ทรงกลม

ชุดกิจกรรมปฏิบัติการคณิตศาสตร์

พ้ืนท่ีผิวและปริมาตรของ

ทรงกลม

ช่ือ......................................... นามสกุล.................................... ก
ช้ัน.............ห้อง........ โรงเรียน..................................................
สังกัด.......................................................................................

ก

คานา

ชุดกิจกรรมปฏิบัติการคณิตศาสตร์ ชุดท่ี 5 เร่ือง พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม
ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 3 ที่จัดทาขึ้นนี้ ผู้จัดทาได้ศึกษา และรวบรวมความรู้เก่ียวกับการสร้าง ชุดกิจกรรม
ปฏิบัติการคณิตศาสตร์ เพ่ือให้ได้ชุดกิจกรรมท่ีช่วยพัฒนาผู้เรียนให้มีความรู้ ความเข้าใจ เร่ือง พ้ืนที่
ผิวและปริมาตรของทรงกลม จากง่ายไปหายาก และสามารถนาความรู้ที่ได้ไปแก้ปัญหาเกี่ยวกับ
ทรงกลมได้ โดยกาหนดรูปแบบของชุดกิจกรรมและฝึกทักษะที่หลากหลาย และสอดคล้องกับ
จุดประสงค์การเรียนรู้ ผู้จัดทาได้จัดสร้างชุดฝึกทักษะทั้งหมด 6 ชุด คือ

ชุดท่ี 1 เร่ือง พ้ืนท่ีผิวปริมาตรของปริซึม
ชุดท่ี 2 เร่ือง พื้นท่ีผิวและปริมาตรของพีระมิด
ชุดท่ี 3 เร่ือง พื้นท่ีผิวและปริมาตรของทรงกระบอก
ชุดท่ี 4 เร่ือง พื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย
ชุดที่ 5 เร่ือง พ้ืนที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม
ชุดที่ 6 เร่ือง การคาดคะเนเกี่ยวกับปริมาตรและนา้ หนัก
ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างย่ิงว่า ชุดกิจกรรมปฏิบัติการคณิตศาสตร์ ชุดท่ี 5 เรื่อง พ้ืนท่ีผิวและ
ปริมาตรของทรงกลม ชุดน้ี จะเป็นประโยชน์อย่างย่ิงในการนาไปพัฒนาการจัดการเรียนการสอนใน
เรื่อง พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ได้ดีย่ิงขึ้น

ศรีทอง ชัยชนะ

สารบัญ ข

คานา หน้า
สารบัญ ก
มาตรฐานการเรียนรู้, ตัวชี้วัด, จุดประสงค์การเรียนรู้ ข
คาแนะนาสาหรับครู 1
คาแนะนาสาหรับนักเรียน 2
คาชี้แจงสาหรับนักเรียน 3
ใบความรู้ท่ี 1 เร่ืองลักษณะและส่วนต่าง ๆ ของทรงกลม 4
5
แบบฝึกทักษะท่ี 1 ส่วนต่างๆ ของทรงกลม 6
กิจกรรมท่ี 5.1 การหาปริมาตรของทรงกลม 9
ใบความรู้ที่ 2 การหาปริมาตรของทรงกลม 11
แบบฝึกทักษะท่ี 2 ปริมาตรของทรงกลม ตอนที่ 1 14
แบบฝึกทักษะท่ี 3 ปริมาตรของทรงกลม ตอนท่ี 2 16
แบบฝึกทักษะที่ 4 รัศมีของทรงกลม 18
ใบความรู้ท่ี 3 โจทย์ปัญหาเก่ียวกับปริมาตรของทรงกลม 20
แบบฝึกทักษะที่ 5 โจทย์ปัญหาปริมาตรของทรงกลม 22
กิจกรรมที่ 5.2 การทดลองหาพ้ืนที่ผิวของทรงกลม 27
กิจกรรมท่ี 5.3 การทดลองหาพื้นท่ีผิวของทรงกลม 28
แบบฝึกทักษะท่ี 6 พ้ืนที่ผิวของทรงกลม 29
แบบฝึกทักษะที่ 7 พ้ืนท่ีผิวของทรงกลม 33
ใบความรู้ที่ 4 โจทย์ปัญหาเก่ียวกับพื้นที่ผิวของทรงกลม 35
แบบฝึกทักษะท่ี 8 38
แบบฝึกทักษะที่ 9 คุณสมบัติของทรงกระบอก 41
แบบทดสอบหลังเรียน 42
บรรณานุกรม 46
ภาคผนวก 47
เฉลยกิจกรรมท่ี 5.1 48
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 1 49
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2,3 50
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 4 51
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 5 52
เฉลยกิจกรรมท่ี 5.2 56
เฉลยกิจกรรมท่ี 5.3 57
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 6 58
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 7 58

สารบัญ ค

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 8 หน้า
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 9 สมบัติของทรงกลม
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน 60
ตารางบันทึกคะแนนชุดฝึกทักษะ 62
62
63

1

ชุดกจิ กรรมปฏิบัติการคณติ ศาสตร์ชุดท่ี 5 การหาพนื้ ที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม

มาตรฐานการเรยี นร,ู้ ตวั ชวี้ ดั ,

ะสงจคุด์กปาระเรสยี งนค์กราู้ รเรยี นรู้

สาระสาคัญ/ความคดิ รวบยอด

ทรงกลมเป็นรูปเรขาคณิตสามมิติชนิดหน่ึง ซึ่งการหาปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติน้ัน
มีวิธีการหาท่ีแตกต่างกันข้ึนอยู่กับลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นๆ

ตวั ชวี้ ดั

1. หาปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรงกลม (ค 2.1 ม.3/2)
2. ใช้ความรู้เก่ียวกับพ้ืนท่ี พ้ืนที่ผิว และปริมาตรในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่าง ๆ

(ค 2.2 ม.3/1)
3. อธิบายลักษณะและสมบัติของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม

(ค 3.1 ม.3/1)

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

1. อธิบายลักษณะและสมบัติของทรงกลมได้
2. สามารถบอกพ้ืนที่ผิวและปริมาตรของทรงกลมได้
3. นาความรู้เก่ียวกับการหาพ้ืนที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม ไปใช้ในการ

แก้ปัญหาในสถานการณ์ต่าง ๆ ได้

สาระการเรยี นรู้

1. ลักษณะและสมบัติของทรงกลม
2. การหาพื้นท่ีผิวและปริมาตรของทรงกลม
3. การใช้ความรู้เก่ียวกับการหาพ้ืนท่ีผิวและปริมาตรของทรงกลมในการ

แก้ปัญหา

2

ชดุ กจิ กรรมปฏิบตั ิการคณิตศาสตร์ชุดที่ 5 การหาพน้ื ทผ่ี วิ และปรมิ าตรของทรงกลม

คาแนะนา
สาหรับครู

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้แบบปฏิบัติการ ชุดที่ 5 เร่ือง พื้นท่ีผิวและปริมาตรของทรงกลม

รายวิชา คณิตศาสตร์ 5 (ค23101) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้ บทที่ 1
เร่ือง พื้นที่ผิวและปริมาตร ประกอบด้วยคาแนะนาสาหรับครู คาแนะนาสาหรับนักเรียน สาระ
และมาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด จุดประสงค์การเรียนรู้ ใบความรู้ กิจกรรมการทดลอง

ปฏิบัติการ แบบฝึกทักษะ แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวกซึ่งประกอบด้วย เฉลย
กิจกรรมการทดลอง เฉลยแบบฝึกทักษะ เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน แบบบันทึกคะแนนและ

เกณฑ์การประเมิน ในการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้แบบปฏิบัติการชุดน้ี ครูผู้สอนควรปฏิบัติตาม
ขั้นตอนต่อไปน้ี

ขขั้นัน้ ทท่ี่ี 11 ชี้แจงข้ันตอนการเรยี นโดยใช้ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้น้ีใหน้ ักเรียนเข้าใจ

ขั้นทท่ี่ี 22 ใหน้ ักเรียนศึกษาเนอื้ หาจากใบความรู้ ทากจิ กรรมการทดลอง ทาแบบฝกึ ทกั ษะ
และตรวจคาตอบตามเฉลยในภาคผนวกทลี ะแบบฝกึ

ขน้ั ทที่่ี 33 ดแู ลใหน้ ักเรียนปฏบิ ตั ติ ามขั้นตอนและให้คาแนะนาเมอ่ื นักเรียนพบปัญหา

ขขน้ั้นั ทที่ี่ 44 ประเมนิ ผลการเรยี นของนักเรยี นอย่างตอ่ เน่ืองและให้แรงเสริมในการปฏิบัติ
กจิ กรรมของนักเรียน

ขัน้้ันทที่ ่ี55 ให้นกั เรียนทาแบบทดสอบหลังเรียน เมอ่ื ศึกษาเนื้อหาจากใบความรู้
ทากิจกรรมการทดลอง และฝึกทักษะเสร็จสิน้

ขนั้้ันทที่ ่ี 66 บันทกึ ผลการประเมินหลังการจัดการเรยี นรโู้ ดยใช้ชดุ กิจกรรมทกุ ครั้ง

3

ชุดกิจกรรมปฏิบตั ิการคณิตศาสตร์ชุดท่ี 5 การหาพน้ื ท่ีผวิ และปรมิ าตรของทรงกลม

คาแนะนา

สาหคราบั แนนกั ะเนรยีาน
สาหรบั นกั เรยี น

นักเรียนควรปฏิบัติในการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้แบบปฏิบัติการ ชุดท่ี 5
เรื่อง พ้ืนท่ีผิวและปริมาตรของทรงกลม ดังน้ี

ขั้นท่ี 1 ศึกษาข้นั ตอนการใช้ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้ให้เขา้ ใจชัดเจน

ขั้นท่ี 2 ศกึ ษาสาระและมาตรฐานการเรยี นรู้ สาระการเรียนรแู้ กนกลาง ตวั ชว้ี ัดจุดประสงค์
เวลาทีใ่ ช้ในการจดั การเรยี นรู้ และคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์

ขัน้ ที่ 3 ศกึ ษาและทาความเขา้ ใจเนื้อหาจากใบความรู้และทากจิ กรรมการทดลองด้วย
ตนเองและตรวจคาตอบจากเฉลยในภาคผนวกไปทีละกจิ กรรมตามลาดับ

เมื่อพบปญั หาใหข้ อคาแนะนาจากครูทันที

ขน้ั ที่ 4 ทาแบบฝึกทักษะเพมิ่ เติมและตรวจคาตอบจากเฉลยในภาคผนวก
ไปทีละแบบฝึกตามลาดบั เม่อื พบปัญหาให้ขอคาแนะนาจากครูทนั ที

ข้ันที่ 5 ทาแบบทดสอบหลังเรียน ตรวจคาตอบจากเฉลยในภาคผนวก แลว้ บนั ทกึ
คะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน

ขน้ั ที่ 6 ประเมนิ ผลว่านกั เรยี นผา่ นเกณฑ์หรือไม่

 “ผ่านเกณฑ์การประเมิน” ให้นักเรียนศึกษาชดุ กจิ กรรมชุดต่อไป
 “ไมผ่ ่านเกณฑ์การประเมนิ ” ใหน้ ักเรียนย้อนกลับไปศกึ ษาและทาความเข้าใจ
เนอื้ หาจากใบความรู้ ทดลองทากิจกรรมและฝึกทักษะดว้ ยตนเองใหม่

4

ชดุ กิจกรรมปฏบิ ัตกิ ารคณิตศาสตรช์ ุดท่ี 5 การหาพน้ื ที่ผวิ และปริมาตรของทรงกลม

คาช้ีแจง
สาหรับนกั เรยี น

1. ใหน้ ักเรียนแบ่งกลมุ่ กล่มุ ละ 3 – 4 คน ศกึ ษาจุดประสงค์การเรียนรู้

2. ให้สง่ ตวั แทนมารับชุดกิจกรรมปฏิบัติการชดุ ท่ี 5 ประกอบด้วย

2.1 ใบกจิ กรรม 5.1 – 5.2 ใชเ้ วลาทากจิ กรรม 60 นาที

2.2 แบบฝึกทกั ษะ ใช้เวลา 90 นาที

2.3 แบบทดสอบย่อยหลังเรียน ใชเ้ วลา 30 นาที

3. ใหน้ ักเรยี นแตล่ ะกลมุ่ ชว่ ยกันทากจิ กรรมในใบกจิ กรรมแบบปฏิบตั กิ ารที่กาหนดใหอ้ ยา่ ง

เคร่งครัด

4. ให้สมาชิกกลุ่มแต่ละกลุ่มช่วยกันศกึ ษาเนอื้ หาและตัวอยา่ งจากกิจกรรมในชดุ กจิ กรรม

แบบปฏิบตั ิการที่กาหนดไว้

5. ใหน้ กั เรียนแต่ละคนทากจิ กรรมแบบฝกึ ทกั ษะและแบบทดสอบยอ่ ยหลงั เรียนเสร็จแล้ว

ใหน้ กั เรยี นมารับใบเฉลยจากครไู ปตรวจสอบ

6. ถ้านักเรียนมีข้อสงสยั ใดๆ สามารถสอบถามหรือขอคาแนะนาจากครูไดต้ ลอดเวลา

ระยะเวลาท่ีใช้ 180 นาที

ส่อื การเรยี นรู้

1. ชุดกิจกรรมปฏิบัติการชดุ ที่ 5 เรื่อง พน้ื ท่ีผิวและปรมิ าตรของทรงกลม
2. ลกู บอลพลาสตกิ
3. เชอื ก
4. เม็ดโฟม
5. ทรงกระบอก

5

ชุดกจิ กรรมปฏบิ ตั กิ ารคณิตศาสตร์ชุดท่ี 5 การหาพน้ื ทผี่ ิวและปรมิ าตรของทรงกลม

ทรงกลม (Sphere) เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติท่ีมีผิวโค้งเรียบ และจุดทุกจุด
บนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดคงท่ีจุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน

จุดคงที่ เรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม
รัศมีของทรงกลม
ระยะท่ีเท่ากัน เรียกว่า

ทรงกลมและส่วนต่าง ๆ ของทรงกลม

จุดศนู ย์กลาง

รัศมี

ผวิ โคง้ เรียบ วงกลม

เส้นผ่านศนู ยก์ ลางของวงกลม

รศั มี

จุดศูนย์กลาง

จากรูปทรงกลม O ข้างต้น สรุปส่วนต่าง ๆ ได้ดังน้ี

1. จุด O คือ “จุดศูนย์กลาง” ของทรงกลม O
2. ส่วนของเส้นตรง PQ และ MN คือ “เส้นผ่านศูนย์กลาง” ของทรงกลม O
3. ส่วนของเส้นตรง MO, ON, PO และ OQ คือ “รัศมี” ของทรงกลม O

6

ชดุ กจิ กรรมปฏิบัติการคณติ ศาสตรช์ ุดที่ 5 การหาพ้นื ท่ีผวิ และปรมิ าตรของทรงกลม

5 ข้อ 5 คะแนน

คาชี้แจง ให้นักเรียนพิจารณารูปทรงกลมต่อไปน้ี แล้วเติมคาตอบในช่องว่าง

ตวั อยา่ ง จุดศนู ย์กลาง คอื ตอบ จุด A

เส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง คือ ตอบ CB และ DE

รศั มี คอื ตอบ CA, DA, AB และ AE

1. จดุ ศูนยก์ ลาง คือ ตอบ

เส้นผ่านศนู ย์กลาง คือ ตอบ

รศั มี คือ ตอบ

2. จุดศูนย์กลาง คอื ตอบ

เส้นผา่ นศูนย์กลาง คอื ตอบ

รศั มี คอื ตอบ

3.

จดุ ศนู ยก์ ลาง คอื ตอบ

เสน้ ผา่ นศูนย์กลาง คอื ตอบ

รศั มี คอื ตอบ

7

ชดุ กจิ กรรมปฏบิ ัตกิ ารคณติ ศาสตรช์ ุดที่ 5 การหาพ้ืนที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม

4. จุดศนู ยก์ ลาง คือ ตอบ

เส้นผา่ นศูนย์กลาง คือ ตอบ

รัศมี คอื ตอบ

5. จดุ ศูนย์กลาง คือ ตอบ
เส้นผา่ นศูนยก์ ลาง คอื ตอบ
รศั มี คอื ตอบ

คะแนนเต็ม 5 คะแนน
ได.้ .................คะแนน

8

ชดุ กจิ กรรมปฏบิ ัติการคณติ ศาสตรช์ ุดที่ 5 การหาพน้ื ทผ่ี วิ และปรมิ าตรของทรงกลม

คาชี้แจง ใหน้ ักเรียนแตล่ ะกลุ่มทากจิ กรรมตามข้ันตอนตอ่ ไปน้ี
วิธที ี่ 1 ใหน้ ักเรยี นตวงน้าหรือทรายหรือเมด็ โฟมตามที่ครเู ตรียมไว้ให้ใส่ทรงกลมที่ผ่าครึ่งให้เต็ม
แล้วเทลงในทรงกระบอกให้เต็ม โดยพิจารณาปริมาตรของน้าในทรงกระบอกเม่ือเทน้าหรือ
ทรายลงไป ดังรปู

ครั้งที่ 1

ครง้ั ที่ 2

วิธีที่ 2 ความสูงของกรวยเทา่ กบั เส้นผา่ นศนู ยก์ ลางของทรงกลม รัศมีของปากกรวยเท่ากับ
รัศมขี องทรงกลมใชค้ ร่ึงทรงกลมตวงทรายใส่กรวยกลมซ่ึงมรี ัศมแี ละความสูงเทา่ กันแลว้ เททราย
ใส่กรวยกลมให้เต็มพอดี และพจิ ารณาปริมาตรของกรวย ดังรูป

9

ชุดกิจกรรมปฏิบตั ิการคณติ ศาสตรช์ ุดที่ 5 การหาพนื้ ที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม

แบบบันทกึ กิจกรรมที่ 5.1

คาช้แี จง ให้นักเรยี นตอบคาถามตอ่ ไปนี้ (จากการการทดลองหาปรมิ าตรของทรงกลม)
ให้นักเรยี นตอบคาถามจากการทากิจกรรมเรื่องปริมาตรของทรงกลม ดงั นี้

1. จากวิธีท่ี 1 นกั เรียนเทนา้ หรือทรายจากครงึ่ ทรงกลมลงในทรงกระบอกครั้งที่ 1 ปริมาตรเปน็
อยา่ งใด
………………………………………………………………………………………………………………………….
2. จากวธิ ที ี่ 1 นักเรยี นเทนา้ หรือทรายจากครง่ึ ทรงกลมลงในทรงกระบอกครั้งที่ 2 ปรมิ าตรเป็น
อยา่ งไร
...........................................................................................................................................
3. จากวธิ ที ี่ 1 ทาใหท้ ราบความสมั พนั ธ์ของปริมาตรของทรงกลมและปริมาตรของทรงกระบอก
อยา่ งไร
..........................................................................................................................................
4. จากวธิ ีที่ 2 นักเรยี นใช้ครึง่ ทรงกลม ตวงทรายกี่ครั้งจงึ จะเตม็ กรวย .................................
5. จากวิธที ี่ 2 ปริมาตรของคร่งึ ทรงกลมมคี วามสัมพนั ธก์ บั ปรมิ าตรของกรวยทีม่ ี h = 2r
อย่างไร
...........................................................................................................................................

6. พลาสติกครึ่งวงกลม มีรัศมีเทา่ กบั รศั มขี องฐานทรงกระบอกหรือไม่

และยาวเทา่ ไร

7. ความสูงของทรงกระบอกเทา่ กับเท่าไร

8. นักเรียนตวงทรายจากพลาสตกิ คร่งึ วงกลมกี่ครั้งจึงจะเต็มทรงกระบอก

9. จากข้อ 6 ถงึ ขอ้ 8 จะได้ความสัมพนั ธ์ระหว่างปรมิ าตรของทรงกลมกบั ทรงกระบอก ดงั น้ี

สามเทา่ ของปรมิ าตรของคร่ึงวงกลมทีม่ รี ัศมี r หนว่ ย เทา่ กับ

10

ชดุ กจิ กรรมปฏบิ ัตกิ ารคณิตศาสตรช์ ุดท่ี 5 การหาพ้นื ท่ผี ิวและปรมิ าตรของทรงกลม

10. ปริมาตรของทรงกระบอก เท่ากบั

11. ถา้ h = 2r จะได้ปรมิ าตรของทรงกระบอก เทา่ กบั

12. สามเท่าของปริมาตรของคร่ึงทรงกลม เท่ากับ ปรมิ าตรของทรงกระบอก

ดงั นนั้ สามเท่าของปรมิ าตรของครึ่งทรงกลม =

ปริมาตรทรงกลม =
=

สรปุ
ปริมาตรของทรงกลม เทา่ กับ
เม่อื

11

ชดุ กจิ กรรมปฏิบัติการคณิตศาสตร์ชุดที่ 5 การหาพ้ืนท่ผี ิวและปรมิ าตรของทรงกลม

ในการหาปริมาตรหรือความจุของทรงกลม เราอาจหาได้จากความสัมพันธ์
ระหว่างทรงกลมและทรงกระบอกที่มีรัศมีของทรงกลม และรัศมีของฐานของ
ทรงกระบอกเท่ากัน และส่วนสูงของทรงกระบอกเท่ากับ 2 เท่า ของรัศมีของทรงกลม
เช่น

1. นาทรงกลมท่ีมีรศั มีเท่ากบั รัศมฐี านของ 2. เทน้าลงในทรงกระบอกจนเตม็
ทรงกระบอกใส่ลงในทรงกระบอกซง่ึ สงู เป็น ขอบของทรงกระบอก
2 เท่าของรัศมขี องทรงกลม หรอื เท่ากับ
เส้นผ่านศูนยก์ ลางของทรงกลม 3. นาทรงกลมออกจาก
ทรงกระบอก
4. ปริมาตรน้าทีเ่ ทลงในทรงกระบอก

1
3

ข้อสงั เกต
นา้ ที่เหลืออยู่ ของปริมาตรของทรงกระบอก แสดงว่า ทรงกลมมีปริมาตร

ของปริมาตรของทรงกระบอก

12

ชดุ กจิ กรรมปฏิบัติการคณติ ศาสตรช์ ุดท่ี 5 การหาพ้ืนทีผ่ วิ และปริมาตรของทรงกลม

ปริมาตรของทรงกลม ของปริมาตรของทรงกระบอก เน่อื งจาก h

ดังนัน้ ปริมาตรของทรงกลม

เมอ่ื แทน รัศมีของทรงกลม

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาปริมาตรของทรงกลมท่ีมีรัศมียาว 2 น้ิว ดังรูป
วิธีทา (กาหนด )

เน่ืองจากปริมาตรของทรงกลม 1
ปริมาตรของทรงกลม

31

ตอบ ประมาณ 38.81 ลูกบาศก์น้ิว

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาปริมาตรของทรงกลมที่มีเส้นรอบวงกลม ดังรูป
วิธที า (กาหนด )

เนื่องจากเส้นรอบวงกลม เมตร

1

ปริมาตรของทรงกลม

1 3 33 ลูกบาศก์เมตร
ตอบ ประมาณ 1,437.33 ลูกบาศก์เมตร

13

ชุดกจิ กรรมปฏบิ ตั กิ ารคณิตศาสตรช์ ุดที่ 5 การหาพน้ื ท่ผี ิวและปรมิ าตรของทรงกลม

ตวั อย่างที่ 3 ปริมาตรลูกทุ่มนา้ หนักโลหะตันทรงกลมลูกหน่ึงประมาณ 267.95 31 )
วธิ ที า ลูกบาศก์เซนติเมตร แสดงว่าลูกทุ่มน้าหนักน้ีมีรัศมีเท่าใด (กาหนด

ปริมาตรของทรงกลม

31

ตวั อย่างท่ี 4 เซนติเมตร
วิธีทา ตอบ รัศมียาวประมาณ 4 เซนติเมตร

กระทะรูปครึ่งทรงกลมใบหน่ึงมีปริมาตร ลูกบาศก์น้ิว จงคานวณหา
รัศมี

ของกระทะใบน้ี

เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกลม
จะได้ ปริมาตรของคร่ึงทรงกลม

ซ่ึง ปริมาตรของกระทะรูปคร่ึงทรงกลมเท่ากับ 1
จะได้ 1

3

3

ดังน้ัน กระทะใบน้ีมีรัศมีเท่ากับ 3 น้ิว
ตอบ รัศมียาว 3 น้ิว

14

ชุดกิจกรรมปฏบิ ัตกิ ารคณิตศาสตรช์ ุดที่ 5 การหาพ้ืนท่ผี วิ และปรมิ าตรของทรงกลม

5 ขอ้ 5 คะแนน

คาชี้แจง ให้แสดงวิธีทาหาปริมาตรของทรงกลมท่ีกาหนดให้ ตอบเป็นเลขทศนิยม 2 ตาแหน่ง
(กาหนดให้ )

เน่ืองจาก ปริมาตรของทรงกลม π 1
จากรูปทรงกลม 1 ;

1 ลูกบาศก์เมตร

ตอบ ประมาณ 4.19 ลูกบาศก์เมตร

ขอ้ 1.
วธิ ที า

ข้อ 2.
วิธที า

15

ชดุ กิจกรรมปฏบิ ตั ิการคณิตศาสตรช์ ุดท่ี 5 การหาพื้นที่ผวิ และปรมิ าตรของทรงกลม
ข้อ 3.
วิธีทา

ข้อ 4.
วิธที า

ข้อ 5.
วิธีทา

คะแนนเตม็ 5 คะแนน
ได้..................คะแนน

16

ชดุ กจิ กรรมปฏิบตั ิการคณติ ศาสตรช์ ุดที่ 5 การหาพนื้ ทผ่ี วิ และปรมิ าตรของทรงกลม

5 ขอ้ 5 คะแนน

คาชี้แจง ให้แสดงวิธีทาหาปริมาตรของทรงกลม จากเส้นรอบวงกลมที่กาหนดให้
ตอบเป็นเลขทศนิยม 2 ตาแหน่ง (กาหนดให้ )

ตัวอย่าง วธิ ีทา

เนือ่ งจากเส้นรอบวงกลม 2π เน่อื งจากปริมาตรทรงกลม π
จะได้ จะได้

1

รัศมี (r) ตอบ ประมาณ 179.67 ลกู บาศกน์ ้วิ

1. วธิ ีทา

2. วธิ ที า

3. วธิ ที า 17

ชดุ กิจกรรมปฏบิ ัตกิ ารคณติ ศาสตร์ชุดท่ี 5 การหาพ้นื ทผ่ี ิวและปริมาตรของทรงกลม

4. วิธีทา

5. วธิ ีทา

คะแนนเตม็ 5 คะแนน
ได.้ .................คะแนน

18

ชดุ กิจกรรมปฏบิ ตั ิการคณิตศาสตร์ชุดท่ี 5 การหาพื้นท่ผี วิ และปริมาตรของทรงกลม

5 ข้อ 5 คะแนน

คาช้แี จง ให้แสดงวิธีทาหาความยาวของรัศมีทรงกลม จากปริมาตรที่กาหนดให้

ตวั อย่าง ปริมาตรของทรงกลมน้ี ลูกบาศกเ์ มตร
วิธที า

เนื่องจากปรมิ าตรทรงกลม π

จะได้ 36π π

36π
π



3

ตอบ รศั มยี าว 3 เมตร

1. ปรมิ าตรของทรงกลมน้ี ลูกบาศก์เมตร
วิธที าวิธีทา

2. ปรมิ าตรของทรงกลมนี้ ลกู บาศกเ์ มตร
วิธที าวธิ ที า

19

ชดุ กจิ กรรมปฏบิ ัตกิ ารคณติ ศาสตร์ชุดท่ี 5 การหาพื้นท่ผี ิวและปริมาตรของทรงกลม
3. ปริมาตรของทรงกลมนี้ ลูกบาศกฟ์ ุต
วิธีทาวธิ ที า

4. ปรมิ าตรของทรงกลมนี้ ลูกบาศกน์ ิ้ว
วธิ ีทาวธิ ที า

5. ปรมิ าตรของทรงกลมนี้ ลกู บาศก์
วิธที าเซนตเิ มตร

คะแนนเตม็ 5 คะแนน
ได.้ .................คะแนน

20

ชดุ กิจกรรมปฏิบัตกิ ารคณิตศาสตร์ชุดท่ี 5 การหาพ้นื ทผ่ี วิ และปริมาตรของทรงกลม

ใบความรู้ท่ี 3
โจทย์ปัญหาเกย่ี วกับปริมาตรของทรงกลม

ความรู้เรื่องปริมาตรของทรงกลม สามารถนามาประยุกต์ใช้ในงานก่อสร้างอุตสาหกรรม
หีบห่อ บรรจุภัณฑ์ต่าง ๆ หรือของประดับ ล้วนสามารถนาความรู้เร่ือง ปริมาตรของทรงกลมมา
ประยุกต์ใช้ และแก้ปัญหาได้ ซ่ึงลาดับการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับปริมาตรของทรงกลม มีดังนี้

1. อ่านโจทย์ให้เข้าใจว่า ส่ิงท่ีโจทย์ถามหาคืออะไร

2. โจทย์บอกหรือให้ข้อมูลอะไรมาบ้าง หน่วยตรงกันหรือไม่

3. นาส่ิงท่ีโจทย์ถามหา และข้อมูลท่ีกาหนดให้ มาเรียบเรียงให้เป็นหน่วยเดียวกัน

4. แทนค่าในสูตรท่ีเก่ียวข้องกับทรงกลม เพื่อหาคาตอบ

สตู รหาปรมิ าตร สตู รหาพืน้ ทผี่ วิ สตู รหาพืน้ ท่ี สูตรหาความ
ทรงกลม ทรงกลม วงกลม ยาวเส้นรอบ

วงกลม


5. คานวณแล้วตรวจสอบผลลัพธ์ว่า ได้คาตอบตามโจทย์ต้องการหรือไม่

6. ถ้าผลลัพธ์ไม่ตรงตามคาถามให้กลับไปข้ันตอนท่ี 1-5 อีกครั้ง

หน่วยการวัดของปริมาตรที่ควรรู้จัก ท่ีใช้ในการคานวณหาปริมาตรของทรงกลม ดังนี้

1 ลูกบาศก์เมตร เท่ากับ 1,000,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร

1 ลูกบาศก์เซนติเมตร เท่ากับ 100 กรัม

1 ลิตร เท่ากับ 1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร

1 ลูกบาศก์ฟุต เท่ากับ 7.5 แกลลอน

1 ลูกบาศก์ฟุต เท่ากับ 27,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร

1 แกลลอน เท่ากับ 3,600 ลูกบาศก์เซนติเมตร

21

ชุดกิจกรรมปฏบิ ตั ิการคณติ ศาสตร์ชุดที่ 5 การหาพนื้ ท่ีผวิ และปริมาตรของทรงกลม

ตัวอยา่ งท่ี 1 ตะก่ัวทรงกระบอกอันหน่ึงมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 6 เซนติเมตร
หนา 5 เซนติเมตร นามาหลอมทาเป็นลูกปืนทรงกลม ซ่ึงมีรัศมี 0.3 เซนติเมตร

วธิ ที า จะได้ลูกปืนกี่ลูก

เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกระบอก h
จะได้ 3

ลูกบาศก์เซนติเมตร
ปริมาตรของทรงกลม

ลูกปืน 1 ลูกมีปริมาตร 3 ลูกบาศก์เซนติเมตร

จานวนลูกปืนท้ังหมด ปริมาตรของตะก่ัวทรงกระบอก
ปรมิ าตรของลูกปนื ทรงกลม

ลูก

1 ลูก

ตอบ 1,250 ลูก

ตวั อยา่ งท่ี 2 นาโลหะทรงกลมตันซ่ึงมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 12 น้ิว มาหลอมเป็นโลหะ
ทรงกลมตัน 3 ลูก โดยลูกที่ 1 มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 6 น้ิว ลูกท่ี 2

วธิ ที า มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 น้ิว แล้วลูกท่ี 3 มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาวกี่น้ิว

ปริมาตรทรงกลมตัน = ปริมาตรลูกที่ 1 + ปริมาตรลูกที่ 2 +ปริมาตรลูกท่ี 3

= 3+ +

= (3 )

=3

1 1
1 1
11

ดังนั้น ทรงกลมตันลูกท่ี 3 มีเส้นผ่านศูนย์กลาง นิ้ว
ตอบ 8 น้ิว

22

ชุดกิจกรรมปฏิบัติการคณติ ศาสตรช์ ุดท่ี 5 การหาพ้ืนท่ผี ิวและปรมิ าตรของทรงกลม
10 ขอ้ 50 คะแนน

คาชี้แจง ให้แสดงวิธีทาหาคาตอบของโจทย์ปัญหาเก่ียวกับปริมาตรของทรงกลมต่อไปนี้
1. ลูกทุ่มนา้ หนักมีเส้นรอบวงยาว 66 เซนติเมตร ลูกทุ่มนา้ หนักนี้มีปริมาตรเท่าไร
วิธที า

2. ลูกแก้วทรงกลมโลหะกลวงลูกหน่ึงหนา 3 เซนติเมตร วัดเส้นผ่านศูนย์กลาง
วธิ ที า ภายนอกได้ 27 เซนติเมตร จงหาปริมาตรภายในของลูกแก้วลูกน้ี

(กาหนด 3 1 )

23

ชุดกิจกรรมปฏิบัตกิ ารคณิตศาสตร์ชุดที่ 5 การหาพ้ืนท่ีผวิ และปรมิ าตรของทรงกลม

3. แท่งตะก่ัวทรงส่ีเหล่ียมมุมฉากยาว 11 เซนติเมตร กว้าง 8 เซนติเมตร หนา 5 เซนติเมตร
วธิ ีทา นาไปหลอมเป็นลูกปืนทรงกลมขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางลูกละ 1 เซนติเมตร จะได้ลูกปืน

ขนาดน้ีก่ีลูก

4. ถ้าใช้ขันคร่ึงทรงกลมซ่ึงมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 14 น้ิว ตักนา้ 3 ขัน จะได้นา้ ปริมาตรเท่าไร
วิธที า (กาหนด
)

24

ชุดกิจกรรมปฏบิ ตั ิการคณิตศาสตรช์ ุดที่ 5 การหาพื้นท่ผี วิ และปรมิ าตรของทรงกลม
5. ทรงกลมลูกหน่ึงบรรจุอยู่ในทรงกระบอก ซ่ึงมีรัศมีของฐานยาว 5 น้ิว ได้พอดี
วิธที า ทรงกลมและทรงกระบอกมีส่วนสูงเท่ากัน ปริมาตรของทรงกลมเป็นก่ีเท่าของปริมาตร

ของทรงกระบอก

6. ถังทรงกระบอกสูง 4 เมตร เส้นผ่านศูนย์กลางยาว 2 เมตร บรรจุนา้ เต็มถัง ถ้าหย่อนวัตถุ
วิธที า ทรงกลมตัน 6 ก้อน ซ่ึงมีขนาดเท่ากันให้ถึงก้นถังแล้วนาออกจากถังโดยที่วัตถุทรงกลมตัน

ทั้ง 6 ก้อน มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1 เมตร จะมีน้าเหลืออยู่ในถังสูงเท่าใด

25

ชุดกจิ กรรมปฏบิ ัตกิ ารคณติ ศาสตรช์ ุดท่ี 5 การหาพ้ืนทีผ่ วิ และปริมาตรของทรงกลม
7. แก้วทรงกระบอกมีรัศมีของฐาน 5 เซนติเมตร บรรจุนา้ สูง 8 เซนติเมตร ถ้านาลูกแก้ว
วธิ ีทา ทรงกลมใส่ลงไปในแก้วทรงกระบอก 25 ลูก ลูกแก้วแต่ละลูกมีรัศมี 1.5 เซนติเมตร

อยากทราบว่านา้ จะสูงขึ้นมาอีกกี่เซนติเมตร

8. ดวงจันทร์มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาวประมาณ ของความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของ
วธิ ที า โลก จงหาว่าปริมาตรของดวงจันทร์เป็นเศษส่วนเท่าไรของปริมาตรของโลก

(กาหนด )

26

ชดุ กิจกรรมปฏบิ ตั กิ ารคณติ ศาสตรช์ ุดท่ี 5 การหาพืน้ ท่ผี ิวและปรมิ าตรของทรงกลม
9. ถ้านาลูกแก้วทรงกลมตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 14 เซนติเมตร วางลงในถาดทรงส่ีเหล่ียม
วิธที า มุมฉาก ซ่ึงกว้าง 1 เซนติเมตร ยาว 49 เซนติเมตร น้าจะท่วมพอดี อยากทราบว่า

น้าสูงข้ึนกว่าเดิมเท่าไร (กาหนด )

10. ก้อนขี้ผ้ึงทรงกลมสามลูก แต่ละลูกมีรัศมี 3 เซนติเมตร วางเรียงซ้อนกันอยู่ในแก้ว
วธิ ที า ทรงกระบอกทนความร้อนท่ีมีรัศมีภายใน 3 เซนติเมตร เช่นเดียวกัน เม่ือให้ความร้อน

จนก้อนข้ีผ้ึงหลอมเหลวเป็นเน้ือเดียวกัน ขี้ผ้ึงเหลวจะสูงจากกันแก้วก่ีเซนติเมตร

27

ชดุ กิจกรรมปฏบิ ัติการคณิตศาสตร์ชุดท่ี 5 การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม

กิจกรรม มันแปลกดีนะ

คาช้แี จง ให้นักเรียนทากิจกรรมเพ่ือหาพืน้ ท่ีผวิ ของทรงกลม

 อปุ กรณ์
1. เชือกชนดิ เดยี วกนั 2 เสน้ มีความยาวพอสมควร
2. ลกู บอลเล็ก 1 ลกู
3. กระดาษกาว
4. สง่ิ ของท่มี ีลกั ษณะเปน็ ทรงกระบอกท่ีมีรัศมีของฐานเท่ากบั รัศมขี องลูกบอล และมสี ว่ นสงู เท่ากับ

สองเท่าของรศั มีของทรงกลม

 วิธปี ฏบิ ตั ิ
1. นาเชอื กเส้นท่ี 1 พันรอบลูกบอล ใหเ้ ต็มทรงกลมพอดี ตดั เชอื กทเี่ หลือทง้ิ
2. นาเชือกเสน้ ท่ี 2 พันรอบทรงกระบอกใหเ้ ตม็ ทรงกระบอกพอดี ตดั เชือกท่ีเหลอื ท้ิง
3. นาเชือกท่ีใชพ้ ันลกู บอลและทรงกระบอกมาเปรยี บเทยี บกนั
4. นกั เรียนตอบคาถามต่อไปน้ี
1) ความยาวของเชือกทงั้ สองเสน้ เท่ากันหรือไม่
2) พืน้ ทผี่ วิ ข้างของทรงกระบอกยาวเท่าใด
3) กาหนดใหค้ วามยาวของเสน้ รอบวงของวงกลมยาว 2r หนว่ ย ความสงู เท่ากบั h หนว่ ย
จากข้อ 2) จะไดพ้ ้ืนท่ผี วิ ข้างของทรงกระบอกยาวเท่าใด
4) เนอ่ื งจากความสูงของทรงกระบอกเท่ากับสองเท่าของรศั มีของทรงกลม ถา้ รัศมขี อง ทรง

กลมเทา่ กบั r หน่วย ความสูงของทรงกระบอกเท่ากบั 2r หน่วย ดังนั้น จาก ข้อ 3) จะไดพ้ ื้นท่ี ผวิ ข้างของ
ทรงกระบอกยาวเทา่ ใด

5) จากการปฏิบตั กิ จิ กรรมขา้ งตน้ เราได้เชอื ก 2 เสน้ ยาวเท่ากนั นักเรยี นสรปุ ได้หรือไมว่ า่ พน้ื ท่ี
ผิวของทรงกลมกับพ้ืนที่ผวิ ของทรงกระบอกมพี นื้ ท่เี ทา่ กันไดห้ รอื ไม่

สรุป พื้นทผ่ี ิวของทรงกลม เท่ากับ เม่อื r คือ รศั มขี องทรงกลม

28

ชดุ กจิ กรรมปฏบิ ัตกิ ารคณติ ศาสตร์ชุดที่ 5 การหาพ้ืนทผ่ี ิวและปรมิ าตรของทรงกลม

กิจกรรม การหาพืน้ ที่ผวิ ทรงกลม

คาช้แี จง ให้นกั เรียนทากิจกรรมตามขน้ั ตอนต่อไปนี้
วิธีที่ 1

1) พนั เส้นด้ายรอบครง่ึ ทรงกลมให้เส้นด้ายชิดกัน ดงั รปู
2) ผา่ ลกู เทนนิสออกคร่ึงหนง่ึ ตามแนวเสน้ ผ่านศนู ยก์ ลาง เอาดินนา้ มันใสจ่ นเตม็ และปาดใหเ้ รียบ
แล้วพันเสน้ ด้ายขดเปน็ วงกลมบนหน้าตดั น้นั ใหเ้ ส้นด้ายชดิ กัน ดงั รปู

3) คลีเ่ สน้ ดา้ ยข้ันที่ 1) และข้ัน ที่ 2) ออก แล้ววัดความยาวของเสน้ ดา้ ยแลว้ พิจารณาความยาวของ
เส้นด้ายทั้ง 2 บันทึกผลไว้
วิธที ่ี 2 ทรงกระบอกและทรงกลมมคี วามสงู เทา่ กัน รัศมเี ท่ากนั

1) พันเส้นดา้ ยรอบคร่ึงทรงกระบอกให้เส้นดา้ ยชิดกัน ดงั รูป
2) พ้นเส้นด้ายรอบครง่ึ ทรงกลมใหเ้ ส้นดา้ ยชดิ กนั ดังรูป

3) คลี่เส้นด้ายท่พี ันขัน้ ท่ี 1) และข้นั ที่ 2) แลว้ วดั ความยาว แล้วพจิ ารณาความยาวของเสน้ ดา้ ยทั้ง
2 บันทกึ ผลไว้

จากการทากิจกรรมให้นกั เรียนตอบคาถามจากการทากิจกรรมขา้ งตน้ เกยี่ วกบั พ้ืนทีผ่ วิ ของ
ทรงกลม ดงั นี้

1) จากวิธีที่ 1 เส้นด้ายท่ีพันอยู่รอบคร่ึงหน่ึงของทรงกลมยาวเป็นก่ีเท่าของเส้นด้ายท่ีพันขดอยู่บน
พื้นที่หน้าตัดของทรงกลม (..........................................................................................)

2) นักเรียนคดิ ว่าครงึ่ หน่งึ ของพน้ื ทผี่ ิวของทรงกลมเป็นกเ่ี ท่าของพน้ื ท่ขี องรปู วงกลม(..........)
3) จากวิธีที่ 1 พื้นที่ผวิ ของทรงกลมมคี า่ เทา่ ใด (...............................................................)
4) จากวิธที ี่ 2 เสน้ ด้ายที่พันครึ่งหน่งึ ของทรงกลมมีความยาวสัมพันธ์กับเส้นด้ายที่พันรอบคร่ึงหน่ึง
ของทรงกระบอกอยา่ งไร (.................................................................................................)
5) จากวธิ ีที่ 2 ทาให้ทราบวา่ พ้ืนที่ผิวของทรงกลมมีคา่ เป็นอยา่ งไร
(...........................................................................................................................................................)
6) จากวิธีท่ี 2 นักเรียนสามารถสรุปได้ว่าพื้นที่ผิวของทรงกลมกับพ้ืนท่ีผิวข้างของทรงกระบอก
สมั พนั ธก์ นั อย่างไร

………………………………………………………………………………………………………………….

29

ชุดกจิ กรรมปฏบิ ตั กิ ารคณิตศาสตรช์ ุดท่ี 5 การหาพ้ืนทีผ่ ิวและปรมิ าตรของทรงกลม

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาพ้ืนที่ผิวของทรงกลมที่มีรัศมียาว 2.1 น้ิว ดังรูป
วิธีทา (กาหนด )

เนื่องจากพื้นท่ีผิวของทรงกลม 1
พื้นท่ีผิวของทรงกลม

ตอบ ประมาณ 55.44 ตารางน้ิว

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาพ้ืนท่ีผิวของทรงกลมท่ีมีเส้นรอบวงกลม ดังรูป
วิธที า (กาหนด )

เน่ืองจากเส้นรอบวงกลม เมตร

1

พื้นที่ผิวของทรงกลม

1 ตารางเมตร
ตอบ ประมาณ 616 ตารางเมตร

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาพื้นท่ีผิวของลูกทุ่มนา้ หนักโลหะตันทรงกลมลูกหน่ึงท่ีมีรัศมี 4 เซนติเมตร
วิธีทา (กาหนด 3 1 )

พ้ืนที่ของทรงกลม

31

ตอบ ทรงกลมมีพื้นท่ีผิวประมาณ 200.96 ตารางเซนติเมตร

30

ชดุ กิจกรรมปฏิบัติการคณิตศาสตรช์ ุดที่ 5 การหาพน้ื ทีผ่ ิวและปรมิ าตรของทรงกลม

ตวั อยา่ งที่ 4 กระทะรูปคร่ึงทรงกลมใบหน่ึงมีปริมาตร 1 ลูกบาศก์น้ิว จงคานวณหา
1) รัศมี

วธิ ีทา 2) พ้ืนที่ผิวด้านในของกระทะใบนี้

1) เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกลม
จะได้ ปริมาตรของคร่ึงทรงกลม

ซ่ึง ปริมาตรของกระทะรูปคร่ึงทรงกลมเท่ากับ 1
จะได้ 1

3

3

ดังนั้น กระทะใบน้ีมีรัศมีเท่ากับ 3 น้ิว

2) เนือ่ งจากพืน้ ที่ผวิ ทรงกลมเท่ากบั 4r2

จะไดพ้ นื้ ท่ผี วิ ของครึง่ ทรงกลม = 1  4r2

2

= 2 32

= 18 ตารางนวิ้

ดงั นนั้ พืน้ ทผ่ี วิ ดา้ นในของกระทะเทา่ กับ 18 ตารางนว้ิ

31

ชุดกิจกรรมปฏบิ ตั ิการคณิตศาสตรช์ ุดที่ 5 การหาพน้ื ที่ผวิ และปรมิ าตรของทรงกลม

5 ขอ้ 5 คะแนน

คาชี้แจง ให้แสดงวิธีทาหาพ้ืนท่ีผิวของทรงกลมที่กาหนดให้ ตอบเป็นเลขทศนิยม 2 ตาแหน่ง
(กาหนดให้ )

เน่ืองจาก พ้ืนท่ีผิวของทรงกลม π 1
จากรูปทรงกลม 1 ;

1 ตารางเมตร

ตอบ ประมาณ 12.57 ตารางเมตร

ข้อ 1.
วธิ ีทา

ขอ้ 2.
วิธีทา

32

ชุดกิจกรรมปฏบิ ตั ิการคณิตศาสตร์ชุดท่ี 5 การหาพ้นื ท่ผี ิวและปรมิ าตรของทรงกลม
ขอ้ 3.
วธิ ที า

ข้อ 4.
วธิ ีทา

ขอ้ 5.
วิธที า

คะแนนเตม็ 5 คะแนน
ได.้ .................คะแนน

33

ชดุ กิจกรรมปฏบิ ตั กิ ารคณติ ศาสตรช์ ุดที่ 5 การหาพืน้ ทีผ่ วิ และปรมิ าตรของทรงกลม

5 ขอ้ 10 คะแนน

คาชแี้ จง ให้แสดงวิธีทาหาพ้ืนท่ีผิวของทรงกลมท่ีกาหนดให้
1. จงหาพ้นื ที่ผิวของทรงกลมทีม่ ีรัศมี 18.4 เซนติเมตร

วธิ ที า

2. จงหาพ้ืนทีผ่ ิวของทรงกลมทมี่ ีเสน้ ผ่านศูนยก์ ลาง 32
เซนติเมตร (2คะแนน)
วิธที าวิธที า

3. จงหาพน้ื ทผ่ี ิวทรงกลม ท่ีมรี ัศมี 5 เซนติเมตร (กาหนด  3.14)
( 1 คะแนน)

วิธที า

34

ชดุ กจิ กรรมปฏิบตั กิ ารคณิตศาสตรช์ ุดท่ี 5 การหาพ้ืนทผ่ี ิวและปรมิ าตรของทรงกลม

4. พนื้ ท่ผี ิวของทรงกลมสองทรงกลม เป็นอตั ราสว่ น 81 : 4 จงหา
อัตราส่วนของเสน้ ผ่านศูนยก์ ลางขอองทรงกลมทั้งสอง (3 คะแนน)

วธิ ีทา

5. ทรงกลมสองทรงกลม มีรัศมี 5 เมตร และ 8 เมตร ตามลาดับ จงหาอตั ราส่วนของพ้ืนทผ่ี ิว
ของทรงกลมท้งั สอง (3 คะแนน)

คะแนนเต็ม 10 คะแนน

ได.้ .................คะแนน

35

ชดุ กิจกรรมปฏิบตั ิการคณติ ศาสตร์ชุดที่ 5 การหาพน้ื ท่ผี วิ และปรมิ าตรของทรงกลม

ใบความรูท้ ่ี 4
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่ผวิ ของทรงกลม

ความรู้เรื่อง พ้ืนท่ีผิวของทรงกลม สามารถนามาประยุกต์ใช้ในงานก่อสร้าง อุตสาหกรรม
หีบห่อ บรรจุภัณฑ์ต่าง ๆ หรือของประดับ ล้วนสามารถนาความรู้เร่ือง พื้นที่ผิวของทรงกลมมา
ประยุกต์ใช้ และแก้ปัญหาได้ ซ่ึงลาดับการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับพ้ืนท่ีผิวของทรงกลม มีดังน้ี

1. อ่านโจทย์ให้เข้าใจว่า สิ่งที่โจทย์ถามหาคืออะไร

2. โจทย์บอกหรือให้ข้อมูลอะไรมาบ้าง หน่วยตรงกันหรือไม่

3. นาส่ิงท่ีโจทย์ถามหา และข้อมูลท่ีกาหนดให้ มาเรียบเรียงให้เป็นหน่วยเดียวกัน

4. แทนค่าในสูตรที่เก่ียวข้องกับทรงกลม เพ่ือหาคาตอบ

สตู รหาปริมาตร สตู รหาพ้ืนท่ีผวิ สตู รหาพ้นื ที่ สูตรหาความ
ทรงกลม ทรงกลม วงกลม
ยาวเสน้ รอบ
วงกลม


5. คานวณแล้วตรวจสอบผลลัพธ์ว่า ได้คาตอบตามโจทย์ต้องการหรือไม่

6. ถ้าผลลัพธ์ไม่ตรงตามคาถามให้กลับไปขั้นตอนท่ี 1-5 อีกคร้ัง

หน่วยการวัดของพื้นที่ ท่ีควรรู้จัก ท่ีใช้ในการคานวณหาพื้นที่ผิวของทรงกลม ดังน้ี

1 ฟตุ เทา่ กับ 12 นวิ้
1 ตารางฟตุ เท่ากับ 122 หรือ 144 ตารางน้ิว
1 ลูกบาศก์ฟตุ เท่ากบั 123 หรือ 1,728 ลูกบาศก์นว้ิ

1 ฟุต เท่ากบั 30 เซนติเมตร
1 ตารางฟตุ เท่ากับ 302 หรือ 900 ตารางเซนติเมตร

1 ลกู บาศก์ฟุต เทา่ กบั 303 หรอื 27 x 103 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

36

ชดุ กิจกรรมปฏิบัตกิ ารคณิตศาสตรช์ ุดท่ี 5 การหาพ้ืนท่ีผวิ และปริมาตรของทรงกลม

ตวั อย่างที่ 1 พ่อค้าคนหน่ึงส่ังช่างให้ทาท่ีย่างไก่ โดยนาถังน้ามันมาผ่าตัดคร่ึงดังรูป
จงหาว่าถ้าจะทาสีภายนอกท้ังหมดด้วยสีดา ส่วนที่ทาสีคิดเป็นพ้ืนท่ีเท่าใด

วธิ ีทา

วิธีทา ความยาวของถัง (h) 3 ฟุต 6 นวิ้ = 7 ฟุต
2

เสน้ ผ่านศนู ยก์ ลาง 1 ฟตุ 9 นวิ้ =7 ฟตุ

4

รัศมี (r) = 7 ฟตุ
8

พืน้ ท่ีผวิ ของถังทรงกระบอก = 2  rh + 2  r2

= (2 3.14 7  7 )+ (2  3.14  ( 7 )2)
82 8

 19.23 + 4.80

 24.03 ตารางฟตุ

พ้ืนทที่ ่ีตอ้ งทาสี 24.03  2  12.01 ตารางฟุต

หมายเหตุ ถ้าต้องการหาพ้ืนทใี่ นหนว่ ยตารางนว้ิ อาจทาได้ 2 วิธี คือ
วธิ ที ี่ 1 เปล่ียนหน่วยความยาวทก่ี าหนดให้เป็นนิว้ ก่อนแทนค่าในสูตร

วธิ ที ่ี 2 เมอ่ื หาพ้นื ทีไ่ ด้ 385 ตารางฟตุ แลว้ ให้คูณด้วย 144

32

เพราะ 1 ตารางฟุต = 144 ตารางน้วิ

385  144 = 1,732.5 ตารางนว้ิ

32

37

ชุดกจิ กรรมปฏบิ ตั ิการคณิตศาสตร์ชุดท่ี 5 การหาพ้นื ทผี่ ิวและปรมิ าตรของทรงกลม

ตวั อยา่ งท่ี 2 ถังเกบ็ น้ามันแหง่ หน่งึ เปน็ ทรงกลม รัศมภี ายนอกยาว 1.5 เมตร ต้องการทาสีรอบนอกถงั
โดยเว้นเนื้อทที่ เ่ี ปน็ ส่วนรองรบั ถงั ซง่ึ คิดเปน็ พื้นท่ี 7.25 ตารางเมตร สชี นิดที่ใช้น้ี 1 ลิตร

วธิ ีทา ทาได้พื้นทป่ี ระมาณ 2 ตารางเมตร ในการทาสคี รั้งนจ้ี ะต้องใชส้ ที งั้ หมดประมาณกีล่ ติ ร

วิธที า พื้นท่ีผิวของถังเกบ็ นา้ = 4  r2 เม่อื r แทนรัศมีของถังเก็บนา้ มัน

= 4  (1.5)2 ตารางเมตร

= 9 ตารางเมตร

 9 3.14 ตารางเมตร

ดังนน้ั พ้ืนที่ผวิ ของถังเกบ็ นา้ มนั เปน็ 28.26 ตารางเมตร

พื้นท่ีสว่ นทร่ี องรบั ถังไม่ตอ้ งทาสี 7.25 ตารางเมตร

ดงั นัน้ พ้นื ท่ีทต่ี ้องทาสี = พน้ื ทผ่ี ิวท้ังหมด - พ้นื ท่ีรองรับถงั

= 28.26 - 7.25 ตารางเมตร

= 21.01 ตารางเมตร

พ้ืนท่ีประมาณ 2 ตารางเมตร ใช้สี 1 ลิตร

พืน้ ทป่ี ระมาณ 21.01 ตารางเมตร ใช้สี 21.01 ลิตร
ดังนั้น จะต้องใช้สีทาถังเก็บน้ามนั ทั้งหมด
2

10.505 ลติ ร

ตอบ จะต้องใช้สีทาถังนา้ มันท้ังหมด 10.505 ลิตร

38

ชุดกิจกรรมปฏบิ ตั กิ ารคณติ ศาสตรช์ ุดที่ 5 การหาพ้นื ท่ผี ิวและปรมิ าตรของทรงกลม

6 ข้อ 30 คะแนน
คาชแี้ จง ให้แสดงวิธีทาหาคาตอบของโจทย์ปัญหาเก่ียวกับพ้ืนท่ีผิวของทรงกลมต่อไปน้ี

1. หม้อต้มนา้ มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 58 เซนติเมตร พื้นท่ีผิวข้างของหม้อต้มนา้ เป็น
วธิ ที า ก่ีตารางเซนติเมตรและปริมาตรของหม้อต้มน้าเป็นก่ีลูกบาศก์เซนติเมตร

(กาหนด   3.14)

39

ชดุ กจิ กรรมปฏบิ ัติการคณิตศาสตร์ชุดที่ 5 การหาพืน้ ที่ผวิ และปรมิ าตรของทรงกลม
2. ถังเก็บน้าทรงกลมซ่ึงมีรัศมี 1.75 เมตร ต้องการทาสีรอบถังน้ีโดยเว้นเนื้อที่ส่วนท่ีรองรับ
วธิ ที า ถังคิดเป็น 7.75 ตารางเมตร ถ้าสี 1 ลิตร ทาได้เน้ือที่ 2.5 ตารางเมตร

การทาสีถังนี้จะใช้สีกี่ลิตร (กาหนด )

3.
วธิ ที า ห้องเกบ็ ของใหญ่ห้องหน่ึงมรี ปู ร่างเป็นครงึ่ วงกลม ถ้าใช้สี 13 ลิตร ทาทวั่ พน้ื จะต้องใช้สี

กี่ลิตรจงึ จะทาท่ัวภายนอกของห้องเก็บของนี้

40

ชดุ กจิ กรรมปฏบิ ัติการคณติ ศาสตร์ชุดที่ 5 การหาพืน้ ท่ผี ิวและปรมิ าตรของทรงกลม

4.4. โคมตะเกยี งทรงกลมแต่ละอันมเี สน้ ผ่านศนู ยก์ ลาง 22 เซนตเิ มตร พื้นทีผ่ ิวของทรงกลมแต่ละ
ลูกเปน็ กต่ี ารางเซนตเิ มตร ปริมาตรของทรงกลมแตล่ ะลูกเปน็ ก่ีลูกบาศก์เซนตเิ มตร (กาหนด

π  3.14)

คะแนนเตม็ 20 คะแนน

ได้..................คะแนน

41

ชุดกจิ กรรมปฏิบตั ิการคณิตศาสตร์ชุดท่ี 5 การหาพน้ื ทีผ่ วิ และปริมาตรของทรงกลม

5 ขอ้ 5 คะแนน

คาช้ีแจง จงเติมเคร่ืองหมายถูก () หน้าข้อความท่ีถูกต้อง
และเติมเคร่ืองหมายผิด () หน้าข้อความท่ีผิด

1. ถ้าตัดทรงกลมตามแนวระดับ หน้าตัดของแต่ละส่วนของทรงกลมจะเป็น

รูปวงรี

2. ถ้าขยายทรงกลมให้มีเส้นผ่านศูนย์กลางเพ่ิมข้ึนเป็น 2 เท่า ปริมาตรของ

ทรงกลมใหม่จะเป็น 8 เท่าของทรงกลมเดิม

3. เม่ือนาทรงกลมบรรจุในทรงกระบอกใบหน่ึงได้พอดี จะเหลือที่ว่างภายใน

ทรงกระบอกอีก 2 ใน ของปริมาตรทรงกระบอก

4. ถ้าแบ่งคร่ึงทรงกลมออกเป็น 2 ส่วนท่ีเท่ากัน รอยแบ่งน้ันจะผ่าน

จุดศูนย์กลางของทรงกลม

5. เม่ือนาภาชนะรูปทรงกลมกลวงไปบรรจุนา้ ได้เต็มท่ี แสดงว่า

ภาชนะน้ันมีเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน

คะแนนเต็ม 5 คะแนน
ได.้ .................คะแนน

42

ชุดกิจกรรมปฏบิ ัติการคณิตศาสตรช์ ุดที่ 5 การหาพน้ื ท่ผี ิวและปริมาตรของทรงกลม

วิชาคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน (ค23101) ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 3
คาชี้แจง ให้  ทับตัวเลือกท่ีถูกต้องท่ีสุดเพียงคาตอบเดียว คะแนนเต็ม 20 คะแนน

1. ถ้าขยายทรงกลมให้มีเส้นผ่านศูนย์กลางเป็น 5 เท่าของเส้นเดิม จะมีปริมาตรเป็นก่ีเท่า
ของปริมาตรทรงกลมเดิม (กาหนด )

ก. 50 เท่า ข. 100 เท่า

ค. 125 เท่า ง. 225 เท่า

2. ลูกบอลลูนลูกหนึ่ง ทาด้วยผ้ายาง มีลักษณะทรงกลมวัดเส้นผ่านศูนย์กลางได้ 4.2 เมตร
จะต้องใช้ก๊าซไฮโดรเจนปริมาตรประมาณเท่าใดจึงจะบรรจุได้เต็มพอดี (กาหนด )

ก. 36 ลูกบาศก์เมตร ข. 37 ลูกบาศก์เมตร

ค. 38 ลูกบาศก์เมตร ง. 39 ลูกบาศก์เมตร

3. แตงโมรูปร่างใกล้เคียงทรงกลมมาก ความยาวรอบวงกลมใหญ่เป็น 63.8 เซนติเมตร
เปลือกแตงโมหนา 1 เซนติเมตร เน้ือแดงของแตงโมมีปริมาตรกี่ลูกบาศก์เซนติเมตร

(กาหนด 3 1 )

ก. ประมาณ 4,100 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ข. ประมาณ 4,200 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ค. ประมาณ 4,300 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ง. ประมาณ 4,400 ลูกบาศก์เซนติเมตร

4. ถังนา้ ใบหน่ึงมีนา้ อยู่ 30 ลิตร ต้องการใช้ขันรูปครึ่งทรงกลมรัศมียาว 10.5 เซนติเมตร
ตักนา้ ออกจากถังใบน้ีก่ีคร้ังนา้ จึงจะหมดถัง (กาหนด )

ก. 6 ครั้ง ข. 7 คร้ัง

ค. 8 ครั้ง ง. 9 คร้ัง

5. ลูกเหล็กทรงกลมตัน 3 ลูก มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 6, 8 และ 10 น้ิว เม่ือหลอมเป็นทรงกลม
ลูกเดียวจะได้เส้นผ่านศูนย์กลางยาวก่ีน้ิว

ก. 16 นิ้ว ข. 8 นิ้ว

ค. 12 น้ิว ง. 6 น้ิว

43

ชุดกจิ กรรมปฏบิ ัติการคณิตศาสตร์ชุดที่ 5 การหาพนื้ ท่ผี วิ และปรมิ าตรของทรงกลม

6. ตะก่ัวทรงกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 3 เซนติเมตร จานวน 6 ลูก นามาหลอมเป็นตะกั่ว
ทรงกระบอกมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 3 เซนติเมตร ตะก่ัวทรงกระบอกน้ีจะสูงเท่าใด

ก. 8 เซนติเมตร ข. 10 เซนติเมตร

ค. 12 เซนติเมตร ง. 14 เซนติเมตร

ขันรูปคร่ึงทรงกลมเส้นผ่านศูนย์กลางภายในยาว 6 เซนติเมตร ใช้ขันนี้ตักนา้ ใส่
7. ถังทรงกระบอกซ่ึงมีรัศมีฐาน 8 เซนติเมตร สูง 9 เซนติเมตร จะต้องตักน้าก่ีคร้ัง

จึงจะเต็มถัง

ก. 32 คร้ัง
ข. 27 คร้ัง

ค. 22 ครั้ง
ง. 17 ครั้ง

8. ทรงกลมเหล็กตัน รัศมี 10 เซนติเมตร นามาหลอมเป็นทรงกลมเล็ก ๆ
มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1 เซนติเมตร จะได้ท้ังหมดกี่ลูก

ก. 1,000 ลูก

ข. 4,000 ลูก

ค. 7,000 ลูก

ง. 8,000 ลูก

จากภาพ กรวยตันและครึ่งของทรงกลมตัน มีเส้นผ่านศูนย์กลางและความสูงตามภาพ
9. แล้วปริมาตรทั้งหมดน้ีเป็นเท่าไร (กาหนด
)

ก. 366 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ข. 424 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ค. 480 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ง. 524 ลูกบาศก์เซนติเมตร

10 ตะก่ัวทรงกระบอกลูกหน่ึงมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 12 เซนติเมตร หนา 3 เซนติเมตร
. นามาหลอมเป็นลูกปืนทรงกลมมีรัศมี 0.5 มิลลิเมตร ได้ก่ีลูก

ก. 648,000 ลูก

ข. 658,720 ลูก

ค. 667,260 ลูก

ง. 684,000 ลูก

44

ชดุ กจิ กรรมปฏบิ ัติการคณิตศาสตร์ชุดที่ 5 การหาพื้นท่ีผวิ และปริมาตรของทรงกลม

11. โลหะทรงกลมตัน มีพื้นที่ผิว 616 ตารางน้ิวจะมีรัศมีกี่นิ้ว (กาหนด )

ก. 6 น้ิว ข. 7 นิ้ว
ค. 8 น้ิว ง. 10 นิ้ว

12. ทรงกลมมีพ้ืนที่ผิว 1,386 ตารางน้ิว จะมีปริมาตรก่ีลูกบาศก์น้ิว
(กาหนด )

ก. 4,800 ลูกบาศก์น้ิว ข. 4,851 ลูกบาศก์น้ิว
ค. 4,158 ลูกบาศก์น้ิว ง. 5,841 ลูกบาศก์น้ิว

หลังคาโดมรูปคร่ึงทรงกลมมีรัศมียาว 7 เมตร ทาสีภายนอกตารางเมตรละ 10 บาท
วงก13ล.มใหจะจ่ายเงินค่าทาสีท้ังหมดก่ีบาท

ก. 770 บาท ข. 1,540 บาท
ค. 3,080 บาท ง. 6,160 บาท

14 ทรงกลมลูกหน่ึงมีปริมาตรเท่ากับ 36 ลูกบาศก์เซนติเมตร
. จะมีพ้ืนที่ผิวก่ีตารางเซนติเมตร

ก. 12 ตารางเซนติเมตร ข. 27 ตารางเซนติเมตร

ค. 36 ตารางเซนติเมตร ง. 68 ตารางเซนติเมตร

15. ทรงกลมสองลูก ลูกหนึ่งมีรัศมีเป็นสองเท่าของรัศมีอีกลูกหน่ึง ปริมาตรของทรงกลม
ลูกใหญ่เป็นก่ีเท่าของปริมาตรของทรงกลมลูกเล็ก

ก. 1 เท่า ข. 2 เท่า

ค. 4 เท่า ง. 8 เท่า

16. ทรงกลมลูกหน่ึงถ้ารัศมีเท่ากับ 1 หน่วย อัตราส่วนของพื้นที่ผิวทรงกลม
กับปริมาตรของทรงกลมเท่ากับเท่าไร

ก. 3 : 1 ข. 1 : 3

ค. 3 : 4 ง. 4 : 3

45

ชุดกจิ กรรมปฏบิ ตั กิ ารคณิตศาสตร์ชุดที่ 5 การหาพื้นท่ีผวิ และปริมาตรของทรงกลม

17. ทรงกลมท่ีมีปริมาตรเท่ากับพ้ืนท่ีผิวของทรงกลมนั้นจะมีเส้นผ่านศูนย์กลาง
ยาวกี่หน่วย

ก. 3 หน่วย
ข. 4 หน่วย
ค. 6 หน่วย

ง. 8 หน่วย

ทรงกลมมีพื้นท่ีผิว 5,544 ตารางนิ้ว จะมีปริมาตรเท่าไร (กาหนด )

18. ก. 19,404 ลูกบาศก์น้ิว
ข. 25,872 ลูกบาศก์นิ้ว

ค. 34,234 ลูกบาศก์นิ้ว

ง. 38,808 ลูกบาศก์นิ้ว

. ลกู บอลสีมีเสน้ ผ่านศูนยก์ ลาง 3.2 เซนติเมตร มีแถบสตี ่าง ๆ 5 สี แต่ละแถบสีเทา่ ๆ กัน แต่ละ
1แ9ถ. บ สมี ีพื้นท่ตี รงกบั ข้อใด (กาหนด   3.14)

ก. 6.4 ตารางเซนติเมตร
ข. 7.9 ลูตารางเซนติเมตร
ค. 8.2 ตารางเซนติเมตร
ง. 8.6 ตารางเซนติเมตร

20 จากขอ้ 19 ลูกบอลสนี จี้ อุ ากาศไดต้ รงกับขอ้ ใด (กาหนด   3.14)

. ก. 17.4 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ข. 24.62 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ค. 25.94 ลูกบาศก์เซนติเมตร คะแนนเตม็ 20 คะแนน
ง. 26.68 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ได.้ .................คะแนน

46

ชุดกจิ กรรมปฏบิ ัติการคณิตศาสตร์ชุดที่ 5 การหาพื้นท่ผี ิวและปริมาตรของทรงกลม

บบรรรรณณาานนุกกุ รรมม

กนกวลี อุษณกรกุล และคณะ. 2553 . หนงั สือเรียน รายวชิ าพนื้ ฐาน คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1.
กรุงเทพมหานคร : อักษรเจรญิ ทัศน.์

กระทรวงศกึ ษาธิการ. 2551 . หลักสตู รแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551.
กรุงเทพมหานคร : ชมุ นุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย.

โชคชยั สิริหาญอดุ ม. 2555 . แบบฝกึ หัดคณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1 รายวชิ าพ้นื ฐาน. กรุงเทพมหานคร :
เดอะบคุ ส์

ทรงวทิ ย์ สวุ รรณธาดา. 2551 . ขยันก่อนสอบ คณติ ศาสตร์ ม.3. กรงุ เทพมหานคร : แม็ค.
. 2552 . สรุปเขม้ คณิตศาสตร์ ม.3. กรุงเทพมหานคร : แม็ค.

ประทมุ พร ศรีวัฒนกูล และเจรญิ ชยั เออ้ื สกลุ เกียรต.ิ 2556 . สื่อการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์ ม.3 เลม่ 1
ฉบับสมบูรณ์แบบ. กรงุ เทพมหานคร : วัฒนาพานชิ .

ยุพนิ พพิ ิธกุล และสิรพิ ร ทพิ ย์คง. 2556 . ชุดกจิ กรรมพฒั นาการคดิ เสริมสร้างสมรรถนะสาคญั
และคุณลักษณะอันพึงประสงคข์ องผู้เรยี น คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1. กรุงเทพมหานคร :
สถาบนั พัฒนาคณุ ภาพวชิ าการ.

เลิศ เกสรคา. ม.ป.ป. คู่สร้าง คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1. กรงุ เทพมหานคร : อกั ษรเจริญทัศน.์
วาสนา ทองการณุ . ม.ป.ป. สาระการเรยี นรู้พนื้ ฐาน คณิตศาสตร์ ม.3 เลม่ 1. กรุงเทพมหานคร :

เดอะบุคส์.
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี 2553 . หนงั สือเรียนรายวิชาพืน้ ฐาน

คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 3. กรุงเทพมหานคร : สถาบนั ส่งเสรมิ สวัสดกิ ารและ
สวสั ดิภาพครแู ละบุคลากรทางการศกึ ษา ลาดพรา้ ว.
. 2553 . คู่มือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3.
กรุงเทพมหานคร : สถาบนั ส่งเสริมสวสั ดกิ ารและสวัสดภิ าพครแู ละบุคลากรทางการศึกษา
ลาดพรา้ ว.
สมยศ วิวฒั นปฐพี มาลินท์ อทิ ธิรส และอนนั ทศลิ ป์ รุติเรข. 2547. หนงั สอื เรียนสาระการเรียนรู้
พืน้ ฐาน คณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3. กรุงเทพมหานคร : สถาบันพัฒนาคุณภาพ
วชิ าการ.
สมวงษ์ แปลงประสพโชค และคณะ. 2545. กิจกรรมส่งเสริมความคิดและแก้ปญั หาคณติ ศาสตร.์
กรุงเทพมหานคร : Learn and Play MATHGROUP สถาบนั ราชภฎั พระนคร.
สาราญ มแี จ้ง และรงั สรรค์ มณีเลก็ . 2551. ส่ือการเรียนรูพ้ น้ื ฐาน คณิตศาสตร์ ม.3 สมบรู ณ์แบบ
เลม่ 1. กรุงเทพมหานคร : วฒั นาพาณิช.
สเุ ทพ จนั ทรส์ มบรู ณก์ ุล และคณะ. 2553 . คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1. กรงุ เทพมหานคร : เดอะบคุ ส์.