Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
STRATEGI PdPc
BAB
1 Fungsi
Functions
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
1.1 Fungsi 1.1.1 Menerangkan fungsi menggunakan perwakilan S1 TP1
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
grafik dan tatatanda.
Buku Teks S2 TP1 1 – 2
m.s 2 – 11
S3 TP1
1.1.2 Menentukan domain dan julat bagi suatu S4 TP2 2
fungsi.
1.1.3 Menentukan imej suatu fungsi apabila objek S5 TP3
diberi dan sebaliknya. 3 – 4
S6 TP3
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, lembaran kerja Meja Bulat Serentak –
(imbas kod QR)
EMK i-THINK Nilai Murni
– – Kerjasama
Cadangan PdPc
1. Murid dibahagikan kepada empat kumpulan. Lembaran
2. Setiap kumpulan diberi sehelai lembaran kerja itu. kerja 1.1
3. Dalam kumpulan, murid menulis domain dan julat setiap graf dalam lembaran kerja.
4. Edarkan lembaran kerja itu mengikut arah jam supaya setiap ahli dapat menulis jawapan dan membuat pembetulan.
5. Guru menyemak hasil setiap kumpulan dan menerangkan jawapan yang betul.
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
1.2 Fungsi Gubahan 1.2.1 Memerihalkan hasil gubahan dua fungsi. S7 TP3 5
Buku Teks
m.s 12 – 19 1.2.2 Menentukan fungsi gubahan. S7 TP3 5
1.2.3 Menentukan imej suatu fungsi gubahan 5
apabila objek diberi dan sebaliknya. S8 TP3
1.2.4 Menentukan suatu fungsi berkaitan apabila
fungsi gubahan dan salah satu fungsinya S9 TP4 6
diberi.
1.2.5 Menyelesaikan masalah yang melibatkan S10 (a) TP3
fungsi gubahan.
S10 (b) TP4 6 – 7
S10 (c) TP5
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks Kuiz Cepat –
EMK i-THINK Nilai Murni
– – –
BAB 1 EG 1 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 1 30/09/2021 11:22 AM
Cadangan PdPc
1. Menggunakan Contoh bagi soalan 7 pada muka surat 5 buku ini, guru menulis fungsi f dan fungsi g pada papan hitam.
2
2. Berikan kuiz kepada murid bagi menentukan fungsi gubahan fg, gf dan f .
Panduan RPH
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Soalan dan Tahap Halaman
Penguasaan (TP)
1.3 Fungsi Songsang 1.3.1 Memerihalkan songsangan suatu fungsi. S11 TP2 8
Buku Teks
m.s 20 – 30 1.3.2 Membuat dan mengesahkan konjektur S12 TP2
berkaitan sifat-sifat fungsi songsang. 8 – 9
S13 TP3
1.3.3 Menentukan fungsi songsang. S14 TP4
9 – 10
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
S15 TP6
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, lembaran kerja Pembentangan –
(imbas kod QR)
EMK i-THINK Nilai Murni
Bahasa – Kerjasama
Cadangan PdPc
1. Bahagikan murid kepada beberapa kumpulan. Lembaran
2. Setiap kumpulan diberikan sehelai lembaran kerja. kerja 1.3
3. Lakukan perbincangan dalam kumpulan.
4. Bentang jawapan setiap kumpulan, kenal pasti perbezaan jawapan setiap kumpulan.
5. Guru memberikan jawapan yang betul.
EG 2
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 1
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 2 30/09/2021 11:22 AM
BAB
2 Fungsi Kuadratik
Quadratic Functions
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
2.1 Persamaan dan 2.1.1 Menyelesaikan persamaan kuadratik S1 TP3
Ketaksamaan Kuadratik menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa
dua dan rumus. S2 TP3 14 – 16
Buku Teks
m.s 36 – 44
S3 TP4
2.1.2 Membentuk persamaan kuadratik daripada S4 TP2
punca-punca yang diberi. 16 – 17
S5 TP4
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
2.1.3 Menyelesaikan ketaksamaan kuadratik. S6 TP4 17 – 18
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks – –
EMK i-THINK Nilai Murni
– – Kesahihan, Keberanian
Cadangan PdPc
1. Murid diminta menyelesaikan soalan 1 dan 2 pada muka surat 14 dan 15 dalam buku ini.
2. Bahagikan murid kepada dua kumpulan.
3. Kumpulan pertama perlu menyelesaikan soalan 1 menggunakan rumus. Manakala, kumpulan 2 perlu menyelesaikan soalan
2 menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua.
4. Guru menanyakan kepada murid jika jawapan yang diperoleh menggunakan kedua-dua kaedah adalah sama atau tidak.
Panduan RPH
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Soalan dan Tahap Halaman
Penguasaan (TP)
2.2 Jenis-jenis Punca 2.2.1 Membuat perkaitan antara jenis-jenis punca S7 TP1, 19
Persamaan Kuadratik persamaan kuadratik dan nilai pembezalayan. TP2
Buku Teks
m.s 45 – 48 2.2.2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan jenis- S8 TP3 19 – 20
jenis punca dalam persamaan kuadratik.
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, komputer – Mengaplikasi, Menganalisis
EMK i-THINK Nilai Murni
Teknologi maklumat & komunikasi – –
Cadangan PdPc
1. Imbas kos QR atau layari http://bit.do/KuizCepat untuk mendapatkan kuiz.
2. Setiap murid menjawab kuiz ini diakhir pembelajaran bagi menguji kefahaman kendiri. Kuiz Cepat 2.2
Arahan: Klik "PREVIEW" untuk menjawab kuiz ini.
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
2.3 Fungsi Kuadratik 2.3.1 Menganalisis dan membuat generalisasi tentang
kesan perubahan a, b dan c dalam
Buku Teks 2 S9 TP5 21
m.s 49 – 64 f(x) = ax + bx + c terhadap bentuk dan
kedudukan graf.
2.3.2 Menghubungkaitkan kedudukan graf fungsi S10 TP3
kuadratik dengan jenis punca. 22
S11 TP3
BAB 2 EG 3 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 3 30/09/2021 11:22 AM
2.3.3 Membuat perkaitan antara bentuk verteks fungsi S12 TP3
kuadratik, f(x) = a(x − h) + k dengan bentuk
2
fungsi kuadratik yang lain. S13 TP3 22 – 23
S14 TP3
2.3.4 Menganalisis dan membuat generalisasi tentang
kesan perubahan a, h dan k dalam fungsi S15 TP4 24
kuadratik f(x) = a(x − h) + k terhadap bentuk dan
2
kedudukan graf.
2.3.5 Melakar graf fungsi kuadratik. S16 TP4 25
2.3.6 Menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi S17 (a) TP4
kuadratik.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
S17 (b) TP5
26 – 28
S17 (c) TP6
S18 TP6
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, komputer Lawatan ke Galeri Mengaplikasi, Menganalisis
EMK i-THINK Nilai Murni
Teknologi maklumat & komputer – Bekerjasama
Cadangan PdPc
1. Bahagikan murid kepada 6 kumpulan. Setiap kumpulan diberikan satu fungsi kuadratik yang berikut:
(i) f(x) = x − 2x 2
(ii) f(x) = 3 − 2x − x 2
(iii) f(x) = x(x − 4)
(iv) f(x) = 3 − x − 2x 2
(v) f(x) = (2 + x)(2 + 3x)
(vi) f(x) = 3 − 2x + 5x 2
2. Menggunakan perisian gemoetri dinamik secara dalam talian, dapatkan bentuk graf bagi fungsi kuadratik itu. Kemudian,
nyatakan ciri-ciri graf kuadratik yang diperoleh.
3. Tampal hasil dapatan setiap kumpulan di dinding. Kumpulan lain melawat hasil dapatan kumpulan lain dan tulis komen
kumpulan pada nota pelekat dan tampal pada hasil kumpulan itu.
4. Guru perlu memastikan komen yang diberikan adalah bernas.
EG 4
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 2
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 4 30/09/2021 11:22 AM
BAB
3 Sistem Persamaan
Systems of Equations
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
3.1 Sistem Persamaan 3.1.1 Memerihalkan sistem persamaan linear dalam tiga 32
Linear dalam Tiga pemboleh ubah. S1 TP1
Pemboleh Ubah
3.1.2 Menyelesaikan sistem persamaan linear dalam S2 TP2
tiga pemboleh ubah.
Buku Teks S3 TP2 33 – 35
m.s 70 – 78
S4 TP2
3.1.3 Menyelesaikan masalah yang melibatkan sistem S5(a) TP4
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah. 35 – 36
S5(b) TP5
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks Angkat Tangan –
EMK i-THINK Nilai Murni
Kreativiti – Kesepakatan
Cadangan PdPc
1. Bahagikan murid kepada empat kumpulan.
2. Setiap kumpulan perlu menjawab sistem persamaan linear berikut dan tentukan jenis penyelesaiannya.
Sistem Persamaan A Sistem Persamaan B Sistem Persamaan C
x − 3y + z = −4 x − 2y = −1 3x + 2y − 5z = 12
–6x − 4y − 2z = 1 x + y − 2z = 7 −x − 2y + z = −6
−3x − 2y − z = −3 2x − 3y − 2z = 0 −x + 2z = −3
3. Apabila guru meminta jawapan sistem persamaan di atas, setiap murid dalam kumpulan perlu menunjukkan simbol tangan
berikut mengikut jawapan yang diperoleh.
Tangan bersilang Tangan selari Tangan bertindih
Satu penyelesaian Tiada penyelesaian Penyelesaian tak terhingga
4. Guru mengumumkan kumpulan yang mendapat jawapan yang betul. Guru boleh menambah beberapa sistem persamaan
dalam aktiviti ini.
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
3.2 Persamaan Serentak 3.2.1 Menyelesaikan persamaan serentak yang S6 TP3
yang melibatkan Satu melibatkan satu persamaan linear dan satu 38 – 39
Persamaan Linear dan persamaan tak linear. S7 TP4
Satu Persamaan Tak
Linear 3.2.2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan S8 (a) TP5
Buku Teks persamaan serentak; satu persamaan linear dan 39 – 40
m.s 79 – 84
S8 (b) TP6
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks – –
EMK i-THINK Nilai Murni
– – –
Cadangan PdPc
1. Bahagikan murid kepada dua kumpulan.
2. Diberi persamaan serentak
x + y = 4
2x − 3xy + y = 4
2
2
3. Kumpulan pertama menyelesaikan persamaan serentak tersebut secara algebra, manakala kumpulan kedua secara graf.
4. Adakah kumpulan pertama dan kedua mendapat jawapan yang sama?
BAB 3 EG 5 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 5 30/09/2021 11:22 AM
BAB
4 Indeks, Surd dan Logaritma
Indices, Surds and Logarithms
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
4.1 Hukum Indeks 4.1.1 Mempermudahkan ungkapan algebra yang
melibatkan indeks dengan menggunakan S1 TP1 44 – 45
Buku Teks hukum indeks.
m.s 90 – 95
4.1.2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan S2 TP2
indeks.
S3 TP2 45 – 46
S3 (f) TP4
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, kertas Tukar Soalan Mencipta
EMK i-THINK Nilai Murni
– – Kebebasan
Cadangan PdPc
1. Lakukan aktiviti ini secara berpasangan.
2. Setiap murid mencipta satu soalan yang melibatkan hukum indeks. Kemudian, pasangan masing-masing menjawab soalan
tersebut.
3. Selepas selesai, murid menyemak jawapan bagi soalan tersebut dengan mecatatkan hukum-hukum yang digunakan.
4. Lakukan perbincangan bersama pasangan bagi menerangkan jawapan kedua-dua soalan itu.
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Penguasaan (TP) Halaman
4.2 Hukum Surd 4.2.1 Membanding beza nombor nisbah dan S4 TP1
nombor tak nisbah, dan seterusnya
Buku Teks menghubungkaitkan surd dengan nombor 47
m.s 96 – 108 S5 TP1
tak nisbah.
4.2.2 Membuat dan mengesahkan konjektur
a
tentang (i) × (ii) ÷ dan S6 TP2 48
b
b
a
seterusnya membuat generalisasi.
4.2.3 Mempermudahkan ungkapan yang S7 TP2
melibatkan surd. 48 – 49
S8 TP2
4.2.4 Mempermudahkan ungkapan yang
melibatkan surd dengan menisbahkan S9 TP2 49 – 50
penyebut.
4.2.5 Menyelesaikan masalah yang melibatkan S10 TP3
surd. 50 – 51
S10 (d) TP4
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, lembaran aktiviti Kipas dan Pilih –
(imbas kos QR)
EMK i-THINK Nilai Murni
– – –
Cadangan PdPc
1. Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan dengan empat orang ahli.
2. Guru memberikan sehelai lembaran aktiviti kepada setiap kumpulan. Lembaran
3. Setiap ahli mempunyai peranan seperti berikut: aktiviti 4.2
Murid 1: Susun kad seperti kipas.
Murid 2: Pilih kad dan bacakan soalan.
Murid 3: Jawab soalan.
Murid 4: Sahkan jawapan tersebut dan berikan komen.
4. Tukar peranan setiap ahli dan ulang semula aktiviti ini, buang soalan yang telah dipilih.
EG 6
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 4
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 6 30/09/2021 11:22 AM
Panduan RPH
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Soalan dan Tahap Halaman
Penguasaan (TP)
4.3 Hukum Logaritma 4.3.1 Menghubungkaitkan persamaan dalam S11 TP1
bentuk indeks dengan bentuk logaritma,
Buku Teks dan seterusnya menentukan nilai logaritma S12 TP2 51 – 52
m.s 109 – 121
sesuatu nombor.
S13 TP1
4.3.2 Membuktikan hukum logaritma. S14 TP2 52
4.3.3 Mempermudah ungkapan algebra dengan S15 TP2
menggunakan hukum logaritma.
S16 TP2 53
–Bhd. All Rights Reserved
S17 TP2
log a
4.3.4 Membuktikan log b a = log b dan S18 TP2
menggunakan hubungan tersebut untuk 53 – 54
menentukan logaritma suatu nombor. S19 TP2
4.3.5 Menyelesaikan masalah yang melibatkan S20 TP3
hukum logaritma.
S21 TP3 54 – 55
S22 TP4
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, lembaran aktiviti Fail Bergerak Mengaplikasi
EMK i-THINK Nilai Murni
Penerbitan Pelangi Sdn
– Kerjasama
Cadangan PdPc
1. Bahagikan murid kepada empat kumpulan. Setiap kumpulan diberikan sehelai kertas yang mengandungi satu soalan
melibatkan hukum logaritma dalam sebuah fail.
2. Mula dengan ahli pertama, lengkapkan langkah pertama bagi menyelesaikan soalan dalam fail tersebut.
3. Selepas 1 minit, serahkan fail tersebut kepada ahli seterusnya untuk melengkapkan langkah seterusnya. Ulang sehingga
soalan tersebut selesai.
4. Pilih seorang wakil dalam kumpulan untuk menerangkan kepada kumpulan lain hasil yang diperoleh.
Panduan RPH
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Soalan dan Tahap Halaman
Penguasaan (TP)
4.4 Aplikasi Indeks, Surd dan 4.4.1 Menyelesaikan masalah yang melibatkan S23 (a) TP4
Logaritma indeks, surd dan logaritma.
S23 (b) TP5 56
Buku Teks
m.s 122 – 123
S23 (c) TP6
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks – Mengaplikasi, Menganalisis
EMK i-THINK Nilai Murni
Keusahawanan, Pendidikan kewangan – –
Cadangan PdPc
1. Murid menjawab soalan 23 pada muka surat 56 dalam buku ini.
2. Secara berkumpulan, bandingkan jawapan yang diperoleh. Nyatakan hukum-hukum yang digunakan dalam menyelesaikan
soalan itu.
BAB 4 EG 7 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 7 30/09/2021 11:22 AM
BAB
5 Janjang
Progressions
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
5.1 Janjang Aritmetik 5.1.1 Mengenal pasti suatu jujukan ialah janjang 60
aritmetik dan memberi justifikasi. S1 TP1, TP2
Buku Teks
m.s 128 – 138 5.1.2 Menerbitkan rumus sebutan ke-n, T n, bagi janjang S2 TP3
aritmetik, dan seterusnya menggunakan rumus 60 – 61
tersebut dalam pelbagai situasi. S3 TP3
5.1.3 Menerbitkan rumus hasil tambah n sebutan S4 TP3
pertama, S n , bagi janjang aritmetik, dan 61 – 62
seterusnya menggunakan rumus tersebut dalam S5 TP4
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
pelbagai situasi.
5.1.4 Menyelesaikan masalah yang melibatkan janjang S6 (a) TP4
aritmetik. S6 (b), (c) TP5 62 – 63
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, lembaran kerja (imbas kod QR) Fikir-Pasang-Kongsi Mengaplikasi
EMK i-THINK Nilai Murni
Kreativiti & inovasi – Bekerjasama
Cadangan PdPc
1. Setiap murid diberikan lembaran kerja dan selesaikan soalan dalam lembaran tersebut.
2. Setiap murid cari pasangan masing-masing. Lembaran
3. Lakukan perbincangan dengan pasangan masing-masing. kerja 5.1
4. Setiap kumpulan serahkan jawapan kepada guru untuk disemak.
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Penguasaan (TP) Halaman
5.2 Janjang Geometri 5.2.1 Mengenal pasti suatu jujukan ialah janjang S7 TP1, TP2 64
geometri dan memberi justifikasi.
Buku Teks
m.s 139 – 149 5.2.2 Menerbitkan rumus sebutan ke-n, T n , bagi janjang S8 TP3
geometri, dan seterusnya menggunakan rumus 65
tersebut dalam pelbagai situasi. S9 TP3
5.2.3 Menerbitkan rumus hasil tambah n sebutan S10 TP3
pertama, S n , bagi janjang geometri, dan 65 – 66
seterusnya menggunakan rumus tersebut dalam
pelbagai situasi. S11 TP3
5.2.4 Menentukan hasil tambah hingga S12 TP3
ketakterhinggaan bagi janjang geometri, S ∞ dan 66 – 67
seterusnya menggunakan rumus hasil tambah S13 TP3
ketakterhinggaan dalam pelbagai situasi. S14 TP3
5.2.5 Menyelesaikan masalah yang melibatkan janjang S15 (a), (b) TP4
geometri. S15 (c) TP5
S15 (d) TP6 67 – 69
S16 TP6
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks – –
EMK i-THINK Nilai Murni
Pendidikan kewangan – Menabung
Cadangan PdPc
1. Guru membacakan soalan berikut dalam kelas dan setiap murid diminta menjawab.
Munirah meminta sejumlah wang daripada bapanya setiap hari. Hari pertama dia meminta RM0.20, hari kedua RM0.40,
hari ketiga RM0.80, hari keempat RM1.60 dan seterusnya. Munirah bercadang menyimpan setengah daripada wang
yang diterimanya setiap hari ke dalam tabung. Hitung jumlah wang tabungan Munirah selepas 10 hari.
2. Terdapat dua jalan kira bagi menyelesaikan soalan itu. Guru memilih dua orang wakil murid yang dapat menjawab soalan
itu dengan menggunakan cara yang berbeza untuk diterangkan kepada kelas.
EG 8
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 5
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 8 30/09/2021 11:22 AM
BAB
6 Hukum Linear
Linear Law
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
6.1 Hubungan Linear dan 6.1.1 Membezakan hubungan linear dan tak linear S1 TP1 73
Tak Linear berdasarkan jadual data dan graf.
Buku Teks 6.1.2 Melukis garis lurus penyuaian terbaik bagi S2 TP3
m.s 154 – 161
graf hubungan linear tanpa dan dengan 74
menggunakan teknologi digital. S3 TP4
6.1.3 Membentuk persamaan bagi garis lurus 75 – 76
penyuaian terbaik. S4 TP4
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
6.1.4 Mentafsir maklumat berdasarkan garis lurus S5 TP4 76 – 78
penyuaian terbaik.
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, komputer Fikir-Pasang-Kongsi –
EMK i-THINK Nilai Murni
Teknologi maklumat & komunikasi – –
Cadangan PdPc
1. Guru mengimbas kembali topik garis lurus yang pernah dipelajari semasa di tingkatan 3.
2. Jalankan aktiviti PAK-21 pada muka surat 74 dalam buku ini.
3. Kemudian, dapatkan persamaan garis lurus yang diperoleh. Kenal pasti persamaan garis lurus tersebut dan garis lurus
menggunakan simulasi.
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
6.2 Hukum Linear dan 6.2.1 Mengaplikasikan hukum linear kepada S6 TP2
Hubungan Tak Linear hubungan tak linear. S7 TP4 79 – 82
Buku Teks
m.s 162 – 165 BBM PAK-21 KBAT
Buku teks Pembentangan –
EMK i-THINK Nilai Murni
– – Kerjasama
Cadangan PdPc
1. Bahagikan murid kepada tiga kumpulan.
2. Buktikan setiap yang berikut dengan menyatakan hukum-hukum logaritma yang digunakan.
3
Kumpulan 1: y = 100x bersamaan log 10 y = 2 + 3 log 10 x
Kumpulan 2: A = πj bersamaan log 10 A = log 10 π + 2 log 10 j
2
Kumpulan 3: y = e (10 + 0.2x) bersamaan ln y = 10 + 0.2x
3. Pilih wakil daripada setiap kumpulan dan jelaskan pada kelas pembuktian yang diperoleh.
Panduan RPH
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Soalan dan Tahap Halaman
Penguasaan (TP)
6.3 Aplikasi Hukum Linear 6.3.1 Menyelesaikan masalah yang melibatkan S8 (a) TP5
hukum linear. 83 – 84
Buku Teks S8 (b) TP6
m.s 166 – 169
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, komputer Pembentangan Mengaplikasi, Menganalisis
EMK i-THINK Nilai Murni
Teknologi maklumat & komunikasi – Kerjasama, Celik IT
Cadangan PdPc
1. Lakukan aktiviti ini secara berkumpulan.
2. Diberi persamaan P = kQ dengan nilai P dan Q seperti dalam jadual di bawah. k dan t ialah pemalar.
t
Q 0.8 4 350 4 500
P 0.95 3.2 71.5 550
3. Lukis garis lurus penyuaian terbaik bagi data di atas menggunakan spreadsheet.
4. Dapatkan ciri-ciri garis lurus penyuaian terbaik yang diperoleh dan bentangkan hasil dapatan setiap kumpulan.
BAB 6 EG 9 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 9 30/09/2021 11:22 AM
BAB
7 Geometri Koordinat
Coordinate Geometry
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
7.1 Pembahagi Tembereng 7.1.1 Membuat perkaitan antara kedudukan titik
Garis yang membahagikan sesuatu tembereng garis S1 TP1 89
dengan nisbah yang berkaitan.
Buku Teks
m.s 176 – 183
7.1.2 Menerbitkan rumus pembahagi tembereng S2 TP2
garis pada satah Cartes dan seterusnya 89 – 90
menggunakan rumus tersebut dalam pelbagai
situasi. S3 TP3
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
7.1.3 Menyelesaikan masalah yang melibatkan S4 (a) TP4
pembahagi tembereng garis. 91
S4 (b) TP5
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, kapur Saya di Cartes –
EMK i-THINK Nilai Murni
Kreativiti & inovasi – Berusaha, Kerjasama
Cadangan PdPc
1. Guru melukis satu satah Cartes pada lantai kelas menggunakan kapur.
2. Pilih tiga orang murid sebagai titik yang akan berdiri pada satah Cartes. Salah seorang murid sebagai titik A akan berada di
antara dua murid, titik P dan titik Q.
3. Bahagikan murid kepada tiga kumpulan.
4. Setiap kumpulan perlu mencari nisbah yang membahagikan titik A dengan tembereng garis PQ.
5. Ubah kedudukan tiga murid itu, dan ulang aktiviti ini.
6. Guru menyemak jawapan yang diperoleh setiap kumpulan.
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
7.2 Garis Lurus Selari dan 7.2.1 Membuat dan mengesahkan konjektur tentang S5 TP2
Garis Lurus Serenjang kecerunan bagi:
(i) garis lurus selari, S6 TP3 92 – 93
Buku Teks
m.s 184 – 191 (ii) garis lurus serenjang
dan seterusnya membuat generalisasi. S7 TP3
7.2.2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan S8 (a) TP4
persamaan garis lurus selari dan persamaan
garis lurus serenjang. S8 (b) TP5 94 – 95
S8 (c) TP6
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, kertas Peta i-THINK –
EMK i-THINK Nilai Murni
– Peta Pokok Kerjasama
Cadangan PdPc
1. Guru menyediakan beberapa pasangan persamaan garis lurus yang melibatkan garis lurus selari dan berserenjang pada
kertas yang berbeza.
2. Bahagikan murid kepada beberapa kumpulan.
3. Guru memberikan pasangan garis lurus itu dan setiap kumpulan perlu menentukan pasangan garis lurus itu adalah selari
atau berserenjang. Kemudian, bina satu peta pokok untuk menunjukkan jawapan setiap kumpulan.
4. Tampal hasil kerja setiap kumpulan pada dinding. Setiap kumpulan melihat dan memberikan komen pada hasil kerja
kumpulan lain.
EG 10
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 7
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 10 30/09/2021 11:22 AM
Panduan RPH
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Soalan dan Tahap Halaman
Penguasaan (TP)
7.3 Luas Poligon 7.3.1 Menerbitkan rumus luas segi tiga apabila S9 TP1, TP2 96
koordinat setiap bucu diketahui diketahui.
Buku Teks
m.s 192 – 199 7.3.2 Menentukan luas segi tiga dengan S10 TP3 96
menggunakan rumus.
7.3.3 Menentukan luas sisi empat dengan S11 TP3 97
menggunakan rumus.
7.3.4 Membuat generalisasi tentang rumus luas
poligon apabila koordinat setiap bucu
diketahui dan seterusnya menggunakan S12 TP3 97
rumus tersebut untuk menentukan luas
poligon.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
7.3.5 Menyelesaikan masalah yang melibatkan luas S13 (a),
poligon. (b) TP4 97 – 98
S13 (c) TP5
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, kertas mahjong Tiga Lilau, Satu Tetap Mengaplikasi
EMK i-THINK Nilai Murni
– – Bekerjasama
Cadangan PdPc
1. Setiap kumpulan dibekalkan sampul yang mengandungi tiga jenis soalan iaitu luas segi tiga, luas sisi empat dan luas
poligon.
2. Dalam kumpulan masing - masing, selesaikan soalan yang terdapat dalam sampul pada kertas mahjong.
3. Seorang ahli kumpulan akan tinggal untuk memberi penjelasan bagi menyelesaikan masalah dan ahli kumpulan lain
bergerak mengikut arah jam melawat kumpulan lain untuk mendapatkan maklumat daripada kumpulan itu.
4. Setelah selesai, murid kembali ke kumpulan masing - masing untuk berkongsi bersama ahli kumpulan.
Panduan RPH
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Soalan dan Tahap Halaman
Penguasaan (TP)
7.4 Persamaan Lokus 7.4.1 Mewakilkan secara grafik, lokus yang
memenuhi syarat:
Buku Teks (i) jarak titik yang bergerak dari suatu titik S14 TP3
m.s 200 – 205
tetap adalah malar,
(ii) nisbah jarak titik yang bergerak dari dua 99 – 100
titik tetap adalah malar,
dan seterusnya menentukan persamaan lokus S15 TP3
tersebut.
7.4.2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan S16 (a) TP4
persamaan lokus.
S16 (b) TP5 100 – 101
S16 (c) TP6
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, kertas, perisian geometri Tukar Soalan Mencipta
dinamik
EMK i-THINK Nilai Murni
Teknologi maklumat & komunikasi – –
Cadangan PdPc
1. Setiap murid membina satu bulatan dengan menyatakan jejari dan koordinat pusat bulatan.
2. Cari pasangan dan saling bertukar maklumat tersebut.
3. Dengan mengandaikan terdapat satu titik bergerak pada lilitan bulatan tersebut, cari persamaan titik bergerak itu.
4. Semak jawapan yang diperoleh menggunakan perisian geometri dinamik secara dalam talian.
BAB 7 EG 11 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 11 30/09/2021 11:22 AM
BAB
8 Vektor
Vectors
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
8.1 Vektor 8.1.1 Membanding beza antara vektor dan skalar,
dan seterusnya mengenal pasti sama ada
Buku Teks S1 TP1 106
m.s 212 – 220 suatu kuantiti ialah kuantiti vektor atau skalar
dengan memberikan justifikasi.
8.1.2 Mewakilkan vektor menggunakan tembereng S2 TP2
garis berarah dan tata tanda vektor serta 106 – 107
menentukan magnitud dan arah vektor. S3 TP1
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
8.1.3 Membuat dan mengesahkan konjektur tentang S4 TP2 107
sifat-sifat pendaraban vektor dengan skalar.
8.1.4 Membuat dan mengesahkan konjektur tentang S5 TP2
vektor selari. 107
S6 TP3
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks – –
EMK i-THINK Nilai Murni
– – –
Cadangan PdPc
1. Guru menerangkan kepada murid perwakilan dan tatatanda vektor.
2. Tunjukkan kepada murid beberapa contoh pendaraban vektor dengan skalar dan vektor selari.
3. Minta murid memberikan pendapat bagi perkaitan antara pendaraban vektor dengan skalar, dengan vektor selari.
4. Kemudian, guru menerangkan kenjektur tentang vektor selari.
Panduan RPH
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Soalan dan Tahap Halaman
Penguasaan (TP)
8.2 Penambahan dan 8.2.1 Membuat penambahan dan penolakan S7 TP3
Penolakan Vektor yang melibatkan dua atau lebih vektor bagi 108 – 109
menghasilkan vektor paduan. S8 TP4
Buku Teks
m.s 221 – 226
8.2.2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan S9 (a) TP5
vektor. 109 – 110
S9 (b) TP6
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, lembaran kerja (imbas kod QR) – –
EMK i-THINK Nilai Murni
Kreativiti – Berusaha
Cadangan PdPc
1. Lakukan aktiviti ini secara berkumpulan. Lembaran
kerja 8.2
2. Setiap kumpulan diberikan sehelai lembaran kerja.
3. Selepas selesai, saling tukar lembaran kerja tersebut dengan kumpulan lain. Semak jawapan kumpulan itu.
4. Guru memberikan jawapan yang betul dan menerangkan jika terdapat jawapan yang salah.
EG 12
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 8
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 12 30/09/2021 11:22 AM
Panduan RPH
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Soalan dan Tahap Halaman
Penguasaan (TP)
8.3 Vektor dalam Satah 8.3.1 Mewakilkan vektor dan menentukan magnitud S10 TP2 111
Cartes vektor dalam satah Cartes.
Buku Teks
m.s 227 – 235 8.3.2 Memerihal dan menentukan vektor unit dalam S11 TP3 111 – 112
arah suatu vektor.
8.3.3 Melaksanakan operasi aritmetik ke atas dua 112
atau lebih vektor. S12 (a) TP4
8.3.4 Menyelesaikan masalah yang melibatkan S12 (b) TP5
vektor. 112 – 113
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
S12 (c) TP6
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, komputer Pembentangan Mengaplikasi
EMK i-THINK Nilai Murni
Sains & Teknologi – Kecerdasan
Cadangan PdPc
1. Bahagikan murid kepada beberapa kumpulan.
2. Setiap kumpulan perlu dapatkan maklumat dalam internet tentang aplikasi vektor dalam sukan dan permainan. Satu
kumpulan pilih satu sukan atau permainan seperti besbol, ragbi, bola keranjang, gof dan lain-lain.
3. Cari maklumat tentang penggunaan vektor dalam sukan dan permainan itu.
4. Bentang hasil dapatan kumpulan sebagai perkongsian.
BAB 8 EG 13 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 13 30/09/2021 11:22 AM
BAB
9 Penyelesaian Segi Tiga
Solution of Triangles
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
9.1 Petua Sinus 9.1.1 Membuat dan mengesahkan konjektur
tentang hubungan antara nisbah panjang
Buku Teks 118
m.s 242 – 250 sisi-sisi suatu segi tiga dengan sinus sudut- S1 TP1
sudut yang bertentangan, dan seterusnya
mentakrifkan petua sinus.
9.1.2 Menyelesaikan segi tiga yang melibatkan 118
petua sinus. S2 TP2
9.1.3 Menentukan kewujudan kes berambiguiti
suatu segi tiga dan seterusnya mengenal S3 TP3 119
pasti syarat-syarat kewujudan kes tersebut.
9.1.4 Menyelesaikan segi tiga yang melibatkan kes S5 (b)Reserved 119 – 120
TP4
S4
berambiguiti.
9.1.5 Menyelesaikan masalah berkaitan segi tiga S5 (a) TP4
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights
menggunakan petua sinus. TP5 120
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, lembaran kerja (imbas kod QR) Fikir-Pasang-Kongsi –
EMK i-THINK Nilai Murni
– – –
Cadangan PdPc
1. Berikan setiap murid sehelai lembaran kerja. Lembaran
2. Kenal pasti sudut bukan kandung dan hubungan antara sudut dengan sisi menggunakan hukum kerja 9.1
sinus.
3. Murid mencari pasangan dan kemudian bincang bersama pasangan masing-masing.
4. Guru menunjukkan dan menerangkan jawapan yang betul.
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
9.2 Petua Kosinus 9.2.1 Mentahkikkan petua kosinus. S6 TP3 121
Buku Teks 9.2.2 Menyelesaikan segi tiga yang melibatkan
m.s 251 – 255 S6 TP3 121
petua kosinus.
9.2.3 Menyelesaikan masalah yang melibatkan S7 (a), TP4
petua kosinus. (b)
122 – 123
S7 (c) TP5
S7 (d) TP6
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, komputer – –
EMK i-THINK Nilai Murni
Kreativiti – Bekerjasama
Cadangan PdPc
1. Bahagikan murid kepada beberapa kumpulan.
2. Murid diminta mencari maklumat dalam internet tentang petua kosinus dan cara penggunaannya.
3. Setiap kumpulan membentangkan hasil dapatan masing-masing.
4. Guru memberi penerangan lanjut untuk mengukuhkan pemahaman murid.
EG 14
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 9
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 14 30/09/2021 11:22 AM
Panduan RPH
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Soalan dan Tahap Halaman
Penguasaan (TP)
9.3 Luas Segi Tiga 9.3.1 Menerbitkan rumus luas segi tiga, dan S8 TP3
seterusnya menentukan luas segi tiga. 124
Buku Teks
m.s 256 – 262 S9 TP3
9.3.2 Menentukan luas segi tiga menggunakan 125
rumus Heron. S10 TP3
9.3.3 Menyelesaikan masalah yang melibatkan luas S11 TP4 125
segi tiga.
BBM PAK-21 KBAT
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Buku teks – –
EMK i-THINK Nilai Murni
– – Berusaha
Cadangan PdPc
1. Bahagikan murid kepada tiga kumpulan.
2. Setiap kumpulan memilih salah satu daripada soalan 8 pada muka surat 124 dalam buku ini.
3. Bincang bersama ahli kumpulan.
4. Setiap kumpulan melawat kumpulan lain untuk mendapatkan jawapan bagi soalan kumpulan itu. Berikan komen kepada
kumpulan itu.
Panduan RPH
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Soalan dan Tahap Halaman
Penguasaan (TP)
9.4 Aplikasi Petua Sinus, 9.4.1 Menyelesaikan masalah yang melibatkan segi S12 (a), TP4
Petua Kosinus dan Luas tiga. (b), (c), (d)
Segi Tiga 126 – 127
Buku Teks S12 (e) TP5
m.s 263 – 266
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks Projek Mini Mengaplikasi, Menganalisis
EMK i-THINK Nilai Murni
Kelestarian alam sekitar – Sayangi sekolah
Cadangan PdPc
1. Secara berkumpulan, murid mengenal pasti tiga bangunan dalam sekolah.
2. Dapatkan jarak terdekat antara setiap bangunan.
3. Menggunakan kreativiti murid, aplikasikan pengetahuan menggunakan hukum sinus dan hukum kosinus untuk mendapatkan
luas tercangkum dalam kedudukan ketiga-tiga bangunan itu.
4. Bentangkan hasil dapatan kumpulan anda.
BAB 9 EG 15 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 15 30/09/2021 11:22 AM
BAB
10 Nombor Indeks
Index Numbers
Panduan RPH
Soalan dan Tahap
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Halaman
Penguasaan (TP)
10.1 Nombor Indeks 10.1.1 Mentakrifkan nombor indeks dan 133
memerihalkan kegunaannya. S1 TP1, TP2
Buku Teks
m.s 272 – 278
10.1.2 Menentukan dan mentafsir nombor indeks. S2 TP3 133 – 134
10.1.3 Menyelesaikan masalah yang melibatkan S3 TP4
nombor indeks. 135 – 136
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
S4 TP6
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks Laporan Mengaplikasi, Menganalisis
EMK i-THINK Nilai Murni
Pendidikan kewangan – Berjimat cermat
Cadangan PdPc
1. Lakukan aktiviti PAK-21 pada muka surat 136 dalam buku ini.
Panduan RPH
Standard Kandungan (SK) Standard Pembelajaran (SP) Soalan dan Tahap Halaman
Penguasaan (TP)
10.2 Indeks Gubahan 10.2.1 Menentukan dan mentafsir indeks gubahan S5 TP4
tanpa pemberat dan dengan pemberat. 137 – 138
Buku Teks
m.s 279 – 283 S6 TP4
10.2.2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan S7 (a) TP4
nombor indeks dan indeks gubahan.
S7 (b) TP5 138 – 140
S7 (c) TP6
BBM PAK-21 KBAT
Buku teks, komputer Kajian Kes Mengaplikasi
EMK i-THINK Nilai Murni
Teknologi maklumat & komunikasi – Kesedaran
Cadangan PdPc
1. Lakukan aktiviti ini secara berkumpulan.
2. Setiap kumpulan mendapatkan kes/situasi yang melibatkan penggunaan indeks gubahan dalam pelbagai bidang.
3. Ringkaskan hasil dapatan kumpulan anda untuk dibentangkan dalam kelas sebagai perkongsian.
EG 16
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. BAB 10
00 Strategi PdPc MT Tg4.indd 16 30/09/2021 11:22 AM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi
KANDUNGAN
Rekod Pencapaian Pentaksiran Murid ..............................................IV 6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear ...........................79
6.3 Aplikasi Hukum Linear ...............................................................83
BAB 1 Modul SPM ................................................................................................86
1 Fungsi Fokus KBAT ...............................................................................................88
Functions
Online Quick Quiz Kod QR ..............................................................88
1.1 Fungsi .................................................................................................1
1.2 Fungsi Gubahan .............................................................................5 BAB 8
1.3 Fungsi Songsang ............................................................................8 7 Geometri Koordinat
Modul SPM ................................................................................................11 Coordinate Geometry
Fokus KBAT ...............................................................................................13 7.1 Pembahagi Tembereng Garis ..................................................89
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Online Quick Quiz Kod QR ..............................................................13 7.2 Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang....................92
7.3 Luas Poligon ...................................................................................95
BAB 14 7.4 Persamaan Lokus .........................................................................99
2 Fungsi Kuadratik Modul SPM .............................................................................................103
Quadratic Functions
2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik .............................14 Fokus KBAT ............................................................................................105
Online Quick Quiz Kod QR ...........................................................105
2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik ..............................19
2.3 Fungsi Kuadratik ...........................................................................20 BAB 106
Modul SPM ................................................................................................29 8 Vektor
Fokus KBAT ...............................................................................................31 Vectors
Online Quick Quiz Kod QR ..............................................................31 8.1 Vektor ............................................................................................106
8.2 Penambahan dan Penolakan Vektor .................................108
BAB 32 8.3 Vektor dalam Satah Cartes ....................................................111
3 Sistem Persamaan Modul SPM .............................................................................................114
Systems of Equations
3.1 Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Fokus KBAT ............................................................................................117
Online Quick Quiz Kod QR ...........................................................117
Ubah .................................................................................................32
3.2 Persamaan Serentak yang melibatkan Satu Persamaan BAB 118
Linear dan Satu Persamaan Tak Linear ................................38 9 Penyelesaian Segi Tiga
Modul SPM ................................................................................................41 Solution of Triangles
Fokus KBAT ...............................................................................................43 9.1 Petua Sinus ..................................................................................118
Online Quick Quiz Kod QR ..............................................................43 9.2 Petua Kosinus .............................................................................121
9.3 Luas Segi Tiga .............................................................................124
BAB 44 9.4 Aplikasi Petua Sinus, Petua Kosinus dan
4 Indeks, Surd dan Logaritma Luas Segi Tiga .............................................................................126
Indices, Surds and Logarithms
4.1 Hukum Indeks ...............................................................................44 Modul SPM .............................................................................................129
Fokus KBAT ............................................................................................131
4.2 Hukum Surd ...................................................................................47 Online Quick Quiz Kod QR ...........................................................132
4.3 Hukum Logaritma ........................................................................51
4.4 Aplikasi Indeks, Surd dan Logaritma ....................................56 BAB 133
Modul SPM ................................................................................................57 10 Nombor Indeks
Fokus KBAT ...............................................................................................59 Index Numbers
Online Quick Quiz Kod QR ..............................................................59 10.1 Nombor Indeks ..........................................................................133
10.2 Indeks Gubahan ........................................................................136
BAB 60 Modul SPM .............................................................................................142
5 Janjang Fokus KBAT ............................................................................................145
Progressions
Online Quick Quiz Kod QR ...........................................................146
5.1 Janjang Aritmetik .........................................................................60
5.2 Janjang Geometri ........................................................................64
Modul SPM ................................................................................................70 Pentaksiran Akhir Tahun
Fokus KBAT ...............................................................................................72 https://plus.pelangibooks.com/Resources/HYBRIDPBDKSSM/
Online Quick Quiz Kod QR ..............................................................72 MatematikTambahanT4/PAT.pdf
BAB 73
6 Hukum Linear Jawapan
Linear Law
https://plus.pelangibooks.com/Resources/HYBRIDPBDKSSM/
6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear ...........................................73 MatematikTambahanT4/Jawapan.pdf
BONUS Strategi PdPc
BONUS
BONUS
BONUS
untuk Guru Panduan RPH eksklusif untuk guru
https://plus.pelangibooks.com/Resources/HYBRIDPBDKSSM/MatematikTambahanT4/
StrategiPdPc.pdf
iii © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
0a Kand Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 3 29/09/2021 3:20 PM
BAB
1 Fungsi
Functions
PBD
PBD 1.1 Fungsi Buku Teks
PBD
Functions ms. 2 – 11
FOKUS TOPIK
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
1. Fungsi dari set A kepada set B ialah hubungan yang memetakan setiap unsur dalam set A
(objek) kepada hanya satu unsur dalam set B (imej). 1 ● ● x
Function from set A to set B is the relation that maps every element in set A (object) to only one element in set
B (image). 2 ● ● y
2. Domain / Domain = {1, 2, 3}
Kodomain / Codomain = {x, y, z} 3 ● ● z
Julat / Range = {y, z}
Set A Set B
1. Tentukan sama ada hubungan yang berikut ialah fungsi atau bukan. Berikan sebab anda. SP 1.1.1 TP1
Determine whether the following relation is a function. Give your reason.
(a)
–1 ● 10 ● ● 15
–2 ● ● 1
20 ● ● 35
1 ●
● 4 30 ●
2 ● ● 55
Fungsi kerana setiap objek mempunyai satu imej. Fungsi kerana setiap objek mempunyai satu imej.
A function because each object has one image. A function because each object has one image.
(b) (c)
● –4 2 ● ● 1
1 ● ● –1
● 0 4 ● ● 2
16 ● ● 1 6 ●
● 4 ● 3
Bukan kerana setiap objek mempunyai dua imej. Fungsi kerana setiap objek mempunyai satu imej.
Not a function because each object has two images. A function because each object has one image.
2. Tentukan sama ada graf yang berikut ialah fungsi atau bukan menggunakan ujian garis mencancang.
Determine whether the following graph is a function using vertical line test. SP 1.1.1 TP1
Ujian garis
mencancang (a) (b)
Vertical line y y
y VIDEO test
x x
0 0
x
0
Fungsi / A function Bukan fungsi / Not a function
Fungsi / A function
1 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
01 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 1 29/09/2021 3:23 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi
3. Tulis tatatanda fungsi bagi setiap hubungan berikut. SP 1.1.1 TP1
Write the function notation of each of the following relations.
(a) x f(x) (b) f(x)
x f(x)
–2 ● –2 ● ● 1
1 ● ● 5 ● 5
0 ● 0 ●
2 ● ● 7 ● 9 ● 9
2 ● 2 ● ● 25
3 ● ● 9
f : x → 2x + 3 atau/or f : x → x + 5 atau/or f : x → (x + 3) atau/or
2
2
f(x) = 2x + 3
f(x) = x + 5 f(x) = (x + 3) 2
2
4. Tentukan domain, kodomain dan julat bagi setiap fungsi berikut. SP 1.1.2 TP2
Determine the domain, codomain and range of each of the following functions.
(i) x g(x) (ii) f(x) (iii) f(x)
r ● ● 5 6 7
● 6
s ● 4
● 7
t ● ● 8 2 2
0 x
x 3 5
–2 0 2 4
Domain = {r, s, t} Domain = {–2, 1, 2, 4} Domain ialah 0 x 5
Domain is
Domain Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Domain
Kodomain = {5, 6, 7, 8} Kodomain = {2, 3, 4, 5} Kodomain ialah 2 f(x) 7
Codomain Codomain Codomain is
Julat = {5, 6, 8} Julat = {2, 3, 4, 5} Julat ialah 2 f(x) 7
Range Range Range is
Tip Penting
Graf ini fungsi selanjar.
This graph is a continuous function.
(a) (b) f(x) (c)
x g(x) f(x)
–1 ● ● –2 6 25
0 ● 21
● 0 4
1 ● 9
2
2 ● ● 10 x
–4 0 2
x
–2 0 2 4
Domain = {–1, 0, 1, 2} Domain = {–2, –1, 1, 2, 4} Domain ialah −4 x 2
Domain Domain Domain is
Kodomain = {–2, 0, 10} Kodomain = {1, 3, 4, 6} Kodomain ialah 9 f(x) 25
Codomain Codomain Codomain is
Julat = {–2, 0} Julat = {1, 3, 4, 6} Julat ialah 9 f(x) 25
Range Range Range is
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 2
01 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 2 29/09/2021 3:23 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi
5. Selesaikan setiap yang berikut. SP 1.1.3 TP3
Solve each of the following.
(a) Fungsi h ditakrifkan oleh h : x → x + 3x + 2. Cari
2
Fungsi f ditakrifkan oleh f : x → 2x + 6 . Cari Function h is defined by h : x → x + 3x + 2. Find
2
1
2x + 6 3 (i) h(–3) dan / and h ,
Function f is defined by f : x → 3 . Find 2
3
(i) f(3) dan / and f , (ii) nilai-nilai x yang mungkin jika imejnya ialah
2
30.
(ii) nilai x jika imejnya ialah 10. the possible values of x if the image is 30.
the value of x if the image is 10.
2
3
2 + 6 (i) h(–3) = (–3) + 3(–3) + 2
= 2
3
(i) f(3) = 2(3) + 6 f = 2 2
1
1
1
3 2 3 h + 3 + 2
=
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
= 4 = 3 2 2 2
(ii) f(x) = 10 = 15
2x + 6 = 10 4
3 (ii) x + 3x + 2 = 30
2
2x + 6 = 30 x + 3x – 28 = 0
2
2x = 24 (x – 4)(x + 7) = 0
x = 12 x = 4, –7
(b) Fungsi p ditakrifkan oleh p : x → kx + c. Diberi bahawa h(2) = 7 dan h(4) = –1, cari
Function p is defined by p : x → kx + c. Given that h(2) = 7 and h(4) = –1, find
(i) nilai k dan nilai c, (ii) imej bagi 3 di bawah p.
the value of k and of c, the image of 3 under p.
h(2) = 7 p(x) = –4x + 15
2k + c = 7......................a p(3) = –4(3) + 15
h(4) = –1 = 3
4k + c = –1....................b
a – b –2k = 8
k = –4
2(–4) + c = 7
c = 15
6. Selesaikan setiap yang berikut. SP 1.1.3 TP3
Solve each of the following.
Fungsi f ditakrifkan oleh f : x → |x − 1|.
Function f is defined by f : x → |x − 1|.
(i) Lakarkan graf bagi f untuk domain −2 x 3. (iii) Cari domain bagi f(x) 2.
Sketch the graph of f in the domain −2 x 3. Find the domain of f(x) 2.
(ii) Cari nilai bagi f(–5). (iv) Cari domain bagi f(x) 4.
Find the value of f(–5). Find the domain of f(x) 4.
(i) x –2 0 1 3 (ii) f(–5) = |–5 – 1|
= |–6|
y = f(x) = |x – 1| 3 1 0 2
= 6
f(x)
(iii) f(x) 2
3 x – 1 –2 , x – 1 2
x –1 x 3
2
(iv) f(x) 4
1 |x – 1| 4
–4 x – 1 4
x
0
–2 1 3 –3 x 5
3 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
01 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 3 29/09/2021 3:23 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi
(a) Fungsi f ditakrifkan oleh f : x → |3x + 1|.
Function f is defined by f : x → |3x + 1|.
(i) Lakarkan graf bagi f untuk domain –3 x 2 . (iii) Cari domain bagi f(x) 4.
Sketch the graph of f in the domain –3 x 2. Find the domain of f(x) 4.
(ii) Cari nilai bagi f(–4). (iv) Cari domain bagi f(x) 5.
Find the value of f(–4). Find the domain of f(x) 5.
f(x)
(i) x y = f(x) = |3x + 1| 8 (ii) f(–4) = |3(–4) + 1|
–3 8 7 = |–11|
= 11
– 1 0 (iii) f(x) 4
3
0 1 1 3x + 1 –4 , 3x + 1 4
3x –5
3x 3
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
2 7 x 5
–3 1 0 2 x – x 1
– 3 3
(iv) f(x) 5
|3x + 1| 5
–5 3x + 1 5
–6 3x 4
–2 x 4
3
1
Rajah di sebelah menunjukkan hubungan antara set X dan set Y. f(x)
The diagram shows the relation between set X and set Y. X Y
(a) Dengan menggunakan tatatanda fungsi, ungkapkan f dalam sebutan x. 1 ● ● 1
Using the function notation, express f in terms of x. 4 ● ● 0.25
10 ● ● 0.1
(b) Cari nilai p. / Find the value of p.
(c) Jika semua unsur dalam set X mewakili nombor bulat, adakah setiap objek akan p ● ● 0.04
mempunyai imejnya?
If all the elements in set X represent whole numbers, does every object have its image?
1
(a) x = 1, = 1
1
1
x = 4, = 0.25
4 TIP 1:
x = 10, 1 = 0.1 Kenal pasti pola bagi jujukan nombor
dalam set Y dengan menggunakan
10 kaedah cuba jaya.
1
f(x) = , x ≠ 0 Identify the pattern of the number sequence
x
in set Y by using try and error method.
(b) f(p) = 0.04
1 = 0.04
p
p = 25
(c) Tidak, imej bagi 0 adalah tidak tertakrif.
No, image of 0 is not defined.
Kriteria Kejayaan: ............................................................................................ .
Saya berjaya
• Menerangkan fungsi menggunakan perwakilan grafik dan tatatanda.
• Menentukan domain dan julat bagi suatu fungsi.
• Menentukan imej suatu fungsi apabila objek diberi dan sebaliknya.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 4
01 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 4 29/09/2021 3:23 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi
PBD 1.2 Fungsi Gubahan Buku Teks
PBD
PBD
Composite Functions ms. 12 – 19
FOKUS TOPIK
1. Fungsi g memetakan set A kepada set B. Set A g Set B f Set C
Function g maps set A to set B.
2. Fungsi f memetakan set B kepada set C.
Function f maps set B to set C.
x g(x) fg(x)
3. Fungsi yang memetakan set A kepada set C ialah fungsi gubahan, fg.
The function which maps set A to set C is composite function, fg
(i) fg(x) Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
fg
7. Tentukan fungsi gubahan bagi dua fungsi yang diberikan. SP 1.2.1 SP 1.2.2 TP3
Determine the composite functions of the two functions given.
Dua fungsi ditakrifkan oleh f : x → x + 2 dan (a) Dua fungsi ditakrifkan oleh f : x → 2x − 1 dan
2
g : x → x + 3. g : x → x + 5.
Two functions are defined by f : x → x + 2 and g : x → x + 3. Two functions are defined by f : x → 2x − 1 and g : x → x + 5.
2
(i) fg (ii) gf (iii) f 2 (i) fg (ii) gf (iii) g 2
(i) fg(x) = f(x + 3) (i) fg(x) (iii) gg(x)
2
2
= (x + 3) + 2 = f(x + 5) = g(x + 5)
= x + 5 = 2(x + 5) – 1 = (x + 5) + 5
2
2
2
= 2x + 10 – 1 = x + 10x + 25 + 5
2
4
2
(ii) gf(x) = g(x + 2) 2 4 2
= (x + 2) + 3 Tip Penting = 2x + 9 = x + 10x + 30
= x + 5 fg(x) = f[g(x)] (ii) gf(x)
f (x) = ff(x)
2
(iii) ff(x) = f(x + 2) = g(2x – 1)
2
= (x + 2) + 2 = (2x – 1) + 5
2
= x + 4 = 4x – 4x + 1 + 5
= 4x – 4x + 6
2
x – 1 1
8. Diberi dua fungsi f : x → dan g : x → . SP 1.2.3 TP3
2 x
x – 1 1
Given the two functions f : x → and g : x → .
2 x
(a) (i) Cari gf(–1). / Find gf(–1).
(i) Cari fg(2). 1
2
Find fg(2). (ii) Cari nilai x apabila f (x) = .
2
1
(ii) Cari nilai x apabila g (x) = 5. Find the value of x when f (x) = .
2
2
Find the value of x when g (x) = 5. 2
2
(ii) gg(x) (i) gf(x) = g x – 1 (iii) ff(x) = f x – 1
2
1
1
= f = g 1 2 x – 1 – 1
x
x
1 – 1 = 1 = x – 1 = 2
2
= x 2 1 = 2 = x – 1 – 2
x
2
4
= 1 – x , x ≠ 0 = x x – 1 x – 3
2x gg(x) = 5 ∴ gf(–1) = 2 =
∴ fg(2) = 1 – 2 x = 5 –1 – 1 4
1
2(2) = –1 ff(x) =
2
= – 1 x – 3 1
4 =
4 2
x = 5
5 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
01 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 5 29/09/2021 3:23 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi
9. Nyatakan fungsi f bagi setiap yang berikut berdasarkan fungsi g dan fungsi gubahan yang diberikan.
State the function f of each of the following based on the given function g and the composite function. SP 1.2.4 TP4
(i) g(x) = x − 6 dan / and gf(x) = x − 3. (ii) g(x) = x + 5 dan / and fg(x) = 2x + 15.
gf(x) = x – 3 Katakan / Let y = g(x)
f(x) – 6 = x – 3 y = x + 5
f(x) = x + 3 x = y – 5
fg(x) = 2x + 15
f(y) = 2(y – 5) + 15
= 2y – 10 + 15
= 2y + 5
f(x) = 2x + 5
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
(a) g(x) = x + 9 dan / and gf(x) = x − 7. (b) g(x) = 2x – 5 dan / and fg(x) = 2x + 1.
gf(x) = x – 7 Katakan / Let fg(x) = 2x + 1
f(x) + 9 = x – 7 y = g(x) f(y) = 2 y + 5 + 1
f(x) = x – 16 y = 2x – 5 2
x = y + 5 = y + 6
2 f(x) = x + 6
10. Selesaikan setiap yang berikut. SP 1.2.5
Solve each of the following.
(a) Diberi fungsi f(x) = 7 – 2x, g(x) = ax + b dan fg(x) = 1 – 4x, cari nilai a dan nilai b. TP3
Given the function f(x) = 7 – 2x, g(x) = ax + b and fg(x) = 1 – 4x, find the value of a and of b.
fg(x) = f(ax + b) Secara perbandingan / By comparison
= 7 – 2(ax + b) 7 – 2b – 2ax = 1 – 4x
= 7 – 2ax – 2b 7 – 2b = 1 , –2a = –4
b = 3 a = 2
(b) Fungsi f ditakrifkan oleh / Function f is defined by
f : x → x , x ≠ –1. TP4
x + 1
(i) Ungkapkan f (x), f (x) dan f (x) dalam bentuk termudah.
2
3
4
Express f (x), f (x) and f (x) in the simplest form.
2
3
4
(ii) Kemudian, deduksikan f (x). / Hence, deduce f (x).
5
5
(i) f (x) = f [f(x)] f (x) = f [f (x)] f (x) = f [f (x)]
2
2
4
3
3
x x x
= x + 1 = 2x + 1 = 3x + 1
x + 1 x + 1 x + 1
x + 1 2x + 1 3x + 1
= x = x = x
2x + 1 3x + 1 4x + 1
(ii) Pengangka sentiasa x dan penyebut ialah 2x + 1, 3x + 1 dan 4x + 1, maka penyebut seterusnya ialah
5x + 1 .
The numerator is always x and the denominators are 2x + 1, 3x + 1 and 4x + 1, thus the next denominator is 5x + 1.
∴ f (x) = x
5
5x + 1
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 6
01 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 6 29/09/2021 3:23 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi
(c) Seorang jurujual akan menerima komisen sebanyak 8% jika jumlah jualannya, RMx melebihi RM4 000
setiap bulan. Diberi dua fungsi f(x) = 0.08x dan g(x) = x – 4 000, antara fg(x) dan gf(x), fungsi gubahan
yang manakah menentukan jumlah komisen yang akan diterima oleh jurujual itu setiap bulan?
A salesperson will receive commission of 8% if his total sales, RMx exceeds RM4 000 every month. Given two functions f(x) = 0.08x
and g(x) = x – 4 000, which composite function, fg(x) and gf(x) will determine the total commission received by the salesperson every
month? TP5 KBAT Menganalisis
fg(x) = f(x – 4 000) Katakan jumlah jualan, x = RM7 000
= 0.08(x – 4 000) Let the total sales, x = RM7 000
= 0.08x – 320 Jumlah komisen / Total commission
fg(7 000) = 0.08(7 000) – 320 = RM240
gf(x) = g(0.08x) gf(7 000) = 0.08(7 000) – 4 000 = –RM3 440
= 0.08x – 4 000
Maka, fungsi jumlah komisen ialah fg(x).
Thus, the function of the total commission is fg(x).
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
2
Dalam rajah di sebelah, p dan q ialah dua fungsi p q
berbeza yang memetakan harga asal suatu barang
kepada harga diskaunnya. Jika sebuah kedai ingin
menawarkan kedua-dua diskaun semasa promosi x 0.5x x x – 20
jualan, cari harga diskaun bagi pq(x) dan qp(x) bagi
Harga asal
Harga asal
barang yang berharga RM200. Fungsi yang manakah Original price Harga diskaun Original price Harga diskaun
Discount price
Discount price
menawarkan harga yang lebih murah bagi barang
tersebut?
In the diagram, p and q are two different functions that map the original price of an item to its discounted price. If a shop decides to offer both
discounts during a sale promotion, find the discounted price of pq(x) and qp(x) for an item with a price of RM200. Which function will offer a
cheaper price for the item?
pq(x) = p(x – 20)
= 0.5(x – 20)
TIP 1:
pq(200) = 0.5(200 – 20) Cari fungsi gubahan pq(x) dan qp(x).
= 90 Kemudian, tentukan harga diskaun yang
lebih murah bagi barang berharga RM200.
qp(x) = q(0.5x) Find the composite functions pq(x) and qp(x).
= 0.5x – 20 Then, determine the cheaper discounted price
for an item costs RM200.
qp(200) = 0.5(200) – 20
= 80
Maka, fungsi qp(x) menawarkan harga yang lebih murah bagi barang itu.
Thus, the function qp(x) offers a cheaper price for the item.
Kriteria Kejayaan: ............................................................................................ .
Saya berjaya
• Memerihalkan hasil gubahan dua fungsi.
• Menentukan fungsi gubahan.
• Menentukan imej suatu fungsi gubahan apabila objek diberi dan sebaliknya.
• Menentukan suatu fungsi berkaitan apabila fungsi gubahan dan salah satu fungsinya diberi.
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi gubahan.
7 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
01 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 7 29/09/2021 3:23 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi
PBD
PBD 1.3 Fungsi Songsang Buku Teks
PBD
Inverse Functions ms. 20 – 30
FOKUS TOPIK Nota
Visual
–1
1. Fungsi songsangan f (x) merupakan satu fungsi terbalik bagi f(x). f(x)
–1
The inverse function of f (x) is the function that reverses of f(x). Tip Penting
–1
f : x → y ⇔ f : y → x ff (x) = x dan / and
–1
y = f(x) ⇔ x = f (y) f f(x) = x
–1
–1
x y
2. Bukan kesemua fungsi mempunyai songsangan. Fungsi yang
mempunyai hubungan satu dengan satu sahaja mempunyai
songsangan.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Not every function has an inverse function. Only a function with one-to-one
–1
relation has an inverse. f (y)
11. Selesaikan setiap yang berikut. SP 1.3.1 TP2
Solve each of the following.
Dalam rajah di sebelah, x f y (a) Dalam rajah di sebelah, f
fungsi f memetakan x fungsi f memetakan x x y
kepada y. Cari ● 9 kepada y. Cari 3 ● ● 15
In the diagram, function 4 ● ● 15 In the diagram, function f ● 9
f maps x to y. Find 7 ● maps x to y. Find 5 ●
(a) f (9) (i) f (15) 6 ● ● 18
–1
–1
–1
–1
(b) f (15) (ii) f (9)
(iii) f (18)
–1
(a) Daripada rajah, (b) Daripada rajah,
From the diagram, From the diagram, (i) f (15) = 5
–1
f(4) = 9 f(7) = 15 (ii) f (9) = 3 Tip Penting
–1
–1
maka / thus, maka / thus, (iii) f (18) = 6 f bukan salingan bagi f.
–1
–1
f is not the reciprocal of f.
f (9) = 4 f (15) = 7 1
–1
–1
f (x) ≠
–1
f(x)
12. Tentukan sama ada setiap fungsi yang berikut mempunyai fungsi songsang atau tidak. Jelaskan jawapan
anda. SP 1.3.2 TP2
Determine whether each of the following functions has an inverse function. Explain your answer.
y Fungsi f bukan fungsi satu dengan satu kerana ujian garis mengufuk
y = f(x) memotong graf pada dua titik. Maka, fungsi f tidak mempunyai fungsi
3 songsang.
Function f is not one-to-one function because the horizontal
x Ujian garis mengufuk
0 4 line test cuts the graph at two points. Thus, function f has no Horizontal line test
inverse function.
INFO
(a) y Fungsi f ialah fungsi satu dengan satu kerana ujian garis mengufuk
y = f(x) memotong graf pada satu titik. Maka, fungsi f mempunyai fungsi songsang.
Function f is one-to-one function because the horizontal line test cuts the graph at one point. Thus,
x function f has inverse function.
0
–2
(b) y Fungsi f bukan fungsi satu dengan satu kerana ujian garis mengufuk
y = f(x) memotong graf lebih daripada satu titik. Maka, fungsi f tidak mempunyai
fungsi songsang.
x Function f is not one-to-one function because the horizontal line test cuts the graph more than one
0
point. Thus, function f has no inverse function.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 8
01 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 8 29/09/2021 3:23 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi
13. Selesaikan setiap yang berikut. SP 1.3.2 TP3
Solve each of the following.
Rajah menunjukkan y (a) Rajah menunjukkan y
1
2 4 y = x graf bagi f(x) = x + 2 bagi
graf bagi f(x) = (x – 3) – 5 (–5, 3) 2 (4, 4)
bagi domain 0 x 3. y = f (x) domain –6 x 4.
–1
The diagram shows the graph The diagram shows the y = f(x)
1
of f(x) = (x – 3) – 5 for the x graph of f(x) = x + 2 for 0 x
2
domain 0 x 3. 0 3 4 2 (–6, –1) y = f (x)
–1
(i) Nyatakan domain y = f(x) the domain –6 x 4. y = x
dan julat bagi f . –5 (3, –5) (i) Nyatakan domain
−1
−1
State the domain and dan julat bagi f . (–1, –6)
range of f . State the domain and
−1
−1
(ii) Pada graf tersebut, range of f . −1
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
−1
lakarkan graf bagi f . (ii) Pada graf tersebut, lakarkan graf bagi f .
−1
On the graph, sketch the graph of f . On the graph, sketch the graph of f .
−1
−1
(i) Domain f ialah –5 x 4 (i) Domain f ialah −1 x 4
−1
–1
Domain of f is Domain of f is
–1
−1
Julat f ialah 0 x 3 Julat f ialah −6 x 4
−1
–1
Range of f is Range of f is
–1
14. Cari fungsi songsang bagi setiap yang berikut. SP 1.3.3 TP4 E-pop Quiz
Find the inverse function of each of the following.
(a) f(x) = 7 – 5x, f (4) 7 – x
−1
−1
f(x) = 4x – 3, f (5) (b) f(x) = 5 , f (3)
−1
Katakan / Let y = 4x − 3 Katakan / Let y = 7 – 5x Katakan / Let y = 7 – x
4x = y + 3 5x = 7 – y 5
y + 3 7 – y 5y = 7 – x
x = x =
4 5 x = 7 – 5y
−1
f (y) = x f (y) = x f (y) = x
−1
−1
y + 3 7 – y
= = = 7 – 5y
4 5
Gantikan y dengan x / Replace y with x Gantikan y dengan x Gantikan y dengan x
Replace y with x
Replace y with x
−1
f (x) = x + 3 7 – x
−1
4 f (x) = 5 f (x) = 7 – 5x
−1
f (5) = 5 + 3 = 2 7 – 4 3 f (3) = 7 – 5(3) = –8
−1
−1
4 f (4) = =
−1
5 5
(c) f(x) = 2x + 5 , f (–8) (d) f(x) = x + 2 , f −1 3 (e) f(x) = 2x , f (–3)
−1
−1
x 4x – 2 4 4 – x
Katakan / Let y = 2x + 5 Katakan / Let y = x + 2 Katakan / Let y = 2x
x 4x – 2 4 – x
xy = 2x + 5 4xy – 2y = x + 2 4y – xy = 2x
xy – 2x = 5 4xy – x = 2 + 2y 2x + xy = 4y
x(y – 2) = 5 x(4y – 1) = 2 + 2y x(2 + y) = 4y
x = 5 2 + 2y 4y
y – 2 x = 4y – 1 x = 2 + y
f (y) = x f (y) = x f (y) = x
−1
−1
−1
= 5 2 + 2y 4y
y – 2 = 4y – 1 = 2 + y
Gantikan y dengan x
Replace y with x Gantikan y dengan x Gantikan y dengan x
Replace y with x
Replace y with x
f (x) = 5 2 + 2x −1 4x
−1
−1
x – 2 f (x) = 4x – 1 f (x) = 2 + x
f (–8) = 5 = – 1 3
−1
–8 – 2 2 2 + 2 f (–3) = 4(–3) = 12
−1
4
f −1 3 = 4 – 1 = 7 2 – 3
3
4
4
9 4 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
01 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 9 29/09/2021 3:23 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi
15. Lakukan aktiviti yang berikut. SP 1.3.3 TP6
Carry out the following activity.
AKTIVITI Stesen
(a) Bahagikan murid kepada 5 kumpulan.
Divide the pupils into 5 groups. Aktiviti
Activity
(b) Imbas kod QR untuk mendapatkan aktiviti.
Scan the QR code to obtain the activity.
(c) Setiap kumpulan bergerak ke setiap stesen dan tuliskan jawapan kumpulan masing-masing pada
sehelai kertas di stesen itu.
Each group moves to each station and write the answer on a piece of paper in the station.
(d) Selepas semua kumpulan selesai menjawab, setiap kumpulan mewakili satu stesen dan semak jawapan
kumpulan lain. Lakukan perbincangan dalam kumpulan bagi menyemak jawapan yang betul. Guru
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
berikan bimbingan apabila diperlukan.
After all groups finish answering, each group represents a station and check the answers of other groups. Discuss in the group to
check the correct answers. Teacher gives guidance when needed.
3
Rajah di bawah menunjukkan graf bagi fungsi f(x) = 2x − 1.
The diagram below shows the graph of function f(x) = 2x − 1.
y
6
(3, 5) y = x
4
f
2
f –1
x
–4 –2 0 2 4 6
–2
(–1, –3)
–4
(a) Cari fungsi songsangan bagi fungsi itu.
Find the inverse function.
(b) Pada graf itu, lakarkan graf bagi fungsi songsang di (a).
On the graph, sketch the graph of the inverse function in (a).
(a) Katakan / Let y = 2x – 1
2x = y + 1
y + 1
x = TIP 1:
2 Graf fungsi songsang bagi fungsi f ialah pantulan
–1
f (y) = x graf f pada garis y = x. Tidak perlu dapatkan titik-
= y + 1 titik untuk melukis graf bagi fungsi songsang.
2 The graph of the inverse function of function f is the
reflection of graph f at the line y = x. No need to get the
Gantikan y dengan x / Replace y with x points to draw the inverse function graph.
f (x) = x + 1
–1
2
Kriteria Kejayaan: ............................................................................................ .
Saya berjaya
• Memerihalkan songsangan suatu fungsi.
• Membuat dan mengesahkan konjektur berkaitan sifat-sifat fungsi songsang.
• Menentukan fungsi songsang.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 10
01 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 10 29/09/2021 3:23 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi
SPM
PRAKTIS PdPR Jawapan
Bab 1 PRAKTIS PdPR Bab 1
Kertas 1 4. Dalam rajah di bawah, fungsi f memetakan y
kepada x dan fungsi g memetakan y kepada z.
In the diagram below, the function f maps y to x and the
1. Diberi fungsi m(x) = 3x dan n(x) = h – kx dengan function g maps y to z.
keadaan h dan k ialah pemalar. Ungkapkan h x f y g z
dalam sebutan k dengan keadaan nm(1) = 4. r
It is given the functions m(x) = 3x and n(x) = h – kx where h and
k are constants. Express h in terms of k such that nm(1) = 4.
(b) g(x) Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
[3 markah / 3 marks] q
Jawapan / Answer :
nm(x) = h – k(3x) p
= h – 3kx
nm(1) = 4 (a) Cari gf (p).
–1
h – 3k(1) = 4 Find gf (p).
–1
h – 3k = 4 (b) Ungkapkan q dalam sebutan p jika diberi
h = 4 + 3k f(y) = 3y – 5 , y ≠ 0.
y 3y – 5
Express q in terms of p if it is given f(y) = y , y ≠ 0.
[3 markah / 3 marks]
2. Diberi fungsi f(x) = px + 1, g(x) = 3x – 5 dan Jawapan / Answer :
fg(x) = 3px + q. Ungkapkan p dalam sebutan q. (a) f(q) = p dan / and g(q) = r
–1
It is given the functions f(x) = px + 1, g(x) = 3x – 5 and f (p) = q
fg(x) = 3px + q. Express p in terms of q. gf (p) = g(q)
–1
[3 markah / 3 marks] = r
Jawapan / Answer :
fg(x) = p(3x – 5) + 1 (b) f(q) = p
= 3px – 5p + 1 3q – 5 = p
q
3px – 5p + 1 = 3px + q 3q – 5 = pq
–5p + 1 = q 3q – pq = 5
1 – q = 5p q(3 – p) = 5
1 – q q = 5
p =
5 3 – p
Kertas 2
3. Diberi fungsi f(x) = 3x + 4 dan fg(x) = 6x + 7, cari 1. (a) Rajah di bawah menunjukkan fungsi
Given functions f(x) = 3x + 4 and fg(x) = 6x + 7, find x
(a) fg(4) f(x) = – b dengan keadaan a dan b ialah
a
pemalar.
[3 markah / 3 marks] The diagram below shows the function f(x = x a – b,
Jawapan / Answer : where a and b are constants.
(a) fg(4) = 6(4) + 7 x f x – b
= 31 a
6
(b) fg(x) = 6x + 7
3g(x) + 4 = 6x + 7 10 –4
3g(x) = 6x + 3 –12
g(x) = 2x + 1
Hitung nilai a dan nilai b.
Calculate the value of a and of b.
[5 markah / 5 marks]
11 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
01 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 11 29/09/2021 3:23 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi
(b) Kadar sewa sebuah gelanggang futsal bagi 2. Rajah di sebelah y
satu jam pertama ialah RM20 dan RM15 menunjukkan graf
bagi setiap jam berikutnya. P ialah jumlah bagi fungsi y = f(x). 1
bayaran sewa gelanggang, dalam RM, bagi h Diberi bahawa –1 0 3 x
jam. f(x) = ax + b dengan
The rental rate of a futsal court is RM20 for the first hour keadaan a dan b ialah
and RM15 for the subsequent hour. P is the total rental pemalar. Cari
charge in RM, of the futsal court, for h hours. The diagram shows the –5
(i) Tuliskan jumlah bayaran, P dalam graph of function y = f(x).
tatatanda fungsi. It is given that f(x) = ax + b where a and b are constants. Find
Write the total charge, P in function notation. (a) nilai a dan nilai b,
[5 markah / 5 marks] the value of a and of b,
(ii) Badrul dan rakan-rakannya merancang [4 markah / 4 marks]
untuk menyewa gelanggang futsal (b) objek bagi 7,
selama 4 jam. Mereka telah mengumpul the object of 7,
wang sesama mereka berjumlah [2 markah / 2 marks]
2
–1
RM65. Adakah wang itu mencukupi (c) nilai x jika f (x) = f (x).
–1
2
untuk mereka menyewa gelanggang the value of x if f (x) = f (x).
tersebut? Berikan alasan anda. [4 markah / 4 marks]
Badrul and his friends plan to rent the futsal court Jawapan / Answer :
for 4 hours. They have collected money among (a) f(3) = 1
themselves with a total of RM65. Is the money 3a + b = 1 .................a
enough for them to rent the futsal? Give your
reason. f(–1) = –5
[5 markah / 5 marks] –a + b = –5 .................b
Jawapan / Answer : a – b: 4a = 6
3
(a) f(10) = 6 a =
10 – b = 6 2
a 3
10 = 6 + b – + b = –5
2
7
a 11 Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
b = –
10 = 6a + ab .................a 2
f(–12) = –4 (b) f(x) = 7
7
– 12 – b = –4 3 x – = 7
a 2 2
12 3x – 7 = 14
– = b – 4
a x = 7
–12 = ab – 4a .................b 3 7
(c) y = x –
a – b: 22 = 10a 2 2
a = 11 2y = 3x – 7
5 2y + 7 = 3x
2y + 7
x =
11
10 = 6 + 11 b f (y) = x 3
5
5
–1
b = – 16 = 2y + 7
3
2x + 7
∴ f (x) =
–1
(b) (i) P(h) = 20 + 15(h – 1) 3 3 7
(ii) P(4) = 20 + 15(3) = 65 ff(x) = f x – 2
2
Jumlah sewa gelanggang futsal bagi = x – 7 – 7
3 3
4 jam ialah RM65. Wang yang dikumpul 2 2 2 2
9
oleh Badrul dan rakan-rakannya adalah = x – 35
mencukupi. 4 4
The total rental charge of the futsal court is RM65. f (x) = f (x)
2
–1
The money collected by Badrul and his friends is 2x 7 9x 35
enough. 3 + = 4 – 4
3
x = 7
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 12
01 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 12 29/09/2021 3:23 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi
1. Burgam merupakan seorang agen jualan suatu produk kesihatan. Dia akan
dibayar bonus 6.5% bagi setiap jualan yang melebihi RM10 000 setiap bulan.
Diberi dua fungsi f(x) = x – 10 000 dan g(x) = 0.065x, dengan keadaan x ialah Kenal pasti fungsi gubahan
yang melibatkan fungsi f(x)
jumlah jualannya yang diperoleh Burgam pada suatu bulan tertentu. dan g(x) untuk mewakili fungsi
Burgam is a sales agent of a health product. He will be paid a bonus of 6.5% for each sale exceeding jumlah bonus yang diterima oleh
RM10 000 every month. Given two functions f(x) = x – 10 000 and g(x) = 0.065x, where x is the Burgam.
total sales obtained by Burgam in a particular month. KBAT Mengaplikasi Identify the composite function
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
(a) Tentukan jumlah bonus yang diperoleh jika jumlah jualannya ialah involving functions f(x) and g(x) to
RM20 000. represent the function of the amount
of bonus received by Burgam.
Determine the amount of bonus received if the total sales obtained is RM20 000.
(b) Jumlah bonus yang diperoleh boleh diwakilkan dengan satu fungsi
gubahan. Nyatakan fungsi gubahan tersebut.
The amount of bonus received can be represented by a composite function. State the
composite function.
(a) Jumlah jualan melebihi RM10 000. (b) gf(x) = 0.065(x – 10 000)
The total sales exceeding RM10 000.
f(20 000) = 20 000 – 10 000
= 10 000
Jumlah bonus / Amount of bonus
g(x) = 0.065(10 000)
= RM650
x
2. Diberi g : x → 4x + 8 dan h : x → , tunjukkan bahawa (hg) (x) = (g h )(x). (a) Tentukan fungsi gubahan
–1
–1 –1
x 4 hg(x) dan kemudian,
Given g : x → 4x + 8 and h : x → , show that (hg) (x) = (g h )(x). KBAT Menganalisis songsang fungsi gubahan itu
–1 –1
–1
4
–1
bagi mendapatkan (hg) (x).
Determine the composite function
4x + 8 4x – 8 hg(x) and hence, inverse the
hg(x) = g h (x) =
–1 –1
4 4 composite function to obtain
(hg) (x).
–1
= 4(x + 2) = 4(x – 2) (b) Tentukan songsangan
4 4 bagi fungsi g(x) dan h(x).
= x + 2 = x – 2 Kemudian, tentukan fungsi
Katakan / Let y = x + 2 Maka / Thus, gubahannya.
x = y – 2 (hg) (x) = (h g )(x) Determine the inverse of functions
–1
g(x) and h(x). Hence, determine
–1 –1
the composite function.
(hg) (x) = x – 2
–1
Katakan / Let y = 4x + 8
y – 8
x =
4
g (x) = x – 8
–1
4
Katakan / Let y = x
4
x = 4y
h (x) = 4x
–1
Kuiz 1
13 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
01 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 13 29/09/2021 3:23 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
BAB
2 Fungsi Kuadratik
Quadratic Functions
PBD
PBD 2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik Buku Teks
PBD
Quadratic Equations and Inequalities ms. 36 – 44
FOKUS TOPIK
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
1. Bentuk am persamaan kuadratik 4. Ketaksamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan
General form of a quadratic equation kaedah
ax + bx + c = 0 Quadratic inequality can be solved using methods of
2
dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar dan a ≠ 0. (a) lakaran graf
where a, b and c are constants and a ≠ 0. graph sketching
2. Penyelesaian atau punca-punca bagi persamaan (b) garis nombor
number line
kuadratik boleh diperoleh dengan menggunakan (c) jadual
The solutions or roots of quadratic equation can be obtained by table
using
(a) penyempurnaan kuasa dua / completing the square 5. Bagi persamaan kuadratik dalam bentuk (x − a)(x − b) = 0,
(b) kaedah rumus / formula method dengan a b,
–b ± For quadratic equation in the form of (x − a)(x − b) = 0, where a b,
2
– 4
ac
b
x = (a) jika / if
2a (x − a)(x − b) 0,
3. Persamaan kuadratik dengan punca-punca α dan β maka / then
Quadratic equation with roots α and β
x a atau / or x b,
2
x − (hasil tambah punca)x + (hasil darab punca) = 0 (b) jika / if
x − (sum of roots)x + (product of roots) = 0
2
dengan keadaan / where (x − a)(x − b) 0,
hasil tambah punca / sum of roots = α + β = – b maka / then
a
c a x b.
hasil darab punca / product of roots = αβ =
a
1. Selesaikan setiap persamaan kuadratik berikut dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua.
Solve each of the following quadratic equations by using completing the square method. SP 2.1.1 TP3
x – 6x + 9 = 0 Tambah dan tolak sebutan pekali x 2 .
2
2
–6
–6
2
2
x – 6x + 2 + 9 = 0 Add and subtract term coefficient of x 2 . Tip Penting
–
2
2
2
2
(x + a) = x + 2ax + a 2 Dalam penyempurnaan kuasa dua,
2
pekali x mesti bernilai 1.
2
x – 6x + (–3) – 9 + 9 = 0 In completing the square, the coefficient
2
2
(x – 3) = 0 of x must be 1.
2
2
x – 3 = 0
x = 3
(a) x + 6x – 2 = 0 (b) –x – 4x + 3 = 0
2
2
2
6
2
6
x + 6x + 2 – 2 = 0 4 2 x + 4x – 3 = 0
2
–
2
2
2
4
–
2
2
(x + 3) – 9 – 2 = 0 x + 4x + – 3 = 0
2
2
2
(x + 3) = 11 (x + 2) – 4 – 3 = 0
2
2
x + 3 = ±11 (x + 2) = 7
7
x = 0.317, –6.317 x + 2 = ±
x = 0.646, –4.646
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 14
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 14 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
(c) 2x – 5x – 2 = 0 (d) 2x + 8x – 5 = 0
2
2
5
5
x – x – 1 = 0 x + 4x – = 0
2
2
2 2
5
5
x – x + – 5 2 – – 5 2 – 1 = 0 x + 4x + 2 – 2 – = 0
2
2
2
2
2 4 4 2
x – 5 2 = 41 (x + 2) = 13
2
2
4
16
41
5
13
x – = ± x + 2 = ±
4 16 2
x = 2.851, –0.351 x = 0.550, –4.550
2
(e) 3x – 5x = 7 (f) 2x – 3x = –9
2
5
2
x – x = 7 x – x = 3
2
2
3 3 3
5
2
x – x + – 5 2 – – 5 2 = 7 x – x + – 1 2 – – 1 2 = 3
2
2
3 6 6 3 3 3 3
7
x – 5 2 = + 25 x – 1 2 = 3 + 1
6
9
3
36
3
28
1
109
5
x – = ± x – = ±
6 36 3 9
x = 2.573, –0.907 x = 2.097, –1.431
2. Selesaikan setiap persamaan kuadratik berikut dengan menggunakan rumus. SP 2.1.1 TP3
Solve each of the following quadratic equations by using formula.
(a) x + 3x – 5 = 0 (b) 4x – 7x – 2 = 0
2
2
2
5x – 3x – 1 = 0
3 ± x = –3 ±9 – 4(1)(–5) x = 7 ±49 – 4(4)(–2)
9 – 4(5)(–1)
x = Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
2(4)
2(1)
2(5)
29
29
3 ± Tip Penting = –3 ± = 7 ±81
= 2 8
10 –b ± = 1.193, –4.193 = 2, –0.25
ac
– 4
b
2
= 0.839, –0.239 x = 2a
(c) 5 – x – 2x = 0 (d) 2x + 4x – 3 = 0 (e) 2x – 7x + 4 = 0
2
2
2
x = 1 ±1 – 4(–2)(5) x = –4 ±16 – 4(2)(–3) x = 7 ±49 – 4(2)(4)
2(–2) 2(2) 2(2)
17
= 1 ±41 = –4 ±40 = 7 ±
–4 4 4
= –1.851, 1.351 = 0.581, –2.581 = 2.781, 0.719
3. Selesaikan setiap yang berikut. SP 2.1.1 TP4
Solve each of the following.
(a) Rajah di sebelah menunjukkan segi empat tepat PQRS. Diberi luas PQRS P (x + 3) cm Q
ialah 20 cm , cari nilai x.
2
The diagram on the right shows a rectangle PQRS. Given that the area of PQRS is 20 cm , find the (2x – 1) cm
2
value of x.
(2x – 1)(x + 3) = 20 5 209 S R
2
2x + 5x – 23 = 0 x + = ±
16
4
5
x + x – 23 = 0 x = 2.364, –4.864
2
2 2
5
5
5
2
–
x + x + 2 – 23 = 0 Maka, / Thus, x = 2.364
2
2 4 4 2
x + 5 2 = 209
4
16
15 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 15 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
(b) Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga PQR dengan luas kawasan berlorek (2x + 1) m
2
ialah 20 m . Cari nilai x. P Q
The diagram shows a triangle PQR with the area of the shaded region is 20 m . Find the value of x.
2
2x m
1 (2x)(2x + 1) = 20
2 R
2x + x – 20 = 0
2
x = –1 ±1 – 4(2)(–20)
2(2)
= –1 ±161
4
= 2.922, –3.422
5Bhd. All Rights Reserved
Maka, / Thus, x = 2.922
4. Bentukkan persamaan kuadratik dengan punca-punca yang diberikan. SP 2.1.2 TP2
Form a quadratic equation with the given roots.
(a) 4 dan / and –6 (b) –3 dan / and –5
–3 dan / and 7
Hasil tambah punca / Sum of roots Hasil tambah punca / Sum of roots
Hasil tambah punca / Sum of roots = 4 + (–6) = –2 = (–3) + (–5) = –8
= –3 + 7 = 4
Hasil darab punca / Product of roots Hasil darab punca / Product of roots
Hasil darab punca / Product of roots = (4)(–6) = –24 = (–3)(–5) = 15
= (–3)(7) = –21
2
2
∴ x – 4x – 21 = 0 ∴ x + 2x – 24 = 0 ∴ x + 8x + 15 = 0
2
Penerbitan Pelangi Sdn
(c) –2 dan / and 1 (d) 1 dan / and 2 (e) 1 dan / and 2
3 2 4
Hasil tambah punca / Sum of roots Hasil tambah punca / Sum of roots Hasil tambah punca / Sum of roots
2
1
1
1
= –2 + = – 5 = + = 9 = + 2 = 9
3 3 2 5 10 4 4
Hasil darab punca / Product of roots Hasil darab punca / Product of roots Hasil darab punca / Product of roots
1
2
1 2
1
1
= (–2) = – = = = (2) = 1
2 5
2
5
4
3
3
9
1
5
2
1
∴ x + x – = 0 ∴ x – 9 x + = 0 ∴ x – x + = 0
2
2
2
3 3 10 5 4 2
2
3x + 5x – 2 = 0 10x – 9x + 2 = 0 4x – 9x + 2 = 0
2
2
5. Selesaikan setiap yang berikut. SP 2.1.2 TP4
Solve each of the following.
Punca-punca persamaan kuadratik x – 4x + 2 = 0 ialah α dan β, bentukkan persamaan kuadratik dengan
2
2
2
punca-punca α dan β .
The roots of quadratic equation x – 4x + 2 = 0 are α and β, form a quadratic equation with the roots of α and β .
2
2
2
a = 1, b = –4, c = 2 Hasil darab punca / Product of roots:
b
2 2
α + β = – = – (–4) = 4 = α β
a 1 = (αβ) 2 Tip Penting
c
2
αβ = = = 2 = 2 2 (i) (a + b) = a + 2ab + b 2
2
2
a 1 = 4 (ii) (a – b) = a – 2ab + b 2
2
2
2
2
Hasil tambah punca / Sum of roots: Persamaan kudratik (iii) a – b = (a + b)(a – b)
(iv) a + b = (a + b) – 2ab
2
2
2
2
2
2
α + β = (α + β) – 2αβ Quadratic equation:
= 4 – 2(2) x − 12x + 4 = 0
2
2
= 12
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 16
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 16 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
(a) Punca-punca persamaan kuadratik 6x + 2x – 1 = 0 ialah α dan β. Bentukkan persamaan kudartik dengan
2
punca-punca berikut.
The roots of quadratic equation 6x + 2x – 1 = 0 are α and β. Form a quadratic equation with the following roots.
2
2
2
(i) 1 dan / and 1 (ii) 2α + 1 dan / and 2β + 1 (iii) 2α dan / and 2β
α β
a = 6, b = 2, c = –1 Hasil tambah punca: Hasil tambah punca:
Sum of roots:
Sum of roots:
2
b
α + β = – = – = – 1 (2α + 1) + (2β + 1) = 2α + 2β 2
2
a 6 3 = 2(α + β) + 2 = 2(α + β )
2
2
c
αβ = = – 1 1 = 2[(α + β) – 2αβ]
2
a 6 = 2 – + 2 1 2 1
3
Hasil tambah punca: = 4 = 2 – 3 – 2 – 6
Sum of roots: 3 8
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
1 + Hasil darab punca: = 9 Tip Penting
1
α β Product of roots: α + β = (α + β) − 2αβ
2
2
2
= α + β (2α + 1)(2β + 1)
αβ = 4αβ + 2(α + β) + 1 Hasil darab punca:
Product of roots:
1
1
– 1 = 4 – + 2 – + 1 = 2α (2β )
2
2
= 3 6 3 = 4(αβ) 2
– 1 = – 1 1 2
6 3 = 4 –
= 2 4 1 6
∴ x – x – = 0 = 1
2
Hasil darab punca: 3 3 9
2
Product of roots: 3x – 4x – 1 = 0 8 1
2
1 × = 1 = –6 ∴ x – x + = 0
1
9
9
α β αβ 9x – 8x + 1 = 0
2
∴ x – 2x – 6 = 0
2
6. Tentukan julat nilai x yang memuaskan setiap ketaksamaan kuadratik berikut. SP 2.1.3 TP4
Determine the range of values of x that satisfies each of the following quadratic inequalities.
(i) (x – 2)(x + 4) 0 (ii) (2x – 1)(x + 5) 0
Menggunakan kaedah lakaran graf: Apabila / When (2x – 1)(x + 5) = 0,
Using sketching graph method: 1
Apabila / When (x − 2)(x + 4) = 0, x = , x = –5
2
x = 2, x = −4 Oleh kerana, (2x – 1)(x + 5) 0, x berada di
Oleh kerana (x – 2)(x + 4) 0, x berada bawah paksi-x.
di atas paksi-x. Since (2x – 1)(x + 5) 0, x lies below the x-axis.
Since (x – 2)(x + 4) 0, x lies above the x-axis. y
y x
–5 0 1
– 2
–5
+ + x
–4 0 2
1
–8 Maka, julat bagi nilai x ialah −5 x .
2
1
Maka, julat bagi nilai x ialah x −4 atau x 2. Thus, the range of values of x is −5 x .
2
Thus, the range of values of x is x −4 or x 2.
Tip Penting
Kewujudan "sama dengan" pada simbol
Menggunakan kaedah garis ketaksamaan bagi julat x ditentukan mengikut
nombor dan jadual ketaksamaan kuadratik yang diberikan.
Using methods of number line The existence of "equal to" in the inequality symbol for
and table
the range of x is determined according to the quadratic
inequalities given.
17 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 17 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
(a) 2x – x – 3 0 (b) x – 4x 0
2
2
y y
(2x – 3)(x + 1) 3 4x – x 0
2
+ +
Apabila / When –1 0 3 x x(4x – 1) 0 x
(2x – 3)(x + 1) = 0 –3 2 Apabila / When 0 – 1 4
3
x = , x = –1 x(4x – 1) = 0,
2 x = 0, x = 1
3
Maka, julat bagi nilai x ialah x −1 atau x . 4
1
2 Maka, julat bagi nilai x ialah 0 x .
3
Thus, the range of values of x is x −1 or x . 4
2 1
Thus, the range of values of x is 0 x .
4
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
(c) (2x – 3)(x – 1) 3 (d) 3x – 7x – 5 –2x – 3
2
2x – 5x + 3 3 y 3x – 7x – 5 + 2x + 3 0 y
2
2
2x – 5x 0 3x – 5x – 2 0
2
2
x(2x – 5) 0 x (3x + 1)(x – 2) 0 + + x
Apabila / When 0 – 5 2 Apabila / When – 1 3 0 2
x(2x – 5) = 0 (3x + 1)(x – 2) = 0 –2
1
x = 0, x = 5 x = – , x = 2
2 3
5
1
Maka, julat bagi nilai x ialah 0 x . Maka, julat bagi nilai x ialah x – atau x 2.
5 2 3
Thus, the range of values of x is 0 x . 1
2 Thus, the range of values of x is x – or x 2.
3
1
Diberi bahawa satu daripada punca-punca bagi persamaan kuadratik x + (m – 3)x – m = 0, dengan keadaan m
2
2
ialah pemalar, adalah negatif kepada yang satu lagi. Cari nilai bagi hasil darab punca.
It is given the one of the roots of the quadratic equation x + (m – 3)x – m = 0, where p is a constant, is negative of the other. Find the value
2
2
of the product of roots.
Hasil tambah punca Hasil darab punca
Sum of roots Product of roots
α + β = –(m – 3) = –m 2
α + (–α) = 3 – m = –3 2 TIP 1:
0 = 3 – m = –9 x – hasil tambah x + hasil darab = 0
2
punca
punca
m = 3 sum of product of
x – x + = 0
2
roots roots
Kriteria Kejayaan: ............................................................................................ .
Saya berjaya
• Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua dan rumus.
• Membentuk persamaan kuadratik daripada punca-punca yang diberi.
• Menyelesaikan ketaksamaan kuadratik.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 18
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 18 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
PBD 2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik Buku Teks
PBD
PBD
Types of Roots of Quadratic Equations ms. 45 – 48
FOKUS TOPIK
1. Jenis-jenis punca persamaan kuadratik ditentukan oleh nilai pembezalayan, b − 4ac.
2
2
The types of roots of quadratic equations are determined by the value of discriminant, b − 4ac.
Jenis-jenis punca
Types of roots
Dua punca nyata Tiada punca nyata / No real roots
Two real roots b − 4ac 0 Jenis-jenis punca
2
Find the discriminant and determine the type of roots of each of the following quadratic equations. Reserved
Types of roots of
b − 4ac 0
b − 4ac = 0
2
2
Berbeza / Different Sama / Equal persamaan kuadratik
quadratic equations
VIDEO
7. Cari nilai pembezalayan dan tentukan jenis punca bagi setiap persamaan kuadratik berikut. TP1 TP2
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights
SP 2.2.1
(a) x = 2(x – 5) (b) 5x – 4x = 5
2
2
2
x = 3x – 1
x = 2x – 10 5x – 4x – 5 = 0
2
2
x – 3x + 1 = 0 x – 2x + 10 = 0
2
2
2
2
b – 4ac = (–3) – 4(1)(1) b – 4ac = (–4) – 4(5)(–5)
2
2
2
2
= 5 0 b – 4ac = (–2) – 4(1)(10) = 116 0
= –36 0
Mempunyai dua punca nyata Mempunyai dua punca nyata
dan berbeza. Tidak mempunyai punca nyata. dan berbeza.
Has two real and different roots. Has no real roots. Has two real and different roots.
(c) –3x – 7x = –6 (d) 9x – 12x + 4 = 0 (e) 3x = 7(x – 5)
2
2
2
–3x – 7x + 6 = 0 b – 4ac = (–12) – 4(9)(4) 3x = 7x – 35
2
2
2
2
= 0 3x – 7x + 35 = 0
2
b – 4ac = (–7) – 4(–3)(6)
2
2
= 121 0 Mempunyai dua punca nyata b – 4ac = (–7) – 4(3)(35)
2
2
dan sama. = –371 0
Mempunyai dua punca nyata dan Has two equal real roots.
berbeza. Tidak mempunyai punca nyata.
Has two real and different roots. Has no real roots.
8. Selesaikan setiap yang berikut. SP 2.2.2 TP3
Solve each of the following.
(a) Persamaan kuadratik 4x + px = –p, dengan p
2
Persamaan kuadratik kx + kx + 3 = 0, dengan k ialah pemalar, tidak mempunyai punca yang
2
ialah pemalar, mempunyai dua punca sama. Cari nyata. Cari julat bagi p.
nilai-nilai yang mungkin bagi k. The quadratic equation 4x + px = –p, where p is a constant,
2
The quadratic equation kx + kx + 3 = 0, where k is a constant, has no real roots. Find the range of values of p.
2
has two equal roots. Find the possible values of k.
4x + px = –p
2
b – 4ac = 0 4x + px + p = 0
2
2
k – 4(k)(3) = 0
2
2
k – 12k = 0 b – 4ac 0 + – + p
2
2
k(k – 12) = 0 p – 4(4)(p) 0 0 16
2
k = 0, k = 12 p – 16p 0
p(p – 16) 0
∴ 0 p 16
19 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 19 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
(b) Persamaan kuadratik x(x + 1) = px – 4, dengan p (c) Persamaan kuadratik mx + (1 + 2m)x + m – 1 = 0,
2
ialah pemalar, mempunyai dua punca nyata dan dengan m ialah pemalar, mempunyai dua punca
berbeza. Cari julat bagi nilai p. sama. Cari nilai m.
The quadratic equation x(x + 1) = px – 4, where p is a constant, The quadratic equation mx + (1 + 2m)x + m – 1 = 0, where m
2
has two real and different roots. Find the range of values of p. is a constant, has two equal roots. Find the value of m.
x + x = px – 4 b – 4ac = 0
2
2
x + x – px + 4 = 0 (1 + 2m) – 4(m)(m – 1) = 0
2
2
x + (1 – p)x + 4 = 0 1 + 4m + 4m – 4m + 4m = 0
2
2
2
b – 4ac 0 + – + p 8m = –1
2
(1 – p) – 4(1)(4) 0 –3 5 m = – 1
2
2
p –2p – 15 0 8
(p + 3)(p – 5) 0
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
∴ p –3 atau / or p 5
2
Diberi bahawa fungsi kuadratik mx – 2nx + 9m = 0, dengan keadaan m dan n ialah pemalar, mempunyai dua
2
punca yang sama. Cari m : n.
It is given that the quadratic equation mx – 2nx + 9m = 0, where m and n are constants, has two equal roots. Find m : n.
2
b – 4ac = 0 m 2 = 4 Maka / Thus,
2
(–2n) – 4(m)(9m) = 0 n 2 36 m : n = 1 : 3
2
4n – 36m = 0 m = TIP 1: TIP 2:
2
4
2
36m = 4n 2 n 36 b – 4ac = 0 m = a
2
2
= 1 n b
3 m : n = a : b
Kriteria Kejayaan: ............................................................................................ .
Saya berjaya
• Membuat perkaitan antara jenis-jenis punca persamaan kuadratik dan nilai pembezalayan.
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan jenis-jenis punca dalam persamaan kuadratik.
PBD 2.3 Fungsi Kuadratik Buku Teks
PBD
PBD
Quadratic Functions ms. 49 – 64
FOKUS TOPIK SIMULASI
[Standard Form, Vertex Form]
1. Perubahan nilai a, b dan c terhadap bentuk dan posisi bagi graf f(x) = ax + bx + c.
2
2
The changes of the values of a, b and c towards the shape and position of the graph f(x) = ax + bx + c.
f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x)
a = 2 a = 1 0 x b < 0 b > 0 1
a = – 0.5 c = 1 0 c = 1 x
a = 0.5 0 x 0 x 1 c = 0 c = 0
0 x –1 c = –1
x c = –1
0 b > 0 b < 0 –1
a > 0 a = – 2 a = – 1 a < 0
a < 0 a > 0 a < 0 a > 0
Perubahan nilai a Perubahan nilai b Perubahan nilai c
The changes in the value of a The changes in the value of b The changes in the value of c
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 20
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 20 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
2. Perkaitan antara jenis-jenis punca dan posisi graf fungsi kuadratik f(x) = ax + bx + c.
2
The relation between the types of roots and the position of graph of quadratic function f(x) = ax + bx + c.
2
Dua punca nyata dan berbeza Dua punca nyata dan sama Tiada punca nyata
Two real and different roots Two real and equal roots No real roots
b – 4ac 0 b – 4ac = 0 b – 4ac 0
2
2
2
a > 0 a > 0
x x x
a > 0 a < 0
a < 0
a < 0
Dua pintasan-x Satu pintasan-x Tiada pintasan-x
Two x-intercepts One x-intercept No x-intercept
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
3. Perubahan nilai h dan k terhadap bentuk dan posisi bagi graf f(x) = a(x − h) + k.
2
The changes of the values of h and k towards the shape and position of the graph f(x) = a(x − h) + k.
2
f(x) f(x) Tip Penting
f(x) f(x) Bentuk pintasan / Intercept form:
h < 0 h > 0 k 0 k 0 f(x) = a(x − p)(x − q)
x
k = 0 0
x x Bentuk verteks / Vertex form:
0 0 k = 0 2
0 x f(x) = a(x − h) + k
h < 0 h > 0 k 0
k 0 k ≠ pintasan-y / y-intercept
9. Lakukan aktiviti berikut. SP 2.3.1 TP5
Carry out the following activity.
AKTIVITI Penerokaan
(a) Bahagikan murid kepada tiga kumpulan.
Divide pupils into three groups.
(b) Lakukan pencarian secara dalam talian untuk mendapatkan simulasi perubahan nilai a, b dan c bagi
fungsi kuadratik bentuk am dan kesannya terhadap graf.
Carry out online search to obtain the simulation of changing the values of a, b and c in general form of quadratic function and the
effects on the graph.
(c) Lakarkan setiap graf berikut menggunakan simulasi tersebut.
Sketch each of the following graphs using the simulation.
Kumpulan 1 / Group 1: f(x) = 3x dan / and f(x) = –3x 2
2
Kumpulan 2 / Group 2: f(x) = x dan / and f(x) = –x
2
2
Kumpulan 3 / Group 3: f(x) = x dan / and f(x) = –x
2
2
(d) Setiap ahli kumpulan mesti meneroka bentuk atau posisi graf mengikut perubahan-perubahan yang
berikut. Lakarkan graf yang diperoleh pada paksi graf yang sama di (c).
Each group member must explore the shape or position based on the following changes. Sketch the obtained graph on the same
axes in (c).
Kumpulan 1 / Group 1 Kumpulan 2 / Group 2 Kumpulan 3 / Group 3
Bagi / For, f(x) = 3x 2 Bagi / For, f(x) = x 2 Bagi / For, f(x) = x 2
(i) a = 2, a = 1 (i) b = 3, b = 5 (i) c = 2, c = 4
(ii) a = 4, a = 5 (ii) b = –3, b = –5 (ii) c = –2, c = –4
Bagi / For, f(x) = –3x 2 Bagi / For, f(x) = –x 2 Bagi / For, f(x) = –x 2
(i) a = –2, a = –1 (i) b = 4, b = 6 (i) c = 1, c = 3
(ii) a = –3, a = –4 (ii) b = –4, b = –6 (ii) c = –1, c = –3
(e) Buat kesimpulan berdasarkan hasil yang diperoleh dan tulis dalam buku latihan masing-masing.
Kemudian, bentangkan hasil dapatan setiap kumpulan. Catatkan hasil kumpulan itu dan tulis dalam
buku latihan masing-masing.
Make conclusions based on the results obtained and write in exercise book. Then, present the results of each group. Take note of the
results of the group and write in exercise book.
21 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 21 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
10. Nyatakan jenis punca setiap fungsi kuadratik berikut dan seterusnya, lakarkan dan tandakan punca tersebut.
State the type of roots for each of the following quadratic functions and hence, sketch and mark the roots. SP 2.3.2 TP3
(a) f(x) = x – 4x + 4 (b) f(x) = 8 – 3x – 4x 2
2
2
f(x) = –x + 5x + 9
2
2
2
b – 4ac b – 4ac b – 4ac
2
2
2
= 5 – 4(–1)(9) x = (–4) – 4(1)(4) x = (–3) – 4(–4)(8) x
= 61 0 = 0 = 137 0
Dua punca nyata dan berbeza Dua punca nyata dan sama Dua punca nyata dan berbeza
Two real and different roots Two real and equal roots Two real and different roots
11. Selesaikan bagi setiap yang berikut. SP 2.3.2 TP3
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Solve each of the following. E-pop Quiz
(a) Cari nilai p jika graf fungsi (b) Cari julat bagi nilai q jika graf
Cari julat bagi nilai m jika graf kuadratik f(x) = x + px – 2x + 9 fungsi kuadratik
2
fungsi kuadratik hanya menyentuh paksi-x f(x) = qx + 2x + q tidak
2
f(x) = (m + 3)x – mx + 1 memotong pada satu titik sahaja. memintas paksi-x.
2
paksi-x pada dua titik berbeza. Find the values of p if the quadratic Find the range of values of q if the
Find the range of values of m if the function f(x) = x + px – 2x + 9 touches quadratic function f(x) = qx + 2x + q
2
2
quadratic function the x-axis at only one point. does not intersect x-axis.
f(x) = (m + 3)x – mx + 1 cuts x-axis at two
2
different points. x + (p – 2)x + 9 = 0 b – 4ac 0
2
2
Dua titik berbeza bermaksud b – 4ac = 0 2 – 4q 0
2
2
2
dua punca nyata dan berbeza. 2 4q 4
2
Two different points means two real and (p – 2) – 4(1)(9) = 0 q 1
2
2
different roots. p – 4p + 4 – 36 = 0
p – 4p – 32 = 0 q –1 atau / or q 1
2
b – 4ac 0 (p – 8)(p + 4) = 0
2
(–m) – 4(m + 3)(1) 0
2
m – 4m – 12 0 p = –4 atau / or p = 8
2
(m – 6)(m + 2) 0
m –2 atau / or m 6
12. Lengkapkan jadual berikut. SP 2.3.3 TP3
Complete the following table. Tip Penting
2
(i) f(x) = ax + bx + c
Fungsi kuadratik Pintasan-x Pintasan-y Verteks Paksi simetri Verteks / Vertex:
Quadratic function x-intercept y-intercept Vertex Axis of symmetry b b
– , f –
2a 2a
(a) f(x) = x – 10x + 24 4, 6 24 (5, –1) x = 5 Paksi simetri
2
Axis of symmetry:
b
x = − 2a
3
1 25
(b) f(x) = 3 – x – 2x – , 1 3 – , x = – 1 (ii) f(x) = a(x – p)(x – q)
2
2 4 8 4 Verteks / Vertex:
p + q , f p + q
2 2
(c) f(x) = –2(x – 1)(x + 3) –3, 1 6 (–1, 8) x = –1 Paksi simetri
Axis of symmetry:
p + q
x =
81
1
(d) f(x) = (x + 4)(x – 5) –4, 5 –20 , – x = 1 2 2
2 4 2 (iii) f(x) = a(x – h) + k
Verteks / Vertex: (h, k)
Paksi simetri
(e) f(x) = (x – 1) – 4 –1, 3 –3 (1, –4) x = 1 Axis of symmetry:
2
x = h
(f) f(x) = –(x + 4) + 9 –1, –7 –7 (–4, 9) x = –4
2
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 22
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 22 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
13. Ungkapkan setiap fungsi kuadratik yang berikut dalam bentuk am dan bentuk pintasan. SP 2.3.3 TP3
Express each of the following quadratic functions in the general form and intercept form. Nota
Visual
2
Tip Penting (a) f(x) = –(x + 1) + 4
f(x) = 16 – (x + 3) 2
Bentuk pintasan / Intercept form f(x) = –(x + 2x + 1) + 4
2
f(x) = 16 – (x + 6x + 9) f(x) = a(x – p)(x – q) = –x – 2x + 3 → Bentuk am / General form
2
2
= –x – 6x + 7 → Bentuk am / General form = –(x + 2x – 3)
2
2
= –(x + 6x – 7) = –(x – 1)(x + 3) → Bentuk pintasan
2
= –(x – 1)(x + 7) → Bentuk pintasan / Intercept form Intercept form
(b) f(x) = 2 x – 3 2 – 49 (c) f(x) = 3 x – 1 2 – 27
4 8 2 4
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
3
2
2
f(x) = 2 x – x + 9 – 49 f(x) = 3 x – x + 1 – 27
2 16 8 4 4
9
= 2x – 3x + – 49 = 3x – 3x + 3 – 27
2
2
8 8 4 4
2
2
= 2x – 3x – 5 → Bentuk am / General form = 3x – 3x – 6 → Bentuk am / General form
= (2x – 5)(x + 1) = 3(x + 1)(x – 2) → Bentuk pintasan
= 2 x – 5 (x + 1) → Bentuk pintasan Intercept form
2 Intercept form
14. Ungkapkan setiap fungsi kuadratik yang berikut dalam bentuk verteks. Kemudian, nyatakan koordinat vertex
dan paksi simetri graf fungsi itu. SP 2.3.3 TP3
Express each of the following quadratic functions in the vertex form. Hence, state the coordinates of vertex and axis of symmetry of the
graph of the function.
(a) f(x) = (x + 8)(x + 2)
f(x) = (x + 5)(x – 7) Tambah dan tolak
Adding and subtracting f(x) = x + 2x + 8x + 16
2
f(x) = x – 7x + 5x – 35 2 2
2
–2
2
= x – 2x – 35 2 = (–1) = x + 10x + 16
2
2
2
2
2
= x – 2x + (–1) – (–1) – 35 = x + 10x + 5 – 5 + 16
2
2
2
= (x – 1) – 36 = (x + 5) – 9
2
Verteks / Vertex: (1, –36) Verteks / Vertex : (–5, –9)
Paksi simetri / Axis of symmetry: x = 1 Paksi simetri / Axis of symmetry: x = –5
(b) f(x) = 6 – 8x – x 2 (c) f(x) = 3x – 18x + 4
2
f(x) = –(x + 8x – 6) f(x) = 3 x – 6x + 4
2
2
= –(x + 8x + 4 – 4 – 6) 3
2
2
2
2
2
2
2
= –(x + 4) + 22 = 3 x – 6x + (–3) – (–3) + 4
3
Verteks / Vertex : (–4, 22) = 3(x – 3) – 23
2
Paksi simetri / Axis of symmetry: x = –4
Verteks / Vertex : (3, –23)
Paksi simetri / Axis of symmetry: x = 3
(d) f(x) = (x + 2) – 8x – 2 (e) f(x) = 3 – 5x – 2x 2
2
5
f(x) = x + 4x + 4 – 8x – 2 f(x) = –2 x + x – 3
2
2
= x – 4x + 2 2 2
2
3
5
2
2
5
5
= x – 4x + (–2) – (–2) + 2 = –2 x + x +
2
2
2
–
–
2
= (x – 2) – 2 2 2 4 4 2
2
Verteks / Vertex : (2, –2) = –2 x + 5 + 49
8
4
Paksi simetri / Axis of symmetry: x = 2 5 49
Verteks / Vertex : – ,
4 8
Paksi simetri / Axis of symmetry: x = – 5
4
23 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 23 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
15. Lakarkan kesan perubahan pemboleh ubah a, h dan k bagi graf fungsi kuadratik f(x) = a(x – h) + k.
2
2
Sketch the effects of changes in variables a, h and k of the quadratic function f(x) = a(x – h) + k . SP 2.3.4 TP4
2
f(x) = 2(x – 5) – 12
(i) Nilai a berubah kepada 1. / The value of a changes to 1.
(ii) Nilai h berubah kepada 8. / The value of h changes to 8.
(iii) Nilai k berubah kepada 0. / The value of k changes to 0.
(i) (ii) (iii)
f(x) f(x) f(x)
f(x) = 2(x – 5) – 12 f(x) = 2(x – 5) – 12 f(x) = 2(x – 5) – 12
2
2
2
k = 0
38 38 38
a = 1 h = 8
13 (5, 0)
x x x
0 2.6 7.4 0 2.6 7.4 0 2.6 7.4
(5, –12) (5, –12) (8, –12) (5, –12)
(a) f(x) = –2(x + 1) + 8
2
(i) Nilai a berubah kepada –5. / The value of a changes to –5.
(ii) Nilai h berubah kepada –3. / The value of h changes to –3.
(iii) Nilai k berubah kepada 10. / The value of k changes to 10. xAll Rights Reserved
(i) f(x) (ii) f(x) (iii) f(x)
(–1, 10)
(–1, 8) (–3, 8) (–1, 8)
(–1, 8)
6 6 f(x) = –2(x + 1) + 8 6 f(x) = –2(x + 1) + 8
2
2
2
f(x) = –2(x + 1) + 8
x x
–3 0 1 –3 0 1 –3 0 1
2
(b) f(x) = (x + 2) + 4
(i) Nilai a berubah kepada 2. / The value of a changes to 2.
(ii) Nilai h berubah kepada 1. / The value of h changes to 1.
(iii) Nilai k berubah kepada 2. / The value of k changes to 2.
(i) Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. (iii) f(x)
(ii)
f(x)
f(x)
2
2
f(x) = (x + 2) + 4 f(x) = (x + 2) + 4 f(x) = (x + 2) + 4
2
8 8 8
(–2, 4)
(–2, 4) (–2, 4) (1, 4)
(–2, 2)
x x 0 x
0 0
(c) f(x) = –3(x – 2) + 5
2
(i) Nilai a berubah kepada –1. / The value of a changes to –1.
(ii) Nilai h berubah kepada –3. / The value of h changes to –3.
(iii) Nilai k berubah kepada –2. / The value of k changes to –2.
(i) f(x) (ii) f(x) (iii) f(x)
(2, 5) (2, 5)
(–3, 5) (2, 5)
x
0 0.7 3.3 0 0.7 3.3 x 0 0.7 3.3 x
2, –2
–7 –7
–7
2
f(x) = –3(x – 2) + 5 2 f(x) = –3(x – 2) + 5
2
f(x) = –3(x – 2) + 5
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 24
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 24 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
16. Lakarkan setiap fungsi kuadratik yang berikut. SP 2.3.5 TP4
Sketch each of the following quadratic functions.
(a) f(x) = 2x + 8x + 11
2
f(x) = 4x + 10x – 6 Melakarkan graf
2
a = 4 0, titik minimum fungsi kuadratik a = 2 0, titik minimum / minimum point
minimum point Sketching the graph 2 2
NOTA of quadratic function b – 4ac = 8 – 4(2)(11)
b – 4ac = 10 – 4(4)(–6) = –24 0
2
2
= 196 0 Tiada pintasan-x / No x-intercept
Pintasan-x pada dua titik berbeza 11
2
x-intercepts at two different points f(x) = 2 x + 4x + 2
5
f(x) = 4 x + x – 3 = 2 x + 4x + 2 – 2 + 11
2
2
2
2
2 2 2
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
2
2
5
2
5
5
3
= 4 x + x + = 2(x + 2) + 3
–
–
2
2 4 4 2 Titik minimum: (–2, 3)
= 4 x + 5 2 – 49 Minimum point
4 4 f(0) = 2(0) + 8(0) + 11
2
5
Titik minimum: – , – 49 = 11
Minimum point 4 4
f(x)
f(x) = 0 f(x) f(x) = 2x + 8x + 11
2
2
4x + 10x – 6 = 0 f(x) = 4x + 10x – 6
2
(2x – 1)(x + 3) = 0 – 3 0 1 x 11
1
x = , x = –3 2
2 – 6
f(0) = 4(0) + 10(0) – 6
2
= –6 – (–2, 3) x
5
49
–
,
4 4 0
(b) f(x) = –(x – 2)(x + 4) (c) f(x) = 3 – (x + 1) 2
a = –1 0, titik maksimum / maximum point a = –1 0,
2
f(x) = –x – 2x + 8 titik maksimum / maximum point (–1, 3)
2
b – 4ac = (–2) – 4(–1)(8) f(x) = –x – 2x + 2
2
2
= 36 0 b – 4ac = (–2) – 4(–1)(2)
2
2
Pintasan-x pada dua titik berbeza = 12 0
x-intercepts at two different points Pintasan-x pada dua titik berbeza
f(x) = –(x + 2x – 8) x-intercepts at two different points
2
= –(x + 2x + 1 – 1 – 8) –(–2) ± 12
2
2
2
= –(x + 1) + 9 x = 2(–1)
2
Titik maksimum / Maximum point : (–1, 9) = −2.73 atau / or 0.73
f(x) = 0 f(0) = 3 –(0 + 1) 2
–(x – 2)(x + 4) = 0 = 2
x = 2, x = –4 f(x)
f(0) = –(0 – 2)(0 + 4) (–1, 3)
= 8
2
f(x)
(–1, 9)
x
8 –2.73 0 0.73
f(x) = 3 – (x + 1) 2
x
–4 0 2
f(x) = –(x – 2)(x + 4)
25 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 25 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
17. Selesaikan setiap yang berikut. SP 2.3.6
Solve each of the following.
(a) Pada sambutan Hari Kemerdekaan, sebuah roket bunga api dilancarkan dari sebuah bukit di tepi laut.
Roket itu akan jatuh ke laut setelah meletup pada ketinggian maksimumnya. Tinggi roket itu, dalam
meter, pada masa t saat dari permukaan laut diberikan oleh fungsi g(t) = −16t + 64t + 80. TP4
2
During Hari Kemerdekaan celebration, a firework rocket is launched from a hill beside a seaside. The rocket will fall to the sea after
exploding at its maximum height. The height of the rocket, in metres, at t seconds above the surface of the sea is given by the function
g(t) = −16t + 64t + 80.
2
(i) Nyatakan tinggi bukit itu.
State the height of the hill.
(ii) Nyatakan tinggi dan masa roket itu meletup selepas dilancarkan.
State the height and time of the rocket explodes after launched.
(iii) Berapa lamakah roket itu akan sampai di permukaan laut?
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
How long the rocket will take to reach the sea surface?
(i) Apabila / When t = 0 Maka, roket itu meletup pada tinggi 144 m
g(0) = −16(0) + 64(0) + 80 selepas 2 saat dilancarkan.
2
Thus, the rocket explodes at the height of 144 m after
= 80 2 seconds launched.
Maka, tinggi bukit itu ialah 80 m. (iii) Apabila / When g(t) = 0,
Thus, the height of the hill is 80 m. −16t + 64t + 80 = 0
2
(ii) g(t) = −16t + 64t + 80 −16(t − 4t − 5) = 0
2
2
= −16(t − 4t − 5) −16(t + 1)(t − 5) = 0
2
2
2
2
= −16[t − 4t + (−2) − (−2) − 5] t = −1, t = 5
= −16[(t − 2) − 9] Maka, roket itu sampai di permukaan laut selepas
2
= −16(t − 2) + 144
2
5 saat.
Titik maksimum = (2, 144) Thus, the rocket reach the sea surface after 5 seconds.
Maximum point
(b) Kadar, dalam mg per saat, bagi suatu bahan kimia bertindak balas dengan bahan kimia lain dapat
2
2
dimodelkan dengan fungsi r = (t + 10) – 2(t + 4) , dengan keadaan t mewakili masa, dalam saat, dari
permulaan eksperimen. TP5
The rate, in mg per second, of a chemical substance reacts with another chemical substance can be modelled with the function
r = (t + 10) – 2(t + 4) , where t represents the time, in seconds, from the beginning of the experiment.
2
2
(i) Jika r = 40, tunjukkan bahawa t – 4t – 28 = 0.
2
If r = 40, show that t – 4t – 28 = 0.
2
(ii) Nyatakan jenis punca fungsi model ini.
State the type of roots of the function for the model.
(iii) Lakarkan graf r melawan t.
Sketch the graph of r against t.
(i) r = (t + 10) − 2(t + 4) 2 (iii) r(t) = −t + 4t + 68
2
2
= t + 20t + 100 − 2(t + 8t + 16) = −(t − 4t − 68)
2
2
2
2
2
= t + 20t + 100 − 2t – 16t − 32 = −(t − 4t + (–2) − (–2) − 68)
2
2
2
= −t + 4t + 68 = −(t − 2) + 72
2
2
Apabila / When r = 40, Titik maksimum / Maximum point: (2, 72)
−t + 4t + 68 = 40 r(t) = 0
2
t – 4t − 28 = 0 –t + 4t + 68 = 0
2
2
2
(ii) b − 4ac t = 4 – 288
2
2(–1)
= 4 − 4(−1)(68) t = –6.5, 10.5 r(t)
2
= 288 0 (2, 72)
68
Fungsi model ini mempunyai dua punca nyata
dan berbeza.
The function of the model has two real and different roots. t
0 10.5
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 26
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 26 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
(c) Rajah di sebelah menunjukkan satu segi empat tepat STUR P
terterap di dalam segi tiga bersudut tegak PQR.
The diagram shows a rectangle STUR inscribed in a right-angled triangle PQR. T
TP6 KBAT Mengaplikasi 5 cm S x cm
5 y cm
(i) Tunjukkan bahawa y = 5 – 12 x. R U Q
Show that y = 5 – 5 x. 12 cm
12
(ii) Nyatakan nilai x dan nilai y dengan keadaan luasnya adalah
maksimum.
State the value of x and of y such that the area is maximum.
(i) PS = 5 − y, UQ = 12 − x (ii) Katakan A(x) ialah luas segi empat tepat.
Let A(x) is the area of the rectangle.
Luas PST + luas STUR + luas TQU = luas PQR
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Area of PST + area of STUR + area of TQU = area of PQR A(x) = xy
1
5
1
2 1 (5 − y)(x) + xy + (y)(12 − x) = (5)(12) = x 5 – 12 x
2
2
2
5x − xy + 2xy + 12y − xy = 60 = 5x – 5 x 2
5x + 12y = 60 12
12y = 60 − 5x = − 5 (x − 12x)
2
5 12
y = 5 − x
2
2
2
12 = − 5 [x − 12x + (−6) − (−6) ]
12
2
= − 5 (x − 6) + 15
12
Nilai x maksimum ialah 6.
The maximum value of x is 6.
y = 5 − 5 (6) = 2.5
12
Maka, x = 6 dan y = 2.5.
Thus, x = 6 and y = 2.5.
18. Lakukan projek STEM di bawah. SP 2.3.6 TP6
Carry out the STEM project below.
Project-Based Learning
Projek
Pr ojek
Objektif aktiviti: Mengaplikasi fungsi dan graf kuadratik dalam kehidupan sebenar.
Activity objective: Applying quadratic function and the graph in real life.
Pernyataan masalah: Apakah model yang digunakan dalam suatu situasi/objek berbentuk
Problem statement: parabola?
What is the model used in a situation/object that has a shape of parabola?
Pencarian fakta: Mencari fungsi kuadratik dan menganalisis ciri-ciri bentuk parabola yang
Fact finding: terhasil.
Finding the quadratic equation and analysing the characteristics of the parabola formed.
Konsep yang diaplikasikan: Fungsi dan graf kuadratik.
Concept applied: Quadratic function and the graph.
Bahan yang diperlukan: Aplikasi mengukur jarak dalam telefon pintar, komputer dan perisian
Materials needed: geometri dinamik.
Measuring distance application in smartphone, computer and dynamic geometric software.
Pelan tindakan / Action plan:
(a) Lakukan projek ini secara berkumpulan.
Carry out this project in groups.
(b) Cari tiga objek yang mempunyai bentuk parabola dalam persekitaran murid.
Find three objects that have parabola shape in pupils’ surroundings.
27 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 27 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
(c) Ambil gambar objek tersebut dan dapatkan anggaran ukuran bentuk tersebut. Gunakan aplikasi
mengukur dalam telefon pintar bagi objek yang besar dan jauh.
Take a picture of the object and get the estimated measurement of the shape. Use measuring application in smartphone for a
large and far object.
(d) Suaikan gambar tersebut dalam perisian geometri dinamik dan gunakan skala yang sesuai.
Insert the picture in dynamic geometric software and use suitable scales.
(e) Analisis graf yang diperoleh dan bentukkan fungsi kuadratik bagi setiap objek itu.
Analyse the graph obtained and form a quadratic function for each object.
(f) Bentangkan hasil dapatan dalam kelas.
Present the finding in class.
Penyelesaian: Model yang terbentuk ialah fungsi kuadratik berdasarkan situasi/objek
Solution: yang diperoleh dalam kehidupan sebenar.
The model formed is a quadratic function based on the situation/object obtained in real life.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
3
Rajah di bawah menunjukkan fungsi kuadratik y = k – 3(x + h) , dengan keadaan h dan k ialah pemalar.
2
The diagram below shows the graph of a quadratic function y = k – 3(x + h) , where h and k are constants.
2
f(x)
(2, 8)
x
0
(0, p)
Diberi titik maksimum bagi lengkung itu ialah (2, 8). Cari nilai h, k dan p.
Given the maximum point of the curve is (2, 8). Find the values of h, k and p.
2
y = –3(x + h) + k p = −3h + k
2
2
Titik maksimum / Maximum point = −3(−2) + 8 TIP 1:
(–h, k) = (2, 8) = −4 Tulis dalam bentuk vertek a(x − h) + k.
2
2
h = –2, k = 8 Maka, / Thus, Write in vertex form a(x − h) + k.
TIP 2:
y = k –3(x + h) 2 h = −2 , k = 8, p = −4 Mengenal pasti titik maksimum (–h, k).
= k – 3(x + 2hx + h ) Identify the maximum point (–h, k).
2
2
2
= k – 3x – 6hx – 3h 2 TIP 3:
= –3x – 6hx – 3h + k Tulis dalam bentuk am untuk mendapatkan
2
2
pintasan-y.
Write in general form to obtain the y-intercept.
TIP 4:
p = pintasan-y / y-intercept
Kriteria Kejayaan: ............................................................................................ .
Saya berjaya
• Menganalisis dan membuat generalisasi tentang kesan perubahan a, b dan c dalam f(x) = ax + bx + c terhadap bentuk dan kedudukan graf.
2
• Menghubungkaitkan kedudukan graf fungsi kuadratik dengan jenis punca.
• Membuat perkaitan antara bentuk verteks fungsi kuadratik, f(x) = a(x − ℎ) + k dengan bentuk fungsi kuadratik yang lain.
2
• Menganalisis dan membuat generalisasi tentang kesan perubahan a, ℎ dan k dalam fungsi kuadratik f(x) = a(x − ℎ) + k terhadap bentuk dan
2
kedudukan graf.
• Melakar graf fungsi kuadratik.
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi kuadratik.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 28
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 28 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
SPM
PRAKTIS PdPR Jawapan
Bab 2 PRAKTIS PdPR Bab 2
Kertas 1 3. Cari julat nilai x bagi 2x(x – 5) – 12 9(1 – x).
Find the range of values of x for 2x(x – 5) – 12 9(1 – x).
[3 markah / 3 marks]
1. Selesaikan persamaan kuadratik
3 – 8(x – 1) = 2x(x + 1). Berikan jawapan anda Jawapan / Answer :
betul kepada empat angka bererti. 2x(x − 5) − 12 9(1 − x)
2
Solve the quadratic equation 2x − 10x − 12 9 − 9x
2
3 – 8(x – 1) = 2x(x + 1). Give your answers correct to four 2x − x − 21 0
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
significant figures. (2x − 7)(x + 3) 0
[3 markah / 3 marks] 7
x −3, x
Jawapan / Answer : 2
3 – 8(x – 1) = 2x(x + 1)
3 − 8x + 8 = 2x + 2x
2
2x + 10x − 11 = 0
2
2
10
2
x = −10 ± − 4(2)(−11) 4. Diberi fungsi kuadratik y = h + kx – x dalam
2
2(2) bentuk verteks ialah y = q – (x + p) .
Given quadratic function y = h + kx – x in the vertex form is
2
x = −10 ± 188 y = q – (x + p) .
2
4 (a) Ungkapkan setiap yang berikut dalam
x = 0.9278 , −5.928 sebutan h dan/atau k.
Express each of the following in terms of h and/or k.
(i) p
(ii) q
(b) Jika k = 5, cari paksi simetri bagi graf fungsi
2. Diberi salah satu daripada punca persamaan kuadratik itu.
kuadratik x – px – 27 = 0 ialah kuasa dua punca If k = 5, state the axis of symmetry of the graph of the
2
satu lagi. quadratic function.
Given one of the roots of the quadratic equation x – px – 27 = 0 [4 markah / 4 marks]
2
is the square of the other root. Jawapan / Answer :
(a) Nyatakan punca-punca persamaan kuadratik (a) y = h + kx − x 2
itu. = −(x − kx) + h
2
State the roots of the quadratic equation. k 2 k 2
(b) Cari nilai p. = – x – 2 – 4 + h
Find the value of p. k 2 k 2
[4 markah / 4 marks] = – x – 2 + 4 + h
Jawapan / Answer :
2
(a) Katakan puncanya ialah α dan α . p = – k
Let the roots are α and α . 2 2
Hasil darab punca / Product of roots: q = k 2 + h
α(α ) = –27 4
2
α = –27 (b) Paksi simetri / Axis of symmetry
3
α = –3 k
x =
Maka, punca-puncanya ialah –3 dan 9. 2
Thus, the roots are –3 and 9. x = 5
2
(b) p = Hasil tambah punca / Sum of roots
= –3 + 9
= 6
29 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 29 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
2
Kertas 2 (b) f(x) = 2x + 4x + 8
f(0) = 2(0) + 4(0) + 8
2
= 8
2
1. (a) Ungkapkan f(x) = 5 – x – 2x dalam bentuk
2
f(x) = a(x – h) + k dan seterusnya, cari titik ∴ Q(0, 8)
maksimum fungsi itu. (c) f(x) 8
2
2
Express f(x) = 5 – x – 2x in the form f(x) = a(x – h) + k 2x + 4x + 8 8
2
and hence, find the maximum point of the function. 2x + 4x 0
2
(b) Cari julat nilai bagi p jika persamaan 2x(x + 2) 0
p – x + 3x = 0 tidak mempunyai punca. x −2, x 0
2
2
Find the range of values of p if p – x + 3x = 0 has no roots.
[5 markah / 5 marks]
Jawapan / Answer : 3. (a) Selesaikan persamaan kuadratik berikut.
(a) f(x) = 5 − x − 2x 2 Berikan jawapan betul kepada 5 angka
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
= −2 x + x + 5 bererti.
2
Solve the following quadratic equation. Give answer
2
= −2 x + 1 2 – 1 + 5 correct to 5 significant figures.
3
4 16 1 + 2x + x(x – 1) = 50 000
= −2 x + 1 2 + 41 2 [3 markah / 3 marks]
4
8
Titik maksimum / Maximum point (b) Seterusnya, cari julat nilai x bagi
1 41
= – , Hence, find the range of values of x for
3
4 8
1 + 2x + x(x – 1) 50 000
(b) p − x + 3x = 0 2 [2 markah / 2 marks]
2
Tidak mempunyai punca / Has no roots (c) Dalam satu rangkaian internet, bilangan
b − 4ac 0 talian telefon yang dihubungkan dengan
2
2
(−1) − 4(3)(p) 0 n pengguna komputer diberikan oleh
−12p −1 1 + 2n + 3 n(n – 1). Jika satu rangkaian
1 2
p internet dapat menyambungkan 50 000
12
talian telefon, cari bilangan maksimum
pengguna komputer dalam rangkaian itu.
2. Rajah berikut menunjukkan f(x) In an internet network, the number of telephone
graf bagi fungsi kuadratik lines connected to n computer users is given by
3
f(x) = 2x + 4x + k. Q 1 + 2n + n(n – 1). If an internet network can connect up
2
2
The diagram shows the graph of to 50 000 telephone lines, find the maximum number of
quadratic function f(x) = 2x + 4x + k. (m, 6) users in the network.
2
(a) Cari / Find x [1 markah / 1 mark]
(i) nilai bagi k, 0 Jawapan / Answer :
the value of k, 3
(i) nilai bagi m. (a) 1 + 2x + x(x – 1) = 50 000
2
the value of m. 2 + 4x + 3x(x − 1) = 100 000
[4 markah / 4 marks] 2 + 4x + 3x − 3x = 100 000
2
(b) Nyatakan koordinat titik Q. 3x + x − 99 998 = 0
2
State the coordinates of point Q.
[1 markah / 1 mark] x = –1 ± – 4(3)(–99 998)
1
2
(c) Tentukan julat nilai x jika f(x) 8. 2(3)
Determine the range of values of x if f(x) 8. x = −182.74, 182.41
[3 markah / 3 marks]
Jawapan / Answer : (b) 1 + 2x + x(x – 1) 50 000
3
(a) (i) f(x) = 2x + 4x + k 2
2
2
= 2(x + 2x) + k 3x + x − 99 998 0
2
= 2(x + 1) – 2 + k −182.74 x 182.41 x
2
–2 + k = 6 –182.74 182.41
k = 8
(ii) m = –1 (c) Bilangan maksimum pengguna = 182
Maximum number of users
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 30
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 30 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 2 Fungsi Kuadratik
1. Punca-punca bagi persamaan m x – mx = 2x – 1, dengan m ialah pemalar,
2 2
adalah nyata. Cari julat bagi nilai m. KBAT Mengaplikasi
The roots of the equation m x – mx = 2x – 1, where m is a constant, are real. Find the range of the Persamaan kuadratik
2 2
values of m. dengan punca yang nyata
berkemungkinan mempunyai
m x – mx = 2x – 1 dua punca yang sama atau dua
2 2
2 2
m x – mx – 2x + 1 = 0 punca yang berbeza. Oleh itu,
m x – (m + 2)x + 1 = 0 gunakan simbol ketaksamaan .
2 2
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Quadratic equation with real roots
Punca-punca yang nyata / Real roots may have two of equal roots or two of
different roots. Thus, use the inequality
b − 4ac 0 symbol .
2
(m + 2) − 4(m )(1) 0
2
2
2
m + 4m + 4 − 4m 0
2
2
−3m + 4m + 4 0 m
3m − 4m – 4 0 – 2 3 2
2
(3m + 2)(m − 2) 0
2
∴ − m 2
3
2. Koordinat-y bagi titik minimum fungsi f(x) = x – 4kx + 5k + 1 ialah r + 2k, (a) Kenal pasti titik minimum
2
2
2
dengan keadaan k dan r ialah pemalar. KBAT Mengaplikasi menggunakan bentuk verteks
The y-coordinate of the minimum point for the function f(x) = x – 4kx + 5k + 1 is r + 2k, where k yang diperoleh. Lakukan
2
2
2
and r are constants. perbandingan dengan
(a) Dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua, tunjukkan koordinat-y yang diberi.
Identify the minimum point
r = k – 1. using the vertex form obtained.
By using the method of completing the square, show that r = k – 1. Do comparison with the given
y-coordinate.
(b) Seterusnya, cari nilai k dan r jika graf fungsi itu simetri pada x = r – 1. (b) Gunakan ungkapan r yang
2
2
2
Hence, find the values of k and r if the graph of the function is symmetrical about x = r – 1.
diperoleh di (a).
2
2
(a) f(x) = x − 4kx + 5k + 1 (b) r − 1 = 2k Use the term of r obtained in (a).
2
2
2
2
2
= (x − 2k) + k + 1 (k − 1) − 1 = 2k
k − 2k + 1 − 1 = 2k
2
k + 1 = r + 2k 2
2
2
r = k − 2k + 1 k − 2k − 2k = 0
2
2
2
= (k − 1)(k − 1) k − 4k = 0
r =(k − 1) 2 k(k − 4) = 0
2
r = k − 1 k = 0, k = 4
Apabila / When k = 0,
r = 0 − 1
= −1
Apabila / When k = 4,
r = 4 − 1
= 3
Kuiz 2
31 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
02 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 31 29/09/2021 3:25 PM
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 3 Sistem Persamaan
BAB
3 Sistem Persamaan
Systems of Equations
PBD
PBD 3.1 Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah Buku Teks
PBD
Systems of Linear Equations in Three Variables ms. 70 – 78
FOKUS TOPIK
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
1. Bentuk umum persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah, x, y dan z: z
The general form of linear equation in three variables, x, y and z:
ax + by + cz = d
dengan a, b, c dan d ialah pemalar.
where a, b, c and d are constants. 0 y
2. Persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah membentuk satu satah dalam ruang tiga dimensi.
Linear equation in three variables forms a plane in three-dimensional space. x
3. Terdapat dua kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan iaitu kaedah penghapusan dan kaedah penggantian.
There are two methods to solve the system of equations which is elimination method and substitution method.
4. Terdapat tiga jenis penyelesaian sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah.
There are three types of solutions to system of equations in three variables.
• Satu penyelesaian / One solution
• Penyelesaian tak terhingga / Infinite solutions
• Tiada penyelesaian / No solution
1. Bentuk sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah bagi setiap situasi berikut. SP 3.1.1 TP1
Form a system of linear equations in three variables for each of the following situations.
(a) Dalam satu tetapan syif kerja di sebuah kilang, (b) Rajah di bawah menunjukkan tiga pakej jualan
tiga orang juruteknik perlu bekerja selama yang ditawarkan oleh sebuah kedai alat tulis.
200 jam dalam seminggu. Juruteknik pertama The diagram below shows three sales packages offered by a
mesti bekerja 8 jam lebih daripada juruteknik stationery shop.
kedua dan juruteknik kedua mesti bekerja Pakej A Pakej B Pakej C
15 jam lebih daripada juruteknik ketiga. Package A Package B Package C
In a work shift requirement, three technicians need to work for
200 hours in a week. The first technician must work 8 hours
more than the second technician and the second technician
must work 15 hours more than the third technician.
RM7.20 RM6.30 RM6.90
Katakan / Let
x = bilangan jam bekerja bagi juruteknik
pertama Katakan / Let
the number of hours of the first technician x = harga sebatang pensel
y = bilangan jam bekerja bagi juruteknik kedua the price of a pencil
the number of hours of the second technician y = harga sebatang pen
z = bilangan jam bekerja bagi juruteknik ketiga the price of a pen
the number of hours of the third technician z = harga sebiji pemadam
the price of an eraser
x + y + z = 200
x − y = 8 x + 3y + z = 7.2
y − z = 15 4x + 2y + z = 6.3
2x + y + 3z = 6.9
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 32
03 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 32 29/09/2021 3:30 PM
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search