ฟังก์ชัน(พื้นฐาน)

ความสัมพันธ์ (Relation) 2. จงสร้างค่อู นั ดบั ท้งั หมดท่มี ีสมาชกิ ตวั หน้าอยู่ใน
เซต B และสมาชกิ ตัวหลังอยู่ในเซต A
ⵙ ค่อู นั ดบั (Order Pairs)
……………………………………………………
อนั ดบั (Ordered) คอื สญั ลกั ษณท์ ่แี สดงการ ……………………………………………………
จบั ค่รู ะหว่าง 2 สง่ิ เช่น ระยะทางกบั เวลา ……………………………………………………

ถ้าเราจะแสดงการจับค่รู ะยะทาง (กโิ ลเมตร) กบั ⵙ การเท่ากนั ของคู่อนั ดบั
เวลา (ช่วั โมง) เราจะเขียนระยะทางกบั เวลาลงใน
วงเลบ็ เลก็ และค่นั ด้วยเคร่ืองหมายจุลภาค เช่น บทนยิ าม
ค่อู นั ดบั a,b c,d กต็ ่อเม่อื a c
(200, 4) จะหมายถึงระยะทาง 200 กโิ ลเมตร
ต้องใช้เวลา 4 ช่วั โมง เป็นต้น และ b d เม่อื a,b,c และ d เป็นจานวนจริง
ใด ๆ
คู่อนั ดบั ประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว คือ สมาชิก ตวั อย่าง กาหนดค่อู นั ดบั ต่อไปน้ี จงหาค่า a,b
ตวั หน้า และสมาชิกตวั หลัง เช่น
ใด ๆ
a,b อ่านวา่ คู่อนั ดบั เอบี
ซ่งึ a เป็นสมาชกิ ตวั หน้าหรือสมาชิกตวั ท่หี น่ึง 1. a,b 3, 4
ของ a,b และb เป็นสมาชกิ ตัวหลังหรือสมาชิกตัวท่ี ……………………………………………………
สองของ a,b
(3, 9) อา่ นว่า ค่อู นั ดับ สามเก้า 2. a 1 , b 2 2, 7
ซ่งึ 3 เป็นสมาชกิ ตวั หน้าหรือสมาชกิ ตวั ท่หี น่ึง
ของ (3, 9) และ 9 เป็นสมาชิกตวั หลังหรือสมาชกิ ตัว ……………………………………………………
ท่สี องของ (3, 9) ……………………………………………………
……………………………………………………
หมายเหตุ ……………………………………………………

การเขียนคู่อนั ดบั จะสบั เปล่ยี นสมาชิกไม่ได้ 3. a 1, 2a b 3, 5
เพราะจะทาให้ความหมายเปล่ยี นไป
……………………………………………………
ตวั อย่าง ให้ A 0,1,2 และ B 0, 1, 2 ……………………………………………………
……………………………………………………
1. จงสร้างค่อู นั ดบั ท้งั หมดท่มี ีสมาชิกตัวหน้าอยู่ใน ……………………………………………………
เซต A และสมาชิกตวั หลังอยู่ในเซต B ……………………………………………………

…………………………………………………… 4. 2a b , 24 6, 3a b
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 2

5. a b ,a b 1, 3 ⵙ ผลคูณคารท์ ีเชียล
ให้เซต และ จะได้
……………………………………………………
…………………………………………………… เซตของค่อู นั ดบั ท่มี สี มาชิกตัวหน้าเป็นสมาชกิ ของ
…………………………………………………… เซต และสมาชกิ ตัวหลังเป็นสมาชกิ ของเซต
……………………………………………………
…………………………………………………… เรียกเซตน้ีว่า ผลคูณคาร์ทเี ชียลของ และ
……………………………………………………
…………………………………………………… บทนิยาม
…………………………………………………… ผลคณู คาร์ทเี ชียลของ และ คือ เซตของ

6. 3x y, 2x y y 4, x 8 ค่อู นั ดับท้งั หมดท่มี ีสมาชิกตัวหน้าเป็นสมาชิกของ
และสมาชกิ ตวั หลังเป็นสมาชกิ ของ
……………………………………………………
…………………………………………………… อา่ นว่า เอ คูณ บี
…………………………………………………… เขยี น ในรูปของเซตแบบบอกเง่อื นไขได้
…………………………………………………… ดังน้ี และ
……………………………………………………
…………………………………………………… ตวั อย่างที่ 1 ให้
…………………………………………………… จงหา
……………………………………………………
…………………………………………………… 1.
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
2.
7. a2 1, b 4 2a ,b2 2 ……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… 3.
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… 4.
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 3

ตวั อย่างที่ 2 กาหนด A 1,2, 3 , B 2, 3 , บบ กหดั
และ C จงหา
1. จงหา A B เม่อื กาหนด A และ B ต่อไปน้ี
1. A B
…………………………………………………… 1.1 A 1, 2 และ B 3, 6, 7
……………………………………………………
……………………………………………………
จะเหน็ ว่า n(A B) ……………………………
1.2 A 1, 0,1 และ B 0,1, 2
2. B A
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
1.3 A a,b,c และ B e, f
จะเหน็ ว่า n(B A) ……………………………
……………………………………………………
3. A C
…………………………………………………… 1.4 A 1, 2 และ B 1, 2, 3
……………………………………………………
……………………………………………………
จะเหน็ ว่า n(A C) ……………………………
2. ให้ A 1, 5 , B 5, 4 , C 1, 4 จงหา
4. C A
…………………………………………………… 2.1 (A B) (A C )
……………………………………………………
……………………………………………………
จะเหน็ ว่า n(C A) …………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
5. B C
…………………………………………………… 2.2 A (B C )
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
จะเหน็ ว่า n(B C ) …………………………… ……………………………………………………

4. C B 2.3 A (B C )
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
จะเหน็ ว่า n(C B) ……………………………
3. ถ้า A มจี านวนสมาชิก p ตวั และ B มีจานวน
Note… สมาชกิ q ตวั จงหา

ให้ A และ B เป็นเซตจากดั จะได้ 3.1 n(A B) …………………………..…
3.2 n(B A) ……………………………..
n(A B) n(A) n(B) 3.3 n(A A) …………………………..…
3.4 n(B B) …………………………..…

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 4

ⵙ ความสมั พนั ธ์ (Relation)
เน่ืองจาก ผลคูณคาร์ทเี ชียลของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ท้งั หมด โดยท่ี a เป็น

สมาชิกของ A และ b เป็นสมาชิกของ B ถ้าแทนความสมั พันธ์ r อาจกล่าวได้ว่า ความสมั พันธเ์ ป็นสบั เซตของ
ผลคูณคาร์ทเี ชียลของเซต A และเซต B หรือเขียนได้ว่า r A B และเรียก r ว่า ความสมั พันธจ์ าก A ไปB

r เป็นความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B กต็ ่อเม่อื r เป็นสบั เซตของ A B

ตวั อยา่ งที่ 1 กาหนดให้ A a,b , B c จงหา เซตท้งั หมดท่เี ป็นความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B

…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..

ตวั อย่างที่ 2 กาหนดให้ A a,b , B c,d จงหา เซตท้งั หมดท่เี ป็นความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B

…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..

ตวั อย่างที่ 3 กาหนดA 1,2 , B 2, 3
1. r1 1,2 , 1, 3 , 2, 3 เป็นความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B หรือไม่

…………………………………………………………………………………………………………………..

2. r2 2,2 , 2,1 , 3,1 เป็นความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B หรือไม่

…………………………………………………………………………………………………………………..

3. r3 1,1 , 1,2 , 2,2 เป็นความสมั พันธใ์ น A หรือไม่

…………………………………………………………………………………………………………………..

4. r4 2,2 , 2, 3 , 3,1 เป็นความสมั พันธจ์ าก B ไป A หรือไม่

…………………………………………………………………………………………………………………..

5. r5 2,2 , 2, 3 , 1, 3 เป็นความสมั พนั ธใ์ น B หรือไม่

…………………………………………………………………………………………………………………..

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 5

ตวั อย่างที่ 4 กาหนดให้ A 3, 5, 8 , B 2, 6, 9
ถ้า r1 เป็นความสัมพนั ธ์ “น้อยกว่า” จาก A ไป B
และ r2 เป็นความสมั พนั ธ์ “เท่ากบั ” จาก A ไป A

จงเขยี น r1 และ r2 แบบแจกแจงสมาชกิ และบอกเง่อื นไขของสมาชกิ

…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..

ตวั อย่างที่ 4 ให้ A 0,1,2, 4 , B 1,2, 3, 4, 1, 2 จงเขียนความสมั พนั ธต์ ่อไปน้แี บบแจกแจงสมาชกิ

1. r1 x,y A B x y 0 6. r6 x,y A B y 2

…………………………………………………… ……………………………………………………

2. r2 x,y B A x y 7. r7 x,y A B x 2 y 0

…………………………………………………… ……………………………………………………

3. r3 x,y A A 2x y 8. r8 x, y B A x 2 y

…………………………………………………… ……………………………………………………

4. r4 x, y B B x 2y 9. r9 x,y A B x y 0

…………………………………………………… ……………………………………………………

5. r5 x,y A B x 2 10. r10 x, y B B 2x y x y 0

…………………………………………………… ……………………………………………………

หมายเหตุ

ในกรณีท่ี A และ B เป็นเซตของจานวนจริงเราอาจละการเขยี น xR, yR ในฐานที่เขา้ ใจวา่

r เป็นความสัมพนั ธใ์ นเซตของจานวนจริง เช่น r x,y x2 y2 4 อาจเขยี นเป็น

r x,y x2 y2 4 หรือ เขยี นเฉพาะลกั ษณะของความสมั พนั ธ์ เช่น x2 y2 4

ถ้า r เป็นความสมั พันธ์ อาจเขยี น x,y r ด้วย “xry ” (อ่านว่าเอกซ์มีความสมั พันธอ์ าร์ กบั วาย)

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 6

บบ ึ กหดั

1. กาหนดให้ A 0,2, 4 , B 5 จงตอบคาถามต่อไปน้ี

1.1 n(A B) ……………………….………………………………………………………………………

1.2 A B ………………………...……………………………………………………………………..….

1.3 จานวนสบั เซตท้งั หมดของ A B .………………………………………………………………………
1.4 สบั เซตท้งั หมดของ A B คือ………..………………………………………………………...………
1.5 (0,5),(4,5) เป็นความสมั พันธจ์ าก A ไป B หรือไม่ เพราะเหตุใด

…………………………………………………………………………………………………………………….

1.6 (0, 5),(2, 5),(4, 5) เป็นความสมั พันธจ์ าก A ไป B หรือไม่ เพราะเหตุใด

…………………………………………………………………………………………………………………….

2. กาหนดให้ S 1,2, 3, 4, 5
2.1 r1 (1, 4),(2,2),(3,1) เป็นความสัมพันธใ์ น S หรือไม่ เพราะเหตใุ ด

…………………………………………………………………………………………………………………….

2.2 r2 (2, 3),(2, 4),(2, 5),(2, 6) เป็นความสมั พนั ธใ์ น S หรือไม่ เพราะเหตุใด

…………………………………………………………………………………………………………………….

3. กาหนดให้ A 0,2, 4 , B 0,1,2 และ r เป็นความสมั พันธจ์ าก A ไป B ถ้ า (x,y) r และ x y
3.1 จงเขียน r แบบแจกแจงสมาชกิ

…………………………………………………………………………………………………………………….

3.2 จงเขยี น r แบบบอกเง่อื นไข

…………………………………………………………………………………………………………………….

4. กาหนดให้ S 1,2, 3, 4, 5 จงเขียน r1 , r2 และ r3 เป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิก จากเง่อื นไขท่กี าหนดให้

4.1 r1 (x,y) S S x y 4
r1 ……………………………………………………………………………………………………..

4.2 r2 (x,y) S S x 2 y 2
r2 ……………………………………………………………………………………………………..

4.3 r3 (x,y) S S x y 5
r3 ……………………………………………………………………………………………………..

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 7
5. กาหนดให้ A 0,1,2 ,B 1, 3,5 จงเขียนความสมั พนั ธต์ ่อไปน้แี บบแจกแจงสมาชิก

5.1 r1 (x,y) A B y x
r1 ……………………………………………………………………………………………………..

5.2 r2 (x,y) A B y x

r2 ……………………………………………………………………………………………………..

5.3 r3 (x,y) A A y x 1

r3 ……………………………………………………………………………………………………..

6. กาหนดให้ A 2, 1, 0,1,2 จงเขียนความสมั พันธใ์ น A แบบแจกแจงสมาชกิ
6.1 r1 (x,y) x เป็นจานวนคู่ และ y เป็นจานวนค่ี

r2 ……………………………………………………………………………………………………..
6.2 r2 (x,y) y 0

r2 ………………………………………………………………………………………………..……..
6.3 r3 (x,y) A A x y 3

r3 ………………………………………………………………………………………………..……..
6.4 r4 (x,y) A A x y 1

r4 ………………………………………………………………………………………………..……..

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 8

ฟังกช์ นั (Function)

บทนิยาม ฟังกช์ นั คอื ความสมั พนั ธซ์ ่ึงสาหรับค่อู นั ดบั สองคู่ใด ๆ ของความสมั พันธน์ ้ัน
ถ้ามีสมาชกิ ตัวหน้าเหมือนกนั แล้วสมาชิกตวั หลังต้องไม่ต่างกนั

เม่อื f คือ ความสัมพันธท์ ่เี ป็นฟังกช์ ัน จะเรียก
- เซตของสมาชิกตวั หนา้ ของค่อู นั ดบั ว่า โดเมนของฟังกช์ ัน f เขียนแทนด้วย Df
- เซตของสมาชิกตวั หลงั ของค่อู นั ดบั ว่า เรนจข์ องฟังก์ชัน f เขียนแทนด้วย Rf

เช่น กาหนดฟังกช์ ัน f (1,a), (2,b), (3,c)

จะได้ Df ……………………..…… และ Rf …………………..………………

ตวั อยา่ ง จงพจิ ารณาว่า ความสมั พนั ธ์ท่กี าหนดให้เป็นฟังกช์ ันเป็นฟังกช์ ันหรือไม่เป็นฟังกช์ ัน

1. 2.

กA
ขB
คC
งD

……………………………………………. …………………………………………….
……………………………………………. …………………………………………….
……………………………………………. …………………………………………….
……………………………………………. …………………………………………….

3. ให้ 4. ให้

…………………………………………… …… …………………………………………….

โดเมน คอื ..………………………………. โดเมน คอื ..…………………………………

เรนจ์ คอื ..………………………………… เรนจ์ คอื ..…………………………………..

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 9

ตวั อยา่ งที่ 2 จงพิจารณาความสมั พันธท์ ่กี าหนดให้ต่อไปน้เี ป็นฟังกช์ นั หรือไม่ โดยใช้กราฟ

1. r1 x,y y x 1 3. r3 x,y y x2

……………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………… ………………………………………………

2. r2 x,y y x1 4. r4 x,y x y2

……………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………… ………………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 10

ตวั อย่างที่ 3 จงพิจารณาว่าความสมั พนั ธท์ ่กี าหนดให้เป็นฟังกช์ นั หรือไม่ (โดยใช้บทนิยาม)

*** บทนิยามของฟังก์ชนั : f เป็นฟังกช์ ัน กต็ ่อเม่อื ถ้า (x,y1) f และ (x,y2) f แล้ว y1 y2

1. r1 x,y y x 1

…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..

2. r2 x,y y x1

…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 11

3. r3 x,y y x2

…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..

4. r4 x,y x y2

…………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 12

บบ ึ กหดั

จงตรวจสอบว่าความสมั พนั ธ์ต่อไปน้เี ป็นฟังกช์ นั หรือไม่ เพราะเหตใุ ด

1. r 1, 2 , 2, 3 , 3, 0 , 4,1 , 5, 1

………………………………………………………………………………………………………………….

2. r 2,1 , 1, 0 , 1,1 , 2,1 , 1, 1

………………………………………………………………………………………………………………….
3. r 1, 0 , 1,1 , 2, 2 , 2, 2 , 3, 3 , 3, 3

………………………………………………………………………………………………………………….
4. r 1, 0 , 2, 0 , 3, 0 , 4, 0 , 5, 0

………………………………………………………………………………………………………………….

5. r x,y x 5y 1 0

………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….

6. r x,y y 25 x 2

………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 13

………………………………………………………………………………………………………………….

****ข้อตกลงเก่ยี วกบั สญั ลักษณข์ องฟังกช์ ัน

ถ้า f เป็นฟังกช์ นั และ x,y f แล้ว y เป็นค่าของฟังกช์ ัน f ท่ี x เขยี นแทนด้วย y f x
เช่น f 1,2 , 2, 0 , 3, 1 4,2 จะได้ว่า f เป็นฟังกช์ นั

1, 2 f จะได้ f 1 …………. 2, 0 f จะได้ f 2 ………….
3, 1 f จะได้ f 3 …………. 4, 2 f จะได้ f 4 ………….

ตวั อยา่ งที่ 1 กาหนดฟังกช์ นั f x 2 x2 จงหาค่าของฟังกช์ นั f ท่ี x เม่อื x 0,1,2, 3, 4

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

ตวั อยา่ งที่ 2 กาหนด f (x) 3x2 1 จงหา f (1), f(2), f(0), f ( 1), f(a) และ f (a 1)

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

ตวั อยา่ งที่ 3 กาหนดให้ f(x 5) x 9 จงหา f (x)

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 14

ตวั อย่างที่ 4 จงหาค่าของ f(5) เม่อื กาหนด f(x 1) 2x 1

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

ตวั อย่างที่ 5 กาหนดฟังกช์ นั f 2x 1 2x2 1 และ g 1 x x 1 จงหา

1. f x 2. g x
…………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… 4. g f x
3. f g x …………………………………………………
…………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………… Relation & Function
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 15

5. f 0 6. g f 1

……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
7. g 1 8. f g 3

……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
9. f x 1 10. g x 2

……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………
……………………………………………… …………………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 16

ⵙ โดเมน ละเรนจข์ องฟังกช์ นั
ตวั อย่างที่ 1 จงหาโดเมนและเรนจ์ของฟังกช์ นั ท่มี ีกราฟต่อไปน้ี

1. 4.

โดเมน คอื ……………………………….…. โดเมน คอื ……………………………….….
เรนจ์ คือ………………………………….… เรนจ์ คอื ………………………………….…

2. 5.

โดเมน คือ……………………………….…. โดเมน คอื ……………………………….….
เรนจ์ คอื ………………………………….… เรนจ์ คอื ………………………………….…

3. 6.

โดเมน คอื ……………………………….…. โดเมน คือ……………………………….….
เรนจ์ คือ………………………………….… เรนจ์ คือ………………………………….…

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 17

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาโดเมนและเรนจ์ของฟังกช์ นั ต่อไปน้ี 1. Note…
2.
1. f (x) 7 3. เม่อื
x2 4. เม่อื
เม่อื
…………………………………………………………………
………………………………………………………………… จะได้ หรือ
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

2. f (x) 3x
2x 5

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

3. f (x) x 1
4x 5

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 18

4. f (x) 2x 4
3x 2

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

5. f (x) 2
7x 6

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

6. f (x) 1x
2x 7

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 19

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาโดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ ันต่อไปน้ี

1. f (x) x 9

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

2. f (x) 9 x

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

3. f (x) x 2 9

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 20

4. f (x) 9 x 2

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

5. f (x) x 2 9 3

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

6. f (x) 9 x 2 1

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 21

7. f (x) 1
x1

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

8. f (x) 1
x2 1

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 22

9. f (x) 1
x2 1

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

10. f (x) 1
2x

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

11. f (x) 1

2x 1

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 23

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

12. f (x) 1

2x 1

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

13. f (x) 1

x1

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 24

ฟังกช์ ันเชิงเส้น

ฟังกช์ ันเชิงเส้น n ตัวแปร มรี ปู ทว่ั ไป คอื y a1x1 a2x2 anxn ซ่งึ ในระดบั น้ีเราจะ
พิจารณาฟังกช์ ันท่เี ขยี นในรูป y ax b เม่อื a,b เป็นจานวนจริง และ a 0 ซ่งึ มกี ราฟเป็นเส้นตรง

ตวั อยา่ งที่ 1 จงเขยี นกราฟของสมการ y1 3 และ y2 3 บนระนาบเดียวกนั

Dy1 …………………………………
Ry1 …………………………………
Dy2 …………………………………
Ry2 …………………………………

ขอ้ สงั เกต

จากเง่อื นไข เม่อื จะได้สมการท่อี ยู่ในรูป กราฟของสมการ

จะเป็นเส้นตรงท่ขี นานกบั แกน

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 25

ตวั อย่างที่ 2 จงเขยี นกราฟต่อไปน้บี นระนาบเดยี วกนั

1. y1 x , y2 2x , y3 3x

Dy1 …………………………………
Ry1 …………………………………
Dy2 …………………………………
Ry2 …………………………………
Dy3 …………………………………
Ry3 …………………………………

ขอ้ สงั เกต

กราฟของความสมั พนั ธ์ เม่อื เป็นจานวนจริง และ

จากเง่อื นไข เม่อื และ จะได้สมการท่อี ยู่ในรูป กราฟของสมการ

เป็นกราฟเส้นตรงท่ผี ่านจุด……………………

เม่อื มคี ่ามากข้นึ กราฟจะ…………………………..…และทามมุ ……………กบั แกน………..
ในทศิ ทางทวนเขม็ นาฬกิ า

โดเมน คือ ……………………………….……เรนจ์ คือ …………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 26

2. y1 x , y2 2x , y3 3x

Dy1 …………………………………
Ry1 …………………………………
Dy2 …………………………………
Ry2 …………………………………
Dy3 …………………………………
Ry3 …………………………………

ขอ้ สงั เกต

กราฟของความสมั พันธ์ เม่อื เป็นจานวนจริง และ

จากเง่อื นไข เม่อื และ จะได้สมการท่อี ยู่ในรปู กราฟของสมการ

เป็นกราฟเส้นตรงท่ผี ่านจุด……………………

เม่อื มีค่ามากข้นึ กราฟจะ…………………………..…และทามมุ ……………กบั แกน………..
ในทศิ ทางทวนเขม็ นาฬิกา

โดเมน คอื ……………………………….……เรนจ์ คือ …………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 27

ตวั อย่างที่ 3 จงเขยี นกราฟของ y1 x , y2 x 2 , y3 x 4 , y4 x 3 บนระนาบเดียวกนั

Dy1 …………………………………
Ry1 …………………………………
Dy2 …………………………………
Ry2 …………………………………
Dy3 …………………………………
Ry3 …………………………………
Dy4 …………………………………
Ry4 …………………………………

ขอ้ สงั เกต

จะเหน็ ว่า สมการท้งั สาม มคี ่า เทา่ กนั คอื 1 ซ่งึ จะได้กราฟท้งั สาม ขนานกนั

*** ถ้ามองกราฟ เป็นหลัก จะได้
- กราฟ เกดิ จากการเล่อื นกราฟ ข้นึ บน เป็นระยะ……….หน่วย
- กราฟ เกดิ จากการเล่อื นกราฟ …………..เป็นระยะ……….หน่วย
- กราฟ เกดิ จากการเล่อื นกราฟ …………..เป็นระยะ……….หน่วย

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 28

ⵙ การหาจุดตดั กน X ละ จุดตดั กน Y
ตวั อย่าง จงหาจุดตดั แกน X และจุดตัดแกน Y พร้อมท้งั เขียนกราฟของฟังกช์ นั ต่อไปน้ี

1. f (x) x 4
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

2. f (x) 2x 1
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 29

3. f (x) x 2

…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

4. f (x) 3x 6

…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

Note… เม่อื เป็นกราฟเส้นตรง จะมี
กราฟของ

- โดเมน คอื ……………………….……………………

- เรนจ์ คอื ………………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 30

บบ ึ กหดั

1. ให้นักเรียนจับค่สู มการและกราฟท่กี าหนดให้ ต่อไปน้ี

1. y x จับค่กู บั กราฟ …………………
2. y x 3 จบั ค่กู บั กราฟ …………………
3. y x 3 จบั ค่กู บั กราฟ …………………
4. y x จบั ค่กู บั กราฟ …………………
5. y x 2 จับค่กู บั กราฟ …………………

2. จงหาจุดตดั แกน X และจุดตดั แกน Y พร้อมท้งั วาดกราฟประกอบ

2.1 y x 6
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 31

2.2 y 2x 6
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

2.3 y x 2
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 32

ⵙ โจทยป์ ัญหาฟังกช์ นั เชิงเสน้

ตวั อยา่ งที่ 1 พนักงานขายผ้หู น่ึงได้รับเงนิ จากบริษัทเดือนละ 12, 000 บาท และได้รับเงนิ อกี 5% ของยอดขาย
ส้นิ ค้าท่เี ขาขายได้

1) จงเขยี นความสมั พนั ธข์ องรายได้ในแต่ละเดือนของพนักงานผู้น้ีกบั ยอดขายสนิ ค้า พร้อมท้งั เขียนกราฟ
ของ ความสมั พันธด์ ังกล่าว

2) จงหาว่า ในเดอื นท่เี ขามียอดขาย 25, 000 บาท เขาจะได้รับเงนิ จากบริษทั เทา่ ใด

…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

ตวั อยา่ งที่ 2 ยอดขายสนิ ค้าของบริษัทอยู่ท่ี 12, 000 ช้นิ /ปี ถ้าบริษัทต้องการให้ยอดขายสนิ ค้าเพ่มิ ข้นึ
ปี ละ 10% ของยอดปัจจุบนั

1) จงเขียนสมการแสดงยอดขายสนิ ค้าแต่ละปี
2) อกี 5 ปี ถดั ไป บริษทั น้ีควรจะมียอดขายสนิ ค้าเท่าใด

…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 33

ฟังกช์ ันกาลงั สอง

ฟังกช์ ันกาลังสอง คอื ฟังกช์ ันท่อี ยู่ในรูป y a(x h)2 k เม่อื a 0 ลกั ษณะกราฟข้นึ อยู่กบั ค่า
a , h และ k เม่อื a 0 จะได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงาย และเม่อื a 0 จะได้กราฟเป็นเส้นโค้งคว่า ดังรูป

a0 a0

*** กราฟของฟังกช์ ันกาลังสองในรปู น้เี รียกว่า พาราโบลา
*** จุดวกกลบั คือ จุดยอดของพาราโบลา

กรณที ี่ 1 ถ้า h , k 0 จะได้ ฟังกช์ ันในรูป y ax2

ตวั อย่างที่ 1 จงเขยี นกราฟของฟังกช์ ันต่อไปน้บี นระนาบเดียวกนั พร้อมบอกโดเมน เรนจข์ องแต่ละฟังกช์ นั

1. y1 x 2 , y2 2x 2 , y3 3x 2

…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 34

ขอ้ สงั เกต

จากกราฟ จะเหน็ ว่า กราฟท้งั สาม มีค่า …………………กราฟมีลกั ษณะเป็นเส้นโค้ง………...…..

จุดวกกลบั อยู่ท่จี ุด…………..แกนสมมาตร คอื เส้นตรง……………… ค่าต่าสดุ ของ คอื ………………..

………………………….. ……………………………… ……………………………

………………………….. ……………………………… ……………………………

=……………………………….

2. y1 x2 , y2 2x 2 , y3 3x 2

…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………

ขอ้ สงั เกต

จากกราฟ จะเหน็ ว่า กราฟท้งั สาม มีค่า ……………………กราฟมีลักษณะเป็นเส้นโค้ง………....

จุดวกกลบั อยู่ท่จี ุด…………..แกนสมมาตร คือ เส้นตรง……………… ค่าต่าสดุ ของ คอื ……………….

………………………….. ……………………………… ……………………………

………………………….. ……………………………… ……………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 35

กรณที ี่ 2 ถ้า h 0 และ k 0 จะได้ ฟังกช์ นั ในรูป y ax2 k

ตวั อยา่ งที่ 2 จงเขียนกราฟของฟังกช์ นั ต่อไปน้บี นระนาบเดยี วกนั พร้อมบอกโดเมน เรนจ์ของแต่ละฟังกช์ ัน

1. y x 2 3

…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………

2. y 2x2 1

…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 36

กรณที ี่ 3 ถ้า h 0 และ k 0 จะได้ ฟังกช์ นั ในรปู y a(x h)2

ตวั อยา่ งที่ 3 จงเขยี นกราฟของฟังกช์ นั ต่อไปน้บี นระนาบเดียวกนั พร้อมบอกโดเมน เรนจข์ องแต่ละฟังกช์ ัน

1. y (x 3)2

…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………

2. y 2(x 1)2

…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 37

กรณที ี่ 4 ถ้า h , k 0 จะได้ ฟังกช์ ันในรูป y a(x h)2 k

ตวั อยา่ งที่ 4 จงเขียนกราฟของฟังกช์ นั ต่อไปน้บี นระนาบเดยี วกนั พร้อมบอกโดเมน เรนจ์ของแต่ละฟังกช์ ัน

1. y (x 1)2 2

…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………

2. y 3(x 2)2 4

…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 38

บบ ึ กหดั

1. จงเขียนกราฟต่อไปน้ี บนระนาบเดียวกนั พร้อมบอกโดเมนและเรนจ์

1.1 y1 2x 2 , y2 2x 2 1 , y3 2x 2 2

…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………

1.2 y1 2x 2 , y2 2(x 3)2 , y3 2(x 2)2

…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 39

1.3 y1 5(x 4)2 3 , y2 5(x 4)2 3

…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………

2. จงหาจุดวกกลบั ของกราฟพาลาโบลาต่อไปน้ี พร้อมท้งั เขียนกราฟ

2.1 y x2 6x 7

…………………………………………………..…
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……

2.2 y x2 4x 1

…………………………………………………..…
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 40

2.3 y x2 2x 3

…………………………………………………..…
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……

2.4 y 2x2 4x 5

…………………………………………………..…
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……

2.5 y 3x2 12x 3

…………………………………………………..…
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……
………………………………………………..……

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 41

การนากราฟไปใช้ในการแก้สมการและอสมการ

ꕥ การแก้สมการโดยใช้กราฟ
ในการแก้สมการกาลงั สอง ax2 bx c 0 สามารถนาความรู้เร่ืองกราฟไปช่วยในการหาคาตอบของ

สมการโดยพิจารณาจากกราฟของ y ax2 bx c เม่อื a 0 จากจุดท่กี ราฟตดั แกน X
กรณที ี่ 1 กราฟไม่ตดั แกน จะไม่มคี าตอบของสมการท่เี ป็นจานวนจริง

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาคาตอบของ x2 2 0

………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

กรณีที่ 2 กราฟของ และ เม่อื จะตัดแกน ท่จี ุด
จะมคี าตอบเป็นจานวนจริง
และ จุด ตามลาดบั ดงั น้ันสมการท่อี ยู่ในรปู
เพยี ง 1 คาตอบ

ตวั อย่างที่ 2 จงหาคาตอบของ x 3 2 0

………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 42

กรณีที่ 3 ให้ เม่อื เขยี น อยู่ในรูป จะสามารถ

พิจารณาคาตอบจากกราฟของ ได้ว่าสมการท่กี าหนดให้มีคาตอบท่เี ป็นจานวนจริงสองจานวนหรือไม่

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาคาตอบของ 2 x 1 2 2 0

………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 43

บบ ึ กหดั

1. จงหาคาตอบของสมการต่อไปน้ี โดยใช้กราฟ 1.4 x 2 0

1.1 x 2 16

4

คาตอบของสมการคอื ………………………. คาตอบของสมการคือ……………………….

1.2 3x 2 27 1.5 x2 8

คาตอบของสมการ คือ.…………….............. คาตอบของสมการคือ……………………….

1.3 2x 2 8

คาตอบของสมการ คือ…………...................

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 44

2. จงใช้ความรู้เร่ืองกราฟ เพ่อื แสดงว่าสมการในข้อใดมีคาตอบเป็นจานวนจริง

2.1 x 2 8x 16 0 2.3 6x 2 4x 3
………………………………………………. ………………………………………………….
………………………………………………. ………………………………………………….
………………………………………………. ……………………………………………….…
………………………………………………. ………………………………………………….
4………………………………………………. ………………………………………………….

จะได้…………………………………………. จะได้………………………………………….

2.2 2x 2 5x 3 2.4 8x 2 4x 1 0

………………………………………………. ………………………………………………….
………………………………………………. ………………………………………………….
………………………………………………. ……………………………………………….…
………………………………………………. ………………………………………………….
………………………………………………. ………………………………………………….

จะได้…………………………………………. จะได้………………………………………….

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 45

3. จงใช้ความรู้เร่ืองกราฟเพ่ือแสดงว่า สมการในข้อใดมีคาตอบเป็นจานวนจริงสองคาตอบ

3.1 x 1 2 1 0 3.3 x 4 2 4

………………………………………………. ………………………………………………….
……………………………………………….
………………………………………………. ………………………………………………….
……………………………………………….
………………………………………………. ……………………………………………….…

………………………………………………….

………………………………………………….

จะได้…………………………………………. จะได้………………………………………….

3.2 7 x 2 2 0 3.4 x 7 2 3

………………………………………………. ………………………………………………….
………………………………………………. ………………………………………………….
………………………………………………. ……………………………………………….…
………………………………………………. ………………………………………………….
………………………………………………. ………………………………………………….

จะได้…………………………………………. จะได้………………………………………….

Relation & Function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 46

4. กาหนดกราฟของ y x2 2x 8 ดังรูป 5.2 x 6 x 4 0
จงหา x1,x2 และจุดท่แี สดงค่าต่าสดุ ของฟังกช์ นั

- จุด x1 คอื ………………………..…………. คาตอบของสมการ คือ ……………..……………
- จุด x2 คอื …………………….……………..
5.3 x x 5 0
5. จงหาคาตอบของสมการท่กี าหนดให้ พร้อมท้งั
ใช้ความรู้เร่ืองกราฟของฟังกช์ นั กาลงั สองร่างกราฟ
ของฟังกช์ ันท่ไี ด้จากการเปล่ียน 0 เป็น y ของ
สมการต่อไปน้อี ย่างคร่าว ๆ

5.1 x 3 x 6 0

คาตอบของสมการ คอื ……………..……………

คาตอบของสมการ คือ …………………………..

function

5.4 x 2 2 0 ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 47

5.6 2x 2 12x 6 0

คาตอบของสมการ คือ ……………..…………… คาตอบของสมการ คอื ……………..……………

5.5 x 2 4x 12 0 5.7 x 2 2x 1 0

คาตอบของสมการ คือ ……………..…………… คาตอบของสมการ คือ ……………..……………

function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 48

ꕥ การแก้อสมการโดยใช้กราฟ
ในการแก้อสมการ นอกจากจะใช้วธิ กี ารทางพชี คณิตแล้ว ยังสามารถนาความร้เู ก่ยี วกบั กราฟของอสมการ

มาใช้ในการแก้ปัญหา ดังน้ี
ตวั อยา่ งที่ 1 จงแก้อสมการ x2 9 โดยใช้กราฟ

………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

ตวั อยา่ งที่ 2 จงแก้อสมการ x2 2x 3 0 โดยใช้กราฟ

………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

function

ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 49

บบ ึ กหดั

1. จากกราฟท่กี าหนดให้ จงตรวจสอบว่าค่า y มากกว่า 0 เม่อื x มีค่าอยู่ในช่วงใด และ y น้อยกว่า 0 เม่อื x
มคี ่าอยู่ในช่วงใด

1.1

………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

1.2

………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

1.3

………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

function

2. จงแก้อสมการต่อไปน้โี ดยใช้กราฟ ค ว า ม สั ม พั น ธ์ แ ล ะ ฟั ง ก์ ชั น ม . 4 ห น้ า | 50

2.1 x2 1 2.3 5 x 2 1

คาตอบของอสมการ คอื ………………………….. คาตอบของอสมการ คือ …………………………..

2.2 4x2 1 2.4 x 1 x 5 0

คาตอบของอสมการ คือ ………………………….. คาตอบของอสมการ คือ …………………………..

function