เอกสารฟังก์ชันตรีโกณมิติ63-2

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 5 ในรูปสามเหลี่ยม ABC กาหนดให้ C = 60๐, b = 2 3 และ c = 3 2 จงหา

(1) ขนาดของมุมและความยาวของดา้ นท่ีเหลือ (2) พ้นื ท่ีของรูปสามเหล่ียม ABC

วธิ ีทา (1) มุมที่เหลือ คือ มุม A และ B sin
sin B c C
จากกฎของไซน์ b 
จะได้
sin B = b sin C
c
3 sin 60
= 2 32

= 2 3( 3 )
2
32
1
= 2

ดงั น้นั B = 45๐ หรือ 135๐ แต่ B  135๐

น่ันคอื B = 45๐ และ A = 180๐ - (45๐ + 60๐) = 75๐

หาความยาวของดา้ นที่เหลือ คือ a
sin A sin B
จากกฎของไซน์ a  b
จะได้
a = bsin A
sin B
3 sin 75
= 2 sin 45

= 2(1.732)(0.9659)  4.7
0.7071

น่ันคือ a  4.7 หน่วย
1
(2) พ้นื ท่ี ABC = 2 ab sin C

= 1 (4.7)( 2 3 )( 3 )  7 ตารางหน่วย
2 2

น่ันคอื พ้ืนที่ ABC  7 ตารางหน่วย

-51-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

ตวั อย่างที่ 6 ในรูปสามเหลี่ยม ABC กาหนดให้ B = 45๐, b = 2 2 และ c = 2 3 จงหาขนาด
ของมุมที่เหลือ

วธิ ีทา มุมที่เหลือ คือ มุม A และ C
sin C sin B
จากกฎของไซน์ c  b

จะได้ sin C = csin B
b
3 sin 45
= 2 22

= 2 3( 1 )
2
22
3
= 2

น่ันคือ C = 60๐ หรือ 120๐

ถา้ C = 60๐ แลว้ A = 180๐ - (45๐ + 60๐) = 75๐

ถา้ C = 120๐ แลว้ A = 180๐ - (45๐ + 120๐) = 15๐

สูตรของไซน์ (Sine Formula)

ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถา้ a, b, c เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A, B และ C ตามลาดบั
a b c 2
ถา้ s =  2 แลว้ จะได้ sin A = bc s(s a)(s  b)(s  c)
s(s a)(s  b)(s  c)
sin B = 2 s(s a)(s  b)(s  c)
ac
2
sin C = ab

สูตรของฮีโร (Hero,s Formula)

ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถา้ a, b, c เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A, B และ C ตามลาดบั
a b c
ถา้ s =  2  แลว้ จะได้

พ้นื ที่ ABC = s(s a)(s  b)(s  c)

พสิ ูจน์ เน่ืองจาก พ้ืนท่ี  ABC = 1 bc sin A
2
ดงั น้นั จากสูตรของไซน์ จะได้

52

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

พ้ืนที่ ABC = 1 bc( 2 s(s a)(s  b)(s  c) )
2 bc
= s(s a)(s  b)(s  c)

ตวั อย่างที่ 7 กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC มี a = 5, b = 7 และ c = 8 จงหา

(1) ขนาดของมุมท้งั สาม (2) พ้นื ท่ีของรูปสามเหลี่ยม ABC

วธิ ีทา จากการสร้างรูปสามเหล่ียม ABC ซ่ึงมีความยาวของดา้ นตามที่กาหนดใหจ้ ะไดว้ า่ มุมท้งั สามของรูป

สามเหลี่ยมเป็นมุมแหลม C

75

A8 2 B
bc
(1) จากสูตรของไซน์ sin A = s(s a)(s  b)(s  c) และ s = abc
2
2 578
= 56 10(10 5)(10 7)(10 8) = 2

= 1 10(5)(3)(2) = 10
28
1 5
= 28 300 = 14 3  0.6186

เนื่องจาก 0๐ < A < 90๐ ดงั น้ัน A = 38๐ 13 (ไดจ้ ากตารางตรีโกณมิติและเทียบหาคา่ )
2
sin B = ac s(s a)(s  b)(s  c)

= 2 10(5)(3)(2) = 1 300 = 3
40 20 2

เน่ืองจาก 0๐ < B < 90๐ ดงั น้ัน B = 60๐ และ C = 180๐ - (38๐ 13+ 60๐) = 81๐ 47

(2) พ้นื ท่ีของรูปสามเหลี่ยม ABC = s(s a)(s  b)(s  c)
= 10(10 5)(10 7)(10 8)
= 10(5)(3)(2)

= 300 = 10 3  17.32 ตารางหน่วย

-53-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

ตวั อยา่ งที่8 จากรูป จงหา AC
A
วธิ ีทา จาก b  c
4 จะได้
sin B sin C
45 
b  4
B sin 45  sin 30 

b  4 sin 45 
sin 30 
30 C
4 2
นน่ั คือ 2

1
2

4 2

AC ยาว 4 2 หน่วย

ตวั อยา่ งที่ 9 จากรูปจงหา AC , CAˆB , ABˆC sin A  sin C
A วธิ ีทา จาก ac
จะได้
10 3 sin A  sin 120 
120  B 10 10 3
นน่ั คือ
C 10 จะได้ sin A  10 sin 120 
10 3

3

2
3

1 และ ABˆC  30 
2 10

CAˆ B  30 

AC =

54

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตวั อยา่ งท่ี 10 ในรูปสามเหลี่ยม ABC กาหนด a = 5 , b = 7 และ c = 10 จงหาขนาดของมุมท้งั สาม

วธิ ีทา จาก cos C  a 2  b 2  c 2
จะได้ 2ab
นนั่ คือ
จาก cos C  5 2  7 2  10 2  25  49  100   26   13
จะได้ 2(5)(7) 70 70 35
นน่ั คือ
จาก Cˆ  arccos   13 
จะได้ 35
นนั่ คือ
cos B  a 2  c 2  b 2
2ac

cos B  5 2  10 2  7 2  76  19
2(5)(10) 100 25

Bˆ  arccos 19
25

cos A  B 2  c 2  A2
2bc

cos B  7 2  10 2  5 2  124  62
2(7)(10) 140 75

Aˆ  arccos 62
75

1. จากรูป จงหา SR เม่ือ OP = 20 ซ.ม. แบบฝึ กหัด
R
………………………………………………………………………………
Q 45 P 30  O ………………………………………………………………………………
S 15  ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………

-55-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

2. สามเหลี่ยม ABC มี B  30 ,c  150, b  50 3 จงหา C และ a
…………………………………………………………………………………………………………. ………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
3. ในสามเหล่ียม ABC ถา้ b  2c ,Bˆ  3Cˆ ,a  1 จงหาความยาวเส้นรอบรูป
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..

4. ในสามเหลี่ยม ABC ถา้ b  a  3 1 ,C  30 จงหาขนาดของมุม A

…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

56

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

5. ในสามเหล่ียม ABC ถา้ B  30 ,c  150 และ b  50 3 จงหาขนาดของมุม และ ดา้ นท่ีเหลือ
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
6. ในสามเหล่ียม ABC กาหนด (a + b + c)(b + c – a) = 3bc จงหาขนาดของมุม A
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
7. ในสามเหลี่ยม ABC ถา้ ให้ B  45 จงหาคา่ ของ
1  cot A1  cot C  …………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………..…………………………………………

8. กาหนดดา้ นท้งั สามของ ABC เป็ น a  2, b  2 และ c  3 1 จงหามุม A, B, C
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

-57-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

9. ในสามเหล่ียมให้ a  3,c  5,B  120 จงหา b
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………...
10. กาหนด a  5, b  5 3,c  5 จงหามุมที่โตที่สุด
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
11. ถา้ a  2 6 ,c  6  2 3, B  75 จงหา

ดา้ น b มุม A, C
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………….

58

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

12. ถา้ ในสามเหลี่ยม a  2, b  2,c  3 1 จงหาขนาดของมุมท้งั สาม
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………….

13. จงใชก้ ฎของโคไซน์เพ่ือหาคา่ ต่อไปน้ี ของรูปสามเหลี่ยม ABC
(1) จงหา a เมื่อกาหนดให้ b = 20, c = 30 และ A = 60๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………..................................................................................................................................
(2) จงหา b เม่ือกาหนดให้ a = 5, c = 8 และ B = 30๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
…………………………………….....................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................

-59-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

(3) จงหา c เม่ือกาหนดให้ a = 15, b = 10 และ C = 45๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...................................................................................................................................
(4) จงหา A เมื่อกาหนดให้ a = 2, b = 3 และ c = 4
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...……………………………………………………………………………………
…………………………………………….........................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................
(5) จงหา B เมื่อกาหนดให้ a = 25, b = 80 และ c = 60
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...…………………………………………………………………………………..
(6) จงหา C เม่ือกาหนดให้ a = 40, b = 70 และ c = 90
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..

60

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

14. จงใชก้ ฎของไซน์เพอ่ื หาค่าตอ่ ไปน้ี ของรูปสามเหล่ียม ABC
(1) จงหา a เม่ือกาหนดให้ b = 2 2 , A = 30๐ และ B = 45๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………..................................................................................................................................
(2) จงหา b เม่ือกาหนดให้ c = 6 , B = 60๐ และ C = 45๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
…………………………………….....................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................
(3) จงหา c เมื่อกาหนดให้ a = 3 3 , A = 30๐ และ C = 120๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
…………………………………….....................................................................................................................................
(4) จงหา a และ b เม่ือกาหนดให้ c = 25, A = 35๐ และ B = 68๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...……………………………………………………………………………………
……………………………………………........................................................................................................................

-61-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

(5) จงหา b และ c เม่ือกาหนดให้ a = 4, B = 105๐ และ C = 60๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………...…………………………………………………………………………
……………………………………………………….........................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................
(6) จงหา a และ c เมื่อกาหนดให้ b = 5, A = 100๐ และ C = 55๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
15. จงหาส่วนตา่ งๆ ที่เหลือของรูปสามเหล่ียม ABC จากสิ่งที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี
(1) กาหนดให้ b = 3 + 1, c = 2 และ A = 30๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...…………………………………………………………………………………………
(2) กาหนดให้ a = 2 6 , c = 6 - 2 3 และ B = 75๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...……………………………………………………………………………………
……………………………………………...……………………………………………………………………………
……………………………………………………...…………………………………………………………………

62

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

(3) กาหนดให้ a = 3 2 , b = 2 3 และ B = 135๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……..……………………………………………………………………………………………………………………
……………..……………………………………………………………………………………………………………
……………………..……………………………………………………………………………………………………
……………………………..……………………………………………………………………………………………
…………………………………………………...………………………………………………………………………
…………………………………………………………...………………………………………………………………
…………………………………………………………………...………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..
(4) กาหนดให้ c = 150, b = 50 3 และ B = 30๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………...…………………………………………………………………………………
………………………………………………...…………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
16. จงหาพ้นื ท่ีของรูปสามเหล่ียม ABC จากส่ิงที่กาหนดใหต้ อ่ ไปน้ี
(1) กาหนดให้ b = 3, c = 5 และ A = 60๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...................................................................................................................................

-63-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

(2) กาหนดให้ a = 14, b = 11 และ C = 110๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………..................................................................................................................................
(3) กาหนดให้ a = 11.4, c = 8.6 และ B = 90๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……..……………………………………………………………………………………………………………………
……………..……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...................................................................................................................................
(4) กาหนดให้ c = 150, b = 50 3 และ B = 30๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………….............................................................................
(5) กาหนดให้ a = 8, b = 11 และ c = 13
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...……………………………………………………………………………………
…………………………………………….........................................................................................................................

64

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

(6) กาหนดให้ a = 9, b = 11 และ c = 12
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
17. รูปสี่เหล่ียมดา้ นขนานรูปหน่ึง มีขนาดของมุมๆหน่ึง เท่ากบั 60๐ และดา้ นประกอบมุมน้ียาว 30 และ 70
เซนติเมตร จงหาความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปส่ีเหลี่ยมน้ี
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...…………………………………………………
18. จงหาความยาวของรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั ซ่ึงมีฐานยาว 6 เซนติเมตร และขนาดของมุมยอดเท่ากบั 30๐
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………...………………………………………………………………………………
19. รูปหกเหล่ียมดา้ นเท่ามุมเท่า ABCDEF ซ่ึงมีดา้ นยาวดา้ นละ a เซนติเมตร จงหาความยาวของ AC
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..

-65-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

20. รูปสามเหลี่ยม ABC มีพ้นื ที่ 6 ตารางเซนติเมตร ดา้ น AB ยาว 3 เซนติเมตร และดา้ น AC ยาว 5 เซนติเมตร
จงหาความยาวของดา้ น BC

……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………...............................................................
21. รูปสี่เหล่ียมดา้ นขนาน ABCD มีมุม ABD เท่ากบั 120๐ ดา้ น AB ยาว 3 เซนติเมตร และดา้ น AD ยาว 5
เซนติเมตร จงหาความยาวของ AC และ BD
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...……………………………………………………………………………………
……………………………………………...……………………………………………………………………………
……………………………………………………...……………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..

66

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การหาระยะทางและความสูง
เราใชค้ วามรู้เก่ียวกบั ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติและรูปสามเหลี่ยม เพ่อื หาระยะทางและความสูง ซ่ึงบางคร้ังไม่

สามารถใชเ้ ครื่องมืออยา่ งใดอยา่ งหน่ึงวดั ไดโ้ ดยตรง เช่น ความสูงของภูเขา เป็นตน้ แต่ก่อนอ่ืนเราจะตอ้ งทาความ
เขา้ ใจเกี่ยวกบั มุมก้ม (angle of depression) และมุมเงย (angle of elevation) ซ่ึงมีความหมายดงั น้ี

มุมกม้ และมุมเงย เป็นมุมท่ีมีเส้นระดบั สายตา (แนวนอน) เป็นดา้ นเริ่มตน้ ของมุมและมีเส้นจากตาไปยงั วตั ถุเป็น
ดา้ นสิ้นสุดของมุม สมมุติใหเ้ ป็นมุม 

1. ถา้ วตั ถุอยตู่ ่ากวา่ ระดบั สายตา แลว้ เราจะเรียก วา่ เป็น มุมก้ม

2. ถา้ วตั ถุอยสู่ ูงกวา่ ระดบั สายตา แลว้ เราจะเรียก วา่ เป็น มุมเงย

มุมเงย เส้นระดบั สายตา



 มุมกม้

ข้อตกลง มุมกม้ และมุมเงยมีค่าเป็นจานวนบวกเสมอ

ตวั อย่างท่ี 1 ชายคนหน่ึงซ่ึงสูง 175 เซนติเมตร ยนื อยทู่ ี่พ้นื ราบ ถา้ เขามองไปยงั ยอดเขาแลว้ จะมองเห็นยอดเขาลูกหน่ึง

เป็นมุมเงย 15๐ และถา้ เขาเดินเขา้ ไปหายอดเขาลูกน้นั เป็นระยะทาง 1 กิโลเมตร ตามแนวพ้ืนราบ

จะมองเห็นยอดเขาน้นั เป็นมุมเงย 60๐ จงหาความสูงของยอดเขาลูกน้นั จากแนวพ้นื ราบเดิม

วธิ ีทา C ให้ A เป็นจุดที่ชายคนน้ียนื มองยอดเขาคร้ังแรก

B เป็นจุดท่ีชายคนน้ียนื มองยอดเขาคร้ังท่ีสอง

15๐ 60๐ C เป็นยอดเขา
และ AB = 1 กิโลเมตร
A1 BD

เนื่องจาก BAˆ C = 15๐ , CBˆ D = 60๐ จะได้ ABˆ C = 180๐ - 60๐ = 120๐

ดงั น้นั ACˆ B = 180๐ - (15๐ + 120๐) = 45๐ 3 2)
2
ในรูปสามเหลยี่ ม ABC จากกฎของไซน์ sin ACˆ B = sin ABˆ C AC = ( )(

AB AC 6
sin120  = 2
จะได้ sin 45 = AC
1
sin120 
AC = sin 45

-67-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

ในรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ACD จะได้ sin 15๐ = CD
AC
CD = AC sin 15๐

= 6 (0.2588)
2
 0.317 กิโลเมตร  317 เมตร

เนื่องจากชายคนน้ีสูง 175 เซนติเมตร หรือ 1.75 เมตร

ดงั น้ัน ความสูงของยอดเขาประมาณ 317 + 1.75 = 318.75 เมตร

ตัวอย่างท่ี 2 นายแดงอยบู่ นยอดประภาคารแห่งหน่ึงซ่ึงสูง 80 เมตร จากระดบั น้าทะเล ถา้ นายแดงมองออกไปท่ี

เรือ 2 ลาในทะเล และอยใู่ นแนวเดียวกนั กบั ประภาคาร พบวา่ เป็นมุมกม้ เทา่ กบั 45๐ และ 60๐ จงหาระยะห่างระหวา่ ง

เรือท้งั สองลาน้ี

วธิ ีทา 45๐ D กาหนดให้ A และ B แทนตาแหน่งของเรือ

60๐ D แทนตาแหน่งของนายแเดง

80

จากรูป จะได้ ADˆ C = 45๐, CBˆ D = 60๐

AB C BAˆ D = 45๐, ADˆ B = 15๐

ในรูปสามเหล่ียมมุมฉาก BCD จะไดว้ า่ sin CBˆ D = DC
BD
80
 BD = DC = sin 60 = 160
sin CBˆ D
3

ในรูปสามเหลี่ยม ABD จากกฎของไซน์ จะได้ sin ADˆ B = sin BAˆ D
AB BD
sin15
AB = BD sin 45

 160 (0.2588) 2  33.8 เมตร
3

หรือ อาจแสดงหาไดด้ งั น้ี เน่ืองจาก รูปสามเหล่ียม ACD เป็นรูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั ซ่ึง AC = CD = 80

และจากสามเหล่ียมมุมฉาก BCD จะได้ tan CBˆ D = 80
BC
80
BC = tan 60

= 80  46.2
3

AB  80 - 46.2 = 33.8 เมตร

ดงั น้ัน ระยะห่างระหวา่ งเรือท้งั สองลาน้ี ประมาณ 33.8 เมตร

68

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

ตวั อย่างท่ี 3 มุมเงยของยอดเสาธงตน้ หน่ึงเป็ น 40๐ ถา้ เดินไปหาเสาธงซ่ึงทางท่ีเดินเอียงทามุม 15๐ กบั แนวราบเป็ น

ระยะทาง 200 เมตร แลว้ มองไปยงั ยอดเสาธงอีคร้ังหน่ึง พบวา่ มุมเงยเป็น 75๐ จงหาความสูงของยอดเสาธงจากพ้นื

ราบเดิม

วธิ ีทา A กาหนดให้ A แทนตาแหน่งของยอดเสาธง

B แทนตาแหน่งแรกของการมอง

200 75๐ C แทนตาแหน่งที่สองของการมอง
และ AD เป็นความสูงของเสาธงจากพ้ืนราบเดิม
B 40๐ 15๐ CG

FD

ในที่น้ี BC = 200, ABˆ D = 40๐, CBˆ D = 15๐ และ ACˆ G = 75๐

จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก BCF จะได้ CF = BC sin 15๐ = 200(0.2588)  51.8 เมตร

จากรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ACG จะได้ CAˆ G = 90๐ - 75๐ = 15๐

จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABD จะได้ BAˆ D = 90๐ - 40๐ = 50๐

ดงั น้นั BAˆ C  BAˆ D  CAˆ G = 50๐ - 15๐ = 35๐ และ ABˆ C = 40๐ - 15๐ = 25๐

ในรูปสามเหล่ียม ABC จะไดว้ า่ sin BAˆ C = sin ABˆ C
BC AC
200 (0.4226 )
AC = 200sin 25  0.5736  147.4 เมตร

sin 35

ในรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ACG จะได้ AG = AC sin 75๐

 147.4 (0.9659)

 142.4 เมตร

ดงั น้ัน ความสูงของยอดเสาธงจากพ้ืนราบเดิม (AD) = AG + GD

= AG + CF ( GD = CF )

 142.4 + 51.8

 194.2 เมตร

-69-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตวั อย่างท่ี 4 นายดา ขี่จกั รยานไปทางทิศตะวนั ออกของภูเขาลูกหน่ึง ถึงบา้ นหลงั หน่ึงสงั เกตยอดเขาเป็ นมุมยกข้ึน
45๐ เม่ือเขาข่ีจกั รยานต่อไปทางทิศใตเ้ ป็นเวลา 10 นาที เขามาถึงบา้ นอีกหลงั หน่ึงและสงั เกตเห็นยอดเขาเป็น
มุมยกข้ึน 30๐ ถา้ เขาข่ีจกั รยานได้ 12 กิโลเมตรต่อชว่ั โมง แลว้ ภเู ขาลูกน้ีสูงกี่เมตร
วธิ ีทา A

N

N

W 45๐ E
B 30๐ C

SD

S

ให้ AB เป็นความสูงของภเู ขา

C เป็นจุดที่นายดาสังเกตยอดเขาคร้ังแรก

D เป็นจุดที่นายดาสังเกตยอดเขาคร้ังที่สอง

จากรูป ACˆB = 45๐ และ ADˆ B = 30๐

ในรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC จะได้ BC = cot 45๐ = 1
AB

 BC = AB

ในรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABD จะได้ BD = cot 30๐
AB
=3

 BD = 3 AB
เนื่องจากนายดาขี่จกั รยานได้ 12 กิโลเมตรต่อชว่ั โมง ดงั น้นั ในเวลา 10 นาที ขี่จกั รยานได้ 2 กิโลเมตร

 CD = 2
ในรูปสามเหล่ียมมุมฉาก BCD จะได้ BD2 = BC2 + CD2

( 3 AB)2 = AB2 + 22 (BD = 3 AB และ CD = 2)
3AB2 = AB2 + 4
2AB2 = 4
AB2 = 2

AB = 2  1.414 กิโลเมตร
ดังน้ัน ภเู ขาลูกน้ีสูงประมาณ 1,414 เมตร

70

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

แบบฝึ กหดั

1. เสาไฟฟ้ าตน้ หน่ึง มีหมอ้ แปลงไฟฟ้ าติดอยตู่ ่าจากยอดเสา 5 เมตร นายจอมยนื อยบู่ นพ้นื ดินมองไปยงั ยอดเสาไฟฟ้ า
และหมอ้ แปลงไฟฟ้ า พบวา่ เป็นมุมเงย 45๐ และ 30๐ ตาลาดบั จงหา

(1) ความสูงของเสาไฟฟ้ า
(2) ระยะห่างระหวา่ งนายจอมกบั เสาไฟฟ้ า
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...……………………………………………………………………………………
……………………………………………...……………………………………………………………………………
……………………………………………………...……………………………………………………………………
……………………………………………………………...……………………………………………………………
……………………………………………………………………...……………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..
2. ชายคนหน่ึงยนื อยบู่ นจุดสูงสุดของประภาคารแห่งหน่ึง มองไปยงั เรือลาหน่ึงซ่ึงจอดอยเู่ ป็นมุมกม้ 50๐ ตอ่ มาชายผนู้ ้ี
เดินลงมาต่ากวา่ จุดเดิม 10 เมตร และมองไปยงั เรืออีกคร้ังหน่ึงพบวา่ เป็นมุมกม้ 30๐ จงหา
(1) ความสูงของประภาคาร
(2) ระยะห่างระหวา่ งเรือกบั ประภาคาร
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...……………………………………………………………………………………
……………………………………………...……………………………………………………………………………
……………………………………………………...……………………………………………………………………
……………………………………………………………...……………………………………………………………
………………………………………………………………….........................................................................................
.............................................................................................................................................................................................

-71-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

3. ชายผหู้ น่ึงยนื อยบู่ นดาดฟ้ าขงตึก 10 ช้นั หลงั หน่ึง สังเกตเห็นภรรยาของเขาซ่ึงอยบู่ นพ้นื ดินทางทิศตะวนั ออกของ
ตึกหลงั น้ีเป็นมุมกม้ 30๐ และเห็นบุตรชายของเขาซ่ึงอยบู่ นพ้นื ดินทางทิศใตข้ องตึกหลงั น้ีเป็นมุมกม้ 60๐ ถา้ ตึกหลงั น้ีสูง
ช้นั ละ 3 เมตร จงหาระยะห่างระหวา่ งภรรยากบั บุตรชายของเขา
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...……………………………………………………………………………………
……………………………………………...……………………………………………………………………………
……………………………………………………...……………………………………………………………………
……………………………………………………………...……………………………………………………………
……………………………………………………………………...……………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..
4. ชายคนหน่ึงอยบู่ นดาดฟ้ าบา้ นของเขาซ่ึงสูงจากพ้ืนดิน 15 เมตร มองไปท่ียอดเจดียแ์ ห่งหน่ึงเป็ นมุมเงย 40๐ ถา้ เขาลง
มาบนพ้นื ดินในแนวดิ่งตรงกบั ตาแหน่งเดิม แลว้ มองไปยงั ยอดเจดียน์ ้นั พบวา่ เป็นมุมเงย 60๐ จงหาความสูงของเจดียว์ ดั
จากพ้นื ดิน
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...……………………………………………………………………………………
……………………………………………...……………………………………………………………………………
……………………………………………………...……………………………………………………………………
……………………………………………………………...……………………………………………………………
……………………………………………………………………...……………………………………………………
……………………………………………………………………………...……………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..

72

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

5. นาย ก. และนาย ข. ยนื อยบู่ นพ้ืนราบและยนื อยกู่ นั 50 เมตร และอยใู่ นแนวกนั กบั ตึกหลงั หน่ึง ถา้ นาย ก. และนาย
ข. มองไปท่ีจุดๆเดียวกนั บนยอดตึกพบวา่ เป็ นมุมเงย 45๐ และ 30๐ ตามลาดบั จงหาวา่ นาย ก. และนาย ข. อยหู่ ่างจากตึก
เป็นระยะเทา่ ใด
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...……………………………………………………………………………………
……………………………………………...……………………………………………………………………………
……………………………………………………...……………………………………………………………………
……………………………………………………………...……………………………………………………………
……………………………………………………………………...……………………………………………………
……………………………………………………………………………...……………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………….
6. มุมเงยของยอดเขาลูกหน่ึงเท่ากบั 45๐ ถา้ เดินข้ึนไปตามไหล่เขา ซ่ึงลาดเอียงทามุม 10๐ เป็นระยะ 100 เมตร มุมเงย
ของยอดเขาจะเป็ น 60๐ จงหาความสูงของยอดเขาท่ีวดั จากพ้ืนราบ
……………………………………………………………………………………………………………………………
……...……………………………………………………………………………………………………………………
……………...……………………………………………………………………………………………………………
……………………...……………………………………………………………………………………………………
……………………………...……………………………………………………………………………………………
……………………………………...……………………………………………………………………………………
……………………………………………...……………………………………………………………………………
……………………………………………………...……………………………………………………………………
……………………………………………………………...……………………………………………………………
……………………………………………………………………...……………………………………………………
……………………………………………………………………………...……………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………...…………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

-73-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

7. เมื่อเดินตามถนนตรงสายหน่ึง สงั เกตเห็นยอดเขาลูกหน่ึงทามุมยกข้ึน 15 เม่ือเดินเขา้ ใกลไ้ ปอีก 2 กิโลเมตร

พบวา่ มุมยกข้ึนของเขาลูกน้ีเป็ น 75 จงหาCวา่ ยอดเขาลูกน้ีสูงกี่เมตร (กาหนด 3  1.732 )

15  75  B

A D

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………

8. มุมยกข้ึนของยอดเขาลูกหน่ึงมองจากจุด A ซ่ึงอยทู่ างทิศตะวนั ตกของภเู ขาเป็น 45 แต่ถา้ มองจากจุด B ซ่ึงอยู่

ทางทิศใตข้ องจุด A จะมีมุมยกข้ึน 30 ถา้ จุด A และ B อยหู่ ่างกนั 500 เมตร จงหาวา่ ภูเขาสูงกี่เมตร (กาหนด

2  1.414 ) C
…………………………………………………………………………………………….

……………………………………….………………………………

……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………. A D
……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………. B

………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………..

74

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

9. จากจุดหน่ึงบนระนาบในแนวนอน มุมเงยของยอดเขาแห่งหน่ึงเป็น 45 องศา เม่ือเดินข้ึนเนินซ่ึงทามุม 15 องศา
กบั พ้นื ราบข้ึนไป 500 เมตร สังเกตเห็นยอดเขาทามุมเงย 75 องศา กบั แนวราบ จงหาความสูงของยอดเขา

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
10. ชายคนหน่ึง ยนื อยทู่ างทิศใตข้ องหอคอย ณ จุดน้นั เขามองเห็นหอคอยเป็นมุมยกข้ึน 30 องศา จากน้นั ชายคนน้ีได้
เดินไปทางทิศตะวนั ตก เป็ นระยะทาง 200 เมตร ณ จุดน้ีเขามองเห็นหอคอยเป็ นมุมยก 25 องศา จงหาความสูงของ
หอคอย ( กาหนด cot 25  )
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………

-75-

เอกสารประกอบการเรียน คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค32201 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

11. ถนนสายหน่ึงยาว 650 เมตร ท่ีหวั ถนนและทา้ ยถนนมุมยกข้ึนของเสาธงเป็น 15o เม่ือเดินมาคร่ึงทางมุมยกข้ึน
ของเสาธงเป็น 30o จงหาวา่ เสาธงสูงเทา่ ใด
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

76