แบบฝึกทักษะตรรกศาสตร์

1

ใบความร้ทู ่ี 1 เรอ่ื ง ประพจน์

ประพจน์
ประพจน์ (statement) คอื ประโยคหรอื ข้อความที่เปน็ จรงิ หรือเท็จอย่างใดอย่างหนง่ึ เทา่ นั้น ซง่ึ

ประโยคหรอื ข้อความดงั กล่าวจะอย่ใู นรูปบอกเลา่ หรอื ปฏเิ สธกไ็ ด้
ตวั อยา่ งประโยคทีเ่ ปน็ ประพจน์

- 3 เป็นจำนวนค่ี
- 7 เปน็ จำนวนเฉพาะ
- 4 × 5 = 5 × 4.
- สมการ = 2 + 3 จะมีกราฟเปน็ เส้นตรง
- เซตว่างเป็นเซตจำกัด
- 5 > 0.
- 8 ≠ 4 + 2.
- −4 > −1.
- ดาวอังคารเปน็ ดาวเคราะห์
- √2 เปน็ จำนวนตรรกยะ
ตวั อยา่ งท่ี 1 จงพจิ ารณาประโยคต่อไปน้เี ปน็ ประพจนห์ รือไม่ เพราะเหตุใด
1. เดอื นมกราคม มี 30 วัน
2. (3 + 17)3 หารดว้ ย 102 ไม่ลงตัว
3. นกนอ้ ยทำรังแต่พอตัว
4. 5 ∈ {2, 4, 5, 8}
5. เป็นตวั ประกอบหน่งึ ของ 2 +
6. แมวกบั สนุ ขั
7. ขอให้มคี วามสขุ มากๆ
8. ∅ ⊂ {0, 2}
9. + 5 = 2
10. ดาวฤกษ์ไมม่ ีแสงสว่างในตนเอง

2

ใบความรูท้ ่ี 2 การเชื่อมประพจน์

การเชื่อมประพจน์

ในวชิ าคณติ ศาสตร์หรือในชวี ิตประจำวนั จะพบประโยคที่ไดจ้ ากการเช่ือมประโยคมากกว่าหนง่ึ
ประโยคดว้ ยคำวา่ “และ” “หรอื ” “ถ้า…แลว้ ...” “ก็ต่อเมื่อ” หรือพบประโยคซ่ึงเปลี่ยนแปลงมาจากประโยค
เดมิ โดยเตมิ คำวา่ “ไม่” คำเหลา่ นเ้ี รยี กวา่ ตวั เชอ่ื ม (connective) เรียกประพจน์ทนี่ ำมาเชอื่ มกนั ด้วย
ตัวเช่อื มต่างๆ วา่ ประพจน์ย่อย (atomic statement) หรอื ประพจน์เชงิ เดียว (simple statement) เรยี ก
ประพจนท์ ่ีเกิดจากการเช่ือมประพจนเ์ ชิงเดียวด้วยตัวเชอ่ื ม ว่า ประพจน์เชิงประกอบ (compound
statement)

นยิ มใชอ้ กั ษรภาษาอังกฤษตัวพมิ พ์เลก็ เช่น , , , แทนประพจน์ท่ีนำมาเช่ือมกนั ถา้ เป็น
ประพจน์ใดๆ แล้วค่าความจริงของ เป็นได้ 2 กรณี คือ จริง (true) ซงึ่ แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ หรือ เท็จ
(false) ซง่ึ แทนสญั ลกั ษณ์ แสดงได้ดงั ตาราง







เรยี กตารางซงึ่ แสดงกรณเี ก่ยี วกบั ค่าความจรงิ ท่จี ะเกิดขึ้นได้ทง้ั หมดของประพจน์
วา่ ตารางคา่ ความจรงิ (truth table) ของ

ถา้ มีสองประพจน์ คอื และ แล้วจะมีกรณีเก่ียวกับคา่ ความจรงิ ที่จะเกิดข้ึนไดท้ ้ังหมด 4 กรณี ซ่งึ
และ ของ ตา่ งกจ็ บั คู่กบั กรณี และ ของ ไดด้ ังน้ี









2.1 การเช่ือมประพจน์ด้วยตวั เชอ่ื ม “และ”

3

ในการเช่ือมประพจน์ด้วย “และ” มขี ้อตกลงว่า ประพจน์ใหมจ่ ะเป็นจริงในกรณีที่ประพจน์ที่
นำมาเชื่อมกนั นน้ั เป็นจรงิ ท้ังคู่ กรณอี ื่นๆ เปน็ เทจ็ ทุกกรณี

ถ้า และ เปน็ ประพจน์ใดๆ แลว้ การเช่อื มประพจน์ กบั ประพจน์ ดว้ ยตัวเชือ่ ม
“และ” (and) ได้ประพจนใ์ หม่เป็น " และ " ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ⋀ และเขียนตารางคา่ ความ
จรงิ ของ ⋀ ไดด้ งั น้ี

∧






2.2 การเชื่อมประพจนด์ ้วยตัวเชอ่ื ม “หรือ”
ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “หรือ” มขี ้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่จะเปน็ เทจ็ ในกรณีทีป่ ระพจนท์ ี่

นำมาเชอื่ มกนั น้นั เปน็ เท็จทัง้ คู่ กรณีอนื่ ๆ เป็นจริงทุกกรณี
ถา้ และ เปน็ ประพจนใ์ ดๆ แลว้ การเชือ่ มประพจน์ กับประพจน์ ดว้ ยตวั เชอ่ื ม

“หรือ” (or) ได้ประพจน์ใหม่เปน็ " หรอื " ซ่งึ เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ ∨ และเขียนตารางค่าความ
จริงของ ∨ ไดด้ ังนี้

∨





2.3 การเช่ือมประพจน์ดว้ ยตวั เชอ่ื ม “ถ้า...แลว้ ...”
ประพจนซ์ ่ึงตามหลังคำวา่ ถ้า เรยี กวา่ เหตุ ส่วนประพจนซ์ ่ึงตามหลงั คำวา่ แลว้ เรียกวา่ ผล

ในการเชอื่ มประพจน์ดว้ ย “ถ้า...แลว้ ...” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่จะเปน็ เท็จในกรณีท่เี หตุเปน็ จริงและผล
เปน็ เทจ็ เทา่ น้นั กรณีอนื่ ๆ เป็นจริงทกุ กรณี

4

ถ้า และ เปน็ ประพจนใ์ ดๆ แลว้ การเช่อื มประพจน์ กบั ประพจน์ ดว้ ยตัวเชื่อม “ถ้า
...แลว้ ...” (if…then…) ไดป้ ระพจนใ์ หมเ่ ปน็ “ถา้ แล้ว ” ซึ่งเขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ → และเขยี น
ตารางคา่ ความจริงของ → ได้ดงั น้ี

→





2.4 การเช่ือมประพจน์ดว้ ยตัวเชอ่ื ม “ก็ต่อเม่ือ”
ในการเชื่อมประพจนด์ ว้ ย “ก็ตอ่ เม่ือ” มีข้อตกลงวา่ ประพจน์ใหม่จะเปน็ จริงในกรณีท่ี

ประพจนท์ ีน่ ำมาเชอื่ มกนั นั้นเปน็ จรงิ ทัง้ คูห่ รือเปน็ เท็จทั้งคเู่ ท่าน้นั กรณีอืน่ ๆ เปน็ เท็จเสมอ
ถา้ และ เปน็ ประพจน์ใดๆ แล้ว การเช่ือมประพจน์ กับประพจน์ ด้วยตัวเช่อื ม “ก็

ต่อเมอ่ื ” (if and only if) ไดป้ ระพจน์ใหม่เปน็ “ ก็ต่อเม่ือ ” ซึง่ เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ ↔ และ
เขียนตารางค่าความจรงิ ของ ↔ ได้ดังนี้

↔





2.5 นิเสธของประพจน์
ค่าความจรงิ ของนิเสธจะตรงข้ามกบั ค่าความจริงของประพจน์เดมิ เสมอ ถ้า เป็นประพจน์

ใดๆ แลว้ นเิ สธ (negation) ของ เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ ~ และเขยี นตารางค่าความจรงิ ของ ~ ดงั น้ี

~



2 ประพจ 4 กร

. _| p และ q p หรือ q ถ้า p แล้ว q P ก็ต่อเมื่อ q

และ > เจอ F > F เลย

หอ > เจอ > 1 เลย

า แว > r ห า 1 ห ง Fไ F
.. .

อเ อ - > ร า ความ จ ง เห อน น เ น เสมอ

> เสธ p

< notp

PEI 1 ประพจ 2 กร

2 ป ระยอง 4 กร

pq

T F บาง T F

F

F >F F

๋ืฅีณีมีณีม์นิน็ปักืมิร่ค่ืม่ต็ก้ดัล้น้ล้ถืรีณ์น

5

ตวั อยา่ งที่ 2 จงเขียนประพจนใ์ นขอ้ ต่อไปน้ีในรปู สญั ลกั ษณ์ พร้อมทั้งหาค่าความจริงของประพจนน์ ้ัน
1) 0 เป็นจำนวนนบั และ 6 เปน็ จำนวนเต็ม

วิธีทำ จาก 0 เป็นจำนวนนบั แทนดว้ ย มีค่าความจริงเป็น เท็จ
6 เปน็ จำนวนเต็มแทนด้วย มคี า่ ความจรงิ เป็น จริง

สามารถเขยี นประพจน์ 0 เป็นจำนวนนับ และ 6 เป็นจำนวนเตม็
ในรูปสัญลักษณ์ได้ว่า ∧ ซ่งึ มีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็

2) (2 + 6) + 4 = 12 หรือ 12 = 2(5) + 2
วิธีทำ จาก (2 + 6) + 4 = 12 แทนด้วย มีค่าความจริงเปน็ จรงิ
12 = 2(5) + 2 แทนด้วย มคี า่ ความจรงิ เป็น จริง
สามารถเขียนประพจน์ (2 + 6) + 4 = 12 หรือ 12 = 2(5) + 2
ในรปู สญั ลกั ษณ์ได้วา่ ∨ ซ่ึงมีค่าความจรงิ เป็นจรงิ

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหานิเสธของประพจนต์ ่อไปน้ี และหาค่าความจริงของประพจนท์ เี่ ป็นนิเสธ
1) 4 + 9 = 10 + 3

วธิ ที ำ จะไดน้ ิเสธของประพจน์ 4 + 9 = 10 + 3 คอื 4 + 9 ≠ 10 + 3
ซง่ึ 4 + 9 ≠ 10 + 3 มคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็

2) เซตของจำนวนนับทีเ่ ป็นคำตอบของสมการ 2 + 1 = 0 เปน็ เซตวา่ ง
วธิ ที ำ จะได้นเิ สธของประพจน์ เซตของจำนวนนบั ท่เี ปน็ คำตอบของสมการ 2 + 1 = 0 เป็นเซตว่าง
คอื เซตของจำนวนนบั ทเี่ ป็นคำตอบของสมการ 2 + 1 = 0 ไม่เป็นเซตวา่ ง
ซง่ึ เซตของจำนวนนับทเ่ี ป็นคำตอบของสมการ 2 + 1 = 0 ไมเ่ ปน็ เซตวา่ ง มีค่าความจริงเปน็ เท็จ

ตวั อย่างท่ี 4 กำหนดให้ ∧ มีคา่ ความจริงเป็นจริง จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1) ~( ∧ )
2) →
3) ~ ∨
4) ↔
5) ~ → ~

p และ q p หรือ q ถ้า p แล้ว q P ก็ต่อเมื่อ q

6

วิธที ำ จากโจทย์ p ∧ q มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ 4) ↔ q
จะได้วา่ มีค่าความจริงเป็นจรงิ
1) ~( ∧ ) และ มคี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ p T
จะได้
~ ( ∧ ) T

→



5) ~ → ~

ดงั นั้น ~( ∧ ) มคี า่ ความจริงเป็นเท็จ p~ → nq
2) →
FF
จะได้ →
Y




ดังนนั้ → มคี ่าความจริงเป็นจรงิ
3) ~ ∨

จะได้ ~ ∨

TT




ดังนนั้ ~( ∧ ) มคี ่าความจริงเป็นจริง

7

ใบความร้ทู ่ี 3 การหาคา่ ความจริงของประพจน์

การหาคา่ ความจริงของประพจน์
ตารางค่าความจรงิ ของประพจน์ทมี่ ตี ัวเชอ่ื มแบบต่างๆ ท่ีกล่าวมาแลว้ มีไวเ้ พื่อชว่ ยในการตรวจสอบคา่

ความจริงของประพจน์ที่ไดจ้ ากการเช่ือมประพจนย์ ่อย เมื่อทราบค่าความจริงของประพจน์ยอ่ ยดังตัวอย่าง
ตอ่ ไปนี้
ตัวอยา่ งท่ี 5 กำหนดให้ , และ เป็นประพจนท์ ี่มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ จริง และเทจ็ ตามลำดบั จงหาค่า
ความจริงของประพจน์ ( ∧ ) →

วิธที ่ี 1 หาคา่ ความจรงิ ของประพจน์โดยการเขยี นบรรยาย
จาก (p ∧ q) → r จะไดว้ ่าตวั เชื่อมหลกั คือ →
จากโจทย์ p เป็นจรงิ q เปน็ จริง ดงั นนั้ p ∧ q เป็นจริง
เนอ่ื งจาก p ∧ q เปน็ จริง r เปน็ เท็จ ดงั น้ัน (p ∧ q) → r เปน็ เท็จ

ดงั นน้ั คา่ ความจริงของประพจน์ (p ∧ q) → r เป็นเท็จ
วิธีท่ี 2 หาคา่ ความจรงิ ของประพจน์โดยการเขยี นแผนภาพ
จากโจทย์ สามารถเขยี นแผนภาพได้ดังน้ี

(p ∧ q) → r
TT F

T
F

ดงั นน้ั ค่าความจรงิ ของประพจน์ (p ∧ q) → r เปน็ เทจ็

8
ตัวอย่างท่ี 6 กำหนดให้ , และ เป็นประพจน์ที่มคี า่ ความจริงเปน็ จริง เท็จ และเทจ็ ตามลำดับ จงหาค่า
ความจรงิ ของประพจน์ [ → ( ⋁ )] ∧ [ → ( ∧ )]

วธิ ที ำ หาคา่ ความจริงของประพจนโ์ ดยการเขียนแผนภาพ
จากโจทย์ สามารถเขียนแผนภาพได้ดงั น้ี

[ p → ( q ⋁ r)] ∧ [p → (q ∧ r)]

ดงั นั้น คา่ ความจริงของประพจน์ [p → (q⋁r)] ∧ [p → (q ∧ r)] ………………………………………….
ตวั อย่างที่ 7 กำหนดใหป้ ระพจน์ [( → ) ∧ ( ∨ )] → ( → ) มคี ่าความจริงเป็นเท็จ จงหาคา่ ความ
จรงิ ของประพจน์ย่อย , , และ

วิธีทำ หาค่าความจริงของประพจน์โดยการเขียนแผนภาพ

[( → ) ∧ ( ∨ )] → ( → )

ดังนน้ั คา่ ความจริงของประพจนย์ ่อย , , และ มีค่าความจรงิ เป็น.....................................................

9

ใบความรทู้ ่ี 4 การสร้างตารางค่าความจริง
การสร้างตารางคา่ ความจรงิ

พิจารณาประพจน์ท่มี ตี ัวเชื่อม เช่น ∼ , ∧ , ∨ , → , ↔ และ ( ∧ ) → จะเห็น
ว่าประพจนเ์ หล่าน้ีมี , และ เป็นประพจนย์ ่อย ซงึ่ ยงั ไม่กำหนดคา่ ความจรงิ จะเรียก , และ วา่ เป็น
ตัวแปรแทนระพจน์ใดๆ และเรยี กประพจน์ทีม่ ีตวั เชื่อม เชน่ ∼ , ∧ , ∨ , → , ↔ ว่า รปู แบบ
ของประพจน์ เน่ืองจาก , และ เปน็ ตัวแปรแทนประพจน์ใดๆ ดงั น้นั ในการพิจารณาคา่ ความจริงของ
รปู แบบของประพจนจ์ งึ ต้องกำหนดค่าความจรงิ ของประพจนย์ อ่ ยทุกกรณีที่เปน็ ไปได้ เช่น

ถา้ มีประพจน์เดยี ว คือ แล้ว จะมีกรณีเกีย่ วกบั คา่ ความจริงท่ีพจิ ารณา 2 กรณี ดังนี้







ถ้ามสี องประพจน์คือ และ แล้วจะมีกรณีเกยี่ วกับคา่ ความจรงิ ท่ีพจิ ารณา 4 กรณี ดงั นี้











ในทำนองเดยี วกนั ถา้ มี 3 ประพจน์คอื , และ แล้วจะมีกรณีค่าความจริงที่พิจารณาท้ังหมด 8 กรณี ดงั นี้



10

ตัวอยา่ งที่ 8 กำหนดให้ , และ เปน็ ประพจน์ จงสรา้ งตารางแสดงคา่ ความจริงของรูปแบบของประพจน์
ตอ่ ไปน้ี
1) [~ ⋀( ⋁ )] →

วธิ ีทำ รูปแบบของประพจน์ ประกอบไปด้วยประพจน์ย่อยสองประพจน์ คือ และ จงึ มีกรณี
เกี่ยวกบั คา่ ความจรงิ ท่ีอาจจะเกิดขึ้นไดท้ ัง้ หมด 4 กรณี จะได้ตารางค่าความจริงของ [~ ⋀( ⋁ )] →
ดงั น้ี

⋁ ~ ~ ⋀( ⋁ ) [~ ⋀( ⋁ )] →









2) ( → ~ )⋁
วธิ ีทำ รูปแบบของประพจน์ ประกอบไปด้วยประพจนย์ ่อยสองประพจน์ คือ , และ จึงมี

กรณเี กี่ยวกับคา่ ความจรงิ ท่ีอาจจะเกิดข้นึ ได้ทง้ั หมด 8 กรณี จะไดต้ ารางค่าความจริงของ ( → ~ )⋁ ดังน้ี

~ → ~ ( → ~ )⋁

















11

ใบความรทู้ ี่ 5 รปู แบบของประพจน์ทสี่ มมูลกนั

รปู แบบของประพจนท์ ส่ี มมูลกนั
ในตรรกศาสตร์ ถ้ารปู แบบของประพจนส์ องรปู แบบใดมีค่าความจรงิ ตรงกันกรณตี ่อกรณี แลว้ จะ

สามารถนำไปใชแ้ ทนกันได้ เรียกรปู แบบของประพจน์ทง้ั สองวา่ เปน็ รูปแบบของประพจนท์ ส่ี มมลู กัน เช่น
→ กบั ~ ⋁ เปน็ รปู แบบของประพจนท์ ่ีสมมูลกนั ซ่ึงแสดงการตรวจสอบความสมมูลได้ ดังนี้

→ ~ ~ ⋁





จะเหน็ ว่า คา่ ความจรงิ ของ → กับ ~ ⋁ ตรงกันกรณีต่อกรณี
ดังนั้น → สมมูลกบั ~ ⋁ ซ่ึงเขยี นแทนดว้ ย → ≡ ~ ⋁

ตัวอยา่ งที่ 9 กำหนดให้ , และ เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า ( ∨ ) → สมมูลกบั ∼ [~ ⋀( ⋁ )]
หรือไม่

วิธีทำ สร้างตารางคา่ ความจรงิ ของ ( ∨ ) → กบั ∼ [~ ⋀( ⋁ )] ได้ดังน้ี

~ ∨ ( ∨ ) → ~ ⋀( ⋁ ) ∼ [~ ⋀( ⋁ )]









จะเห็นว่า คา่ ความจรงิ ของ ( ∨ ) → กบั ∼ [~ ⋀( ⋁ )] ตรงกนั กรณีต่อกรณี
ดงั น้ัน ( ∨ ) → สมมูลกบั ∼ [~ ⋀( ⋁ )]

12

ใบความรทู้ ่ี 6 สัจนิรนั ดร์

สจั นริ นั ดร์
พจิ ารณาค่าความจรงิ ของรูปแบบของประพจน์ ~( → ) → ~

→ ~( → ) ~ ~( → ) → ~






จะเห็นว่ารปู แบบของประพจน์ ~( → ) → ~ มคี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ ทุกกรณี จะกล่าวว่ารูปแบบ
ของประพจน์ ~( → ) → ~ เปน็ สจั นิรันดร์ (tautology)

บทนิยาม 1
รปู แบบของประพจนท์ ่มี ีคา่ ความจริงเปน็ จริงทุกกรณี เรยี กวา่ สจั นริ ันดร์

ตวั อย่างท่ี 10 กำหนดให้ , และ เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่ารปู แบบประพจน์ ( ∧ ) → ( ∨ )
เปน็ สัจนิรดั ร์หรอื ไม่

วิธที ำ สรา้ งตารางคา่ ความจริงของ ( ∧ ) → ( ∨ ) ได้ดงั น้ี

∧ ∨ ( ∨ ) → ( ∨ )

















จะเหน็ ว่ารปู แบบของประพจน์ ( ∧ ) → ( ∨ ) เป็นจรงิ ทุกกรณี
ดังน้ัน รูปแบบของประพจน์ ( ∧ ) → ( ∨ ) เป็นสัจนิรนั ดร์

วิธกี ารตรวจสอบการเป็นสัจนิรนั ดร์

13

1. สรา้ งตารางคา่ ความจรงิ
2. วิธหี าข้อขดั แย้ง โดยสมมตใิ ห้รูปแบบประพจน์ทกี่ าหนดให้เปน็ เทจ็ แล้วหาค่าความ

จรงิ ของประพจน์ย่อย
- ถ้าเกิดขอ้ ขดั แย้ง จะได้ว่ารูปแบบประพจน์ เป็นสัจนิรนั ดร์
- ถ้าไมเ่ กิดขอ้ ขัดแยง้ จะได้วา่ รูปแบบประพจน์ ไมเ่ ปน็ สัจนิรนั ดร์
3. ใชค้ วามรูเ้ รอื่ งสมมูล
สาหรบั รูปแบบประพจน์ ↔ ถ้าตรวจสอบ และ สมมลู กนั จะได้ว่า รูปแบบ
ประพจน์ ↔ เป็นสัจนิรนั ดร์
จงพิจารณาคา่ ความจรงิ ของรูปแบบของประพจน์ เป็นสัจนิรนั ดร์ หรอื ไม่ โดยวธิ หี าขอ้
ขดั แยง้
1. ~( → ) → ~

วิธีทำ สมมติ ให้ ~( → ) → ~ มคี า่ ความจริงเป็นเท็จ

~ ( → ) → ~

ดังน้ัน รูปแบบประพจน์ ~( → ) → ~ เป็นสัจนิรนั ดร์

14

ใบความรทู้ ี่ 7 การอา้ งเหตุผล

ตามท่ีได้กล่าวไปแล้วว่ารปู แบบของประพจน์ A → B จะประกอบด้วยส่วนสองสว่ น คือ เหตุ ไดแ้ ก่
A และ ผล ได้แก่ B เราจะอาศัยความรู้น้ีมาศึกษาเรื่องการอ้างเหตผุ ล

การอ้างเหตผุ ล หมายถึง การกล่าวอา้ งว่า ถ้ามีข้อความ P1, P2, ..., Pn แล้วสามารถสรุป ข้อความ C ได้

ดังนั้น การอ้างเหตุผล จะมีสว่ นประกอบ 2 ส่วน คอื
สว่ นทีห่ นงึ่ : เรียกวา่ เหตุ หรือ ส่ิงที่กำหนดให้ ได้แกข่ ้อความ P1, P2, ..., Pn
สว่ นทส่ี อง : เรียกวา่ ผล ไดแ้ ก่ ข้อความ C

การอ้างเหตผุ ลที่มเี หตเุ ปน็ P1, P2, ..., Pn และมี C เป็นผลจะเขยี นสัญลักษณ์ แทนการอา้ งเหตผุ ลน้ีวา่

P1, P2, ..., Pn  C
การอา้ งเหตุผล จะสมเหตสุ มผล (valid) หรือ ไม่สมเหตุสมผล (invalid) ก็ได้ ซ่ึงมีวิธกี ารตรวจสอบ
ดงั นี้
*** วธิ ีการตรวจสอบการอ้างเหตผุ ลวา่ มีความสมเหตสุ มผลหรอื ไม่***

กำหนดการอ้างเหตผุ ล P1, P2, ..., Pn  C

วธิ ีท่ี 1 : ใชก้ ารตรวจสอบรูปแบบประพจน์ ( P1  P2  ...  Pn ) → C
เปน็ สจั นริ ันดรห์ รอื ไม่
(1) ถา้ รูปแบบของประพจน์ ( P1  P2  ...  Pn ) → C เป็นสจั นริ ันดร์
แล้วการอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล
(2) ถ้ารปู แบบของประพจน์ ( P1  P2  ...  Pn ) → C ไม่เป็นสจั นิรันดร์
แล้วการอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล

15

วิธีที่ 2 : ใช้รปู แบบการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลแลว้ ท่นี ิยมใช้ในทางคณติ ศาสตร์
ไดแ้ ก่

*** รปู แบบการอ้างเหตผุ ลทสี่ มเหตุสมผลท่ีนยิ มใช้ในทางคณติ ศาสตร์ ***

1. Modus Ponens 2. Modus Tollens
เหตุ 1. p → q เหตุ 1. p → q
2. p 2. ~q
ผล q ผล ~p

3. Law of Syllogism 4. Law of contrapositive
เหตุ 1. p → q เหตุ p → q
2. q → r ผล ~q → ~p
ผล p → r

5. Disjunctive Syllogism 6. เหตุ 1. p → r
เหตุ 1. p  q 2. q → s
2. ~q 3. p  q
ผล p
ผล r  s
7. Law of Simplification
เหตุ p  q 8. Law of Addition
ผล p เหตุ p
ผล p  q

16

วิธที ่ี 3 : วธิ ีการค้นหาคา่ ความจริงของเหตุ

เนื่องจาก ( P1  P2  ...  Pn ) → C เป็นเทจ็ มีกรณีเดียว คือ P1  P2  ...  Pn มคี า่

ความจรงิ เปน็ จริง และ C มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดงั นัน้ ในการอ้างเหตุผลเราอาจจะกำหนดให้เหตแุ ต่ละเหตุ

มีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ หลังจากนัน้ ก็ตรวจสอบค่าความจริงของประพจน์ทเ่ี ปน็ ผล

▪ ถ้า P1, P2, ..., Pn ทัง้ หมดเปน็ จริง แล้ว ทำให้ C เปน็ จริง จะได้ว่าการอ้างเหตุผล

น้ัน สมเหตุสมผล
▪ ถา้ P1, P2, ..., Pn ท้งั หมดเปน็ จริง แล้ว ทำให้ C เป็นเท็จ จะได้ว่าการอ้างเหตผุ ล

น้ัน ไม่สมเหตุสมผล
ตัวอยา่ ง 1 จงตรวจสอบวา่ การอา้ งเหตุผลตอ่ ไปน้สี มเหตสุ มผลหรอื ไม่ โดยอาศัยวธิ ที ี่ 1

(1) เหตุ 1. p → q (2) เหตุ 1. p → q

2. p 2. q

ผล q ผล p

(3) เหตุ 1. p  q (4) เหตุ 1. p  q

2. p 2. p → (q → r)
ผล q ผล r

(5) เหตุ 1. p → q (6) เหตุ 1. p → q
2. q  r 2. p → r
3. r 3. p  s

ผล p ผล r → s

17

ตวั อย่าง 2 จงตรวจสอบวา่ การอ้างเหตุผลต่อไปนส้ี มเหตสุ มผลหรอื ไม่ โดยอาศยั วธิ ีท่ี 2

(1) เหตุ 1. p → q (2) เหตุ 1. p → (q → r)

2. r → q 2. p

3. r 3. s → q

ผล p ผล r → s

(3) เหตุ 1. p → q (4) เหตุ 1. r → p
2. p → (r  s) 2. q
3. q  t 3. r → s
4. t 4. p  q

ผล r → s ผล s

18

(5) เหตุ 1. p → r (6) เหตุ 1. r → (s → t)
2. q → s 2. r  w
3. p → q 3. p → s
4. w
ผล r → s 5. t

ผล p

ตวั อยา่ ง 3 จงตรวจสอบวา่ การอา้ งเหตุผลต่อไปนี้สมเหตสุ มผลหรือไม่ โดยอาศัยวิธีท่ี 3

(1) เหตุ 1. p → q (2) เหตุ 1. r → (s → t)

2. q → r 2. r  w

3. r → s 3. p → s

4. p  t 4. w

5. s 5. t

ผล t ผล p  x  y

19

ตัวอยา่ ง 4. จงตรวจสอบว่า การอา้ งเหตุผลตอ่ ไปนี้สมเหตุสมผลหรอื ไม่
(1) เหตุ 1. ถา้ ฉนั ขยันเรยี น แลว้ ฉนั จะสอบผา่ น
2. ฉนั ขยันเรียน
ผล ฉันสอบผ่าน

(2) เหตุ 1. ถ้า a เป็นจำนวนคู่ แล้ว 2 หาร a ลงตัว
2. a เป็นจำนวนคู่ หรอื จำนวนคี่
3. 2 หาร a ไม่ลงตวั

ผล a เปน็ จำนวนค่ี

(3) เหตุ 1. ถา้ ฝนตกแลว้ นำ้ ทว่ มโรงเรยี น
2. ถา้ ฝนไม่ตกแลว้ แล้วนักเรียนมาเรยี นทันเวลา
3. ถ้าการเดนิ ทางมาโรงเรยี นไม่สะดวก แล้ว นักเรียนมาเรียนไมท่ นั เวลา
4. นำ้ ไม่ทว่ มโรงเรียน

ผล การเดนิ ทางมาโรงเรยี นสะดวก

(4) เหตุ 1. ถ้า a เป็นจำนวนตรรกยะ แลว้ a เปน็ จำนวนจรงิ
2. ถา้ a2 = –1 แล้ว a ไม่เป็นจำนวนจรงิ
3. a2 = –1

ผล a ไมเ่ ปน็ จำนวนตรรกยะ

20

ตัวอยา่ ง 5. กำหนดเหตขุ องการอ้างเหตุผลดังน้ี
เหตุ 1. ถา้ นาย ก. ไปว่ายนำ้ แลว้ นาย ข.ไปดูภาพยนตร์
2. นาย ข. ไม่ดโู ทรทัศน์
3. ถ้า นาย ก. ไม่ไปวา่ ยนำ้ แล้ว นาย ค. ไม่นอนพักผ่อน
4. นาย ค. นอนพักผอ่ น หรือ นาย ข. ดูโทรทศั น์
ผล ?
จงหาผลทีท่ ำใหก้ ารอ้างเหตผุ ลขา้ งตน้ สมเหตุสมผล

21

ใบความรทู้ ี่ 8 ประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณ

7.1 ประโยคเปดิ (open sentence)

บทนิยาม ประโยคเปิด หมายถงึ ประโยคบอกเลา่ หรอื ประโยคปฏิเสธทมี่ ีตัวแปร และเมื่อแทน
คา่ ตัวแปรในประโยคเปิดดว้ ยสมาชกิ ใดๆ ในเอกภพสมั พัทธ์ จะเป็นประพจน์

สญั ลักษณ์ ประโยคเปดิ ทม่ี ตี ัวแปร x จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ P(x) หรอื Q(x) เปน็ ตน้

ตวั อยา่ ง 1 ประโยคในข้อใดต่อไปน้เี ปน็ ประพจน์ หรอื ประโยคเปดิ หรือไม่ใชท่ ง้ั สอง
(1) เธอกำลังเรียนอยู่ในมหาวทิ ยาลัย
(2) เขาเปน็ นกั เรยี นท่ตี งั้ ใจเรียนมากใช่หรือไม่
(3) ถ้า 2 เปน็ จำนวนเฉพาะแล้ว 2 เปน็ จำนวนค่ี
(4) x ≥ 0 และ x เปน็ จำนวนนบั
(5) x เป็นจำนวนเตม็ หรือ x เปน็ จำนวนอตรรกยะ
(6) ถา้ x เปน็ จำนวนเต็มแล้ว x เป็นจำนวนจรงิ
(7) x2 9
(8) x2 9 (x 3)(x 3)
(9) ถา้ x เป็นจำนวนเต็ม แล้ว x เป็นจำนวนจรงิ หรือไม่
(10) (x + 5)(x – 1) = x2 4x 5

7.2 ตัวบง่ ปริมาณ (Quantifier)
ในวิชาคณิตศาสตร์ เรามักพบประโยคเปดิ ท่มี ลี ักษณะเป็นขอ้ ความ เช่น
“สำหรับ (ตวั แปร) ทกุ ตัว (ประโยคเปดิ )”
สำหรับ (ตัวแปร) บางตวั (ประโยคเปิด)”
เช่น สำหรับ x ทุกตวั ทเี่ ป็นจำนวนจริงบวก x หาคา่ ได้
สำหรับ x บางตวั ท่เี ป็นจำนวนเตม็ บวก x2 2x 8 0 เป็นตน้

22

บทนยิ าม เรยี กขอ้ ความ
“สำหรบั ….. ทกุ ตวั ” และ “สำหรบั ..… บางตัว” วา่ เปน็ ตัวบง่ ปรมิ าณ โดยท่ี
(1) ข้อความ “สำหรบั …. ทกุ ตัว” แสดงใหเ้ ห็นว่าเรากำลงั กล่าวถึงสมาชิกทุกตวั ใน U

และเขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ 
(2) ขอ้ ความ“สำหรับ …. บางตัว” แสดงใหเ้ หน็ ว่าเรากำลังกล่าวถงึ สมาชกิ บางตวั ในU

และเขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ 

จากนยิ ามการเขียนตวั บ่งปรมิ าณในประโยคเปิดมดี ังน้ี

ข้อความตวั บ่งปริมาณ สัญลักษณ์
แบบท่ี 1 : “สำหรับ x ทุกตัว” x
แบบท่ี 2 : “สำหรบั x บางตวั ” หรือ “มี x บางตวั ” x

หมายเหตุ
1. ตวั บ่งปริมาณ จะมีความหมายกต็ ่อเมื่อกำหนดเอกภพสัมพทั ธ์มาดว้ ย
ดังนัน้ การเขียนประโยคทมี่ ีตวั บง่ ปริมาณ จะต้องเขียนเอกภพสมั พัทธ์กำกบั ไว้เสมอ จงึ จะสมบรู ณ์
เพราะจะไดท้ ราบว่า สมาชิกทกุ ตวั หรือสมาชกิ บางตัวทีก่ ำลงั กลา่ วถงึ เป็นสมาชกิ ของเซตใด
2. ถา้ เป็นประโยคท่ีมตี ัวบ่งปริมาณท่ีเกีย่ วขอ้ งกับเรื่องของจำนวน และไม่ได้กำหนดเอกภพสมั พัทธ์มาให้
ถอื วา่ เอกภพสัมพัทธ์คือ เซตของจำนวนจรงิ
3. ตัวบ่งปริมาณ จะใชเ้ ขยี นนำหนา้ ประโยคเปดิ

ตัวอยา่ ง 2 ถา้ ใหเ้ อกภพสมั พัทธเ์ ป็นเซตของจำนวนจริง จงเขียนประโยคต่อไปน้ใี ห้อยู่ในรปู สัญลกั ษณ์
(1) สำหรับ x ทกุ ตัว x + x = x2

(2) สำหรบั x บางตวั x3 0

(3) สำหรบั x ทุกตวั ถา้ x ≠ 0 แล้ว x2 > 0

(4) สำหรบั x บางตัว x เปน็ จำนวนคู่ หรือ x เป็นจำนวนคี่

23

(5) สำหรบั x ทุกตัว x > 0 ก็ตอ่ เมื่อ x3 > 0

(6) มี x บางตัว x2 2 แลว้ x เปน็ จำนวนอตรรกยะ

(7) มี x บางตวั x เปน็ จำนวนเฉพาะ และ x เป็นจำนวนคู่

ตัวอย่าง 3 ถา้ ใหเ้ อกภพสัมพัทธเ์ ปน็ เซตของจำนวนจรงิ จงเขยี นประโยคตอ่ ไปนใี้ ห้อยูใ่ นรปู สญั ลกั ษณ์
(1) จำนวนจรงิ ทุกจำนวน เปน็ จำนวนตรรกยะ

(2) จำนวนตรรกยะทุกจำนวน เป็นจำนวนจรงิ

(3) สำหรบั จำนวนจริงทกุ จำนวน เมอื่ ยกกำลงั สองแลว้ ผลทไี่ ด้เปน็ จำนวนบวก

(4) มีจำนวนตรรกยะบางจำนวนทไ่ี มเ่ ป็นจำนวนเต็ม

(5) มจี ำนวนจริงอยา่ งน้อยหน่งึ จำนวนทีเ่ ป็นจำนวนตรรกยะ

(6) มีจำนวนเต็มบางจำนวนทีย่ กกำลังสองแล้วได้ลบหนึง่

ตัวอย่าง 4 จงเขยี นประโยคสัญลักษณ์ต่อไปน้ี ในรปู ประโยคคำพดู

(1) x[x  I] , U = Q (2) x[x  Q  x2  Q] , U = 

(3) x[x  Q → x2  Q ] , U = 

24

ใบความรู้ที่ 9 ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 1 ตัว
ให้ P(x) แทนประโยคเปิดท่มี ี x เปน็ ตวั แปร และ U แทนเอกภพสัมพทั ธ์

1. x[P(x)] มคี ่าความจริงเปน็ จริง
กต็ ่อเมือ่ นำสมาชกิ ทุกตัวใน U ไปแทนค่า x ใน P(x) แล้ว ทำให้ P(x) เปน็ จริง

x[P(x)] มีคา่ ความจรงิ เป็น เท็จ
ก็ต่อเมือ่ มสี มาชิกอย่างน้อยหนึง่ ตัว ใน U ไปแทนค่า x ใน P(x) แล้ว ทำให้ P(x) เปน็ เทจ็

2. x[P(x)] มคี า่ ความจริงเปน็ จริง
กต็ ่อเม่ือ มีสมาชิกอย่างนอ้ ยหนึ่งตัว ใน U ไปแทนคา่ x ใน P(x) แลว้ ทำให้ P(x) เปน็ จริง

x[P(x)] มคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็
กต็ ่อเม่ือ นำสมาชิกทุกตัวใน U ไปแทนค่า x ใน P(x) แล้ว ทำให้ P(x) เปน็ เท็จ

ขอ้ สังเกต
1. ถา้ x[P(x)] มีค่าความจริงเปน็ จริง แลว้ x[P(x)] มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ
2. ถ้า x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้ว เราไม่สามารถสรุปเกย่ี วกบั ค่าความจรงิ ของ x[P(x)] ได้
3. ถ้า x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเทจ็ แล้ว x[P(x)] มีค่าความจริงเปน็ เทจ็
4. ถ้า x[P(x)] มีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ แลว้ เราไมส่ ามารถสรปุ เกีย่ วกบั ค่าความจริงของ x[P(x)] ได้

ตวั อยา่ ง 1 จงหาคา่ ความจริงของประพจนท์ ี่มตี วั บ่งปรมิ าณต่อไปน้ี

ประพจน์ เอกภพสัมพัทธ์ U คา่ x ใน U ที่ทำให้ P(x) ค่าความจริง

x[x ≥ 0] {–2, –1, 0, 1, 2} เป็นจริง เป็นเท็จ ของประพจน์
x[x +1 > x] {–1, 0, 1}

x[x + 1 ≥ x] 

x[ x2 x ] 

x[2x2 + 3x + 1 = 0] 

25

ประพจน์ เอกภพสัมพทั ธ์ U ค่า x ใน U ที่ทำให้ P(x) ค่าความจรงิ
{–2, –1, 0, 1, 2} ของประพจน์
x[x ≥ 0] เป็นจรงิ เปน็ เท็จ
x[x +1 > x] {–1, 0, 1}
x[x + 1 ≥ x] 
x[ x2 x ]
x[2x2 + 3x + 1 = 0] 



ตวั อยา่ ง 2 จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ตอ่ ไปนี้ เมื่อกำหนดให้ U = {–2, –1, 0, 1 , 2}

(1) x[– x 6 x ] (2) x[ x2 2x ]

(3) x[ x2 4 x 2] (4) x[ x3 6 x ]
x 2

(5) x[x < 0 → –x > 0 ] (6) x[ x2 1 0 → x < 0 ]

(7) x[ |x| ≤ 1  x + x = x2 ] (8) x[ x3 0  x > 0 ]

(9) x[|x| > 1] → x[ x2 x ] (10) x[ x2 x ]  x[ x + 2 = 0]

26
(11) x[2x ≥ 1 ]  x[2 x = 2x ] (12) x[x – 5 = 5 – x]  x[ x4 1 0]

ตวั อย่าง 3 กำหนดให้ U = {1, 2, 3, 4 , 5}

P(x) แทนประโยค “x หารด้วย 2 ลงตัว”

Q(x) แทนประโยค “x เป็นจำนวนค่ี”

R(x) แทนประโยค “x เป็นจำนวนเฉพาะ”

จงหาค่าความจริงของประพจนต์ ่อไปน้ี

(1) x[P(x) → Q(3)] (2) x[Q(x)  R(x)]

(3) x[Q(x) → R(1)] (4) x[P(x)] → x[R(x)]

(5) x[Q(x)]  x[P(x)] (6) x[P(5)  Q(x)] → x[R(x)]

27

ตัวอยา่ ง 4 กำหนดให้ U =  จงหาคา่ ความจริงของประพจนต์ ่อไปนี้

(1) x[x    x > 2 ] (2) x[ x2 9 → x > 3]

(3) x[ x2 x x2 x 1 0 ] (4) x[x    |x + 3| > 8]

(5) x[ x2 0 ] → x[x ≤ |x|] (6) x[x ≥ |x|]  x[ x2 0 ]

28

ใบความรูท้ ่ี 10 เรอ่ื งนเิ สธของประพจนท์ ี่มตี วั บ่งปริมาณ

นเิ สธของประโยคเปดิ

ประโยคเปดิ Q(x) จะเรยี กวา่ เป็นนิเสธของประโยคเปดิ P(x) ก็ต่อเมื่อ
ถา้ แทนคา่ x ดว้ ยสมาชิกทุกตวั ใน U แลว้ ทำให้ Q(x) เปน็ นิเสธของประพจน์ P(x)
น่นั คือ สำหรบั x ทุกตัวใน U ทำให้ค่าความจรงิ ของ Q(x) และ P(x) ตา่ งกัน

สญั ลกั ษณ์ นเิ สธของประโยคเปิด P(x) เขยี นแทนดว้ ย P(x)

สิ่งทีค่ วรจำ : คนู่ ิเสธในคณติ ศาสตร์

ความสมั พันธ์ = > <  หารลงตัว
หารไมล่ งตวั
นิเสธของความสมั พันธ์ ≠ ≤ ≥  

ตัวอยา่ ง 1 จงหานเิ สธของประโยคเปิดต่อไปน้ี นิเสธประโยคเปดิ

ประโยคเปิด
1) x < x +1
2) x = |x|
3) x +y ≠ 5
4) x2 y2 ≥ 1
5) x หาร ด้วย y ลงตัว
6) xy เป็นจำนวนเตม็
7) x + y ไมเ่ ปน็ จำนวนเตม็
8) {x}  {x, y}
9) {x}  P({x, y})
10) x  {1, 2, 3, 4}

29

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปรมิ าณ

1. นิเสธของ x[P(x)] คือ x[P(x)]
แต่ x[P(x)] มีความหมายเหมือนกับ x[P(x)]
นน่ั คอื x[P(x)]  x[~P(x)]

2. นิเสธของ x[P(x)] คือ x[P(x)]
แต่ x[P(x)] มคี วามหมายเหมือนกบั x[P(x)]
นนั่ คือ x[P(x)]  x[~P(x)]

ข้อสงั เกต จากตารางนกั เรยี นจะพบวา่
การหานิเสธของประพจน์ทม่ี ีตวั บง่ ปรมิ าณ เพียงแตเ่ ปลีย่ น  เป็น  และ เปลี่ยน  เปน็ 

จากนนั้ ใส่  หนา้ ประโยคเปดิ เช่น

นิเสธของ x[P(x)] หาได้โดยเปลย่ี น x เปน็ x แลว้ ใส่  หนา้ ประโยคเปดิ P(x)

ตัวอยา่ ง 1 จหานเิ สธของประพจนต์ ่อไปน้ี

ประพจน์ นเิ สธประพจน์
(1) x[x + 4 ≤ 10]
(2) x[4x > 9]
(3) x[x +1 = 0]
(4) x[x หารด้วย 5 ลงตัว]
(5) xy[ x2 y2 > 5]
(6) xy[x < y + x]
(7) xy[ x2 2xy y2 x y ]
(8) xy[xy เป็นจำนวนคู่]
(9) x[x < 1 → x2 1]

30

(10) x[x ≤ 1  x2 ≥ 1]
(11) x[ x2 | x | 3 x3 x ]
(12) x[x + x = x2 → x = 2]
(13) x[ x2 0 ]  x[|x| ≥ 0]
(14) x[x  ] → x[x  ]
(15) x[x  ] → x[x + 1 ≤ x]
(16) x[x + 2 = 4]  x[ x – 2 ≠ 0]
ตวั อย่าง 2 จงหานเิ สธของข้อความต่อไปนี้

(1) จำนวนจรงิ ทกุ จำนวนเปน็ จำนวนตรรกยะ

(2) จำนวนนบั ทกุ จำนวนเปน็ จำนวนเต็ม

(3) จำนวนเตม็ ทกุ จำนวนไมเ่ ปน็ จำนวนอตรรกยะ

(4) มจี ำนวนจรงิ บางจำนวนเปน็ จำนวนตรรกยะ

(5) มจี ำนวนเต็มบางจำนนไม่เป็นจำนวนคู่

(6) จำนวนจริงทกุ จำนวน เป็นจำนวนตรรกยะ หรือเปน็ จำนนอตรรกยะ

(7) มจี ำนวนเตม็ บางจำนวนทเี่ ปน็ จำนวนคู่ และเปน็ จำนวนคี่

31

(8) สำหรบั x ทกุ ตัว ถ้า x เป็นจำนวนคี่แลว้ x เปน็ จำนวนเฉพาะ
(9) มีจำนวนจริงบางจำนวนทเี่ ปน็ จำนวนคี่ แตไ่ ม่เปน็ จำนวนเฉพาะ
(10) มนี ักเรยี นในห้องนี้อย่างนอ้ ยหน่งึ คน ทสี่ อบเข้ามหาวทิ ยาลัยได้

ตัวอย่าง 3 จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ท่มี ตี ัวบง่ ปริมาณในแต่ละข้อต่อไปนี้ สมมลู กนั หรือไม่
(1) x[P(x)] → x[Q(x)] กับ x[P(x)]  x[Q(x)]
(2) x[P(x) → (Q(x) → R(x)]] กบั x[(P(x)  Q(x)) → R(x)]
(3) x[x < 0 → x2 > 0] กบั x[x < 0  x2 ≤ 0]

(4) x[x    x + 2 = 5] กับ x[x +2 ≠ 5  x  ]

32

ใบความรูท้ ่ี 11 เรอ่ื งนเิ สธของประพจนท์ ี่มตี วั บ่งปริมาณ

นเิ สธของประโยคเปดิ

ประโยคเปดิ Q(x) จะเรยี กวา่ เป็นนิเสธของประโยคเปดิ P(x) ก็ต่อเมื่อ
ถา้ แทนคา่ x ดว้ ยสมาชิกทุกตวั ใน U แลว้ ทำให้ Q(x) เปน็ นิเสธของประพจน์ P(x)
น่นั คือ สำหรบั x ทุกตัวใน U ทำให้ค่าความจรงิ ของ Q(x) และ P(x) ตา่ งกัน

สญั ลกั ษณ์ นเิ สธของประโยคเปิด P(x) เขยี นแทนดว้ ย P(x)

สิ่งทีค่ วรจำ : คนู่ ิเสธในคณติ ศาสตร์

ความสมั พันธ์ = > <  หารลงตัว
หารไมล่ งตวั
นิเสธของความสมั พันธ์ ≠ ≤ ≥  

ตัวอยา่ ง 1 จงหานเิ สธของประโยคเปิดต่อไปน้ี นิเสธประโยคเปดิ

ประโยคเปิด
1) x < x +1
2) x = |x|
3) x +y ≠ 5
4) x2 y2 ≥ 1
5) x หาร ด้วย y ลงตัว
6) xy เป็นจำนวนเตม็
7) x + y ไมเ่ ปน็ จำนวนเตม็
8) {x}  {x, y}
9) {x}  P({x, y})
10) x  {1, 2, 3, 4}

33

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปรมิ าณ

1. นิเสธของ x[P(x)] คือ x[P(x)]
แต่ x[P(x)] มีความหมายเหมือนกับ x[P(x)]
นน่ั คอื x[P(x)]  x[~P(x)]

2. นิเสธของ x[P(x)] คือ x[P(x)]
แต่ x[P(x)] มคี วามหมายเหมือนกบั x[P(x)]
นนั่ คือ x[P(x)]  x[~P(x)]

ข้อสงั เกต จากตารางนกั เรยี นจะพบวา่
การหานิเสธของประพจน์ทม่ี ีตวั บง่ ปรมิ าณ เพียงแตเ่ ปลีย่ น  เป็น  และ เปลี่ยน  เปน็ 

จากนนั้ ใส่  หนา้ ประโยคเปดิ เช่น

นิเสธของ x[P(x)] หาได้โดยเปลย่ี น x เปน็ x แลว้ ใส่  หนา้ ประโยคเปดิ P(x)

ตัวอยา่ ง 1 จหานเิ สธของประพจนต์ ่อไปน้ี

ประพจน์ นเิ สธประพจน์
(1) x[x + 4 ≤ 10]
(2) x[4x > 9]
(3) x[x +1 = 0]
(4) x[x หารด้วย 5 ลงตัว]
(5) xy[ x2 y2 > 5]
(6) xy[x < y + x]
(7) xy[ x2 2xy y2 x y ]
(8) xy[xy เป็นจำนวนคู่]
(9) x[x < 1 → x2 1]

34

(10) x[x ≤ 1  x2 ≥ 1]
(11) x[ x2 | x | 3 x3 x ]
(12) x[x + x = x2 → x = 2]
(13) x[ x2 0 ]  x[|x| ≥ 0]
(14) x[x  ] → x[x  ]
(15) x[x  ] → x[x + 1 ≤ x]
(16) x[x + 2 = 4]  x[ x – 2 ≠ 0]
ตวั อย่าง 2 จงหานเิ สธของข้อความต่อไปนี้

(1) จำนวนจรงิ ทกุ จำนวนเปน็ จำนวนตรรกยะ

(2) จำนวนนบั ทกุ จำนวนเปน็ จำนวนเต็ม

(3) จำนวนเตม็ ทกุ จำนวนไมเ่ ปน็ จำนวนอตรรกยะ

(4) มจี ำนวนจรงิ บางจำนวนเปน็ จำนวนตรรกยะ

(5) มจี ำนวนเต็มบางจำนนไม่เป็นจำนวนคู่

(6) จำนวนจริงทกุ จำนวน เป็นจำนวนตรรกยะ หรือเปน็ จำนนอตรรกยะ

(7) มจี ำนวนเตม็ บางจำนวนทเี่ ปน็ จำนวนคู่ และเปน็ จำนวนคี่

35

(8) สำหรบั x ทกุ ตวั ถ้า x เป็นจำนวนคี่แลว้ x เปน็ จำนวนเฉพาะ
(9) มีจำนวนจริงบางจำนวนทเี่ ปน็ จำนวนคี่ แตไ่ ม่เปน็ จำนวนเฉพาะ
(11) มนี ักเรยี นในห้องนี้อย่างนอ้ ยหน่งึ คน ทสี่ อบเข้ามหาวทิ ยาลัยได้

ตัวอย่าง 3 จงตรวจสอบวา่ ประพจน์ท่มี ตี ัวบง่ ปริมาณในแต่ละข้อต่อไปนี้ สมมลู กนั หรือไม่
(1) x[P(x)] → x[Q(x)] กับ x[P(x)]  x[Q(x)]
(2) x[P(x) → (Q(x) → R(x)]] กบั x[(P(x)  Q(x)) → R(x)]
(3) x[x < 0 → x2 > 0] กบั x[x < 0  x2 ≤ 0]

(4) x[x    x + 2 = 5] กับ x[x +2 ≠ 5  x  ]

36

ใบงานที่ 1 เร่อื งประพจน์

1. จงพจิ ารณาข้อความต่อไปน้วี า่ เป็นประพจน์หรือไม่ ถา้ เป็นประพจน์ จงหาค่าความจริงของประพจนน์ ั้น

1) π = 22
7

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

2) วนั ที่ 30 กุมภาพนั ธ์ 2530 เปน็ วนั จันทร์

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

3) ห้ามเดินลัดสนาม

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

4) ดาวพุธเปน็ ดาวเคราะห์

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

5) 35% = 0.35

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

6) + 1 = 2

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

7) ดาวอังคารเปน็ ดาวเคราะห์

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

8) 5 + 1

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

9) ชว่ ยดว้ ย

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

10) √2 เปน็ จำนวนตรรกยะ

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. จงเขียนประโยคหรอื ข้อความทีเ่ ปน็ ประพจนม์ า 5 ประพจน์ พรอ้ มทั้งบอกค่าความจรงิ ของประพจน์นน้ั ๆ

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

37

ใบงานที่ 2 เรื่องการเช่ือมประพจน์

1. จงเขยี น “T” หน้าประพจนท์ เี่ ปน็ จรงิ และ “F” หน้าประพจน์ที่เป็นเทจ็

……T……..1) 1 + 1 T 2 และ 1 + 3 T

 5

…………..2) ถ้า 0 เปน็ จำนวนคแู่ ลว้ 0 เปน็ จำนวนอตรรกยะ

…………..3) = 22 หรอื √−12 เปน็ จำนวนจริง
7

…………..4)31,2,3  กต็ อ่ เม่ือ 3 1,2,3 

…………..5) 2 เปน็ จำนวนคู่ แต่ แ2+ล3ะเป็นจำนวนค่ี

2. จงเขยี นประพจน์ ในรปู สัญลักษณ์ พรอ้ มบอกค่าความจริงของรปู แบบประพจน์ต่อไปน้ี
1) 2+ 3 = 5 และ 4 – 1 = 2 ก็ตอ่ เม่ือ 5 x 2 = 7
…ใ…………p……แ…ท…น………2…+…3……=…5……(…T……)……………………………………………………………………………………
……………q……แ…ท…น………4…-…1…=……2……(…F……)……………………………………………………………………………………
……………V……แ…ท…น………5…×……2…=…7……(…F……)……………………………………………………………………………………

จไะ…………………(…p…n……………) …๔…………>………r………………………ง………น……………………………………………………

กอง…………………T……………F……………………………………………2……+…3…=……5……แ……ล…ะ……4……-…1…=…2…………………05✗2=7
¥…………………………………………………………F………………………………………เ……น……จ………ง…………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………T……………………………………………………………………………………………………
2) ถา้ an m an am แล้ว 22m 22 2m หรอื 32n 32 3n
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ิร็ป้ันัด้ด้ห

38

3. กำหนดให้ แทนประพจน์ “√2 ไมใ่ ชจ่ ำนวนตรรกยะ”
แทนประพจน์ “√2 เป็นจำนวนจรงิ ”

จงเปลย่ี นประโยคสญั ลักษณต์ ่อไปนี้ เปน็ ประโยคข้อความ
1) ~ →
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) ~ ↔
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) ∨ ~
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. จงหานิเสธ ของประพจนต์ ่อไปนี้ พร้อมทัง้ หาคา่ ความจริงของประพจนท์ ี่เปน็ นิเสธ

ประพจน์ ค่าความจริงของ นเิ สธของประพจน์ คา่ ความจรงิ ของประพจน์
ประพจน์ ท่เี ปน็ นิเสธ
1. 7+ 4 = 11 + 2
2. {−3} ≯ |2|
3. {1, 2, 1, 1} = {1, 2}
4. {3, 5} ∪ {1, 5} = {1, 3, 5}
5. {{1}} ⊄ {1}
6. เป็นจำนวนตรรกยะ
7. 3 เป็นจำนวนจรงิ
8. ลงิ ไมเ่ ป็นสตั ว์เลี้ยงลูกด้วยนม

39

ใบงานที่ 3 เรื่องการหาค่าความจริงของประพจน์

1. ให้ (~ ∧ ~ ) → ( ∨ ) มคี ่าความจริงเปน็ เทจ็ จงหาค่าความจริงของ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. กำหนดให้ ~(~ ↔ ) → ( ⋁~ ) มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ , และ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. กำหนดให้ , แทนประพจน์ท่ีมีค่าความจริงเปน็ จริง
, แทนประพจน์ทีม่ ีค่าความจรงิ เปน็ เท็จ จงหาค่าความจรงิ ของ ( ∨ ) ∨ ~( ∨ )

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

40

4. กำหนดให้ มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็ แลว้ จงหาค่าความจริงของ ( ∧ ) → [( ∨ ) ↔ ( → )]
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. กำหนดให้ ~( → ) มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ แล้วจงหาค่าความจริงของ ~[( ⋀~ ) ↔ ~ ] ⋁ (~ → )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. ให้ (~ ∨ ) ↔ ( → ) มคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ และ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

41

ใบงานท่ี 4 เรื่องสรา้ งตารางคา่ ความจริง

1. จงสร้างตารางคา่ ความจริงของประพจน์ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้
1) → ~
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) (~ ∧ ) ↔
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) ( → ) ↔ ( ∧ ~ )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

42

4) → ( ∨ )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. กำหนดให้

⨁ ∗






จงสร้างตารางคา่ ความจรงิ ของ [( ∗ ~ )⨁ ~ ] → (~ ⋀ )

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

43

ใบงานท่ี 5 เรอ่ื งรปู แบบของประพจน์ที่สมมูลกนั

1. จงตรวจสอบว่ารปู แบบประพจนต์ ่อไปนี้ สมมลู กนั หรือไม่
1) → กบั ~ ∨
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) ~(~ ∧ ) กับ →
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) ( ∨ ) → กบั ( → ) ∨ ( → )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

44

2. จงตรวจสอบว่าขอ้ ความ (ก) สมมลู กับข้อความ (ข) หรือไม่
1) (ก) ยินดเี ป็นนักว่ายนำ้ หรือนักตระกรอ้
(ข) ถา้ ยินดีเป็นนกั ตระกร้อแล้วยนิ ดีเป็นนักวา่ ยนำ้
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) (ก) ถา้ 52 เป็นจำนวนคีแ่ ลว้ 5 เปน็ จำนวนคี่
(ข) ถ้า 5 ไมเ่ ป็นจำนวนคีแ่ ลว้ 52 ไมเ่ ป็นจำนวนค่ี
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) (ก) ถา้ 8 × 4 = 0 แล้ว 8 = 0 หรอื 4 = 0
(ข) 8 × 4 ≠ 0 หรอื 8 = 0 หรอื 4 = 0
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

45

ใบงานท่ี 6.1 เร่ืองสัจนริ นั ดร์

จงสรา้ งตารางค่าความจรงิ เพื่อแสดงวา่ ประพจน์ในแตล่ ะข้อเปน็ สัจนิรนั ดร์
1) [ ∧ ( → )] →

2) [~ ∧ ( ∨ )] →

3) ~( ∧ ) → ~( ↔ )

46

4) [( → ) ∧ ( → )] → ( → )

47

ใบงานท่ี 6.2 เร่อื งสจั นิรนั ดร์

จงตรวจสอบประพจน์ในแต่ละข้อเป็นสัจนริ ันดรห์ รอื ไม่ โดยวธิ ีหาขอ้ ขดั แย้ง
1) [ ∧ ( → )] →
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) [~ ∧ ( ∨ )] →
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) ~( ∧ ) → ~( ↔ )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

48

4) [( → ) ∧ ( → )] → ( → )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………