Hybrid PBD 2022 Form 4 Additional Mathematics

Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 3 Sistem Persamaan

2. Selesaikan setiap sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan kaedah penggantian.
Solve each of the following systems of linear equations by using the substitution method. SP 3.1.2 TP2


x − y + 3z = −1 .............. Nota (a) 2x + y + z = 29 ................
Visual
3y + 2z = 48 .....................b
2x + y + z = −1 ..............b 4x − 2y + 3z = 27 ............c
x − 2y + 3z = −3 ............c
Daripada  / From , y = 29 − 2x − z ...........d
Daripada  / From , x = y − 3z − 1...........d
Gantikan d ke dalam b / Substitute d into b
Gantikan d ke dalam b / Substitute d into b 3(29 − 2x − z) + 2z = 48
2(y − 3z − 1) + y + z = −1 87 − 6x − 3z + 2z = 48
2y − 6z − 2 + y + z = −1 87 − 6x − z = 48
3y − 5z = 1 ...........e
z = 39 − 6x ................e
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Gantikan d ke dalam c / Substitute d into c Gantikan d dan e ke dalam c
y − 3z − 1 − 2y + 3z = −3 Substitute d and e into c
−y = −2 4x − 2[29 − 2x − (39 − 6x)] + 3(39 − 6x) = 27
y = 2 4x − 58 + 4x + 78 − 12x + 117 − 18x = 27

Gantikan y = 2 ke dalam e / Substitute y = 2 into e −22x = −110
3(2) − 5z = 1 x = 5
5z = 5 Gantikan x = 5 ke dalam e / Substitute x = 5 into e
z = 1 z = 39 − 6(5)
Gantikan y = 2 dan z = 1 ke dalam d = 9
Substitute y = 2 and z = 1 into d
x = 2 – 3(1) – 1 Gantikan x = 5 dan z = 9 ke dalam d
= –2 Substitute x = 5 and z = 9 into d
y = 29 − 2(5) − 9
∴ x = −2, y = 2, z = 1 = 10
Sistem ini mempunyai satu penyelesaian. ∴ x = 5, y = 10, z = 9
This system has one solution.


(b) 4x − 4y = 12 ......................... (c) 2x + 5y + 8z = −27 .........................
−9x + 9y − 4z = 5 ...............b −2x + 6y + 4z = −1 ........................b
9x − 6y − z = −13 ...............c 4x + y − z = 12 ................................c
Daripada c / From c, z = 9x − 6y + 13 ............d Daripada  / From , 2x = −5y − 8z − 27..........d
Gantikan d ke dalam b / Substitute d into b Gantikan d ke dalam b / Substitute d into b
−9x + 9y − 4(9x − 6y + 13) = 5 −(−5y − 8z − 27) + 6y + 4z = −1
−9x + 9y − 36x + 24y − 52 = 5 11y + 12z = −28
−45x + 33y = 57 y = −12z − 28 ..........e
−15x + 11y = 19 Gantikan d dan e ke dalam c 11
y = 15x + 19 ...............e Substitute d and e into c
11 −12z − 28 −12z − 28
 
 
Gantikan e ke dalam  / Substitute e into  2 −5 11  − 8z − 27 + 11  − z = 12
4x − 4  15x + 19  = 12 120z + 280 − 176z − 594 − 12z − 28 − 11z = 132
11
44x − 60x − 76 = 132 −79z = 474
z = −6
−16x = 208
x = −13 Gantikan z = –6 ke dalam e / Substitute z = –6 into e
−12(−6) − 28
y =
Gantikan x = –13 ke dalam e / Substitute x = –13 into e 11
y = 15(−13) + 19 = 4
11 Gantikan y = 4 dan z = –6 ke dalam d
= −16 Substitute y = 4 and z = –6 into d
Gantikan x = –13 dan y = –16 ke dalam d 2x = −5(4) − 8(−6) − 27
Substitute x = –13 and y = –16 into d = 1
z = 9(−13) − 6(−16) + 13 x = 1
= −8 2
∴ x = –13, y = –16, z = –8 1
∴ x = , y = 4, z = –6
2

33 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.





03 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 33 29/09/2021 3:30 PM

Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 3 Sistem Persamaan
3. Selesaikan setiap sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan kaedah penghapusan.
Solve each of the following systems of linear equations by using the elimination method. SP 3.1.2 TP2

(a) 4x − 4y + 7z = −1 .............. 
−6x − 4y − 2z = −2 ................... −5x + 2y − z = −10 ........... b
−3x − 5y + 7z = −61 ................b −9x + 4y − 5z = −10 ......... c
8x − y + 8z = −20 ....................c Pilih  dan b
untuk
b × 2: −6x − 10y + 14z = −122 .......d menghapuskan x. b × 2: −10x + 4y − 2z = −20 ...... d
Choose  and b to
 + d: −6x + 5z = −21 ............... e
 − d: 6y − 16z = 120 ......................e eliminate x.
 + c: −5x + 2z = −11 ............... f
b × 8: −24x − 40y + 56z = −488 .....f Pilih b dan c
c × 3: 24x − 3y + 24z = −60 .............g untuk e × 5: −30x + 25z = −105 .......... g
f + g: −43y + 80z = −548 ..............h menghapuskan x. f × 6: −30x + 12z = −66 ............ h
Choose b and c to
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
eliminate x. g − h: 13z = −39
e × 5: 30y − 80z = 600 ......................i Pilih e dan h z = −3
h + i: −13y = 52 untuk Gantikan z = –3 ke dalam e / Substitute z = –3 into e
y = −4 menghapuskan z. −6x + 5(−3) = −21
Choose e and h to
eliminate z. −6x − 15 = −21
Gantikan y = –4 ke dalam e / Substitute y = –4 into e x = 1
6(−4) − 16z = 120 Gantikan x = 1 dan z = –3 ke dalam 
−24 − 16z = 120 Substitute x = 1 and z = –3 into 
z = −9 4(1) − 4y + 7(−3) = −1
Gantikan y = –4 dan z = –9 ke dalam c −4y − 17 = −1
Substitute y = –4 and z = –9 into c y = −4
8x − (−4) + 8(−9) = −20 ∴ x = 1, y = −4, z = −3
8x − 68 = −20
x = 6
∴ x = 6, y = −4, z = −9


(b) 7x + 8y − 4z = 129............. (c) 3x − 2y + 5z = −3 ...............
8x − 11y + 5z = 81.............b 5x + 4y − 2z = 8 ..................b
2x − 3y + z = 15 .................c 7x − 6y + 3z = −41 .............c

c × −4: −8x + 12y − 4z = −60.......d  × 2: 6x − 4y + 10z = −6............d
 − d: 15x − 4y = 189....................e d + b: 11x + 8z = 2 .....................e
c × 5: 10x − 15y + 5z = 75.............f  × 3: 9x − 6y + 15z = −9............f
f − b: 2x − 4y = −6........................g f − c: 2x + 12z = 32 ...................g
e − g: 13x = 195 e × 2: 22x + 16z = 4 .....................h
x = 15 g × 11: 22x + 132z = 352 ...........i
i − h: 116z = 348
Gantikan x = 15 ke dalam g / Substitute x = 15 into g z = 3
2(15) − 4y = −6
30 − 4y = −6 Gantikan z = 3 ke dalam g / Substitute z = 3 into g
y = 9 2x + 12(3) = 32
x = −2
Gantikan x = 15 dan y = 9 ke dalam c
Substitute x = 15 and y = 9 into c Gantikan x = –2 dan z = 3 ke dalam b
2(15) − 3(9) + z = 15 Substitute x = –2 and z = 3 into b
3 + z = 15 5(−2) + 4y − 2(3) = 8
z = 12 4y − 16 = 8

∴ x = 15, y = 9, z = 12 y = 6
∴ x = −2, y = 6, z = 3









© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 34





03 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 34 29/09/2021 3:30 PM

Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 3 Sistem Persamaan
4. Nyatakan jenis penyelesaian bagi setiap sistem persamaan linear berikut. SP 3.1.2 TP2
State the type of solution of each of the following systems of linear equations.


(i) 2x + y + 3z = 5 ................. (ii) 2x + 2y + z = 18 .................
−3x + y + z = 8 .................b 3x − 4y + z = 10 .................b
−4x − 2y − 6z = 2 ............c 5x − 2y + 2z = 28 ...............c
b − : −5x − 2z = 3 ...................d b − : x − 6y = −8 .............d
b × 2: −6x + 2y + 2z = 16 ..........e b × 2: 6x − 8y + 2z = 20 ..........e
c + e: −10x − 4z = 18 ..............f e − c x − 6y = −8 ..............f
d × 2: −10x − 4z = 6 ...................g d − f: 0 = 0
f – g: 0 = 12 Maka, sistem persamaan linear ini mempunyai
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Maka, sistem persamaan linear ini tidak penyelesaian tak terhingga.
mempunyai penyelesaian. Thus, this system of linear equations has infinite solutions.
Thus, this system of linear equations has no solution.



(a) x + 2y + 3z = 16 ...................... (b) −2x + y + 3z = 5 ......................
2x + 3y + 2z = 78 ....................b 2x + y + z = 2 ...........................b
4x + 7y + 8z = 202 .................c 2x + 3y + 5z = 9 ......................c

 × 2: 2x + 4y + 6z = 32 .................d  + b: 2y + 4z = 7 ......................d
d − b: y + 4z = −46 ..........................e c − b: 2y + 4z = 7 ......................e
d − e: 0 = 0
b × 2: 4x + 6y + 4z = 156 .................f
c − f: y + 4z = 46 .............................g Maka, sistem persamaan linear ini mempunyai
e − g: 0 = −92 penyelesaian tak terhingga.
Thus, this system of linear equations has infinite solutions.
Maka, sistem persamaan linear ini tidak
mempunyai penyelesaian.
Thus, this system of linear equations has no solution.




5. Selesaikan setiap yang berikut. SP 3.1.3
Solve each of the following.
(a) Kedai Kek Lilycious membuat tiga jenis kek, P, Q dan R, yang menggunakan tiga jenis bahan mentah
iaitu mentega, gula dan tepung. Jadual di bawah menunjukkan jisim mentega, gula dan tepung untuk
membuat sebiji kek. TP4
Kedai Kek Lilycious makes three types of cakes, P, Q and R, which use three types of raw materials that are butter, sugar and flour. The
table below shows the weights of butter, sugar and flour to make a cake.
Kek P Kek Q Kek R
Cake P Cake Q Cake R
Mentega
Butter 0.2 kg 0.4 kg 0.3 kg
Gula 0.3 kg 0.4 kg 0.4 kg
Sugar
Tepung 0.5 kg 0.2 kg 0.3 kg
Flour

Bekalan mentega, gula dan tepung yang boleh digunakan untuk membuat kek-kek tersebut masing-
masing ialah 30 kg, 40 kg dan 35 kg. Cari bilangan kek bagi setiap jenis kek yang boleh dibuat oleh
Kedai Kek Lilycious.
The supply of butter, sugar and flour can be used to make the cakes are 30 kg, 40 kg and 35 kg respectively. Find the number of cakes
of each type of cake that can be made by Kedai Kek Lilycious.



35 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.





03 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 35 29/09/2021 3:30 PM

Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 3 Sistem Persamaan

Katakan / Let Gantikan p = 20 ke dalam d / Substitute p = 20 into d
p = bilangan kek P / the number of cake P 20 + r = 100
q = bilangan kek Q / the number of cake Q r = 80
r = bilangan kek R / the number of cake R
Gantikan p = 20 dan r = 80 ke dalam 
0.2p + 0.4q + 0.3r = 30 ................. Substitute p = 20 and r = 80 into 
0.3p + 0.4q + 0.4r = 40 .................b 0.2(20) + 0.4q + 0.3(80) = 30
0.5p + 0.2q + 0.3r = 35 .................c q = 5
b − : 0.1p + 0.1r = 10 Bilangan kek yang boleh dibuat ialah 20 biji kek P,
p + r = 100 ....................d 5 biji kek Q dan 80 biji kek R.
The number of cakes that can be made of cake P is 20, cake Q is 5
c × 2: p + 0.4q + 0.6r = 70 ..................e and cake R is 80.
e − b: 0.7p + 0.2r = 30
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
7p + 2r = 300 ...............f
d × 2: 2p + 2r = 200 .............................g
f − g: 5p = 100
p = 20






(b) Tiga buah bank, X, Y dan Z menawarkan kadar faedah simpanan masing-masing 3%, 5% dan 4.5%
setahun. Encik Jiang telah menyimpan wangnya dengan jumlah yang berbeza dalam ketiga-tiga
bank itu. Jumlah wang simpanan dalam bank X ialah dua kali jumlah wang simpanan dalam bank Y.
Jumlah wang simpanan Encik Jiang ialah RM14 000 dan jumlah faedah yang diperolehnya bagi tempoh
setahun daripada ketiga-tiga bank itu ialah RM555. Cari jumlah wang yang disimpan oleh Encik Jiang
dalam setiap bank itu. TP5
Three banks X, Y and Z offer the interest rate of savings at 3%, 5% and 4.5% per year respectively. Mr Jiang has saved his money with
different amounts in the three banks. The savings amount in bank X is twice the savings amount in bank Y. Mr Jiang’s total savings is
RM14 000 and the total amount of interest obtained for one-year period from the three banks is RM555. Find the amount of money
saved by Mr Jiang in each of the banks.

Katakan / Let Gantikan  dan d ke dalam c
x = jumlah simpanan dalam bank X Substitute  and d into c
savings amount in bank X 0.03(2y) + 0.05y + 0.045(14 000 − 3y) = 555
y = jumlah simpanan dalam bank Y 0.06y + 0.05y + 630 − 0.135y = 555
savings amount in bank Y −0.025y = −75
z = jumlah simpanan dalam bank Z y = 3 000
savings amount in bank Z
Gantikan y = 3 000 ke dalam 
x = 2y ............................................................ Substitute y = 3 000 into 
x + y + z = 14 000 .....................................b x = 2(3 000)
0.03x + 0.05y + 0.045z = 555 ...............c = 6 000

Gantikan  ke dalam b / Substitute  into b Gantikan y = 3 000 ke dalam (4)
2y + y + z = 14 000 Substitute y = 3 000 into d
3y + z = 14 000 z = 14 000 − 3(3 000)
z = 14 000 − 3y ...............d = 5 000
Jumlah wang yang disimpan dalam bank X ialah
RM6 000, bank Y ialah RM3 000 dan bank Z ialah
RM5 000.
The amount of money saved in bank X is RM6 000, in bank Y is
RM3 000 and in bank Z is RM5 000.











© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 36





03 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 36 29/09/2021 3:30 PM

Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 3 Sistem Persamaan

1


Jadual di bawah menunjukkan jualan bagi tiga jenama kasut, X, Y dan Z, oleh sebuah kedai kasut dalam tempoh
tiga bulan.
The table below shows the sales of three brands of shoes, X, Y and Z, by a shoes shop in three months.

Bilangan pasang kasut terjual
Bulan Number of pairs of shoes sold Jumlah jualan (RM)
Month Total sales (RM)
X Y Z
Oktober / October 8 5 4 18 400

November / November 2 6 9 22 300
Disember / December 4 6 8 22 400
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Hitung harga sepasang kasut jenama X, Y dan Z.
Calculate the price of a pair of shoes of brands X, Y and Z.
Katakan / Let
x = harga sepasang kasut jenama X
the price of a pair of shoes of brand X
y = harga sepasang kasut jenama Y TIP 1:
the price of a pair of shoes of brand Y Bentukkan sistem persamaan linear
z = harga sepasang kasut jenama Z dengan tiga pemboleh ubah yang sesuai.
Form a system of linear equations using three
the price of a pair of shoes of brand Z suitable variables.
8x + 5y + 4z = 18 400 ........  TIP 2:
2x + 6y + 9z = 22 300 ........ b Selesaikan menggunakan kaedah
penghapusan atau penggantian.
4x + 6y + 8z = 22 400 ........ c Solve using elimination or substitution method.
b × 4: 8x + 24y + 36z = 89 200 ........ d
d − : 19y + 32z = 70 800 ............... e

b × 2: 4x + 12y + 18z = 44 600 ........ f
f − c: 6y + 10z = 22 200 .................. g
g × 3.2: 19.2y + 32z = 71 040 ................ h
h − (5): 0.2y = 240
y = 1 200

Gantikan y = 1 200 ke dalam g / Substitute y = 1 200 into g
6(1 200) + 10z = 22 200
z = 1 500

Gantikan y = 1 200 dan z = 1 500 ke dalam  / Substitute y = 1 200 and z = 1 500 into 
8x + 5(1 200) + 4(1 500) = 18 400
x = 800
Harga sepasang kasut jenama X ialah RM800, jenama Y ialah RM1 200 dan jenama Z ialah RM1 500.
The price of a pair of shoes of brand X is RM800, brand Y is RM1 200 and brand Z is RM1 500.










Kriteria Kejayaan: ............................................................................................ .
Saya berjaya
• Memerihalkan sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah.
• Menyelesaikan sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah.
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah.



37 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.





03 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 37 29/09/2021 3:30 PM

Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 3 Sistem Persamaan

3.2 Persamaan Serentak yang Melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu
Persamaan Tak Linear Buku Teks
PBD
PBD
PBD Simultaneous Equations Involving One Linear Equation and One Non-Linear Equation ms. 79 – 84
6. Selesaikan setiap persamaan serentak yang berikut. SP 3.2.1 TP3
Solve each of the following simultaneous equations. E-pop Quiz


(i) −x + 2y = 5 ................. (ii) x + y = 5 ...................
2
2
x + y = 25 .................b xy − y = 3 .................b
Menggunakan kaedah penggantian: Menggunakan kaedah penghapusan:
Using the substitution method: Using the elimination method:
2
Dari  / From : x = 2y − 5 ............c  × y: xy + y = 5y ................c
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Gantikan c ke dalam b / Substitute c into b c − b: y − y = 5y − 3
2
2
2
(2y − 5) + y = 25 y − 6y + 3 = 0
2
4y − 20y + 25 + y = 25 −(−6) ±  − 4(1)(3)
2
2
(−6)
2
5y − 20y = 0 y = 2(1)
2
5y(y − 4) = 0 = 5.4495 atau / or 0.5505
y = 0 , y = 4
Gantikan y = 5.4495 ke dalam 
Gantikan y = 0 ke dalam c Substitute y = 5.4495 into 
Substitute y = 0 into c x + 5.4495 = 5
x = 2(0) − 5 x = −0.4495
= −5
Gantikan y = 0.5505 ke dalam 
Gantikan y = 4 ke dalam c Substitute y = 0.5505 into 
Substitute y = 4 into c x + 0.5505 = 5
x = 2(4) − 5 x = 4.4495
= 3
Maka, x = –0.4495, y = 5.4495 dan x = 4.4495,
Maka, x = –5, y = 0 dan x = 3, y = 4. y = 0.5505.
Thus, x = –5, y = 0 and x = 3, y = 4.
Thus, x = –0.4495, y = 5.4495 and x = 4.4495, y = 0.5505.
(a) 2x + y = 7 ............................. (b) 2x − y = 1 ..............................
2
2
4y − 3x − xy = 0 .................b 9x − 2y + 9 = 0 .................b
Dari  / From : y = 7 − 2x .................c Dari  / From : y = 2x − 1 .................c
Gantikan c ke dalam b / Substitute c into b Gantikan c ke dalam b / Substitute c into b
4(7 − 2x) − 3x − x(7 − 2x) = 0 9x − 2(2x − 1) + 9 = 0
2
2
28 − 8x − 3x − 7x + 2x = 0 9x − 2(4x − 4x + 1) + 9 = 0
2
2
2
2
2
2x − 18x + 28 = 0 9x − 8x + 8x − 2 + 9 = 0
2
x − 9x + 14 = 0 x + 8x + 7 = 0
2
2
(x − 7)(x − 2) = 0 (x + 1)(x + 7) = 0
x = 7, x = 2 x = −1, x = −7
Gantikan x = 7 ke dalam c Gantikan x = −1 ke dalam c
Substitute x = 7 into c Substitute x = −1 into c
y = 7 − 2(7) y = 2(−1) − 1
= −7 = −3
Gantikan x = 2 ke dalam c Gantikan x = −7 ke dalam c
Substitute x = 2 into c Substitute x = −7 into c
y = 7 − 2(2) y = 2(−7) − 1
= 3 = −15
Maka, x = 7, y = –7 dan x = 2, y = 3.
Thus, x = 7, y = –7 and x = 2, y = 3. Maka, x = −1, y = −3 dan x = −7, y = −15.
Thus, x = −1, y = −3 and x = −7, y = −15.






© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 38





03 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 38 29/09/2021 3:30 PM

Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 3 Sistem Persamaan
7. Selesaikan persamaan serentak berikut menggunakan perwakilan graf berdasarkan domain yang diberikan.
Solve the following simultaneous equations using graphical representation based on the given domain. SP 3.2.1 TP4


y + 2x − 4x = 6 y
2
5x + 3y = 5
Domain / Domain: −2  x  4 10 y + 2x – 4x = 6
2
Bagi / For y + 2x − 4x = 6 5x + 3y = 5 5
2
y = −2x + 4x + 6 (–0.6, 2.75)
2
x –2 –1 0 1 3 4 x
–2 –1 0 1 2 3 4
y –10 0 6 8 0 –10 (3.5, –4.25)
Bagi / For 5x + 3y = 5 –5
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
5 5
y = – x + x –2 4 –10
3 3
y 5 –5

Maka, penyelesaiannya ialah (−0.6, 2.75) dan (3.5, −4.25). / Thus, the solutions are (−0.6, 2.75) and (3.5, −4.25).

(a) y − 2x = 6 y
xy = 8
Domain / Domain: –16  x  16 10
(1, 8)
Bagi / For y − 2x = 6
5
y = 2x + 6 x 0 –2 y – 2x = 6 xy = 8
y 6 2 0 x
–5
–15 –10 (–4, –2) 5 10 15
Bagi / For xy = 8 –5
y = 8
x
x –16 –8 –2 –1 1 2 8 16 –10
y –0.5 –1 –4 –8 8 4 1 0.5

Maka, penyelesaiannya ialah (−4, −2) dan (1, 8). / Thus, the solutions are (−4, −2) and (1, 8).

8. Selesaikan setiap yang berikut. SP 3.2.2
Solve each of the following.
(a) Rajah di sebelah menunjukkan hiasan Kolam berbentuk segi empat tepat Dinding / Wall
sempena perayaan Deepavali di sebuah pusat membeli-belah. Seutas tali
dengan panjang 6 m digunakan untuk menutupi kawasan hiasan Kolam
itu. Luas kawasan hiasan Kolam itu ialah 4 m . Cari nilai p dan nilai q. TP5 p m
2
The diagram shows a rectangular Kolam design during Deepavali festival in a shopping mall.
A rope with a length of 6 m is used to close the area of the Kolam design. The area of the
Kolam design is 4 m . Find the value of p and of q.
2
q m
2p + q = 6 .......... Gantikan p = 2 dan p = 1 ke dalam c
pq = 4 ..................b Substitute p = 2 and p = 1 into c
4 4 4
Dari b / From b: q = ...........c q = , q =
p 2 1
= 2 = 4
Gantikan c ke dalam  / Substitute c into 
4 Oleh kerana hiasan Kolam berbentuk segi empat
2p + = 6
p tepat, maka p = 1 dan q = 4.
2p + 4 = 6p Since the Kolam design is in rectangular shape, then p = 1 and q = 4.
2
2p − 6p + 4 = 0
2
p − 3p + 2 = 0
2
(p − 2)(p − 1) = 0
p = 2, p = 1

39 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.





03 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 39 29/09/2021 3:30 PM

Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 3 Sistem Persamaan

(b) Rajah di sebelah menunjukkan pandangan depan dua buah terowong y
yang berbentuk semibulatan pada suatu satah Cartes. Terdapat
lapisan dinding batu yang menghubungkan dua buah terowong itu. M 2 N
Diberi bahawa semibulatan terowong kiri diwakili oleh persamaan
(x + 4) + y = 9. Cari TP6 KBAT Mengaplikasi –1 0 1 x
2
2
The diagram shows the front view of two semicircular tunnels in a Cartesian plane. There
is a concrete wall joined the two tunnels. Given that the left-hand semicircular tunnel is
represented by the equation (x + 4) + y = 9. Find
2
2
(i) koordinat bagi titik M dan titik N, / the coordinates of point M and of N,
(ii) panjang sisi dinding MN, dalam unit. / the length of the side wall MN, in units.
(i) Persamaan garis MN / Equation of line MN (ii) Panjang sisi dinding MN
y = 2 The length of side wall MN
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
= 1.76 + 1.76
Bagi semibulatan terowong kiri: = 3.52 unit
For the left-hand semicircular tunnel:
(x + 4) + 2 = 9
2
2
x + 8x + 16 + 4 − 9 = 0
2
2
x + 8x + 11 = 0
8
−8 ±  − 4(11)
2
x =
2
= −1.76 atau / or −6.24
Maka, koordinat titik M(–1.76, 2) dan N(1.76, 2).
Thus, the coordinates of point M(–1.76, 2) and N(1.76, 2).


2


Selesaikan persamaan serentak berikut.
Solve the following simultaneous equations.
2
2
x − 6x + y + 4y = 67 ............
4y − 3x = 23 .............................b
Dari b / From b: y = 3x + 23 ............c Apabila / When x = 7
4 5
7
Gantikan c ke dalam  / Substitute c into  3   + 23
5
2
x − 6x +  3x + 23  2 + 4  3x + 23  = 67 y = 4 TIP 1:
4
4
Gunakan kaedah penggantian. Jadikan
x − 3x +  3x + 23  2 – 44 = 0 = 34 x atau y sebagai perkara rumus.
2
5
4
Use the substitution method. Make x or y as
16x − 48x + (3x + 23) − 704 = 0 Apabila / When x = −5 subject of formula.
2
2
16x − 48x + 9x + 138x + 529 − 704 = 0 y = 3(−5) + 23
2
2
25x + 90x − 175 = 0 = 2 4
2
2
5x + 18x − 35 = 0
7
(5x − 7)(x + 5) = 0 Maka, x = , y = 34 dan x = −5, y = 2.
5
5
7
x = , x = −5 Thus, x = , y = 34 and x = −5, y = 2.
7
5 5 5
Kriteria Kejayaan: ............................................................................................ .
Saya berjaya
• Menyelesaikan persamaan serentak yang melibatkan satu persamaan linear dan satu persamaan tak linear.
• Menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan serentak; satu persamaan linear dan satu persamaan tak linear.


© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 40





03 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 40 29/09/2021 3:30 PM

Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 3 Sistem Persamaan
SPM




PRAKTIS PdPR Jawapan
Bab 3 PRAKTIS PdPR Bab 3

Kertas 1 Kertas 2

1. Satu garis lurus yang melalui titik (1, 5) bersilang 1. Selesaikan sistem persamaan linear berikut.
dengan lengkung x − 3x − y = 18 pada titik P(6, 0) Solve the following system of linear equations.
2
dan titik Q. Cari koordinat titik Q. −3x + 4y + z = 24 .................
A straight line which passes through point (1, 5) intersects with 5x − 2y − 3z = −34 ...............b
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
the curve x − 3x − y = 18 at point P(6, 0) and point Q. Find the 4x − 4y − 5z = −50 ...............c
2
coordinates of point Q.
[4 markah / 4 marks] [5 markah / 5 marks]
Jawapan / Answer : Jawapan / Answer :
Kecerunan garis lurus / Gradient of the straight line b × 2: 10x − 4y − 6z = −68 ...............d
5 – 0  + d = 7x − 5z = −44 .....................e
= = –1
1 – 6  + c: x − 4z = −26 ..........................f
Menggunakan y = mx + c dan (6, 0) f × 7: 7x − 28z = −182 .....................g
Using y = mx + c and (6, 0) e − g: 23z = 138
0 = −6 + c z = 6
c = 6
Gantikan z = 6 ke dalam f
Persamaan garis lurus / Equation of the straight line Substitute z = 6 into f
y = −x + 6 x − 4(6) = −26
x = −2
x − 3x − y = 18
2
x − 3x − (−x + 6) = 18 Gantikan x = –2 dan z = 6 ke dalam 
2
x − 3x + x − 6 − 18 = 0 Substitute x = –2 and z = 6 into 
2
x − 2x − 24 = 0 −3(−2) + 4y + 6 = 24
2
(x − 6)(x + 4) = 0 4y + 12 = 24
x = 6, x = −4 y = 3
Apabila x = –4 / When x = –4 ∴ x = −2, y = 3, z = 6
y = −(−4) + 6 2. Selesaikan persamaan serentak berikut. Berikan
= 10 jawapan anda betul kepada tiga tempat

Maka, titik Q(–4, 10). perpuluhan.
Thus, point Q(–4, 10). Solve the following simultaneous equations. Give your answer
correct to three decimal places.
2
2. Diberi bahawa lengkung y = (m + 3) − 16x + 8, h + 2k = 5 ...................
dengan keadaan m ialah pemalar, bersilang k − 3h = 7 .................b
2
dengan garis lurus y = −10x + 4 pada dua titik. [5 markah / 5 marks]
Cari julat nilai m. Jawapan / Answer :
Given that the curve y = (m + 3) − 16x + 8, where m is a
2
constant, intersects with the straight line y = −10x + 4 at two Dari (1) / From : h = 5 – 2k .................c
points. Find the range of values of m. Gantikan c ke dalam b / Substitute c into b
[3 markah / 3 marks] k – 3(5 – 2k) = 7
2
Jawapan / Answer : k + 6k – 22 = 0
2
(m + 3) − 16x + 8 = −10x + 4 −6 ±  – 4(1)(–22)
2
6
2
(m + 3) − 16x + 10x + 8 − 4 = 0 k = 2(1)

2
(m + 3) − 6x + 4 = 0 = 2.568 , –8.568
2
b − 4ac  0 h = 5 − 2(2.568) , h = 5 − 2(−8.568)
2
2
(−6) − 4(m + 3)(4)  0 = –0.136 = 22.136
36 − 16m − 48  0
−16m  12 ∴ h = −0.136, k = 2.568 dan / and
3
m  − h = 22.136, k = −8.568
4
41 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.




03 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 41 29/09/2021 3:30 PM

Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 3 Sistem Persamaan
3. Selesaikan persamaan serentak berikut. 4. Rajah di bawah menunjukkan kolam ikan ABCD
Solve the following simultaneous equations. yang dikelilingi papan kayu sebagai laluan di
x(7y + x) = 16 − 34y 2 sebuah kelong ikan. KBAT Mengaplikasi
2x − 14y = 4 The diagram below shows a fish pond ABCD surrounded by
[5 markah / 5 marks] wooden boards as pathway in a fish kelong.
Jawapan / Answer : 2(y – 1) m
x(7y + x) = 16 − 34y 2 P Q
7xy + x + 34y = 16 ....................... A y m B
2
2
2x − 14y = 4 Kolam ikan x m 3x – m
7
2x = 14y + 4 Fish pond 2
x = 7y + 2 ............................b D C
Gantikan b ke dalam  S R
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Substitute b into 
7y(7y + 2) + (7y + 2) + 34y = 16 Diberi bahawa perimeter kolam ikan ABCD ialah
2
2
2
49y + 14y + 49y + 28y + 4 + 34y − 16 = 0 16 m dan luas papan kayu ialah 29 m . Cari luas,
2
2
2
2
2
132y + 42y − 12 = 0 dalam m , kolam ikan ABCD jika y  x.
Given that the perimeter of the fish pond ABCD is 16 m and the
22y + 7y − 2 = 0 area of the wooden boards is 29 m . Find the area, in m , of the
2
2
2
(11y − 2)(2y + 1) = 0 fish pond ABCD if y  x.
y = 2 , y = − 1 [5 markah / 5 marks]
11 2
KBAT
Apabila / When y = 2 Tip KBATKBAT
11 Luas papan kayu = luas PQRS – luas ABCD
2
x = 7   + 2 Area of the wooded board = area of PQRS – area of ABCD
11
36
= Jawapan / Answer :
11 2x + 2y = 16
Apabila / When y = − 1 x + y = 8 ............................................
2 7

1
 
x = 7 − + 2 2(y − 1) 3x − 2  − xy = 29 ................b
2
= − 3 Dari  / From : y = 8 − x ................c
2
Gantikan c ke dalam b
3
∴ x = 36 , y = 2 dan / and x = − , y = − 1 Substitute c into b
11 11 2 2 2(8 − x − 1) 3x − 7  − x(8 − x) = 29

2
7


2 21x − 49 − 3x + x − 8x + x − 29 = 0
2
2
2
2

2
2
2 –3x + 49 x – 49  − 8x + x − 29 = 0
2
2
2
−5x + 41x − 78 = 0
2
−41 ±  − 4(−5)(−78)
41
x =
2 (−5)
x = 3 atau / or x = 5.2
Apabila / When x = 3
y = 8 − 3
= 5
Apabila / When x = 5.2
y = 8 − 5.2
= 2.8
Maka, / Thus, x = 3, y = 5
Luas kolam ikan ABCD / Area of the fish pond ABCD
= 3 × 5
= 15 m 2
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 42


03 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 42 29/09/2021 3:30 PM

Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 3 Sistem Persamaan











1. Dalam rajah di sebelah, dua garis lurus adalah tangen y
kepada lengkung y = x + 4x + 7 pada titik P dan Q. P (a) Wakilkan dua garis lurus itu
2
Nyatakan persamaan dua garis lurus itu. KBAT Menganalisis dengan persamaan y = mx + c.
In the diagram, two straight lines are tangents to the curve y = x + 4x + 7 Q Lakukan persamaan serentak.
2
at points P and Q. State the equations of the two straight lines. Represent the two straight lines
0 x with equation y = mx + c. Perform
–9 simultaneous equations.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Katakan garis lurus y = mx − 9 adalah tangen kepada lengkung itu. (b) Garis lurus adalah tangen
Let straight line y = mx − 9 is the tangent to the curve. bermaksud garis itu
2
x + 4x + 7 = mx − 9 menyentuh lengkung itu,
x + 4x − mx + 7 + 9 = 0 maka nilai pembezalayan
2
adalah 0.
x + (4 − m)x + 16 = 0 b – 4ac = 0
2
2
b − 4ac = 0 The straight line is a tangent
2
means that the line touches
(4 − m) − 4(16) = 0 the curve, thus the value of the
2
(4 − m) − 64 = 0 discriminant is 0.
2
b – 4ac = 0
2
(4 − m) − 8 = 0
2
2
(4 − m − 8)(4 − m + 8) = 0
(−4 − m)(12 − m) = 0
m = −4, m = 12
Maka, dua persmaan garis lurus ialah y = −4x − 9 dan y = 12x − 9.
Thus, the equations of the two straight lines are y = −4x − 9 and y = 12x − 9.
2. Seutas dawai dengan panjang 36 cm dibengkokkan untuk membentuk sebuah Cari dua persamaan
segi tiga bersudut tegak. Sisi terpanjang segi tiga itu ialah y cm dan dua sisi menggunakan perimeter segi
yang lain ialah x cm dan (y – 3) cm. Cari panjang, dalam cm, setiap sisi segi tiga tiga dan teorem Pythagoras.
itu. KBAT Mengaplikasi Seterusnya, lakukan persamaan
A piece of wire with the length of 36 cm is bent to form a right-angled triangle. The longest side of the serentak untuk mendapatkan
triangle is y cm and the other two sides are x cm and (y – 3) cm. Find the length, in cm, of each side of nilai pemboleh ubah.
the triangle. Find two equations using the
perimeter of the triangle and
x + y + y − 3 = 36 Pythagoras’ theorem. Hence, perform
x = 39 − 2y ............ the simultaneous equations to obtain
2
2
2
y = x + (y − 3) .........................b the values of the variables.
Gantikan  ke dalam b / Substitute  into b
y = (39 − 2y) + (y − 3) 2
2
2
y = 1 521 − 156y + 4y + y − 6x + 9
2
2
2
4y − 162y + 1 530 = 0
2
2y − 81y + 765 = 0
2
(2y − 51)(y − 15) = 0
y = 51 , y = 15
2
51
Apabila / When y = 2
51
x = 39 − 2  
2
= −12 (tidak diterima/not accepted)
Apabila / When y = 15,
x = 39 − 2(15) Kuiz 3
= 9
Maka, panjang sisi-sisi segi tiga itu ialah 9 cm, 12 cm dan 15 cm.
Thus, the length of the sides of the triangle are 9 cm, 12 cm and 15 cm.


43 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.





03 Hybrid PBD Mate Tambahan Tg4.indd 43 29/09/2021 3:30 PM

Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved