 0 < x < 2
2
c. tan x = - 1 3 , 0o < x < 360o
3
Alternatif Penyelesaian
a. sin x = 1 3 , untuk 0o < x < 360o
2
Sin x = sin 60o , maka diperoleh:
1) x = 60o + k . 360o
k = 0 x = 60o + 0 . 360o = 60o
k = 1 x = 60o + 1 . 360o = 420o (tidak memenuhi)
2) x = (180o – 60o ) + k . 360o
x = 120o + k . 360o
k = 0 x = 120o + 0 . 360o = 120o
k = 1 x = 120o + 1 . 360o = 120o (tidak memenuhi)
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 60o , 120o }
d. cos x = 1 , untuk 0 < x < 2
2
Cos x= cos 1 , maka diperoleh:
3
1) x = 1 + k . 2
3
k = 0 x = 1 + 0 . 2 = 1
33
k = 1 x = 1 + 1 . 2 = 7 (tidak memenuhi)
33
2) x = - 1 + k . 2
3
k = 0 x = - 1 + 0 . 2 = - 1 (tidak memenuhi)
33
k = 1 x = - 1 + 1 . 2 = 5
33
k = 2 x = - 1 + 2 . 2 = 11 (tidak memenuhi)
33
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1 , 5 }
33
b. tan x = - 1 3 , untuk 0o < x < 360o
3
tan x = tan 150o , maka diperoleh:
x = 150o + k . 180o
k = 0 x = 150o + 0 . 180o = 150o
k = 1 x = 150o + 1 . 180o = 330o
k = 2 x = 150o + 2 . 180o = 510o (tidak memenuhi)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {150o , 330o }
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. sin 4x = 0, 0 < x < 2
b. cos 5x = 1 2,0o x 360o
2
c. tan 3x = 1, 0 < x < 2
Alternatif Penyelesaian
a. sin 4x = 0, untuk 0 < x < 2
Sin 4x = sin 0, maka diperoleh:
1) 4x = 0 + k . 2
x=0+k. 1
2
k=0x=0+0. 1 =0
2
k=1x=0+1. 1 = 1
22
4 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
k=2x=0+2. 1 =
2
k=3x=0+3. 1 = 3
22
k = 4 x = 0 + 4 . 1 = 2
2
k = 5 x = 0 + 5 . 1 = 5 (tidak memenuhi)
22
2) 4x = ( - 0) + k . 2
4x = = k . 2
x= 1 +k. 1
42
k=0x= 1 +0. 1 = 1
4 24
k=1x= 1 +1. 1 = 3
4 24
k=2x= 1 +2. 1 = 5
4 24
k=3x= 1 +3. 1 = 7
4 24
k = 4 x = 1 + 4 . 1 = 9 (tidak memenuhi)
4 24
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 1 , 1 , 3 , , 5 , 3 , 7 , 2}
424 424
b. cos 5x = 1 2, untuk 0o x 360o
2
cos 5x cos 45o , maka diperoleh:
1) 5x = 45o + k . 360o
x = 9o k 72o
k = 0 x = 9o 0 72o 9o
k = 1 x = 9o 1 72o 81o
k = 2 x = 9o 2 72o 153o
k = 3 x = 9o 3 72o 225o
k = 4 x = 9o 4 72o 297o
k = 5 x = 9o 5 72o 369o (tidak memenuhi)
2) 5x = - 45o + k . 360o
x = - 9o k 72o
k = 0 x = - 9o 0 72o 9o (tidak memenuhi)
k = 1 x = - 9o 1 72o 63o
k = 2 x = - 9o 2 72o 135o
k = 3 x = - 9o 3 72o 207o
k = 4 x = - 9o 4 72o 279o
k = 5 x = - 9o 5 72o 351o
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 5
k = 6 x = - 9o 6 72o 423o (tidak memenuhi)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 9o , 63o , 81o , 135o , 153o , 207o , 225o , 279o ,
297o , 351o }
d. tan 3x = 1, untuk 0 < x < 2
tan 3x = tan 1 , maka diperoleh:
2
3x = 1 + k .
4
x = 1 k 1
12 3
k = 0 x = 1 + 0 . 1 1
12 3 12
k = 1 x = 1 + 1 . 1 5
12 3 12
k = 2 x= 1 + 2 . 1 3
12 3 4
k = 3 x = 1 + 3 . 1 13
12 3 12
k = 4 x = 1 + 4 . 1 17
12 3 12
k = 5 x= 1 + 5 . 1 7
12 3 4
k = 6 x = 1 + 6 . 1 25 (tidak memenuhi)
12 3 12
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1 , 5 , 3 , 13 , 17 , 7 }
12 12 4 12 12 4
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. sin (3x - 1 ) = 1, 0 < x < 2
2
b. cos (x + 70o ) = 1 2 , 0o < x < 360o
2
c. tan (2x - 1 ) = 3 , 0 < x < 2
5
Alternatif Penyelesaian
a. sin (3x - 1 ) = 1 , untuk 0 < x < 2
2
sin (3x - 1 ) = sin 1 , maka diperoleh:
22
1) 3x - 1 = 1 + k . 2
22
3x = + k . 2
x= 1 +k. 2
33
k 0 x 1 0 2 1
3 33
6 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
k 1 x 1 1 2 7
33
k 2 x 1 2 2 5
3 33
k 3 x 1 3 2 7
3 3 3 (tidak memenuhi)
2) 3x 1 ( 1 ) k 2
22
3x 1 1 k 2
22
3x = + k . 2
k 0 x 1 0 2 1
3 33
k 1 x 1 1 2
33
k 2 x 1 2 2 5
3 33
k 3 x 1 3 2 7
3 3 3 (tidak memenuhi)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 1 , , 5 }
33
b. cos (x + 70o ) = 1 2 , untuk 0o < x < 360o
2
cos (x 70o ) cos 45o , maka diperoleh:
1) x 70o 45o k 360o
x 25o k 360o
k 0 x 25o 0 360o 25o (tidak memenuhi)
k 1 x 25o 1 360o 335o
k 2 x 25o 2 360o 695o (tidak memenuhi)
2) x 70o 45o k 360o
x 115o k 360o
k 0 x 115o 0 360o 115o (tidak memenuhi)
k 1 x 115o 1 360o 245o
k 2 x 115o 2 360o 605o (tidak memenuhi)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 245o, 335o }
c. tan (2x 1 ) 3 tan 2 , maka diperoleh:
53
2x 1 2 k
53
2x 13 k
15
Modul Matematika XI MIPA Smt 1
x 13 k 1
30 2
k 0 x 13 0 1 13
30 2 30
k 1 x 13 1 1 14
30 2 15
k 2 x 13 2 1 43
30 2 30
k 3 x 13 3 1 29
30 2 15
k 4 x 13 4 1 73 (tidak memenuhi)
30 2 30
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 13 , 14 , 43 , 29 }
30 15 30 15
Uji Kompetensi
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan jelas dan tepat!
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. sin x 1 2,0o x 360o
2
b. cos x 1 3, 0o x 360o
2
c. tan x 1 3, 0o x 360o
3
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. sin x 1, 0 x 2
2
b. cos x 1, 0 x 2
c. tan x 1, 0 x 2
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. 2 sin 3x 1 0, 0o x 360o
b. 2 cos 2x 3 0, 0o x 360o
c. 3 tan 5x 3 0, 0o x 360o
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. sin 7x 1 3 , 0 x 2
2
b. cos 5x 1 3 , 0 x 2
2
c. tan 4x 3 , 0 x 2
8 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. sin (x 1 ) 1, 0 x 2
3
b. cos (x 1 ) 1, 0 x 2
42
c. tan (x 1 ) 1, 0 x 2
3
6. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. sin (x 40o ) 1 , 0o x 360o
2
b. cos (x 20o ) 1, 0o x 360o
c. tan (x 18o ) 1 3 , 0o x 360o
3
7. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. sin (3x 1 ) 1, 0o x 2
2
b. cos (2x 5 ) 1, 0o x 2
12 2
c. tan (3x ) 1 3 , 0o x 2
3
8. Selesaikan persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. sin (5x 30o ) 1 2 , 0o x 360o
2
b. cos (2x 15o ) 1 2 , 0o x 360o
2
c. tan (3x 21o ) 1 3 , 0o x 360o
3
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 9
Persamaan Trigonometri dalam bentuk sin2 x, cos2 x, dan tan2 x
Untuk mencari himpunan penyelesaian bentuk persamaan kuadrat dalam trigonometri, bentuk
trigonometri harus dimisalkan dengan peubah tertentu.
Contoh Soal dan Alternatif Penyelesaian
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan cos2 x – 3 cos x – 4 = 0 untuk 0o x 360o !
Alternatif Penyelesaiannya
cos2 x – 3 cos x – 4 = 0
Misal cos x = p, maka diperoleh:
p2 – 3p – 4 = 0
(p + 1)(p – 4) = 0
p = -1 atau p = 4
untuk p = -1
cos x = -1 = cos 180o, maka diperoleh:
a. x 180o k 360o
k 0 x 180o 0 360o 180o
k 1 x 180o 1 360o 540o (tidak memenuhi)
b. x 180o k 360o
k 0 x 180o 0 360o 180o (tidak memenuhi)
k 1 x 180o 1 360o 180o
k 2 x 180o 2 360o 540o (tidak memenuhi)
Untuk p = 4
cos x = 4 (tidak mungkin karena -1 < cos x < 1)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (180o)
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin2 x 3sinx 20untuk0o x360o
Alternatif Penyelesaiannya
sin2 x – 3 sin x + 2 = 0
Misal sin x = p, maka diperoleh:
p2 – 3p + 2 = 0 (p – 1)(p – 2) = 0 p = 1 atau p = 2
Untuk p = 1
sin x = 1 – sin 900, maka diperoleh:
a. x = 90o + k . 360o
k = 0 x = 90o + 0 . 360o = 90o
k = 1 x = 90o + 1 . 360o = 450o (tidak memenuhi)
b. x = (180o – 90o) + k . 360o
x = 90o + k . 360o
k = 0 x = 90o + 0 . 360o = 90o
k = 1 x = 90o + 1 . 360o = 450o (tidak memenuhi)
10 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
Untuk p = 2
sin x = 2 (tidak mungkin karena -1 < sin x < 1)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {90o}
Latihan Soal
Diketahui sudut-sudut istimewa sebagai berikut!
0o 90o 180o 270o 360o
30o 120o 210o 300o
45o 135o 225o 315o
60o 150o 240o 330o
Tentukan sudut-sudut yang bisa memenuhi persamaan trigonometri berikut!
1. sin2 x + 5 sin x – 6 = 0
2. 2 cos2 x + 7 cos x – 4 = 0
3. tan2 x – 1 = 0
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 11
Uji Kompetensi
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan jelas dan tepat!
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. 2 sin2 x – sin x – 1 = 0, 0o < x < 360o
b. cos2 x – 4 cos x + 3 = 0, 0o < x < 360o
c. tan2 x – 3 = 0, 0o < x < 360o
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. sin2 3x – 6 sin 3x + 5 = 0, 0o < x < 360o
b. 2 cos2 2x – 1 = 0, 0o < x < 360o
c. tan2 5x – 1 = 0, 0o < x < 360o
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. tan2 x – 1 = 0, 0o < x < 360o
b. 2 sin2 x + 3 sin x – 2 = 0, 0o < x < 360o
c. 2 cos2 x + cos x – 1 = 0, 0o < x < 360o
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. sin2 2x + 2 sin 2x – 3 =0, 0o < x < 360o
b. 4 cos2 4x – 3 = 0, 0o < x < 360o
c. 3 tan2 3x – 1 = 0, 0o < x < 360o
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan trigonometri berikut!
a. 3 tan2 x – 1 = 0, 0o < x < 360o
b. cos2 x – 3 cos x – 4 = 0, 0o < x < 360o
c. 2 sin2 x – 3 sin x + 1 = 0, 0o < x < 360o
12 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
Trigonometri II
Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Perhatikan gambar berikut!
Koordinat titik A(1, 0), B(cos a, sin a), C(cos (a + b), sin (a + b)), dan D(cos b, -sin b) 13
Berdasarkan rumus jarak: PQ2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2, maka:
AC2 = (cos (a + b) – 1)2 + sin (a + b) – 0)2
= cos2 (a + b) – 2 cos (a + b) + 1 + sin2 (a + b)
= 2 – 2 cos (a + b)
BD2 = (cos b – cos a)2 + (-sin b – sin a)2
= cos2 b – 2 cos b cos a + cos2 a + sin2b + 2 sin b sin a + sin2a
= 2 – 2 cos b cos a + 2 sin b sin a
= 2 – 2 cos a cos b + 2 sin a sin b
Oleh karena besar BOD = COA, maka AC2 = BD2
2 – 2 cos (a + b) = 2 – 2 cos a cos b + 2 sin a sin b
2 cos (a + b) = 2 cos a cos b – 2 sin a sin b
cos (a + b) = cos a cos b – 2 sin a sin b
Jadi, cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b
Dari rumus tersebut dapat diturunkan rumus-rumus yang lain seperti berikut:
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b
tan (a + b) = tan a tan b
1 tab a tan b
tan (a – b) = tan a tan b
1 tab a tan b
Modul Matematika XI MIPA Smt 1
Contoh Soal dan Alternatif Jawaban
1. Diketahui cos 60o 1 dan sin 45o 1 2 . Dengan penjumlahan atau selisih dua sudut, hitunglah
22
cos 15o
Jawab:
cos 15O = cos (60O – 45O) = cos 60O cos 45O + sin 60O sin 45O
= 11 2 1 31 2
22 22
= 1 21 6
44
= 1( 2 6)
4
2. Tunjukkan bahwa cos (90O + A) = -sin A!
Jawab:
cos (90O + A) = cos 90O cos A – sin 90O = 0 cos A – 1 sin A = -sin A
3. Tanpa memakai tabel matematika ataupun kalkulator, hitunglah nilai setiap bentuk berikut!
a. cos 25O cos 20O – sin 25O sin 20O
b. cos x + sin (x – 60O) + sin (x – 120O)
Jawab:
a. cos 25O cos 20O – sin 25O sin 20O = cos (25O + 20O) = cos 45O = 1 2
2
b. cos x + sin (x – 60O) + sin (x – 120O)
= cos x + sin x cos 60O – cos x sin 60O + sin x cos 120O – cos x sin 120O
= cos x + 1 3 sin x - 1 cos x - 1 3 sin x - 1 cos x
2 22 2
= cos x – cos x + 1 3 sin x - 1 3 sin x = 0
22
4. Diketahui: sin A = 3 untuk A sudut lancip
5
cos B = 12 untuk B sudut tumpul
13
Tentukan:
a. sin (A + B)
b. cos (B – A)
c. tan (A – B)
Jawab: sin B = 5
sin A = 3 13
5 cos B = 12
cos A = 4 13
5 tan B = 5
tan A = 3 12
4
14 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
a. sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
= 3 12 4 5
5 13 5 13
= 36 20
65 65
= 16
65
b. cos (B – A) = cos B cos A + sin A sin B
= 12 4 3 3
13 5 5 13
= 48 15
65 65
= 33
65
c. tan (A – B) = tan A tan B
1 tan A tan B
= 3 5 7
4 12 6
1 3 5 1 ( 5 )
4 12 16
= 7 x 16
6 11
= 56
33
Latihan Soal
1. a. Diketahui sin A = 3 dan cos B = 12 untuk A sudut lancip dan B sudut tumpul. Gambarlah
5 13
sudut A dan sudut B pada koordinat Cartesius!
b. Berdasarkan gambar yang diperoleh di a, tentukan nilai:
1) cos A 3) sin B
2) tan A 4) tan B
c. Tentukan nilai: 4) cos (A – B)
1) sin (A + B)
2) sin (A – B) 5) tan (A + B)
3) cos (A + B) 6) tan (A – B)
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 15
Uji Kompetensi
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan jelas dan tepat!
1. Diketahui sin α = 5 dan cos β = 8 dengan α dan β sudut lancip. Tentukan nilai:
4 17
a. sin (α + β)
b. sin (α – β)
2. Diketahui cos a = 24 dan cos b = 4 dengan a sudut lancip dan b sudut tumpul. tentkan nilai:
25 5
a. cos (a + b)
b. cos (a – b)
3. Tunjukkan kebenaran hubungan berikut!
a. sin (270O + α) = - cos α
b. cos (360O – α) = cos α
4. Perhatikan gambar berikut!
Tentukan nilai:
a. cos (x + y)
b. sin (x + y)
5. Tunjukkan bahwa:
a. sin 285O = 1 ( 2 6)
4
b. cos 75O = 1 ( 6 2)
4
6. Diketahui sin A = 1 dan cos B = 3 dengan A dan B sudut lancip. Tentukan nilai:
22
a. cos (A + B) d. sin (A – B)
b. cos (A – B) e. tan (A + B)
c. sin (A + B) f. tan (A – B)
7. Tentukan nilai dari: d. tan 105O
a. sin 75O e. cos 195O
b. cos 75O f. cosec 105O
c. tan 75O
8. Jika x + y = , buktikan (1 + tan x)(1 + tan y) = 2!
4
9. Diketahui: a + b + c = 180O, sin a = 3 , dan cos b = 12 . Tentukan nilai sin c!
5 13
10. Jika sin (x + 30O) = sin x, buktikan tan x = 2 + 3 !
16 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Apabila α adalah besar suatu sudut, yang dimaksud sudut rangkap atau sudut ganda adalah 2α.
Berikut rumus-rumus yang dapat digunakan untuk menentukan nilai trigonometri sudut rangkap.
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos2 α – sin2 α = 1 – 2 sin2 α = 2 cos2 α – 1
tan 2α = 2 tan
1 tan2
Contoh Soal dan Alternatif Jawaban
Diketahui cos A = 12 dan A sudut lancip. Tentukan nilai:
13
a. sin 2A
b. cos 2A
c. tan 2A
Jawab:
cos A = 12 , sin A = 5 , tan a = 5
13 13 12
a. sin 2A = 2 sin A cos A
b. cos 2A = 2 5 12 120
13 13 169
= 1 – 2 sin2 A
= 1 2 25 169 50 119
169 169 169
c. tan 2A = 2 tan A
1 tan2 A
= 2 5 5 144 120
12
1 25 6 119 119
144
Latihan
1. a. Diketahui sin A = 4 dengan A di kuadran II. Gambarlah sudut A pada koordinat Cartesius!
5
b. Berdasarkan gambar, tentukan nilai:
1) cos A
2) tan A
c. Tentukan nilai:
1) sin 2A
2) cos 2A
3) tan 2A
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 17
2. a. Diketahui cos B = 12 dengan B di kuadran IV. Gambarlah sudut B pada koordinat
13
Cartesius!
b. Berdasarkan gambar, tentukan nilai:
1) sin B
2) tan B
c. Tentukan nilai:
1) sin 2B
2) cos 2B
3) tan 2B
Uji Kompetensi
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan jelas dan tepat!
1. Diketahui tan A = 1 dengan A sudut lancip. Tentukan nilai:
3
a. sin 2A
b. cos 2A
c. tan 2A
2. Diketahui cos2 A = 9 untuk 0 2A . Tentukan nilai:
25 2
a. sin 2A
b. cos 2A
c. tan 2A
3. Buktikan bahwa:
a. tan 2x = 1 tan y , jika 2x + y =
1 tan y 4
b. cos 4α = 8 cos4 α – 8 cos2 α + 1
c. cos 2x = cos4 x – sin4 x
d. tan 2x = 3 , jika sin2 x = 1
4
4. Jika sin A = p, tentukan tan 2A!
5. Diketahui tan α = 5 dengan α sudut lancip. Tentukan:
12
a. sin 1
2
b. cos 1
2
c. tan 1
2
6. Buktikan kebenaran identitas berikut!
a. (sin x – cos x)2 = 1 – sin 2x
b. cos4 x – sin4 x = cos 2x
18 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
Rumus Perkalian dan Penumlahan Bentuk Trigonometri
Dengan operasi aljabar dari rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut diperoleh
hubungan bentuk perkalian dan bentuk penjumlahan trigonometri seperti berikut:
sin (a + b) + sin (a – b) = 2 sin a cos b
sin (a + b) – sin (a – b) = 2 cos a sin b
cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a cos b
cos (a + b) – cos (a – b) = - 2 sin a sin b
Rumus tersebut digunakan untuk mengubah bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan
dan sebaliknya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan hubungan berikut!
1. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
Rumus berikut digunakan untuk mengubah bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan dan
diperoleh dengan membagi persamaann di atas dengan bilangan 2.
sin a cos b = 1 sin (a + b) + 1 sin (a – b)
22
cos a sin b = 1 sin (a + b) - 1 sin (a – b)
22
cos a cos b = 1 cis (a + b) + 1 cos (a – b)
22
sin a sin b = - 1 cos (a + b) + 1 cos ( a – b)
22
2. Rumus Penjumlahan Sinus dan Kosinus
Rumus berikut digunakan untuk mengubah bentuk penjumlahan menjadi bentuk perkalian dan
diperoleh dengan substansi a = 1 (p + q) dan b = 1 (p – q) ke persamaan di atas.
22
sin p + sin q = 2 sin 1 (p + q) cos 1 (p – q)
22
sin p – sin q = 2 cos 1 (p + q) sin 1 (p – q)
22
cos p + cos q = 2 cos 1 (p + q) cos 1 (p – q)
22
cos p – cos q = -2 sin 1 (p + q) sin 1 (p – q)
22
Contoh Soal dan Alternatif Penyelesaian
Nyatakan sebagai jumlah sinus dan sederhanakan jika mungkin!
a. sin 75O cos 15O
b. cos 2x sin x
Jawab: 1 (sin (75O + 15O) + sin (75O – 15O))
a. sin 75O cos 15O = 2
1 (sin 90O + sin 60O)
= 2
= 1 (1 1 3 )
22
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 19
b. cos 2 sin x = 1 (sin (2x + x) – sin (2x – x))
2
= 1 (sin 3x – sin x)
2
= 1 sin 3x – 1 sin x
22
Latihan
Diketahui sudut A = 165O dan sudut B = 75O. Tentukan nilai:
1. sin A + sin B
2. sin A – sin B
3. cos A + cos B
4. cos A – cos B
Uji Kompetensi
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan jelas dan tepat!
1. Nyatakan sebagai jumlah sinus atau kosinus dan sederhanakan jika mungkin!
a. 2 sin 145O cos 55O d. cos 285O cos 15O
b. sin ( + x) sin ( - x) e. 2 cos ( x) cos ( x)
c. 4 cos (x + y) sin (x – y) 22
f. sinn (p – α) sin (p + α)
2. Buktikan bahwa:
a. 2 sin 3A sin 4A + 2 cos 5A cos 2A – cos 3A = cos A
b. sin 3B + (cos B + sin B)(1 – 2 sin 2B) = cos 3B
3. Sederhanakan!
a. 2 cos 50O cos 40O – 2 sin 95O sin 85O
b. sin 52O sin 68O – sin 47O cos 77O – cos 65O cos 81O
c. sin 45O cos 15O + cos 45O sin 15O
4. Tunjukkan bahwa:
a. 2 cos 255O sin 75O = 1
2
b. 2 sin 8c cos 2c – 2 cos 6c sin 4c – sin 6c = sin 2c
5. Tentukan nilai dari:
a. cos 105o cos 15o
sin 105o sin 15o
b. sin 165o sin 75o
cos 165o cos 75o
20 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
Penilaian Harian
A. Berilah tanda silang (X) pada satu jawaban A, B, C, D, atau E yang paling tepat!
1. Diketahui sin α = 4 dan cos β = 15 C. 1 2 ( 3 1)
5 17 4
dengan α dan β sudut lancip. Nilai sin (α D. 1 ( 2 3)
+ β) = .... 4
A. 84 E. 1 ( 3 2)
85 4
B. 72 5. Diketahui sin α = 4 dan cos β = 5
85 5 13
C. 58 dengan α dan β sudut lancip. Nilai cos
85 (α + β) = ....
D. 43 A. 56
85 65
E. 36 B. 43
85 65
2. Nilai cos 255O = .... C. 33
A. 1 ( 3 2) 65
4
B. 1 ( 2 6 ) D. 16
4 65
C. 1 ( 2 6)
4 E. 3
D. 1 ( 3 2) 65
4
E. 1 ( 3 6) 6. Nilai cos 375O = ....
4 A. 1 ( 6 2)
4
3. sin (30O + α) + cos (60O + α) = .... B. 1 ( 6 2)
4
C. 1 ( 3 2)
4
A. 2 3 sin D. 1 ( 3 2)
B. 3 sin 4
C. 3 cos
E. 1 ( 6 2)
4
D. sin α 7. Diketahui sin α = 3 dan tan β = 7
E. cos α 5 24
4. Nilai sin 195O = .... dengan α dan β sudut lancip. Nilai sin (α
A. 1 2 (1 3) + β) = ....
4
B. 1 2 (1 3) A. 44
4 125
B. 66
125
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 21
C. 75 12. Diketahui sin x = 5 , nilai dari sin 2x =
125 13
D. 100 ....
125 A. 98
E. 112 169
125 B. 102
8. Pada segitiga siku-siku ABC berlaku cos 169
A cos B = 0,, maka cos (A – B) = .... C. 119
A. – 1
B. – 0,5 169
C. 0 D. 120
D. 0,5
E. 1 169
E. 132
9. Nilai 1 cos 2A = ....
169
sin 2A 13. Nilai cos 15O sin 75O = ....
A. sin A A. 1
B. cos A 2
C. tan A
D. 1 – sin A B. 1 + 1 3
E. 1 – cos A 24
10. Jika sin x = 4 , nilai tan 2x = .... C. 1 - 1 3
5 24
A. 24 D. 1 3
7 3
B. 24 E. 1 3
7 2
C. 25 14. Nilai 2 sin ( 1 + x) sin ( 1 - x) = ....
7 44
D. 25 A. cos
7 B. cos x
C. sin x
E. 7 D. sin 2x
24 E. cos 2x
15. 4 sin 37,5O cos 7,5 = ....
11. Nilai dari 2 cos2 157,5O – 1 = .... A. 3 1
A. 1 3 B. 3 1
2 C. 2 1
B. 1 2 D. 1 ( 2 1)
2
C. 1 2
2 E. 1 ( 3 1)
D. 1 3
2 2
E. 1 2
2 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
22
16. Nilai dari 4 sin 80O sin 140O sin 200O = C. 3
.... 8
A. 1 3
2 D. 4
B. 1 2 8
2
C. 0 E. 5
D. 1 8
2
E. 1 19. Nilai sin 85o sin 25o = ....
cos 45o cos 15o
17. Bila x + y = 270O, nilai cos x + sin y = ....
A. – 2 A. 1 3
B. – 1 3
C. 0
D. 1 B. 1 3
E. 2 3
18. Bila tan A = 3 , nilai 3 cos A 2 sin A C. 3
4 cos A 4 sin A D. (- 3 - 3 )(sin 10O + cos 10O)
E. (3 + 3 )(sin 10O + cos 10O)
= ....
A. 1 20. Nilai dari cos 140O + cos 100O + cos 20O
adalah ....
8 A. 2
B. 2 B. 1
C. 0
8 D. -1
E. -2
B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan jelas dan tepat!
1. Diketahui sin A = 3 dan sin B = 1 3 dengan A dan B sudut lancip. Tentukan nilai:
55
a. sin (A – B)
b. cos (A + B)
c. tan (A – B)
2. Tunjukkan bahwa:
2 sin 3x 2 cos 3x 8 cos 2x
sin x cos x
3. Tentukan bentuk sederhana dari:
cos 3x sin 6x cos 9x
sin 9x cos 6x sin 3x
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 23
PROGRAM LINEAR
A. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR
Untuk menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear, dapat
dolakukan dengan cara:
1. Membuat grafik dari persamaan linear yang berupa garis
2. Garis itu akan membagi diagram Cartesius menjadi dua bagian
3. Untuk memilih daerah penyelesaian dapat dilakukan dengan menyelidiki salah satu titik di
luar garis, biasanya dipilih titik pangkal (0, 0)
Contoh 1:
Untuk x, y R tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x + y < 5 dengan
mengarsir daerah yang bukan penyelesaian.
Jawab:
x + y = 5 dapat dibuat dengan menentukan titik potong dengan:
sumbu x maka y = 0 sumbu y maka x = 0
x+y = 5 x+y = 5
x+0 = 5 0+y = 5
x =5 y =5
diperoleh titik (5, 0) diperoleh titik (0, 5)
Dengan membuat tabel
x5 0
y0 5
(5, 0) (0, 5)
Penyelidikan:
Ambil (0, 0) maka 0 + 0 < 5
0 < 5 (benar)
Jadi daerah penyelesaian melalui (0, 0)
Untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear jika diketahui daerah penyelesaian
diperlukan kemampuan menentukan persamaan garis, persamaan garis dapat ditentukan
dengan rumus sebagai berikut:
1. garis melalui (0, 0) dan bergradien m adalah y = m . x
2. garis melalui (0, c) dan bergradien m adalah y = m . x + c
3. garis melalui (x1, y1) dan bergradien m adalah y – y1 = m (x – x1)
4. garis melalui (x1, y1) dan (x2, y2) adalah
5. garis melalui (a, 0) dan (0, b) adalah bx + ay = ab
24 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
Contoh 2:
Tentukan sistem pertidaksamaannya jika penyelesaiannya berupa daerah yang terarsir.
Jawab:
Garis melalui (1, 0) dan (3, 1) adalah
x 1 y 0
3 1 1 0
x – 1 = 2y
x – 2y = 1
Garis melalui (1, 0) dan (0, 2) adalah 2x + y = 2
Garis melalui (0, 2) dan (3, 1) adalah
x0 y2
3 0 1 2
-x = 3y = 6
x + 3y = 6
Penyelidikan:
Ambil titik di dalam daerah penyelesaian misal (1, 1)
1. (1, 1) x – 2y = 1 1 – 2 . 1 ... 1 maka -1 < 1
2. (1, 1) 2x + y = 2 2 . 1 + 1 ... 2 maka 3 > 2
3. (1, 1) x + 3y = 6 1 + 3 . 1 ... 6 maka 4 < 6
Sehingga sistem pertidaksamaannya adalah :
x – 2y < 1, 2x + y > 2, x + 3y < 6
Kegiatan 1
1. Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut. Arsirlah daerah yang bukan
penyelesaian!
a. x > 0, y > 0 , 4x + 3y < 12 , 3x + 8y < 24
b. 3x +2y > 6 , 3x – 2y < 6 , y < 3
c. x + y < 5 , y < 4x , x < 4y
2. Tentukan sistem pertidaksamaannya jika daerah penyelesaiannya adalah daerah yang
diarsir.
a. . b.
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 25
Latihan 1
1. Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut. Arsirlah daerah yang bukan
penyelesaian!
a. x > 0 , y>0 , x<4 , y<3
b. x > 0 , y>0 , y<x+1 , x<5
c. x > 0 , y>0 , 2x + 5y < 20 , 6x + 2y < 12
d. x > 0 , y>0 , 3x + 4y > 12 , 4x + 2y > 12
e. 2x + 7y > 14 , 4x + 3y > 12 , 4x + 7y < 28
2. Tentukan sistem pertidaksamaannya jika daerah penyelesaiannya adalah daerah yang
diarsir.
a. . d.
b. e.
c.
B. PENYELESAIAN OPTIMUM
Nilai maksimum atau nilai minimum dari suatu bentuk obyektif ax + by disebut penyelesaian
optimum.
Contoh: x>0 , y>0 , x+y<4 , 2x + y < 6
Dari sistem pertidaksamaan
Tentukan nilai maksimum dari:
a. x + 2y
b. 3x + y untuk x, y cacah
26 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
Jawab:
x+y=4
2x + y = 6
---------------- -
-x = -2 x = 2
y=2
Titik-titik sudut daerah penyelesaian adalah (0, 0),
(3, 0), (0, 4), (2, 2)
x + 2y 3x + y Dengan cara substitusi tersebut dapat dilihat bahwa
nilai maksimum x + 2y adalah 8 diperoleh dari titik
a. Titik sudut (0, 4) dan nilai maksimum 3x + y adalah 9 diperoleh
dari (3, 0). Nilai minimum = 0 dari titik (0, 0)
(0, 0) 00
Kesimpulan:
(3, 0) 39 Nilai maksimum atau nilai minimum (penyelesaian
optimum) diperoleh dari titik sudut daerah
(0, 4) 84 penyelesaian.
(2, 2) 68
b. Titik di dalam
(1, 0) 13
(2, 0) 26
(0, 1) 21
(1, 1) 34
(2, 1) 47
(0, 2) 42
(1, 2) 55
(0, 3) 63
(1, 3) 76
Disamping dengan cara substitusi penyelesaian optimum dapat ditentukan dengan membuat
garis selidik ax + by = k
Garis tersebut memotong sumbu x di (k , 0) dan memotong sumbu y di (0, k ) . Karena a, b, k
aa
positif, maka semakin besar harga k titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y makin ke
kanan dan ke atas, sehingga garis yang paling kanan akan menghasilkan harga k yang paling
besar. Dari contoh tersebut jika digunakan garis selidik sebagai berikut:
a) Buat garis x + 2y = k, misalx + 2y = 0 dapat dibuat dengan menghubungkan (0, 0) dan (2,
1).
Kemudian buatlah garis-garis yang sejajar x
+ 2y = 0 sampai diperoleh garis yang paling
kanan yang masih melalui titik penyelesaian.
Dari gambar disamping terlihat bahwa garis
yang paling kanan adalah garis yang melalui
(0, 4) sehingga nilai maksimum x + 2y
adalah 0 + 8 = 8
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 27
b) Dengan cara yang sama buat garis 3x + y = k misal 3x + y = 0
X 0 -1
Y03
Buatlah garis-garis yang sejajar 3x + y = 0.
Garis yang paling kanan melalui titik yang mana?
Kegiatan 2
1. Diketahui sistem pertidaksamaan x > 0, y > 0, x + y < 8, 3x + y < 12. Pada daerah
penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut tentukan nilai maksimum dari:
a. 2x + 3y
b. 4x + 2y
c. x + y
2. Diketahui sistem pertidaksamaan x > 0, y > 0, x + 3y > 9, 2x + y < 8. Pada daerah
penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut tentukan nilai minimum dari:
a. x + 2y
b. 3x + y
c. 2x + 2y
3.
Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y pada daerah penyelesaian.
4.
Tentukan nilai minimum dengan garis selidik pada daerah penyelesaian
28 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
Latihan 2
1. Tentukan nilai mkasimum dari 3x + 2y yang memenuhi pertidaksamaan : x + 2y < 6, 3x +
2y < 12, x > 0 dan y > 0
2. Tentukan nilai minimum dari x + 2y yang memenuhi pertidaksamaan x > 0, y > 0, x + y > 12
dan x + 2y > 16
3. Diketahui daerah penyelesaian adalah
daerah yang tidak diarsir. Tentukan nilai
minimum fungsi obyektif dengan
menggunakan garis selidik.
a. garis k
b. garis i
C. PROGRAM LINEAR
Untuk menyelesaikan soal program linear, kalian harus menguasai cara mengubah
kalimat bahasa sehari-hari ke dalam model matematika yang merupakan sistem
pertidaksamaan, membuat daerah penyelesaian dilengkapi dengan koordinat titik sudut yang
akhirnya digunakan untuk menentukan penyelesaian optimum. Dalam setiap permasalahan
program linear selalu memuat syarat yang harus dipenuhi yang berupa sistem pertidaksamaan
dan tujuan yang ingin dicapai berupa penyelesaian optimum.
Contoh 4:
Untuk membuat roti jenis I diperlukan 200 gram tepung dan 25 gram mentega. Untuk roti jenis
II diperlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega.
Jika kita mempunyai 4 kg tepung dan 1,4 kg mentega sedangkan bahan-bahan yang lain
cukup. Berapa banyaknya roti jenis I dan II harus dibuat supaya mendapat keuntungan
maksimum jika roti jenis I memberi keuntungan Rp 200,- dan roti jenis II Rp 300,-?
Jawab:
Data tersebut dibuat ke dalam tabel sebagai berikut:
Roti Jenis I Roti Jenis II Persediaan
4000
Tepung (gram) 200 100 1400
Mentega (gram) 25 50
Misalkan : banyaknya roti jenis I = x
banyaknya roti jenis II = y
Kita buat sistem pertidaksamaan sebagai berikut:
1. x > 0
2. y > 0
3. 200x + 100y < 4000 2x + y < 40
4. 25x + 50y < 1400 x + 2y < 56
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 29
Buat daerah penyelesaian beserta titik-titik sudutnya: 0
2x + y = 40 40
X 20
Y0
2x + y = 40 0
X 56 28
Y0
Titik potong 2x + y = 40 dan x + 2y = 56 adalah:
2x + y = 40 x 2 4x + 2y = 80 2x + y = 40
16 + y = 40
x + 2y = 56 x1 x + 2y = 56 -
3x = 24
x =8
Jadi titik-titik sudutnya adalah (0, 0) (20, 0) (0, 28) dan (8, 24)
Penyesuaian Optimum
Menentukan 200x + 300y maksimum
Titik-titik sudut 200x + 300y
(20, 0) 4000
(0, 28) 8400
(8, 24) 1600 + 7200 + 8800
Jadi keuntungan maksimum = Rp 88.000,- jika dibuat roti jenis I = 8, roti jenis II = 24
Kegiatan 1
1. Kotak seorang penjual rokok dapat diisi paling banyak 50 bungkus rokok. Harga rokok jenis
ADALAH Rp 750,- per bungkus dan rokok jenis B adalah Rp 450,- per bungkus. Ia hanya
memounyai modal Rp 30.000,-
Buatlah sistem pertidaksamaannya. Tentukan daerah penyelesaian dan tentukan keuntungan
maksimum jika rokok jenis A memberi keuntungan Rp 60,- per bungkus dan rokok jenis B
adalah Rp 50,- per bungkus.
2. Luas daerah parkir 600 m2, luas rata-rata sebuah mobil sedan 6 m2 dan sebuah bus 24 m2.
Daerah parkir tidak dapat memuat lebih dari 55 kendaraan. Jika biaya parkir untuk sebuah
mobil sedan Rp 1.000,- dan untuk bus Rp 2.000,-
Buatlah model matematikanya, buatlah daerah penyelesaian dan tentukan banyaknya mobil
sedan bus yang parkir sehingga memperoleh keuntungan maksimum.
3. Seorang pengusaha mebel meja makan dan meja tulis menggunakan kayu jenis A dan B. Tiap
meja makan memerlukan 2 kaki kayu jenis A, 4 kaki kayu jenis B dan 3 jam kerja tukang. Tiap
meja tulis memerlukan 5 kaki kayu jenis A dan 5 kaki kayu jenis B dan 3 jam kerja tukang.
30 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
Buatlah model matematikanya dan daerah penyelesaian dan tentukan banyaknya meja makan
dan meja tulis harus dibuat sehingga diperoleh keuntungan maksimum jika keuntungan untuk
setiap meja makan adalah Rp 10.000,- dan untuk meja yulis Rp 12.500.-
4. Setiap orang membutuhkan tidak kurang dari 20 unit protein dan 16 unit lemak tiap minggu.
Untuk memenuhi kebutuhan tersebut, terdapat 2 macam makanan yaitu makanan A dan B.
Tiap 1 kg makanan A mengandung 4 unit protein dan 2 unit lemak, sedangkan makanan B
mengandung 2 unit protein dan 4 unit lemak.
Buatlah sistem pertidaksamaannya dan daerah penyelesaiannya dan tentukan biaya minimal
jika harga tiap kg makanan A adalah Rp 3.500,- dan makanan B Rp 2.000,-
Latihan 3
1. Seorang pedagang roti ingin membuat dua jenis roti. Roti jenis I memerlukan 200 gram tepung
dan 150 gram mentega. Roti jenis II memerlukan 400 gram tepung dan 50 gram mentega.
Tersedia 8 kg tepung dan 2,25 kg mentega. Roti jenis I dijual dengan harga Rp 7.500,- per
buah dan roti jenis II dengan harga Rp 6.000,- per buah. Tentukan:
a. Sistem pertidaksamaan
b. Daerah penyelesaiannya
c. Pendapatan maksimum pedagang roti
2. Sebuah gudang dapat menampung tidak lebih dari 50 dosin gelas. Seorang pedagang
membeli gelas jenis I seharga Rp 7.500,- per dosin dan gelas jenis II seharga Rp 5.000,- per
dosin. Sedangkan modal yang dimiliki Rp 300.000,- Keuntungan tiap dosin Rp 500,- untuk
gelas jenis I dan Rp 400,- untuk gelas jenis II.
Jika banyaknya gelas jenis I sebanyak x dosin dan banyaknya gelas jenis II y dosin, tentukan
a. Model matematikanya
b. Daerah penyelesaiannya
c. Persamaan garis selidik
d. Laba maksimum yang diperoleh pedagang gelas
3. Seorang pedagang almari membeli paling banyak 30 buah. Harga sebuah almari jati Rp
200.000,- dan almari yang bukan jati Rp 100.000 sebuah. Laba sebuah almari jati Rp 40.000,-
dan sebuah almari bukan jati Rp 25.000,- Modal yang dimiliki Rp 4.000.000,-
Jika banyaknya almari jati x dan lamari bukan jati y, maka tentukan:
a. Model matematikanya
b. Daerah penyelesaiannya
c. Laba maksimum yang diperoleh
4. Sebuah home industry memproduksi dua jenis mainan dan mempekerjakan karyawan pria dan
wanita. Rata-rata tiap harinya karyawan pria dapat menyelesaikan 8 mainan I dan 4 mainan II,
sedang karyawan wanita dapat menyelesaikan4 mainan I dan 6 mainan II. Jika tiap harinya
paling sedikit harus membuat / memproduksi mainan I sebanyaj 32 buah dan mainan II
sebanyak 24 buah serta upah karyawan pria Rp 25.000,- per hari dan karyawan wanita Rp
20.000,- per hari maka home industry tersebut mempekerjakan karyawan sebanyak berapakah
agar pengeluaran minimum? (Jika pengeluaran untuk bahan diabaikan)
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 31
5. Rokok A yang harganya Rp 2.000 per bungkus dijual dengan laba Rp 400,- per bungkus,
sedangkan rokok B yangharganya Rp 1.000,- per bungkus dijual dengan laba Rp 300,- per
bungkus. Seorang pedagang rokok modalnya Rp 800.000,- dan kiosnya dapat menampung
500 bungkus rokok. Agar keuntungan maksimum berapakah masing-masing rokok harus dibeli
dan berapakah keuntungan maksimum tersebut?
6. Sebuah pesawat udara mempunyai 48 tempat duduk yang terbagi dalam dua kelas, kelas
utama dan kelas ekonomi. Setiap penumpang kelas utama diberi hak membawa bagasi 60 kg,
sedang penumpang kelas ekonomi hanya 20 kg, tempat bagasi paling banyak dapat memuat
1.440 kg. Jika harga tiket kelas utama Rp 500.000,- dan kelas ekonomi Rp 300.000,-.
Tentukan pendapatan maksimum pesawat udara tersebut.
7. Pak Parman hendak mengangkut 60 ton barang dari gudang ke tokonya. Untuk keperluan itu
ia menyewa dua jenis truk, yaitu jenis I dengan kapasitas 3 ton dan jenis II dengan kapasitas 2
ton. Sewa setiap truk jenis I adalah Rp 40.000,- sekali jalan dan sewa tiap truk jenis II adalah
Rp 30.000,- sekali jalan. Dengan cara sewa demikian, ia diharuskan menyewa truk itu
sekurang-kurangnya 24 buah. Tentukan:
a. Berapa banyak jenis truk I dan truk II yang harus disewa agar biaya minimum?
b. Biaya minimum yang harus dikeluarkan
8. Sebuah perusahaan konveksi memproduksi dua jenis pakaian, yaitu pakaian dewasa dan
pakaian anak-anak, untuk membuat kedua jenis pakaian itu diperlukan 4 tahap pekerjaan,
yaitu pemotongan, pengobrasan, penjahitan dan finishing. Waktu untuk membuat satu pakaian
pada tiap-tiap pekerjaan dan waktu yang tersedia per bulan untuk setiap pekerjaan itu
diperlihatkan pada tabel berikut:
Pakaian Dewasa Pemotongan Pengobrasan Penjahitan Finishing
Pakaian anak-anak (jam) (jam) (jam) (jam)
Waktu yang tersedia per bulan 2 3 3 2
1 1 2 2
2
350 600 400
350
Keuntungan untuk satu pakaian dewasa Rp 10.000,- dan untuk pakaian anak-anak Rp 7.500,-.
Tentukan:
a. Berapa banyak masing-masing pakaian dewasa dan anak-anak yang harus dibuat dalam 1
bulan agar keuntungan maksimum?
b. Keuntungan maksimum yang diperoleh
32 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
Uji Kompetensi
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! A. 3x + 2y < 12 , x – 3y > 6 , x > 0 , y > 0
1. Daerah yang diarsir B. 3x + 2y < 12 , x – 3y < 6 , x > 0 , y > 0
C. 2x + 3y < 12 , x – 3y < 6 , x > 0 , y > 0
pada gambar D. 2x + 3y < 12 , 3x – y > 6 , x > 0 , y > 0
disamping adalah E. 2x + 3y < 12 , 3x – y < 6 , x > 0 , y > 0
daerah penyelesaian
dari ... 5. Daerah yang diarsir
pada gambar
A. x > 0 , y > 0 , x + 2y disamping adalah
B. x > 0 , y > 0 , x + 2y < 2 , x + 2y < 2 daerah penyelesaian
C. x > 0 , y > 0 , 2x + y < 2 , 3x + y < 3 dari pertidaksamaan ....
D. x > 0 , y > 0 , 2x + 2y < 2 , x + 3y < 3 A. 2x – y < 4 , 2x – 3y < 0 , x > 0 , y > 0
E. x > 0 , y > 0 , 2x + 3y < 2 , 3x + 2y < 3 B. 2x – y > 4 , 2x – 3y > 0 , y > 0
C. 2x – y < 4 , 2x – 3y > 0 , y > 0
2. Daerah yang diarsir D. 2x – y > 4 , 2x – 3y < 0 , y > 0
pada gambar E. 2x – y < 4 , 2x – 3y > 0 , x > 0 , y > 0
disamping adalah
daerah penyelesaian 6. Himpunan penyelesaian
dari ... sistem pertidaksamaan
5x + 2y > 10 , x + 2y > 4
A. 2x + y < 2 , x + y < 2 , x + 2y > 2 , x dan y R dapat
B. 2x + y < 2 , x + y < 2 , x + 2y < 2 dinyatakan oleh daerah
C. 2x + y < 2 , x + y > 2 , x + 2y > 2 ....
D. 2x + y > 2 , x + y > 2 , x + 2y > 2 A. I
E. 2x + y > 2 , x + y < 2 , x + 2y > 2 B. I & II
C. I & IV
3. Daerah yang diarsir D. II & III
merupakan E. III & IV
penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan 7. Pada gambar disamping,
.... daerah yang merupakan
himpunan penyelesaian
A. 2x + 3y > 6 , 4x + y > 4 , 4x + 3y < 12 sistem pertidaksamaan
B. 3x + 2y > 6 , 4x + y < 4 , 4x + 3y < 12 2x + y < 4 ; x + y < 3 ; x +
C. 3x + 2y > 6 , x + 4y > 4 , 3x + 4y > 12 4y > 4 adalah daerah ....
D. 2x + 3y > 6 , x + 4y > 4 , 3x + 4y < 12 A. I
E. 3x + 2y < 6 , x + 4y < 4 , 3x + 4y > 12 B. II
C. III
4. Daerah yang diarsir D. IV
pada gambar E. V
merupakan daerah
himpunan penyelesaian 33
sistem pertidaksamaan
....
Modul Matematika XI MIPA Smt 1
8. Jika daerah terarsir 12. Sebuah pesawat DC 10 mempunyai tempat
gambar disamping duduk berkapasitas 480 penumpang.
merupakan daerah Setiap penumpang kelas utama, boleh
penyelesaian membawa bagasi 60 kg, sedang untuk
pertidaksamaan. Maka setiap penumpang kelas ekonomi,
nilai maksimum P = 3 bagasinya dibatasi 20 kg. Pesawat itu
+2y adalah .... hanya dapat membawa bagasi 3 ton. Jika
A. 8 banyaknya penumpang kelas utama
B. 10,4 sebanyak x penumpang sedangkan
C. 12 banyaknya penumpang kelas ekonomi
D. 14 sebanyak y penumpang, maka model
E. 16 matematikanya ....
A. x + y < 480 , 3x + y < 150 , x, y > 0
9. Nilai minimum dari (2x + B. x + y < 480 , 3x + y < 150 , x, y > 0
y) pada daerah C. x + y < 480 , 3x + y < 150 , x, y > 0
penyelesaian disamping D. x + y < 480 , 3x + y < 150 , x, y > 0
(daerah yang tidak E. x + y < 480 , 3x + y < 150 , x, y > 0
terarsir) adalah ....
A. 5 13. Seorang peternak memiliki 10 kandang
B. 6 ternak untuk memelihara ayam dan itik.
C. 7 ½ Setiap kandang dapat menampung ayam
D. 9 sebanyak 36 ekor, atau menampung itik
E. 12 sebanyak 24 ekor. Dia menaksir
keuntungan per bulan untuk seekor ayam
10. Nilai maksimum dari x Rp 250,- dan seekor itik Rp 300,-
+ y pada daerah yang sedangkan jumlah ternak yang
diarsir adalah .... direncanakannya tidak lebih dari 300 ekor.
A. 1 Jika banyaknya ayam per kandang x dan
B. 4 banyaknya itik per kandang y, maka model
C. 6 matematika untuk kegiatan peternaan
D. 8 tersebut dapat dinyatakan sebagai ....
E. 10 A. 36x + 24y < 300; x + y < 10, x > 0, y > 0
B. 200x + 24y < 300; x + y < 10, x > 0, y > 0
11. Kotak seorang penjual rokok paling banyak C. 36x + 240y < 300; x + y < 10, x > 0, y > 0
diisi 500 bungkus rokok. Ia membeli rokok D. 200x + 250y < 300; x + y < 10, x > 0, y > 0
jenis A seharga Rp 850,- tiap bungkus dan E. 36x + 24y < 3000; x + y < 10, x > 0, y > 0
rokok jenis B seharga Rp 950,- tiap
bungkus. Ia hanya mempunyai modal Rp 14. Untuk memaksimalkan fungsi sasaran 2x +
44.000,-. 3y pada sistem pembatas 2x + y < 40; 0 < x
Jadi banyaknya rokok jenis A = x bungkus < 15; 0 < y < 16 dapat digunakan garis
dan banyaknya rokok jenis B = y bungkus, selidik yang mempunyai persamaan ....
maka model matematikanya .... A. x + y = k
A. x + y < 50 , 19x + 17y < 880 , x, y C B. x + y = 0
B. x + y < 50 , 19x + 17y > 880 , x, y C C. x + y = 6
C. x + y < 50 , 19x + 17y > 880 , x, y C D. 2x + 3y = k
D. x + y < 50 , 19x + 17y < 880 , x, y C E. y = 2 x
E. x + y < 50 , 19x + 8y < 880 , x, y C 3
34 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
15. Diketahui P = 2x + 5y dan sistem 19. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi
pertidaksamaan x > 0, y > 0 , x + y < 12 , x tokonya dengan sepatu pria paling sedikit
+ 2y < 16. Nilai maksimum dari P pada 100 pasang dan sepatu wanita paling
batasan tersebut adalah ... sedikit 150 pasang. Toko tersebut dapat
A. 52 memuat 400 pasang sepatu. Keuntungan
B. 40 setiap pasang sepatu pria Rp 1000,- dan
C. 36 setiap pasang sepatu wanita Rp 500,- Jika
D. 24 banyaknya sepatu pria tidak boleh melebihi
E. 12 150 pasang, maka keuntungan terbesar
adalah ....
16. Nilai minimum dari bentuk obyektif (x + 3y) A. Rp 200.000,-
dengan pembatas-pembatas x + y > 2, x < B. Rp 250.000,-
2, y < 2 adalah .... C. Rp 275.000,-
A. 0 D. Rp 300.000,-
B. 2 E. Rp 350.000,-
C. 4
D. 6 20. Sebuah PT Kencana Indah hendak
E. 8 membangun dua jenis rumah untuk
menampung 580 orang. Jenis pertama
17. Nilai maksimum dari f(x) = 2x + y pada dapat menampung empat orang dan uang
sistem pertidaksamaan x > 0; y > 0 ; 3x + sewanya Rp 400.000,- setahun dan jenis
5y < 15 sama dengan .... kedua dapat menampung 10 orang dan
A. 15 uang sewanya Rp 500.000,- setahun. Uang
B. 10 sewa paling sedikit bila dibangun 100
C. 5 rumah (dimisalkan semua rumah ada
D. 3 penyewanya) sebesar ....
E. 2 A. Rp 23.300.000,-
B. Rp 29.000.000,-
18. Suatu masalah dalam program linear C. Rp 40.000.000,-
setelah diterjemahkan ke dalam model D. Rp 43.000.000,-
matematika adalah: x > 0, y > 0, x + 2y < E. Rp 52.000.000,-
16, 2x + y < 11, 3x + y < 15. Nilai
maksimum dari T = 2x + 3y pada sistem
pertidaksamaan tersebut adalah ....
A. 10
B. 16
C. 17
D. 25
E. 30
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 35
MATRIKS
A. Pengertian, Notasi dan Ordo Matriks
1. Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan elemen-elemen / bilangan dalam bentuk persegi panjang menurut
baris dan kolom. Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misal: A, B, C,
sedangkan untuk elemen-elemennya dinyatakan dengan huruf kecil, misal: a, b, c
A a b c baris pertama
d e
f baris kedua
Kolom 1 2 3
Contoh 1:
A 1 0 2 , B 2 5
1 3 6 7
3
Matriks A terdiri dari 2 baris dan 3 kolom
Matriks B terdiri dari 2 baris dan 2 kolom
Pada matriks A: 0 adalah elemen baris ke – 1 dan kolom ke – 2
6 adalah elemen baris ke – 2 dan kolom ke – 3
2. Notasi Matriks
Untuk matriks umum sering elemennya dituliskan dengan huruf kecil dan diberi dua indeks.
a11 a12 a1n
A a 21 a 22 a 2n
am1 am2 amn
Pada matriks A banyaknya baris m dan banyaknya kolom n. Elemen a12 dari matriks A,
angka 1 menunjukkan letak baris dan angka 2 menunjukkan letak kolom.
Matriks A dapat dinotasikan sebagai berikut:
A = (aij) dimana: i = 1, 2, 3, ..., m
j = 1, 2, 3, ..., n
3. Ordo Matriks
Ordo matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom adalah m x n, “dibaca m kali n” biasa
ditulis Am x n
Contoh 2:
A 1 0 , B 4 5
2 3 3 2 0
Ordo matriks A adalah 2 x 2 atau A2 x 2 dan ordo matriks B adalah 2 x 3 atau B2 x 3
4. Matriks Persegi, Matriks Baris dan Matriks Kolom
Matriks Persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan
banyak kolom.
36 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
Contoh 3:
2 1 1 1 0
3 4 3
A , B 2 0 7
6
5
Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari 1 (satu) baris
Contoh 4:
A = [1 2], B = [1 -1 5]
Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari 1 (satu) kolom.
Contoh 5:
1 3
A 3 , B 4
5
B. Transpose Suatu Matriks
Transpose matriks A dilambangkan Al atau A’ adalah matriks yang elemennya diperoleh dari
matriks A dengan cara memindahkan elemen-elemen baris ke – i dari matriks A menjadi kolom
ke – i matriks A’.
Contoh:
1 3 4 1 2 1
2 1 3 3 1; B 1 4 Bl 3
A Al 4 3
3 4
C. Kesamaan Dua Matriks
Dua matriks A dan B dikatakan sama jika Ordonya sama dan elemen yang seletak sama.
Contoh 6:
2 5 6 5
Pada A 3 1 dan B 3
6 1 , ordo matriks A adalah 2 x 2 dan ordo matriks B adalah 2 x 2
2
pada elemen yang seletak sama, maka A = B
Contoh 7:
a 1 2 5 3 2 5
1 4
Diketahui: A 1 ab 4 ; B 3
0 1 2b c 0 1 6
Tentukan nilai a, b dan c jika A = B
Jawab:
A=B
a 1 2 5 3 2 5
1 4
1 ab 4 3
0 1 2b c 0 1 6
a+1 = 3 a+b = 3 2b + c = 6
2.1 + c = 6
a=2 2+b = 3
c =4
b=1
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 37
Kegiatan 1
1. Diketahui matriks A 2 1 3
0 4 1
a. Sebutkan elemen baris ke – 1
b. Sebutkan elemen kolom ke – 2
c. Tentukan ordo matriks A
d. Berapa banyaknya elemen matriks A
2. Tentukan Transpose matriks berikut:
A 2 5, B 1 1 0 C 4 1
3 2 4 , 3
2
3. Diantara matriks-matriks berikut manakah yang sama?
P 1 4 , Q 1 4 , R 5 16 dan S 1 4c
2 5 5 c
2 5 2 5 4 5
4. Diketahui : A 2a 3 dan B 4 3 , jika A = B tentukanlah nilai a, b, dan c
5 3c b
2 1 a
5. Diketahui: A x y 3 dan B 1 2 . Tentukanlah nilai x dan y jika A = Bl
2 3y 3 5
x
Latihan 1
1. Tentukan ordo untuk tiap matriks-matriks berikut ini:
a. K 1 0 c. M 1 3
4 7
b. L 1
3 4 3 1
d. N 2 5 6
2. Diketahui matriks P 2 1 . Diantara matriks-matriks di bawah ini manakah yang sama
3
7
dengan matriks P?
a. Q 2 1 0 4 a
3 7 0
d. T 2 a
9 7
b. R 2 3 e. 2 5
1 7 K 5
9 7
c. 4 3
S 32 3 7 2
f. L 3 1
7
38 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
3. Tentukan transpose tiap matriks berikut:
a. D 1 4 2
2 3 1
e. H 6 5
b. E 10 11 3
3
6 9
c. F 1 11 17 k l m n o
J p q r
1 2 5 f. s t
4 8 7
d. G u v w x y
4. Tentukan nilai x dan y pada kesamaan matriks 2x y 8 3
5 4
4 5
5. Tentukan nilai-nilai p dan q pada kesamaan matriks berikut:
a. 2p 12 c. 2p 6 4
3p 3q 2 5
9
b. 3p 4q 12 16
6. Diketahui matriks-matriks A 4 12 dan B 2x y
1 2z
5 5
a. Tentukan transpose dari matriks A
b. Jika Al = B, tentukanlah nilai x, y, z
1 1 3 p 2s
2 4 q
7. Diketahui matriks B 7 . Jika Bl r t , tentukan nilai p, q, r, s, t dan u
14u
D. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
1. Penjumlahan Matriks
A + B terdefinisi jika ordo kedua matriks sama, dan matriks hasil adalah matriks yang
elemennya merupakan penjumlahan elemen yang seletak dari matriks A dan B.
Contoh 8:
2 1 3 3 2 03 , 3 2
4 1 2 5 5
Diketahui matriks A , B 1 C 4 7
6
Tentukan:
a. A + B
b. A + C
c. B + Cl
Jawab:
a. A+B = 2 1 3 3 2 0
4 1 2 5 2
1
= 2 (3) 1 2 30
1 5 2 2
4 1
= 1 3 3
4 4
5
b. A + C = tidak terdefinisi (sebab ordo kedua matriks tidak sama. A2x3 dan B3x3)
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 39
c. B + Cl = 3 2 0 3 4 6
5 2 5 7
1 2
= 3 (3) 24 06
55 2 (7)
1 2
= 6 6 6
3 10 5
2. Lawan Suatu Matriks
Lawan matriks A ditulis – A adalah matriks yang elemen-elemennya adalah lawab elemen-
elemen matriks A yang seletak.
Contoh 9:
A 2 1 A 2 1
3 4
4 3
B 1 5 2 B 1 5 2
4 0 3 4 0 3
3. Pengurangan Matriks
Operasi A – B didefinisikan sebagai penjumlahan matriks A dengan lawan matriks B atau
“A + (- B)” Adapun syarat dan ketentuannya sama dengan penjumlahan matriks.
Contoh 10:
Diketahui matriks A 1 5 B 2 1
3 , 4 3
6
Tentukan:
a. A – B
b. B – A
Jawab: = A + (-B)
a. A – B
= 1 5 2 1
b. B – A 3 4
6 3
= 3 4
6
2
= B + (-A)
= 2 1 1 5
4 3 6 3
= 3 4
2 6
4. Sifat-sifat Penjumlahan Matriks
Pada operasi penjumlahan matriks mempunyai sifat:
1. Komutatif : A + B = B + A
2. Assosiatif : (A + B) + C = A + (B + C)
3. Terdapat elemen identitas yaitu matriks nol (0) : 0 + A = A + 0
4. Setiap matriks mempunyai lawan / invers aditif yaitu – A
A + (-A) = - A + A = 0
40 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
5. Persamaan Matriks
Jika A, B dan X adalah matriks-matriks berordo sama, maka berlaku:
X+A=BX=B–A
Contoh 11:
Diketahui matriks A 3 24, B 1 0
2 3
7
Tentukan matriks X2x2 yang memenuhi persamaan:
a. X + A = B
b. A – X = B
Jawab: =B
a. X + A = B–A
X = 1 0 3 2
2 3 4
b. A – X 7
X
= 4 2
5 7
=B
= A–B
= 3 2 1 0
4 2 3
7
= 4 2
7
5
E. Perkalian Bilangan Real (skalar) dengan matriks
Perkalian bilangan real (skalar) dengan matriks sering disebut “perkalian skalar” . Perkalian
skalar c dengan matriks A merupakan suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap
elemen matriks A dan c.
Contoh 12:
Jika A 2 , maka 2A 4
3 6
Jika B 4 6 , maka 1B 2 3
2
10 2 5 1
Sifat-sifat perkalian skalar matriks
Jika c dan d adalah bilangan real (skalar), A dan B adalah matriks berordo sama, maka
berlaku:
1. (c + d) A = c.A + d.A 4. A (c.B) = (c.A) B = C.(A.B)
2. c (A +B) – c.A + c.B 5. 1.A = A
3. c (d.A) = (c.d) . A 6. -1 . A = - A
Contoh 13:
Diketahui matriks A 3 2 , B 6 4
6 7 9
2
Tentukan matriks X2x2 yang memenuhi persamaan 3X + 4B = 2A
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 41
Jawab:
3X + 4B = 2A
3X = 2A – 4B
= 2 3 2 4 4 6
6 7 9
2
= 6 4 24 16
12 28 36
4
= 30 12
24
48
1 (3X) = 1 30 12
3 3 24
48
X = 10 4
8 16
Kegiatan 2
1. Diketahui matriks A 1 3 , B 2 4 tentukan:
4 2 1
1
a. A + B
b. A + Bl
c. B – A
d. B – Al
2. Jika 3 1 3 A 2 3 4 , tentukan matriks A
1 4 1 1 5
2
2 3 1 1
3. Jika X 1
4 3 2 . Tentukan matriks X
3 5 1 0
4. Diketahui A 2 3 4 B 5 1 2 , tentukan :
1 5 2 , 3 0 4
a. 2A
b. -3A
c. A + 2B
d. 2B – 3A
5. Diketahui matriks-matriks A 2 1 , B 3 4 dan C 9 11
4 2 2 , 10 15
5
Jika F(x, y, z) = 2x + 3y – z. Tentukanlah F (A, -2B, C)
42 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
Latihan 2
1. Tentukan hasil operasi matriks berikut: c. X 4 1 3 0
2 6 5 1
a. 1 2 11 12
2x 3x d. 11 12 X 8 1
4y 5y 10 6 8
b. 8
c. 5 0 7 15 7 2 5. Tentukan nilai a, b dan c pada
2 13 14 4 8
5 persamaan matriks berikut:
d. a b c d e f 2a 4 6
3b 10 7
4 5 6 7 a.
6 11
e. 7 8 c 6 1
b. a 2b c 2 4 1 5 0 2
5c 2d 8c 3d
f. 4e 2e
5f 3f
6. Tentukan nilai p, q dan r pada
2. Diketahui matriks-matriks berikut: persamaan berikut:
0 5 3 1 4 6 a. 2p 4 6
4 3 2 2 8 2q 15
A , B 4 , C , 3
p1 3p 4 5
3 1 b. 3q 5 4 8p
dan D 5 2 1
Tentukan: c. p 4 2 3 3 7
q 1 0 5
a. A + B r 2
b. A + C d. 15 3p 7 4 8 2
2q 4 6 0 5
c. B + D r
d. C + D 7. Tentukanlah matriks-matriks berikut ini
3. Tentukan matrik lawan dari tiap matriks dalam bentuk yang paling sederhana:
berikut: a. 3 1 2 1 4 1 5 6
a. 10 20 b. 4 1 1 3 4 1
15 25 2 1 2 0
b. a 3c 1 6 1 2
2b
4d c. 4 1 1 3 1 1
3 6 3 4 1 6
c. 1 8 1 2 3 1 0 2
0 3 8 2
2 11 d. 4 3 1 4
2x 8 8 8. Bila matriks X berordo 2 x 1,
d. 15 3y 8y tentukanlah X yang memenuhi
17 4 4z persamaan berikut:
4. Jika X adalah matriks ordo 2 x 2, a. 4X 4
8
tentukanlah matriks X yang memenuhi
persamaan berikut: 4 13
3 9
1 1 3 4 b. 3X
2 5 0 1
a. X
5 1 2 5 c. 2X 4 6
2 7 3 4 2 4
b. X
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 43
9. Bila matriks X berordo 3 x 1, 10. Diketahui matriks P 1 1 ,
1 0
tentukanlah X yang memenuhi
persamaan berikut: 1 1 2 1
1 1 2
8 Q 1 , dan R P . Jika f(x,
a. 4X 6
y, z) = 2x – 5y + 3z, maka tentukanlah:
16
a. f (P, Q, R)
1 7 b. 3f (P,2Q, -R)
b. 3X 3 12 c. f (2P, Q, 2R)
3 15
4 8
c. 1 4X 11
1 9
F. Perkalian Matriks
1. Syarat dan Definisi Perkalian Matriks
Matriks A x B terdefinisi jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris
matriks B. Sedangkan matriks hasil operasi adalah matriks yang elemen-elemennya
merupakan jumlah dari hasil kali antara elemen-elemen kolom matriks A dan elemen-
elemen baris matriks B yang bersesuaian.
Contoh 14:
3 1 0 1 7 2 1
2 5 7 1 7
Diketahui matriks-matriks A , B 2 3 dan C 5
2
Tentukanlah :
a. A x B
b. A x C
Jawab: 3 1 0 1 7
a. A x B 2 5 7 1
= 2 3
b. A x C
2
= 3.(1) (1).2 0.(2) 3.7 (1) . (1) 0.3
2.(1) 5.2 7.(2) 2.7 5.(1) 7.3
= 5 22
26 30
= tidak terdefinisi, sebab banyaknya kolom matriks A = 3 dan banyaknya baris
matriks C = 2
Catatan:
Pada perkalian matriks A x B, dikatakan matriks A dikalikan dari kanan dengan matriks B
atau matriks B dikalikan dari kiri dengan matriks A.
Sifat-sifat perkalian Matriks : AxBBxA
1. pada umumnya tidak bersifat komutatif : A x (B x C) = (A x B) x C
2. bersifat assosiatif : A (B + C) = A.B + A.C
3. bersifat distributif : (In)
4. terdapat unsur identitas yaitu matriks satuan
44 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
2. Pengertian Matriks Satuan
Matriks A 1 0 dinamakan matriks satuan berordo 2 x 2, matriks satuan biasanya
0 1
dilambangka dengan In x n atau In*
1 0 0
0 0
Secara umum matriks satuan In 1
0 0 1
Dan untuk setiap matriks A berlajuu hubungan : A . I = I . A = A
3. Pemangkatan Matriks Persegi
Jika A adalah suatu matriks persegi, maka:
A2 A . A
A3 A2 . A
A4 A3 . A
An An1.A
Contoh 15:
Diketahui matriks A 2 01 , I 1 0 tentukanlah:
3 0 1
a. A2
b. A3
c. A3 – 4A2 + A – 4I
Jawab:
a. A2 = A x A
= 2 1 2 1
3 3
0 0
= 1 2
6 3
b. A3 = A2 x A
= 1 2 2 1
6 3 3
0
= 4 1
6
3
c. A3 – 4A2 + A – 4I = 4 1 4 1 2 2 1 4 1 0
6 6 3 3 0 1
3 0
= 4 1 4 8 2 1 4 0
6 24 12 3 0 4
3 0
= 10 6
18 2
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 45
Kegiatan 3
1. Diketahui : A 1 2 , B 3 1 , dan C 2 1 4 . Tentukan:
2 3 0 5
5
a. A x B
b. A x C
c. B x C
d. Cl x B
2. Diketahui 2 1 2 a 1 , carilah nilai a dan b
3 1 b
4 3
3. Diketahui 2 x 2 2 4 2 2 3 1 2 carilah nilai x dan y
y 3 6 2 1 3
3 2 0
4. Diketahui A 3 1 , tentukan :
2
5
Latihan 3
1. Tentukanlah hasil perkalian matriks di 3. Tentukanlah hasil perkalian matriks di
bawah ini: bawah ini (jika terdefinisi)
a. 3 1 2 a. 1 2 2 4 8
6 3 5 1
b. 2 1 3 2 3 1
2 4 2
b. 6 5
c. 4 2 5 1
6
2
d. x y 5
1 c. 5 3 2 10
3
2. Tentukanlah hasil perkalian matriks di 1
bawah ini: d. 1 2 1 3
4 2 2 2
1 6 1
a. e. 1 3 5 1 1
2 1 4 2
6
1 5 4
b. 0 2 1 1 2
f. 1 6 1 3 5
7 1 2 1 4
c. 1 0 8
0 1 1
1 1 1 3 5
1 0 1 g. 2 2 1 4
d. 6
1
0 4
46 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
3 2 8 6 2 0 2 0 1 2
9 6 4 3 2 1 2 1
h. 6 10 5 5. Diketahui A dan B 3
7
a. Tentukan A2 dan B2
4 2 3 2 1 2 3 6 b. Jika f (x) = x2 – 4x + 2 dan g (x) = -x2
0 3 1 2 5 5
i. 7 0 2 2 + 2x + 3, tentukan f(A) + g(B)
4 6
2 2 4
6. Diketahui A 1 3
1 3 1 2 a 1 4
b 4
4. Diketahui 5 2 8 3 , 1 2 3
1 0 2 1 c 5 a. Tentukan A2
carilah nilai a, b, dan c b. Apakah A2 = A?
c. Jika f(x) = x2 – x, tentukan F(A)
G. Invers Matriks
1. Pengertian Determinan Matriks Ordo 2 x 2
Jika matriks A a b , maka determinan matriks A (dinyatakan dengan det A atau | A |)
c d
ditentukan oleh :
det A = = ad - bc
Contoh 16 :
Diketahui matriks-matriks : A 2 5 , B 1 3 tentukanlah:
4 3
7 5
a. det A
b. det B
Jawab: =2 5
a. det A 4 3
b. det B = 2.(-3) – 4.5
= -26
= 1 3
7 5
= (-1) . 5 – 7 . (-3)
= 16
Contoh 17:
Diketahui matriks B x 1 x 2 , tentukan nilai x jika det B = 7
5x
Jawab:
det B = 7
x1 x2 7
5x
(x + 1) . X – 5 (x – 2) = 7
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 47
x2 + x – 5x + 10 = 7
x2 – 4x + 3 = 0
(x – 1)(x – 3) = 0
x = 1 atau x = 3
2. Determinan Matriks Ordo 3 x 3
Untuk menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 dapat digunaan aturan Sarrus
a b c
Jika matriks A = d
e f , maka determinan matriks A ditentukan oleh:
g h i
a b ca b
det A = d e f d e
g h ig h
= a.e.i + b.f.g + c.d.h – g.e.c – h.f.a – i.d.b
Contoh 18:
1 1 2
Tentukan determinan dari matriks A = 3 1 4
2 1 0
Jawab:
1 1 2 1 1
|A| = 3 1 4 3 1
2 1 02 1
= 1.1.0 + (-1).4.2 + 2.3.1 – 2.1.2 – 1.4.1 – 0.3.(-1)
= 0–8+6–4+4+0
= -10
3. Pengertian Dua Matriks saling Inverse
Jika A dan B masing-masing adalah matriks persegi dan mempunyai ordo sama, serta
berlaku hubungan : A.B = B.A = I, maka B adalah invers matriks A dan A adalah invers
matriks B (A dan B saling invers). B adalah invers dari A dinotasikan “B = A-1” dan A adalah
invers dari B dinotasikan “A = B-1”. Notasi A-1 tidak diartikan 1 sebab matriks tidak
A
mengenal operasi pembagian.
Contoh 19:
Diketahui matriks A = 9 5 dan B = 4 5 , tentukan:
7 4 7
9
a. A x B
b. B x A
c. apakah matriks A dan B saling Invers?
Jawab: = 9 5 4 5
a. A x B 7 4 7
9
= 1 0
0 1
48 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
b. B x A = 4 5 9 5
7 7 4
9
= 1 0
0 1
c. karena A x B = B x A = I, maka matriks A dan B saling Invers
4. Invers matriks ordo 2 x 2
Jika A = a b maka A-1 = 1 d b , dengan syarat det A = ad – bc 0
c d ad bc c
a
Matriks A yang mempunyai det A = 0 disebut matriks Singgular dan matriks A yang
mempunyai det A 0 disebut matriks non Singgular.
5. Persamaan Matriks
Matriks A, B dan X adalah matriks berordo 2 x 2, berlaku:
A . X = B X = A-1 . B
atau
X . A = B X = B . A-1
Contoh 20:
Diketahui matriks-matriks berikut: A = 1 2 , B = 3 5 , tentukan matriks X2x2 yang
3 1
3 4
memenuhi persamaan:
a. A . X = B
b. X . A = B
Jawab: =B
a. A . X = A-1 . B
X
= 1 4 2 3 5
4 6 3 1 3 1
= 1 6 18
2 6 14
= 3 6
3 7
b. X . A =B
X = B . A-1
= 3 5 1 4 2
3 1 4 6 3 1
= 1 3 1
2 0 5
3 1
= 2 2
9
2 5
2
Modul Matematika XI MIPA Smt 1 49
Kegiatan 4
1. Tentukan determinan dari matriks berikut:
A = 3 2
2 5
B = 2 1
3
2
2. Diketahui matriks A = x 3 , tentukan nilai x jika nilai determinan A = 5
1 3
3. Diketahui matriks B = x 1 x 2 , tentukan nilai x jika nilai determinan B = 7
x
5
4. Tentukan determinan matriks berikut:
2 1 5 3 1 1 2 3 1
A = 3 2 B = 2 4 C = 1
0 2 4 5
4 3 2 1 5 2 6 0 1
5. Tentukan invers matriks berikut:
A = 3 5 B= 2 4
1 3
2 2
6. Diketahui A = 2 6 dan B = 2 4 , tentukan matriks X2x2 yang memenuhi persamaan:
1 2 1 1
a. A . X = B
b. X . A = B
Latihan 4
1. Tentukan determinan matriks-matriks f. 6 4
2 1
berikut:
a. 4 2 2. Jika matriks A = sin cos ,
9 5
1 ctg
b. 5 1 tunjukkan bahwa det A = 0
7 1
cos sin
3 2 3. Jika matriks B = ,
c. 1 tg
5
1 tunjukkan bahwa det B = 0
d. 3 2
5
7 4. Jika matriks P = p q q , tunjukkan
p q
3 4 q
e. 7 9 bahwa det P = p2
50 Modul Matematika XI MIPA Smt 1
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
MODUL MATEMATIKA MIPA KELAS XI
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search