KUMPULAN RUMUS SIAP ASPD

NAMA : ……………………………………….

ASAL SEKOLAH : ……………………………………….

@ KHUSUS UNTUK KALANGAN SENDIRI

INDIKATOR:
1. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi

tambah, kurang, kali, atau bagi pada bilangan ( bulat
atau pecahan)
2. Operasi menggunakan lambang
3. Menyelesaikan soal cerita yang dikaitkan dengan bilangan
(bulat atau pecahan)
4. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
perbandingan.

OPERASI BILANGAN

Perpangkatan, Perkalian (×), Pembagian (:), Penjumlahan (+), Pengurangan ( - ),
Penarikan akar (√…),

Hirarki pengoprasian bilangan
Langkah pertama : kerjakan terlebih dahulu operasi bilangan yang ada dalam

tanda kurung : kerjakan perpangkatan atau penarikan akar
Langkah kedua

Langkah ketiga : kerjakan perkalian atau pembagian

(jika ada bersama maka lakukan sesuai dengan urutan
penulisan)

Langkah keempat : kerjakan penjumlahan atau pengurangan
(jika ada bersama maka lakukan sesuai dengan urutan

penulisan)

Contoh:
Tentukan hasil dari 8 + (– 12 ): 4×3,
Jawab: 8 + {( – 12 ): 4} × 3 = 8 + (– 3×3) = 8 – 9 = – 1

Perubahan tanda pada operasi bilangan bulat atau pecahan
Operasi perkalian dan pembagian mengenal perubahan tanda
❖ Bilangan bertanda sama jika dioperasikan dengan perkalian atau pembagian
menghasilkan bilangan bernilai positif (+)
❖ Bilangan berbeda tanda jika dioperasikan dengan perkalian atau pembagian
menghasilkan bilangan bertanda negatif ( - )
Operasi penjumlahan atau pengurangan tidak mengenal perubahan tanda

1 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

Hal-hal yang perlu diingat

1. – a – b = (– a) + (– b) contoh – 5 – 2 = (– 5) + (– 2) = – 7
2. – (– a) = a contoh – (– 3) = 3

Operasi menggunakan lambang

Contoh:
Operasi “ * ” artinya kalikan bilangan pertama dengan - 3 dan hasilnya dikurangi

dengan bilangan kedua. Tentukan (1) 5*4 (2) (6*10)*(- 1)

Jawab : 1) 5*4 = (5(-3)) – 4 = - 15 – 4 = - 19
2) (6*10)*(-1) = (6(-3) – 10) * ( -1)
= -28 * (-1)

= (-28 (-3)) – (- 1)
= 84+1

= 85
Contoh:

Suhu di puncak Jaya Wijaya 23oC. Pada saat turun salju, suhunya turun 3oC setiap 5

menit. Suhu di tempat itu setelah turun salju selama 1 jam adalah ….

Jawab: Suhu turun 60 × 3oC = 36oC. Jadi suhu sekarang 23oC -36oC = -13oC

5

Persergi ajaib:
Persegi ajaib adalah persegi yang memuat suatu bilangan sedemikian sehingga jumlah
bilangan pada kotak pada arah vertikal, horisotal dan diagonal adalah sama. Jumlah

bilangan itu adalah jumlah semua bilangan dibagi √
Contoh:
Jumlah bilangan pada kotak pada arah vertikal, horisontal dan diagonal adalah 15.
Jumlah bilangan ditentukan dengan cara jumlah semua bilangan dibagi banyak kotak.
Dari contoh tersebut bilangan 15 didapat dari (1+2+3+4+…+9) : 3 = 45:3 = 15

Bilangan pecahan:
Bilangan pecahan terdiri dari:

1. Bilangan pecahan biasa, contohnya: 2
3
2
2. Bilangan pecahan campuran, contohnya: 2 3

3. Bilangan pecahan desimal, contohnya: 0,25
4. Bilangan pecahan bentuk persen, contohnya 25%

Untuk mengurutkan pecahan maka ubahlah pecahan-pecahan tersebut ke bentuk
pecahan desimal

Contoh: Urutkan dari kecil ke besar bilangan pecahan 0,37; 3; 45%
5

2 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

Jawab = 3 =0,60 dan 45% = 0,45
5
Jadi urutan dari kecil ke besar adalah 0,37; 45%; 3
5
Contoh:

Pak Ujang memiliki sebidang tanah, 1 bagian dibuat kolam, 2 dipasang keramik dan

45

sisanya ditanami rumput. Jika yang ditanam rumput 140 m2. Tentukan luas

kolamnya!

Jawab:

Sisanya = (1 - 1 - 2 ) bagian = 20−5−8 = 7 sehinnga 7 ×seluruh = 140
45 20 20 20
maka seluruhnya adalah 140 × 20 = 400 m2
7

Menentukan bilangan pecahan antara dua bilangan yang ditentukan:
Contohnya : Tentukan lima bilangan pecahan antara 3 dengan 3

54

Jawab:

samakan penyebut dari pecahan-pecahan tersebut menjadi 12 dengan 15 jadi ada

20 20

dua bilangan pecahan yaitu 13 dan 14

20 20

Untuk menemukan bilangan pecahan yang lebih banyak maka penyebutnya kita
lipatkan dua, tiga, empat dan seterusnya. Pecahan-pecahan tersebut penyebutnya
kita lipatkan dua menjadi 24 dan 30 .

40 40

Jadi bilangan pecahan di atara keduanya adalah 25; 26; 27; 28; 29

40 40 40 40 40

OPERAS BILANGAN PECAHAN
1. Operasi perkalian × =

2. Operasi pembagian : = × =

3. Operasi untuk menyamakan
penjumlahan dan pengurangan diharuskan
penyebut dengan menentukan KPK penyebut tersebut
+ = + dan - = −

4. Mengubah pecahan campuran ke pecahan biasa dilakukan sebagai berikut

a = +



5. Cara menyederhanakan pecahan dalam perbandingan
= yang bisa disederhanakan



(1) a dan b (2) c dan d (3) a dan c (4) b dan d

3 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

PERBANDINGAN

1. Perbandingan = maka dapat dilakukan perkalian silang a×d = b×c



2. Jika suatu keadaan A+B = N dan perbandingan A dan B = a:b maka

Nilai A = × N dan nilai B= × N
+ +
3. Jika suatu keadaan A – B= P dan perbandingan A dan B = a:b maka

Nilai A = × P dan nilai B= × P
− −
4. Perbandingan senilai adalah dua keadaan yang saling berpengaruh. Jika keadaan
pertama bertambah banyak maka keadaan kedua bertambah dan sebaliknya

Contoh:
Semakin banyak buku yang dibeli maka semakin banyak uang yang harus
dibayarkan.
Dalam perbandingan SENILAI berlaku PERKALIAN SILANG

Keadaan I Keadaan II

AC A×D=B×C
BD

5. Perbandingan berbalik nilai adalah dua keadaan yang saling berpengaruh. Jika
keadaan pertama bertambah banyak maka keadaan kedua berkurang

Contoh:
Semakin banyak tenaga kerja maka waktu penyelesaian suatu pekerjaan semakin
sedikit
Dalam perbandingan BERBALIK NILAI berlaku PERKALIAN SEJAJAR

Keadaan I Keadaan II

AC A × C= B × D
BD

Contoh soal:
Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam waktu 50 hari oleh 14 orang pekerja.

Karena suatu hal, setelah 10 hari pekerjaan terhenti selama 12 hari. Agar pekerjaan
dapat diselesaikan tepat pada waktunya, maka diperlukan tambahan pekerja

sebanyak ....

a. 6 orang c. 20 orang
b. 10 orang d. 34 orang

Jawab: Waktu
Jumlah Pekerja keterangan

14 orang 50 hari -
14 orang 40 hari telah berjalan 10 hari sisa waktu 40 hari

n orang 28 hari karena terhenti 12 hari

Jadi 28 n = 14×40 maka n = 560: 28 = 20 orang
Tambahan pekerja = 20 – 14 = 6 orang. Jawaban (a)

4 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

SKALA PADA PETA

Skala adalah perbandingan jarak pada peta dengan jarak sesungguhnya

Jika skala suatu peta adalah 1 : n maka

(1) Jarak sesungguh = Jarak pada peta × n
(2) Jarak pada peta = Jarak sesungguhnya : n

Catatan 1 Km = 100.000 m
Contoh:
Jarak kota A dan B pada peta 8 cm, sedangkan jarak kota A dan C 10 cm. Tentukan jarak
sebenarnya jarak AB dab AC, jika skala peta 1: 5.000.000.
Jawab: Selisih dua kota tersebut 2 cm, maka selisih sebenarnya 2 × 5.000.000 =

10.000.000 cm

= 100 km

INDIKATOR:
5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi

bilangan berpangkat atau bentuk akar.
6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbankan

atau koperasi dalam aritmetika sosial sederhana.
7. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan

bilangan dan deret.

BILANGAN BERPANGKAT

Rumus operasi bilangan berpangkat
1. an = a1 ×a2 ×…xan
2. am×an = am+n
3. am : bn = am-n
4. (am)n = amn

Bilangan berpangkat pecahan dan bentuk akar

No Rumus Contoh

1. a0= 1 dengan a≠ 0 20 = 1; (0,5)0= 1

2. a-1 = 1 3-1 = 1
3
3. 1 1 1 1
a -n = dan − = an 5 -2 = 52 dan 7−2 = 72

4. √ = a1/2 91/2 = √9 = 3

5. √ = 3√52 = 2

53

5 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

Contoh: Ubahlah kebentuk pangkat

1) 3√16 2) 5√82 4

jawab 1) 3√16 = 3√24 = 23

2) 5√82 = 2 = 2 = 6

85 (23)5 25

Contoh: Ubahlah kebentuk akar

2 2) 25−32

1) 163

Jawab: 1) 2 3√162

163=

2) 25−32 = 1 = 1
2√253
3

252

Rumus Praktis : = √
√
2 2
Contoh : √3 = 3 √3

Contoh:

1. 2 × 1 = 2 × 1 = 22 × 31 = 4×3 = 12

83 92 (23)3 (32)2

2. 2 + 1 - (212)−2= 2 + 1 - (2−2)−2

83 92 (23)3 (32)2

= 22 + 31 -24 = 4+3 -16= - 9

3. 8-2 + 8-2 = 1 + 1 = 2 == 2 = 2 = 21-6 = 2-5
82 82 82 (23)2 26

Mengubah bentuk akar ke bentuk akar campuran
Faktorkan menjadi bentuk perkalian kuadrat sempurna dan bilangan irasional

Contoh: (3) √27 = √9 × 3 = 3√3
(4) √96 = √49 × 2 = 7√2
(1) √50 = √25 × 2 = 5√2
(2) √8 = √4 × 2 = 2√2

Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar hanya dapat dioperasikan jika
bentuk akarnya sama:
Contoh:

2√3 + 4 √3 = 6√3
8√2 - 3 √2 = 5√2

2√5 + 4 √3 tidak dapat dikerjakan karena bentuk akar berbeda

6 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

8√3 - 3 √2 tidak dapat dikerjakan karena bentuk akar berbeda

Contoh:

Nilai dari 6√3 + √12 - 2√27 = 6√3 + √4 × 3 - 2√9 × 3=6√3 + 2√3 – 2.3√3
=6√3 + 2√3 – 6√3 = 2√3

Perkalian dan bentuk akar

1) √a × √b = √a × b
2) a√ × c√ = ac √
3) √a : √b = √a: b

4) a√ : c√ = √



Contoh:
Hasil dari 4√2 × √27 = 4√2 ×3√3 = 12√6

Hasil dari 8√6 : 2√3 =( 8)√6 = 4√2

23

Merasionalkan penyebut:

1. = √ Contoh: 1 = 1 √3 Contoh 10 =10 √5 = 2√5
2. √3 3 √5
√ 5

−√ caranya dikalikan sekawan penyebut

× +√ = ( +√ ) = ( +√ )
−√ 2− √ 2 2−
+√

3. caranya dikalikan sekawan penyebut
√ +√

× √ −√ = (√ −√ )
√ +√ √ −√ −

Catatan : √ + √ bentuk sekawannya adalah √ - √ dan sebaliknya

Contoh: Rasionalkan bentuk 8

√5−√3

jawab 8 × √5+√3 =8(√5+√3) = 8(√5+√3)
√5−√3 √5+√3 2
5−3

= 4(√5 + √3)

7 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

ARITMATIKA SOSIAL (PERBANKAN)

Rumus Bunga tunggal

Tabungan:
➢ Bunga = × p% × Tabungan awal

12

n = lama menabung dalam satuan bulan; p%=persentase bunga per tahun
➢ Persentase bunga = ℎ



➢ Jumlah tabungan = Bunga + tabungan awal
Pinjaman:

➢ Bunga = × p% × pinjaman awal

12

n = lama pinjaman dalam satuan bulan ; p%=persentase bunga pinjaman per

tahun

➢ Persentase bunga =



➢ Jumlah pinjaman = Bunga + pinjaman awal

➢ Besar angsuran = ℎ



➢ Pinjaman awal = 100 × ℎ ℎ
(100+1 2 × )

➢ Simpanan awal = 100 × ℎ ℎ
(100+1 2 × )

n = lama pinjaman atau lama menabung
p = persentase bunga

Contoh:
Budi meminjam uang Rp600.000, disebuah bank dengan bunga pinjaman 12% pertahun
dan akan dilunasi selama 10 bulan. Berapa besar angsuran pinjaman perbulan yang
dibayarkan Budi pada bank tersebut?
Jawab:
Besarnya Bunga = × p% × pinjaman awal = 10 × 12% × 600.000,00 = Rp60.000,00

12 12

Jadi angsuran perbulan adalah = 600.000+60.000 =660.000 = 66.000

10 10

Contoh:

8 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

Bima menyimpan uang di Bank sebesar Rp400.000,00. Setelah 1,5 tahun uang Bima
menjadi Rp520.000,00. Berapa persentase bunga bank tersebut per tahun?
Jawab:
Bunga = × p% × Tabungan awal

12

120.000 = 18 × p × Rp400.000
12 100

120 = 18 × p× 4  120 = 3 × p× 4  120 = 6p maka p = 20
12 2

Jadi persentase bunga 20%

ARITMATIKA SOSIAL (JUAL BELI)

SATUAN DALAM JUAL BELI
• 1 lusin = 12 buah; 1 kodi = 20 buah; 1 gross = 144 buah; 1 rem = 500 lembar
• 1 kg = 10 ons; 1 kwintal = 100 kg; 1 ton = 1000 kg

UNTUNG DAN RUGI

• Jual beli dikatakan untung jika harga penjualan > harga pembelian
• Jual beli dikatakan rugi jika harga penjualan < harga pembelian
• Untung = harga penjualan –harga pembelian
• Rugi = harga pembelian – harga penjualan

PERSENTASE UNTUNG DAN RUGI

• Persentase untung = × 100%



• Persentase rugi = × 100%



HARGA PENJUALAN

• Jika pedagang untung p%

Harga penjualan = harga pembelian + untung

= 100+ × harga pembelian

100

• Jika pedagang rugi p%

Harga penjualan = harga pembelian - rugi

HARGA PEMBELIAN = 100− × harga pembelian

100

• Jika pedagang untung p%

Harga pembelian = 100 × harga penjualan
100+
• Jika pedagang rugi p%

Harga pembelian = 100 × harga penjualan

100−

9 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

Contoh:
Pak Hamid menjual sepeda motor seharga Rp10.800.000,00 dengan kerugian 10%.
Berapakah Harga pembelian motor Pak Hamid?

Jawab:

Harga Pembelian dalam keadaan rugi = 100 × Rp10.800.000 = 100 × Rp10.800.000
100−10 90
=Rp12.000.000,00

POLA BILANGAN, BARISAN DAN DERET

A. Pola bilangan adalah aturan suatu barisan bilangan
Contoh:
1. 1, 4, 7, 10, 13, …. aturannya bilangan berikutnya selalu bertambah 3 dari bilangan
sebelumnya
2. 1, 2, 4, 8, 16, …. Aturannya bilangan berikutnya selalu dikalikan 2 dari bilangan
sebelumnya.
TIP AND TRIKS
Untuk menemuka Pola bilangan (kemungkinannya ditambah, dikurangi, dikali, dibagi,
ditambah dengan barisan bilangan tertentu, dll)
Contoh:
Tentukan dua suku berikutnya dari barisan 1, 2, 4, 7, 11, …., …..
Jawab:
1, 2, 4, 7, 11, 16, 22 (Barisan ini bertambah dengan barisan bilangan asli)

+1 +2 +3 +4 +5 + 6

Jadi dua suku berikutnya adalah 16, 22

B. Pengertian suku pada barisan bilangan
Perhatikan barisan bilangan berikut : 2, 6, 10, 14, 18, ….
2 adalah suku ke- 1 = U1 = a; 6 adalah suku ke- 2 = U2; dan seterusnya.

C. Beberapa contoh gambar pola bilangan.
1. Pola bilangan persegi panjang

26 12 20 dst
12 23 34 45

Barisan bilangan persegi panjang adalah: 2, 6, 12, 20, ....
Berpola 1  2, 2  3, 3  4, 4  5,....Rumus suku ke n adalah Un= n×(n+1)

10 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

2. Pola bilangan persegi

14 9 16

12 22 32 42 dst
Barisan bilangan persegi adalah: 1, 4, 9, 16,...

Berpola 12, 22, 32, 42, ....Rumus suku ke n pola bilangan persegi adalah Un= n2

3. Pola bilangan segitiga

13 6 10 dst

1 (1 2) 1 (2  3) 1 (3  4) 1 (4  5)
2 2 2 2

Barisan bilangan segitiga adalah: 1, 3, 6, 10, ....

Rumus suku ke n pola bilangan segitiga adalah Un= 1 n  (n + 1)
2

Contoh:

Tentukan banyak batang korek api pada pola ke 20!
Jawab:
Gambar 1 banyak batang korek api 3 = 2(1) + 1
Gambar 2 banyak batang korek api 5 = 2(2) + 1
Gambar 3 banyak batang korek api 7 = 2(3) + 1
Gambar 4 banyak batang korek api 9 = 2(4) + 1
……………………………………………………………………
Gambar n banyak batang korek api = 2n+1 jadi banyak batang korek api pada pola ke 20
adalah = 2(20) + 1 = 41

D. BARISAN BILANGAN
Barisan bilangan ialah mengurutkan bilangan dengan aturan tertentu sehingga diperoleh
barisan dari suku pertama (U1) , ke dua (U2) , hingga suku ke-n (Un).

Bentuk umum barisan bilangan: U1, U2, U3, U4, …,Un.
Contoh:
1. Barisan bilangan ganjil

1, 3, 5, 7,......

11 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

Aturannya : suku pertama adalah 1 dan suku berikutnya diperoleh dari bilangan
sebelumnya ditambah dengan dua

2. Berapakah dua suku berikutnya dari barisan berikut:
2, 5, 10, 17, 26, …..
Jawab: 2, 5, 10, 17, 26, 37, 40

+3 +5 +7 +9 +11 + 13

E. BARISAN ARITMATIKA ATAU BARISAN HITUNG
Ciri-cirinya : Setiap penambahan suku bilangan memiliki beda (b) yang sama.
Beda = b = U2 - U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = Un – Un-1.

Barisan bilangan aritmatika :
U1, U2, U3, U4, …, Un atau a, (a+b), (a+2b), …, [a + (n-1)b]

Un = a + (n – 1)b

Contoh barisan Aritmatika

a. 3, 8, 13, 18, …. memiliki beda= 5, a=3
sehingga rumus suku ke-n nya adalah Un= 3+ (n-1)5
Un=5n -2

b. Diketahui suatu barisan aritmatika U5=18, dan U10=38. Nilai U20 adalah …

Jawab: a+4b= 18 *)
U5= 18 maka

U10=38 maka a+9b= 38 -

-5b = -20 maka b= 4

*) a + 4(4) = 18 maka a = 18 – 16 = 2
U20 = a + 19b = 2 + 19(4) = 2 + 76=78

❖ RUMUS PRAKTIS untuk menentukan rumus Un = nb +(a – b)

Contoh: 3, 7, 11, 15, …. Tentukan rumus suku ke n dan tentukan U10
Jawab:
3, 7, 11, 15, ….maka a= 3 dan b= 4 maka Un= 4n + (3-4) = 4n-1
Jadi U10 = 4(10) -1= 39

12 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

❖ RUMUS PRAKTIS untuk menentukan beda jika dua suku barisan aritmatika

diketahui. Misalnya Ua= B dan Uc=D maka beda = −
−

Contoh:
Diketahui suatu barisan aritmatika dengan U5=28 dan U2=10.
Tentukan:

(i) beda
(ii) U1 atau suku pertama
(iii) Suku ke -8
Jawab:

(i) Beda = b= 28−10 = 6

5−2

(ii) U2 = 10 maka Un= a+ (n-1)b  a+ (2-1)6=10  a+1(6)=10 
a=10 – 6  a= 4

(iii) Un= a+ (n-1)b
U8= 4+ (8 -1)6
U8= 4+ 42
U8= 46

❖ RUMUS PRAKTIS untuk menemukan Suku ke n barisan aritmatika jika dua suku
lainnya diketahui, perhatikan contoh berikut:

Dengan rumus Praktis sebagai berikut:
Diketahui U5 = 28, U2 = 10 tentukan U8

Suku 5-2= 3 8-5= 3 8
Nilai 2 x6 5 ? = 28+18 = 46

10 x6
28

28-10 =18 18

F. Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika= Sn

Sn = 1 n {2a +(n-1)b} atau Sn= 1 n {a +Un }

22

n = − + 1



n= banyak suku; a=U1= suku awal; b= beda
Contoh:

13 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

Tentukan jumlah bilangan kelipatan 3 dan 4 antara 100 dan 300.
Jawab: Bilangan habis dibagi 3 dan 4 berarti kelipatan 12
a= 108 (bilangan setelah 100 habis dibagi 12) dan Un= 288 (bilangan sebelum 300

habis dibagi 12) dan n = 288−108 + 1 =15+1 =16 sehingga Sn= 1 x16 {108 +288 }=

12 2

8x396=3.168

G. Barisan Geometri atau Barisan Ukur

Barisan U1, U2, U3, U4,… Un merupakan barisan geometri jika memiliki rasio tetap, yaitu
2 = 3 = 4 = 5 =….= r= rasio

1 2 3 4

Rumus rasio = r=

−1

Rumus suku ke-n (Un) Un= arn-1
U1, U2, U3, U4 ,… Un
a , ar, ar2, ar3, …. arn-1
Jadi rumus suku ke-n barisan geometri adalah

H. Deret Geometri
Deret geometri adalah jumlah suku-suku suatu barisan geometri = Sn

Maka rumus jumlah suku sampai suku ke n adalah Sn = (1− ) atau Sn = ( −1)

1− −1

Barisan Geometri
Suku ke-n = Un= arn-1 dimana a= suku awal atau suku pertama

Jumlah deret Geometri: r= rasio = r=

−1

Sn = (1− ) “Gunakan rumus ini jika harga -1<r<1”

1−

Sn = ( −1)

−1

❖ Rumus Praktis untuk menentukan rasio jika dua suku barisan geometri

diketahui. Misalnya Ua= B dan Uc=D maka r = −√



“Gunakan untuk harga a>c”

14 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

I. Barisan tingkat dua
Rumus umum Un= an2 + bn+ c

Contoh:

a+b+c = 2, 6, 12, 20, 30,

3a +b= +4 +6 +8 +10
2a= +2 +2 +2

Sehingga 2a = 2 maka a=1
3a+b= 4 maka 3(1)+b=4 b=1
a+b+c=2 maka 1+1+c=2 c=0

Rumus suku ke-n dari barisan 2,6,12,20,30, … adalah Un = 1n2+1n+0 = n2+n

INDIKATOR:
8. Menyelesaikan Bentuk Aljabar
9. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan
linier atau pertidaksamaan linier satu variabel.
10. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan himpunan
11. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi

BENTUK ALJABAR

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN SUKU-SUKU SEJENIS
Suku-suku sejenis adalah suku aljabar yang memiliki variabel dengan pangkat yang sama
Suku aljabar dapat dijumlah atau dikurangi jika suku-sukunya sejenis
Contoh:

1. Jumlahkanlah 2a + 3 dan 3(4 – 3a)
2. Kuringilah 2p + 3q dengan 4p – 5q
3. Kurangkanlah 3x – 5 dari 7x – 1
Jawab

15 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

1. 2a + 3 + 3(4 – 3a) = 2a +3 + 12 – 9a = 2a – 9a +3+12 = - 7a + 15
2. 2p+3q – (4p – 5q) = 2p + 3q - 4p + 5q = 2p – 4p +3q + 5q = - 2p +8q

3. 7x – 1 – (3x – 5) = 7x – 1 – 3x + 5 = 7x – 3x – 1+ 5 = 4x +4
PERKALIAN

1. a ( b + c) = ab + ac

2. (a + b) (c+d) = ac + ad + bc + bd
3. (a + b) (a – b) = a2 – b2

4. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
5. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Contoh:
1. 2(x -3)= 2x – 6

2. (2x – 3)(4x+5) = (2x)(4x) +(2x)(5) – (3)(4x) – (3)(5)

= 8x2+10x – 12x - 15
= 8x2 – 2x – 15

3. (3x +5)(3x – 5) = 9x2 – 25

4. (4x + 3y)2 = (4x)2 – 2(4x)(3y) +(3y)2
= 16x2 - 24xy + 9y2

5. (2x - 1 )2 = (2x)2 – 2(2x)( 1 )+ ( 1 )2
2 2
2 1
4 2
= 4x2 - 2 +

PEMFAKTORAN
Pemfaktoran adalah operasi kebalikan dari perkalian

1. ab+ac= a(b+c)
2. a2 – b2= (a+b)(a-b)
3. ax2+bx+c = (px+q)(rx+s) dengan a=pr; b=ps+qr, c=qs
Contoh :
Faktorkanlah 6x2 – x – 15
Jawab:

Rumus ax2+bx+c = ( + )( + ) dengan p+q = b dan pq = ac



6x2 – x – 15 dicari dua bilangan bila dijumlah = -1
dan bila dikali = 6×(-15)= - 90
Bilangan tersebut adalah – 10 dan 9 sehingga

6x2 – x – 15 = (6 −10)(6 +9) =2(3 −5)3(2 +3) =6(3 −5)(2 +3)=(3x- 5)(2x+3)

666

16 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

Contoh:
Tentukan faktor persekutuan antara 6x2 – x – 15 dan 9x2 – 25
Jawab: Faktor persekutuan adalah faktor yang sama dari kedua bentuk aljabar tersebut
6x2 – x – 15=(3x-5)(2x+3) dan 9x2 – 25 = (3x+5)(3x-5)
jadi faktor persekutuannya adalah (3x-5)

PECAHAN ALJABAR

Untuk operasi penjumlahan atau pengurangan harus disamakan penyebutnya

Contoh:

1. 2 − 3 = 2(2 −1)−3(3 −2) = 4 −2−9 +6 = −5 +4
3 −2 2 −1 (3 −2)(2 −1) (3 −2)(2 −1)
(3 −2)(2 −1)

Menyederhanakan pecahan aljabar dengan memfaktorkan

Contoh: Bentuk sederhana dari 2 2−13 +15 adalah ….
2−25

A. 2 −3 B. 2 +3 C. 2 −3 D. 2 +3

−5 −5 +5 +5

Cara Praktis untuk menentukan jawaban adalah mengganti nilai x dengan 0 atau 1.

Jawaban yang benar adalah antara soal dan pilihan harus sama hasilnya

Jika 2 2−13 +15 dengan x= 0 maka hasilnya adalah 15 = − 3
2−25 −25 5

Jawaban A. 2 −3 jika x diganti 0 adalah −3 = 3 TIDAK COCOK berarti A SALAH

−5 −5 5

Jawaban B. 2 +3 jika x diganti 0 adalah 3 = − 3 COCOK berarti B MUNGKIN BENAR

−5 −5 5

Jawaban C. 2 −3 jika x diganti 0 adalah −3 = − 3 COCOK berarti C MUNGKIN BENAR

+5 5 5

Jawaban D. 2 +3 jika x diganti 0 adalah 3 TIDAK COCOK berarti D SALAH

+5 5

KITA KOREKSI B DAN C dengan mengganti nilai x dengan 1

Jika 2 2−13 +15 dengan x= 1 maka hasilnya adalah 2−13+15 = 4= −1
2−25
1−25 −24 6

Jawaban B. 2 +3 jika x diganti 1 adalah 2+3 = − 5 TIDAK COCOK berarti B SALAH

−5 −4 4

Jawaban C. 2 −3 jika x diganti 1 adalah 2−3 = − 1 COCOK berarti C BENAR

+5 1+5 6

17 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

CATATAN
UNTUK MENGEFISIENKAN WAKTU GANTILAH X=1 lebih dahulu

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

1. ax +b = c  ax = c – b x= −



2. ax<b  x < kedua ruas dibagi a bilangan positif maka tanda tidak dibalik



3. ax<b  x > kedua ruas dibagi a bilangan negatif maka tanda dibalik



CATATAN:
Jika persamaan atau pertidaksamaan memuat pecahan maka kalikan semua suku
dengan KPK penyebut

Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 1 (x-5) – 1 < 4x + 3

2 32

Jawab:

1 (x-5) – 1 < 4x + 3

2 32

 1 - 5 - 1 < 4x + 3 (Kedua ruas dikalikan denga KPK 2 dan 3 yaitu 6)
22 32

 3x – 15 – 6 < 8x + 9

 3x – 21 < 8x + 9

 3x – 8x < 21 + 9

 – 5 x < 30 ( Kedua dibagi – 5 sehingga tanda HARUS DIBALIK)

 x>–6

Contoh 2:

Diketahui x adalah penyelesaian dari 3(x+3) + 5 = 2(x+1) – 3. Tentukan nilai dari

2x+1

Jawab:

3(x+3) + 5 = 2(x+1) – 3  3x+9+5 = 2x+2 – 3  3x+14 = 2x – 1

 3x- 2x = – 1 – 14 maka x= -15 jadi nilai 2x+ 1 = 2(-15) +1 = - 29

18 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang didefinisikan dengan jelas
Himpunan bilangan asli = {1,2,3,4,….}
Himpunan bilangan cacah = {0,1,2,3,4….}
Himpunan bilangan bulat = { … – 3, – 2, – 1,0,1,2,3,…}
Himpunan bilangan prima = {2,3,5,7,11,13,….}
Himpunan bilangan genap = {0,2,4,6,8, ….}
Himpunan bilangan ganjil = {1,3,5,7,9,….}
Himpunan bilangan faktor 12 = { 1,2,3,4,6,12}

IRISAN DUA HIMPUNAN
AB adalah suatu himpunan yang beranggotakan himpunan A dan B
Contoh: A= { 1,2,3,4,5} dan B={ 3 ,5, 7, 9} maka AB= {3,5}

GABUNGAN DUA HIMPUNAN
AB adalah himpunan yang beranggotakan himpunan A atau B
Contoh: A= { 1,2,3,4,5} dan B={ 3 ,5, 7, 9} maka AB= {1,2,3,4,5,7,9}

SELISIH DUA HIMPUNAN
A – B adalah himpunan yang beranggotakan hipunan A tetapi bukan anggota B
Contoh: A= { 1,2,3,4,5} dan B={ 3 ,5, 7, 9} maka A–B= {1,2,4}
DIAGRAM VENN
Perhatikan diagram Venn di samping
Tentukan:

1) Himpunan S
2) Himpunan A
3) Himpunan B
4) A  B
5) A  B
6) A – B
7) B – A
Jawaban :
1) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
2) A = {2, 4, 5}
3) B = {1, 3, 4, 6, 7}
4) A B = {4,6}
5) A B = {1, 2, 3, 4, 6, 7}
6) A – B = {2}

19 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

7) B – A = {1,3,7}

HIMPUNAN BAGIAN SUATU HIMPUNAN
Jika A memiliki banyak anggota n maka himpunan bagian dari A adalah 2n
Contoh:
Himpunan A adalah himpunan huruf penyusun kata “matematika”, tentukan banyak
himpunan bagian dari A!
Jawab: A = {m,a,t,e,i,k} maka banyak anggota A adalah 6. Jadi banyak himpunan
bagian dari A adalah 26 = 64
RUMUS BANYAK ANGGOTA DUA HIMPUNAN
n(AB) = n(A)+n(B) – n(AB)
n(ABC) = n(A) + n(B)+ n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) +n(ABC)
n(S) = n (AB) + n (AB)c

Contoh soal:
Dari sekelompok siswa, 15 anak diantaranya gemar bermain voli, 24 anak gemar
bermain basket, 8 anak gemar bermain kedua-duanya, dan 4 anak tidak gemar voli
maupun basket. Banyak anak dalam kelompok itu adalah ….
Jawab:
Himpunan pemaian voli = V maka n(V) = 15
Himpunan pemaian basket = B maka n(B) = 24, dan n(VB) = 8
n(VB) = n(V)+n(B) – n(VB) = 15+24 – 8 = 31
Karena ada 4 orang tidak menjadi anggota V dan B maka banyak dalam kelompok
tersebut ada 31+4 = 35 orang

RELASI DAN FUNGSI

RELASI
Domain : Himpunan daerah asal, Kodomian: Himpunan daerah kawan dan Range adalah

himpunan daerah hasil ( himpunan bagian dari Kodomain yang memiliki pasangan)
Contoh Relasi:
Domain A={2,3,4,5}
A B Kodomain B= {1,2,3,4}

2 1 Range = {2,3,4}

3 2 Keterangan:
4 3 “diagram disamping adalah relasi tetapi
5 4 bukan fungsi

20 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

FUNGSI adalah suatu relasi dengan setiap anggota domain dipasangkan tepat satu
dengan anggota kodomaim.

Notasi fungsi f : x → y=f(x), x anggota domain dan y adalah anggota kodomain
Rumus fungsi adalah aturan untuk menentukan pasangan dari anggota kodomain ke

anggota domain.
f: x → ax +b maka rumus fungsi f(x) = ax+b

Contoh:
1. Jika f(x) = 5x – 1 maka f(-2) = 5(-2) – 1 = - 11
2. Jika f(x) = ax + b dan f(2) = 1, f(–1) = – 5 tentukan f(1)

Jawab:

F(2) = 1 artinya 2a + b = 1*)
F(–1)= – 5 artinya –1a + b = –5 –

3a = 6 maka a= 6/3=2
*) 2a +b =1 maka 2(2) +b = 1 sehingga b=1 – 4 = –3

Jadi rumus fungsi f(x) = ax+b = 2x – 3 sehingga f(1) = 2(1) – 3 = –1

Contoh:
Jika f(x) = 5x – 3 tentukan

1. f(2x+4)
2. f(2x+4) – f(x)

Jawab:
1. f(2x+4) = 5(2x+4) – 3 = 10x +20 – 3 = 10x + 17

2. f(2x+4) – f(x) = (10x + 17) – (5x – 3) = 10x +17 – 5x+ 3 = 5x +20

Contoh: Diketahui f(x) = 3x -1; f(a)= 5 dan f(-1) = b. Tentukan nilai a+b.
Jawab:
f(a) = 5 artinya 3a-1= 5  3a =6 maka a=2
f(-1) = b artinya 3(-1) – 1 = b  - 3 -1 = b maka b= - 4
Jadi nilai a+ b = 2+(-4) = - 2

BANYAK PEMETAAN YANG MUNGKIN DAPAT DIBUAT
Jika A memiliki anggota sebanyak x dan himpunan B memiliki banyak anggota sebanyak y
maka:

1. Banyak pemetaan dari A ke B yang mungkin dapat dibuat adalah yx
2. Banyak pemetaan dari B ke A yang mungkin dapat dibuat adalah xy
Contoh:
A = { 2,3} dan B = {4,5,6} maka banyak anggota A adalah 2 dan banyak anggota B adalah
3
Banyak pemetaan yang mungkin dapat dibuat dari A ke B adalah 32 =9. Dan banyak
pemetaan yang mungkin dapat dibuat dari B ke A adalah 23 = 8

21 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

FUNGSI DALAM DIAGRAM

Untuk menentukan fungsi sebagai berikut:

• Jika diagram Cartesius maka setiap garis vertikal hanya memuat satu titik.
• Jika diagram panah maka setiap anggota himpunan domain/ depan habis

terpasangkan dan tidak boleh anggota domain bercabang ke kanan

• Jika himpunan pasangan berurutan (x,y) maka nilai x tidak boleh diulang untuk
pasangan yang lain

INDIKATOR: 12. Menentukan gradien, persamaan garis, atau grafiknya.
13. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem

persamaan linier dua variabel.
14. Menyelesaikan masalah menggunakan teorema

Pythagoras.
15. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan luas bangun

datar.

Menentukan Gradien, persamaan garis atau grafiknya

A. GRADIEN:
1. Gradien adalah nilai kemiringan suatu garis
➢ Garis dikatakan bergradien positif apabila garis tersebut miring ke kanan (dari kiri
ke kanan naik) perhatikan gambar 1
➢ Garis dikatakan bergradien negatif apabila garis tersebut miring ke kiri(dari kiri ke
kanan turun) perhatikan gambar 2
➢ Garis horisontal memiliki gradien 0 (nol). Perhatikan gambar 3
➢ Garis tidak memiliki nilai gradien ( tidak didefinisikan ) jika garis vertikal. Perhatikan
gambar 4

22 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

Gb_1 Gb_2 Gb_3 Gb_4
Gradien 0 Gradien tidak terdefinisi
Gradien (+) Gradien (- )

2. Nilai gradien BD C

Gradien = m = = ∆ AH
EF
∆
G
(nilai positif atau negatif tergantung kemiringan
garis tersebut)
Contoh:
Tentukankan gradien ruas garis AB, CD,
EF, GH pada gambar di samping!

Jawab: D

B

y=3 y=5

A C

x=2 = + ∆y = + 3 (positif x=2 miring ke kanan)

Gradien AB ∆x 2 karena AB

Gradien CD = – ∆y = – 5 (negatif karena CD miring ke kiri)
∆x 2
Gradien EF = 0 (karena EF horisontal)

Gradien GH tidak didefinisikan karena EF vertikal y

3. Nilai gradien grafik persamaan garis K
Perhatikan gambar di samping!
Tentukan gradien garis K dan gradien garis L 3 L
Jawab: x
2
Gradien garis K = – 3 (negatif karena garis K
1
4 O
1 2 3 45
miring ke kiri) –1

23 |MATEMATIKA_TJ_081392150609 –2

Gradien garis L = 2 (positif karena garis L

3

miring kekanan)

4. Nilai gradien garis melalui dua titik A(x1, y1) dan B (x2,y2)

Gradien AB = mAB = 2− 1
2− 1

Contoh:
Tentukan gradien garis yang melalui titik (2, –3) dan (4,1)!
Jawab:
(2, –3) maka x1= 2 dan y1= –3
(4,1) maka x2= 4 dan y2= 1

m = 2− 1 = 1−(−3) = 4 = 2

2− 1 4−2 2

5. Nilai gradien persamaan garis

Nilai gradien persamaan garis adalah m =



Dengan syarat letak variabel x dan y dipisahkan tanda ”=” dalam persamaan

Contoh:
Tentukan gradien garis

1) 2x = 5y –5 Jawab m= 2

2) 3y–4=–7x 5
3) y=2x+3
Jawab m= −7

3

Jawab m = 2

4) 2x + 3y–8 =0 maka 3y= -2x+8 sehingga m=– 2

3

5) 3x –5y+1 =0 maka 3x = 5y – 1 sehingga m = 3

5

B. PERSAMAAN GARIS
1. Persamaan garis bergradien m dan melalui sebuah titik (x1,y1)

y– y1= m (x –x1)

Contoh:Tentukan persamaan garis bergradien 2 melalui titik (4,-5)!

3

Jawab:

y – y1= m (x–x1) maka y – (–5) = 2 (x –4) sehingga y +5= 2 x – 8

3 33

Kedua ruas dikalikan 3

24 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

3y +15 = 2x – 8
3y–2x +15+8=0
3y – 2x +23 =0

2. Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2, y2)

− 1 = − 1

2− 1 2− 1

Contoh:
Tentukan persamaan garis melalui titik (3,–2) dan (1,4)

Jawab:

(3, –2) maka x1= 3 dan y1= –2

(1, 4) maka x2= 1 dan y2= 4

−(−2) = −3 maka +2 = −3 sehingga
4−(−2) 1−3 6 −2

–2y –4 = 6x –18
–2y–6x =–18+4
–2y–6x =–14 (kedua ruas dibagi –2)
y +3x = 7 atau y+3x–7=0

3. Persamaan garis yang diketahui grafiknya
1) Persamaan garis melalui O(0,0) dan titik A(a,b) seperti grafik berikut!

y Rumus Praktis
A(a,b) y=bx

Ox a

2) Persamaan garis melalui O(0,a) dan titik A(b,0) seperti grafik berikut!

y

a Rumus Praktis
x
ax + by= ab
Ob

Contoh: y
25 |MATEMATIKA_TJ_081392150609
2
x

O3

Tentukan persamaan garis G pada
gambar di samping!

Jawab:
2x + 3y = 2×3
2x + 3y = 6 atau
2x + 3y – 6=0

C. KEDUDUKAN DUA GARIS

1. Dua garis G dan L SALING SEJAJAR apabila gradien garis G = gradien garis L
Misal garis G memiliki persamaan y=m1x + c dan garis L memiliki persamaan
y=m2x+ k maka m1 = m2

Contoh:
Garis G memiliki persamaan y=2x + 5 dan
garis L memiliki persamaan 2y–4x+1=0
Kedua garis tersebut bergradien sama yaitu m = 2

2. Dua garis G dan L SALING TEGAK LURUS apabila gradien garis G dikalikan
gradien garis L samadengan –1

Contoh:
Garis G memiliki persamaan y=m1x + c dan garis L memiliki persamaan y=m2x+ k
maka m1 × m2 = –1

“DENGAN KATA LAIN NILAI M1 DAN M2 SALING BERKEBALIKAN DAN BERBEDA
TANDA”

Misal garis G memiliki gradien 2 dan garis L memiliki gradien – 5 maka kedua garis G

52

dan L saling tegak lurus.

3. Menentukan persamaan garis melalui (a,b) dan sejajar dengan sebuah garis
Contoh:
Tentukan persamaan garis melalui titik (2,–3) yang sejajar dengan garis 4x–
5y+3=0!
Jawab:
Gradien 4x –5y +3 =0 adalah m1 = 4 agar sejajar maka m2 = 4

55

Titik (2,–3) berarti a=2 dan b=–3
y–b = m2(x–a)

26 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

y–(–3)= 4 (x –2)

5

5y+15 =4x –8

5y–4x +15+8=0

5y–4x+23=0 atau kedua ruas dikalikan –1 sehingga persamaannya 4x–5y–23=0
atau konstanta dipindah ke ruas kanan sehingga persamaannya 4x–5y=23

RUMUS PRAKTIS

PERSAMAAN GARIS MELALUI (a,b) SEJAJAR DENGAN Ax+ By +C = 0 ADALAH
Ax+ By= Aa+Bb

Contoh:
Tentukan persamaan garis melalui titik (2,–3) yang sejajar dengan garis
4x–5y+3=0!
Jawab:
4x – 5y = 4(2) –5(–3)
4x – 5y = 8 +15
4x – 5y = 23

4. Menentukan persamaan garis melaui (a,b) dan tegak lurus dengan sebuah garis lain
Contoh:
Tentukan persamaan garis melalui titik (–2,3) tegak lurus dengan garis
4x–5y+7=0!
Jawab:
4x–5y+7=0 memiliki gradien m1 = 4. Agar tegak lurus m2 = – 5

54

“Ingat agar kedua garis saling tegak lurus maka m1 dan m2 nilainya saling
berkebalikan dan berbeda tanda”
y–b =m2(x–a)

y–3 = – 5(x–(–2))

4

y–3 = – 5(x+2)

4

4y–12=–5x–10

5x+4y–12+10=0

5x+4y–2=0

RUMUS PRAKTIS
PERSAMAAN GARIS MELALUI (a,b) TEGAK LURUS
DENGAN Ax+By+C = 0 adalah Bx- Ay= Ba-Ab

27 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

Contoh:
Tentukan persamaan garis melalui titik (–2,3) tegak lurus dengan garis 4x–5y+7=0!
Jawab:
–5x –4y= –5(–2) – 4(3)
–5x–4y =10–12
–5x–4y=–2 jika kedua ruas dikalikan dengan –1 maka persamaannya
5x+4y=2 atau 5x+4y– 2=0

D. MENGGAMBAR GRAFIK PERSAMAAN GARIS y
Contoh:
Gambarlah grafik dengan persamaan 2x–3y +6=0
Jawab:

1) Tentukan titik potong dengan sumbu x syaratnya y=0
 2x –3(0)+6=0 maka 2x= –6 sehingga x=–3
Jadi titik potong dengan sumbu x di (–3,0)

2) Tentukan titik potong dengan sumbu y syaratnya x=0
 2(0) –3y+6=0 maka –3y=–6 sehingga y=2

Jadi titik potong dengan sumbu y di (0,2)

RUMUS PRAKTIS –3 2 x
O
Jika diketahui persamaan garis Ax+By=C maka
Titik potong dengan sumbu X adalah ( , 0)



Titik potong dengan sumbu Y adalah ( 0, )



SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

ax + by =c

px + qy = r
Diselesaikan dengan cara eliminasi kemudian subtitusi

Contoh:
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear

{42 −+5 ==19
adalah {(a,b)}. Tentukan nilai dari 2a +b.
Jawab:

4 − 5 = 9 |×× 12| 4 − 5 = 9
2 + = 1 4 + 2 = 2

28 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

–

−7 = 7 maka y = 7 = –1

−7

dari persamaan 2x + y = 1 maka 2x + (–1) = 1
2x = 2 maka x = 1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(1,–1)} ini berarti a=1 dan b= –1
Jadi 2a + b = 2 (1) +(–1) = 1

TEOREMA PYTHAGORAS

Berlaku: ac
(1) c2 = a2 + b2 atau
(2) a2 =c2 – b2 atau
(3) b2 = c2 – a2

TRIPEL PYTHAGORAS YANG PENTING b

(1) 3, 4, 5 (4) 8, 15, 17

(2) 5, 12, 13 (5) 9, 40, 41
(3) 7, 24, 25 (6) 20, 21, 29

Masing-masing tripel boleh dilipatkan misal: 3,4,5 menjadi 6,8,10 atau 9,12, 15

PERBANDINGAN PANJANG SISI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU DENGAN SUDUT ISTIMEWA

JENIS –JENIS SEGITGA

Diketahui suatu segitiga memiliki panjang sisi a, b, c dan c sisi terpanjang.
Jika (1) c2 = a2 + b2 maka jenisnya segitiga siku-siku

(2) c2 < a2 + b2 maka jenisnya segitiga lancip
(3) c2 > a2 + b2 maka jenisnya segitiga tumpul

29 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

Tripel pythagoras adalah tiga bilangan yang merupakan ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku.
Contoh 3,4,5 atau 5, 12, 13

Jenis-Jenis segitiga menurut sudutnya:
1. Segitiga lancip apabila ketiga sudut dalam segitiga tersebut masing-masing

sudutnya kurang dari 90o
2. Segitiga siku-siku apabila salah satu sudutnya dalam segitiga tersebut besarnya

90o
3. Segitiga tumpul apabila salah satu sudut dalam segitiga tersebut besarnya lebih

dari 90o
Syarat melukis segitiga
Jika a, b, c dan c sisi terpanjang maka agar dapat dilukis c< a+b
Contoh
6,7,9 maka 9 < 6+7 sehingga 6,7,9 dapat dilukis
3,5,9 maka 9 tidak kurang dari (3+5) sehingga 3,5,9 TIDAK dapat dilukis

LUAS BANGUN DATAR

NO NAMA BENTUK BANGUN LUAS KETERANGAN
=s×s S= panjang sisi
BANGUN
P= panjang
1 Persegi L= Lebar

s a= panjang alas
s t= tinggi

2 Persegi = P×L AC= diagonal_1
panjang BD= diagonal_2
L AO=OC
P DO=OB
AB=BC=CD=DA
3 Segitiga t =1 × a× t

t t2

a aa = 1 × AC× BD
D
4 Belah 2
ketupat
C
AO

B
30 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

NO NAMA BENTUK BANGUN LUAS KETERANGAN
BANGUN

5 Layang- D = 1 × AC× BD AC= diagonal_1
layang BD= diagonal_2
2 DO=OB
AO
C

B

6 Jajar D C = AB × DE AB = panjang
genjang alas

DE= tinggi

AE B

7 Trapesium D

C 1 (AB+CD)×DE AB dan CD
B adalah sisi
2 sejajar
DE= tinggi

AE

8 Lingkaran

= ×r2  =22

r 7
OA
r = panjang jari-
jari

31 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

INDIKATOR:

16. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan keliling
bangun datar

17. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
kesebangunan atau kongruensi

18. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan hubungan dua
garis: besar sudut (penyiku atau pelurus)

19. Menyelesaikan masalah yang dikaitkan dengan sudut yang

dibentuk oleh perpotongan sebuah garis pada dua garis yang

sejajar (SEHADAP, DALAM BERSEBERANGAN, DALAM
SEPIHAK, LUAR BERSEBERANGAN, LUAR SEPIHAK)

A. KELILING BANGUN DATAR
Keliling bangun datar adalah jumlah panjang sisi bangun datar

Contoh: p
Keliling persegi panjang= 2(p+l) l

Keliling persegi= 4×s s

B. Kesebangunan s

Dua bangun datar dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama dan

sisi-sisi yang bersesuaian sebanding

Contoh:
Segitiga ABC dengan AB= 3 cm, BC= 4 cm dan AC = 6 cm maka akan sebangun

dengan segitiga PQR dengan PQ= 9 cm, QR= 12 cm dan PR= 18 cm. Perbandingan

sisi-sisi yang bersesuaian adalah = = = 1

3

➢ Model Berskala

Perbandingan ukuran –ukuran pada model dan sesungguhnya yang sesuai memiliki
perbandingan sama.

Contoh :

Tinggi rumah pada foto = Tinggi jendela pada foto
Tinggi rumah sebenarnya Tinggi jendela sebenarnya

32 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

➢ Dua buah bangun dikatakan sebangun bila dipenuhi syarat:
(1) Semua sudut yang bersesuaian sama besar
(2) Sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama

CQ

R
AB

Segitiga ABC Segitiga PQR Keterangan P
A Q Sama besar
B R Sama besar PERBANDINGAN
C P Sama besar
= =



➢ Jika dua buah persegi panjang ABCD dan KLMN sebangun maka berlaku:

NM
DC

KL

AB

Panjang CD Lebar BC Panjang CD Panjang MN
Panjang MN = Lebar LM ATAU Lebar BC = Lebar LM

Kesebangunan pada trapesium

bq

a cp r

d

Jika kedua trapesium itu sebangun maka bserlaku rumus:


= = =

33 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

➢ Kesebangunan pada segitiga yang memiliki garis-garis sejajar ac
Berlaku perbandingan sebagai berikut: e

(1) a = c
bd

(2) a = c = e
a+b c+d f

➢ Perbandingan dua segitiga yang memiliki sudut berimpit b d
Berlaku rumus : f u

p rt p q
r +s = p +q = u r
➢ Rumus praktis t
p
a x r s
b y
z

➢ Kesebangunan pada segitiga siku-siku:: tq
s
(1) t2 = p  q

(2) r2 = p(p+q)
(3) s2 = q(p+q)

➢ Kesebangunan pada segitiga yang memuat sisi sejajar dan memiliki sudut bertolak
CD
belakang

Pasangan sisi mempunyai E
B
perbandingan sama yaitu: DE = CE = CD
AE BE AB

A

34 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

➢ RUMUS PRAKTIS

Diketahui trapesium dan titik P dan Q adalah titik tengah AC dan BD

PQ = − D C
2 P Q

➢ RUMUS PRAKTIS A B

t j Panjang p = ×
+
p

➢ Sisi- sisi yang bersesuaian pada kesebangunan segitiga siku-siku

Ada 3 pasang segitiga yang sebangun D
1. Segitiga ABC dan segitiga ACD
C
Pasangan sisi yang sesuai adalah: B
AB dan AD karena terletak di depan sudut siku-siku
BC dan AC karena terletak di depan sudut
AC dan CD karena terletak di depan sudut

2. Segitiga ABC dan segitiga ABD A
Pasangan sisi yang sesuai adalah:
AB dan BD karena terletak di depan sudut siku-siku
BC dan AB karena terletak di depan sudut
AC dan AD karena terletak di depan sudut

3. SegitigaACD dan segitiga ABC
Pasangan sisi yang sesuai adalah
AD dan BD karena terletak di depan sudut siku-siku
AC dan AB karena terletak di depan sudut
CD dan AD karena terletak di depan sudut

35 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

C. KONGGRUEN

Dua buah bangun dikatakan kongruen jika kedua bangun tersebut memiliki bentuk dan
ukuran yang sama. Sudut yang sama terletak di depan sisi yang sama atau sisi yang
sama terletak di depan sudut yang sama.

D. SEGITIGA-SEGITIGA KONGRUEN
1. KONGRUEN PADA SEGITIGA

Dua buah bangun dikatakan sebangun apabila bentuk dan ukurannya sama

➢ Dua segitiga dikatakan kongruen jika
memenuhi syarat sebagai berikut:
a. Panjang sisi-sisi kedua segitiga
tersebut memiliki ukuran yang
sama (sisi, sisi, sisi)

b. Dua sisi pada segitiga pertama
sama dengan dua sisi pada
segitiga kedua, dan kedua sudut
apitnya sama (sisi, sudut, sisi)

c. Jika dua segitiga satu sudutnya
yang bersesuaian sama besar dan
dua sisi yang bersesuaian,yaitu
satu sisi tempat terletaknya sudut
tersebut dan sisi yang lain terletak
di depan sudut tersebut adalah
sama panjang (sudut, sisi, sisi)

d. Dua sudut dalam segitiga pertama
sama dengan dua sudut dalam
segitiga kedua. Sisi yang menjadi
salah satu kaki sudut-sudut itu
sama ( sudut, sisi, sudut)

e. Jika dua segitiga satu sisinya yang
bersesuaian sama panjang dan dua
sudut yang bersesuaian, yaitu satu
sudut terletak di sisi tersebut dan
sudut yang lain terletak di depan

36 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

sisi tersebut adalah sama besar
(sisi, sudut, sudut).

Catatan:

Dalam dua segitiga yang kongruen sisi-sisi yang sama panjang terletak di depan
sudut yang sama besar, dan sudut-sudut yang sama besar terletak di depan sisi-sisi
yang sama panjang.

E. SUDUT BERPENYIKU DAN BERPELURUS
Dua sudut x dan y dikatakan saling berpenyiku jika xo + yo= 90o
Dua sudut x dan y dikatakan saling berpelurus jika xo + yo= 180o

yo yo xo
xo

x dan y saling berpenyiku x dan y saling berpelurus
x+y =90o x +y = 180o
y= 180o - xo
atau y = 90o - xo

F. SUDUT YANG DIBENTUK OLEH SEBUAH GARIS YANG MEMOTONG DUA GARIS
SEJAJAR

1. Perhatikan gambar di
samping!
Sudut –sudut yang bertanda
sama memiliki ukuran sudut
yang sama

2. Nama-nama sudut
Pasangan sudut sehadap antara lain
sudut A1=B1; sudut A2=B2
Pasangan sudut dalam berseberangan
antara lain sudut A3=B1

37 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

Pasangan sudut luar berseberangan
antara lain sudut A4 = B2
Pasangan sudut dalam sepihak antara lain sudut A3 dan B1
Pasangan sudut luar sepihak antara lain sudut A4 dan B3
3. Perhatikan gambar di
samping!
bo = ao + co

4. Perhatikan gambar di
samping!
xo + yo + zo = 360o

G. SUDUT-SUDUT PADA SEGITIGA
Perhatikan gambar di samping!
ao + bo + co = 180o
xo + yo + zo = 360o
xo = ao + co
yo = ao + bo
zo = bo + co

INDIKATOR:
20. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan unsur-
unsur/bagian-bagian lingkaran atau hubungan dua
lingkaran
21. Menentukan unsur-unsur pada bangun ruang
22. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kerangka
atau jaring-jaring bangun ruang.

38 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

A. Unsur-unsur/bagian-bagian lingkaran atau hubungan dua lingkaranC
Unsur-unsur lingkaran:
1. Jari-jari = OA D B
A
2. Diameter AE O I
3. Juring BOC E
4. FG = panjang tali busur B
5. Busur FGH

6. Daerah diarsir FGH adalah tembereng D F H
E G
➢ Rumus-rumus
Luas lingkaran = r2 O
Keliling lingkaran = 2r

Panjang busur ED = 3E6O0oD× keliling lingkaran F H A
Luas juring EOD = 3E6O0oD× Luas lingkaran G
Luas tembereng FGH = Luas juring FOH – Luas OFH

➢ Hubungan sudut pusat, panjang busur dan Luas juring

O

 = = D C
B


B. HUBUNGAN SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING

Sudut BOC adalah sudut pusat lingkaran O C
Sudut BAC adalah sudut keliling lingkaran A
Besar sudut pusat = 2 sudut keliling
Sudut BOC = 2  sudut BAC

Contoh: B
Perhatikan gambar Diketahui sudut AOB 100o.
O
Tentukan sudut BCD D
Jawab:
sudut pusat BOC = 180o – 100o=80o A C

Jadi sudut keliling BCD = ½ x80o=40o B C

Sudut-sudut keliling yang menghadap busur O D
sama memiliki ukuran sudut yang sama A
39 |MATEMATIKA_TJ_081392150609
E

Besar sudut E = Besar sudut A = Besar sudut B C
Karena sudut-sudut tersebut menghadap busur CD

B

Besar sudut keliling yang menghadap AO D
diameter adalah sudut siku-siku
Besar sudut B dan C adalah 90o atau siku-siku

C. Unsur – unsur pada bangun ruang

➢ Unsur-unsur pada bangun ruang sisi lengkung

1. Kerucut A T
OT = tinggi O
AB = diameter
OB = jari-jari B
TB = garis pelukis
Memiliki 1 rusuk berbentuk lingkaran AB
Alas berbentuk lingkaran
Selimut kerucut berbentuk juring lingkaran
Memiliki dua sisi yaitu alas dan selimut

2. Tabung tinggi
Memiliki dua rusuk berbentuk lingkaran
Memiliki tiga sisi: alas, selimut dan tutup

3. Bola diameter
Memiliki 1 sisi
Tidak memiliki sudut
Tidak memiliki rusuk

4. Bangun ruang sisi datar

Bangun ruang Unsur-unsur

1. Dibatasi 6 persegi yang kongruen
2. Ada 8 titik sudut

3. Ada 12 rusuk sama panjang ( panjang kerangka)

4. Ada 12 diagonal sisi/ diagonal bidang
5. Ada 4 diagonal ruang

6. Ada 6 bidang diagonal
7. Bidang diagonal berbentuk persegipajang

Kubus

40 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

Bangun ruang Unsur-unsur

T 1. Diabatasi oleh tiga pasang kongruen
P 2. Ada 8 titik sudut

Balok 3. Ada 12 rusuk. Panjang kerangka balok
=4P+4L+4T
G
E L 4. Ada 12 diagonal sisi/ diagonal bidang
5. Ada 4 diagonal ruang
C
6. Ada 6 bidang diagonal

7. Bidang diagonal berbentuk persegipanjang

Pada prisma segi-n

1. Banyak sisi = n+2

2. Titik sudut = 2n
F 3. Banyak rusuk = 3n

4. Diagonal sisi = n(n-1)
5. Bidang diagonal = n(n-3)

6. Panjang kerangka = jumlah rusuk

A PRISMA B
T
Pada limas segi_n
DC 1. Banyak sisi = n+1
OE 2. Banyak titik sudut = n+1
3. Banyak rusuk = 2n
AB 4. Sisi tegak segitiga TAB, TBC, TCD, TAD
5. Rusuk tegak TA, TB, TC, TD
6. Tinggi sisi tegak TE
7. OT = tinggi limas

5. Kerangka bangun datar T
Kerangka bangun datar adalah jumlah panjang rusuk

Contoh: DC
Kerangka kubus = 4× s
Kerangka balok = 4(p+l+t)

A OE
B

Kerangka limas = Jumlah rusuk alas + Jumlah rusuk tegak
= AB+BC+CD+DA+TA+TB+TC+TD

41 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

6. Jaring-jaring kubus ada 11 buah

7. Jaring-jaring balok ada banyak
Contoh:

INDIKATOR: 23. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan volume
bangun ruang.

24. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan luas
permukaan bangun ruang.

A. Volume dan luas bangun ruang sisi datar
1) KUBUS

➢ Misal panjang rusuk kubus = AB= s

➢ Panjang diagonal sisi/ diagonal bidang BG = d= s √2 H G
D F
➢ Panjang diagonal ruang HB = k= s √3 kd
➢ Luas kubus = 6×s2 ATAU
➢ Luas kubus = 6× ( d )2= 6× d2= 3d2 ATAU E C
B
√2 2

➢ Luas kubus = 6× ( k )2= 6× k2 = 2k2

√3 3

➢ Volume kubus = s × s × s

42 |MATEMATIKA_TJ_081392150609 A

➢ Panjang seluruh rusuk kubus = 12 × s
➢ Luas BIDANG DIAGONAL kubus BDHF = s2√2

2) BALOK

➢ Luas permukaan balok = 2× (pl +pt + lt) E H G
➢ Volum balok = p×l×t A F
➢ Panjang kerangka balok = 4×( p+ l+ t ) D
t
➢ Panjang diagonal balok HB = √ 2 + 2 + 2 p
BlC

3) PRISMA:
Nama prisma disesuaikan dengan bentuk alasnya

HG F
D E

E F
DC C

AB A Primsa segitiBga Prisma segienam
Prisma trapesium
➢ Volume prisma = Luas alas × tinggi

➢ Catatan:

➢ Luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi ”s” = 1 s2√3

4

➢ Luas segienam beraturan dengan panjang sisi ”s” = 3 s2√3

2

➢ Luas selimut prisma = keliling alas × tinggi

➢ Luas prisma = Luas selimut prisma + 2 × luas alas

4) LIMAS
Nama prisma disesuaikan dengan bentuk alasnya.

panjang Limas persegi T Limas persegi
➢ OT = tinggi limas O
➢ ET = tinggi sisi tegak limas D T
➢ TA= TB=TC=TD= rusuk tegak
➢ Segitiga TAB, TBC, TCD, C D
E
TAD adalah sisi tegak limas O
BA B
➢ Volum limas = 1 Luas alas × tinggi A

3 C
E
43 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

➢ Luas selimut limas = jumlah luas sisi tegak
➢ Luas limas = Luas selimut limas + Luas alas
5) TABUNG

r2

t

Luas selimut= 2rttinggi t

r

2r

d

➢ Tabung memiliki 3 sisi (alas, tutup dan selimut) r2

➢ Tabung memiliki 2 rusuk berbentuk lingkaran
➢ Selimut tabung berbentuk persegi panjang

➢ Luas selimut tabung = 2rt = dt

➢ Luas alas = luas tutup= luas lingkaran = r2

➢ Luas tabung tanpa tutup = luas alas +luas selimut = r2 + 2rt

➢ Luas permukaan tabung = luas alas + luas tutup+ luas selimut

= 2r2 + 2rt = 2r (r+t)

➢ Volum tabung = Luas alas × tinggi = r2 t

6) BOLA r

Unsur–unsur bola
➢ Memiliki satu sisi
➢ Tidak memiliki titik sudut maupun rusuk
➢ Luas bola = 4r2
➢ Volume bola= 4 r3

3

➢ Luas setengah bola kosong = 2r2

44 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

➢ Luas setengah bola padat = 3r2

7) KERUCUT

Kerucut memiliki 2 sisi ( alas dan selimut) T

➢ Kerucut memiliki 1 rusuk berbentuk lingkaran s

➢ Selimut kerucut berbentuk juring
➢ AB = diameter
s
➢ OA= OB = jari-jari B

➢ TA=TB = garis pelukis

➢ OT = tinggi 2r A O
➢ Luas alas = r2
➢ Luas selimut = rs

➢ Luas kerucut = rs + r2= r (s+r)

➢ Volume kerucut = 1 × luas alas × tinggi r2
3
= 1 r2t
3
➢ Hubungan antara sudut  juring dengan s(apotema atau garis pelukis), dan

jari–jari alas kerucut r adalah 360 =

➢ Hubungan antara garis pelukis (s), tinggi kerucut (t) dan jari–jari alas (r) adalah
s2 = r2 + t2

8) CATATAN

➢ Perbandingan volume tabung, bola dan kerucut yang berjari–jari sama dan
tingginya 2 kali jari–jari

t = 2r Volume tabung: volume bola: volume
kerucut seperti pada gambar di samping

adalah 3 : 2 : 1

r Luas bola : Luas selimut tabung = 1 : 1

Luas bola : Luas tabung = 2: 3
Luas bola : Luas tabung tanpa
t = 2r tutup=4:5

45 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

➢ Kenaikan tinggi zat air apa bila sebuah benda dimasukkan ke dalam zat cair
tersebut.

Kenaikan tinggi zat cair =



Contoh:

Kenaikan tinggi air =
volume dua bola DIBAGI luas
alas tabung

t naik

INDIKATOR:
25. Menentukan ukuran pemusatan atau menggunakannya dalam

menyelesaikan masalah sehari-hari.
26. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penyajian

atau penafsiran data.

A) PENGERTIAN

Statistika adalah Pengetahuan yang berhubungan dengan cara–cara
pengumpulan data, pengolahan atau penganalisisannya dan penarikan
kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisisan yang
dilakukan.

Populasi adalah himpunan semua objek yang sedang diteliti

46 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

Sampel adalah himpunan bagian dari populasi yang benar–benar diteliti dalam
sebuah penelitian. Sampel yang baik harus representatif (mewakili
populasi) dan memiliki sifat yang homogen (sejenis)

B) PENYAJIAN DATA

DATA TUNGGAL

Nilai Ulangan Harian Operasi Aljabar Matematika di SMP Suka Maju kelas IX A sebagai
berikut:

50, 60, 70, 70, 80, 80, 100, 90, 80, 70,
70, 80, 60, 50, 60, 70, 60, 90, 80, 70
50, 60, 70, 70, 90, 80, 100, 50, 60, 90,
90, 50, 60

Jika data tersebut disajikan dalam tabel data tunggal sebagai berikut:

Nilai 50 60 70 80 90 100

Frekuensi 578652

Dari tabel di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:
Nilai terendah 50 dan nilai tertinggi 100

Banyak siswa yang mendapat nilai 50 ada 5 siswa, banyak
siswa yang mendapat nilai 60 ada 7 siswa dst.

Frekuensi tertinggi terdapat pada nilai 70 ada 8 siswa.

DIAGRAM BATANG

Data penjualan beras
dari toko sembako pada
lima hari minggu
pertama bulan januari.

47 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

DIAGRAM LINGKARAN

Dalam pemilihan Ketua OSIS terdapat 4 calon yaitu Bayu, Andi
Andi, Ayu dan Soni. Ada 180 peserta pemilih dan
diperoleh data sebagai berikut: Bayu 150o
– Bayu dipilih oleh 35 orang. Digambar 70o

dengan juring bersudut pusat 35 × 50o Ayu

180 Soni

360o = 70o
– Andi dipilih oleh 75 orang. Digambar

dengan juring bersudut pusat 75 ×

180

360o = 150o
– Ayu dipilih oleh 45 orang. Digambar

dengan juring bersudut pusat 45 ×

180

360o = 90o
– Soni dipilih oleh 25 orang. Digambar

dengan juring bersudut pusat 25 ×

180

360o = 50o

Diagram lingkaran dapat juga dinyatakan

dengan persen.
Dalam surve 80 kali kecelakaan lalu lintas

dengan kendaraan bersepeda motor dibulan
Januari diperoleh data sebagai berikut:
Melanggar
– 20 kali karena mengantuk.
rambu lalin
Digambar dengan juring 20 × 100% = Menggunaka
25% n HP 18,75%
80 6,25%

– 30 kali karena berkendaraan sambil 37,5% Lain lain

menggunakan HP. Digambar dengan juring 30 Mengantuk

80 M1in2u,m5%an 25%

× 100% = 37,5% keras

– 10 kali karena pengaruh minuman keras.

Digambar dengan juring 10 × 100% =

80

12,5%

– 15 kali karena melanggar rambu–rambu lalu

lintas.

Digambar dengan juring 15 × 100% =

80

18,75%

– 5 kali karena lain–lain.

48 |MATEMATIKA_TJ_081392150609

Digambar dengan juring 5 × 100% = 10Hasil kopi (ratusan ton)
9 2004
80 8 2005
7 2006
6,25% 6 2007
5 2008
DIAGRAM GARIS 2009
4
Diagram hasil panen kopi di
suatu daerah tahun 2004 – 2009 0
sebagai berikut.
– Kenaikan hasil kopi tertinggi Tahun

terjadi pada tahun 2006
– Kenaikan hasil kopi pada

tahun 2005 adalah
6−4 × 100% = 50%

4

– Penurunan hasil kopi pada
tahun 2007 adalah
10−6 × 100% = 40%

10

UKURAN PEMUSATAN

1. Mean atau Nilai rata–rata

Rata–rata = ℎ



Contoh:
Diberikan data tinggi 10 anak
160, 155, 158, 165, 162, 160, 150, 170, 162, 158
Rata–rata = 160+155+158+165+162+160+150+170+162+158

10

= 1.600

10

= 160
➢ Rata –rata gabungan
Diketahui
Kelompok 1 memiliki banyak data n1 dan rata–rata ̅ ̅ 1̅
Kelompok 2 memiliki banyak data n2 dan rata–rata ̅̅ 2̅
Kelompok 3 memiliki banyak data n3 dan rata–rata ̅ ̅ 3̅
Dan seterusnya

49 |MATEMATIKA_TJ_081392150609