L'incontournable en devoirs

Modèle 5

Exercice 1
On appelle f la fonction définie sur IR par : f (x) = x2 - 4x + 3

et g la fonction définie sur IR\{3} par : g(x) = x −1 .
x −3

1)a) Montrer que g est strictement décroissante sur chacun des intervalles ]- ∞ , 3[ et
]3, +∞[.

b) En utilisant la fonction g, comparer 2011 et 2010
2009 2008

2)a) Comparer f(2) et g(2)

b) Montrer que l’équation ( E ) : x3 - 7x2 +14x - 8 = 0 est équivalente à f (x) = g(x)
.

c) En utilisant le graphique ci-dessous, déterminer les solutions de l’équation (E )

3)a) Soit x un réel de [0 , 3[.
Vérifier que : x3 - 7x2 +14x – 8 ≥ 0 est équivalente à f(x) ≤ g(x)
b) Résoudre graphiquement et dans [0 , 3[ l’inéquation : x3 - 7x2 +14x – 8 ≥ 0.

150

Exercice 2

Soit ABC un triangle et (ζ) son cercle circonscrit. La bissectrice intérieure de l’angle
BÂC coupe [BC] en D et (ζ) en I.

1°) a- Montrer que les triangles ABD et AIC sont semblables.

b- En déduire que AB×AC = AI×AD

2°) a- Montrer que les triangles ABD et CID sont semblables.

b- En déduire que AD×DI = BD×DC

3°) En remarquant que AI = DI + AD. Montrer que AB×AC = AD² + BD×DC.

4°) On pose BC = a , AC = b et AB = C

a- Vérifier que : DB = c et DB+DC=a.
DC b

b- En déduire que DB = ac et DC = ab .
b+c b+c

c- Montrer que AD = 2 bcp(p − a) où p est le demi périmètre de ABC.
b+c

5°) On donne BC = 12, AB = 8 et AC = 6. Calculer la longueur de la bissectrice

intérieure issue de A dans le triangle ABC.

151

Modèle 6

Exercice 1

La courbe (C+) représentée sur la figure ci-dessous selon un repère orthonormé

( )O , i , j est celle de la restriction sur IR+ d'une fonction paire f.

1° ) Compléter (C+) afin d'obtenir (C): la courbe représentative de f sur IR.
2° ) a) Déduire du graphique obtenu le tableau de variations de f sur IR.

b) Comparer alors f  1 et f  2  puis f (3) et f (4) .
 4   3 

3° ) a) Résoudre graphiquement sur l'intervalle [0,2] l'équation: f(x) = - 4

puis l'inéquation: f(x) < - 4

b) Justifier alors pourquoi f admet-elle un minimum sur l'intervalle [0,2]?

Déterminer la valeur de ce minimum.
4° ) Sachant que f(x) = x4 -2x² - 3, retrouver par le calcul le sens de variation de f

sur l'intervalle ] − ∞, −1 ].

152

Exercice 2

( )Dans un plan muni d'un repère orthonormé O, OI , OJ , on considère les points:

O'(2,0), A(2,2) et B(4,-2).
1°) Déterminer une équation du cercle ( ζ ) de centre O' et qui passe par A.
2°) a) Prouver que la droite (AB) recoupe ( ζ ) en un point D distinct de A.

b) Déterminer par le calcul les coordonnées du point D.
3°) Le cercle ( ζ ' ) de centre O et de rayon 1 coupe ( ζ ) en deux points E et F ( E étant
le point dont l'ordonnée est positive).

a) Déterminer les coordonnées de E et F par le calcul.
b) Donner une valeur approchée entière en degré de l'angle IÔE.
c) En déduire sin 14 puis cos 104 .

153

Modèle 7

Exercice 1

Le graphique ci-contre
représente la courbe d’une
fonction numérique à
variable réelle f définie sur
IR.

1°) Compléter les phrases
ci-dessous :
a) f(0) = ……; f(4) =……
f(-1)=…..
b) L’ensemble de solutions
de :
i) f(x) = 0 est
ii) f(x) = -2 est
iii) f(x) ≥ 6 est
iv) f(x) < 0 est

2°) Tracer sur le même graphique la courbe représentative d’une fonction affine g
telle que l’ensemble de solutions de :

f(x) ≤ g(x) soit [0, 6].

Exercice 2

Soit u, v et w les suites définies pour tout n appartenant à IN respectivement par :

Un= 1 n + 1 ; Vn = (n + 2).2n et Wn = Vn
2 Un

1°) Montrer que w est une suite géométrique de raison 2. Déterminer son premier

terme.

2°) a) Montrer que pour tout n appartenant à IN, on a : Wn = 2  1  Vn
 + 
 n 2 

b) En déduire la somme S = 1 V0 + 1 V1 + 1 V2 + ..... + 1 V8 + 1 V9
2 3 4 10 11

Exercice 3

Pour tout x ∈ [0,π], on pose f(x) = 3.cos²x + 6.sinx.cosx – 5.

1°) Calculer f  π  et f  2π  .
 2   3 

2°) a) Montrer que si x et y sont supplémentaires alors on a: f(x) + f(y) = -6sin²x – 4

154

b) En admettant que sin 5π = 6+ 2 et en posant que f  5π  = α , l’image de
12 4  12 

quel réel par f peut-on déterminer en vous servant de a) uniquement ? Exprimer

cette image en fonction de α

3°) a) Montrer que pour tout x ≠ π, f(x) = (1 1 ( −5.tg²x + 6.tgx − 2) .
2
+ tg²x)

b) Déduire que pour tout x ∈ [0,π], on a : f(x) < 0.
c) Résoudre dans [0,π] l’équation : f(x) = 2

155

156

Modèle 8

Exercice 1

Compléter le tableau
ci-dessous en utilisant le
graphique ci-contre

Droite Point Vecteur Coefficient Equation
directeur directeur cartésienne

x + 2y - 7 = 0

u 2
D3 A(0,2)  −1


Exercice 2

1°) Ecrire sous sa forme réduite, l’équation de la droite D de coefficient directeur

(- 3) et qui coupe l’axe des ordonnées au point A(0,2).

2°) Soit Dm l’ensemble de points du plan dont une équation cartésienne est :

(4m – 5).x + 3m.y + m – 1 = 0 où m est un paramètre réel.

a) Existe – t – il des valeurs de m pour les quelles Dm n’est pas une droite ? justifier.

b) Pour quelle valeur m0 de m, Dm est – elle parallèle à D?

157

c) Déterminer en fonction de m et pour m ≠ m0 les coordonnées du point Im
intersection de D et Dm.

Exercice 3

Soit f la fonction définie par f (x) = x + 2

1°) Etudier les variations de f sur son domaine de définition et tracer sa courbe

( )représentative (Cf) dans un plan muni d’un repère orthonormé R = O, i, j .

2°) Déterminer par le calcul les coordonnées des points communs à (Cf) et (Cg) où g

est la fonction définie sur IR par: g(x) = x + 2

Exercice 4
La courbe ci-contre est la partie formée par des
points d’abscisses supérieures à 1
d’une parabole (P) de sommet S(1, - 2) et
qui passe par le point A(2, 1).
1°) Achever le traçage de (P).
2°) Déterminer l’équation de (P).
3°) En remarquant que:
3.x2 – 6.x + 3 = (3.x2 – 6.x + 1) + 2
justifier par quelle transformation géométrique
peut – on déduire la courbe

(P1): y = 3(x – 1)² à partir de la courbe
(P2): y = 3.x2 – 6.x + 1

158

Modèle 9

EXERCICE N° : 1

Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = 6x − 3 x2 .
4

1°) a) Etudier le sens de variation de f sur chacun des intervalles ]- ∞ , 4] et

[ 4 , +∞[ C

En déduire que la fonction f admet un maximum sur IR que
l’on déterminera.

2°) ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 8 et N P
AC = 6. M est un point du segment [AB]. AMPN est un A Mx B
rectangle. On pose BM = x et on note A(x) l’aire du rectangle

AMPN en fonction de x.

Quelles valeurs peut prendre x ?

Montrer que A(x) = 3 x (8 − x) .
4

Pour quelle valeur de x l’aire du rectangle est-elle maximale ?

Déterminer le nombre de points M du segment [AB] pour lesquels A(x) = 9 ?

EXERCICE N° : 2

On considère la fonction f définie sur [ -6 ; 6 ], impaire , dont le tableau de
variations est donné ci-dessous

x0 3 46

04

f(x)

-2 1

1) a) Comparer f(1) et f(5).
b) Déterminer le nombre de solution dans [0,6] de l’équation f(x) = 1.

2) Montrer que pour tout x de [0,6], f(x) ≤ x+1.
3) Tracer dans un repère une représentation graphique de f.

159

EXERCICE N° : 3

ABCD est un parallélogramme. DC

1°) Dans le repère (A; AB, AD) , donner les coordonnées H
E
des points A, B, C et D.
AB

2°) Trouver les coordonnées du point E tel que :

AE = 1 AC
3

3°) Déterminer une équation de la droite (DE) et montrer qu'elle passe par le milieu I
de [AB].

160

Modèle 10

Exercice 1

Répondre par vrai ou faux ; aucune justification n’est demandée.

1) Par deux points distincts passe un plan et un seul.

2) Si une droite est parallèle à deux plans sécants alors elle est parallèle à leur
intersection.

3) Si A et B sont deux points distincts d’un plan P alors la droite (AB) est incluse dans
P.

4) Si deux droites de l’espace sont parallèles à un même plan alors elles sont
parallèles.

5) Si deux droites sont orthogonales à une même droite alors elles sont parallèles.

6) Soit ABCD un tétraèdre régulier et O le centre de gravité du triangle ABC.

La droite (DG) est l’axe du cercle circonscrit au triangle ABC.

Exercice 2

Durant l’année sportive 2008-2009, on a relevé le nombre de tirs au but effectués de
l’extérieur du 18 m par match au stade sportif de Gabes. (13 matchs sur l’ensemble
de la compétition). Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Nombres de tirs 2 45678

Nombres de matchs 1 3 3 2 3 1

1) La série obtenue est représentée par
le diagramme en boite ci-contre :

Déterminer, à partir du graphique, la
médiane et les quartiles de cette série.

1 2 3 4 5 6 7 8x
2) Déterminer la moyenne et l'écart-type de cette série.(Justifier les résultats)

Exercice 3

161

Dans la figure ci-contre SABC est un tétraèdre SABC un
tel que ABC soit un triangle rectangle et isocèle en A et
SBC soit un triangle isocèle en S
1) Soit I et J les milieux respectifs des arêtes [SA] et
[SB].
a) Montrer que (IJ) // (ABC) .
b) Soit P le plan contenant I et parallèle au plan (ABC).
i) Montrer que J∈P .
ii) Montrer que P coupe l’arête [SC] en son milieu.
2)Soit O le milieu de [BC].
a) Montrer que (BC) est perpendiculaire au plan (SAO).
b) Que représente le plan (SAO) pour le segment [BC].
3) On suppose que SB = SC = BC.

Montrer que si (OS) est l’axe du cercle circonscrit au triangle ABC alors

( )tan OAS = 3

162

Devoirs de synthèse

163

Modèle 1

Exercice 1 (8 points)

Partie A

( )1) Placer dans un plan muni d'un repère orthonormé O,i , j les points A(2,0) et

C(2,1).
2) Soit les points M(x,0) et P(0, (x+1)²) où x est un réel non nul. La droite (PM)
coupe la droite (AC) au point N d'ordonnée y. Montrer que: y = x² - 3 - 2 .

x

PartieB et g :IR * → IR *
On considère les fonctions:
f :IR → IR

x ֏ x ²−3 x֏ 2
x

( )1) Etudier f et tracer sa courbe (Cf ) selon le repère O,i , j défini dans A).

( )2) Etudier g et tracer sa courbe ( Cg ) selon le même repère O,i , j .

3) Soit l'équation: ( E ): x3 - 3x – 2 = 0.

a) Vérifier que -1 est une solution de ( E ) puis achever sa résolution.
b) Déterminer alors les coordonnées des points communs à ( Cf ) et ( Cg ).
4) Utiliser ces deux courbes pour déterminer les valeurs de x: abscisse du point M

pour les quelles le point N appartient à la demi-droite [AC). (M et N étant les points
définis dans la partie A).

Exercice 2 (12 points)

Partie A

ABC est un triangle tel que: Â = π rd , AB = 2 5 et AC = 3 10 .
4

1) Calculer BC puis le rayon R du cercle (ζ ) circonscrit au triangle ABC.

2) Calculer l'aire S du triangle ABC.

3) Soit H1 le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Calculer:

a) AH1 b) BH1 c) CH1

4) Soit I le centre de (ζ ). La droite (IB) coupe la droite (AH1) en un point D.

a) Montrer que les deux triangles DBH1 et CBI sont semblables.
b) Déduire que BD = 2.

c) Déterminer alors II' et CI'. (I' étant le projeté orthogonal de I sur (CD)).

( )5) On rapporte le plan de la figure ci-dessus à un repère orthonormé O,i , j selon

lequel on a eu: A(3,7) et I(3,2). Construire les axes de ce repère. (On donnera les
étapes de la construction)
Partie B

164

( )Dans un plan muni d'un repère orthonormé O,i , j , on considère les points A(3,7),

B(-1,5) et C(0,-2).
1) Montrer que BÂC = π rd.

4
2) a) Vérifier que les droites ∆1: 2x + y - 8 = 0 et ∆2: x + 3y -9 = 0 sont les
médiatrices respectives de [AB] et [AC].

b) Montrer alors que le cercle (C) circonscrit au triangle ABC a pour équation:
(x-3)² + (y – 2)² = 25. (On notera I son centre et R son rayon).

3) Soit H l'orthocentre du triangle ABC.
a) Montrer que H(-4,6).
b) Construire les points: K1 = S(AB)(H), K2 = S(AC)(H) et K3 = S(BC)(H).
c) Montrer que: K1 , K2 et K3 appartiennent à (C).

Partie A de l'exercice 2
Feuille à compléter et à remettre avec la copie

165

Modèle 2

Exercice 1 (4 points )

Sur le graphique 1 de la « feuille à remettre », sont représentées deux fonctions
trinômes du second degré f et g.
1°) On sait que le discriminant de f(x) est positif et celui de g(x) est strictement
négatif. Indiquer sur ce graphique le nom de chaque courbe.
2°) Déterminer graphiquement :
a) les antécédents – s’ils existent- de zéro par f et par g.
b) les solutions de l’inéquation : f(x) ≥ g(x).

Exercice 2 (8 points)

1°) Soit f la fonction définie par : f(x) = 1 et (Cf) sa représentation graphique dans
x−2

( )un plan muni d’un repère orthonormé O,i, j .

a) Déterminer la nature de (Cf) ainsi que ses éléments remarquables.

b) Tracer (Cf).

2°) Soit f la fonction définie par : g(x) = ax + b et (Cg) sa représentation graphique dans
2x − 4

( )le repère O,i, j .

a) Déterminer a et b sachant que (Cg) passe par les points A(0,-1) et B(4,0).
b) Pour toute la suite, on prendra a = -1 et b = 4. Montrer alors que g(x) = − 1 + 1

2 x−2
c) Justifier comment peut – on obtenir (Cg) à partir de (Cf).
d) Tracer (Cg). En déduire le tableau des variations de g.
e) Résoudre graphiquement l’inéquation : g(x) ≤ 1

3°) Soit h la fonction définie par : h(x) = − 1 + 1 .
2 x −2

a) Montrer que h est paire.
b) Indiquer comment peut – on obtenir (Ch) à partir de (Cg). Tracer alors (Ch).
N.B : utiliser trois couleurs différentes pour les représentations graphiques.

Exercice 3 (8 points)

( )Dans un plan muni d’un repère orthonormé O,i, j , on considère les points A(-3,1),

B(3,3) et C(3,-5).
1°)a) Vérifier que :

i) A, B et C ne sont pas alignés
ii) le cercle (C) circonscrit au triangle ABC a pour équation : x² + y² - 2x + 2y –
18 = 0.
b) Déduire le rayon de ( C ) ainsi que les coordonnées de son centre Ω .
2°) On pose : I = A*B, J = A*C et K = B*C.

166

a) Vérifier que le point G(1, − 1 ) est le centre de gravité du triangle ABC.
3

b) Soit h l’homothétie de centre G et de rapport − 1 . Déterminer les coordonnées
2

du point Ω’ image de Ω par h.
c) En déduire une équation du cercle (C’) image de (C) par h.

d) Vérifier que ( C’) est le cercle circonscrit au triangle IJK.

3°) On désigne par HA, HB et HC les pieds des hauteurs issues respectivement de A, B
et C.

a) Donner une équation cartésienne de la droite (AC).

b) Donner une équation cartésienne de la droite passant par B et perpendiculaire à

(AC).

c) En déduire les coordonnées de HB

d) On admettra que HA(3,1) et que HC  3 , 11  . Vérifier que HA, HB et HC sont situés
 5 5 

sur ( C’).

4°) Soit Dm une droite variable d’équation : y = mx + p où met p sont des
paramètres réels.

a) Déterminer p sachant que Dm passe par le point fixe E(0,4) .
b) Discuter suivant les valeurs du paramètre m le nombre de points communs à(C)

et Dm.

167

Nom : Feuille à remettre
Classe : Prénom :

Exercice 1 Graphique 1

Exercice 3

168

Modèle 3

Exercice 1

Pour chacune des quatre questions, une seule parmi les réponses proposées est
correcte, relever sur votre copie ses références sans aucune justification.
(Exemple: 1°) c))

1°) Si f (x) = x² − 2.x +1 alors (Cf) est:

a) une parabole
b) la réunion de deux demi-droites

c) de même type que (Cg) où g(x) = x + a

2°) ∆ est une droite dont l’équation réduite selon un repère orthonormé est

y = (tgα)x +2 Où α est un réel donné de 0, π −  π  alors le vecteur u  cos α  est
 2   
   sin α 

a) normal à ∆ b) directeur pour ∆ c) ni normal ni directeur pour ∆

3°) Soit f(x) = 3.x² - 5.x + 2 et g(x) = - f(x). On désigne par (Cf) et (Cg) les

courbes respectives f et g selon un repère orthonormé alors (Cf) et (Cg) ont:

a) 2 points communs b) 1seul point commun c) aucun point commun

4°) A et B sont deux points fixes donnés dans un plan muni d’un repère orthonormé.

l’ensemble des points M du plan tels que AM et BM soient orthogonaux a une

équation du type : x² + y² + a.x + b.y + c = 0 où:

a) -5.a² - 5.b² + 20.c < 0 b) 3.a² + 3.b² - 12.c < 0 c) a² + b² - c > 0

Exercice 2

Dans la figure ci-contre ABCDEFGH est un
cube d’arête a.
I désigne le centre de gravité du triangle
CFH.
1°) a) Montrer que le triangle CFH est
équilatéral.
b) Montrer que (AFG) est le plan médiateur
du segment [CH].
B appartient – il à ce plan? Justifier.
2°) Déterminer le plan médiateur de [CF].
3°) Déduire l’axe du cercle circonscrit au
triangle CFH.

169

Exercice 3

Partie A

( )Dans un plan muni d'un repère orthonormé O ,i , j , on considère les points A(6,5) et

C(10, 1)
1°) Vérifier que:

a) le point J(8,3) est le milieu de [AC].
b) la droite ∆: y = x - 5 est la médiatrice de [AC].
2°) Soient B et D les deux points où ∆ coupe le cercle ζ de diamètre [AC] (xB > xD).
Montrer que:

a) ζ a pour équation: x² + y² - 16.x – 6.y + 65 = 0
b) B(10,5) et D(6,1).
c) le quadrilatère ABCD est un carré.
3°) a) Soit M un point variable sur le côté [BC]. En posant BM = a, montrer
que M(10 , 5 – a).
b) Soit le point N(6 +a, 5). Montrer que le triangle MJN est rectangle et isocèle en J.
c) Vérifier que la droite (MN) a pour équation: a.x + (4 – a).y – a² -a – 20 = 0

d) Montrer que MN = 2.a² − 8.a + 16

e) Soit I est le milieu de [CD]. Montrer que d(I,(MN)) = −a² + 6.a −16 = a² − 6.a +16
2.a² − 8.a +16 2.a² − 8.a +16

.

4°) a) Montrer que l’expression de l’aire du triangle IMN est S(a) = 1 a² − 3.a + 8 .
2

b) Pour quelle valeur de a, S(a) est – elle minimale?

Partie B

Soient les fonctions g et f définies sur IR par: g(x) = 1 ( x − 3)2 et f(x) = 1 x2 − 3x + 8
2 2

1°) Soit (Cg) la représentation graphique de g dans un plan muni d’un repère

( )orthonormé O,i, j .

a) Déterminer la nature de (Cg) ainsi que ses éléments remarquables.
b) Tracer (Cg) en bleu.

2°) a) Montrer que pour tout réel x, on a f(x) = g(x) + 7
2

b) Montrer que f est croissante sur [3 , +∞[.
c) Déterminer la transformation géométrique qui nous permet d’obtenir (Cf) à
partir de (Cg).
d) Tracer alors (Cf) – en vert - selon le même repère que (Cg).

Partie C

1°) En posant x = a dans l’expression de f(x), montrer que la représentation
graphique ( Γ) de la fonction S donnée à la question 4°) a) de la partie A est une
partie de (Cf).

170

2°) Colorier en rouge la partie de (Cf) qui correspond à ( Γ).
3°) Déterminer graphiquement, la valeur de a pour laquelle l’aire S(a) du triangle IMN
est maximale.
4°) Interpréter graphiquement le résultat de la question 4°) b) de la partie A.

171

Modèle 4

Exercice n° : 1

la répartition des notes d’un devoir de mathématiques de 60 élèves est donnée par le
tableau suivant :

Notes [8,10[ [10,12[ [12,14[ [14,16[ [16,18[ [18 , 20[

Nombre d’élèves 2 8 6 17 18 9

1°)a- Déterminer le pourcentage des élèves ayant une note supérieure ou égale à 16

b- Déterminer le pourcentage des élèves ayant une note inférieure à 10.

2°) Calculer la note moyenne X de cette série.

3°) Calculer la variance et l’écart type de cette série.

4°) Calculer, par interpolation linéaire, la médiane de cette série. Interpréter ce
résultat.

5°)a) Tracer le polygone des fréquences cumulées croissantes.
b) Déterminer graphiquement le 1er quartile Q1 et le 3ème quartile Q3.

Exercice n° : 2

( )Dans le plan muni d’un repère orthonormé O , i , j , on donne les points A(1 , -1),

B(-3 , 2) et C(2 , 2).
1°)a- Donner une équation cartésienne de la droite (AB).

b- Montrer que la distance du point C à la droite (AB) est égale à 3.
c- Calculer la distance AB en déduire l’aire du triangle CAB.
2°) Soit ∆ la droite d’équation : 4x – 3y - 2 = 0.
Montrer que ∆ est la perpendiculaire à (AB) issue de C.
Déterminer les coordonnées du point d’intersection H de (AB) et ∆.
3°) Soit ζ l’ensemble des points M(x , y) tels que : x² + y² - 4x – 4y – 1 = 0.
Montrer que ζ est un cercle dont on donnera le centre et le rayon.
Vérifier que ζ est tangent à la droite (AB).

172

4°) Soit Dm la droite d’équation : mx – y + 3m + 2 = 0 où m est un paramètre réel

a) Vérifier que pour tout réel m, la droite Dm passe par B.
b) Déterminer m pour que Dm soit tangente à ζ.
c) En déduire une équation de la tangente à ζ issue de B autre que (AB).

Exercice n° : 3

( )Le plan est rapporté à un repère orthonormé O , i , j

1°) Soit f la fonction définie sur IR\{ 2 } par : f(x) = 2. On note ( C ) sa courbe
x−2

représentative.

a) Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation.

b)Tracer ( C ) en précisant son centre et ses asymptotes.

2°) Soit h la fonction définie par : h(x) = 2x et (H ) sa courbe représentative.
x−2

a) Etudier les variations de h sur chacun des intervalles ]- ∞ , 2[ et ]2 , +∞[

b) Tracer, dans le même repère, la courbe (H ) en précisant ses éléments
remarquables

3) Soit F la Fonction définie par : F(x) = 2x
x −2

a) Montrer que F est impaire.

b) Tracer (CF )

4°) Soit G la fonction définie par : G(x) = x −1 + x +1
x −2

a) Exprimer G(x) en fonction de f(x) et h(x).
b) Tracer dans un nouveau repère la courbe de G.

173

Modèle 5

Exercice 1 6 ) et B( 2 3 ,-3 2 ) sont

Répondre par vrai ou faux.

( )1) Dans un repère O, i, j les points O , A(- 2 ,

alignés
2) Dans l’espace, deux droites qui n’ont pas de point d’intersection sont parallèles.

3) ABCDEFGH est un cube. Le triangle
BDE est rectangle en D

4) La figure ci-contre est un cube d’arête

8 cm avec un coin coupé.

De plus : EK = BI = 5 cm et JG = 4 cm.

Le volume de ce cube avec un coin coupé

est 506 cm3

5) La variance de la série statistique suivante : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 est V = 2
6) Si on multiplie chaque valeur d’une série statistique par un réel a (a ≠ 0), alors

la moyenne est multipliée par a.

Exercice 2

Soit ABCD le tétraèdre ci-contre tel que les droites
(AB) et (CD) soient orthogonales.
On appelle H le projeté orthogonal de A sur le plan
(BCD) et K celui de B sur (ACD).
1)a) Démontrer que la droite (CD) est orthogonale à
la droite (AH).

b) En déduire que la droite (CD) est orthogonale au
plan (ABH).
2) Démontrer que la droite (CD) est orthogonale au
plan (ABK).
3) Déduire que les droites (AH) et (BK) sont coplanaires.

174

Exercice 3

( )Dans un repère orthonormé O, i, j , ( (unité 1 cm), on donne les points

A (– 4 ; –1), B (–3 ; 2) et C (2 ; –3)

1) Faire une figure que l’on complètera au fil des questions.

2) Déterminer par le calcul de quelle fonction affine la droite (AC) est la courbe

représentative.

3) Démontrer que le triangle ABC est rectangle, puis calculer son aire en cm2.

( )4)a) Montrer que 25
sin BAC = 5

b) En déduire la valeur approchée arrondie au degré de l’angle BAC .
5) Déterminer par le calcul les coordonnées du points D tel que ABCD soit un

parallélogramme.

6) Soit E un point ayant la même abscisse que C, distinct de C.

Les droites (EC) et (AB) peuvent-elles être parallèles ?

Déterminer par le calcul quelle doit être l’ordonnée de E pour que ABEC soit un
trapèze.

Exercice 4 y
905
Les boites de conserves ont été inventées à 895
une époque ou le métal était assez cher. 885
Les fabricants ont donc cherché à minimiser 875
la quantité de métal utilisée, et donc l’aire 865
de la boite. 855
845
On se propose de chercher le rayon x de la 835
boîte cylindrique de hauteur h contenant un 825
litre. 815
805
1)Exprimer le volume v de la boite en 795
785
fonction de h et de x. Comme ce volume est 775
de 1 000 cm3, en déduire h en fonction de x 765
2)a) Exprimer l’aire latérale de la boite 755
745
(c’est un rectangle) et les aires des deux 735
bases circulaires. 725
715
b) En déduire que l’aire totale (en cm2) 705
695
est : f(x) = 2πx² + 2000 685
x 675
665
655 10 x
645
3) On a tracé la courbe de la restriction de f 635
à ]0 ; 10]. 625
a) Déterminer graphiquement le rayon x
qui rend l'aire de la boite minimale. 0
b) En déduire le diamètre approximatif, puis 615
la hauteur de la boite. 605
Quelle particularité observe-t-on ? 595
585
575
565
555
545

175

Corrigés
devoirs de contrôle

176

Modèle 1
Troisième trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 1– Corrigé Barème

Exercice 1

1°) • P1995 = 3123 0.5
0.5
• P1996 = P1995 - 12 .P1995 = 3123(1 – 0.12) = 2748 0.5
100
2
• P1997 = P1996 - 12 .P1996 = 2748(1 – 0.12) = 2418 2 + 0.5
100
2
2°) a) Pn+1 = Pn - 12 .Pn =(1 – 0.12).Pn = 0.88.Pn ainsi Pn+1 = 0.88.Pn
100 2

b) L’égalité: Pn+1 = 0.88.Pn est du type Pn+1 = q.Pn où q = 0.88 est

une constante réelle (indépendante de n).

alors (Pn) est une suite géométrique de raison q = 0.88 et de 1er terme

P1995.

Ce phénomène peut alors être schématisé par la suite (Pn) où n ∈ IN et

n ≥ 1995

3°) P2006 = 0.8811x P1995 = 765 (Un = qn-p.Up)

4°) La question revient à déterminer la plus petite valeur de n pour

laquelle Pn < 1 .P1995 signifie 0.88n x P1995 < 1 .P1995
3 3

signifie 0.88n < 1 en se servant d’une calculatrice, on trouve que
3

la valeur cherchée de n est 9 et par suite, à partir de 2004, au moins

les deux tiers des habitants de ce village l'auraient quitté.

Exercice 2
1°) a) On a A(-2,2),
B(6,7) et C(-1,-3)

1
177

b)• A(-2,2) et B(6,7) alors AB 8 , A(-2,2) et C(-1,-3) alors AC  1
 5   −5

• dét( AB , AC ) = 8x(-5) – 5x1 = -45 ≠ 0 donc AB et AC ne sont pas
colinéaires et par suite A, B et C ne sont pas alignés.

• abs( AB ). abs( AC ) + ord( AB ).ord( AC ) = 8x1 + 5x(-5) = -17 ≠ 0
donc le triangle ABC n'est pas rectangle en A.

2°) a) ∆1 est parallèle à (AB) donc elle admet AB  8  pour vecteur
 5 
 

directeur alors ∆1 : 5x – 8y + c1 = 0 2x0.5
1
de plus, on a C(-1,-3) ∈ ∆1 alors 5x(-1) – 8x(-3) +c1 = 0 alors c1= -19 1

alors ∆1 : 5x – 8y - 19 = 0 1.5

b) ∆2 est parallèle à (AC) donc elle admet AC  1  pour vecteur
 −5 
 

directeur alors ∆2 : -5x –y + c2 = 0

de plus, on a B(6,7) ∈ ∆2 alors -5x6 – 7 +c2 = 0 alors c2= 37

alors ∆2 : -5x – y + 37 = 0 signifie ∆2 : 5x + y - 37 = 0

3°) D(x,y) ∈ ∆1 ∩ ∆2 signifie  5x – 8y = 19 (1)
5x + y= 37 (2)

(2) – (1) signifie 9y = 18 signifie y = 2 donc D(7,2)

(2) signifie 5x = 35 signifie x = 7 

4°) On a ∆1 =(CD) // (AB) et ∆2 =(BD) // (AC) 1.5
1.5
signifie le quadrilatère ABDC est un parallélogramme signifie AB = CD

Soit D(x,y) d’où CD  x + 1  = AB  8 signifie x +1= 8 signifie
 y + 3   5   +3=5
y

x = 7 ainsi D(7,2)
y = 2

1.5

178

Modèle 2

Troisième trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 2– Corrigé Barème

Exercice 1

1°) Une suite arithmétique -définie par sur IN ou sur IN privé de

certains de ses éléments- est parfaitement définie par la donnée de son
1er terme et sa raison.

Dans notre cas, on a: le 1er terme est U0 = 8

et U5 = -12 = U0 + 5r signifie 8 + 5r = - 12 signifie r = -4 2
1
donc ces données sont suffisantes pour définir cette suite.
1
2°) 20 est l’un des termes de U s’il existe n ∈ IN tel que un = 20

signifie U0 + 5r = 20 signifie 8 – 5n = 20 signifie n = -3 ∉ IN

donc 20 ne peut pas être l’un des termes de U.

3°) On a: - 2.un =-2(U0 + nr) = =-2(8 - 4n) =8n – 16

Il faut que: [ 8n −16 = n −1] ∈ IN signifie n−2 ∈ IN
16 2 2

signifie (n – 2) est pair et puisque n et (n – 2) sont de même parité

Il faut alors que n soit pair et supérieur à 2.

Exercice 2

1°) • V une suite géométrique définie sur IN par : V1 = 1 et V4 = 4;
2

soit q la raison de cette suite alors V4 = V1q3 1

signifie q3 = V4 = 4 = 8 = 23 signifie q = 2 d onc c’est vérifié. 0.5
V1 1 1
0.5
2 1.5

• V étant définie sur IN alors son premier terme est V0 1.5

1

et V0 = V1 = 2 = 1
q 2 4

2°) V étant définie sur IN alors son 7ème terme est V6
1ère méthode : V6 = V4q2 = 4x4 = 16

2ème méthode : V6 = V0q6 = 1 x26 = 24 = 16
4

3°) Vn = 256 signifie 2n.V0 = 256 signifie ( 1 )2x2n = 28
2

Signifie 2n-2 = 28 Signifie n = 10

4°) A = V4 + V5 + V6 + V7 + V8 + V9

∑ ∑9 3 = V0 1 − q10 - V0 1 − q4 = V0( 1 − 210 - 1 − 24 )
1−q 1−q 1−2 1−2
= Vk − Vk
k=0 k=0

= 1 (210 – 1 – 24 + 1) = 256 – 4 = 252
4

179

Exercice 3 3x0.5
1) a) Voir figure

b) i) B’ = r1(C) où r1 est la 1
rotation indirecte de centre A et
d’angle π signifie le triangle

3
AB’C est équilatéral direct.

ii) A’ = r2(B) où r2 est la 1
rotation indirecte de centre C et

d’angle π signifie le triangle
3

BCA’ est équilatéral direct.

iii) A = r3(C’) où r3 est la 0.5
rotation directe de centre B et
d’angle π signifie le triangle

3
ABC’ est équilatéral direct.

c) le triangle AB’C est équilatéral alors AB’ = AC

le triangle ABC’ est équilatéral alors AC’ = AB

le triangle ABC est isocèle en A alors AB = AC

AB’ = AC donc AB’ = AC’ = AB = AC donc A est le centre du cercle 1
AC’ = AB
AB = AC  1
1.5
circonscrit au quadrilatère CBC’B’ (A, B et C’ ne sont pas alignés)

2°) a) Soit r la rotation directe de centre A et d’angle π
3

ABC’ est équilatéral direct signifie r (B) = C’  donc BB’ = CC’ (1)

AB’C est équilatéral direct signifie r (B’) = C

b) On a r3(C’) = A et r3(C) = A’ alors CC’ = AA’ (2)

de (1) et (2), on déduit que AA’ = BB’ = CC’

3°) a) • Le triangle ABC est isocèle en A alors AC B = ABɵ C

Le triangle AB’C est équilatéral alors B'C A = π
3

Le triangle ABC’ est équilatéral alors ABɵ C ' = π ¨
3

180

AC B = ABɵ C 

Le triangle ABC est isocèle en A alors B 'C A = π 
Le triangle AB’C est équilatéral alors 3 


Le triangle ABC’ est équilatéral alors ABɵ C' = π 
3

alors B ' C A + AC B = ABɵ C ' + ABɵ C alors B ' C B + BC A ' = C 'Bɵ C + CBɵ A ' 0.5

alors B ' C A ' = C 'Bɵ A ' (a) 0.5
0.5
• d’autre part, on a CB’ = CA, BC’ = BA et CA = BA alors CB’ = BC’ (b) 0.5
0.5
• A’BC est équilatéral alors A’C = A’B (c)

(a), (b) et (c) donnent les deux triangles CA’B’ et BC’A’ sont

isométriques.

b) i) les deux triangles CA’B’ et BC’A’ sont isométriques et les sommets

C, A’ et B’ sont les homologues respectifs de B, A’ et C’ donc A’B’ = A’C’

ainsi le triangle A’B’C’ est isocèle en A’.

ii) On a A’B’ = A’C’ et AB’ = AC’ (d’après 1°) c))

alors (AA’) est la médiatrice de [B’C’].

4°) a) On a A’B = A’C (A’BC est équilatéral) et AB = AC

alors (AA’) est la médiatrice de [BC] signifie S(AA’)(B) = C.
b) On a {O} = (AA’) ∩ (BB’)

donc { S(AA’)(O)} = S(AA’) ((AA’)) ∩ S(AA’ )((BB’)) = (AA’) ∩ (CC’) = {O}

alors O ∈ (CC’) (S(AA’)(O) = O car O ∈ (AA’))

et ainsi (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes en O.

181

Modèle 3

Troisième trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 3– Corrigé Barème

Exercice 1 0.75
I) 1°) f possède: 0.75
• un maximum de valeur 3.4 en x0 = 1.5
• un minimum de valeur -0.25 en x1 = 4.5 1
2°) L’ensemble des réels qui semblent avoir trois antécédents est
[-0.25 ; 3.4[ 1
3°) Si x ∈[4;5] alors f (x) appartient à [-0.25; 0]

4°) 1.5 4.5 6
x -1 3.4 -0.25
3
f(x) 1.5
-7.5

5°) f n’est pas impaire 0.5
1
6°)

x -1 0 4 5 6
0 +
f(x) - 0 + 0 -

7°) g(x) = f(x + 1) alors Cg = t−i (Cf)

1

182

1

1.5

II) 1°) x (x − 4)(x − 5) = x (x² - 5x - 4x + 20) = x (x² - 9x + 20)
4 4 4

= 1 x3 − 9 x2 + 5x = f(x)
4 4

2°) Soit a, b ∈ [5, 6] et a < b

• a ∈ [5, 6] donc a > 0, a> 4 et a ≥ 5 donc a > 0, a − 4 > 0 et a − 5 ≥ 0 0.5
4 0.5

• b ∈ [5, 6] donc b > 0, b> 4 et b ≥ 5 donc b > 0, b − 4 > 0 et b − 5 ≥ 0
4

0 < 0 < a < b −  alors a (a − 4)(a − 5) < b (b − 4)(b − 5)
a − 4 < b 4 4 4
0 ≤ a − 5 < b − 5

Ainsi f(a) < f(b) donc f est strictement croissante sur [5, 6].

Exercice 2
1°) D’après les trois cas de figure ci –
joint:
i) si S appartient au segment
[OJ] \ {O,J} :
ce qui revient à dire que l’ordonnée de S
appartient à ]0,1[
alors il existe deux points M1 et M2 de ζ
admettant S comme projeté orthogonal
sur cet axe

183

ii) si S appartient à {O,J} : ce qui revient à dire que S =O ou S = J 0.5
alors il existe un seul point M de ζ admettant S comme projeté 1.5
orthogonal sur cet axe.

1.5

iii) si S n’appartient pas au segment [OJ] : ce qui revient à dire que 0.5
l’ordonnée de S n’appartient pas à ]0,1] 0.5
alors il n’existe aucun point de ζ admettant S comme projeté 2
orthogonal sur cet axe.
2°) D’après la définition du sin et les résultats de la question 1°), on
déduit que:

pour tout α ∈ [0,π], on a: 0 ≤ sinα ≤ 1
3°) s ∈ [0,1]
alors il existe un seul point S de l’axe des ordonnées ayant s pour
ordonnée
alors il existe au moins un point M de ζ ayant s comme ordonnée
et vu qu’ à chaque réel β appartenant à l’intervalle [0,π] ne correspond
qu’un seul point M de ζ
tel que IÔM = β
alors pour tout s ∈ ]0,1[ il existe deux réels distincts β1 et β2
appartenant à l’intervalle [0,π]
tel que: sinβ1 = sinβ2 = s

Exercice 3 0.5
2
1°) On a R = F1 + F2 . signifie OC = OA +

OB

signifie OACB est un parallélogramme signifie C =
SI(O) (où I= A* B)

2°) • on a: R = OC

• On a OÂC et AÔB sont deux angles consécutifs
d’un parallélogramme alors ils sont
supplémentaires donc OÂC = 180 – 50 = 130°
• L’application d’EL-Kashi dans le triangle OAC nous
mène à:

184

OC² = AO² + AC² - 2.AO.AC.cos OÂC
= 250² + 460² - 2 x 250 x 460 x cos OÂC
= 274100 – 230000. cos OÂC

ainsi R = OC ≃ 651.92 N

3°) D’après la loi des sinus dans le triangle OAC, on aura:

sin  = sin Ô d’où sin  = sin Ô
OC AC R F2

donc sin Ô = F2 .sin  = 460 x sin130 donc AÔC = 32.72°
R 651.92

185

Modèle 4

Troisième trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 4– Corrigé Barème

Exercice 1 : 3
C1 → f.g , C2 → f − g , C3 → f + g 2.5
Exercice 2 : 1.5

( )1°)a) on a : BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC. cos BAC
( )Donc cos BAC = AB2 + AC2 − BC2

2.AB.AC

( )Donc cos BAC = 20² + 30² − 16² =0.87.
2x20x30

( )b) cos BAC =0.87 donc BAC ≅ 300

2°)a) on désigne par A l’aire du triangle ABC. 2.5
1.5
( )AB * AC * sin BAC = 30 * 20 * sin(29.5) ≈147.73 m². 3

on a : A = 2
22

b- le prix de vente de ce terrain est : 91x147.73 = 13443.43 dinars.

Exercice 3 :

1)

AED + EDA = π 
2 

π 
MCD + CMD = 2  ⇒ MCD = MDH = EDA .

EDA = CMD 


Les deux triangles ADE et MCD sont tels

que EAD = MDC = π et EDA = MCD alors ils sont semblables.
2

2)Les deux triangles ADE et MCD sont semblables alors

AE = AD ⇔ AE = 9 ⇒ AE = 3.
MD DC 5 15

186

3)Appliquons Pythagore dans le triangle rectangle AEM : ME = 2
AE² + AM² = 5 . 2

4) MD = ME  ⇒ (MC) est la médiatrice du segment [DE].

(MC) ⊥ (DE)

187

Modèle 5

Troisième trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 5– Corrigé Barème

Exercice 1

f (x) = x2 - 4x + 3 et g la fonction définie sur IR\{3} par : g(x) = x −1
x −3

.

1)a) Soit a et b deux réels de IR\{3} tels que a ≠ b.

2x1.5

g(b) − g(a) = b −1 − a−1 = (b −3 − 3)
b − a b −
−3 a−3 3) (a
b a −

Si (a > 3 et b > 3 ) ou (a < 3 et b < 3 ) alors g(b) − g(a) < 0 donc g est
b − a

strictement décroissante sur chacun des intervalles ]- ∞ , 3[ et ]3, +∞[.

b)

2012 ∈ 3, +∞ ,2011 ∈ 3, +∞  ⇒ g(2011) > g(2012) alors 1
g est strictement décroissante sur 3, +∞ 


2011 < 2010 . 0.5
2009 2008
2)a) f(2) = g(2) = -1

b)

f(x) = g(x) ⇔ x² − 4x + 3 = x −1 ⇔ x3 − 7x² + 15x − 9 = x −1 et x ≠ 3 2
x −3

⇔ x3 − 7x² + 14x − 8 = 0 et x ≠ 3

or 3 n’est pas une solution de ( E ).Donc (E) : x3 - 7x2 +14x - 8 = 0 est 0.75
équivalente à f (x) = g(x) .

c) Les solutions de l’équation (E ) sont les abscisses des points
d’intersection des deux courbes. Donc les solutions sont 1, 2 et 4.

3)a) x un réel de [0 , 3[

f(x) ≤ g(x) ⇔ x² − 4x + 3 ≤ x −1 ⇔ x3 − 7x² + 15x − 9 ≥ x −1 car x ∈ 0, 3 2
x −3 0.75

⇔ x3 − 7x² + 14x − 8 ≥ 0 et x ∈ 0,3

188

b) S[0,3[=[1,2].
Exercice 2 :

Soit ABC un triangle et (ζ) 1.5
son cercle circonscrit. La
bissectrice intérieure de 0.75
l’angle BÂC coupe [BC] en D 1.5
et (ζ) en I. 0.75
0.75
1) a- On a (AI) est la 0.75
1.5
bissectrice intérieure de BAC

alors BAD = IAC . Les angles

ABC et AIC sont deux angles
inscrits dans le cercle ζ qui

interceptent le même arc AC
alors ils sont égaux. D’où les
triangles ABD et AIC sont
semblables.

b) les triangles ABD et AIC sont semblables sign

AB = AD = BD ⇒ ABxAC = ADxAI .
AI AC IC

2)a) On a

ABD = DIC (opposés par le sommets) ⇒ ABD et CID sont semblables.
ADB = IDC

b) On a ABD et CID sont semblables sign

AB = AD = BD ⇒ ADxID = BDxCD .
CI CD ID

3) D ∈ [AI] alors AI = AD + DI.

On a AB×AC = ADxAI = ADx(AD + DI) = AD² + ADxDI = AD² + BD×DC.
4) On pose BC = a , AC = b et AB = C

a) D’après le théorème des bissectrices on a: DB = AB = c
DC AC b

D∈[BC] alors DB+DC= BC = a.

b) En déduire que

DB = b  c .DB = DC  DB + c .DB = a ac
DC c  b  b  b+c
a ⇒ ⇒  ⇒ DB = et
c .DB 
DB + DC = DB + DC = a b = DC

189

DC = ab .
b+c

c) AB×AC = AD² + BD×DC alors

AD = ABxAC − BDxCD = bc − ac . ab = bc(b + c)² − a²bc 1.5
b+c b+c b+c 1

= bc (b + c)² − a²)
b+c

= bc(b + c − a)(b +c+ a) = bc(2p − 2a)2p = 2 bcp(p − a)
b+c b+c b+c

5°) On donne BC = 12, AB = 8 et AC = 6.

AD = b 2 c bcp(p − a) = 2 6x8x26(26 − 12) = 1 17472 = 4 1092 ≅ 18,88
+ 14 7 7

190

Modèle 6

Troisième trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 6– Corrigé Barème

Exercice 1
1°)

1

2°) a)

x -∞ -1 0 1 +∞ 2
f(x) -4 -3 -4
1
b) • 1 et 2 ∈ [0;1], f est décroissante sur[0;1] et 1 < 2
4 3 4 3 1
1
alors f ( 1 ) > f ( 2 ) 1
43 1.5

• 3 et 4 ∈ [1; +∞[, f est croissante sur[1; +∞[, et 3 < 4
alors f (3) > f (4)

3°) a) • f(x) = -4 alors S[0,2] = {1}
• f(x) < -4 alors S[0,2] = {}
b) d’après a), pour tout x ∈ [0,2], f(x) ≥ -4 signifie f(x) ≥ f(1)
et on a 1 ∈ [0,2] donc f admet en 1 un minimum de valeur -4.

191

4°) Soit x1, x2 ∈ ]-∞, -1] avec x1 < x2 1.5

( ) ( )f(x1) - f(x2) = x14 − 2x12 − 3 - x24 + 2x22 + 3 = x12 - x22 x12 + x22 − 2

• on a x1, x2 ∈ ]-∞,-1] donc x1 ≤ -1 et x2 ≤ -1 donc (x1)² ≥ 1 et (x2)² ≥ 1

ainsi (x1)² + (x2)² ≥ 2 signifie x12 + x22 − 2 >0 (1)
• x1 < x2 < 0 alors (x1)² > (x2)² signifie x12 - x22 > 0 (2)

(1) et (2) donnent f(x1) - f(x2) > 0 signifie f(x1) > f(x2)
Par suite f est strictement décroissante sur ]-∞,-1].

Exercice 2
O'(2,0), A(2,2) et B(4,-2).
1°) Le cercle ( ζ ) de centre O' et qui passe par A a pour:

• rayon O’A = (2 − 2)2 + (2 − 0)2 = 2

• équation: (x – 2)² + y² = 4 signifie x² + y² - 4x = 0 2

2°) a) • Le vecteur AB  2  est un vecteur directeur pour la droite (AB) 1
 −4  1
 

Alors (AB) a pour équation: -4x – 2y + c = 0 ;
A(2,2) ∈ (AB) signifie -4x2 – 2x2 + c = 0 signifie c = 12
Signifie (AB): -4x – 2y + 12 = 0 Signifie (AB): 2x + y - 6 = 0

• d(O’, (AB)) = 4−6 = 25 < 2: rayon de ( ζ ) alors la droite (AB)
4 +1 5

recoupe ( ζ ) en un point D distinct de A.

b) M(x,y) ∈ D  y = − 2x + 6 (a)
∩ ( ζ ) signifie  (b)
x² + y² − 4x = 0

d’après (a), (b) signifie 5x² - 28x + 36 = 0 ∆’ = (-14)² - 5x36 = 16

donc x’ = 14 − 4 =2 et x’’ = 14 + 4 = 18
5 5 5
2
alors y’ = 2 et y’’ = − 6 2
5

alors (AB) et ( ζ ) se coupent aux points A(2,2) et D( 18 , − 6 )
5 5

3°) a) Le cercle ( ζ ') de centre O et de rayon 1 a pour équation: x² + y²

=1

 x² + y² = 1 (1)
E(x,y) ∈ ( ζ ’) ∩ ( ζ ) signifie 
x² + y² − 4x = 0 (2)

(1) et (2) donnent x² + y² -1 = x² + y² - 4x signifie x = 1
4

donc y² = 1 - 1 = 15 alors y = 15 ou y= − 15
16 16 4 4

192

donc E( 1 , 15 ) et F( 1 , - 15 )
44 44

b) On E ∈ ( ζ ’) et ord€ > 0 signifie E est sur le demi - cercle

trigonométrique d’où cos(IÔE) = abs(E) = 1 donc IÔE ≃ 76° 1
4
0.5
c) • 14 et 76 sont complémentaires alors sin14° = 1 0.5
4

• 104 et 76 sont supplémentaires alors cos104° = - cos76 = - 1
4

193

Modèle 7

Troisième trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 7– Corrigé Barèm
e

Exercice 1 3x0.5
1°) D’après la courbe proposée, on a:a) f(0) = 6; f(4) =2 et f(-1)=12
b) L’ensemble de solutions de : 0.5
i) f(x) = 0 est {2, 3} 0.5
ii) f(x) = -2 est l’ensemble vide 0.5
iii) f(x) ≥ 6 est ]-∞, 0] ∪ [5, +∞[ 0.5
iv) f(x) < 0 est ]2, 3[
2°)

3

Exercice 2

Un= 1 n + 1 ; Vn = (n + 2).2n et Wn = Vn
2 Un

Wn+1 Vn+1 x Un = (n + 3)2n+1 1 n + 1 (n + 3)x2 n+2
Wn Un+1 Vn 2 n+3 2(n + 2)
1°) = x = x
1 (n + 2)x2n
2 (n + 1) + 1
2

= 4x 1 = 2: c’est une constante indépendante de n 2
2

donc (Wn) est une suite géométrique de raison q = 2 et de 1er terme

194

W0 = V0 = 2 =2 0.5
U0 1 1

2°) a) Wn = Vn = Vn = Vn = 2Vn = 2  1  Vn
Un Un n+2  + 
n + 1 n 2
2

b) S = 1 V0 + 1 V1 + 1 V2 + ..... + 1 V8 + 1 V9
2 3 4 10 11

=  0 1 2  V0 +  1 1 2  V1 +  2 1 2  V2 + ..... +  8 1 2  V8 +  9 1 2  V9
 +   +   +   +   + 

= 1   0 1 2  V0  + 1   1 1 2  V1  + 1   2 1 2  V2  + .. + 1   8 1 2  V8 
2 2  +   2 2  +   2 2  +   2 2  +  
       

+ 1   9 1 2  V9
2 2  + 

1 1 1 − 210 = 1 x2x 1
2 2 1−2 2
( ) ( )( )= 1.5
W0 + W1 + .... + W9 = .W0. 210 −1 = 210 − 1 = 1023 1.5
2
Exercice 3 1

Pour tout x ∈ [0,π], f(x) = 3.cos²x + 6.sinx.cosx – 5. 1

1°) • f  π  = 3x0 + 6x1x0 – 5 = -5
 2 

• f  2π  = 3x  − 1 2 + 6x 3 x  − 1  − 5 = 3 − 63 − 20 = - 17 + 6 3.
 3   2  2  2  4 4 4 4

2°) a) x et y sont supplémentaires alors cosy = -cosx et siny = sinx

donc f(x) + f(y) = 3.cos²x + 6.sinx.cosx – 5 +3.cos²x - 6.sinx.cosx – 5

= 6.cos²x – 10 = 6(1 –sin²x) -10 = -6.sin²x -4

b) • D’après a), on peut déterminer l’mage du supplémentaire de 5π qui
12

est π − 5π = 7π
12 12

• On a f( 5π ) + f( 7π ) = -6.sin²( 5π ) -4
12 12 12

signifie α + f( 7π ) = -6[ 6+ 2 ]² - 4 = -6  6 + 2+2 12  -4
12 4  16 

signifie f( 7π ) = -α - 4 -3  2 + 3  = - 2α + 14 + 3 3
12  2  2

3°) a) Pour x ∈ [0,π]\{ π }, cosx ≠ 0
2

alors f(x) = cos²x(3 + 6 sin x - 5 )
cos x cos ²x

195

= 1 [3 + 6.tgx -5 (1 +tg²x)] = 1 (-5.tg²x + 6.tgx – 2) 1
1 + tg²x 1 + tg²x 1
1
b)• Pour x ∈ [0,π]\{ π }, 1 >0
2 1 + tg²x

alors f(x) prend le signe de -5.tg²x + 6.tgx – 2

en posant t = tgx, -5.tg²x + 6.tgx – 2 = -5.t² + 6.t – 2 et ce trinôme

pour discriminant :∆ = 6² -4x(-5)x(-2) = -4 < 0
alors f(x) prend le signe de -5 < 0

• de plus, on a f  π  = -5 < 0 (d’après 1°)
 2 

Résumé: Pour x ∈ [0,π], f(x) < 0
c) f(x) = 2 n’a aucune solution car sinon on peut avoir f(x) > 0 : ce qui

est en contradiction avec 3°) b).

196

Modèle 8

Troisième trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 8– Corrigé Barème

Exercice 1

Droite Point Vecteur Coefficient Equation
directeur directeur cartésienne
x + 2y - 7 = 0
D2 B(1,3)  −2 − 1 2
u  2 x + 2y - 4 = 0 2
2
1 2x - y + 1 = 0
1.5
u 2 1
D3 A(0,2)  −1 − 2


u 1
D1 C(0,1)   2
 2 

Exercice 2
1°) la droite D coupe l’axe des ordonnées au point A(0,2) alors
l’ordonnée à l’origine est 2 le coefficient directeur est (- 3)
Donc D: y = -3x + 2
2°) a) l’équation: (4m – 5).x + 3m.y + m – 1 = 0 est du type
ax + by + c = 0 où a = 4m – 5 et b = m – 1

197

a = 0 signifie m = 5 et b = 0 signifie m = 1 donc il n’ya pas une 1
4 1

valeur de m pour laquelle a et b sont nuls à la fois, par suite Dm est une 0.5
droite pour tout réel m.

b) Dm est parallèle à D si elles ont le même coefficient directeur

donc 4m − 5 = −3 signifie 9m – 4m = -5 (m ≠ 0) signifie m = -1 = m0
−3m

c) Im ∈ D ∩ Dm signifie -3x + 2 = (4m – 5).x + m – 1

-3m

signifie 9mx – 6m = 4mx – 5x + m – 1 signifie x = 11m − 1
5m + 5

alors y= −33m + 3 − 5m − 5 = −38m − 2 = − 38m + 2
5m + 5 5m + 5 5m + 5

donc Im( 11m − 1 , − 38m + 2 )
5m + 5 5m + 5

Exercice 3 2

f(x) = x + 2
1°) • f est définie si x ≥ -2 donc Df = [-2, +∞[
• Sens de variations: Soit a et b ∈ [-2, +∞[ avec a< b

D’où -2 ≤ a < b signifie 0 ≤ a + 2 < b + 2 d’où a + 2 < b + 2
Ainsi f(a) < f(b) et par suite f est strictement croissante sur [-2, +∞[

• si x tend vers +∞, f(x) tend vers +∞.

x -2 +∞
+∞
f(x)
0

1

198

2°) M(x,y) ∈ Cf ∩ Cg signifie x + 2 = x + 2 et x ≥ -2 2

Signifie x + 2 = x² + 4x + 4 et x ≥ -2 1
Signifie x² + 3x + 2 = 0 et x ≥ -2, 1
on a 1 – 3 + 2 = 0 alors x’ = -1 ≥ -2 et x’’ = -2 ≥ -2 2
par suite Cf et Cg se coupent en deux points : A(-2, 0) et B(-1, 1) 1

Exercice 4
1°) (P) étant une parabole de sommet
S(1, -2) donc son axe de symétrie est
∆: x = 1, alors le reste de (P)
s’obtiendra par la symétrie orthogonale
par rapport à ∆ de la partie tracée

2°) (P) étant une parabole alors

(P): y = ax² + bx + c

où a ∈ IR* et b, c ∈ IR

on a xS = − b =1 d’où -b = 2a
2a

d’où (P): y = ax² - 2a.x + c

de plus, on a f(1) = -2 et f(2) = 1

signifie a4a− 2a + c = −2
− 4a + c =1

signifie ac = 3 d’où (P): y = 3x² - 6.x+1
= 1

3°) On a: 3(x – 1)² = 3x² -6x + 3

= 3x² -6x + 1 + 2

et on a (P1): y = 3(x – 1)² et (P2): y = 3x² - 6.x + 1

alors (P1) = t ((P2))
2.j

199