แผนการจัดการเรียนรู้ วิชาฟิสิกส์ ม.4 เทอม 2

179

25. ข้นั ประเมิน
5.1 นกั เรียนเขียน Concept mapping เก่ียวกบั ทอร์ก การเคลื่อนท่ีแบบหมุน และ

โมเมนตค์ วามเฉื่อย ในใบกิจกรรม 8
5.2 นกั เรียนนา Concept mapping อภิปรายแลกเปลี่ยนกบั เพอ่ื นๆ และประเมินผล

งาน ใหก้ บั เพือ่ น
5.3 นกั เรียนท่ีเป็นเจา้ ของผลงาน Concept mapping ที่ไดร้ ับการประเมินจากเพ่ือน

มาอภิปรายเก่ียวกบั Concept ในงานน้นั โดยการสุ่มจากครู
5.4 นกั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียน

ส่ือการเรียนการสอน / แหล่งเรียนรู้ จานวน สภาพการใช้ส่ือ
1 ชุด ใชข้ ้นั สร้างความสนใจ
รายการสื่อ 1 ชุด ใชข้ ้นั สร้างความสนใจ
1. แบบทดสอบก่อนเรียน 1 ชุด ใชอ้ ธิบายและลงขอ้ สรุป ( ใชข้ ้นั ประเมิน )
2. ใบงาน 8.1 1 ชุด ใชอ้ ธิบายและลงขอ้ สรุป
3. แบบฝึกทกั ษะ 8 1 ชุด ใชส้ ารวจและคน้ หา
4. ใบความรู้ 8 1 ชุด ใชข้ ยายความรู้และลงขอ้ สรุป
5. ใบงาน 8.2 1 ชุด ใชข้ ้นั ประเมินและลงขอ้ สรุป
6. ใบงาน 8.3 1 ชุด ใชข้ ้นั ประเมิน
7. ใบกิจกรรม 8
8. แบบทดสอบหลงั เรียน

การวดั ผลและประเมินผล เครื่องมือทใี่ ช้ เกณฑ์ผ่าน
รายการวดั ผลและประเมินผล สงั เกตพฤติกรรมนกั เรียน
ตรวจใบงาน 8.1 – 8.3 -
1. การวดั ผลคุณธรรม จิตพิสยั ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 8 -
2. การประเมินผลจากสภาพจริง ตรวจสมุดจด ร้อยละ 50 ข้ึนไป
ตรวจใบกิจกรรม 8 -
3. การวดั ผลหลงั เรียน แบบทดสอบรายจุดประสงคท์ ่ี 8 ระดบั 3 ข้ึนไป
ร้อยละ 50 ข้ึนไป

180

กจิ กรรมเสริมทกั ษะหรือซ่อมเสริม วธิ ีดาเนินกจิ กรรม
รายการ
1. ครูควบคุมดูแลใหอ้ ยใู่ นกรอบระหวา่ งเรียน
1. ปรับปรุง – แกไ้ ขขอ้ บกพร่องของผเู้ รียน 2. ครูคอยเสริมหรือแกไ้ ขเมื่อการอภิปรายของนกั เรียน
ไม่สมบูรณ์
2. ส่งเสริมความรู้ความสามารถของผเู้ รียน 3. ครูช้ีแจงขอ้ บกพร่องในการทากิจกรรม
4. ครูเฉลยขอ้ สงสยั ท่ีนกั เรียนทาไมไ่ ด้
5. สอนซ่อมเสริมนกั เรียนที่ไมผ่ า่ นประเมินหลงั เรียน

1. ใหน้ กั เรียนทาชิ้นงาน 1 ชิ้นงาน

181

รายวชิ าฟิสิกส์พ้ืนฐานและเพ่มิ เติม 2 แบบบันทกึ ผลหลงั สอน ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4

รหสั วชิ า ว31201 ผลการเรียนทคี่ าดหวงั ที่ 8 คาบที่ 45 - 52

เรื่อง การเคลอื่ นทแ่ี บบหมุน หัวข้อเร่ือง ทอร์ก การเคลอ่ื นทแ่ี บบหมุน และโมเมนต์ความเฉื่อย

1. ความเหมาะสมของแผนการสอน

รายการประเมิน ระดบั คุณภาพ ขอ้ เสนอแนะ
4321

43. จุดประสงคก์ ารเรียนรู้

44. เน้ือหาสาระ

45. กิจกรรมการเรียนการสอน

46. ส่ือการสอน

47. การวดั ผลประเมินผล

48. ความสอดคลอ้ ง ( ขอ้ 1 – 5 )

( 4 = มากที่สุด , 3 = มาก , 2 = พอใช้ , 1 = ควรปรับปรุง )

2. ผลการสอน

………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………

3. ปัญหา / อุปสรรค

…………………………………………………………………………………………

...……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………….

4. ขอ้ เสนอแนะ / แนวทางแกไ้ ข

…………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

….……………………………………………………………………………………………………

182

ลงช่ือ…………………….………..ผสู้ อน
(……………………………..)

วนั ท่ี…....เดือน………………………..พ.ศ………….

ส่ือประกอบ
แผนจัดการเรียนรู้

183

รายวชิ า ฟิ สิกส์พนื้ ฐานและ แบบทดสอบ ผลการเรียนทค่ี าดหวงั ท่ี 8
เพม่ิ เตมิ 2 ( ก่อนเรียน – หลงั เรียน ) ประกอบแผนจัดการเรียนรู้ท่ี 8
เวลา 15 นาที
รหัสวชิ า ว
ระดับช้ันมัธยมศึกษาที่ 4

ผลการเรียนทคี่ าดหวงั ท่ี 8 สารวจตรวจสอบ อภิปราย และคานวณเกี่ยวกบั ทอร์ก การเคลื่อนที่

แบบหมุน และโมเมนตค์ วามเฉ่ือย

11. จงพจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี

1) ทอร์ก มีผลใหก้ ารเคล่ือนที่แบบหมุนเปล่ียนแปลง ส่วน แรง มีผลใหก้ ารเคลื่อนท่ีเชิงเสน้ เปล่ียนแปลง

2) โมเมนต์ความเฉ่ือย มีผลตา้ นการเคล่ือนท่ีแบบหมุน ส่วน มวล มีผลตา้ นการเคล่ือนที่เชิงเสน้

3) ทอร์ก มีค่าเทียบไดก้ บั โมเมนต์ของแรง

ขอ้ ท่ีถูกตอ้ งคือ

ก. ขอ้ 1 และ 2 ข. ขอ้ 1 และ 3 ค. ขอ้ 2 และ 3 ง. ขอ้ 1 , 2 และ 3

12. จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี

1) ทอร์ก เป็ นปริมาณเวกเตอร์ ขนานกบั ระนาบการหมุน

2) เม่ือกามือขวา โดยใหน้ ิ้วท้งั สี่ช้ีไปตามทิศของแรงที่กระทาต่อวตั ถุ นิ้วหวั แมม่ ือซ่ึงต้งั ฉากกบั นิ้วท้งั ส่ี จะ

ช้ีทิศของทอร์ก

3) สมบตั ิของวตั ถุ ท่ีตา้ นการเปลี่ยนแปลงสภาพการหมนุ เรียกวา่ โมเมนตค์ วามเฉื่อย

ขอ้ ท่ีถูกตอ้ งคือ

ก. ขอ้ 1 และ 2 ข. ขอ้ 1 และ 3 ค. ขอ้ 2 และ 3 ง. ขอ้ 1 , 2 และ 3

13. จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

1) ค่าโมเมนตค์ วามเฉ่ือยของวตั ถขุ ้นึ อยตู่ าแหน่งของแกนหมนุ และ รูปร่างของวตั ถุ

2) ถา้ วตั ถุ B มีโมเมนตค์ วามเฉ่ือยมากกวา่ วตั ถุ A แสดงวา่ วตั ถุ B สามารถตา้ นการเปล่ียนสภาพการหมุน

ไดม้ ากกวา่ A

3) ถา้ วตั ถุ A และ B มีมวลเท่ากนั แต่ วตั ถุ B มีการ กระจายของมวลมากกวา่ วตั ถุ A แสดงวา่ วตั ถุ B

สามารถตา้ นการเปลี่ยนสภาพการหมุนไดน้ อ้ ยกวา่ A

ขอ้ ท่ีถูกตอ้ งคือ

ก. ขอ้ 1 และ 2 ข. ขอ้ 1 และ 3 ค. ขอ้ 2 และ 3 ง. ขอ้ 1 , 2 และ 3

184

โจทยใ์ ชต้ อบคาถามขอ้ 4 - 5 เด็กคนหน่ึงหมุนมา้ หมนุ ดว้ ยความเร็ว 16 เรเดียนตอ่ วนิ าที อีก 8 วนิ าทีต่อมา

ปรากฏวา่ มา้ หมนุ หยดุ หมนุ

14. จงหาความเร่งเชิงมมุ ที่เกิดกบั มา้ หมุนน้ีเป็ นกี่เรเดียนตอ่ (วนิ าที)2

ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4

15. ถา้ มา้ หมนุ มีโมเมนตค์ วามเฉ่ือย 14 กิโลกรัม.(เมตร)2 ทอร์กของแรงตา้ นการหมนุ มีขนาดกี่นิวตนั .เมตร

ก. 14 ข. 16 ค. 28 ง. 32

16. วตั ถทุ รงกลมเกิดทอร์ก 12 นิวตนั .เมตร จากการกลิ้งดว้ ยความเร่งเชิงมมุ 5 เรเดียนตอ่ (วนิ าที)2 โมเมนต์

ความเฉื่อยของวตั ถทุ รงกลมน้ีเป็นก่ี กิโลกรัม.(เมตร)2

ก. 0.42 ข. 2.40 ค. 17.00 ง. 60.00

โจทยใ์ ชต้ อบคาถามขอ้ 7 - 8 4m
AB
วตั ถมุ วล 3 กิโลกรัม ยดึ ติดคาน AB ยาว 4 เมตร โดย A เป็ นจุดหมนุ
3m F
ตรึงคานไวก้ บั พ้นื ระนาบราบ มีแรง F กระทาในแนวต้งั ฉากกบั คาน
ง. 96
และห่าจากคาน 3 เมตร ดงั รูป ทาใหป้ ลาย B มีความเร่งเชิงมมุ 2

เรเดียนตอ่ (วนิ าที)2

17. จงหาทอร์กท่ีเกิดข้ึนกบั วตั ถมุ วล 3 กิโลกรัมเป็ นก่ีนิวตนั .เมตร

ก. 18 ข. 32 ค. 72

18. แรง F ท่ีกระทาต่อคาน AB เป็ นก่ีนิวตนั

ก. 18 ข. 32 ค. 72 ง. 96

โจทยใ์ ชต้ อบคาถามขอ้ 9 – 10

จากรูป รอกหนกั รัศมี 0.10 เมตร มีเสน้ เชือกพนั รอบท่ีปลายแขวนวตั ถหุ นกั 4 นิวตนั ขณะ

สงั เกตพบวา่ ในเวลา 2 วนิ าที รอกหมนุ ดว้ ยความเร็วเชิงมมุ เปล่ียน 3 เรเดียนต่อวนิ าที

19. จงหาความเร่งของวตั ถหุ นกั 4 นิวตนั เป็นก่ีเมตรตอ่ (วนิ าที)2

ก. 2.00 ข. 1.50

ค. 0.20 ง. 0.15 0.10 m
4N
20. จงหาทอร์กท่ีเกิดกบั รอกเป็ นก่ีนิวตนั .เมตร

ก. 0.320 ข. 0.340 ค. 0.394 ง. 0.398

185

รายวชิ าฟิ สิกส์พ้นื ฐานและเพม่ิ เติม 2 เฉลยแบบทดสอบ ผลการเรียนที่คาดหวงั ที่ 8
( ว ) ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 ก่อนเรียน ประกอบแผนจดั การเรียนรู้ท่ี 8
หลงั เรียน

เฉลยแบบทดสอบ คาตอบ
ก่อนเรียนและหลงั เรียน ง
ค
ขอ้ ก
1 ข
2 ค
3 ข
4 ง
5 ข
6 ง
7 ค
8
9
10

186

รายวชิ า ฟิ สิกส์พนื้ ฐานและเพมิ่ เตมิ 2 ใบความรู้ 8 ผลการเรียนที่คาดหวงั ที่ 8

รหสั วชิ า ว ระดบั ช้นั ม. 4 ใช้ประกอบแผนจัดการเรียนรู้ที่ 8

ทอร์ก การเคลอื่ นทแี่ บบหมุน และโมเมนต์ความเฉ่ือย

ทอร์กกบั การเคลื่อนที่แบบหมุน
จากความรู้เดิมในเร่ืองของโมเมนต์ เมื่อออกแรงกระทาต่อวตั ถุและแนวแรงไมผ่ า่ นจุด

ศนู ยก์ ลางมวลหรือแกนหมุน ผลที่เกิดข้ึน จะมีการหมุนเกิดข้ึน ซ่ึงเรียกวา่ เกิดโมเมนตข์ องแรงรอบ
จุดหมุนน้นั เรียกวา่ ทอร์ก โดยทอร์กเป็ นปริมาณเวกเตอร์ มีขนาดเทา่ กบั แรงคูณระยะทางท่ีลากจาก
จุดหมุนมาต้งั ฉากกบั แนวแรงและทิศทางของทอร์กมีทิศต้งั ฉากกบั ระนาบการหมุนดงั รูป 1.

รูป 1. ก ทอร์กที่กระทาตอ่ วตั ถุ รูป 1. ข แสดงการหาทิศของทอร์ก

จากรูป 1. การหาทิศทางของทอร์ก โดยใชม้ ือขวาในลกั ษณะนิ้วช้ี นิวกลาง และ
นิ้วหวั แมม่ ือ ต้งั ฉากซ่ึงกนั และกนั แลว้ วางนิ้วช้ีไปทางทิศของแรง ( F ) นิ้วกลางช้ีตามแนวรัศมี ( r
) พงุ่ เขา้ หาจุดหมุน จะไดว้ า่ นิ้วหวั แม่มือช้ีทิศทางของทอร์ก (  ) ดงั รูป 1.ข

ดงั น้นั อาจกล่าวสรุปไดว้ า่ การเคล่ือนที่แบบหมุน จะเกิดการหมุนในลกั ษณะท่ีเกิด ทอร์ก (
 ) เม่ือมีทอร์กที่ไมเ่ ป็ นศนู ยม์ ากระทา ( โมเมนตต์ ามเขม็ นาฬิกา ไมเ่ ท่ากบั โมเมนตท์ วนเขม็
นาฬิกา ;M 0 )

จากรูป2. มีลูกตุ้ม 2 ลูกติดกับคาน แล้วผูกด้วย ก. อยู่น่ิง ข. หมนุ ตามทศิ ลูกศร
เชือก แขวนไว้ รูป 2 ก. อยู่นิ่ง จะไม่มีทอร์ก
เกิดข้ึน เพราะ M =0 ส่วน รูป 2 ข. เมื่อมีแรง จากรูป2. ลูกตุ้มตดิ กบั คาน แขวนไว้ด้วยเชือก

มากระทาให้เกิดการหมุน จะมี ทอร์กเกิดข้ึน ผล
จะทาให้เชือกเส้นน้ีขาดได้ นกั เรียน สามารถนา
การแสดงหาทิศของทอร์ก จากรูป 1. มาอธิบายได้
หรือไม่…อธิบาย

187

การขนั น็อต ใหแ้ น่น และ คายนอ็ ตออกจะ

การหาทอร์ก …เก่ียวกบั ทอร์ก และทิศทางของทอร์ก

ในการศึกษาเร่ืองการหมุนของวตั ถุเมื่ออมยีทา่ องรไ์กรท…ี่ไม่เป็ นศูนยม์ ากระทา ผลที่เกิดข้ึนวตั ถุจะ

หมุนในลกั ษณะการเปลี่ยนสภาพการหมุนที่มีความเร่งเชิงมุม ตามทิศของทอร์ก ลกั ษณะเดียวกบั

การขนั น็อตและคาย น็อต

ในที่น้ีเราจะเร่ิมศึกษาหา ทอร์ก ท่ีเกิดข้ึนจากการหมุนแบบง่ายๆ เช่น

เม่ือมีมวล m ติดอยกู่ บั ปลายแท่งวตั ถุเลก็ ๆเบาๆ ยาว r โดยปลายอีกขา้ งหน่ึงตรึงอยกู่ บั จุด O

บนพ้ืนซ่ึงปราศจากแรงเสียดทาน เมื่อมีแรง F มากระทาต่อมวล m ในทิศต้งั ฉากกบั แท่งวตั ถุเลก็ ๆ

ตลอดเวลา โดยแนวแรง F สมั ผสั กบั แนววงกลมหรือต้งั ฉากกบั รัศมี r ดงั รูป 3.

F

Or

รูป 3. แสดงแรงกระทาต่อวตั ถุทาให้เกดิ ทอร์ก

จากกฎการเคล่ือนที่ขอ้ 2 ของนิวตนั มวล m จะเคลื่อนท่ีดว้ ยความเร่ง ซ่ึงมีทิศทางเดียวกบั

แรงคือมีทิศสัมผสั วงกลมตลอดเวลา ไดว้ า่

F = ma

หรือ F. r = ma.r ……………………………. (

1)

ถา้ ภายในช่วงเวลาส้ันๆ t ขนาดของความเร็วในแนวสัมผสั เปลี่ยนไป v และขนาดของ

ความเร็วเชิงมุมเปลี่ยนไป  จะไดว้ า่

188

v = r เมื่อ ( v = r )

หรือ v = r 
t t

ดงั น้นั a = r

แทนค่า a ใน ( 1 ) จะไดว้ า่ mr2. ……………………………. (
F.r =

2)

จากนิยามของ ทอร์ก (  ) ,  = F.r

จึงไดว้ า่  = mr2.

จากสมการ  = mr2. แสดงวา่ ทอร์ก() ทาใหว้ ตั ถุหมุนดว้ ยความเร่งเชิงมุมค่า

หน่ึง ความเร่งเชิงมุม ( ) จะมีค่ามากหรือนอ้ ย นอกจากข้ึนอย่กู บั ทอร์ก () แลว้ ยงั ข้ึนอยกู่ บั ค่า

มวลของวตั ถุ และระยะห่างของมวลจากจุดหมุน ( r ) ดว้ ย หรือกล่าววา่ ข้ึนอยกู่ บั mr2 ดงั สมการ

= 
mr 2

แสดงว่าเมื่อใช้ทอร์กค่าหน่ึงกระทาต่อวตั ถุ ถา้ วตั ถุมีค่า mr2 มากจะหมุน โดยมีความเร่ง
เชิงมุม ( ) นอ้ ย ค่า mr2 จึงบอกถึงสมบตั ติ ้านการเปลี่ยนแปลงสภาพการหมุนหรือความเฉื่อยของ
การหมุนของวตั ถุ ซ่ึงเรียกว่า โมเมนต์ความเฉื่อย ( I ; Moment of inertia ) จึงไดว้ า่

I = mr2

โมเมนตค์ วามเฉ่ือย เป็นปริมาณสเกลาร์ มีหน่วยเป็น กิโลกรัมเมตรยกกาลงั สอง ( kg.m2 )

ดงั น้นั คา่ ของทอร์ก () อาจเขียนใหมไ่ ดว้ า่

189

 = I

จากสมการที่ไดพ้ บวา่ ทอร์ก () และ ความเร่งเชิงมุม (  ) มีทิศทางเดียวกนั
จากการศึกษาในข้นั สูงข้ึนต่อไปพบวา่ ค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยขึน้ อย่กู บั มวลและการกระจาย
ของมวล และที่สาคัญอย่างยิ่งคือแกนหมุน ดงั น้นั การบอกค่าโมเมนต์ความเฉื่อยต้องบอกด้วยว่า
หมุนรอบแกนใด

จากการทดลองวตั ถุเดียวกนั ถา้ แกนหมุนต่างกนั ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยจะมีค่าต่างกนั ดว้ ย
ดงั รูป 4.

แกนหมุน 1

แกนหมนุ 2

รูป 4. การหมุนรอบแกนของท่อโลหะ

พจิ ารณาการเปลี่ยนสภาพการเลอื่ นตาแหน่ง และ การเปล่ียนสภาพการหมุน

การเปลยี่ นสภาพการเลอ่ื นตาแหน่ง

จากกฎการเคลื่อนที่ขอ้ 2 ของนิวตนั F = ma
จะได้ a = F

1. a  F m

หมายความวา่ การเปล่ยี นสภาพการเลื่อนตาแหนง่ จะขนึ ้ อยกู่ บั แรง แบบแปรผนั ตรง

คือ เม่ือมวลของวตั ถคุ งตวั ถ้าแรงท่ีมากระทาตอ่ วตั ถมุ คี ่ามาก ผล จะทาให้เกิดการ

190

เปลีย่ นแปลงสภาพการเล่อื นตาแหน่งได้มาก และ ถ้าแรงท่ีมากระทาตอ่ วตั ถมุ คี ่าน้อย
ผล จะทาให้เกิดการเปล่ียนแปลงสภาพการเล่ือนตาแหน่งได้น้อย

2. a  1
m
หมายความวา่ การเปล่ียนสภาพการเลอื่ นตาแหนง่ จะขนึ ้ อยกู่ บั มวล แบบแปรผกผนั

คือ เม่อื มแี รง คงตวั กระทาต่อวตั ถุ ถ้าวตั ถมุ มี วลมาก ผล จะทาให้เกิดการ

เปลีย่ นแปลงสภาพการเล่อื นตาแหน่งได้น้อย และ ถ้าวตั ถมุ มี วลน้อย ผล จะทาให้เกิด

การเปลีย่ นแปลงสภาพการเล่อื นตาแหนง่ ได้มาก

การเปลย่ี นสภาพการหมุน

จากสภาพการหมุนของวตั ถุใดๆ  = I

จะได้ = 
I
1.  แปรผนั กบั 

หมายความวา่ การเปลีย่ นสภาพการหมนุ ( ความเร่งเชิงมมุ ) จะขนึ ้ อยกู่ บั ทอร์ก ( )

แบบแปรผนั ตรง คือ เม่ือโมเมนต์ความเฉ่ือย( I ) ของวตั ถคุ งตวั ถ้าทอร์ก ( ) ที่มา

กระทาตอ่ วตั ถมุ ีค่ามาก ผล จะทาให้เกิดการเปลีย่ นสภาพการหมนุ ( ความเร่งเชิงมมุ )

ได้มาก ถ้าทอร์ก ( ) ท่ีมากระทาตอ่ วตั ถมุ ีค่าน้อย ผล จะทาให้เกิดการเปลยี่ นสภาพ
การหมนุ ( ความเร่งเชิงมมุ )ได้น้อย

2.  แปรผนั กบั 1
I

หมายความว่า การเปล่ียนสภาพการหมุน ( ความเร่งเชิงมุม ) จะข้ึนอยกู่ บั โมเมนต์ความ
เฉ่ือย( I ) ของวตั ถุ แบบแปรผกผนั คือ เม่ือทอร์ก ( ) ของวตั ถุคงตวั ถา้ โมเมนต์ความเฉื่อย( I )
ของวตั ถุ มีค่ามาก ผล จะทาให้เกิดการเปล่ียนสภาพการหมุน ( ความเร่งเชิงมุม ) ไดน้ ้อย ถ้า
โมเมนต์ความเฉื่อย( I ) ของวตั ถุ มีค่าน้อย ผล จะทาให้เกิดการเปล่ียนสภาพการหมุน ( ความเร่ง
เชิงมุม ) ไดม้ าก

191

นกั เรียน คิดวา่ สมการ การเคล่ือนท่ีแบบเล่ือนตาแหน่ง และ สมการการเคลื่อนที่แบบหมุน
มีส่วนคลา้ ยกนั อยา่ งไรบา้ ง…

โมเมนตค์ วามเฉื่อย (Moment of inertia )

โมเมนต์ความเฉ่ือยของวตั ถุรูปต่างๆ รอบแกนสมมาตร

รูปร่างวตั ถุ แกนหมนุ รูป โมเมนต์ความเฉื่อย I

192

ทรงกลมตนั รอบแกน I  2 mR 2
ผา่ นจุดศูนยก์ ลาง 5
มวล m
รัศมี R

ทรงกลมกลวง รอบแกน I  2 mR 2
ผา่ นจุดศูนยก์ ลาง 3
มวล m
รัศมี R

ทรงกระบอกตนั รอบแกน I  1 mR 2
ของทรงกระบอก 2
มวล m
รัศมี R รอบแกน I  mR2
ยาว L ของทรงกระบอก
I  1 mR 2
ทรงกระบอกกลวง รอบแกน 2
ผา่ นศูนยก์ ลาง
มวล m ต้งั ฉากกบั แผน่
รัศมี R
ยาว L

แผ่นกลมบาง

มวล m
รัศมี R

แผ่นกลมบาง รอบแกน I  1 mR 2
ผา่ นศนู ยก์ ลาง 4
มวล m บนระนาบของแผน่
รัศมี R

แท่งวตั ถุเลก็ รอบแกน I  1 mL2
ผา่ นศูนยก์ ลางมวล 12
มวล m ต้งั ฉากกบั แผน่
ยาว L

193

การหมุนของวตั ถุท้งั หมดในตารางขา้ งบนเป็นการหมุนรอบแกนผา่ นจุดศนู ยก์ ลางมวล และ
เป็นแกนสมมาตรของวตั ถุ มีหลกั ที่สามารถพิสูจนไ์ ดอ้ ยวู่ า่ ถา้ เล่ือนแกนหมุนไปเป็นระยะ L ให้
ขนานแกนสมมาตรเดิม โมเมนตค์ วามเฉื่อยจะเพม่ิ ข้ึนเท่ากบั mL2 ( ตอ้ งนาค่า mL2 มาบวกค่าใน
ตาราง )

ตวั อย่างที่ 1 ระบบลอ้ กบั เพลาประกอบดว้ ยลอ้ มวล M1 รัศมี R ยดึ ติดกบั เพลามวล M2 รัศมี r ถา้
ถ่วงน้าหนกั ของมวล m ที่เชือกพนั รอบเพลา ดงั แผนภาพ ความเร่งเชิงมุมของลอ้ และเพลาจะเป็น

เทา่ ใด

วธิ ีทา โมเมนตค์ วามเฉ่ือยของลอ้ และเพลารอบแกนหมุนคือ R

I = 1 M1 R2 + 1 M2 r2 M1 T
2 2 mg
ให้ T เป็นความตึงของเส้นเชือก

เราจะมีสมการการเคล่ือนท่ีสองสมการคือ

สมการการเคลื่อนที่เชิงเส้นของมวล m ; F = ma

mg – T = ma ……. ( 1 )

และสมการการเคล่ือนที่แบบหมุนของลอ้ และเพลา ;  = Tr ,  = I

จะได้ Tr = I ……. ( 2 )

จากสมการ ( 1 ) จะได้ T = mg – ma และนาไปแทนคา่ T ในสมการ ( 2 )

แลว้ อาศยั ความสมั พนั ธ์ a =r จะหาค่า  ไดค้ ือ

(mg – ma)r = I

= mgr
I  mr2
1 1
ซ่ึงสามารถหาคา่ ไดจ้ าก I = 2 M1 R2 + 2 M2 r2

คาตอบ ความเร่งเชิงมุมของลอ้ และเพลาจะมีค่าเทา่ กบั  = mgr โดยท่ี I = 1 M1 R2 +
I  mr2 2
1
2 M2 r2

นกั เรียนศึกษาตวั อยา่ ง…อีกคร้ัง…
ดว้ ยการทาไปดว้ ย…

194

ตัวอย่างท่ี 2 ทรงกระบอกกลวงบาง มวล m รัศมี R กลิ้งลงตามพ้ืนเอียงทามุม  กบั ระนาบ

ระดบั โดยไม่มีการไถล จุดศูนยก์ ลางมวลของทรงกระบอกจะมีความเร่งเทา่ ใด

วธิ ีทา เน่ืองจากมวลจากทุกส่วนของทรงกระบอกกลวงบางจะอยู่ห่างจากแกนหมุนซ่ึงผ่านจุด

ศูนยก์ ลางมวลเทา่ กนั ท้งั หมดและเท่ากบั ค่ารัศมี R N
ดงั น้นั ค่าโมเมนตค์ วามเฉ่ือยของทรงกระบอกกลวงรอบแกนหมุน

ดงั กล่าว คือ I = mR2 f
แรงท่ีกระทาต่อทรงกระบอกกลวงมีดงั แสดงในรูป mg
น้าหนกั ของทรงกระบอกซ่ึงกระทาที่จุดศูนยก์ ลางมวลสามารถคิด


แยกเป็ นสององคป์ ระกอบในแนวที่ขนานกบั พ้ืนเอียง ( ลง = mgsin ) และในแนวต้งั ฉากกบั พ้ืน

เอียง (mgcos) จึงสามารถเขียนสมการไดส้ องสมการ คือ

การเคลื่อนท่ีเชิงเส้นของ C.M. ตามสมการ mgsin - f = ma

…………….( 1 )

การหมุนรอบแกนผา่ น C.M. ตามสมการ  = fr ,  = I

…………….( 2 )

นาค่า f จากสมการ ( 2 ) ไปแทนใน ( 1 ) และอาศยั ความสัมพนั ธ์ a =r สาหรับการกลิ้ง

โดยไมไ่ ถล จะหาคา่  ไดค้ ือ

mgsin - Ia = ma แลว้ แทนคา่ I
R2
1
จะได้ a = 2 gsin

คาตอบ จุดศนู ยก์ ลางมวลของทรงกระบอกจะมีความเร่งลงตามพ้ืนเอียงเท่ากบั 1 gsin
2

เหนื่อยนกั พกั ก่อน….
แลว้ ศึกษาดูอีกรอบ…
แลว้ ลองทาแบบฝึกหดั นะครับ…

195

รายวชิ า ฟิ สิกส์พ้นื ฐานและ จุดประสงค์การเรียนรู้ที่ 8

เพิ่มเติม 2 แบบฝึ กทกั ษะ 8

รหสั วชิ า ว ใช้ประกอบแผนจัดการเรียนรู้ที่ 8

ระดับช้ัน มัธยมศึกษาปี ที่ 4 5 คะแนน ( P ) เวลา 5 นาที

เร่ือง ทอร์ก การเคลื่อนที่แบบหมุน และโมเมนตค์ วามเฉื่อย

21. ชายคนหน่ึงสงั เกตวา่ ขณะน้นั มา้ หมุนจะหมุนดว้ ยความเร็ว 21 เรเดียนต่อวินาที อีก 7 วนิ าที

ต่อมา ปรากฏวา่ มา้ หมุนหยดุ หมุน อยากทราบวา่ ความเร่งเชิงมุม ท่ีเกิดกบั มา้ หมุนน้ีเป็นกี่เรเดีย

นตอ่ (วนิ าที)2 - 0
t
วธิ ีทา จาก  =

= ........ - .........
...........

  = ………….. rad / s2

22. จากขอ้ 1. มา้ หมุนมีโมเมนตค์ วามเฉื่อย 25 กิโลกรัม.(เมตร)2 แสดงวา่ มีแรงตา้ นการหมุน ทา
ใหเ้ กิดทอร์กตา้ นกบั การหมุนเดิมท่ีมีขนาดก่ีนิวตนั .เมตร
วธิ ีทา จาก  = I
 = ( ……….. )( ………… )

196

 = ……….. N.m.

23. วตั ถุทรงกลมกาลงั กลิ้งดว้ ยขนาดทอร์ก 64 นิวตนั .เมตร ดว้ ยความเร่งเชิงมุม 40 เรเดียนตอ่

(วนิ าที)2 ขณะน้นั โมเมนตค์ วามเฉ่ือยของวตั ถุทรงกลมน้ีเป็นกี่ กิโลกรัม.(เมตร)2

วธิ ีทา จาก  = I

I = (.......... )
( ........... )

I = ………… kg.m2

รายวิชา ฟิสิกสพ์ ้นื ฐานและเพิ่มเตมิ 2 ใบงาน 8.2 ผลการเรียนทคี่ าดหวังท่ี 8
รหัสวชิ า ว 40202 ใชป้ ระกอบแผนจัดการเรยี นรู้ท่ี 8

ระดับช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 4 5 คะแนน ( P ) เวลา 40 นาที

เร่ือง ทอร์ก การเคลื่อนที่แบบหมุน และโมเมนต์ความเฉื่อย

ช่ือ………………………………………………………ชั้น…………เลขท่ี……..กล่มุ ท่ี…………

1. ให้นักเรยี นสรปุ สาระสาคัญท่ไี ด้จากการสบื ค้น ขอ้ มลู ลงในสมุดบนั ทึก
1. ทอรก์ กบั การเคลอ่ื นท่แี บบหมุน
2. โมเมนตค์ วามเฉื่อย

2. ใหน้ ักเรยี นเติมคาลงในช่องว่างใหถ้ ูกต้อง
คาถาม
59. เมอื่ แรง คือ ความพยายามทาให้เกดิ การเคลื่อนท่ี( เชิงเสน้ ) เมอื่ แรงน้นั กระทาตอ่ วัตถุโดยแนว

แรงผา่ นจุดศนู ย์กลางมวล แต่ ถา้ แรงนัน้ กระทาต่อวตั ถแุ ล้วแนวแรงไมผ่ า่ นจุดศนู ย์กลางมวล จะ
ทาใหแ้ รงนั้นมีความพยายามทาใหเ้ กิดการหมนุ สภาพการหมุนของวัตถุขณะนัน้ เราเรียกว่า
……………………………………… หรอื …………………………………..

197

60. เมอ่ื โมเมนต์ของแรง ( M ) เท่ากบั F. r ดงั น้นั ………… กจ็ ะเท่ากบั F.r ดว้ ย และมีหน่วยเปน็
…………………………

61. วัตถุท่ีไม่อย่ใู นสภาพการหมนุ ( คอื อยนู่ ิ่ง ) แสดงว่า โมเมนต์ของแรง ( M ) มีคา่ เทา่ กับ
…………………………………
สาเหตุ เพราะ 1. แสดงวา่ แรงกระทาตอ่ วตั ถุมคี ่าเทา่ กับ ………………. หรือ 2. แสดงวา่ แรงท่ี
กระทาตอ่ วตั ถุมีค่าไมเ่ ท่ากบั ………….. แต่แรงน้ันกระทาต่อวัตถุแล้วแนวแรงกบั จดุ ศนู ย์กลางมวล
เปน็ อยา่ งไร
………………………………………………………………………………………………………………………………..

62. จาก ขอ้ 3. ถ้าวตั ถุอยู่นง่ิ ทอรก์ ซงึ่ มสี ัญลักษณ์ ………… จะมีค่าเทา่ กับ
……………………………………………………

63. สภาพการหมุนของวตั ถุ ใดๆ เมือ่ เทยี บกับการหมนุ ของเข็มนาฬิกา มไี ด้ 2 ลักษณะ คือ
……………………………………………………………………………………………………………………………….

64. เมอ่ื สภาพการหมุนมีได้ 2 ลักษณะ ดังน้นั โมเมนตข์ องแรง หรอื ………. กจ็ ะมีได้ 2 ลกั ษณะ คือ
……………………………………………………………………………………………………………………………….

65. เมอ่ื วัตถุอยใู่ นสภาพอยนู่ ิ่ง โมเมนตข์ องแรงใน 2 ลกั ษณะนี้ เมอ่ื รวมกนั จะมีค่าเทา่ กับ
……………………………………

66. มวล บอกใหท้ ราบสภาพต้านการเคล่ือนทีเ่ ชงิ เส้น แล้วปรมิ าณที่บอกใหท้ ราบสภาพต้านการ
เคลอ่ื นทแ่ี บบหมุนคือ
……………………………………………………………………………………………………………………………….

67. สญั ลกั ษณ์ I ในเรอื่ งการเคล่อื นทีแ่ บบหมุน คือ
…………………………………………………………………………...

68. วัตถุทม่ี มี วลเทา่ กนั ถา้ วัตถุ A มีการกระจายของมวลมากกว่าวัตถุ B แสดงวา่ วัตถุ …….. มี
สภาพต้านการเคล่ือนท่ีแบบหมุนมากกวา่

69. ชายคนหนง่ึ สงั เกตวา่ ขณะน้ันม้าหมุนจะหมุนดว้ ยความเร็ว 18 เรเดียนต่อวินาที อีก 9 วนิ าที
ต่อมา ปรากฏว่าม้าหมุนหยดุ หมุน อยากทราบวา่ ความเร่งเชิงมมุ ที่เกดิ กับม้าหมุนนีเ้ ปน็ ก่เี รเดยี
นต่อ(วินาที)2

วธิ ที า จาก  = - 0
t
........ - .........
= ...........

198

  = ………….. rad / s2

70. จากข้อ 11. ม้าหมุนมีโมเมนต์ความเฉ่ือย 30 กโิ ลกรมั .(เมตร)2 แสดงว่ามีแรงตา้ นการหมุน ทา
ใหเ้ กิดทอรก์ ต้านกับการหมุนเดิมทมี่ ีขนาดกน่ี วิ ตัน.เมตร
วธิ ที า จาก  = I
 = ( ……….. )( ………… )
 = ……….. N.m.

71. วตั ถทุ รงกลมกาลงั กลงิ้ ด้วยขนาดทอร์ก 36 นิวตัน.เมตร ดว้ ยความเร่งเชงิ มมุ 9 เรเดยี นต่อ

(วนิ าที)2 ขณะนน้ั โมเมนตค์ วามเฉ่ือยของวตั ถุทรงกลมน้ีเป็นก่ี กิโลกรมั .(เมตร)2

วิธที า จาก  = I

I = (.......... )
( ........... )
I = ………… kg.m2

199

รายวชิ า ฟิ สิกส์พ้ืนฐานและ จุดประสงค์การเรียนรู้ที่ 8

เพิ่มเติม 2 แบบฝึ กทกั ษะ 8

รหสั วชิ า ว ใช้ประกอบแผนจัดการเรียนรู้ท่ี 8

ระดบั ช้ัน มัธยมศึกษาปี ที่ 4 5 คะแนน ( P ) เวลา 5 นาที

เร่ือง ทอร์ก การเคล่ือนที่แบบหมุน และโมเมนตค์ วามเฉ่ือย

24. ชายคนหน่ึงสังเกตวา่ ขณะน้นั มา้ หมุนจะหมุนดว้ ยความเร็ว 21 เรเดียนต่อวนิ าที อีก 7 วนิ าที

ต่อมา ปรากฏวา่ มา้ หมุนหยดุ หมุน อยากทราบวา่ ความเร่งเชิงมุม ที่เกิดกบั มา้ หมุนน้ีเป็นกี่เรเดีย

นตอ่ (วนิ าที)2 - 0
t
วธิ ีทา จาก  =

= ........ - .........
...........
  = ………….. rad / s2

25. จากขอ้ 1. มา้ หมุนมีโมเมนตค์ วามเฉ่ือย 25 กิโลกรัม.(เมตร)2 แสดงวา่ มีแรงตา้ นการหมุน ทา
ใหเ้ กิดทอร์กตา้ นกบั การหมุนเดิมท่ีมีขนาดก่ีนิวตนั .เมตร
วธิ ีทา จาก  = I
 = ( ……….. )( ………… )
 = ……….. N.m.

26. วตั ถุทรงกลมกาลงั กลิ้งดว้ ยขนาดทอร์ก 64 นิวตนั .เมตร ดว้ ยความเร่งเชิงมุม 40 เรเดียนต่อ
(วนิ าที)2 ขณะน้นั โมเมนตค์ วามเฉ่ือยของวตั ถุทรงกลมน้ีเป็นกี่ กิโลกรัม.(เมตร)2

วธิ ีทา จาก  = I

200

I = (.......... )
( ........... )

I = ………… kg.m2

รายวิชา ฟิ สิกส์พ้ืนฐานและ จุดประสงค์การเรียนรู้ท่ี 8

เพิ่มเติม 2 เฉลยแบบฝึ กทกั ษะ 8

รหัสวชิ า ว 40202 ใช้ประกอบแผนจัดการเรียนรู้ที่ 8

ระดบั ช้ัน มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 5 คะแนน ( P ) เวลา 5 นาที

เรื่อง ทอร์ก การเคล่ือนท่ีแบบหมุน และโมเมนตค์ วามเฉื่อย

1. ชายคนหน่ึงสังเกตวา่ ขณะน้นั มา้ หมุนจะหมุนดว้ ยความเร็ว 21 เรเดียนตอ่ วินาที อีก 7 วนิ าที

ต่อมา ปรากฏวา่ มา้ หมุนหยดุ หมุน อยากทราบวา่ ความเร่งเชิงมุม ที่เกิดกบั มา้ หมุนน้ีเป็นก่ีเรเดีย

นต่อ(วนิ าที)2 - 0
t
วธิ ีทา จาก  =

= ...0.....- ....21....
.....7.... .

  = …- 3 ….. rad / s2

2. จากขอ้ 1. มา้ หมุนมีโมเมนตค์ วามเฉ่ือย 25 กิโลกรัม.(เมตร)2 แสดงวา่ มีแรงตา้ นการหมุน ทา
ใหเ้ กิดทอร์กตา้ นกบั การหมุนเดิมท่ีมีขนาดก่ีนิวตนั .เมตร
วธิ ีทา จาก  = I
 = ( …25….. )( …- 3 …… )
 = …- 75 ….. N.m.

201

3. วตั ถุทรงกลมกาลงั กลิ้งดว้ ยขนาดทอร์ก 64 นิวตนั .เมตร ดว้ ยความเร่งเชิงมุม 40 เรเดียนต่อ

(วนิ าที)2 ขณะน้นั โมเมนตค์ วามเฉื่อยของวตั ถุทรงกลมน้ีเป็นก่ี กิโลกรัม.(เมตร)2

วธิ ีทา จาก  = I

I = ( .....64......)
( ....40....)

I = …1.6… kg.m2