แบบฝึกทักษะตรรกศาสตร์

49

ใบงานท่ี 7 เรอื่ งการอ้างเหตุผล

จงตรวจสอบวา่ การอา้ งเหตุผลต่อไปน้สี มเหตสุ มผลหรือไม่

1. เหตุ 1. p → q 2. เหตุ 1. p → q
2. q
2. p
ผล p
ผล q

3. เหตุ 1. p  (p  q) 4. เหตุ 1. p → (q → r)

2. p → q 2. p  s
ผล q ผล q

50

5. เหตุ 1. p → q 6. เหตุ 1. (p  q)
2. q → r 2. r → q
3. r 3. r  s

ผล p ผล s

7. เหตุ 1. p → r 8. เหตุ 1. p  q
2. p → q 2. r  q
3. r 3. r
ผล(p  s)
ผล q

51

9. เหตุ 1. p → (q  r) 10. เหตุ 1. p

2. p  q 2. (p  q) → (p  q)
ผล r ผล q

11. เหตุ 1. (p  q) → (r  s) 12. เหตุ 1. (p  q) → (p → r)
2. r → s 2. p  r

ผล p  q ผล p

52

13. เหตุ 1. p → q 14. เหตุ 1. q → r
2. (q  r) → p 2. q → (p → r)
3. q 3. r
ผลp  r
ผล q

15. เหตุ 1. (p  q) → r 16. เหตุ 1. (p → q)
2. p 2. q → r

ผล r ผล r  s

53

17. เหตุ 1. (p  q) → r 18. เหตุ 1. p  q
2. (r  q) → [p → (s  t)] 2. p → (r → q)
3. p  s 3. (r  s) → (q)
4. s
ผล s  t
ผล r

19. เหตุ 1. ถ้าฝนตกแล้วอากาศเย็น
2. ถา้ อากาศเย็นแลว้ ฉันจไม่สบาย
3. ฉนั สบายดี

ผล ฝนไมต่ ก

54

20. เหตุ 1. ถา้ ฉนั ไมไ่ ปดูหนังแลว้ ฉนั จะอยบู่ า้ น
2. ฉันไม่อยู่บ้านหรอื ฉนั ไปโรงเรียน
3. ฉันไม่ไปโรงเรียน

ผล ฉันไปดหู นัง

21. เหตุ 1. a เป็นจำนวนค่ี หรือ a + 1 เปน็ จำนวนค่ี
2. a + 1 ไม่เปน็ จำนวนคี่
3. ถ้า a เปน็ จำนวนคี่แลว้ 2 หาร a ไม่ลงตวั

ผล 2 หาร 7 ไม่ลงตวั

55

22. เหตุ 1. ถ้าฉนั ไมต่ ั้งใจเรียนแล้ว ฉันจะสอบไม่ได้
2. ถา้ ฉนั ต้ังใจเรยี นแล้ว ฉนั จะเรยี นเก่งหรือพอ่ มาดีใจ
3. ฉันสอบได้หรือฉันเกเร
4. ฉันไมเ่ กเร

ผล ถา้ ฉันเรียนไมเ่ กง่ แลว้ พ่อแมด่ ีใจ

23. เหตุ 1. ถา้ a เปน็ จำนวนนับแลว้ a เป็นจำนวนเตม็
2. ถ้า a เป็นจำนวนเตม็ แล้ว a เปน็ จำนวนตรรกยะ
3. ถ้า a เป็นจำนวนตรรกยะ แลว้ a เป็นจำนวนจริง
4. a เป็นจำนวนนบั หรือ a เปน็ จำนวนเฉพาะ
5. a ไม่เปน็ จำนวนจรงิ

ผล a เปน็ จำนวนเฉพาะ

56

24. เหตุ 1. ถา้ ราคาขา้ วเปลืกสงู ขึ้นแลว้ เศรษฐกิจประเทษดี
2. ถ้าราคาข้าวเปลอื กไมส่ งู ขึน้ แล้ว ชาวนาจะเดอื ดรอ้ น
3. ข้าวสารราคาแพง
4. ชาวนาไมเ่ ดือดร้อนหรอื ข้าวสารราคาไมแ่ พง

ผล เศรษฐกิจของประเทศดี

25. เหตุ 1. ถา้ a2 เปน็ จำนวนคู่ แล้ว a เปน็ จำนวนคู่
2. ถ้า a เปน็ จำนวนคู่แล้ว 2 หาร a ไมล่ งตัว
3. ไมเ่ ป็นความจริงท่ีวา่ a เปน็ จำนวนคู่ หรือ 2 หาร a ไมล่ งตวั

ผล a2 เป็นจำนวนคู่ หรือ 2 หาร a ไม่ลงตัว

57

ใบงานท่ี 8 เรือ่ งประโยคทม่ี ีตัวบง่ ปริมาณ

1. จงพจิ ารณาวา่ ประโยคตอ่ ไปนเ้ี ปน็ ประพจน์ หรือเป็นประโยคเปิด หรือไมเ่ ปน็ ทงั้ ประพจนแ์ ละประโยคเปิด

(1) x 1
x

(2) x1 x2 1
x x

(3) x เปน็ จำนวนนับและเป็นจำนวเฉพาะ

(4) 2 เปน็ จำนวนคู่ และเป็นจำนวนเฉพาะ

(5) ถ้า x เป็นจำนวนตรรกยะแลว้ x2 เป็นจำนวนตรรกยะ

(6) ถ้า 2 เป็นจำนวนตรรกยะ แลว้ ( 2)2 เป็นจำนวนตรรกยะ

(7) เขาเปน็ ทัง้ นักคณติ ศาสตร์และนกั วิทยาศาสตร์

(8) เธอชอบเรยี นคณิตศาสตรม์ าก

(9) x2 16 (x 4)(x 4)

(10) 4 เป็น ห.ร.ม. ของ 8 และ 12

58
2. กำหนดเอกภพสัมพัทธ์เปน็ เซตของจำนวนจริง จงเขียนประโยคสญั ลกั ษณแ์ ทนข้อความต่อไปนี้

(1) สำหรบั x ทุกตวั x2 x
(2) สำหรบั x บางจำนวน x2 x
(3) จำนวนจรงิ ทกุ จำนวนเปน็ จำนวนตรรกยะ
(4) จำนวนจริงแต่ละจำนวนเมอ่ื ยกกำลงั สองแล้วจะไม่เท่ากับจำนวนเดมิ
(5) มีจำนวนจรงิ บางจำนวนทย่ี กกำลงั สองแลว้ เท่ากับจำนวนเดมิ
(6) คา่ สัมบรู ณ์ของจำนวนจริงใดๆ จะมากกวา่ หรอื เทา่ กบั จำนวนนั้น
(7) สำหรบั x บางตัว |x| < x
(8) สำหรบั x ทุกตวั ถ้า x ไมเ่ ป็นจำนวนตรรกยะแล้ว x ไม่เปน็ จำนวนเตม็
(9) มจี ำนวน x บางจำนวนซึง่ x ไมเ่ ปน็ จำนวนตรรกยะแต่ x เปน็ จำนวนเตม็
(10) มจี ำนวนนบั บางจำนวนที่ x ไม่เป็นจำนวนจริง

59

3. จงเขยี นประโยคคำพูดจากประโยคสญั ลกั ษณ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
(1) x[|x| ≥ 0]

(2) x[x   |x| < 0]
(3) x[x  → x2  ]
(4) x[ x2  ]

(5) x[x   → x  ]

60

4. กำหนดเอกภพสัมพทั ธเ์ ป็นเซตของจำนวนจรงิ และกำหนดประโยคเปิดดงั นี้
R(x) แทน x เป็นจำนวนจรงิ
Q(x) แทน x เปน็ จำนวนตรรกยะ
Q(x) แทน x เปน็ จำนวนอตรรกยะ
I(x) แทน x เปน็ จำนวนเต็ม
N(x) แทน x เป็นจำนวนนับ
P(x) แทน x เปน็ จำนวนเฉพาะ

จงเขยี นประโยคที่กำหนดใหต้ ่อไปนี้ให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์
(1) สำหรับ x ทุกตวั ถา้ x เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว x เป็นจำนวจริง

(2) มี x บางจำนวนที่ x เป็นจำนวนตรรกยะ และ x ไมเ่ ป็นจำนวนเตม็

(3) จำนวนจรงิ ทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะหรอื เปน็ จำนวนอตรรกยะ

(4) มจี ำนวนนบั บางจำนวนท่ีเปน็ จำนวนเฉพาะ

(5) จำนวนเฉพาะทุกจำนวนเป็นจำนวนนับ

61

จงเขียนประโยคสญั ลักษณ์ในขอ้ ต่อไปน้ีให้เปน็ ข้อความ
(6) x[I(x)  P(x)]

(7) x[Q(x) → R(x)]

(8) x[Q(x)  Q(x)]

(9) x[I(x) → Q(x)]

(10) x[Q(x)  N(x)]

62

ใบงานที่ 9 เรื่องค่าความจรงิ ของประพจน์ที่มีตวั บ่งปริมาณ

1. จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ตอ่ ไปนี้
(1) x[x + 8 > 8] ; U = {0, 2, 4, 6}

(2) x[ x2 0 ] ; U = 

(3) x[x + 3 = 4] ; U = {2, 3, 4}
(4) x[ x2 2x 1 0 ] ; U = {–1, 0, 1}
(5) x[3x > 10] ; U = {4, 5, 6}

63

(6) x[ x2 1≠ 0] ; U = {–1, 0, 1}
(7) x[x < 0] ; U = {1, 2}
(8) x[ x2 3x 1 0] ; U = {–2, 1, 3, 7}
(9) x[ x2 2x 1 ≠ 0] ; U = {–2, 1, 3, 7}

(10) x[x เป็นจำนวนเฉพาะ] ; U = {1, 2, 3}

64

(11) x[x เปน็ จำนวนคู่] ; U = {–2, 0, 2}
(12) x[x เปน็ จำนวนเฉพาะ และ x เป็นจำนวนคู่] ; U = 
(13) x[x > 0]  x[x > 0] ; U = {1, 2, 3}
(14) x[x > 0]  x[x > 0] ; U = {–1, 0, 1}
(15) x[x ≠ 1] → x[x ≠ 1] ; U = {1, 2, 3}

65

(16) x[x +1 = 1+ x] → x[x +1 = 1 + x ] ; U = {1, 2, 3}
(17) x[x < 0  x2 1 0 ] ; U = {–1, 0, 1}
(18) x[ x2 0 x2 0 ] ; U = {–2, –1, 0, 1, 2}
(19) x[x x2 2x 0 ]  x[x + 1 = 0] ; U = {–2, –1, 0}

(20) x[x  ]  x[x เป็นจำนวนเฉพาะ] ; U = {1, 2, 3}

66

3. กำหนดให้ P(A) เป็นเอกภพสัมพัทธ์ เม่ือ A = {  , {}} จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ต่อไปนี้

(1) x[x  A  x  A] (2) x[x   =   x   = ]

(3) x[x ≠   x  A] (4) x[x  A =  → x  A ]

4. กำหนดให้ U = {–2, –1, 0, 1, 2} และ

P(x) แทนข้อความ “ x ≥ 0 ”

Q(x) แทนขอ้ ความ “ x หารดว้ ย 4 ลงตัว ”

R(x) แทนข้อความ “ x2 4 0 ”

จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ ่อไปนี้

(1) x[P(x)  R(x)] (2) x[R(x) → P(x)]

67

(3) x[Q(x)  P(0)] (4) x[Q(x)  R(x)]

(5) x[P(x)]  x[Q(x)] (6) x[R(x)]  x[P(x)]

68

ใบงานที่ 10 เรอื่ งการสมมูลของประพจน์ที่มีตวั บ่งปริมาณ

1. จงตรวจสอบว่าประพจน์ที่มีตวั บ่งปรมิ าณในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ สมมูลกนั หรือไม่
(1) x[((P(x) → Q(x)))] กับ x[P(x)  Q(x)]

(2) x[P(x) → Q(x)] กับ x[P(x)  Q(x)]

(3) x[P(x)  Q(x)] กบั x[P(x)  Q(x)]

(4) x[P(x)] → x[Q(x)] กบั x[P(x)]  x[Q(x)]

69

(5) x[P(x)]  x[Q(x)] กับ x[P(x)]  x[Q(x)]

(6) x[P(x) → (Q(x) → R(x)]] กับ x[(P(x)  Q(x)) → R(x)]

(7) x[x < 0 → x2 > 0] กับ x[ x2 < 0 → x > 0]

(8) x[(x < 0  x > 0) → x2 > 0] กับ x[(x<0  x2 >0)  (x>0 → x2 >0)]

70

(9) x[x   x + 2 = 5] กับ x[x +2 = 5  x  ]

(10) x[x ≥ 0  x2 ≥ 0] กบั x[ x2 ≥ 0 → x ≥]

2. ประโยค A และ B ท่กี ำหนดให้ สมมลู กนั หรอื ไม่
(1) A : มี x บางตัว ซง่ึ x < 0 แต่ x2 > 0
B : มี x บางตวั ซึ่งไม่เป็นความจรงิ ท่วี ่า ถ้า x < 0 แลว้ x2 ≤ 0

71
(2) A : สำหรับ x ทุกตวั ถ้า x เปน็ จำนวนเฉพาะแลว้ x เปน็ จำนวนเตม็ บวกคี่

B ; สำหรับ x ทุกตวั ถ้า x ไม่เป็นจำนวนเต็มบวกคี่แลว้ x ไมเ่ ปน็ จำนวนเฉพาะ

(3) A : สำหรบั x และ y ทกุ ตวั ถ้า x + y > 0 แล้ว xy > 0
B : สำหรบั x และ y ทกุ ตัว x + y ≤ 0 หรือ xy > 0

(4) A : มี x และ y บางตวั ซ่งึ x < y แต่ x2 y2
B ; มี x และ y บางตัว ซงึ่ ไม่เป็นความจรงิ ที่ว่า x ≥ y แต่ x2 y2

72

ใบงานที่ 11 เรอ่ื งนิเสธของประพจนท์ ี่มตี ัวบ่งปริมาณ
จงหานเิ สธของประพจนต์ ่อไปนี้

(1) x[2x x2 5 ]

(2) x[ x2 2x ]

(3) x[x – 5 = 3  x + 6 = 9]

(4) x[x = 2 → x2 4]

(5) x[ x2 4x 1 0 ]

(6) x[x – 5 ≠ x2 ]

73

(7) x[ x2 0  x +5 > 9]
(8) x[x – 4 > 2 → x2 6 ]
(9) x[P(x)]  x[Q(x)]
(10) x[P(x)]  x[Q(x)]
(11) ถ้ามนี ักเรียนบางคนคุยกนั เสยี งดงั แลว้ นักเรียนทุกคนจะรำคาญ

(12) กำลังสองของจำนวนจริงทกุ จำนวนมากกว่าหรือเท่ากบั ศูนย์ และจำนวนจริงบางจำนวน
เปน็ จำนวนตรรกยะ