Format 190mm X 260mm Extent : 384pg (18.78 mm) = 2C (70gsm/follow previous) Status CRC Date 6/3
PELANGI BESTSELLER
SPM
CC038033
TINGKATAN FOCUS
4∙5 KSSM
Matematik SPM
FOCUS SPM KSSM Tingkatan 4 • 5 – siri teks rujukan yang lengkap dan padat Matematik SPM
dengan ciri-ciri istimewa untuk meningkatkan pembelajaran murid secara menyeluruh. TINGKATAN
Siri ini merangkumi Kurikulum Standard Sekolah Menengah (KSSM) yang baharu
serta mengintegrasikan keperluan Sijil Pelajaran Malaysia (SPM). • Neo Geok Kee (Penulis Buku Teks) 4∙5 KSSM
Pastinya satu sumber yang hebat bagi setiap murid! • Ng Seng How (Penulis Buku Teks)
• Ooi Soo Huat
REVISI PENGUKUHAN CIRI-CIRI Matematik • Yong Kuan Yeoh
› Nota Komprehensif & PENTAKSIRAN EKSTRA
› Contoh & Penyelesaian › Cuba Ini! › Contoh Soalan
› Tip SPM › Praktis SPM KBAT
› Ingat
› Kertas Model SPM › Kuasai SPM
› Jawapan Lengkap › Kod QR
JUDUL-JUDUL DALAM SIRI INI
• Bahasa Melayu • Matematik • Mathematics
• Karangan • Matematik Tambahan • Additional Mathematics
• English • Sains • Science TINGKATAN 4•
• Bahasa Cina • Biologi • Biology
• Sejarah • Fizik • Physics
Beli eBook • Pendidikan Islam • Kimia • Chemistry
di sini! • Pendidikan Seni Visual • Prinsip Perakaunan 5
• Perniagaan
• Ekonomi
RESOS DIGITAL
› › Info › › Video › › i-Studi SPM
KSSM
› › Infografik
Eksklusif!!!
› › Revisi Intensif Tingkatan 1-3
› › Langkah Penyelesaian bagi
Praktis SPM & Kertas
Model SPM
W.M: RM??.?? / E.M: RM??.??
W.M: RM36.95 / E.M: RM37.95
CC038033
ISBN: 978-629-7537-31-3
Berdasarkan
FORMAT SPM TERKINI
PELANGI
Format: 190mm X 260mm TP Focus SPM 2023 Mat BM version _pgi CRC
Matematik SPM
TINGKATAN
4∙5 KSSM
• Neo Geok Kee (Penulis Buku Teks)
• Ng Seng How (Penulis Buku Teks)
• Ooi Soo Huat
• Yong Kuan Yeoh
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 2023
Hak cipta terpelihara. Tiada bahagian daripada terbitan ini
boleh diterbitkan semula, disimpan untuk pengeluaran, atau
ditukarkan dalam apa-apa bentuk atau dengan alat apa jua
pun, sama ada dengan cara elektronik, sawat, gambar,
rakaman, atau sebagainya, tanpa kebenaran daripada
Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. terlebih dahulu.
ISBN: 978-629-7537-31-3
eISBN: 978-629-7537-32-0 (eBook)
Cetakan Pertama 2023
Lot 8, Jalan P10/10, Kawasan Perusahaan Bangi,
Bandar Baru Bangi, 43650 Bangi, Selangor Darul Ehsan, Malaysia.
Tel: 03-8922 3993 E-mel: [email protected]
Pertanyaan: [email protected]
Dicetak di Malaysia oleh The Commercial Press Sdn. Bhd.
Lot 8, Jalan P10/10, Kawasan Perusahaan Bangi, Bandar Baru Bangi, 43650 Bangi, Selangor Darul Ehsan, Malaysia.
Sila layari https://plus.pelangibooks.com/errata/ untuk mendapatkan pengemaskinian bagi buku ini (sekiranya ada).
KANDUNGAN
Rumus Matematik iv Bab Ketaksamaan Linear dalam Dua
6 Pemboleh Ubah 85
TINGKATAN 4 6.1 Ketaksamaan Linear dalam Dua
Pemboleh Ubah 86
Bab Fungsi dan Persamaan Kuadratik
1 dalam Satu Pemboleh Ubah 1 6.2 Sistem Ketaksamaan Linear dalam
Dua Pemboleh Ubah 91
1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik 2 Praktis SPM 6 97
Praktis SPM 1 13
Bab
7 Graf Gerakan 101
Bab
2 Asas Nombor 16 7.1 Graf Jarak-Masa 102
7.2 Graf Laju-Masa 106
2.1 Asas Nombor 17 Praktis SPM 7 113
Praktis SPM 2 24
Bab Sukatan Serakan Data Tak
8 Terkumpul 118
Bab
3 Penaakulan Logik 26 8.1 Serakan 119
8.2 Sukatan Serakan 121
3.1 Pernyataan 27 Praktis SPM 8 135
3.2 Hujah 36
Bab Kebarangkalian Peristiwa
Praktis SPM 3 45 9 Bergabung 139
9.1 Peristiwa Bergabung 140
Bab 9.2 Peristiwa Bersandar dan
4 Operasi Set 48
Peristiwa Tak Bersandar 141
4.1 Persilangan Set 49 9.3 Peristiwa Saling Eksklusif dan
Peristiwa Tidak Saling Eksklusif 147
4.2 Kesatuan Set 53
9.4 Aplikasi Kebarangkalian Peristiwa
4.3 Gabungan Operasi Set 59 Bergabung 154
Praktis SPM 4 64 Praktis SPM 9 157
Bab Matematik Pengguna:
Bab 10 161
5 Rangkaian dalam Teori Graf 69 Pengurusan Kewangan
10.1 Perancangan dan Pengurusan
5.1 Rangkaian 70 Kewangan 162
Praktis SPM 5 81 Praktis SPM 10 172
ii
0a Kand Focus SPM Mate Tg4 2023.indd 2 03/03/2023 12:23 PM
Bab
TINGKATAN 5 Nisbah dan Graf Fungsi
6 Trigonometri 260
Bab
1 Ubahan 175 6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi
Sudut q, 0° < q < 360° 261
1.1 Ubahan Langsung 176 6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan
1.2 Ubahan Songsang 181 Tangen 270
1.3 Ubahan Bergabung 185 Praktis SPM 6 277
Praktis SPM 1 188
Bab Sukatan Serakan Data
7 283
Bab Terkumpul
2 Matriks 191
7.1 Serakan 284
2.1 Matriks 192 7.2 Sukatan Serakan 294
2.2 Operasi Asas Matriks 194 Praktis SPM 7 301
Praktis SPM 2 206
Bab
8 Pemodelan Matematik 305
Bab Matematik Pengguna:
3 Insurans 209 8.1 Pemodelan Matematik 306
3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans 210 Praktis SPM 8 316
Praktis SPM 3 219
Kertas Model SPM 318
Bab Matematik Pengguna:
4 Percukaian 222 Jawapan 335
4.1 Percukaian 223
Praktis SPM 4 232
Revisi Intensif Tingkatan 1 - 3
Bab Kekongruenan, Pembesaran
5 dan Gabungan Transformasi 234
https://qr.pelangibooks.com/?u=FSPM2023MMRevInt123
5.1 Kekongruenan 235
5.2 Pembesaran 239
5.3 Gabungan Transformasi 247 Jawapan Revisi Intensif Tingkatan 1 - 3
5.4 Teselasi 254
Praktis SPM 5 257 https://qr.pelangibooks.com/?u=FSPM2023MMRevInt123J
iii
0a Kand Focus SPM Mate Tg4 2023.indd 3 03/03/2023 12:23 PM
Rumus Matematik
1. n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 21. Varians, σ = Σf(x – x) = Σfx 2 – x –2
– 2
2
Σf Σf
2. n(A) = n() – n(A)
Σ(x – x)
Σx
– 2
2
– x
22. Sisihan piawai, σ =
–2
=
3. n(A B) = n(A B) N N
Σfx
Σf(x – x)
2
– 2
=
– x
–2
4. n(A B) = n(A B) 23. Sisihan piawai, σ =
Σf
Σf
5. P(A) = n(A) 1 d –b
n(S) 24. A = 3 4
–1
ad – bc –c a
6. Peristiwa pelengkap A, P(A) = 1 – P(A)
×
25. Premium = Nilai muka polisi Kadar premium
7. P(A dan B) = P(A B) RMx per RMx
8. P(A B) = P(A) × P(B) 26. Jumlah insurans yang harus dibeli
Peratusan Nilai boleh
= ×
9. P(A atau B) = P(A B) ko-insurans insurans harta
10. P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) 27. Pendapatan bercukai
Jumlah
11. Σd(v) = 2E; v V = pendapatan – Pengecualian – Pelepasan
tahunan cukai cukai
Jarak mencancang
12. Kecerunan, m = Kadar cukai Nilai
Jarak mengufuk 28. Cukai pintu = pintu × tahunan
y – y
2
13. m = x – x 1 1 29. Cukai tanah
2
Pintasan-y = Kadar cukai tanah × Jumlah
14. m = – setiap unit keluasan keluasan tanah
Pintasan-x
Jarak 30. Faktor skala, k
15. Laju =
Masa = Jarak titik yang sepadan pada imej dari O
Jumlah jarak Jarak titik pada objek dari O
16. Laju purata = Panjang sisi yang sepadan pada imej
Jumlah masa =
Perubahan laju Panjang sisi pada objek
17. Pecutan =
Perubahan masa 31. Luas imej = k × Luas objek
2
–
18. x = Σx
N
32. Julat = Titik tengah bagi – Titik tengah bagi
–
19. x = Σfx kelas tertinggi kelas terendah
Σf
– 2
20. Varians, σ = Σ(x – x) = Σx 2 – x 33. Julat antara kuartil
–2
2
= Kuartil ketiga, Q − Kuartil pertama, Q
N N 3 1
iv
0b Rumus Focus SPM Mate 2023.indd 4 03/03/2023 12:23 PM
Bidang Pembelajaran: Perkaitan dan Algebra Tingkatan 4
Bab
1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik
dalam Satu Pemboleh Ubah
• Fungsi kuadratik – Quadratic function
• Hubungan banyak kepada satu – Many-to-one relation Akses kepada
• Persamaan kuadratik – Quadratic equation i-Studi SPM
• Pemfaktoran – Factorisation
• Punca – Root
• Titik maksimum – Maximum point
• Titik minimum – Minimum point Akses kepada
• Ujian garis mencancang – Vertical line test INFOGRAFIK
• Ungkapan kuadratik – Quadratic expression
Kebanyakan lintasan roller coaster terdiri daripada bentuk parabola. Bentuk parabola ini dapat
mengaplikasikan perubahan tenaga yang menyebabkan roller coaster bergerak secara automatik
di atas lintasanya. Fungsi kuadratik telah digunakan untuk membina lintasan roller coaster
yang berbentuk parabola. Apakah kesan perubahan terhadap nilai pekali dalam fungsi kuadratik
terhadap bentuk parabola yang terbentuk?
1
01 Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 1 03/03/2023 12:24 PM
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
1.1 Fungsi dan Persamaan B Memerihalkan ciri-ciri fungsi
Kuadratik kuadratik
1. Dalam suatu fungsi kuadratik, terdapat nilai-
A Mengenal pasti dan memerihalkan nilai pemboleh ubah x yang mempunyai output
ciri-ciri ungkapan kuadratik dalam yang sama seperti yang ditunjukkan dalam rajah
satu pemboleh ubah di bawah.
1. Ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah x f(x) = x + 5
2
ialah suatu ungkapan yang hanya mempunyai 2 • 9 dan 6
satu pemboleh ubah dengan kuasa tertinggi 1 • • 9 masing-masing
pemboleh ubah itu ialah 2. 0 • • 6 mempunyai
2. Suatu ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh –1 • • 5 input yang
berbeza.
Tingkatan
2
ubah dapat ditulis dalam bentuk ax + bx + c, –2 •
dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar, a ≠ 0
4
tetapi b dan c boleh bernilai sifar. 2. Fungsi kuadratik boleh dikenali sebagai suatu
3. Contoh-contoh ungkapkan kuadratik adalah hubungan banyak kepada satu.
seperti di bawah:
3. Graf bagi suatu fungsi kuadratik merupakan
ax + bx + c suatu lengkung berbentuk parabola.
2
4. Bentuk graf fungsi kuadratik f(x) = ax + bx + c
2
x + 4x – 5 7x – 8 8x + 6x –5x 2 bergantung kepada nilai a.
2
2
2
a, b dan c b = 0 c = 0 b = c = 0 Apabila a bernilai positif, a 0
bukan sifar
f(x) Paksi
simetri
1
Kenal pasti sama ada setiap ungkapan yang berikut
ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah
atau bukan. Berikan sebab untuk jawapan anda.
Titik
(a) 3p – 2p + 8 minimum x
2
1 0
(b) x –
2
x
(c) 5x – 4y + 7 Parabola berbentuk buka ke atas.
2
(d) 8 – 6k 2
Penyelesaian Apabila a bernilai negatif, a 0
(a) Ya, ungkapan ini hanya mempunyai satu Paksi
pemboleh ubah, p, dan kuasa tertinggi bagi p f(x) simetri
ialah 2. Titik
(b) Bukan, ungkapan ini bukan dalam bentuk maksimum
ax + bx + c kerana mempunyai pemboleh ubah
2
berkuasa –1.
(c) Bukan, ungkapan ini mempunyai dua pemboleh
ubah, x dan y. x
(d) Ya, ungkapan ini hanya mempunyai satu 0
pemboleh ubah, k, dan kuasa tertinggi bagi k
ialah 2. Parabola berbentuk buka ke bawah.
Cuba Soalan 1 dalam Cuba ini! 1.1
2
01 Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 2 03/03/2023 12:24 PM
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
5. Ujian garis mencancang digunakan untuk Tip SPM
menentukan hubungan banyak kepada satu pada
graf fungsi kuadratik. Rajah emoji di bawah boleh digunakan untuk mengingat
bentuk lengkung suatu fungsi kuadratik.
f(x) a > 0 a < 0
Apabila nilai a Apabila nilai a adalah
adalah positif, muka negatif, muka sedih
gembira diperolehi. diperolehi.
x
2 Tingkatan
Perihalkan bentuk graf bagi setiap fungsi kuadratik
yang berikut. 4
2
Lebih daripada satu garis mencancang dilukis (a) f(x) = –3x – 5x + 7
1
pada graf fungsi kuadratik. (b) f(x) = x + 4
2
• Setiap garis mencancang hanya menyilang 2
graf pada satu titik menunjukkan hubungan Penyelesaian
ini ialah suatu fungsi. (a) Daripada f(x) = –3x – 5x + 7, a = –3 0
2
• Terdapat dua nilai x yang mempunyai nilai Maka, graf bagi fungsi kuadratik ini berbentuk
f(x) yang sama menunjukkan hubungan parabola buka ke bawah dengan satu titik
banyak kepada satu. maksimum.
1 2 1
6. Secara amnya, ciri-ciri bagi suatu fungsi (b) Daripada f(x) = x + 4, a = 0
2
2
kuadratik adalah seperti yang ditunjukkan di Maka, graf bagi fungsi kuadratik ini berbentuk
dalam peta buih di bawah. parabola buka ke atas dengan satu titik
minimum.
Hubungan Cuba Soalan 2 dalam Cuba ini! 1.1
banyak
kepada satu.
3
Mempunyai
2
graf Paksi simetri Diberi bahawa fungsi kuadratik f(x) = ax + bx + c
melengkung graf adalah mempunyai satu titik minimum (2, –4).
yang selari dengan
berbentuk paksi-y. (a) Nyatakan julat bagi nilai a.
parabola. (b) Tentukan persamaan paksi simetri bagi fungsi
kuadratik itu.
Fungsi kuadratik
f(x) = ax + bx + c Penyelesaian
2
(a) Fungsi kuadratik mempunyai satu titik
minimum, maka nilai a adalah positif. Julat nilai
Mempunyai Mempunyai a ialah a 0.
satu titik satu titik (b) Paksi simetri ialah garis mencancang yang selari
minimum maksimum dengan paksi-y dan melalui titik minimum.
apabila apabila
a 0. a 0. Maka, persamaan paksi simetri ialah x = 2.
Tip SPM
Persamaan paksi simetri graf fungsi kuadratik,
x = – b .
2a
3
01 Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 3 03/03/2023 12:24 PM
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
C Membuat generalisasi tentang kesan perubahan nilai a, b dan c ke atas graf fungsi
kuadratik
1. Perubahan nilai a, b dan c pada fungsi kuadratik f(x) = ax + bx + c akan menyebabkan bentuk atau
2
kedudukan graf fungsi kuadratik tersebut berubah.
2. Jadual di bawah menunjukkan kesan perubahan nilai a, b dan c ke atas graf fungsi kuadratik
f(x) = ax + bx + c.
2
f(x) = ax , a 0 f(x) = ax , a 0
2
2
f(x) f(x) = 3x 2 f(x) = – x 2 f(x) x
f(x) = x
Perubahan pada saiz graf f(x) = x 2 0 x f(x) = –x 2 f(x) = –3x 2
0
2
1
Tingkatan
—
2
4
1
—
2
• Apabila a 1, graf menjadi lebih sempit dan • Apabila a –1, graf menjadi lebih sempit dan
curam. curam.
• Apabila 0 a 1, graf menjadi lebih lebar dan • Apabila –1 a 0, graf menjadi lebih lebar
kurang curam. dan kurang curam.
2
f(x) = ax + bx, a 0 dan b 0 f(x) = ax + bx, a 0 dan b 0
2
f(x) f(x)
f(x) = x 2 f(x) = x 2
f(x) = x + 2x f(x) = x – 2x
2
2
x x
0 0
Perubahan pada kedudukan graf f(x) = ax + bx, a 0 dan b 0 2 f(x) = ax + bx, a 0 dan b 0
• Graf beralih secara condong ke bawah dan ke • Graf beralih secara condong ke bawah dan ke
kanan. Maka paksi simetri dan titik minimum
kiri. Maka paksi simetri dan titik minimum
berada di sebelah kiri paksi-y.
berada di sebelah kanan paksi-y.
2
2
f(x)
f(x)
f(x) = –x – 2x
2
f(x) =–x + 2x
f(x) = –x 2 0 x 0 x
f(x) = –x 2
• Graf beralih secara condong ke atas dan ke • Graf beralih secara condong ke atas dan ke kiri.
kanan. Maka paksi simetri dan titik maksimum Maka paksi simetri dan titik maksimum berada
berada di sebelah kanan paksi-y. di sebelah kiri paksi-y.
4
01 Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 4 03/03/2023 12:24 PM
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
f(x) = ax + c, a 0 dan c 0 atau c 0
f(x) = ax + c, a 0 dan c 0 atau c 0
2
2
Perubahan pada kedudukan graf f(x) = x 2 0 f(x) = x – — x f(x) = –x 2 2 0 f(x) = –x –2 x
f(x)
f(x)
f(x) = x + 2
2
f(x) = –x + 1
3
2
2
2
• Apabila c 0, graf beralih ke atas.
• Apabila c 0, graf beralih ke bawah.
• Apabila c 0, graf beralih ke bawah.
Tip SPM • Apabila c 0, graf beralih ke atas. Tingkatan
4
Kesan perubahan nilai a, b dan c ke atas
Bagi suatu graf fungsi kuadratik, graf fungsi kuadratik.
• nilai a menentukan bentuk graf, INFO
• nilai b menentukan kedudukan paksi simetri,
• nilai c menentukan kedudukan pintasan-y.
Tip SPM
4 • Apabila semua tanda bagi nilai a, b, dan c
disongsangkan, graf fungsi kuadratik akan dipantulkan
Terangkan kesan perubahan nilai-nilai yang berikut pada paksi-x.
terhadap graf fungsi kuadratik yang diberikan. • Apabila hanya tanda bagi nilai b disongsangkan, graf
fungsi kuadratik akan dipantulkan pada paksi-y.
(a) Graf bagi f(x) = 5x + 8x – 1 berubah kepada • Perubahan nilai b menyebabkan graf menggelongsor
2
f(x) = 2x + 8x – 1. berdasarkan pintasan-y. Hal ini menyebabkan
2
(b) Graf bagi f(x) = –x + x + 4 berubah kepada kedudukan paksi simetri berubah.
2
f(x) = –x + 3x + 4.
2
(c) Graf bagi f(x) = – 3 x – 2 berubah kepada
2
4
3
f(x) = – x + 7. D Membentuk fungsi kuadratik
2
4 dan menghubungkaitkan dengan
Penyelesaian persamaan kuadratik
(a) Nilai a ialah positif dan berkurang, maka graf
akan menjadi lebih lebar dan kurang curam. Bagi graf fungsi kuadratik f(x) = ax + bx + c yang
2
(b) Nilai a ialah negatif dan nilai b bertambah, maka menyilang paksi-x, nilai output bagi pintasan-x
graf beralih ke kanan dengan paksi simetri dan adalah f(x) = 0. Maka, hubungan ini dapat ditulis
titik maksimum berada di sebelah kanan paksi-y. dengan suatu persamaan kuadratik ax + bx + c = 0.
2
(c) Nilai c bertambah, maka graf akan beralih secara
menegak ke atas. 6
Cuba Soalan 3 dalam Cuba ini! 1.1 Rajah di bawah menunjukkan pelan bagi bilik Zuki.
5 2x m
Perihalkan kesan perubahan pada titik minimum dan x m
kedudukan graf apabila graf f(x) = x + 4 berubah
2
kepada f(x) = x + 10.
2
5 m
Penyelesaian
Titik minimum bagi graf f(x) = x + 4 ialah (0, 4)
2
manakala bagi graf f(x) = x + 10 ialah (0, 10). Maka, 2
2
graf f(x) = x + 4 bergerak 6 unit ke atas. Ungkapkan luas bilik Zuki, dalam m , dalam suatu
2
fungsi kuadratik.
Cuba Soalan 4 dalam Cuba ini! 1.1
5
01 Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 5 03/03/2023 12:24 PM
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
Penyelesaian E Punca suatu persamaan kuadratik
2x m
Punca bagi suatu persamaan kuadratik ialah nilai
A x m pemboleh ubah yang memuaskan persamaan
kuadratik itu.
B C 5 m 8
Tentukan sama ada setiap nilai x yang diberi merupakan
punca bagi persamaan kuadratik 2x – 7x + 3 = 0.
2
Katakan luas bilik Zuki = L(x) (a) x = –1
L(x) = Luas A + Luas B + Luas C (b) x = 3
= (2x × x) + (2x × 5) + (5 × 5)
= 2x + 10x + 25 Penyelesaian
2
(a) Gantikan x = –1 pada sebelah kiri persamaan
Tingkatan
2
Cuba Soalan 5 – 6 dalam Cuba ini! 1.1 kuadratik 2x – 7x + 3 = 0.
4
Sebelah kiri = 2(–1) – 7(–1) + 3
2
7 = 2 + 7 + 3
Ahli-ahli Persatuan Pandu Puteri di sebuah sekolah = 12 (12 ≠ 0, tidak sama dengan
ingin membuat jualan amal untuk didermakan sebelah kanan)
kepada mangsa gempa bumi. Pada tahun lepas, Maka, –1 bukan punca bagi persamaan kuadratik
mereka berjaya menjual 120 helai baju pada harga 2x – 7x + 3 = 0.
2
RM4 sehelai. Tahun ini, kos bagi sehelai baju telah (b) Gantikan x = 3 pada sebelah kiri persamaan
meningkat. Mereka menganggarkan setiap kenaikan kuadratik 2x – 7x + 3 = 0.
2
harga sebanyak RM1 akan menyebabkan mereka
2
kehilangan 8 helai jualan baju. Sebelah kiri = 2(3) – 7(3) + 3
(a) Bentukkan satu fungsi kuadratik yang mewakili = 18 – 21 + 3
hasil jualan mereka pada tahun ini. = 0 (sama dengan sebelah kanan)
(b) Jika hasil jualan mereka pada tahun ini ialah Maka, 3 ialah punca bagi persamaan kuadratik
2
RM704, bentukkan satu persamaan kuadratik 2x – 7x + 3 = 0.
bagi mewakili hasil jualan mereka pada tahun
ini. Cuba Soalan 9 – 10 dalam Cuba ini! 1.1
Penyelesaian F Menentukan punca suatu persamaan
(a) Katakan RMx ialah kenaikan harga bagi sehelai kuadratik dengan kaedah
baju dan R(x) ialah hasil jualan pada tahun ini. pemfaktoran
Hasil jualan 1. Jika suatu persamaan kuadratik ax + bx + c = 0
2
= Bilangan baju terjual × Harga sehelai baju dapat difaktorkan dalam bentuk (mx + p)(nx + q) = 0,
R(x) = (120 – 8x) (4 + x) maka punca-punca persamaan itu ditentukan
= 480 + 120x – 32x – 8x 2 dengan mx + p = 0 dan nx + q = 0, dengan
= –8x + 88x + 480 keadaan m, n, p dan q ialah pemalar.
2
(b) R(x) = 704 2. Peta alir di bawah menunjukkan langkah-
–8x + 88x + 480 = 704 langkah untuk menentukan punca-punca bagi
2
–8x + 88x – 224 = 0 suatu persamaan kuadratik.
2
8x – 88x + 224 = 0 Darab kedua-dua belah
2
persamaan dengan –1.
Tuliskan Faktorkan Samakan
2
Cuba Soalan 7 – 8 dalam Cuba ini! 1.1 persamaan ax + bx + c setiap faktor
Tip SPM dalam dalam bentuk itu dengan
0 untuk
hasil darab
bentuk am
2
Ungkapan kuadratik: ax + bx + c ax + bx + c = 0. dua faktor. menentukan
2
Fungsi kuadratik: f(x) = ax + bx + c nilai punca.
2
Persamaan kuadratik: ax + bx + c = 0
2
6
01 Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 6 03/03/2023 12:24 PM
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
9 Penyelesaian
(a) x – 18x + 81 = 0
2
Tentukan punca-punca bagi setiap persamaan (x – 9)(x – 9) = 0
kuadratik yang berikut. x – 9 = 0
(a) 5x + 20x = 0 x = 9
2
(b) 9x – 64 = 0 atau Punca yang sama.
2
x – 9 = 0
Penyelesaian x = 9
(a) 5x + 20x = 0 5x ialah faktor sepunya
2
2
5x(x + 4) = 0 bagi 5x dan 20x. Maka, penyelesaian bagi x – 18x + 81 = 0 ialah
2
5x = 0 9. Nilai punca juga merupakan penyelesaian
bagi persamaan kuadratik.
x = 0 Tingkatan
atau (b) (x – 6)(x + 7) = –12 Kembangkan
x + 4 = 0 x + 7x – 6x – 42 + 12 = 0 ungkapan.
2
x = –4 x + x – 30 = 0 4
2
Maka, punca bagi 5x + 20x = 0 ialah 0 atau –4. (x – 5)(x + 6) = 0 Tulis persamaan
2
dalam bentuk am.
(b) 9x – 64 = 0 x – 5 = 0
2
2
(3x) – 8 = 0 Gunakan x = 5
2
2
2
(3x + 8)(3x – 8) = 0 a – b = (a + b)(a – b) atau
3x + 8 = 0 x + 6 = 0
3x = –8 x = –6
8
x = – Maka, penyelesaian bagi (x – 6)(x + 7) = –12
3
atau ialah 5 atau –6.
3x – 8 = 0 (c) 3x(2x – 1) = 4x + 5
3x = 8 6x – 3x = 4x + 5
2
x = 8 6x – 7x – 5 = 0
2
3
8 8 2x +1 +3x
Maka, punca bagi 9x – 64 = 0 ialah – atau .
2
3 3 3x –5 –10x
Kaedah Alternatif 6x 2 –5 –7x
2
9x – 64 = 0 (3x – 5)(2x +1) = 0
9x = 64 3x – 5 = 0
2
2
x = 64 3x = 5
9 x =
5
64
= ± atau 3
9
8 2x + 1 = 0
= ± 2x = –1
3
x = – 1
Cuba Soalan 11 dalam Cuba ini! 1.1 2
Maka penyelesaian bagi 3x(2x – 1) = 4x + 5 ialah
1
10 5 atau – .
Selesaikan setiap persamaan kuadratik yang berikut. 3 2
(a) x – 18x + 81 = 0 Cuba Soalan 12 dalam Cuba ini! 1.1
2
(b) (x – 6)(x + 7) = –12
(c) 3x(2x – 1) = 4x + 5
7
01 Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 7 03/03/2023 12:24 PM
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
G Melakar graf fungsi kuadratik Tip SPM
Peta alir di bawah menunjukkan langkah- Titik maksimum atau minimum bagi suatu persamaan
langkah untuk melakar suatu graf fungsi kuadratik kuadratik boleh ditentukan dengan menggunakan paksi
simetri. Jika pintasan-x suatu graf kuadratik ialah p
f(x) = ax + bx + c. p + q
2
dan q, maka persamaan paksi simetri ialah x = .
2
Kenal pasti nilai a Cari nilai f(0) Gantikan nilai tersebut ke dalam persamaan kuadratik
untuk menentukan untuk menentukan untuk memperoleh koordinat-y. Misalnya, dalam contoh
bentuk graf. pintasan-y. 11(a), paksi simetri, x = 2 + 4 = 3
2
2
Tandakan semua Cari pintasan-x f(3) = 3 – 6(3) + 8
= –1
pintasan dan lukis suatu (jika wujud) dengan
parabola yang melalui menggunakan Maka, titik minimum ialah (3, –1).
semua pintasan itu. f(x) = 0.
Tingkatan
(b) Daripada f(x) = –2x + x + 15, a = –2, b = 1 dan
2
c = 15.
4
11 Apabila a 0, bentuk graf ialah parabola buka
Lakarkan graf fungsi kuadratik bagi setiap yang berikut. ke bawah dengan satu titik maksimum.
(a) f(x) = x – 6x + 8 (c) f(x) = 3x + 6 f(0) = –2(0) + (0) + 15
2
2
2
1
(b) f(x) = –2x + x + 15 (d) f(x) = – x + 6x – 18 = 15
2
2
2
Penyelesaian Graf bersilang dengan paksi-y di (0, 15).
(a) Daripada f(x) = x – 6x + 8, f(x) = 0 Darab kedua-dua belah
2
Langkah 1: a = 1, b = –6 dan c = 8. –2x + x + 15 = 0 persamaan dengan –1
supaya nilai a menjadi
Kenal pasti nilai a Apabila a 0, bentuk graf ialah 2x – x – 15 = 0 positif dan mudah untuk
2
untuk menentukan parabola buka ke atas dengan (2x + 5)(x – 3) = 0 difaktorkan.
bentuk graf.
satu titik minimum. 2x + 5 = 0
x = – 5
Langkah 2: f(0) = 0 – 6(0) + 8 2
2
Cari nilai f(0)
= 8 atau
untuk menentukan
titik persilangan Graf bersilang dengan paksi-y di x – 3 = 0
dengan paksi-y. (0, 8). x = 3
5
Graf bersilang dengan paksi-x di x = – dan
Langkah 3: f(x) = 0 x = 3. 2
2
Cari titik x – 6x + 8 = 0
persilangan (x – 2)(x – 4) = 0 f(x)
dengan paksi-x,
x – 2 = 0
jika wujud, apabila 15
f(x) = 0. x = 2
atau f(x) = –2x + x + 15
2
x – 4 = 0
Langkah 4: x = 4
Tandakan semua Graf bersilang dengan paksi-x di – — 0 3 x
5
pintasan dan lukis
satu parabola x = 2 dan x = 4. 2
yang melalui
semua pintasan itu. f(x) (c) Daripada f(x) = 3x + 6, a = 3 dan c = 6.
2
8 Apabila a 0, bentuk graf ialah parabola buka
ke atas dengan satu titik minimum.
2
INGAT! f(x) = x – 6x + 8 f(0) = 3(0) + 6 Titik minimum bersilang
2
Nilai c dalam = 6 pada paksi-y.
f(x) = ax + bx + c Graf bersilang dengan paksi-y di (0, 6).
2
ialah pintasan-y
bagi graf fungsi x
kuadratik itu. 0 2 4
8
01 Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 8 03/03/2023 12:24 PM
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
f(x) = 0 H Menyelesaikan masalah yang
3x + 6 = 0 melibatkan persamaan kuadratik
2
3x = –6 Graf tidak bersilang
2
x = –2 pada paksi-x.
2
f(x)
2
f(x) = 3x + 6 Rajah di bawah menunjukkan sebuah tangki air
berbentuk silinder dengan tinggi 4 m.
6
x Tingkatan
0 Jika jumlah luas permukaan tangki air itu ialah
120p m , hitung isi padu, dalam m , tangki air itu.
3
2
Penyelesaian 4
INGAT! Katakan jejari bagi tangki air itu = r m
Jumlah luas permukaan = 120p m 2 Jumlah luas
Apabila nilai b = 0, titik maksimum atau titik minimum 2(pr ) + 2p(r)(4) = 120p permukaan
2
2
bagi fungsi kuadratik f(x) = ax + c terletak pada paksi-y 2pr + 8pr – 120p = 0 = 2pr + 2prh
2
2
iaitu (0, c). r + 4r – 60 = 0
2
( r – 6)(r + 10) = 0 Bahagi kedua-
dua belah
1
1
(d) Daripada f(x) = – x + 6x – 18, a = – , b = 6 r = 6 atau r = –10 persamaan
2
dan c = –18. 2 2 Jejari r 0, maka r = 6. dengan
2p supaya
2
Apabila a < 0, bentuk graf ialah parabola buka Isi padu tangki air = pr h 2 mudah untuk
ke bawah dengan satu titik maksimum. = p(6) (4) difaktorkan.
= 144p m 3
1
f(0) = – (0) + 6(0) – 18
2
2
= –18 Cuba Soalan 14 – 17 dalam Cuba ini 1.1
Graf bersilang dengan paksi-y di (0, –18). Contoh Soalan KBAT
KBAT
f(x) = 0 Rajah di bawah menunjukkan sebiji tayar lori
1 Darab kedua-dua belah
– x + 6x – 18 = 0 bersandar pada dinding secara rapat.
2
2 persamaan dengan –2
x – 12x + 36 = 0 supaya mudah untuk
2
(x – 6)(x – 6) = 0 difaktorkan.
x – 6 = 0
x = 6
atau A
x – 6 = 0
x = 6
Diberi A ialah satu titik pada lilitan tayar itu dengan
Graf bersilang dengan paksi-x di x = 6 sahaja. keadaan 12 cm dari lantai dan 54 cm dari dinding.
f(x) Berapakah diameter, dalam cm, tayar itu?
Penyelesaian:
x
0 6 Katakan jejari tayar = x cm
1
f(x) = – x + 6x – 18
—
2
2
O
–18 (x – 12) cm
x cm
(54 – x) cm
x cm A
Cuba Soalan 13 dalam Cuba ini! 1.1 12 cm
9 9
01 Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 9 03/03/2023 12:24 PM
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
Maka hipotenus segi tiga bersudut tegak = x cm dan h(t)
dua sisi lain bagi segi tiga bersudut tegak itu masing-
masing ialah (54 – x) cm dan (x – 12) cm. h(t) = –2t + t + 1
2
1
2
2
(54 – x) + (x – 12) = x 2
2 916 – 108x + x + x – 24x + 144 = x 2
2
2
Guna 0 t
1
(a + b) = a + 2ab + b 2 – — 1
2
2
2
x – 132x + 3 060 = 0
2
(x – 30)(x – 102) = 0 Belalang itu melompat dari ketinggian 1 meter dan
x – 30 = 0 tiba di tanah pada masa t = 1.
x = 30
atau Cuba Soalan KBAT ini
x – 102 = 0 Kedudukan murid di dalam suatu kelas disusun
Tingkatan
x = 102 dalam beberapa baris dan lajur. Diberi persamaan
2
x 54 cm, maka x = 30 cm. kuadratik x + 3x – 28 = 0, dengan keadaan x ialah
4
bilangan baris. Reka satu situasi yang memuaskan
Maka, diameter tayar = 2 × 30 persamaan kuadratik yang diberi.
= 60 cm
Jawapan: Terdapat 28 orang murid dalam kelas
Cuba Soalan KBAT ini tersebut yang disusun dalam keadaan
bilangan lajur melebihi bilangan baris
Esther menggunakan seutas tali untuk membentuk sebanyak 3.
sebuah segi tiga sama sisi. Apabila panjang setiap
sisi segi tiga itu masing-masing dipendekkan
sebanyak 1 cm, 3 cm dan 5 cm, ia menjadi sebuah
segi tiga bersudut tegak. Berapakah panjang tali 12
itu?
Rajah di bawah menunjukkan sebuah jambatan.
Jawapan: 33 cm Penyokong jambatan itu berbentuk parabola dengan
panjang 300 m.
Contoh Soalan KBAT
KBAT
2
Diberi suatu fungsi kuadratik h(t) = –2t + t + 1
dengan keadaan h ialah tinggi seekor belalang
melompat, dalam m, dan t ialah masa lompatan, Dalam suatu kerja lapangan untuk menentukan
dalam saat. Reka satu situasi yang memerihalkan fungsi kuadratik yang mewakili penyokong
lompatan belalang itu. jambatan itu, Kanishka dan Teck Hong masing-
Penyelesaian: masing mencadangkan f(x) = – 1 x + 6x dan
2
2
h(0) = –2(0) + 0 + 1 1 2 50
= 1 f(x) = 10 x + 6x, dengan keadaan f ialah tinggi
h(t) = 0 penyokong jambatan dan x ialah panjang jambatan.
2
–2t + t + 1 = 0 Antara fungsi kuadratik yang dicadangkan oleh
(2t + 1)(t – 1) = 0 Kanishka dan Teck Hong, yang manakah mewakili
2t + 1 = 0 bentuk penyokong jambatan itu? Berikan sebab-sebab
1
t = – 2 yang menyokong jawapan anda.
atau Penyelesaian
t – 1 = 0
t = 1 Bentuk penyokong ialah parabola buka ke bawah
dengan satu titik maksimum, maka nilai a adalah
negatif. Oleh itu, fungsi kuadratik yang dicadangkan
Teck Hong adalah tidak sesuai kerana nilai a adalah
positif.
10
01 Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 10 03/03/2023 12:24 PM
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
1 2 2
2
Bagi f(x) = – x + 6x, apabila f(x) = 0, (e) y
50 9 2
1 (f) x + 7x + 2
– x + 6x = 0 x
2
50
x – 300x = 0 2. Perihalkan bentuk graf bagi setiap fungsi kuadratik
2
x(x – 300) = 0 yang berikut. 2
x = 0 (a) f(x) = x + 2x + 8
2
(b) f(x) = 0.2x – 5x – 10
atau (c) f(x) = 7 – x
2
x – 300 = 0 (d) f(x) = – x + 6x + 1
2
2
x = 300 9
3. Terangkan kesan perubahan nilai-nilai yang berikut
f(x) terhadap graf fungsi kuadratik f(x) = ax + bx + c. Tingkatan
2
(a) Nilai a adalah negatif dan berkurang.
1
f(x) = – x + 6x (b) Nilai a adalah positif dan nilai b adalah negatif.
—
2
50
(c) Nilai a adalah positif dan nilai c berkurang. 4
4. Perihalkan kesan perubahan apabila graf f(x) = x – 5
2
x ditukar menjadi f(x) = x + 7.
2
0 300
5. Rajah di bawah menunjukkan sebuah trapezium.
Bentukkan satu fungsi kuadratik bagi luas trapezium
Maka, fungsi kuadratik yang dicadangkan oleh itu.
1
Kanishka, f(x) = – 50 x + 6x sesuai digunakan untuk 3 cm
2
mewakili penyokong jambatan itu.
4x cm
Cuba Soalan 18 dalam Cuba ini! 1.1
(x + 5) cm
Sudut K A L K U L A T O R 6. Rajah di bawah menunjukkan sebidang tanah
berbentuk segi empat tepat.
Semak jawapan anda menggunakan kalkulator untuk
mencari nilai punca. Misalnya, bagi Contoh 12, tekan
MODE MODE MODE (3x + 1) m
1 2
dan masukkan nilai a, b dan c.
–1 a b/c 50 = (4x + 9) m
6 = Bentukkan satu fungsi yang mewakili luas, dalam
m , tanah itu.
2
0 =
Paparan: 7. Ayub bertolak dari Bandar A ke Bandar B dengan
x1 = 0 kelajuan (10x + 7) km j dan mengambil masa
–1
x2 = 300 selama (x – 4) jam.
(a) Ungkapkan jarak, dalam km, di antara Bandar A
dengan Bandar B dalam suatu fungsi kuadratik.
(b) Nyatakan persamaan kuadratik yang terbentuk
Cuba ini! 1.1 jika jarak di antara Bandar A dengan Bandar B
ialah 58 km.
1. Kenal pasti sama ada setiap ungkapan yang berikut
ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah 8. Harga bagi 1 kg ayam dan 1 kg ikan masing-masing
atau bukan. Berikan sebab untuk jawapan anda. ialah RM(x + 3) dan RM(2x – 1). Encik Tan telah
(a) x + 5x – 10 membeli 5x kg ayam dan (x + 6) kg ikan.
2
(b) – 4u – 3u (a) Bentukkan satu fungsi kuadratik bagi jumlah
2
(c) 5x + 8 bayaran Encik Tan.
(d) x + 2x + 1 (b) Nyatakan persamaan kuadratik yang terbentuk
3
jika jumlah bayaran Encik Tan ialah RM120.
11
01 Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 11 03/03/2023 12:24 PM
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
9. Tentukan sama ada setiap nilai x yang diberi 14. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga
merupakan punca bagi persamaan kuadratik bersudut tegak. Diberi bahawa luas segi tiga itu
2
x + 7x + 12 = 0. ialah 35 cm , tentukan nilai x.
2
(a) x = 2
(b) x = –3
(c) x = –4 x cm
(d) x = 1
5
10. Tentukan sama ada nilai pemboleh ubah yang diberi (x + 3) cm
merupakan punca bagi persamaan kuadratik yang 15. Alfadzlia memandu kereta dari Bandar A ke Bandar
berkenaan. B dengan kelajuan (6x + 20) km j dan mengambil
–1
(a) x + 3x = 28, x = 4 masa selama (x – 8) jam. Jika jarak di antara Bandar
2
(b) 5x – 6 = 7x, x = –1 A dengan Bandar B ialah 160 km, hitung masa,
2
2
(c) 6x – 4x = 2x + 1, x = 1 2 dalam jam, perjalanan Alfadzlia.
(d) 2x(x – 1) = 12, x = –3
Tingkatan
16. Tuliskan satu situasi berdasarkan persamaan
11. Tentukan punca-punca bagi setiap persamaan kuadratik x + 2x – 323 = 0, dengan keadaan x ialah
2
4
kuadratik yang berikut. suatu integer positif.
(a) x – 8x = 0 17. Harga bagi 1 kg nanas dan 1 kg tembikai masing-
2
2
(b) 8x + 20x = 0 masing ialah RM(x + 1) dan RM(x – 2). Zaini telah
(c) 6x – 4x = 0 membeli x kg nanas dan (2x + 3) kg tembikai dengan
2
(d) x – 36 = 0 jumlah bayarannya ialah RM69. Jika Phua membeli
2
(e) 25x – 4 = 0 2 kg nanas dan 4 kg tembikai, berapakah jumlah
2
(f) 18 – 8x = 0
2
bayarannya?
12. Selesaikan setiap persamaan kuadratik yang berikut. 18. Rajah di bawah menunjukkan suatu graf kuadratik
2
(a) x + 8x + 15 = 0 bagi pergerakan suatu zarah.
(b) x + 5x – 24 = 0
2
(c) 2x – x = 28 y / m
2
(d) 6x – 10 = 11x
2
(e) (3x – 5)(x – 5) = 13
(f) (1 – 4x) (x + 3) = x – 24
13. Lakarkan graf fungsi kuadratik bagi setiap yang
berikut. 0 x / second
(a) f(x) = x – 7x + 10 4 10
2
2
(b) f(x) = –x + x + 12
2
(c) f(x) = 3x – 5x – 2 Tentukan sama ada setiap fungsi kuadratik yang
(d) f(x) = –4x – x + 3 berikut mewakili pergerakan zarah itu.
2
1
2
(e) f(x) = – x – 4 (a) y = x + 14x – 40
2
2 (b) y = –x + 14x – 40
2
2
(f) f(x) = x + 4x + 4 (c) y = –x – 14x – 40
2
12
01 Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 12 03/03/2023 12:24 PM
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
Praktis SPM 1 Penyelesaian
Lengkap
KERTAS 1 B f(x)
1. Antara ungkapan algebra yang berikut, yang
manakah merupakan kuadratik algebra dalam satu
pemboleh ubah?
A 3x + 2y – 5
2
1 x
B k – k + 0 2 3
2
k Tingkatan
C 8 – 3n 2
D 5p + p – 6p
2
3
C f(x)
2. Antara yang berikut, yang manakah bukan ciri-ciri 4
bagi suatu fungsi kuadratik? x
A Mempunyai paksi simetri yang selari dengan 0 2 3
paksi-x.
B Mempunyai satu titik minimum atau titik
maksimum.
C Graf berbentuk parabola.
D Hubungan banyak kepada satu.
3. Punca-punca bagi persamaan 15x + 2x = 8 ialah D f(x)
2
2 4
A , –
5 3
2 4
B – , –
5 3 x
4 2 –2 0 3
C , –
5 3
4 2
D – ,
5 3 6. Hasil tambah dua nombor ialah 12. Antara fungsi
kuadratik yang berikut, yang manakah mewakili
4. Rajah di bawah menunjukkan satu graf fungsi hasil darab dua nombor itu?
kuadratik. A f(x) = x + 12x
2
y B f(x) = x – 12x
2
C f(x) = –x + 12x
2
D f(x) = –x – 12x
2
x
0
7. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat
–4 tepat PQRS.
P S
Antara yang berikut, yang manakah merupakah
fungsi kuadratik bagi graf itu?
2
A f(x) = x + 4
B f(x) = x – 4
2
C f(x) = –x + 4
2
D f(x) = –x – 4
2
Q R
5. Antara graf yang berikut, yang manakah merupakan
2
graf kuadratik bagi f(x) = –x + x + 6? Diberi bahawa panjang segi empat tepat itu melebihi
2
A lebarnya sebanyak 6 cm dan luasnya ialah 112 cm .
f(x) Berapakah perimeter segi empat tepat PQRS?
A 22 cm
B 44 cm
C 66 cm
x D 88 cm
–2 0 3
13
01 Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 13 03/03/2023 12:24 PM
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
8. Diberi bahawa x = –4 ialah salah satu punca bagi 5. Rajah di bawah menunjukkan suatu graf fungsi
persamaan kuadratik 5x + 8x + p = 0, dengan kuadratik yang menyilang paksi-x pada titik P dan
2
keadaan p ialah pemalar. Nilai p ialah titik Q. Tentukan koordinat bagi titik P dan titik Q.
A 24
B 48 f(x)
C –24 f(x) = –x + 3x + 4
2
D –48
9. Rajah di bawah menunjukkan suatu titik P(4, 7) x
yang terletak pada graf fungsi f(x) = ax + bx + 5. P 0 Q
2
f(x)
1 2
P(4, 7) 6. Lakarkan graf bagi fungsi kuadratik f(x) = x + 3x – 8.
2
x
0 7. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga
Tingkatan
bersudut tegak ABC. APQR ialah sebuah segi
4
empat tepat dengan bucu Q terletak pada sisi BC.
Nyatakan koordinat bagi titik P apabila nilai c dalam Ungkapkan luas kawasan berlorek dalam suatu
f(x) berubah menjadi f(x) = ax + bx – 3. fungsi kuadratik dalam sebutan x.
2
A (4, 8) C
B (4, 4)
C (4, –1)
D (4, –3) Q
8 cm R y cm
10. Selesaikan persamaan kuadratik x(x – 2) = 4x + 7. x cm
A x = –1, 7
B x = –1, –7 A P B
C x = 1, 7 14 cm
D x = 1, –7
8. Sebuah tangki air berbentuk kuboid mempunyai
KERTAS 2 panjang 3x m dan lebar (x + 2) m. Apabila tangki itu
diisi dengan 252 m air, tinggi paras air dalam tangki
3
1. Selesaikan persamaan kuadratik berikut: itu ialah 3.5 m. Cari nilai x.
x + 4x = 3(6 – x)
2
9. Rajah di bawah menunjukkan sebuah kolam
2. Selesaikan persamaan kuadratik berikut: renang berbentuk segi empat tepat dengan lantai
x 2 di sekelilingnya ditutup dengan jubin. Jika luas
– = 2
2x – 3 5x + 3 kawasan kolam renang itu ialah 1 296 m , hitung
luas kawasan jubin jika x ialah nombor bulat.
3. Sebuah akuarium mempunyai panjang (x + 8) cm, KBAT
lebar x cm dan tinggi 50 cm. Isi padu akuarium itu Menganalisis
ialah 57 000 cm . Hitung nilai x. x m
3
4. Rajah di bawah menunjukkan suatu laluan berbentuk
segi empat tepat di tepi rumah Muaz. 2 m 2 m 40 m
x m
(x + 5) cm
20x m
8x cm
Muaz menggunakan 6 keping jubin berbentuk 10. Dua buah bas, A dan B, mula bergerak dari stesen
bulatan yang sama besar untuk menutupi laluan itu. bas yang sama. Bas A bergerak ke utara manakala
Diberi luas laluan itu ialah 0.24 m , cari diameter, bas B bergerak ke barat. Selepas 2 jam, jarak di
2
dalam m, sekeping jubin itu. antara bas A dan bas B ialah 150 km. Jika purata
laju bas B melebihi bas A sebanyak 15 km j , cari
–1
jarak bas A dan bas B dari stesen bas itu.
KBAT
Menganalisis
14
01 Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 14 03/03/2023 12:24 PM
Matematik SPM Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
11. Suatu objek yang dilepaskan pada ketinggian 13. Pada Hari Keusahawan di SMK Jaya, pengerusi
1
tertentu diberi oleh fungsi s(t) = ut + gt , dengan Persatuan Matematik telah bercadang untuk menjual
2
2
kek keju. Pada peringkat awal, mereka ingin menjual
keadaan s ialah jarak yang dilalui selepas t saat 56 keping kek keju dengan harga RM2 sekeping.
objek itu dilepaskan, u ialah halaju awal objek itu Jika mereka menaikkan harga sebanyak 25 sen
dan g ialah pecutan graviti. Objek itu dilepaskan setiap keping, jumlah bilangan kek keju yang dijual
pada ketinggian 206.4 m dengan halaju 5 m s . Jika akan berkurangan 2 keping bagi setiap kali kenaikan
–1
rintangan udara boleh diabaikan dan pecutan graviti harga itu. Berapakah keping kek keju dan harga
ialah 9.8 m s , hitung masa, dalam saat, yang bagi sekeping kek yang perlu dijual oleh persatuan
–2
diambil oleh objek itu dari ketinggian 206.4 m untuk itu supaya jumlah pendapatan ialah RM160?
sampai di permukaan bumi. KBAT KBAT
Menganalisis Menganalisis
12. Rajah berikut menunjukkan keratan rentas Tingkatan
sebuah terowong berbentuk parabola. Diberi 14. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bingkai
bahawa bentuk parabola itu diwakili oleh fungsi gambar berbentuk segi empat tepat. Tebal bagi
1
h(x) = – 20 x + 3x, dengan keadaan h ialah tinggi setiap sisi bingkai gambar itu adalah sama. Jika
2
luas gambar foto ialah 180 cm , berapakah ukuran
2
terowong dari permukaan jalan dan x ialah jarak gambar foto itu? 4
mengufuk dari titik A. Hitung nilai h dan nilai x dalam KBAT Menganalisis
rajah berikut. KBAT
Menganalisis
17 cm
h m 20 cm
A B
x m
15
01 Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 15 03/03/2023 12:25 PM
Bidang Pembelajaran: Sukatan dan Geometri Tingkatan 5
Bab
6 Nisbah dan Graf
Fungsi Trigonometri
Akses kepada
• Kosinus – Cosine i-Studi SPM
• Sinus – Sine
• Sudut rujukan sepadan – Corresponding reference angle
• Sukuan – Quadrant
• Tangen – Tangent Akses kepada
INFOGRAFIK
Arus elektrik ulang-alik menghasilkan bentuk graf fungsi sinus apabila pengalirannya direkod
melalui sebuah osiloskop. Apabila suatu beban digantung pada suatu spring dan dibiarkan berayun,
jarak pergerakan naik dan turun itu melawan masa juga boleh diwakili dengan graf fungsi sinus.
Fungsi trigonometri banyak digunakan dalam aplikasi sains dan teknologi.
260
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 260 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen 4. Pertimbangkan sudut-sudut yang dibentuk
dengan memutar lengan OP dengan keadaan P
bagi Sudut q, 0° < q < 360° ialah titik pada lilitan bulatan unit.
y y
A Membuat dan menentusahkan 1 1
konjektur tentang nilai sinus, kosinus P(x, y) P(–x, y)
dan tangen sudut dalam sukuan II, III 1 y y 1 θ
dan IV α x α x
–1 O x Q 1 –1 Q x O 1
1. Satu satah Cartes boleh dibahagikan kepada
empat sukuan seperti berikut.
–1 –1
y
Sudut dalam sukuan I Sudut dalam sukuan II
Sukuan II Sukuan I
y y
x
1 1
Sukuan III Sukuan IV
θ θ
Q x x Q
2. Sudut-sudut dalam empat sukuan itu dibentuk –1 O 1 x –1 O α y 1 x
dengan memutar lengan sudut daripada y α 1 1
bahagian positif paksi-x mengikut arah lawan P(–x, –y) P(x, –y)
jam. –1 –1
y y Sudut dalam sukuan III Sudut dalam sukuan IV
Perhatikan dalam setiap kes di atas, wujudnya
θ
θ satu segi tiga bersudut tegak OPQ dengan
x x
keadaan OQ ialah tapak, QP ialah tinggi dan
OP ialah sisi hipotenus dengan panjang 1 unit.
Dalam setiap kes, ∠POQ telah ditanda dengan
Sudut dalam sukuan I Sudut dalam sukuan II a. Maka, didapati dalam setiap kes,
y y QP y
sin a = = = y
OP 1
θ θ OQ x
x x kos a = = = x
OP 1
tan a = QP = y
OQ x
Sudut dalam sukuan III Sudut dalam sukuan IV Sudut dalam setiap kes merupakan sudut
3. Bulatan unit ialah satu bulatan dengan jejari 1 dengan saiz 0° < a < 90° dan dikenali sebagai
unit yang berpusat pada asalan seperti berikut. sudut rujukan sepadan bagi sudut dalam setiap
Nilai sinus, kosinus dan tangen bagi sudut dalam sukuan itu. Seterusnya, sudut dalam sukuan
sukuan II, III dan IV boleh ditakrif dengan II, III dan IV ditakrifkan berdasarkan sudut
menggunakan bulatan unit. rujukan sepadan ini. Tingkatan
y 5. Secara amnya, jika P(x, y) ialah titik pada lilitan
1 suatu bulatan unit dengan keadaan OP dan
paksi-x positif membentuk sudut dalam sukuan 5
II, III atau IV, maka
x
–1 O 1
sin q = y = koordinat-y
–1 kos q = x = koordinat-x
y
tan q = = koordinat-y
x koordinat-x
261
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 261 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
6. Berdasarkan ilustrasi di atas, sudut rujukan sepadan bagi sudut dalam setiap sukuan boleh ditentukan
seperti berikut.
Kedudukan sudut q Sudut rujukan sepadan a Perwakilan grafik
θ
Sukuan I a = q
α θ
Sukuan II a = 180° – q
θ
Sukuan III a = q – 180°
α
θ
Sukuan IV a = 360° – q α
7. Nilai sinus, kosinus dan tangen bagi sudut 0°, 90°, 180°, 270° dan 360° boleh ditentukan berdasarkan
takrifan nilai sinus, kosinus dan tangen yang telah dibincangkan dalam nota 5.
y y y y y
Sudut q P(0, 1)
P(1, 0) P(–1, 0) P(1, 0)
x x x x x
O O O O O
P(0, –1)
Nilai
trigonometri 0° 90° 180° 270° 360°
sinus q 0 1 0 –1 0
kosinus q 1 0 –1 0 1
tangen q 0 Tidak tertakrif 0 Tidak tertakrif 0
1 2
Tentukan sama ada setiap sudut berikut berada dalam Tentukan sudut rujukan sepadan bagi setiap sudut
sukuan I, II, III atau IV. berikut.
(a) 80° (b) 97° (a) 32° (b) 145°
(c) 300° (d) 223° (c) 256° (d) 298°
Penyelesaian Penyelesaian
Tingkatan
(a) Sukuan I (a) q = 32°
5
(b) Sukuan II Sudut rujukan sepadan
(c) Sukuan IV = 32° Untuk sudut dalam sukuan I,
(d) Sukuan III sudut rujukan sepadan = q
Cuba Soalan 1 dalam Cuba ini! 6.1
262
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 262 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
(b) q = 145° Penyelesaian
Sudut rujukan sepadan (a) (i) sin q = 0.82 Koordinat-y
= 180° – 145° Untuk sudut dalam sukuan II, (ii) kos q = 0.57 Koordinat-x
= 35° sudut rujukan sepadan
= 180° – q (b) (i) kos q = –0.94
(c) q = 256° (ii) tan q = –0.34 Koordinat-y
Sudut rujukan sepadan –0.94 Koordinat-x
= 256° – 180° Untuk sudut dalam sukuan = 0.36
= 76° III, sudut rujukan sepadan
= q – 180° (c) (i) sin q = –0.85
(d) q = 298° (ii) tan q = –0.85
Sudut rujukan sepadan 0.53
= 360° – 298° Untuk sudut dalam sukuan = –1.60
= 62° IV, sudut rujukan sepadan Cuba Soalan 3 dalam Cuba ini! 6.1
= 360° – q
Cuba Soalan 2 dalam Cuba ini! 6.1 4
Setiap rajah berikut menunjukkan bulatan unit
3 dengan sudut q.
Setiap rajah berikut menunjukkan bulatan unit (a) y
dengan sudut q. 1
0.8
(a) y
0.6
(0.57, 0.82)
0.4
θ x 0.2 θ
O
x
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 O 0.2 0.4 0.6 0.8 1
–0.2
–0.4
Cari (i) sin q (ii) kos q
–0.6
(b) y
–0.8
–1
θ x Cari (i) sin q
O (ii) kos q
(–0.94, –0.34) (iii) tan q
(b) y
Cari (i) kos q (ii) tan q 1
0.8
(c) y
0.6
0.4 Tingkatan
θ
θ x 0.2
O x 5
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 O 0.2 0.4 0.6 0.8 1
–0.2
(0.53, –0.85)
–0.4
Cari (i) sin q (ii) tan q –0.6
–0.8
–1
263
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 263 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
Cari (i) sin q
(ii) kos q 30°
(iii) tan q 2 2
3
Penyelesaian 60° 60°
(a) (i) sin q = 0.6
(ii) kos q = –0.8 1 1
(iii) tan q = 0.6 Berdasarkan segi tiga sama sisi, maka
1
–0.8 sin 30° = sin 60° = √3
= –0.75 2 2
(b) (i) sin q = –0.92 kos 30° = √3 kos 60° = 1
2
2
(ii) kos q = –0.4 tan 30° = 1 tan 60° = √3
(iii) tan q = –0.92 √3
–0.4
= 2.3 Berdasarkan segi tiga
45° sama kaki bersudut tegak,
Cuba Soalan 4 dalam Cuba ini! 6.1 1 2 maka
sin 45° = 1
45° √2
B Menentukan nilai sinus, kosinus dan 1 1
tangen bagi sudut dalam sukuan II, III kos 45° = √2
dan IV tan 45° = 1
1. Berdasarkan takrifan nilai sinus, kosinus dan 5
tangen yang telah dibincangkan, nilai sinus, Dengan menggunakan kalkulator, cari setiap nilai
kosinus dan tangen untuk sudut dalam setiap berikut. Ungkapkan jawapan betul kepada empat
sukuan mungkin positif atau negatif bergantung angka bererti.
kepada koordinat-x dan koordinat-y.
(a) sin 50° (b) kos 76°569
2. Misalnya, jika diberi suatu sudut q dalam (c) tan 129°309
sukuan IV, maka sin q bernilai negatif kerana Penyelesaian
koordinat-y adalah negatif, kos q bernilai (a) sin 50° = 0.7660
positif kerana koordinat-x adalah positif dan
sebagainya. Illustrasi berikut memberikan Sudut K A L K U L A T O R
rumusan tanda sinus, kosinus and tangen bagi
sudut dalam setiap sukuan. Tekan sin 5 0 = 0.766044443
[x– , y+] [x+ , y+] (b) kos 76°569 = 0.2261
sin + sin +
kos – kos + Sudut K A L K U L A T O R
tan – tan +
Tekan cos 7 6 ° ’ ” 5 6 ° ’ ”
[x– , y–] [x+ , y–] = 0.226084632
sin – sin –
kos – kos + (c) tan 129°309 = –1.213
Tingkatan
tan + tan –
Sudut K A L K U L A T O R
5
3. Nilai sinus, kosinus dan tangen bagi sudut 30°, Tekan tan 1 2 9 ° ’ ” 3 0 ° ’ ”
45° dan 60° boleh ditentukan daripada segi tiga = –1.213097004
sama sisi dan segi tiga sama kaki bersudut tegak.
Cuba Soalan 5 dalam Cuba ini! 6.1
264
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 264 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
6 Tip SPM
Diberi bahawa sin 53° = 0.7986, kos 53° = 0.6018 Jawapan nilai trigonometri dalam Contoh 7 boleh disemak
dan tan 53° = 1.327, cari nilai setiap berikut tanpa dengan menekan kalkulator terus.
menggunakan kalkulator.
(a) sin 307°
(b) kos 127° Cuba Soalan 7 dalam Cuba ini! 6.1
(c) tan 233°
8
Penyelesaian
(a) Sudut rujukan sepadan 307° = 360° – 307° Cari setiap nilai berikut dengan menggunakan sudut
= 53° rujukan sepadan.
Maka, sin 307° = –sin 53° Nilai sinus sudut (a) sin 342°489
= –0.7986 sukuan IV ialah (b) kos 145°259
negatif. (c) tan 246°169
(b) Sudut rujukan sepadan 127° = 180° – 127° Penyelesaian
= 53° (a) sin 342°489 = –sin (360° – 342°489)
Maka, kos 127° = –kos 53° Nilai kosinus = –sin 17°129
= –0.6018 sudut sukuan II = –0.2957
ialah negatif.
(b) kos 145°259 = –kos (180° – 145°259)
(c) Sudut rujukan sepadan 233° = 233° – 180° = –kos 34°359
= 53° = –0.8233
Maka, tan 233° = tan 53° Nilai tangen (c) tan 246°169 = tan (246°169 – 180°)
= 1.327 sudut sukuan III = tan 66°169
ialah positif.
= 2.274
Cuba Soalan 6 dalam Cuba ini! 6.1
Cuba Soalan 8 dalam Cuba ini! 6.1
7 9
Cari setiap nilai berikut dengan menggunakan sudut
rujukan sepadan. Cari setiap nilai berikut tanpa menggunakan
(a) sin 245° kalkulator.
(b) kos 312° (a) sin 120° (b) kos 225°
(c) tan 103° (c) tan 330°
Penyelesaian Penyelesaian
(a) sin 245° = –sin (245° – 180°) (a) sin 120° = sin (180° – 120°)
= –sin 65° Sudut rujukan sepadan bagi = sin 60°
= –0.9063 245° ialah 245° – 180° = 65° = √3
dan sinus adalah negatif bagi 2
sudut dalam sukuan III.
(b) kos 225° = –kos (225° – 180°)
(b) kos 312° = kos (360° – 312°) = –kos 45° Tingkatan
= kos 48° Sudut rujukan sepadan bagi 1
= 0.6691 312° ialah 360° – 312° = 48° = – √2
dan kosinus adalah positif
bagi sudut dalam sukuan IV. (c) tan 330° = –tan (360° – 330°) 5
(c) tan 103° = –tan (180° – 103°) = –tan 30°
= –tan 77° Sudut rujukan sepadan bagi = – 1
= –4.331 103° ialah 180° – 103° = 77° √3
dan tangen adalah negatif
bagi sudut dalam sukuan II. Cuba Soalan 9 dalam Cuba ini! 6.1
265
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 265 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
10 Maka, q = 49° atau (180° – 49°)
= 49° atau 131°
Nilaikan setiap berikut tanpa menggunakan Sinus bernilai positif ⇒ q ialah sudut
kalkulator. dalam sukuan I atau II.
(a) 4 sin 210° + 10 kos 300° y y
(b) 9 tan 225° – 8 sin 330°
(c) 2 kos 180° + 4 tan 135° θ 49° θ
x x
Penyelesaian
(a) 4 sin 210° + 10 kos 300°
= 4[–sin (210° – 180°)] + 10[kos (360° – 300°)]
= –4 sin 30° + 10 kos 60° (b) kos q = –0.9563
Sudut rujukan sepadan = 17°
1
1
= –4 1 2 + 10 1 2 Tekan shift cos 0 . 9 5 6 3 =
2
2
= –2 + 5
= 3 Maka, q = (180° – 17°) atau (180° + 17°)
= 163° atau 197°
(b) 9 tan 225° – 8 sin 330°
= 9[tan (225° – 180°)] – 8[–sin (360° – 330°)] Kosinus bernilai negatif ⇒ q ialah sudut
dalam sukuan II atau III.
= 9 tan 45° – (–8 sin 30°) y y
1
= 9(1) + 8 1 2 θ θ
2
= 9 + 4 17° x x
= 13 17°
(c) 2 kos 180° + 4 tan 135° (c) tan q = –11.43
= 2(–1) + 4[–tan(180° – 135°)] Sudut rujukan sepadan = 85°
= –2 + (–4 tan 45°)
= –2 – 4(1) Maka, q = (180° – 85°) atau (360° – 85°)
= –6 = 95° atau 275°
Tangen bernilai negatif ⇒ q ialah sudut
Cuba Soalan 10 dalam Cuba ini! 6.1 dalam sukuan II atau IV.
y y
C Menentukan sudut apabila nilai sinus, 85° θ θ
kosinus dan tangen sudut diberi x 85° x
11
Cari nilai q bagi setiap yang berikut untuk Cuba Soalan 11 dalam Cuba ini! 6.1
0° < q < 360°.
(a) sin q = 0.7547 Tip SPM
(b) kos q = –0.9563
(c) tan q = –11.43 Sudut rujukan sepadan merupakan sudut tirus dengan
keadaan salah satu lengan sudut ialah paksi-x.
Penyelesaian y
(a) sin q = 0.7547 Sudut rujukan Sudut rujukan
sepadan bagi sudut
sepadan bagi sudut
Sudut rujukan sepadan = 49° dalam sukuan II. dalam sukuan I.
Tingkatan
x
5
Tekan shift sin 0 . 7 5 4 7 = Sudut rujukan Sudut rujukan
sepadan bagi sudut sepadan bagi sudut
dalam sukuan III. dalam sukuan IV.
266
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 266 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
12 tan ∠UQR = tan ∠TRS
Cari nilai q bagi setiap yang berikut untuk = 8 6
0° < q < 360° tanpa menggunakan kalkulator. 4
(a) sin q = – 1 (b) kos q = √3 = 3
√2 2 x ialah sudut dalam sukuan II
(c) tan q = √3 kos x = –kos ∠UQR dan ∠UQR ialah sudut rujukan
3
= – sepadan bagi sudut x.
Penyelesaian 5
(a) sin q = – 1 tan x = –tan ∠UQR
√2 = – 4
Sudut rujukan sepadan = 45° 3
3
1
Maka, q = (180° + 45°) atau (360° – 45°) Maka, kos x + tan x = – + – 4 2
= 225° atau 315° Sudut sukuan III 5 3 4 3
5
(b) kos q = √3 dan IV. = – – 3
2 = – 29
Sudut rujukan sepadan = 30° 15
Maka, q = 30° atau (360° – 30°) Sudut sukuan Cuba Soalan 13 – 15 dalam Cuba ini! 6.1
I dan IV.
= 30° atau 330°
(c) tan q = √3 Kuasai SPM
Sudut rujukan sepadan = 60° R T
Maka, q = 60° atau (180° + 60°) Sudut sukuan 8 cm 13 cm
I dan III.
= 60° atau 240° Q S U 10 cm
V
Cuba Soalan 12 dalam Cuba ini! 6.1
P W
Dalam rajah di atas, PRS dan QTV ialah dua segi tiga
D Menyelesaikan masalah yang dan TUVW ialah garis lurus. Diberi garis QSU ialah
paksi simetri bagi segi tiga PRS dan QTV. S ialah titik
melibatkan sinus, kosinus dan tangen tengah garis QU.
Cari nilai bagi kos ∠QVW + tan ∠SPQ.
13 A 3.35 C 0.95
B 1.13 D 0.37
Dalam rajah di bawah, PQRS dan STU ialah garis
lurus. Cari nilai kos x + tan x. Penyelesaian
UV = 10 ÷ 2 = 5 cm
P Q R S QV = QT = 13 cm
2
2
x QU = √13 – 5 = 12 cm
6 cm QS = 12 ÷ 2 = 6 cm
8 cm
PQ = QR = 8 cm
T QS
tan ∠SPQ =
PQ
U = 6
8 Tingkatan
Penyelesaian = 3
4
2
RS = √6 + 8 = 10 cm
2
∠UQR dan ∠TRS ialah kos ∠QVW = –kos ∠QVU 5
5
kos ∠UQR = kos ∠TRS sudut sepadan pada = – 13
= 6 garis selari. 5 3
10 Maka, kos ∠QVW + tan ∠SPQ = – 13 +
4
= 3 = 0.37
5 Jawapan: D
267
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 267 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
Kuasai SPM Cuba ini! 6.1
1. Tentukan sama ada setiap sudut berikut berada
y
dalam sukuan I, II , III atau IV.
(a) 345° (b) 248°
R(–0.951, 0.309) (c) 86° (d) 99°
x (e) 286° (f) 167°
O 2. Tentukan sudut rujukan sepadan bagi setiap sudut
p
berikut.
S(0.454, –0.891) (a) 217° (b) 174°
Rajah di atas menunjukkan sebuah bulatan unit. Cari (c) 343° (d) 187°
nilai sudut bagi sektor minor ROS sebagaimana yang (e) 288° (f) 142°
dilabel sebagai p. 3. Setiap rajah berikut menunjukkan bulatan unit
A 117° C 147° dengan sudut q.
B 135° D 162° (a) y (b) y
(–0.139, 0.99)
Penyelesaian
sin q = 0.309
Sudut rujukan sepadan bagi q = 18° θ θ
x x
y O O
R(–0.951, 0.309) θ (–0.208, –0.978)
x Cari (i) sin q Cari (i) tan q
O
(ii) kos q (ii) sin q
(c) (d)
S(0.454, –0.891) y y
Maka, q = 180° – 18°
= 162° (–0.981, 0.191) θ
θ x
sin b = –0.891 O x O
Sudut rujukan sepadan bagi b = 63° (0.951, –0.309)
y
Cari (i) kos q Cari (i) sin q
R(–0.951, 0.309) β (ii) tan q (ii) tan q
x
O 4. Setiap rajah berikut menunjukkan bulatan unit
dengan sudut q.
(a) y
S(0.454, –0.891)
Maka, b = 360° – 63° 1
= 297° 0.8
Maka, p = b – q 0.6
= 297° – 162°
= 135° 0.4
θ
Jawapan: B 0.2
x
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 O 0.2 0.4 0.6 0.8 1
–0.2
Tip SPM
–0.4
Tingkatan
Soalan dalam Kuasai SPM di atas juga boleh diselesaikan –0.6
5
dengan mengambil nilai kosinus atau tangen berdasarkan
konsep yang sama. –0.8
–1
Cari (i) sin q
(ii) kos q
(iii) tan q
268
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 268 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
(b) y (d) 3 sin 225° + 10 kos 135°
1 (e) √3 kos 210° – 2 tan 225°
0.8 4
5
(f) sin 300° + √3 tan 120°
0.6 √3
0.4 11. Cari nilai q bagi setiap yang berikut untuk
θ
0.2 0° < q < 360°.
(a) sin q = 0.6743
x
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 O 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (b) kos q = –0.2153
–0.2 (c) tan q = –22.16
–0.4 (d) kos q = 0.7891
(e) sin q = –0.1233
–0.6 (f) tan q = 1.400
–0.8
12. Cari nilai q bagi setiap yang berikut untuk
–1 0° < q < 360° tanpa menggunakan kalkulator.
Cari (i) sin q 1
(ii) kos q (a) sin q = √3 (b) kos q = –
(iii) tan q 2 1 √2
5. Dengan menggunakan kalkulator, cari setiap nilai (c) tan q = √3 (d) tan q = –1
berikut. Ungkapkan jawapan betul kepada empat 1
angka bererti. (e) sin q = – (f) kos q = 1
2
(a) sin 100° (b) kos 116°439
(c) tan 246°129 (d) sin 335°279 13. S
(e) kos 280°209 (f) tan 167°459
6 cm
6. Diberi bahawa sin 67° = 0.9205, kos 67° = 0.3907
dan tan 67° = 2.356, cari nilai setiap berikut tanpa P 35° Q R
menggunakan kalkulator.
(a) sin 113° (b) kos 293° Dalam rajah di atas, PQR ialah garis lurus. Cari nilai
(c) tan 247° (d) sin 247° kos ∠SQR, betul kepada empat angka bererti.
(e) kos 113° (f) tan 293°
14. P
7. Cari setiap nilai berikut dengan menggunakan sudut
rujukan sepadan. Q
(a) sin 125° (b) kos 280° 12 cm
(c) tan 314° (d) sin 306° 8 cm
(e) kos 229° (f) tan 95°
T S R
8. Cari setiap nilai berikut dengan menggunakan sudut
rujukan sepadan. Dalam rajah di atas, TSQ ialah garis lurus. Diberi
(a) sin 208°119 (b) kos 161°219 sin ∠TSR = 8 . Cari nilai kos ∠TSP + tan ∠PSQ.
(c) tan 222°229 (d) sin 255°439 15
(e) kos 333°339 (f) tan 298°259 15. y
9. Cari setiap nilai berikut tanpa menggunakan
kalkulator. P(–8, 6)
(a) sin 150° (b) kos 315° O Tingkatan
(c) tan 240° (d) sin 225° x
(e) kos 210° (f) tan 330° θ
10. Nilaikan setiap berikut tanpa menggunakan 5
kalkulator.
(a) 6 tan 315° – 2 sin 210° Rajah di atas menunjukkan satu bulatan dengan
(b) 3 sin 150° + 4 kos 120° pusatnya pada asalan satah Cartes. Cari kos q + sin q.
(c) 5 kos 240° – 5 tan 135°
269
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 269 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen
A Melukis graf fungsi trigonometri dan membandingbezakan ciri-ciri graf fungsi itu
1. Graf fungsi y = sin x bagi 0° < x < 360°.
x 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
y 0.00 0.50 0.87 1.00 0.87 0.50 0.00 –0.50 –0.87 –1.00 –0.87 –0.50 0.00
y
1
0.5
0 x
30° 60° 90° 120°150°180°210°240°270°300°330°360°
–0.5
–1
Graf fungsi y = sin x mempunyai ciri-ciri berikut:
(a) Graf merupakan suatu lengkung selanjar berbentuk gelombang.
(b) Titik maksimum pada (90°, 1) dan titik minimum pada (270°, –1).
Ciri ini mengimplikasikan –1 < sin x < 1 bagi semua nilai x.
Jarak menegak antara nilai minimum dan nilai maksimum ialah 2.
(c) Pintasan-x ialah 0°, 180° dan 360°.
(d) Pintasan-y ialah 0.
(e) Bahagian graf 0° < x < 180° adalah bersimetri pada garis mencancang yang melalui titik maksimum
(iaitu garis x = 90°). Bahagian graf 180° < x < 360° adalah bersimetri pada garis mencancang yang
melalui titik minimum (iaitu garis x = 270°).
(f) Bahagian graf 0° < x < 180° dan bahagian graf 180° < x < 360° ialah hasil putaran 180° pada pusat
(180°, 0) antara satu dengan lain.
2. Graf fungsi y = kos x bagi 0° < x < 360°
x 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
y 1.00 0.87 0.50 0.00 –0.50 –0.87 –1.00 –0.87 –0.50 0.00 0.50 0.87 1.00
Tingkatan
5
270
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 270 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
y
1
0.5
0 x
30° 60° 90° 120°150°180°210°240°270°300°330°360°
–0.5
–1
Graf fungsi y = kos x mempunyai ciri-ciri berikut:
(a) Graf merupakan suatu lengkung selanjar berbentuk gelombang.
(b) Titik maksimum pada (0°, 1) dan (360°, 1). Titik minimum pada (180°, –1). Ciri ini mengimplikasikan
–1 < kos x < 1 bagi semua nilai x. Jarak menegak antara nilai minimum dan nilai maksimum ialah 2.
(c) Pintasan-x ialah 90° dan 270°.
(d) Pintasan-y ialah 1.
(e) Graf adalah bersimetri pada garis mencancang yang melalui titik minimum (iaitu garis x = 180°)
(f) Bahagian graf 0° < x < 180° dan bahagian graf 180° < x < 360° ialah hasil pantulan pada paksi
x = 180° antara satu dengan lain.
3. Graf fungsi y = tan x bagi 0° < x < 360°
x 0° 30° 60° 75° 105° 120° 150° 180° 210° 240° 255° 285° 300° 330° 360°
y 0.00 0.58 1.73 3.73 –3.73 –1.73 –0.58 0.00 0.58 1.73 3.73 –3.73 –1.73 –0.58 0.00
y
4
3
2
1
0 x
30° 60° 90° 120°150°180°210°240°270°300°330°360°
–1
–2
–3
–4
Graf fungsi y = tan x mempunyai ciri-ciri berikut: Tingkatan
(a) Graf merupakan suatu lengkung yang tidak selanjar dengan keadaan nilai pada x = 90° dan
x = 270° adalah tidak tertakrif. 5
(b) Tidak mempunyai titik maksimum dan titik minimum.
Ciri ini mengimplikasikan bahawa –∞ < tan x < ∞.
(c) Pintasan-x ialah 0°, 180° dan 360°.
(d) Pintasan-y ialah 0.
(e) Graf tidak menunjukkan sifat simetri.
271
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 271 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
(f) Bahagian graf 0° < x < 180° dan bahagian graf 180° < x < 360° ialah hasil translasi antara satu
dengan lain dan juga hasil putaran 180° pada pusat (180°, 0) antara satu dengan lain.
14
Lukis graf y = sin x dan y = kos x pada paksi yang sama untuk 0° < x < 180°. Seterusnya, nyatakan perbezaan
antara dua graf itu untuk 0° < x < 180° dari segi
(a) nilai maksimum dan nilai minimum.
(b) pintasan-x dan pintasan-y.
Penyelesaian
y = sin x
x 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180°
y 0.00 0.26 0.50 0.71 0.87 0.97 1.00 0.97 0.87 0.71 0.50 0.26 0.00
y = kos x
x 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180°
y 1.00 0.97 0.87 0.71 0.50 0.26 0.00 –0.26 –0.50 –0.71 –0.87 –0.97 –1.00
y
1
y = sin x
0.5
0 x
15° 30° 45° 60° 75° 90° 105°120°135°150°165°180°
–0.5 y = kos x
–1
(a) Graf y = sin x untuk 0° < x < 180° mempunyai nilai maksimum 1 apabila x = 90°, manakala graf y = kos x
untuk 0° < x < 180° mempunyai nilai maksimum 1 apabila x = 0°.
Graf y = sin x untuk 0° < x < 180° mempunyai nilai minimum 0 apabila x = 0° dan x = 180° manakala graf
y = kos x untuk 0° < x < 180° mempunyai nilai minimum –1 apabila x = 180°.
(b) Pintasan-x graf y = sin x ialah 0° dan 180° manakala pintasan-x graf y = kos x ialah 90°.
Pintasan-y graf y = sin x ialah 0 manakala pintasan-y graf y = kos x ialah 1.
Tingkatan
5
Cuba Soalan 1 dalam Cuba ini! 6.2
272
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 272 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
B Mengkaji dan membuat generalisasi tentang kesan perubahan pemalar kepada graf
trigonometri
1. Rajah berikut menunjukkan amplitud dan tempoh bagi graf fungsi trigonometri.
y y y
y sin x y kos x y tan x
1 1
Amplitud Amplitud
360°
O 180° x O 180° 360° x O 180° 360° x
–1 –1
Tempoh Tempoh
Tempoh
Amplitud = 1 Amplitud = 1 Tiada amplitud
Tempoh = 360° Tempoh = 360° Tempoh = 180°
2. Nilai a dalam graf y = a sin x dan y = a kos x akan mengubah graf y = sin x dan y = kos x supaya amplitudnya
menjadi a. Misalnya,
y y y
1
y = sin x 2 y = 2 sin x y = sin x
1 2
0.5 180° 360°
x x x
O 180° 360° O 180° 360° –0.5 O
–1
–2
y y y 1
y = 2 kos x y = kos x
y = kos x 2 2
1
0.5
180° 180° 180°
O 360° x O 360° x –0.5 O 360° x
–1
–2
3. Nilai b dalam graf y = sin bx, y = kos bx dan y = tan bx akan mengubah graf y = sin x, y = kos x supaya
tempohnya menjadi 360° dan mengubah graf y = tan x supaya tempohnya menjadi 180° . Misalnya,
b b
y y y 1
–
y = sin x y = sin 2x y = sin x
2
1 1 1
360°
x x x
O 180° 360° O 180° O 180° 360°
–1 –1 Tingkatan
y y y
1
y = kos x y = kos 2x y = kos x 5
–
1 1 1 2
180° 360°
O 360° x O 180° 360° x O 180° x
–1 –1 –1
273
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 273 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
y y y 1
y = tan x y = tan 2x y = tan x
–
2
180° 360°
O x O 180° 360° x O 180° 360° x
4. Nilai c dalam graf y = sin x + c, y = kos x + c dan y = tan x + c akan mengubah kedudukan graf y = sin x,
0
y = kos x dan y = tan x supaya graf mengalami translasi 1 2 . Misalnya,
c
y y y
y = sin x – 1
y = sin x
1 3 y = sin x + 2 180° 360°
2 O x
x
O 180° 360° 1 –1
–2
–1 x
O 180° 360°
y y y y = kos x – 2
y = kos x y = kos x + 1 180° 360°
1 2 O x
–1
x
O 180° 360°
–1 x
O 180° 360° –3
y y = tan x y y = tan x + 1 y y = tan x – 1
180° 360°
O x
x 1 –1
O 180° 360°
x
O 180° 360°
5. Jika a . 1, maka semakin besar nilai a, semakin melurus graf y = a tan x berbanding dengan graf y = tan x.
Jika 0 , a , 1, maka semakin kecil nilai a, semakin melengkung graf y = a tan x berbanding dengan graf
y = tan x. Misalnya,
y y 1
–
y = tan x y = 2 tan x y y = tan x
2
180° 360° 180° 360°
O x O x 180° 360° x
Tingkatan
O
5
274
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 274 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
15 Penyelesaian
Jarak menegak antara nilai minimum dan nilai
Perihalkan bagaimana graf maksimum = 3 – (–1) = 4
(a) y = 3 sin x berbeza dengan graf y = sin x untuk Maka, a = 4 ÷ 2 = 2
0° < x < 360° Lengkung y = sin x diulang 4 kali
(b) y = kos 3x berbeza dengan graf y = kos x untuk Maka, b = 4
0° < x < 360° 0
Lengkung y = sin x mengalami translasi 1 2 .
Penyelesaian Maka, c = 1 1
(a) Nilai maksimum y = sin x ialah 1 manakala nilai
maksimum y = 3 sin x ialah 3 Cuba Soalan 5 dalam Cuba ini! 6.2
Nilai minimum y = sin x ialah –1 manakala nilai
minimum y = 3 sin x ialah –3 18
(b) Bentuk asas graf y = kos x diulang 3 kali dalam
graf y = kos 3x y
P y = sin x
Cuba Soalan 2 dalam Cuba ini! 6.2
Q R
16 O 180° x
Lakarkan graf y = kos x untuk 0° < x < 360°. Rajah di atas menunjukkan sebahagian daripada graf
Seterusnya, lakarkan graf y = 1 2 kos 2x + 1 untuk y = sin x. Titik P dan Q ialah dua titik pada paksi-y
0° < x < 360° pada paksi yang sama. dengan keadaan Q ialah titik tengah OP. Diberi QR
Penyelesaian adalah selari dengan paksi-x. Cari koordinat titik R.
y 1 Penyelesaian
y = kos 2x + 1 1 1
–
1
1
1.5 2 P = (0°, 1) ⇒ Q = 0°, 2 ⇒ R = x, 2
1 2 2
0.5 R memuaskan fungsi y = sin x
1
x Maka, sin x =
O 180° 360° 2
y = kos x Sudut rujukan sepadan bagi x = 30°
–1 Kedudukan R menunjukkan x
Bagi graf y = 1 kos 2x + 1 Maka, x = 180° – 30° ialah sudut dalam sukuan II.
2 = 150°
• Amplitud graf ialah 0.5. 1
1
• Tempoh graf ialah 180°. Maka, R = 150°, 2
0
• Graf mengalami translasi 1 2 . 2
1
Cuba Soalan 6 dan 7 dalam Cuba ini! 6.2
Cuba Soalan 3 dan 4 dalam Cuba ini! 6.2
19
C Menyelesaikan masalah yang
melibatkan graf fungsi sinus, kosinus Populasi (ribu)
dan tangen 2.8
2
17 1.2 Tingkatan
y Masa (tahun)
O 1 2 3 4 5
3
Rajah di atas menunjukkan populasi suatu haiwan 5
di suatu kawasan tertentu dalam masa lima tahun.
1
x Diberi populasi haiwan, P, di kawasan itu boleh
O 180° 360° dimodelkan sebagai P = a sin bx + c, dengan keadaan
–1
a, b dan c ialah pemalar dan x mewakili masa dalam
Rajah di atas menunjukkan lakaran graf y = a sin bx + c. tahun.
Tentukan nilai a, b dan c.
275
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 275 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
(a) Cari fungsi P. Kuasai SPM
(b) Seterusnya, cari populasi haiwan itu pada tahun y
ke-2.
Rajah di sebelah h
Penyelesaian menunjukkan
(a) Amplitud = 2.8 – 2 = 0.8 sebahagian daripada O x
lakaran graf y = kos x.
Tempoh = 5 tahun Cari koordinat titik Q. – – 1 2 h 90° Q 180°
Maka, 360 = 5 –1
b
b = 360 A 1 105°, – 2 C 1 135°, – 2
1
1
5 2 2
= 72 B 1 120°, – 2 D 1 150°, – 2
1
1
0
Pintasan-y = 2 ⇒ Graf mengalami translasi 1 2 2 2
⇒ c = 2 2 Penyelesaian
Maka, P = 0.8 sin 72x + 2 1 1
h = 1 ⇒ – h = – (1)
2 2
(b) Apabila x = 2, P = 0.8 sin 72(2) + 2 = –
1
= 0.8 sin 144 + 2 2
1
= 2.47 Maka, Q = 1 x , – 2
Populasi haiwan itu pada tahun ke-2 ialah 2
2.47 ribu. Q memuaskan fungsi y = kos x
1
Maka, kos x = –
2
Cuba Soalan 8 dalam Cuba ini! 6.2 Sudut rujukan sepadan bagi x = 60°
Maka, x = 180° – 60°
Kuasai SPM = 120°
1
Antara lakaran graf berikut, yang manakah mewakili Maka, Q = 1 120°, – 2
2
sebahagian daripada graf y = sin x ?
A y C y Jawapan: B
1 1
x x
O 90° 180°270° 360° O 90° 180°270° 360° Cuba ini! 6.2
–1 –1 1. Lukis graf y = sin x dan y = kos x pada paksi
yang sama untuk 180° < x < 360°. Seterusnya,
B y D y bandingbezakan dua graf itu untuk 180° < x < 360°
dari segi
1 1 (a) nilai maksimum dan nilai minimum.
(b) bentuk graf.
x x
O 90° 180°270° 360° O 90° 180°270° 360° 2. Perihalkan bagaimana graf
–1 –1 (a) y = sin 2x + 2 berbeza dengan graf y = sin x
untuk 0° < x < 360°
(b) y = 2 kos 3x berbeza dengan graf y = kos x
Penyelesaian untuk 0° < x < 360°
y
1 3. Lakarkan graf y = tan 2x + 1 untuk 0° < x < 360°.
Tingkatan
x 4. Lakarkan graf y = sin x untuk 0° < x < 360°.
O 90° 180°270° 360° Seterusnya, lakarkan graf y = 2 sin 2x untuk
5
–1 0° < x < 360° pada paksi yang sama.
Jawapan: C 5. Setiap rajah berikut menunjukkan lakaran graf suatu
fungsi trigonometri. Tentukan nilai a, b dan c dalam
setiap kes.
276
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 276 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
(a) y 6. y y = kos x
y = a kos bx + c
4 P Q R
x
O 80° 360°
x
O 180° 360° Rajah di atas menunjukkan lakaran graf y = kos x. P
ialah titik pada paksi-y. Q dan R ialah dua titik pada
graf dengan keadaan PQR ialah garis lurus yang
(b) y selari dengan paksi-x. Cari koordinat titik P dan titik R.
y = a sin bx + c
2 7. y
180° 360° y = 2 sin 2x
O x h
–1 m n
O x
–4
Rajah di atas menunjukkan sebahagian daripada
(c) y graf y = 2 sin 2x. Tentukan nilai h, m dan n.
y = tan bx + c 8. L (cm)
20
2
x
O 180° 360°
t (saat)
O 1 2 3 4 5
–10
(d) y y = a kos bx + c Sebuah pelambung di laut melambung secara
180° 360° menegak ke atas dan ke bawah mengikut gelombang
O x
laut. Sesaran lambungan menegak berhubung
dengan aras laut bagi 5 saat adalah seperti yang
–2
ditunjukkan dalam graf di atas. Diberi bahawa
sesaran lambungan menegak bagi pelambung itu,
–4 L, boleh dimodelkan dengan L = a kos bt + c dengan
keadaan a, b dan c ialah pemalar dan t mewakili
masa.
(a) Cari fungsi L.
(b) Jika pada suatu ketika, pelambung itu
melambung 20 cm ke atas aras laut, cari
kedudukan pelambung itu selepas 2 saat.
Praktis SPM 6 Penyelesaian
Lengkap
KERTAS 1 3. Diberi kos x = – √3 dan 0° < x < 180°, cari nilai sin x. Tingkatan
1. Diberi bahawa sin x = –sin 25°, nilai x mungkin √3 2 1
A 155° C 245° A 2 C – √3 5
B 205° D 305° 1
B D – √3
2. Diberi tan x bernilai negatif, maka nilai x mungkin 2
A 12° 4. Diberi kos x = 0.4848 dan x ialah sudut refleks. Cari
B 122° nilai tan x.
C 222° A 1.804 C 0.5543
D 242° B –1.804 D –0.5543
277
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 277 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
5. Antara berikut, yang manakah mungkin nilai x jika 10. V
sin x bernilai negatif? U x
A 38° C 168°
B 148° D 228° S
T
6. Diberi bahawa tan x = 5 dan x ialah sudut refleks. 10 cm
y
Cari nilai kos x. 12 P 12 cm R Q
A 5 C – 12 Dalam rajah di atas, UTRQ ialah garis lurus. Diberi
13 13 3
5
B 12 D – 5 UT = 14 cm dan sin x = . Cari tan y.
13 13 A 3 C – 3
5 4
7. B 5 D – 4
P 12 cm Q 4 3
11.
P
5 cm
Q 8 cm
R
θ 5 cm
S
U x
R
Dalam rajah di atas, QRS ialah garis lurus. Cari nilai S T
kos q. Dalam rajah di atas, QUS dan RST ialah garis lurus
4
A – 5 C 12 dengan keadaan QU = US. Diberi sin ∠PQU = 5 ,
13 13 cari kos x.
12 5 A 5 C – 12
B – D 12 13
13 13
B 5 D – 5
8. Q 13 13
12. y
30 cm
P(–3, 4)
x
S R P O
x
Dalam rajah di atas, SRP ialah garis lurus. Diberi θ
kos x = – 15 , cari, dalam cm, panjang PQ.
17 Dalam rajah di atas, O ialah asalan dan P ialah satu
A 14 C 16 titik pada satah Cartes. Cari sin q.
B 15 D 17 A 3 C – 4
4 5
9. P B 4 D – 3
3 5
13. D
θ
S x
Q R C
Dalam rajah di atas, PR = 10 cm, QS = 16 cm dan q cm
R ialah titik tengah QS. Cari tan q.
Tingkatan
3
A – C – 4 A p cm B
4 5 Dalam rajah di atas, ACD ialah garis lurus. Diberi
5
3
1
B – D – 4 kos x = – . Cari nilai p.
5 3 2
A q tan 60° C q tan 30°
B q kos 60° D q kos 30°
278
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 278 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
14. T S R 18. y
R(0.669, 0.743)
p
x
O
P Q S(–0.848, –0.530)
Dalam rajah di atas, PQRS ialah satu segi empat
selari dan TSR ialah garis lurus. Diberi bahawa
sin ∠PST = 15 , cari nilai kos ∠PQR. Rajah di atas menunjukkan sebuah bulatan unit.
17 Cari nilai sudut bagi sektor minor ROS sebagaimana
A 8 C – 8 yang dilabel sebagai p.
15 15 A 134° C 154°
B 8 D – 8 B 144° D 164°
17 17 19. y
15. y
θ
Q(–0.454, 0.891) 1 x
O
y P(0.848, 0.530)
Q(–5, –12)
x x
–1 O 1 Rajah di atas menunjukkan suatu satah Cartes
Rajah di atas menunjukkan titik P dan titik Q pada dengan titik Q. Cari nilai kos q.
lilitan satu bulatan unit dengan pusat asalan O. Cari A 5 C – 12
nilai kos x + sin y. 13 13
A 1.739 C 0.394 B 12 D – 5
B 1.421 D 0.076 13 13
20.
16. y P V
17 cm
8 cm
θ 16 cm R W Q
x
O
S
Q(0.86, –0.65) U
T
Rajah di atas menunjukkan suatu satah Cartes Dalam rajah di atas, PQS dan UVW ialah dua segi
dengan titik Q. Cari nilai q. tiga dan PRST ialah garis lurus. Diberi garis RWQ
A 329°199 ialah paksi simetri bagi segi tiga PQS dan UVW. W
B 322°559 ialah titik tengah garis RQ.
C 319°289 Cari nilai bagi kos ∠QST + tan ∠QUW.
D 314°329 A 1.22 C 0.47
B 1.20 D 0.40
17. S 21. Antara lakaran graf berikut, yang manakah mewakili
graf fungsi y = sin 2x untuk 0° < x < 360°?
T A y C y
15 cm
10 cm
1 1 Tingkatan
x x
P Q R O 180° 360° O 180° 360°
–1 –1
Dalam rajah di atas, PQR dan STQ ialah garis lurus. 5
Diberi sin ∠RSQ = 3 dan kos ∠PTS = – 4 , cari,
5 5 B y D y
dalam cm, panjang ST.
A 6 1 1
B 5 x x
C 4 O 180° 360° O 180° 360°
D 3 –1 –1
279
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 279 03/03/2023 1:01 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
22. Antara lakaran graf berikut, yang manakah mewakili 25. Antara lakaran graf berikut, yang manakah mewakili
graf fungsi y = kos x untuk 0° < x < 270°? graf fungsi y = kos x + 1 untuk 0° < x < 180°?
A C A y C y
y y
2 2
1 1
x
x x O
O 90° 270° O 90° 270° –1 180°
–1 –1 x
O 180°
B D
B y D y y y
2 2
1 1 90° 180° x
O
x x –1
O 90° 270° O 90° 270° x
–1 –1 O 180°
26. y
23. Antara lakaran graf berikut, yang manakah mewakili 1 Q
graf fungsi y = 2 kos x?
A C
y y
x
4 2 O
180° x 90° x Rajah di atas menunjukkan lakaran sebahagian
O 90° O 180°
daripada graf y = sin x. Cari koordinat titik Q.
–4 –2 A (60°, 1) C (120°, 1)
B (90°, 1) D (180°, 1)
B y D y 27.
4 2 y
1
360° x 180° x
O 180° O 360° x
O 180° Q 360°
–4 –2
–1
Rajah di atas menunjukkan lakaran graf y = sin x.
24. y Diberi koordinat titik Q ialah (h, –0.4848), cari kos h.
1 y = kos x A –0.5152 C –0.7762
B –0.5543 D –0.8746
k
O 360° x 28. Antara lakaran graf berikut, yang manakah mewakili
–1 y = sin x graf fungsi y = sin x untuk 180° < x < 360°?
A y C y
Rajah di atas menunjukkan lakaran graf y = sin x 1
dan y = kos x pada satah Cartes yang sama. Nilai k 180° 360° x
ialah KBAT 180° 360° x
Menganalisis
A 210° –1 –1
B 225°
Tingkatan
C 240° B y D y
5
D 253° 1 1
x
180° 360° x
180° 360°
–1
280
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 280 03/03/2023 1:02 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
29. Antara lakaran graf berikut, yang manakah mewakili 7. S
graf fungsi y = tan x untuk 0° < x < 180°?
A C y x
y
R
6 cm 4 cm
x x y
O 90° 180° O 90° 180°
P Q
Dalam rajah di atas, QRS ialah garis lurus. Diberi
B D y bahawa QR : RS = 2 : 5, cari
(a) tan x.
y
(b) kos y.
x x 8.
O 90° 180° O 90° 180° S
y
R
30. y x
z
Q
h 90° 180° P
O 45° x Dalam rajah di atas, PRS ialah garis lurus. Diberi
–h P(k, –h)
bahawa PR : PQ = 3 : 4, cari
(a) tan x.
Rajah di atas menunjukkan sebahagian daripada (b) kos y.
lakaran graf y = tan x. Cari nilai k. (c) sin z.
A 105° C 135°
B 120° D 150° 9. y
KERTAS 2
θ
1. Diberi tan x = –0.2833, x
(a) cari nilai-nilai x untuk 0° < x < 360°, O
(b) seterusnya, cari kos x jika 0° < x < 180°. P(8, –6)
2. Diberi sin x = –sin 39°, Rajah di atas menunjukkan suatu satah Cartes
(a) cari nilai-nilai x untuk 0° < x < 360°,
(b) seterusnya, cari tan x jika 180° < x < 270°. dengan titik P. Cari, dalam bentuk pecahan,
(a) sin q.
3. Diberi bahawa kos x = kos 25° dan tan x bernilai (b) kos q.
negatif, cari (c) tan q.
(a) sin x
(b) tan x 10. y
4. Diberi bahawa kos x = √3 dan x ialah sudut refleks. 2
2
Cari, tanpa menggunakan kalkulator, θ
(a) sin x x
(b) tan x –2 O 2
P(–h, –k) –2
5. Diberi bahawa tan x = – √3 dan 0° < x < 180°. Cari,
tanpa menggunakan kalkulator, Rajah di atas menunjukkan suatu satah Cartes Tingkatan
(a) sin x dengan bulatan berpusat pada asalan O dan
(b) kos x
berjejari 2 unit. Cari, dalam sebutan h atau/dan k,
(a) sin q. 5
6. Diberi bahawa sin x = – √3 dan tan x bernilai (b) kos q.
2
positif, cari tanpa menggunakan kalkulator, (c) tan q.
(a) kos x
(b) sin x + tan x
281
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 281 03/03/2023 1:02 PM
Matematik SPM Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri
11. Lakarkan graf y = tan x + 2 pada satah Cartes yang 15. Lakarkan graf y = tan 2x + 1 pada satah Cartes
disediakan berikut untuk 0° < x < 180°. yang disediakan berikut untuk 0° < x < 360°.
y
y
1 O 45° 90° 135°180°225°270°315°360° x
x
O 45° 90° 135° 180°
–1
12. Lakarkan graf y = sin x pada satah Cartes yang 16. Perihalkan transformasi yang memetakan graf
disediakan berikut untuk 0° < x < 360°. Seterusnya, y = sin x kepada y = kos x. KBAT
lakarkan graf y = sin 2x – 1 untuk 0° < x < 360° Menganalisis
pada paksi yang sama. 17.
S(cm)
y
5
1
1 t(saat)
x O 2
O 90° 180° 270°360°
–1 –5
Rajah 1 Rajah 2
Rajah 1 menunjukkan satu spring yang digantung
dari siling dan satu beban pada hujung lain pada
13. Lakarkan graf y = kos x pada satah Cartes yang keadaan keseimbangan. Beban itu ditolak secara
disediakan berikut untuk 0° < x < 360°. Seterusnya, menegak 5 cm ke atas dan kemudian dilepaskan.
lakarkan graf y = 1 kos 3x untuk 0° < x < 360° Diberi kedudukan menegak beban itu, S, berhubung
2 dengan kedudukannya pada keseimbangan boleh
pada paksi yang sama.
dimodelkan dengan S = a kos bt, dengan keadaan
y a dan b ialah pemalar dan t ialah masa. Rajah 2
menunjukkan graf fungsi S.
(a) Cari fungsi S.
1 (b) Cari kedudukan beban itu 1.2 saat selepas
dilepaskan.
x
O 60° 120° 180°240°300°360°
18. Kenaikan dan penurunan aras laut berhubung
–1 dengan aras darat di suatu tempat disebabkan
pasang surut air boleh dimodelkan dengan
h = 1.5 sin 30t,
14. Lakarkan graf y = sin x pada satah Cartes yang dengan keadaan h, dalam m, mewakili aras laut dan
disediakan berikut untuk 0° < x < 360°. Seterusnya, t mewakili masa, dalam jam, selepas 12:00 a.m.
lakarkan graf y = 1 sin x – 1 untuk 0° < x < 360° (a) Lakarkan graf h melawan t untuk 0 < t < 24.
2 (b) Cari aras laut pada jam 11:00 a.m. dan jam
pada paksi yang sama. 4:00 p.m.
KBAT
y Menganalisis
Tingkatan
1
5
x
O 90° 180° 270°360°
–1
282
06 Focus SPM Mate Tg5_2023.indd 282 03/03/2023 1:02 PM
Matematik SPM Jawapan
JAWAPAN
(e) f(x) (f) f(x)
Tingkatan 4
0 x
Bab Fungsi dan Persamaan –4 4
1 Kuadratik dalam Satu
Pemboleh Ubah
x
Cuba ini! 1.1 –2 0
1. (a) Ya, ungkapan ini hanya mempunyai satu pemboleh ubah 14. x = 7
x dan kuasa tertinggi x ialah 2.
(b) Ya, ungkapan ini hanya mempunyai satu pemboleh ubah 15. 2 jam.
u dan kuasa tertinggi u ialah 2.
(c) Bukan, kerana kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah x ialah 1. 16. Hasil darab dua nombor ganjil berturutan ialah 323. x = 17
(d) Bukan, kerana kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah x ialah 3. 17. RM 24
(e) Ya, ungkapan ini hanya mempunyai satu pemboleh ubah 18. (a) Bukan
y dan kuasa tertinggi y ialah 2. (b) Ya
(f) Bukan, kerana kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah x ialah 1. (c) Bukan
2. (a) Berbentuk parabola buka ke atas dengan satu titik minimum.
(b) Berbentuk parabola buka ke atas dengan satu titik minimum.
(c) Berbentuk parabola buka ke bawah dengan satu titik Praktis SPM 1
maksimum.
(d) Berbentuk parabola buka ke bawah dengan satu titik KERTAS 1
maksimum. 1. C 2. A 3. D 4. B 5. A
3. (a) graf berbentuk dan lebarnya semaking berkurang. 6. C 7. B 8. D 9. C 10. A
(b) graf berbentuk dan berada di sebelah kanan paksi-y.
(c) graf berbentuk dan bergerak secara menegak ke KERTAS 2
bawah.
4. Graf bergerak secara menegak ke atas sebanyak 12 unit 1. x = 2, –9
3
5. f(x) = 2x + 16x 2. x = , –2
2
5
6. f(x) = 12x + 31x + 9 3. 30
2
7. (a) f(x) = 10x – 33x – 28 (b) 10x – 33x – 86 = 0 4. 0.2 m
2
2
8. (a) f(x) = 7x + 26x – 6 (b) 7x +26x – 126 = 0
2
2
5. P(–1, 0) dan Q(4, 0)
9. (a) Bukan (b) Ya (c) Ya (d) Bukan
10. (a) Ya (b) Bukan (c) Ya (d) Bukan 6. f(x)
5 3
11. (a) 0, 8 (b) 0, – (c) 0,
2 2 x
2 2 3 3 –8 0 2
(d) –6, 6 (e) – , (f) – ,
5 5 2 2
7
12. (a) –3, –5 (b) 3, –8 (c) 4, –
2
5 2 2 9 3
(d) , – (e) 6, (f) – , –8
2 3 3 2 2
13. (a) f(x) (b) f(x)
10 12
7
7. f(x) = x – 14x + 56
2
4
8. x = 4
0 2 5 x 9. 304 m 2
x 10. Bas A berjarak 90 km dan bas B berjarak 120 km dari stesen
–3 0 4 bas.
(c) f(x) (d) f(x) 11. 6 saat
3 12. x = 60, h = 45
13. Mereka perlu menjual 32 keping kek keju dengan harga RM5
x sekeping atau menjual 40 keping kek keju dengan harga RM4
– – 1 0 2 x
3 –1 0 3 sekeping.
–2 – 4
14. Ukuran gambar foto ialah 15 cm × 12 cm
335
12 Jaw Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 335 03/03/2023 12:51 PM
Matematik SPM Jawapan
Bab Praktis SPM 2
2 Asas Nombor
KERTAS 1
Cuba ini! 2.1 1. B 2. B 3. B 4. D 5. C
6. C 7. B 8. A 9. D 10. A
1. (a) 2 3
(b) 4 1 11. D 12. C 13. D 14. B 15. C
(c) 7 2 16. B 17. C 18. C 19. A
(d) 6 0
KERTAS 2
2. (a) 500
(b) 16 1. (a) 54
(c) 7 (b) 5
(d) 12 (c) 15
(d) 144
3. (a) 55
(b) 95 2. (a) 212 3
(c) 34 (b) 21120 3
(d) 89 3. (a) 210 7
4. (a) 10001 2 (b) 65 7
(b) 100111110 2 4. (a) 293
(c) 1001100 2 (b) 51
5. (a) 201 5 (c) 63
(b) 2113 5 (d) 44
(c) 100 5 5. 210033 6
6. (a) 32 6 6. (a) 2
(b) 133 6 (b) 222 3
(c) 5515 6
7. (a) P = 333, Q = 135
7. (a) 45 8 (b) R = 23 5 , 24 5 , 30 5 , 31 5
(b) 65 8 8. (a) X = 14 5 , 20 5 , 21 5
(c) 160 8
(b) 2
8. (a) 235 8 9. (a) 110001 2
(b) 734 8 (b) 54 9
(c) 1101110 2
(d) 11100111 2 10. (a) 7
(b) 1
9. (a) 120 4
(b) 422 5 11. (a) 5
(c) 1424 6 (b) 3
(d) 1000101 2 12. (a) 3
(e) 26 8 (b) 1
(f) 261 9 13. Mentega jenama P lebih menjimatkan dengan harganya
RM9.60/kg berbanding dengan mentega jenama Q yang
10. (a) 11020 3 berharga RM10.43/kg.
(b) 4020 5
(c) 200 6
(d) 27 8
11. (a) 212 6
(b) 88 9
12. Y = 121 5 , 122 5 , 123 5 , 124 5
336
12 Jaw Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 336 03/03/2023 12:51 PM
Matematik SPM Jawapan
(b) 15 ialah gandaan 5 atau kuasa dua sempurna.
Bab (c) Rombus ialah segi empat sama atau segi empat selari.
3 Penaakulan Logik (d) 5 – 3 = 4 atau 8 – 7 = 5 2
2
2
2
2
2
(e) Titik (0, 4) atau titik (4, 0) berada di paksi-y.
9. (a) Benar (b) Benar
Cuba ini! 3.1 (c) Palsu (d) Palsu
1. (a) Pernyataan. Suatu pernyataan yang benar. (e) Palsu
(b) Bukan pernyataan. Tidak dapat menentukan sama ada ayat
ini benar atau palsu. 10. ~p ~q p q p q
(c) Bukan pernyataan. Tidak dapat menentukan sama ada ayat (a) 3 7 7 3
ini benar atau palsu.
(d) Bukan pernyataan. Tidak dapat menentukan sama ada ayat (b) 3 3 7 7
ini benar atau palsu. (c) 7 7 3 3
(e) Pernyataan. Suatu pernyataan yang benar.
(f) Pernyataan. Suatu pernyataan yang palsu. (d) 3 7 7 3
(g) Bukan pernyataan. Tidak dapat menentukan sama ada
1
1
benar atau palsu. 11. (a) Jika m = , maka m = .
3
(h) Bukan pernyataan. Tidak dapat menentukan sama ada 2 8
benar atau palsu. (b) Jika PQR ialah segi tiga bersudut tegak, maka sisi PQ, QR
2. (a) Palsu (b) Benar dan PR memenuhi teorem Pythagoras.
(c) Palsu (d) Benar (c) Jika a , 0, maka a , 0 atau b , 0.
(e) Benar (f) Palsu b
(g) Benar (h) Benar (d) Jika p q, maka p – q 0.
3. (a) Benar: 16 + 23 32 12. (a) Antejadian : Sisi segi empat sama ialah a cm.
Palsu: 16 23 + 32 Akibat : Luasnya ialah a cm . 2
2
2 3
(b) Benar: × ÷ 1 = 1 (b) Antejadian : n(X) = 0
3 2 Akibat : X = { }
Palsu: 2 ÷ 3 × 1 = 1
3 2 (c) Antejadian : pq = 0
(c) Benar: 9 × 3 ≠ 4 × 2 Akibat : p = 0 atau q = 0
Palsu: 4 ≠ 3 × 2 (d) Antejadian : A(x 1 , y 1 ) dan B(x 2 , y 2 )
9
×
(d) Benar: {2, 4} , {2, 3, 4} Akibat : Kecerunan AB = y 2 – y 1
Palsu: {2, 3, 4} , {2, 4} x 2 – x 1
4. (a) Sebilangan (b) Semua 13. (a) mn = –1 jika dan hanya jika m = – 1 .
(c) Semua (d) Semua n
(e) Sebilangan (b) a ialah faktor bagi b jika dan hanya jika b ialah gandaan
5. (a) z – 5 bukan ungkapan linear. (benar) bagi a.
3
(b) x + 3 tidak melebihi x sebanyak 3. (palsu) (c) 3 √x = –1 jika dan hanya jika x = –1.
(c) { } {a, b} (palsu) 14. (a) Jika p ialah nombor genap, maka p ialah nombor genap.
2
(d) 0.01 ≠ 1 × 10 (benar) Jika p ialah nombor genap, maka p ialah nombor genap.
–2
2
2
6. (a) ~p : Bukan semua gandaan 4 ialah gandaan 10. (b) Jika θ ialah sudut cakah, maka 90° , θ , 180°.
p : Palsu Jika 90° , θ , 180°, maka θ ialah sudut cakah.
~p : Benar (c) Jika x ialah pecahan tak wajar, maka x 3.
(b) ~p : √0.004 ≠ 0.02 3 x
p : Palsu Jika x 3, maka 3 ialah pecahan tak wajar.
~p : Benar (d) Jika h ialah nombor positif, maka h 0.
(c) ~p : Silinder tidak mempunyai satu permukaan melengkung. Jika h 0, maka h ialah nombor positif.
p : Benar
~p : Palsu 15. (a) Akas: Jika 4 ialah faktor bagi 16, maka 16 ialah gandaan
bagi 4.
7. (a) Trapezium ialah segi empat selari. (palsu) Songsangan: Jika 16 bukan gandaan bagi 4, maka 4 bukan
Trapezium ialah segi empat tepat. (palsu) faktor bagi 16.
Trapezium ialah segi empat selari dan segi empat tepat. Kontrapositif: Jika 4 bukan faktor bagi 16, maka 16 bukan
(palsu) gandaan bagi 4.
(b) Semua nombor perdana ialah nombor ganjil. (palsu) (b) Akas: Jika x y, maka x – y 0.
Semua nombor perdana ialah nombor yang tidak boleh Songsangan: Jika x – y < 0, maka x < y.
dibahagi dengan nombor lain selain 1 dan dirinya sendiri. Kontrapositif: Jika x < y, maka x – y < 0.
(benar) (c) Akas: Jika a 0, maka y = ax + bx + c mempunyai titik
2
Semua nombor perdana ialah nombor ganjil atau nombor minimum.
yang tidak boleh dibahagi dengan nombor lain selain 1 dan Songsangan: Jika y = ax + bx + c tidak mempunyai titik
2
dirinya sendiri. (benar) minimum, maka a < 0.
2
(c) Segi tiga ialah bentuk tiga dimensi. (palsu) Kontrapositif: Jika a < 0, maka y = ax + bx + c tidak
Piramid ialah bentuk tiga dimensi. (benar) mempunyai titik minimum.
Segi tiga atau piramid ialah bentuk tiga dimensi. (benar) (d) Akas: Jika x = a ialah salah satu puncanya, maka
(d) a × 1 = a (benar) (x – a)(x – b) = 0.
a ÷ 1 = a (benar) Songsangan: Jika (x – a)(x – b) ≠ 0, maka x = a bukan
a × 1 = a dan a ÷ 1 = a (benar) salah satu puncanya.
Kontrapositif: Jika x = a bukan salah satu puncanya, maka
2
3
2
8. (a) 1 m = 10 000 cm dan 1 cm = 1 000 mm / (x – a)(x – b) ≠ 0.
3
1 m = 10 000 cm atau 1 cm = 1 000 mm 3
2
3
2
337
12 Jaw Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 337 03/03/2023 12:51 PM
Matematik SPM Jawapan
16. (a) Implikasi: Jika a ialah faktor bagi 12, maka a ialah faktor (d) Premis 1: 2 × 3 = 6
bagi 6. (Palsu) Premis 2: 4 × 5 = 20
Akas: Jika a ialah faktor bagi 6, maka a ialah faktor bagi Premis 3: 6 × 7 = 42
12. (Benar) Kesimpulan: Hasil darab satu nombor genap dan satu
Songsangan: Jika a bukan faktor bagi 12, maka a bukan nombor ganjil adalah genap.
faktor bagi 6. (Benar) (Hujah induktif)
Kontrapositif: Jika a bukan faktor bagi 6, maka a bukan 2. (a) Hujah induktif (b) Hujah deduktif
faktor bagi 12. (Palsu) (c) Hujah induktif (d) Hujah deduktif
(b) Implikasi: Jika x 6, maka x 4. (Benar) 3. (a) Sah. Tidak munasabah kerana Premis 1 dan kesimpulan
Akas: Jika x 4, maka x 6. (Palsu) adalah palsu.
Songsangan: Jika x < 6, maka x < 4. (Palsu) (b) Tidak sah. Munasabah kerana semua premis dan
Kontrapositif: Jika x < 4, maka x < 6. (Benar) kesimpulan adalah benar.
(c) Implikasi: Jika y = 81, maka √y = 9. (Benar) (c) Sah. Munasabah kerana semua premis dan kesimpulan
Akas: Jika √y = 9, maka y = 81. (Benar) adalah benar.
Songsangan: Jika y ≠ 81, maka √y ≠ 9. (Benar) (d) Tidak sah. Munasabah kerana semua premis dan
Kontrapositif: Jika √y ≠ 9, maka y ≠ 81. (Benar) kesimpulan adalah benar.
17. (a) Jika x = –27, maka x = –3. (Benar) (e) Sah. Tidak munasabah. Tahap kebenaran premis dan
3
Songsangan: Jika x ≠ –27, maka x ≠ –3. (Benar) kesimpulan adalah rendah.
3
(b) Jika x , –5, maka x , –7. (Palsu) 4. (a) Sah dan munasabah. Semua premis dan kesimpulan
Akas: Jika x , –7, maka x , –5. (Benar) adalah benar.
(c) Jika x ialah gandaan 18, maka x ialah gandaan 9. (Benar) (b) Sah tetapi tidak munasabah. Premis 1 adalah palsu.
Kontrapositif: Jika x bukan gandaan 9, maka x bukan (c) Sah dan munasabah. Semua premis dan kesimpulan
gandaan 18. (Benar) adalah benar.
(d) Jika f(x) ialah fungsi kuadratik, maka f(x) ialah hubungan (d) Sah tetapi tidak munasabah. Premis 1 dan kesimpulan
banyak kepada satu. (Benar) adalah palsu.
Akas: Jika f(x) ialah hubungan banyak kepada satu, maka 5. (a) Premis 1: Jika hari ini hujan, maka Nurul tidak
f(x) ialah fungsi kuadratik. (Palsu)
menghadiri kelas tambahan.
18. (a) Contoh penyangkal: 4 Premis 2: Hari ini hujan.
(b) Contoh penyangkal: x = 1 Kesimpulan: Nurul tidak menghadiri kelas tambahan.
1 (b) Premis 1: Semua sudut dalam segi tiga bersudut tegak
(c) Contoh penyangkal: p =
2 tidak melebihi 90°.
(d) Contoh penyangkal: x = 1, y = 2, z = 3 Premis 2: Sudut A ialah sudut dalam segi tiga bersudut
tegak.
19. (a) Palsu. Contoh penyangkal : 2 Kesimpulan: Sudut A tidak melebihi 90°.
(b) Benar. x y
(c) Palsu. Contoh penyangkal : {1, 2} (c) Premis 1: Jika a + b = 1, maka a ialah pintasan-x dan
(d) Palsu. Contoh penyangkal : a = 4 b ialah pintasan-y.
20. (a) Penafian: Set kosong { } tidak mempunyai subset. (Palsu) Premis 2: a bukan pintasan-x dan b bukan pintasan-y.
Contoh penyangkal: Set kosong { } x y
(b) Penafian: Semua faktor bagi 25 ialah nombor bukan kuasa Kesimpulan: a + b ≠ 1
dua sempurna. (Palsu)
Contoh penyangkal: 1 6. (a) Premis 1: Semua kubus dengan sisi x mempunyai isi padu
(c) Kontrapositif: Jika m > 5, maka m > 8. (Palsu) x . 3
Contoh penyangkal: m = 6 Premis 2: Kubus A mempunyai sisi 5 cm.
(d) Songsangan: Jika PQRS bukan segi empat sama, maka Kesimpulan: Kubus A mempunyai isi padu 5 cm . 3
3
PQRS tidak mempunyai empat sudut tegak. (Palsu)
Contoh penyangkal: Segi empat tepat mempunyai empat (b) Premis 1: Jika satu poligon sekata mempunyai n sisi, maka
sudut tegak. (n – 2) × 180°
sudut pedalaman ialah .
n
Cuba ini! 3.2 Premis 2: PQRST mempunyai 5 sisi.
(5 – 2) × 180°
Kesimpulan: Sudut pedalaman PQRST ialah
1. (a) Premis 1: Jika seseorang memandu melebihi had laju 5
110 km/j di lebuh raya, maka pemandu tidak = 108°.
mematuhi had laju yang ditetapkan.
Premis 2: Adnan memandu dengan laju 115 km/j di lebuh 7. (a) Premis 2: PQRS ialah segi empat sama. 2
raya. (b) Premis 1: Jika x ialah nombor genap, maka x ialah
Kesimpulan: Adnan tidak mematuhi had laju yang ditetapkan. nombor genap.
(Hujah deduktif) (c) Premis 2: Set A = set B
(b) Premis 1: Semua faktor bagi 10 ialah faktor bagi 20. (d) Premis 1: Jika set X ialah subset bagi set Y, maka a X
dan a Y.
Premis 2: 5 ialah faktor bagi 10. (e) Premis 1: Jika 0 , sin θ , 1, maka θ berada dalam julat
Kesimpulan: 5 ialah faktor bagi 20. 0° , θ , 180°.
(Hujah deduktif) (f) Premis 2: Dua garis lurus itu adalah selari.
(c) Premis 1: Masa tayangan wayang A yang pertama ialah
12:30 p.m. 8. (a) Lemah. Kesimpulan palsu.
Premis 2: Masa tayangan wayang A yang kedua ialah (b) Kuat dan meyakinkan. Semua premis dan kesimpulan
1:15 p.m. adalah benar.
Premis 3: Masa tayangan wayang A yang ketiga ialah (c) Lemah. Kesimpulan adalah palsu.
2:00 p.m. (d) Kuat dan meyakinkan. Semua premis dan kesimpulan
Kesimpulan: Masa tayangan wayang A ialah 45 minit adalah benar.
selepas setiap tayangan. (e) Kuat tetapi tidak meyakinkan. Premis 2 adalah palsu.
(Hujah induktif)
338
12 Jaw Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 338 03/03/2023 12:51 PM
Matematik SPM Jawapan
9. (a) Kuat dan meyakinkan. Semua premis dan kesimpulan (iii) Bukan pernyataan
adalah benar. (b) (i) Benar (ii) Palsu
(b) Kuat tetapi tidak meyakinkan. Premis 1 adalah palsu. (iii) Benar
(c) Kuat dan meyakinkan. Semua premis dan kesimpulan (c) Premis 1: Semua kon dengan tinggi t cm dan jejari j cm
adalah benar. 1
mempunyai isi padu pj t cm .
3
2
3
10. (a) 2 , n = 1, 2, 3, … Premis 2: Kon A mempunyai tinggi 20 cm dan jejari 5 cm.
n
(b) 3n – 15, n = 0, 1, 2, 3, … atau 3n – 18, n = 1, 2, 3, … 1
2
(c) –n + n , n = 1, 2, 3, … Kesimpulan: Kon A mempunyai isi padu 3 p(5) (20)
2
(d) 11 – 5n, n = 1, 2, 3, … = 500 p cm . 3
(e) 2n – 1, n = 1, 2, 3, … 3
2
2
(f) 3(n)(n + 1) atau 3n + 3n, n = 1, 2, 3, … 7. (a) (i) Benny, Ah Meng, Dahlan, Cindy
1
11. (a) 1 2 n , n = 1, 2, 3, … (ii) Markah Benny adalah terendah antara empat orang
murid itu.
2
(b) 17.5 + 0.5n, n = 1, 2, 3, … (b) Benar Palsu
12. (a) 4 × 5 n – 1 , n = 1, 2, 3 (i) 3
(b) 2 , n = 1, 2, 3, … (ii) 3
n
(iii) 3
13. (a) 9.271 km
(b) 1.7 + 0.8n, n = 1, 2, 3, … (c) Akas: Jika a – b 0, maka a b.
(c) Pelari B Songsangan: Jika a < b, maka a – b < 0.
14. (a) 280 – 16n, n = 1, 2, 3, … Kontrapositif: Jika a – b < 0, maka a < b.
(b) 16 hari 8. (a) (i) (a) Jika x 8, maka x 10.
(c) 124 – 18m, m = 1, 2, 3, … (b) Tahukah anda cara menyelesaikan masalah
7 hari matematik ini?
Eh, mudah sahaja!
15. (a) 5 + 3n, n = 1, 2, 3, …
(b) Chandran Tolong beri saya sebatang pen atau pensel.
(Mana-mana dua jawapan)
16. (a) 78 200 (ii) Implikasi: Jika x 8, maka x 10. (palsu)
(b) (i) 98 600 Contoh penyangkal: x = 9
(ii) 10 tahun Akas: Jika x 10, maka x 8. (benar)
Songsangan: Jika x < 8, maka x < 10. (benar)
Praktis SPM 3 Kontrapositif: Jika x < 10, maka x < 8. (palsu)
Contoh penyangkal: x = 9
(b) Premis 1: Semua kubus dengan sisi n cm mempunyai luas
KERTAS 1 permukaan 6n cm . 2
2
Premis 2: Kubus A mempunyai sisi 5 cm.
1. C 2. C 3. A 4. B 5. B Kesimpulan: Kubus A mempunyai luas permukaan
6. B 7. C 8. A 9. C 10. D 6(5) = 150 cm .
2
2
9. (a) Implikasi 1: Jika dua buah segi tiga adalah kongruen,
KERTAS 2 maka kedua-dua segi tiga mempunyai bentuk
1. (a) (i) 2 bukan faktor bagi semua nombor genap. dan saiz yang sama.
(ii) –5 < –8 Implikasi 2: Jika dua buah segi tiga mempunyai bentuk
(b) (i) Benar dan saiz yang sama, maka kedua-dua segi
(ii) Palsu tiga adalah kongruen.
(b) (i)
2. (a) Akas: Jika m = n, maka a = a . n 1 2 3 4 5
m
n
m
Songsangan: Jika a ≠ a , maka m ≠ n. p 3 5 7 9 11
n
Kontrapositif: Jika m ≠ n, maka a ≠ a . n
m
(b) atau p = 1 + 2n
(ii) 61 batang mancis
3. (a) { } , {2, 5, 8} dan φ {2, 5, 8}
(b) Implikasi 1: Jika m ialah nombor ganjil, maka m tidak boleh (iii) 23 buah segi tiga
dibahagi tepat dengan 2. (c) Sudut yang dicangkum di pusat sebuah oktagon ialah
Implikasi 2: Jika m tidak boleh dibahagi tepat dengan 2, 360° = 45°.
maka m ialah nombor ganjil. 8
(c) a bukan nombor ganjil. 10. (a) Benar
4. (a) (i) Tidak munasabah (ii) Munasabah (b) Implikasi 1: Jika a b 1, maka a b dengan keadaan
(b) (i) Benar (ii) Palsu a 0 dan b 0.
(iii) Palsu (iv) Benar Implikasi 2: Jika a b dengan keadaan a 0 dan b 0,
5. (a) (i) Kuat tetapi tidak meyakinkan maka a b 1.
(ii) Kuat dan meyakinkan (n – 2) × 180°
(b) Pernyataan benar: √6 √8 – √2 (c) (i) n , n = bilangan sisi poligon sekata
Pernyataan palsu: √8 – √6 √2 (ii) 140°
(c) Pernyataan. Suatu pernyataan yang benar. (iii) Oktagon sekata
6. (a) (i) Bukan pernyataan (ii) Pernyataan (d) Jika x bukan faktor bagi 4, maka x bukan faktor bagi 8.
(Palsu)
339
12 Jaw Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 339 03/03/2023 12:51 PM
Matematik SPM Jawapan
9. (a) ξ
Bab
4 Operasi Set P Q
Cuba ini! 4.1
1. (a) (i) P Q ialah nombor perdana yang melebihi 80. R
(ii) P Q = {83, 89}
(iii) P Q = {x : x ialah nombor perdana dan x 80}
(b) ξ
(b) Q
ξ
P Q • 70 • 77 P
• 81 • 72
• 71 • 83 • 82 • 87 • 78
• 73 • 84 • 88 • 74
• 79 • 89 • 85 • 90 • 75 • 80
• 86 R
• 76
10. (a) Betik, oren dan epal
2. (a) A B = {Khamis, Sabtu} (b) Anggur, tembikai, kiwi, mangga, jambu dan pisang.
ξ 11. (a) K M
A B
• Isnin
• Ahad • Khamis • Selasa 12 13 15
• Jumaat • Sabtu • Rabu
(b) (i) D C = (Jumaat, Sabtu} (b) (i) 13
(ii) A C = (Khamis, Jumaat, Sabtu} (ii) 27
(c) (D C) , (A C)
Cuba ini! 4.2
3. (a) P Q = {–7, 0, 1}
(b) Q R = {–7, 1, 2} 1. (a) (i) A B ialah set huruf dalam perkataan ‘kecil’ atau
(c) P Q R = {–7, 1} huruf vokal.
(ii) A B = {k, e, c, i, I, a, o}
4. (a) A B = {a, e, f } (iii) A B = {x : x ialah x huruf dalam perkataan ‘kecil’ atau
(b) A B = ∅ x ialah huruf vokal}
(c) A B D = {a, e, f } (b)
ξ A B
5. (a) P Q = {2, 3, 4, 6}
(b) Q R = {3, 6, 8, 10, 12} • k • e • a • f
(c) P R = {3, 6} • c • i • o • j
• m
(d) P Q R = {3, 6} • l • n
• p
6. (a)
ξ
P 2. (a) A B = {segi tiga sama sisi, segi empat sama, pentagon
Q sekata, heksagon sekata, heptagon sekata}
ξ
R A
B • Heptagon
P Q sekata • Segi empat sama
• Segi tiga • Pentagon sekata
(b) ξ sama sisi • Heksagon sekata
P Q
• Nonagon • Oktagon
sekata sekata
(b) A , A B.
R
3. (a) P Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Q R (b) Q R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 17, 18}
(c) P Q R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 17, 18}
7. (a) (P Q) = {12, 13, 18, 19, 20, 21, 22, 24}
(b) (Q R) = {12, 13, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25} 4. (a) P Q = {p, q, r, x, y, u, v, w, z}
(b) Q R = {m, s, t, u, x, y, v, z}
8. (a) 30 (c) P Q R = {m, p, q, r, s, t, x, y, u, v, w, z}
(b) 33
(c) 42
340
12 Jaw Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 340 03/03/2023 12:51 PM
Matematik SPM Jawapan
5. (a) ξ (b) (i) 43
(ii) 7
P (iii) 10
Cuba ini! 4.3
1. (a) (P R) Q = {31, 33, 35, 36, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49}
Q (b) (Q R) P ={36, 39, 45, 47, 49}
(c) (P Q) (Q R) = {33, 39, 45, 47, 49}
R
2. (a) ξ
P
(b)
ξ Q
P
R
Q
(b) ξ
R P Q
6. (a) (P Q) = {13, 14, 15, 16}
(b) (P R) = {11, 13, 15}
(c) (Q R) = {13, 15, 19} R
7. (a) 18 3. (a) (R P) Q = {b, c, e, m, n}
(b) 13 (b) (Q R) P = {a, j }
(c) 11 (c) R (P R) = ∅
(d) (P Q) (Q R) = {d, l, i }
8. (a) ξ
4. (a) ξ
P
Q
P
R
Q
R
(b) ξ
P Q
(b) ξ R
Q
P
5. (a) x = 2
(b) (i) 20
(ii) 9
R (iii) 17
(iv) 13
6. (a)
M
6
9. (a) Nasi lemak, ayam goreng, mi kari, telur goreng, bihun sup,
bi hun goreng, tom yam sup.
(b) Nasi lemak, ayam goreng. 7 8
4
10. (a) M 7 5 3
10
E C
7 8
5
S 4 7 J
9
341
12 Jaw Focus SPM Mate Tg4_2023.indd 341 03/03/2023 12:51 PM