เอกสารฟังก์ชันตรีโกณมิติ63-2

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จากรูปกาหนด θ เป็นมุมที่จุดศนู ยก์ ลางของวงกลมหน่ึงหน่วย

y P(x , y) มีจุดศูนยก์ ลางท่ีจุด (0, 0) และพกิ ดั ของจุด P คือ (x, y)

1 จะได้ sin θ  y  y , cos θ  x  x , tan θ  y
x (1 , 0 )
1 1x
cos ecθ  1 , sec θ  1 , cot θ  y

y xx

บทนิยาม ถา้ (x , y ) เป็นจุดบนเส้นรอบวงของวงกลมหน่ึง
หน่วย ซ่ึงวดั จากจุด (1, 0 )ไปตามส่วนโคง้ ยาว  หน่วย
ฟังกช์ นั sin e คือ เซตของคู่อนั ดบั θ , y 
ฟังกช์ นั cosine คือ เซตคู่อนั ดบั θ , x 

จากสมการวงกลม x 2  y 2  r 2 ถา้ แทนค่า x = cos θ แทนค่า y = sin θ และ แทนคา่ r = 1

จะได้ cos 2 θ  sin 2 θ  1

กราฟของฟังชนั ตรีโกณมิติ
N

2

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

การหาคา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติที่อยใู่ นรูปต่างๆ

 sinπ  θ   sin 180  θ  sin θ
 cosπ  θ   cos 180  θ   cos θ
 tanπ  θ   tan 180  θ   tan θ
 sinπ  θ   sin 180  θ   sin θ
 cosπ  θ   cos 180  θ   cos θ
 tanπ  θ   tan 180  θ  tan θ
 sin2π  θ   sin 360  θ   sin θ
 cos2π  θ   cos 360  θ  cos θ
 tan2π  θ   tan 360  θ   tan θ
 sin      sin 90    cos

2 
cos(   )  cos(90   )  sin 

2
tan      tan(90   )  cot 

2 

sec2   1  tan2  เม่ือ cos  0
csc2   1  cot 2  เม่ือ sin  0

-3-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

วงกลมหน่ึงหน่วย

หน่วย

P( 2 )    1 , 3  P (  ) = (0, P(π )   1 , 3 
3 2 2 3 2 2
2
P ( 3π )    2, 2  P(π )   2, 2 
4 2 2 1) 3 4 2 2

P ( 5π )    3 , 1  2 P ( π )   3 , 1 
6 2 2 6 2 2
2
2

1

2

P() = (-1, 0) P(0) = (1, 0) X

 3 2 1 O 23
22 2 1 22
2

P ( 7π )    3 , 1  1 P (116π )   3 , 1 
6 2 2 2 2 2

P ( 5π )    2 , 2  2 P ( 7π )   2 , 2 
4 2 2 2 4 2 2

P ( 4π )    1 , 3  3 P ( 5π )   1 , 3 
3 2 2 2 3 2 2

P ( 3π ) = (0, -1)

2

แบบฝึกหดั ท่ี 2 จงหาค่าของ

1. sin π cos π  tan π sec π …………………………………………………………………..
34 46

…… ……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………..

2. 3 tan 2 π  1 sin 2 π  1 csc 2 π  4 cos 2 π ……………………………………………
63 32 43 6

…… ……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………

4

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

2. sin 720 cot 45  sec 60 cos 360  2 cos 60 sin 90 ……………………………………………… ……

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

3. 3 tan 2 45  sin 2 60  1 cot 2 30   1 sec 2 45 ……………………………………………………... ……
28
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

4. 2 sin 2 45 sec 2 45  cos 30 tan 60  csc 60 cot 30 ……………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………..

5. cos π sin 2 π  tan 0 sec 2 π  csc 2 π sin 3π …………………………………………………………. ……
3 4 32
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

-5-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

6. cos 240 cos 120  sin 120 cos 150 …………………………………………………………………... ……

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

7. 3 tan 2 7π  4 cos 2  11π   1 sec 2 4π ………………………………………………………………... ……
6 3 6 2 3

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

8. cos 7π  sin 5π  2 sin 8π  ……………………………………………………………………………………
6 3 3

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

9. กาหนด π  3.14 ถา้ cos 0.86  0.65 แลว้ cos 4  sin 4 เท่ากบั เทา่ ได

……………………………….. …………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

6

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เทคนิคการแปลงค่ามุมท่มี ขี นาดมากกว่า 2 หรือ มากกว่า 360

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ sin 421π ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ tan 235π
วธิ ีทา
6 4

เพราะวา่ sin 421π  sin  70π  π  วธิ ีทา เพราะวา่ tan 235π  tan58π  3π 
6 6 4 4

 sin π  tan 3π
6 4

1   tan π
2 4

 1

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ cos 118π ตวั อยา่ ง จงหาค่าของ sec 335π

3 6

วธิ ีทา เพราะวา่ cos 118π  cos39π  π  วธิ ีทา เพราะวา่ sec 335π  sec 56π  π 
3 3 6 6

 cosπ  π    π 
3 6
 sec
  cos π
3  sec π
6
 1
2  2 2 3
33

การหาคา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติจากตาราง

ตวั อยา่ ง กาหนด sin 53  0.7986 , sin 5310  0.8004 และ sin A  4 จงหาขนาดของมุม A

5

วธิ ีทา จาก sin A  4  0.8

5

เพราะวา่ sin 53  0.7986 , sin 5310  0.8004

ค่าของ sine เพม่ิ ข้ึน 0.8004 – 0.7986 = 0.0018 ค่าของมุมเพิ่มข้ึน 10 ลิปดา

ค่าของ sine เพิม่ ข้ึน 0.8000 - 0.7986 = 0.0014 คา่ ของมุมเพ่ิมข้ึน 0.0014 10  7.78 ลิปดา

0.0018

หรือ เพ่ิมข้ึน 7 ลิปดา 47 ฟิ ลิปดา

นนั่ คือ ขนาดของมุม A คือ 53 องศา 7 ลิปดา 47 ฟิ ลิปดา
ตวั อยา่ ง จงหาค่าของ cos 2344 เม่ือกาหนดให้ cos 2340  0.9159 และ cos 2350  0.9147
……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………… ……………………………………………

-7-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

แบบฝึ กหดั

1. ให้ 0  x  360 จงหาคา่ ของ x เม่ือกาหนดเงื่อนไขดงั น้ี

1) sin x   1 6) sin x   3 , tan x  0

2 2

2) cos x  1 7) sin x   3

2 2

3) tan x  3 8) tan x  1
9) sin x  0
4) sec x   2 10) sec x ไมน่ ิยาม

3

5) cot x  1 เม่ือ sin x  0

2.จงใชต้ ารางหาคา่ ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติต่อไปน้ี

1) sin 44 ………………………………………………………………………………………… ………
………………………………………………………………………………………………………….

2) cos 25 ……………………………………………………………………………………….. ………
…………………………………………………………………………………………………………..

3) sec 16 ………………………………………………………………………………………… ………
….……………………………………………………………………………………………………….

4) cot π …………………………………………………………………………………………… …….

5

………………………………………………………………………………………………………….

5) sin1.083 ……………………………………………………………………………………….. ……
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………….

6) cos 0.413 ………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………..

7) cos 2 ……………………………………………………………………………………………. …….
………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………….

8) tan 0.364 ………………………………………………………………………………………... ……
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

8

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

3. จงแสดงวา่

1) sec 2 θ  csc 2 θ  sec 2 θ csc 2 θ
…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

2) tan x  cot x 2  sec 2 x  csc 2 x
…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

3) sin θ  1  cos θ 
1  cos θ sin θ

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

4) cos 2 θ  sin 2 θ  1  2 sin 2 θ …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

-9-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

ฟังกช์ นั ผลบวก ผลต่างของมุม 2 มุม

ถา้ ให้ A และ B เป็นมุม 2 มุม จะไดว้ า่

1. cos( A  B )  cos A cos B  sin A sin B
2. cos( A  B )  cos A cos B  sin A sin B
3. sin( A  B )  sin A cos B  cos A sin B
4. sin( A  B )  sin A cos B  cos A sin B

5. tan( A  B )  tan A  tan B

1  tan A tan B

6. tan( A  B )  tan A  tan B

1  tan A tan B

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ cos 75 , cos 15 , sin 75 , sin 15 , tan 75 , tan 15

วธิ ีทา 1. เพราะวา่ cos 75  cos( 45  30  )

 cos 45  cos 30   sin 45  sin 30 

  2  3    2  1 
2 2 2 2

 6 2
44

ดงั น้นั cos 75   6  2
4

 2. เพราะวา่ cos 15  cos 45  30

 cos 45  cos 30   sin 45  sin 30 

  2  3    2  1 
2 2 2 2

 6 2
44

ดงั น้นั cos 15   6  2
4

10

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

3. เพราะวา่  sin 75  sin 45  30 
ดงั น้นั
 sin 45  cos 30   cos 45  sin 30 

  2  3    2  1 
2 2 2 2

 6 2
44

cos 75   6  2
4

4. เพราะวา่  sin 15  sin 45  30 

 sin 45  cos 30   cos 45  sin 30 

  2  3    2  1 
2 2 2 2

 6 2
44

ดงั น้นั cos 75   6  2
4

5. เพราะวา่  tan 75  tan 45  30 
ดงั น้นั
 tan 45   tan 30 
1  tan 45  tan 30 

1 1

3 
1  1
1
3

1 1 3 1 3 1
 3 3 3 3
3 1
1 1 33 3 1
3 3

   3  1  3  1 3  1  3  2 3  1
  3  1 3  1 3  1 3 1

 42 3 2 3
2

tan 75  2  3

-11-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

6. เพราะวา่  tan 15  tan 45  30 
ดงั น้นั
 tan 45   tan 30 
1  tan 45  tan 30 

1 3
3

1 3
3

 3 3 2 3
3 3

tan 75  2  3

ตวั อยา่ ง จงหาค่าของ 1  4sin10 sin 70
2 sin10
 วธิ ีทา
1  4 sin10 sin 70  1  2 cos(10  70 )  cos(10  70 )
2 sin10 2 sin10
 
1  2 cos 60  cos 80 
2 sin 10 

1  212  cos 80  
2 sin 10 


 1  1 2 cos 80
2 sin 10

 2 cos 80
2 sin10

 cos 80
sin 10 

 sin 10 
sin 10 

1

12

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

แบบฝึกหดั จงหาคา่ ของ
1. cos 105 , sin 105 , tan105 ………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
2. cos 70 cos 40  sin 70 sin 40 …………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….
3. cos 70 cos 20  sin 70 sin 20 …………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
4. sin 38 cos 22  cos 38 sin 22 …………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
5. sin 52 cos 22  cos 52 sin 22 …………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….

-13-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

6. tan 40  tan 20 …………………………………………………………………………………

1  tan 40  tan 20 

……………….…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….

7. tan 50  tan 20 ………………………………………………………………………………

1  tan 50  tan 20 

…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….

8. กาหนด sin A  3 และ cos B  2 จงหาคา่ ของ cosA  B 

55

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………….

14

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

9. กาหนด sin A  3 และ cos B  2 จงหาค่าของ cosA  B 

55

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

10. กาหนด sin A  3 และ cos B  2 จงหาคา่ ของ sinA  B 

55

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………….

11. กาหนด sin A  3 และ cos B  2 จงหาค่าของ sinA  B 

55

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

-15-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

12. กาหนด sin A  3 และ cos B  2 จงหาค่าของ tanA  B 

55

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………….

13. กาหนด sin A  3 และ cos B  2 จงหาคา่ ของ tanA  B 

55

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
14. จงหาคา่ ของ cos 80  sin 50  cos 20
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………….

15. จงแสดงวา่ sin  π θ   cos θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

16

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

16. จงแสดงวา่ cos  π  θ   sin θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

17. จงแสดงวา่ sin  π  θ   cos θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

18. จงแสดงวา่ cos  π θ    sin θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

19. จงแสดงวา่ sin  3π  θ    cos θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

20. จงแสดงวา่ sin  3π  θ    cos θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………..

-17-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

21. จงแสดงวา่ cos  3π  θ    sin θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

22. จงแสดงวา่ cos  3π  θ   sin θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

23. จงแสดงวา่ t an  π θ   cot θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

24. จงแสดงวา่ cot  π θ   tan θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

25. จงแสดงวา่ t an π θ    cot θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………….

26. จงแสดงวา่ cot  π θ    tan θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………….

18

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

27. จงแสดงวา่ t an 3π θ   cot θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

28. จงแสดงวา่ t an  3π  θ    cot θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

29. จงแสดงวา่ cot  3π  θ   tan θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………….

30. จงแสดงวา่ cot  3π  θ    tan θ
2

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

31. cos( A  A) …………………………………………………………………………………...……
…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………..
32. sin( A  A) = ………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………… ………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

33. tan(A  A)  …………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

-19-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

ฟังกช์ นั ตรีโกณท่ีมีขนาด 2 เท่า และ 3 เท่า ตวั อยา่ ง ให้ π  A  π และ csc A  5

1. cos 2A  cos 2 A  sin 2 A 24
2. cos 2A  2 cos 2 A  1
3. cos 2A  1  2 sin 2 A จงหาคา่ ของ sin 2A, cos 2A, tan 2A
4. sin 2A  2 sin A cos A
5. tan 2A  2 tan A วธิ ีทา เพราะวา่ csc A  5 5 4

1  tan 2 A 4

6. cot 2A  cot 2 A  1 จะไดว้ า่ sin A  4 A -3

2 cot A 5

7. cos 3A  4 cos 3 A  3 cos A cos A   3
8. sin 3A  3 sin A  4 sin 2 A 5
9. tan 3A  3 tan A  tan 3 A
และ tan A   4
1  3 tan 2 A
3
10. cot 3A  cot 3 A  3 cot A
จาก sin 2A  2 sin A cos A
3 cot 2 A  1
ดงั น้นั sin 2A  2 4   3    24
5 5 25

จาก cos 2A  2 cos 2 A  1

ดงั น้นั cos 2A  2  3  2 1  18 1   7
5 25 25

ตวั อยา่ ง จงหาค่าของ tan2A เมื่อกาหนด tan A   4 

 3

วธิ ีทา จาก tan 2A  2 tan A ดงั น้นั
1  tan 2 A

tan 2A  2  4  8    8   9   24
3 3 3 7 7

1    4  2 1  16
3 9

20

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตวั อยา่ ง จงหาค่าของ sin 18

วธิ ีทา ให้ A  18 ดงั น้นั 5A  90

2A  3A  90
2A  90  3A

 sin 2A  sin 90   3A

2 sin A cos A  cos 3A

2 sin 2 A cos A  4 cos 3 A  3 cos A

2 sin A  4 cos 2 A  3

2 sin A  4(1  sin 2 A)  3

2 sin A  4  4 sin 2 A  3

4 sin 2 A  2 sin A  1  0

 2  2 2  4(4)( 1)
sin A 

2(4)

sin A   2  4  16
8

  2  20
8

 22 5
8

 1  5
4

เพราะวา่ A  18 ทาให้ sin A  0 ดงั น้นั ค่า sin 18   1  5 เป็ นค่าที่ใชไ้ ม่ได้

4

นนั่ คือ sin 18   5  1
ตวั อยา่ ง จงหาค่าของ cos 18 4

วธิ ีทา จาก cos 2 A  sin 2 A  1

ดงั น้นั cos 2 18  sin 2 18  1

cos 2 18   1  sin 2 18 

 1   5 1  2
4

162 5
16

cos 2 18   10  2 5
16

cos 18   10  2 5
4

-21-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สูตรคร่ึงมุม 1. sin A   1  cos A 2. cos A   1  cos A

22 22

แบบฝึ กหดั

1. กาหนด π  θ  3π และ sec θ   13 จงหาคา่ ของ

2 12

1) sin 2  ……………………………………………………………………………………………. ……
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

2) cos 2θ …………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

3) tan 2θ  …………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

2. กาหนด cos x  3 และ 3π  x  2π จงหา

52

1) sin 2  ……………………………………………………………………………………………. ……
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

2) cos 2θ …………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

22

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

3) tan 2θ  …………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

3. กาหนด π  A  π และ tan A   3 จงหา
22 24

1) tan A  ……………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………..

2) cos A  …………………………………………………………………………………………… …….
………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

3) sin A  ……………………………………………………………………………………………. ………
………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

4. กาหนดให้ cot θ  3 เมื่อ 0  θ  π จงหาคา่ ของ 3 cos 2θ  7 sin 2θ

72

…………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………….……………………………………………………………

………………………………..........................................................................................................................................

-23-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

5. จงหาคา่ ของ cos π cos 2π cos 4π
77 7

…………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

6. กาหนด tan x  t จงหาค่าของ sin 2x  cos 2x  1 ในรูปของ t

sin 2x  cos 2x  1

…………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

7. กาหนด sin 20  a จงหาคา่ ของ tan 155  tan 105 ในรูปของ a

1  tan 155  tan 105 

…………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

24

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

8. จงหาค่าของ sin( A  B )  sin( A  B )
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
9. จงหาคา่ ของ sin( A  B )  sin( A  B )
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
10. จงหาคา่ ของ cos( A  B )  cos( A  B )
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
11. จงหาคา่ ของ cos( A  B )  cos( A  B )
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

-25-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สรุปการเปล่ียนผลคูณเป็ นผลบวก

1. 2 sin α cos β  sin(α  β )  sin(α  β )
2. 2 cos α sin β  sin(α  β )  sin(α  β )
3. 2 cos α cos β  cos(α  β )  cos(α  β )
4. 2 sin α sin B  cos(α  β )  cos(α  β )

พิจารณาจากสูตรท้งั สี่ขา้ งบนน้ี ถา้ ให้ A  α  β และ B α β

จะได้ A  B  2α นนั่ คือ α  A  B

2

และ A  B  2β นน่ั คือ β  A  B

2

นาคา่ α , β ,α  β และ α  β ท่ีไดแ้ ทนในสูตรขา้ งตน้ จะได้

5. sin A  sin B  2 sin A  B cos A  B

22

6. sin A  sin B  2 cos A  B sin A  B

22

7. cos A  cos B  2 cos A  B cos A  B

22

8. cos B  cos A  2 sin A  B sin A  B

22

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ 8 sin 70 sin 50 sin 10

  วธิ ีทา sin140 (2sin 50
8 sin 70  sin 50  sin 10   4 sin 70  sin 50  2 sin 10  cos 10  LS  cos10 )
cos 10 
sin(90  50 )(2 sin 50
 4 sin 70  sin 50  sin 20   cos10 )
cos 10 
cos 50 (2 sin 50 )
 4 sin 70  sin 50  sin( 90   70 )  cos10
cos 10 
2 sin 50 cos 50
 4 sin 70  sin 50  cos 70   cos10
cos 10 
sin 100 
 (2 sin 70  cos 70  )(2 sin 50  )  cos10
cos 10 
sin(90  10 )
 cos10

 cos10
cos10

1

26

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

แบบฝึ กหดั

1. จงหาคา่ ของ sin 30   sin 50   sin 70   sin 90 

cos 30   cos 50   cos 70   cos 90 

…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
2. จงหาค่าของ cos 20  cos 40  cos 80
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
3. จงหาคา่ ของ sin 20  sin 40  sin 80
………………….………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

-27-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

4. กาหนด cos A  3 จงหาค่าของ 32 sin A  sin 5π

4 22

……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
5. จงหาค่าของ cos 2 20  cos 2 40  cos 2 60  ...  cos 2 160
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..
6. จงแสดงวา่ cos 12  cos 60  cos 84   cos 24   cos 48
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

28

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

7. จงแสดงวา่ sin 7x  sin x  2 sin 2x  cos 3x  4 cos 2 3x  sin x
………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

…………………................................................................................................................................................................

8. หาคา่ ของ sin 2 A  sin 2 (120   A)  sin 2 (240   A)
………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

…………………................................................................................................................................................................

9. จงหาค่าของ cos 2π  cos 4π  cos 8π  cos 14π
15 15 15 15

…………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

-29-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

10. ถา้ π  α  π , π  β  3π และ cos α   3 , tan β  5 จงหาค่าของ cos( + )

2 2 5 12

………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………………………..

11. ถา้ sin x  3 , sin( x  y )   5 และ 0  x  π , π  x  y  3π จงหา sin y และ tanx  y 

5 13 2 2

…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
12. ถา้ cos 64   0.44 จงหา cos 32
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
13. ถา้ cos 1.04  0.50 จงหา sin 0.52
………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

30

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

อนิ เวอร์ส ของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

x  sin y

π y  sin x
2
π π 3π 2π
π  π
22
2 -π

2

จากรูปจะเห็นวา่ x , y x  sin y  ไมเ่ ป็ นฟังกช์ นั แต่ถา้ กาหนดโดเมนของฟังกช์ นั เสียใหมเ่ ป็ น π  x  π
22

จะได้ x , y y  sin x , π x  π  ซ่ึงมีฟังกช์ นั อินเวอร์ส เป็ น x, y x  sin y,   y   
2 2  2 2 
   

หรือ x, y y  arcsin x,   y  
2 
 2 

ในลกั ษณะเดียวกนั จะหาฟังกช์ นั อินเวอร์สของฟังชนั ตรีโกณมิติอ่ืนๆได้ และจะนิยามฟังกช์ นั อินเวอร์สของ

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติดงั น้ี

บทนิยามฟังกช์ นั arcsine คือเซตของคู่อนั ดบั ( x , y ) โดยท่ี x  sin y และ  π  y  π

22

ฟังกช์ นั arccosine คือเซตของคู่อนั ดบั ( x , y ) โดยท่ี x  cos y และ 0  y  π

ฟังกช์ นั arctangent คือเซตของคู่อนั ดบั ( x , y ) โดยที่ x  tan y และ  π  y  π

22

-31-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ arcsin 1
2

วธิ ีทา ให้ arcsin 1  θ

2

จะได้ sin θ  1 และ  π  θ  π

2 22

นนั่ คือ θ  π

6

ดงั น้นั arcsin 1  π

26

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ arccos 2 และ 0  A  π

2

วธิ ีทา ให้ arccos 2  A

2

จะได้ cosA = 2

2

น้นั คือ A  π

4

ดงั น้นั arccos 2  π

24

ตวั อยา่ ง จงพสิ ูจนว์ า่ arctan x  arctan y  arct an x y เม่ือ  π  arctan x  arctan y  π
วธิ ีทา ให้ 1  xy
จะได้ 22
ดงั น้นั
จาก arctan x  A และ arctan y  B

แต่ tan A  x และ tan B  y
จะได้
หรือ arctan x  arctan y  A  B

t an( A  B )  tan A  tan B
1  tan A tan B

 x y
1  xy

π  AB  π
22

AB  arctan x y
1  xy

arctan x  arctan y  arctan x  y
1  xy

…………………………………………………………………………………………………………………….

32

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ cos  arcsin 3  arccos 4 
5 5

วธิ ีทา ให้ arcsin 3  A และ arccos 4  B
55

ดงั น้นั sin A  3 และ cos B  4

5 5

จะได้ cos A  4 และ sin B  3
จาก 5
5

cos( A  B )  cos A cos B  sin A sin B

จะได้ cos  arcsin 3  arccos 4   4  4  3  3
5 5 5 5 5 5

 16  9
25 25

7
25

แบบฝึ กหดั

1. จงหาคา่ ต่อไปน้ี

1) arccos 1  ……………………………………………………………………………………

2

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2) arcsin 2  …………………………………………………………………………………

2

…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….
3) arctan 0  ……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………

4) arccos 3  …………………………………………………………………………………

2

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

-33-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

5) arcsin  3   ………………………………………………………………………………
2

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

6) arcsiccos    ………………………………………………………………………………

 4

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

7) cos arcsin 2   ……………………………………………………………………………
2

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

8) tanarcsin(cos  )  …………………………………………………………………………

 6

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

9) sinarcsin 3   ……………………………………………………………………………..

 5

10) cos2 arcsin 1  ……………………………………………………………………………

 2

…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………

34

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

11) sin2arccos  ………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………

12) sin arccos 3  arcsin  3    ………………………………………………………………
5  5 

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

13)  arctan 3  cos 2 arcsin 3  ………………………………………………………
sin 4 
 
 2   5

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

14) sinarctan 120   ……………………………………………………………………………

 119 

…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………

-35-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

15) sin   2 arccos    ………………………………………………………………………

2 2

…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………

16) arctan 1  arctan 1  arctan 1  arctan 1  ………………………………………………

3578

…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
2. จงแสดงวา่
1) cos2 arcsin θ   1  2θ 2 ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………..

2) arcsin 4  arccos 12  arcsin 16  π …………………………………………………………………

5 13 65 2

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

36

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

3) 2 arctan 1  arctan 3 …………………………………………………………………………………

34

…………………………………….………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

4) sin2 arcsin x   2x 1  x 2 ……………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………..

-37-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

การแกส้ มการท่ีอยใู่ นรูปตรีโกณมิติ

สมการตรีโกณมิติมกั จะอยใู่ นรูปสมการพหุนามดีกรีสอง เช่น

ตวั อยา่ งที่ 1 ถา้ 0  x  2π จงหาคา่ ของ x ท่ีทาให้ 2 sin 2 x  cos x  1

หลกั การ ตอ้ งเปล่ียนฟังกช์ นั ใหเ้ ป็ นฟังกช์ นั เดียวกนั เสียก่อน โดยใชส้ ูตร sin 2 x  1  cos 2 x

วธิ ีทา จาก 2 sin 2 x  cos x  1

 2 1  cos 2 x  cos x  1

2  2 cos 2 x  cos x  1

2 cos 2 x  cos x 1  0

2 cos x 1cos x 1  0

ดงั น้นั 2 cos x  1 หรือ cos x  1

1. ถา้ 2 cos x  1 จะได้ cos x  1

2

แต่ เพราะวา่ cos π  1 และ cos 5π  1
32 32

นนั่ คือ x  π , 5π

33

2. ถา้ cos x  1 จะได้ x  π
ดงั น้นั x  π , π , 5π

33

ตวั อยา่ งท่ี 2 กาหนด 0  x  360 และ 3 cos x  sin x  1 จงหาค่า x

วธิ ีทา จาก 3 cos x  sin x  1

ยกกาลงั สองท้งั สองขา้ ง 3 cos x  sin x  1

3 cos 2 x  sin x  12

 sin 2 x  2 sin x  1

3(1  sin 2 x )  sin 2 x  2 sin x  1

3  3 sin 2 x  sin 2 x  2 sin x  1

0  4 sin 2 x  2 sin x  2

4 sin 2 x  2 sin x  2  0

2 sin 2 x  sin x  1  0

2 sin x  1sin x  1  0

 sin x   1 หรือ sin x  1

2

จาก sin x   1 จะได้ x  210 ,330

2

และ จาก sin x  1 จะได้ x  90
จากผลการตรวจคาตอบ จะไดค่า x ที่เป็ นไปไดค้ ือ x  90 ,210

38

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

แบบฝึ กหดั
จงแกส้ มการ เมื่อกาหนด 0  x  2π

1) cos 2 2x  3 sin 2x  3  0 …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

2) 2 cos 2 x  5 sin x  1  0 ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………..

3) 2 cos 2 x  3 sin x  0 ………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………

4) 2 cos 2 x  sin x  1 …………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….

5) sec 2 x  tan x  3 …………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

-39-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

6) 5  4 sin x  4 cos 2 x  0 …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….

7) sin 2 x  2 cos x 1  0 ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

8) 8 cos x  15 sin x  17 ………………………………………………………………………………

2

…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
9) 2 sin 2 x  3 cos x  3  0 ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
10) 4 sin 2 x  3  0 ………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

40

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

11) sin x tan x  tan x  0 ………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

12) 2 cos 2 x  3 cos x  0 ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

13) 4 sin 3 x  sin x  0 …………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….

14) 3 sec x  cos x  2  0 ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

-41-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

15) 3 csc 2 x  2 csc x  0 ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

16) cos 2x  2 cos 2 x  1 ………………………………………………………………………………

2

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………….

17) 2 sin 2 x  3 cos x  3  0 …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

18) จงแกส้ มการ tan 2 x  tan x  2  0 19) จงแกส้ มการ
…………………………………………
………………………………………… sin 4x  2 cos 2x  sin 2x  1  0

…………………………………………

………………………………………… …………………………………………

………………………………………… …………………………………………

………………………………………… …………………………………………

………………………………………… …………………………………………

………………………………………… …………………………………………

………………………………………… …………………………………………

………………………………………… …………………………………………

……………………………………… ………………………………………

42

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

20) จงแกส้ มการ 23) จงแกส้ มการ
cos 2x  cos x  2 ………………………………… 2 sin x  3 cot x  0 ………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
……………………… …………………………
21) เม่ือกาหนด 0  x  360 จงแกส้ มการ 24)จงแกส้ มการ 2 sin 2 x  2 cos 2 x  3
cos 3x  sin 2x  sin 6x  cos 5x  0 …………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………….. ………………………………………………………
22) จงแกส้ มการ 3 tan x  tan 2x 25) จงแกส้ มการ 2 sin 2 x  cos x  1
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………

-43-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

26) จงแกส้ มการ sin 2 x  cos 2 x  1  0 29) จงแกส้ มการ cot 2 x  cot x
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
27) จงแกส้ มการ cot 2x  tan x  0 30) จงแสมการ 3 csc x  2  sin x
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
…………………………………………………………. …………………………………………………………
28) จงแกส้ มการ 3 sin x  3 cos x 31) จงแกส้ มการ tan 4x  2 sin 2x  0
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… ………………………………………………………….
…………………………………………………………
…………………………………………………………

44

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

32) จงแกส้ มการ cos 2 x  5 sin x  1  0 33) จงแกส้ มการ tan 2 x  sec x  1
………………………………………………………… ……………………………………………………

………………………………………………………… ………………………………………………………

………………………………………………………… ………………………………………………………

………………………………………………………… ………………………………………………………

………………………………………………………… ………………………………………………………

………………………………………………………… ………………………………………………………

………………………………………………………… ………………………………………………………

………………………………………………………… ………………………………………………………

………………………………………………………… ………………………………………………………

………………………………………………………… ………………………………………………………

…………………………….

จงหาเซตคาตอบของอสมการ

1) sin x  1 เมื่อ 0  x  2 2) 3 sin 2x  cos 2x  1 เม่ือ 0  x  2
…………………………………………………………
2 …………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………

3) cos x  1 เมื่อ 0  x  2 4) tan 3 x  3  3 tan x  tan 2 x เม่ือ    x  

2 22

………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
…………………………………………………………

-45-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

5) cos 2x  cos x  0 เมื่อ 0  x  2 6) cos x  0
………………………………………………………
1  cos 2x
…………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………

46

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

กฎของโคไซน์และไซน์
เน่ืองจากฟังกช์ นั ตรีโกณมิติเป็นฟังกช์ นั ของจานวนจริงหรือของมุม ซ่ึงสามารถนามาใชใ้ นการหาความยาวของ

ดา้ น และขนาดของมุมของรูปสามเหล่ียมใดๆ ไดอ้ ีก โดยใช้ กฎของโคไซน์และกฎของไซน์

กฎของโคไซน์ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถา้ a, b, c เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A, B และ C
ตามลาดบั แลว้ จะได้

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

พสิ ูจน์ กฎของโคไซน์ ไดด้ งั น้ี Y
ใหม้ ุม A ของรูปสามเหล่ียม ABC กาหนดให้อยใู่ นตาแหน่งมาตรฐาน

YY

C (b cos A, b sin A) C (b cos A, b sin A) C (b cos A, b sin A)

b a ba B(c, 0) X ba X

A (0, 0) c B(c, 0) X A (0, 0) c A (0, 0) c B(c,0 )

จากรูป พิกดั ของจุด A คือ (0, 0) และ พิกดั ของจุด B คือ (c, 0)

จะได้ พกิ ดั ของจุด C คือ (b cos A, bsin A)

และ a = (bcosA  c)2  (bsin A  0)2 (ใชส้ ูตร d = (x1  x2 )2  (y1  y2 )2 )
a2 = (b cos A - c)2 + b2 sin2A

a2 = b2cos2A - 2bc cos A + c2+ b2 sin2A

a2 = ( b2cos2A + b2 sin2A) + c2- 2bc cos A

a2 = b2(cos2A + sin2A) + c2- 2bc cos A

a2 = b2 + c2- 2bc cos A

และพสิ ูจนใ์ นทานองเดียวกนั จะได้ b2 = a2 + c2 - 2ac cos B และ c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

จาก a2 = b2 + c2 - 2bc cos A จะได้ cos A = b2 c2 a2
2bc
a2 c2 b2
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B จะได้ cos B = 2ac

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C จะได้ cos C = a2  b2 c2
2ab

-47-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จาก a2 = b2 + c2 - 2bc cos A …………………….(1)

b2 = a2 + c2 - 2ac cos B …………………….(2)

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C …………………….(3)

(1) + (2) จะได้ a2 + b2 = a2 + b2 + c2 + c2 - 2bc cos A- 2ac cos B

0 = 2c2 - 2c (b cos A + a cos B)

 2c2 = b cos A + a cos B
 2c

 c = b cos A + a cos B

ในทานองเดียวกนั (1) + (3) จะได้ b = a cos C + c cos A

(2) + (3) จะได้ a = b cos C + c cos B

กฎของโคไซน์นีใ้ ช้หาความยาวของด้านหรือ ขนาดของมุมของรูปสามเหลย่ี ม

ตัวอย่างที่ 1 กาหนดใหร้ ูปสามเหล่ียม ABC มี a = 3, b = 5 และ C = 60๐ จงหาความยาวของดา้ น

และขนาดของมุมที่เหลือ

วธิ ีทา B จากกฎของโคไซน์ c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

a=3 c จะได้ c2 = 32 + 52 - 2(3)(5) cos 60๐
60๐ 1
b =5 = 9 + 25 - 30( 2 )
C
A = 34 - 15

= 19

ดงั น้ัน c = 19  4.36

จากกฎของโคไซน์ cos B = a2 c2 b2
2ac

จะได้ cos B = 32  ( 19)2  52
2(3)( 19)
9 19  25
 6(4.36)

 1  0.1147
8.72
จากตารางฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ cos 83๐ 20 = 0.1161 และ cos 83๐ 30 = 0.1132

และ จากการเทียบหาคา่ จะได้ cos 83๐ 26  0.1147

ดังน้ัน B  83๐ 26

และ A  180๐ - (60๐ + 83๐ 26) = 36๐ 34

48

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาขนาดของมุมท้งั สามของรูปสามเหลี่ยม ABC เมื่อ a = 5, b = 8 และ c = 10

วธิ ีทา จากกฎของโคไซน์ cos A = b2 c2 a2
2bc
82 102  52
จะได้ cos A = 2(8)(10)

= 64 100 25
160
= 139 0.8688
160 

จากตารางฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ cos 29๐ 40  0.8688

ดังน้ัน A  29๐ 40

จากกฎของโคไซน์ cos B = a2 c2 b2
2ac
52 102 82
จะได้ cos B = 2(5)(10)

= 25 100 64
100
61
= 100 = 0.61

จากตารางฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ cos 52๐ 20 = 0.6111 และ cos 52๐ 30 = 0.6088

และ จากการเทียบหาค่า จะได้ cos 52๐ 25  0.61

ดังน้ัน B  52๐ 25

เน่ืองจาก A + B + C = 180๐

ดงั น้ัน C  180๐ - (29๐ 40+ 52๐ 25)  97๐ 55

-49-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

กฏของไซด์ ในรูปสามเหล่ียม ABC ใดๆ ถา้ a, b, c เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A, B และ C

ตามลาดบั แลว้ จะได้ sin A  sin B  sin C
หรือ abc
a b c

sin A sin B sin C

พสิ ูจน์ กรณีท่ี 1 กาหนด ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมใดๆ
ที่ AB = c , AC = b และ BC = a
C

b h ลากเส้น BE ต้งั ฉากกบั AC ที่จุด E โดย BE = m
E
a และ CD ต้งั ฉากกบั AB ท่ีจุด D โดย CD = h

m B
A Dc

จากรูปจะได้ h  sin A, h  sin B, m  sin A, m  sin C
ดงั น้นั ba c a

h  bsin A ………..(1)

h  a sin B ................(2)

จาก (1) และ (2) จะได้ a sin B  b sin A

นน่ั คือ a  b ……………..(3)

sin A sin B

m  csin A …………(4)
m  a sin C………….(5)
จาก (4) และ (5) จะได้ a sin C  csin A

นน่ั คือ a  c ..............................(6)

sin A sin C

และจาก (3) และ (6) จะไดว้ า่ a bc
หรือ sin A sin B sin C
sin A  sin B  sin C

a bc

50