ตรรกศาสตร์

47บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 1

. 2.7 ประโยคเปดิ

บทนิยาม 10 ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปรและเม่ือ
แทนค่าตวั แปรดว้ ยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ ใช้ P(x) หรือ
P แทนประโยคเปดิ ใด ๆ ที่มี x เป็นตวั แปร

การเช่อื มประโยคเปดิ ด้วยตัวเชอ่ื ม  ,  , → ,  ตลอดจนการเติม ~ ทาไดเ้ ชน่ เดยี วกับการเชื่อม
ประพจน์

ตวั อย่าง 43 พิจารณาว่าประโยคในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นประพจน์ หรือประโยคเปิด หรือไม่ใช่ทั้งประพจน์
และประโยคเปดิ

ลาดับ ประโยค ประพจน์ ประโยคเปิด ไม่ใชท่ ั้งคู่

1 เขากาลังเรยี นอยชู่ นั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4 ใชห่ รือไม่

2 ถ้า {3}  {0, 1} แล้ว 3{0, 1}

3 x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2)

4 เธอเป็นนักรอ้ งเพลงไทยสากลของโรงเรยี น

5 x2 – 1

6 ทง้ิ ขยะให้เป็นทจี่ ะช่วยใหบ้ ้านเมืองสะอาด

7 พลเอกประยุทธ์ จันทร์โอชา เป็นนายกรัฐมนตรคี นท่ี
29 ของประเทศไทย

8 x + x = 2x และ x – x = 0

9 0.5x – x2  6

10 ถา้ x เป็นจานวนเตม็ แล้ว x ไม่ใช่จานวนจริง

โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

48 บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 1

. . 2.8 ตัวบ่งปริมาณ

“ตัวบ่งปริมาณ” คือข้อความที่บ่งบอกให้ทราบถึงจานวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แต่ละข้อต่อไปน้ี
จะเขียนนาหนา้ ประโยคเปดิ

ตัวบ่งปริมาณในตรรกศาสตร์มี 2 ชนิด คือ
1. ขอ้ ความ “สาหรับ...ทกุ ตัว” เขียนแทนด้วย “ ”
2. ขอ้ ความ “สาหรับ...บางตัว” เขียนแทนดว้ ย “  ”

สญั ลกั ษณ์และการอา่ นตัวบง่ ปริมาณ

x แทน สาหรบั x ทุกตวั (for all x)
ความหมายเดียวกับ สาหรับ x แต่ละตวั / สาหรับแตล่ ะคา่ ของ x / ไม่วา่ x จะเปน็ จานวนใด ๆ

x แทน สาหรบั x บางตัว (for some x)
ความหมายเดยี วกับ จะมี x บางตวั / มี x อย่างน้อยหนงึ่ ตัว / มบี างคา่ สาหรบั x

ขอ้ ควรจา : การเขยี นสัญลกั ษณ์แทนประโยคเปิดทม่ี ีตวั บง่ ปรมิ าณ

1. จะต้องเขียนเอกภพสัมพัทธก์ ากับไว้เสมอเพื่อจะได้ทราบขอบเขตของตวั แปรวา่ แทนสงิ่ ใด
2. กรณีเอกภพสมั พทั ธ์เป็นจานวนจรงิ หรอื การศึกษาเก่ียวกับเซต นยิ มละการเขยี นเอกภพสัมพันธ์

ตัวอย่าง 44 จงเขยี นขอ้ ความตอ่ ไปนี้ให้อย่ใู นรปู สัญลักษณเ์ ม่ือเอกภพสัมพัทธเ์ ป็นจานวนจริง

ข้อ ขอ้ ความ
1 สาหรบั x ทุกตัว x + x = 2x

2 มีจานวนจริง x ซง่ึ x + 0 = 2x

3 สาหรบั x ทกุ ตัว ถ้า x เปน็ จานวนเตม็ แลว้ x เป็นจานวนจริง

4 จานวนจริงทกุ จานวนเป็นจานวนเตม็

5 จานวนเต็มบางจานวนยกกาลงั สองแลว้ เท่ากบั 1

กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์

49บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม 1

ตัวอย่าง 45 จงเขยี นข้อความต่อไปน้ีในรูปสัญลักษณ์ เมือ่ A, B เปน็ เซต

ขอ้ ขอ้ ความ
A = B กต็ ่อเม่ือ สมาชกิ ทุกตัวของ A เป็นสมาชกิ ของ B และสมาชิกทุกตัวของ B

1 เปน็ สมาชกิ ของ A

A  B กต็ ่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวของ A ไม่เปน็ สมาชกิ ของ B
2

ตวั อย่าง 46 จงเขียนประโยคตอ่ ไปน้ี ในรูปของสัญลกั ษณ์

ลาดับ ประโยค
1 สุนัขทุกตัวเปน็ สัตว์ดุรา้ ย

2 มีคนดีที่ซ่ือสตั ย์

3 AB

4 จานวนตรรกยะทุกตวั เปน็ จานวนจริง

5 จานวนคู่บางตวั เป็นจานวนค่ี

6 มจี านวนจรงิ บวก x ซง่ึ x2 + 5  0 กาหนดให้ เอกภพสมั พทั ธเ์ ป็นจานวนจรงิ

7 มจี านวนจริงบวก x ซง่ึ x2 + 1  7

8 ถ้าทกุ จานวนจรงิ x มากกวา่ 5 แลว้ จะมจี านวนนับ y ซง่ึ 1 – y2 > 0

โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

50 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน 1 และคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 1
ลาดบั ประโยค
9 ไม่วา่ x จะเป็นจานวนใดก็ตาม x2  0

10 ไมจ่ รงิ ท่ีวา่ มีจานวนคบ่ี างตวั เปน็ จานวนคู่

แบบฝึกหดั ที่ 8

 จงเขยี นข้อความแทนประโยคสญั ลกั ษณ์ต่อไปน้ี
1. x x  2 → x2  4

2. y y2 − 4 = (y − 2)(y + 2)

3. x 2x + 1 = 0

4. x x  → x2 = 2

การหาค่าความจริงของประโยคท่มี ีตัวบง่ ปรมิ าณตวั เดียว

1. การหาค่าความจรงิ ของ x P(x) และ x P(x) โดยวิธีแจกแจงสมาชกิ
กาหนดให้ U = {a, b, c} , P(x) เป็นประโยคเปิดทม่ี ี x เปน็ ตัวแปร
และ P(a), P(b), P(c) เป็นประพจน์ แล้วค่าความจรงิ ของ  หรอื  หาได้ดังน้ี
1. ค่าความจรงิ ของ x P(x) คอื P(a)  P(b)  P(c)
2. ค่าความจริงของ x P(x) คอื P(a)  P(b)  P(c)

ตวั อยา่ ง 47 กาหนด U = {2, 3, 4} และ P(x) : x  0 แลว้ จงหาค่าความจรงิ ของ x P(x)

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์

51บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน 1 และคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม 1

ตวั อยา่ ง 48 กาหนดให้ U = {0, 1, 2} แล้วจงหาคา่ ความจรงิ ของ x x  2

ตวั อยา่ ง 49 กาหนด U = {−1, 0, 1} แลว้ จงหาคา่ ความจรงิ ของ x x  −3

2. การหาค่าความจรงิ ของ x P(x) และ x P(x) โดยวิธีสุ่มแทนค่าตวั แปร

1. เปน็ จริง ก็ตอ่ เมอ่ื นาสมาชกิ ทกุ ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ไปแทนที่ ใน
ประโยคเปิด แลว้ ตอ้ งทาให้ประโยคเปิด เป็นจริงเสมอ

2. เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ไป
แทนท่ี ในประโยคเปิด เป็นเท็จ

3. เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ สมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ไป
แทนที่ ในประโยคเปิด แล้ว ทาใหป้ ระโยคเปดิ เป็นจรงิ

4. เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ นาสมาชิกทุกตัวในเอกภพสมั พัทธไ์ ปแทนที่ ใน
ประโยคเปดิ แลว้ ตอ้ งทาใหป้ ระโยคเปิด เป็นเทจ็ เสมอ

ตวั อย่าง 50 กาหนด U = {2, 3, 4, 5} แลว้ จงหาคา่ ความจรงิ ของ

1. x x2  20 2. x x 3  10

โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

52 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน 1 และคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 1

ตวั อย่าง 51 กาหนดให้เอกภพสัมพทั ธเ์ ป็นจานวนนบั แลว้ จงหาคา่ ความจริงของ

1. x x2 − 5x + 6 = 0 2. x x2 − 2x  0

3. การหาค่าความจริงของ x P(x) และ x P(x) โดยวิธกี ารเปรียบเทียบ
สามารถทาได้ดังน้ี คือ

1. นาประโยคเปิดมาแก้สมการหรืออสมการ แล้วหาเซตคาตอบ
2. นาเซตคาตอบไปเปรียบเทียบกับเอกภพสัมพัทธ์ แล้วสรุปหาค่าความจริงดังนี้
บทนิยาม 11

1. x P(x) เป็นจรงิ ก็ต่อเมื่อ เอกภพสัมพัทธ์ เทา่ กับเซตคาตอบ หรอื
เอกภพสัมพัทธ์เป็นสบั เซตของเซตคาตอบ

2. x P(x) เปน็ เท็จ ก็ต่อเม่ือ เอกภพสัมพัทธ์ ไม่เท่ากับเซตคาตอบ
3. x P(x) เปน็ จริง กต็ อ่ เม่ือ เอกภพสัมพทั ธ์และเซตคาตอบมสี มาชิกรว่ มกัน
4. x P(x) เปน็ เทจ็ กต็ อ่ เมื่อ เอกภพสัมพัทธแ์ ละเซตคาตอบไม่มสี มาชกิ ร่วมกนั
ตวั อย่าง 52 กาหนด U = {2, 3} แล้วจงหาคา่ ความจรงิ ของ
1. x x2 − 5x + 6 = 0

2. x x2 − 3x = 0

3. x x(x − 2)(x − 3) = 0

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์

53บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน 1 และคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม 1

ตวั อยา่ ง 53 กาหนด U = {1, 4} แลว้ จงหาค่าความจริงของ

1. x x2 − 3x + 2 = 0 2. x x2 − 5x + 6 = 0

4. การหาค่าความจรงิ ของ  หรือ  เมอื่ มีประโยคเปิดต้งั แต่ 2 ประโยคขึ้นไป

ตวั อยา่ ง 54 กาหนด U = {−1, 0, 1} แลว้ จงหาค่าความจรงิ ของ

1. x (x  0) → (x2  0) 2. x (x2  0)  (x  0)

ตวั อยา่ ง 55 กาหนด U = {1, 2, 3} แล้วจงหาคา่ ความจริงของ

1. x x  0 → x x + 1 = 4 2. x x2  8  x x + 1 = 0

โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

54 บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน 1 และคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม 1

ตวั อยา่ ง 56 กาหนด U = x  0  x  1 แลว้ จงหาค่าความจรงิ ของ

1. x x2  x  2. x  x  1   x 2  1 
   2 
 2   

ตัวอย่าง 57 กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนจรงิ แล้วจงหาคา่ ความจริงของ

1. x x  0  x x  9 2. x x  2  x −2  x  3

แบบฝึกหดั ที่ 9

 จงหาค่าความจรงิ ของประโยคท่ีมตี ัวบ่งปรมิ าณต่อไปน้ี

1. x x2  8 เมือ่ U = {−1, 0, 2}

2. x x  0 เมื่อ U = {0, 4, 7}

3. x x2  0 เมอ่ื U =

กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

4. x x  0 55บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน 1 และคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ 1

เมื่อ U =

5. x x + 1 = 4 เม่อื U = {1, 2, 3, 4}

6. x x + x = x  x  เมื่อ U = {0, 2}

7. x x + x = x  x  เมื่อ U = {0, 1}

8. x 5 + x  5 เมื่อ U =

9. x x เปน็ จานวนอตรรกยะ  เมอ่ื U =

โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

56 บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม 1
10. x [ ถา้ x เป็นจานวนค่ี แล้ว x เป็นจานวนเฉพาะ ] เม่อื U = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

11. x x = 2n; n   เมอ่ื U =

12. x [x เป็นจานวนนบั หรือเปน็ จานวนเฉพาะ] เมอ่ื U = {0, 2, 4, 6}

13. x [x เปน็ จานวนตรรกยะ]  x [x เปน็ ตัวประกอบของ 2] เม่ือ U = {1, 2, 3}
14. x [x 2 เป็นจานวนคู่]  x [ถา้ x เป็นจานวนนบั แลว้ 2x เป็นจานวนคู่] เม่ือ U = {0, 1, 2}

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์

57บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 1

สมมูลของประโยคทมี่ ตี ัวบง่ ปรมิ าณ

พิจารณาประโยคเปิด P(x) → Q(x) กับ P(x)  Q(x) ไม่ว่าจะแทน x ด้วยสมาชิกใด ๆ ใน
เอกภพสัมพัทธ์จะไดป้ ระพจน์ในรปู p → q และ p  q ซงึ่ สมมูลกนั ต่อไปนีจ้ ากล่าวว่า P(x) → Q(x)
สมมูลกับ P(x)  Q(x) ด้วย และจะใช้สมมูลของประโยคเปิดเทียบกับรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
เช่น

p →q. สมมูลกบั q → p 3 P(x) → Q(x) . สมมูลกบั Q(x) → P(x) 3

p  q . สมมูลกบั q  p . P(x)  Q(x) . สมมลู กบั Q(x)  P(x) .

(p → q). สมมูลกับ p ~ q . (P(x) → Q(x)). สมมลู กับ P(x) ~ Q(x).

(p  q) . สมมลู กับ p q . (P(x)  Q(x)) . สมมูลกบั P(x) Q(x) .

จากสมมลู ของประโยคเปิดดังกลา่ ว ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกนั ไว้ข้างหน้าจะได้ประพจน์ท่ี
สมมูลกันด้วย เช่น

x P(x) → Q(x) สมมูลกับ x ~ P(x)  Q(x)
x P(x) → Q(x) สมมูลกับ ~ x P(x)  x Q(x)
x ~ (P(x) → Q(x)) สมมลู กบั
x ~ (P(x))  Q(x) สมมลู กับ
x P(x) → x Q(x) สมมลู กบั
x P(x) → x Q(x) สมมูลกบั
~ (x P(x)  x Q(x)) สมมูลกบั

ตวั อยา่ ง 58 ประโยคในขอ้ ใดต่อไปน้ีสมมลู กนั

ประโยค สมมูล ไม่สมมูล ประโยค

~ P(x)  Q(x) ~ P(x) ~ Q(x)
x P(x)  Q(x)
x P(x)  Q(x) x Q(x)  P(x)
x ~ (P(x) → Q(x)) x ~ P(x)  Q(x)  ~ Q(x)  P(x)
x P(x)  Q(x) x P(x) ~ Q(x)
x P(x) → x Q(x) x Q(x)  x P(x)
~ x Q(x) →~ x P(x)

โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

58 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม 1

นิเสธของประโยคท่ีมีตวั บง่ ปรมิ าณ

นิเสธของ p คือ p จากรูปแบบนิเสธนี้จะตกลงให้นิเสธของประโยคเปิดหรือประโยคที่มี

ตัวบง่ ปริมาณโดยวิธีเติมตัวเชื่อม ข้างหนา้ ประโยค เชน่

นเิ สธของ P(x) คือ P(x)

นเิ สธของ x P(x) คือ x P(x)
นเิ สธของ x P(x) คอื ~ x P(x)
สาหรบั นเิ สธของประโยคเปิดในรปู แบบอืน่ จะเปรียบเทยี บกับนเิ สธของประพจน์ได้ดังต่อไปน้ี

นเิ สธของ p  q คอื นิเสธของ P(x)  Q(x) คือ P(x) Q(x)
p q 3
นเิ สธของ x P(x)  x Q(x) คือ x P(x)  x Q(x)
นเิ สธ p → q คือ นเิ สธของ P(x) → Q(x) คือ P(x) Q(x)
p ~ q .
นเิ สธของ x P(x) → x P(x) คอื x P(x)  x Q(x)

ข้อสังเกต ประโยคเปดิ ท่ีเป็นนิเสธกัน ถ้าเตมิ ตัวบง่ ปรมิ าณชนดิ เดียวกันไปข้างหน้า ผลจะไม่ได้ประพจน์ท่ีเป็น
นิเสธกัน

นิเสธของ P(x) คือ P(x) ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณเป็น x P(x) กับ x  P(x) ทั้งสองประโยคนี้
ไมเ่ ป็นนิเสธกนั เพราะมบี างกรณที ่ี x P(x) เป็นเทจ็ และ x  P(x) เป็นเทจ็ เช่น

x x  2 เม่ือ U = {0, 1, 2, 3, 4} มคี า่ ความจริงเป็นเท็จ
x x  2 เมื่อ U = {0, 1, 2, 3, 4} มคี า่ ความจรงิ เปน็ เท็จดว้ ย

ตวั อยา่ ง 59 พจิ ารณาว่าประโยคต่อไปน้ี เป็นนเิ สธกันหรอื ไม่

ประโยค เป็นนเิ สธ ไม่เปน็ นเิ สธ

x P(x)  x Q(x) (x P(x)  x P(x))

P(x) Q(x) 3 P(x) → Q(x) 3

x P(x)  Q(x) ~ x P(x)  Q(x)

ตวั อย่าง 60 จงหานเิ สธของข้อความต่อไปนี้

ข้อความ นเิ สธของข้อความ

x x + 3  5
x x2  0
x x  0  x x2  0

กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์

59บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 1 และคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 1

ขอ้ ความ นิเสธของข้อความ

x x  0 → x x  0

จานวนจรงิ ทุกจานวนเป็นจานวนค่ี
จานวนจรงิ ทุกจานวนไม่ใชจ่ านวนตรรกยะ
มจี านวนจริงบางจานวนเป็นจานวนคู่
มีจานวนจรงิ x บางจานวนไม่เป็นจานวนเตม็
มจี านวนจริง x ซึ่งเป็นจานวนตรรกยะแต่ไมใ่ ชจ่ านวนเตม็

แบบฝึกหัดท่ี 10 b. x x  0  x2  0

 จงตรวจสอบวา่ ประโยคตอ่ ไปนสี้ มมูลกับข้อใด

1. x x  0 → x2  0
a. x x2  0 → x  0

2. x (x + 2 = 5)  (x  ) b. x (x + 2  5)  (x  )

a. x x   (x + 2 = 5)

3. x x  0 b. x x  0
a. x x  0

4. x  x = 4  x  16


a. x  x  4 →x = 16 b. x  x = 4 → x = 16
 

โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

60 บทที่ 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน 1 และคณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม 1

5. x x   → x x   b. x x   → x x  
a. x x   → x x  

6. ~ (x x + 2  5  x x2  0) b. (x x + 2  5  x x2  0)
a. x x + 2  5  x x2  0

7. มจี านวนคี่บางจานวนไม่ใช่จานวนเฉพาะ
a. ไม่จริงทวี่ ่าจานวนค่ที กุ จานวนเปน็ จานวนเฉพาะ
b. จานวนคท่ี ุกจานวนเป็นจานวนเฉพาะ

8. ไมจ่ ริงที่ว่ามีสับเซตของเซตอนันตท์ เี่ ปน็ เซตจากดั
a. มสี บั เซตของเซตอนนั ต์เปน็ เซตจากดั
b. สับเซตของเซตอนันตเ์ ปน็ เซตไม่จากดั

 จงหานิเสธของขอ้ ความต่อไปนี้
1. x x + 2  0

กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์

61บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 1 และคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 1

2. x x  0 → x x  0
3. x x2  0 → x  0
4. x (x  2)  (x + 1  1)
5. x p(x) ~ q(x)
6. จานวนตรรกยะทุกจานวนเป็นจานวนจรงิ
7. จานวนเตม็ บางจานวนเป็นจานวนจริง
8. จานวนจริงบางจานวนนอ้ งกว่าหรือเท่ากบั ศูนย์ และมีจานวนจริงบางจานวนเม่ือยกกาลงั สองแลว้
ไมเ่ ทา่ กับศนู ย์

โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

62 บทท่ี 2 | ตรรกศาสตร์
เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน 1 และคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม 1
บรรณานุกรม
กวิยา เนาวประทีป. (2556). หนังสือชุดเทคนิคการเรยี นคณิตศาสตร์เร่ือง ตรรกศาสตร์. กรุงเทพ: ฟสิ ิกส์เซ็น
เตอร์.
ธนวัฒน์ (สันติ) สนทราพรพล. (2560). คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ฉบับเตรียมสอบ ม.4-5-6 เข้ามหาวิทยาลัย.
นนทบุรี : สานักพมิ พ์ธรรมบัณฑิต.
ฝา่ ยวชิ าการ พบี ีซ.ี (2562). ยอดคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ตรรกศาสตร์ ระดับ ม.ปลาย 4-5-6. กรงุ ทพ: สานักพิมพ์
พีบซี ี.
วรวุฒิ ธีระธานนท์. (2563). สรุปเข้มลุยโจทย์คณิตศาสตร์ ม.4-5-6 เข้ามหาวิทยาลัย เล่ม 1 (HI-SPEED
ABSOLUTE MATHS TESTS). กรุงเทพ: ศนู ย์หนังสอื แหง่ จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั .
วไิ ล ทองดีเจรญิ , และ อานาจ สดุ ยาใจ. (2563). คณิตคิดเรว็ ทลี ะเรื่อง ตรรกศาสตร์ ชุด PURE MATH (สรุป
เน้ือหาเขม้ ตะลยุ โจทย์ ม.4-5-6 เข้ามหาวิทยาลยั ). กรงุ เทพ: สานักพมิ พ์ธรรมบณั ฑติ .
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. (2562). หนังสือเรียนรายวิชา
พื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตร
แกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง 2560). กรุงเทพฯ: สานักพิมพ์
จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลัย.
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. (2562). หนังสือเรียนรายวิชา
เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 4 เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ตามหลักสูตร
แกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง 2560). กรุงเทพ: โรงพิมพ์แห่ง
จฬุ าลงกรณ์มหาวิทยาลัย.

กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์