Focus SPM 2022 - Matematik

PELANGI BESTSELLER

MATEMATIK SPM
TINGKATAN
4∙5
KSSM
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved

mienerbit Ras

MatBuku Teks
Ng Seng How P KSSM FORMAT PENTAKSIRAN
Ooi Soo Huat
Samantha Neo tan 5ematik Tingka2021BAHARU SPM
Yong Kuan Yeoh mulai

KANDUNGAN

Rumus Matematik iv 6Bab Ketaksamaan Linear dalam Dua

Tingkatan 4 Pemboleh Ubah 85

1Bab Fungsi dan Persamaan Kuadratik

dalam Satu Pemboleh Ubah 1

1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik 2
Praktis SPM 1 13
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved6.1 Ketaksamaan Linear dalam Dua 86
Pemboleh Ubah 91
97
6.2 Sistem Ketaksamaan Linear dalam
Dua Pemboleh Ubah

Praktis SPM 6

2Bab 7Bab

Asas Nombor 16 Graf Gerakan 101

7.1 Graf Jarak-Masa 102
7.2 Graf Laju-Masa 106
2.1 Asas Nombor 17 Praktis SPM 7 113
Praktis SPM 2 24

3Bab 8Bab Sukatan Serakan Data Tak

Penaakulan Logik 26 ­Terkumpul 118

8.1 Serakan 119
8.2 Sukatan Serakan 121
3.1 Pernyataan 27 Praktis SPM 8 135

3.2 Hujah 36

Praktis SPM 3 45 9Bab Kebarangkalian Peristiwa

4Bab ­Bergabung 139

Operasi Set 48 9.1 Peristiwa Bergabung 140
9.2 Peristiwa Bersandar dan
Peristiwa Tak Bersandar 141
4.1 Persilangan Set 49 9.3 Peristiwa Saling Eksklusif dan
4.2 Kesatuan Set 53 Peristiwa Tidak Saling Eksklusif 147
4.3 Gabungan Operasi Set 59 9.4 Aplikasi Kebarangkalian Peristiwa
Praktis SPM 4 64 Bergabung 154
Praktis SPM 9 157

5Bab 1Bab 0 Matematik Pengguna: 161 ­
­Pengurusan Kewangan
Rangkaian dalam Teori Graf 69

5.1 Rangkaian 70 10.1 Perancangan dan Pengurusan
Praktis SPM 5 81 Kewangan 162
Praktis SPM 10 172

ii

Tingkatan 5 6Bab Nisbah dan Graf Fungsi

1Bab ­Trigonometri 260

Ubahan 175 6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi

Sudut q, 0° < q < 360° 261

1.1 Ubahan Langsung 176 6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan

1.2 Ubahan Songsang 181 Tangen 270
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
1.3 Ubahan Bergabung 185 Praktis SPM 6 277

Praktis SPM 1 188

2Bab 7Bab Sukatan Serakan Data

Matriks 191 Terkumpul 283

7.1 Serakan 284

2.1 Matriks 192 7.2 Sukatan Serakan 294
2.2 Operasi Asas Matriks 194
Praktis SPM 2 206 Praktis SPM 7 301

3Bab Matematik Pengguna: 8Bab

Insurans 209 Pemodelan Matematik 305

3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans 210 8.1 Pemodelan Matematik 306
Praktis SPM 3 219
Praktis SPM 8 316

Kertas Model SPM 318

4Bab Matematik Pengguna: Jawapan 335

Percukaian 222

4.1 Percukaian 223
Praktis SPM 4 232

5Bab Kekongruenan, Pembesaran

dan Gabungan Transformasi 234

5.1 Kekongruenan 235
5.2 Pembesaran 239
5.3 Gabungan Transformasi 247
5.4 Teselasi 254
Praktis SPM 5 257

iii

1Bab Bidang Pembelajaran : Perkaitan dan Algebra
Tingkatan 4

Fungsi dan Persamaan Kuadratik
dalam Satu Pemboleh Ubah

Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
• Fungsi kuadratik – Quadratic function Peta
• Hubungan banyak kepada satu – Many-to-one relation Konsep
• Persamaan kuadratik – Quadratic equation
• Pemfaktoran – Factorisation
• Punca – Root
• Titik maksimum – Maximum point
• Titik minimum – Minimum point
• Ujian garis mencancang – Vertical line test
• Ungkapan kuadratik – Quadratic expression

Kmdyteieaebnrnaahggntaaaydbpsaaelikprklabianbnestneiaknltisanutanutknakyppsapaea.arnruarFabbruobaonolhllaeglaa.rsniAyctpaokenauankgsaaatdgtehreararktbtyieeekasrnndattgniuerilkmap?dheearnurdyibpiegaabuhdanaabankbkateanennrthruoaukldnleatprupakcrnaoibmalaoseitlmaep.rbeikBbnaeealnrigtdleuinarkatlakapmsasarenfacubanrorogalalsleiairunkuticoadomdaarapsattatietkikr
1

  Matematik SPM  Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

1.1 Fungsi dan Persamaan B Memerihalkan ciri-ciri fungsi
Kuadratik kuadratik

A Mengenal pasti dan memerihalkan 1. Dalam suatu fungsi kuadratik, terdapat nilai-
ciri-ciri ungkapan kuadratik dalam nilai pemboleh ubah x yang mempunyai output
satu pemboleh ubah yang sama seperti yang ditunjukkan dalam rajah
di bawah.
1. Ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah
ialah suatu ungkapan yang hanya mempunyai x f(x) = x2 + 5
satu pemboleh ubah dengan kuasa tertinggi
pemboleh ubah itu ialah 2.

2. Suatu ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh
ubah dapat ditulis dalam bentuk ax2 + bx + c,
dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar, a ≠ 0
tetapi b dan c boleh bernilai sifar.

3. Contoh-contoh ungkapkan kuadratik adalah
seperti di bawah:

ax2 + bx + c
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved 2• 9 dan 6
1•
Tingkatan 4 0• • 9 masing-masing
–1 • mempunyai
–2 • •6 input yang

• 5 berbeza.

2. Fungsi kuadratik boleh dikenali sebagai suatu
hubungan banyak kepada satu.

3. Graf bagi suatu fungsi kuadratik merupakan
suatu lengkung berbentuk parabola.

x2 + 4x – 5 7x2 – 8 8x2 + 6x –5x2 4. Bentuk graf fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c
a, b dan c b=0 c=0 b=c=0 bergantung kepada nilai a.
bukan sifar
Apabila a bernilai positif, a  0

f(x) Paksi
simetri

1

Kenal pasti sama ada setiap ungkapan yang berikut Titik
ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah
atau bukan. Berikan sebab untuk jawapan anda. minimum x
0
(a) 3p2 – 2p + 8

(b) x2 – 1
x
(c) 5x2 – 4y + 7 Parabola berbentuk buka ke atas.

(d) 8 – 6k2

Penyelesaian Apabila a bernilai negatif, a  0
(a) Ya, ungkapan ini hanya mempunyai satu
f(x) Paksi
pemboleh ubah, p, dan kuasa tertinggi bagi p simetri
ialah 2.
(b) Bukan, ungkapan ini bukan dalam bentuk Titik
ax2 + bx + c kerana mempunyai pemboleh ubah maksimum
berkuasa –1.
(c) Bukan, ungkapan ini mempunyai dua pemboleh x
ubah, x dan y. 0
(d) Ya, ungkapan ini hanya mempunyai satu
pemboleh ubah, k, dan kuasa tertinggi bagi k Parabola berbentuk buka ke bawah.
ialah 2.

Cuba Soalan 1 dalam Cuba ini! 1.1

2

Matematik SPM  Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 

5. Ujian garis mencancang digunakan untuk Tip SPM
menentukan hubungan banyak kepada satu pada
graf fungsi kuadratik. Rajah emoji di bawah boleh digunakan untuk mengingat
bentuk lengkung suatu fungsi kuadratik.
f(x)
a>0 a<0
x
Apabila nilai a adalah
negatif, muka sedih
Apabila nilai a
adalah positif, muka diperolehi.
gembira diperolehi.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Tingkatan 42

Perihalkan bentuk graf bagi setiap fungsi kuadratik
yang berikut.
Lebih daripada satu garis mencancang dilukis
pada graf fungsi kuadratik. (a) f(x) = –3x2 – 5x + 7
1
• Setiap garis mencancang hanya menyilang (b) f(x) = 2 x2 +4
graf pada satu titik menunjukkan hubungan
ini ialah suatu fungsi. Penyelesaian
(a) Daripada f(x) = –3x2 – 5x + 7, a = –3  0
• Terdapat dua nilai x yang mempunyai nilai
f(x) yang sama menunjukkan hubungan Maka, graf bagi fungsi kuadratik ini berbentuk
banyak kepada satu. parabola buka ke bawah dengan satu titik
maksimum.
6. Secara amnya, ciri-ciri bagi suatu fungsi
kuadratik adalah seperti yang ditunjukkan di (b) Daripada f(x) = 1 x2 + 4, a = 1 0
dalam peta buih di bawah. 2 2
Maka, graf bagi fungsi kuadratik ini berbentuk
parabola buka ke atas dengan satu titik
minimum.

Mempunyai Hubungan Cuba Soalan 2 dalam Cuba ini! 1.1
graf banyak
3
melengkung kepada satu. Diberi bahawa fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c
yang mempunyai satu titik minimum (2, –4).
Paksi simetri (a) Nyatakan julat bagi nilai a.
berbentuk graf adalah (b) Tentukan persamaan paksi simetri bagi fungsi
parabola. selari dengan
kuadratik itu.
paksi-y. Penyelesaian
(a) Fungsi kuadratik mempunyai satu titik
Fungsi kuadratik
f(x) = ax2 + bx + c minimum, maka nilai a adalah positif. Julat nilai
a ialah a  0.
Mempunyai Mempunyai (b) Paksi simetri ialah garis mencancang yang selari
satu titik satu titik dengan paksi-y dan melalui titik minimum.
minimum Maka, persamaan paksi simetri ialah x = 2.
apabila maksimum
a  0. apabila Tip SPM
a  0.
Px e=rs–a  m2baa.an paksi simetri graf fungsi kuadratik,

3

  Matematik SPM  Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

C Membuat generalisasi tentang kesan perubahan nilai a, b dan c ke atas graf fungsi
kuadratik

1. Perubahan nilai a, b dan c pada fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c akan menyebabkan bentuk atau
kedudukan graf fungsi kuadratik tersebut berubah.

2. Jadual di bawah menunjukkan kesan perubahan nilai a, b dan c ke atas graf fungsi kuadratik
f(x) = ax2 + bx + c.

Tingkatan 4 PerubahanRightspadaRsaizesgrafervedf(x) = ax2, a  0f (x) f(x) = ax2, a  0 f(x) x
f(x) = 3x2 0
f(x) = x2 f ( x ) = – —21 x 2

f ( x ) = —12 x 2

0 x f(x) = –x2 f(x) = –3x2

• Apabila a  1, graf menjadi lebih sempit dan • Apabila a  –1, graf menjadi lebih sempit dan
curam. curam.
PerubahanPenerbpadaitakedudukann Pelagrafngi Sdn Bhd. All• Apabila 0  a  1, graf menjadi lebih lebar dan • Apabila –1  a  0, graf menjadi lebih lebar
kurang curam. dan kurang curam.

f(x) = ax2 + bx, a  0 dan b  0 f(x) = ax2 + bx, a  0 dan b  0

f (x) f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 f(x)

f(x) = x2 + 2x f(x) = x2 – 2x

0x x
0

• Graf beralih secara condong ke bawah dan ke • Graf beralih secara condong ke bawah dan ke
kiri. Maka paksi simetri dan titik minimum kanan. Maka paksi simetri dan titik minimum
berada di sebelah kiri paksi-y. berada di sebelah kanan paksi-y.

f(x) = ax2 + bx, a  0 dan b  0 f(x) = ax2 + bx, a  0 dan b  0

f(x) f ( x ) = – x 2 + 2 x f ( x ) = – x 2 – 2 x f(x)

0 x x
0

f(x) = –x2

f(x) = –x2

• Graf beralih secara condong ke atas dan ke • Graf beralih secara condong ke atas dan ke kiri.
kanan. Maka paksi simetri dan titik maksimum Maka paksi simetri dan titik maksimum berada
berada di sebelah kanan paksi-y. di sebelah kiri paksi-y.

4

Matematik SPM  Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 

graf f(x) = ax2 + c, a  0 dan c  0 atau c  0 f(x) = ax2 + c, a  0 dan c  0 atau c  0

kedudukan f( x ) = x 2 f(x) f(x)
f( x ) = x 2 + 2 f( x ) = – x 2 + 1

x
0

pada x
0

f( x ) = x 2 – —32

• Apabila c  0, graf beralih ke atas.
• Apabila c  0, graf beralih ke bawah.

Tip SPM

Bagi suatu graf fungsi kuadratik,
• nilai a menentukan bentuk graf,
• nilai b menentukan kedudukan paksi simetri,
• nilai c menentukan kedudukan pintasan-y.
Perubahan f( x ) = – x 2 f( x ) = – x 2 – 2

Reserved Tingkatan 4
• Apabila c  0, graf beralih ke atas.
• Apabila c  0, graf beralih ke bawah.

Kesan perubahan nilai a, b dan c ke atas
graf fungsi kuadratik.
Rights
INFO

Tip SPM

4 All• Apabila semua tanda bagi nilai a, b, dan c
disongsangkan, graf fungsi kuadratik akan dipantulkan
Terangkan kesan perubahan nilai-nilai yang berikut pada paksi-x.
terhadap graf fungsi kuadratik yang diberikan.
(a) Graf bagi f(x) = 5x2 + 8x – 1 berubah kepada Bhd. • Apabila hanya tanda bagi nilai b disongsangkan, graf
f(x) = 2x2 + 8x – 1. fungsi kuadratik akan dipantulkan pada paksi-y.
(b) Graf bagi f(x) = –x2 + x + 4 berubah kepada
• Perubahan nilai b menyebabkan graf menggelongsor
berdasarkan pintasan-y. Hal ini menyebabkan
kedudukan paksi simetri berubah.

f(x) = –x2 + 3x + 4. 3 Sdn
4
(Pce) nyGf(exrla)ef=sab–aiag43inxf2(x+) = – x2 – 2 berubah kepada D Membentuk fungsi kuadratik
7. dan menghubungkaitkan dengan
persamaan kuadratik
Pelangi
(a) Nilai a ialah positif dan berkurang, maka graf Bagi graf fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c yang
akan menjadi lebih lebar dan kurang curam. menyilang paksi-x, nilai output bagi pintasan-x
(b) Nilai a ialah negatif dan nilai b bertambah, maka adalah f(x) = 0. Maka, hubungan ini dapat ditulis
graf beralih ke kanan dengan paksi simetri dan dengan suatu persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0.
titik maksimum berada di sebelah kanan paksi-y.
(c) Nilai c bertambah, maka graf akan beralih secara 6
menegak ke atas.Penerbitan Rajah di bawah menunjukkan pelan bagi bilik Zuki.

Cuba Soalan 3 dalam Cuba ini! 1.1 2x m

5 xm
Perihalkan kesan perubahan pada titik minimum dan
kedudukan graf apabila graf f(x) = x2 + 4 berubah 5m
kepada f(x) = x2 + 10.
Penyelesaian Ungkapkan luas bilik Zuki, dalam m2, dalam suatu
Titik minimum bagi graf f(x) = x2 + 4 ialah (0, 4) fungsi kuadratik.
manakala bagi graf f(x) = x2 + 10 ialah (0, 10). Maka,
graf f(x) = x2 + 4 bergerak 6 unit ke atas.

Cuba Soalan 4 dalam Cuba ini! 1.1

5

  Matematik SPM  Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Penyelesaian xm E Punca suatu persamaan kuadratik
Punca bagi suatu persamaan kuadratik ialah nilai
2x m pemboleh ubah yang memuaskan persamaan
kuadratik itu.
A

B C 5m 8

Tentukan sama ada setiap nilai x yang diberi merupakan
punca bagi persamaan kuadratik 2x2 – 7x + 3 = 0.
(a) x = –1
(b) x = 3
Tingkatan 4 Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights ReservedKatakan luas bilik Zuki = L(x)
L(x) = Luas A + Luas B + Luas C Penyelesaian
= (2x × x) + (2x × 5) + (5 × 5) (a) Gantikan x = –1 pada sebelah kiri persamaan
= 2x2 + 10x + 25 kuadratik 2x2 – 7x + 3 = 0.

Cuba Soalan 5 – 6 dalam Cuba ini! 1.1

Sebelah kiri = 2(–1)2 – 7(–1) + 3
7 =2+7+3
Ahli-ahli Persatuan Pandu Puteri di sebuah sekolah = 12 (12 ≠ 0, tidak sama dengan
ingin membuat jualan amal untuk didermakan sebelah kanan)
kepada mangsa gempa bumi. Pada tahun lepas,
mereka berjaya menjual 120 helai baju pada harga Maka, –1 bukan punca bagi persamaan kuadratik
RM4 sehelai. Tahun ini, kos bagi sehelai baju telah 2x2 – 7x + 3 = 0.
meningkat. Mereka menganggarkan setiap kenaikan
harga sebanyak RM1 akan menyebabkan mereka (b) Gantikan x = 3 pada sebelah kiri persamaan
kehilangan 8 helai jualan baju. kuadratik 2x2 – 7x + 3 = 0.
(a) Bentukkan satu fungsi kuadratik yang mewakili
Sebelah kiri = 2(3)2 – 7(3) + 3
hasil jualan mereka pada tahun ini. = 18 – 21 + 3
(b) Jika hasil jualan mereka pada tahun ini ialah = 0 (sama dengan sebelah kanan)

RM704, bentukkan satu persamaan kuadratik Maka, 3 ialah punca bagi persamaan kuadratik
bagi mewakili hasil jualan mereka pada tahun 2x2 – 7x + 3 = 0.
ini.
Cuba Soalan 9 – 10 dalam Cuba ini! 1.1

Penyelesaian F Menentukan punca suatu persamaan
(a) Katakan RMx ialah kenaikan harga bagi sehelai kuadratik dengan kaedah
pemfaktoran
baju dan R(x) ialah hasil jualan pada tahun ini.

Hasil jualan 1. Jika suatu persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0
dapat difaktorkan dalam bentuk (mx + p)(nx + q) = 0,
= Bilangan baju terjual × Harga sehelai baju maka punca-punca persamaan itu ditentukan
dengan mx + p = 0 dan nx + q = 0, dengan
R(x) = (120 – 8x) (4 + x) keadaan m, n, p dan q ialah pemalar.
= 480 + 120x – 32x – 8x2
= –8x2 + 88x + 480

(b) R(x) = 704 2. Peta alir di bawah menunjukkan langkah-
–8x2 + 88x + 480 = 704 langkah untuk menentukan punca-punca bagi
–8x2 + 88x – 224 = 0 suatu persamaan kuadratik.
8x2 – 88x + 224 = 0 Darab kedua-dua belah
persamaan dengan –1. Faktorkan Samakan
ax2 + bx + c setiap faktor
Cuba Soalan 7 – 8 dalam Cuba ini! 1.1 Tuliskan dalam bentuk itu dengan
persamaan hasil darab 0 untuk
Tip SPM dalam dua faktor. menentukan
bentuk am nilai punca.
Ungkapan kuadratik: ax2 + bx + c ax2 + bx + c = 0.
Fungsi kuadratik: f(x) = ax2 + bx + c
Persamaan kuadratik: ax2 + bx + c = 0

6

Matematik SPM  Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 

9 Penyelesaian
(a) x2 – 18x + 81 = 0
Tentukan punca-punca bagi setiap persamaan (x – 9)(x – 9) = 0
kuadratik yang berikut. x – 9 = 0
(a) 5x2 + 20x = 0 x = 9
(b) 9x2 – 64 = 0 atau
x – 9 = 0 Punca yang sama.

Penyelesaian x = 9
(a) 5x2 + 20x = 0
5x(x + 4) = 0 5x ialah faktor sepunya Maka, penyelesaian bagi x2 – 18x + 81 = 0 ialah
bagi 5x2 dan 20x. 9. Nilai punca juga merupakan penyelesaian

bagi persamaan kuadratik.
5x = 0 Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
x = 0 Tingkatan 4(b) (x – 6)(x + 7) = –12Kembangkan
atau ungkapan.
x + 4 = 0
x = –4 x2 + 7x – 6x – 42 + 12 = 0 Tulis persamaan
x2 + x – 30 = 0 dalam bentuk am.
Maka, punca bagi 5x2 + 20x = 0 ialah 0 atau –4. (x – 5)(x + 6) = 0

(b) 9x2 – 64 = 0 x – 5 = 0
(3x)2 – 82 = 0 x = 5
(3x + 8)(3x – 8) = 0 Gunakan         atau
a2 – b2 = (a + b)(a – b)

3x + 8 = 0 x + 6 = 0
3x = ––8 83 x = –6
x =
      atau Maka, penyelesaian bagi (x – 6)(x + 7) = –12
ialah 5 atau –6.

3x – 8 = 0 (c) 3x(2x – 1) = 4x + 5
3x = 88 6x2 – 3x = 4x + 5
x = 3 6x2 – 7x – 5 = 0

Maka, punca bagi 9x2 – 64 = 0 ialah – 83 atau 8 . 2x +1 +3x
3 3x –5 –10x
 6x2 –5 –7x
Kaedah Alternatif

9x2 – 64 = 0 (3x – 5)(2x +1) = 0

9x2 = 6644 3x – 5 = 0
x2 = 9 3x = 553
x =
= ±694       atau
2x + 1 = 0
= ± 8 2x = –– 112
3 x =

Cuba Soalan 11 dalam Cuba ini! 1.1

Maka penyelesaian bagi 3x(2x – 1) = 4x + 5 ialah
5 atau – 21 .
10 3
Selesaikan setiap persamaan kuadratik yang berikut.
(a) x2 – 18x + 81 = 0 Cuba Soalan 12 dalam Cuba ini! 1.1
(b) (x – 6)(x + 7) = –12
(c) 3x(2x – 1) = 4x + 5

7

  Matematik SPM  Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

G Melakar graf fungsi kuadratik Tip SPM

Peta alir di bawah menunjukkan langkah- Titik maksimum atau minimum bagi suatu persamaan
langkah untuk melakar suatu graf fungsi kuadratik
f(x) = ax2 + bx + c. kuadratik boleh ditentukan dengan menggunakan paksi
pintasan-x qp
Kenal pasti nilai a Cari nilai f(0) simetri. Jika persamaan suatu sgimraeftrikuiaaladhratxik=iapla+2h .
untuk menentukan untuk menentukan dan q, maka paksi
bentuk graf. pintasan-y.
Gantikan nilai tersebut ke dalam persamaan kuadratik
untuk memperoleh koordinat-y. Misalnya, dalam contoh

11(a), paksi simetri, x = 2 + 4 =3
2
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved f(3) = 32 – 6(3) + 8
Tandakan semua Cari pintasan-x
Tingkatan 4 pintasan dan lukis suatu (jika wujud) dengan = –1
parabola yang melalui menggunakan
semua pintasan itu. f(x) = 0. Maka, titik minimum ialah (3, –1).

11 (b) Daripada f(x) = –2x2 + x + 15, a = –2, b = 1 dan
c = 15.
Lakarkan graf fungsi kuadratik bagi setiap yang berikut.
Apabila a  0, bentuk graf ialah parabola buka
ke bawah dengan satu titik maksimum.

(a) f(x) = x2 – 6x + 8 (c) f(x) = –3x 122 + 6 6x – 18 f(0) = –2(0)2 + (0) + 15
(b) f(x) = –2x2 + x + 15 (d) f(x) = x2 + = 15
Graf bersilang dengan paksi-y di (0, 15).
Penyelesaian
(a) Daripada f(x) = x2 – 6x + 8,
a = 1, b = –6 dan c = 8. f(x) = 0 Darab kedua-dua belah
Langkah 1: –2x + x + 15 = 0 persamaan dengan –1
Kenal pasti nilai a Apabila a  0, bentuk graf ialah 2x2 – x – 15 = 0 supaya nilai a menjadi
untuk menentukan parabola buka ke atas dengan (2x + 5)(x – 3) = 0 positif dan mudah untuk
bentuk graf. satu titik minimum. difaktorkan.

2x + 5 = –0  52
x =
CLunaatnruigk nkimlaahei nf2(e0:n)tu kan f(0) == 02 – 6(0) + 8
8      atau
x – 3 = 0
titik persilangan Graf bersilang dengan paksi-y di x = 3
dengan paksi-y. (0, 8).

Graf bersilang dengan paksi-x di x = – 52 dan
CL aanrigtkitiakh 3: x2 – 6x f+(x8) == 00 x = 3.

fjdpi(keex a)nrsg=wilaau0n nj.ugpdaa,nk asp i-a xb, ila  ( x – 2)(xx––a4t2x)a u=== 002 f(x)

x – 4 = 0 15
f(x) = –2x2 + x + 15

Langkah 4: x = 4

Tandakan semua Graf bersilang dengan paksi-x di – —52 0 x
pintasan dan lukis x = 2 dan x = 4. 3

satu parabola

yang melalui itu. f(x) (c) Daripada f(x) = 3x2 + 6, a = 3 dan c = 6.
semua pintasan Apabila a  0, bentuk graf ialah parabola buka

8 ke atas dengan satu titik minimum.

INGAT! f(x) = x2 – 6x + 8 f(0) = 3(0)2 + 6
=6
Nilai c dalam Titik minimum bersilang
f(x) = ax2 + bx + c pada paksi-y.
ialah pintasan-y
bagi graf fungsi Graf bersilang dengan paksi-y di (0, 6).
kuadratik itu.
0 24 x

8

Matematik SPM  Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 

f(x) = 0 Graf tidak bersilang H Menyelesaikan masalah yang
3x2 + 6 = 0 pada paksi-x. melibatkan persamaan kuadratik
3x2 = –6 f(x) f ( x ) = 3 x 2 + 6
x2 = –2 Rajah di bawah menunjukkan sebuah tangki air
berbentuk silinder dengan tinggi 4 m.

Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved6 Jika jumlah luas permukaan tangki air itu ialah
Tingkatan 4120p m2, hitung isi padu, dalam m3, tangki air itu.
0x

INGAT! Penyelesaian
Katakan jejari bagi tangki air itu = r m
Apabila nilai b = 0, titik maksimum atau titik minimum
bagi fungsi kuadratik f(x) = ax2 + c terletak pada paksi-y Jumlah luas permukaan = 120p m2 Jumlah luas
iaitu (0, c).
2(pr 2) + 2p(r)(4) = 120p permukaan
(d) Daripada f(x) = – 12 x2 + 6x – 18, a = – 21 , b = 6 2pr 2 + 8pr – 120p = 0 = 2pr2 + 2prh
dan c = –18. r 2 + 4r – 60 = 0
(r – 6)(r + 10) = 0 Bahagi kedua-
r = 6 atau r = –10 dua belah
Jejari r  0, maka r = 6. persamaan
dengan

Apabila a < 0, bentuk graf ialah parabola buka Isi padu tangki air = pr 2h 2p supaya
ke bawah dengan satu titik maksimum. = p(6)2(4) mudah untuk
= 144p m3 difaktorkan.

f(0) = – 21 (0)2 + 6(0) – 18 Cuba Soalan 14 – 17 dalam Cuba ini 1.1
= –18
Contoh Soalan KBAT
Graf bersilang dengan paksi-y di (0, –18).
Rajah di bawah menunjukkan sebiji tayar lori
f(x) = 0 Darab kedua-dua belah bersandar pada dinding secara rapat.
–  12x2x2–+126xx – 18 = 0 persamaan dengan –2
+ 36 = 0 supaya mudah untuk
(x – 6)(x – 6) = 0 difaktorkan.

x – 6 = 0
x = 6
      atau
x – 6 = 0 A
x = 6
Diberi A ialah satu titik pada lilitan tayar itu dengan
Graf bersilang dengan paksi-x di x = 6 sahaja. keadaan 12 cm dari lantai dan 54 cm dari dinding.
Berapakah diameter, dalam cm, tayar itu?
f(x) Penyelesaian:
Katakan jejari tayar = x cm
06 x

f ( x ) = – —21 x 2 + 6 x – 1 8 O x cm
(x – 12) cm
–18
(54 – x) cm
x cm 12 cm A

Cuba Soalan 13 dalam Cuba ini! 1.1

9

  Matematik SPM  Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

Maka hipotenus segi tiga bersudut tegak = x cm dan h(t)
dua sisi lain bagi segi tiga bersudut tegak itu masing-
masing ialah (54 – x) cm dan (x – 12) cm. h(t) = –2t2 + t + 1
1
(54 – x)2 + (x – 12)2 = x2
2 916 – 108x + x2 + x2 – 24x + 144 = x2

Guna – —12 0 1 t
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

x2 – 132x + 3 060 = 0

(x – 30)(x – 102) = 0 Belalang itu melompat dari ketinggian 1 meter dan
tiba di tanah pada masa t = 1.

Cuba Soalan KBAT ini

Kedudukan murid di dalam suatu kelas disusun
dalam beberapa baris dan lajur. Diberi persamaan
kuadratik x2 + 3x – 28 = 0, dengan keadaan x ialah
bilangan baris. Reka satu situasi yang memuaskan
persamaan kuadratik yang diberi.

Jawapan: Terdapat 28 orang murid dalam kelas
tersebut yang disusun dalam keadaan
bilangan lajur melebihi bilangan baris
sebanyak 3.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved x – 30 = 0   

Tingkatan 4 x = 30

              atau

x – 102 = 0

x = 102

x  54 cm, maka x = 30 cm.

Maka, diameter tayar = 2 × 30
= 60 cm

Cuba Soalan KBAT ini 12
Rajah di bawah menunjukkan sebuah jambatan.
Esther menggunakan seutas tali untuk membentuk Penyokong jambatan itu berbentuk parabola dengan
sebuah segi tiga sama sisi. Apabila panjang setiap panjang 300 m.
sisi segi tiga itu masing-masing dipendekkan
sebanyak 1 cm, 3 cm dan 5 cm, ia menjadi sebuah
segi tiga bersudut tegak. Berapakah panjang tali
itu?

Jawapan: 33 cm

Contoh Soalan KBAT

Diberi suatu fungsi kuadratik h(t) = –2t2 + t + 1 Dalam suatu kerja lapangan untuk menentukan
dengan keadaan h ialah tinggi seekor belalang fungsi kuadratik yang mewakili penyokong
melompat, dalam m, dan t ialah masa lompatan, jambatan itu, Kanishka dan Teck Hong masing-
dalam saat. Reka satu situasi yang memerihalkan pmf(exan)syino=gko1n1m0gxe2jnacm+adba6anxta,gnkdadenanngfa(xnx)iakl=eaahd–ap a5an1n0jxaf2niga+ljaahm6xbtiantdgaangni.
lompatan belalang itu. Antara fungsi kuadratik yang dicadangkan oleh
Kanishka dan Teck Hong, yang manakah mewakili
Penyelesaian: bentuk penyokong jambatan itu? Berikan sebab-sebab
h(0) = –2(0)2 + 0 + 1 yang menyokong jawapan anda.
=1 Penyelesaian
Bentuk penyokong ialah parabola buka ke bawah
h(t) = 0 dengan satu titik maksimum, maka nilai a adalah
negatif. Oleh itu, fungsi kuadratik yang dicadangkan
–2t2 + t + 1 = 0 Teck Hong adalah tidak sesuai kerana nilai a adalah
positif.
( 2t + 1)(t – 1) = 0

2t + 1 = 0
1
t = – 2
     atau

t – 1 = 0

t = 1

10

Matematik SPM  Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 

Bagi f(x) = – 510 x2 + 6x, apabila f(x) = 0, (e) 2 y2
9
x2 + 7x + 2
–  1 x2 + 6x = 0 (f) x
50
x2 – 300x = 0 2. Perihalkan bentuk graf bagi setiap fungsi kuadratik
x(x – 300) = 0 yang berikut.
x = 0 (a) f(x) = x2 + 2x + 8
    atau (b) f(x) = 0.2x2 – 5x – 10
x – 300 = 0 (c) f(x) = 7 – x2
(d) f(x) = –  29 x2 + 6x + 1

3. Terangkan kesan perubahan nilai-nilai yang berikut
terhadap graf fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c.
(a) Nilai a adalah negatif dan berkurang.
(b) Nilai a adalah positif dan nilai b adalah negatif.
(c) Nilai a adalah positif dan nilai c berkurang.

4. Perihalkan kesan perubahan apabila graf f(x) = x2 – 5
ditukar menjadi f(x) = x2 + 7.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved x = 300
Tingkatan 4
f(x)

f(x) = –5—10x2 + 6x

x
0 300

MKmaeanwkiasa,hkkilfaiu,pnfe(gxns)yi o=kko–un a5g1d0rjxaa2mti+kba6txyaansneigstuua.di idcaigduannagkkaann oleh 5. Rajah di bawah menunjukkan sebuah trapezium.
untuk Bentukkan satu fungsi kuadratik bagi luas trapezium
itu.

3 cm

4x cm

Cuba Soalan 18 dalam Cuba ini! 1.1 (x + 5) cm

Sudut K A L K U L A T O R 6. Rajah di bawah menunjukkan sebidang tanah
berbentuk segi empat tepat.
Semak jawapan anda menggunakan kalkulator untuk
mencari nilai punca. Misalnya, bagi Contoh 12, tekan (3x + 1) m

MODE MODE MODE (4x + 9) m
12
dan masukkan nilai a, b dan c. Bentukkan satu fungsi yang mewakili luas, dalam
–1 a b/c 50 =
6= m2, tanah itu.
0=
Paparan: 7. Ayub bertolak dari Bandar A ke Bandar B dengan
x1 = 0 kelajuan (10x + 7) km j–1 dan mengambil masa
x2 = 300 selama (x – 4) jam.
(a) Ungkapkan jarak, dalam km, di antara Bandar A
Cuba ini! 1.1 dengan Bandar B dalam suatu fungsi kuadratik.
(b) Nyatakan persamaan kuadratik yang terbentuk
jika jarak di antara Bandar A dengan Bandar B
ialah 58 km.

1. Kenal pasti sama ada setiap ungkapan yang berikut 8. Harga bagi 1 kg ayam dan 1 kg ikan masing-masing
ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah ialah RM(x + 3) dan RM(2x – 1). Encik Tan telah
membeli 5x kg ayam dan (x + 6) kg ikan.
atau bukan. Berikan sebab untuk jawapan anda. (a) Bentukkan satu fungsi kuadratik bagi jumlah
(a) x2 + 5x – 10 bayaran Encik Tan.
(b) – 4u2 – 3u (b) Nyatakan persamaan kuadratik yang terbentuk
(c) 5x + 8 jika jumlah bayaran Encik Tan ialah RM120.
(d) x3 + 2x + 1

11

  Matematik SPM  Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

9. Tentukan sama ada setiap nilai x yang diberi 14. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga
bersudut tegak. Diberi bahawa luas segi tiga itu
merupakan punca bagi persamaan kuadratik ialah 35 cm2, tentukan nilai x.
x2 + 7x + 12 = 0.
(a) x = 2
(b) x = –3
(c) x = –4
1 x cm
x 5
(d) =

10. Tentukan sama ada nilai pemboleh ubah yang diberi (x + 3) cm

merupakan punca bagi persamaan kuadratik yang 15. Alfadzlia memandu kereta dari Bandar A ke Bandar
B dengan kelajuan (6x + 20) km j–1 dan mengambil
masa selama (x – 8) jam. Jika jarak di antara Bandar
A dengan Bandar B ialah 160 km, hitung masa,
dalam jam, perjalanan Alfadzlia.
Tingkatan 4 berkenaan.Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
(a) x2 + 3x = 28, x = 4
(b) 5x2 – 6 = 7x, x = –1

(c) 6x – 4x2 = 2x + 1, x = 1
(d) 2x(x – 1) = 12, x = –3 2

11. Tentukan punca-punca bagi setiap persamaan 16. Tuliskan satu situasi berdasarkan persamaan
kuadratik yang berikut. kuadratik x2 + 2x – 323 = 0, dengan keadaan x ialah
(a) x2 – 8x = 0 suatu integer positif.
(b) 8x2 + 20x = 0
(c) 6x – 4x2 = 0 17. Harga bagi 1 kg nanas dan 1 kg tembikai masing-
(d) x2 – 36 = 0 masing ialah RM(x + 1) dan RM(x – 2). Zaini telah
(e) 25x2 – 4 = 0 membeli x kg nanas dan (2x + 3) kg tembikai dengan
(f) 18 – 8x2 = 0 jumlah bayarannya ialah RM69. Jika Phua membeli
2 kg nanas dan 4 kg tembikai, berapakah jumlah
bayarannya?

12. Selesaikan setiap persamaan kuadratik yang berikut. 18. Rajah di bawah menunjukkan suatu graf kuadratik
(a) x2 + 8x + 15 = 0 bagi pergerakan suatu zarah.
(b) x2 + 5x – 24 = 0
(c) 2x2 – x = 28 y/m
(d) 6x2 – 10 = 11x
(e) (3x – 5)(x – 5) = 13
(f) (1 – 4x) (x + 3) = x – 24

13. Lakarkan graf fungsi kuadratik bagi setiap yang 04 x / second
berikut. 10
(a) f(x) = x2 – 7x + 10
(b) f(x) = –x2 + x + 12 Tentukan sama ada setiap fungsi kuadratik yang
(c) f(x) = 3x2 – 5x – 2 berikut mewakili pergerakan zarah itu.
(d) f(x) = –4x2 – x + 3 (a) y = x2 + 14x – 40
(e) f(x) = –  12 x2 – 4 (b) y = –x2 + 14x – 40
(f) f(x) = x2 + 4x + 4 (c) y = –x2 – 14x – 40

12

Matematik SPM  Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 

Praktis SPM 1

KERTAS 1 B f(x)

1. Antara ungkapan algebra yang berikut, yang

manakah merupakan ungkapan algebra dalam satu

pemboleh ubah?
A 3x2 + 2y – 5
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved x
Tingkatan 4B k2–k+10 23x
k
C 8 – 3n2 C f(x)
D 5p3 + p2 – 6p
0 23
2. Antara yang berikut, yang manakah bukan ciri-ciri
bagi suatu fungsi kuadratik?

A Mempunyai paksi simetri yang selari dengan
paksi-x.

B Mempunyai satu titik minimum atau titik
maksimum.

C Graf berbentuk parabola.
D Hubungan banyak kepada satu.

3. Punca-punca bagi persamaan 15x2 + 2x = 8 ialah D f(x)

A 2 , –  43
5

B –  52 , –  34 –2 0 3 x

C 4 , –  32
5

D –  45 , 2 6. Hasil tambah dua nombor ialah 12. Antara fungsi
3 kuadratik yang berikut, yang manakah mewakili
hasil darab dua nombor itu?
4. Rajah di bawah menunjukkan satu graf fungsi A f(x) = x2 + 12x
B f(x) = x2 – 12x
kuadratik. C f(x) = –x2 + 12x
D f(x) = –x2 – 12x
y
7. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat
0x tepat PQRS.

–4 PS



Antara yang berikut, yang manakah merupakah Q R
fungsi kuadratik bagi graf itu?
A f(x) = x2 + 4
B f(x) = x2 – 4
C f(x) = –x2 + 4
D f(x) = –x2 – 4

5. Antara graf yang berikut, yang manakah merupakan Diberi bahawa panjang segi empat tepat itu melebihi
graf kuadratik bagi f(x) = –x2 + x + 6? lebarnya sebanyak 6 cm dan luasnya ialah 112 cm2.
Berapakah perimeter segi empat tepat PQRS?
A f(x)
A 22 cm
–2 0 x B 44 cm
3 C 66 cm
D 88 cm

13

  Matematik SPM  Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah

8. Diberi bahawa x = –4 ialah salah satu punca bagi 5. Rajah di bawah menunjukkan suatu graf fungsi
persamaan kuadratik 5x2 + 8x + p = 0, dengan kuadratik yang menyilang paksi-x pada titik P dan
keadaan p ialah pemalar. Nilai p ialah titik Q. Tentukan koordinat bagi titik P dan titik Q.

A 24 f(x)
f(x) = –x2 + 3x + 4
B 48

C –24

D –48

9. Rajah di bawah menunjukkan suatu titik P(4, 7) P0 Qx
yang terletak pada graf fungsi f(x) = ax2 + bx + 5.

f(x)

P(4, 7)
0x
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved

Tingkatan 4 6. Lakarkan graf bagi fungsi kuadratik f(x) = 1 x2 + 3x – 8.
2

7. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga
Nyatakan koordinat bagi titik P apabila nilai c dalam bersudut tegak ABC. APQR ialah sebuah segi
empat tepat dengan bucu Q terletak pada sisi BC.
f(x) berubah menjadi f(x) = ax2 + bx – 3. Ungkapkan luas kawasan berlorek dalam suatu
A (4, 8) fungsi kuadratik dalam sebutan x.
B (4, 4)
C (4, –1) C
D (4, –3)
8 cm R y cm Q
10. Selesaikan persamaan kuadratik x(x – 2) = 4x + 7.
A x = –1, 7 x cm
B x = –1, –7
C x = 1, 7 AP B
D x = 1, –7 14 cm

KERTAS 2
8. Sebuah tangki air berbentuk kuboid mempunyai
1. Selesaikan persamaan kuadratik berikut: panjang 3x m dan lebar (x + 2) m. Apabila tangki itu
x2 + 4x = 3(6 – x) diisi dengan 252 m3 air, tinggi paras air dalam tangki
itu ialah 3.5 m. Cari nilai x.

2. Selesaikan persamaan kuadratik berikut: 9. Rajah di bawah menunjukkan sebuah kolam
x renang berbentuk segi empat tepat dengan lantai
–  2x – 3 = 2 3 di sekelilingnya ditutup dengan jubin. Jika luas
5x + kawasan kolam renang itu ialah 1 296 m2, hitung
luas kawasan jubin jika x adalah nombor bulat.
3. Sebuah akuarium mempunyai panjang (x + 8) cm,
SPM lebar x cm dan tinggi 50 cm. Isi padu akuarium itu KBAT
2017 ialah 57 000 cm3. Hitung nilai x.
Menganalisis
4. Rajah di bawah menunjukkan suatu laluan berbentuk
SPM xm
2018 segi empat tepat di tepi rumah Muaz.
2 m 2 m 40 m

(x + 5) cm xm
20x m

8x cm

10. Dua buah bas, A dan B, mula bergerak dari stesen
Muaz menggunakan 6 keping jubin berbentuk bas yang sama. Bas A bergerak ke utara manakala
bulatan yang sama besar untuk menutupi laluan itu. bas B bergerak ke barat. Selepas 2 jam, jarak di
Diberi luas laluan itu ialah 0.24 m2, cari diameter, antara bas A dan bas B ialah 150 km. Jika purata
dalam m, sekeping jubin itu. laju bas B melebihi bas A sebanyak 15 km j–1, cari
jarak bas A dan bas B dari stesen bas itu.

KBAT
Menganalisis

14

Matematik SPM  Bab 1  Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 

11. Suatu objek yang dilepaskan pada ketinggian 13. Pada Hari Keusahawan di SMK Jaya, pengerusi
1 Persatuan Matematik telah bercadang untuk menjual
tertentu diberi oleh fungsi s(t) = ut + 2 gt2, dengan kek keju. Pada peringkat awal, mereka ingin menjual
keadaan u ialah halaju objek itu pada masa t 56 keping kek keju dengan harga RM2 sekeping.
pada Jika mereka menaikkan harga sebanyak 25 sen
dan g ialah pecutan graviti. Objek itu dilepaskan dan setiap keping, jumlah bilangan kek keju yang dijual
akan berkurangan 2 keping bagi setiap kali kenaikan
halajunya ialah 5 m s–1 pada ketinggian 206.4 m. harga itu. Berapakah keping kek keju dan harga
bagi sekeping kek yang perlu dijual oleh persatuan
Jika rintangan udara boleh diabaikan dan pecutan itu supaya jumlah pendapatan ialah RM160?

graviti ialah 9.8 m s–2, hitung masa, dalam saat, KBAT
Menganalisis
yang diambil oleh objek itu dari ketinggian 206.4 m

untuk sampai di permukaan bumi. KBAT

Menganalisis

12. Rajah berikut menunjukkan keratan rentas Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Tingkatan 4
sebuah terowong berbentuk parabola. Diberi

bahawa bentuk parabola itu diwakili oleh fungsi 14. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bingkai
h(x) = –  210 x2 + 3x, dengan keadaan
terowong dari permukaan jalan dan h ialah tinggi gambar berbentuk segi empat tepat. Tebal bagi
x ialah jarak
setiap sisi bingkai gambar itu adalah sama. Jika

mengufuk dari titik A ke titik B. Hitung nilai h dan luas gambar foto ialah 180 cm2, berapakah ukuran

nilai x. KBAT gambar foto itu? KBAT
Menganalisis
Menganalisis

17 cm

hm 20 cm
AB

xm

15

Bab2 Asas Nombor Matematik SPM  Bab 2 Asas Nombor Bidang Pembelajaran : Nombor dan Operasi
Tingkatan 4

Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights ReservedPanjang papan1 kaki = 12 inci.
ini ialah dua kaki. 2 kaki = 24 inci.
Oh, panjang papan
itu ialah 24 inci.

• Asas nombor – Number base Peta
• Nilai tempat – Place value
• Nilai digit – Digit value Konsep

• Tukar – Convert
• AmpsPmsssaieseeaiannstkmsttegjaeebmagrmnmanuahoangnaabmtgasgiikda,bnkiasaoaaknntnror2eibm0rbebystpreaieeusudrnrntlfataateguetnunmr.ngbgmTs–keasiaeesrsiRltntmaadeiegksiaampngadleaausuaeanmnitnptesauaudkkmM,sloadueamnich6mvyoip0spasndui.iuostatdnntAoeleaayrshm?mnaanisyb-Tkataianeusmhajapiurasediadnu(nnugpsoiniarsmadntaBeabnmnaohbarayyrkiislaaenoangninsug,mndpmuuamuniaaselagn)ali.kblnmiAaynydtaaaksanl,eaikgnbndagihhab-lbmeaamuramnblesademitnzuaauagnntd.iat.amKhhePpiuktnaeaabgndngagabuguoanakzpniauameykmrraaaaaaknnnsnai

16

Matematik SPM  Bab 2  Asas Nombor 

2.1 Asas Nombor 8. Dalam sistem nombor dalam asas m, kita
membilang sesuatu dengan menyusunnya dalam
A Mewakilkan dan menjelaskan nombor kumpulan m, kemudian kumpulan (m × m) dan
dalam pelbagai asas seterusnya.

1. Asas bagi suatu nombor terdiri daripada asas 2, 9. Setiap digit dalam suatu nombor mempunyai
3 dan seterusnya tanpa had maksimum. nilai tertentu mengikut nilai tempat. Nilai
tempat bagi suatu asas ialah mn dengan keadaan
2. Asas nombor menunjukkan bilangan digit yang m ialah asas dan n ialah kuasa n = 0, 1, 2, ….
digunakan dalam pembentukan sistem nombor Misalnya, nilai tempat bagi setiap digit dalam
itu. nombor 147 dan 1011012 adalah seperti berikut.

3. Jadual di bawah menunjukkan contoh asas
nombor dan digit yang digunakan.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved Nombor asas 10 1 4 7
Tingkatan 4
Nilai tempat 102 101 100

Asas nombor Digit yang digunakan Nombor asas 2 101101
Dua 0, 1 Nilai tempat 25 24 23 22 21 20
Tiga 0, 1, 2
Empat 0, 1, 2, 3 10. Nilai bagi suatu digit ialah hasil darab digit itu
Lima 0, 1, 2, 3, 4 dengan nilai tempatnya.
Enam 0, 1, 2, 3, 4, 5 Misalnya, nilai digit 3 bagi nombor 32124 boleh
Tujuh 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ditentukan dengan kaedah-kaedah berikut.
Lapan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (a) Kaedah pendaraban digit dengan nilai
Sembilan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 tempat
Sepuluh 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 32124

Nombor 3212

Nilai tempat 43 42 41 40

Nilai digit 3 × 43 2 × 42 1 × 41 2 × 40
= 192 = 32 = 4 =2
4. Nombor yang kita gunakan setiap hari ialah
nombor dalam asas sepuluh. Sepuluh digit yang (b) Kaedah blok
digunakan dalam nombor asas sepuluh ialah 0, 32124
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Misalnya, 147 ialah
nombor dalam asas sepuluh. Nombor 3212

5. Nombor dalam asas lapan menggunakan lapan Nilai tempat 43 42 41 40
digit, iaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7. Misalnya, 378
ialah nombor dalam asas lapan. Nilai digit

6. Nombor dalam asas lima menggunakan lima 192 32 4 2
digit, iaitu 0, 1, 2, 3 dan 4. Misalnya, 2345 ialah
nombor dalam asas lima. 11. Nilai bagi suatu nombor pula ialah hasil tambah
semua nilai digit.
7. Nombor dalam asas dua hanya menggunakan Misalnya, nilai nombor 12045 boleh ditentukan
dua digit, iaitu 0 dan 1. Misalnya, 11012 ialah dengan kaedah-kaedah berikut.
nombor dalam asas dua.

Tip SPM

2345 dibaca sebagai “dua tiga empat asas lima”

17

  Matematik SPM  Bab 2  Asas Nombor

(a) Proses pengumpulan 3
12045
Cari nilai nombor bagi setiap yang berikut.
Nombor 12 0 4 (a) 1213
(b) 4056
Nilai tempat 53 52 51 50 (c) 101012
(d) 10234
Nilai digit 1 × 53 2 × 52 0 × 51 4 × 50

Nilai (1 × 53) + (2 × 52) + (0 × 51) + (4 × 50) Penyelesaian
nombor = 125 + 50 + 0 + 4 (a) 1213
= 179 = (1 × 32) + (2 × 31) + (1 × 30)
Tingkatan 4 Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved =9+6+1
(b) Penambahan nilai digit dengan blok = 16 Nombor 1 2 1
12045 32 31 30
Nilai tempat

Nombor 1 2 04 (b) 4056 = (4 × 62) + (0 × 61) + (5 × 60)
= 144 + 0 + 5
Nilai 53 52 51 50 = 149
tempat
(c) 101012 = (1 × 24) + (0 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21)
 + (1 × 20)
= 16 + 0 + 4 + 0 + 1
Nilai = 21
digit
(d) 10234 = (1 × 43) + (0 × 42) + (2 × 41) + (3 × 40)
125 + 50 + 0 + 4 = 64 + 0 + 8 + 3
= 75

Nilai Cuba Soalan 1 – 3 dalam Cuba ini! 2.1
nombor = 179

1

Nyatakan nilai tempat bagi digit yang bergaris dalam Diberi 4 × 53 + 1 × 52 + 5p = 41305, cari nilai p.

setiap nombor berikut. A 0 C 5

(a) 2213 (b) 4067 B 3 D 6
(c) 53249 (d) 345
Penyelesaian
Penyelesaian 41305 = 4 × 53 + 1 × 52 + 3 × 51 + 0 × 50
= 4 × 53 + 1 × 52 + 5p
(a) 32 Nombor 221
(b) 71 Maka, 5p = 15
(c) 92 Nilai tempat 32 31 30 p = 3
(d) 50
Jawapan: B

2

Cari nilai bagi digit yang bergaris dalam setiap Nyatakan nilai digit bagi 5 dalam nombor 25678 dalam
nombor berikut.
asas sepuluh.

(a) 3578 (b) 110112 A 40 C 125
(c) 4125 (d) 60127
B 64 D 320

Penyelesaian Nombor 357 Penyelesaian
(a) 5 × 81 = 40 Nilai digit 5 = 5 × 82
(b) 1 × 24 = 16
(c) 2 × 50 = 2 = 320
(d) 0 × 72 = 0
Nilai tempat 82 81 80 Jawapan: D

18

Matematik SPM  Bab 2  Asas Nombor 

B Menukar nombor daripada satu asas 11 1012
kepada asas yang lain
(1 × 21) + (1 × 20) (1 × 22) + 0 + (1 × 20)
1. Nombor dalam suatu asas, m boleh ditukar 3 5
kepada asas lain, n dengan menggunakan nilai
tempat dan nilai asas. 11 boleh ditulis sebagai 011 dalam kumpulan tiga digit.

2. Nombor dalam asas sepuluh boleh ditukar 5. Jadual di bawah menunjukkan nombor dalam
kepada asas lain dengan kaedah-kaedah berikut. asas dua dan nombor dalam asas lapan yang
Misalnya, tukarkan 341 kepada nombor asas setara.
enam.
(a) Pembahagian dengan nilai tempat
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved Nombor asas dua Nombor asas lapan
Tingkatan 4Nilai64 = 1 296 63 = 216 62 = 3661 = 660 = 10000
tempat 001 1
  1   3  2 5 010 2
Langkah 216 ) 341  36 ) 125   6 ) 17   1 ) 5 011 3
1 296 > 341   – 216   – 108   – 12   – 5 100 4
Asas 6 125  17  5 0 101 5
110 6
1 3 2 5 111 7

341 = 13256 6. Untuk menukar suatu nombor dalam asas lapan
(b) Pembahagian dengan nilai asas kepada nombor dalam asas dua, tukarkan setiap
digit dalam nombor itu dengan tiga digit yang
6 341 Baki bernilai setara dalam asas dua.
6 56 – 5
6 9 – 2 Angka dibaca dari Misalnya, 428 = 1000102.
6 1 – 3 bawah ke atas.
4 28
0 – 1 100 010

Pembahagian berulang

sehingga sifar.
341 = 13256
4
3. Nombor dalam suatu asas m boleh ditukar
kepada asas lain, n dengan langkah-langkah Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor
berikut. dalam asas yang diberikan.
(a) 479 [asas lima]
Nombor dalam asas m (b) 111012  [asas lapan]
(c) 12568  [asas tiga]
Cari nilai nombor (d) 536  [asas empat]
(e) 3415  [asas lapan]
Nombor dalam asas sepuluh
Pembahagian Penyelesaian
(a) 5 479 Baki
Nombor dalam asas n
5 95 – 4
4. Untuk menukar suatu nombor dalam asas dua 5 19 – 0 Angka dibaca dari
kepada nombor dalam asas lapan, kumpul setiap 5 3 – 4 bawah ke atas.
tiga digit dari kanan ke kiri. Kemudian, tukarkan
nilai setiap kumpulan itu kepada nombor yang 0 – 3 Pembahagian berulang
setara dalam asas lapan. sehingga sifar.
479 = 34045
Misalnya, 111012 = 358

19

  Matematik SPM  Bab 2  Asas Nombor

(b) 111012 = (1 × 24) + (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) 5
+ (1 × 20)
= 16 + 8 + 4 + 0 + 1 Tukarkan
= 29
(a) 11011112 kepada nombor dalam asas lapan.
8 29 Baki (b) 2758 kepada nombor dalam asas dua.
8 35
Penyelesaian
03
∴ 111012 = 358 (a) 11011112 = (1 × 26) + (1 × 25) + (0 × 24) +
 (1 × 23) + (1 × 22) + (1 × 21) + (1 × 20)
(c) 12568 = (1 × 83) + (2 × 82) + (5 × 81) + (6 × 80)Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved = 64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 1
Tingkatan 4 = 512 + 128 + 40 + 6 = 111
= 686
8 111 Baki 1112
3 686 Baki 8 13 7 7
3 228 2 8 15
3 76 0
3 25 1 01
3 81 ∴ 11011112 = 1578
3 22
Kaedah Alternatif
02 1 101
∴ 12568 = 2211023 15

(d) 536 = (5 × 61) + (3 × 60) ∴ 11011112 = 1578
= 30 + 3
= 33 (b) 2758 = (2 × 82) + (7 × 81) + (5 × 80)
= 128 + 56 + 5
4 33 Baki = 189
4 81
4 20 2 189 Baki
2 94 1
02 2 47 0
∴ 536 = 2014 2 23 1
(e) 3415 = (3 × 52) + (4 × 51) + (1 × 50) 2 11 1
= 75 + 20 + 1 2 51
= 96 2 21
2 10
8 96 Baki
8 12 0 01
8 14 ∴ 2758 = 101111012

01
∴ 3415 = 1408

Sudut K A L K U L A T O R Kaedah Alternatif
27
Kalkulator saintifik boleh digunakan untuk menukar 10 111 58
nombor dalam suatu asas kepada asas yang lain. 101
Langkah: ∴ 2758 = 101111012
1. Tetapkan kalkulator dalam mod BASE.
2. Masukkan nombor berikut: Cuba Soalan 4 – 8 dalam Cuba ini! 2.1
BIN 1 1 1 0 1 = OCT

Paparan akhir: 358
∴ 111012 = 358

20

Matematik SPM  Bab 2  Asas Nombor 

Operasi Tolak

Ungkapkan 4368 sebagai nombor dalam asas lima. Tolak Jika digit pertama lebih Ulangi
digit kecil daripada digit yang proses
A 21215 C 34215 dari ditolak, pinjam 1 daripada penolakan
kanan nilai tempat seterusnya untuk semua
B 11205 D 13205 ke kiri. digit.
yang bernilai m.
Penyelesaian
4368 = (4 × 82) + (3 × 81) + (6 × 80) (b) Penukaran nombor suatu asas m kepada
= 256 + 24 + 6 asas sepuluh.
= 286

5 286 Baki
5 57 1
5 11 2
5 2 1

0 2

∴ 4368 = 21215

Jawapan: A
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved Tukar Lakukan Tukarkan
Tingkatan 4nomboroperasijawapan dalam
asas m tambah asas sepuluh
kepada
atau kepada
asas tolak asas m
sepuluh

Ungkapkan 5(52 + 51 + 2) sebagai nombor dalam asas 6
Cari nilai bagi
lima. (a) 235 + 145
(b) 1112 + 112
A 32105 C 11205 (c) 1023 – 213
B 30125 D 10405 (d) 2358 – 378

Penyelesaian Penyelesaian
5(52 + 51 + 2) = 53 + 52 + 2(5) (a) 1
= (1 × 53) + (1 × 52) + (2 × 51) + (0 × 50)
= 11205 2 35
+ 1 45
Jawapan: C
4 25
C Membuat pengiraan yang melibatkan Tulis 2 di ruang jawapan
operasi tambah dan tolak bagi 3 + 4 = 710 = 125 dan 1 dibawa ke nilai
nombor dalam pelbagai asas tempat seterusnya.
1 + 2 + 1 = 410 = 45
1. Operasi tambah dan tolak bagi nombor dalam Maka, 235 + 145 = 425
nombor asas m boleh dilakukan dengan kaedah-
kaedah berikut. Kaedah Alternatif
(a) Bentuk lazim (nombor ditulis secara
menegak) 235 + 145 = 13 + 9 5 22 Baki
= 22 5 4 – 2

Maka, 235 + 145 = 425 0 – 4

(b) 1 1 1
1 1 12
Operasi Tambah

Hasil Jika + 1 12 Tulis 0 di ruang
tambah nombor 1 0 1 02 jawapan dan 1
digit dalam asas m dibawa ke nilai
Tambah melebihi Ulangi
digit asas satu digit, proses 1 + 1 = 210 = 102 tempat seterusnya.
dari sepuluh bawa digit penambahan 1 + 1 + 1 = 310 = 112
kanan ditukarkan kedua ke untuk semua 1 + 1 = 210 = 102 Tulis 1 di ruang
kepada nilai tempat digit. jawapan dan 1
ke kiri. asas m. seterusnya. dibawa ke nilai

tempat seterusnya.
Maka, 1112 + 112 = 10102

21

  Matematik SPM  Bab 2  Asas Nombor

Kaedah Alternatif 2 10 Baki 2 18 Baki
1112 + 112 = 7 + 3 2 5 – 0 2 90
= 10 2 41
2 20
2 2 – 1 2 10
2 1 – 0
0 – 1 01
∴ 1012 + 235 = 100102
Maka, 1112 + 112 = 10102
(b) 2113 – 148 = 22 – 12
Tingkatan 4 (c) Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights ReservedPinjam 1 daripada nilai22 2113 = (2 × 32) + (1 × 31)
03  + (1 × 30)
1 0 23 tempat seterusnya –12
– 2 13 yang bernilai 3. 10 = 22
148 = (1 × 81) + (4 × 80)
1 13 5 10 Baki
5 20 = 12

2 – 1 = 13 02

3 – 2 = 13 ∴ 2113 – 148 = 205
Maka, 1023 − 213 = 113

Kaedah Alternatif Cuba Soalan 9 – 10 dalam Cuba ini! 2.1
1023 – 213 = 11 – 7
=4 3 4 Baki
3 1 – 1
Maka, 1023 – 213 = 113 1010112 + 10112 =
0 – 1 A 1011002
B 1101012
(d) 8 Pinjam 1 daripada nilai C 1101102
tempat seterusnya D 1110102
128 yang bernilai 8.
Penyelesaian
2 3 58 1 11
– 3 78
1 0 1 0 1 12
1 7 68 + 1 0 1 12

8 + 5 – 7 = 68 1 1 0 1 1 02

8 + 2 – 3 = 78 Jawapan: C
Maka, 2358 − 378 = 1768

Kaedah Alternatif

2358 – 378 = 157 – 31 8 126 Baki
= 126 8 15 – 6
8 1 – 7
Maka, 2358 – 378 = 1768 111012 – 1112 =
0 – 1 A 101012
B 101102
7 C 100112
D 100012
Cari nilai bagi
(a) 1012 + 235, beri jawapan dalam asas dua. Penyelesaian
(b) 2113 – 148 , beri jawapan dalam asas lima.
2
Penyelesaian 1012 = (1 × 22) + 0 + (1 × 20)
(a) 1012 + 235 = 5 + 13 002
=5 1 1 1 0 12
5 235 = (2 × 51) + (3 × 50) – 1 1 12
+ 13 1 0 1 1 02
= 13
18 Jawapan: B

22

Matematik SPM  Bab 2  Asas Nombor 

D Meyelesaikan masalah yang Cuba ini! 2.1
melibatkan asas nombor
1. Nyatakan nilai tempat bagi digit yang bergaris dalam
8 setiap nombor berikut.
(a) 110112
Diberi X ialah satu nombor terbesar yang mempunyai (b) 3024
tiga digit dalam asas enam. Nyatakan X sebagai satu (c) 46537
nombor dalam (d) 256
(a) asas empat, (b) asas lapan.
2. Cari nilai bagi digit yang bergaris dalam setiap
PenyelesaianPenerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved nombor berikut.
(a) Nombor terbesar dengan tiga digit dalam asas Tingkatan 4 (a) 41215
(b) 1110112
enam = 5556 (c) 84579
5556 = (5 × 62) + (5 × 61) + (5 × 60) (d) 20324
= 180 + 30 + 5
= 215 3. Cari nilai nombor bagi setiap yang berikut.
(a) 678
4 215 Baki (b) 2356
4 53 3 (c) 10213
4 13 1 (d) 1557
4 31
4. Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor
03 dalam asas dua.
∴ 5556 = 31134 (a) 325
(b) 8 215 Baki (b) 4768
(c) 22113
8 26 7
8 32 5. Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor
dalam asas lima.
03 (a) 1100112
∴ 5556 = 3278 (b) 5537
(c) 1214
Cuba Soalan 11 – 12 dalam Cuba ini! 2.1
6. Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor
Contoh Soalan KBAT dalam asas enam.
(a) 405
Diberi 425  Y  1035 dengan keadaan Y adalah (b) 3214
suatu nombor ganjil dalam asas sepuluh. Senaraikan (c) 23678
semua nilai Y yang mungkin.
Penyelesaian: 7. Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor
425  Y  1035 dalam asas lapan.
425 = (4 × 51) + (2 × 50) (a) 1001012
= 22 (b) 589
1035 = (1 × 52) + (0 × 51) + (3 × 50) (c) 4225
= 28
22  Y  28 8. Tukarkan
∴ Y = 23, 25, 27 (a) 100111012 kepada nombor dalam asas lapan.
(b) 1110111002 kepada nombor dalam asas lapan.
Cuba Soalan KBAT ini (c) 1568 kepada nombor dalam asas dua.
(d) 3478 kepada nombor dalam asas dua.
Diberi 617  K  1127 dengan keadaan K adalah
suatu nombor dalam asas sepuluh. Cari beza 9. Cari nilai bagi
terbesar antara nilai K. (a) 214 + 334
Jawapan: (b) 2405 + 1325
57 – 44 = 13 (c) 5436 + 4416
(d) 10100112 – 11102
(e) 758 – 478
(f) 3529 – 819

23

  Matematik SPM  Bab 2  Asas Nombor 11. Diberi X ialah satu nombor terbesar yang mempunyai
empat digit dalam asas tiga. Nyatakan X sebagai
10. Cari nilai bagi satu nombor dalam
(a) 2223 + 3235, beri jawapan dalam asas tiga. (a) asas enam,
(b) 6258 + 11010012, beri jawapan dalam asas (b) asas sembilan.
lima.
(c) 2357 – 3104, beri jawapan dalam asas enam. 12. Diberi 2034  Y  508 dengan Y adalah suatu
(d) 3346 – 1289, beri jawapan dalam asas lapan. integer dalam asas lima. Senaraikan semua nilai Y
yang mungkin.

Tingkatan 4 Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights ReservedPraktis SPM 2

KERTAS 1 6. Nilai bagi digit 8 dalam nombor 58479 ialah 8 × 9m.
Nyatakan nilai m.
1. Nyatakan nilai bagi digit 5 dalam nombor 235618
dalam asas sepuluh. A 0 C 2

A 1080 B 1 D 3
B 320
C 500 7. Diberi bahawa 2578 = K5, cari nilai K.
D 560 SPM
2018 A 1114 C 1014

2. Ungkapkan 25 + 24 + 2 + 1 sebagai satu nombor B 1200 D 1002
dalam asas dua.
8. Diberi bahawa 1m135 = 18310, cari nilai m.
A 1100102 SPM
B 1100112 2017 A 2 C 3
C 1101012 B 1 D 4
D 110112
9. Tukarkan 100111012 kepada satu nombor dalam
3. Jadual di bawah menunjukkan nilai setara bagi asas lapan.
SPM
2019 nombor dalam asas 5 dan asas 2. A 2158
B 2458
Asas 5 Asas 2 C 2258
D 2358
1 001

2 010

3 011 10. Diberi 101102 = P8, dengan keadaan P ialah integer,
cari nilai P.
4 100
A 26
Cari nilai setara 235 dalam asas 2. B 22
C 16
A 11102 D 12
B 11012
C 10112 11. Diberi P8 = 84 + (3 × 82) + (5 × 80), maka P =
D 11112

4. Ungkapkan 5(52 + 4) sebagai satu nombor dalam SPM A 135
asas lima. 2019 B 1035

A 1405 C 13005
B 3015
C 1045 D 10305
D 10405
12. Ungkapkan 22123 sebagai satu nombor dalam asas
5. Ungkapkan 64 + 62 + 12 + 4 sebagai satu nombor tujuh.
dalam asas enam.
A 1047
A 101146 B 2147
B 101106 C 1407
C 101246 D 2247
D 4021246

24

Matematik SPM  Bab 2  Asas Nombor 

13. Diberi bahawa 25k6 = 11001112, cari nilai k. 3. Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor
A 5 dalam asas tujuh.
B 3 (a) 12214
C 2 (b) 578
D 1
4. Cari nilai nombor bagi setiap yang berikut.
14. 1101012 – 110112 = 1m01n2 (a) 5667
SPM m = 1, n = 1 (b) 1100112
2018 A m = 1, n = 0 (c) 778
B (d) 1345
C m = 0, n = 1
D m = 0, n = 0 5. Ungkapkan 2 × 65 + 1 × 64 + 3 × 61 + 3 sebagai
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved nombor dalam asas enam.
15. Hitung beza antara 1101011012 dan 10010012. Tingkatan 4
SPM 6. (a) Nilai bagi digit 4 dalam nombor 4278 ialah
2017 A 1011001102 4 × 8m. Nyatakan nilai m.
B 1010011112
(b) Nyatakan nombor tiga digit yang terbesar
C 1010011012 dalam asas tiga.

D 1011001002 7. (a) Diberi 10111012 = P5 = Q8. Cari nilai P dan Q.
(b) Diberi 11002  R  256 dengan keadaan
16. 1001012 – 11112 = R adalah suatu integer dalam asas lima.
A 111012 Senaraikan semua nilai R yang mungkin.
B 101012
C 111102 KBAT
D 101102 Mengaplikasi

17. Cari nilai P dalam persamaan 3014 + P4 = 12304, 8. (a) Diberi 135  X  225. Senaraikan semua nilai X
dengan keadaan P ialah integer. yang mungkin.
A 122
B 323 (b) Diberi 245 = T10 = U8. Cari nilai U – T.
C 321
D 210 9. P ialah satu nombor terkecil yang mempunyai tiga
digit dalam asas tujuh. Nyatakan P sebagai satu
18. Cari nilai Q dalam persamaan 2257 – Q7 = 327, nombor dalam
dengan keadaan Q ialah integer. (a) asas dua,
A 113 (b) asas sembilan.
B 153
C 163 10. Diberi 2H58 ialah satu nombor tiga digit. Cari nilai H
D 123 jika
(a) 2H58 = 101111012.
19. 3215 + 2445 = (b) 2H58 = 14110.
A 12205
B 12305 11. (a) Diberi 2m – 1 – 1 = 11112. Cari nilai m.
C 11205 (b) Diberi 5n – 1 + 1 = 110102. Cari nilai n.
D 11105
KBAT
20. Diberi 4157 – 22013 = X5. Cari nilai X. Menganalisis
A 1020
B 135 12. Diberi 5P27 ialah satu nombor tiga digit dalam asas
C 120 tujuh. Tentukan nilai P jika
D 1121 (a) 5P27 = 5(72) + 3(71) + 2(70).
(b) 5P27 = 3768.
KERTAS 2
13. Ungkapkan hasil tambah nombor berikut sebagai
1. Cari nilai bagi digit yang bergaris dalam setiap nombor dalam asas lima.
nombor berikut. (a) 1011102 + 2223
(a) 21013 (b) 101112 + 1078
(b) 658
(c) 4315 14. Ungkapkan hasil tolak nombor berikut sebagai
(d) 54116 nombor dalam asas tujuh.

2. Tukarkan setiap nombor berikut kepada nombor (a) 3324 – 10023
dalam asas tiga. (b) 4205 – 1128
(a) 101112
(b) 2469

25

Bab Bidang Pembelajaran : Perkaitan dan Algebra
Tingkatan 5
1 Ubahan

Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights ReservedKereta ini menggunakanBerapa liter petrol perlu
17.5 liter petrol untuk digunakan jika hendak
bergerak sejauh 100 km. memandu 540 km dari
Johor Bahru ke Ipoh?

• Pemalar – Constant Peta
• Pemboleh ubah – Variable Konsep
• Ubahan bergabung – Combined variation
• Ubahan langsung – Direct variation
• Ubahan songsang – Inverse variation
• Ubahan tercantum – Joint variation

Kpdaaietannkantteaarsmrjreaaaelanaddlugruauganmus nejpdnaueakgmmnaglbanuroihnnltaetemhaknanaasunggabaaunabbhkedaekajhrejularaajgnmaaddspesauneelargarltiaumnungdlkiicttdeeaehiklnraidatkeupulue.kpkkaaDatnnanril,kaah.gmacaorirbannkitdoo.ahnMnntgirysaaasklanteioynkrass,,pdehkaraupimjabituaennnmgemmanneegnnaaggtneeutnnraaaraiialihhrbauuinblbauunknnegggraajanann

175

  Matematik SPM  Bab 1  Ubahan

1.1 Ubahan Langsung 2. Bagi suatu ubahan langsung, graf y melawan x
ialah satu garis lurus yang melalui asalan.

y

A Menerangkan maksud ubahan Kecerunan, m = y1 y1
langsung x1 O x1 x

1. Kos pembelian tepung, y, bertambah jika jisim = k
tepung, x, bertambah. Perubahan dalam kos
pembelian tepung akan menyebabkan perubahan
yang sepadan dalam jisim tepung. Hubungan ini
dikenali sebagai ubahan langsung.

2. Dalam ubahan langsung, pemboleh ubah y
bertambah apabila pemboleh ubah x bertambah
dengan kadar yang sama dan sebaliknya.

3. Hubungan ini boleh ditulis sebagai y berubah
secara langsung dengan x.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved 3. Bagi ubahan langsung, y berubah secara
langsung dengan x boleh ditulis sebagai
y ∝ x (hubungan ubahan)
y = kx (bentuk persamaan)
dengan keadaan k ialah pemalar.

VIDEO

Tip SPM

Simbol ∝ bermaksud berkadaran dengan.

1 4. Bagi y berubah secara langsung dengan xn,
Jumlah roti yang dihasilkan berubah secara langsung y ∝ xn
dengan bilangan jam mesin beroperasi. Nyatakan y = kxn
perubahan pada dengan keadaan n = 1, 2, 3, 1 , 1 dan k = pemalar.
(a) jumlah roti yang dihasilkan jika bilangan jam 2 3
(a) k= y
mesin beroperasi bertambah 20%. xn
(b) jumlah roti yang dihasilkan jika bilangan jam
(b) graf y melawan xn ialah satu garis lurus yang
mesin beroperasi adalah separuh daripada melalui asalan dengan k ialah kecerunan
bilangan jam asal. garis lurus.
(c) bilangan jam mesin beroperasi jika jumlah roti
yang dihasilkan bertambah 2 kali ganda. 2
Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi
Penyelesaian pemboleh ubah x dan y.
(a) jumlah roti yang dihasilkan bertambah 20%
Tingkatan 5 (b) jumlah roti yang dihasilkan adalah separuh x12345
y 3 12 27 48 75
daripada jumlah asal
(c) bilangan jam mesin beroperasi bertambah 2 kali Tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan
x atau x2. Seterusnya, tuliskan hubungan tersebut
ganda dalam bentuk ubahan.
Penyelesaian
Cuba Soalan 1 dalam Cuba ini! 1.1

B Menentukan hubungan antara dua x12345
pemboleh ubah bagi suatu ubahan
langsung y 3 12 27 48 75

1. Pemboleh ubah y berubah secara langsung y 3 6 9 12 15
dengan pemboleh ubah x jika dan hanya jika x

pneilmaialxyar ialah satu pemalar, k (dikenali sebagai y 3 3 3 3 3
perkadaran), iaitu x2

k= y
x

176

Matematik SPM  Bab 1  Ubahan 

sNeiclaari a xylanbguskuanng satu pemalar, maka y tidak berubah Diberi m = 3.6 apabila n = 2.25,
dengan x.
3.6 = k(2.25) Gantikan nilai-nilai ke dalam
3.6 persamaan
Nlanilgaisuxny2g k = 2.25
ialah satu pemalar, maka y berubah secara
dengan x2, iaitu y ∝ x2.
= 1.6
Maka, m = 1.6n
Cuba Soalan 2 dalam Cuba ini! 1.1

(b) Jika m ∝ √n,
m = k√n
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved3
Tingkatan 5Jadual di bawah menunjukkan jarak yang dilalui oleh Diberi m = 3.6 apabila n = 2.25,
sebuah teksi dan tambang yang dikenakan.
3.6 = k√2.25
3.6
Jarak, J (km) 5 10 15 20 25 k = √2.25

Tambang, T (RM) 10 20 30 40 50 = 2.4

Lukis graf T melawan J. Seterusnya, tentukan sama Maka, m = 2.4√n
ada T berubah secara langsung dengan J atau tidak.
5

Penyelesaian Luas, L, sebuah bulatan berubah secara langsung
dengan kuasa dua jejarinya, j. Diberi L = 616 cm
T Graf T melawan J apabila j = 14 cm. Tuliskan hubungan antara L dan j.

50 Penyelesaian
L ∝ j2
40 L = kj2

30 Diberi L = 616 apabila j = 14,
616 = k(14)2
616
20 k = 142

10 22
7
J =

O 5 10 15 20 25 Maka, = 22 j2
7
L

Graf T melawan J ialah satu garis lurus yang 6
melalui asalan. Maka, T berubah secara langsung
dengan J. Diberi y berubah secara langsung dengan kuasa dua x
dan y = 20 apabila x = 5. Hitung nilai positif x apabila
Cuba Soalan 3 dalam Cuba ini! 1.1 y = 1.8.

4 Penyelesaian
Diberi m = 3.6 apabila n = 2.25. Ungkapkan m dalam y ∝ x2
sebutan n jika y = kx2
(a) m berubah secara langsung dengan n.
(b) m berubah secara langsung dengan punca kuasa Diberi y = 20 apabila x = 5,
20 = k(5)2
dua n. 20
k = 52
Penyelesaian
(a) Jika m ∝ n, Tulis hubungan dalam bentuk = 0.8
m = kn persamaan Maka, y = 0.8x2

177

  Matematik SPM  Bab 1  Ubahan

Apabila y = 1.8, z. Maka, y berubah secara tercantum dengan x
1.8 = 0.8x2 dan z.
1.8
x2 = 0.8 y∝x y ∝ xz
y∝z

x = √2.25 2. Bagi suatu ubahan tercantum, y berubah secara
= 1.5 tercantum dengan xm dan zn boleh ditulis sebagai

Kaedah Alternatif y ∝ xmzn
y = kxmzn
Dengan menggunakan kadaran, p3e, m12a,la31r.,
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved dengan keadaan m = 1, 2,
y1 = y2 dengan = 20, = 5 dan = 1.8. 1 1 dan k =
x12 x22 y1 x1 y2 n = 1, 2, 3, 2 , 3

Maka, 20 = 1.8 3. Nilai y = k.
52 x22 xmzn

x22 = 1.8 × 52 8
20 Tuliskan hubungan bagi setiap ubahan tercantum
berikut dengan menggunakan simbol ∝.
x2 = √2.25 (a) P berubah secara langsung dengan Q dan √3 R.
= 1.5 (b) Isi padu, I, sebuah silinder berubah secara

7 langsung dengan kuasa dua jejarinya, j, dan
Diberi p ∝ √3 q dan p = 2 apabila q = 512. tingginya, t.
(a) Tuliskan persamaan bagi p dalam sebutan q.
(b) Hitung nilai p apabila q = 0.064. Penyelesaian
(a) P ∝ Q √3 R
Penyelesaian (b) I ∝ j2t
(a) p ∝ √3 q
p = k √3 q 9

Diberi p = 2 apabila q = 512, Diberi y berubah secara langsung dengan x dan √z ,
dan y = 420 apabila x = 5 dan z = 36.
2 = k √3 512 Tuliskan satu persamaan bagi y dalam sebutan x dan z.
2
k = √3 512

= 0.25 Penyelesaian

Maka, p = 0.25√3 q y ∝ x√z

y = kx√z

Tingkatan 5 (b) Apabila q = 0.064, Diberi y = 420 apabila x = 5 dan z = 36,
p = 0.25 √3 0.064
= 0.1 420 = k(5)√36
420
Cuba Soalan 4 – 7 dalam Cuba ini! 1.1 k = (5)√36

= 14

C Menentukan hubungan antara tiga Maka, y = 14x √z
atau lebih pemboleh ubah bagi suatu
ubahan tercantum 10
Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi tiga
1. Ubahan tercantum ialah ubahan langsung pemboleh ubah, E, F dan G.
dengan keadaan satu pemboleh ubah berubah
sebagai hasil darab dua atau lebih pemboleh ubah E 15 54 0.36
yang lain. Misalnya, y berubah secara langsung F 2.5 x 0.4
dengan x dan y berubah secara langsung dengan G 64 81 y

178

Matematik SPM  Bab 1  Ubahan 

Diberi E berubah secara langsung dengan F dan D Menyelesaikan masalah yang
punca kuasa dua G. Cari nilai x dan y. melibatkan ubahan langsung

Penyelesaian
E ∝ F√G
E = kF√G 12
Diberi E = 15 apabila F = 2.5 dan G = 64,
15 = k(2.5)√64 Jarak yang dilalui, J, bagi suatu zarah berubah secara
langsung dengan pecutan, a, dan kuasa dua masa, t.
  k = 15 Diberi J = 90 m apabila a = 3 m s–2 dan t = 5 s.
(2.5)√64 (a) Tuliskan persamaan bagi J dalam sebutan a dan t.
(b) Hitung nilai a apabila J = 24 m dan t = 2 s.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Tingkatan 5 = 0.75Penyelesaian
Maka, E = 0.75F√G (a) J ∝ at2
J = kat2
Apabila E = 54, F = x dan G = 81, Diberi J = 90 m apabila a = 3 m s–2 dan t = 5 s,
54 = 0.75(x)(√81)
54 90 = k(3)(5)2
x = (0.75)√81 90
 k = 3(5)2

= 8 = 1.2

Apabila E = 0.36, F = 0.4 dan G = y, Maka, J = 1.2at2
0.36 = 0.75(0.4)√y
(b) Apabila J = 24 m dan t = 2 s,
√y = 0.36 24 = 1.2a(2)2
(0.75)(0.4)
 a = 24
y = 1.22 1.2(2)2
= 1.44 = 5 m s–2

11 13
Isi padu, I cm3, sebuah silinder berubah secara
Diberi S ∝ TU2 dan S = 27 apabila T = 12 dan U = 0.5. langsung dengan kuasa dua jejari, j cm, dan tinggi, t cm.
(a) Tuliskan persamaan yang menghubungkan S, T Hamid mereka bentuk sebuah tin yang berbentuk
silinder dengan jejari = 3.5 cm, tinggi = 10 cm dan isi
dan U. padu = 385 cm3.
(b) Hitung nilai T apabila S = 810 dan U = 6. (a) Tuliskan satu persamaan yang menghubungkan

Penyelesaian I, j dan t.
(a) S ∝ TU2 (b) Hamid ingin mengubah jejari tin menjadi 2.8 cm
S = kTU2
Diberi S = 27 apabila T = 12 dan U = 0.5, tetapi isi padunya perlu dikekalkan. Berapakah
27 = k(12)(0.5)2 tinggi tin yang baru?

 k = 27 Penyelesaian
(12)(0.5)2 (a) I ∝ j2t

= 9 I = kj2t
Maka, S = 9TU2 Diberi I = 385 apabila j = 3.5 dan t = 10,
385 = k(3.5)2(10)
(b) Apabila S = 810 dan U = 6, 385
810 = 9T(6)2  k = (3.5)2(10)

  T = 810 = 22
(9)(6)2 7

= 2.5 Maka, I = 22 j2t
7
Cuba Soalan 8 – 11 dalam Cuba ini! 1.1

179

  Matematik SPM  Bab 1  Ubahan

(b) Untuk I = 385 apabila j = 2.8, 8. Tuliskan hubungan bagi setiap ubahan tercantum
22 berikut dengan menggunakan simbol ∝.
385 = 7 (2.8)2t (a) m berubah secara langsung dengan p dan q.
(b) G berubah secara langsung dengan E 2 dan F.
 t = (385)(7) (c) Isi padu sebuah kon, I, berubah secara
(2.8)2(22) langsung dengan kuasa dua jejari tapak, j, dan
= 15.625 tinggi, t.
Maka, tinggi tin yang baru ialah 15.625 cm.
9. Diberi y berubah secara langsung dengan x dan
Cuba Soalan 12 – 13 dalam Cuba ini! 1.1 kuasa dua z. Diberi juga y = 27 apabila x = 18 dan
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved z = 1.5.
Cuba ini! 1.1 (a) Tuliskan persamaan bagi y dalam sebutan x
dan z.
1. Encik Halim membeli buah durian dengan harga (b) Hitung nilai x apabila y = 86.4 dan z = 12.
RM10 per kg. Berapakah harga buah durian jika
kuantiti buah durian yang dibeli 10. Diberi R ∝ S√W dan R = 3.4 apabila S = 8 dan
(a) berkurang sebanyak 20%? W = 2.89. Hitung nilai
(b) berganda dua? (a) R apabila S = 12 dan W = 36.
(b) S apabila R = 9 dan W = 400.
2. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi
pemboleh ubah x dan y. 11. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi
pemboleh ubah p, q dan r.
x 4 9 16 25 36
y 1 1.5 2 2.5 3 p 180 x 0.36

Tentukan sama ada y berubah secara langsung q 8 25 2
dengan x atau √x. Seterusnya, tuliskan hubungan
tersebut dalam bentuk ubahan. r 3 1.8 y

3. Jadual di bawah menunjukkan luas dinding dan isi Diberi p berubah secara langsung dengan q dan
padu cat yang diperlukan. kuasa tiga r. Cari nilai x dan y.

Luas dinding, 18 27 36 45 54 12. Tenaga keupayaan, E J, bagi suatu objek berubah
D (m2) secara langsung dengan jisimnya, M kg, dan
ketinggiannya, H m. Diberi E = 190 apabila M = 4
Isi padu cat, C (l) 2 3 4 5 6 dan H = 5.
(a) Tuliskan persamaan bagi E dalam sebutan M
Lukis graf C melawan D. Seterusnya, tentukan sama dan H.
ada C berubah secara langsung dengan D. (b) Hitung nilai E apabila M = 0.5 dan H = 12.

Tingkatan 5 4. Diberi p = 96 apabila q = 8. Ungkapkan p dalam 13. Encik Kamal ingin membuat pinjaman kereta
sebutan q bagi setiap kes berikut. daripada sebuah bank. Jumlah faedah, I, yang
(a) p berubah secara langsung dengan kuasa dua q. dikenakan oleh bank itu berubah secara langsung
(b) p berubah secara langsung dengan punca dengan jumlah pinjaman, p, dan tempoh pinjaman, t.
kuasa tiga q. (a) Jika Encik Kamal dikenakan faedah
sebanyak RM14  000 ke atas pinjaman
5. Jarak, J, yang dilalui oleh sebuah kereta berubah keretanya sebanyak RM50 000 untuk 7 tahun,
secara langsung dengan masa, T. Diberi J = 75 m tuliskan satu persamaan yang menghubungkan
apabila T = 3 s. Tuliskan hubungan antara J dan T. I, p dan t.
(b) Encik Kamal ingin menambah pinjamannya
6. Diberi s berubah secara langsung dengan kuasa tetapi mengekalkan jumlah faedah yang
dua t dan s = 14 apabila t = 2. Hitung dikenakan. Apakah yang boleh Encik Kamal
(a) nilai s apabila t = 9. buat? Jelaskan jawapan anda.
(b) nilai positif t apabila s = 6.86.
KBAT
7. Diberi A ∝ 3√B dan A = 15 apabila B = 0.216. Menganalisis
(a) Tuliskan persamaan yang menghubungkan A
dan B.
(b) Cari nilai B apabila A = 200.

180

Matematik SPM  Bab 1  Ubahan 

1.2 Ubahan Songsang Tip SPM

Bagi ubahan songsang, y
graf y melawan x
A Menerangkan maksud ubahan berbentuk hiperbola.
songsang
Ox
1. Masa, y, yang diambil bagi perjalanan dari
bandar P ke bandar Q bertambah jika laju
kereta, x, berkurang. Perubahan dalam masa
perjalanan akan menyebabkan perubahan yang
bertentangan dalam laju kereta. Hubungan ini
dikenali sebagai ubahan songsang.

2. Dalam ubahan songsang, pemboleh ubah y
bertambah apabila pemboleh ubah x berkurang
dengan kadar yang sama dan sebaliknya.

3. Hubungan ini boleh ditulis sebagai y berubah
secara songsang dengan x.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved 3. Bagi ubahan songsang, y berubah secara
Tingkatan 5songsang dengan x boleh ditulis sebagai
1
y∝ x

y= k
x
dengan keadaan k ialah pemalar.

4. Bagi y berubah secara songsang dengan xn,
1
y ∝ xn

14 ( d(abe))n gakyGnar=nkagefxanydybaemarnmelnuaywl=a=a1nd,xk2anx,r13inp, ai21adla,ah13asdsaaaltnaunkg=darpeinesmglauanrlaurks.
Cikgu Zul membahagikan peserta kuiz matematik ialah kecerunan garis lurus.
kepada beberapa kumpulan. Nyatakan perubahan
pada bilangan ahli kumpulan jika bilangan kumpulan 15
(a) bertambah 2 kali ganda. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi
(b) berkurang 25%. pemboleh ubah x dan y.
Penyelesaian
(a) bilangan ahli kumpulan berkurang 2 kali ganda
(b) bilangan ahli kumpulan bertambah 25%

Cuba Soalan 1 dalam Cuba ini! 1.2

B Menentukan hubungan antara dua x4 9 16 25 36
pemboleh ubah bagi suatu ubahan y 0.75 0.5 0.375 0.3 0.25
songsang
Tentukan sama ada y berubah secara songsang dengan
1. Pemboleh ubah y berubah secara songsang x atau √x. Seterusnya, tuliskan hubungan tersebut
dengan pemboleh ubah x jika dan hanya jika dengan menggunakan simbol ∝.
nilai xy ialah satu pemalar, k, iaitu
k = xy Penyelesaian

2. aB1xsaagilaianlas.huastautuugbaarhiasnlusrouns gysaanngg,begrrmafulya melawan x4 9 16 25 36
daripada y 0.75 0.5 0.375 0.3 0.25
xy 3 4.5 6 7.5
y √xy 1.5 1.5 1.5 1.5 9
y1 1.5

Kecerunan, m = y11 O —x11 Nilai xy bukan satu pemalar, maka y tidak berubah
secara songsang dengan x.
Nilai √xy ialah satu pemalar, maka berubah secara
= x1 songsang dengan √x, iaitu y ∝ ­√1x . y
x1y1
= k 1–x

Cuba Soalan 2 dalam Cuba ini! 1.2

181

  Matematik SPM  Bab 1  Ubahan

16 (Pae) nype∝le­sq1aian
Encik Gopal membawa sebilangan pengakap untuk
aktiviti perkhemahan. Jadual di bawah menunjukkan p = k
bilangan pengakap dan masa yang diambil untuk q
mendirikan khemah.
Diberi p = 4 apabila q = 27,

Bilangan pengakap, 1 2 3 4 5 4 = k
P 27

Masa yang diambil,Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved k = 4(27)
T (minit) = 108
90 45 30 22.5 18 108
q
gbrearfubTahmseelacwaraansoP1n.gSsaentegrudsennygaa,ntePnatutakuantidsaamk.a Maka, p =

Lukis (b) p ∝ 1
ada T 3√q

Penyelesaian p = k
3√q
1
P 1 0.5 0.3 0.25 0.2 Diberi p = 4 apabila q = 27,

T 90 45 30 22.5 18 4 = k
3√27

T k = 4(3√27)
= 12
12
100 Maka, p = 3√q
80
60 18
40
20 Diberi y berubah secara songsang dengan kuasa dua x
O 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P–1 dan y = 5 apabila x = 1.2. Cari nilai y apabila x = 15.

Penyelesaian
y ∝ ­x12

Tingkatan 5 y= k
x2

bGerramf uTlamedlaarwipaandaP1 ialah satu garis lurus yang Diberi y = 5 apabila x = 1.2,
asalan. Maka, T berubah
5 = k
1.22
secara songsang dengan P.
k = 5(1.2)2
Cuba Soalan 3 dalam Cuba ini! 1.2 = 7.2

Maka, y = 7.2
x2
17
Diberi p = 4 apabila q = 27. Ungkapkan p dalam Apabila x = 15,
sebutan q bagi setiap kes berikut.
(a) p berubah secara songsang dengan q. y= 7.2
(b) p berubah secara songsang dengan punca kuasa (15)2
= 0.032
tiga q.

182

Matematik SPM  Bab 1  Ubahan 

Kaedah Alternatif Penyelesaian
1
Dengan menggunakan kadaran, (a) P ∝ V

x12y1 = x22y2 = k dengan y1 = 5, x1 = 1.2 dan x2 = 15. P = k
V
Maka, (1.2)2(5) = (15)2y2
Diberi P = 60 apabila V = 0.2,
y2 = (1.2)2(5)
(15)2 60 = k
= 0.032 0.2
 k = 60(0.2)
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved = 12
Tingkatan 519 Maka, P=12
V
Diberi M ∝ 1 dan M = 15 apabila N = 27.
3√N (b) Apabila P = 80,
(a) Tuliskan persamaan bagi M dalam sebutan N. 12
(b) Hitung nilai N apabila M = 50. 80 = V

Penyelesaian V = 12
1 80
(a) M∝ 3√N = 0.15
Maka, isi padu gas X ialah 0.15 m3.
k
M= 3√N Cuba Soalan 8 – 10 dalam Cuba ini! 1.2

Diberi M = 15 apabila N = 27, Contoh Soalan KBAT

15 = k Diberi y berubah secara songsang dengan x2 dan
3√27 x = 2z + 1. Diberi juga y = 3.2 apabila z = 2. Cari
nilai positif x apabila y = 1.25.
  k = 15(3√27)
= 45
Penyelesaian:
Maka, M = 45 Mencari nilai x apabila z = 2,
3√N x = 2z + 1

(b) Apabila M = 50, = 2(2) + 1

=5

 50 = 45 y ∝ 1
3√N x2

3√N = 45 y= k , y = 3.2 apabila x = 5,
50 x2

  N = 0.93 3.2 = k
= 0.729 52
  k = 80
80
Cuba Soalan 4 – 7 dalam Cuba ini! 1.2 Maka, y = x2

C Menyelesaikan masalah yang Apabila y = 1.25, 1.25 = 80
melibatkan ubahan songsang x2
80
20 x2 = 1.25
Pada suhu yang tetap, tekanan, P N m–2, suatu gas X
berubah secara songsang dengan isi padunya, V m3. x = √64
Jika P = 60 apabila V = 0.2, = 8
(a) tuliskan satu persamaan yang menghubungkan
Cuba Soalan KBAT ini
P dan V.
(b) hitung isi padu gas X apabila tekanan gas ialah Diberi y berubah secara songsang dengan x dan
x = z + 4. Diberi juga y = 6 apabila z = −1. Cari
80 N m–2. nilai x apabila y = 1.2.

Jawapan: x = 15

183

  Matematik SPM  Bab 1  Ubahan

Kuasai SPM 3. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi
pemboleh ubah x dan y.

Jadual di bawah menunjukkan masa yang diambil x 1.8 2 456
untuk mengecat dinding, m dan bilangan pekerja 27 21.6 18
yang diperlukan, p. y 60 54

m 3.5 x Lukis graf y melawan 1 . Seterusnya, tentukan
x
p47 sama ada y berubah secara songsang dengan x

Diberi m berubah secara songsang dengan p. Cari atau tidak.
nilai x.
4. Diberi f = 2 apabila g = 8. Ungkapkan f dalam
sebutan g bagi setiap kes berikut.
(a) f berubah secara songsang dengan punca
kuasa tiga g.
(b) f berubah secara songsang dengan kuasa dua g.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights ReservedA 4 C 2

B 2.5 D 1.5

Penyelesaian

m∝ 1
p
S ∝ 1 S T
m= k , m = 3.5 apabila p = 4, 5. Diberi T 3 dan = 31.25 apabila = 0.8. Hitung
p
k (a) nilai S apabila T = 2.5.
4 (b) nilai T apabila S = 250.
3.5 =

k = 3.5(4) 6. Diberi y berubah secara songsang dengan kuasa
dua x. Diberi juga y = 6.25 apabila x = 0.2.
= 14 14 (a) Tuliskan persamaan yang menghubungkan y
p dan x.
Maka, m = (b) Cari nilai positif x apabila y = 0.04.

Diberi m = x apabila p = 7,

x = 174 7. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi
=2 pemboleh ubah G dan H.

Jawapan: C G 25 x

H 3.24 144

Cuba ini! 1.2 Diberi G berubah secara songsang dengan punca
kuasa dua H.
1. Sebuah tangki yang diisi penuh dengan air (a) Tuliskan persamaan yang menghubungkan G
mempunyai beberapa pili. Jadual di bawah dan H.
menunjukkan hubungan antara bilangan pili yang (b) Hitung nilai x.
dibuka dengan masa yang digunakan untuk
mengosongkan tangki itu. 8. Setiap hari, pekerja-pekerja di sebidang ladang
nanas perlu mengasingkan sejumlah nanas
Tingkatan 5 Bilangan pili yang 1234 secara manual mengikut gred. Jadual di bawah
dibuka 60 30 20 15 menunjukkan bilangan pekerja, N, dan masa, T,
yang diambil untuk proses pengasingan itu.
Masa yang diambil
(minit) Bilangan pekerja, N 3x 5
Masa, T (minit) 180 135 y
Berdasarkan jadual di atas, nyatakan perubahan
pada masa yang diambil jika bilangan pili yang Diberi T berubah secara songsang dengan N.
dibuka (a) Tuliskan persamaan bagi T dalam sebutan N.
(a) bertambah. (b) Hitung nilai y – x.
(b) diseparuhkan. KBAT Mengaplikasi

2. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi 9. Diberi m berubah secara songsang dengan √n dan
pemboleh ubah x dan y. n = 4p + 1. Diberi juga m = 4 apabila p = 2. Cari nilai

x2 345 6 n apabila m = 2.4. KBAT Mengaplikasi
y 45 20 11.25 7.2 5
10. Bilangan bola besi, B, yang dihasilkan daripada
Tentukan sama ada y berubah secara songsang sejumlah kuantiti blok besi mentah yang tetap
dengan x atau x2. Seterusnya, tuliskan hubungan
tersebut dalam bentuk ubahan. berubah secara songsang dengan kuasa tiga
jejarinya, j cm. Jika B = 16 apabila j = 5, hitung nilai
j jika 250 biji bola besi dihasilkan.

184

Matematik SPM  Bab 1  Ubahan 

1.3 Ubahan Bergabung 22

A Menentukan hubungan antara tiga Diberi y berubah secara langsung dengan x dan
atau lebih pemboleh ubah bagi suatu secara songsang dengan kuasa dua z. Diberi juga
ubahan bergabung y = 140 apabila x = 2.1 dan z = 0.3. Ungkapkan y
dalam sebutan x dan z.

1. Dalam sesetengah situasi, suatu kuantiti Penyelesaian
berubah (sama ada secara langsung atau/ dan
songsang) dengan dua atau lebih kuantiti. y∝ x
Misalnya, ketumpatan berubah secara langsung z2
dengan jisim dan secara songsang dengan isi
padu. Hubungan ini dikenali sebagai ubahan
bergabung.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved y = kx
Tingkatan 5z2

Diberi y = 140 apabila x = 2.1 dan z = 0.3,

2. Ubahan bergabung melibatkan gabungan 140 = ­k(0(2.3.1)2)
ubahan langsung atau ubahan tercantum dan
ubahan songsang.   k = 140(0.3)2
2.1
=6
3. Apabila y berubah secara langsung dengan x dan 6x
y berubah secara songsang dengan z, ubahan Maka, y = z2

ini boleh digabungkan sebagai y berubah secara
langsung dengan x dan secara songsang dengan
x 23
z, iaitu y ∝ z .
Arus elektrik, I, berubah secara langsung dengan
4. Bagi suatu ubahan bergabung, y berubah secara kuasa, P, dan secara songsang dengan voltan, V.
langsung dengan xm dan secara songsang dengan Diberi I = 2.85 apabila P = 690 dan V = 230. Tuliskan
zn boleh ditulis sebagai persamaan bagi I dalam sebutan P dan V.
xm
y ∝ zn Penyelesaian

n de=ng1a, n2,k3e,ad21a,an13ymd=a=nkz1xkn,m=2,p3e,m21a,la31r., I∝ P
V

I= kP
V

Diberi I = 2.85 apabila P = 690 dan V = 230,

21 2.85 = ­k(263900)

Tuliskan setiap ubahan bergabung berikut dengan   k = 2.85(230)
menggunakan simbol ∝. 690
(a) m berubah secara songsang dengan n dan p2. 19
(b) s berubah secara langsung dengan punca kuasa = 20

tiga t dan secara songsang dengan u. Maka, I = 19P
(c) A berubah secara langsung dengan B dan secara 20V

songsang dengan punca kuasa dua C.

Penyelesaian 24
1
(a) m∝ np2 Diberi p berubah secara songsang dengan q dan r.
Diberi juga p = 2.5 apabila q = 0.8 dan r = 24.
(b) s∝ 3√t (a) Tuliskan persamaan bagi p dalam sebutan q dan r.
u (b) Hitung nilai p apabila q = 20 dan r = 6.

(c) A∝ B
√C

185

  Matematik SPM  Bab 1  Ubahan

Penyelesaian Maka, E = 24√3 F
1 G
(a) p ∝ qr

= k Diberi E = 0.32 apabila F = x dan G = 30,
qr
p 0.32 = 24√3 x
30
Diberi p = 2.5 apabila q = 0.8 dan r = 24, 0.32(30)
√3 x = 24
2.5 = ­(0.8k)(24)
  x = 0.43
= 0.064
  k = 2.5(0.8)(24)Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved

= 48 48 Diberi E = 48 apabila F = 125 dan G = y,
qr
Maka, p = 48 = 24√3 125
y
(b) Apabila q = 20 dan r = 6,
  y = 24√3 125
p = 48 48
(20)(6) = 2.5

= 0.4 Cuba Soalan 1 – 5 dalam Cuba ini! 1.3

Kaedah Alternatif B Menyelesaikan masalah yang
melibatkan ubahan bergabung
Dengan menggunakan kadaran,
p1q1r1 = p2q2r2 dengan p1 = 2.5, q1 = 0.8, 26
r1 = 24, q2 = 20 dan r2 = 6. Rintangan, R ohm, bagi sejenis konduktor berubah
secara langsung dengan panjang, p m, dan secara
Maka, (2.5)(0.8)(24) = p2(20)(6) songsang dengan kuasa dua jejari, j cm. Seorang
(2.5)(0.8)(24) penyelidik menggunakan konduktor A dengan
p2 = (20)(6) panjang 1.2 m dan jejari 0.6 cm dalam eksperimen
pertamanya untuk mengukur rintangan dan
= 0.4 mendapati rintangan ialah 5 ohm.
(a) Tuliskan satu persamaan bagi R dalam sebutan p
25
Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi tiga dan j.
pemboleh ubah, E, F dan G. (b) Penyelidik tersebut menggunakan konduktor

E 120 0.32 48 yang sama dengan panjang 2.7 m dalam
eksperimen kedua. Hitung nilai j supaya
F 27 x 125 penyelidik itu boleh mendapat nilai rintangan
yang sama seperti dalam eksperimen
G 0.6 30 y pertamanya.

Tingkatan 5 Diberi E berubah secara langsung dengan punca Penyelesaian
kuasa tiga F dan secara songsang dengan G. Cari nilai
x dan y.

Penyelesaian (a) R∝ p
√3 F j2
E∝ G
kp
E= k√3 F R = j2
G
Diberi R = 5 apabila p = 1.2 dan j = 0.6,
k(1.2)
Diberi E = 120 apabila F = 27 dan G = 0.6, 5 = (0.6)2
k √3 27
120 = 0.6 k = 5(0.6)2
1.2
k = 120(0.6) = 1.5
√3 27
= 24 1.5p
Maka, R = j2

186

Matematik SPM  Bab 1  Ubahan 

(b) Bagi R = 5 apabila p = 2.7, 3. Diberi a berubah secara langsung dengan punca
1.5(2.7) kuasa dua b dan secara songsang dengan c. Diberi
5 = j2 juga a = 7 apabila b = 196 dan c = 16.
(a) Tuliskan persamaan bagi a dalam sebutan b
j2 = 1.5(2.7) dan c.
5 (b) Cari nilai c apabila a = 6.4 dan b = 2.56.

j = √0.81 4. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi
= 0.9 pemboleh ubah P, Q dan R.

Cuba Soalan 6 – 8 dalam Cuba ini! 1.3 P 0.5 x 45
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
Tingkatan 5Q 15 4.9 24

Kuasai SPM R 6 1.4 y

Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi Diberi P berubah secara langsung dengan Q dan
pemboleh ubah G dan pemboleh ubah H. secara songsang dengan kuasa dua R.
(a) Tuliskan persamaan yang menghubungkan P,
Gg 5 Q dan R.
Hh p (b) Hitung nilai positif x dan y.

Ddaibnenriilbaai hhgawiaalaHh berubah secara langsung dengan G 5. Diberi e ∝ 1 dan e = 5 apabila f = 0.4 dan g = 81.
3. Hitung nilai p. f √g
Hitung nilai
(a) f apabila e = 0.9 dan g = 25.
A 15 C 9 (b) g apabila e = 7.5 dan f = 12.

B 12 D 6 6. Tinggi, t cm, sebuah kon tegak berubah secara
langsung dengan isi padu, V cm3, dan secara
Penyelesaian songsang dengan kuasa dua jejari, j cm. Diberi t =   6
H ∝ G apabila V = 77 dan j = 3.5. Hitung nilai V apabila
H = kG, h =3 t  =  14 dan j = 1.5.
g
h = kg
h 7. Di sebuah kilang, masa, t jam, yang diambil untuk
k = g
menghasilkan biskut berubah secara langsung
=3 dengan bilangan biskut, b keping, dan secara
Maka, H = 3G songsang dengan bilangan mesin, m buah, yang
Diberi H = p apabila G = 5,
p = 3(5) beroperasi. Diberi 5 000 keping biskut boleh
= 15
Jawapan: A dihasilkan dengan mengoperasikan 3 buah mesin

dalam masa 5 jam.

(a) Tuliskan satu persamaan yang menghubungkan
t, b dan m.

(b) Hitung masa yang diambil untuk menghasilkan

bilangan biskut yang sama jika hanya 2 buah

Cuba ini! 1.3 mesin yang beroperasi. KBAT
Mengaplikasi

1. Tuliskan setiap ubahan bergabung berikut dengan 8. Masa yang diperlukan, M jam, untuk memasang
menggunakan simbol ∝.
(a) e berubah secara songsang dengan f dan √g. jubin lantai di sebuah bilik berubah secara langsung
(b) X berubah secara langsung dengan Y dan dengan luas, L m2, bilik itu dan secara songsang
secara songsang dengan kuasa dua Z. dengan bilangan pekerja, P. Diberi bahawa 2 pekerja
(c) p berubah secara langsung dengan q dan
secara songsang dengan punca kuasa tiga r. memerlukan 2 jam untuk menyiapkan pemasangan

jubin lantai di sebuah bilik seluas 200 m2.

(a) Encik Koh mendapat satu kontrak untuk

memasang jubin lantai di sebuah bilik seluas

2. Diberi m = 0.12 apabila n = 0.8 dan p = 64. 700 m2. Sekiranya dia mahu menyiapkan kerja
Ungkapkan m dalam sebutan n dan p bagi setiap
kes berikut. pemasangan jubin lantai tersebut dalam masa
(a) m berubah secara langsung dengan n dan
secara songsang dengan punca kuasa dua p. 3.5 jam, berapa orang pekerja yang diperlukan?
(b) m berubah secara langsung dengan kuasa tiga
n dan secara songsang dengan p. (b) Apakah yang akan berlaku jika Encik Koh

menambah 2 orang pekerja lagi dalam projek

ini? Jelaskan jawapan anda berdasarkan

konsep ubahan. KBAT
Menganalisis

187

  Matematik SPM  Bab 1  Ubahan 1

Praktis SPM

KERTAS 1 8. Diberi g ∝ 1 dan g = 5 apabila h = 2.56. Hitung
√h
1. Suhaimi boleh menghasilkan 3 buah kerusi rotan nilai g apabila h = 64.
dalam masa 2 hari. Apakah perubahan dalam
A 1 C 3
bilangan kerusi jika masa membuat kerusi rotan
B 2 D 4
berganda dua?

A Bilangan kerusi bertambah sebanyak dua.
B Bilangan kerusi berganda dua.
C Bilangan kerusi berkurang separuh.
D Bilangan kerusi berkurang sebanyak dua.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved 9. Diberi e berubah secara songsang dengan f  2.
Jika e = 125 apabila f = 0.2, hitung nilai f apabila
e = 0.05.

A 5 C 10

2. Diberi P berubah secara langsung dengan punca B 6 D 12
kuasa tiga Q dan P = 54 apabila Q = 216. Ungkapkan
P dalam sebutan Q. 10. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi
pemboleh ubah S dan T.
A P = 3√Q C P = 4 3√Q
S 30 p
B P = 2 3√Q D P = 9 3√Q T 0.008 125

3. Diberi s ∝ tu2 dan s = 3 apabila t = 36 dan u = 0.5. Diberi S berubah secara songsang dengan punca
Cari nilai u apabila s = 6.4 dan t = 1.2. kuasa tiga T. Hitung nilai p.

A 2 C 4

B 3 D 5 A 1.2 C 2.1

4. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi B 1.5 D 2.5
pemboleh ubah M dan N.
11. Diberi m berubah secara songsang dengan 5 – n
M 22.5 SPM dan m = 4 apabila n = 3. Cari nilai n apabila m = –2.
N 81 4 2017
x A −9 C 6

Diberi M berubah secara langsung dengan punca B –6 D 9
kuasa dua N. Hitung nilai x.
12. Jadual di bawah menunjukkan masa yang diambil
SPM untuk menyusun kotak kasut, x dan bilangan pekerja
A 1.44 C 2.56 2018 yang diperlukan, y.

B 1.96 D 2.89

5. Diberi p ∝ q dan q = 3r – 1. Jika p = 8 apabila r = 2, x 4.5 p
ungkapkan p dalam sebutan q.
KBAT Menganalisis y4 6

A p = 40q C p = 4q
B p = 16q D p = 1.6q Diberi x berubah secara songsang dengan kuasa
dua y. Cari nilai p.
Tingkatan 5 6. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi
SPM pemboleh ubah S dan T. A 1.5 C 2.5
2019
B 2 D 3
Sx
8 13. Diberi m berubah secara langsung dengan punca
kuasa dua n dan secara songsang dengan z.
Ty p

Diberi bahawa T berubah secara songsang dengan Berdasarkan pernyataan di atas, pilih ubahan yang
S dan nilai x × y ialah 12. Hitung nilai p.
betul.

A 1.5 C 0.9 A m ∝ ­ k √n C m∝ √n
z z
B 1.2 D 0.6
z kz
7. Diberi y berubah secara songsang dengan kuasa B m∝ √n D m∝ √n
tiga x dan y = 0.2 apabila x = 3. Ungkapkan y dalam
sebutan x. 14. Diberi e ∝ f dan e = 0.8 apabila f = 0.2 dan
3√g
A y = 1 C y = 6 g = 512. Hitung nilai g apabila e = 96 dan f = 18.
x3 x3

B y = 5.4 D y = 27 A 216 C 12
x3 x3
B 32 D 6

188

Matematik SPM  Bab 1  Ubahan 

15. Diberi p berubah secara langsung dengan q dan KERTAS 2
secara songsang dengan punca kuasa dua r. Jika 1. Hubungan Y berubah secara langsung dengan
p = 64 apabila q = 12 dan r = 9, tuliskan satu
persamaan yang menghubungkan p, q dan r. punca kuasa tiga X boleh ditulis sebagai Y = 9Xm.
Nyatakan nilai m.
A p = 16q C p= 8q 2. Diberi m berubah secara langsung dengan kuasa
√r √r dua n dan m = 54 apabila n = 6.
(a) Tuliskan persamaan bagi m dalam sebutan n.
B p = 12q D p= q (b) Hitung nilai m apabila n = 1.2.
√r 4√r

3. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi
pemboleh ubah E dan F.
16. Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai pembolehPenerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
ubah X, Y dan Z yang dihubungkan melalui persamaan Tingkatan 5
kY
X = Z2 . E 7.2 18
F8 x
X 0.16 125

Y 0.8 49 Diberi E berubah secara langsung dengan punca
kuasa tiga F.
Z5 p (a) Tuliskan persamaan bagi E dalam sebutan F.
(b) Hitung nilai x.
Hitung nilai p. C 2
D 2.1 4. Pengembangan, p cm, bagi sebatang rod logam
A 4 berubah secara langsung dengan perubahan suhu
B 1.4 rod logam tersebut, s Kelvin. Jika p = 2 apabila
s = 278,
17. Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai E, F dan G. (a) tuliskan persamaan bagi p dalam sebutan s.
(b) hitung pengembangan rod logam apabila
SPM perubahan suhunya ialah 417 Kelvin.

2017 E 31.25 0.125

F 10 5

G 0.4 m

Diberi E berubah secara langsung dengan F dan 5. Diberi y berubah secara langsung dengan w dan
secara songsang dengan kuasa tiga G. Cari nilai m. kuasa dua x serta y = 126 apabila x = 2 dan w = 7.
Tuliskan persamaan bagi y dalam sebutan x dan w.
A 6 C 0.6

B 2 D 0.2 6. Rajah di bawah menunjukkan graf y melawan 1 .
x
18. Diberi e berubah secara langsung dengan kuasa
SPM dua f dan secara songsang dengan punca y
2018 tiga g. Jika e ∝ ­gf xy , nyatakan nilai x dan y. kuasa

A x = 2, y = 3 C x = 2, y = 1 O 1–x
3
1 1 Tuliskan hubungan antara y dan x dengan
B x = 2, y = 2 D x = 2 , y =3 menggunakan simbol ∝.

19. Ahmad hendak memotong sekeping kad menjadi

beberapa segi empat tepat. Diberi bilangan segi 7. Puan Rani mempunyai sejumlah buah epal yang diisi
empat tepat, B, berubah secara songsang dengan ke dalam beberapa buah beg. Jika setiap beg diisi
panjang, p cm, dan lebar, l cm, setiap segi empat dengan 6 biji epal, maka Puan Rani boleh mengisi
tepat itu. Diberi B = 2 apabila p = 9 dan l = 6. Hitung 10 buah beg. Nyatakan perubahan pada bilangan
nilai B apabila p = 3 dan l = 2. beg yang boleh diisi bagi setiap kes berikut.
KBAT (a) Bilangan buah epal dalam beg bertambah dua
A 12 C 18 Mengaplikasi kali ganda.
(b) Bilangan buah epal dalam beg berkurang
B 15 D 20 separuh.

20. Jisim, m kg, suatu objek berubah secara langsung
SPM dengan tenaga kinetik, T joule dan secara songsang
2019 dengan kuasa dua laju, v m  s–1. Sebuah kereta yang 8. Diberi g berubah secara songsang dengan punca
kuasa tiga h dan g = 2 apabila h = 27.
berjisim 1  250 kg, bergerak dengan laju 12 m  s–1 (a) Tuliskan persamaan bagi g dalam sebutan h.
(b) Hitung nilai g apabila h = 0.216.
mempunyai tenaga kinetik sebanyak 90 000 joule.
Hitung nilai v apabila T = 256 000 dan m = 2 000. m 1 m n
n2
A 18 C 15 9. Diberi ∝ dan = 1.5 apabila = 4.

B 16 D 10 (a) Tuliskan persamaan bagi m dalam sebutan n.

(b) Hitung nilai positif n apabila m = 96.

189

  Matematik SPM  Bab 1  Ubahan

10. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi 14. Diberi m ∝ n dan m = 20 apabila n = 9 dan
pemboleh ubah V dan W. p = 3.24. √p

V 7.5 0.6 (a) Tuliskan persamaan bagi m dalam sebutan n
W 1.44 x dan p.
(b) Hitung nilai positif p apabila m = 2 dan n = 4.5.
Diberi V berubah secara songsang dengan punca
kuasa dua W. 15. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi
(a) Tuliskan persamaan bagi V dalam sebutan W. pemboleh ubah S, T dan U.
(b) Hitung nilai x.
S 40 12.5
11. Bagi suatu bandul ringkas, bilangan ayunan, A,Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved
berubah secara songsang dengan punca kuasa dua T 0.2 p
panjang bandul, P cm, dalam suatu tempoh yang
tetap. Diberi A = 5 apabila P = 16. U 81 1.44
(a) Tuliskan persamaan bagi A dalam sebutan P.
(b) Hitung nilai A apabila P = 6.25. Diberi S berubah secara songsang dengan T dan
(c) Hitung nilai P apabila A = 4. punca kuasa dua U.
(a) Tuliskan persamaan bagi S dalam sebutan T
12. Tuliskan setiap ubahan bergabung berikut dengan dan U.
menggunakan simbol ∝. (b) Hitung nilai p.
(a) y berubah secara langsung dengan x dan
secara songsang dengan z. 16. Diberi E berubah secara langsung dengan F dan
(b) V berubah secara langsung dengan punca secara songsang dengan G. Diberi juga E = 27
kuasa dua W dan secara songsang dengan U. apabila F = 18 dan G = 4.
(a) Hitung nilai F apabila E = 112 dan G = 0.3.
13. Diberi P berubah secara langsung dengan kuasa (b) Jika G berganda dua, apakah perubahan pada
tiga Q dan secara songsang dengan R. Diberi juga E? Jelaskan jawapan anda.
P = 25.6 apabila Q = 4 dan R = 8.
(a) Tuliskan persamaan bagi P dalam sebutan Q KBAT
dan R. Menganalisis
(b) Hitung nilai R apabila P = 0.25 dan Q = 0.5.

Tingkatan 5

190

Matematik SPM  Jawapan 

JAWAPAN

Tingkatan 4 (e) f(x) (f) f(x)
x
1Bab Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam
Satu Pemboleh Ubah 0
–4 4

Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights ReservedCuba ini! 1.1 x
–2 0

1. (a) Ya, ungkapan ini hanya mempunyai satu pemboleh ubah 14. x = 7
x dan kuasa tertinggi x ialah 2.
15. 2 jam.
(b) Ya, ungkapan ini hanya mempunyai satu pemboleh ubah 16. Hasil darab dua nombor ganjil berturutan ialah 323. x = 17
u dan kuasa tertinggi u ialah 2.
17. RM 24
(c) Bukan, kerana kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah x ialah 1.
(d) Bukan, kerana kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah x ialah 3. 18. (a) Bukan
(e) Ya, ungkapan ini hanya mempunyai satu pemboleh ubah (b) Ya
(c) Bukan
y dan kuasa tertinggi y ialah 2.
(f) Bukan, kerana kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah x ialah 1.

2. (a) Berbentuk parabola buka ke atas dengan satu titik Praktis SPM 1
minimum.
KERTAS 1 2. A 3. D 4. B 5. A
(b) Berbentuk parabola buka ke atas dengan satu titik 7. B 8. D 9. C 10. A
minimum. 1. C
6. C
(c) Berbentuk parabola buka ke bawah dengan satu titik
maksimum.

(d) Berbentuk parabola buka ke bawah dengan satu titik
maksimum.

3. (a) graf berbentuk dan lebarnya semaking berkurang. KERTAS 2
(b) graf berbentuk dan berada di sebelah kanan paksi-y.
1. x = 2, –9
(c) graf berbentuk dan bergerak secara menegak ke
bawah.
2. x 3
4. Graf bergerak secara menegak ke atas sebanyak 12 unit = 5 ,  –2

5. f(x) = 2x2 + 16x 3. 30

6. f(x) = 12x2 + 31x + 9 4. 0.2 m
5. P(–1, 0) dan Q(4, 0)
7. (a) f(x) = 10x2 – 33x – 28 (b) 10x2 – 33x – 86 = 0

8. (a) f(x) = 7x2 + 26x – 6 (b) 7x2 +26x – 126 = 0 6.

9. (a) Bukan  (b) Ya    (c) Ya  (d) Bukan f(x)

10. (a) Ya     ( b) Bukan   ( c) Ya  (d) Bukan x
–8 0 2
11. (a) 0, 8 (b) 0, –  52 (c) 0, 3  
(d) –6, 6 (e) –  52 ,  25 2

(f)  –   3 ,  23
2

12. (a) –3, –5 (b) 3, –8 (c) 4, –  72 –8

(d) 5 , –   2 (e) 6, 2 (f)  –   9 , 3 7. f(x) = –  47 x2 – 28x + 112
2 3 3 2 2 8. x = 4
9. 304 m2
13. (a) f(x) (b) f(x) 10. Bas A berjarak 90 km dan bas B berjarak 120 km dari stesen

10 12 bas.
11. 6 saat
02 5 x 12. x = 60, h = 45
(c) f(x) 13. Mereka perlu menjual 32 keping kek keju dengan harga RM5
–3 0 x
4 sekeping atau menjual 40 keping kek keju dengan harga RM4
sekeping.
(d) f(x) 14. Ukuran gambar foto ialah 15 cm × 12 cm

3

– –31 0 x –1 0 –43 x
–2 2

335

  Matematik SPM  Jawapan Praktis SPM 2

2Bab Asas Nombor KERTAS 1

Cuba ini! 2.1 1. B 2. B 3. B 4. D 5. C

1. (a) 23 6. C 7. B 8. A 9. D 10. A
(b) 41
(c) 72 11. D 12. C 13. D 14. B 15. D
(d) 60
16. D 17. B 18. C 19. C 20. A
2. (a) 500
(b) 16 Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights ReservedKERTAS 2
(c) 7
(d) 12 1. (a) 54
(b) 5
3. (a) 55 (c) 15
(b) 95 (d) 144
(c) 34
(d) 89 2. (a) 2123
(b) 211203
4. (a) 100012
(b) 1001111102 3. (a) 2107
(c) 10011002 (b) 657

5. (a) 2015 4. (a) 293
(b) 21135 (b) 51
(c) 1005 (c) 63
(d) 44
6. (a) 326
(b) 1336 5. 2100336
(c) 55156
6. (a) 2
7. (a) 458 (b) 2223
(b) 658
(c) 1608 7. (a) P = 333, Q = 135
(b) R = 235, 245, 305, 315
8. (a) 2358
(b) 7348 8. (a) X = 145, 205, 215
(c) 11011102 (b) 2
(d) 111001112
9. (a) 1100012
9. (a) 1204 (b) 549
(b) 4225
(c) 14246 10. (a) 7
(d) 10001012 (b) 1
(e) 268
(f) 2619 11. (a) 5
(b) 3
10. (a) 110203
(b) 40205 12. (a) 3
(c) 2006 (b) 1
(d) 278
13. (a) 2425
11. (a) 2126 (b) 3345
(b) 889
14. (a) 457
12. Y = 1215, 1225, 1235, 1245 (b) 517

336

Matematik SPM  Jawapan 

3Bab Penaakulan Logik (b) 15 ialah gandaan 5 atau kuasa dua sempurna.
(c) Rombus ialah segi empat sama atau segi empat selari.
(d) 52 – 32 = 42 atau 82 – 72 = 52
(e) Titik (0, 4) atau titik (4, 0) berada di paksi-y.

Cuba ini! 3.1 9. (a) Benar (b) Benar
(c) Palsu (d) Palsu
1. (a) Pernyataan. Suatu pernyataan yang benar. (e) Palsu
(b) Bukan pernyataan. Tidak dapat menentukan sama ada ayat
ini benar atau palsu. 10. ~p ~q pq pq
(c) Bukan pernyataan. Tidak dapat menentukan sama ada ayat (a) 3
ini benar atau palsu. (b) 3 7 73
(d) Bukan pernyataan. Tidak dapat menentukan sama ada ayat (c) 7
ini benar atau palsu. (d) 3 37 7
(e) Pernyataan. Suatu pernyataan yang benar.
(f) Pernyataan. Suatu pernyataan yang palsu.
(g) Bukan pernyataan. Tidak dapat menentukan sama ada
benar atau palsu.
(h) Bukan pernyataan. Tidak dapat menentukan sama ada
benar atau palsu.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved 7 33

7 73

11. (a) Jika m = 1 , maka m3­ = 1 .
2 8
(b) Jika PQR ialah segi tiga bersudut tegak, maka sisi PQ, QR
2. (a) Palsu (b) Benar dan PR memenuhi teorem Pythagoras.
(c) Palsu (d) Benar a
(e) Benar (f) Palsu (c) Jika b , 0, maka a , 0 atau b , 0.
(g) Benar (h) Benar
(d) Jika p . q, maka p – q . 0.
3. (a) Benar: 16 + 23  32
Palsu: 16  23 + 32 12. (a) Antejadian : Sisi segi empat sama ialah a cm.
Akibat : Luasnya ialah a2 cm2.
(b) Benar: 2 × 3 ÷1=1
3 2 (b) Antejadian : n(X) = 0
Akibat : X = {  }
Palsu: 2 ÷ 3 ×1=1
3 2
(c) Antejadian : pq = 0
(c) Benar: 9 × 3 ≠ 4 × 2 Akibat : p = 0 atau q = 0

Palsu: 9 × 4 ≠ 3 × 2 (d) Antejadian : A(x1 , y1) dan B(x2 , y2)
(d) Benar: {2, 4} , {2, 3, 4} y2 – y1
Palsu: {2, 3, 4} , {2, 4} Akibat : Kecerunan AB = x2 – x1

4. (a) Sebilangan (b) Semua 13. (a) mn = –1 jika dan hanya jika m = – 1 .
(c) Semua (d) Semua n

(e) Sebilangan (b) a ialah faktor bagi b jika dan hanya jika b ialah gandaan

5. (a) z3 – 5 bukan ungkapan linear. (benar) bagi a.
(b) x + 3 tidak melebihi x sebanyak 3. (palsu)
(c) { }  {a, b} (palsu) (c) 3√x  = –1 jika dan hanya jika x = –1.
(d) 0.012 ≠ 1 × 10–2 (benar)
14. (a) Jika p2 ialah nombor genap, maka p ialah nombor genap.
6. (a) ~p : Bukan semua gandaan 4 ialah gandaan 10. Jika p ialah nombor genap, maka p2 ialah nombor genap.
p : Palsu
~p : Benar (b) Jika θ ialah sudut cakah, maka 90°  θ  180°.
(b) ~p : √0.004 ≠ 0.02
p : Palsu Jika 90°  θ  180°, maka θ ialah sudut cakah.
~p : Benar
(c) ~p : Silinder tidak mempunyai satu permukaan melengkung. (c) Jika x ialah pecahan tak wajar, maka x . 3.
p : Benar Jika 3 pecahan tak wajar.
~p : Palsu x . 3, maka x ialah
3

(d) Jika h ialah nombor positif, maka h . 0.
Jika h . 0, maka h ialah nombor positif.

7. (a) Trapezium ialah segi empat selari. (palsu) 15. (a) Akas: Jika 4 ialah faktor bagi 16, maka 16 ialah gandaan
Trapezium ialah segi empat tepat. (palsu) bagi 4.
Trapezium ialah segi empat selari dan segi empat tepat.
(palsu) Songsangan: Jika 16 bukan gandaan bagi 4, maka 4 bukan
(b) Semua nombor perdana ialah nombor ganjil. (palsu) faktor bagi 16.
Semua nombor perdana ialah nombor yang tidak boleh
dibahagi dengan nombor lain selain 1 dan dirinya sendiri. Kontrapositif: Jika 4 bukan faktor bagi 16, maka 16 bukan
(benar) gandaan bagi 4.
Semua nombor perdana ialah nombor ganjil atau nombor
yang tidak boleh dibahagi dengan nombor lain selain 1 dan (b) Akas: Jika x . y, maka x – y . 0.
dirinya sendiri. (benar) Songsangan: Jika x – y < 0, maka x < y.
(c) Segi tiga ialah bentuk tiga dimensi. (palsu)
Piramid ialah bentuk tiga dimensi. (benar) Kontrapositif: Jika x < y, maka x – y < 0.
Segi tiga atau piramid ialah bentuk tiga dimensi. (benar) (c) Akas: Jika a . 0, maka y = ax2 + bx + c mempunyai titik
(d) a × 1 = a (benar)
a ÷ 1 = a (benar) minimum.
a × 1 = a dan a ÷ 1 = a (benar) Songsangan: Jika y = ax2 + bx + c tidak mempunyai titik

8. (a) 1 m2 = 10 000 cm2 dan 1 cm3 = 1 000 mm3 / minimum, maka a < 0.
1 m2 = 10 000 cm2 atau 1 cm3 = 1 000 mm3 Kontrapositif: Jika a < 0, maka y = ax2 + bx + c tidak

mempunyai titik minimum.
(d) Akas: Jika x = a ialah salah satu puncanya, maka

(x – a)(x – b) = 0.
Songsangan: Jika (x – a)(x – b) ≠ 0, maka x = a bukan

salah satu puncanya.
Kontrapositif: Jika x = a bukan salah satu puncanya, maka

(x – a)(x – b) ≠ 0.

337

  Matematik SPM  Jawapan

16. (a) Implikasi: Jika a ialah faktor bagi 12, maka a ialah faktor (d) Premis 1: 2 × 3 = 6
bagi 6. (Palsu) Premis 2: 4 × 5 = 20
Premis 3: 6 × 7 = 42
Akas: Jika a ialah faktor bagi 6, maka a ialah faktor bagi
12. (Benar) Kesimpulan: Hasil darab satu nombor genap dan satu

Songsangan: Jika a bukan faktor bagi 12, maka a bukan nombor ganjil adalah genap.
faktor bagi 6. (Benar)
(Hujah induktif)
Kontrapositif: Jika a bukan faktor bagi 6, maka a bukan
faktor bagi 12. (Palsu) 2. (a) Hujah induktif (b) Hujah deduktif
(c) Hujah induktif (d) Hujah deduktif
(b) Implikasi: Jika x . 6, maka x . 4. (Benar)
Akas: Jika x . 4, maka x . 6. (Palsu) 3. (a) Sah. Tidak munasabah kerana Premis 1 dan kesimpulan
Songsangan: Jika x < 6, maka x < 4. (Palsu) adalah palsu.
Kontrapositif: Jika x < 4, maka x < 6. (Benar)
(c) Implikasi: Jika y = 81, maka √y  = 9. (Benar) (b) Tidak sah. Munasabah kerana semua premis dan
Akas: Jika √y  = 9, maka y = 81. (Benar) kesimpulan adalah benar.
Songsangan: Jika y ≠ 81, maka √y  ≠ 9. (Benar)
Kontrapositif: Jika √y  ≠ 9, maka y ≠ 81. (Benar) (c) Sah. Munasabah kerana semua premis dan kesimpulan
adalah benar.
17. (a) Jika x3 = –27, maka x = –3. (Benar)
Songsangan: Jika x3 ≠ –27, maka x ≠ –3. (Benar) (d) Tidak sah. Munasabah kerana semua premis dan
(b) Jika x , –5, maka x , –7. (Palsu) kesimpulan adalah benar.
Akas: Jika x , –7, maka x , –5. (Benar)
(c) Jika x ialah gandaan 18, maka x ialah gandaan 9. (Benar) (e) Sah. Tidak munasabah. Tahap kebenaran premis dan
Kontrapositif: Jika x bukan gandaan 9, maka x bukan kesimpulan adalah rendah.
gandaan 18. (Benar)
(d) Jika f(x) ialah fungsi kuadratik, maka f(x) ialah hubungan
banyak kepada satu. (Benar)
Akas: Jika f(x) ialah hubungan banyak kepada satu, maka
f(x) ialah fungsi kuadratik. (Palsu)
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved 4. (a) Sah dan munasabah. Semua premis dan kesimpulan
adalah benar.

(b) Sah tetapi tidak munasabah. Premis 1 adalah palsu.
(c) Sah dan munasabah. Semua premis dan kesimpulan

adalah benar.
(d) Sah tetapi tidak munasabah. Premis 1 dan kesimpulan

adalah palsu.

5. (a) Premis 1: Jika hari ini hujan, maka Nurul tidak

menghadiri kelas tambahan.

18. (a) Contoh penyangkal: 4 Premis 2: Hari ini hujan.
(b) Contoh penyangkal: x = 1
Kesimpulan: Nurul tidak menghadiri kelas tambahan.

(c) Contoh penyangkal: p = 1 (b) Premis 1: Semua sudut dalam segi tiga bersudut tegak
2
(d) Contoh penyangkal: x = 1, y = 2, z = 3 tidak melebihi 90°.
Premis 2: Sudut A ialah sudut dalam segi tiga bersudut

19. (a) Palsu. Contoh penyangkal : 2 tegak.
(b) Benar. Kesimpulan: Sudut A tidak melebihi 90°.
(c) Palsu. Contoh penyangkal : {1, 2}
(d) Palsu. Contoh penyangkal : a = 4 (c) Premis 1: Jika x + y = 1, maka a ialah pintasan-x dan
a b
20. (a) Penafian: Set kosong {  } tidak mempunyai subset. (Palsu) b ialah pintasan-y.
Contoh penyangkal: Set kosong { }
(b) Penafian: Semua faktor bagi 25 ialah nombor bukan kuasa Premis 2: a bukan pintasan-x dan b bukan pintasan-y.
dua sempurna. (Palsu) x y
Contoh penyangkal: 1 Kesimpulan: a + b ≠1
(c) Kontrapositif: Jika m > 5, maka m > 8. (Palsu)
Contoh penyangkal: m = 6 6. (a) Premis 1: Semua kubus dengan sisi x mempunyai isi padu
(d) Songsangan: Jika PQRS bukan segi empat sama, maka x3.
PQRS tidak mempunyai empat sudut tegak. (Palsu)
Contoh penyangkal: Segi empat tepat mempunyai empat Premis 2: Kubus A mempunyai sisi 5 cm.
sudut tegak. Kesimpulan: Kubus A mempunyai isi padu 53 cm3.

(b) Premis 1: Jika satu poligon sekata mempunyai n sisi, maka
(n – 2) × 180°
sudut pedalaman ialah n .

Cuba ini! 3.2 Premis 2: PQRST mempunyai 5 sisi. 2) ×
5
Kesimpulan: Sudut pedalaman PQRST ialah (5 – 180°

1. (a) Premis 1: Jika seseorang memandu melebihi had laju = 108°.
110 k m/j di lebuh raya, maka pemandu tidak
mematuhi had laju yang ditetapkan. 7. (a) Premis 2: PQRS ialah segi empat sama.
(b) Premis 1: Jika x ialah nombor genap, maka x2 ialah
Premis 2: Adnan memandu dengan laju 115 km/j di lebuh
raya. nombor genap.
(c) Premis 2: Set A = set B
Kesimpulan: Adnan tidak mematuhi had laju yang ditetapkan. (d) Premis 1: Jika set X ialah subset bagi set Y, maka a  X
(Hujah deduktif)
dan a  Y.
(b) Premis 1: Semua faktor bagi 10 ialah faktor bagi 20. (e) Premis 1: Jika 0  sin θ , 1, maka θ berada dalam julat
Premis 2: 5 ialah faktor bagi 10.
Kesimpulan: 5 ialah faktor bagi 20. 0°  θ  180°.
(Hujah deduktif)
(f) Premis 2: Dua garis lurus itu adalah selari.
(c) Premis 1: Masa tayangan wayang A yang pertama ialah
12:30 p.m. 8. (a) Lemah. Kesimpulan palsu.
(b) Kuat dan menyakinkan. Semua premis dan kesimpulan
Premis 2: Masa tayangan wayang A yang kedua ialah adalah benar.
1:15  p.m. (c) Lemah. Kesimpulan adalah palsu.
(d) Kuat dan menyakinkan. Semua premis dan kesimpulan
Premis 3: Masa tayangan wayang A yang ketiga ialah adalah benar.
2:00  p.m. (e) Kuat tetapi tidak menyakinkan. Premis 2 adalah palsu.

Kesimpulan: Masa tayangan wayang A ialah 45 minit
selepas setiap tayangan.

(Hujah induktif)

338

Matematik SPM  Jawapan 

9. (a) Kuat dan menyakinkan. Semua premis dan kesimpulan (b) (i) Benar (ii) Palsu
adalah benar.
(iii) Benar
(b) Kuat tetapi tidak menyakinkan. Premis 1 adalah palsu.
(c) Kuat dan menyakinkan. Semua premis dan kesimpulan (c) Premis 1: Semua kon dengan tinggi t cm dan jejari j cm
KmoenmApmuneymapi uisni ypaaidtuing13gpi j22t0ccmm3. dan
adalah benar. 2: jejari 5 cm.
Premis
10. (a) 2n, n = 1, 2, 3, …
(b) 3n – 15, n = 0, 1, 2, 3, … atau 3n – 18, n = 1, 2, 3, … Kesimpulan: Kon A mempunyai isi padu 1 p(5)2(20)
(c) –n + n2, n = 1, 2, 3, … 3
(d) 11 – 5n, n = 1, 2, 3, … 500
(e) 2n2 – 1, n = 1, 2, 3, … = 3 p cm3.
(f) 3(n)(n + 1) atau 3n2 + 3n, n = 1, 2, 3, …
7. (a) (i) Benny, Ah Meng, Dahlan, Cindy
(ii) Markah Benny adalah terendah antara empat orang
murid itu.
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved112n,
11. (a) 2 n = 1, 2, 3, … (b) Benar Palsu
(i) 3
(b) 17.5 + 0.5n, n = 1, 2, 3, … (ii) 3
(iii) 3
12. (a) 4 × 5n – 1, n = 1, 2, 3
(b) 2n, n = 1, 2, 3, …

13. (a) 9.271 km (c) Akas: Jika a – b . 0, maka a . b.
(b) 1.7 + 0.8n, n = 1, 2, 3, … Songsangan: Jika a < b, maka a – b < 0.
(c) Pelari B Kontrapositif: Jika a – b < 0, maka a < b.

14. (a) 280 – 16n, n = 1, 2, 3, … 8. (a) (i) (a) Jika x . 8, maka x . 10.
(b) 16 hari
(c) 124 – 18m, m = 1, 2, 3, … (b) Tahukah anda cara menyelesaikan masalah
7 hari
matematik ini?
15. (a) 5 + 3n, n = 1, 2, 3, …
(b) Chandran Eh, mudah sahaja!

Tolong beri saya sebatang pen atau pensel.

(Mana-mana dua jawapan)

(ii) Implikasi: Jika x . 8, maka x . 10. (palsu)
Contoh penyangkal: x = 9
16. (a) 78 200
(b) (i) 98 600 Akas: Jika x . 10, maka x . 8. (benar)
(ii) 10 tahun Songsangan: Jika x < 8, maka x < 10. (benar)
Kontrapositif: Jika x < 10, maka x < 8. (palsu)
Contoh penyangkal: x = 9
Praktis SPM 3

KERTAS 1 2. C 3. A 4. B 5. B (b) Premis 1: Semua kubus dengan sisi n cm mempunyai luas
7. C 8. A 9. C 10. D permukaan 6n2 cm2.
1. C
6. B Premis 2: Kubus A mempunyai sisi 5 cm.
Kesimpulan: Kubus A mempunyai luas permukaan

6(5)2 = 150 cm2.

KERTAS 2 9. (a) Implikasi 1: Jika dua buah segi tiga adalah kongruen,
maka kedua-dua segi tiga mempunyai bentuk
1. (a) (i) 2 bukan faktor bagi semua nombor genap. dan saiz yang sama.
(ii) –5 , –8
(b) (i) Benar Implikasi 2: Jika dua buah segi tiga mempunyai bentuk
(ii) Palsu dan saiz yang sama, maka kedua-dua segi
tiga adalah kongruen.
2. (a) Akas: Jika m = n, maka am = an.
Songsangan: Jika am ≠ an, maka m ≠ n. (b) (i) n 1 2 3 4 5
Kontrapositif: Jika m ≠ n, maka am ≠ an.
(b) atau p 3 5 7 9 11
p = 1 + 2n
3. (a) { } , {2, 5, 8} dan φ  {2, 5, 8} (ii) 61 batang mancis
(b) Implikasi 1: Jika m ialah nombor ganjil, maka m tidak boleh (iii) 23 buah segi tiga
dibahagi tepat dengan 2.
Implikasi 2: Jika m tidak boleh dibahagi tepat dengan 2, (c) Sudut yang dicangkum di pusat sebuah oktagon ialah
maka m ialah nombor ganjil.
(c) a bukan nombor ganjil. 360° = 45°.
8

10. (a) Benar a . 1, maka a . b dengan keadaan
(b) Implikasi 1: Jika b

4. (a) (i) Tidak munasabah (ii) Munasabah a . 0 dan b . 0.
(b) (i) Benar (ii) Palsu
(iii) Palsu (iv) Benar Implikasi 2: Jika a a. b dengan keadaan a . 0 dan b . 0,
maka b . 1.

5. (a) (i) Kuat tetapi tidak menyakinkan (c) (i) (n – 2) × 180° , n = bilangan sisi poligon sekata
n
(ii) Kuat dan menyakinkan (ii) 140°
(b) Pernyataan benar: √6 . √8 – √2
Pernyataan palsu: √8 – √6 . √2 (iii) Oktagon sekata

(c) Pernyataan. Suatu pernyataan yang benar. (d) Jika x bukan faktor bagi 4, maka x bukan faktor bagi 8.
(Palsu)
6. (a) (i) Bukan pernyataan (ii) Pernyataan
(iii) Bukan pernyataan

339

  Matematik SPM  Jawapan 9. (a) ξ

4Bab Operasi Set P Q

Cuba ini! 4.1

1. (a) (i) P  Q ialah nombor perdana yang melebihi 80. R
(ii) P  Q = {83, 89}
(iii) P  Q = {x : x ialah nombor perdana dan x  80}

(b) ξ P • 70 (b) ξ Q
•••777391 • 72 P
Penerbitan Pelangi Sdn Bhd. All Rights Reserved• 83•••••8888861254Q•74 • 77
• 89 •••898708 • 78

• 75 • 80 R

• 76

2. (a) A  B = {Khamis, Sabtu} 10. (a) Betik, oren dan epal
(b) Anggur, tembikai, kiwi, mangga, jambu dan pisang.

ξ

AB 11. (a) K M

• Ahad ••KShaabmtuis • Isnin
•
• Jumaat • Selasa 12 13 15
Rabu

(b) (i) 13
(b) (i) D  C = (Jumaat, Sabtu} (ii) 27
(ii) A  C = (Khamis, Jumaat, Sabtu}
(c) (D  C)  (A  C) Cuba ini! 4.2

3. (a) P  Q = {–7, 0, 1} 1. (a) (i) A  B ialah set huruf dalam perkataan ‘kecil’ atau
(b) Q  R = {–7, 1, 2}
(c) P  Q  R = {–7, 1} huruf vokal.
(ii) A  B = {k, e, c, i, I, a, o}
4. (a) A  B = {a, e, f } (iii) A  B = {x : x ialah x huruf dalam perkataan ‘kecil’ atau
(b) A  B = ∅
(c) A  B  D = {a, e, f } x ialah huruf vokal}

5. (a) P  Q = {2, 3, 4, 6} (b) ξ A B
(b) Q  R = {3, 6, 8, 10, 12}
(c) P  R = {3, 6} •k •e •a •f
(d) P  Q  R = {3, 6} •i •o •j
•c
•l •m
• p• n
6. (a) ξ
P
2. (a) A  B = {segi tiga sama sisi, segi empat sama, pentagon
Q  sekata, heksagon sekata, heptagon sekata}

ξ

R A

 P   Q B • Heptagon
(b) ξ sekata • Segi empat sama
• Pentagon sekata
• Segi tiga • Heksagon sekata
sama sisi
PQ

• Nonagon • Oktagon

sekata sekata

R (b) A  A  B.

 Q   R 3. (a) P  Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(b) Q  R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 17, 18}
7. (a) (P  Q) = {12, 13, 18, 19, 20, 21, 22, 24} (c) P  Q  R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 17, 18}
(b) (Q  R) = {12, 13, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25}
4. (a) P  Q = {p, q, r, x, y, u, v, w, z}
8. (a) 30 (b) Q  R = {m, s, t, u, x, y, v, z}
(b) 33 (c) P  Q  R = {m, p, q, r, s, t, x, y, u, v, w, z}
(c) 42

340