ตรรกศาสตร์

กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์
โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารประกอบการเรียน

รายวชิ าคณิตศาสตร์พื้นฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 1
เรอื่ ง

ตรรกศาสตร์ (LOGIC)

สาหรับชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

▪ ประพจน์ ▪ สจั นริ ันดร์
▪ การเชอื่ มประพจน์ ▪ การอ้างเหตผุ ล
▪ การหาค่าความจรงิ ของประพจน์ ▪ ประโยคเปิด
▪ ประพจน์ทส่ี มมูลกนั ▪ ตัวบง่ ปรมิ าณ

ชื่อ____________________________ ช้นั ______ เลขท่ี ____

โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา



บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์ ก
เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 1

คานา

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนรายวิชาคณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 (ค31101) และคณติ ศาสตร์เพิ่มเติม
1 (ค31201) เล่มนี้ จัดทาตามผลการเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับ
ปรับปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขัน้ พื้นฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์ โดย
ได้รวบรวมเนื้อหาและโจทย์แบบฝึกหัดต่าง ๆ เพื่อฝึกทักษะการคิดอย่างมีระบบ มีเหตุผล และให้นักเรีย นมี
ส่วนร่วมในกิจกรรมการเรียนการสอน

ในการเรียบเรยี งเอกสารเล่มน้ี มุง่ เน้นใหน้ กั เรียนทาความเข้าใจอยา่ งเป็นระบบ โดยทาความเข้าใจไป
ทีละขั้นตอน และสง่ เสรมิ ใหน้ ักเรยี นร้จู กั คดิ และแก้ปัญหาดว้ ยตนเอง

ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า เอกสารประกอบการเรียนเล่มนี้ จะเป็นประโยชน์ในการเรียนวิชา
คณิตศาสตร์ของนักเรียน

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

2 บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์ หน้า
เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน 1 และคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1
ก
สารบญั
ข
เรือ่ ง
1
คานา 1
3
สารบัญ 5
25
บทท่ี 2 ตรรกศาสตร์ 33
2.1 ประพจน์ 40
2.2 การเช่อื มประพจน์ 47
2.3 การหาค่าความจรงิ ของประพจน์ 48
2.4 ประพจน์ท่ีสมมลู กัน
2.5 สจั นริ ันดร์ 62
2.6 การอ้างเหตผุ ล
2.7 ประโยคเปดิ
2.8 ตัวบง่ ปริมาณ

บรรณานกุ รม

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์ 1
เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน 1 และคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม 1

บทท่ี 2

ตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร์ เป็นวิชาทีก่ ล่าวถงึ หลักเกณฑ์การใหเ้ หตุผล ในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะสาขา
ใดก็ตาม จะพบว่า เริ่มต้นจะต้องได้เรียนรู้ถึงคาใหม่ ๆ ในสาขาวิชานั้น คาใหม่เหล่านี้บางคาก็จา เป็นต้องให้
ความหมายที่ชัดเจน โดยกาหนด “บทนิยาม” ของคา ๆ นั้น แต่ในบางคาก็ไม่จาเป็นต้องนิยามคานั้น เพราะ
นิยามไปก็ไม่มีประโยชน์ เช่น คาว่า เซต จุด เส้นตรง เป็นต้น เมื่อพูดถึงคาเหล่านี้ทุกคนจะเข้าใจความหมาย
ตรงกัน โดยไม่จาเป็นต้องนิยาม เราเรียกคาเหล่านี้ว่า “คาอนิยาม” นอกจากจะพบคาใหม่ทั้งคานิยามและคา
อนิยามแล้ว ก็จะพบว่าสิ่งที่สาคัญอีกประการหนึ่งคือ ข้อความที่ยอมรับหรือมีข้อตกลงว่าเป็นความจริง เรา
เรียกข้อความเหล่านี้ว่า “สัจพจน์” และจากบทนิยาม อนิยาม และสัจพจน์ เราสามารถพิสูจน์ข้อความใหม่ๆ
ได้อีกมากมาย ข้อความที่พิสูจน์ได้นี้เรียกว่า “ทฤษฎีบท” ตรรกศาสตร์จะมีบทบาทตรงช่วงนี้มาก กล่าวคือ
เป็นเครือ่ งมือในการพสิ จู นท์ ฤษฎบี ทน่ันเอง

ตรรกศาสตรเ์ ร่ิมแรกเป็นสาขาหนึ่งของวิชาปรัชญา ซงึ่ มีมาต้ังแต่สมัยของ Aristotle และได้พัฒนาขึ้น
เรื่อย ๆ มา และในระยะหลังไดน้ าวธิ ีการบางอย่างมาใชเ้ พือ่ ทาให้การศึกษาตรรกศาสตร์ไดง้ ่ายข้ึน วิธีการนนั้
คือ การใช้สัญลักษณ์ (symbol) แทนข้อความ (statement) และเรียกตรรกศาสตร์ที่ใช้สัญลักษณ์แทน
ขอ้ ความน้วี ่าตรรกศาสตร์สญั ลกั ษณ์ (symbolic logic) ซงึ่ เราจะได้ศึกษาตรรกศาสตร์ในแงน่ ี้กนั

2.1 ประพจน์ (STATEMENT)

คา่ ความจรงิ

“ ข้อความที่เปน็ จรงิ
หมายถงึ ขอ้ ความทม่ี ีคา่ ความจริงเป็นจริง เขยี นแทนดว้ ย T (true)
ข้อความท่ีเป็นเทจ็
หมายถึง ขอ้ ความทีม่ ีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ เขียนแทนดว้ ย F (false)
”
ในการพิจารณาว่าคาพูดหรือข้อความใดเป็นจริงหรือเป็นเท็จนั้น จะเกี่ยวข้องกับวิชาตรรกศาสตร์
เพราะในวิชาตรรกศาสตร์ เราจะศึกษาว่าคาพูดหรือข้อความในลักษณะใดที่เป็นจริง คาพูดหรือข้อความ
ลักษณะใดทีเ่ ปน็ เท็จ ดังน้ัน เราต้องพจิ ารณาถงึ ลกั ษณะของข้อความที่ใชใ้ นโลกนวี้ า่ มลี กั ษณะใดบา้ ง ซ่ึงในทาง
ตรรกศาสตร์ เราจะแบ่งขอ้ ความออกเปน็ 2 ลักษณะ คือ ขอ้ ความทบ่ี ่งบอกไดว้ ่าเป็นจรงิ หรือเทจ็

โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

2 บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน 1 และคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 1

ซึ่งข้อความในลักษณะนี้เราเรียกว่า “ประพจน์” กับข้อความที่เราไม่สามารถบ่งบอกได้ว่าเป็นจริง
หรือเทจ็ ข้อความในลักษณะเช่นน้ี ไมเ่ รยี กว่า ประพจน์

ประพจน์

ประพจน์ (statement) คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเป็น
เทจ็ ประโยคท่ไี ม่เปน็ ประพจน์ ได้แก่ ประโยคคาถาม ประโยคคาสงั่ ประโยคขอ้ รอ้ ง ประโยคอทุ าน ประโยคที่
มีตัวแปรท่เี มือ่ แทนตวั แปรด้วยสมาชกิ ในเอกภพสัมพัทธแ์ ล้วทาให้ประโยคเป็นจรงิ บ้าง

แบบฝกึ หดั ท่ี 1

 พจิ ารณาประโยคต่อไปนี้ ให้นกั เรยี นทาเคร่ืองหมาย ✓ ลงในชอ่ งว่างใหเ้ หมาะสม

ข้อ ข้อความ เปน็ ประพจน์ ไม่เปน็ ประพจน์

1 ดาวพุธเป็นดาวเคราะห์
2 จังหวัดเชียงใหม่อยู่ทางภาคใต้ของประเทศไทย
3 ฝนตกหรอื เปล่า
4 อยา่ เดนิ ลดั สนาม
5 ช่วยด้วย
6 กรุณาเปิดหน้าต่างดว้ ย
7 9  3s
8 17 + 8 = 25 .
9 โปรดใหอ้ ภัยในความไมส่ ะดวก
10 เป็นจานวนอตรรกยะ
11 เซตวา่ งเป็นสบั เซตของทุกเซต
12 อยากไปเทย่ี วเหลอื เกิน
13 เดอื นสิงหาคมมี 30 วัน
14 (8 + 22)3 หารดว้ ย 102 ไม่ลงตัว
15 7  {1, 3, 5, 7, 9} .
16 9 เปน็ จานวนเฉพาะ
17 {a, b, c} = {1, 2, 3} .
18 ,{0}  {, 0} .
19 ปนี ้ที านายวา่ อาหารจะอดุ มสมบรู ณ์

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์ 3
เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 1

ขอ้ ข้อความ เป็นประพจน์ ไมเ่ ป็นประพจน์

20 อยา่ มายงุ่ กับฉันได้ไหม
21 ดาวเสารเ์ ป็นบรวิ ารของดวงอาทติ ย์
22 มจี านวนเต็มระหว่าง 1 กับ 2
23 ถา้ x  แลว้ x > x
24 x + 2 = 5
25 x + y = 5 เปน็ สมการท่มี กี ราฟเปน็ เส้นตรง

2.2 การเช่ือมประพจน์

สญั ลักษณแ์ ทนประพจน์

ขอ้ ความท่เี ป็นประพจน์นิยมใช้อักษรภาษาองั กฤษตวั พมิ พเ์ ล็ก เชน่ p, q, r แทน ประพจน์
เชน่ p แทน โลกหมุนรอบตวั เองใช้เวลา 1 ปี

q แทน 0 เปน็ จานวนเตม็
r แทน 2 + 4 = 5
และจะเห็นว่า p มคี ่าความจริงเป็นจริง q มคี ่าความจริงเป็นเทจ็ และ r มีค่าความจรงิ เป็นเทจ็

ตัวเชอื่ มประพจน์

ในวิชาคณิตศาสตร์หรือชีวิตประจาวัน จะพบประโยคที่ได้จากการเชื่อมประโยคอื่น ๆ ด้วยคาว่า
“และ” “หรือ” “ถ้า...แลว้ ” “ก็ต่อเม่อื ” หรือจะพบประโยคซ่งึ เปล่ียนแปลงมาจากประโยคเดมิ โดยเติมคาว่า
“ไม่” โดยคาเหลา่ นี้เรียกวา่ “ตัวเชอ่ื ม (connective)”

ตัวเชื่อม คือ คาที่ใช้เชื่อมประพจน์ตั้งแต่ 2 ประพจน์ขึ้นไป ให้เป็นประโยค หรือ ประพจน์ใหม่
ตวั เช่ือมประพจน์ มี 5 ชนิด ดังต่อไปนี้

ตวั เชอ่ื ม สญั ลักษณ์

นิเสธ c
และ s
หรอื s
ถา้ ...แล้ว →d
กต็ ่อเมือ่ d

โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

4 บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม 1

สัญลักษณแ์ ละตวั เช่ือมประพจน์

ถ้า p และ q เปน็ ประพจน์ใด ๆ แลว้ สามารถเขียนตวั เชื่อมประพจนท์ ั้งสองด้วยสญั ลกั ษณด์ ังน้ี

สญั ลกั ษณ์ ความหมาย

p นิเสธของ p
pq p และ q
pq p หรือ q
p→q ถา้ p แลว้ q
pq p กต็ อ่ เมอ่ื q

ข้อสงั เกต

1) ประพจน์ที่ถูกเช่ือมดว้ ยตัวเชอ่ื มทางตรรกศาสตรเ์ รียกว่า “ประพจน์เชิงประกอบ” สว่ น
ประพจน์เดยี ว ๆ จะเรยี ก “ประพจน์เชิงเดยี ว”

2) เราอ่าน p ว่า not p หรือ นิเสธ p
3) คาทมี่ ีความหมายเหมือนกบั ตัวเชอื่ มท้ัง 5 ชนิด

ตวั เชื่อม คาทม่ี คี วามหมายเดียวกนั

ไม่ ไมใ่ ช่, ไมจ่ ริงทวี่ ่า
และ แต,่ กับ, ที่ ,ซึ่ง
หรอื หรอื ไม่ก็
ถา้ ...แล้ว ถา้ ...ดงั น้ัน, ถ้า...จะได,้ ดงั นน้ั
ก็ต่อเมอ่ื สมมูลกับ

กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์ 5
เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตร์พื้นฐาน 1 และคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม 1

2.3 การหาคา่ ความจริงของประพจน์

คา่ ความจริงทเ่ี ปน็ ไปไดข้ องประพจน์

ใหเ้ ป็นประพจนใ์ ด ๆ แสดงว่าค่าความจริงของ p จะเกดิ ได้ 2 กรณี คอื จริง (true) ซง่ึ เขียนแทนด้วย
T หรอื เท็จ (false) ซึง่ เขียนแทนดว้ ย F แสดงได้ดงั ตาราง

p
T
F

เราเรียกตารางซึ่งแสดงกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่เกิดขึ้นทั้งหมดของ p ว่า ตารางค่าความจริง
(truth table) ของ p ทานองเดยี วกนั ถา้ มสี องประพจน์ คอื p และ q แลว้ จะมีกรณีเก่ียวกับค่าความจริงท่ีเกิด
ได้ทง้ั หมด 4 กรณี ซึ่ง T และ F ของ p ตา่ งจบั คกู่ ับ T และ F ของ q แสดงได้ดังตาราง

pq
TT
TF
FT
FF

และถา้ มีประพจน์ p, q, r แล้วจะมกี รณเี ก่ียวกับคา่ ความจริงทเ่ี กิดข้ึนได้ท้งั หมด 8 กรณี ดงั ตาราง
แสดงค่าความจริง

pqr
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF

ขอ้ สงั เกต “ ถา้ n ประพจน์ จานวนกรณีทีเ่ ปน็ ไปได้ทัง้ หมด 2n กรณี ”

โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

6 บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน 1 และคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 1

การสร้างตารางค่าความจรงิ (truth table)

เม่ือนาประพจน์ยอ่ ย ๆ มาเชือ่ มกนั ด้วยตวั เชอ่ื ม จะได้ค่าความจรงิ ของประพจนผ์ สมดงั ตารางตอ่ ไปน้ี

ถา้ p และ q เป็นประพจนใ์ ด ๆ แลว้ “นเิ สธ” (negation) ของ p เขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์ p

ตารางค่าความจรงิ ของตวั เชื่อม “นิเสธ” p

บทนยิ าม 1 ให้ p เปน็ ประพจน์ ~p คอื ประพจน์ท่ีมีคา่ ความจรงิ ตรงขา้ มกบั p

pp p
T ~p
F

ตวั อยา่ ง 1 ให้ p แทน จดุ (2,0) อยบู่ นแกน X
p แทน จดุ (2,0) ไม่อยบู่ นแกน X

ถ้า p และ q เปน็ ประพจน์ใด ๆ แล้วการเชอื่ มประพจน์ p และ ประพจน์ q ด้วยตวั เชอ่ื ม “และ”
(and) เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ p  q

ตารางค่าความจรงิ ของตวั “และ” p  q

บทนยิ าม 2 ให้ p และ q เป็นประพจน์ p  q เปน็ จริง เมื่อ p เปน็ จรงิ และ q เปน็ จริงเท่านั้น

p q pq

ตวั อยา่ ง 2 ให้ p แทน 3  {1, 3, 5, ...} p q
q แทน 3 เปน็ จานวนค่ี pq

 p  q แทน 3  {1, 3, 5, ...} และ 3 เปน็ จานวนค่ี

กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์

บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์ 7
เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตร์พื้นฐาน 1 และคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม 1

ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ แล้วการเชือ่ มประพจน์ p และ ประพจน์ q ดว้ ยตวั เช่ือม “หรอื ” (or)
เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ p  q

ตารางค่าความจรงิ ของตวั เชื่อม “หรอื ” p  q

บทนิยาม 3 ให้ p และ q เปน็ ประพจน์ p  q เป็นเท็จ เมื่อ p เปน็ เท็จ และ q เปน็ เท็จเท่านนั้

p q pq

ตวั อยา่ ง 3 ให้ p แทน 2 เป็นจานวนตรรกยะ p q
q แทน 2 เป็นจานวนเตม็ pq

 p  q แทน 2 เป็นจานวนตรรกยะ หรือ 2 เป็นจานวนเตม็

หมายเหตุ : ความหมายของคาวา่ “หรอื ” ทีใ่ ช้โดยทั่วไปมสี องกรณี

กรณที ่ี 1 หมายถึงอยา่ งใดอย่างหน่งึ เท่านนั้
เช่น ในการโยนเหรยี ญครัง้ ละ 1 เหรียญแตล่ ะคร้ังเหรยี ญจะข้นึ หวั หรือก้อยเพยี งอยา่ งเดยี ว

กรณีที่ 2 หมายถงึ อย่างใดอย่างหน่งึ หรือทั้งสองอยา่ ง
เชน่ ครูให้รางวัลแก่นกั เรยี นที่เรียนดี หรอื ช่วยกิจกรรมของโรงเรียน อาจหมายถึง นกั เรยี นท่ี

ได้รบั รางวลั บางคนอาจเรยี นดีเพยี งอย่างเดยี ว บางคนอาจช่วยกิจกรรมของโรงเรยี นเพียงอยา่ งเดียว แต่
บางคนอาจมีสมบัติทั้งสองประการก็ได้

ในทางตรรกศาสตร์มีขอ้ ตกลงวา่ ตวั เช่อื ม “หรือ” หมายถงึ กรณีที่ 2 เวน้ แตว่ ่าจะระบไุ ว้อยา่ ง
ชัดเจนใหห้ มายถงึ กรณที ่ี 1

โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

8 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ 1
ถ้า p และ q เปน็ ประพจนใ์ ด ๆ แลว้ การเชอื่ มประพจน์ p และ ประพจน์ q ดว้ ยตวั เช่ือม “ถา้ ...แล้ว”
(if…then) เขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์ p → q โดยเรียก p ว่า เหตุ และ เรยี ก q ว่า ผล

ตารางค่าความจริงของตวั เช่ือม “ถา้ ...แลว้ ” p → q
บทนยิ าม 4 ให้ p และ q เป็นประพจน์ p → q เปน็ เท็จ เมอื่ p เปน็ จริง และ q เปน็ เท็จเทา่ นนั้

p q p→q

p q

ตัวอยา่ ง 4 ให้ p แทน 0 เป็นจานวนเตม็ pq

q แทน 0 เป็นจานวนลบ

 p → q แทน ถา้ 0 เปน็ จานวนเตม็ แล้ว 0 เปน็ จานวนลบ

ถา้ p และ q เปน็ ประพจนใ์ ด ๆ แลว้ การเชือ่ มประพจน์ p และ ประพจน์ q ด้วยตวั เชื่อม “ก็ต่อเม่ือ”
(if and d only if) เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ p  q

ตารางคา่ ความจรงิ ของตวั เช่ือม “กต็ ่อเมอ่ื ” p  q

บทนิยาม 5 ให้ p และ q เป็นประพจน์ p  q เปน็ จรงิ เมื่อ
1. p เปน็ จริง และ q เปน็ จรงิ
2. p เปน็ เทจ็ และ q เป็นเทจ็

p q pq

กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์ 9
เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม 1

ตวั อยา่ ง 5 ให้ p แทน 5 เปน็ จานวนคี่ p q
q แทน 54 เปน็ จานวนคี่ pq p

 p  q แทน 5 เป็นจานวนคก่ี ็ต่อเม่ือ 54 เป็นจานวนค่ี

สรปุ ตารางคา่ ความจริง (truth table)

p q pq pq p→q pq
TT
TF
FT
FF

ข้อสงั เกต
ตัวเชื่อมต่าง ๆ ที่กล่าวมานอกจากใช้เช่ือมประพจน์แล้ว ยังใช้ตัวเชื่อมในการเขียนสัญลักษณ์ใน

คณิตศาสตร์ด้วย เชน่
- ยูเนียนของเซต A และ เซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรือ ของเซต B

หรือของทงั้ สองเซต เขียนแทนด้วย A  B = {x U | a  A  b  B}
- อนิ เตอรเ์ ซกชนั ของเซต A และเซต B คือ เซตทป่ี ระกอบดว้ ยสมาชกิ ของทั้งเซต A และ เซต

B เขียนแทนด้วย A  B = {x U | a  A  b  B}
- ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรอื b = 0 เขยี นเป็น ab = 0 → ( a = 0  b = 0 )

แบบฝกึ หัดท่ี 2

 ให้นกั เรยี นเขียนประพจน์ต่อไปนี้ใหอ้ ยใู่ นรูปสญั ลักษณ์ และหาคา่ ความจริงของแต่ละประพจน์

ขอ้ ท่ี ประโยค คา่ ความจริง
1 0 เปน็ จานวนนบั และ 6 จานวนเต็ม

2 9 ไม่เทา่ กบั 10 หรอื 10 ไมน่ ้อยกว่า 9

3 2 และ -1 เปน็ จานวนจริง
4 ถา้ 1{1,2} แลว้ 1  {1,2}

โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

10 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์ คา่ ความจริง
เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 1
ขอ้ ที่ ประโยค
5 3 เป็นจานวนตรรกยะ และไมใ่ ช่จานวนจริง
6 2 เปน็ ห.ร.ม. ของ 4 และ6 กต็ ่อเมื่อ 2 หาร 4 + 6 ไมล่ งตัว
7 ถ้า 3 เป็นจานวนคี่ แลว้ 32 เป็นจานวนค่ี
8 −1 เปน็ จานวนจริงหรือจานวนอตรรกยะ
9 13 เปน็ จานวนเฉพาะ กต็ อ่ เม่ือ 13 มตี ัวประกอบคือ 1 กบั 13
10 ถ้า {3}  {3,4} แลว้ 3{3,4}
11 (2 + 6) + 4 =12 หรอื 12 = 2(5) + 2
12 ถา้ แมงมุมเปน็ แมลง แล้วแมงมุมตอ้ งมี 6 ขา
13 งูเหา่ และงจู งอางเปน็ สตั ว์มีพิษ
14 ปลาโลมาหรือมา้ น้าเป็นสัตวบ์ ก
15 ถ้ากระตา่ ยบนิ ได้แล้วคนกบ็ นิ ได้

 ให้นักเรียนหานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้ และหาค่าความจริงของประพจนท์ ่ีเปน็ นเิ สธ

ขอ้ ประโยค คา่ ความจรงิ ประโยคนเิ สธ ค่าความจริง

1 4 + 9 = 10 + 3 T 4 + 9  10 + 3 F

2 15 ไมใ่ ชจ่ านวนจริง

3 {3,4}  {1,3,5} = {1,3,4,5}

4 {{2}}  {2}

5 |-3 + 6|  |-3| + |6|

กล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์

11บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพิม่ เติม 1

การหาค่าความจรงิ ของประพจนผ์ สม

หลกั การเบ้อื งตน้ ในการหาค่าความจรงิ ของประพจน์ผสม
 ในประพจน์เดี่ยว หากมีนิเสธกากับต้องหานิเสธก่อน แล้วจึงนาค่าความจริงไปพิจารณาร่วมกับ
ประพจนอ์ นื่ ๆ
 กรณีที่มีวงเล็บ ต้องหาค่าความจริงในวงเล็บให้เรียบร้อยเสียก่อน แล้วจึงนาไปพิจารณาหาค่า
ความจริงร่วมกับประพจน์อื่นต่อไป โดยมีหลักในการพจิ ารณาความสาคัญของตัวเชื่อมดังนี้

“ ~ ” มีความสาคญั น้อยสดุ
“ , ” มีความมากกวา่ “ ~ ”
“ → ” มคี วามสาคัญมากกว่า “ , ”
“  ” มคี วามสาคัญมากที่สดุ

นั่นหมายความว่าในกรณีที่ประพจน์ที่กาหนดให้นั้น ไม่ใส่วงเล็บให้หาค่าความจริงของตัวเชื่อม “~”
ก่อน แล้วจึงหาค่าความจริงของตัวเชื่อม “ , ” จากนั้นจึงหาค่าความจริงของตัวเชื่อม “ → ” และลาดับ
สดุ ท้ายเปน็ การหาค่าความจรงิ ของตวั เช่อื ม “  ” เช่น p→ q  r  s หมายถึง [ p→ (q  r)]  s

ตัวอย่าง 6 กาหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ทมี่ คี ่าความจรงิ เป็นจริง, เท็จ, เทจ็ และ เทจ็ ตามลาดบั
แล้วจงหาคา่ ความจริงของประพจน์ (p  q) → (r  s)

ตัวอยา่ ง 7 กาหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจนท์ มี่ คี ่าความจริงเป็นจริง, เท็จ, เท็จ และจรงิ ตามลาดับ
แลว้ จงหาค่าความจรงิ ของประพจน์ (p → ~s)  (q → ~r)

ตวั อย่าง 8 กาหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ทมี่ ีค่าความจรงิ เป็นเทจ็ , เทจ็ , เทจ็ และจรงิ ตามลาดับ

แลว้ จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ตอ่ ไปนี้

1. (p → s)  r 2. (p → q)  (s → r)

โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

12 บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 1

3. (~p → q)  (~s → p) 4. (p  s)  (~q  r)

ตัวอยา่ ง 9 กาหนดให้ p, q และ r เปน็ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง, เท็จ และจรงิ ตามลาดับ แล้วจง

หาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ อ่ ไปน้ี

1. (p  ~r) → q 2. (q  ~p)  p

3. (p  ~q)  ~r 4. (p  ~q) → r

ตวั อย่าง 10 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ท่มี ีค่าความจรงิ เป็นเท็จ, จรงิ และจริง ตามลาดับ แล้วจง

หาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ ่อไปน้ี

1. r → (~p  q) 2. (~q → r) → (p  r)

3. (~p  q)  (r → ~q) 4. (~r  ~p) → (~q  r)

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์

13บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 1

ตวั อย่าง 11 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเปน็ จริง เทจ็ และ จริง ตามลาดับ
แล้วจงหาคา่ ความจริงของประพจน์ [p → (q → r)] → [(p → q) → (p → r)]

ตวั อยา่ ง 12 กาหนดให้ p, q, r และ s เปน็ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเปน็ เทจ็ , จริง, จริงและเท็จ ตามลาดับ
แล้วจงหาค่าความจริงของประพจน์

[{(p  q)  r} → {q  (~r  s)}]  [(~q → ~p) → (~s → ~r)]

ตัวอย่าง 13 กาหนด p แทน ประพจน์ “2 + 4 = 4 + 2 กต็ ่อเมอ่ื 52 = 2 3”

q แทน ประพจน์ “ถ้า 2 3  3 2 แลว้ 2 + 3 = 3 + 2 และ 2 – 3 = 3 – 2

แล้วจงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้

1. ~p  q 2. q → p

3. p  q 4. p  ~q

โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

14 บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตร์พน้ื ฐาน 1 และคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 1

ตัวอยา่ ง 14 จงหาความจรงิ ของ “ถ้า a < bc แลว้ จะได้ a < b หรือ a < c” เม่ือกาหนดคา่ ของ a, b

และ c ดังต่อไปน้ี

1. a = 1, b = 4, c = 1 2. a = -1, b = -2, c = 0

3. a = 1, b = -1, c = -1 4. a = -1, b = -1, c = -2

ตัวอย่าง 15 กาหนดให้ p แทนประพจน์ “ถ้า a +c > b +c แล้ว a > b เมื่อ a, b, c คือจานวนจริงใด ๆ”
q แทนประพจน์ “สาหรบั จานวนจรงิ x ใด ๆ |x|  2 ก็ตอ่ เมื่อ x  2“

จงหาค่าความจริงของ ~p  q

ตวั อยา่ ง 16 ให้ p, q และ r เปน็ ประพจน์ใด ๆ
1. ถ้า r มีคา่ ความจรงิ เป็นเท็จ แล้วจงหาคา่ ความจรงิ ของ (p  q)  r

2. ถ้า q มีค่าความจริงเปน็ จริง แล้วจงหาคา่ ความจรงิ ของ p → (p  q)

3. ถา้ p มคี ่าความจริงเป็นจรงิ แล้วจงหาคา่ ความจรงิ ของ p  (q → r)

กล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์

15บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตร์พน้ื ฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม 1

ตัวอย่าง 17 ให้ p, q และ r และ s เปน็ ประพจนใ์ ด ๆ
1. ถา้ p เป็นจริง และ r เป็นเทจ็ จงหาค่าความจรงิ ของ (p  q) → (r  s)

2. ถา้ q และ r มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ และเท็จตามลาดับ
จงหาค่าความจรงิ ของ (p → q)  (r → s)

ตัวอย่าง 18 ให้ r, s เป็นประพจนใ์ ด ๆ และ p, q เปน็ ประพจน์ทมี่ คี ่าความจริงเปน็ เท็จ
จงหาค่าความจริงของ (r  p)  [q → (r  s)]

ตัวอยา่ ง 19 ถา้ ~p  q เป็นเท็จแลว้ จงหาคา่ ความจริงของ ~p → [q  (p  r)]

ตัวอยา่ ง 20 ให้ r, s และ t เป็นประพจน์ และประพจน์ (r → t)  [~(s  t)] มีค่าความจริงเปน็ จริง
จงหาคา่ ความจริงของ r, s และ t

โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

16 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม 1

ตวั อย่าง 21 ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ โดยท่ี p → q มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ q  r มคี า่ ความจรงิ
เป็นจรงิ จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ [~q  (p  r)]  ~r

ตวั อยา่ ง 22 ถ้า p  q มีค่าความจริงเป็นเทจ็ และ p → r มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ แล้ว จงหาค่าความจรงิ ของ

ประพจนต์ ่อไปนี้

1. ~(p  q) 2. (p  r) → q

3. ~(p  r) 4. p → (q  r)

ตัวอยา่ ง 23 ถ้า ~p → ~q เป็นเทจ็ และ q  r เป็นจริง จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ต่อไปน้ี
1. ~p  (q → r)

2. (p  q) → r

กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์

17บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน 1 และคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 1

3. (p  ~q)  ~r

4. (q  p)  ~r

ตัวอย่าง 24 กาหนด p, q, r, s และ k เปน็ ประพจน์ โดยที่
[(~p  q) → (~q  ~r)]  [(~p  ~s)  (~k  s)] มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็
จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ตอ่ ไปนี้

จาก [(~p  q) → (~q  ~r)]  [(~p  ~s)  (~k  s)]

1. (q  r)  k 2. (q  s)  ~p

3. (k → p)  ~p 4. (p → q)  (s → r)

โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

18 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 1

แบบฝกึ หดั ที่ 3

 กาหนดให้ p, q, r, s และ t มีค่าความจริงเป็น จริง, เท็จ, จริง, เท็จ และ เท็จ ตามลาดับ จงหาค่า

ความจรงิ ของประพจน์ต่อไปน้ี

1. (p  q)  r 2. (p  r)  (t  s)

3. (p  ~s)  (q  r) 4. ~ [(p  ~q)  t]

5. ~ [(~r  ~s)  p] 6. (p  ~q) → (r  t)

7. (~r  q)  (s  ~t) 8. (p → q)  (r → s)

9. (s  ~p)  (q → ~r) 10. (q  r) → (p  ~s)

กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์

19บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 1

11. [(p → q)  (t → r)] → s 12. [(p  q)  (t  s)]  [(q → r) → ~s]

 ใหน้ กั เรยี นหาวา่ ประโยคตอ่ ไปนจ้ี รงิ หรือเท็จ
1. ถา้ เดือนกมุ ภาพนั ธม์ ี 28 วัน หรอื 29 วนั แลว้ เดือนมิถนุ ายนมี 31 วัน
2. -10 ไม่น้อยกวา่ -15 หรือมากกว่า -1 แต่ไม่เทา่ กับ -1
3. ถ้า 1 + 3 = 4 แลว้ 4 − 1 = 2 กต็ ่อเมื่อ 4 − 1 = 3
4. ถา้ 3  {1, 3, 5}และ {3}  {3, 4, 5} แล้ว {3}  {3, 4, 5}
5.  และ 0 เปน็ สมาชิกของ {, 0} ก็ต่อเมอ่ื {, 0} มสี ับเซตแทค้ ือ {}, {}, {0}

โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

20 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน 1 และคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ 1
 ถ้า p → q มคี ่าความจริงเปน็ เท็จ จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ ( p  q)  (q  p)

 ถา้ p  q มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็ และ [p q  (p  q)]  [ (p  q)  ( p  q)] มีค่า
ความจรงิ เปน็ จรงิ จงหาคา่ ความจรงิ ของ p และ q

 ถา้ [p  ( q → r)] → ( s  r) มคี า่ ความจริงเปน็ เท็จ
จงหาคา่ ความจริงของ p, q, r และ s

กล่มุ สาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์

21บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพิม่ เติม 1

การสร้างตารางค่าความจรงิ

ในการพิจารณาประพจน์ที่มีตัวเชื่อม เช่น ~p, p  q, p  q, p → q, p  q จะเห็นว่าประพจน์
เหล่านี้มี p, q, r เป็นประพจน์ย่อย ซึ่งเรายังไม่กาหนดค่าความจริง เราจะเรียก p, q, r ว่าเป็นตัวแปรแทน
ประพจน์ใด ๆ และเรียกประพจน์ทมี่ ตี วั เชอื่ มดังกล่าววา่ รปู แบบของประพจน์

เนือ่ งจาก p, q, r เป็นตวั แปรแทนประพจนใ์ ด ๆ ดังนั้น ในการพิจารณาค่าความจรงิ ของรูปแบบของ
ประพจนจ์ ึงต้องกาหนดค่าความจรงิ ของประพจนย์ ่อยทุกกรณที ่เี ป็นไปได้

ตัวอย่าง 25 จงสรา้ งตารางคา่ ความจริงของ (p → q) → (~p  ~q)
รูปแบบของประพจน์ (p → q) → (~p  ~q) ประกอบด้วยประพจน์ย่อยสองประพจน์คือ p, q

จงึ มกี รณเี กยี่ วกบั คา่ ความจรงิ ท่อี าจเกดิ ขึ้นไดท้ ้งั หมด 4 กรณี

pq p→q ~p ~q ~p  ~q (p → q) → (~p  ~q)
TT
TF
FT
FF

ตัวอย่าง 26 จงสร้างตารางค่าความจริงของ (p  q) → r

pqr pq (p  q) → r
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF

โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

22 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม 1
ตัวอย่าง 27 จงสร้างตารางค่าความจรงิ ของ p  ~q กบั ~ (p → q)

การสร้างตารางแบบลดรปู วิธีที่ 2

ตวั อย่าง 28 จงสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ ของ p → (p  q) p → (p  q)
วิธที ี่ 1

p q p  q p → (p  q)

ตวั อยา่ ง 29 จงสรา้ งตารางค่าความจรงิ ของ p → ~q

ตวั อย่าง 30 จงสร้างตารางคา่ ความจรงิ ของ (p → q)  (q → p)

กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์

23บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ 1

ตัวอย่าง 31 จงสรา้ งตารางค่าความจรงิ ของ ~ q  (~ p  ~ q)
ตัวอย่าง 32 จงสรา้ งตารางค่าความจรงิ ของ ~ (p  q)  (~ p  ~ q)

ตวั อย่าง 33 จงสร้างตารางคา่ ความจริงของ [(p → q)  (q → r)] → (p → r)

โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

24 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ 1
แบบฝกึ หัดท่ี 4
 จงสร้างตารางคา่ ความจรงิ ของรูปแบบของประพจน์ต่อไปน้ี
1. p  (q → p)

2. (p  q)  (p  ~ q)

3. ~ q  [ p  (q → ~ p) ]

4. [ (p → q)  (p  s) ] → (r → s)

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์

25บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 1

2.4 ประพจนท์ ี่สมมูลกัน

บทนิยาม 6
ถ้ารูปแบบของประพจน์สองรูปแบบใดที่มีค่าความจริงตรงกันกรณีต่อกรณี แล้วจะสามารถ
นาไปใช้แทนกันได้ เรียกสองรูปแบบของประพจน์ดังกล่าวว่า รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ A สมมูลกบั ประพจน์ B เขียนแทนด้วย A  B

ตัวอย่าง 34 จงพิจารณาวา่ ประพจนใ์ นแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้สี มมลู กนั หรือไม่

1. ~ (p  q) กบั ~ p  ~ q 2. p → q กับ ~ q → ~ p

3. ~ p  q กบั p → q 4. (p → q)  (q → p) กบั p  q

โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

26 บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์พื้นฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 1

กฎการสมมลู เชงิ ตรรกศาสตร์

ประพจนแ์ ตล่ ะข้อต่อไปน้ี “สมมูลกนั ” สามารถนามาทดแทนกนั ได้ มีดังต่อไปน้ี

1. p  q  qp

2. p  q  qp Commutative laws

3. p  q  qp p → q  q → p

.

4. p  p p Idempotent laws
5. p  p p
6. p → p T
7. p  p T

8. p  (q  r)  (p  q)  r Associative laws
9. p  (q  r)  (p  q)  r

.

10. p  (q  r)  (p  q)  (p  r) Distributive laws
11. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

.

12. p → q  ~p  q  ~ q → ~ p Contrapositive
 T 
13. p  ~ p  F Demorgan laws
14. p  ~ p  ~p  ~q
15. ~ (p  q)  ~p  ~q p  ~q
16. ~ (p  q)  p  ~q
17. ~ (p → q)  ~p  q Double negation
18. ~ (p  q)  p
19. ~ (~p)

.

20. T  p  p F  p  F Identities laws

21. F  p p Tp  T

.

22. p  q  (p → q)  (q → p) Equivalence
 p → (q → r) Exportation law
23. [ (p  q) → r ]

กล่มุ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์

27บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 1

ตวั อยา่ ง 35 ให้ p, q, r เป็นประพจน์ พิจารณาข้อความต่อไปนีว้ า่ สมมูลกันหรือไม่
1. p → (q → r) กับ (p  q) → r
2. p → (q  r) กบั (p → q)  (p → r)

3. p → q กับ (p  ~ q) → ~ p

4. (p → q)  (p → r) กบั p → (q  r)
5. p  (q  ~ q) กับ p

โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

28 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม 1
6. (p → q)  (r  ~ r) กับ ~ p  q
7. (p  q) → (q  r) กับ ~ (q  r) → (~ p  ~ q)
8. (p  q) → ~ r กับ r → (p → ~ q)
9. [ q  (r  ~ r) ]  [ q  ~ q ] กับ q
10. [p → (q  r)] → [~ (p  q) → ~r] กับ [(~p  q)  (~p  r)] → [(r → p)  (r → q)]

กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์

29บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 1

นิเสธของประพจนผ์ สม

บทนิยาม 7
“นิเสธของประพจน์ p” คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริง ตรงกันข้ามกับประพจน์ p ทุกกรณี
นเิ สธของประพจน์ p เขียนแทนด้วย ~ p

กฎการสมมลู เชิงตรรกศาสตรท์ เี่ ก่ยี วข้องกับนิเสธนเิ สธ

1. ~ (~ p) p Double Negation
Demorgan laws
2. ~ (p  q)  ~ p ~ q
p  ~q
3. ~ (p  q)  ~ p ~ q

4. ~ (p → q)  p  ~q

5. ~ (p  q)  ~p  q 

ตวั อย่าง 36 พิจารณาประพจนผ์ สมในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี เปน็ นเิ สธกันหรือไม่
1. p → (q  r) กับ p  ~ q  ~ r

2. p → [ (q  ~ s) → r ] กบั p  (q  ~ s)  ~ r

3. (p → ~q)  (~r → s) กบั [~ (p  q) → ~r ]  [ (~p  q) → ~s ]

โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

30 บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม 1

แบบฝึกหัดที่ 5

 จงพจิ ารณาวา่ รปู แบบของประพจนต์ ่อไปนสี้ มมูลกับรูปแบบของประพจนท์ ี่กาหนดในขอ้ ใด

1. (p  q) → r

ก. (p → q)  (q → r) ข. (p → r)  (q → r)

2. (p → r)  (q → r) ข. ~ (p  q)  r
ก. ~ (p  q) → r

3. ~ [ (p  q) → (~q  r) ] ข. p  ~ (q → r)
ก. (p  q)  (q  ~r)

4. ~p → [ q → (r  p) ] ข. (~p  q)  r
ก. (p  ~q)  r

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์

31บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน 1 และคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม 1

5. p  q ข. (~q → ~p)  (~q  p)
ก. (p → q)  (q  ~p)

 จงเขียนขอ้ ความท่ีสมมูลกบั ข้อความต่อไปน้ี
1. (ab = 0  a  0) → b = 0

2. 2 เปน็ จานวนตรรกยะ ก็ต่อเมื่อ 2 เปน็ จานวนจริง

3. ถา้ a เป็นจานวนนบั ทมี่ ากกวา่ ศนู ย์ และถ้า a เปน็ จานวนนับ แล้ว a2 มากกว่าศูนย์

4. แดงหรือดาเปน็ นักเรยี น และแดงหรือขาวเปน็ นักเรียน

โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

32 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม 1
5. xy  0 → (x  0  y  0)

 รูปแบบของประพจน์ (ก) เป็นนิเสธของรูปแบบของประพจน์ (ข) เมื่อค่าความจริงของรูปแบบของ

ประพจน์ (ก) ต่างกับค่าความจริงของประพจน์(ข) ทุกกรณี จงตรวจสอบว่าแต่ละข้อต่อไปนี้ว่ารูปแบบ

หรือข้อความ (ก) กบั รูปแบบหรือข้อความ (ข) เปน็ นิเสธกนั หรอื ไม่เปน็ นเิ สธกัน

1. ก. p  q ข. ~ p  ~ q

2. ก. p  q ข. ~ p  ~ q

3. ก. p  q ข. (p  ~ q)  (q  ~ p)

4. ก. ถา้ 2+1 = 3 แลว้ 3 เปน็ จานวนนับ ข. 3 ไมใ่ ชจ่ านวนนับ แต่ 2+1 = 3

5. ก. a เป็นจานวนเตม็ คแู่ ละเป็นจานวนเต็ม ข. a เป็นจานวนคี่ หรอื ไม่ใชจ่ านวนเต็ม

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์

33บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 1

2.5 สัจนิรนั ดร์ (tautology)

บทนิยาม 8 รปู แบบของประพจน์ท่ีมคี า่ ความจริงเปน็ จรงิ ทุกกรณี เรียกว่า “สจั นิรนั ดร์”

การตรวจสอบเป็นสจั นริ ันดร์ โดยการสร้างตารางค่าความจริง

ตวั อย่าง 37 จงตรวจสอบว่าประพจน์ในแตล่ ะข้อต่อไปน้ีเปน็ สัจนริ ันดร์หรอื ไม่

1. p → (p  q) 2. p → (p  q)

3. (p → q)  (~q → ~p)

4. [ (p → q)  ~p ] → ~q

โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

34 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 1 และคณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 1
การตรวจสอบเปน็ สัจนิรันดร์ โดยวธิ ีการหาขอ้ ขัดแย้ง
ตัวอยา่ ง 38 จงตรวจสอบว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปน้เี ป็นสจั นริ ันดร์หรือไม่
1. [ (p → q)  p ] → ~q

2. (p  q) → (q  p)

3. (~q → p) → (~q → ~p)

การตรวจสอบการเปน็ สจั นริ นั ดร์ โดยอาศยั สตู รทางตรรกศาสตร์

ตวั อยา่ ง 39 จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้เปน็ สัจนริ ันดร์หรอื ไม่
1. [ (p → q)  (~q → ~p) ]  r

2. [ (p  ~p) → q ]  r

3. p  [ ~p  (q  ~q) ]

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

35บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์พื้นฐาน 1 และคณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเติม 1

4. [ (~r  ~s)  ~ (r  s) ] → (~r  ~s)

สมมูลกันเชงิ ตรรกศาสตร์ (logical equivalence)

บทนยิ าม 9 ประพจน์ p และ q จะถกู เรยี กวา่ สมมูลกันเชิงตรรกศาสตร์
(logical equivalence) ถ้า p  q เป็นสจั นิรนั ดร์ แล้ว p  q

การตรวจสอบสจั นิรนั ดร์ เม่อื ตวั เชอ่ื มเปน็ “กต็ อ่ เมอ่ื ”

สามารถตรวจสอบไดโ้ ดยใชห้ ลกั การสมมลู โดยพิจารณาจากประพจนผ์ สมทางขวาและทางซา้ ย
“ถา้ สมมูลกนั แสดงวา่ เปน็ สจั นิรนั ดร์”
“ถ้าไม่สมมลู กัน แสดงวา่ ไม่เป็นสจั นิรันดร์”

ตวั อย่าง 40 พจิ ารณาประพจน์ต่อไปน้ีว่าเป็นสจั นริ ันดรห์ รอื ไม่
1. [ (p  q) → r ]  [ p → (q → r) ]

2. [ p → (q  r) ]  [ (~q  ~r) → ~p ]

โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

36 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน 1 และคณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเติม 1
3. [ p → (q → r) ]  [ (p → q) → r ]

4. [ p  (q  r) ]  [ (p  q)  r ]

5. (p → q)  (~ p  q)

แบบฝกึ หดั ท่ี 6

 จงตรวจสอบรูปแบบของประพจนท์ ่ีกาหนดใหว้ า่ เป็นสัจนริ ันดรห์ รอื ไม่
1. [ (~p → q) ] → [ (~p  q) ]

2. (p  q)  (p  q)  (~p  ~q)

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

37บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน 1 และคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 1

3. ~ (p  q) → ~ (p  q)
4. [ (p → q)  (p → r) ]  [ p → (q  r) ]
5. [ (p → r)  (q → r) ]  [ (p  q) → r ]
6. [ p → (q → r) ] → [ (p → q) → r ]

7. [ (p → q) → p ] → p

โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

38 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์พน้ื ฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 1
8. ~ [ (p  (~p  q)) → (~p  ~q) ]
9. ~ (p → q) → ~ q
10. [ ~p  (p  q) ] → q
11. [ (p → q)  (q → r) ] → (p → r)
12. [ (p  q)  (p → r)  (q → r) ] → r
กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์

39บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน 1 และคณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 1

13. ~ (p  q)  (~p → ~q)
14. ~ (p → q)  (p  ~q)
15. [ p  (q  r) ]  [ (p  q)  r ]
16. [ (p → q)  r ]  [ r  (~p  q) ]

โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

40 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ 1

2.6 การอา้ งเหตผุ ล

การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า เมื่อมีข้อความ P1, P2, P3, , Pn ชุดหนึ่ง แล้วสามารถสรุป
ข้อความ C ข้อความหนง่ึ ได้

การอ้างเหตุผลประกอบด้วยส่วนสาคัญสองสว่ น คือ
เหตุ หรอื สง่ิ ท่ีกาหนดให้ ได้แก่ ขอ้ ความ P1, P2, P3, , Pn
ผล หรือข้อสรปุ ได้แก่ ข้อความ C

การอา้ งเหตุผลอาจจะสมเหตุสมผลหรือไมส่ มเหตสุ มผลกไ็ ด้
ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ตวั เช่ือม “และ”
เชอ่ื มเหตทุ ัง้ หมดเขา้ ดว้ ยกัน และใช้ตัวเช่ือม “ถ้า...แลว้ ”
เชื่อมสว่ นที่เปน็ เหตกุ บั ผล คือ P1  P2  P3   Pn → C

ถ้ารูปแบบ P1  P2  P3   Pn → C

เป็นสัจนิรันดร์ จะกล่าววา่ การอ้างเหตุผลนี้ “สมเหตุสมผล” (Valid)
ไมเ่ ปน็ สจั นริ นั ดร์ จะกลา่ ววา่ การอ้างเหตุผลนี้ “ไมส่ มเหตุสมผล” (Invalid)

การตรวจสอบการสมเหตุสมผล

สามารถตรวจสอบได้ 2 วิธี ได้แก่
1. ตรวจสอบโดยการพจิ ารณาสัจนริ นั ดร์
2. ตรวจสอบโดยอา้ งอิงรูปแบบทส่ี มเหตุสมผล

ตรวจสอบโดยการพิจารณาความเปน็ สัจนริ ันดร์

ตวั อย่าง 41 พจิ ารณาการอา้ งเหตุผลในแต่ละขอ้ ต่อไปนว้ี า่ สมเหตสุ มผลหรอื ไม่

1. เหตุ 1. p → q 2. เหตุ 1. p → q

2. p 2. ~p

ผล q ผล ~q

กล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์

3. เหตุ 41บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์
ผล
เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน 1 และคณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 1

1. ถ้าฝนตกแลว้ หลังคาบา้ นเปยี ก
2. หลงั คาบา้ นไม่เปยี ก
ฝนไม่ตก

4. เหตุ 1. ถ้ามีนได้โบนัส มนี จะฝากเงนิ กบั ธนาคารเพม่ิ 10,000 บาท
ผล 2. มีนฝากเงินกับธนาคารเพ่ิม 10,000 บาท
มนี ไดโ้ บนัส

5. เหตุ 1. เมยจ์ ะซือ้ รถคนั ใหม่ หรอื เมยล์ งทุนในตลาดหนุ้
ผล 2. เมยไ์ ม่ได้ซอ้ื รถคันใหม่
เมยล์ งทนุ ในตลาดห้นุ

6. เหตุ 1. ถ้าไฟฟา้ ดบั แลว้ จะต้องใชเ้ ครื่องป่ันไฟ
ผล 2. ถา้ ใชเ้ ครื่องปน่ั ไฟ แล้วลฟิ ตจ์ ะทางานไมไ่ ด้
ถา้ ไฟฟ้าดับ แลว้ ลิฟตจ์ ะทางานไม่ได้

โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

42 บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม 1

ตรวจสอบโดยอ้างองิ รปู แบบท่ีสมเหตุสมผล
รูปแบบตอ่ ไปน้เี ปน็ รูปแบบที่พสิ จู น์แล้ววา่ “สมเหตสุ มผล” สามารถนาไปใช้อา้ งองิ ได้

รูปแบบท่ี เหตุ ผล

1. กฎการแจงผลตามเหตุ p→q q
(Modus Ponens : M.P.) p

2. กฎการแจงผลคา้ นเหตุ p→q ~p
(Modus Tollens : M.T.) ~q

3. กฎตรรกบทแบบสมมติฐาน p→q p→r
(Hypothetical Syllogism : H.S.) q→r

4. กฎตรรกบทแบบการเลอื ก pq q
(Disjunctive Syllogism : D.S.) ~p p, q
pq pq
5. กฎการตดั p
(Implification : I.) q

6. กฎการรวม
(Conjunction : C.)

7. กฎทวิบทสรา้ งเสรมิ p→r rs
(Constructive Dilemma : C.D.) q→s
pq

8. กฎทวิบทหักล้าง p→r ~p  ~q
(Constructive Dilemma : C.D.) q→s
~r  ~s

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์

43บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์พน้ื ฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 1

ตวั อย่าง 42 พจิ ารณาการอ้างเหตผุ ลในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ วา่ สมเหตสุ มผลหรือไม่

1. เหตุ 1. p → q ผล p

2. q  r

3. ~r

2. เหตุ 1. p  q ผล s
2. q → r
3. ~r  s

3. เหตุ 1. ~ p → r ผล p
2. ~r  s
3. ~s

4. เหตุ 1. ~p → (q → ~r) ผล t  ~r
2. ~p  s
3. ~t → q
4. ~s

โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

44 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 1

5. เหตุ 1. นายฉตั รชัยเป็นคนขยนั หรือนายฉัตรชยั สอบได้ทีห่ นง่ึ ของหอ้ ง
ผล 2. นายฉัตรชยั เปน็ คนไม่ขยัน
นายฉัตรชัยได้ทหี่ น่ึงของห้อง

แบบฝึกหดั ที่ 7

1. จงตรวจสอบวา่ การอา้ งเหตุผลต่อไปนส้ี มเหตุสมผลหรอื ไม่
1. เหตุ 1. p  q
2. p → (q → r)
ผล r

2. เหตุ 1. p  q
ผล 2. ~p  r
3. ~r

p

กลุม่ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์

45บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน 1 และคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 1

3. เหตุ 1. (p  q) → (r  s)
ผล 2. ~(r  s)

~q

4. เหตุ 1. p → (q  r)
ผล 2. ~q  ~r

~p

5. เหตุ 1. p → q
2. r  p
3. q
4. r → t

ผล t

โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

46 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 1
 จงพิจารณาวา่ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนีส้ มเหตุสมผลหรือไม่
1. เหตุ 1. 7 เปน็ จานวนเฉพาะ หรือ 6 เปน็ จานวนเฉพาะ
2. 7 ไมเ่ ปน็ จานวนเฉพาะ
ผล 6 ไมใ่ ช่จานวนเฉพาะ

2. เหตุ 1. ถ้าออมสรา้ งบา้ นหลังใหมเ่ สร็จ แลว้ ครอบครวั ของออมจะย้ายมาอย่ดู ้วย
2. ถ้าครอบครัวของออมย้ายมาอยูด่ ้วย แล้ว ออมจะได้ดูแลพ่อแม่ท่ีชราแลว้

ผล ถ้า ออมสรา้ งบา้ นหลงั ใหมเ่ สรจ็ ออมจะได้ดแู ลพ่อแมท่ ่ีชราแลว้

3. เหตุ 1. ถ้าบูมทายอดขายตามเป้าหมายท่ีผู้จัดการตั้งไว้ แลว้ เขาจะไดร้ ับโบนัส
2. บูมทายอดขายตามเปา้ หมายท่ีผูจ้ ัดการต้งั ไว้

ผล บูมจะไดร้ ับโบนัส

4. เหตุ 1. ถา้ แกม้ ซ้ือกระเป๋าถอื สีดา แลว้ แก้มจะซ้ือรองเท้าสดี าด้วย
2. แกม้ ซ้ือรองเทา้ สีดา

ผล แก้มซ้ือกระเป๋าสีดา

กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์