การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

ค ำน ำผผ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ เรื่องกำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรี 2 วิชำคณิตศำสตร์พื้นฐำน ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จัดท ำขึ้นเพื่อใช้เป็นสื่อ กำร เรี ย นรู้ ประ ก อบ กำรจั ด กิจ กรร ม กำร เรี ย นรู้วิ ชำ คณิ ต ศำ ส ตร์ กลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร์ ตำมหลักสูตรแกนกลำงกำรศึกษำขั้นพื้นฐำน พุทธศักรำช 2551 ประกอบด้วย 4 เรื่อง ดังนี้ เรื่องที่ 1 กำรแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติกำรแจกแจง เรื่องที่ 2 กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองตัวแปร 2.1 กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองในรูป เมื่อ a, b เป็นจ ำนวนเต็ม และ c = 0 2.2 กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองในรูป เมื่อ a = 1, b และ c เป็นจ ำนวนเต็ม และ 2.3 กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองในรูป เมื่อ a , b และ c เป็นจ ำนวนเต็มและ เรื่องที่ 3 กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองที่เป็นก ำลังสองสมบูรณ์ เรื่องที่ 4 กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรี สองที่เป็นผลต่ำงของก ำลังสอง ค ำน ำ + + 2 ax bx c + + 2 ax bx c c 0+ + 2 ax bx c a 1, c 0

ค ำน ำผผ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 เรื่อง หน้ำ แนะน ำกำรใช้หนังสือเรียนอิเล็กทรอนิกส์ 1 จุดประสงค์กำรเรียนรู้ กำรแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติกำรแจกแจง แบบฝึกทักษะที่ 5.1 กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองในรูป เมื่อ a, b เป็นจ ำนวนเต็ม และ c = 0 กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองในรูป เมื่อ a = 1, b และ c เป็นจ ำนวนเต็ม และ แบบฝึกทักษะที่ 5.2 กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองในรูป เมื่อ a , b และ c เป็นจ ำนวนเต็มและ แบบฝึกทักษะที่ 5.3 กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองที่เป็นก ำลังสองสมบูรณ์ แบบฝึกทักษะที่ 5.4 กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรี สองที่เป็นผลต่ำงของก ำลังสอง แบบฝึกทักษะที่ 5.5 สำรบัญ + + 2 ax bx c + + 2 ax bx c c 0+ + 2 ax bx c a 1, c 0 2 7 11 13 16 32 36 43 47 53 56 60

ค ำแนะน ำกำรใช้หนังสือเรียนอิเล็กทรอนิกส์ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรี 2 ใช้ประกอบกำรเรียนกำรสอน กลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร์ ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 นักเรียนควรปฏิบัติ ดังนี้ ขั้นตอนที่ 2 ขั้นตอนที่ 3 ขั้นตอนที่ 4 ให้นักเรียนศึกษำใบควำมรู้ ประกอบกำรสอนที่ครูผู้สอนจัดท ำขึ้น เรื่อง กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมโดยใช้สมบัติกำรแจกแจงและ ท ำแบบฝึกทักษะที่ 5.1 ขั้นตอนที่ 1 ขั้นตอนที่ 5 เมื่อท ำแบบฝึกเสริมทักษะครบทั้ง 5 แบบฝึกทักษะเรียบร้อยแล้ว ให้นักเรียนท ำแบบทดสอบหลังเรียน ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 ให้นักเรียนศึกษำใบควำมรู้ ประกอบกำรสอนที่ครูผู้สอนจัดท ำขึ้น เรื่อง กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองตัวแปรเดียวและ ท ำแบบฝึกทักษะที่ 5.2 และ 5.3 ให้นักเรียนศึกษำใบควำมรู้ ประกอบกำรสอนที่ครูผู้สอนจัดท ำขึ้น เรื่องกำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองที่เป็นก ำลังสองสมบูรณ์และ ท ำแบบฝึกทักษะที่ 5.4 ให้นักเรียนศึกษำใบควำมรู้ ประกอบกำรสอนที่ครูผู้สอนจัดท ำขึ้น เรื่องกำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองที่เป็นผลต่ำงก ำลังสองและ ท ำแบบฝึกทักษะที่ 5.5

ค ำชี้แจ้ง 1. จุดประสงค์กำรเรียนรู้ของชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ 2. ศึกษำและท ำควำมเข้ำใจเกี่ยวกับชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ อย่ำงละเอียด 3. ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ชุดนี้ มีจ ำนวน 80 ข้อ โดยแบ่งเป็น แบบฝึกทักษะที่ 5.1 จ ำนวน 17 ข้อ แบบฝึกทักษะที่ 5.2 จ ำนวน 20 ข้อ แบบฝึกทักษะที่ 5.3 จ ำนวน 18 ข้อ แบบฝึกทักษะที่ 5.4 จ ำนวน 10 ข้อ แบบฝึกทักษะที่ 5.5 จ ำนวน 15 ข้อ นักเรียนสำมำรถแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองตัวแปรเดียวที่มีสัมประสิทธิ์ของ แต่ละพจน์เป็นจ ำนวนเต็ม และมีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์ในพหุนำมตัวประกอบ เป็นจ ำนวนเต็ม จุดประสงค์กำรเรียนรู้ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2

พจน์ ค่ำคงตัว (ตัวเลขใดๆ) x ตัวแปร (ที่มีเลขชี้ก ำลังเป็น 0 หรือจ ำนวนเต็มบวก) ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 2 3 3x yz 3 คือ ค่ำคงตัว x y z คือ ตัวแปร 2 และ 3 คือ เลขชี้ก ำลัง นิพจน์ที่อยู่ในรูปเอกนำม หรือเขียนในรูปกำรบวกของเอกนำมตั้งแต่ สองเอกนำมขึ้นไป เรียกว่ำ พหุนำม และเรียกแต่ละเอกนำมในพหุนำมว่ำ พจน์ + + 2 3 3x x2 x คือ พจน์ที่ 1 คือ พจน์ที่ 2 คือ พจน์ที่ 3 2 3x 3 2xx พหุนำมที่ไม่มีพจน์ที่คล้ำยกัน ไม่สำมำรถลดรูปได้ เรียกว่ำ พหุนำมในรูปผลส ำเร็จ + + + 223 3 3x x 3 2 2 3x , x เป็นพจน์ที่คล้ำยกัน + 3 3 x 3x เป็นพจน์ที่คล้ำยกัน + + + 2 3 (3 1)x (1 3)x = +2 3 4x 4x และเรียกดีกรีสูงสุดของพจน์ ของพหุนำมในรูปผลส ำเร็จ ว่ำ ดีกรีของพหุนำม มีดีกรีของพหุนำมเท่ำกับ 3

พจน์ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 ของจ ำนวนนับใด ๆ คือ จ ำนวนนับที่หำรจ ำนวนนับนั้นลงตัว เช่น ตัวประกอบทั้งหมดของ 10 คือ 1 , 2 , 5 , และ 10 ตัวประกอบทั้งหมดของ 12 คือ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 และ 12 และ 1 , 2 เป็นตัวประกอบของทั้ง 10 และ 12 จึงเรียก 1 , 2 ว่ำ ตัวประกอบร่วม ตัวประกอบที่เป็นจ ำนวนเฉพำะ เรียกว่ำ ตัวประกอบเฉพำะ เช่น 3 และ 5 เป็นตัวประกอบเฉพำะของ 15 2 และ 7 เป็นตัวประกอบเฉพำะของ 14 กำรแยกตัวประกอบของจ ำนวนนับใด คือ ประโยคที่แสดงกำรเขียน จ ำนวนนับนั้นในรูปกำรณ์คูณของตัวประกอบเฉพำะ เช่น ตัวประกอบร่วมที่มำกที่สุด หรือ ตัวหำรร่วมมำก (ห.ร.ม.) ของจ ำนวนนับตั้งแต่สองจ ำนวนขึ้นไป คือ จ ำนวนนับที่มำกที่สุด ที่หำรจ ำนวนนับเหล่ำนั้นได้ลงตัว วิธีกำรแยกตัวประกอบ? 12 = 6 x 2 6 = 3 x 2 12 = 2 x 2 x 3 18 = 9 x 2 9 = 3 x 3 18 = 2 x 3 x 3 ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 ตัวประกอบของ 12 = 2 x 2 x 3 18 = 2 x 3 x 3 ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 = 6

พจน์ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 = 4( -7x+10) = 4(x-5)(x-2) ตัวตั้ง ตัวหำร = ผลหำร ควำมสัมพันธ์ของกำรคูณและกำรหำร ผลหำร x ตัวหำร = ตัวตั้ง จึงกล่ำวได้ว่ำ พหุนำมแต่ละตัวที่อยู่ทำงซ้ำยของเครื่องหมำย เท่ำกับ จะหำรพหุนำมที่อยู่ทำงขวำได้ลงตัว 3x+18=3(x+6) − − 3 2 2 x 2x =x (x 2) กำรเขียนพหุนำมที่ก ำหนดให้ ให้อยู่ในรูปกำรคูณของพหุนำมตั้งแต่ สองพหุนำมขึ้นไป โดยที่แต่ละพหุนำมหำรพหุนำมที่ก ำหนดให้ได้ลงตัว ดังข้ำงต้น เป็นตัวอย่ำงของ กำรแยกตัวประกอบ 3x+18 = 3(x+6) ทั้ง 3 และ x+6 ต่ำงหำร 3x+18 ลงตัว เรียก 3 และ x+6 ว่ำ ตัวประกอบของ 3x+18 กำรเขียนพหุนำมที่ก ำหนดให้ ในกำรคูณกันของตัวประกอบของพหุนำม ตั้งแต่สองพหุนำมขึ้นไปเรียกว่ำ กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม − + 2 4x x 4 28 0 2 x

พจน์ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 ในกำรแยกตัวประกอบของพหุนำมซึ่งสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์และค่ำคงตัวเป็น จ ำนวนเต็มอำจท ำได้โดยวิธีหนึ่งวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้ หรือทั้งสองวิธีผสมกัน 1. ใช้สมบัติกำรแจกแจงโดยน ำ ห.ร.ม. ของค่ำสัมบูรณ์ ของสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์ในพหุนำมออกมำเป็น ตัวประกอบตัวหนึ่งของพหุนำมที่ก ำหนดให้ 2. เขียนพหุนำมที่ก ำหนดให้ในรูปกำรคูณกันของพหุนำม ที่มีดีกรีต่ ำกว่ำ จนกระทั่งไม่สำมำรถแยกตัวประกอบ ต่อไปนี้อีกโดยที่พหุนำมที่เป็นตัวประกอบนั้น มีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์และค่ำคงตัวเป็นจ ำนวนเต็ม

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 สมบัติกำรแจกแจงกล่ำวว่ำ ถ้ำ a, b และ c แทนจ ำนวนเต็มใดๆ แล้ว เรำสำมำรถเขียนสมบัติกำรแจกแจงข้ำงต้นใหม่ เป็นดังนี้ a(b + c) = ab + ac หรือ (b + c)a = ba + ca (แจกแจงทำงซ้ำย) ถ้ำ a, b และ c เป็นพหุนำมเรำก็สำมำรถใช้สมบัติกำรแจกแจงข้ำงต้นได้ด้วย และเรียก a ว่ำ ตัวประกอบร่วม ของ ab และ c หรือตัวประกอบร่วมของ ba และ ca ab + ac = a(b + c) หรือ ba + ca = (b + c)a (แจกแจงทำงขวำ) 2 2 2 2 15x y-18xy = 3(5x y-6xy ) 2 = 3 x (5xy-6y ) = 3 x y (5x-6y) 3 เป็น ห.ร.ม.ของ 15 และ 18 x เป็นตัวประกอบร่วมของ และ 2 5x y 2 6xy y เป็นตัวประกอบร่วมของ 5xy และ 2 6y = 3xy(5x-6y) 2 2 ดังนั้น 15x y-18xy = 3xy(5x-6y) 2 2 15x y-18xy 2 2 1 y 5x y= 5 x 18xy = 6 3 3 x y x y = 3xy(5x-6y) 2 2 ดังนั้น 15x y-18xy

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 + 2 2 2 2 21x y 14xy = 7(3x y+2xy ) 2 = 7 x (3xy+2y ) = 7 x y (3x+2y) 7 เป็น ห.ร.ม.ของ 21 และ 14 x เป็นตัวประกอบร่วมของ และ 2 3x y 2 2xy y เป็นตัวประกอบร่วมของ 3xy และ 2 2y = 7xy(3x+2y) + 2 2 ดังนั้น 21x y 14xy = 7xy(3x+2y) + 2 2 21x y 14xy 2 2 2 1 y = 3 x = x 2 1x y 4x y 7 x y 7 y + 2 2 ดังนั้น 21x y 14xy = (3x+2y) 7xy จงแยกตัวประกอบของ + 2 2 21x y 14xy − − 3 3 4 3 3 4 16 = ) x y 24x y x 8(2 y y 3x − 3 2 8 = x y(2y 3x) 8 เป็น ห.ร.ม.ของ 16 และ 24 เป็นตัวประกอบร่วมของ และ 3 3 x y 4 x y − − 3 2 3 3 4 8x y(2 3 y x) = 16x y 24x y ดังนั้น จงแยกตัวประกอบของ − 3 3 4 16x y 24x y 3 xy − − 3 3 4 3 2 16 = x y 24x y 2 8x y( y 3x) น ำตัวประกอบที่หำได้ มำคูณกัน หำกแยกตัว ประกอบถูกต้อง เมื่อกระจำยกำรคูณแล้วผลลัพธ์ จะได้เท่ำกับโจทย์

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ น ำตัวประกอบที่หำได้ มำคูณกัน หำกแยกตัว ประกอบถูกต้อง เมื่อกระจำยกำรคูณแล้วผลลัพธ์ จะได้เท่ำกับโจทย์ ในกำรแยกตัวประกอบของพหุนำมที่มีหลำยพจน์ นอกจำกจะใช้สมบัติกำรแจกแจงแล้ว อำจต้องใช้สมบัติกำรสลับที่และสมบัติกำรเปลี่ยนหมู่ประกอบด้วย b - 2c เป็นตัวประกอบร่วม 2 ab-2ac+bc-2c = (b-2c)(a+c) 2 2 ab-2ac+bc-2c = (ab-2ac)+(bc-2c ) = a +c (b-2c) (b-2c) จัดหมู่ ให้เป็นสองวงเล็บ แยกตัวประกอบของพหุนำมแต่ละวงเล็บ (a+c = (b-2c) ) ดังนั้น 2 ab-2ac+bc-2c 2 ab-2ac+bc-2c 2 (a+c)= a ( 2c b- ) b-2ac+bc-2c

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ น ำตัวประกอบที่หำได้ มำคูณกัน หำกแยกตัว ประกอบถูกต้อง เมื่อกระจำยกำรคูณแล้วผลลัพธ์ จะได้เท่ำกับโจทย์ ในกำรแยกตัวประกอบของพหุนำมที่มีหลำยพจน์ นอกจำกจะใช้สมบัติกำรแจกแจง แล้วอำจต้องใช้สมบัติกำรสลับที่และสมบัติกำรเปลี่ยนหมู่ประกอบด้วย m-2n เป็นตัวประกอบร่วม 3 2 2 m -2m n+4m-8n= (m-2n)(m +4) 3 2 3 2 m -8n+ m 2m n= m + 4 - -2m n 4m-8n 3 2 = (m -2m n)+(4m-8n) สลับที่ กับ แยกตัวประกอบของพหุนำมแต่ละวงเล็บ 2 = m +4 (m-2n) (m-2n) ดังนั้น 3 2 m -8n+4m-2m n 2 3 2 (m ) -2n (m +4)= m +4 -2m n m-8n -8n 2 -2m n จัดหมู่ ให้เป็นสองวงเล็บ 3 2 m +4m -2m n -8n 2 = (m +4 (m-2n) )

จงแยกตัวประกอบของพหุนำมที่ก ำหนดให้ต่อไปนี้ ครูเชื่อว่ำนักเรียน ของครูทุกคนท ำได้ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 1. 10x 4 ............................ + = 2. 7x 14 ............................ − = 3. -9x 3 ............................ + = 5. 14y 26z ............................ + = 7. 12xz 16z ............................ − = 4. -8 - 12x ............................ = + = 2 6. x 13x ............................ − = 2 8. 6xy 8xy ............................ + = 4 2 3 3 10. 24x z 18x z ............................ + = 2 3 5 9. -7x z 63xz ............................................

จงแยกตัวประกอบของพหุนำมที่ก ำหนดให้ต่อไปนี้ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 1. m(n+3)+5(n+3) ........................ = .......................... 2. (x+y)z-(x+y) ......................... = ..................... 3. 4t(a+b)-s(a+b) ....................... = .................. 5. a(b-3c)+x(b-3c) ...................... = ......................... 7. 5a-10x+ab-2bx ........................ = ............................ = 2 2 4. (4y +3)y+6(4y +3) ................................................ 6. ax+by+bx+ay .......................... = ....................... = ................................................ = ................................................ = ................................................ = ................................................

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 พหุนำมดีกรีสองและมีตัวแปรเดียว ที่แต่ละพจน์มีสัมประสิทธิ์เป็นจ ำนวนเต็ม − + 2 3x 8x 5 − − 2 2x x 1 − 2 x 9 + 2 -y 8y + − 2 y 6y 7 − + 2 y 4y 5 พหุนำมดีกรีสองตัวแปรเดียว หรือเรียกอีกอย่ำงหนึ่งว่ำ พหุนำมก ำลังสอง (quadratic polynomial) คือพหุนำมที่เขียนในรูป เมื่อ a, b, c เป็นค่ำคงตัวที่ a 0 และ x เป็นตัวแปร + + 2 ax bx c กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองในรูป เมื่อ a, b เป็นจ ำนวนเต็ม และ c = 0 + + 2 ax bx c กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองในรูป เมื่อ a = 1 , b และ c เป็นจ ำนวนเต็ม และ + + 2 ax bx c กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองในรูป เมื่อ a, b, c เป็นจ ำนวนเต็ม และ + + 2 ax bx c a 0 a 1, c 0

ออ ในกรณีที่ c = 0 พหุนำมดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป เรำสำมำรถใช้สมบัติกำรแจกแจง แยกตัวประกอบของพหุนำมในรูปนี้ได้ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองในรูป เมื่อ a, b เป็นจ ำนวนเต็ม และ c = 0 + + 2 ax bx c + 2 ax bx สมบัติกำรแจกแจงกล่ำวว่ำ ถ้ำ a, b และ c แทนจ ำนวนเต็มใดๆ แล้ว เรำสำมำรถเขียนสมบัติกำรแจกแจงข้ำงต้นใหม่ เป็นดังนี้ a(b + c) = ab + ac หรือ (b + c)a = ba + ca (แจกแจงทำงซ้ำย) ถ้ำ a, b และ c เป็นพหุนำมเรำก็สำมำรถใช้สมบัติกำรแจกแจงข้ำงต้นได้ด้วย และเรียก a ว่ำ ตัวประกอบร่วม ของ ab และ c หรือตัวประกอบร่วมของ ba และ ca ab + ac = a(b + c) หรือ ba + ca = (b + c)a (แจกแจงทำงขวำ) ทบทวนควำมรู้เดิม

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 − − 2 2 4x 20x= 4(x 5x) = 4 x (x 5) − 4 เป็น ห.ร.ม.ของ 4 และ 20 x เป็นตัวประกอบร่วมของ และ 2 x 5x = 4x(x 5) − − − 2 ดังนั้น 4x 20x = 4x(x 5) − 2 4x 20x 2 x 4 2 = 4 x 0x 4 x 5 x = จงแยกตัวประกอบของ − 2 4x 20x − + − 2 2 8x 32x= -8(x 4x) = -8 (x x − 4) -8 เป็น ห.ร.ม.ของ และ 32x x เป็นตัวประกอบร่วมของ และ 2 x 4x − − +2 -8 (x ) = 8x x 4 32x ดังนั้น จงแยกตัวประกอบของ − +2 8x 32x น ำตัวประกอบที่หำได้ มำคูณกัน หำกแยกตัว ประกอบถูกต้อง เมื่อกระจำยกำรคูณแล้วผลลัพธ์ จะได้เท่ำกับโจทย์ − 2 8x + − − 2 -8x 32x = 8 (x x 4)

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมในกรณีนี้ อำศัยแนวคิดจำก กำรหำผลคูณของพหุนำม กำรแยกตัวประกอบให้ยึดหลักต่อไปนี้ ➢ ถ้ำเครื่องหมำยหน้ำ b เป็น + และเครื่องหมำยหน้ำ c เป็น + แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( + )( + ) ขั้นที่ 1 แยกเป็น 2 วงเล็บคูณกัน เครื่องหมำยในวงเล็บให้พิจำรณำดังนี้ กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองในรูป เมื่อ a = 1 , b และ c เป็นจ ำนวนเต็ม และ + + 2 ax bx c a 0 + + 2 ax bx c ➢ ถ้ำเครื่องหมำยหน้ำ b เป็น - และเครื่องหมำยหน้ำ c เป็น + แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( - )( - ) ➢ ถ้ำเครื่องหมำยหน้ำ b เป็น - และเครื่องหมำยหน้ำ c เป็น - แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( + )( - ) ➢ ถ้ำเครื่องหมำยหน้ำ b เป็น + และเครื่องหมำยหน้ำ c เป็น - แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( - )( + )

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 ➢ (x +……..)(x +……..) ขั้นที่ 2 ตัวแปร แยกใส่วงเล็บอย่ำงละตัวได้ดังนี้ กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองในรูป เมื่อ a = 1 , b และ c เป็นจ ำนวนเต็ม และ + + 2 ax bx c a 0 + + 2 ax x b c 2 x ➢ (x -……..)(x -……..) ➢ (x +……..)(x -……..) ➢ (x -……..)(x +……..) ขั้นที่ 3 น ำค่ำ c มำแยกตัวประกอบ ➢ หำจ ำนวนเต็มสองจ ำนวนที่คูณกันได้เท่ำกับพจน์ที่เป็นค่ำคงตัวคือ c และบวกกันได้เท่ำกับสัมประสิทธิ์ของ x คือ b ถ้ำให้ m และ n เป็นจ ำนวนเต็มสองจ ำนวน ซึ่ง mn =c และ m+n =b จะได้ว่ำ + + = 2 ax bx c m) n (x ( x )

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 ➢ น ำตัวหน้ำคูณตัวหน้ำจะได้ตัวหน้ำ ตัวหลังคูณตัวหลังจะได้ตัวหลัง ตัวใกล้คูณใกล้ และตัวไกลคูณไกล รวมกันได้ตัวกลำง ขั้นที่ 4 ตรวจสอบค่ำต่ำง ๆ กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองในรูป เมื่อ a = 1 , b และ c เป็นจ ำนวนเต็ม และ + + 2 ax bx c a 0 + + = 2 ax bx c m) n (x ( x ) (x + m) ตัวหน้ำ ตัวหลัง ตัวหน้ำ ตัวหลัง ( x n) + น ำตัวหน้ำคูณตัวหน้ำจะได้ตัวหน้ำ ตัวหลังคูณตัวหลังจะได้ตัวหลัง (x + m) ( x n) + ตัวหน้ำ x ตัวหน้ำ = ตัวหลัง x ตัวหลัง = mn ตัวใกล้คูณใกล้ และตัวไกลคูณไกล รวมกันได้ตัวกลำง 2 x (x + m) ( x n) + ใกล้คูณใกล้ mx ใกล้คูณใกล้ nx + รวมกันได้ (m+n)x ตัวตรงกลำง + + = + + + 2 จะได้ว่ำ (x m)( x n) x (m n)x mn

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จะได้ว่ำ จงแยกตัวประกอบของ 2 x + x + 6 9 ➢ ขั้นที่ 1 พิจำรณำ เครื่องหมำยหน้ำ b เป็น + และเครื่องหมำยหน้ำ c เป็น + แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( + )( + ) ➢ ขั้นที่ 2 พิจำรณำ ตัวแปร แยกใส่วงเล็บอย่ำงละตัวได้เป็น แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( x + )( x + ) 2 x ➢ ขั้นที่ 3 น ำค่ำ c มำแยกตัวประกอบ c = 9 จ ำนวนเต็มสองจ ำนวนที่คูณกันได้ค่ำคงตัวคือ c หรือ 9 และบวกกันได้เท่ำกับสัมประสิทธิ์ของ x คือ b หรือ 6 พิจำรณำ น ำ 9 มำแยกตัวประกอบได้เป็น 3 x 3 = 9 ซึ่งเท่ำกับค่ำ c เขียนในรูปกำรบวกได้เป็น 3 + 3 = 6 ซึ่งเท่ำกับค่ำ b น ำ 9 มำแยกตัวประกอบได้เป็น 9 x 1 = 9 ซึ่งเท่ำกับค่ำ c เขียนในรูปกำรบวกได้เป็น 9 + 1 = 10 ซึ่งไม่เท่ำกับค่ำ b สำมำรถใช้ได้ ไม่สำมำรถ ใช้ได้ (x + 3) ( x 3) + ใกล้คูณใกล้ 3x ใกล้คูณใกล้ 3x + รวมกันได้ 6x ตัวตรงกลำง 3 x 3 = 9 2 x x= x + + 2 ( ( 3 )= x + 6x + 9 x 3 ) x ➢ ขั้นที่ 4 ตรวจสอบค่ำต่ำงๆ + + 2 จะได้ว่ำ x + x 6 + 9 = (x 3 )(x 3 )

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 2 x + x + 15 56 (x + 7) ( x 8) + ใกล้คูณใกล้ 7x ใกล้คูณใกล้ 8x + รวมกันได้ 15x ตัวตรงกลำง 7 x 8 = 56 2 x x= x ➢ ตรวจสอบค่ำต่ำงๆ จะได้ว่ำ 2 x + x + = (x + 7)(x + 8 ) 15 56 พิจำรณำ น ำ 56 มำแยกตัวประกอบได้เป็น 7 x 8 = 56 ซึ่งเท่ำกับค่ำ c เขียนในรูปกำรบวกได้เป็น 7 + 8 = 15 ซึ่งเท่ำกับค่ำ b น ำ 56 มำแยกตัวประกอบได้เป็น 14 x 4 = 56 ซึ่งเท่ำกับค่ำ c เขียนในรูปกำรบวกได้เป็น 14 + 4 = 18 ซึ่งไม่เท่ำกับค่ำ b สำมำรถใช้ได้ ไม่สำมำรถ ใช้ได้ จะได้ว่ำ 2 (x + 7)(x + 8 ) = x + 15x + 56 ➢ เครื่องหมำยหน้ำ b เป็น + และเครื่องหมำยหน้ำ c เป็น + แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( + )( + )

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 2 x + 5x - 36 2 x + 5x - 36 = (x - 4)(x + 9 ) ➢ เครื่องหมำยหน้ำ b เป็น + และเครื่องหมำยหน้ำ c เป็น - แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( - )( + ) c = -36 = (-4) x 9 (-4) + 9 = 5 = b จงแยกตัวประกอบของ 2 x - 8x + 15 2 x - 8x + 15= (x - 5)(x - 3 ) ➢ เครื่องหมำยหน้ำ b เป็น - และเครื่องหมำยหน้ำ c เป็น + แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( - )( - ) c = 15 = (-5) x (-3) (-5) + (-3) = -8 = b จงแยกตัวประกอบของ 2 x - 4x - 32 2 x - 4x - 32 = (x + 4)(x - 8 ) ➢ เครื่องหมำยหน้ำ b เป็น - และเครื่องหมำยหน้ำ c เป็น - แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( + )( - ) c = (-32) = (4) x (-8) (4) + (-8) = -4 = b

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 เทคนิค Box Method ➢ 1. เรียงพจน์ของพหุนำมจำกพจน์ที่มีดีกรีมำกไปหำพจน์ที่ดีกรีน้อย ซึ่งจะได้ ➢ 2. เขียนตำรำงขนำด 2 x 2 พร้อมทั้งก ำหนดหมำยเลข แทนช่องแต่ละช่องของตำรำง ช่องที่ 1 ช่องที่ 2 ช่องที่ 4 ช่องที่ 3 ➢ 3. ใส่พจน์ที่ 1 ของพหุนำมในช่องที่ 1 ของตำรำง และใส่พจน์ที่ 3 ของพหุนำมในช่องที่ 3 ของ 2 x 16 จงแยกตัวประกอบของ 2 x +10x + 16 2 x +10x + 16

ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 เทคนิค Box Method จงแยกตัวประกอบของ 2 x +10x + 16 ➢ 4. น ำเอกนำมในช่องที่ 1 กับเอกนำมในช่องที่ 3 มำคูณกันจะได้ผลลัพธ์เท่ำกับ = 2 2 (x )(16) 16x ➢ 5. หำเอกนำม 2 เอกนำม ที่มีผลคูณเท่ำกับข้อที่ 4 คือ และมีผลบวกเท่ำกับ พจน์ที่ 2 ของพหุนำมคือ 10x นั่นคือ (8x)(2x) = และ (8x) + (2x) = 10x 2 16x วิธีกำรคิด เอกนำม 2 เอกนำมที่มีผลคูณเท่ำกับ และมีผลบวกเท่ำกับ 10x ดังนี้ 2 16x จ ำนวนสองจ ำนวนที่คูณกันแล้ว มีค่ำเท่ำกับ 16 ผลบวกของจ ำนวนสอง จ ำนวน เท่ำกับ 10 2 16x 1 -1 2 -2 4 -4 16 -16 8 -8 4 -4 1 + 16 = 17 (-1) + (-16) = (-17) 2 + 8= 10 (-2) + (-8) = (- 10) 4 + 4= 8 (-4) + (-4) = (-8)

ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 เทคนิค Box Method จำกนั้นใหจ ำนวนทั้งสองเป็นสัมประสิทธิ์ของ x จะได้2x และ 8 ➢ 6. น ำเอกนำมทั้ง 2 เอกนำมที่ได้จำกข้อ 5 ไปใส่ในช่องที่ 2 กับช่องที่ 4 ของตำรำง (เอกนำมทั้ง 2 เอกนำมสำมำรถสลับช่องกันได้) 2 x 162x 8x ➢ 7. ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ 1 กับช่องที่ 4 และ ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ 2 กับช่องที่ 3 ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ 1 และช่องที่ 4 ได้x ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ 2 และช่องที่ 3 ได้2 2 x 162x 8xx 2

ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 เทคนิค Box Method ➢ 8. ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ 1 และช่องที่ 2 และ ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ 3 กับช่องที่ 4 ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ 1 กับช่องที่ 2 ได้x ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ 3 กับช่องที่ 4 ได้8 ➢ 9. วำงเครื่องหมำยโดยพิจำรณำจำกช่องที่ 2 และช่องที่ 4 โดยในช่องที่ 2 คือ 2x ซึ่งเป็นบวกให้ใส่เครื่องหมำยบวกไว้ด้ำนบน 2 x 162x 8xx 2 x 8 2 x 162x 8xx 2 x 8 +

ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 เทคนิค Box Method ➢ 10. ชองที่ 4 คือ 8x ซึ่งเป็นบวก ใหใส่เครื่องหมำยบวกไว้ด้ำนซ้ำย ➢ 11. ผลลัพธ์ที่ได้จำกกำรแยกตัวประกอบพหุนำม จะเกิดจำกกำรน ำพหุนำมที่ได้จำกข้อ 7 และข้อ 8 มำคูณกัน ซึ่งจะได้ว่ำ = (x + 2)(x + 8) 2 x 162x 8xx 2 x 8 + + 2 x +10x + 16 2 x +10x + 16 ➢ 12. ตรวจสอบค ำตอบ โดยน ำตัวประกอบที่ได้มำคูณกัน จะได้ว่ำ จำก = (x + 2)(x + 8) = (x + 2)(x + 8) = + 8x + 2x + 16 = + 10x + 16 2 x +10x + 16 2 x 2 x ดังนั้น จะได้ว่ำ (x + 2)(x + 8) เป็นตัวประกอบของ 2 x +10x + 16

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 เทคนิค Box Method ➢ 1. เรียงพจน์ของพหุนำมจำกพจน์ที่มีดีกรีมำกไปหำพจน์ที่ดีกรีน้อย ซึ่งจะได้ ➢ 2. เขียนตำรำงขนำด 2 x 2 พร้อมทั้งก ำหนดหมำยเลข แทนช่องแต่ละช่องของตำรำง ช่องที่ 1 ช่องที่ 2 ช่องที่ 4 ช่องที่ 3 ➢ 3. ใส่พจน์ที่ 1 ของพหุนำมในช่องที่ 1 ของตำรำง และใส่พจน์ที่ 3 ของพหุนำมในช่องที่ 3 ของตำรำง 2 x −6 จงแยกตัวประกอบของ 2 x +x - 6 2 x +x - 6

ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 เทคนิค Box Method จงแยกตัวประกอบของ ➢ 4. น ำเอกนำมในช่องที่ 1 กับเอกนำมในช่องที่ 3 มำคูณกันจะได้ผลลัพธ์เท่ำกับ − = − 2 2 (x )( 6) 6x ➢ 5. หำเอกนำม 2 เอกนำม ที่มีผลคูณเทำกับข้อที่ 4 คือ และมีผลบวกเท่ำกับ พจนที่ 2 ของพหุนำมคือ x นั่นคือ (-2x)(3x) = −และ (-2x) + (3x) = x 2 6x วิธีกำรคิด เอกนำม 2 เอกนำมที่มีผลคูณเท่ำกับ −และมีผลบวกเท่ำกับ x ดังนี้ 2 6x จ ำนวนสองจ ำนวนที่คูณกันแล้ว มีค่ำเท่ำกับ -6 ผลบวกของจ ำนวนสอง จ ำนวน เท่ำกับ x − 2 6x 1 -1 2 -2 -6 6 -3 3 1 + (-6) = (-5) (-1) + (6) = 5 2 + (-3)= (-1) (-2) + 3 = 1 2 x +x - 6 จำกนั้นใหจ ำนวนทั้งสองเป็นสัมประสิทธิ์ของ x จะได้-2x และ 3x

ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 เทคนิค Box Method ➢ 6. น ำเอกนำมทั้ง 2 เอกนำมที่ได้จำกข้อ 5 ไปใส่ในช่องที่ 2 กับช่องที่ 4 ของตำรำง (เอกนำมทั้ง 2 เอกนำมสำมำรถสลับช่องกันได้) 2 x −6 -2x 3x ➢ 7. ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ 1 กับช่องที่ 4 และ ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ 2 กับช่องที่ 3 ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ 1 และช่องที่ 4 ได้ x ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ 2 และช่องที่ 3 ได้ 2 2 x −6 -2x 3xx 2

ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 เทคนิค Box Method ➢ 8. ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ 1 และช่องที่ 2 และ ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ 3 กับช่องที่ 4 ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ 1 กับช่องที่ 2 ได้x ดึงตัวประกอบร่วมของเอกนำมในช่องที่ ที่ 3 กับช่องที่ 4 ได้ 3 ➢ 9. วำงเครื่องหมำยโดยพิจำรณำจำกช่องที่ 2 และช่องที่ 4 โดยในช่องที่ 2 คือ -2x ซึ่งเป็นลบ ให้ใส่เครื่องหมำยลบไว้ด้ำนบน 2 x −6 -2x 3xx 2 x 3 2 x −6 -2x 3xx 2 x 3 −

ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 เทคนิค Box Method ➢ 10. ช่องที่ 4 คือ 8x ซึ่งเป็นบวก ให้ใส่เครื่องหมำยบวกไว้ด้ำนซ้ำย ➢ 11. ผลลัพธ์ที่ได้จำกกำรแยกตัวประกอบพหุนำม จะเกิดจำกกำรน ำพหุนำมที่ได้จำกข้อ 7 และข้อ 8 มำคูณกัน ซึ่งจะได้วำ = (x - 2)(x + 3) 2 x −6 -2x 3xx 2 x 3 − + 2 x + 10x - 6 2 x + 10x - 6 ➢ 12. ตรวจสอบค ำตอบ โดยน ำตัวประกอบที่ได้มำคูณกัน จะได้ว่ำ จำก = (x - 2)(x + 3) = (x - 2)(x + 3) = + 3x - 2x - 6 = + x - 6 2 x + 10x - 6 2 x 2 x ดังนั้น จะได้ว่ำ (x - 2)(x + 3) เป็นตัวประกอบของ 2 x +x - 6

ให้นักเรียนหำจ ำนวนเต็ม m และ n ที่ท ำให้ mn = c และ m + n = b ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 โดยที่ b และ c มีค่ำตำมที่ก ำหนดให้ต่อไปนี้ 1. b = 19 และ c = 84 m =………………………… n =………………………… + + = 2 ax bx ) c (x ( x ) m n 2. b = 5 และ c = 6 m =………………………… n =………………………… 3. b = -1 และ c = -20 m =………………………… n =………………………… 4. b = -10 และ c = 21 m =………………………… n =………………………… 5. b = 2 และ c = -35 m =………………………… n =………………………… 6. b = -4 และ c = -12 m =………………………… n =…………………………

จงแยกตัวประกอบของพหุนำมที่ก ำหนดให้ต่อไปนี้ ครูเชื่อว่ำนักเรียน ของครูทุกคนท ำได้ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 − = 2 1. x 5x ............................ − = 2 2. 3x 3x ............................ + = 2 3. -2x y ............................ + + = 2 5. y 10y 24 ............................ + − = 2 7. b 9b 10 ............................ + − = 2 4. x 7x 18 ............................ − + = 2 6. x 9x 20 ............................ − + = 2 8. x 14x 24 ............................ − + − = 2 10. m 5m 2m 10 ............................ + + + = 2 9. x 4x 3x 12 ............................................

ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ เทคนิค Box Method 2 1. x +3x - 4 = ...................................... 2 2. x -9x +8 = ......................................

ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ เทคนิค Box Method 2 3. x -4x + 4 = ...................................... 2 4. x -9 = ......................................

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองในรูป เมื่อ a , b และ c เป็นจ ำนวนเต็ม และ + + 2 ax bx c a 1, a 0 เพื่อควำมสะดวกในกำรหำข้อสรุปของวิธีกำรแยกตัวประกอบของพหุนำม เรำเรียก ว่ำพจน์หน้ำ เรียก ว่ำพจน์กลำง และเรียก c ว่ำพจน์หลัง + + 2 ax bx c 2 ax bx น ำตัวหน้ำคูณตัวหน้ำจะได้ตัวหน้ำ ตัวหลังคูณตัวหลังจะได้ตัวหลัง (x + m) ( x n) + ตัวหน้ำ x ตัวหน้ำ = ตัวหลัง x ตัวหลัง = mn ตัวใกล้คูณใกล้ และตัวไกลคูณไกล รวมกันได้ตัวกลำง (x + m) ( x n) + ใกล้คูณใกล้ mx ใกล้คูณใกล้ nx + รวมกันได้ (m+n)x ตัวตรงกลำง 2 x กำรแยกตัวประกอบยังคงใช้หลักกำรแยกเป็นสองวงเล็บและ เครื่องหมำยในวงเล็บให้ใช้หลักกำรเดียวกันกับกรณีที่ 1

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 2 2x + 7x + 6 ➢ เครื่องหมำยหน้ำ b เป็น + และเครื่องหมำยหน้ำ c เป็น + แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( + )( + ) จำกพหุนำม จะได้ค่ำ a = 2, b = 7, c = 6 2 2x + 7x + 6 ➢ ตัวแปร x แยกใส่ไว้หน้ำวงเล็บอย่ำงละตัวได้ดังนี้ (x + )(x + ) ➢ น ำ a = 2 และ c = 6 แยกเป็นผลคูณของเลขสองจ ำนวนได้ดังนี้ 2 = 1 x 2 และ 6 = 2 x 3 = 2 x 1 = 3 x 2 ➢ วำงต ำแหน่งของตัวเลขที่ได้จำก กำรแยกตัวประกอบของ 2 ให้ใส่จ ำนวนไว้หน้ำตัวแปร x และ ของ 6 ให้ใส่ไว้ด้ำนหลังของวงเล็บ แล้วตรวจสอบค่ำต่ำง ๆ ผลคูณระหว่ำงพจน์ใกล้กับใกล้ และพจน์ไกลกับไกลรวมกัน ต้องได้เท่ำกับพจน์กลำง คือ 7x ดังนี้ (2x + 3) ( x 2) +

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 2 2x + 7x + 6 จะได้ (2x + 3) ( x 2) + (2x + 3) ( x 2) + ตัวหน้ำ x ตัวหน้ำ = ตัวหลัง x ตัวหลัง = 6 (2x + 3) ( x 2) + ใกล้คูณใกล้ 3x ใกล้คูณใกล้ 4x + รวมกันได้ 7x ตัวตรงกลำง พจน์หน้ำ พจน์หลัง พจน์กลำง 2 2x ดังนั้น กำรแยกตัวประกอบของ 2 2x + 7x + 6 = (2x + 3) ( x 2) + ➢ ตรวจสอบค่ำต่ำงๆ

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 2 15x - 11x + 2 ➢ เครื่องหมำยหน้ำ b เป็น - และเครื่องหมำยหน้ำ c เป็น + แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( - )( - ) จำกพหุนำม จะได้ค่ำ a = 15, b = -11, c = 2 ➢ ตัวแปร x แยกใส่ไว้หน้ำวงเล็บอย่ำงละตัวได้ดังนี้ (x - )(x - ) ➢ น ำ a = 15 และ c = 2 แยกเป็นผลคูณของเลขสองจ ำนวนได้ดังนี้ 5 = 3 x 5 และ 2 = 1 x 2 = 5 x 3 = 2 x 1 = 15 x 1 = (-2) x (-1) = 1 x 15 = (-1) x (-2) ➢ วำงต ำแหน่งของตัวเลขที่ได้จำก กำรแยกตัวประกอบของ 15 ให้ใส่จ ำนวนไว้หน้ำตัวแปร x และ ของ 2 ให้ใส่ไว้ด้ำนหลังของวงเล็บ แล้วตรวจสอบค่ำต่ำง ๆ ผลคูณระหว่ำงพจน์ใกล้กับใกล้ และพจน์ไกลกับไกลรวมกัน ต้องได้เท่ำกับพจน์กลำง คือ -11x ดังนี้ (5x - 2) ( 3x - 1) 2 15x - 11x + 2

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ จะได้ (5x - 2) ( 3x - 1) ตัวหน้ำ x ตัวหน้ำ = ตัวหลัง x ตัวหลัง = 2 (5x - 2) ( 3x - 1) ใกล้คูณใกล้ -6x ใกล้คูณใกล้ -5x + รวมกันได้ -11x ตัวตรงกลำง พจน์หน้ำ พจน์หลัง พจน์กลำง 2 15x ดังนั้น กำรแยกตัวประกอบของ 2 15x - 11x + 2= ➢ ตรวจสอบค่ำต่ำงๆ (5x - 2) ( 3x - 1) 2 15x - 11x + 2 (5x - 2) ( 3x - 1)

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 2 18x + 9x - 2 ➢ เครื่องหมำยหน้ำ b เป็น - และเครื่องหมำยหน้ำ c เป็น + แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( - )( + ) จำกพหุนำม จะได้ค่ำ a = 18, b = 9, c = -2 ➢ ตัวแปร x แยกใส่ไว้หน้ำวงเล็บอย่ำงละตัวได้ดังนี้ (x - )(x + ) ➢ น ำ a = 18 และ c = -2 แยกเป็นผลคูณของเลขสองจ ำนวนได้ดังนี้ 5 = 3 x 8 และ -2 = 2 x (-1) = 6 x 3 = (-2) x 1 = 9 x 2 = 2 x 9 ➢ วำงต ำแหน่งของตัวเลขที่ได้จำก กำรแยกตัวประกอบของ 18 ให้ใส่จ ำนวนไว้หน้ำตัวแปร x และ ของ -2 ให้ใส่ไว้ด้ำนหลังของวงเล็บ แล้วตรวจสอบค่ำต่ำง ๆ ผลคูณระหว่ำงพจน์ใกล้กับใกล้ และพจน์ไกลกับไกลรวมกัน ต้องได้เท่ำกับพจน์กลำง คือ 9x ดังนี้ (6x - 1) ( 3x + 2) 2 18x + 9x - 2

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ จะได้ (6x - 1) ( 3x + 2) ตัวหน้ำ x ตัวหน้ำ = ตัวหลัง x ตัวหลัง = -2 (6x - 1) ( 3x + 2) ใกล้คูณใกล้ -3x ใกล้คูณใกล้ 12x + รวมกันได้ 9x ตัวตรงกลำง พจน์หน้ำ พจน์หลัง พจน์กลำง 2 18x ดังนั้น กำรแยกตัวประกอบของ 2 18x + 9x - 2= ➢ ตรวจสอบค่ำต่ำงๆ 2 18x + 9x - 2 (6x - 1) ( 3x + 2) (6x - 1) ( 3x + 2)

จงหำเติมค ำตอบลงในช่องว่ำงที่ก ำหนดให้ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 2 12x + 15x + 3 ➢ เครื่องหมำยหน้ำ b เป็น + และเครื่องหมำยหน้ำ c เป็น + แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( + )( + ) วิธีท ำ จำกพหุนำม จะได้ค่ำ a =………, b =………, c =……… ➢ ตัวแปร x แยกใส่ไว้หน้ำวงเล็บอย่ำงละตัวได้ดังนี้ (x + )(x + ) ➢ น ำ a =……… และ c =………แยกเป็นผลคูณของเลขสองจ ำนวนได้ดังนี้ ………=………x……… และ ………=…….…x……… =………x……… = ………x……… =………x……… = ………x……… =………x……… = ………x……… ➢ วำงต ำแหน่งของตัวเลขที่ได้จำก กำรแยกตัวประกอบของ ………ให้ใส่จ ำนวนไว้หน้ำตัวแปร x และ ของ ………ให้ใส่ไว้ด้ำนหลังของวงเล็บ แล้วตรวจสอบค่ำต่ำง ๆ ผลคูณระหว่ำงพจน์ใกล้กับใกล้ และพจน์ไกลกับไกลรวมกัน ต้องได้เท่ำกับพจน์กลำง คือ ……… ดังนี้ 2 12x + 15x + 3 (.........+.........) (.........+.........) ใกล้คูณใกล้ ……… ใกล้คูณใกล้ ……… + รวมกันได้ ……… ตัวตรงกลำง ตัวหน้ำ x ตัวหน้ำ = ……… ตัวหลัง x ตัวหลัง = ……… พจน์หน้ำ พจน์หลัง พจน์กลำง ดังนั้น กำรแยกตัวประกอบของ 2 12x + 15x + 3 =......................................

จงหำเติมค ำตอบลงในช่องว่ำงที่ก ำหนดให้ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 2 9x - 6x + 1 ➢ เครื่องหมำยหน้ำ b เป็น ……… และเครื่องหมำยหน้ำ c เป็น ……… แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( ……… )( ……… ) วิธีท ำ จำกพหุนำม จะได้ค่ำ a =………, b =………, c =……… ➢ ตัวแปร x แยกใส่ไว้หน้ำวงเล็บอย่ำงละตัวได้ดังนี้ (x ………)(x………) ➢ น ำ a =……… และ c =………แยกเป็นผลคูณของเลขสองจ ำนวนได้ดังนี้ ………=………x……… และ ………=…….…x……… =………x……… = ………x……… =………x……… = ………x……… =………x……… = ………x……… ➢ วำงต ำแหน่งของตัวเลขที่ได้จำก กำรแยกตัวประกอบของ ………ให้ใส่จ ำนวนไว้หน้ำตัวแปร x และ ของ ………ให้ใส่ไว้ด้ำนหลังของวงเล็บ แล้วตรวจสอบค่ำต่ำง ๆ ผลคูณระหว่ำงพจน์ใกล้กับใกล้ และพจน์ไกลกับไกลรวมกัน ต้องได้เท่ำกับพจน์กลำง คือ ……… ดังนี้ (.........-.........) (.........-.........) ใกล้คูณใกล้ ……… ใกล้คูณใกล้ ……… + รวมกันได้ ……… ตัวตรงกลำง ตัวหน้ำ x ตัวหน้ำ = ……… ตัวหลัง x ตัวหลัง = ……… พจน์หน้ำ พจน์หลัง พจน์กลำง ดังนั้น กำรแยกตัวประกอบของ 2 9x - 6x + 1 =...................................... 2 9x - 6x + 1

จงแยกตัวประกอบของพหุนำมที่ก ำหนดให้ต่อไปนี้ บันใดสู่ควำมส ำเร็จ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 + + = 2 1. 3x 8x 5 (3x...............)(x................) − − = 2 2. 2x x 3 (2x...............)(x................) + − = 2 3. 3x 7x 6 (3x...............)(x................) − + = 2 5. 5x 16x 3 (5x...............)(x................) − − = 2 4. 12x x 35 (3x...............)(4x................) − − = 2 6. 2x 9x 18 (2x...............)(x................)

จงแยกตัวประกอบของพหุนำมที่ก ำหนดให้ต่อไปนี้ ครูเชื่อว่ำนักเรียน ของครูทุกคนท ำได้ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 − − = 2 1. 2x 2x 4 .............................. + + = 2 2. 2a 6a 4 ............................... 3. 3x -6x -9 ........................... = .......... − − = 2 5. 6y y 12 ................................... + − = 2 7. 6b b 12 ....................................... + − = 2 4. 5x 14x 3 ............................ − − = 2 6. 9y 12y 5 ............................ − + = 2 8. 4z 28z 49 .............................. + − = 2 10. 7m 72m 55m ......................................... − = 2 9. -12a 20a .....................................................

ออ ชุดกำรเรียนอิเล็กทรอนิกส์ กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดีกรี 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 2 จำกตัวอย่ำงกำรแยกตัวประกอบของพหุนำมข้ำงต้น จะเห็นว่ำ กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองจะได้ตัวประกอบเป็นพหุนำม เดียวกันที่มีดีกรีเป็นหนึ่งจึงเขียนกำรแยกตัวประกอบของแต่ละพหุนำม ดีกรีสองข้ำงต้นได้เป็นก ำลังสองของพหุนำมดีกรีหนึ่ง เรียกพหุนำมดีกรี สองที่มีลักษณะเช่นนี้ว่ำพหุนำมดีกรีสองที่เป็นก ำลังสองสมบูรณ์ ➢ เครื่องหมำยหน้ำ b เป็น + และเครื่องหมำยหน้ำ c เป็น + แยกได้เป็น 2 วงเล็บ ( + )( + ) c = 25 = 5 x 5 2 5 + 5 = 10 = b หร ื อ = (x + 5) 2 x + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5) c = 49 = 7 x 7 2 7 + 7 = 14 = b หร ื อ = (x + 7) 2 x + 14x + 49 = (x + 7)(x + 7) a = 2 x 1 c = 1 = 1 x 1 (1 x 2x) + (1 x 2x) = 4x = b 2 หร ื อ = (2x + 1) 2 4x + 4x + 1 = (2x + 1)(2x + 1)