แบบฝึกทักษะเรขาคณิตวิเคราะห์

ชือ่ เร่อื ง คำแนะนำกำรใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศำสตร์
เนอื้ หำ
แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ความรเู้ บื้องต้นเกีย่ วกับเรขาคณติ วเิ คราะห์
สาหรบั นกั เรียนชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4
แบบฝกึ ทกั ษะประกอบดว้ ยเนื้อหาต่าง ๆ ดังน้ี
ชุดที่ 1 เรอ่ื ง ระยะทำงระหวำ่ งจุดสองจดุ

- ใบความรู้
- แบบฝึกทกั ษะ
- แบบทดสอบประเมินตนเองชุดท่ี 1
จดุ ประสงคก์ ำรเรียนรู้
หาระยะทางระหวา่ งจุดสองจุดท่กี าหนดให้ได้
ชดุ ที่ 2 เรื่อง จุดกึง่ กลำงระหว่ำงจดุ สองจดุ
- ใบความรู้
- แบบฝึกทักษะ
- แบบทดสอบประเมินตนเองชุดท่ี 2
จุดประสงคก์ ำรเรียนรู้
หาจดุ กง่ึ กลางระหวา่ งจุดสองจดุ ท่กี าหนดให้ได้
ชดุ ที่ 3 เรือ่ ง ควำมชนั ของเส้นตรง
- ใบความรู้
- แบบฝึกทกั ษะ
- แบบทดสอบประเมินตนเองชุดที่ 3
จุดประสงค์กำรเรียนรู้
สามารถหาความชันของเส้นตรงทผี่ ่านจุดสองจดุ ที่กาหนดใหไ้ ด้
ชดุ ที่ 4 เร่อื ง เส้นขนำน
- ใบความรู้
- แบบฝกึ ทกั ษะ
- แบบทดสอบประเมนิ ตนเองชุดท่ี 4
จุดประสงค์กำรเรียนรู้
สามารถบอกได้ว่าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกัน กต็ ่อเมื่อ ความชนั ของเส้นตรงทั้งสอง
เทา่ กนั
ชุดท่ี 5 เรอ่ื ง เสน้ ตัง้ ฉำก
- ใบความรู้
- แบบฝกึ ทักษะ
- แบบทดสอบประเมนิ ตนเองชุดที่ 5
จุดประสงคก์ ำรเรยี นรู้
สามารถบอกได้ว่าเสน้ ตรงสองเส้น (ที่ไม่ขนานกับแกน Y) จะต้งั ฉากกนั ก็ต่อเม่อื
ผลคูณของความชันของเสน้ ตรงทั้งสองมคี ่าเปน็ -1

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์
รายวิชา ค 31208 คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 2

ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4

ชุดที่ 1
เรื่อง ระยะทางระหว่างจุดสองจดุ

เวลา 1 คาบ

=================================================================
ภิรญา แพทย์รักษา

โรงเรยี นชานาญสามัคคีวิทยา
สานักนักงานเขตพ้นื ท่ีการศกึ ษามัธยมศึกษาชลบรุ ี ระยอง

แบบฝกึ ทักษะชุดที่ 1

เรื่อง ระยะทำงระหว่ำงจุดสองจุด

จุดประสงค์กำรเรยี นรู้
หาระยะทางระหวา่ งจุดสองจุดท่กี าหนดให้ได้
คำชี้แจง
1. ให้นกั เรียนศกึ ษาหลักการและตวั อย่างพร้อมฟังการแนะนาอธบิ ายเพิม่ เติมจากครู
2. ให้นักเรยี นฝึกทาแบบฝึกโดยศึกษาจากตวั อย่างไปตามลาดับขนั้
3. ใหต้ รวจสอบคาตอบจากเฉลยทคี่ รูแจกให้
4. ทดสอบความเข้าใจของตนเองหลังจบชุดแบบฝึกทกั ษะ

ใบความรู้

1. ระยะทำงระหว่ำงจุดสองจุด
1.1 บนเสน้ จานวน
ถา้ X และ Y เป็นจุดบนเส้นจานวนท่ีแทนดว้ ยจานวนจริง x และ y ตามลาดบั แล้ว

ระยะทางระหวา่ ง X และ Y เทา่ กบั x  y

สัญลกั ษณ์ ระยะทางระหว่าง X และ Y เขียนแทนด้วย XY หรือ XY ดังนน้ั

XY  x  y

1.2 บนระนาบ

ให้ P  x1, y1 และ Q  x2, y2  เป็นจุดใด ๆ บนระนาบ ระยะทางระหวา่ งจดุ P และ Q
จะหาได้โดย

กรณี 1 PQ ขนานกับแกน X  y1  y2 

PQ  x1  x2  x2  x1

P  x1, y1  Q  x2 , y2 

กรณี 2 PQ ขนานกบั แกน Y  x1  x2 

PQ  y1  y2  y2  y1

P  x1, y1 

กรณี 3 Q  x2 , y2 
PQ ไม่ขนานกับแกน X และแกน Y

P  x1, y1  S  x2 , y1 

Q  x2 , y2 

PQ  PS 2  QS 2 (เนอ่ื งจาก a 2  a2 เม่ือ a เปน็ จานวนจริงใด ๆ)
PQ  x1  x2 2  y1  y2 2

PQ   x1  x2 2   y1  y2 2

ทฤษฎีบท 1 ถา้ P  x1, y1 และ Q  x2, y2  เป็นจุดใด ๆ บนระนาบ ระยะทางระหว่างจดุ P
และ Q เทา่ กับ  x1  x2 2   y1  y2 2

ตัวอยำ่ ง 1 จงหาระยะทางระหวา่ งจุด P และจดุ Q ตอ่ ไปนี้
ก. P 3,1 กบั Q 5,1
ข. P 4, 2 กับ Q 4, 5
ค. P 5,1 กบั Q 6, 4

วิธีทำ ก. P 3,1 กบั Q 5,1
PQ  x1  x2  3  5  8  8 หนว่ ย
PQ  x2  x1  5  3  8  8 หน่วย

ข. P 4, 2 กบั Q 4, 5
PQ  y1  y2  2  5  7  7 หน่วย
PQ  y2  y1  5  2  7  7 หนว่ ย

ค. P 5,1 กบั Q 6, 4
PQ   x1  x2 2   y1  y2 2

 6  52  1 42

 19

 10 หนว่ ย

ตวั อยำ่ ง 2 จงหาค่า m ที่ทาให้จุด A2,3 กับจดุ B m,1 มรี ะยะทางระหวา่ งจดุ ทั้งสองเทา่ กบั
2 หน่วย
วิธีทำ  x1  x2 2   y1  y2 2  AB
m  22  1 32  2
m  22  4  4
m  22  0

m20
m2

แบบฝึ กทกั ษะ

จดุ ประสงค์กำรเรียนรู้
หาระยะทางระหวา่ งจุดสองจุดท่กี าหนดให้ได้

1. กาหนดรูปสเ่ี หลี่ยมมมุ ฉากรูปหนึ่งมจี ุดยอดที่ A2, 4 , B 10, 4 , C 10, 1และ D 2, 1
ให้หาความยาวของดา้ นท้ังสี่และเส้นทแยงมุม

............................................................................................................................. ............................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
...................................................................................................................................................... ...................

2. ใหห้ าระยะทางระหวา่ งจดุ A และจุด B (2) A7,3 และ B 4,3
(1) A2,5 และ B 7, 2
..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................

(3) A2,5 และ B 2, 2 (4) A5, 4 และ B 1, 3

........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................

3. จงหาความยาวรอบรูปของรูปสามเหล่ียมซ่งึ มจี ุดยอดท่ี A2,1 , B 4, 2 และ C 5,0

............................................................................................................................. ............................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................
..........................................................................................................................................................

4. จงหาคา่ k ที่ทาให้จดุ Ak, 2 และจุด B 1,5 มรี ะยะ AB เปน็ 5 หนว่ ย

.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................

5. สามเหลีย่ ม ABC เปน็ สามเหลี่ยมชนิดใด ถา้ มีจดุ โคออรด์ เิ นต A2, 4 , B 5,1 และ C 6,5

........................................................................................ .................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
................................................................................................................................... ......................................
............................................................................................. ............................................................................
............................................................................................................................. ............................................
........................................................................................................................................ .................................
.................................................................................................. .................................................. .....................

6. ถา้ จุด P  x, 4 อยู่ห่างจากจดุ B 5, 2 และ C 3, 4 เท่ากนั จงหาคา่ x

...................................................................................................................................................................... ...
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .............................
............................................................................................................................. .........................................

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะ

1. AB  12 , BC  5 , CD 12 , DA  5 , AC 13 , BD 13
2. (1) 3 10 (2) 3 (3) 7 (4) 65
3. 13  5  10
4. 5 และ 3
5. สามเหล่ียมหน้าจ่วั
6. 13

แบบทดสอบประเมนิ ตนเอง ชดุ ท่ี 1

เรื่อง ระยะทำงระหว่ำงจุดสองจุด

คาส่งั จงเลือกคาตอบทีถ่ ูกต้องทส่ี ุดเพยี งคาตอบเดยี ว โดยทาเคร่อื งหมาย x หน้าข้อทถี่ ูกต้อง

1. ระยะทางระหว่างจดุ 1,6 และ 3,2 เท่ากบั ก่ีหนว่ ย

ก. 2 5 ข. 4 2

ค. 16 ง. 20

2. ขอ้ ใดต่อไปนี้เป็นค่าของ y ถ้ากาหนดให้ 4, y อยูห่ ่างจากจุด  5,2 และ 13,6 เป็นระยะ

เท่ากนั

ก.  2 ข.  1

ค. 1 ง. 2

3. ขอ้ ใดต่อไปนเี้ ป็นจดุ ปลายเสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางของรปู วงกลมทม่ี ีพนื้ ท่มี ากท่สี ดุ

ก. 0,1 และ 5,0 ข. 0, 2 และ 4, 0

ค. 0,3 และ 3,0 ง. 0, 4 และ 2, 0

4. รปู สเี่ หล่ียมซึ่งมจี ุดยอดท่ี 1, 2 , 0,1 , 3,2 และ 4, 1 มเี ส้นรอบรูปยาวกีห่ นว่ ย

ก. 4 2 ข. 4 5
ค. 4 10 ง. 4 15

5. 3,2 และ 2,1 เปน็ จดุ ปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม รศั มีของวงกลมนย้ี าวกีห่ นว่ ย

ก. 13 ข. 26

2 2

ค. 13 ง. 26

เฉลยแบบทดสอบประเมินตนเอง ชุดที่ 1
เรื่อง ระยะทำงระหว่ำงจดุ สองจดุ

ขอ้ 1 ข
ข้อ 2 ก
ขอ้ 3 ก
ข้อ 4 ค
ข้อ 5 ข

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์
รายวิชา ค 31208 คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 2

ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

ชุดท่ี 2
เรือ่ ง จดุ กึ่งกลางระหว่างจดุ สองจุด

เวลา 1 คาบ

=================================================================
ภิรญา แพทยร์ กั ษา

โรงเรียนชานาญสามัคคีวทิ ยา
สานกั นักงานเขตพ้ืนทก่ี ารศกึ ษามัธยมศึกษาชลบุรี ระยอง

แบบฝกึ ทักษะชดุ ที่ 2

เรอื่ ง จุดกึ่งกลำงระหว่ำงจดุ สองจุด

จดุ ประสงค์กำรเรียนรู้
หาจดุ กึง่ กลางระหวา่ งจดุ สองจดุ ทกี่ าหนดให้ได้
คำชแี้ จง
1. ใหน้ กั เรียนศกึ ษาหลักการและตวั อยา่ งพร้อมฟงั การแนะนาอธบิ ายเพม่ิ เติมจากครู
2. ใหน้ ักเรยี นฝกึ ทาแบบฝึกโดยศกึ ษาจากตวั อย่างไปตามลาดบั ขัน้
3. ให้ตรวจสอบคาตอบจากเฉลยทีค่ รแู จกให้
4. ทดสอบความเข้าใจของตนเองหลงั จบชุดแบบฝึกทกั ษะ

ใบความรู้

2. จุดกึ่งกลำงระหว่ำงจุดสองจุด

ทฤษฎบี ท 2 กำหนด PQ เป็ นเส้นตรงที่มีจุดปลำยท่ี P  x1, y1 และ Q  x2, y2  ถำ้ S  x, y
เป็นจุดก่ึงกลำงของ PQ แลว้
x  x1  x2 และ y  y1  y2

22

ตวั อย่ำง 1 จงหาจดุ ก่ึงกลางระหว่างจดุ P และจดุ Q ต่อไปนี้
ก. P 8, 0 กับ Q 10, 0

ข. P 3,5 กับ Q 6, 1

ค. P  6, 1  กบั Q 2,9
 2 

วธิ ที ำ ก. P 8,0 กบั Q 10,0

x  x1  x2 y  y1  y2
2 2

 8  10  00
2
2 0
 2 2

2

 1  0

ดังน้ัน จุดกง่ึ กลางคอื 1,0

ข. P 3,5 กับ Q 6, 1

x  x1  x2 y  y1  y2
2 2

 3  6  5  1
2 2

3 4
2 2

2

ดงั นน้ั จุดก่งึ กลางคอื  3 , 2 
 2 

ค. P  6, 1  กับ Q 2,9
 2 

x  x1  x2 1 9
2 y 2

2

6  2 1  18
2

2 2

19

4  2
22

 2  19
4

ดงั น้นั จดุ กง่ึ กลางคอื  2, 19 
 4 

ตวั อยำ่ ง 2 กาหนด M เปน็ จุดกึง่ กลางของ AB ใหห้ าพกิ ัดของจุด A หรอื จดุ B เม่ือกาหนด
ก. A1, 2 กับ M 2,5

ข. B 6, 4 กับ M 2,9

วิธที ำ ก. A1, 2 กับ M 2,5 2 y 5
ให้ B มพี กิ ดั เป็น  x, y 2

จะได้ 1 x  2 2  y 10

2 y 8
1 x  4

x3

ดังนน้ั พกิ ัดของจดุ B คือ 3,8

ข. B 6, 4 กับ M 2,9 y4 9
ให้ A มีพิกดั เป็น  x, y 2
y  4 18
จะได้ x  6  2
y  14
2
x  6  4

x  10

ดงั นั้น พิกดั ของจดุ A คือ 10,14

ตวั อย่ำง 3 จดุ ปลายของเส้นผา่ นศูนย์กลางเป็น 1,3 และ 7,11 จงหา

ก. จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมนี้
ข. ความยาวของรศั มีของวงกลมน้ี

วิธีทำ ก. จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมน้ี
ให้จุดศูนยก์ ลางมพี ิกัดเปน็  x, y

x  x1  x2 y  y1  y2
2 2

 17  3 11
2 2

8  14
2 2

4 7

ดังนนั้ จุดกึ่งกลางคอื 4,7

ข. ความยาวของรัศมขี องวงกลมน้ี
หาระยะทางระหวา่ งจดุ ศนู ยก์ ลางกบั ปลายเส้นผา่ นศูนย์กลางจุดใดจดุ หนึ่ง
ในทนี่ ้ีเลอื ก 1,3 และ 4,7

r   x1  x2 2   y1  y2 2
 1 42  3  72

 32  42

 9 16

 25

 5 หนว่ ย
ดงั นน้ั รศั มียาว 5 หนว่ ย

แบบฝึ กทกั ษะ

จุดประสงคก์ ำรเรยี นรู้
หาจดุ ก่งึ กลางระหว่างจดุ สองจุดท่ีกาหนดให้ได้

1. ให้หาจุดก่งึ กลางระหวา่ งจุด A และจุด B (2) A0,9 และ B 0,17
(1) A4,0 และ B 16,0

........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................

(3) A6, 4 และ B 2, 4 (4) A  1 , 4  และ B 3, 3
 2 
........................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................
........................................................................ ..................................................................
(5) A1, 3 และ B 5,3
..................................................................

..................................................................

..................................................................

(6) A7, 4 และ B 9, 6

........................................................................ ..................................................................

........................................................................ ..................................................................

........................................................................ ..................................................................

........................................................................ ..................................................................

........................................................................ ..................................................................

........................................................................ ..................................................................

2. กาหนด R เปน็ จุดก่งึ กลางของ PQ ใหพ้ ิกัดของจุด Q จงหาพิกดั ของจุด P เมือ่ กาหนด

(1) R 1, 2 และ Q 3, 4 (2) R 5, 6 และ Q 15, 4

........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................

3. จดุ ปลายของเสน้ ผ่านศูนย์กลางเป็น 3,2 และ 7, 4 จงหา

ก. จุดศนู ย์กลางของวงกลมนี้
ข. ความยาวของรัศมีของวงกลมน้ี
......................................................................................................... ................................................................
............................................................................................................................. ............................................
.................................................................................................................................................... .....................
.............................................................................................................. ...........................................................
............................................................................................................................. .............................
......................................................................................................................................................................

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะ

1. (1) 6,0 (2) 0,13 (3) 2, 4

(4)  7 , 1  (5) 2, 0 (6) 1,1
 4 2 

2. (1) 1,0 (2) 5,16
(2) 26
3. (1) 2,3

แบบทดสอบประเมนิ ตนเอง ชดุ ที่ 2
เร่ือง จดุ กง่ึ กลำงระหว่ำงจดุ สองจดุ
คาสั่ง จงเลือกคาตอบที่ถูกต้องท่ีสดุ เพียงคาตอบเดยี ว โดยทาเครือ่ งหมาย x หน้าข้อทถี่ กู ต้อง

1. จดุ ก่ึงกลางระหวา่ งจดุ 8, 1 และ 1, 3 คือจุดในขอ้ ใดต่อไปน้ี

ก.  7 , 2  ข.  7 , 2 
 2   4 

ค.  9 , 2  ง. 9, 4
 2 

2. จุดกง่ึ กลางระหวา่ งจดุ a,b และ c,d  คือจุดในขอ้ ใดต่อไปนี้

ก.  a  b , c d  ข.  a  d , b  c 
 2 2   2 2 

ค.  a  c , b d  ง. a  c,b  d 
 2 2 

3. ถ้าจุดพิกดั M 2,9 เป็นจดุ กึง่ กลางของ AB ซึ่งพิกัด B 6, 4 ข้อใดเปน็ พิกัดของ A

ก.  2, 13  ข.  13 , 2 
 2   2 

ค. 2, 6 ง. 10,14

4. 2, 2 , 6,3 และ 5,7 เปน็ จุดยอดมุมของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ระยะระหวา่ งจดุ กึง่ กลางของ
ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากและจดุ ยอดมมุ ฉากเทา่ กบั ก่หี นว่ ย

ก. 17 ข. 34
ค. 34
2

ง. 2 34

5. A2, 3 , B 6,1 และ C 2,5 เป็นจุดยอดมุมของรปู สามเหล่ียม ABC และ P , Q และ R

เป็นจุดกง่ึ กลางของด้าน AB ดา้ น BC และดา้ น CA ตามลาดบั ความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม

PQR เทา่ กบั กห่ี นว่ ย

ก. 4  4 5 ข. 4  2 5

ค. 8  8 5 ง. 8  4 5

เฉลยแบบทดสอบประเมนิ ตนเอง ชุดที่ 2
เรอื่ ง จดุ ก่ึงกลำงระหวำ่ งจุดสองจุด

ขอ้ 1 ค
ข้อ 2 ค
ขอ้ 3 ง
ข้อ 4 ข
ข้อ 5 ก

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์
รายวิชา ค 31208 คณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม2

ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4

ชดุ ท่ี 3
เรือ่ ง ความชันของเส้นตรง

เวลา 1 คาบ

=================================================================
ภิรญา แพทยร์ กั ษา

โรงเรยี นชานาญสามัคควี ทิ ยา
สานกั นกั งานเขตพืน้ ทกี่ ารศึกษามัธยมศึกษาชลบรุ ี ระยอง

แบบฝกึ ทกั ษะชุดที่ 3

เร่อื ง ควำมชันของเส้นตรง

จุดประสงค์กำรเรียนรู้
หาความชนั ของเสน้ ตรงที่ผา่ นจุดสองจดุ ท่ีกาหนดให้ได้

คำชีแ้ จง
1. ใหน้ ักเรยี นศกึ ษาหลกั การและตวั อย่างพร้อมฟังการแนะนาอธบิ ายเพม่ิ เติมจากครู
2. ใหน้ กั เรยี นฝึกทาแบบฝึกโดยศกึ ษาจากตวั อย่างไปตามลาดับขัน้
3. ให้ตรวจสอบคาตอบจากเฉลยท่ีครแู จกให้
4. ทดสอบความเข้าใจของตนเองหลงั จบชุดแบบฝึกทักษะ

ใบความรู้

3. ควำมชนั ของเสน้ ตรง

บทนิยาม ให้ l เป็ นเส้นตรงท่ีผำ่ นจุด P  x1, y1  และ Q  x2, y2  โดยท่ี x1  x2
m เป็ นควำมชนั ของเส้นตรง l ก็ต่อเมื่อ m  y1  y2

x1  x2

มี 3 ลักษณะดังนี้
1. เสน้ ตรงที่ขนานแกน X ( เม่อื y1  y2 ) ความชันมีค่าเทา่ กับ 0

P  x1, y1  Q  x2 , y2 

2. เส้นตรงที่ขนานแกน Y ( เมือ่ x1  x2 ) ความชันหาค่าไม่ได้ หรอื ไม่มคี วามชนั
P  x1, y1 

Q  x2 , y2 

3. เส้นตรงที่ไมข่ นานกบั แกน X และ แกน Y ความชนั เปน็ จานวนลบ เสน้ ตรงจะทามมุ ปา้ นกับแกน X
และความชนั เปน็ จานวนบวก เส้นตรงจะทามุมแหลมกับแกน X

P  x1, y1 
P  x1, y1 

Q  x2 , y2  Q  x2 , y2 

ตัวอย่ำง 1 จงหาความชนั ของเส้นตรงทผี่ า่ นจุด P และจดุ Q ตอ่ ไปน้ี
ก. P 4, 2 กบั Q 6, 2
ข. P 2, 6 กบั Q 2, 2
ค. P 1,6 กับ Q 3, 2
ง. P 4, 2 กบั Q 4,6

วิธที ำ ก. P 4, 2 กับ Q 6, 2

mPQ  y1  y2
x1  x2

 22
4  6

0
10

0

ข. P 2, 6 กับ Q 2, 2

6  2
mPQ  2  2

8
0

 หาคา่ ไม่ได้

ค. P 1,6 กบั Q 3, 2

mPQ  y1  y2
x1  x2

 6  2

1 3

8
4

 2

ง. P 4, 2 กับ Q 4,6

mPQ  y1  y2
x1  x2

 26
4  4

 4
8

1
2

ตัวอยำ่ ง 2 จงหาคา่ x ท่ีทาให้เสน้ ตรงทผี่ ่านจุด P 5, 2 และจดุ Q  x,6 ที่มคี วามชนั เทา่ กบั 4

วธิ ที ำ mPQ  y1  y2
x1  x2

4 26
5 x

45  x  4

20  4x  4
4x  24
x6

แบบฝึ กทกั ษะ

จดุ ประสงค์กำรเรียนรู้
สามารถหาความชนั ของเส้นตรงทีผ่ า่ นจุดสองจุดทกี่ าหนดให้ได้

1. ใหห้ าความชันระหวา่ งจุด A และจุด B (2) A7,3 และ B 4,3
(1) A2,5 และ B 7, 2

........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
(3) A2,5 และ B 2, 2 (4) A5, 4 และ B 1, 3

........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................

(5) A12,7 และ B 8,10 (6) A  1 , 4  และ B 4, 7
 2 

........................................................................ ..................................................................

........................................................................ ..................................................................

........................................................................ ..................................................................

........................................................................ ..................................................................

........................................................................ ..................................................................

........................................................................ ..................................................................

2. จงหาคา่ k ท่ีทาให้เสน้ ตรงที่ผา่ นจุด A และจุด B มีความเทา่ กับ m ตามทกี่ าหนดให้

(1) A4, k  และ B 3,1 ; m  1 (2) A6, 3 และ B 9, k  ; m   2

2 3

........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................

(3) A1, k  และ B 4,3 ; m  4 (4) Ak,12 และ B 5,12 ; m  0

3 ..................................................................
..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................ ..................................................................
........................................................................
........................................................................

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะ

1. (1) 1 (2) 0 (3) หาคา่ ไม่ได้ (4)  5

3 (5) 3 (6) 22

(4)  7 4 9

4 (2) 5 (3) 1

2. (1) 9

2

แบบทดสอบประเมนิ ตนเอง ชุดที่ 3
เรอ่ื ง ควำมชนั ของเส้นตรง

คาสง่ั จงเลือกคาตอบท่ถี ูกต้องท่ีสดุ เพียงคาตอบเดยี ว โดยทาเครอื่ งหมาย x หนา้ ข้อที่ถกู ต้อง

1. ความชันของเส้นตรงทผี่ า่ นจุด 2,3 และ 3,4 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ก.  5 ข. 7

7 5

ค.  7 ง. ไมม่ ีความชัน

5

2. ความชันของเสน้ ตรงทผี่ ่านจดุ a, 2a และ a, 3a เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้

ก. 2 ข. 2 a

55

ค. 5 ง. 5 a

22

3. เส้นตรงที่ผา่ นจุด 2 จดุ ในข้อใดตอ่ ไปนไ้ี มม่ ีความชนั

ก. 1,0 และ 1,1 ข. 2, 2 และ 3,3

ค. 5,5 และ 5, 5 ง. 4, 5 และ 0, 5

4. ถา้ ความชันของเสน้ ตรง AB เป็น 2 และจุด A มีพกิ ัดเปน็ 2,5 ข้อใดเป็นพกิ ัดของจดุ B
3

ก. 3,5 ข. 5, 3

ค. 3, 5 ง. 5,3

5. ข้อใดต่อไปนี้เปน็ คา่ ของ x ที่ทาให้เสน้ ตรงท่ผี า่ นจุด  x, 2 และ 1, 4 มีความชันเทา่ กับ 1
2

ก. 5 ข. 3

ค. 3 ง. 5

เฉลยแบบทดสอบประเมนิ ตนเอง ชดุ ที่ 3
เรอ่ื ง ควำมชันของเส้นตรง

ขอ้ 1 ค
ข้อ 2 ค
ขอ้ 3 ก
ข้อ 4 ง
ข้อ 5 ข

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์
รายวิชา ค 31201 คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม

ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 4

ชดุ ที่ 4
เรอื่ ง เส้นขนาน
เวลา 1 ชวั่ โมง

=================================================================
ภริ ญา แพทย์รกั ษา

โรงเรียนชานาญสามคั คีวทิ ยา
สานกั นกั งานเขตพื้นทกี่ ารศกึ ษามธั ยมศึกษาชลบรุ ี ระยอง

แบบฝกึ ทักษะชดุ ท่ี 4

เร่ือง เส้นขนำน

จดุ ประสงคก์ ำรเรียนรู้
สามารถบอกไดว้ า่ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั ก็ต่อเมื่อ ความชนั ของเสน้ ตรงท้ังสองเท่ากัน

คำชแ้ี จง
1. ให้นักเรยี นศึกษาหลกั การและตวั อย่างพร้อมฟังการแนะนาอธบิ ายเพ่มิ เติมจากครู
2. ใหน้ กั เรียนฝกึ ทาแบบฝึกโดยศกึ ษาจากตวั อยา่ งไปตามลาดับขั้น
3. ให้ตรวจสอบคาตอบจากเฉลยทีค่ รแู จกให้
4. ทดสอบความเข้าใจของตนเองหลังจบชุดแบบฝกึ ทกั ษะ

ใบความรู้

4. เสน้ ขนำน

ทฤษฎบี ท 3 กำหนดให้ l1 และ l2 เป็ นเส้นตรงท่ีไม่ขนำนกบั แกน Y และให้ m1 และ m2
แทนควำมชนั ของ l1 และ l2 ตำมลำดบั จะไดว้ ำ่
1) ถำ้ m1  m2 แลว้ l1 ขนำนกบั l2
2) ถำ้ l1 ขนำนกบั l2 แลว้ m1  m2

ขอ้ สงั เกต ถา้ เส้นตรงสองเส้นมีความชันเทา่ กนั และมีจุดรว่ มกันอยู่หนง่ึ จุดแลว้ เสน้ ตรงท้งั สองจะเป็น
เส้นตรงเดียวกนั

ตัวอยำ่ ง 1 จงแสดงว่า เส้นตรงท่ผี า่ นจุด A4,5 และ B1,2 ขนานกับเสน้ ตรงท่ผี ่านจดุ

C 2,8

และ D 2, 4

วิธีทำ mAB  52  3 1
4 1 3

mCD  84  4 1
4
2  2

จะได้ mAB  mCD ดงั นั้น เสน้ ตรงสองเส้นขนานกัน

ตวั อยำ่ ง 2 จงแสดงว่า P0, 1 , Q1,1 และ R 2,3 เป็นจดุ 3 จดุ ทอ่ี ยู่บนระนาบเดยี วกนั

วิธีทำ mPQ  1  1  2  2
0 1 1

mPR  1 3  4  2
02 2

ดังน้ัน เส้นตรง PQ มคี วามชันเทา่ กบั เส้นตรง PR จะได้ว่าจุด 3 จดุ อยูบ่ นระนาบเดยี วกนั

ตวั อย่ำง 3 จงหาคา่ k ทที่ าใหเ้ สน้ ตรงทผ่ี ่านจุด A2, 4 และ B 3, 2 ขนานกับเส้นตรงท่ีผา่ นจดุ
C 4,5 และ D k,3

วธิ ีทำ เนอ่ื งจาก lAB ขนานกับ lCD ก็ตอ่ เม่ือ mAB  mCD

42  53
2  3 4  k

2 2
5 4  k

5  4  k

k 1

แบบฝึ กทกั ษะ

จดุ ประสงค์กำรเรียนรู้
สามารถบอกไดว้ า่ เส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั ก็ต่อเม่ือ ความชันของเส้นตรงทง้ั สองเท่ากัน

1. จงตรวจสอบว่าเสน้ ตรง AB และเส้นตรง CD ขนานกันหรือไม่ เม่ือกาหนดจุดพิกัดดงั นี้
(1) A6, 1 , B 4,3 , C 5, 2 และ D 7, 6
............................................................................................................................. ............................................
................................................................................................................................................. ........................
........................................................................................................... ..............................................................
............................................................................................................................. ............................................
...................................................................................................................................................... ....
............................................................................................................................. .........................................

(2) A1, 3 , B 4,0 , C 2, 2 และ D 3,1
.......................................................................................... ...............................................................................
............................................................................................................................. ............................................
..................................................................................................................................... ....................................
............................................................................................... ..........................................................................
............................................................................................................................. .............................
........................................................................................................................................................ ..............

(3) A9,5 , B 1,5 , C 5, 2 และ D 4, 2
............................................................................................................................. ............................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................
.........................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................. .....................

2. จงแสดงว่า A5, 4 , B 7,1 , C 10,5 และ D 2,0 เปน็ จุดยอดมมุ ของรูปสี่เหลย่ี ม
ดา้ นขนาน

mAB  ..........................................................................................................................................................
mBC  ............................................................................................................................. .............................
mCD  ............................................................................................................................. ............................

mDA  ..........................................................................................................................................................
จะพบวา่ ........................................................................................................................................................
ดังน้ัน...................................................................................................................... ......................................

3. จงแสดงว่า A6, 1 , B 4,3 , C 5, 2 และ D 7,6 เปน็ จดุ ยอดมมุ ของรปู ส่ีเหลย่ี ม
คางหมู

mAB  .......................................................................................................................... ................................
mBC  ............................................................................................................................. .............................
mCD  ........................................................................................................................................... ..............
mDA  ..........................................................................................................................................................
จะพบว่า...................................................................................................................... ..................................
ดังนน้ั .................................................................................................................................................... ........

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะ

1. (1) mAB  2 , mCD  2 , ขนานกนั
(2) mAB  1 , mCD  1 , ไม่ขนานกัน
(3) mAB  0 , mCD  0 , ขนานกนั

2. mAB  5 , mBC 4 , mCD  5 , mDA  4 ,
12 3 12 3

mAB  mCD ดงั นนั้ AB ขนานกับ CD , mBC  mDA ดังนน้ั BC ขนานกับ DA

แสดงวา่ สี่เหลี่ยม ABCD เป็นรปู ส่เี หลยี่ มดา้ นขนาน

3. mAB  2 , mBC 1 , mCD  2 , mDA  7 ,
9 13

mAB  mCD ดังนั้น AB ขนานกบั CD แสดงวา่ สี่เหลยี่ ม ABCD เป็นรูปสีเ่ หล่ยี มคาง

หมู

แบบทดสอบประเมนิ ตนเอง ชดุ ที่ 4
เร่ือง เสน้ ขนำน

คาสงั่ จงเลือกคาตอบที่ถูกต้องทสี่ ดุ เพยี งคาตอบเดยี ว โดยทาเคร่อื งหมาย x หนา้ ข้อทถ่ี กู ต้อง
1. เสน้ ตรงทผ่ี า่ นจุดในข้อใดท่ีขนานกนั อยู่

ก. A2,3, B 4,1 กับ C 0, 8, D 5, 3

ข. A1, 2, B 3, 2 กับ C 5,6, D 3, 2

ค. A2,3, B 5, 3 กับ C 0, 8, D 4,1

ง. A2,1, B 3, 5 กบั C 1, 2, D 2,8

2. ค่า k ที่ทาให้เสน้ ตรงท่ผี ่านจดุ A(3,1) และ B(2,3) ขนานกับเส้นตรงทผ่ี ่านจดุ

C(4,5) และ D(k,3) เทา่ กบั ข้อใด

ก. 5 ข. 6

ค. 7 ง. 8

3. จดุ สามจุดขอ้ ใดต่อไปนี้อยู่บนเสน้ ตรงเดียวกนั

ก. 2,3,3, 2,2,5 ข. 1,6,8,8,7, 2

ค. 10,5,3, 2,6, 5 ง. 3,3,0,1,9,7

4. ค่า k ทท่ี าให้ A(2,6) , B(k,4) และ C(4,2) อยู่บนเสน้ ตรงเดยี วกันเทา่ กับข้อใด

ก. 1 ข. 0

ค. 1 ง. 2

5. ความชนั ของเสน้ ตรงซง่ึ ขนานกับเสน้ ตรงท่ีผา่ นจดุ a,b และ c,d  เท่ากบั ข้อใดเม่ือ a  c

ก. a  c ข. a  c

bd d b

ค. b  d ง. b  d

ac ca

เฉลยแบบทดสอบประเมนิ ตนเอง ชุดที่ 4
เรื่อง เส้นขนำน

ขอ้ 1 ง
ข้อ 2 ข
ขอ้ 3 ง
ข้อ 4 ก
ข้อ 5 ค

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
รายวิชา ค 31201 คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

ชดุ ที่ 5
เรอ่ื ง เส้นตัง้ ฉาก
เวลา 1 ชวั่ โมง

=================================================================
ภริ ญา แพทย์รกั ษา

โรงเรยี นชานาญสามคั คีวทิ ยา
สานักนกั งานเขตพนื้ ทกี่ ารศกึ ษามัธยมศึกษาชลบุรี ระยอง

เรือ่ ง เสน้ ตั้งฉำก

จุดประสงคก์ ำรเรียนรู้
สามารถบอกไดว้ ่าเสน้ ตรงสองเสน้ (ท่ีไม่ขนานกบั แกน Y) จะตง้ั ฉากกนั กต็ อ่ เม่อื ผลคณู ของความชนั ของ
เส้นตรงทงั้ สองมีคา่ เป็น -1

คำช้แี จง
1. ให้นกั เรยี นศึกษาหลักการและตวั อยา่ งพร้อมฟังการแนะนาอธบิ ายเพม่ิ เติมจากครู
2. ให้นักเรยี นฝกึ ทาแบบฝึกโดยศึกษาจากตวั อย่างไปตามลาดับขัน้
3. ให้ตรวจสอบคาตอบจากเฉลยทค่ี รแู จกให้
4. ทดสอบความเข้าใจของตนเองหลังจบชุดแบบฝึกทักษะ

ใบความรู้

5. เสน้ ตั้งฉำก

ทฤษฎบี ท 4 กำหนดให้ l1 และ l2 เป็ นเส้นตรงท่ีไม่ขนำนกบั แกน Y และให้ m1 และ m2
แทนควำมชนั ของ l1 และ l2 ตำมลำดบั จะไดว้ ำ่
3) ถำ้ l1 ต้งั ฉำกกบั l2 แลว้ m1  m2  1
4) ถำ้ m1  m2  1 แลว้ l1 ต้งั ฉำกกบั l2

ข้อสงั เกต ถ้ากาหนดความชันของเสน้ ตรง l1  m1  0 และ l2 เป็นเสน้ ต้ังฉากกบั l1 จะไดว้ ่า ถา้ m2

เปน็ ความชันของ l2 แล้ว m2   1
m1

ตวั อยำ่ ง 1 กาหนดให้ l1 เปน็ เสน้ ตรงท่ผี ่าน A1,4 และ B 2,3 และ l2 เป็นเส้นตรงท่ีผา่ น

C 5, 2 และ D 19,8 จงแสดงวา่ l1 ตั้งฉากกบั l2

วิธีทำ mAB  4  3  7  7
1 2 3 3

mCD  28  6   3
14 7
5  19

น่นั คือ mAB  mCD  7    3  1
3  7 

ดงั นัน้ l1 ตงั้ ฉากกับ l2

ตวั อยำ่ ง 2 จงแสดงว่าจดุ A4,3 , B1,2 , C 2,11 เป็นจดุ ยอดของรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก

วิธีทำ mAB  32  1   1
3 3
4  1

mBC  2 11  9 3
1 2 3

mAC  3 11  4
4  2 3

จะเหน็ วา่ mAB  mBC   1 3  1
3

ดงั น้นั จดุ ทง้ั สามเปน็ จุดยอดของสามเหลย่ี มมุมฉาก

ตวั อย่ำง 3 จงหาคา่ x ทีท่ าใหเ้ สน้ ตรงทผี่ ่านจดุ  x, 4 และ 5,9 ตัง้ ฉากกับเส้นตรงทผี่ า่ นจุด

10, 3 และ 14, 7

วิธที ำ เส้นตรงสองเส้นตง้ั ฉากกนั จะได้ m1  m2  1

 4  9    3  7    1
 x5   
 10 14 

13  4  1
x  5 4

13 1  1

x5

13  1
x5

13  1 x  5

13  x  5
x  8

แบบฝึ กทกั ษะ

จุดประสงคก์ ำรเรียนรู้
สามารถบอกได้วา่ เสน้ ตรงสองเสน้ (ท่ีไม่ขนานกับแกน Y) จะต้งั ฉากกัน กต็ ่อเมื่อ ผลคณู ของความชนั ของ
เส้นตรงท้ังสองมคี ่าเป็น -1

1. จงตรวจสอบว่าเส้นตรง AB และเส้นตรง CD ต้งั ฉากกันหรอื ไม่ เมือ่ กาหนดจดุ พิกัดดงั น้ี
(1) A5, 2 , B 3, 1 , C 4, 2 และ D 7,10
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................

(2) A5,3 , B 8,3 , C 7, 4 และ D 7, 4
............................................................................................................................ .............................................
............................................................................................................................. ............................................
....................................................................................................................................................................... ..
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................

(3) A2, 3 , B 5,1 , C 7, 1 และ D 0,3
............................................................................................................................. ............................................
.................................................................................................................................................... .....................
.............................................................................................................. ...........................................................
............................................................................................................................. ............................................
......................................................................................................................................................... ................
............................................................................................................................. ............................................
2. จงตรวจสอบดูวา่ รปู สามเหลยี่ ม ABC เปน็ รปู สามเหล่ยี มมมุ ฉากหรือไม่ พร้อมทง้ั หาพื้นทข่ี องรูป

สามเหล่ยี ม
(1) A8, 6 , B 4,8 , C 2, 4
............................................................................................................................. ............................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................
.........................................................................................................................................................................

(2) A0,9 , B 4, 1 , C 3, 2

.................................................................................... .....................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................... ..........................................
......................................................................................... ................................................................................
............................................................................................................................. ............................................

3. ให้ A3, 1 , B 6,0, C 7,3 , D 4, 2 เปน็ จดุ ยอดมุมของส่เี หลย่ี มรปู หนึง่ จงแสดงว่าเสน้

ทแยงมุมทงั้ สองเสน้ จะต้งั ฉากและแบ่งครึง่ ซึ่งกันและกัน
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................
............................................................................................................................. ............................................
.........................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............................................

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะ

1. (1) mAB  3 , mCD  8 , ตั้งฉาก
8 3

(2) mAB  0 , mCD  0 , ไม่ตัง้ ฉาก

(3) mAB   4 , mCD 4 , ไมต่ ้งั ฉาก
7 7

2. (1) mAB   1 , mBC 2 , mCA 1
2 3

mAB  mBC  1 ดงั นัน้ AB ตงั้ ฉากกบั BC

รปู สามเหลยี่ ม ABC มีพ้ืนท่ี 10 ตารางหน่วย

(2) mAB  5 , mBC 3 , mCA   7
2 7 3

mBC  mCA  1 ดังนน้ั BC ต้งั ฉากกบั CA

รูปสามเหลย่ี ม ABC มีพ้นื ท่ี 29 ตารางหนว่ ย

3. ,mAC  1 mBD  1

จุดกึ่งกลางของเสน้ ทแยงมมุ AC คือ 5,1 และจดุ ก่งึ กลางของเส้นทแยงมุม BD

คือ 5,1

แบบทดสอบประเมนิ ตนเอง ชุดที่ 5
เรื่อง เสน้ ตงั้ ฉำก

คาส่ัง จงเลือกคาตอบท่ีถูกต้องท่สี ดุ เพียงคาตอบเดยี ว โดยทาเคร่ืองหมาย x หน้าข้อท่ถี กู ต้อง
1. เสน้ ตรงที่ผ่านจุดในข้อใดที่ตง้ั ฉากกันอยู่

ก. A0,3, B 5,0 กบั C 6,1, D 3, 3

ข. A1,5, B 7, 2 กับ C 4, 2, D 3, 8

ค. A2,3, B 5, 3 กับ C 0, 8, D 4,1

ง. A2,1, B 3, 5 กับ C 1, 2, D 2,8

2. ค่า k ทที่ าให้เสน้ ตรงทผ่ี ่านจุด A(k,2) และ B(3,2) ตง้ั ฉากกับเส้นตรงท่ผี ่านจุด

C(3,2) และ D(1, 2) เท่ากับข้อใด

ก. 3 ข. 7

ค. 9 ง. 11

3. จุดสามจุดข้อใดต่อไปนี้เป็นจดุ ยอดของรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก

ก. 2,3,3, 2,2,5 ข. 3,1,1,3,10,8

ค. 1,1,6, 2,4,3 ง. 3, 3,0,1,9, 7

4. คา่ k ที่ทาให้ A(10,5) , B(3,k) และ C(6,5) เปน็ จุดยอดของสามเหลีย่ มมุมฉากคือข้อใด

ก. 1 ข. 0

ค. 1 ง. 2

5. ความชันของเส้นตรงซง่ึ ต้ังฉากกบั เสน้ ตรงท่ผี ่านจุด m,n และ s,t เทา่ กับขอ้ ใด

เมอื่ m  s

ก. s  m ข. n  t

nt ms

ค. s  m ง. t  n

tn ms

เฉลยแบบทดสอบประเมินตนเอง ชดุ ที่ 5
เรอื่ ง เสน้ ตั้งฉำก

ขอ้ 1 ข
ข้อ 2 ง
ขอ้ 3 ค
ข้อ 4 ง
ขอ้ 5 ก