Exercices corrigés 3ème année secondaire

Recueil d’exercices corrig´es
Niveau 3 `eme ann´ee Secondaire

H´edi Abderrahim
Hiver 2018

Table des mati`eres

I Analyse 5

1 Majorant - Minorant - Maximum - Minimum 6
1.1 E´nonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6
1.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 limites d’une fonction trigonom´etrique 9
2.1 E´nonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9
2.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Fonction major´ee, minor´ee, continue 11

3.1 E´nonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 G´en´eralit´es sur les fonctions 14

5 Deux exercices pr´eparatifs D.C 1 16

5.1 E´nonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.1.1 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.1.2 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 La d´erivabilit´e `a partir d’une lecture graphique 18

6.1 E´nonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7 Les courbes de B´ezier : un outil au service des enseignants du

secondaire 19

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7.1.1 N.B : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7.1.2 La probl´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7.1.3 La question et un outil-solution . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7.2 Courbes de B´ezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7.2.1 Aspect pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7.2.2 Exemple d’illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2

TABLE DES MATIE`RES

7.2.3 Types de courbes de B´ezier utilis´ees . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.2.4 Quelques propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.3 Le hardware et le software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.3.1 courbe de B´ezier d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.3.2 courbe de B´ezier d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.3.3 Barre d’outils personnalis´ee pour GeoGebra . . . . . . . . . . 31
7.4 Reprise des exemples 1 et 2 de la sous-section ”La probl´ematique”
avec les nouveaux outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.4.1 L’exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.4.2 L’exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.4.3 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

II G´eom´etrie plane 38

8 Les rotations 39

8.1 E´nonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8.1.1 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8.1.2 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8.2 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8.2.1 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8.2.2 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

III Suites r´eelles 49

9 Pour une maˆıtrise de l’utilisation du signe somme : Σ 50

9.1 E´nonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.1.1 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.1.2 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.1.3 Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.2.1 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.2.2 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.2.3 Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

IV Arithm´etique 53

10 Cl´es des num´eros ISBN 54

10.1 E´nonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

H. Abderrahim page 3 Tome 2

TABLE DES MATIE`RES
10.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

H. Abderrahim page 4 Tome 2

Premi`ere partie
Analyse

5

Chapitre 1

Majorant - Minorant - Maximum -

Minimum

1.1 E´nonc´es

x2 + 4x + 3
Soit f la fonction d´efinie par f (x) =

2x2 + 8x + 9
1. D´eterminer le domaine de d´efinition D de f .

2. (a) Montrer que pour tout x ∈ D, f (x) ≥ −1
(b) Montrer alors que -1 est un minimum de f .

3. (a) Montrer que pour tout x ∈ D, f (x) < 1
2

1
(b) Montrer alors si est un maximum de f ?

2

1.2 Solution

1. f est d´efinie pour tout r´eel x tel que : 2x2 + 8x + 9 = 0
2x2 + 8x + 9 = 0 (1)

∆ = 82 − 4 × 2 × 9 = −8 < 0
=⇒ (1) n’a pas de solution dans IR

=⇒ D = IR

2. (a) Pour tout x ∈ D, on a :

f (x) − (−1) = x2 + 4x + 3 + 2x2 + 8x + 9 3x2 + 12x + 12
= 2x2 + 8x + 9
2x2 + 8x + 9

6

CHAPITRE 1. MAJORANT - MINORANT - MAXIMUM -
MINIMUM

x −∞ −2 +∞

3x2 + 12x + 12 +0+

2x2 + 8x + 9 +

3x2 + 12x + 12 +0+
2x2 + 8x + 9

D’apr`es ce tableau de signes, pour tout x ∈ D, on a :
f (x) − (−1) ≥ 0 ⇐⇒ f (x) ≥ (−1)

(b) Cherchons s’il existe x ∈ D tel que f (x) = −1

⇐⇒ f (x) + 1 = 0

⇐⇒ 3x2 + 12x + 12
=0
2x2 + 8x + 9

⇐⇒ x = −2

Conclusion : Pour tout x ∈ D, on a :
• f (x) ≥ (−1) donc −1 est un minorant de f
• il existe x ∈ D tel que f (x) = −1 (x = −2)

alors −1 est un minimum pour f atteint pour x = −2

3. (a) Pour tout x ∈ D, on a :

f (x) − 1 = 2x2 + 8x + 6 − 2x2 − 8x − 9 = −3
2 2 (2x2 + 8x + 9) + 8x
2 (2x2 + 9)

x −∞ +∞

2x2 + 8x + 9 +

1 +
2x2 + 8x + 9 −

−3
2 (2x2 + 8x + 9)

D’apr`es ce tableau de signes, pour tout x ∈ D, on a :
f (x) − 1 < 0 1
⇐⇒ f (x) <
22

H. Abderrahim page 7 Tome 2

CHAPITRE 1. MAJORANT - MINORANT - MAXIMUM -
MINIMUM

(b) Cherchons s’il existe x ∈ D tel que f (x) = 1
2

⇐⇒ f (x) − 1 = 0
2

⇐⇒ −3
=0
2 (2x2 + 8x + 9)

⇐⇒ −3 = 0 : c’est impossible

Conclusion : Pour tout x ∈ D, on a :

• f (x) < 1 donc 1 est un majorant de f
22

• 1 n’a pas d’ant´ec´edent par f
2
1

alors n’est pas un maximum pour f .
2

H. Abderrahim page 8 Tome 2

Chapitre 2

limites d’une fonction

trigonom´etrique

2.1 E´nonc´es

Calculer chacune des limites suivantes :

tan(x). tan(x) − sin(x). sin(x)
1. lim √
x→0+ x3. x

2. lim cos(x) + cos(2x) + cos(3x) − 3

x→0+ x2

2.2 Solution

1.

tan(x). tan(x) √− sin(x). sin(x)
lim
x→0+ x3 x

= lim 3 −√ 3

tan(x) sin(x)

x→0+ x3 x

 3 1− 3
cos(x)
tan(x)

= lim  √ 
x→0+ x3 x

= lim 3 1− 3
x→0+
tan(x) cos(x)
= lim √x3
x→0+ x2

3 1− 3

tan(x) cos(x)

x x2

 3 1− 
tan(x) cos(x) + cos(x)
cos(x) 1+

= lim  x x2 
x→0+

9

CHAPITRE 2. LIMITES D’UNE FONCTION
TRIGONOME´ TRIQUE

= lim 3 1 + cos(x) + cos(x)
x→0+ 1 + cos(x)
tan(x) 1 − cos(x)
x x2

= ”1 × 1 × 3 = 3
”
22 4

2. cos(x) + cos(2x) + cos(3x) − 3

lim x2
x→0+

= lim cos(x) − 1 cos(2x) − 1 cos(3x) − 1
++
x→0+ x2 x2 x2

= lim − 1 − cos(x) 1 − cos(2x) 1 − cos(3x)
x→0+ +4 +9
x2 (2x)2 (3x)2

= −( 1 + 4 × 1 + 9 × 1 = −7
)
222

H. Abderrahim page 10 Tome 2

Chapitre 3

Fonction major´ee, minor´ee,

continue

3.1 E´nonc´es

√
x2 + 4 − 2

Soit la fonction f : x →
x

1. Montrer que f est impaire

2. E´tudier le signe de f (x) sur son domaine de d´efinition

3. Montrer que f est major´ee par 1 sur ]0, +∞[

4. Montrer que f est minor´ee par −1 sur R∗

5. E´ tudier la continuit´e de de f en √
3

3.2 Solution

1. x2 + 4 ≥ 0 (toujours v´erifi´ee)
f est d´efinie si : x=0

alors Df = R∗

• on a Df = R∗ =⇒ si x ∈ Df , −x ∈ Df (a)

(x ∈ Df ⇐⇒ x = 0 ⇐⇒ −x = 0 ⇐⇒ −x ∈ Df )

(−x)2 + 4 − 2 √√ x2 + 4 − 2 = −f (x)
−x = x2 + 4 − 2 x
• f (−x) = −x = − (b)

D’apr`es (a) et (b), f est impaire.

11

CHAPITRE 3. FONCTION MAJORE´E, MINORE´E,

C√ONTINUE √x2 + 4 − 4
x2 + 4 − 2 x
2. On a pour tout x ∈ Df , f (x) = = =√
√ x x( x2 + 4 + 2) x2 + 4 + 2

et x2 + 4 + 2 > 0 alors

f (x) = √ x 


√ x2 + 4 + 2 =⇒ f (x) prend le signe de x, par suite :
x2 + 4 + 2 > 0


x −∞ 0 +∞
f (x) − || +

3. Pour tout x ∈ ]0, +∞[ , on a :

x2 < x2 + 4

√√
x2 < x2 + 4

√√
x2 < x2 + 4 + 2
√

0 < x < x2 + 4 + 2

√x ≤1
x2 + 4 + 2

f (x) < 1

alors f est major´ee par 1 sur ]0, +∞[

4. • Pour tout x ∈ ]0, +∞[ , on a :

√ x > 0 =⇒ 0 < f (x) =⇒ −1 < 0 < f (x) =⇒ −1 < f (x)
x2 + 4 + 2 > 0

donc f est minor´ee par −1 sur ]0, +∞[ (1)
• Pour tout x ∈ ]0, +∞[ , on a :

f (x) < 1 (d’apr`es 3.)

−f (x) > −1

f (−x) > −1 (f est impaire)

De plus, si x ∈ ]0, +∞[ , −x ∈ ]−∞, 0[
donc f est minor´ee par −1 sur ]−∞, 0[ (2)
D’apr`es (1) et (2), f est minor´ee par −1 sur R∗

H. Abderrahim page 12 Tome 2

CHAPITRE 3. FONCTION MAJORE´E, MINORE´E,

CONTINUE

5. • u : x → x2 + 4 est continue et positive sur R et en particulier sur ]0, +∞[
√
alors u est continue sur ]0, +∞[

• c : x → −2 est continue sur R√et en particulier sur ]0, +∞[
alors la fonction v = u + c → x2 + 4 − 2 est continue sur ]0, +∞[

• id : x → x est continue et non nulle sur R∗ et en particulier sur ]0, +∞[

√
v : x → x2 + 4 − 2 est continue sur ]0, +∞[ 




id : x → x est continue et non nulle sur ]0, +∞[ =⇒ f est continue sur ]0, +∞[
v
f= 

id 

√√
et puisque 3 ∈ ]0, +∞[ , f sera continue en 3

H. Abderrahim page 13 Tome 2

Chapitre 4

G´en´eralit´es sur les fonctions

Exercice 1

D´eterminer le domaine de d´efinition de chacune des fonctions suivantes :

2x − 4
1. f (x) = x2 − 5x + 6

3x + 1
2. g(x) =

E(x + 2)

3. h(x) = x2 − |5x + 6|
4. x2 − 2x

 2x si x ≤ 2


k(x) = E(2x)

 x3 − 8 si x > 2

Exercice 2

Soit f la fonction d´efinie par f (x) = x(1 − x)

1
1. Montrer que f est major´ee par

4
1

2. En d´eduire que f admet un maximum en x =
2

3. (a) Montrer que f (x) = 1 − (x − 1 )2 puis ´etudier les variations de f sur
42

R
(b) D´eduire les variations de la fonction g d´efinie sur R par g(x) =

− 3 − (x − 1 )2
42
1

4. Soit h la fonction d´efinie sur [0, 1] par h(x) =
−x2 + x − 1

14

CHAPITRE 4. GE´NE´RALITE´S SUR LES FONCTIONS

(a) D´eduire de vos connaissances sur g, les variations de la fonction h sur
[0, 1]

(b) d´efinie que h est born´ee sur [0, 1]

H. Abderrahim page 15 Tome 2

Chapitre 5

Deux exercices pr´eparatifs D.C 1

5.1 E´nonc´es

5.1.1 Exercice 1

2π
Soit ABC un triangle tel que AB = a, AC = 2a et BAC = . On d´esigne par

3
H le projet´e orthogonal de C sur (AB), G le centre de gravit´e du triangle ABC et
I le milieu de [AB].

(A) 1. Faire une figure
−−→ −→

2. Montrer que pour tout point N de la m´ediatrice de [AB], on a : AN .AC =
2a2
−−→ −→

3. D´eterminer l’ensemble de points M tels que AN .AC = 0

√
(B) 1. Montrer que BC = a 7

2. i. Calculer AH

ii. En d´eduire que H est le barycentre des points pond´er´es (A, 2) et

(B, −1)
√

3. D´eterminer et construire l’ensemble E = M ∈ P, M B = 2M A .

(C) 1. i. Montrer que AB2 + AC 2 = 2AG2 + GB2 + GC 2 + −→ −−→ + −→
2AG(GB GC )

ii. En d´eduire que AB2 + AC2 + BC2 = 3(AG2 + BG2 + CG2)

2. Pour tout point M du plan, on pose f (M ) = M A2 + M B2 + M C2

i. Montrer que pour tout point M du plan, on a f (M ) = 3M G2 + 4a2

ii. Discuter suivant les valeurs du r´eel m, la nature de l’ensemble :

Cm = {M ∈ P, f (M ) = ma2}
√
iii. Montrer que BI = a 3

iv. Pour quelles valeurs de m, Cm passe-t-il par le point B ?

v. D´eterminer et construire l’ensemble C8

16

CHAPITRE 5. DEUX EXERCICES PRE´PARATIFS D.C 1

5.1.2 Exercice 2

Ci-dessous, la courbe repr´esentative d’une fonction f d´efinie sur [−3, +∞[

1. D´eterminer graphiquement

(a) Le domaine de continuit´e de f

(b) L’image par f de chacun des intervalles [−3, 3[ ; [−3, 3] ; [3, +∞[ et
]3, +∞[

(c) un maximum de f , s’il existe, et la valeur de(s) x pour laquelle (lesquelles)
est-il atteint.

2. R´esoudre graphiquement

(a) f (E(x)) = 5 page 17 Tome 2
(b) E(f (x)) ≤ 4
H. Abderrahim

CHAPITRE 5. DEUX EXERCICES PRE´PARATIFS D.C 1

5.2 Solution

5.2.1 Exercice 1

(A) 1.

2.

N ∈ m´ediatrice de [AC ] 




I = A ∗ Cy =⇒ I est le proj. orth. de N sur (AC)

AC = 2a 


−−→ −→
alors pour tout point N de la m´ediatrice de [AC], on a : AN .AC =

AI × AC = a × 2a = 2a2

3. −−→ −→ signifie −−→ ⊥ −→
AM .AB = 0 AM AB

Par suite l’ensemble de points M est la droite perpendiculaire `a (AB) en

A

(B) 1.

BC2 = AB2 + AC2 − 2AB.AC. cos(BAC)

= a2 + 4a2 − 2.a.2a. cos( 2π )
3

= 5a2 − 4a2.(− 1 )
2

= 7a2

√
alors BC = a 7
2. i. On a A ∈ [BH] =⇒ CAH = π − BAC = π et le triangle ACH

3
est rectangle en H alors

π1
AH = AC. cos(CAH) = AC. cos( ) = 2a. = a

32

ii. On a A ∈ [BH] et AH = AB = a alors A est le milieu de [BH]
−−→ −−→ −−→ −−→ →−
signifie HB = 2.HA ⇐⇒ 2.H A − HB = 0

et par suite H est le barycentre des points pond´er´es (A, 2) et (B, −1)

H. Abderrahim page 18 Tome 2

CHAPITRE 5. DEUX EXERCICES PRE´PARATIFS D.C 1

3.

√ ⇐⇒ M B2−2M A2 = 0 ⇐⇒ (M−−→B−√2.−M−→A)(−M−→B+√2.−M−→A) = 0
M B = 2.M A

√ −−→ √ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
⇐⇒ (1 − 2)M I.(1 + 2)M J = 0 ⇐⇒ M I.M J = 0 ⇐⇒ M I ⊥ M J

Conclusion : l’ensemble E des points M est le √cercle de diam`etre [IJ]
ou` I est le barycentre des points po√nd´er´es (A, − 2) et (B, 1) et J est le
barycentre des points pond´er´es (A, 2) et (B, 1)

(C) 1. i.

AB2 + AC 2 = −→ + −G−→B)2 + −→ + −G→C )2
(AG (AG

= 2AG2 + GB2 + GC 2 + −→ −−→ + −→ −→
2AG.GB 2AG.GC

= 2AG2 + GB2 + GC 2 + −→ −−→ + −→
2AG(GB GC )

ii. D’apr`es i., on d´eduit que :

AB2 + AC2 = 2AG2 + GB2 + GC 2 −→ −−→ −→ 
+ 2AG(GB + GC )
−−→ −→ −→ 
+ 2BG(GA + GC ) 

BA2 + BC2 = 2BG2 + GA2 + GC 2 −→ −→ −−→ =⇒
+ 2CG(GA + GB)
CA2 + CB2 = 2C G2 + GA2 + GB2 


2(AB2+AC2+BC2) = 4(GA2+GB2+GC2)+2A−→G.(−−G→A)+2B−−→G.(−G−−→B)+2−C→G.(−G−→C

2(AB2 + AC2 + BC2) = 6(GA2 + GB2 + GC2)

AB2 + AC2 + BC2 = 3(AG2 + BG2 + CG2)

2. i.

f (M ) = M A2 + M B2 + M C2

= −−→ + G−→A)2 + −−→ + −G−→B)2 + −−→ + G−→C )2
(M G (M G (M G

= 3M G2 + (GA2 + GB2 + GC 2 ) + −−→ −→ + −−→ + −→
2M G(GA GB GC )

= 3M G2 + 1 (AB2 + AC2 + BC2) (d’apr`es C) 1. ii.)
3

= 3M G2 + 1 (a2 + 4a2 + 7a2)
3

= 3M G2 + 4a2

ii.

M ∈ Cm ⇐⇒ f (M ) = ma2
⇐⇒ 3M G2 + 4a2 = ma2

⇐⇒ 3M G2 = ma2 − 4a2

⇐⇒ M G = a 3(m − 4)
=r
3

H. Abderrahim page 19 Tome 2

CHAPITRE 5. DEUX EXERCICES PRE´PARATIFS D.C 1

m −∞ 4 +∞
Cm {G}
l’ensnsemble vide le cercle (C)(G,r)

iii. D’apr`es le th´eor`eme de la m´ediane appliqu´ee au triangle ABC :

2BI2 = BA2 + BC2 − AC2
2

= a2 + 7a2 − 2a2

= 6a2

BI2 = 3a2
√

BI = a 3

√
2 2 √ 2a 3
iv. On a : BG = BI = .a 3 = donc Cm passera par le
33 3
point B, sssi
√
a 3(m − 4) 2a 3
BG = =
33

√
a 3(m − 4) 2a 3

=
33

3(m − 4) = 12

m=8

v. On a m = 8 ∈ ]4 , +∞[ =⇒ C8 est le cercle de centre G et qui
passe par B (d’apr`es ii et iv).

H. Abderrahim page 20 Tome 2

CHAPITRE 5. DEUX EXERCICES PRE´PARATIFS D.C 1

5.2.2 Exercice 2

1. D’apr`es le graphique, on a :

(a) f est continue sur [−3, 1[ ; [1, 3[ et ]3, +∞[
(b) f ([−3, 3[) = [0, 4[ ; f ([−3, 3]) = [0, 4[ ∪ {5}

f ([3, +∞[) =] − ∞, 3[ ∪ {5} ; f (]3, +∞[) =] − ∞, 3[
(c) f poss`ede un maximum de valeur 6 atteint pour x = 2

2. R´esolution graphique

(a) f (E(x)) = 5 ⇐⇒ E(x) = 1 alors S = [1, 2[
(b)

E(f (x)) ≤ 4
⇐⇒ E(f (x)) ∈ {n ∈ Z, n ≤ 4}

⇐⇒ f (x) < 5
alors S = [−3, 1[ ∪ [3, +∞[

H. Abderrahim page 21 Tome 2

Chapitre 6

La d´erivabilit´e `a partir d’une

lecture graphique

6.1 E´nonc´es

On a repr´esent´e ci-dessous une fonction f d´efinie sur IR∗. Utiliser ce graphique
pour r´epondre aux questions suivantes :

1. D´eterminer :

(a) f (−1), f (4) et fg(2)

(b) lim f (4 − x) − 1 et lim f (−1 + h) − f (2 − h)

x→2− x − 2 h→0+ h

2. (a) E´crire une ´equation cart´esienne de la tangente T a` la courbe de f au
point E d’abscisse (−1).

(b) D´eterminer une valeur approch´ee de f (−0, 9999).

22

Chapitre 7

Les courbes de B´ezier : un outil au
service des enseignants du
secondaire

7.1 Introduction

7.1.1 N.B :

Dans toute la suite de ce document, le mot ”graphique” d´esignera la courbe
repr´esentative d’une fonction dans un plan muni d’un rep`ere orthonorm´e.

7.1.2 La probl´ematique

Pour illustrer une certaine notion d’analyse du programme de la 3`eme ou de la
4`eme, il arrive souvent a` l’enseignant d’avoir recours a` un graphique.
Encore plus, dans le fascicule des programmes officiels tunisiens des 3`eme et des 4`eme
et plus pr´ecis´ement dans les paragraphes `a d´evelopper, on lit :

• aux pages : 9, 17, 24, 46, 54, 60/79 : Reconnaˆıtre si une fonction est continue
en un point ou sur un intervalle `a partir de son expression alg´ebrique ou d’un
graphique

• aux pages : 10, 18, 25, 46, 54, 60 /79 : D´eterminer le sens de variation d’une
fonction `a partir de sa repr´esentation graphique

Le probl`eme ne serait pas pos´e si le professeur avait a` pr´esenter son exemple au
tableau : il pourrait, `a main lev´ee, tracer facilement la courbe qui lui convient tout
en tenant compte des contraintes qui lui sont impos´ees. Mais d`es qu’il a a` pr´esenter
un graphique lisible et bien soign´e sur papier, a` titre d’exemple : qui lui permettra
d’´evaluer les comp´etences de ses ´el`eves `a traduire certaines caract´eristiques d’une
courbe en termes de propri´et´es de la fonction qu’elle repr´esente, sa tˆache sera d´elicate

23

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

et ”laborieuse” !
Pour ce faire, les logiciels grapheurs nous garantissent un travail de qualit´e de
point de vue soin, mais ces outils ne fonctionnent pas de leurs bons gr`es, il faut
que l’op´erateur leur fournisse les expressions alg´ebriques des fonctions qu’il veut
repr´esenter : trouver la fonction ad´equate n’est pas toujours une affaire ais´ee.
Ci-dessous, je vous propose deux exemples de graphiques que j’ai pris de deux de-
voirs publi´es par leurs r´edacteurs sur internet et je vous laisse le soin d’imaginer les
efforts et le temps qu’a n´ecessit´es l’´elaboration de chacun d’eux :

Exemple 1 Exemple 2

7.1.3 La question et un outil-solution

Peut-on trouver un outil qui nous permettra de confectionner des graphiques
aussi soign´es mais sans qu’on soit oblig´e de rechercher des expressions alg´ebriques des
fonctions qui tiennent compte des caract´eristiques qu’on veut assigner a` la courbe ?
Dans la suite de ce document, on va voir comment est-ce que les courbes de B´ezier
peuvent faire l’affaire : regrouper le soin des grapheurs et l’aisance du travail `a main
lev´ee .

7.2 Courbes de B´ezier

7.2.1 Aspect pratique

L’id´ee directrice est de tracer une courbe en d´epla¸cant le barycentre d’un certain
nombre de points affect´es de coefficients d´ependants d’une variable, appel´es points
de controˆle. On peut d´eformer la courbe jusqu’a` l’obtention du trac´e d´esir´e : c¸a
nous permet, entre autres, de

• tracer des courbes en contrˆolant les points de passage et leurs tangentes

H. Abderrahim page 24 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

• d’avoir de formes ´el´ementaires vari´ees (courbe convexe, courbe concave, courbe
admettant une inflexion ...)

Cet outil a ´et´e mis au point, vers 1962 par Pierre B´ezier, ing´enieur chez Renault, pour
obtenir le trac´e de courbes planes (ou de l’espace) soumises `a certaines conditions. 1

7.2.2 Exemple d’illustration

On se donne :

• une variable r´eelle t ∈ [0, 1]

• quatre points : C0, C1, C2 et C3 qui nous serviront de points de contrˆole des
courbes `a tracer

• les points :

– A0 barycentre du syst`eme {(C0, 1 − t) ; (C1, t)}
– A1 barycentre du syst`eme {(C1, 1 − t) ; (C2, t)}
– A2 barycentre du syst`eme {(C2, 1 − t) ; (C3, t)}
– B0 barycentre du syst`eme {(A0, 1 − t) ; (A1, t)}
– B1 barycentre du syst`eme {(A1, 1 − t) ; (A2, t)}
– M barycentre du syst`eme {(B0, 1 − t) ; (B1, t)}

Remarque : Pour chaque syst`eme, la somme des coefficients est tou-
jours :

(1 − t) + t = 1

ainsi :

M = (1 − t)B0 + tB1

= (1 − t) [(1 − t)A0 + tA1] + t [(1 − t)A1 + tA2]

= (1 − t)2A0 + 2t(1 − t)A1 + t2A2

= (1 − t)2 [(1 − t)C0 + tC1] + 2t(1 − t) [(1 − t)C1 + tC2] + t2 [(1 − t)C2 + tC3]

= (1 − t)3C0 + 3t(1 − t)2C1 + 3t2(1 − t)C2 + t3C3

3 k (1 − t)3−ktkCk
3
=

k=0

1. page 42, Term S Sp´ecialit´e, NATHAN, Aouˆt 1994

H. Abderrahim page 25 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

Animation : sous formats .ggb et .html

http://mongeogebra.com/ggbg/2019/01/02/courbe-de-bezier-ensemble-de-barycentres/

H. Abderrahim page 26 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

Animation : sous format .mp4 (vid´eo)

https://www.youtube.com/watch?v=H8CYTMzlLaU&t=44s

7.2.3 Types de courbes de B´ezier utilis´ees

Dans ce document, on se limitera aux courbes planes de B´ezier trac´ees dans un
plan muni d’un rep`ere orthonorm´e et en particulier, celles :

• d’ordre 2 : elles n´ecessitent trois points de contrˆole (C0, C1, C2). Une telle
courbe est la courbe param´etr´ee ensemble de points :

M (t) = (1 − t)2.C0 + 2(1 − t).t.C1 + t2.C2 t ∈ [0, 1]

• celles d’ordre 3 : elles n´ecessitent quatre points de contrˆole (C0, C1, C2, C3).
Une telle courbe est la courbe param´etr´ee ensemble de points :

M (t) = (1 − t)3.C0 + 3(1 − t)2.t.C1 + 3(1 − t).t2.C2 + t3.C3 t ∈ [0, 1]

courbe de B´ezier d’ordre 2 courbe de B´ezier d’ordre 3
Points de controˆle (A, B, C)) Points de controˆle (A, C, B, D))

7.2.4 Quelques propri´et´es

• Une courbe de B´ezier d’ordre n ≥ 1 n´ecessite n+1 points de contrˆole (C0, C1, ..., Cn).

• Si (C0, C1, ..., Cn) , sont les points de controˆle d’une courbe de B´ezier alors,
en g´en´eral, elle passe par C0 et Cn et ne passe pas par ses autres points de
controˆle.

• La droite (C0C1) est tangente `a la courbe en (C0) et La droite (Cn−1Cn) est
tangente a` la courbe en (Cn)

• Si on change l’ordre dans lequel sont s´electionn´es les points de controˆle on
obtiendra une courbe diff´erente.

H. Abderrahim page 27 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

7.3 Le hardware et le software

Dans cette section, on va voir comment peut-on traiter les courbes de B´ezier
avec le logiciel GeoGebra qui nous servira de grapheur pour r´eg´en´erer les courbes
des exemples 1 et 2 du sous-section 1.2 La probl´ematique (ci-dessus).

7.3.1 courbe de B´ezier d’ordre 2

Tra¸cage : M´ethode 1
Cette m´ethode consiste `a :

• fixer 3 points non align´es A, B et C dans la zone du travail

• cr´eer un curseur t qui varie de 0 a` 1

• dans la zone de saisie, ´ecrire : M = (1 − t)2A + 2t(1 − t)B + t2C

Un point M apparaˆıtra dans la zone de travail. Pour avoir le trac´e continu du lieu
de point M , on cliquera dessus puis sur le curseur t apr`es avoir activ´e l’outil ”Lieu”.
Ci-dessous un exemple du r´esultat obtenu :

Commentaire : l’inconv´enient majeur de cette m´ethode est que le graphique obtenu
comme ´etant un lieu n’est pas exploitable en vue d’autres illustrations. Pour cela,
on pr´ef`ere `a cette m´ethode 1 la m´ethode 2 que nous pr´esentons ci-dessous.

Tra¸cage : M´ethode 2

Id´ee de la m´ethode : cette 2`eme m´ethode est le r´esultat de l’application de la
commande
Courbe(<Expression e1 >, <Expression e2 >, <Variable t >, <de a>, <`a
b>)

H. Abderrahim page 28 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

qui permet de repr´esenter une courbe plane param´etr´ee.
Une telle courbe est consid´er´ee comme ´etant un ensemble de points dont l’abscisse
et l’ordonn´ee sont deux fonctions du param`etre t.

• l’expression e1 est celle de l’abscisse (x(t)) en fonction de la variable t, (dans
notre cas)

• l’expression e2 est celle de l’ordonn´ee (y(t)) en fonction de la variable t, (dans
notre cas)

• <Variable t> : `a remplacer par t dans notre cas

• <de a> : a est la valeur minimale permise a` la variable (c’est 0 dans notre
cas)

• <a` b> : b est la valeur maximale permise `a la variable (c’est 1 dans notre cas)

E´tapes `a suivre

• fixer 3 points non align´es A, B et C dans la zone du travail

• ´ecrire dans la zone de saisie :

Courbe((1 − t)2x(A) + 2t(1 − t)x(B) + t2x(C) ,
(1 − t)2y(A) + 2t(1 − t)y(B) + t2y(C) , t , 0 , 1)

Une macro construction sous formats .ggt et .html cl´es en main

http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/05/macro-courbe-de-bezier-dordre-2/

Travail `a faire Icoˆne

• activer l’icˆone qui se trouve `a l’extr´emit´e
droite de la barre d’outils (Image ci-contre)

• faire 3 clics dans la zone du travail (pour
r´eg´en´erer les 3 points de contrˆole)

Ci-dessous une image du graphique obtenu `a partir du fichier .html :

H. Abderrahim page 29 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

Tangente `a une courbe de B´ezier d’ordre 2 en l’un de ces points

1er cas : le point de tangence est l’une des extr´emit´es

• Si le point concern´e est le 1er de la liste de points de controˆle alors il suffit de
tracer la droite qui passe par ce point et celui qui lui succ`ede dans la liste (le
2`eme dans ce cas).

• Si le point concern´e est le dernier de la liste de points de controˆle alors il suffit
de tracer la droite qui passe par ce point et celui qui le pr´ec`ede dans la liste
(c’est encore le 2`eme dans ce cas).

Autres proc´ed´es : pour tracer la tangente en l’une des extr´emit´es, il est aussi
possible

• d’activer l’outil Tangentes puis s´electionner l’extr´emit´e concern´ee puis le 2`eme
de la liste de points de contrˆole (Exemple : dans la figure ci-dessous, la droite
TA est la tangente a` la courbe a en A)

• tracer un vecteur directeur de la tangente (Exemple : dans la figure ci-dessous,
−−→
le vecteur →−u = CB est un vecteur directeur de la tangente `a la courbe a en C.

On se contentera de ce vecteur surtout que la fonction n’est pas d´efinie donc

on ne peut pas parler de sa d´erivabilit´e `a droite en x(C))

H. Abderrahim page 30 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

2`eme cas : le point de tangence n’est pas l’une des extr´emit´es
Le lien suivant vous m`enera a` une vid´eo qui illustre les ´etapes a` suivre pour construire
une tangente `a partir du fichier .ggt ´elabor´e :

https://www.youtube.com/watch?v=tLvIieALJpI

Le fichier .ggt qui contient les outils de construction de la courbe de B´ezier d’ordre
2 ainsi que la tangente en l’un de ses points est accessible via le lien :

http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/11/deux-macros-bezier2-tang-pnt/

Remarque : En plus de son format .ggt, ce fichier s’y trouve sous format .html.
A` ces deux fichiers est ajout´ee une vid´eo ou` nous avons d´etaill´e les ´etapes de la
construction.

Arc en une extr´emit´e d’une courbe : point exclu

x2 + 1 si −2 ≤ x < 1
Soit la fonction g d´efinie par : g(x) =

3x − 4 si 1 ≤ x ≤ 3

Soit les points Gv(1, 12 +1 = 2) dont l’ordonn´ee est l’image de 1 par la 1`ere expression
de g et Gr(1, 3 × 1 − 4 = −1) dont l’ordonn´ee est l’image de 1 par la 2`eme expression
de g.
On note que g n’est pas continue `a gauche en 1 mais elle est continue a` sa droite
donc Cg pr´esentera une rupture au niveau de x = 1 : Cg sera la r´eunion de deux
”morceaux” s´epar´es. (On d´esigne par Cg la courbe repr´esentative de g)
Pour traduire graphiquement que l’image de 1 par g se calcule a` l’aide de la 2`eme
expression et non pas la 1`ere, c’est `a dire que Gv ∈/ Cg et Gr ∈ Cg , on fait coller

H. Abderrahim page 31 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

a` la partie de Cg qui correspond a` l’intervalle [−2, 1[ et de son coˆt´e droit un petit
arc de cercle qui passe par Gv et ayant pour extr´emit´es deux points n’appartenant
pas `a Cg comme l’illustre la figure suivante :

Mais comment y parvenir ? : Un fichier .ggt qui contient la macro arc born
est pr´epar´e au pr´ealable. Il est accessible via le lien ci-dessous. Ce fichier est aussi
propos´e sous format .html
http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/10/macro-arc-extrem-courbe-pnt-exclu/
Les ´etapes `a suivre :

• on saisit les expressions alg´ebriques de la fonction puis on valide, alors la
courbe de la fonction se trace

• on cr´ee le point auquel on va attacher l’arc (l’´equivalent de Gv dans notre
exemple. Ce point sera cach´e une fois l’arc est trac´e)

• on active la macro arc born par le biais de son icˆone `a l’extr´emit´e droite de
la barre d’outils

• on clique sur Gv puis on s’en ´eloigne un peu dans le sens r´etrograde et on fait
un 2`eme clic : un nouveau point s’affiche

• on manie ce nouveau point avec la souris afin de donner a` l’arc le rayon et
l’orientation d´esir´es

• une fois les apparences souhait´ees sont atteintes, ce point sera cach´e.

Le lien suivant vous m`enera a` une vid´eo ou` nous appliquons la d´emarche d´ecrite
par les ´etapes ci-dessus :

H. Abderrahim page 32 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE
https://youtu.be/7KykYdJNStE

7.3.2 courbe de B´ezier d’ordre 3

Tra¸cage : M´ethode 1

Cette m´ethode consiste `a :
• fixer 4 points non align´es A, B, C et D dans la zone du travail

• cr´eer un curseur t qui varie de 0 a` 1
• dans la zone de saisie, ´ecrire : M = (1 − t)3A + 3(1 − t)2tB + 3(1 − t)t2C + t3D
Un point M apparaˆıtra dans la zone de travail. Pour avoir le trac´e continu du lieu
de point M , on cliquera dessus puis sur le curseur t apr`es avoir activ´e l’outil ”Lieu”.
Ci-dessous un exemple du r´esultat obtenu :

Le commentaire d´eja` signal´e concernant la m´ethode 1 de la courbe d’ordre 2 reste
valable. (sous-sous-section 3.1.1)

Tra¸cage : M´ethode 2

Id´ee de la m´ethode : cette m´ethode repose sur la mˆeme id´ee que la m´ethode 2
de la courbe d’ordre 2 (sous-sous-section 3.1.2)

E´tapes `a suivre
• fixer 4 points non align´es A, B, C et D dans la zone du travail

• ´ecrire dans la zone de saisie :
Courbe((1 − t)3x(A) + 3(1 − t)2tx(B) + 3(1 − t)t2x(C) + t3x(D) ,
(1 − t)3y(A) + 3(1 − t)2ty(B) + 3(1 − t)t2y(C) + t3y(D) , t , 0 , 1)

H. Abderrahim page 33 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

Une macro construction sous formats .ggt et .html cl´es en main

http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/05/macro-courbe-de-bezier-dordre-3/

Travail `a faire Icoˆne

• activer l’icˆone qui se trouve `a l’extr´emit´e
droite de la barre d’outils (Image ci-contre)

• faire 4 clics dans la zone du travail (pour
r´eg´en´erer les 4 points de contrˆole)

Ci-dessous une image du graphique obtenu `a partir du fichier .html :

Tangente `a une courbe de B´ezier d’ordre 3 en l’un de ces points

1er cas : le point de tangence est l’une des extr´emit´es
On adoptera les mˆemes ´etapes fix´ees `a la sous-sous-section 3.1.3 `a propos de la
courbe d’ordre 2 (1er cas). On tiendra compte du fait que dans cette situation, on a
quatre points de controˆle et non plus trois.

H. Abderrahim page 34 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

2`eme cas : le point de tangence n’est pas l’une des extr´emit´es
Le lien suivant vous m`enera a` une vid´eo qui illustre les ´etapes a` suivre pour construire
une tangente `a partir du fichier .ggt ´elabor´e d’avance :

https://www.youtube.com/watch?v=a-cN7TBPgEk&t=16s

Le fichier .ggt qui contient les outils de construction de la courbe de B´ezier d’ordre
3 ainsi que la tangente en l’un de ses points est accessible via le lien :

http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/11/deux-macros-bezier3-tang-pnt/

Remarque : En plus de son format .ggt, ce fichier s’y trouve sous format .html.
A` ces deux fichiers est ajout´ee une vid´eo ou` nous avons d´etaill´e les ´etapes de la
construction.

Arc en une extr´emit´e d’une courbe : point exclu

A` ce propos, nous n’avons rien a` ajouter `a ce qui ´etait dit a` la sous-sous-section
3.1.4 concernant la courbe d’ordre 2 : c’est seulement la nature de la courbe qui
change. On rappelle juste les adresses des liens qui s’y rapportent :

http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/10/macro-arc-extrem-courbe-pnt-exclu/
et

https://youtu.be/7KykYdJNStE

7.3.3 Barre d’outils personnalis´ee pour GeoGebra

Dans cette sous-section, on pr´esente un fichier GeoGebra dans lequel on a int´egr´e
les quatre outils qu’on a pr´ec´edemment confectionn´es. Chacun de ces outils est

H. Abderrahim page 35 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

directement accessibles via une icoˆne figurant sur la barre d’outils de ce fichier (du
coˆt´e droit) (voir l’image ci-dessous) :

• tra¸cage d’une courbe de B´ezier d’ordre 2 et d’une tangente en l’un de ses points

• tra¸cage d’une courbe de B´ezier d’ordre 3 et d’une tangente en l’un de ses points

• point exclu : tra¸cage d’un arc en l’une des extr´emit´es d’une courbe (qu’elle
soit de B´ezier ou non)

• tra¸cage d’une tangente (plus pr´ecis´ement : de deux vecteurs de cette tangente)
a` une courbe en l’un de ses points

Une vid´eo qui explique la mani`ere de profiter de ce fichier :
https://www.youtube.com/watch?v=acA7jumj6Do

Ce fichier est propos´e sous formats .ggb et .html a` l’adresse suivante :
http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/15/courbe-bezier-outils/

7.4 Reprise des exemples 1 et 2 de la sous-section
”La probl´ematique” avec les nouveaux outils

7.4.1 L’exemple 1

E´tapes `a suivre

H. Abderrahim page 36 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

• Enregistrer puis ouvrir le fichier .ggb ou` sont int´egr´es les nouveaux outils :
http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/15/courbe-bezier-outils/

• Pour la branche de la restriction sur l’intervalle [−3, 0]

– marquer les points A(−3, 0), B tel que −3 ≤ x(B) ≤ 0 et C(0, 2)
– avec l’outil ”Bezdord2”, tracer la courbe de B´ezier d’ordre 2 dont les 3

points de contrˆole sont A, B et C comme c’est d´ecrit plus haut.
– manier le point B jusqu’a` l’obtention de la courbure souhait´ee.

• Pour la branche de la restriction sur l’intervalle [0, 1[

– marquer les points D tel que 0 < x(D) < 1 et E(1, 4)
– avec l’outil ”Bezdord2”, tracer la courbe de B´ezier d’ordre 2 dont les 3

points de contrˆole sont C, D et E.
– manier le point D jusqu’a` l’obtention de la courbure souhait´ee.
– s´electionner l’outil ”arc born”, cliquer sur E, se d´eplacer de quelques mm

dans le sens r´etrograde et marquer un point F : un arc se trace
– manier le point F jusqu’a` l’obtention d’un arc qui vous satisfait (il in-

terpr`ete le fait que E est exclu de la courbe).

• Pour la branche de la restriction sur l’intervalle [1, 3[

– marquer les points G(1, 5), H tel que 1 < x(H) < 3 et I(3, 5)
– avec l’outil ”Bezdord2”, tracer la courbe de B´ezier d’ordre 2 dont les 3

points de contrˆole sont G, H et I
– manier le point H jusqu’a` l’obtention de la courbure souhait´ee.
– tracer un arc qui indique que I ne fait pas partie de la courbe.

• Marquer le point K(3, 4)

• Pour la branche de la restriction sur l’intervalle ]3, +∞[

– marquer les points L(3, 3), P tel que 3 < x(P ) < 6 et Q(6, −4)
– avec l’outil ”Bezdord2”, tracer la courbe de B´ezier d’ordre 2 dont les 3

points de contrˆole sont L, P et Q
– manier le point P jusqu’a` l’obtention de la courbure souhait´ee.
– tracer un arc qui indique que L n’appartient pas `a la courbe.

• Cacher tous les points auxquels on a fait appel sauf le point K pour lequel on
cachera le nom.

H. Abderrahim page 37 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

R´esultat obtenu :

Vid´eo d’illustration : https://youtu.be/jhUP2twXgvk

7.4.2 L’exemple 2

E´tapes `a suivre

• Enregistrer puis ouvrir le fichier .ggb ou` sont int´egr´es les nouveaux outils :
http://mongeogebra.com/ggbg/2018/12/15/courbe-bezier-outils/

• Pour la branche de la restriction sur l’intervalle ]−∞, 0[

– marquer quatre points A , B , C et D
– avec l’outil ”Bez3”, tracer la courbe de B´ezier d’ordre 3 ayant pour points

de controˆle A , B , C et D .
– manier les points de controˆle jusqu’`a l’obtention de l’allure d´esir´ee tout

en respectant les crit`eres :
∗ (yy’) est une asymptote verticale
∗ (xx’) est une asymptote horizontale
∗ passage par le point E(−1, 1)

– d´erouler le menu de l’outil ”Bez3”
∗ activer l’option ”tanbez3”
∗ s´electionner les quatre points de contrˆole A , B , C et D puis le point
E : la tangente en E se trace.

H. Abderrahim page 38 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE
∗ manier les points de contrˆole B et C pour affiner le tra¸cage de la
tangente (coefficient directeur ´egal a` 1)

– Cacher tous les points auxquels on a fait appel sauf le point E pour lequel
on cachera uniquement le nom.

• Pour la partie qui repr´esente la restriction sur l’intervalle ]0, +∞[
On va consid´erer cette partie comme ´etant le raccordement de trois courbes :

– (b) : la repr´esentation de la restriction sur l’intervalle ]0, 2]
– (c) : la repr´esentation de la restriction sur l’intervalle [2, 4].
– (d) : la repr´esentation de la restriction sur l’intervalle [4, +∞[

• Pour la repr´esentation de la restriction sur l’intervalle ]0, 2] : (b)

– marquer quatre points F, G, H(1, 3) et A(2, 1)

– avec l’outil ”Bez3”, tracer la courbe de B´ezier d’ordre 3 ayant pour points
de controˆle F, G, H et A .

– manier les points de controˆle jusqu’`a l’obtention de l’allure d´esir´ee tout
en respectant les crit`eres :

∗ (yy’) est une asymptote verticale
∗ un sommet en un point S tel que x(S) ≈ 1.2 et y(S) ≈ 2.3

−−→
– tracer le vecteur AH : c’est un vecteur directeur de la demi-tangente a` la

courbe `a gauche en A.

– Cacher tous les points auxquels on a fait appel sauf le point A.

• Pour la repr´esentation de la restriction sur l’intervalle [2, 4] : (c)

– marquer trois points I, J et B(4, 3)

– avec l’outil ”Bez3”, tracer la courbe de B´ezier d’ordre 3 ayant pour points
de controˆle A, I, J et B .

– manier les points de controˆle jusqu’`a l’obtention de l’allure d´esir´ee tout
en respectant les crit`eres :

∗ une demi-tangente verticale a` droite en A ce qui n´ecessite que x(A) =
x(I) = 2 (car cette demi-tangente est port´ee par la droite (AI).)
Rappel : si (c) est une courbe de B´ezier d’ordre n de points de
controˆle C0, C1, .., Cn−1, Cn alors sa demi-tangente en C0 est [C0C1)

H. Abderrahim page 39 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

∗ une demi-tangente horizontale a` gauche en B ce qui n´ecessite que
y(B) = y(J) = 3 (car cette demi-tangente est port´ee par la droite
(BJ) : voir plus pour la justification)
Rappel : si (c) est une courbe de B´ezier d’ordre n de points de
controˆle C0, C1, .., Cn−1, Cn alors sa demi-tangente en Cn est [CnCn−1)
−→ −→

– tracer les vecteurs AI et BJ

– Cacher tous les points auxquels on a fait appel sauf les points A et B.

• Pour la repr´esentation de la restriction sur l’intervalle [4, +∞[ : (d)

– marquer trois points K(5, 3), L et P tel que x(P ) > 6

– avec l’outil ”Bez3”, tracer la courbe de B´ezier d’ordre 3 ayant pour points
de controˆle B, K, L et P .

– manier les points de controˆle jusqu’`a l’obtention de l’allure d´esir´ee tout
en respectant les crit`eres :

∗ une demi-tangente horizontale a` gauche en B ce qui n´ecessite que
y(B) = y(K) = 3 (car cette demi-tangente est [BK).)
Remarque : on note ainsi que y(J) = y(B) = y(K) = 3 alors les
points J, B et K sont align´es donc les deux demi-tangentes (`a gauche
et a` droite en B) sont port´ees par la mˆeme droite : ce qui traduit
que la fonction est d´erivable en x(B) et de plus, cette tangente ´etant
horizontale, indique que la d´eriv´ee s’annule en x(B).

∗ cette courbe admet, au voisinage de +∞, une branche parabolique
dans la direction de l’axe des ordonn´ees
−−→

– tracer les vecteurs BK

– Cacher tous les points auxquels on a fait appel sauf le point B.

R´esultat obtenu :

Vid´eo d’illustration : https://youtu.be/tzvCiW4HJUE

H. Abderrahim page 40 Tome 2

CHAPITRE 7. LES COURBES DE BE´ZIER : UN OUTIL AU
SERVICE DES ENSEIGNANTS DU SECONDAIRE

7.4.3 Commentaires

(a) Le raccordement de deux courbes se fait en leur prenant un point de controˆle
en commun : le dernier point de la 1`ere courbe est lui-mˆeme le 1er point de la
2`eme courbe.

(b) Pour traduire graphiquement que la fonction est d´erivable en l’abscisse du
point de raccordement, il faut que le point de raccordement, le dernier point
de controˆle de la 1`ere courbe et le 1er point de contrˆole de la 2`eme courbe soient
align´es car ainsi, on garantit que le nombre d´eriv´ee `a gauche est ´egal au nombre
d´eriv´ee `a droite. (Exemple :le point B dans notre cas, Contre-exemple : le point
A dans notre cas)

(c) Le temps pris par la 2`eme vid´eo est susceptible `a ˆetre r´eduit de fa¸con impor-
tante, en particulier en n’attachant aucune importance aux noms des points.

(d) Dans nos deux exemples, on a parfois utilis´e les courbes quadratiques (de
degr´e 2) et souvent les courbes cubiques (de degr´e 3) car les derni`eres per-
mettent d’obtenir l’allure souhait´ee plus facilement (elles ont plus de points
de contrˆole), ceci sans ´evoquer d’autres raisons qu’on n’a pas v´ecu dans notre
cas.

H. Abderrahim page 41 Tome 2

Deuxi`eme partie
G´eom´etrie plane

42

Chapitre 8

Les rotations

8.1 E´nonc´es

8.1.1 Exercice 1 −→ −−→ ≡ π [2π]
AB, AD 3
Dans la figure ci-dessous, ABCD est un losange tel que
et E est le sym´etrique de C par rapport a` B.

1. (a) Montrer qu’il existe une unique ro-
tation r telle que r(B) = D et
r(E) = B.

(b) D´eterminer l’angle de la rotation r.

(c) Montrer que A est le centre de r.

2. Soit I le milieu de [BE] et J son image
par r. Montrer que A, J et C sont align´es.

3. Soit H le projet´e orthogonal de I sur
(AB). La parall`ele a` (BD) passant par
H coupe (AD) en K.

(a) Montrer que r(H) = K.

(b) Montrer que les droites (KJ) et
(AD) sont perpendiculaires.

8.1.2 Exercice 2

Dans le plan orient´e, on consid`ere un triangle ´equilat´eral direct ABC de cˆot´e 4.
On d´esigne par I, J et K les milieux respectifs de [AB], [BC] et [CA].

1. (a) Montrer qu’il existe une unique rotation R qui envoie I en C et B en J.

43

CHAPITRE 8. LES ROTATIONS

(b) Pr´eciser l’angle de R et construire le centre Ω de R.
(c) Montrer que Ω, B, I et C sont situ´es sur un mˆeme cercle C .

2. Soit B le sym´etrique de I par rapport a` B.

(a) Montrer que R−1(B) = B .
(b) Montrer que (ΩI ) est tangente a` C . (I = R−1(I)).

Dans la suite on munit le plan du rep`ere orthonorm´e direct A, i, j tel que
−→
AB = 4i.

3. (a) D´eterminer les coordonn´ees polaires de C. En d´eduire ses coordonn´ees
cart´esiennes.

(b) D´eterminer les coordonn´ees cart´esiennes des points I, J et K.

4. Soit f l’application qui `a tout point M (x, y) associe le point M (x , y ) tel que

 1√
 x = (x + y 3)
 = 12

 y 2 √ + y + √
 (−x 3 4 3)

(a) Montrer que f est une isom´etrie du plan.

(b) V´erifier que le point J est invariant par f .

(c) Soit M (x, y) un point distinct de J et M (x , y ) son image par f .

−−→ −−→ −−→ −−→
D´eterminer cos JM , JM et sin JM , JM .

(d) D´eduire la nature et les ´el´ements caract´eristiques de f .

5. Soit M un point variable du plan. On pose R(M ) = M1 et f (M ) = M2.

(a) D´emontrer que si M est distinct de J et de Ω alors on a :

−−→ −−→ −−−→ −−−→
M Ω, M J ≡ M M1, M M2 [2π]

(b) En d´eduire le lieu g´eom´etrique du point M lorsque les points M, M1 et M2
sont align´es.

H. Abderrahim page 44 Tome 2

CHAPITRE 8. LES ROTATIONS

8.2 Solutions

8.2.1 Exercice 1

1. (a) On a :

BE = DB 




B=E =⇒ il existe une unique rotation r : B −→ D et E −→ B
−−→ −−→
BE = DB 


−−→ −−→
(b) r(B) = D et r(E) = B alors BE, DB est un angle de r et puisque :

−−→ −−→ ≡ −−→ −−→ [2π]
BE, DB CB, DB

−−→ −−→
≡ DA, DB [2π]

≡ π [2π]
3

π
alors r a pour angle

3
(c) Soit A = r(A) et on a D = r(B) alors

AB = A D   AD = A D



−→ −−→ ≡ π =⇒ −→ −−→ ≡ −→ −−→
AB, A D 3 [2π]  AB, A D AB, AD


−−→ −−→
ainsi A D et A D sont colin´eaires, de mˆeme sens et ont la mˆeme norme
par suite A = A donc est fixe par r et puisque toute rotation d’angle non
nul ne fixe qu’un seul point : son centre, A est le centre de r

H. Abderrahim page 45 Tome 2

CHAPITRE 8. LES ROTATIONS

2. On a r(E) = B alors le triangle AEB est ´equilat´eral direct

de plus, I est le milieu de [BE] alors (AI) est une m´ediane donc c’est aussi le

support de la bissectrice int´erieure de l’angle EAB

d’ou` −→ −→ ≡ π [2π]
AI, AB 6

−→ −−→ ≡ π
donc AJ, AD [2π] 
6  −→ −−→ −→ −−→
−→ −−→ π AJ, AD AC, AD
d’autre part, on a AC, AD  ≡ [2π]
=⇒

≡ [2π] 

6

−→ −−→
ainsi AJ et AD sont colin´eaires et de mˆeme sens par suite les points A, J et C

sont align´es

3. (a) On va appliquer Thal`es dans le triangle ABD

∈ 
H ∈ [AB] 
K  =⇒ HK AK =⇒ AH = AK (1) (AB = AD)
(H K ) =
[AD]
AB AD
(BD) 


et on a −−→ −−→ ≡ −→ −−→ [2π] ≡ π [2π] (2)
AH, AK AB, AD 3

D’apr`es (1) et (2), on d´eduit que r(H) = K

(b) On a :

(IH) ⊥ (AB)
alors r((IH)) ⊥ r((AB))

d’ou` (JK) ⊥ (AD)

8.2.2 Exercice 2

AB AC
1. (a) On a : IB = = = JC, ainsi :

22

I =B 




IB = JC =⇒ il existe une unique rotation R : I −→ C et B −→ J
−→ −→
IB = CJ 


(b) • R transforme I en C et B en J alors elle a pour angle −→ −→
IB, CJ

or −→ −→ ≡ −→ −→ [2π]
IB, CJ KJ, KI

≡ −π [2π]
3

alors R a pour angle −π
3

H. Abderrahim page 46 Tome 2

CHAPITRE 8. LES ROTATIONS

• Son centre Ω est l’intersection de ∆1 et ∆2 m´ediatrices respectives de
[IC] et [BJ] (on a ∆1 = (KJ)) et ∆2 est la perpendiculaire `a [BJ]
qui passe par I.

(c)

−→ −→ ≡ −π [2π] 
ΩI, ΩC 3





−→ −−→ 
BI, BC ≡ −π [2π] =⇒ Ω, I, C et B appartiennent a` un mˆeme cercle C
3 




Ω ∈/ (IC) 


2. (a) On a R(B) = J alors

• le triangle ΩBJ est ´equilat´eral indirect (1)
alors ΩJ = ΩB = JB = IB
et d’autre part, on a BI = BB alors ΩB = BB

•

ΩBJ est ´equilat´eral indirect =⇒ (ΩI) est la bissectrice de BΩJ

(ΩI) est la m´ediatrice de[BJ]

donc −→ −→ ≡ π [2π] (2)
ΩI, ΩB 6

• ΩB = BB = BI et B ∈ [IB ] (B = I ∗ B )

donc Ω est un point du cercle de diam`etre [IB ]

alors le triangle ΩIB est direct et rectangle en Ω

alors −→ −−→ ≡ π [2π] (3)
ΩI, ΩB 2

H. Abderrahim page 47 Tome 2

CHAPITRE 8. LES ROTATIONS

ainsi

−→ −−→ ≡ π [2π]
ΩI, ΩB 2

−→ −→ + −→ −−→ ≡ π [2π]
ΩI, ΩB ΩB, ΩB 2

−→ −−→ ≡π− −→ −→ [2π]
ΩB, ΩB 2 ΩI, ΩB

−→ −−→ ≡ π − π [2π] (d’apr`es (2))
ΩB, ΩB 26

−→ −−→ ≡ π [2π]
ΩB, ΩB 3

R´esum´e :

ΩB = BB (1) 


−→ −−→ ≡ π =⇒ le triangle ΩB B est ´equilat´eral indirect
ΩB, ΩB [2π] 
3

par suite R(B ) = B ⇐⇒ R−1(B) = B

AC
(b) On a JI = = JB = JC et I, C et B ne sont pas align´es

2
alors I, C et B appartiennent a` un mˆeme cercle de centre J

et d’apr`es 1. (c), on sait que Ω, I, C et B appartiennent au cercle C

alors C a pour centre J et passe par Ω, par suite [JΩ] est un rayon de C

et d’apr`es 2. (a), le triangle ΩBJ est ´equilat´eral indirect et (ΩI) est la

bissectrice de BΩJ
−→ −→ ≡ π [2π]
alors ΩJ, ΩI 6

−→ −→ −→ −→ −→ −→ 
ΩJ, ΩI
≡ ΩJ, ΩI + ΩI, ΩI [2π] 






ππ 
+ [2π]
≡ =⇒ (ΩJ) ⊥ (ΩI ) en Ω

≡ π6 3 
[2π] 
2 



donc (ΩI ) est tangente a` C en Ω

3. Soit R = A, i, j page 48 Tome 2
H. Abderrahim

CHAPITRE 8. LES ROTATIONS

(a) Selon le rep`ere R, C a pour coordonn´ees polaires (AC, →− −→ ) donc
i , AC

π π , 4 sin π
C 4, 4 cos( )

3 3 3
donc le couple de ses coordonn´ees cart´esiennes sera

√
alors C 2, 2 3

√
(b) Selon le rep`ere R, √A(0, 0), B(4, 0√) et C 2, 2 3

alors I(2, 0), J(3, 3) et K 1, 3 (en tant que milieux des coˆt´es de

AB C )

4. (a) On consid`ere deux points quelconques M1(x1, y1) et M2(x2, y2) et leurs
images respectives par f : M1(x1, y1) et M2(x2, y2) alors

(M1M2)2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

1 √√ 2 1 √ √2
= x2 + y2 3 − x1 − y1 3 4 −x2 3 + y2 + x1 3 − y1
+
4
1 √ 21 √
2

= (x2 − x1) + 3(y2 − y1) + − 3(x2 − x1) + (y2 − y1)
4 4
√
1 (x2 − x1)2 + 2 3(x2 − x1)(y2 − y1) + 3(y2 − y1)2
=
√
4 3(x2 − x1)2 − 2 3(x2 − x1)(y2 − y1) + (y2 − y1)2

1
+

4

1 4(x2 − x1)2 + 4(y2 − y1)2
=

4

= (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

= (M1M2)2

Et puisque M1M2 et M1M2 sont deux r´eels positifs, on aura M1M2 =
M1M2 et par suite f est une isom´etrie.

H. Abderrahim page 49 Tome 2

CHAPITRE 8. LES ROTATIONS
(b) Soit J (x , y ) = f (J)

 1 √ √
(3 3 3)
√  x = 2 + × = 3 = abs(J )
 = 1

On a J(3, 3) =⇒ √ √ √ √
(−3 3 3 4 3) 3
 y 2 + + = = ord(J )


alors J est invariante par f

(c) On a

• cos −−→ −−→ = −−→ −−→ −−→ x −√3 et
JM, JM JM .JM ou` JM
−−→
−−→ × JM y− 3
JM
√
−−→  1 y 3 − 6)
JM (x +
 1 √  alors
 2√ 
(−x 3
2 + y + 2 3)

1 [(x − 3)(x + √ − 6) + (y − √√ + y + √
y3 3)(−x 3 2 3)]
−−→ −−→ =2
cos JM, JM J√M × JM

= 1 × [x2 + y2 − 6x − 2y 3 + 12]
2 JM × JM
√
= 1 × [(x2 − 6x + 9) + (y2 − 2y 3 + 3)]
2 JM ×√JM
1 [(x − 3)2 + (y − 3)2]
=×
2 JM × JM

1 JM2
= 2 × JM × JM

= 1 × JM2
2 JM2

1
=

2

On a JM = JM car f est une isom´etrie et f (J) = J, f (M ) = M

H. Abderrahim page 50 Tome 2