Exercices corrigés 3ème année secondaire

CHAPITRE 8. LES ROTATIONS

−−→ −−→ −−→ −−→
JM, JM d´et(JM , JM )
• sin = −−→ alors
−−→ JM
JM ×

1 [(x − √ + y + √ − (y − √ + √ − 6)]
3)(−x 3 2 3) 3)(x y3
−−→ −−→ =2
sin JM, JM √ √ JM√× JM

√
= 1 × [−x2 3 − y2 3 + 6x 3 + 6y − 12 3]
2 √ JM × JM√
3 [x2 + y2 − 6x − 2y 3 + 12]
=− ×
√2 JM × JM √

= − 3 × [(x2 − 6x + 9) + (y2 − 2y 3 + 3)]
√2 JM ×√JM
−3 [(x − 3)2 + (y − 3)2]
= √2 × JM × JM

3 JM2
=− ×

√2 JM × JM
= − 3 × JM2
√2 JM 2
=− 3
2

(d)

−−→ −−→ = 1
cos JM , JM = 
−−→ −−→
−−→ −−→ 2√  =⇒ JM, JM ≡ −π [2π]
sin JM , JM −3  3




2

f est une isom´etrie du plan qui fixe le point J, ainsi pour tout point M ,

on a :

JM = JM [2π]  =⇒ f est une rotation d’angle −π et de centre J
−−→ −−→ ≡ −π  3
JM, JM
3 

5. (a) • R est une rotation de centre Ω et d’angle −π et qui transforme M
3

en M1

alors le triangle ΩM M1 est ´equilat´eral indirect par suite

−−−→ −−→ ≡ −π [2π]
M M1, M Ω 3

• f est une rotation de centre J et d’angle −π et qui transforme M
3

en M2

alors le triangle JM M2 est ´equilat´eral indirect par suite

−−→ −−−→ π
M J, M M2 ≡ [2π]
3

H. Abderrahim page 51 Tome 2

CHAPITRE 8. LES ROTATIONS

• Il en d´ecoule que :

−−−→ −−−→ −−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−−→
M M1, M M2 ≡ M M1, M Ω + M Ω, M J + M J, M M2 [2π]

≡ −π + −−→ −−→ π
3 M Ω, M J + [2π]

3

−−→ −−→
≡ M Ω, M J [2π]

−−−→ −−−→
(b) Les points M, M1 et M2 seront align´es si M M1, M M2 = kπ (k ∈ Z)

=⇒ −−→ −−→
M Ω, M J = kπ

−−→ −−→
=⇒ M Ω et M J sont colin´eaires

Dans ce cas, le lieu des points M est la droite (ΩJ) = (KJ) priv´ee des
points Ω et J

H. Abderrahim page 52 Tome 2

Troisi`eme partie
Suites r´eelles

53

Chapitre 9

Pour une maˆıtrise de l’utilisation

du signe somme : Σ

9.1 E´nonc´es

9.1.1 Exercice 1

Calculer chacune des sommes suivantes :

n n n n n

S1 = 1, S2 = i, S3 = n, S4 = (a + ir), S5 = aqi

i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

(a, r et q sont des r´eels donn´es)

9.1.2 Exercice 2

1. Trouver deux r´eels a et b tels que, pour tout entier naturel k, on a :
1 ab
=+

k(k + 1) k k + 1

2. Calculer la somme : 49 1
· S49 = k(k + 1)

k=1

9.1.3 Exercice 3

Exprimer chacune des sommes S et T suivantes en utilisant le signe Σ :
S = a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5
T = a5 − a4b + a3b2 − a2b3 + ab4 − b5
54

CHAPITRE 9. POUR UNE MAˆITRISE DE L’UTILISATION
DU SIGNE SOMME : Σ

9.2 Solution

9.2.1 Exercice 1

n

• S1 = 1 = 1

i=1

n i = 1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) + n = n(n + 1)
2
• S2 =

i=1

n

• S3 = n = n

i=1

n

• (a + ir) = (a + 1.r) + (a + 2.r) + (a + 3.r) + . . . + [a + (n − 1)r] + (a + n.r)

i=1

= a.n + [1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) + n]r

n(n + 1).r
= a.n +

2

n

• S5 = aqi = (a.q1) + (a.q2) + (a.q3) + . . . + [a.qn−1] + (a.qn)

i=1

= a[q1 + q2 + q3 . . . + qn−1 + qn]
qn − 1

= a.q q − 1

9.2.2 Exercice 2

ab = a(k + 1) + bk (a + b)k + a 1
1. + ==
k k+1 k(k + 1) k(k + 1) k(k + 1)

=⇒ a + b = 0 =⇒ a=1
a=1 b = −1

2. D’apr`es 1. :

49 1
S49 = k(k + 1)

k=1

49 1 1
( )
= −
k k+1
k=1

= 1− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +...+ 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1
22334 47 48 48 49 49 50

=1− 1
50

49
=

50

H. Abderrahim page 55 Tome 2

CHAPITRE 9. POUR UNE MAˆITRISE DE L’UTILISATION
DU SIGNE SOMME : Σ

·

9.2.3 Exercice 3

• S = a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5
= a5b0 + a5−1b1 + a5−2b2 + a5−3b3 + a5−4b4 + a5−5b5

5

= a5−kbk

k=0

• T = a5 − a4b + a3b2 − a2b3 + ab4 − b5
= (−1)0 a5b0 + (−1)1 a5−1b1 + (−1)2 a5−2b2 + (−1)3 a5−3b3
+ (−1)4 a5−4b4 + (−1)5 a5−5b5

5

= [(−1)k a5−kbk ]

k=0

H. Abderrahim page 56 Tome 2

Quatri`eme partie
Arithm´etique

57

Chapitre 10

Cl´es des num´eros ISBN

10.1 E´nonc´es

L’international Standard Book Number, connu sous son acronyme : ISBN, est le code
qu’on trouve au dos de chaque livre. Il est compos´e de 13 chiffres. Les trois premiers
chiffres valent 978 ou 979 (978 est le premier des identifiants attribu´es aux livres
dans la codification EAN) ; les neuf chiffres suivants sont les neuf premiers chiffres
de l’ISBN (code de la zone g´eographique, code de l’´editeur, num´erotation interne `a
l’´editeur).

Etude d’un exemple
On va s’int´eresser au code ISBN : 978-9-93 812-516-0, il se d´ecompose en :

• une premi`ere partie N de 12 chiffres qui commence par 978 ou 979. Dans notre
cas, apr`es avoir enlev´e les tirets, on aura N = 978993812516

• une seconde partie K, qui repr´esente la cl´e compos´e de un chiffre de 0 `a 9.
Dans l’exemple propos´e, K = 0
La cl´e se d´etermine de la fa¸con suivante :
– on calcule un nombre s en sommant les chiffres de rangs impairs et le triple
de chacun des chiffres des rangs pairs dans le code ISBN (on comptera
de gauche vers la droite). Dans notre exemple :
s = 9 + 3 × 7 + 8 + 3 × 9 + 9 + 3 × 3 + 8 + 3 × 1 + 2 + 3 × 5 + 1 + 3 × 6 = 130
58

CHAPITRE 10. CLE´S DES NUME´ROS ISBN

– on d´eterminera le chiffre r tel que s ≡ r (mod10) ( c’est le chiffre des
unit´es de sc’est aussi le reste de sa division euclidienne par 10)

– ainsi si r = 0 =⇒ K = 0 et si r = 0 =⇒ K = 10 − r

1. Ci-dessous la partie N de 12 chiffres d’un certain code. D´eterminer sa cl´e pour
avoir un code ISBN valable. N = 978 − 2 − 210 − 10467−?

2. Quel chiffre cache l’´etiquette ” c ”, dans le code ci-dessous pour qu’il soit un
code ISBN valable.

10.2 Solution

1. On a : s = 9 + 3 × 7 + 8 + 3 × 2 + 2 + 3 × 1 + 0 + 3 × 1 + 0 + 3 × 4 + 6 + 3 × 7 = 91.
et 91 ≡ 1 (10) alors on doit prendre 1 comme cl´e pour avoir un code
ISBN valable.

2. Dans cette liste ordonn´ee, le 13 `eme chiffre est 5 : c’est ce qui devrait ˆetre la
cl´e. D’autre part, on a :
s = 9 + 3 × 7 + 8 + 3 × 9 + 9 + 3 × 7 + 3 + 3 × c + 7 + 3 × 9 + 1 + 3 × 6 = 151 + 3c
Il faut alors que 151 + 3c ≡ 5 (10) =⇒ 3c ≡ 4 (10)

Tableau de congruence modulo 10
c 0123456789
3.c 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7

Conclusion D’apr`es ce tableau, c ne peut ˆetre ´egal qu’`a 8

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