h-amat0503_diak-mf_2felev

törtek

0567. Törtekről tanultak
összefoglalása

Készítették: BENCZÉDY-LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

52 matematika „A” – 5. évfolyam – 056. törtek tanulói munkafüzet

1. FELADATLAP

1. Milyen törtszámokat jelölnek a betűk az alábbi számegyenesen?

0b a 1c d e

2. Mindegyik rajz egy egészet jelent! Írd az egyes ábrák alá, hogy mennyit ér a beszínezett rész!

a) b) c) d)

3. Mindegyik rajz egy egészet jelent! Színezd be az 1 részüket!
4

a) b) c)

4. Írd be a megfelelő helyre a következő töreteket!

1 ; 7 ; 3 ; 9 ; 4 ; 5 .
2 3 4 9 5 4

1-nél nem kisebb

1-nél nem nagyobb

5. Rakd ki a megfelelő relációjeleket (<, >, =)!

a) 2 5 b) 5 5 c) 3 2 d) 4 3
6 3 3 4 4 6 5 5

6. Bővítsd a következő törtet! Milyen egész számokat jelölnek a betűk?

3 = a = 6 = 15 = d = 9 a = ……; b = ……; c = ……; d = ……; e = ……
4 12 b c 7 e

tanulói munkafüzet 0567. Törtekről tanultak összefoglalása 53

7. Végezd el a következő műveleteket! Ahol lehet, egyszerűsítsd az eredményt, illetve írd fel vegyes-
tört alakban is!

a) 4 ·3=
3

b) 12 : 6 =
5

c) 2 + 5 ·3=
3 9

d) 7 – 1 :5=
10 5

8. L aci szüleinél a könyvszekrény legfelső polcán a történelmi könyvek vannak, a középső polcon a

természettudományos könyvek, míg a legalsón a sportkönyvek. A legfelső polcon az összes könyv

5 része, a középsőn az 1 része található. 30 darab sportkönyv van.
12 3

a) Hány könyve van Laci szüleinek?
b) Hány darab történelmi, illetve természettudományos könyvük van?
c) Könyveik hányad része sportkönyv?
d) Kérdezz te is! Mit tudhatsz még meg a feladatból?



törtek

0568. Esélylatolgatás
kísérletek, játékok
tapasztalatai alapján

Készítette: GIDÓFALVI ZSUZSA

56 matematika „A” – 5. évfolyam – 056. törtek tanulói munkafüzet

TUDNIVALÓ

Azt a számot, amely megmutatja, hogy a kísérlet során hányszor dobtunk 1-est, az 1-es dobás gyakoriságá-
nak nevezzük.

1. FELADATLAP

1. Tapasztalatgyűjtés a kockadobálásról.
a) Dobj fel egy szabályos dobókockát és jegyezd le a dobás eredményét a füzetedbe! Ismételd meg

ezt annyiszor, ahányszor csak tudod 3 perc alatt!
b) Számold össze, hogy melyik pontot hányszor dobtad! Töltsd ki a táblázatot!

1-est dobtam 2-est dobtam 3-ast dobtam 4-est dobtam 5-öst dobtam 6-ost dobtam

2. Mit gondolsz, melyik szám hányszor fordul elő a következő kísérletek során?

A kísérle- 1-es 2-es 3-as 4-es 5-ös 6-os
tek száma

becslés
10

kísérlet

becslés
100

kísérlet

1000 becslés
kísérlet

10 000 becslés
kísérlet

3. T ippeld meg, melyik szám hányszor fog előfordulni, ha 50-szer feldobsz egy szabályos dobókoc-
kát!

A kísérlet elvégzése után számold össze az egyes kimenetek gyakoriságát, és ennek alapján töltsd
ki a táblázat 2. sorát! Figyeld meg, mennyit tévedtél! Mi okozta a tévedésedet?

Kimenet 123456

Tipp
Gyakoriság
a kísérlet során
Tévedés

tanulói munkafüzet 570568. Esélylatolgatás kísérletek, játékok tapasztalatai alapján

Dobj 50-szer a játékkockával, és a dobások eredményét jegyezd fel a következő táblázatba!

Dobások száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dobások kimenete

Dobások száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dobások kimenete

Dobások száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dobások kimenete

Dobások száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dobások kimenete

Dobások száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dobások kimenete

4. Tippeld meg, hogy a fej és az írás hányszor fog előfordulni, ha 50-szer feldobsz egy pénzérmét!

Kimenet Fej Írás
Tipp
Gyakoriság
Tévedés

Dobj 50-szer egy pénzérmével, és a dobások eredményét jegyezd fel:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TUDNIVALÓ

Az előző kísérletek jól mutatták, hogy a kísérletek végzésekor nem csak az lehet a fontos, hogy egy esemény
hányszor következett be, hanem azt is jó tudnunk, hogy hány kísérletet végeztünk. Így viszonyítani tudjuk
a vizsgált esemény gyakoriságát a kísérletek számához, úgy, hogy megállapítjuk, az elvégzett kísérleteknek
hányad részében következett be a megfigyelt esemény.

58 matematika „A” – 5. évfolyam – 056. törtek tanulói munkafüzet

5. Elvégeztettük számítógéppel a kockadobás kísérletét 10-szer és aztán 100-szor. Az egyes esemé-
nyek gyakoriságait táblázatba gyűjtöttük.

a) Sejtsd meg, milyen lesz 1000 kísérletnél a gyakoriság sora!
b) Viszonyítsd a gyakoriságot a kísérletek számához! Számítsd ki, a kísérletek hányad részében

dobtunk 1-est, 2-est, stb.!

Kimenet 1 2 3 4 5 6 Elvégzett kísérletek
Gyakoriság száma

312112 10

gyakoriság 312
10 10 10
kísérletek száma

Gyakoriság 18 17 12 17 19 17 100

gyakoriság 18
kísérletek száma 100

Gyakoriság 163 165 157 182 166 167 1000
becslése 1000

Gyakoriság
a kísérletben

gyakoriság 1000
kísérletek száma

10 dobásból
4

3
2

1

0 1-es 2-es 3-as 4-es 5-ös 6-os

tanulói munkafüzet 590568. Esélylatolgatás kísérletek, játékok tapasztalatai alapján

100 dobásból
20
15
10

5
0 1-es 2-es 3-as 4-es 5-ös 6-os

1000 dobásból
200

150

100

50

0 1-es 2-es 3-as 4-es 5-ös 6-os

6. a) Gondold el, hogy két játékkockával dobsz egyszerre. Szerinted melyik esemény bekövetkezésé-
nek van nagyobb esélye:

– a dobott pontok összege páros;
– a dobott pontok összege páratlan?
Mit gondolsz, van-e különbség a fenti események bekövetkezési esélyében aszerint, hogy egy

kockával dobsz kétszer egymás után, és a dobott pontokat összeadod, vagy két kockával dobsz
egyszerre, és vizsgálod az összes pontot? A sejtésed szerint tippeld meg, 100 kísérletből melyik
esemény hányszor fog bekövetkezni!

Tipp: Egy kockával 2-szer Két kockával egyszerre
100 kísérletből
Páros összeg
Páratlan összeg

Kísérlet: Egy kockával 2-szer Két kockával egyszerre
100 kísérletből
Páros összeg
Páratlan összeg

60 matematika „A” – 5. évfolyam – 056. törtek tanulói munkafüzet

b) Hányféleképpen érhető el, hogy az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számok közül kiválasztott két szám összege
páros illetve páratlan legyen?

Színezd a táblázat megfelelő mezőjét kékkel, ha az összeg páratlan, pirossal, ha az összeg
páros!
123456
1
2
3
4
5
6

7. E hhez a játékhoz szükség lesz egy dominókészletre.
Rajzoljatok a füzetetekbe egy 10 lépéses játéktáblát!

START CÉL

Válasszatok egyet az alábbi állítások közül!
1. A dominó mindkét felén páros számú pötty van.
2. A dominón összesen páros számú pötty van.
3. A dominó két felén ugyanannyi pötty van.
4. A dominón összesen 10-nél több pötty van.
5. A dominó két felén található számok szorzata páros.
6. A dominó két felén található számok szorzata páratlan.
Keverjétek össze a lefordított dominókat! A játék során egy dominót húz a sorra kerülő játékos.
Azok a játékosok léphetnek a saját játéktáblájukon, akiknél lévő állítás igaz a kiválasztott domi-
nóra. Az a játékos nyer, aki leghamarabb ér a célba.
Beszéljétek meg, igazságos volt-e a játék!

8. Készítsen magának minden játékos egy zacskóba néhány golyót a Babylon-készletből!
1. játékos: 3 kék, 3 piros
2. játékos: 3 kék, 2 piros
3. játékos: 2 kék, 2 piros
4. játékos: 2 kék, 1 piros
5. játékos: 2 kék, 3 piros
6. játékos: 1 kék, 3 piros
Mindenki a saját zacskójából húz egy golyót becsukott szemmel.
Aki pirosat húz, az kap egy pontot.

a) Sejtitek-e, hogy 10 játék után ki fog nyerni?
b) Azt is tippeljétek meg, kinek, hány pontja lesz!
c) Játsszatok!
d) Magyarázzátok meg, miért nem igazságos a játék!

9. Két dobókockával dobva a legkisebb összeg 2, a legnagyobb 12 lehet.
a) Tervezzetek igazságos játékszabályt, melyik játékos milyen dobásoknál kap pontot!
b) Játsszatok!
A játék során is úgy tapasztaltátok, hogy igazságos volt a kitalált játékszabály? Ha nem, akkor

módosítsatok a szabályon!

PONTHALMAZOK

0571. Két pont, két
ponthalmaz, pont és egyenes
távolságának meghatározása

Készítették: JAKUCS ERIKA, MAKARA ÁGNES

62 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

1. Feladatlap

1. Milyen messze van egymástól a két gyerek? Mérd meg mérőszalaggal a gyerekek távolságát!

2. R akj ki a padra 10 piros és 10 kék korongot az ábra szerinti elrendezésben! Nevezzük a piros koron-
gokat „piros pontoknak”, a kék korongokat pedig „kék pontoknak”!

Mérd meg, milyen messze van a piros pontokból álló „folt” a kék pontokból álló folttól”!
3. A korongokat most így helyezd el! Most milyen messze van a piros pontokból álló „folt” a kék pon-

tokból álló „folttól”?

2. FELADATLAP

1. Tegyél ki egy fehér korongot (fehér pont)! A fehér ponttól 15 cm-re helyezd el a piros pontokat!
Mondj igaz állításokat a piros pontok elhelyezkedéséről!

2. Helyezd el a zöld korongokat (zöld pontokat) úgy, hogy a fehér ponttól 15 cm-nél közelebb legye-
nek! A kékeket úgy rakd le, hogy a fehér ponttól 15 cm-nél távolabb legyenek! Mondj igaz állításo-
kat arról, hogyan helyezkednek el a zöld, és hogyan a kék pontok!

3. Tegyél ki a padra egy hurkapálcát, és képzeld azt, hogy ez egy egyenes! Helyezz el egy fehér pontot
az egyenes (hurkapálca) mellé! Mérd meg a pont távolságát az egyenestől! Hogyan mérted?

4. A piros pontokat tedd le az egyenestől 15 cm távolságra! Hogyan helyezkednek el a piros pontok?

tanulói munkafüzet 630571. Két pont, két ponthalmaz, pont és egyenes távolságának…

5. A kék pontokat helyezd el úgy, hogy az egyenestől (hurkapálcától) kevesebb, mint 15 cm-re, a zöl-
deket pedig úgy, hogy az egyenestől több mint 15 cm távolságra legyenek! Fogalmazd meg, mit
látsz!

6. Vegyél elő egy fehér korongot (fehér pont)! Ez a „kiválasztott” pont.
Tegyél a padodra egy hurkapálcát, és képzeld azt, hogy ez egy egyenes! Helyezd el a fehér pontot

az egyenestől 10 cm-re!
Helyezd el a zöld korongokon megjelölt pontokat úgy, hogy az egyeneshez is és a fehér ponthoz is

közelebb legyenek, mint 10 cm! Ez a zöldek birodalma.
Helyezd el a piros pontokat az egyenestől 10 cm távolságra, a kék pontokat a fehér ponttól 10 cm

távolságra! Figyeld meg, ezekhez képest hol találhatók a zöld pontok!

7. A fehér pont lassan távolodik az egyenestől. A többi pont együtt mozog vele úgy, hogy közben
teljesüljön a zöldekre, hogy a fehér ponthoz és az egyeneshez is közelebb legyenek, mint 10 cm.

Figyeld meg, mi történik!

Emlékeztető

Két pont távolsága az őket összekötő szakasz hossza.
Pontokból álló „foltok” távolsága (ezt úgy is szokás mondani: ponthalmazok távolsága) a két halmaz pontjait
egyenként összekötő szakaszok közül a legrövidebb szakasz hossza.

Egy pont távolsága a ponthalmaztól az összekötő szakaszok közül a legrövidebb szakasz hossza.

64 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

Ha két ponthalmaznak van közös pontja, akkor távolságuk 0.

A pont távolsága az egyenestől: a pontból az egyenesre állított merőleges szakasz hossza.

8. a) Színezd a síkon
pirosra az e egyenestől 2 cm távolságra lévő pontokat;
kékre azokat a pontokat, amelyek e-től 2 cm-nél nagyobb távolságban vannak;
zöldre azokat a pontokat, amelyek e-től 2 cm-nél kisebb távolságra vannak!

P
e

b) Színezd a síkon
pirosra a P ponttól 2 cm távolságra lévő pontokat;
kékre azokat a pontokat, amelyek P-től 2 cm-nél nagyobb távolságra vannak;
zöldre azokat a pontokat, amelyek P-től 2 cm-nél kisebb távolságra vannak!

EMLÉKEZTETŐ

A síkban egy adott ponttól megadott, egyenlő távolságra lévő pontok egy körvonalat alkotnak. (A sík adott
pontja a kör középpontja: K. Az adott távolságot a kör sugarának nevezzük, és r betűvel szokás jelölni.)

K

tanulói munkafüzet 650571. Két pont, két ponthalmaz, pont és egyenes távolságának…

Azok a síkbeli pontok, amelyek a kör középpontjától a megadott távolságnál nincsenek messzebb, körlapot
alkotnak.

K

Adott egyenestől adott távolságra lévő pontok a síkban az adott egyenessel párhuzamos egyenespárt alkot-
nak, amelyek között középen halad az eredeti egyenes.

e

Azok a pontok, melyek egy egyenestől egy megadott távolságnál nincsenek messzebb, egy síksávot alkot-
nak.

e

3. FELADATLAP

1. a) Állapítsd meg földgömb segítségével, hogy milyen messze van az Egyenlítőtől Budapest!
b) Rajzolj a gömbre egy főkört és egy pontot! Hogyan mérnéd meg a pont és a főkör távolságát?

Végezd el a mérést!
c) Rajzolj olyan pont-főkör párt a gömbre, melyek esetében nem egyértelmű, hogy melyik főkör

mentén mérjük távolságukat! Keressetek földrajzi példákat erre az esetre!
2. Keresd a pontok helyét síkon és gömbön!
Adott egy egyenes illetve főkör, a neve e, és adott egy rá merőleges egyenes illetve főkör, neve

m. Az m vonalon a talpponttól távolodva (előbb csak az egyik, majd a másik irányban) szalad az
M nevű pont, amely egy mókus. Minden ponton megáll, megméri távolságát az elhagyott e egye-
nestől, és e távolság FELEZŐPONTJÁN letesz egy szem mogyorót (nagyon sok mogyorója van.)
Színezd pirosra a sík illetve gömb olyan pontjait, ahová mogyoró kerül, ha a mókus fáradhatatla-
nul és hibátlanul dolgozik!

66 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

EMLÉKEZTETŐ

Két pont távolsága a gömbön: az őket összekötő rövidebbik főkörív hossza.

Ha a két pont nem átellenes, akkor: Ha a két pont átellenes, akkor:
– az összekötő főkörív egyértelmű; – az összekötő főkörív nem egyértelmű;
– a távolság rövidebb, mint fél főkörhossz. – a távolság éppen fél főkörhossz.

Pont és főkör távolsága: a ponton áthaladó, a főkörre merőleges főkörön mért ívhossz.

Ha a pont nem póluspontja a főkörnek, akkor: Ha a pont póluspontja a főkörnek, akkor:
– az összekötő főkörív egyértelmű; – az összekötő főkörív nem egyértelmű;
– a távolság rövidebb, mint negyed főkörhossz. – a távolság éppen negyed főkörhossz.

(0, ha a pont a főkörön van.)

4. FELADATLAP

1. Tegyétek ki a padra a hurkapálcát! Ez most egy szakaszt jelent. A korongokon pontokat jelöltünk.
A piros pontokat úgy helyezd el, hogy a szakasztól 10 cm távolságra legyenek!

Fogalmazd meg, milyen formát alkotnak a piros pontok!

2. Adott egy szakasz (legyen 4 cm hosszú). Színezd pirosra azokat a pontokat, amelyek e szakasztól
1,5 cm távolságra vannak!

3. N yisd ki a körződet 10 cm-re, és rajzolj papírlapra kört! (Ne felejtsd el megjelölni a középpontját!)
Helyezz el kék pontokat úgy, hogy a körvonaltól 3 cm-re legyenek!

Hogyan mérted ki a kék pontok helyét?
Hogyan helyezkednek el a kék pontok?
Keress az elhelyezésre több lehetőséget!

4. (Előző feladat folytatása) Helyezz el zöld pontokat a kék pontok vonala közé! Milyen tulajdonsá-
gúak a zöld pontok?

tanulói munkafüzet 670571. Két pont, két ponthalmaz, pont és egyenes távolságának…

5. Zöld pontokból rakj ki egy kb. 12 cm oldalú négyzetet! A kék pontokat úgy helyezd el, hogy a négy-
zet vonalától 6 cm-re legyenek! Hogy néz ki a kék alakzat?

Melyek azok a részek, amiket pontosan ismersz?
Minden pontot megtaláltál?

6.
1. csoport:
Rajzolj a csomagolópapírodra egy egyenest és tőle 10 cm távolságban egy pontot. Rajzolj a pont

körül 6 cm sugarú kört. Színezd az egyenes pontjait!
a) Kékre azokat, amelyek a kör középpontjától 6 cm-nél távolabb vannak,
b) Zöldre azokat, amelyek a kör középpontjától 6 cm-nél közelebb vannak,
c) Pirosra azokat, amelyek a kör középpontjától éppen 6 cm távolságra vannak.
d) Jelöld az egyenesen azt a pontot, ami a kör középpontjához legközelebb van és nevezd T-nek!
Ha elkészültetek a színezéssel, válaszoljatok a következő kérdésekre:
Mennyi az egyenes és a kör középpontjának a távolsága?
Mennyi az egyenes és a kör távolsága?
Hány közös pontja van az egyenesnek és a körnek?
Hol helyezkedik el a T pont a metszéspontokhoz képest?
Kösd össze ceruzával a kör középpontját a kör és egyenes metszéspontjaival. Milyen alakzatot

kaptál így?

2. csoport:
Rajzolj a csomagolópapírodra egy egyenest és tőle 5 cm távolságban egy pontot. Rajzolj a pont

körül 6 cm sugarú kört. Színezd az egyenes pontjait!
a) Kékre azokat, amelyek a kör középpontjától 6 cm-nél távolabb vannak,
b) Zöldre azokat, amelyek a kör középpontjától 6 cm-nél közelebb vannak,
c) Pirosra azokat, amelyek a kör középpontjától éppen 6 cm távolságra vannak.
d) Jelöld az egyenesen azt a pontot, ami a kör középpontjához legközelebb van és nevezd T-nek!
Ha elkészültetek a színezéssel, válaszoljatok a következő kérdésekre:
Mennyi az egyenes és a kör középpontjának a távolsága?
Mennyi az egyenes és a kör távolsága?
Hány közös pontja van az egyenesnek és a körnek?
Hol helyezkedik el a T pont a metszéspontokhoz képest?
Kösd össze ceruzával a kör középpontját a kör és egyenes metszéspontjaival. Milyen alakzatot

kaptál így?

3. csoport:
Rajzolj a csomagolópapírodra egy egyenest és tőle 6 cm távolságban egy pontot. Rajzolj a pont

körül 6 cm sugarú kört. Színezd az egyenes pontjait!
a) Kékre azokat, amelyek a kör középpontjától 6 cm-nél távolabb vannak,
b) Zöldre azokat, amelyek a kör középpontjától 6 cm-nél közelebb vannak,
c) Pirosra azokat, amelyek a kör középpontjától éppen 6 cm távolságra vannak.
d) Jelöld az egyenesen azt a pontot, ami a kör középpontjához legközelebb van és nevezd T-nek!
Ha elkészültetek a színezéssel, válaszoljatok a következő kérdésekre:
Mennyi az egyenes és a kör középpontjának a távolsága?
Mennyi az egyenes és a kör távolsága?
Hány közös pontja van az egyenesnek és a körnek?
Hol helyezkedik el a T pont a metszéspontokhoz képest?
Kösd össze ceruzával a kör középpontját a kör és egyenes metszéspontjaival. Milyen alakzatot

kaptál így?

68 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

4. csoport:
Rajzolj a csomagolópapírodra egy egyenest és tőle 5 cm távolságban egy pontot. Rajzolj a pont

körül 10 cm sugarú kört. Színezd az egyenes pontjait!
a) Kékre azokat, amelyek a kör középpontjától 10 cm-nél távolabb vannak,
b) Zöldre azokat, amelyek a kör középpontjától 10 cm-nél közelebb vannak,
c) Pirosra azokat, amelyek a kör középpontjától éppen 10 cm távolságra vannak.
d) Jelöld az egyenesen azt a pontot, ami a kör középpontjához legközelebb van és nevezd T-nek!

Ha elkészültetek a színezéssel, válaszoljatok a következő kérdésekre:
Mennyi az egyenes és a kör középpontjának a távolsága?
Mennyi az egyenes és a kör távolsága?
Hány közös pontja van az egyenesnek és a körnek?
Hol helyezkedik el a T pont a metszéspontokhoz képest?
Kösd össze ceruzával a kör középpontját a kör és egyenes metszéspontjaival. Milyen alakzatot
kaptál így?

5. csoport:
Rajzolj a csomagolópapírodra egy egyenest és tőle 10 cm távolságban egy pontot. Rajzolj a pont

körül 10 cm sugarú kört. Színezd az egyenes pontjait!
a) Kékre azokat, amelyek a kör középpontjától 10 cm-nél távolabb vannak,
b) Zöldre azokat, amelyek a kör középpontjától 10 cm-nél közelebb vannak,
c) Pirosra azokat, amelyek a kör középpontjától éppen 10 cm távolságra vannak.
d) Jelöld az egyenesen azt a pontot, ami a kör középpontjához legközelebb van és nevezd T-nek!

Ha elkészültetek a színezéssel, válaszoljatok a következő kérdésekre:
Mennyi az egyenes és a kör középpontjának a távolsága?
Mennyi az egyenes és a kör távolsága?
Hány közös pontja van az egyenesnek és a körnek?
Hol helyezkedik el a T pont a metszéspontokhoz képest?
Kösd össze ceruzával a kör középpontját a kör és egyenes metszéspontjaival. Milyen alakzatot
kaptál így?

6. csoport:
Rajzolj a csomagolópapírodra egy egyenest és tőle 10 cm távolságban egy pontot. Rajzolj a pont

körül 12 cm sugarú kört. Színezd az egyenes pontjait!
a) Kékre azokat, amelyek a kör középpontjától 12 cm-nél távolabb vannak,
b) Zöldre azokat, amelyek a kör középpontjától 12 cm-nél közelebb vannak,
c) Pirosra azokat, amelyek a kör középpontjától éppen 12 cm távolságra vannak.
d) Jelöld az egyenesen azt a pontot, ami a kör középpontjához legközelebb van és nevezd T-nek!

Ha elkészültetek a színezéssel, válaszoljatok a következő kérdésekre:
Mennyi az egyenes és a kör középpontjának a távolsága?
Mennyi az egyenes és a kör távolsága?
Hány közös pontja van az egyenesnek és a körnek?
Hol helyezkedik el a T pont a metszéspontokhoz képest?
Kösd össze ceruzával a kör középpontját a kör és egyenes metszéspontjaival. Milyen alakzatot
kaptál így?

7. csoport:
Rajzolj a csomagolópapírodra egy egyenest és tőle 12 cm távolságban egy pontot. Rajzolj a pont

körül 10 cm sugarú kört. Színezd az egyenes pontjait!
a) Kékre azokat, amelyek a kör középpontjától 10 cm-nél távolabb vannak,
b) Zöldre azokat, amelyek a kör középpontjától 10 cm-nél közelebb vannak,
c) Pirosra azokat, amelyek a kör középpontjától éppen 10 cm távolságra vannak.
d) Jelöld az egyenesen azt a pontot, ami a kör középpontjához legközelebb van és nevezd T-nek!

tanulói munkafüzet 690571. Két pont, két ponthalmaz, pont és egyenes távolságának…

Ha elkészültetek a színezéssel, válaszoljatok a következő kérdésekre:
Mennyi az egyenes és a kör középpontjának a távolsága?
Mennyi az egyenes és a kör távolsága?
Hány közös pontja van az egyenesnek és a körnek?
Hol helyezkedik el a T pont a metszéspontokhoz képest?
Kösd össze ceruzával a kör középpontját a kör és egyenes metszéspontjaival. Milyen alakzatot
kaptál így?

8. csoport:
Rajzolj a csomagolópapírodra egy egyenest és tőle 5 cm távolságban egy pontot. Rajzolj a pont
körül 8 cm sugarú kört. Színezd az egyenes pontjait!
a) Kékre azokat, amelyek a kör középpontjától 8 cm-nél távolabb vannak,
b) Zöldre azokat, amelyek a kör középpontjától 8 cm-nél közelebb vannak,
c) Pirosra azokat, amelyek a kör középpontjától éppen 8 cm távolságra vannak.
d) Jelöld az egyenesen azt a pontot, ami a kör középpontjához legközelebb van és nevezd T-nek!
Ha elkészültetek a színezéssel, válaszoljatok a következő kérdésekre:
Mennyi az egyenes és a kör középpontjának a távolsága?
Mennyi az egyenes és a kör távolsága?
Hány közös pontja van az egyenesnek és a körnek?
Hol helyezkedik el a T pont a metszéspontokhoz képest?
Kösd össze ceruzával a kör középpontját a kör és egyenes metszéspontjaival. Milyen alakzatot
kaptál így?

7. Az alábbi ábrákon 3 cm sugarú köröket látsz. Minden ábrán színezd ki az egyenes pontjait:
– kékre azokat, amelyek a kör középpontjától 3 cm-nél távolabb vannak;
– zöldre azokat, amelyek a kör középpontjához 3 cm-nél közelebb vannak;
– pirosra azokat, amelyek a kör középpontjától éppen 3 cm távolságra vannak!
Ezután válaszolj a kérdésekre!
a)

O
e

Mennyi az egyenes és a kör középpontjának a távolsága?
Mennyi az egyenes és a kör távolsága?
Hány közös pontja van az egyenesnek és a körnek?
Az egyenes és a kör metszi vagy érinti egymást, vagy nincs közös pontjuk?

70 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

b)

Oe

Mennyi az egyenes és a kör középpontjának a távolsága?
Mennyi az egyenes és a kör távolsága?
Hány közös pontja van az egyenesnek és a körnek?
Az egyenes és a kör metszi vagy érinti egymást, vagy nincs közös pontjuk?
c)

e
O

Mennyi az egyenes és a kör középpontjának a távolsága?
Mennyi az egyenes és a kör távolsága?
Hány közös pontja van az egyenesnek és a körnek?
Az egyenes és a kör metszi vagy érinti egymást, vagy nincs közös pontjuk?

tanulói munkafüzet 710571. Két pont, két ponthalmaz, pont és egyenes távolságának…

d)

e
O

Mennyi az egyenes és a kör középpontjának a távolsága?
Mennyi az egyenes és a kör távolsága?
Hány közös pontja van az egyenesnek és a körnek?
Az egyenes és a kör metszi vagy érinti egymást, vagy nincs közös pontjuk?

TUDNIVALÓ:

Egy egyenesnek és egy körnek 0, 1 vagy 2 közös pontja lehet.

0 közös pont: Az egyenes és a középpont távolsága nagyobb, mint
a sugár.

2 közös pont: Az ilyen egyenes neve: szelő.

A szelő és a középpont távolsága kisebb, mint a

sugár.

1 közös pont: Az ilyen egyenes neve: érintő.

Az érintő és a középpont távolsága éppen egyenlő a

sugárral.

72 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

5. FELADATLAP

1. T edd magad elé a 4 cm, illetve 6 cm sugarú köröket! Válassz egy távolságot a táblázat tetején meg-
adott értékek közül, és tedd le a köröket úgy, hogy a középpontok távolsága megegyezzen a válasz-
tott távolsággal! Ezután a megfelelő oszlopba írd be a válaszoknak megfelelő jeleket...

A középpontok távolsága 5 cm 10 cm 0 cm 1 cm 15 cm 2 cm
0 cm 0 cm 2 cm 1 cm 5 cm 0 cm
A két kör távolsága
Ha a két kör középpontjának =
távolsága
egyenlő a sugarak összegével:

kisebb a sugarak összegénél: <

nagyobb a sugarak összegénél: >
Ha a két kör középpontjának =
távolsága
egyenlő a sugarak különbségével:

kisebb a sugarak különbségénél: <

nagyobb a sugarak különbségénél: >

Ha a két kör érinti egymást: é

ha a két kör metszi egymást: m

ha nincs közös pontjuk: n
A közös pontok a középpontokat i
összekötő egyenesen vannak.
ha igen:

ha nem: n

2.
1. csoport:
Rajzolj a füzetedbe két olyan szakaszt, amelyek egy pontból indulnak, és mindkettő hossza 3 cm!
a) Színezd pirossal az alakzattól 1 cm távolságra lévő pontokat!
b) Színezd kékkel az alakzattól 1 cm-nél távolabb lévő pontokat!
c) Színezd zölddel az alakzathoz 1 cm-nél közelebb lévő pontokat!

2. csoport:
Jelölj ki a füzetedben egy pontot, és a 3 cm-re kinyitott körződdel rajzolj egy kört!
a) Színezd pirossal a körvonaltól 2 cm távolságra lévő pontokat!
b) Színezd kékkel a körvonaltól 3 cm távolságra lévő pontokat!
c) Színezd zölddel a körvonaltól 5 cm távolságra lévő pontokat!

tanulói munkafüzet 730571. Két pont, két ponthalmaz, pont és egyenes távolságának…

3. csoport:
A pont és a szakasz, amit itt látsz, egyetlen alakzat ebben a feladatban. Például egy szoborcsoport
helyét jelölik felülről nézve. Színezd ki azokat a pontokat a síkon, amelyek ettől az alakzattól az
alábbi, megadott távolságokra vannak:
Ha ez a távolság
a) 5 cm, akkor színezd a megfelelő pontokat pirosra;
b) 3 cm, akkor színezz kékkel;
c) 2 cm, akkor legyen zöld a pontok színe!

P

74 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

4. csoport:
Színezd a szakaszoktól adott távolságra lévő pontokat a síkon!
a) Színezd pirossal a szakaszoktól 1 cm távolságra lévő pontokat!
b) Színezd kékkel a szakaszoktól 3 cm távolságra lévő pontokat!
c) Színezd zölddel a szakaszoktól 4 cm távolságra lévő pontokat!

tanulói munkafüzet 750571. Két pont, két ponthalmaz, pont és egyenes távolságának…

5. csoport:
Rajzolj a füzetedbe egy kört 3 cm-es körzőnyílással, és egy szakaszt, amelynek egyik végpontja a
körvonalon van! (Segít az ábra!)
a) Színezd pirossal az alakzattól 2 cm távolságra lévő pontokat!
b) Színezd kékkel az alakzattól 3 cm távolságra lévő pontokat!
c) Színezd zölddel az alakzattól 4 cm távolságra lévő pontokat!

6. csoport:
Színezd a síkon a négyzet határolóvonalától adott távolságra lévő pontokat:
a) Pirossal színezd az 1 cm távolságra lévő pontokat!
b) Kékkel színezd a 2 cm távolságra lévő pontokat!
c) Zölddel színezd a 3 cm távolságra lévő pontokat!



PONTHALMAZOK

0572. Nevezetes
ponthalmazok: szakaszfelező
merőleges, szögfelező

Készítették: JAKUCS ERIKA, MAKARA ÁGNES

78 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

1. FELADATLAP

1. Jelöljetek ki a lapon két pontot egymástól 10 cm-re! A pontok neve legyen: A és B!
Keressetek olyan pontokat a lapon, amelyek A-tól 7 cm távolságra vannak! Ezeket pirossal jelöljé-

tek!
Kék pontokkal jelenítsetek meg olyan pontokat, melyek a B-től 5 cm távolságra vannak!
2. Fogalmazzatok meg igaz állításokat a kapott ábráról!
Például: „Vannak olyan pontok, amelyek színe .............................., ezekről azt tudjuk, hogy
..............................”
3. Az ábrán két különböző sugarú, egymást metsző kört látsz.
Mondj igaz állításokat az ábra különböző színű részeinek pontjairól!

4. Másold le a füzetedbe a következő ábrát!

AB CD E

a) Színezd ki kékre a BD és CE sáv közös pontjait!
b) Jelöld pirossal azokat a pontokat, amelyek az AC vagy a BD pontjai!
c) Zölddel színezd azokat a pontokat, amelyek a BE sávnak pontjai, de a CD sávnak nem pontjai!

5. Készíts elő térképet! Keresd meg rajta a saját lakóhelyedet! Sorolj fel olyan városokat, amelyek lakó-
helyedhez 50 km-nél közelebb vannak! Válassz egyet közülük, és keress olyan településeket, ame-
lyeknek a várostól mért távolsága kisebb, mint 30 km! Mondj igaz állításokat ezekről a települések-
ről!

tanulói munkafüzet 790572. Nevezetes ponthalmazok: szakaszfelező merőleges, szögfelező

6. Az ábrán egy kert alaprajzát látod. A rajzon az adatokat méterben jeleztük.
Másold át a négyzetrácsos füzetedbe úgy, hogy ami eredetileg 150 méter, az a te rajzodon 15 cm

legyen!
A kert egyik sarkában Józsi bácsi egy szép kis konyhakertet alakított ki. A bekerített kertbe egy

széles kocsibejárón lehet bejutni, ez az utcai kerítés középső részén van. A kertet Borcsa kutya őrzi,
de sajnos láncra kell néha kötni, amit sem ő, sem a gazdája nem szeret.
Tervezd meg, hová kötheti ki és milyen hosszú láncra a kutyust a gazdája, hogy az őrizze a bejá-
ratot, ne tapossa le a friss veteményt, és ha nagy a meleg, elbújhasson a nagy diófa árnyékában!
(A diófa pontosan a kert közepén van, a rajzon zöld köröcske jelöli.)
Tervezz többféle megoldást!

150 m

50 m

50 m

150 m

10 m

2. FELADATLAP

1. Keress Európa térképén olyan helyeket (település, hegy, folyó, tó…), amelyek Bécstől és München-
től körülbelül 400 km-re vannak!

2. I smét a térképre lesz szükséged. Keress olyan településeket a térképen, amely Kecskeméttől és
Kaposvártól körülbelül egyenlő távolságra vannak!

3. Rajzolj a papírodra két pontot: A és B. Pároddal keressétek az összes olyan pontot a papír síkjában,
amelyek a két ponttól egyenlő távolságra vannak. A pontok megkereséséhez semmi egyebet nem
használhattok csak egy zsinórt.

4. Hogyan tudnánk előállítani a lapon a szakaszfelező merőlegest mérőeszköz nélkül? (Még zsinórral
sem mérhetsz!)

5. Keressünk most olyan pontokat ezen az írólapon, melyek közelebb vannak az A ponthoz, mint a
B-hez. Jelöljük ezeket kékkel!

6. Vegyél fel két pontot, legyen a pontok távolsága 4 cm! Szerkessz néhány olyan pontot, amely a fel-
vett pontoktól egyenlő távolságra van!

80 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

EMLÉKEZTETŐ

Két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok a síkban egy egyenest alkotnak. Ez az egyenes merőleges a két
pontot összekötő szakaszra, és átmegy a szakasz felezőpontján.
Az ilyen tulajdonságú egyenes neve: szakaszfelező merőleges.

Egy AB szakasz felező merőlegesének megszerkesztéséhez elég AB
két olyan pontot megszerkesztenünk, amelyek egyenlő távolságra
vannak a szakasz két végpontjától.
A két pontot összekötő egyenes a szakasz felező merőlegese.

3. FELADATLAP

1. A z ábrán látsz egy f egyenest, ez jelképezi a folyót, és mindkét oldalán egy-egy pontot: A-t és B-t,
ezek Aladár és Berta házának helyét jelölik.
f
A
B

Hová építsük a folyón a hidat, hogy mindkettőjük házától egyenlő távol legyen? (Próbálkozhatsz
először pl. cérnaszál segítségével meghatározni a híd helyét.)

Szerkeszd meg, és jelöld pirossal! Színezd kékre azokat a hídhelyeket, melyek Aladár házához
vannak közelebb! Színezd zöldre a Berta házához közelebb eső hídhelyeket!

2. A feladat ugyanaz, mint az előbb, csak a házak és a folyó máshogy helyezkednek el egymáshoz
képest. Most hová építsük a folyón a hidat, hogy mindkettőjük házától egyenlő távol legyen?

3. a) Vegyél fel a füzetedben három pontot úgy, hogy háromszöget alkossanak és jelöld őket A, B és
C betűkkel! Szerkeszd meg az AB szakasz és a BC szakasz felező merőlegesét! A két merőleges
metszéspontját színezd pirosra és fogalmazd meg, milyen tulajdonsággal rendelkezik!

b) Színezd kékre azokat a pontokat, melyek a B-hez közelebb vannak, mint az A-hoz, és zöldre
azokat, melyek az A-hoz vannak közelebb, mint a B-hez!

Ugyanezen az ábrán színezd kékre azokat a pontokat, melyek a C-hez közelebb vannak, mint az
A-hoz, és zöldre azokat, melyek az A-hoz vannak közelebb, mint a C-hez!

Fogalmazd meg azoknak a pontoknak a közös tulajdonságát, melyek csak zölddel vannak szí-
nezve!

Fogalmazd meg azoknak a pontoknak a közös tulajdonságát, melyek csak kékkel vannak szí-
nezve!

c) Fogalmazd meg azoknak a pontoknak a közös tulajdonságát, melyek kékkel is és zölddel is szí-
nezve vannak!

tanulói munkafüzet 810572. Nevezetes ponthalmazok: szakaszfelező merőleges, szögfelező

4. FELADATLAP

1. a) Rajzolj papírlapra filctollal két metsző egyenest! Nevezd el őket: e és f egyenesnek!
Keress olyan pontokat, amelyek e-től 7 cm, f-től 3 cm távolságra vannak! Rakj ki piros koronggal

olyan pontokat, amelyek az e-től 7 cm-re vannak, azután kékeket, amelyek f-től 3 cm-re vannak!
Keress mindkét feltételnek eleget tevő pontokat!
b) Most rajzolj ilyen pontokat a papírlapra! A távolságokat derékszögű vonalzóval mérd ki!

2. K észíts új rajzot: e és f metsző egyenesek legyenek! Keress olyan pontokat, amelyek e-től és f-től
4 cm-re vannak!

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. R ajzolj egy AB = 5 cm-es szakaszt! Keress olyan pontokat, amelyek az A-tól és B-től is 4 cm távol-
ságra vannak!

2. V egyél fel két pontot, egymástól 6 cm távolságra! Jelöld a pontokat: A és B!
a) Rajzold meg a síkon azokat a pontokat, amelyek A-hoz 2 cm-nél közelebb, B-től 5 cm-nél távo-

labb vannak!
b) Keresd meg azokat a pontokat, amelyek A-hoz 3 cm-nél közelebb, B-hez 4 cm-nél közelebb van-

nak!

3. Rajzolj két párhuzamos egyenest egymástól 6 cm távolságra! Jelöld az egyeneseket: e és f !
a) Rajzold meg a síkon azokat a pontokat, amelyek e-hez 2 cm-nél közelebb, f-től 5 cm-nél távolabb

vannak!
b) Keresd meg azokat a pontokat, amelyek e-hez 3 cm-nél közelebb, f-hez 4 cm-nél közelebb van-

nak!
c) Keress olyan pontokat, amelyek az e-től és f-től is 4 cm távolságra vannak!

4. A szomszéd bácsinak két kecskéje van. Kötéllel olyan karókhoz köti őket, amelyek egymástól
10 méterre vannak. Ha az egyiket 3 m hosszú kötéllel köti ki, akkor mekkora lehet a másik kecske
„póráza”, hogy ne tekeredjenek össze a kötelek? Hány méteres lehet maximálisan a két kecske
kötele összesen, hogy ne akadjanak össze? Készíts rajzot: ami a valóságban 1 méter, az a rajzon
1 cm legyen!

82 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

Ábra az 5. , 6., 7., 8. feladathoz:

A kerítés
ház

5. Kovácsék házának hátsó ajtajától egy 8 méteres kerti út vezet merőlegesen a hátsó kerítésig. Egy
hársfa csemetét akarnak elültetni úgy, hogy az a kerítéstől 6 méterre, a kerti úttól 3 méterre legyen.
(A ház fala és a hátsó kerítés párhuzamos egymással.) Készíts tervet: a rajzodon 1 cm legyen az, ami
a valóságban 1 méter!

Milyen messze van a hátsó bejárattól a facsemete?
6. Szabó Karcsiék kertjében áll egy kis kerti ház. Innen két, egymással nem párhuzamos utacska vezet

az utcáig. Karcsi az utak közé egy virágágyást szeretne ültetni úgy, hogy az a két úttól egyenlő
távolságra legyen. Segíts neki megtervezni! Rajzold le, hogyan gondolod! Szóban indokold is ter-
vedet!
7. A mi kertünkben a hátsó kerítés a háztól 20 méterre van. Ültettünk egy sorba 3 diófát, amelyek a
ház falától 15 méterre vannak. Mekkora a fasor távolsága a hátsó kerítéstől? (A ház fala és a hátsó
kerítés párhuzamos egymással.) Rajzolj, mérj, gondolkodj! (Ami a valóságban 1 méter, az a rajzo-
don 1 cm legyen!)
8. Egy körtefát is ültettünk. A fa távolsága a ház A-val jelölt sarkától 8 méter, a hátsó kerítéstől pedig
14 méter. Rajzold le a körtefa helyét! (A rajzodon 1 cm legyen, ami a valóságban 1 méter!)

9. A fiúk fociznak a játszótéren. Albert és Béla 5 méterre áll egymástól a kezdőrúgásnál. Gyuri azt
tanácsolja, hogy úgy helyezzék el a labdát, hogy az mindkettőjüktől 2 méterre legyen! Kriszta, aki
focizni nem tud, de matekból jó, kineveti őket. Mit gondolsz, miért? Válaszodat rajzzal és szóban
indokold!

10. G yuri szégyenkezik egy kicsit, hogy Kriszta kinevette. Gyorsan módosít javaslatán: azt mondja,
legyen a labda mindkét fiútól 3 méterre. Rajzold le, hogy hová került így! (A rajzon 1 cm legyen,
ami a valóságban 1 méter!)

11. Gondolkodj rajta, lehetne-e olyan helyet találni a labdának, ami mindhárom fiútól egyenlő távol-
ságra van, ha ők egymástól 5-5 méterre állnak?

PONTHALMAZOK

0573. Ponthalmazok
vizsgálata térben

Készítették: JAKUCS ERIKA, MAKARA ÁGNES

84 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

1. FELADATLAP

1. Minden részfeladathoz külön ábrát készíts! Szerkeszd meg, vagy vázlatosan rajzold meg a megol-
dásokat síkon, majd fogalmazd meg a megoldás térbeli analógiáját!

Vegyél fel a füzetedben egy P pontot, majd jelöld színessel azokat a pontokat, melyeknek a P-től
mért távolsága

a) legalább 2 cm;
b) legfeljebb 3 mm;
c) 3 és fél cm-nél nem több;
d) 4 cm-nél kevesebb;
e) Pontosan 5 cm;
f) 4 cm vagy 3 cm;
g) Kevesebb 3 cm-nél, és több 2 cm-nél;
h) Nem kevesebb, mint 3 cm 2 mm, de nem több, mint 5 cm 2 mm;
i) Nem kevesebb 3 és fél cm-nél, viszont kevesebb 4 cm-nél;
k) 2 cm, vagy 3 cm-nél nem kevesebb;
l) Legfeljebb 1 cm, vagy több, mint 2 cm;
m) Legalább 2 cm és legfeljebb 3 cm;
n) Legalább 3 cm és legfeljebb 2 cm.
Minden részfeladatban fogalmazd meg a be nem színezett pontok közös tulajdonságát!

2. Rajzolj a füzetedbe egy egyenest, és az 1. feladatot oldd meg úgy, hogy a P pont helyett most ez az
egyenes szerepel!

3. Rajzolj 50 mm sugarú kört! Ennek belsejébe rajzolj 2 cm sugarú köröket!
a) Az összes ilyen kör középpontját színezd zöldre! Milyen közös tulajdonsága van a zöld pontok-

nak?
b) Hogyan változik a zöld pontok halmaza, ha a kiskörök sugara nem 2 cm, hanem 3 cm?
c) Rajzolj a belsejébe olyan köröket, melyek sugara 2 cm, és érintik a nagy kört! Színezd pirosra

ezeknek a köröknek a középpontjait!

PONTHALMAZOK

0574. Háromszögek és
négyszögek szerkesztése

Készítették: JAKUCS ERIKA, LÉNÁRT ISTVÁN, MAKARA ÁGNES

86 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

1. FELADATLAP

1. Hajtogatással vagy nyírással készítsetek a feltételeknek megfelelő háromszögeket!
A háromszögnek
– legyenek egyenlő oldalai;
– legyenek egyenlő szögei;
– legyen szimmetriatengelye;
– legyen derékszöge,
– legyen tompaszöge!

2. P árokban dolgozzatok! A kiválasztott egyforma háromszögekből próbáljatok meg kirakni úja-
kat! Figyeljétek meg a kirakásokat! Hány egyforma háromszögből lehet egy újabb háromszöget
kirakni?

3. a) Csoportonként kaptok szívószál darabkákat (sokat), fűzzetek belőlük minél többféle háromszö-
get!

b) Hurkapálcika darabokból állítsatok elő háromszögeket!

4. Sima és négyzetrácsos papírra tervezzetek különböző mintázatokat csak körző használatával!

5. Szívószálból vágj le egy 5, 7 és 8 cm-es darabot, és varrj belőlük háromszöget! Mit gondolsz, stabil
lesz-e a megvarrt háromszög?

Tudnál-e ugyanekkora szívószálakból másfajta háromszöget készíteni?

6. Háromszöget szeretnénk szerkeszteni 6 cm, 5 cm és 4 cm hosszú oldalakkal! Tervezd el, hogyan
szerkesszünk! Készíts vázlatot, színessel rajzold a különböző oldalakat! A 6 cm-es oldal zöld, az
5 cm-es oldal kék, a 4 cm-es oldal piros legyen!

7. P róbáljunk megszerkeszteni egy olyan háromszöget, amelynek oldalai 3 cm, 5 cm és 8 cm hosszú­ak!
Mit tapasztalsz?

8. Készíts írólapból egyenlő szárú háromszöget hajtogatással!

9. a) Szerkessz olyan egyenlőszárú háromszöget, amelynek alapja 6 cm, szárai 4 cm-esek! A szárakat
kékkel rajzold!

b) Készíts vázlatot, milyen lenne az a háromszög, amelynek alapja 6 cm és szárai 9 cm-esek! Szer-
keszd ezt a háromszöget is az előzőleg megszerkesztett háromszöggel közös alapra, az alap
egyenesének ugyanarra az oldalára! Ennek a háromszögnek a szárait pirossal rajzold!

c) Hasonlítsd össze a két háromszöget! Fogalmazd meg, miben egyeznek meg, és miben külön-
böznek!

d) Mekkora lehet annak az egyenlőszárú háromszögnek a szára, amelynek ugyanez az alapja, és
csúcsa a piros és kék szárak közé eső síkrészben van?

10. Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, amelynek egyik oldala 5 cm, a másik oldala 3 cm!
11. Írólapból hajtogass egyenlő oldalú háromszöget!

tanulói munkafüzet 870574. Háromszögek és négyszögek szerkesztése

12. Készíts zöld, kék és piros szívószálból egyenlő oldalú háromszögeket! A háromszögek oldalhossza
különbözzön!

a) Illeszd egymásra a három háromszöget egy közös csúccsal! Mit veszel észre?
b) Ezután illeszd egymás mellé a három háromszöget egy közös csúccsal! Mit veszel észre?
13. Szerkessz egyenlő oldalú háromszöget, melynek oldala 3 cm hosszú!
14. Szerkessz egyenlő oldalú háromszögekből álló parkettát, és színezd ki!

2. FELADATLAP

1. C soportban dolgoztok. Szúrjatok három fogpiszkálót a narancsba úgy, hogy azok ne legyenek egy
főkörön! Legyenek ezek a pontok egy háromszög csúcspontjai. Feszítsetek ki háromszöget a gumi-
gyűrűvel! Hasonlítsátok össze, milyen háromszögeket hoztak létre a csoportok!

2. Rajzoljatok papírlapra három olyan pontot, amelyek nem illeszkednek ugyanarra az egyenesre!
Kössétek össze a pontokat vonalzóval! Milyen alakzatot kaptatok? Hányféle ilyen alakzatot hatá-
roz meg ez a három pont?

3. Hányféle gömbháromszöget határoz meg a narancsba szúrt három fogpiszkáló?
4 Csoportonként válasszatok egyet a felkínált kártyákból! A gömbi vonalzó és körző segítségével a

választott kártya szerint szerkesszetek gömbi háromszöget!
5. Három szakasz a síkban minden esetben meghatároz-e egy háromszöget? Fogalmazd meg, mit

tapasztaltunk a síkban!
6. A gömbön jelöljetek meg három olyan pontot, amelyek nem illeszkednek ugyanarra a főkörre. Kös-

sétek össze a pontokat főkörívekkel, így alkossatok többféle háromszöget! Érvényes-e a gömbön is
a síkbeli háromszögek oldalaira vonatkozó egyenlőtlenség? Gondolatotokat ellenőrizzétek néhány
háromszög oldalainak megmérésével!
7. Z sinegből vágjatok le 30, 45, 60, 90 gömbi távolságegység (gömbi lépés) hosszúságú darabokat!
Ezeket feszítsétek a gömbre, úgy alkossatok „igazi” háromszögeket!
8. Gömbi vonalzó és körző segítségével szerkesszetek háromszögeket, melyeknek oldalai:
a) 30, 45, 60 gömbi lépés (gömbi távolságegység);
b) 45, 60, 90 gömbi lépés!
9. Keressetek a földrajzi koordináta- rendszerben gömbháromszöget! Párban dolgozzatok, ellenőriz-
zétek egymás munkáját!
10. S zerkesszetek gömbháromszögeket gömbi vonalzó és körző nélkül, csak a félgömbfólia széle és a
gömbi szögmérő használható.

88 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

EMLÉKEZTETŐ

A síkon három, nem egy egyenesre rajzolt pont egyértelműen meghatároz egy háromszöget. A síkbeli három-
szög oldalaira igaz, hogy bármely kettő összege nagyobb a harmadiknál. (Ezt szokás háromszög-egyenlőt-
lenségnek nevezni.)
A gömbön három pont sokféle módon összeköthető főkörívekkel.

Ez „igazi” (Euler-féle) gömbháromszög. Ezt az alakzatot nem tekintjük
háromszögnek a gömbön.

Az „igazi” (Euler-féle) gömbháromszögek oldalaira is teljesül, hogy bármely kettőnek az összege nagyobb a
harmadiknál.

3. FELADATLAP

1. Próbálj a képhez hasonló ábrát létrehozni!
Jelölj meg egy pontot, és ebből indíts olyan egyeneseket,

amelyek egymással páronként 120 fokos szöget zárnak
be!
Szúrd a körződet a pontba, nyisd szét, és jelöld ezt a távol-
ságot az egyeneseiden! Kösd össze ezeket a pontokat – egy
szabályos háromszöget kapsz.
Változtass a körzőnyíláson, és így is végezd el az előbbi
szerkesztést!
Ezt ismételd meg néhányszor!
Miben egyeznek meg ezek a háromszögek?
Mennyi a szögek összege az egyes háromszögekben? Mérj!
Miben különböznek ezek a háromszögek?
Mennyi az oldalak összege az egyes háromszögekben?
Mennyi lehet a lehető legkisebb háromszögben az oldalak összege?
És a lehető legnagyobb háromszögben?
2. Parkettázd a síkot a modellező készlet egybevágó egyenlő oldalú háromszögeivel!

3. Próbálj lyukas táblán egyenlő oldalú (szabályos) háromszögeket létrehozni!

4. Tervezzetek olyan vonal- vagy ponthálót, amelyre könnyen tudnánk szabályos háromszögeket
rajzolni!

tanulói munkafüzet 890574. Háromszögek és négyszögek szerkesztése

5. Szerkessz a gömbre egyenlő oldalú háromszöget!
6. J elölj meg a gömbön egy pontot, és ebből indíts olyan főköröket, amelyek egymással páronként 120

fokos szöget zárnak be!
Szúrd a körződet a pontba, nyisd szét, és jelöld ezt a távolságot a főköreiden! Kösd össze ezeket a

pontokat – egy gömbháromszöget kapsz.
Változtass a körző nyitásán, és így is végezd el az előbbi szerkesztést!
Ezt ismételd meg néhányszor!
7. F igyeld meg az így szerkesztett háromszögeket!
Miben egyeznek meg ezek a háromszögek?
Mennyi a szögek összege az egyes háromszögekben? Mérj!
Miben különböznek ezek a háromszögek?
Mennyi az oldalak összege az egyes háromszögekben?
Mennyi lehet a lehető legkisebb háromszögben az oldalak összege?
És a lehető legnagyobb háromszögben?
8. M it gondoltok, a síkbeli szabályos háromszögeknél megfigyelt tulajdonságok közül melyek igazak

a gömbi egyenlő oldalú háromszögekre?

9. Rajzolj fel olyan háromszögeket a gömbre, amelyeknek egy, két, három derékszögük van! Hány
szimmetriatengelyük van?

Rajzolj meg kettőt, és jelöld meg a metszéspontjukat! Kösd össze ezt a pontot a háromszög három
csúcsával! Hány háromszögre bontottad az eredeti háromszöget?

Mekkorák ezeknek a háromszögeknek a szögei?
Mennyi a szögek összege ezekben a háromszögekben?
Szabályosak-e ezek a háromszögek?
10. R ajzolj fel egy háromszor derékszögű háromszöget a gömbre! Jelöld meg az oldalain a felezőpon-

tokat! Kösd össze ezeket a felezőpontokat más színű tollal!
Hány háromszögre bontottad szét az eredeti háromszöget?
Vannak-e egyfomák közöttük?
Vannak-e szabályosak közöttük?

90 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

4. FELADATLAP

1. A sík- és térmértani modellezőkészlet egyforma alakú lapjaival dolgoztok. Melyik sokszöggel par-
kettázható a sík?

2. Rajzolj parkettamintát! Négy lap kirakásával kezdj el egy lehetséges parkettamintát, rajzold le, és
folytasd néhány további elem megalkotásával!

3. Játék a négyszögkártyákkal. 4 fős csoportokban játsszatok!
A játék szabálya:
A játékosok egymás után egy tulajdonság megnevezésével lapot kérnek a következő játékostól. Ha

neki van ilyen tulajdonságú lapja, azt át kell adni. Ilyenkor a kérő játékos leteheti ezt a lapot és a
saját lapjai közül azt, ami ezzel a tulajdonsággal rendelkezik. A játék során egy tulajdonság csak
egyszer hangozhat el.
A játék nyertese, aki a leghamarabb le tudja rakni a saját lapjait, vagy aki a játék végén a legtöbb
párt gyűjtötte össze.

4. Négyszögek alkotása. A 4 fős csoportok mindegyike választ a felkínáltak közül egy kártyát, s az
azon lévő utasítás szerint a csoport tagjai egy-egy négyszöget alkotnak.

5. FELADATLAP

1. Csoportban dolgozzatok! Állítsatok elő négyzetet:
téglalapból hajtogatással;
szívószálból;
négyzetrácsos papíron!

2. Melyik igaz? Karikázd be!
A kezemben tartok egy négyszöget.
a) Ez egy téglalap és minden oldala egyenlő hosszú. Tehát ez egy négyzet.
b) A négyszög átlói merőlegesen felezik egymást. Tehát ez egy négyzet.
c) A négyszögnek nincs négy szimmetriatengelye, de minden oldala egyenlő, sőt az átlói merőle-

gesen felezik egymást. Tehát ez egy négyzet.
d) A négyszög szemközti oldalai párhuzamosak és minden oldala egyenlő hosszú. Tehát ez egy

négyzet
e) A négyszög átlói egyenlő hosszúak és merőlegesek egymásra. Tehát ez egy négyzet.

tanulói munkafüzet 910574. Háromszögek és négyszögek szerkesztése

3. Helyezd el a címkéket a diagramon!
Négyszög, négyzet, minden oldala egyenlő hosszú, téglalap.

Rajzolj mindegyik tartományba odaillő alakzatot!

4. Szerkessz téglalapot
a) 3 cm és 4 cm hosszú szakaszokból;
b) 5 cm oldalakkal;
c) 3 cm és 5 cm legyen a két-két szemközti oldala;
d) minden oldala 5 cm hosszúságú legyen!

FELADATGYŰJTEMÉNY

1. Párban játsszatok!
Szükség van egy lyukas táblára, pálcikákra, befőttes gumira, két különböző színű dobókockára (pl.

piros és fekete).
Az egyik gyerek dob a piros kockával és a fekete kockával. A lyukas táblán a bal alsó sarokból

indulva jobbra annyit lép, amennyit a piros kockával dobott, és onnan annyit fölfelé, amennyit a
fekete kocka mutat, és ezt a helyet egy pálcikával megjelöli. Csere után a másik gyerek dob. Három
dobás után ki-ki megvizsgálja, sikerül-e befőttes gumival háromszöget kifeszítenie a saját pálciká-
jukra. Akinek ez sikerül, pontot kap.

2. Válogassátok szét a kártyakészlet háromszögeit valamilyen szempont szerint!
– Tartson meg mindenki egy lapot magának!
– A válogatást követően körforgással megfigyelitek más csoport válogatását, és a felismert válogatási
szempontoknak megfelelően el kell helyeznetek a saját lapjaitok közül egyet.
– A körforgás végére visszaértek saját helyetekre, és ellenőrzitek az elhelyezett lapokat!

92 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

3. Minden csoportnál 2, 4 és 5 cm hosszúságú hurkapálcák vannak, mindegyikből legalább 3.
Becsüljétek meg, hány különböző háromszöget tudtok ebből kirakni!
Gyűjtsétek táblázatba a lehetséges megoldásokat!
Kirakással ellenőrizzétek, hogy milyen háromszögeket tudtatok megalkotni!

egyik oldal másik oldal harmadik oldal
(cm) (cm) (cm)

4. S zerkessz olyan háromszögeket, amelyek oldalai különböző hosszúságúak! Válassz a megadott
oldalhosszak közül: 3 cm; 4 cm; 5 cm; 8 cm!

5. Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, amelynek oldalai
a) 5 cm és 9 cm;
b) 5 cm és 10 cm;
c) 5 cm és 6 cm hosszúak!

6. Szerkessz olyan háromszöget, amelynek oldalai cm-ekben mérve szomszédos páros egész számok,
és kerülete

a) 18 cm;
b) 24 cm;
c) 20 cm!

7. Szerkessz téglalapot, amelynek oldalai cm-ben mérve egészek, és
a) területe 18 cm2;
b) kerülete 18 cm!

8. Szerkessz olyan téglalapot, amelynek kerülete 24 cm, és egyik oldala 3-szorosa a másiknak!

tanulói munkafüzet 930574. Háromszögek és négyszögek szerkesztése

9. Dönts az állítások igazságáról! Döntésednek megfelelően írj I (igaz) vagy H (hamis) betűt a
ke­retbe!

Egy háromszög bármely két oldalhosszának összege nagyobb a harmadik oldalnál.

Egy háromszög két oldalhosszának összege lehet egyenlő a harmadik oldallal.
Van olyan háromszög, melyben bármely két oldal hosszának összege nagyobb
a harmadik oldalnál.
Nincs olyan háromszög, melyben két oldal hosszának összege kisebb
a harmadik oldalnál.
Van olyan háromszög, amelyben két oldal hosszának összege nem nagyobb
a harmadik oldalnál.

10. A z elvarázsolt erdőn csak akkor tudunk keresztülmenni, ha betartjuk a szabályt.
A szabály a következő: Meg kell érinteni annak a fának a törzsét, amely az erdőt szegélyező két

úttól 3 méterre van. Rajzold meg ennek a fának a helyét! (Ami a valóságban 1 méter, az a rajzodon
1 cm legyen!)

11. H a az erdőből szerencsésen kijutottunk, akkor meg kell keresnünk azt a kutat, amely a három
kismalac házától egyforma távolságra van. Papírra másold át a rajzot, és hajtogatással keresd meg
a kút helyét!

12. R ajzolj egy 5 cm-es szakaszt a papírodra! Keresd meg azokat a pontokat a papír síkjában, amelyek
a szakasztól 2 centiméteres távolságra vannak!

94 matematika „A” – 5. évfolyam – 057. ponthalmazok tanulói munkafüzet

13. A képen két sétautat és egy szökőkutat látsz. A két fasor távolsága 8 m, a szökőkút egyenlő távol-
ságra van mindkét fasortól. Azt a helyet kell megkeresned, amely a szökőkút közepéhez közelebb
van 2 m-nél, és a baloldali fasortól 3 m-re van. Ott egy kő alatt találsz egy térképet.

Helikopterrel a kert fölé szállva ezt látjuk (ami a valóságban 1 méter, az a rajzon 1 cm legyen):

Jelöld meg, hol kell a köveket felszedned a szökőkút mellett!
14. A térkép a Kincses szigetről készült. A kincs az elhagyott viskótól és a napraforgótól egyforma

távolságra van, a déli tengerparttól pedig kétszer akkora távolságra, minta a viskó és a napraforgó
távolsága. Találd meg a kincset!

tizedestörteK

0581. A tizedestörtek
bevezetése

Készítette: LACZKA GYULÁNÉ

96 matematika „A” – 5. évfolyam – 058. tizedestörtek tanulói munkafüzet

1. FELADATLAP

1. N égy sárga háromszöget beválthatunk egy zöld háromszögre. Négy zöld háromszögből áll egy
piros háromszög, és négy piros háromszögből egy kék háromszög. Rajzoljatok táblázatot!

a) Ha a sárga háromszög 1-et ér, akkor mennyit ér a zöld, a piros illetve a kék háromszög? Írjátok
be a táblázatba!

– Tegyetek magatok elé 19 kis sárga háromszöget! A lehetséges beváltások után készítsetek lel-
tárt!

– Írjátok a 22 sárga háromszög leltárát a táblázat következő sorába!
– 1 piros, 5 zöld és 3 sárga háromszöget váltsatok be a lehető legkevesebb háromszög lapra!

1

b) Érjen a zöld háromszög 1-et! Mennyit ér a többi lap?
Változtassuk át a lehető legkevesebb háromszögre, és készítsetek leltárt, ha:
– 14 sárga háromszögünk van;
– 31 sárga háromszögünk van;
– 3 piros, 4 zöld és 5 sárga háromszögünk van!

1

c) Mondjatok igaz állításokat az alábbi leltárról! 3
1
12
Hány sárga háromszöggel helyettesíthető a fenti leltár?

121
Hány sárga háromszöggel helyettesíthető a fenti leltár?

tanulói munkafüzet 0581. A tizedestörtek bevezetése 97

2. Két sárga négyzetet beválthatunk egy zöld négyzetre, két zöld négyzetet egy piros négyzetre, és
két piros négyzetet egy kék négyzetre. Két kék négyzetet egy lila négyzetre. Rajzoljatok tábláza-
tot!

a) Ha a sárga négyzet 1-et ér, akkor mennyit ér a zöld, a piros, a kék illetve a lila? Írjátok be a táb-
lázatba!

– Tegyetek magatok elé 19 kis sárga négyzetet! A lehetséges beváltások után készítsetek leltárt!
– Írjátok be a 22 sárga négyzet leltárát a táblázat következő sorába!
– 1 piros, 5 zöld és 3 sárga lapot rakjatok ki a legkevesebb négyzetből!

1

b) Érjen a zöld négyzet 1-et. Melyik lap mennyit ér?
Váltsátok a lehető legkevesebb négyzetre, és készítsetek leltárt, ha
– 14 sárga négyzetünk van;
– 31 sárga négyzetünk van;
– 3 piros, 2 zöld és 3 sárga négyzetünk van.

1

c) Mondjatok igaz állításokat az alábbi leltárról!

11 1
Hány sárga négyzettel helyettesíthető a fenti leltár? 1

11 1
Hány sárga négyzettel helyettesíthető a fenti leltár?

98 matematika „A” – 5. évfolyam – 058. tizedestörtek tanulói munkafüzet

3. a) A következő pénzeid vannak: 1 cent, 10 cent, 1 euró, 10 euró, 100 euró
Rakd ki a következő pénzérméket és írd be a táblázatba a leltárukat!
– 1 db 100 euró + 5 db 10 euró + 1 db 1 euró
– 3 db 10 euró + 4 db 1 euró + 5 db 10 cent
– 8 db 10 cent + 2 db 100 euró + 1 db 1 euró + 3 db 10 euró

b) Olvasd le a következő táblázatból és tedd ki a következő pénzérméket! Írd le összeg alakjában a
pénz értékét!

413
4961
7 53

4. A tökéletes pénztárgép minden 10 „érmét” nagyobbra vált.
a) Van 17 centünk. Hogy váltjuk be?
10 db 1 centes = 1db 10 centes
142 db 1 centest kapunk. Ez 14 db 10 centes és 2 db 1 centes. 14 db 10 centes az 1 db eurós és 4 db

10 centes.

16
142

tanulói munkafüzet 0581. A tizedestörtek bevezetése 99

b) „Tökéletes pénztárgépként” váltsd át és készíts leltárt az alábbi pénzösszegekről!
– 20 db 1 centes és 8 db 10 eurós;
– 75 db 1 eurós és 11 db 1 centes;
– 12 db 10 centes és 5 db 1 centes.

5. Írd helyiérték szerint összegalakban a következő – táblázatban adott – számokat!

t e 1 1 összegalakban
10 1 10 100

162

35

74

98

TUDNIVALÓ:

A tized, század, ezred… helyiérték bekerülésével törtszámokat is felírhatunk tízes számrendszerben. Ilyen-
kor azonban meg kell jelölnünk, hogy melyik helyen áll az egyes. Erre szolgál a tizedesvessző. A tizedesves-
sző az egyes helyiérték mögött áll.
A tizedesvessző elválasztja az egész helyiértéket és a tört helyiértéket.

MINTApélda

a) Írjuk fel összegalakban a következő számot, aztán adjuk meg a vegyesszám-alakját!

t e tized század ezred
1
10 1 11
10 100 1000
1
3245

Megoldás: 1 ·4+ 1 ·5+ 1 · 1 = 32 451
Összegalak: 10 · 3 + 1 · 2 + 10 100 1000 1000

A szám: 32,451; harminckét egész, négyszázötvenegy ezred.

100 matematika „A” – 5. évfolyam – 058. tizedestörtek tanulói munkafüzet

b) Írjuk helyiérték-táblázatba a következő, vegyesszám-alakban adott számot: 18 56 !
100

Megoldás:

18 56 = 10 · 1 + 1 · 8 + 1 ·5+ 1 ·6
100 10 100

te tized század
10 1 1 1
18 10
A szám:18,56; tizennyolc egész, ötvenhat század. 5 100
6

6. Írd fel a következő számok összegalakját, vegyesszám-alakját, és írd fel a számokat számjegyekkel
és szavakkal!

t e tized század ezred

10 1 111
10 100 1000

2754

1490

2. FELADATLAP

1. a) Fizess ki 223 euró 18 centet minél többféleképpen!
b) Írd a helyiérték-táblázatba!
– 10 euró · 14 + 10 cent · 35 + 1 cent · 6
– 100 euró · 1 + 1 euró · 43 + 10 cent · 5 + 1 cent · 6
– 100 euró · 1 + 10 euró · 4 + 10 cent · 35 + 1 cent · 6
– 100 euró · 1 + 1 euró · 42 cent + 10 cent · 15 + 1 cent · 6

100 10 1 0,1 0,01