L'incontournable en devoirs

Corrigés
Devoirs de synthèse

50

Modèle 1

Premier trimestre - devoirs de synthèse - Modèle 1 - Corrigé Barème

Exercice 1
I) 1°) 1ère méthode

A(x) = x² + bx + c s’annule pour x = -3 et x = 2

alors x² + bx + c = (x + 3)(x – 2) = x² + x – 6 2 x 0.75
0.5
par identification, on déduit que b = 1 et c = -6
2ème méthode

A(x) = x² + bx + c s’annule pour x = -3 et x = 2

alors S = -3 + 2 = -1 = − b = -b donc b=1 (a = 1)
a

et P = -3 x 2 = -6 = c = c donc c = -6
a

2°) B(x) = a.A(x) où a est un réel non nul alors les équations

A(x) =0 et B(x) = 0 ont les mêmes solutions: x = -3 et x = 2.

De plus B(x) = a(x² + x - 6) = ax² + ax – 6a

Alors

x -∞ -3 2 +∞

B(x) Signe de a 0 Signe de (-a) 0 Signe de a

B(x) - 0 + 0 -

D’après ce tableau, on déduit que a est strictement négatif. 0.5
3°) On a B(x) = a(x² + x - 6) = ax² + ax – 6a 0.5
Alors B(0) = – 6a = 18 alors a = -3 0.5
II) C(x) = 3x² - (1 - 5 )x – 1 - 5 est du type ax² + bx + c

où a= 3 > 0 et c = – 1 - 5 < 0 alors a.c > 0
et par suite ∆ = b² - 4ac > 0 alors l’équation ( E ): C(x) = 0 possède
deux racines distinctes x’ et x’’.
2°) • P = x’.x’’ = c a le même signe que a.c donc P < 0

a
donc x’ et x’’ ont des signes différents. (1)

51

• On a S = − b = 1− 5 <0 (2) et x ' < x '' (3)
a 3

De (1), (2) et (3), on déduit que x’ > 0 et x’’ < 0

x -∞ - x’’ x’ +∞ 1
C(x) 0 -0 + 0.5

4°) C(1) = 3 – 1 + 5 – 1 - 5 = 1 > 0 donc

1 ∈ −∞, x '' : impossible sin on onaura 1 < x '' < 0 alors x’’ < x’ < 1 0.5
 ou 1 ∈ x ', +∞ 1

Exercice 2 0.5

( )On a P(x) = - 10 x2 + 160 x + 2300 = - 10 x2 - 16x - 230 1
49 49 49 49 0.5
2x0.5
1°) Le poids de Salim au cours du mois de Mars est

( )P(3) = - 10 32 - 16x3 - 230 = 2690
49 49

( )2°) P(x) = - 10 x2 - 16x - 230
49

10  230 10  2 230
( ) ( )=49 x2 - 49  x 8
- - 16x - = - - 64-

( )=- 10  x - 8 2 - 294 = - 10 (x - 8 )2 + 2940 = - 10 (x - 8 )2 + 60
49  49 49 49

Ainsi P(x) est la somme d’un réel positif et d’un réel négatif, il atteindra
sa valeur maximale lorsque lors que le terme négatif - 10 (x - 8 )2 est

49
nul

c'est-à-dire si x = 8 et alors P(x) = P(8) = 60 kgp

Exercice 3

f(M) = M’ signifie MM' = 2.MO - 2.MA + 3.OA

1°) • Soit f(B) = B’

signifie BB ' = 2.BO - 2.BA + 3.OA = 2.BO - 2.B0 - 2.OA + 3.OA = OA = BO

52

donc B’ = O

• Soit f(O) = O’ signifie OO ' = 2.OO - 2.OA + 3.OA = OA donc O’ = A 0.5
0.5
2°) Pour tout M ∈ P, f(M) = M’ signifie 1.5

( )MM' = 2.MO - 2.MA + 3.OA = 2 MO + AM + 3.OA = 2.AO + 3.OA = OA 1

ainsi f(M) = M’ signifie MM' = OA signifie t (M) = M'
OA

donc f = t
OA

3°) L’image d’un cercle par une translation est un cercle de même rayon
et dont le centre est l’image du centre du cercle antécédent par cette
translation

On a f(B) =O et OB = BO alors f(ζ (B, BO)) = ζ (O, OB) donc f((ζ 1) = ζ 2

4°)

On a ∆ ∩ ζ 1 = {I , I1} alors f(∆) ∩ f(ζ 1) = {f(I) , f(I1)}

donc ∆ ∩ ζ 2 = {I , I1} ( on a ∆ // (AB) // (OA) donc t (∆) = ∆
OA

alors {I , I2} = {f(I) , f(I1)} donc:
• f(I) = I et f(I1) = I2 ce cas est. impossible car f n’a pas de point
fixe (son vecteur est non nul)

• ou f(I) = I2 et f(I1) = I 2x0.75
signifie f(I) = I2 et l’antécédent de I par f est I1

Exercice 4
1°) I est le barycentre de (A, 3) et (B, 1) signifie abs(I) = 1 selon

4

(A, AB)

0.5
53

1

2°) ABC est un triangle rectangle en C, alors (AC) ⊥ (BC)

donc BCA = 90° et on a A et B sont fixes
signifie ( Γ ) est le cercle de diamètre [AB] privé des points A et B.

3°) BAC > 60° et BCA = 90° (donc C ∈( Γ ))
a) Le point K est le barycentre des points pondérés (A, -2), (C, 1) et

(I, 2) signifie −2KA + KC + 2KI = 0 (I) 0.5
alors en considérant le point L barycentre des points pondérés (A, -2) et

(C, 1) signifie (I) signifie −KL + 2KI = 0

( )signifie abs(K) = 2 = 2 selon L, LI signifie K = SI(L).
−1 + 2

1
−2 +
( )d’autre on a signifie L= SA(C).
part, abs(L) = 1 =−1 selon A, AC

1

b) On a −2KA + KC + 2KI = 0 signifie −2KA + KA + AC + 2KA + 2AI = 0

signifie CK = 2AI = 2( 1 AB ) = 2( 1 AO ) = AO
42

54

c) AO = CK signifie t (C) = K
AO

On a C ∈ ( Γ ) signifie t (C) ∈t ((Γ)) donc K ∈ tAO ((Γ))
AO AO

t (A) = BO' alors l’image du cercle ζ de diamètre [AB] est le cercle ζ’ de 1
AO (B) = 1

t
AO

diamètre [OB’]

et par suite ( Γ ) = tAO ((Γ)) est le cercle ζ’ de diamètre [OB’]privé des

points O et B’.

4°) ■ Analyse

• AO = PQ signifie t (P) =Q
AO

• P∈ [BC) alors t (P) ∈ t (BC)) = [B’x) ([B’x) est parallèle et de
AO AO

même sens que [BC))

D’où Q ∈ [B’x) de plus on a Q ∈ ( Γ ) alors Q ∈ ( Γ ) ∩ [B’x)

■ Etapes de la construction

On a t (P) =Q signifie t (Q) =P
AO OA

• demi droite [B’K)

• un point Q ∈ ( Γ ) ∩ [B’K)

•t (Q) =P
OA

55

Modèle 2

Premier trimestre - devoirs de synthèse - Modèle 2 - Corrigé Barème

ALGEBRE

I) 1°) On a: • T(-3) = 0 1
0.5
• 5 ∈ ]2, + ∞[ alors T(5) < 0 alors T(5) < T(-3) < T(-1) 2x0.25
1
• -1 ∈ ]-3, 2[ alors T(-1) > 0

2°) On a:

• dans ]2, + ∞[, T(x) prend le signe de a alors a < 0

et c = 2x(-3) = -6 < 0 alors c > 0
a

• − b = 2 + (-3) = -1 < 0 et a < 0 alors b < 0
a

II) 1°) a) h(t) = 7 signifie -t² + 6t + 2 = 7 signifie -t² + 6t - 5 = 0

on remarque que: -1 + 6 – 5 = 0 alors le ballon atteint la hauteur 7m

aux instants t’ = 1 et t’’ = 5.

b) h(t) > 7 signifie -t² + 6t - 5 > 0

t -∞ 1 5 +∞ 0.5
0-
-t² + 6t - 5 -0 +

d’après ce tableau, la période pendant laquelle la hauteur atteinte par le 0.5
ballon est supérieure à 7m est: 5 – 1 = 4s. 1
2°) h(t) =-t² + 6t + 2 = -(t² - 6t – 2) = -[(t² - 6t) – 2] 2x0.5
= -[(t - 3)² - 9 – 2] = - (t - 3)² + 11 0.5
Ainsi h(t) atteint sa valeur maximale si t – 3 = 0 c'est-à-dire à l’instant t = 0.5
3s et alors h(t) = 11m
1
III) 1°) •(x −1)(3x2 − 3x −6)

= 3x3 – 3x² - 6x – 3x² + 3x + 6 = 3x3 – 6x² - 3x + 6 = N(x)

• (x −3)(−2x2 + 6x − 4)

= -2x3 + 6x² - 4x + 6x² - 18x + 12 = -2x3 + 12x² - 22x + 12 = D(x)
2°) P(x) est calculable si D(x) ≠ 0

On a D(x) = 0 signifie (x −3)(−2x2 + 6x − 4) = 0

signifie −2x2ox+u−63x=− 0
4
= 0

X – 3 = 0 signifie x = 3

Quant à l’équation −2x2 + 6x − 4 = 0, on a la somme des coefficients est

nulle -2 + 6 – 4 = 0 alors les solutions sont 1 et −4 = 2
−2

56

x -∞ -1 3 3 +∞
2 0
+
x+1 -0 + + +

2x – 3 - - 0+ -
-
-2x + 6 + ++

(x + 1)(2x − 3) + 0-0 +

−2x + 6

Conclusion: P(x) est calculable pour tout x ∈ IR\ {1, 2, 3}

3°) ■On a N(x) = 0 signifie (x −1)(3x2 − 3x −6) = 0

signifie 3x2 x −1 =0 1
ou −6
− 3x = 0 1
0.5
• x – 1 = 0 signifie x = 1
1
• Quant à l’équation 3x2 − 3x − 6 = 0, on a 3 – (-3) – 6 = 0 alors les 0.5
0.5
solutions sont -1 et − −6 =2
3

Donc N(x) = 3(x – 1)(x + 1)(x – 2)

■ D’après 2°), D(x) = 0 a pour solutions: 1, 2 et 3
Alors D(x) = -2(x – 1)(x – 2)(x – 3)

■ Alors pour tout x ∈ IR\ {1, 2, 3} on a:

P(x) = N(x) = 3(x – 1)(x + 1)(x – 2) = 3x + 3
D(x) −2(x – 1)(x – 2)(x – 3) −2x + 6

4°) a) P(x) = x + 1

signifie 3(x + 1) = (x + 1)(-2x + 6) et x ∈ IR\ {1, 2, 3}
signifie (x + 1)(3 + 2x - 6) = 0 signifie (x + 1)(2x - 3) = 0

signifie x = -1 ou x = 3 ainsi SIR = {-1, 3}
2 2

b) P(x) < x + 1 signifie (x + 1)(2x − 3) < 0 et x ∈ IR\ {1, 2, 3}

−2x + 6

Donc x ∈ ]-1, 3[ ∪ ]3, +∞[ et x ∈ IR\ {1, 2, 3}
2

donc SIR = (]-1, 3[ ∪ ]3, +∞[)\ {1}
2

GEOMETRIE

1°) a) • I est le barycentre de (B,3) et (C,1) signifie abs(I) = 1 selon (B,
4

BC )

57

• J est le barycentre 0.5
de (B,1) et (C,3) Signifie
abs(J) = 3 selon (B, BC ) 1

4 1
1
b)I est le barycentre de 1
1
(B,3) et (C,1) signifie 1

BI = 1 BC 1
4
1
J est le barycentre de (B,1) et (C,3) signifie BJ = 3 BC
4

alors BJ − BI = 3 BC − 1 BC = 1 BC ainsi IJ = 1 BC
4 4 2 2

2°) f(M) = M’ signifie 2.MM' = MC − MB = BC signifie MM ' = 1 BC
2

et d’après 1°), on aura MM' = IJ : ce vecteur est indépendant de M

d’où pour tout point M ∈ P, t (M) = M' et par suite f= t
IJ IJ

3°) a) A' est le barycentre des points pondérés (A,2), (B, -1) et (C,1)

signifie 2.A ' A − A 'B + A ' C = 0 signifie 2.A ' A = −BC

signifie AA ' = 1 BC = IJ
2

signifie t (A) = A '
IJ

b) ABC est un triangle isocèle

en A signifie AB = AC et A ∉

(BC)

signifie A varie sur la médiatrice

∆ de [BC] privée du milieu K de

[BC]

A ∈ ∆\{K} signifie t (A) ∈
IJ

t (∆\{K}) signifie A’ ∈ ( t (∆) \
IJ IJ

t ({K}))
IJ

Et par suite {A’} est la droite ∆’

image de ∆ par t : c’est la
IJ

parallèle à ∆ passant par C

privée de C.

4°) a) O est le barycentre des points pondérés (A,1), (A', -1) et (C,1)
signifie OA − OA ' + OC = 0 signifie A ' A = CO signifie AA ' = OC

signifie IJ = OC signifie t (O) = C et par suite O est l’antécédent de C
IJ

58

par t . signifie 1 BC = IJ = OC signifie BO + OC = 2.OC
IJ 2 signifie BA = OA '

b) On a IJ = OC

signifie BO = OC signifie BO = AA ' 1

59

Modèle 3

Premier trimestre - devoirs de synthèse - Modèle 3 - Corrigé Barème

Exercice 1

I) • B ∈ [AG] signifie G∈ [AB)\ [AB] donc l’abscisse de G selon (A, AB ) est supérieur à

1 (1)

• G est le barycentre de (A, a) et (B, b) signifie abs(G) = b selon (A, AB )
a +b

a et b étant strictement positifs alors b < 1 (2) 2

a +b 2
0.5
(1) et (2) ne pouvant pas se réaliser à la fois alors on ne peut pas trouver deux tels 1.5
réels. 1
1
2
0.25
II) L’équation cherchée est: -3(t – (-5))(t - ) = 0 qu’on peut présenter sous la

3

forme (t + 5)(-3t + 2) = 0 signifie -3t² - 13t + 10 = 0

III) 1°) Dans l’équation (E) : -3x² + 3x + 18 = 0 a = -3 et c = 18 ont des signes

différents alors son discriminant ∆ > 0 par suite € possède deux
solutions distinctes.

2°) • On a x’.x’’ = 18 = -6 < 0 donc x’ et x’’ ont des signes différents
−3

et puisque x’ < x’’ on aura x’ < 0 < x’’

• On a x’ < 0 alors x’ < 1, d’autre part x’ + x’’ = − 3 =1
−3

d’où x’’ = 1 + (-x’) > 1 car (-x’) > 0 ainsi x’ < 1 < x’’

IV) 1°) a) Pour 3x² - (1 - 5 )x - 2 - 5 = 0, on vérifie que:

3 - (1 - 5 ) - 2 - 5 = 3 – 1 + 5 - 2 - 5 = 0 donc elle a pour solutions: x’ = 1 et

−2 − 5 =−2+ 5 donc SIR = {1, − 2 + 5
3 3
x’’ = }

3

b) Pour : –x² + x + 6 < 0 on a ∆ = 1 + 24 = 25

donc x’ = −1−5 = 3 et x’’ = −1 + 5 =-2
−2 −2

x -∞ -2 3 +∞
0 +0
–x² + x + 6 - -

D’après ce tableau de signes, SIR =]-∞, -2[ ∪ ]3,+∞[

2°) L’expression A(x) = -2x² + 2x + 12 est calculable si:

3x² - (1- 5)x - 2 - 5

-2x² + 2x + 12 ≥0
3x² - (1- 5)x - 2 - 5 ≠ 0 et Q =
3x² - (1- 5)x - 2 - 5

• 3x² - (1- 5)x - 2 - 5 ≠0 signifie x ∈ IR\{1, − 2 + 5 (d’après 1°))
3
}

60

• -2x² + 2x + 12 = 2(–x² + x + 6) ainsi -2x² + 2x + 12 et (–x² + x + 6) ont le même

signe

x -∞ -2 −2+ 5 13 +∞ 0.75
3 0.75
–x² + x + 6 -0 + +0 - 0.5
+ + -0+ +
3x² - (1- 5)x - 2 - 5 -0 - +0 -
+0
Q +

2 + 5 ∪ ]1,3] 0.25
3
alors A(x) est calculable pour tout x ∈ [-2, − [

Exercice 2

I) 1°) CA' = 3CA signifie

( )abs(A’) = 3 selon C, CA

CB' = 2CB signifie

( )abs(B’) = 2 selon C, CB

et CS = CA' + CB' signifie CA’SB’ est un 0.25

parallélogramme signifie CA ' = B ' S 0.25
0.5
2°) a) G est le barycentre de (A, 3) et (B, 2) 1
0.5
signifie AG = 2 AB (pour la construction, on peut 0.5
5
0.5
appliquer Thalès)
b) D’après la figure G est le point d’intersection de (CS) et (AB).

3°) • On a CS = CA ' + CB '

= 3.CA + 2.CB =5.CG

(G est le barycentre de (A , 3) et (B , 2) donc pour tout point M du plan,

3.MA + 2.MB = 5.MG )

• CS = 5.CG donc CS et CG sont colinéaires

Et par suite G ∈ (CS) (1)
• G est le barycentre de (A, 3) et (B, 2)
donc G ∈ (AB) (2)
d’après (1) et (2), G est un point commun à (CS) et (AB).
4°) D’après tout ce qui précède pour obtenir le point K: barycentre de (A, 1) et (B, 2),
on construit:
• un point C ∉ (AB)

• les points L, I et J tels que CI =1.CA , CJ = 2.CB et CL = CI + CJ

Le point K cherché sera alors l’intersection de (AB) et (CL)

II) 1°) a) Q = t (C) signifie BC ' = CQ signifie BC = C ' Q (1)
BC' (2)

b) ABC triangle, C’ = A * B et B’ = A * C alors C'B ' = 1 BC
2

1.5

61

d’après (1) et (2), C'B' = 1 C'Q signifie
2

B’ = C’ * Q. 0.5
0.5
2°) a) P = t (C) signifie BB ' = CP 0.25
BB' 1
1
b) • BB ' = CP signifie BC = B 'P donc 1.25

(BC) // (B’P) (3)

• on a aussi BC = C ' Q donc (BC) // (C’Q) (4)

d’après (3) et (4), (B’P) // (C’Q) et on a B’ = C’ * Q donc B’ ∈ (C’Q)
alors (B’P) = (C’Q) et par suite B’, P, C’ et Q sont alignés.

3°)• On a P = t (C) signifie BC = B 'P d’autre
BB'

part, on a BC = C ' Q

Alors B 'P = C ' Q signifie B ' C ' = PQ

• On a aussi B ' C ' = 1 CB = A 'B (A’ = B *
2

C)

donc A 'B = PQ signifie Q = t (P)
A'B

4°) C 'M = A 'M' signifie C ' A ' = MM'

signifie t (M)= M'
C'A'

( ) ( )On a
M ∈ Γ signifie t (M) ∈ t( Γ )
C'A' C'A'

signifie M’ ∈ t ((Γ) )
C'A'

D’autre part, on a t (A) = B’ : donc M’ varie
C'A'

sur le cercle (Γ ') image de (Γ) par t : il a
C'A'

pour centre B’ et pour rayon AC.

62

Modèle 4

Premier trimestre - devoirs de synthèse - Modèle 4 - Corrigé Barème

Exercice 1

Répondre par vrai ou faux

1°) Faux

2°) a) Vrai b) Faux c) Faux d) Faux e) Faux 8x0.5

3°) Vrai 0.25
0.75
4°) Vrai 1.25

Exercice 2

A(x) = -3 x3 + 10 x² - 9x + 2

1°)a) A(2) = -3 x 23 + 10 x 2² - 9 x 2 + 2 = -24 + 40 -18 + 2 = 0.
Donc 2 est une racine de A(x).

b) A(x) est un polynôme de degré 3 et 2 est un zéro de A(x) alors il
existe 3 réels a, b et c tels que pour tout réel x,

A(x) = (x – 2)(ax² + bx + c).

a = -3, -2c = 2 et -2b + c=-9 alors a = -3, c = -1 et b = 4.d’où pour
tout réel x, A(x) = (x – 2)(-3x² + 4x -1).

c) A(x) = 0 sign x=2 ou -3x² + 4x -1 = 0 sign x = 2 ou x = 1 ou x = 1 .
3

SIR= 1, 2, 1  .
 3 


d) Soit l’équation (E) : 10x² + 2 = 3 x (x² + 3).

On remarque que si x est une racine de (E) alors (-x) est aussi une
solution de (E).

On se contentera d’étudier cette équation sur IR+. 1
Pour x ≥ 0, (E) sign 10x² + 2 = 3x(x² + 3) sign
-3 x3 + 10 x² - 9x + 2 = 0

SIR = 1, 2, 1 , −1, −2, − 1  .
 3 3 


63

2°) a)B(x) = (1 – 3x)(x² - 3x +2) = A(x) = -3 (x – 2)(x – 1)(x - 1 )
3

x -∞ 1 1 2 +∞
3
1
x–2 - - - 0+
0.75
x–1 - - 0+ +
1
x- 1 -0 + + + 1
3
1.5
B(x) +0 -0 +0 -

b) B(1) = 0, -39 < 1 donc B(-39) > 0, 59 > 2 donc B(59) < 0 d’où
3

B(59) < B(1) < B(-39).

3°) a) x −1 +3 ≥ 0 ⇔ B(x) > 0 d’où SIR =  −∞, 1  ∪ 1,2 .
B(x)  3 

b)

2B(x) ≤ 2 ⇔ B(x) ≥ 0 ⇔ B(x) ≥ 0 ⇔ B(x) ≥ 0
 B(x) ≤ 2 −3x3 + 10x²
2B(x) ≤ 4 − 9x ≤ 0

B(x) ≥ 0
⇔ x(−3x2 + 10x − 9) ≤ 0

-3x² + 10x -9 = 0, Soit ∆’ le discriminant réduit de cette équation

∆’=25 – 27 =-2<0 alors pour tout réel x, -3x² + 10x – 9<0.

2B(x) ≤ 2 ⇔ B(x) ≥ 0 .SIR=[0, 1 ]∪[1,2].
 3
x ≥ 0

Exercice 3

1°) AMN est isocèle en A ssi AM = AN

⇔ AB² + BM² = AD² + DN²
⇔ 144 + x² = 16 + (12 − 2x)²
⇔ 3x² − 48x + 16 = 0

∆ = (48)² - 4 x 3 x 16 = 2112 = 33 x 64.

x= 48 − 8 33 = 24 −4 33 ∈ 0, 4 ou x = 48 + 8 33 = 24 +4 33 > 4.
6 3 6 3

64

AMN est isocèle en A ssi x = 24 − 4 33 1
3
1
2°)L’aire du triangle AMN est égale à l’aire du rectangle ABCD moins la 0.5
somme des aires des triangles ABM, MCN et ADN.
L’aire de ABM = 6x, l’aire de MCN = x(4 – x) et l’aire de ADN =
2(12 –2 x).
L’aire de AMN = 48 – 6x - x(4 – x) – 2(12 – 2x) = x² - 6x + 24
3°)a) (x – 3)² + 15 = x² - 6x + 9 +15 = x² - 6x + 24 = S(x).
b) S(x) est minimale ssi x = 3.

Exercice 4

1°) CD = BA = −2AI

(AC) et (DI) sont sécantes en G et (AI) et (DC) sont parallèles. D’après
Thales GD = −2GI sign GD + 2GI = 0 .

Alors G est le barycentre des points pondérés (I,2) et (D,1). 0.5

2°)a) E le barycentre de

(A,3) et (B,1) sign

AE = 1 AB .
4

F le barycentre de (C,4) et

(B,-1) sign CF = − 1 CB . 1
3

b) AE = 1 AB ⇔ CE = 1 AB − AC
4 4

CF = − 1 CB ⇔ AF = AC + 1 AC − 1 AB = − 1 AB + 4 AC = − 4 1 AB − AC  = − 4 AE .
3 3 3 3 3 3  4  3
1

Alors les vecteurs CE et AF sont colinéaires d’où les droites sont
parallèles.

3°)a) on a KC + 2KE − 2KA = 0 ⇔ KC + 2AE = 0 ⇔ CK = 2AE . Or AE = 1 AB
4

65

donc CK = 1 AB . 1
2 0.25
1
b) Voir figure. 0.25

4°)a) H barycentre des points (C,4) et (A,3) sign
4HC + 3HA = 0 ⇔ 4HE + 4EC + 3HF + 3FA = 0 ⇔
4HE + 3HF = 3AF + 4CE = 3AC + 3CF + 4CA + 4AE = −AC − CB + AB = 0

Donc H est le barycentre des points (E ,4) et (F,3).

b) H est le point d’intersection des droites (CA) et (EF).

66

Modèle 5

Premier trimestre - devoirs de synthèse - Modèle 5 - Corrigé Barème

Exercice 1

Indiquer pour chacune des affirmations suivantes si elle est vraie ou
fausse.

Si elle est vraie, la démontrer, si elle est fausse, donner un contre- 3.75
exemple.

1°) Faux 2°) Faux 3°) Vrai 4°) Faux 5°) Vrai.

Exercice 2

Soit P le polynôme défini par : P(x) = (x + 1) x3 –(m + 4)x² –13x–2m.
où m est un réel.

1°) Le degré de P est 4. 0.25
2°) P(- 1) = 0 sign – 3m +9 = 0 sign m = 3. 0.5
3°) m = 3, pour tout réel x, P(x) = (x + 1) x3 – 7x² – 13x – 6

a) SIR = {-2,3} 1
b) P(-2) = 0 et P(3) = 0 alors P(x) est factorisable par 1
(x + 2)(x – 3) = x² - x – 6.

c) P est un polynôme de degré 4, factorisable par (x² - x – 6) et par

(x + 1) alors il existe deux réels a et b tels que pour tout réel x,

P(x) = (x + 1)(x² - x – 6)(ax + b).

a = 1 et b = 1.

Pour tout réel x, P(x) = (x + 1)²(x² - x – 6). 1.5
P(x) = 0 sign x = -1 ou x = -2 ou x = 3. SIR = {-2, -1, 3}

d) P(x) ≥ 0 sign (x + 1)²(x² - x – 6) sign x² - x – 6 ≥ 0 ou x = -1.

SIR = ]-∞, -2]∪[3, +∞[∪{-1}. 1
4°) a) f(x) = x2 (x2 + 2x +1) = x2(x + 1)².
f(x+1) = (x+1)2(x + 1+1)2 = (x+1)2(x + 2)2
b) f(x+1) – f(x) =(x+1)2(x + 2)2 - x2(x + 1)² = (x + 1)² [(x + 2)2 - x2]

67

= 2(x + 1)² (2x + 2) =4(x + 1)3. 1
c)
4S = 4x13 + 4x23 + 4x33 + ... + 4x303 1.5
1
= (f(1) − f(0)) + (f(2) − f(1)) + ... + (f(30) − f(29))
1.5
= f(30) − f(0) = 30²x31² = 864900
1
Exercice n° :3
1°) voir figure. 0.5
2°) 1

BF = 3BC ⇔ BF = 3BF + 3FC
⇔ 2FB − 3FC = 0
F est le barycentre des points
(B , 2 ) et (C ; -3).
3°)a) G le barycentre des points
(A , 1) , (B , - 4) et (C , 6) signifie

GA − 4GB + 6GC = 0
⇔ −3GE + 6GC = 0

⇔ GE − 2GC = 0 ⇒ G ∈ (CE)

D’où les points C, E et G sont
alignés.
b)

( )GA − 4GB + 6GC = 0 ⇔ GA − 2 2GB − 3GC = 0

⇔ GA + 2GF = 0 ⇒ G ∈ (AF)

c) G ∈(CE)∩(AF).
4°)a)

MA − 4MB + 6MC = MA − 4MB ⇔ 3MG = −3ME ⇔ MG = ME

L’ensemble ∆ = médiatrice de [GE].
b)

68

MA − 4MB + 6MC = AB − AC ⇔ 3MG = CB ⇔ MG = 1 CB
3

4 1
3
Donc ζ est le cercle de centre G et de rayon

5°)a) Gm est le barycentre de (A , 1) , (B , -2m) et (C , 3m) si et
seulement si m≠ -1.

b) m≠ -1. 0.5
1
GmA − 2m.GmB + 3m.GmC = 0 ⇔ GmA − 2m.GmA − 2m.AB + 3m.GmA + 3m.AC = 0

( )⇔ (m + 1).AGm = −2m.AB + 3m.AC = m −2.AB + 3.AC = mAF

⇔ AGm = m AF
m+1

c) G est point du segment [AF] si et seulement si

0 ≤ m 1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 1 − 1 1 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 1 1 ≤ 1 ⇔ m + 1 ≥ 1 ⇔ m∈ IR +
m+ m+ m+

L’ensemble des réels m tels que Gm soit sur le segment [AF] est IR+. 1

69

Deuxième Trimestre

70

Devoirs de contrôle

71

Modèle 1

ALGEBRE

I ) Soit P le polynôme défini par: P(x) = 2x3 + ax² - 4x + b où a et b sont deux
réels.
1°) Déterminer a et b sachant que P(x) est factorisable par (x – 1) et que P(0) =
-3
2° ) Ecrire P(x) sous forme d'un produit de trois binômes du 1er degré.
3°) Soit Q(x) = x4 – 10x² + 9
a) Ecrire Q(x) sous forme d'un produit de deux polynômes dont l'un est du 1er
degré.
b) Factoriser le polynôme R(x) = x3 + x² - 9x – 9.
c) Déduire de ce qui précède une factorisation de Q(x) en un produit de quatre
binômes du 1er degré.
4°) Soit f(x) = P (x )

Q (x )
a) Donner Df.
b) Simplifier f(x).

II) Soit le polynôme P(x) = (x+1)2n – x2n – 2x -1 ( n est un entier naturel
supérieur ou égal à 2)
Montrer que P(x) est factorisable par: x(x + 1)(2x + 1)

GEOMETRIE

A et B sont deux points fixes dans le plan P et f est l'application définie par:
f : P →P
M ֏ M ' tel que MM ' = 2MA + 3MB

1°) Montrer que le point J barycentre des points po ndérés (A,2)et (B,3) est invariant par f.
2°) Montrer que f est une homothétie de centre J et dont on précisera le rapport.

( )3°) Soit C le point de la droite (AB) d'abscisse 3 selon le repère A , AB . Montrer que C = f(A)

4°) ζ et ζ ' sont les deux cercles de centres respectifs A et C et tangents extérieurement en J.
M est un point de ζ distinct de J et de SA(J). La droite (MJ) coupe ζ ' en un point M'.
Montrer que M' = f(M).
5°) N est le point de ζ diamétralement opposé à M. La droite (NJ) coupe ζ ' en un point N'.
Montrer que le triangle JM'N' est rectangle.

72

Modèle 2

Algèbre

I) Soit les polynômes :

P(x) = 2x3 + 3x² - 8x + 3, Q(x) = 2x4 + 5x3 + x² + 3 et R(x) = - 2 x4 - 1 x² - 8 x.

363

Pour chacune des propositions ci – dessous, dire si elle est vraie ou fausse en fournissant la
justification:

P1 : P(x) =(x – 3)(2x² + x – 5)
P2 : P(x) = (2x² + x – 5)( x3 + x - 1)

P3 : P(x) = Q(x) + 3R(x)

II) On considère la fonction polynôme P définie par : P(x) = x3 – 5x2 + 3x + 1

On admet que P possède trois zéros qu’on notera : α, β et γ.

1. Ecrire en fonction de α, β et γ la forme (totalement) factorisée de P(x).

2. Montrer que : a) α + β + γ = 5 b) αβ + βγ + αγ = 3 c) αβγ = –1.

3. Sachant que l’un des zéros est 1, utiliser les résultats de la question 2 pour calculer les
deux autres. (On vous interdit d’utiliser la forme factorisée de P(x)).

Géométrie
I) Soit G le barycentre des points pondérés (A, 2) et (B, -3).

Dire ce que vous pensez (de point de vue valeur de vérité) concernant chacune des
propositions ci – dessous: Les réponses seront consignées dans le tableau de la feuille
jointe.
P1 : G est l’image de B par h(A,-3)
P2 : B st l’image de A par h(G,-3)

73

P3 : A est l’image de G par h 1 
 2 
B, -

II) On considère deux points distincts O et O’ tels que OO’ = 6 et deux cercles ζ1(O, 1) et
ζ2(O’,4)

1. Montrer que si h est une homothétie qui transforme ζ1 en ζ2 alors h a pour rapport k = 4
ou k’ = -4.

2. a) Soit h l’homothétie de rapport k = 4 et qui transforme ζ1 en ζ2.

Construire son centre I (On exige la justification).

b) Le cercle (Γ) de diamètre [IO] coupe ζ1 en E et F. Montrer que les droites (IE) et (IF) sont
tangentes à ζ1.

c) Montrer que les droites (IE) et (IF) sont aussi tangentes à ζ2.

3. En vous inspirant du résultat de la question 1 et de la démarche suivie dans la question 2,
donner les étapes de la construction de deux autres tangentes communes à ζ1 et ζ2.

Feuille à remettre avec la copie

Nom : Prénom : Classe :

Géométrie tableau :
I)
P1 P2 P3
Vraie
Fausse
Pas d’idée

74

II)
75

Modèle 3

Exercice 1

1°) Vérifier que: l’entier (94 – 49) est divisib le par 9 et que l’entier (94 + 49) est divisible par 11.

2°) L’objet de cette question est de généraliser ces deux résultats. Pour cela, considérons:

• un entier naturel n formé de deux chiffres (celui de dizaines sera supérieur à celui des
unités).

• et l’entier n’ obtenu en permutant les chiffres de n.
Montrer que: a) n – n’ est divisible par 9

b) n + n’ est un multiple de 11

Exercice 2

1°) Sans poser les divisions et en rédigeant la jus tification sur votre copie, déterminer le reste de

la division euclidienne de : a) de 2009 par 11 b) de 9354 par 11

2°) Soit un entier naturel n ayant 7 pour reste dan s sa division euclidienne par 11.

Montrer que l’entier (n3 – 2) est divisible par 11.

3°) Soit un entier naturel n ayant 4 pour reste dan s sa division euclidienne par 11.

Montrer que l’entier (n3 + 2) est divisible par 11.

4°) Déduire que l’entier N = 20093 + 93543 est divisible par 11.

Exercice 3

Soit G le barycentre des points pondérés (A, 2) et (B, -3), et A’ l’image de A par le quart de tour

direct de centre B.

Pour chacune des propositions: P1, P2, P3 et P4 ci – dessous, dire – sans fournir aucune
justification - si elle est vraie ou fausse :

P1 : G est l’image de B par h(A ,- 3)

P2 : B st l’image de A par h(G , - 3)

P3 : A est l’image de G par h 1 
 2 
 B , - 

P4 : A’ est l’image de G par h(B , 2) .

Exercice 4

Dans un plan P, on considère deux points distincts A et B et une application f définie par :

f :P → P tel que MM' = 3.MA + 2.MB
M ֏ M'

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f

76

Modèle 4

Exercice 1
Compléter
1) Le nombre 922045824056 est divisible par 8 car…………………………………………………
2) Un nombre entier naturel est divisible par 25 si et selement
si……………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) Pour tout chiffre a, le nombre N = 3a27a9 est divisible par 11 car………………………
4) Le reste de la division euclidienne de 1234567654321 par 11 est 1 car ……………
……………………………………………………………………………………………………………………………..

Exercice 2
a et b sont deux entiers naturels non nuls.

1) Recopier puis compléter le tableau suivant :
Chiffre des unités de a ( ou de b ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Chiffre des unités de a²

Chiffre des unités de b²

Chiffre des unités de 2 × b ²

2) Comment choisir les chiffres des unités de a et b pour que a² = 2 × b ² ?

3) En déduire qu’il n’existe pas de nombres entiers a et b premiers entre eux tels

que : 2 = a. Conclure.
b

Exercice 3

Soit ABCD un rectangle et (ζ) le cercle de diamètre [CD].
Soit M un point de (ζ) distinct de C et D. La parallèle à
(AM) passant par B coupe la parallèle à (DM) passant par
C en N.

1°) Montrer que ABNM est un parallélogramme.

2°) Déterminer l’ensemble des points N lorsque M décrit
le cercle (ζ) privé de C et de D.

3°) Soit P le symétrique de C par rapport à M et Q le milieu de [DP].

77

Montrer que Q est l’image de M par une translation dont on précisera le vecteur.
En déduire que Q est l’image de N par la translation de vecteur 3 BA

2

78

Modèle 5

EXERCICE 1

Soit ABCD un parallélogramme. On désigne par I et J les points tels que CI = 2 CB et
3

IJ = DC

1°) Faire une figure.

2°) Déterminer l’image de la droite (AI) par la translation de vecteur AB .
3°) Soit h l’homothétie de centre I qui transforme B en C.
Déterminer l’image de la droite(AB) par h.
Déterminer le rapport de h.
Soit K le barycentre des points (A , 2) , (B , - 2) et (I , 1). Montrer que h(J) = K.
En déduire que 2AI = CK
Exercice 2
Cocher la bonne réponse.

1°) Soit A , B et C trois points tels que AB = 3BC

C est l’image de B par l’homothétie de centre A et de rapport 3

A est l’image de C par l’homothétie de centre B et de rapport - 3

B est l’image de C par l’homothétie de centre A et de rapport 3

2°) Soit G le barycentre des points pondérés (A , 2) et (B, - 3)

B est l’image de A par l’homothétie de centre G et de rapport 3
2

G est l’image de B par l’homothétie de centre A et de rapport - 3

A est l’image de G par l’homothétie de centre B et de rapport −1
2

3°) Soit A et B deux points distincts du plan. On désigne par I le milieu de [AB].

Soit f l’application du plan qui à tout point M associe le point M’ tel que
MM' = MA + MB

f est une homothétie f est une translation f n’est ni une homothétie ni
une translation.

79

4°) Soit C un cercle de centre O et de rayon R et M un point variable de C.
L’ensemble des centres des homothéties h de rapport 1 telle que h(O ) = M est :

2

Le cercle C ’de centre O et de rayon 2 Le cercle C ’’de centre O et de
rayon 1

2

5°) Soit (Un ) la suite réelle définie par : U0 = 1 et pour tout entier naturel n,

Un+1 = 1
1 + Un

U2 = 1 U2 = 1 U2 = 2
3 2 3

6°) Soit (Un ) la suite réelle définie sur IN par : Un = n² − 2n
n+1

Un+1 = n² − n + 1 Un+1 = n² − 1 Un+1 = n² − 2n + 1
n+2 n+2 n+1

7°) On considère la suite arithmétique (Un ) telle que U10 = 74 et U23 = 165.
La raison r de cette suite est :

r=6 r=7 r=8

8°) Soit U une suite arithmétique de raison 5 telle que U0 = 2 et U0 + U1 + ... + Un = 87
.

n=5 n=6 n = 7.

9°) Soit la somme : 5 + 15 + 25 + 35 + …..+ N = 12500

N = 495 N = 595 N = 695

10°) La somme des entiers naturels impairs compris entre 200 et 400 est

N = 59400 N = 59700 N = 30000.

80

Modèle 6

Arithmétique

Quel âge as-tu? Demande Mortadha à Mokhtar .
Mokhtar répond :
« L’an prochain mon âge sera divisible par 2.
Dans deux ans mon âge sera divisible par3.
Dans trois ans mon âge sera divisible par4.
Dans quatre ans mon âge sera divisible par5. »
1°) Remplacer chacune des quatre phrases précédentes par une phrase équivalente concernant
l’âge de Mokhtar l’année dernière.
2°) Déterminer alors l’âge de Mokhtar sachant qu’i l est né au 20ème siècle.

Géométrie

I ) Dans la figure ci – contre ABCD est un carré,
BCJ et DCI sont deux triangles équilatéraux.

1°) Construire le point E image de A par la
rotation directe de centre C et d'angle π .

3
2°) a) Montrer que E appartient à la médiatrice
de [ AC ].

b) Déduire que les points B, D et E sont
alignés.

3°) a) Soit r 2 la rotation indirecte de centre C et
d'angle π . Déterminer r2(B).

3
b) Prouver que les points A, I et J sont alignés.

II ) Dans la figure ci – contre, chacun de deux
triangles ABC et AEF est isocèle rectangle.
Montrer que:
1°) EB = FC .
2°) les droites (EB) et (FC) sont
perpendiculaires.

81

Modèle 7

Arithmétique

I) Soit le polynôme : P(x) = x² + 5x + 9.
1°) Calculer P(-2).
2°) Montrer que [P(x) – 3] est factorisable par (x + 2).
3°) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Déduire de la question 2°) le reste de la division
de P(n) par n +2

II) Pour tout k ∈ IN, on pose a = 6k + 5 et b = 8k + 3
1°) a) Montrer que 4a > 3b.

b) Montrer que si d divise a et b à la fois alors d divise (4a – 3b).
2°) Déduire que pour k ∈ IN, a et b ne peuvent pas avoir plus que deux diviseurs communs.
Déterminer les.

III) Montrer que 3n3 – 11n + 48 est divisible par n + 3.

IV) Les dimensions en m d’un terrain rectangulaire sont des entiers naturels.
1°) Quelles peuvent être ces dimensions sachant que la surface du rectangle est 150m².
2°) Déterminer ces dimensions sachant de plus que l a largeur est un multiple de 3 et que la
longueur est impaire.

Géométrie

Soit un parallélogramme ABCD de centre O.

1°) a) Construire les points : i) I = S B(A) ii) J = S(BD) (A) iii) P : projeté orthogonal de A sur
(BD).

b) Montrer que les points I, C et J sont alignés.

2°) Soit {E} = (AJ) ∩ (CD) et K = C * E.

a) Montrer que l’homothétie h de centre J et qui à A associe E, transforme I en C.

b) Montrer que B, K et J sont alignés.

82

Modèle 8

Exercice 1

Pour chacune des propositions P1, P2 et P3 consignées dans les questions Q1, Q2
et Q3 ci – dessous, dire si elle est vraie ou fausse sans fournir aucune justification.

Q1: V1 = 3 (pour n∈IN*)
Soit la suite (Vn) n∈IN* définie par : V2n = Vn + 5 (pour n∈IN*)

V2n+1 = 2.Vn

P1: V4 = 13 P2: V5 = 16 P3: V6 = 11

Q2 : U est la suite définie sur IN par Un = 3n – 2
P1: U n’est pas arithmétique
P2: U est arithmétique de raison 3
P3: U est arithmétique de raison -2

Q3 : (Wn) n∈IN est arithmétique de raison 2 et telle que W6 = 14
3

P1: W0 = 10 P2: W15 = 20 P3: W3k+1 = 2.k + 32
3

Exercice 2
Soient x = 9876129865 et y = 9a76129a43 deux nombres à dix chiffres.
1°) a) Déterminer le reste de la division euclidienne de x par 2 puis par 11.

b) Déterminer le chiffre a pour que le reste de la division euclidienne de y par
11 soit égal à 8.
2°) Soient u et v deux entiers naturels tels que u ≥ v. Montrer que:

si u et v ont le même reste dans la division euclidienne par un entier d alors (u –
v) est divisible par d.
3°) On suppose maintenant que a = 8 (a étant le chiffre considéré dans l’écriture
de y)

a) Montrer que si un entier n divise x et divise y alors n divise 22.
b) Déduire le PGCD(x,y)

Exercice 3
A et B sont deux points fixes donnés tels que AB = 4. C est un point tel que le

triangle ABC soit rectangle en A et AC = 2. On désigne par h l’homothétie de centre
B et de rapport – 2.
1°) a) Construire les points A’ = h(A) et C’ = h(C).

83

b) Montrer que les droites (AB) et (A’C’) sont perpendiculaires.
2°) ζ et ζ’ sont les deux cercles de diamètres respectifs [AC] et [A’C’]. Montrer que
h(ζ) = ζ’.
3°) La droite (BC) recoupe ζ en I et ζ’ en J. Montrer que h(I) = J.
4°) On suppose que C varie en restant toujours à une distance égale à 2 de A.

a) Déterminer l’ensemble des points C’.
b) Montrer que l’image ∆’ de la parallèle ∆ à (AB) passant par C ne coupe ζ’ qu’en
un seul point.

84

Modèle 9

Exercice n°: 1

Soit U la suite réelle définie sur ℵ par : U0 = 0 et pour tout n∈ℵ, Un+1 = 1 - Un .
3 - 4Un

1°)a- Calculer U1 et U2
b- En déduire que U n’est ni arithmétique ni géométrique.

2°) Soit V la suite réelle définie sur ℵ par : pour tout n∈ℵ, Vn = 1 1 .
- 2Un

Montrer que V est une suite arithmétique de raison 2.

Exprimer Vn puis Un en fonction de n.
Déterminer l’entier naturel n tel que : V2+V3+.............+Vn = 285

Exercice n°: 2
Mr Gwider est entrain de lire un livre en commençant par la page 5.
En additionnant les numéros de toutes les pages qu’il a lues, il trouve 368
En additionnant les numéros de toutes les pages qu’il lui reste à lire, il trouve 1452

A quelle page en est Mr Gwider ?
Combien de pages comporte ce livre ?

Exercice n°: 3
Représenter, sans explications, mais en les
numérotant, les images de la figure ci-contre par les
applications suivantes :
1) La symétrie centrale de centre A.
2) La symétrie orthogonale d'axe (AC).

3) La translation de vecteur AB

4) La rotation directe de centre A et d'angle π
2

Exercice n° : 4
Dans la figure ci-contre ABC et AEF sont isocèle en A et
tels que BAC = EAF .

Montrer que BE = CF

85

Modèle 10

ARITHMETIQUE
1°) Dans une division euclidienne, on augmente le dividende de 36 et le diviseur
de 3, et l’on constate que le quotient et le reste sont inchangés. Quel est ce
quotient ?
2°) Soient a et b deux entiers naturels tels que a > b.
Les restes de la division euclidienne de a et b par 11 sont respectivement 2 et 7.
Déterminer, en justifiant, le reste de la division du nombre a + b par 11 puis le
reste du nombre a − b par 11. En déduire celui de a²−b².

3°) Trouver les chiffres a et b pour que l’entier 1a67b5 soit divisible par 9 et par
11.

GEOMETRIE
Soit ( ζ ) un cercle de centre O et de diamètre [AB]. C un point fixe de (ζ ) distinct
de A et de B et M un point variable de (ζ ) privé de A , B et C.
1°) Quelle est la nature du triangle ABC ?
2°) Soit H l’orthocentre du triangle AMC.
a- Montrer que les droites (MH) et (BC) sont parallèles.
b- Montrer que les droites (CH) et (BM) sont parallèles.
c- Déduire la nature du quadrilatère MHCB
3°)a- Quelle est l’image de M par la translation t de vecteur BC

b- Déterminer et construire l’ensemble des points H lorsque M varie.
4°) Soit D le symétrique de C par rapport à O.

La parallèle à (CM) issue de B et la parallèle à (AM) issue de D se coupent I.
Montrer que M est le milieu du segment [HI]
5°) Soit B’ le symétrique de O par rapport à A.
a- Montrer que B’ est l’image de B par une homothétie h de centre A dont on
précisera le rapport.
b- La parallèle à (BM) passant par B’ coupe (AM) en N.
Sans utiliser le théorème de THALES, montrer que h(M) = N
c- Déterminer et construire l’ensemble des points N lorsque M varie.

86

FEUILLE A RENDRE
Nom :…………………………………. Prénom :………………………….Classe : ………….

87

Devoirs de synthèse

88

Modèle 1

Exercice 1.

U0 = -1

Soit (Un) la suite définie sur IN par: U n+1 = Un +4 (n ∈IN )
5- Un

1°) Calculer U 1 , U2 et U3.

2°) Montrer que la suite (Un) n'est pas arithméti que.

3°) Soit (V n) la suite définie sur IN par: Vn = 4 - 5Un .
Un − 2

a) Montrer que (Vn) est une suite arithmétique dont on précisera le 1er terme et la raison.

b) Exprimer Vn en fonction de n. En déduire Un en fonction de n.

4°) Soit S n = V0 + V1 + V2 + • • • • + Vn-1 + Vn.

Exprimer Sn en fonction de n.

Exercice 2

Soit n un entier naturel qui s'écrit n = 10a + b où a et b sont deux entiers naturels.

1°) Montrer que si l'entier (a - 2b) est divisib le par 7 alors n est aussi divisible par 7.

2°) On se propose de savoir – sans utiliser une calculatrice – si l'entier 25718 est divisible par 7.

a) Compléter le tableau ci-dessous:

1ère étape n1 = 25718 = 10a1 + b1 a1= b1 =

2ème étape n2 = a1 - 2 b1 = = 10a2 + b2 a2 = b2 =

3ème étape n3= a2 - 2 b2 = = 10a3 + b3 a3 = b3 =

4ème étape n4 = a3 - 2 b3 = =

b) Déduire si 25718 est divisible par 7 ou non?

Exercice 3

Soit ABC un triangle équilatéral de sens direct inscrit dans un cercle (C). Soit M un point de (C) distinct
de B et C et situé sur l'arc BC ne contenant pas A. Soit I le point de [AM] tel que MI = MB.

1°) Montrer que le triangle IBM est équilatéral..
π

2°) Soit r la rotation directe de centre B et d'a ngle .
3

a) Déterminer les images de C et M par la rotation r.
b) Montrer que: MB + MC = MA

89

Exercice 4

Soit I,J et K les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB] d'un triangle
quelconque ABC dont le centre de gravité est G.

1°) Soit h l'homothétie de centre G et qui transforme I en A. Montrer que h
transforme J en B et K en C.

2°) Soit P un point du plan extérieur au triangle ABC et tel que 3 quelconques parmi
les points I, J, K et P ne soient alignés.

On désignera par: ∆A la parallèle à (PI) qui passe par A, ∆B la parallèle à (PJ) qui
passe par B.

a) Montrer que ∆A et ∆B sont sécantes en un point qu'on notera Q.
b) Montrer que Q appartient à ∆C (∆C étant la parallèle à (PK) qui passe par C).
3°) Montrer que G, P et Q sont alignés et que G est le barycentre des points
pondérés (P,2) et (Q,1).
4°) On suppose que P = O où O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
a) Dans ce cas que représentent les droites ∆A, ∆B, ∆C et le point Q pour le
triangle ABC?
b) En déduire que dans tout triangle, le centre de gravité, l'orthocentre et le
centre du cercle circonscrit sont alignés.

90

Modèle 2

Exercice I
Soit l’entier naturel a = 10 001 000 100 010 001
1°) Utiliser les critères de divisibilité pour dire si a est divisible par 2, 5, 4, 8, 3, 9 ou
11.
2°) Vérifier que pour tout entier naturel n on a :

n16 + n12 + n8 + n4 + 1 = (n8 + n6 + n4 + n² + 1) (n8 - n6 + n4 - n² + 1).
3°) a) Vérifier que a est de la forme : n16 + n12 + n8 + n4 + 1 où n est un entier
naturel qu’on déterminera.

b) Déduire que a n’est pas premier en déterminant deux de ses diviseurs autres
que 1 et lui-même.

Exercice II

Pour tout entier naturel n ≥ 5, on pose P(n) = n4 – 20n² + 4.
1°) a) Calculer : P(5), P(6) et P(7).

b) Vérifier que chacun de trois entiers obtenus n’est pas premier.

2°) Dans la suite, on se propose de montrer que tout entier naturel N qui peut s’écrire
sous la forme : n4 – 20n² + 4 n’est pas premier.

a) Vérifier que : n4 – 20n² + 4 = (n² – 2)² - 16n².

b) En déduire – en fonction de n – les expressions de deux diviseurs N1 et N2 de
N = n4 – 20n² + 4.

c) Montrer que chacun de ces diviseurs est différent de 1.
d) En déduire que N n’est jamais premier.

Exercice III

Dans la figure ci-contre, ABCD est un parallélogramme de centre O, E = SA(O),

F = SB(O) et G = t (F).
OE

Dans chacun des cas ci – dessous, définir par son centre et
son rapport l’homothétie qui transforme :
1°) le triangle OEF en le triangle OAB.
2°) le triangle OCD en le triangle OEF.
3°) le triangle EFG en le triangle OEF.
4°) le triangle OCD en le triangle EFG.
N.B : aucune justification n’est exigée

Exercice IV

A et B sont deux points distincts du plan.
(ζ) est un cercle variable tangent à la droite (AB) en A et non réduit à un point.
On désigne par O le centre de (ζ) et par G l’isobarycentre des points A, B et O.
1°) Déterminer le lieu géométrique du point O.
2°) Déterminer le lieu géométrique du point G.

91

Exercice V

Dans la figure ci – dessous, ζ et ζ’ sont deux cercles non isométriques et sécants en
A et B.
Une droite D distincte de (AB) et passant par A recoupe ζ en C et ζ’ en C’.
On note k le réel tel que : AC’ = k.AC

1°) a) En tenant compte du cas de la figure ci contre, exprimer le vecteur AC' en

fonction de AC et du réel k.
b) En déduire que C’ est l’image de C par une homothétie qu’on définira.
c) Définir C’ comme étant l’un des points communs à deux cercles dont l’un est ζ’

et l’autre est à déterminer.
2°) Utiliser les résultats de 1°) pour construire un point E de ζ et un point F de ζ’ tel
que AF = 2.AE
N.B : la construction sera faite sur la feuille jointe qui sera remise avec la copie.

Feuille à remettre avec la copie

A C'
C D

Nom : Prénom :
Classe : 2Sc

B

A

B
C

92 C'

Modèle 3

Exercice 1

Soit (Un) la suite définie sur IN* par la somme de ses n premiers termes

consécutifs : Sn = U1 + U2 + U3 + • • • • + Un-1 + Un = 1 [1 – (- 3)n]
2

1°) Calculer S1, S2 et S3. En déduire U1, U2 et U3.
2°) a) Montrer que la suite (Un) n’est pas arithmétique.

b) Conjecturer si la suite (Un) est géométrique ou non ?
3°) Montrer que pour tout n∈ IN*, Un = 2 x (-3)n-1

4°) En déduire que (Un) est une suite géométrique dont on déterminera la raison.

5°) Soit (Vn) la suite définie sur IN* par: Vn = 2(Un + n) .

Exprimer la somme T = ∑n V = V1 + V2 + V3 + • • • • + Vn-1 + Vn en fonction
n k

k =1

de n.

Exercice 2

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
1°) Déterminer deux entiers naturels m et n (m > n) dont la différence est 538 et la
division euclidienne de m par n a pour quotient 13 et pour reste 22.
2°) Le reste de la division euclidienne d’un entier naturel a par 12 est 7. Déterminer
le reste de la division de a par 3.
3°) Le reste de la division euclidienne d’un entier naturel b par 3 est 2. Déterminer
les restes possibles de la division de b par 12.
4°) Pour tout entier naturel non nul n, on pose a = 2n + 7 et b = 2n - 1.

a) Que peut – on dire de la parité de a ?
b) Soit d = PGCD(a , b). Montrer que d divise 8
c) Déterminer alors la valeur de d.

Exercice 3

ABC est un triangle équilatéral direct de centre O. I, J et K sont trois points
respectivement placés sur [AB], [BC] et [AC] et tels que: AI = BJ = CK.
Soit r la rotation de centre O et qui transforme A en B.

1°) Définir r.

93

2°) Déterminer l’mage du segment [AB] par r puis montrer que r(I) = J.
3°) Montrer que K est l’image de I par la rotation indirecte r’ de centre O et d’angle

2π .
3

4°) Déterminer le centre du cercle inscrit dans le triangle IJK.

Exercice 4
ABC est un triangle direct, isocèle en A et non rectangle.
1°) Soit r la rotation directe de centre A et d’angle π .

2
a) Construire les points G = r(C) et E tel que B = r(E).
b) Montrer que le point O milieu de [CG] appartient à la médiatrice de [AG]

2°) a) Construire le point K = tAE (G)

b) Montrer que les droites (AB) et (GK) sont perpendiculaires.
3°) Soit r’ une rotation indirecte qui transforme A en G et B en K.

a) Montrer que r’ a pour angle π
2

b) En admettant que OÂB = OGK, montrer que les deux triangles OAB et OGK
sont isométriques.

c) Déduire que O est un point de la médiatrice de [BK].
d) Montrer que r’ a pour centre O.
4°) Montrer que:
a) r’(C) = A
b) le quadrilatère AGKE est un losange
c) La médiane du triangle AGE relative au côté [EG] est elle – même la hauteur du
triangle ABC issue de A

94

Modèle 4

Exercice n° : 1

On considère la suite réelle (Un)n∈ℵ définie par :

 U0 = − 1 , U1 = 1
 2 2

 1
 Pour tout entier naturel n, Un+2 = Un+1 − 4 Un

1°) Soit (an)n∈ℵ la suite réelle définie par : an = Un+1 - 1 Un
2

a- (an)n∈ℵ est suite géométrique de raison 1
Montrer que une .

2

b- Exprimer an en fonction de n.

c- En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : Un+1 = 1 Un + 3
2 2n+2

2°) Soit (bn)n∈ℵ, la suite réelle définie par : bn = 2n+1.Un

a- Montrer que (bn)n∈ℵ est une suite arithmétique de raison 3. ( On pourra utiliser 1°

c-)

Exprimer bn puis Un en fonction de n.
Déterminer l’entier naturel n tel que b2 + b3 + ....... + bn = 299

3°) On pose Sn = U0 + U1 + ............. + Un , n ∈ IN.

( )En 1
remarquant que Un+2 – Un+1 = − 4 Un , montrer que Sn = 4 U1 − Un+2

En déduire Sn en fonction de n.

Exercice n° : 2
Soit [AB] un segment du plan.
1°)a- Construire le point D image de B par le quart de tour direct de centre A.

b- Construire le point C image de D par la translation de vecteur AB
c- Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
2°) Soit R la rotation directe de centre O milieu de [AC] et d’angle π

2
a- Placer deux points I et J respectivement de [AD] et [AB] tels que AI = BJ.
b- Montrer que R( I ) = J.
c- Soit H le point d’intersection des droites (BI) et (DJ). Montrer que les droites
(IH) et (JC) sont perpendiculaires

95

Exercice n° : 3

( )Soient O,OA , OB un repère orthonormé

du plan, x un réel de 0, π  et M le point du
4 

demi -cercle trigonométrique ζ de centre O.
On désigne par H le projeté orthogonal de M
sur [OA] et par I le milieu de [AM].

1°)a- Vérifier que AI = sin x
b- En déduire que AM2 = 4 sin2 x

2°)a- En utilisant les formules d’el KASHI, montrer que AM2 = 2(1 − cos 2x)

b- Déduire que cos 2x = 1 − 2 sin²x = 2 cos ²x − 1

3°) Montrer que sin  π  = 6− 2 et cos  π  = 6+ 2
 12  4  12  4
.

4°)a- Exprimer MH en fonction de sin2x.

b- Evaluer, en fonction de x, l’angle A ' AM

c- Montrer que A 'M = 2 cos x

d- En calculant l’aire du triangle AMA’ de deux manières différentes, montrer que :

sin2x = 2 sin x.cos x

5°) On pose α = cos π et β = sin π
5 5

En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que :

cos 2π = 1 − 2β2 et sin 2π = 2αβ
55

Montrer que sin  2π  = sin  3π 
 5   5 

sin 3π
5
( )On admet que
=β 4α2 −1 .

Montrer que α est une solution de l’équation 4x² − 2x − 1 = 0 .

Déduire les valeurs exactes de cos π , sin π et cos 2π .
55 5

96

Modèle 5

Exercice 1

1) Répondre par vrai ou faux.
Soit a, b, et c trois entiers naturels non nuls.
a) Si a divise b et b divise c, alors a divise c.
b) Si a divise c et b divise c, alors ab divise c.
c) Si 9a - b = 1 alors ppcm(a, b) =ab.
d) Si 6 divise ab et si 6 ne divise pas a, alors 6 divise b.
2) Soit (un) une suite réelle définie sur IR. Compléter :
a) (un) est une suite arithmétique si et seulement si……………………….
b) (un) est une suite géométrique si et seulement si……………………….
Exercice 2

Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BAC = π .
8

1) Montrer que BC = 2+ 2
BA

2) Déduire que cos  π  = 2+ 2
 8  2

Exercice 3

Dans un lycée, on organise une excursion pour les élèves de 2 sciences. Il y a 124
filles et 93 garçons qui souhaitent participer à cette excursion. On veut regrouper les
élèves dans des équipes qui contiennent le même nombre de filles et le même
nombre de garçons.

1) Combien d'équipes pourra-t-on former au maximum?

2) Combien y aura-t-il de filles et de garçons dans chaque équipe?

Exercice 4

Dans le plan orienté, on donne un rectangle ABCD de centre O et tel que BAC = 300 .

1) Soit E le symétrique de A par rapport à D et F le symétrique de C par rapport à B

97

a) Montrer que le triangle ACE est
équilatéral.

b) En déduire la nature du
quadrilatère AECF.

2) Soit I un point du segment [EO]
distinct de E et de O. Le cercle C de
centre I et passant par A coupe (AB)
en P et (AD) en M. On désigne par N
le projeté orthogonal de C sur (MP).

a) Vérifier que C ∈ C.
b) Montrer que NMC = 300
3) La droite (CN) recoupe C en N’.
a) Montrer que le triangle CMN’ est
équilatéral.
b) Montrer que les points F, A et N’
sont alignés.
4) Soit h l’homothétie de centre C et
de rapport 1 .

2
a) Déterminer les images des points F, A et N’ par h.
b) Déduire que les points B, N et D sont alignés

98

Corrigés
devoirs de contrôle

99