การให้เหตุผลทางเรขาคณิต

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์

กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์

การให้เหตุผลทางเรขาคณติ

Geometric reasoning

โรงเรยี นมอเจริญ

สานักงานเขตพ้นื ท่ีการศึกษาประถมศึกษากาแพงเพชร เขต 2
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

~1~

การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต
( Geometric Reasoning )

ในบทการให้เหตุผลทางเรขาคณิตนี้ ประกอบดว้ ยหัวข้อยอ่ ย ดังตอ่ ไปน้ี

4.1 ความรพู้ ื้นฐานเกี่ยวกบั การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ 2 ชั่วโมง

4.2 การสรา้ งและการใหเ้ หตุผลเกย่ี วกบั การสรา้ ง 5 ช่ัวโมง

4.3 การใหเ้ หตผุ ลเกย่ี วกบั รูปสามเหลี่ยมและรปู สเ่ี หลย่ี ม 7 ชั่วโมง

สาระและมาตรฐานการเรียนรู้

สาระที่ 2 การวดั และเรขาคณติ
มาตรฐาน ค 2.2 เขา้ ใจและวเิ คราะหร์ ูปเรขาคณิต สมบตั ขิ องรูปเรขาคณิต ความสมั พันธร์ ะหวา่ งรปู
เรขาคณติ และทฤษฎบี ททางเรขาคณติ และนำไปใช้

ตวั ชี้วัด

ใช้ความรู้ทางเรขาคณิตและเครื่องมือ เชน่ วงเวยี นและสนั ตรง รวมทัง้ ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s
Sketchpad หรือ ซอฟต์แวรเ์ รขาคณติ พลวัตอน่ื ๆ เพือ่ สรา้ งรูปเรขาคณิต ตลอดจนนำความรู้เก่ียวกับการสร้างน้ี
ไปประยุกตใ์ ชใ้ นการแกป้ ัญหาในชีวติ จริง

จดุ ประสงค์การเรียนรู้

นกั เรียนสามารถ
1. สรา้ งรูปตามทกี่ ำหนดและใหเ้ หตผุ ลเกีย่ วกบั การสรา้ ง
2. นำสมบตั หิ รือทฤษฎีบทเก่ียวกบั รปู สามเหลย่ี มและรปู ส่เี หลี่ยมมาใช้ในการให้เหตุผล และนำไปใชใ้ น
ชีวติ จริง

~2~

ความรู้พื้นฐานเกีย่ วกบั การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ ( 2 ช่วั โมง )

สาระสำคญั

ข้อสรุปที่ไดจ้ ากการสงั เกตหรอื การทดลองหลาย ๆ ครงั้ ซึ่งเชอ่ื ว่ามคี วามเปน็ ไปได้มากที่สดุ แต่ยงั ไม่ได้
พสิ จู น์ว่าเป็นจริง เรียกข้อสรปุ นนั้ ว่า ขอ้ ความคาดการณ์

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

นักเรียนสามารถ
1. สร้างขอ้ ความคาดการณ์ในสถานการณ์ท่ีกำหนดให้
2. บอกข้อความท่เี ป็น “เหตุ” และข้อความทเ่ี ปน็ “ผล” ของประโยคมเี ง่ือนไขท่ีกำหนดให้
3. เขียนบทกลับของประโยคมีเงือ่ นไข
4. เขียนบทนิยามที่อย่ใู นรปู “ก็ต่อเมื่อ” ให้เป็นประโยคมเี ง่อื นไข 2 ประโยค
5. ใช้บทนิยาม สมบตั ิของจำนวน และสมบตั ิทางเรขาคณิต ในการให้เหตผุ ลทางเรขาคณิต

แหลง่ สบื คน้ / สื่อ
https://www.youtube.com/watch?v=QzO1X4LMYfk
https://www.youtube.com/watch?v=khbOCqQGUPE
https://www.youtube.com/watch?v=D-YNCY-j-Bs
https://www.dltv.ac.th/teachplan/episode/30222
https://www.dltv.ac.th/teachplan/episode/30223
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book2/math-m2b2-014/
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book2/math-m2b2-015/
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book2/math-m2b2-016/

~3~

ขอ้ ความคาดการณ์

ข้อสรุที่ได้จากการสังเกตหรอื การทดลองหลาย ๆ ครั้ง ซง่ึ เชอ่ื วา่ มีความเปน็ ไปได้มากที่สุด แตย่ ังไม่ได้
พสิ จู นว์ า่ เป็นจริง เรียนขอ้ สรุปนน้ั ว่า ขอ้ ความคาดการณ์ ( conjecture )

ขา้ วปัน้ สังเกตจำนวนที่เรียนตามลำดบั ดงั ต่อไปน้ี 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ……….
เขาสังเกตเห็นว่าแบบรูปวา่ จำนวนที่ 1 คือ 2 ซึง่ เท่ากบั 2 x 1
จำนวนท่ี 2 คือ 4 ซง่ึ เทา่ กบั 2 x 2
จำนวนที่ 3 คือ 6 ซ่งึ เทา่ กับ 2 x 3
จำนวนที่ 4 คือ 8 ซึ่งเท่ากบั 2 x 4
จำนวนท่ี 5 คือ 10 ซ่งึ เท่ากับ 2 x 5



จากนนั้ เขาจึงสรา้ งข้อความคาดการณ์ว่า จำนวนท่ี n คือ 2 ซง่ึ เท่ากบั 2 x n

ขา้ วหอมสรา้ งรปู สามเหลย่ี มหนา้ จวั่ บนฐาน AB หลาย ๆ รูป โดยใหด้ า้ นประกอบมมุ ยอดมคี วามยาวต่าง
ๆ กนั ดังตวั อยา่ ง นักเรียนจะสรา้ งขอ้ ความคาดการณ์ เกย่ี วกบั จดุ ยอดของรูปสามเหล่ยี มหนา้ จว่ั ท้ังหลายที่ข้าว
หอมสรา้ งได้อย่างไร

ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

~4~ ถา้ a เป็นจำนวนคู่
แล้ว a2 เปน็ จำนวนคู่
ประโยคมเี งือ่ นไข
ถ้า 2 เปน็ จำนวนคู่
ประโยคมเี งื่อนไขในวิชาคณิตศาสตร์ เชน่ แล้ว 22 เป็นจำนวนคู่
ถ้า  ABCD เป็นรูปสเี่ หล่ยี มมุมฉาก ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นตัดกัน
แลว้  ABCD มีดา้ นตรงขา้ มยาวเท่ากัน แล้วมุมตรงขา้ มมีขนาดเท่ากนั

ประโยคมเี งื่อนไขดงั กล่าวมีรปู แบบเดยี วกัน
คือ ประกอบด้วยข้อความสองขอ้ ความที่เชอ่ื มด้วย ถา้ … แลว้ ….

ข้อความทีเ่ ป็นประโยคมเี งื่อนไขท่ีเราใช้กนั อยู่ บางครงั้ อาจไมป่ รากฏในรูป ถ้า …. แล้ว …. อยา่ งชดั เจน
เชน่ “ จำนวนนบั ทีห่ ารด้วย 2 ลงตัว เปน็ จำนวนคู่ ”

สามารถนำมาเขียนให้อยู่ในรูปประโยค ถ้า … แลว้ … ได้เป็น
ถ้าจำนวนนบั ใดหารดว้ ย 2 ลงตวั แล้วจำนวนนับนน้ั เปน็ จำนวนคู่

 สำหรับในชั้นน้ี ประโยคมเี ง่ือนไข ถ้า … แล้ว … จะพจิ ารณาเฉพาะกรณตี ่อไปนี้
1. ประโยคมเี งือ่ นไขเปน็ จริง ประโยคมีเง่ือนไขนี้ เมื่อเหตเุ ปน็ จริง แลว้ ทำให้เกดิ ผลทีเ่ ป็นจรงิ

เสมอ
2. ประโยคมีเง่อื นไขไมเ่ ป็นจริง ประโยคมีเงื่อนไขนี้ เมื่อเหตเุ ปน็ จรงิ แล้วไม่ทำใหเ้ กดิ ผลที่เปน็

จริงเสมอไป

ตวั อย่าง
นักเรยี นคดิ วา่ ประโยคมีเงื่อนไขข้อใดเปน็ จรงิ
1. ถ้า a เปน็ จำนวนคู่ แล้ว a + 1 เป็นจำนวนค่ี

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………..

2. ถ้า a เปน็ จำนวนคี่ แล้ว a + a เปน็ จำนวนค่ี
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………..

3. ถา้ a เป็นจำนวนคู่ และ b เป็นจำนวนค่ี แลว้ a + b เป็นจำนวนค่ี
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………..

~5~

บทกลบั ของประโยคมีเง่อื นไข บทกลับของประโยคมเี งื่อนไข
“ถ้า  ABC จะมีมุมมมุ หนง่ึ เป็นฉาก
พิจารณาประโยคมีเงื่อนไข ต่อไปนี้
“ถา้  ABC เป็นรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก แล้ว  ABC จะเปน็ รปู สามเหลี่ยมมุมฉาก”
แล้ว  ABC จะมีมมุ มมุ หน่ึงเปน็ ฉาก”

เป็นจรงิ เปน็ จริง

พิจารณาประโยคมเี งื่อนไข ต่อไปนี้ พจิ ารณาประโยคมเี งื่อนไข ต่อไปน้ี
“ ถา้  ABC เปน็ รปู สามเหล่ยี มด้านเท่า “ ถ้า  ABC เป็นสามเหลี่ยมหนา้ จ่ัว
แลว้  ABC เปน็ สามเหลยี่ มหน้าจ่ัว ” แล้ว  ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่า ”

ถ้าประโยคมเี งอื่ นไขใดเปน็ จรงิ แลว้
บทกลบั ของประโยคนนั้
อาจจะจริงหรอื ไมจ่ ริงกไ็ ด้

เปน็ จริง ไม่เป็นจริงเสมไป

ชวนคดิ

จากประโยคมีเงอ่ื นไข
“ ถา้ มะเหมีย่ วอย่จู ังหวัดสงขลา แสดงวา่ มะเหม่ียวอย่ใู นประเทศไทย ” ใหน้ ักเรยี นเขียนบทกลบั ของ
ประโยคข้างต้น พร้อมท้งั อธิบายวา่ บทกลบั ที่ได้เป็นจริงหรือไม่
ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………..……………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………..……………………….

~6~

ในทางคณติ ศาสตรเ์ มอื่ ประโยคมีเง่ือนไขเป็นจรงิ และมีบทกลบั เปน็ จริง อาจเขียนประโยคเดียวกนั โดย
ใชค้ ำว่า ก็ต่อเม่ือ เชื่อมข้อความทง้ั สองในประโยคมเี งื่อนไขน้นั ได้ และประโยคที่ได้กจ็ ะเปน็ จรงิ ด้วย เชน่

ประโยคมเี ง่ือนไข : “ ถา้ รปู สามเหลี่ยมใดเป็นรปู สามเหลีย่ มหน้าจั่ว เปน็ จริง
แลว้ รปู สามเหลยี่ มนนั้ มดี า้ นยาวเท่ากันสองดา้ น ” เปน็ จรงิ

บทกลับ : “ ถา้ รูปสามเหล่ียมน้ันมีดา้ นยาวเทา่ กนั สองดา้ น เป็นจรงิ
แลว้ รูปสามเหล่ยี มใดเป็นรปู สามเหล่ยี มหน้าจั่ว ”

เขียนเปน็ ประโยคเดยี วกนั ได้ดงั นี้
รูปสามเหล่ียมใดเป็นรปู สามเหล่ยี มหนา้ จว่ั กต็ ่อเมื่อ
รูปสามเหลี่ยมน้นั มดี า้ นยาวเทา่ กนั สองด้าน

แบบฝึกทกั ษะ

จดุ ประสงค์
บอกขอ้ ความทเ่ี ปน็ “เหตุ” และข้อความท่ีเป็น “ผล” บทกลบั ของประโยคมเี งื่อนไขได้

คำชแ้ี จง : จงเขยี นประโยคที่เชอื่ มดว้ ย “ก็ต่อเม่อื ” ตอ่ ไปนใ้ี หอ้ ยูใ่ นรูปประโยคมเี งื่อนไข 2 ประโยค
1. รปู สเี่ หล่ียมรปู หนง่ึ เป็นรปู ส่เี หลย่ี มด้ายขนาน กต็ ่อเม่ือ ด้านตรงขา้ มของรปู สี่เหลย่ี มน้ันยาวเท่ากัน

สองคู่
ตอบ
ถา้ ………………………………………………………………………………………………………………………………..
แล้ว ……………………………………………………………………………………………………………………………..
ถ้า ………………………………………………………………………………………………………………………………..
แล้ว ……………………………………………………………………………………………………………………………..

2. รปู สามเหลี่ยมรปู หนึง่ มขี นาดของมมุ เทา่ กันสองมมุ กต็ ่อเมื่อ รุปสามเหลีย่ มนน้ั เปน็ รูปสามเหล่ยี ม
หนา้ จั่ว

ตอบ
ถา้ ………………………………………………………………………………………………………………………………..
แล้ว ……………………………………………………………………………………………………………………………..
ถา้ ………………………………………………………………………………………………………………………………..
แล้ว ……………………………………………………………………………………………………………………………..

~7~

สรุปเนอ้ื หา

ข้อสรุท่ีไดจ้ ากการสังเกตหรอื การทดลองหลาย ๆ ครงั้ ซง่ึ เชือ่ ว่ามคี วามเปน็ ไปได้มากทสี่ ดุ แตย่ ังไม่ได้
พิสจู น์ว่าเป็นจรงิ เรยี นขอ้ สรุปน้ันวา่ ขอ้ ความคาดการณ์ ( conjecture )

----------------------------------------------

ประโยคทีป่ ระกอบด้ายข้อความสองข้อความและเช่ือมดว้ ย ถ้า …. แล้ว ….
เราจะเรยี กขอ้ ความทตี่ ามหลัง ถา้ ว่า “เหตุ”
และเรียกขอ้ ความทีต่ ามหลัง แล้ว วา่ “ผล”
ประโยคในลักษระข้างต้น เรียกวา่ “ประโยคมีเง่ือนไข”

----------------------------------------------

ถ้านำ “ผล” ของประโยคมเี งื่อนไขมาเป็น “เหตุ”
และนำ “เหตุ” ของประโยคมเี ง่ือนไขมาเปน็ “ผล”

เราจะได้ “บทกลบั ” ของประโยคมเี ง่ือนไข
เมอ่ื ประโยคมเี งื่อนไขเป็นจริงและมบี ทกลับเปน็ จริง เราอาจเขียนเปน็ ประโยคเดียวกนั
โดยใช้คำว่า “กต็ ่อเม่ือ” เชื่อมขอ้ ความทั้งสองในประโยคเงื่อนไขนั้นได้

~8~

การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิตมีความเก่ียวข้องกับ คำนิยาม ( undefined term ) ,
บทนิยาม ( definition ) , สัจพจน์ ( axiom ; postulate ) และ ทฤษฎบี ท ( theorem )

คำนยิ าม ( undefined term ) ตวั อยา่ ง คำอนิยามในเรขาคณิต ได้แก่

ในทางคณติ ศาสตร์มคี ำบางคำท่ีใช้เปน็
พืน้ ฐานในการส่ือความหมายให้เข้าใจตรงกัน โดย
ไมต่ ้องกำหนดความหมายของคำ คำเหลา่ น้ีเป็น
คำนยิ าม

บทนิยาม ( definition ) บทนิยามของรงั สี
รังสี คอื ส่วนหนง่ึ ของเส้นตรง ซึง่ มีจุดปลายเพยี งจุดเดียว
เมื่อเริม่ ตน้ กลา่ วถงึ เนื้อหาสาระใด
หลังจากกำหนดคำอนิยามแล้ว จะต้องให้ บทนิยามของรปู สามเหลยี่ มหนา้ จ่วั
ความหมายที่ชดั เจนและรดั กุมของคำต่าง ๆ ที่ รูปสามเหล่ียมหนา้ จ่วั คือ รปู สามเหล่ยี มที่มีดา้ นยาวเทา่ กบั
เกี่ยวขอ้ งกบั เนื้อหาสาระนนั้ ๆ ในรปู บทนิยาม สองด้าน

บทนิยามของรปู ส่ีเหลี่ยมจตั ุรัส
รูปสีเ่ หลยี่ มจตั ุรัส คอื รปู ส่ีเหล่ยี มทม่ี มี มุ ทกุ มุมเป็นมุมฉาก
และมีดา้ นทกุ ด้านยาวเท่ากนั

~9~

บทนิยามของรปู สเี่ หล่ียมจตั ุรัส ข้อความในบทนยิ ามทุกบทนิยาม สามารถเขียนใหเ้ ปน็

รปู ส่เี หลย่ี มจตั รุ สั คือ รูปสเี่ หลีย่ มท่ีมมี มุ ทกุ มมุ เป็น ประโยคทเี่ ช่อื มด้วย “กต็ ่อเม่ือ” ได้เสมอ เช่น

มมุ ฉาก และมดี ้านทกุ ด้านยาวเท่ากนั

จากบทนยิ ามของรูปสีเ่ หล่ียมจัตรุ ัสสามารถเขียนไดเ้ ปน็

“รูปสี่เหล่ยี มใดเปน็ รูปสเ่ี หลย่ี มจุตุรัส กต็ ่อเมื่อ รปู สเี่ หล่ียม
นน้ั มีมมุ ทุกมุมเปน็ มมุ ฉากและมดี ้านทุกด้านยาวเท่ากัน”

สัจพจน์ ( axiom ; postulate ) มเี ส้นตรงเพยี งเส้นเดียวเทา่ น้ันที่ผ่านจดุ สองจดุ ที่กำหนดให้
เสน้ ตรงสองเส้นทตี่ ัดกันจะตัดกันทีจ่ ดุ เพยี งจดุ เดยี วเทา่ นัน้
การใหเ้ หตุผลในการพิสูจนข์ ้อความตา่ ง
ๆ ว่าเปน็ จริงหรือไมน่ น้ั อาจต้องใชข้ ้อความบาง
ขอ้ ความที่ยอมรับว่าเปน็ จริงโดยไม่ต้องพิสูจน์
เรยี กขอ้ ความเหล่าน้ันว่า สจั พจน์

สามารถต่อส่วนของเส้นตรงออกไปท้ังสองข้างได้
โดยให้มีความยาวตามท่ีต้องการ

การพิสูจน์
ขอ้ ความทางคณติ สาสตรส์ ว่ นใหญอ่ ย่ใู นรูปประโยคมีเง่ือนไข การพสิ ูจนข์ ้อความทาง

คณิตศาสตร์ท่เี ปน็ ประโยคมีเง่ือนไข แบง่ เปน็ 2 กรณี คือ

1. การพิสจู น์วา่ ข้อความเป็นจริง 2. การพสิ ูจน์ว่าข้อความไม่เป็นจริง
การพสิ ูจน์ว่าข้อความเป็นจริงน้ัน การพิสูจน์วา่ ข้อความนน้ั ไมเ่ ป็นจริง
จะตอ้ งให้เหตุผลเพื่อแสดงวา่ วธิ ีหน่ึงคอื การใหเ้ หตผุ ลเพ่ือแสเงว่า
เมื่อเหตุเป็นจรงิ แล้ว เมอื่ เหตุเป็นจริงแล้ว
เหตุนั้นทำให้เกดิ ผลท่ีเป็นจริงเสมอ เหตนุ ั้นทำให้ผลสรุปทไ่ี ด้ไม่เปน็ จริง
( ใชต้ วั อย่างค้าน )

~ 10 ~

ตัวอย่าง จงพสิ จู น์วา่ รูปสามเหลยี่ มดา้ นเทา่ เปน็ รูปสามเหล่ยี มหนา้ จ่ัว

แนวคดิ ในการพิสจู น์

ถ้ารูปสามเหล่ยี มใดเปน็ รูปสามเหลีย่ มดา้ นเทา่

แล้วรูปสามเหล่ยี มน้นั เปน็ สามเหล่ียมหนา้ จ่วั

กำหนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ตอ้ งการพสิ จู น์ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว

พิสูจน์ เนอ่ื งจาก ABC เป็นสามเหล่ยี มดา้ นเท่า ( กำหนดให้ )

ดงั นน้ั AB = BC = AC ( รูปสามเหลยี่ มดา้ นเท่า คือ

รปู สามเหลยี่ มที่มดี า้ นยาว

เท่ากนั สามด้าน )

จะได้ AB = AC

ดงั นน้ั ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมหน้าจว่ั

ตัวอยา่ ง กำหนดให้ ABCD เป็นรปู สีเ่ หลยี่ มขนมเปยี กปนู โดยมี AC เปน็ เส้นทแยงมมุ

จงพสิ ูจนว์ ่า ABC เปน็ รูปสามเหลี่ยมหน้าจัว่

กำหนดให้ ABCD เป็นรปู สี่เหลยี่ มขนมเปยี กปูน

มี AC เป็นเส้นทแยงมุม

ตอ้ งการพิสูจน์ ABC เป็นรปู สามเหลีย่ มหน้าจว่ั

พสิ ูจน์ เนอื่ งจาก ABCD เป็นรูปสี่เหลีย่ มขนมเปียกปนู ( กำหนดให้ )

จะได้ AB = CB ( ดา้ นของรูปส่เี หล่ียมขนมเปียกปนู

ยาวเท่ากนั )

ดังนน้ั ABC เปน็ รปู สามเหลีย่ มหนา้ จั่ว ( บทนยิ ามของรปู สามเหลี่ยมหนา้ จ่วั )

~ 11 ~

ตวั อย่าง จงพิสจู น์วา่ ข้อความ “รูปสเ่ี หล่ยี มมมุ ฉากเป็นรูปส่เี หลี่ยมจัตุรสั ” ไม่เป็นจรงิ ( ใช้ตัวอย่างคา้ น )
หารปู สี่เหลีย่ มมมุ ฉากที่ไม่ใช่รูปสี่เหลย่ี มจัตุรัส

พสิ จู น์ เน่อื งจากมีรูปสเี่ หลี่ยมมมุ ฉากทีไ่ ม่เป็นรปู สี่เหลยี่ มจัตรุ สั นน่ั คือรูปสเี่ หล่ียมผืนผ้า

ดงั นั้น ขอ้ ความที่กล่าวว่า “ รปู สเี่ หลี่ยมมุมฉากเปน็ รปู ส่ีเหลีย่ มจัตรุ ัส”
ไมเ่ ป็นจรงิ เสมอไป
นน่ั คอื ข้อความน้ีไม่เปน็ จริง

ทฤษฎบี ท ( theorem )

ขอ้ ความสำคญั ทางคณติ ศาสตรท์ ี่พิสูจน์ได้ว่าเปน็ จรงิ และนำไปใช้ในการอ้างอิงได้

ใหน้ กั เรียนพิจารณารปู ต่อไปน้ี จากรปู OCพบกบั ABที่จดุ O ทำใหเ้ กิดมุมประชดิ ซ่ึง

ไดแ้ ก่  และ  ทม่ี จี ดุ O เปน็ จุดยอดมมุ จดุ

AOC COB

เดียวกนั และ OCเป็นแขนร่วมของมมุ

เนอ่ื งจาก  เปน็ มุมตรง

AOB

ดังนน้ั  = 180

AOB

และเนอ่ื งจาก  +  = 

AOC COB AOB

ดังน้ัน  +  =180

AOC COB

ส่วนของเส้นตรงเส้นหนง่ึ ต้งั อยบู่ นเสน้ ตรงอีกเส้นหนึ่ง
ทำให้เกิดมุมประชิดทมี่ ีขนาดของมุมรวมกนั เท่ากับสองมุมฉาก

คำนยิ าม ( undefined term ) ~ 12 ~

บทนิยาม ( definition ) สรปุ สาระ
สัจพจน์ ( axiom ; postulate )
คำบางคำทใ่ี ชเ้ ป็นพื้นฐานในการส่อื ความหมายให้เขา้ ใจ
ทฤษฎบี ท ( theorem ) ตรงกนั โดยไมต่ ้องกำหนดความหมายให้เขา้ ใจตรงกัน
โดยไมต่ ้องกำหนดความหมาย
การให้ความหมายท่ชี ัดเจนและรัดกุมของคำตา่ ง ๆ
ทีเ่ ก่ียวข้องกับเน้ือหาสาระนน้ั ๆ
ขอ้ ความท่ียอมรบั ว่าเปน็ จริงโดยไมต่ ้องพิสจู น์
ข้อความสำคญั ทางคณิตศาสตรท์ ่พี ิสูจนไ์ ด้วา่ เป็นจริง
และนำไปใชใ้ นการอา้ งองิ ได้

~ 13 ~

ทบทวน นอกจากน้ยี งั มีทฤษฎบี ทเบ้อื งตน้ ทางเรขาคณติ ที่นกั เรียนเคยทราบมาแลว้ และ
สามารถนำไปใช้อ้างองิ ในการพสิ จู น์ได้ เช่น

ทฤษฎบี ท

ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นตัดกัน เม่ือเส้นตรงเส้นหน่ึงตัดเสน้ ตรงคู่หน่ึง
แลว้ มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน เส้นตรงคนู่ น้ั ขนานกนั ก็ต่อเม่ือ
มุมแย้งมีขนาดเทา่ กนั

เม่อื เสน้ ตรงเสน้ หน่ึงตดั เส้นตรง ขนาดของมุมภายในท้งั สาม ถา้ ตอ่ ด้านใดด้านหนง่ึ ของ
คูห่ น่ึงเสน้ ตรงคนู่ นั้ ขนานกัน มุมของรปู สามเหล่ียม รปู สามเหลย่ี มออกไป
กต็ อ่ เมื่อ มุมภายนอกและมุม มุมภายนอกทเี่ กิดขึน้ จะมี
ภายใน ท่ีอยตู่ รงขา้ มบนข้าง รวมกนั เท่ากบั 180 องศา ขนาดเท่ากบั ผลบวกของ
เดยี วกนั ของเส้นตดั มขี นาด ขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่

เท่ากัน มมุ ประชิดของมุมภาย
นอกน้นั

 +  +  =180  =  + 

1 2 3 1 2 3

~ 14 ~

แบบฝกึ ทักษะ

จุดประสงค์

สามารถใชบ้ ทนิยาม สมบตั ิของจำนวน และสมบตั ิทางเรขาคณิต ในการใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ

คำชแี้ จง :

จากรปู กำหนดให้  =  จงหาขนาดของ  + 

1 4 2 3

วธิ ีทำ …………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

~ 15 ~

จากรูป กำหนดให้  =  รปู สามเหลีย่ ม ABC น้ี เป็นรปู สามเหลยี่ มชนดิ ใด

1 3

เมอื่ 1.)  ≠  2.)  = 

2 3 2 3

1.)  ≠ 

2 3

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

2.)  = 

2 3

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

………………………………………….……………………………………………………………………………………………………..

~ 16 ~

กำหนดให้ XY ตดั ABและ CDทจ่ี ดุ E และจดุ F ตามลำดับ และ  = 

AEX DFY

จงให้เหตุผลว่า เพราะเหตุ ABจงึ ขนานกับ CD

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

~ 17 ~

จากรูป กำหนดให้ AB // CD และ DE พบ BC ทจี่ ุด E จงพิสูจน์ว่า  =  + 

BED ABE EDC

กำหนดให้ AB// CD และ DE พบ BC ท่ีจุด E

ตอ้ งการพิสจู น์  =  +  หรือ  =  + 

BED ABE EDC 1 2 3

พสิ จู น์ ……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

~ 18 ~

การสรา้ งและการให้เหตผุ ลเกีย่ วกับการสร้าง ( 5 ชว่ั โมง )

สาระสำคญั

 ประโยคมเี งื่อนไข ประกอบดว้ ยข้อความสองข้อความท่ีเช่ือมดว้ ย “ถ้า...แล้ว...”เรยี กข้อความท่ี
ตามหลงั “ถา้ ” วา่ “เหตุ” และเรยี กข้อความทต่ี ามหลัง “แล้ว” วา่ “ผล”

 เม่อื ประโยคมีเง่อื นไขเป็นจริงและมีบทกลับเป็นจรงิ อาจเขยี นเปน็ ประโยคเดยี วกนั โดยใช้คำาว่า “ก็
ต่อเม่ือ” เชอื่ มข้อความทั้งสองในประโยคมเี ง่ือนไขน้ันได้ และประโยคท่ีได้ก็จะเป็นจรงิ ด้วย

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

นักเรยี นสามารถ
1. ให้เหตุผลเกี่ยวกับการสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณิต
2. สรา้ งรปู สามเหลยี่ มและรูปสีเ่ หล่ียมตามเง่ือนไขทก่ี ำาหนดให้ และใหเ้ หตุผลเกย่ี วกับการสร้างนน้ั

แหลง่ สืบค้น / สื่อ
https://www.dltv.ac.th/teachplan/episode/30224
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book2/math-m2b2-017/
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book2/math-m2b2-018/

~ 19 ~

1. การสร้างสวนของเสน้ ตรงให้มีความยาวเท่ากบั ส่วนของเส้นตรงทก่ี ำหนดให้

นกั เรียนเคยทราบมาแล้ววา่ การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิตใช้เครือ่ งมือเพียงสันตรงและวงเวยี นในการ
สรา้ งรปู เรขาคณิต

ใหน้ ักเรยี นพิจารณาการให้เหตผุ ลเกย่ี วกับการสร้างพ้นื ฐานทางเรขาคณติ 6 ข้อท่เี ปน็ พืน้ ฐานของการ
สรา้ งรูปเรขาคณิตทวั่ ไปต่อไปนี้ พรอ้ มทัง้ เติมเหตุผลลงในช่องว่างให้สมบูรณ์

1. การสร้างสว่ นของเสน้ ตรงให้ยาวเท่ากับความยาวของสว่ นของเสน้ ตรงท่ีกำหนดให้

การสร้างพ้ืนฐาน การให้เหตผุ ล
กำหนดให้ AB เป็นสว่ นของเสน้ ตรงเส้นหนง่ึ
จากการสรา้ ง จะได้ XY = AB
สรา้ ง XY ใหม้ คี วามยาวเท่ากับความยาวของ เพราะ ……………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
AB ………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..

~ 20 ~

2. การแบง่ ครง่ึ ส่วนของเส้นตรงทีก่ ำหนดให้

การสรา้ งพืน้ ฐาน การใหเ้ หตุผล
กำหนดให้ AB เป็นส่วนของเส้นตรงเส้นหนงึ่
ลาก AP , PB, AQ และ QB
สรา้ ง PQ แบ่งครึ่ง ABใหจ้ ุดตัดคือ จุด C
 APQ  BPQ ( มีความสัมพันธ์แบบ ด.ด.ด. )

เพราะ AP = BP ( ใชร้ ัศมยี าวเท่ากนั )

AQ = BQ ( ใชร้ ัศมียาวเทา่ กัน )

PQ = PQ ( PQ เปน็ ด้านร่วม )

จะได้  =  ( มมุ ค่ทู ส่ี มนยั กนั ของรูป

1 2

สามเหลีย่ มท่ีเทา่ กันทุกประการ

จะมีขนาดเท่ากนั )

APC  BPC ( มีความสัมพันธแ์ บบ ด.ม.ด. )

เพราะ ……………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

~ 21 ~

3. การสรา้ งมมุ ให้มขี นาดเทา่ กับขนาดของมุมทกี่ ำหนดให้

การสรา้ งพืน้ ฐาน การให้เหตผุ ล

กำหนดให้  เป็นมมุ มุมหนึ่ง ลาก DE และ MN
…………………………………………………..
ABC …………………………………………………..
…………………………………………………..
สรา้ ง  ใหม้ ีขนาดเทา่ กับ  …………………………………………………..
…………………………………………………..
XYZ ABC …………………………………………………..
…………………………………………………..
…………………………………………………..
…………………………………………………..
…………………………………………………..
…………………………………………………..
…………………………………………………..
…………………………………………………..
…………………………………………………..

จากรูปท่สี ร้าง จะได้

 = 

XYZ ABC

~ 22 ~

4. การแบ่งครงึ่ มมุ ทก่ี ำหนดให้

การสรา้ งพน้ื ฐาน การให้เหตผุ ล

กำหนดให้  เป็นมมุ มุมหน่ึง ลาก MD และ ND
…………………………………………………………………………
ABC

………………………………………………………………………..

สร้าง BDแบ่งคร่งึ มุม  ………………………………………………………………………..

ABC ………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

ดังน้นั  = 

ABD CBD

จากรูปทีส่ รา้ ง BD จะได้ แบ่งครงึ่ 

ABC

เพราะว่า  = 

ABD CBD

~ 23 ~

5. การสรา้ งเส้นต้งั ฉากจากจดุ ภายนอกมายังเสน้ ตรงที่กำหนดให้

การสรา้ งพ้ืนฐาน การให้เหตผุ ล
กำหนดให้ จดุ P เป็นจดุ จุดหน่งึ ที่อยู่
ภายนอก AB ลาก MP , MQ , NP และ NQ

สร้าง PQ ตง้ั ฉากกบั ให้จดุ ตัด ABคอื จดุ C MPQ  NPQ ( มคี วามสัมพนั ธ์แบบ ด.ด.ด. )

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

MPC  NPC ( มคี วามสมั พันธแ์ บบ ด.ม.ด. )

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….

ดงั นัน้  =  = 90

ACP BCP

จากรูปท่ีสร้าง จะได้ PQ ตั้งฉากกับ AB ทจ่ี ดุ C

เพราะวา่  =  = 90

ACP BCP

~ 24 ~

6. การสร้างเส้นต้ังฉากทจี่ ดุ จุดหนึ่งบนเส้นตรงท่ีกำหนดให้

การสร้างพืน้ ฐาน การใหเ้ หตุผล
กำหนดให้ จดุ P อยู่บน AB
ลาก MX และ NX
สร้าง PXตั้งฉากกบั ABท่ีจดุ P
MXP  NXP ( มคี วามสมั พนั ธ์แบบ ด.ด.ด. )

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

น่นั คือ  =  = 90

APX BPX

จากรูปที่สร้าง จะได้ PXตั้งฉากกับ AB ทีจ่ ดุ P

เพราะวา่  =  = 90

APX BPX

~ 25 ~

ตวั อยา่ งที่ 1 กำหนดจุด P อยู่ภายนอก AB จงสรา้ งเส้นตรงผ่านจดุ P และขนานกับ AB

พร้อมทั้งแสดงเหตุผล

กำหนดให้ จดุ P อยูภ่ ายนอก AB

ต้องการสร้าง CP ผ่านจุด P และขนานกับ AB

ข้ันตอนการสร้าง

1. กำหนดจุด E เป็นจุดจุดหนง่ึ บน ABแล้วลาก EP

2. สรา้ ง  ใหม้ ีขนาดเทา่ กับขนาดของ  โดย  และ  เปน็ มุมแย้ง

EPC BEP EPC BEP

3. ลาก CP

จะได้ CP ผา่ นจุด P และขนานกับ AB

กำหนดให้ จดุ P อยภู่ ายนอก AB
ตอ้ งการสร้าง CP ผา่ นจุด P และขนานกับ AB
พสิ ูจน์

เนอื่ งจาก  =  ( จากการสรา้ ง )
( ถา้ เส้นตรงเส้นหนง่ึ ตัดเสน้ ตรงคหู่ น่งึ
EPC BEP ทำใหม้ ุมแย้งมขี นาดเท่ากันและ
เสน้ ตรงคนู่ น้ั ขนานกัน )
ดงั น้ัน CP ขนานกบั AB

น่ันคอื CP ผ่านจุด P และขนานกับ AB

~ 26 ~

วิธที ี่ 2
กำหนดให้ จดุ P อยภู่ ายนอก AB
ตอ้ งการสร้าง CP ผา่ นจดุ P และขนานกับ AB
ข้ันตอนการสร้าง
1. กำหนดจดุ E เป็นจดุ จุดหนึ่ง AB โดยทเี่ ม่ือลาก EP แล้ว EP ไมต่ ั้งฉากกับ AB
2. ใชจ้ ุด E เป็นจดุ ศนู ยก์ ลางรัศมีเทา่ กบั EP เขียนส่วนโค้งตดั AB ให้จดุ ตัดคือจุด Q
3. ใช้จุด P และจุด Q เป็นจุดศนู ยก์ ลาง รัศมีเท่ากับ EP เขียนสว่ นโตง้ ท่จี ดุ R
4. ลาก PR
จะได้ PR ผ่านจุด P และขนานกับ AB

จะได้ PR ผ่านจุด P และขนานกับ AB

กำหนดให้ จดุ P อยู่ภายนอก AB

ตอ้ งการสรา้ ง CP ผา่ นจุด P และขนานกับ AB

พสิ ูจน์ ลาก QR

เนื่องจาก EP = PR = RQ = QE ( จากการสรา้ งใช้รัศมียาวเท่ากัน )

จะได้ EPRQ เป็นรปู สเ่ี หลยี่ มขนทเปียกปูน ( มีด้านทง้ั สย่ี าวเท่ากนั และไม่มีมุมใด

เป็นมมุ ฉาก )

ดงั น้นั PR // EQ ( ดา้ นตรงข้ามของรปู สเ่ี หลี่ยม

ขนมเปียกปูนขนานกัน )

นั่นคือ PR ผา่ นจุด P และขนานกับ AB . ( EQ อยูบ่ น AB)

~ 27 ~

ตวั อยา่ งที่ 2 จงสร้างรปู สามเหล่ียมใหม้ ฐี านยาวเทา่ กับ a หน่วย สูงเทา่ กบั b หน่วย
และมุมทฐ่ี านมุมหน่งึ มีขนาดเทา่ กับ k องศา ดงั รูป พร้อมทั้งแสดงเหตผุ ล

ขั้นตอนการสร้าง
1. สรา้ ง AB ยาว a หนว่ ย
2. ท่ีจุด B สร้าง PBตง้ั ฉากกับ AB
3. ใชจ้ ดุ B เป็นจดุ ศนู ยก์ ลาง รัศมเี ทา่ กับ b หน่วย เขียนส่วน
ของเส้นโคง้ BP ใหจ้ ุดตัดคือ จุด Q
4. สร้าง RQ ตงั้ ฉากกบั BP ทจ่ี ดุ Q จะได้ RQ ขนาน
กับ AB

5. ทจ่ี ดุ A สรา้ ง  ให้มขนาดเท่ากบั k องศา และ

XAB

ให้ AX ตดั RQ ให้จดุ ตัดคือ จดุ C จะได้จจุด C อยหู่ า่ งจาก

ABเท่ากับ b หนว่ ย

6. ลาก BC

จะได้ ABC มีฐาน AB ยาว a หน่วย ความสงู b หนว่ ย และ  มขี นาดเทา่ กับ k หนว่ ย

CAB

~ 28 ~

พสิ ูจน์

เนื่องจาก  =  = 90 ( จากการสรา้ ง )

ABQ BQR

จะได้  +  = 180 ( สมบัติของการเท่ากัน )

ABQ BQR ( ถ้าเสน้ ตรงเสน้ หนึง่ ตดั เสน้ ตรงคหู่ นึง่ ทำให้ขนาดของ
มมุ ภายในทอ่ี ยู่ข้างเดียวกันของเส้นตัด รวมกันเทา่ กบั
ดงั นน้ั RQ // AB 180 องศา )

เนอ่ื งจาก BQ = b หน่วย ( จากการสร้าง )

จะได้ แตล่ ะจุดซง่ึ อยูบ่ น RQ จะอยู่หา่ งจาก ABเทา่ กับ b หน่วย
( ถา้ เส้นตรงสองเส้นนนั้ ขนานกันแล้วระยะหา่ งระหว่าง

เสน้ ตรงคู่นน้ั จะเทา่ กนั )

 = k ( จากการสร้าง และ  กบั  เปน็ มุมเดียวกัน )

CAB XAB CAB

นน่ั คอื ABC มี AB = a หนว่ ย สูง b หนว่ ย และ  = k องศา

CAB

~ 29 ~

แบบฝึกทกั ษะ

จดุ ประสงค์

สร้างและบอกขั้นตอนการสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณิตท่ีกำหนดให้โดยใชว้ งเวยี นและสันตรงได้

คำชแี้ จง :

กำหนด  และส่วนของเสน้ ตรงสองเสน้ ที่ยาว a หน่วย b หนว่ ย ดังรูป จงสร้างรูปสามเหลี่ยม

XYZ

ทมี่ ุมมุมหนงึ่ มีขนากเทา่ กบั คร่ึงหน่ึงของขนาดของ  ดา้ นทีเ่ ป็นแขนของมุมทสี่ รา้ งยาวเทา่ กับ a หน่วย และ

XYZ

b หน่วย ( ไม่ต้องพสิ ูจน์ )

ข้นั ตอนการสรา้ ง
1. …………………………………………………………………………………
2. …………………………………………………………………………………
3. …………………………………………………………………………………
4. …………………………………………………………………………………
5. …………………………………………………………………………………
6. …………………………………………………………………………………
7. …………………………………………………………………………………

คำชแี้ จง :

กำหนด PQR เป็นรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก ดังรปู จงสร้างรปู สามเหลยี่ มหน้าจ่วั ที่มดี ้านประกอบ
มมุ ยอดยาวเทา่ กบั PR และฐานยาวเป็นสองเทา่ ของ PQ ( ไมต่ ้องพิสูจน์ )

ขน้ั ตอนการสรา้ ง
1. …………………………………………………………………………………
2. …………………………………………………………………………………
3. …………………………………………………………………………………
4. …………………………………………………………………………………
5. …………………………………………………………………………………
6. …………………………………………………………………………………
7. …………………………………………………………………………………

~ 30 ~

การให้เหตผุ ลเกีย่ วกับรปู สามเหลย่ี มและรูปสี่เหลีย่ ม ( 7 ชว่ั โมง )

สาระสำคญั

ทฤษฎบี ทในบทเรยี นนี้
 ดา้ นสองดา้ นของรูปสามเหล่ียมรปู หนึง่ จะยาวเทา่ กนั ก็ต่อเม่ือ มุมที่อยูต่ รงข้ามกบั ดา้ นทงั้ สองน้นั มี
ขนาดเท่ากนั
 ถ้ารปู สามเหลีย่ มมมุ ฉากสองรปู มีความสมั พนั ธ์กนั แบบ ฉาก – ดา้ น – ดา้ น ( ฉ.ด.ด. ) กลา่ วคอื มี
ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเทา่ กัน และมีด้านอ่นื อีกหนงึ่ คยู่ าวเท่ากนั แล้วรปู สามเหล่ยี มสองรูปนั้นเทา่ กันทุกประการ
 ดา้ นตรงข้ามของรูปสเ่ี หลยี่ มดา้ นขนานยาวเท่ากัน
 ถ้ารูปสี่เหลย่ี มรูปหนง่ึ มดี ้านตรงข้ามยาวเท่ากนั สองคู่ แล้วรูปสเ่ี หลี่ยมรปู นัน้ เปน็ รปู ส่ีเหลี่ยมด้าน
ขนาน
 มุมตรงขา้ มของรปู สเ่ี หลี่ยมด้านขนานมีขนาดเทา่ กัน
 ถา้ รปู สเ่ี หลยี่ มรูปหน่งึ มีมมุ ตรงข้ามท่ีมขี นาดเทา่ กนั สองคู่ แลว้ รูปส่ีเหลี่ยมรปู น้นั เปน็ รูปส่เี หลี่ยมด้าน
ขนาน
 เส้นทแยงมมุ ทงั้ สองของรูปสี่เหลี่ยมดา้ นขนานแบง่ คร่ึงซง่ึ กันและกันที่จดุ ตัดของเส้นทแยงมมุ
 ส่วนของเส้นตรงที่ปดิ หัวท้ายของส่วนของเสน้ ตรงทขี่ นานกันและยาวเท่ากันจะขนานกันและยาว
เทา่ กัน
 ส่วนของเสน้ ตรงที่ลากเชอ่ื มจุดกง่ึ กลางของด้านสองดา้ นของรปู สามเหลย่ี มใด ๆ จะขนานกับด้านท่ี
สามและยาวเป็นครึ่งหนึ่งของดา้ นท่ีสาม

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

นกั เรยี นสามารถนำทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลย่ี ม เสน้ ขนาน และสมบตั ิ
ของรปู สามเหล่ียม และรปู สีเ่ หลีย่ มไปใช้ในการใหเ้ หตุผล

แหล่งสบื ค้น / ส่ือ
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book2/math-m2b2-021/
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book2/math-m2b2-022/
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book2/math-m2b2-023/
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book2/math-m2b2-024/
https://proj14.ipst.ac.th/m2/m2-math-book2/math-m2b2-031/

~ 31 ~

การให้เหตุผลเก่ียวกับรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท
ถา้ รปู สามเหลีย่ มรูปหนึ่งมดี า้ นยาวเทา่ กนั สองด้าน
แลว้ มมุ ที่อยตู่ รงขา้ มกบั ดา้ นที่ยาวเท่ากนั มีขนาดเทา่ กัน

ดงั รูป

แสดงการพสิ จู น์

กำหนดให้  ABC เป็นสามเหลย่ี มทม่ี ี AB = AC

ต้องการพิสจู น์  = 

ACB ABC

พสิ จู น์ ต่อ ABออกไปทางจุด B จนถึงจดุ D และต่อ AC ออกไปทางจดุ C จนถึงจุด E โดยให้

AD = AE ลาก BE และ CD

พิจารณา ABE และ ACD

AB = AC ( กำหนดให้ )

 =  ( เป็นมมุ เดยี วกัน )
( จากการสรา้ ง )
BAE CAD ( ด.ม.ด. )

AE = AD ( ดา้ นคทู่ ส่ี มนัยกนั ของรปู สามเหลย่ี มท่เี ท่ากนั ทุกประการ
จะยาวเท่ากนั )
ดงั นั้น ABE  ACD
( มมุ คู่ทีส่ มนัยกนั ของรูปสามเหลยี่ มทีเ่ ทา่ กนั ทกุ ประการ
จะได้ BE = CD จะยาวเทา่ กนั )

และ  = 

AEB ADC

~ 32 ~

พจิ ารณา BCE และ CBD

เนือ่ งจาก AE – AC = AD – AB ( สมบตั ขิ องการเทา่ กัน )

จะได้ CE = BD ( สมบัตขิ องการเท่ากัน )

เนื่องจาก BE = CD และ

 =  ( จากการพสิ ูจนข์ ้างต้น )

AEB ADC

ดังนั้น BCE = CBD ( ด.ม.ด.)

จะได้  =  ( มุมคู่ท่ีสมนยั กันของรูป
สามเหลย่ี มท่ีเทา่ กันทกุ ประการ
BCE CBD

จะยาวเทา่ กนั )

เน่อื งจาก  =  ( ตา่ งเปน็ มุมตรง )

ACE ABD

จะได้  -  =  -  ( สมบตั ขิ องการเท่ากัน )

ACE BCE ABD CBD

นั่นคือ  =  ( สมบัตขิ องการเทา่ กนั )

ACB ABC

ทฤษฎีบท

ถา้ รูปสามเหล่ียมรูปหนงึ่ มีด้านยาวเท่ากนั สองด้าน
แลว้ มมุ ท่ีอยู่ตรงข้ามกบั ด้านคู่ทยี่ าวเท่ากนั มีขนาดเท่ากัน

นอกจากนี้ บทกลบั ของทฤษฎีบทนี้กเ็ ปน็ จริงด้วย ดังทฤษฎบี ทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท

ถา้ รปู สามเหลี่ยมรปู หน่ึงมมี ุมที่มีขนาดเท่ากันสองมุม
แลว้ ดา้ นที่อยู่ตรงขา้ มกับมุมคู่ท่ีมขี นาดเท่ากัน จะยาวเท่ากัน

จากทฤษฎีทง้ั สอง เราสามาถเขียนทฤษฎีบททั้งสองให้เป็นทฤษฎีบทเดียวกนั โดยใช้คำวา่ กต็ ่อเม่ือ ได้
ดงั นี้

ทฤษฎีบท

ดา้ นสองด้านของรูสามเหล่ยี มรูปหนงึ่ จะยาวเท่ากนั
กต็ ่อเม่ือ มุมทอ่ี ยู่ตรงข้ามกบั ด้านทง้ั สองน้ันมขี นาดเท่ากัน

~ 33 ~

เน่ืองจากรสู ามเหลยี่ มท่ีมีด้านยาวเทา่ กนั สองด้านเปน็ รปู สามเหล่ยี มหน้าจั่ว ดังนัน้ ผลทีไ่ ด้จากทฤษฎบี ท
ทัง้ สองขา้ งตน้ ทำใหเ้ ราสรปได้ว่า

มุมทฐี่ านของรูปสามเหลยี่ มหน้าจัว่ มีขนาดเท่ากัน

รปู สามเหลี่ยมที่มีขนาดของมุมเท่ากันสองมุมเปน็ รูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั

แบบฝึกทักษะ

จดุ ประสงค์
สามารถนำทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั ความเทา่ กันทกุ ประการของรูปสามเหลยี่ ม เส้นขนาน และสมบตั ขิ องรูป

สามเหลี่ยมไปใช้ในการให้เหตุผล
คำชี้แจง :

กำหนดให้ ABC และ DBC เป็นรูปสามเหล่ียมหน้าจว่ั สองรูปท่ีมีฐาน BC ร่วมกนั ลาก AD
จงหาวา่ ABD และ ACD เท่ากนั ทุกประมารหรอื ไม่ พร้อมท้ังแสดงเหตผุ ล
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

~ 34 ~

สรุป

ทฤษฎบี ท
ถา้ รปู สามเหล่ียมรปู หน่งึ มีดา้ นยาวเทา่ กนั สองด้าน
แล้วมมุ ท่ีอยู่ตรงขา้ มกับดา้ นคทู่ ี่ยาวเท่ากนั มขี นาดเท่ากนั

ทฤษฎีบท
ถ้ารปู สามเหล่ียมรูปหนึ่งมมี มุ ที่มีขนาดเทา่ กนั สองมุม
แล้วดา้ นท่ีอยู่ตรงข้ามกับมุมคทู่ ม่ี ีขนาดเท่ากัน จะยาวเทา่ กนั

ทฤษฎีบท
ดา้ นสองดา้ นของรูสามเหล่ยี มรูปหน่ึงจะยาวเทา่ กัน
กต็ ่อเมื่อ มุมท่ีอยู่ตรงขา้ มกับดา้ นท้ังสองน้ันมีขนาดเท่ากนั

มุมท่ีฐานของรูปสามเหล่ียมหน้าจัว่ มขี นาดเทา่ กัน
รูปสามเหล่ียมท่ีมีขนาดของมุมเทา่ กันสองมุมเป็นรปู สามเหล่ียมหนา้ จ่ัว

~ 35 ~

ทฤษฎีบท
ถา้ รปู สามเหลยี่ มมุมฉากสองรูปมคี วามสมั พนั ธก์ ันแบบ ฉาก - ด้าน - ดา้ น ( ฉ.ด.ด. )
กล่าวคือ มีด้านตรงขา้ มมุมฉากยาวเท่ากัน และมดี ้านอ่นื อีกหนึง่ คูย่ าวเทา่ กัน
แล้วรูปสามเหล่ยี มสองรูปนัน้ เทา่ กันทุกประการ

กำหนดให้ ABC และ DEF เปน็ สามเหล่ยี มมุมฉาก โดยมี  =  = 90

BAC EDF

BC = EF และ AC=DF

ต้องการพิสจู น์ ABC  DEF

แนวคดิ ในการพิสูจน์

ขน้ั ที่ 1 พสิ ูจน์วา่ ABC  DGF

ขัน้ ที่ 2 พิสจู น์ว่า DGF  DEF
ข้ันที่ 3 พิสจู น์วา่ ABC  DEF

~ 36 ~

พสิ จู น์ พิจารนา ABC และ DGF ( กำหนดให้ )
เนื่องจาก AC = DF ( จากการสร้าง )
AB = DG

 = 90 ( กำหนดให้ )

BAC

 = 90 (  เปน็ มมุ ตรง และ  = 90 )

GDF EDG EDF

จะได้  =  ( สมบตั ิของการเทา่ กนั )

BAC GDF

ดงั น้นั ABC  DGF ( ด.ด.ด. ขัน้ ท่ี 1 )

จะได้ BC = GF ( ด้านคทู่ สี่ มนัยกันของรูสามเหล่ยี มทเ่ี ท่ากัน
พิจารณา DGF และ DEF ทุกประการ จะยาวเท่ากนั )

เนื่องจาก BC = EF ( กำหนดให้ )
ดงั นั้น ( สมบัตขิ องการเทา่ กัน )
จะได้ GF = EF
( ถ้ารปู สามเหล่ียมรูปหนึ่งมีด้านยาวเท่ากนั สองดา้ น
เนื่องจาก  =  แลว้ มุมที่อยูต่ รงข้ามกับดา้ นคู่ทีย่ าวเทา่ กนั
มขี นาดเท่ากนั )
FGD FED
( กำหนดให้ )
 = 90

FDE

จะได้  =  ( สมบตั ิของการเทา่ กัน )

FDG FDE

ดังนั้น DGF  DEF ( ม.ม.ด. ขน้ั ที่ 2 )

เนื่องจาก ABC  DGF ( จากการพิสูจนข์ ้างตน้ )

ดงั น้นั ABC  DEF ( สมบตั ิการถ่ายทอด ขน้ั ที่ 3 )

~ 37 ~

แบบฝึกทักษะ

จดุ ประสงค์

สามารถนำทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเท่ากนั ทุกประการของรูปสามเหลย่ี ม เส้นขนาน และสมบัติของรูป

สามเหลี่ยม และรูปสี่เหลี่ยมไปใชใ้ นการใหเ้ หตุผล

คำช้แี จง :

จากรปู กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มรูปหน่ึง และ ABD เป็นรูปสามเหลีย่ มหน้าจั่ว

โดยที่  = 100 จงหาวา่  มขี นาดเท่าไร

BDC BCD

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

~ 38 ~

สรุป

ทฤษฎบี ท
ถ้ารปู สามเหลีย่ มมุมฉากสองรูปมคี วามสมั พันธก์ ันแบบ ฉาก - ดา้ น - ดา้ น ( ฉ.ด.ด. )
กลา่ วคอื มีด้านตรงขา้ มมมุ ฉากยาวเทา่ กัน และมีด้านอ่ืนอีกหน่งึ ค่ยู าวเท่ากัน
แลว้ รปู สามเหลี่ยมสองรูปนัน้ เทา่ กันทุกประการ

~ 39 ~

การให้เหตผุ ลเก่ียวกบั รูปสเี่ หล่ียม

ทฤษฎีบท
ด้านตรงขา้ มของรูปสี่เหลีย่ มด้านขนานยาวเท่ากัน

กำหนดให้  ABCD เปน็ รปู สามเหล่ียมด้านขนาน

ซง่ึ มี AB // DC และ BC // AD
ตอ้ งการพสิ ูจน์ AB = DC และ AD = BC

พสิ ูจน์ ลาก AC

พิจารณา ABC และ CDA

เนอ่ื งจาก AB // DC ( กำหนดให้ )

จะได้  =  ( ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกนั และมีเสน้ ตดั

CAB ACD

แลว้ มุมแย้งมขี นาดเทา่ กัน )

เนอ่ื งจาก BC // AD ( กำหนดให้ )

จะได้  =  ( ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกันและมีเสน้ ตัด

ACB CAD

แลว้ มุมแย้งมขี นาดเทา่ กัน )

สง่ิ ทไ่ี ด้จากการพสิ จู นข์ า้ งต้น

 = 

CAB ACD

 = 

ACB CAD

เนื่องจาก AC= CA ( ACเปน็ ด้านรว่ ม )

ดงั นน้ั ABC CDA ( ม.ด.ม. )

จะได้ AB = CD และ BC = DA ( ด้านคทู่ ส่ี มนยั กนั ของรูปสามเหลีย่ ม

ทเี่ ทา่ กนั ทุกประการ จะยาวเท่ากนั )

น่นั คือ AB = DC และ AD = BC

~ 40 ~

ทฤษฎีบท
ด้านตรงขา้ มของรูปส่ีเหลย่ี มด้านขนานยาวเทา่ กัน

นอกจากน้ี บทกลับของทฤษฎบี ทข้างตน้ กเ็ ปน็ จริงดว้ ย ดังทฤษฎบี ทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท
ถา้ รปู สเ่ี หล่ียมรปู หนึง่ มีดา้ นตรงขา้ มยาวเทา่ กนั สองคู่
แล้วรูปสเ่ี หลี่ยมรูปน้นั เป็นรปู ส่เี หลยี่ มด้านขนาน

และจากท้งั สองทฤษฎีบท เราสามารถเขยี นทฤษฎีบททัง้ สองใหเ้ ป็นทฤษฎีบทเดียวกนั โดยใชค้ ำวา่
ก็ต่อเมื่อ ได้ดังน้ี

ทฤษฎีบท
รูปส่เี หล่ียมรปู หนงึ่ เป็นรปู สี่เหล่ยี มดา้ ยขนาน กต็ ่อเมอ่ื
ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมรูปนนั้ ยาวเทา่ กันสองคู่

~ 41 ~

ทฤษฎีบท
มุมตรงข้ามของรปู สี่เหลีย่ มด้านขนานมขี นาดเทา่ กนั

กำหนดให้ ABCD เปน็ รูปสี่เหล่ียมดา้ นขนาน

ซง่ึ มี AB// DCและ AD // BC

ตอ้ งการพิสูจน์  =  และ  = 

ABC CDA BAD DCB

พสิ ูจน์ ลาก AC

พิจารณา ABC และ CDA

เนื่องจาก AB// DCและ AD // BC ( กำหนดให้ )

จะได้  =  และ  =  ( มุมแยง้ ทเ่ี กิดจากเสน้ ขนาน )
( ACเป็นดา้ นร่วม )
BAC DCA ACB CAD ( ด.ม.ด. )

เนื่องจาก AC= CA ( มุมคู่ทีส่ มนัยกนั ของรูปสามเหลีย่ มที่
เท่ากนั ทกุ ประการ จะมีขนาดเทา่ กนั )
ดงั นนั้ ABC  CDA

จะได้  = 

ABC CDA

จาก  =  และ  = 

BAC DCA ACB CAD

 +  =  +  ( สมบัตขิ องการเทา่ กัน )

BAC CAD DCA ACB

ดังนนั้  =  ( สมบตั ิของการเท่ากนั )

BAD DCB

~ 42 ~

สรปุ

ทฤษฎีบท
ด้านตรงขา้ มของรูปสเ่ี หล่ยี มด้านขนานยาวเท่ากัน

นอกจากน้ี บทกลับของทฤษฎีบท
ทฤษฎีบท
ถา้ รูปส่ีเหล่ยี มรูปหน่ึงมีดา้ นตรงขา้ มยาวเท่ากันสองคู่
แล้วรปู ส่เี หล่ยี มรูปน้ันเปน็ รูปสี่เหลย่ี มด้านขนาน

และจากทั้งสองทฤษฎบี ท เราสามารถเขียนทฤษฎีบททั้งสองให้เป็นทฤษฎบี ทเดยี วกนั โดยใช้คำวา่
กต็ อ่ เมื่อ ไดด้ ังน้ี

ทฤษฎีบท
รปู ส่เี หลี่ยมรูปหนง่ึ เป็นรูปสเี่ หล่ียมด้ายขนาน ก็ต่อเมอ่ื
ดา้ นตรงขา้ มของรูปส่เี หลี่ยมรูปนั้นยาวเทา่ กนั สองคู่

~ 43 ~

ทฤษฎีบท
มมุ ตรงขา้ มของรูปสเ่ี หลย่ี มด้านขนานมขี นาดเทา่ กนั

บทกลบั

รปู สีเ่ หลี่ยมท่ีมมุ ตรงขา้ มมีขนาดเท่ากนั สองคู่จะเป็นรปู ส่ีเหล่ียมด้านขนาน

ทฤษฎบี ท
ถ้ารูปสเี่ หลีย่ มรปู หน่งึ มมี ุมตรงข้ามท่ีมขี นาดเท่ากนั สองคู่
แลว้ รูปส่ีเหลี่ยมรปู นั้นเปน็ รูปสี่เหลยี่ มดา้ นขนาน

กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม ซง่ึ มี  =  และ  = 

A C B D

ตอ้ งการพิสูจน์ ABCD เปน็ รปู ส่เี หล่ยี มด้านขนาน

พสิ จู น์ เนื่องจาก  +  +  +  = 360 ( ขนาดของมุมภายในทั้งส่ีของ

A B C D

รูปสเ่ี หล่ยี มรวมกนั เทา่ กัน 360 องศา )

และ  =  และ  =  ( กำหนดให้ )

A C B D

จะได้ 2  + 2  = 360 ( แทน  ดว้ ย  และแทน  ดว้ ย  )

A B C A D B

ดังนนั้  +  = 180 ( สมบัติการเท่ากัน )

A B ( ถา้ เสน้ ตรงเส้นหนึ่งตดั เส้นตรงคหู่ น่ึงทำให้
ขนาดของมมุ ภายในทอ่ี ยู่บนขา้ งเดยี วกันของ
จะได้ AD // BC เส้นตดั รวมกันเท่ากบั 180 องศา แล้ว

จาก  =  และ  +  = 180 เสน้ ตรงคนู่ ัน้ ขนานกัน )

B D A B

ดังนนั้  +  =180 ( สมบัตขิ องการเทา่ กัน )

A D

~ 44 ~

จะได้ AB// DC ( ถ้าเสน้ ตรงเส้นหนง่ึ ตดั เสน้ ตรงคหู่ นงึ่ ทำให้
ดังน้นั ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมด้านขนาน ขนาดของมมุ ภายในทอี่ ยบู่ นข้างเดยี วกนั ของ
เส้นตดั รวมกนั เทา่ กับ 180 องศา แล้ว
เส้นตรงคู่น้ันขนานกนั )

( มดี า้ นตรงข้ามขนานกันสองคู่ )

~ 45 ~

แบบฝกึ ทกั ษะ

จดุ ประสงค์
สามารถนำทฤษฎีบทเกย่ี วกบั ความเทา่ กนั ทกุ ประการของรูปสามเหลีย่ ม เส้นขนาน และสมบัติของรปู

สามเหล่ียม และรปู ส่ีเหลย่ี มไปใช้ในการใหเ้ หตุผล
คำชแ้ี จง :

ทฤษฎีบท
เสน้ ทแยงมุมทั้งสองของรูปสเ่ี หล่ียมด้านขนาน
แบง่ ครง่ึ ซงึ่ กนั และกนั ทีจ่ ุดตดั ของเสน้ ทแยงมุม

กำหนดให้ ABCD เปน็ รูปสี่เหส่ยี มด้านขนาน ซ่ึงมี AB// DCและ AD // BC
ACและ BDเป็นเส้นทแยงมมุ ทีต่ ัดกันที่ E

ต้องกนั พิสูจน์ AE = CE และ BE = DE
พิสูจน์ จาก ABE และ CDE
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

~ 46 ~

สรุป

ทฤษฎีบท
มมุ ตรงขา้ มของรูปสเ่ี หลี่ยมด้านขนานมีขนาดเท่ากนั

ทฤษฎีบท
ถา้ รูปสเี่ หลยี่ มรูปหนงึ่ มมี ุมตรงขา้ มที่มีขนาดเทา่ กันสองคู่
แล้วรูปสเ่ี หลย่ี มรูปนั้นเป็นรูปสี่เหล่ยี มดา้ นขนาน

ทฤษฎีบท
เส้นทแยงมุมท้ังสองของรปู ส่เี หล่ียมด้านขนาน
แบ่งครึ่งซง่ึ กันและกันท่จี ุดตัดของเสน้ ทแยงมมุ

~ 47 ~

ทฤษฎีบท
สว่ นของเส้นตรงท่ปี ิดหวั ทา้ ยของส่วนของเส้นตรง

ท่ขี นานกันและยาวเท่ากนั จะขนานกนั และยาวเท่ากนั

กำหนดให้ AB// CD, AB= CD โดยมี ACและ BD เป็นเสน้ ปดิ หัวทา้ ยของ ABและ CD
ตอ้ งการพสิ จู น์ AC// BDและ AC= BD
พสิ ูจน์ ลาก AD

พจิ ารณา ACD และ DAB ( กำหนดให้ )
CD = BA

 =  ( ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและ
มเี ส้นตัดแล้วมมุ แย้งมีขนาดเทา่ กัน )
ADC DAB

AD = DA ( AD เป็นดา้ นร่วม )

ดังน้ัน ADC  DAB ( ด.ม.ด. )

จะได้ AC = BD ( ดา้ นคู่ท่สี มนัยกันของรปู สามเหลี่ยม
ทเี่ ท่ากันทุกประกัน จะยาวเท่ากนั )
และ  = 
( มมุ คู่ท่ีสมนัยกันของรปู สามเหลีย่ ม
CAD BDA ทเี่ ทา่ กนั ทุกประการ จะมีขนาดเท่ากนั )
( ถ้าเสน้ ตรงเสน้ หนึ่งตดั เส้นตรงคู่หนง่ึ
ดังน้ัน AC// BD ทำให้มมุ แยง้ มีขนาดเท่ากนั
แล้วเส้นตรงคนู่ ัน้ ขนานกัน )

~ 48 ~

ทฤษฎีบท
รูปส่ีเหล่ยี มท่มี ีดา้ นท่ีอยตู่ รงข้ามกันตหู่ นง่ึ ขนานกันและยาวเทา่ กนั

เปน็ รูปสี่เหลี่ยมดา้ นขนาน

แบบฝึกทักษะ

จดุ ประสงค์
สามารถนำทฤษฎบี ทเก่ียวกบั ความเทา่ กนั ทกุ ประการของรูปสามเหลย่ี ม เส้นขนาน และสมบตั ขิ องรปู

สามเหล่ียม และรูปสเี่ หลี่ยมไปใชใ้ นการใหเ้ หตุผล
คำชแ้ี จง :
1.) จากรูป AB// CD, WX // YZ และ XY // ZV จงหาค่าของ x

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

~ 49 ~

2.) กำหนดให้ ABCD เปน็ รปู ส่เี หลี่ยมดา้ นขนาน และจุด E กับจุด F เป็นจุดกง่ึ กลางของด้าน AD
และด้าน BC ตามลำดบั ถา้ ลาก DF และ EB จงพิสจู น์ว่า DFBE เป็นรปู สี่เหลีย่ มด้านขนาน

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………