คู่มือ การใช้แบบฝึกทักษะ ลำดับและอนุกรม เล่มที่ 1 เรื่องลำดับ ปรับปรุง ปีการศึกษา 2563

รายวชิ า คณิตศาสตร์ 5
รหัสวชิ า ค33101

คูม่ ือการใชแ้ บบฝกึ ทักษะ

คณิตศาสตร์ ม.6

ลาดบั และอนุกรม ดว้ ยรูปแบบ SSCS

เล่มท่ี

1

เร่ือง ลาดับ

นายครรชิต แซ่โฮ่
ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการ
โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา
สานักงานเขตพ้นื ท่ีการศกึ ษามธั ยมศึกษา เขต 15

กระทรวงศึกษาธกิ าร

ก

คำนำ

คู่มือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ นับว่าเป็นองค์ประกอบสาคัญของชุดแบบฝึกทักษะ
คณิตศาสตร์เพราะเป็นสิ่งอานวยความสะดวกช่วยให้ครูผู้สอนสามารถนาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ไป
ใช้ได้อย่างถูกต้องและมีประสิทธิภาพ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับและอนุกรม ด้วยรูปแบบ
SSCS นี้เป็นแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับครูผู้สอนคณิตศาสตร์ ซึ่งใช้ประกอบการจัดกิจกรรม
การเรียนรู้ กลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ รายวชิ าคณติ ศาสตร์ 5 รหัสวชิ า ค33101 ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
ซึ่งสอดคล้องกับตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง
พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ผู้จัดทาได้ออกแบบและสร้าง
ข้ึนอย่างเป็นระบบ มีการแบ่งเนื้อหาออกเป็นเร่ืองย่อย ซ่ึงเรียงลาดับเนื้อหาจากง่ายไปยาก การวิเคราะห์
รปู แบบการจัดการเรียนรู้ สื่อการเรียนรู้ และกิจกรรมการจัดการเรียนรู้ให้เหมาะกับเน้ือหารวมถึงผู้เรียน
ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 และยงั มงุ่ พัฒนาและสง่ เสรมิ ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน
ได้แก่ ความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผลความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ฝึกให้ผู้เรียนทางานอย่าง
เป็นระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ ตระหนักในคุณค่า และมีเจตคติท่ีดีต่อวิชา
คณติ ศาสตร์ รวมทั้งตอบสนองสาระ มาตรฐานการเรียนรู้และตัวช้ีวัดในรายวิชาคณิตศาสตร์ ท้ังน้ีเพื่อให้
ผู้เรียนได้มีส่วนร่วมในการจัดกิจกรรมการจัดการเรียนรู้ เกิดความสนใจในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์มาก
ยิง่ ขน้ึ

ภายในคมู่ ือการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์นไี้ ดก้ ลา่ วถึงรายละเอียดเกี่ยวกับ คาชี้แจงประอบ
การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ คู่มือครู คู่มือผู้เรียน คาแนะนาในการใช้แบบฝึกทักษะสาหรับครู
คาแนะนาในการใช้แบบฝกึ ทักษะสาหรับผูเ้ รยี น ขั้นตอนการเรยี นร้โู ดยใชแ้ บบฝึกทักษะ สาระมาตรฐาน
การเรียนรู้ ตัวชี้วัด และจุดประสงค์การเรียนรู้ ดังน้ันก่อนที่จะนาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์น้ีไปใช้
ครผู สู้ อนจาเป็นต้องศึกษาค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์นีใ้ หเ้ ข้าใจเปน็ อย่างดีเสยี ก่อน

ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างย่ิงว่า คู่มือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มน้ี คงเป็นประโยชน์ต่อ
การนาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ไปใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ของครูผู้สอนได้เป็นอย่างดี และ
สามารถนาผเู้ รียนไปสูจ่ ุดหมายตามศักยภาพ เป็นผู้ท่ีมีคุณลักษณะอันพึงประสงค์ นาความรู้ไปประยุกต์ใช้
ในชวี ติ ประจาวนั ได้ และเปน็ แนวทางสาหรับผู้ทม่ี ีความสนใจตอ่ ไป

ขอขอบพระคุณผู้อานวยการโรงเรียน คณะผู้บริหารและครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
รวมถงึ ผ้ทู มี่ สี ่วนเกย่ี วข้องทุกท่าน ทีไ่ ดอ้ านวยความสะดวก เป็นกาลังใจ ใหค้ วามช่วยเหลือ และให้การ
สนับสนุน และขอขอบใจนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ทุกคนท่ีให้ความร่วมมือในกิจกรรมการเรียนรู้
และทาใหแ้ บบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตรเ์ ล่มนีส้ าเร็จลลุ ว่ งด้วยดี ขอขอบคุณเป็นอย่างสงู ไว้ ณ โอกาสนี้

ครรชิต แซโ่ ฮ่
ตาแหน่ง ครู วทิ ยฐานะ ครูชานาญการ

สารบญั ข

เรอื่ ง หน้า

คานา ก
สารบัญ ข
คาชีแ้ จงประกอบการใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ค
คมู่ ือครู จ
คาแนะนาในการใชแ้ บบฝึกทกั ษะสาหรบั ครู ซ
คมู่ ือสาหรบั ผู้เรยี น 1
คาแนะนาในการใชแ้ บบฝกึ ทกั ษะสาหรับผู้เรียน 3
ข้ันตอนการเรยี นรู้โดยใช้แบบฝกึ ทักษะ 4
สาระ มาตรฐานการเรียนรู้ ตวั ช้ีวัด และจุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 5
ผังมโนทัศน์ 6
แบบทดสอบก่อนเรยี น 7
กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรยี น 11
เอกสารแนะแนวทางที่ 1.0 12
เอกสารแนะแนวทางที่ 1.1 13
ใบความร้ทู ี่ 1.1 ความหมายของลาดับ 14
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.1 16
ใบสรปุ ความรู้ที่ 1.1 17
ใบแลกเปลยี่ นเรยี นรู้ที่ 1.1 17
เอกสารแนะแนวทางที่ 1.2 18
ใบความรู้ที่ 1.2 ลาดบั จากดั และลาดบั อนนั ต์ 19
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.2 20
ใบสรุปความรู้ท่ี 1.2 21
ใบแลกเปลย่ี นเรยี นร้ทู ี่ 1.2 21
ใบความร้ทู ี่ 1.3 การเขียนลาดบั ในรูปแจงพจน์ 22
แบบฝึกทักษะที่ 1.3 26
ใบสรปุ ความรทู้ ่ี 1.3 28
ใบแลกเปลีย่ นเรยี นรู้ท่ี 1.3 28
ใบความรทู้ ่ี 1.4 การเขียนลาดบั ในรูปแจงพจน์ (ต่อ) 29
แบบฝึกทกั ษะที่ 1.4 32
ใบสรปุ ความรู้ที่ 1.4 34
ใบแลกเปลยี่ นเรยี นรทู้ ี่ 1.4 34

สำรบัญ (ตอ่ ) หนำ้

เร่ือง 35
39
ใบความรทู้ ่ี 1.5 การหาพจน์ทวั่ ไปของลาดบั 41
แบบฝึกทักษะท่ี 1.5 41
ใบสรุปความรทู้ ี่ 1.5 42
ใบแลกเปล่ียนเรียนร้ทู ี่ 1.5 48
ใบความรทู้ ี่ 1.6 การหาพจนท์ ่ัวไปของลาดับ (ตอ่ ) 52
แบบฝึกทักษะที่ 1.6 52
ใบสรปุ ความรทู้ ่ี 1.6 53
ใบแลกเปล่ยี นเรียนรทู้ ี่ 1.6 57
แบบทดสอบหลงั เรยี น 58
กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลังเรียน 59
แบบบันทึกคะแนนแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 60
บรรณานกุ รม 62
ภาคผนวก 63
64
เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น 65
เฉลยเอกสารแนะแนวทางที่ 1.0 66
เฉลยเอกสารแนะแนวทางที่ 1.1 67
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.1 68
เฉลยเอกสารแนะแนวทางที่ 1.2 70
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 1.2 72
เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 1.3 74
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 1.4 79
เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 1.5
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.6
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน

คมู่ อื การใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่อื ง ลาดบั ค

คาชีแ้ จงประกอบการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์

เร่ือง ลาดับและอนุกรม

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับและอนุกรม ด้วยรูปแบบ SSCS เป็นแบบฝึกทักษะท่ี
สรา้ งขึน้ เพอื่ ใช้ประกอบการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์ 5
รหัสวชิ า ค33101 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ที่สอดคล้องกับตัวช้ีวัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระ
การเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน
พุทธศักราช 2551 โดยคานึงถึงความสอดคล้องกับพระราชบัญญัติการศึกษาแห่งชาติ พุทธศักราช 2542
และหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เป็น
แบบฝึกทักษะท่ีเน้นผู้เรียนเป็นสาคัญ ส่งเสริมให้ผู้เรียนมีบทบาทในการเรียนรู้ด้วยตนเอง และเรียน
ร่วมกับเพื่อนมากที่สุด โดยการฝึกปฏิบัติในลักษณะกิจกรรมกลุ่มและกิจกรรมรายบุคคล การจัดกิจกรรม
การเรียนรู้ในแบบฝึกทักษะแต่ละเล่ม จึงเน้นกิจกรรมให้ผู้เรียนมีส่วนร่วมในกิจกรรมการเรียนรู้ร่วมกับ
เพื่อน ครูผสู้ อนทาหนา้ ทีเ่ ปน็ ผกู้ ระตนุ้ ผ้ชู ี้แนะ ผู้ประเมิน ผู้เรียนร่วม ผู้รวบรวมสื่อและเอกสารต่าง ๆ ให้
ผเู้ รียนไดศ้ ึกษาเพ่ือใหผ้ ้เู รยี นมีโอกาสใช้ความคิดความสามารถอย่างเต็มศักยภาพของตนเอง

ดังน้ันการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ในแตล่ ะแบบฝึกทักษะครูผู้สอนต้องศึกษาคู่มอื ครู คมู่ ือ
ผู้เรียนและแบบฝึกทักษะใหเ้ ขา้ ใจโดยละเอยี ดก่อนสอน เพ่ือให้เกดิ ประโยชนส์ งู สดุ แก่ผู้เรียน

สว่ นประกอบของแบบฝกึ ทักษะ
แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลาดบั และอนกุ รม ดว้ ยรปู แบบ SSCS ประกอบด้วยเอกสาร

3 สว่ น ดังน้ี
1. คู่มือครู คอื เอกสารสาหรับใหค้ รูใชป้ ระกอบแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ประกอบด้วย
1.1 บทบาทของครูผสู้ อน
1.2 การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้
1.3 การวัดและประเมินผลการเรียนรู้
2. คมู่ อื ผู้เรียน คอื รายละเอียดสาหรบั ให้ผู้เรียนใชเ้ ป็นแนวทางปฏบิ ตั ใิ นการเรียนโดยใช้

แบบฝึกทักษะ ประกอบด้วย
2.1 บทบาทของผู้เรยี น
2.2 แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

คูม่ อื การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่ือง ลาดบั ง

3. แบบฝึกทักษะ คอื ส่ือการเรยี นรู้ทใี่ ชใ้ นการจัดกิจกรรมการเรียนรู้สาหรับให้ผู้เรียนได้
เรยี นรู้ เรื่อง ลาดบั และอนุกรม ดว้ ยรปู แบบ SSCS แบ่งออกเป็น 5 เล่ม ดังนี้

แบบฝกึ ทกั ษะเล่มที่ 1 เรื่อง ลาดบั
แบบฝึกทักษะเลม่ ที่ 2 เร่ือง ลาดบั เลขคณิต
แบบฝกึ ทักษะเลม่ ท่ี 3 เรือ่ ง ลาดับเรขาคณิต
แบบฝกึ ทกั ษะเลม่ ท่ี 4 เรือ่ ง อนุกรมเลขคณติ
แบบฝกึ ทักษะเลม่ ที่ 5 เรื่อง อนุกรมเรขาคณติ

สาหรบั คมู่ อื การใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดับและอนุกรม ด้วยรปู แบบ SSCS
แตล่ ะเล่ม ประกอบดว้ ย

3.1 คมู่ ือสาหรับครู
3.2 คมู่ ือสาหรบั ผ้เู รียน
3.3 คาแนะนาในการใช้แบบฝกึ ทักษะสาหรบั ครู
3.4 คาแนะนาในการใชแ้ บบฝึกทกั ษะสาหรับผู้เรยี น
3.5 ข้ันตอนการเรียนรูโ้ ดยใชแ้ บบฝกึ ทักษะ
3.6 สาระ มาตรฐานการเรยี นรู้ ตวั ช้วี ัด และจดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
3.7 ผังมโนทัศน์
3.8 แบบทดสอบกอ่ นเรียน
3.9 เอกสารแนะแนวทาง
3.10 ใบความรู้และแบบฝึกทกั ษะ
3.11 แบบทดสอบหลังเรยี น
3.12 บรรณานุกรม
3.13 ภาคผนวก (เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน / เฉลยเอกสารแนะแนวทาง / เฉลย
แบบฝึกทกั ษะ / เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น / แบบบันทึกคะแนน)

เวลาท่ีใช้
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรื่อง ลาดบั ใช้เวลาในการเรียนรู้ 6 คาบ

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดับ จ

คู่มอื สาหรับครู

1. บทบาทของครผู สู้ อน มีดังนี้
1.1 ศกึ ษาค่มู ือครู ประกอบการใชแ้ บบฝึกทักษะและแบบฝึกทักษะแต่ละเล่มอย่างละเอยี ด

เพ่ือให้เกิดความเข้าใจในข้ันตอนการจดั กิจกรรมการเรียนรู้
1.2 ครผู ู้สอนเตรยี มและทดลองใช้เอกสาร สือ่ การเรยี นรู้ตลอดจนอุปกรณ์ต่าง ๆ ให้พร้อม
1.3 กอ่ นการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ทกุ ครั้ง ครูผู้สอนควรอธิบาย ชแ้ี จง บทบาทและหนา้ ที่

ของผู้เรยี น และวธิ ีการปฏิบตั กิ ิจกรรมใหช้ ัดเจนใหผ้ ู้เรยี นเข้าใจตรงกัน จึงจะทาให้การจัดกจิ กรรม
การเรียนรมู้ ปี ระสิทธิภาพ

1.4 ครูผสู้ อนควรดาเนินการจัดกิจกรรมการเรยี นรตู้ ามขน้ั ตอนทีร่ ะบไุ ว้ในแผนการจดั การ
เรียนรขู้ องแตล่ ะแบบฝึกทักษะ เพื่อให้กจิ กรรมเปน็ ไปอยา่ งต่อเนอ่ื งและบรรลจุ ดุ ประสงค์การเรยี นรู้

1.5 ครผู สู้ อนจะต้องทาความเขา้ ใจขั้นตอนในการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้ดว้ ยรูปแบบ SSCS
ใหเ้ ข้าใจก่อน เพือ่ เตรียมให้คาปรกึ ษา คาแนะนาและเสนอแนะแก่ผู้เรยี นในขณะปฏิบตั ิกิจกรรมได้
ถกู ต้อง รวมถึงโดยใชเ้ ทคนคิ ที่หลากหลายในการจัดการเรียนรู้เพอ่ื ไม่ใหผ้ ู้เรยี นเกดิ ความเบ่ือหน่ายใน
การเรยี น

1.6 ครูผู้สอนควรจดั กจิ กรรมการเรียนรโู้ ดยแบ่งผู้เรยี นออกเปน็ กลุม่ กลุ่มละ 4 – 5 คน
โดยคละเพศและความสามารถ คือ ผู้เรียนท่เี รียนเก่ง 1 คน ปานกลาง 2 – 3 คน และผู้เรียนที่เรียน
ออ่ น 1 คน ปฏิบัตกิ ิจกรรมรว่ มกนั สมาชกิ ในกลุ่มชว่ ยเหลือกัน มีการยอมรับซ่ึงกันและกัน สานกึ ใน
ความรับผดิ ชอบรว่ มกนั เพอื่ ความสาเรจ็ ของตนเองและของกล่มุ

1.7 ขณะที่ผู้เรียนปฏิบัติกิจกรรม ครูผ้สู อนควรเปน็ ทปี่ รึกษาใหค้ าแนะนากบั กลมุ่ ท่ีมี
ปญั หากระตุ้นให้ผู้เรียนในแต่ละกลุม่ ดแู ลช่วยเหลือกันภายในกลมุ่ และควรสอดแทรกคุณธรรม
จรยิ ธรรมและค่านยิ มท่พี งึ ประสงค์ให้กบั ผู้เรียน

1.8 ครผู ู้สอนควรสังเกตพฤติกรรมและประเมนิ ผลดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ และดา้ น
คุณลกั ษณะอนั พึงประสงคจ์ ากการปฏบิ ตั ิกิจกรรมระหว่างเรยี นอย่างต่อเน่อื ง รวมทง้ั ให้ผู้เรียนบนั ทกึ
คะแนนลงในแบบบนั ทึกคะแนน เพือ่ นาไปสรปุ ผลการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ พรอ้ มท้ังให้ข้อมลู
ยอ้ นกลบั แกผ่ ู้เรียน เพ่ือใหผ้ ูเ้ รียนไดป้ รบั ปรงุ การปฏิบตั ิกจิ กรรมในครัง้ ต่อไป

1.9 เม่ือผู้เรยี นเรยี นรจู้ ากแบบฝึกทักษะจบแล้ว ครูผู้สอนให้ผู้เรยี นทาแบบทดสอบหลัง
เรียนในแต่ละแบบฝึกทักษะ จานวน 15 ขอ้ ใช้เวลาในการทดสอบ 30 นาที และเมื่อผู้เรียนเรียนจน
ครบท้ัง 5 เล่มแลว้ ให้ผู้เรียนทาแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนเรอ่ื ง ลาดับและอนกุ รม จานวน
30 ขอ้ ใชเ้ วลาในการทดสอบ 60 นาที เพื่อวดั ความร้คู วามเข้าใจ แลว้ นาผลการทดสอบกอ่ นเรยี น
และหลังเรียนมาเปรยี บเทยี บเพอื่ ทราบผลการพฒั นา

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

คู่มือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่อื ง ลาดบั ฉ

2. การจัดกจิ กรรมการเรียนรู้
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลาดับและอนุกรม ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6 น้ใี ช้ประกอบ

การจัดกิจกรรมการเรียนรู้ด้วยรูปแบบ SSCS ซง่ึ ครูผู้สอนควรศึกษาขนั้ ตอนการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้
และสรุปขนั้ ตอนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ดงั น้ี

2.1 ทดสอบก่อนเรยี นดว้ ยแบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธท์ิ างการเรียน เร่อื ง ลาดับและอนกุ รม
สาหรับผู้เรียนช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 ซง่ึ เป็นแบบทดสอบแบบปรนยั ชนดิ 4 ตวั เลือก จานวน 30 ข้อ ใช้
เวลาในการทดสอบ 60 นาที

2.2 ดาเนินการจัดกิจกรรมการเรยี นรโู้ ดยใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ลาดบั และ
อนกุ รม สาหรับผู้เรยี นชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 จานวน 5 เล่ม ตามลาดบั ซง่ึ จดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ดว้ ย
รปู แบบ SSCS ตามขน้ั ตอน ดังน้ี

ขน้ั ที่ 1 ข้นั นาเขา้ สบู่ ทเรยี น เปน็ ขัน้ ตอนท่คี รทู บทวนความรเู้ ดิมของผู้เรยี น ซ่ึงอาจจะ
ใช้การทากิจกรรม การเล่นเกมหรอื การร้องเพลงและใชค้ าถามกระตุ้นเชื่อมโยงกบั ส่ิงท่ีกาลังจะสอน
ตามความเหมะสม หรืออาจจะเฉลยแบบฝึกเสริมทกั ษะท่ีผู้เรียนทาเปน็ การบ้าน และทาการชี้แจง
เรอ่ื งทจ่ี ะเรียน จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ และขัน้ ตอนการเรียนรู้ตามเทคนิคทีใ่ ชใ้ นการจัดกิจกรรมการ
เรียนร้แู ตล่ ะช่ัวโมง

ขน้ั ท่ี 2 ขนั้ การจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ เปน็ ขัน้ ตอนท่ีครแู บ่งกลมุ่ ผู้เรียนคละเพศและ
ความสามารถ กลุม่ ละ 4 – 5 คน และจดั กิจกรรมการเรียนรู้ด้วยรปู แบบ SSCS ซ่งึ มขี น้ั ตอนใน
การจัดการเรียนรู้ 4 ข้นั ตอน คือ ข้นั ท่ี 1 Search: S ขนั้ สืบเสาะค้นหาความรู้ ขั้นที่ 2 Solve: S ขั้น
การแกป้ ัญหา ขั้นที่ 3 Create: C ข้นั สร้างความรู้ และข้ันท่ี 4 Share: S ข้นั อภิปรายแลกเปลี่ยน
ความคดิ เหน็ บูรณาการกบั เทคนคิ การเรียนรตู้ ่าง ๆ ตามความเหมาะสมของเนื้อหาในแต่ละแผน
การจดั การเรียนรู้ โดยใชส้ ่ือแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ผู้เรยี นศึกษาจากใบความรูร้ ว่ มกนั ทาแบบฝกึ
ทกั ษะ หรอื กจิ กรรมเปน็ รายกลุ่ม จับค่หู รือเปน็ รายบุคคล

ขัน้ ที่ 3 ขน้ั วิเคราะห์ อภิปรายผลงาน องค์ความรทู้ ส่ี รปุ ได้จากกจิ กรรมการเรยี น ครู
ซักถามความเขา้ ใจเก่ยี วกบั เน้ือหา อภิปรายสรปุ ร่วมกัน แจ้งคะแนนและใหร้ างวัล วิเคราะห์ข้อดี
ขอ้ ด้อยของการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ด้วยรปู แบบ SSCS เพอื่ นาข้อมลู ไว้พัฒนาการจดั กจิ กรรม
การเรียนรใู้ นช่วั โมงต่อไป

2.3 เม่อื การจดั กจิ กรรมการเรียนรู้ในแต่ละแบบฝกึ ทักษะส้นิ สดุ ลง ให้ผู้เรยี นทาแบบทดสอบ
หลงั เรียนในแบบฝึกทักษะแต่ละเล่มเป็นรายบุคคล ตรวจแบบทดสอบแล้วบันทึกคะแนน

2.4 เมอ่ื ผู้เรียนศึกษาแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ครบทั้ง 6 เลม่ ให้ผู้เรยี นทาแบบทดสอบ
วดั ผลสัมฤทธท์ิ างการเรยี น เรื่อง ลาดบั และอนุกรม สาหรบั ผู้เรยี นชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 6 ซงึ่ เปน็
แบบทดสอบแบบปรนัย ชนิด 4 ตวั เลือก จานวน 30 ข้อ ใช้เวลาในการทดสอบ 60 นาที

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

คู่มือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรื่อง ลาดับ ช

3. การวดั และประเมนิ ผลการเรียนรู้
การวัดและประเมนิ ผลการเรียนรู้ จะดาเนินการประเมนิ ท้ังสิน้ 3 ดา้ น ไดแ้ ก่ ดา้ นความรู้

(K) ด้านทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (P) และด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A) ซึ่งประเมิน
จาก

3.1 การตรวจแบบฝกึ ทักษะต่าง ๆ และแบบทดสอบหลงั เรียน และประเมินผา่ นเกณฑ์
ร้อยละ 80 ของคะแนนทั้งหมด

3.2 แบบประเมนิ ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ โดยการสังเกตพฤติกรรมขณะ
ผู้เรียนปฏบิ ัติกจิ กรรมการเรยี นรู้ และการผา่ นเกณฑต์ ้องได้คะแนนการประเมนิ อย่างนอ้ ย 80% ของ
คะแนนท้ังหมด

3.3 แบบประเมินคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ โดยการสังเกตพฤติกรรมขณะผู้เรียนปฏิบตั ิ
กิจกรรมการเรียนรู้ และการผา่ นเกณฑ์ต้องได้คะแนนการประเมนิ อยา่ งน้อย 80% ของคะแนนทั้งหมด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

คู่มอื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรื่อง ลาดับ ซ

คาแนะนาในการใช้แบบฝึกทักษะสาหรบั ครู

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดับและอนุกรม ใชป้ ระกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้
กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ รายวิชาคณติ ศาสตร์ 5 รหัสวิชา ค33101 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 มี
ทงั้ หมด 5 เลม่ ซง่ึ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตรเ์ ล่มนี้เป็นเล่มท่ี 1 เรื่อง ลาดบั

กอ่ นการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้ ครูผู้สอนควรดาเนนิ การดังนี้
1. ศกึ ษาแผนการจัดการเรยี นรู้ แบบฝกึ ทักษะและอา่ นเน้ือหาสาระอย่างละเอยี ดรอบคอบ
พรอ้ มทงั้ ทาความเขา้ ใจกับเน้ือหาทุกเล่มก่อนการใช้งาน
2. เตรยี มแบบฝกึ ทักษะให้ครบถ้วนและเพยี งพอกบั จานวนผู้เรยี น
3. เตรียมเครือ่ งมอื วดั และประเมนิ ผล เพื่อใหท้ ราบความก้าวหน้าของผู้เรียน
4. อาจจดั ช้ันเรียนให้ผู้เรียนเรยี นรู้เป็นรายบุคคลหรือกลุ่มก็ได้
ระหวา่ งดาเนินการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้ ครผู สู้ อนควรดาเนนิ การดังน้ี
1. ดาเนนิ การจดั กจิ กรรมการเรยี นรตู้ ามกจิ กรรมการเรยี นรู้ท่กี าหนดไวใ้ นแผนการจดั
การเรยี นรู้อยา่ งเคร่งครัด
2. ชี้แจงให้ผู้เรียนทราบลาดับขน้ั ตอนและวิธกี ารเรยี นรู้โดยใช้แบบฝกึ ทกั ษะอยา่ งชดั เจนและ
ประโยชน์ที่ได้รับจากการเรยี นรู้โดยใชแ้ บบฝกึ ทกั ษะ
3. ชี้แจงให้ผู้เรยี นทราบเกี่ยวกับบทบาทของผู้เรยี น ในการเรียนรู้โดยใช้แบบฝึกทักษะให้
เข้าใจ และเนน้ ย้าเรอื่ งความซื่อสัตย์ โดยไมล่ อกเพ่อื น ไม่ให้เพ่ือนทาให้ ก่อนลงมือทาด้วยตนเอง
4. สังเกตความตัง้ ใจของผู้เรียน ความสนใจในการเรียน การทางานร่วมกันเป็นกลุ่มของ
ผู้เรยี นทกุ กลุ่มอย่างใกล้ชิด หากผู้เรียนคนใดมีปญั หาข้อสงสยั ครตู อ้ งใหค้ วามชว่ ยเหลอื ทนั ที
5. ควบคมุ เวลาในการจัดกิจกรรมการเรยี นโดยใช้แบบฝึกทักษะของผู้เรียนแต่ละคน
แตล่ ะคนอาจจะไม่เทา่ กัน ครคู วรยืดหยุ่นตามความเหมาะสมและตามสถานการณ์
6. การสรุปบทเรียนควรเปน็ กิจกรรมร่วมกันของผู้เรียนทุกคน หรอื แต่ละกลมุ่ สง่ ตวั แทน
มาร่วมอภิปรายเรอ่ื งทีเ่ รยี นมา
7. กากบั ควบคุมให้ผู้เรยี นทาแบบทดสอบหลงั เรยี น เพอื่ ประเมินความกา้ วหนา้ ของผู้เรยี น
สน้ิ สดุ การจดั กิจกรรมการเรียนรู้ ครูผสู้ อนควรดาเนนิ การดงั น้ี
1. เกบ็ รวบรวมผลงานของผูเ้ รียนไปตรวจ
2. เนน้ ยา้ ใหผ้ ูเ้ รยี นทาการบา้ นมาสง่ ให้ตรงตามเวลาที่กาหนด และนาข้อบกพร่องจากการทา
การบา้ นของผเู้ รียนไปบอกและแก้ไขให้กับผู้เรียนในคาบต่อไป
3. ตรวจแบบทดสอบ บนั ทึกคะแนน และสรุปผลการประเมนิ พฤติกรรมของผเู้ รยี น

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

คู่มอื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่อื ง ลาดบั 1

คมู่ ือสาหรับผเู้ รยี น

1. บทบาทของผเู้ รียน
1.1 ขน้ั ตอนการเรียนรู้
1.1.1 กอ่ นปฏบิ ตั กิ ิจกรรมทุกคร้งั ผู้เรยี นทกุ คนตอ้ งศกึ ษาบทบาทของ

ผู้เรียนและคาแนะนาสาหรบั ผู้ใหเ้ ข้าใจ
1.1.2 ทาแบบทดสอบก่อนเรียนในแบบฝึกทักษะแตล่ ะเล่ม เล่มละ 15 ข้อ

ใชเ้ วลาในการทดสอบ 30 นาที เพอ่ื ประเมินความรู้พนื้ ฐานของตนเอง เมื่อทาเสร็จแล้วใหต้ รวจจาก
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน บันทกึ คะแนนลงในแบบบนั ทึกคะแนน

1.1.3 ผู้เรยี นศึกษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ตามทก่ี าหนดดว้ ยความต้ังใจ
และเต็มกาลงั ความสามารถ ตามลาดับขั้นตอน

1.1.4 หลังจากเรยี นรู้ด้วยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ในแต่ละเล่มจบแล้ว
ให้ผู้เรยี นทาแบบทดสอบหลังเรยี น จานวน 15 ข้อ เม่ือทาเสรจ็ แล้วให้ตรวจจากเฉลยแบบทดสอบ
หลงั เรยี น บนั ทกึ คะแนนลงในแบบบนั ทึกคะแนน

1.1.5 เม่ือเรียนจบทุกแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตรใ์ ห้ผู้เรยี นทาแบบทดสอบ
วัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรยี น เรือ่ ง ลาดับและอนุกรม จานวน 30 ข้อ ใช้เวลาในการทดสอบ 60 นาที

1.2. ข้ันกิจกรรมการเรยี นรู้ ใชก้ ระบวนการเรียนรู้ดว้ ยรูปแบบ SSCS มขี น้ั ตอน ดังน้ี
1.2.1 ขนั้ ตอนที่ 1 Search : S (ขั้นสบื เสาะค้นหาความรู้) การศกึ ษาข้อมลู ท่ี

เกีย่ วข้องกบั ปญั หาและการแยกประเดน็ ของปัญหา เปน็ ขัน้ ตอนท่ีผู้เรยี นตอ้ งศึกษาเน้ือหาสาระจาก
ใบความรใู้ นแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์แตล่ ะเล่ม

1.2.2 ข้ันตอนที่ 2 Solve : S (ขน้ั การแกป้ ัญหา) การวางแผนและการดาเนิน
การแกป้ ญั หาดว้ ยวธิ ีการต่าง ๆ เป็นข้ันตอนทีผ่ ู้เรียนต้องศึกษาวางแผนและดาเนินการแก้ปญั หาโจทย์
ปญั หาในแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์แตล่ ะเล่ม

1.2.3 ขน้ั ตอนที่ 3 Create : C (ขนั้ สรา้ งความรู้) การนาผลที่ไดม้ าจดั กระทา
เพ่ือใหง้ ่ายต่อความเข้าใจและเพอื่ สื่อสารกับคนอ่ืนได้ เป็นขนั้ ตอนทผ่ี ู้เรียนต้องสรปุ และบันทกึ ความรทู้ ี่
ได้หลังจากทาแบบฝึกทักษะใหอ้ ยใู่ นรปู ทีเ่ ข้าใจง่ายมากทส่ี ุด

1.2.4 ขั้นตอนท่ี 4 Share : S (ขนั้ อภิปรายแลกเปลี่ยนความคิดเหน็ )
การแลกเปลี่ยนความคิดเหน็ เกยี่ วกบั ข้อมลู และวธิ ีการแก้ไขปญั หา เป็นขัน้ ตอนทผ่ี ู้เรียนต้องแลกเปลีย่ น
ความคดิ เห็นกบั เพื่อนภายในกลมุ่ หรอื เพื่อนรว่ มชนั้ เรยี นเกีย่ วกับความร้ทู ่ีได้จากศึกษาเน้ือหาสาระจาก
ใบความรแู้ ละจากการดาเนินการแกป้ ัญหาโจทยป์ ญั หาในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง ลาดับ 2

2. แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ส่วนประกอบของแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ มีดังน้ี
2.1 คาแนะนาในการใช้แบบฝึกทักษะสาหรบั ผู้เรยี น
2.2 ข้ันตอนการเรยี นรโู้ ดยใช้แบบฝกึ ทักษะ
2.3 สาระ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวช้ีวดั และจุดประสงค์การเรียนรู้
2.4 ผังมโนทศั น์
2.5 แบบทดสอบกอ่ นเรยี น
2.6 เอกสารแนะแนวทาง
2.7 ใบความรูแ้ ละแบบฝกึ ทกั ษะ
2.8 แบบทดสอบหลงั เรยี น
2.9 บรรณานกุ รม

3. การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้
การวัดและประเมินผลการเรียนรู้ จะดาเนินการประเมินท้ังส้ิน 3 ดา้ น ได้แก่

ดา้ นความรู้ (K) ดา้ นทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (P) และด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A)
ซึ่งประเมินจาก

3.1 การตรวจแบบฝกึ ทักษะต่าง ๆ และแบบทดสอบหลังเรียน และประเมินผ่าน
เกณฑ์ร้อยละ 80 ของคะแนนทั้งหมด

3.2 แบบประเมินทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ โดยการสังเกตพฤตกิ รรม
ขณะผู้เรียนปฏบิ ัติกิจกรรมการเรียนรู้ และการผ่านเกณฑ์ต้องได้คะแนนการประเมินอย่างนอ้ ย 80%
ของคะแนนทง้ั หมด

3.3 แบบประเมนิ คณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ โดยการสังเกตพฤติกรรมขณะผู้เรียน
ปฏบิ ัตกิ ิจกรรมการเรียนรู้ และการผ่านเกณฑ์ตอ้ งได้คะแนนการประเมินอย่างนอ้ ย 80% ของคะแนน
ทัง้ หมด

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

คมู่ อื การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่อื ง ลาดับ 3

คาแนะนาในการใช้แบบฝึกทกั ษะสาหรบั ผ้เู รียน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับและอนุกรม ใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้กลุ่ม
สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 รหัสวิชา ค33101 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ที่สอดคล้อง
กับตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560)
ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 มีทั้งหมด 5 เล่ม ซ่ึงแบบฝึกทักษะ
คณิตศาสตรเ์ ล่มน้ีเปน็ เล่มท่ี 1 เร่ือง ลาดบั ใช้เวลาเรียน 6 คาบ ประกอบดว้ ยเรอ่ื งย่อยดังน้ี

1. ความหมายของลาดับ
2. ลาดบั จากัดและลาดับอนนั ต์
3. การเขยี นลาดับในรปู แจงพจน์
4. การหาพจน์ทั่วไปของลาดบั
ขอ้ ปฏบิ ตั ขิ ณะฝึกทักษะ ผเู้ รยี นควรปฏิบัตติ ามคาแนะนา ดังน้ี
1. อา่ นคาชี้แจงและคาแนะนาในการทาแบบฝกึ ทักษะให้เข้าใจก่อนทากิจกรรมทุกคร้ัง
2. ศึกษาตวั ชี้วัด จดุ ประสงค์การเรียนรู้และผังมโนทัศน์ของแบบฝึกทักษะ เพ่ือให้ทราบว่า
เมอื่ เรียนจบแลว้ ผู้เรียนจะมคี วามรใู้ นเร่ืองใดบ้าง
3. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน ลงในกระดาษคาตอบ ตรวจคาตอบจากเฉลยแบบทดสอบก่อน
เรยี น พร้อมทงั้ บนั ทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน
4. ทาเอกสารแนะแนวทาง (ถ้ามี) ศกึ ษาใบความรู้ ตัวอย่าง และทาแบบฝกึ ทักษะ โดยใช้
กระบวนการเรยี นรู้ดว้ ยรปู แบบ SSCS ตรวจคาตอบจากเฉลยแบบฝึกทักษะ พร้อมทง้ั บันทึกคะแนน
ลงในแบบบนั ทึกคะแนนรายบุคคล
5. เมอื่ ผเู้ รยี นไม่เขา้ ใจ ทาแบบฝึกทกั ษะไม่ได้ หรือมปี ัญหาขอ้ สงสัยในเนื้อหาของแบบฝึก
ทักษะ ใหก้ ลบั ไปศึกษาใบความรแู้ ละตัวอย่างอีกครั้งจนเข้าใจดี หรือปรกึ ษาครูผสู้ อน แล้วจึงกลบั มา
ทาแบบฝึกทักษะอกี คร้ัง
6. การเขียนคาตอบของแบบฝึกทกั ษะ ให้ผู้เรยี นทาด้วยความละเอียดรอบคอบ เขยี นคาตอบ
ให้กระชบั และชดั เจน ให้ผลงานมคี วามถูกตอ้ ง สะอาด เรียบร้อยและเป็นระเบียบ
7. ทาแบบทดสอบหลงั เรียน ตรวจให้คะแนนตามเฉลย ถา้ ได้คะแนนตา่ กวา่ ร้อยละ 80
ให้กลับไปศกึ ษาแบบฝึกทักษะเลม่ น้ีอีกครั้ง
8. สรปุ ผลการเรียน ประเมนิ ปรับปรงุ และพฒั นาตนเอง
9. การศกึ ษาแบบฝึกทักษะเล่มน้ีจะไม่บรรลุผลสาเรจ็ ถา้ ผู้เรยี นขาดความซื่อสตั ย์ในการทา
แบบฝกึ ทกั ษะ

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง ลาดบั 4

ข้นั ตอนการเรยี นรู้โดยใช้แบบฝกึ ทกั ษะ

1. อา่ นคมู่ อื และคาแนะนาสาหรบั ผ้เู รยี น

2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน

3. ศึกษาแบบฝกึ ทกั ษะ โดยปฏิบัติกิจกรรม ไม่ผา่ นเกณฑ์
- ศึกษาเนื้อหา
- ทาแบบฝึกทกั ษะ
- ตรวจแบบฝกึ ทักษะ

4. ทาแบบทดสอบหลังเรยี น ประเมนิ ผล

5. ศกึ ษาแบบฝึกทกั ษะเลม่ ต่อไป ผา่ นเกณฑ์

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอ่ื ง ลาดับ 5

สาระ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด และจุดประสงค์การเรียนรู้

สาระ มาตรฐานการเรียนรู้ และตวั ช้ีวัด

สาระท่ี 1 จานวนและพชี คณิต

มาตรฐาน ค 1.2 เขา้ ใจและวเิ คราะห์แบบรูป ความสมั พันธ์ ฟังก์ชนั ลาดับและ

อนุกรม และนาไปใช้

ตัวช้ีวัด ม. 5/2 เข้าใจและนาความรู้เกี่ยวกบั ลาดับและอนกุ รมไปใช้

จุดประสงค์การเรียนรู้

ด้านความรู้ (K) : ผู้เรยี นสามารถ
1. บอกความหมายของลาดับได้
2. บอกไดว้ า่ ลาดับท่ีกาหนดให้เป็นลาดบั จากัดหรอื ลาดับอนันต์
3. เขยี นลาดบั ในรูปแจงพจนไ์ ด้
4. หาพจนท์ วั่ ไปของลาดับท่ีกาหนดใหไ้ ด้

ดา้ นทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ (P)
ส่งเสริมและฝกึ ฝนให้ผู้เรยี นเกิดทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ ดังนี้
การให้เหตผุ ล : ผ้เู รยี นสามารถ
1. อธบิ ายและใหเ้ หตผุ ลไดว้ า่ ลาดับท่กี าหนดให้เป็นลาดับหรอื ไม่
2. อธบิ ายและให้เหตุผลไดว้ ่าลาดับทีก่ าหนดให้ลาดบั ใดเป็นลาดับจากดั และ
ลาดับอนันต์
3. ใหเ้ หตผุ ลในการหาพจนท์ ่ัวไปของลาดบั ทก่ี าหนดให้ได้
การสอ่ื สาร การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ : ผเู้ รียนสามารถ
1. เขียนลาดบั ในรูปแจงพจนไ์ ด้ถูกต้อง
2. หาพจนท์ ่วั ไปของลาดบั ท่กี าหนดใหไ้ ด้ถูกต้อง
การแกป้ ญั หา : ผู้เรียนสามารถ
1. นาเสนอแนวคดิ ในการหาพจนท์ วั่ ไปของลาดับท่ีกาหนดใหไ้ ด้

ด้านคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A) : ผู้เรียน
1. มวี นิ ยั
2. ใฝ่เรียนรู้
3. ม่งุ มน่ั ในการทางาน

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั 6

ผังมโนทศั น์

ความหมายของลาดบั ลาดับจากดั และลาดบั อนันต์

ลาดบั

การหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดับ การเขียนลาดับในรปู แจงพจน์

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

คูม่ อื การใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั 7

แบบทดสอบกอ่ นเรียน

เร่อื ง ลาดับ

คาชี้แจง
1. แบบทดสอบก่อนเรยี น เรื่อง ลาดับ จานวน 15 ขอ้ ข้อละ 1 คะแนน
ใชเ้ วลา 30 นาที

2. การตอบแบบทดสอบให้ผู้เรยี นทาเครือ่ งหมาย x ลงใน  ใต้ตัวอักษร

ก ข ค และ ง ที่เป็นคาตอบท่ถี กู ทส่ี ดุ เพียงข้อเดยี ว บนกระดาษคาตอบ

1. ข้อใดตอ่ ไปนีถ้ ูกตอ้ ง
ก. ลาดบั คือ ฟังกช์ นั ท่มี ีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก
ข. ลาดบั จากัด คือ ฟงั ก์ชนั ท่ีมโี ดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก n ตัวแรก {1, 2, 3, ..., n}
ค. ลาดับอนันต์ คอื ฟงั กช์ นั ทีม่ โี ดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก {1, 2, 3, ..., n}
ง. ถูกทุกข้อ

2. ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี ูกต้อง
ก. {(1,1), (3, 2), (5,3), (7, 4), (9,5)} เปน็ ลาดบั
ข. {(a,1), (b, 2), (c,3), (d, 4), (e,5)} เปน็ ลาดับ
ค. {(1, 4), (2,5), (3,6), ...,(10,13)} ไมเ่ ป็นลาดบั
ง. {(1, a), (3,b), (5,c), ...,(19, j)} ไมเ่ ป็นลาดบั

3. ข้อใดต่อไปน้ีไม่ถกู ต้อง
ก. {(1, 2), (2, 4), (3,8), (4,16), (5,32)} เป็นลาดับ
ข. {(1,1), (2, 4), (3,9), (4,16), (5, 25)} เป็นลาดบั
ค. {(1, a), (3,b), (5,c), (7, d), (9,e)} ไมเ่ ป็นลาดบั
ง. {(1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4), (5,5)} ไม่เปน็ ลาดบั

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่อื ง ลาดับ 8

4. ลาดบั ในข้อใดเป็นลาดบั จากัด
ก. f1  {(1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4), ...}

ข. f2  {(1, 2), (2, 4), (3,8), (4,16), ...}
ค. f3  {x | x  2n 1, n  I }
ง. f4  {x | x  (n 1)2, n 1, 2,3,...,10}

5. ลาดบั ในขอ้ ใดเป็นลาดบั อนันต์

ก. f1  {x | x  n, n  1, 2, 3, ...}
n 1

ข. f2  {x | x  2n, n 1, 2,3,...,10}

ค. f3  {(1,1), (2,8), (3, 27), (4,64)}

ง. f4  {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

6. ถา้ an  2  (1)n n แลว้ ข้อใดถกู
2n  3

ก. a1  1
5

ข. a2  4
7

ค. a4  2
11

ง. a5  7
13

7. ใน 40 พจนแ์ รกของลาดับ an  3 (1)n มกี ีพ่ จน์ทม่ี คี ่าเทา่ กับพจนท์ ่ี 40

ก. 10
ข. 20
ค. 30
ง. 40

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

คู่มือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่ือง ลาดับ 9

8. กาหนด an   5, n{1, 3, 5, ...} แลว้ ส่ีพจนแ์ รกของลาดับในขอ้ ใด
2n,
n {2, 4, 6, ...}

ก. 2, 4, 6, 8

ข. 5, 4, 5, 8

ค. 5, 10, 15, 20

ง. 5, 2n, 5, 2n

9. ถ้า an เปน็ พจนท์ ่ัวไปของลาดบั ซง่ึ มี a5  9 และ an1  an  2 แลว้ a11 เท่ากับเทา่ ใด

ก. 5
ข. 3
ค. 1
ง. 1

10. an  253n คือพจนท์ วั่ ไปของลาดับในข้อใด
ก. 28, 25, 22, 19, ...
ข. 28,  25,  22, 19, ...
ค. 22, 19, 16, 13, ...
ง. 22, 19, 16, 13, ...

11. an  2(3n1) คอื พจน์ทว่ั ไปของลาดบั ในขอ้ ใด
ก. 6, 18, 54, 162, ...
ข. 6, 12, 9, 12, ...
ค. 3, 6, 9, 12, ...
ง. 2, 6, 18, 54, ...

12. พจน์ทว่ั ไปของลาดบั 1, 3, 6, 10, ... คือข้อใด

ก. an  2n 1
ข. an  (1)n1(2n 1)

ค. an  n2  n
2

ง. an  n2  n
2

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

คมู่ อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดับ 10

13. ถา้ an เป็นพจนท์ ว่ั ไปของลาดับซ่งึ มี a1  6 และ an1  an  4 แล้ว a10 มคี ่าเป็นเท่าใด

ก. 30
ข. 34
ค. 38
ง. 42

14. ผลบวก 3 พจน์แรกของลาดบั an  (1)n1 n เทา่ กบั ข้อใด
n 1

ก.  7

12

ข.  5

12

ค. 7

12

ง. 11

12

15. กาหนดพจนท์ ่ี k ของลาดับ an  4n 3 เท่ากบั 21 แล้ว k มีค่าเปน็ เทา่ ใด

ก. 6
ข. 7
ค. 8
ง. 9

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

คูม่ ือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เรือ่ ง ลาดบั 11

กระดาษคาตอบ

แบบทดสอบก่อนเรยี น

เรือ่ ง ลาดับ

ชื่อ – นามสกุล…………………………………………………..…….………….……………เลขท…่ี ….……….
ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6/………… วันท…่ี …………เดือน......................................พ.ศ...................

คาช้ีแจง ให้ผู้เรียนทาเคร่ืองหมาย x ลงใน  ใตต้ วั อกั ษร ก ข ค และ ง

ทเ่ี ปน็ คาตอบทถี่ ูกท่ีสดุ เพยี งข้อเดียว

ขอ้ ก ข ค ง คะแนน กอ่ นเรยี น ผลการประเมิน
1 เตม็ 15
2 ได้
3
4 เกณฑก์ ารประเมิน
5 13 – 15 คะแนน ระดบั 4 ดีเย่ียม
6 10 – 12 คะแนน ระดบั 3 ดี
7 7 – 9 คะแนน ระดับ 2 พอใช้ ผา่ นเกณฑ์
8 0 – 6 คะแนน ระดบั 1 ปรบั ปรุง
9
10 ลงชอ่ื .................................................ผูต้ รวจ
11 (..........................................................)
12
13 วนั ท.่ี ...........เดือน............................พ.ศ.............
14
15

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

คมู่ อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่อื ง ลาดบั 12

เอกสารแนะแนวทางท่ี 1.0

คาชีแ้ จง จากฟังกช์ นั ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ ให้ผู้เรียนหาโดเมนและเรนจ์ของฟงั กช์ นั
โดยเตมิ คาตอบลงในตารางให้ถูกต้อง

ขอ้ ที่ ฟงั กช์ นั โดเมนของฟังกช์ นั เรนจ์ของฟังก์ชนั

1 f1  {(3,1), (4, 2), (5,3), (6, 4)} {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4}
2 f2  {(1, x), (2, y), (3, z)}
3 f3  {(1, 2), (2,3), (3, 4), ..., (10,11)}
4 f4  {(1,6), (2,7), (3,8), ...}
5 f5  {(1, a), (2,b), (3, c), ...}
6 f6  {(2,3), (4,6), (8,12)}
7 f7  {(5,7), (7,9), (9,11), ..., (15,17)}
8 f8  {(1,3), (2, 4), (3,5), ...}
9 f9  {(x, y) | y  2x 1, x  I }
10 f10  {(x, y) | y  2x 1, x  3, 4,5,...,8}

จากตารางผู้เรียนสรุปได้วา่
โดเมนของฟงั ก์ชัน หมายถงึ ………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………….…
เรนจ์ของฟังกช์ นั หมายถึง …………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………….………

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

คมู่ ือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่ือง ลาดบั 13

เอกสารแนะแนวทางที่ 1.1

คาชี้แจง จากฟงั กช์ ันทก่ี าหนดให้ตอ่ ไปนี้ ให้ผู้เรียนพิจารณาวา่ ฟังกช์ นั ใดบ้างเป็นลาดับ
โดยทาเครื่องหมาย  ในตารางใหถ้ ูกต้อง

ขอ้ ที่ ฟังก์ชัน โดเมนของฟังกช์ ัน เป็นลาดบั ไมเ่ ปน็ ลาดับ

1 f1  {(1, 2), (2,3), (3, 4), (4,5)} {1, 2, 3, 4} 

2 f2  {(2, 4), (4,6), (6,8), ...} {2, 4, 6, ...} 

3 f3  {(1,5), (2,7), (3,12), (4,17), (5, 22)}

4 f4  {(1,5), (2,7), (3,9)}

5 f5  {(1, 2), (2, 4), (3,8), ...}

6 f6  {(2,1), (4, 2), (8,3), (16, 4)}

7 f7  {(1,1), (2, 1), (3,1), (4, 1)}

8 f8  {(1 ,1), (2 , 2), (3 , 3)}
2 3 4

9 f9  {(x, y) | y  2x 1, x  I }
10 f10  {(a,b) | b  2a 1, a  I }

จากตารางผ้เู รยี นสรุปไดว้ า่
ลาดบั หมายถงึ ………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………..…

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

คูม่ ือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั 14

ใบความรู้ท่ี ขั้นตอนท่ี 1 Search : S

1.1 ความหมายของลาดับ

ผเู้ รียนพร้อมแล้วหรอื ยังครบั

ถา้ พร้อมแลว้ เราเริ่มเรยี นร้กู ับ
ความหมายของลาดับกันเลยนะ

จดุ ประสงค์ท่ี 1 ผู้เรียนสามารถบอกความหมายของลาดบั ได้

1. ชา่ งกอ่ สร้างต้องการติดกระเบ้ืองบนผนังหอ้ งภายในบ้านตามแบบรปู ด้านลา่ งน้ี ให้ผู้เรียน
พจิ ารณาความสมั พนั ธ์ของแบบรูปดงั กลา่ ว

กาหนดให้ แทนพืน้ ที่ตดิ กระเบอ้ื ง 1 ตารางหน่วย จากแบบรูปข้างต้นพบว่า ลาดับของ
รูปและพ้นื ท่ีตดิ กระเบ้อื งในแตล่ ะรปู มีความสัมพันธ์กนั ดงั ตารางต่อไปน้ี

รปู ท่ี 1 2 3 4 5
พืน้ ที่ติดกระเบือ้ ง (ตารางหนว่ ย) 1 3 6 10 15

จากตารางพบวา่ ความสมั พันธ์ของลาดับของรปู และพนื้ ทต่ี ิดกระเบ้ืองในแต่ละรปู เป็นฟังกช์ นั
{(1, 1), (2, 3), (3, 6), (4, 10), (5, 15)} ท่มี โี ดเมนเปน็ {1, 2, 3, 4, 5} และมีเรนจ์เป็น

{1, 3, 6, 10, 15}

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

คูม่ อื การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่ือง ลาดับ 15

2. รกั ชาตอิ อมเงนิ ทกุ เดอื น เดือนละ 100 บาท ทาให้เขามีจานวนเงินออมสะสมในแต่ละเดือน
ดังแบบรูปของจานวนต่อไปนี้

100, 200, 300, 400, ...

จากแบบรูปข้างต้น เขียนความสัมพันธ์ระหว่างลาดับของเดือนที่ออมกับจานวนเงินออมสะสม
ในแตล่ ะเดือนมีความสมั พันธ์ดังตารางต่อไปน้ี

เดอื นท่ี 1234 …
…
เงินออกสะสม (บาท) 100 200 300 400

จากตารางพบว่า ความสมั พันธ์ระหว่างลาดับของเดือนที่ออมกับจานวนเงินออมสะสมในแต่ละ
เดือนเป็นฟังก์ชัน {(1, 100), (2, 200), (3, 300), (4, 400), ...} ท่ีมีโดเมนเป็น {1, 2, 3, 4, ...}

และมเี รนจเ์ ป็น {100, 200, 300, 400, ...}

เราสามารถสรปุ ได้วา่

สรุป

ฟังกช์ นั ทม่ี โี ดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก หรอื เซตย่อยของจานวนเต็มบวกใน
รูป {1, 2, 3, ..., n} เรยี กวา่ ลาดับ (Sequence)

ในการเขียนลาดับนน้ั จะเขียนเฉพาะสมาชกิ ของเรนจ์เรียงกนั ไป
ดงั การพจิ ารณาข้อ 1. เขียนลาดบั ได้เป็น 1, 3, 6, 10, 15

และข้อ 2. เขียนลาดับไดเ้ ป็น 100, 200, 300, 400, ...

เมือ่ ผเู้ รียนเขา้ ใจดีแลว้

เราไปทาแบบฝกึ ทักษะท่ี 1.1 กนั เลยนะ

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่อื ง ลาดับ 16

แบบฝึกทักษะที่ 1.1 ข้ันตอนที่ 2 Solve : S

จุดประสงค์ท่ี 1 ผู้เรียนสามารถบอกความหมายของลาดบั ได้
คาชี้แจง ใหผ้ ู้เรยี นพิจารณาฟงั ก์ชันทกี่ าหนดใหต้ ่อไปน้ีวา่ เป็นลาดบั หรือไม่ เพราะเหตใุ ด

1. f1  {(1, 4), (2,8), (3,12), ...}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

2. f2  {(1, 2), (2,3), (3, 4), (4,5), (5,6)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

3. f3  {(2,1), (3, 2), (4,3)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

4. f4  {(1,3), (2, 4), (3,5), ..., (7,9)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

5. f5  {(3, 4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

6. f6  {(1,5), (2,8), (3,11), (4,14)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

7. f7  {(x, y) | y  2x  3, x  I }
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

8. f8  {(x, y) | y  3x2 1, x  I }
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

9. f9  {(x, y) | y  x 1, xI , 1 x  10}
2

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

10. f10  {(x, y) | y  2x, x  I , 1  x 100}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

เกณฑก์ ารให้คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน

ตอบได้ถกู ต้องให้ 1 คะแนน และใหเ้ หตผุ ลประกอบไดถ้ ูกต้องให้ 1 คะแนน
ถา้ ผู้เรยี นทาได้ไม่ถงึ 16 คะแนน ให้ผู้เรียนกลับไปศึกษาใบความรทู้ ี่ 1.1 อีกครัง้

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดบั 17

ใบสรุปความร้ทู ี่ 1.1 ขั้นตอนที่ 3 Create : C

คาชีแ้ จง ใหผ้ ู้เรยี นเรียบเรียงและบนั ทกึ ความรู้ของผู้เรยี นทไี่ ด้จากการศึกษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝึกทักษะข้างตน้ โดยใช้ภาษาท่งี ่ายต่อการเขา้ ใจ

ใบสรปุ ความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

1.1ใบแลกเปลย่ี นเรียนรู้ท่ี ข้ันตอนท่ี 4 Share : S

คาชีแ้ จง ให้ผู้เรยี นแตล่ ะคนแลกเปลี่ยนความรู้ของตนจากการทาแบบฝึกทักษะ โดยครจู ะ
สมุ่ ผู้เรยี นออกมานาเสนอการสรปุ ความรู้หรือแนวคดิ และวิธกี ารในการทากิจกรรม

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

คมู่ ือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรือ่ ง ลาดบั 18

เอกสารแนะแนวทางท่ี 1.2

คาช้ีแจง จากฟงั ก์ชนั ทก่ี าหนดให้ตอ่ ไปน้ี ให้ผู้เรยี นพจิ ารณาว่าฟังก์ชนั ใดเป็นลาดบั จากัด
หรอื ลาดับอนนั ต์ โดยทาเครอื่ งหมาย  ลงใน  ใหถ้ ูกต้อง พร้อมทงั้ ให้เหตุผล

ขอ้ ฟังก์ชัน โดเมนของ ชนิดของลาดบั เหตุผล
ที่ ฟังก์ชัน
 ลาดบั จากดั เพราะมีโดเมนเปน็
1 f1  {(1, 1), (2,5), (3,11), (4,17)} {1, 2, 3, 4}  ลาดบั อนันต์ จานวนเตม็ บวก 4 ตวั แรก

2 f2  {(1,0), (2,1), (3, 2), ...}  ลาดบั จากดั เพราะมีโดเมนเป็น
{1, 2, 3, ...}  ลาดับอนนั ต์ จานวนเตม็ บวก

3 f3  {(1,1), (2, 4), (3,9), (4,16), (5, 25)}  ลาดับจากดั
 ลาดบั อนันต์

4 f4  {(1,1), (2, 1 ), (3, 1), (4, 1 )}  ลาดับจากัด
2 3 4  ลาดบั อนนั ต์

5 f5  {(1, 2), (2, 4), (3,8), ...}  ลาดบั จากดั
 ลาดับอนันต์

6 f6  {(x, y) | y  4x, x 1, 2,3,...,10}  ลาดับจากดั
 ลาดบั อนันต์

7 f7  {(x, y) | y  x2 1, x  I }  ลาดับจากดั
 ลาดบั อนันต์

จากตารางผู้เรยี นสรุปไดว้ า่
ลาดับจากัด หมายถงึ ……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………….
ลาดับอนันต์ หมายถึง ………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………..
… ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

คูม่ ือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรือ่ ง ลาดับ 19

ใบความรู้ท่ี

1.2 ลาดับจากดั และลาดับอนันต์ ข้ันตอนท่ี 1 Search : S

จุดประสงค์ที่ 2 ผู้เรียนสามารถบอกได้ว่าลาดับทกี่ าหนดให้เปน็ ลาดบั จากัดหรอื
ลาดับอนันต์

ให้ผู้เรียนพิจารณาจานวนสมาชิกของลาดบั ตอ่ ไปน้ี

1. ลาดบั 1, 3, 6, 10, 15
2. ลาดบั 100, 200, 300, 400, ...

พบว่า ข้อ 1. มีจานวนสมาชิกเพยี ง 5 ตวั ในขณะที่ขอ้ 2. มีจานวนสมาชกิ มากมายนบั ไม่ถ้วน
เราสามารถจาแนกลาดบั ตามจานวนสมาชกิ ได้ 2 ชนดิ คอื ลาดับจากัดและลาดับอนนั ต์

ในกรณที ี่ฟงั กช์ ันเปน็ ลาดบั ทม่ี ีโดเมนเปน็ {1, 2, 3, ..., n} เราเรียกลาดับดังกลา่ วว่า ลาดบั

จากัด (finite sequence) และในกรณีทีฟ่ ังก์ชันเป็นลาดบั ท่มี โี ดเมนเปน็ เซตของจานวนเตม็ บวก เรา
เรียกลาดบั ดงั กล่าวว่า ลาดับอนนั ต์ (infinite sequence)
ตัวอย่าง

1. f {(1,1), (2,5), (3,11), (4,17)} เปน็ ลาดบั จากดั

เนอ่ื งจากมีโดเมนเป็น {1, 2, 3, 4}

2. g  {(x, y) | y  x2 1, x  I } เปน็ ลาดบั อนนั ต์
เนื่องจากมโี ดเมนเปน็ เซตของจานวนเต็มบวก

3. h {(1,2), (2,4), (3,8), ...} เปน็ ลาดบั อนันต์
เนอื่ งจากมีโดเมนเปน็ {1, 2, 3, ...}

4. k {(x, y) | y  4x, x 1,2,3,...,10} เป็นลาดับจากัด
เนอ่ื งจากมโี ดเมนเป็น {1, 2, 3, ..., 10}

5. 3, 6, 9, 12, 15 เป็นลาดับจากดั เมอื่ ผ้เู รยี นเข้าใจดแี ลว้
เนอ่ื งจากมโี ดเมนเป็น {1, 2, 3, 4, 5}
เราไปทาแบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.2 กนั เลยนะ

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่อื ง ลาดับ 20

แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.2 ข้ันตอนท่ี 2 Solve : S

จุดประสงค์ท่ี 2 ผู้เรียนสามารถบอกได้วา่ ลาดับที่กาหนดให้เปน็ ลาดับจากดั หรอื ลาดับอนนั ต์
คาชีแ้ จง ใหผ้ ู้เรียนพจิ ารณาลาดับทีก่ าหนดให้ตอ่ ไปน้ีว่าเปน็ ลาดับจากดั หรอื ลาดับอนนั ต์

เพราะเหตใุ ด

1. f1  {(1, 4), (2,8), (3,12), ...}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

2. f2  {(1, 2), (2,3), (3, 4), (4,5), (5,6)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

3. f3  {(1,1), (2, 2), (3,3), ...}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

4. f4  {(1,3), (2, 4), (3,5), ..., (7,9)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

5. f5  {(1,1), (2, 1 ), (3, 1), (4, 1 )}
2 3 4

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

6. f6  {(1,5), (2,8), (3,11), (4,14)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

7. f7  {(x, y) | y  2x  3, x  I }
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

8. f8  {(x, y) | y  3x2 1, x  I }
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

9. f9  {(x, y) | y  x 1, x  1, 2,3,...,99}
2

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

10. f10  {(x, y) | y  2x, x  I , 1  x 100}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน

ตอบได้ถกู ต้องให้ 1 คะแนน และให้เหตุผลประกอบได้ถูกต้องให้ 1 คะแนน
ถา้ ผู้เรียนทาได้ไม่ถึง 16 คะแนน ให้ผู้เรียนกลับไปศึกษาใบความรู้ที่ 1.2 อกี ครงั้

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่อื ง ลาดบั 21

ใบสรุปความรู้ที่ 1.2 ขั้นตอนที่ 3 Create : C

คาชีแ้ จง ใหผ้ ู้เรยี นเรยี บเรียงและบนั ทกึ ความรู้ของผ้เู รยี นที่ไดจ้ ากการศึกษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝึกทักษะข้างต้น โดยใช้ภาษาท่งี ่ายต่อการเข้าใจ

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

1.2ใบแลกเปล่ยี นเรยี นร้ทู ี่ ขั้นตอนท่ี 4 Share : S

คาชีแ้ จง ให้ผู้เรยี นแตล่ ะคนแลกเปล่ียนความรู้ของตนจากการทาแบบฝกึ ทกั ษะ โดยครูจะ
สมุ่ ผู้เรยี นออกมานาเสนอการสรุปความรหู้ รือแนวคดิ และวธิ ีการในการทากจิ กรรม

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

คมู่ อื การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรื่อง ลาดับ 22

ใบความรู้ที่

1.3 การเขยี นลาดบั ในรูปแจงพจน์ ขั้นตอนที่ 1 Search : S

จุดประสงคท์ ่ี 3 ผู้เรียนสามารถเขียนลาดบั ในรูปแจงพจน์ได้

ให้ผู้เรยี นพิจารณาฟงั ก์ชันตอ่ ไปน้ี

f  {(1,1), (2,3), (3,5), (4,7), (5,9)}

จากตวั อย่าง พบว่า ฟงั กช์ ันเปน็ ลาดบั ทม่ี โี ดเมนเป็น {1, 2, 3, 4, 5} และมเี รนจเ์ ปน็
{1, 3, 5, 7, 9} ถ้านาเฉพาะสมาชิกของเรนจ์มาเขียนเรยี งกนั ไป จะได้

1, 3, 5, 7, 9 เปน็ ลาดบั จากดั
ซ่งึ การเขยี นลาดับในลกั ษณะนีเ้ รียกว่า การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์ และ

เรยี ก 1 ว่าพจน์ที่ 1 ของลาดบั แทนด้วย a1
3 วา่ พจน์ที่ 2 ของลาดับ แทนดว้ ย a2
5 วา่ พจน์ท่ี 3 ของลาดบั แทนดว้ ย a3
7 วา่ พจน์ท่ี 4 ของลาดับ แทนด้วย a4

และ 9 วา่ พจน์ที่ 5 ของลาดับ แทนดว้ ย a5

สรุป

ในการเขียนลาดับ เราจะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไปกล่าวคือ ถ้า a
เปน็ ลาดับจากดั จะเขยี นแทนด้วย

a1, a2, a3, ..., an

ในกรณที ่ี a เปน็ ลาดบั อนนั ต์ จะเขียนแทนด้วย

และเรียก a1, a2, a3, ..., an, ...

a1 วา่ พจนท์ ่ี 1 ของลาดบั
a2 วา่ พจน์ที่ 2 ของลาดบั
a3 วา่ พจนท์ ่ี 3 ของลาดบั

an ว่า พจนท์ ี่ n หรอื พจน์ท่วั ไป (general term) ของลาดับ

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

คมู่ อื การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรือ่ ง ลาดับ 23

ตวั อย่าง
1. ลาดับ 1, 3, 6, 10, 15 เปน็ ลาดับจากดั ทม่ี ี a1 1, a2  3, a3  6, a4 10 และ a5 15

2. ลาดบั 1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... เป็นลาดับอนนั ต์ที่มี a1 1, a2  4, a3  9, a4 16,
a5  25 และ an  n2

การเขยี นลาดับนอกจากจะเขียนโดยการแจงพจน์แลว้ อาจจะเขียนเฉพาะพจน์ทั่วไปพร้อม

ทงั้ ระบุสมาชิกในโดเมน

ตวั อยา่ ง

1. ลาดบั 3, 6, 9, 12, 15 อาจเขียนแทนด้วย

an  3n เมอ่ื n{1, 2, 3, 4, 5}

2. ลาดับ 1, 3, 5, 7, 9, ..., 2n 1, ... อาจเขียนแทนด้วย

an  2n 1 เม่อื n{1, 2, 3, 4, ...}

หมายเหตุ ในกรณที ี่กาหนดลาดบั โดยพจนท์ ั่วไป ถา้ ไมไ่ ดร้ ะบุสมาชิกในโดเมน
ให้ถือวา่ ลาดับนัน้ เปน็ ลาดับอนันต์

ตัวอย่างของลาดับ

1. 6, 12, 18, 24, 30, 36 เป็นลาดับจากดั
เปน็ ลาดบั อนันต์
2. 4, 9, 16, 25, 36, ..., (n 1)2, ... เป็นลาดับจากัด

3. an  2n 1, n{1, 2, 3, 4, ..., 10} เป็นลาดับอนันต์

4. an  1 เป็นลาดบั อนันต์
2n

5. an  2n2  3

เราสามารถเขียนลาดับซ่ึงอยู่ในรูปพจน์ท่ัวไปให้อยู่ในรูปแจงพจน์ได้ โดยการแทนค่าตัวแปร
n ลงในพจนท์ ่วั ไป กลา่ วคอื

ต้องการหา a1 คอื พจนท์ ่ี 1 ของลาดบั ดว้ ยการแทน n ด้วย 1 ในพจน์ทั่วไป

a2 คือ พจน์ที่ 2 ของลาดบั ด้วยการแทน n ด้วย 2 ในพจน์ท่ัวไป

a3 คอื พจนท์ ่ี 3 ของลาดบั ด้วยการแทน n ดว้ ย 3 ในพจนท์ ่ัวไป

“เรามาฝึกเขียนพจนต์ ่าง ๆ ของลาดับกันเลยดีกว่า”

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

คู่มอื การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรือ่ ง ลาดับ 24

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาห้าพจนแ์ รกของลาดบั an  2n 1
วธิ ีทา แทน n ใน an  2n 1 ด้วย 1, 2, 3, 4 และ 5
จะได้ หา้ พจนแ์ รกของลาดบั ดงั นี้

a1  2(1) 1  3

a2  2(2) 1  5

a3  2(3) 1  7

a4  2(4) 1  9

a5  2(5) 1  11

ดังนนั้ ห้าพจน์แรกของลาดบั คือ 3, 5, 7, 9, 11

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาห้าพจนแ์ รกของลาดับ an  3 (1)n
วิธที า แทน n ใน an  3 (1)n ด้วย 1, 2, 3, 4 และ 5
จะได้ หา้ พจน์แรกของลาดบั ดังนี้

a1  3  (1)1  3 1  2

a2  3  (1)2  3 1  4

a3  3  (1)3  3 1  2

a4  3  (1)4  3 1  4

a5  3  (1)5  3 1  2

ดงั น้ัน หา้ พจนแ์ รกของลาดบั คือ 2, 4, 2, 4, 2

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาห้าพจน์แรกของลาดับอนันตท์ ี่ an  2n 1 แล้วเขียนลาดับในรปู แจงพจน์
วิธที า
แทน n ใน an  2n 1 ดว้ ย 1, 2, 3, 4 และ 5

จะได้ ห้าพจนแ์ รกของลาดบั ดงั น้ี
พจน์ที่ 1 คือ 21 1  3
พจนท์ ี่ 2 คอื 22 1  5
พจนท์ ่ี 3 คือ 23 1  9
พจนท์ ี่ 4 คือ 24 1 17
พจนท์ ี่ 5 คอื 25 1  33

ดงั นั้น ลาดับในรปู แจงพจน์ คือ 3, 5, 9, 17, 33, , ..., 2n 1, ...

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

คู่มือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรือ่ ง ลาดับ 25

 8, n {1, 3, 5, ...}
ตวั อย่างที่ 4 จงหาห้าพจนแ์ รกของลาดับอนนั ตท์ ่ี 
วิธที า an   4
 1 , n {2, 4, 6, ...}
n

แลว้ เขยี นลาดบั ในรปู แจงพจน์

 8, n {1, 3, 5, ...}
แทน ใน  ดว้ ย 1, 2, 3, 4 และ 5
n an   4
 1 , n {2, 4, 6, ...}
n

จะได้ ห้าพจนแ์ รกของลาดับ ดังน้ี

พจนท์ ี่ 1 คอื 8

พจนท์ ี่ 2 คือ 4  4

21 3

พจน์ท่ี 3 คือ 8

พจนท์ ่ี 4 คอื 4  4

41 5

พจน์ท่ี 5 คอื 8

ดงั น้นั ลาดับในรปู แจงพจน์ คอื

8, 4, 8, 4, 8, ..., an   8, , n {1, 3, 5, ...} ...
3 5  4 n {2, 4, 6, ...},
 n
1

ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาห้าพจนแ์ รกของลาดับอนันต์ a1, a2, a3, ... ซง่ึ กาหนดเงื่อนไขดงั นี้
วธิ ที า a1  4 และ an  2(an1 1), n  2
จากโจทย์ a1  4 และ an  2(an1 1), n  2
แทน n ใน an  2(an1 1) ดว้ ย 2, 3, 4 และ 5
จะได้ a2  2(a1 1)  2(4 1)  6

a3  2(a2 1)  2(6 1)  10

a4  2(a3 1)  2(10 1)  18

a5  2(a4 1)  2(18 1)  34

ดงั น้นั ห้าพจน์แรกของลาดบั คอื 4, 6, 10, 18, 34

เมอื่ ผู้เรยี นเขา้ ใจดีแลว้

เราไปทาแบบฝึกทักษะที่ 1.3 กนั เลยนะ

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง ลาดับ 26

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.3 ขั้นตอนท่ี 2 Solve : S

จดุ ประสงค์ท่ี 3 ผู้เรยี นสามารถเขียนลาดับในรปู แจงพจนไ์ ด้
คาชีแ้ จง ใหผ้ ู้เรยี นเขียนแสดงวธิ กี ารหาพจนต์ ่าง ๆ ตามท่โี จทย์กาหนดให้ในแต่ละตอ่ ไปน้ี

1. จงหาหา้ พจนแ์ รกของลาดับ an  (n 1)2
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. จงหาลาดบั an  n2 1 เม่ือ n {1, 2, 3, 4, 5}
n

วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. จงหาหา้ พจนแ์ รกของลาดับอนันต์ท่ี an  2n 1 แลว้ เขยี นลาดบั ในรูปแจงพจน์
วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรื่อง ลาดับ 27

 555, n {1, 3, 5, ...}
4. จงหาห้าพจน์แรกของลาดบั อนนั ตท์ ่ี 
an   n , n {2, 4, 6, ...}
 1
n

วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

5. จงหาเจ็ดพจนแ์ รกของลาดับอนนั ต์ a1, a2, a3, ... ซง่ึ กาหนดเง่อื นไขดงั นี้
a1  a2  1 และ an  an1  an2, n  3
วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑก์ ารให้คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน คะแนนเตม็ 10 คะแนน

แสดงวิธีทาไดถ้ ูกต้องให้ 1 คะแนน และคาตอบถกู ต้องให้ 1 คะแนน
ถา้ ผู้เรยี นทาได้ไม่ถงึ 8 คะแนน ให้ผู้เรียนกลบั ไปศึกษาใบความร้ทู ี่ 1.3 อกี คร้ัง

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง ลาดบั 28

ใบสรุปความรู้ท่ี 1.3 ขั้นตอนที่ 3 Create : C

คาชีแ้ จง ใหผ้ ู้เรยี นเรียบเรียงและบนั ทึกความรู้ของผ้เู รียนที่ได้จากการศกึ ษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝึกทักษะข้างต้น โดยใชภ้ าษาทีง่ ่ายตอ่ การเขา้ ใจ

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

1.3ใบแลกเปลย่ี นเรียนรู้ที่ ข้ันตอนที่ 4 Share : S

คาชีแ้ จง ให้ผู้เรยี นแตล่ ะคนแลกเปล่ยี นความรู้ของตนจากการทาแบบฝึกทักษะ โดยครจู ะ
สมุ่ ผู้เรยี นออกมานาเสนอการสรุปความร้หู รือแนวคิดและวิธีการในการทากจิ กรรม

ใบสรปุ ความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

คู่มือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรื่อง ลาดบั 29

ใบความรู้ท่ี

1.4 การเขยี นลาดบั ในรูปแจงพจน์ (ต่อ) ข้ันตอนที่ 1 Search : S

จดุ ประสงค์ท่ี 3 ผู้เรยี นสามารถเขียนลาดบั ในรูปแจงพจนไ์ ด้

ตวั อย่าง ผเู้ รยี นพร้อมแล้วหรอื ยงั ครับ
วิธีทา
เรามาศกึ ษาตัวอย่างเพิ่มเตมิ กันเลยนะ

จงหาพจน์ถัดไปสองพจน์ของลาดบั ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1) 1, 3, 7, 13, 21, ...
2) 55, 54, 52, 49, 45, ...
3) 5, 50, 500, 5,000, ...
4) 128, 64, 32, 16, 8, ...
1) 1, 3, 7, 13, 21, ...

พิจารณาความสมั พนั ธ์ของพจน์ในลาดบั พบว่า

+2 +4 +6 +8

1 3 7 13 21

จะพบว่า พจนท์ ่ีอยูถ่ ดั ไปจะเพ่มิ ขน้ึ 2, 4, 6 และ 8 ตามลาดับ
ดงั นั้น พจนส์ องพจนถ์ ัดไปของลาดับน้จี ะเพิ่มขนึ้ 10 และ 12 ตามลาดบั
จะได้ 31 และ 43 เปน็ พจน์สองพจนถ์ ดั ไปของลาดับนี้

แสดงการตรวจคาตอบได้ดงั นี้

+2 +4 +6 +8 +10 +12

1 3 7 13 21 31 43

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอื่ ง ลาดบั 30

2) 55, 54, 52, 49, 45, ...
พิจารณาความสัมพนั ธ์ของพจน์ในลาดับ พบวา่

-1 -2 -3 -4

55 54 52 49 45

จะพบวา่ พจน์ทีอ่ ยู่ถัดไปจะลดลง 1, 2, 3 และ 4 ตามลาดับ
ดังนน้ั พจน์สองพจนถ์ ัดไปของลาดบั น้จี ะลดลง 5 และ 6 ตามลาดบั
จะได้ 40 และ 34 เป็นพจน์สองพจนถ์ ัดไปของลาดับนี้

แสดงการตรวจคาตอบไดด้ ังนี้

-1 -2 -3 -4 -5 -6

55 54 52 49 45 40 34

3) 5, 50, 500, 5,000, ...
พจิ ารณาความสมั พันธ์ของพจน์ในลาดับ พบวา่

 10  10  10

5 50 500 5,000

จะพบวา่ พจนท์ ีอ่ ย่ถู ดั ไปจะเพ่มิ ขนึ้ เป็น 10 เท่าของพจนท์ อ่ี ย่ขู ้างหนา้
จะได้ 50,000 และ 500,000 เปน็ พจน์สองพจนถ์ ัดไปของลาดับนี้

แสดงการตรวจคาตอบได้ดงั นี้

 10  10  10  10  10

5 50 500 5,000 50,000 50,0000

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรื่อง ลาดบั 31

4) 128, 64, 32, 16, 8, ...
พจิ ารณาความสมั พนั ธ์ของพจน์ในลาดับ พบวา่

÷2 ÷2 ÷2 ÷2

128 64 32 16 8

จะพบว่า พจน์ทอ่ี ยถู่ ัดไปจะเปน็ ครึง่ หน่งึ ของพจน์ทีอ่ ยู่ข้างหน้า
จะได้ 4 และ 2 เปน็ พจนส์ องพจนถ์ ัดไปของลาดับนี้

แสดงการตรวจคาตอบไดด้ งั นี้

÷2 ÷2 ÷2 ÷2 ÷2 ÷2

128 64 32 16 8 4 2

เมอ่ื ผ้เู รียนเขา้ ใจดแี ลว้

เรามาทาแบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.4 กนั นะครบั

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรือ่ ง ลาดับ 32

แบบฝึกทักษะท่ี 1.4 ขั้นตอนท่ี 2 Solve : S

จุดประสงค์ท่ี 3 ผู้เรียนสามารถเขยี นลาดบั ในรปู แจงพจน์ได้

คาชี้แจง ใหผ้ ู้เรียนเขยี นแสดงวธิ กี ารหาพจน์ถัดไปสองพจนข์ องลาดับท่ีกาหนดให้ต่อไปน้ี

1. 2, 3, 6, 11, ...
วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. 55, 54, 51, 46, ...
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. 1,024, 256, 64, 16, ...
วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่อื ง ลาดบั 33

4. 5, 5, 10, 30, ...

วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
5. 6, 4, 0,  6, ...

วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน

แสดงวธิ ีการหาพจน์ถัดไปสองพจนข์ องลาดับไดถ้ กู ต้องให้ 1 คะแนน
และคาตอบถูกต้องให้ 1 คะแนน ถา้ ผู้เรียนทาได้ไม่ถงึ 8 คะแนน

ให้ผู้เรียนกลบั ไปศึกษาใบความรทู้ ี่ 1.4 อีกคร้งั

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรือ่ ง ลาดับ 34

ใบสรุปความรทู้ ี่ 1.4 ข้ันตอนที่ 3 Create : C

คาชีแ้ จง ใหผ้ ู้เรยี นเรียบเรียงและบนั ทึกความรู้ของผ้เู รียนทไ่ี ด้จากการศกึ ษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝึกทักษะข้างตน้ โดยใชภ้ าษาทงี่ ่ายตอ่ การเขา้ ใจ

ใบสรปุ ความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

1.4ใบแลกเปลย่ี นเรียนรู้ท่ี ข้ันตอนท่ี 4 Share : S

คาชีแ้ จง ให้ผู้เรยี นแตล่ ะคนแลกเปลย่ี นความรูข้ องตนจากการทาแบบฝกึ ทักษะ โดยครจู ะ
สมุ่ ผู้เรยี นออกมานาเสนอการสรุปความรู้หรือแนวคดิ และวธิ กี ารในการทากิจกรรม

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

คูม่ อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่ือง ลาดับ 35

ใบความรู้ท่ี

1.5 การหาพจน์ทัว่ ไปของลาดบั ขั้นตอนที่ 1 Search : S

จุดประสงค์ที่ 4 ผู้เรยี นสามารถหาพจนท์ วั่ ไปของลาดับทก่ี าหนดใหไ้ ด้

การหาพจน์ท่วั ไปของลาดบั คอื การเขยี นแสดงพจนท์ ่วั ไป an ในรปู ท่ี
มี n เป็นตัวแปร และเมื่อแทน n ด้วยสมาชิกในเซต {1, 2, 3, ..., m} แล้วได้

พจน์ท่ี 1, 2, 3, ..., m ของลาดับตรงตามที่กาหนด โดยท่ี m
วิธีการหาพจน์ทั่วไปเช่นนี้ โดยท่ัวไปใช้การสังเกตความสัมพันธ์ของพจน์

ตา่ ง ๆ และความสมั พนั ธ์ระหว่างพจน์กบั ลาดับทีข่ องพจน์ ดังตัวอยา่ งตอ่ ไปนี้

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาพจน์ทัว่ ไปของลาดับจากดั ตอ่ ไปน้ี
วิธที า 1) 4, 8, 12, 16

2) 2 , 3 , 4 , 5

3456

1) 4, 8, 12, 16 พจิ ารณาพจนท์ ีก่ าหนดให้ดังนี้

a1  4  41

a2  8  4 2

a3  12  4 3

a4  16  4 4

จะได้ an  4n เม่อื n{1, 2,3, 4}

2) 2 , 3 , 4 , 5 พิจารณาพจน์ท่ีกาหนดให้ดังน้ี

3456

a1  2  11
3 1 2

a2  3  2 1
4 22

a3  4  31
5 32

a4  5  4 1
6 42

จะได้ an  n 1 เมอื่ n{1, 2,3, 4}
n2

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

คู่มือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรื่อง ลาดับ 36

สาหรบั การกาหนด ลาดบั อนันต์ จะเขียนพจน์ทว่ั ไป an กากบั ไวก้ บั

การเขียนลาดับเสมอ เช่น 2 , 3 , 4 , 5 , ..., n 1 , ... ยกเว้นในกรณีทร่ี ะบุได้

3 4 5 6 n2

วา่ ลาดับอนนั ต์น้นั มีสมบตั เิ ฉพาะทีท่ ราบกนั วา่ จะหาพจนถ์ ัดจากพจนแ์ รก ๆ
อย่างไร เช่น 1, 2, 3, 4, 5, ...

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาพจนท์ ัว่ ไปของลาดับอนันต์ต่อไปนี้ แลว้ เขียนลาดับใหม่
วิธที า 1) 1, 2,  3, 4,  5, ...
2) 2, 4, 8, ...
1) 1, 2,  3, 4,  5, ...

พิจารณาความสมั พันธข์ อง พจน์ และ ลาดบั ทขี่ องแตล่ ะพจน์ ดงั นี้

a1  1  (1)1 1

a2  2  (1)2  2

a3  3  (1)3  3

a4  4  (1)4  4

a5  5  (1)5  5

พิจารณาความสมั พันธห์ า้ พจน์แรก จะได้ an  (1)n n
และเขียนลาดบั ท่ีกาหนดให้ใหม่ ดังน้ี

1, 2,  3, 4,  5, ..., (1)n  n, ...

2) 2, 4, 8, ...
กรณที ี่ 1 พิจารณาความสมั พันธ์ของ พจน์ และ ลาดบั ท่ีของแต่ละพจน์ ดังนี้

a1  2  21

a2  4  22

a3  8  23

a4 16  24

a5  32  25

พิจารณาความสัมพันธ์ห้าพจน์แรก จะได้ an  2n
และเขียนลาดับทก่ี าหนดให้ใหม่ ดงั น้ี

2, 4, 8, 16, 32, ..., 2n, ...

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

คู่มือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เรื่อง ลาดบั 37

กรณที ี่ 2 ถ้าพิจารณาความสมั พันธข์ องพจนใ์ นลาดับข้างตน้ ดังนี้

+2 +4 +6 +8

2 4 8 14 22

จะไดล้ าดบั 2, 4, 8, 14, 22, 32, ... และหาพจน์ท่ัวไปไดด้ งั นี้

a1  2  12 1 2
a2  4  22  2  2
a3  8  32  3  2
a4 14  42  4  2
a5  22  52  5  2

พจิ ารณาความสมั พนั ธ์ห้าพจนแ์ รก จะได้ an  n2  n  2
และเขียนลาดับทีก่ าหนดให้ใหม่ ดังน้ี

2, 4, 8, 14, 22, ..., n2  n  2, ...

ข้อสังเกต
จาก ตัวอยา่ งที่ 2 ขอ้ 2) การพิจารณาลาดับ 2, 4, 8, ... ทต่ี ่างกัน

จะทาให้ได้พจน์ท่วั ไปหรือ an ต่างกันด้วย

ดังน้นั ในการหาพจนท์ ั่วไปของลาดับทีก่ าหนดจานวนพจน์นอ้ ยเกินไป
อาจทาให้ได้พจน์ท่ัวไปที่แตกตา่ งกนั

ฉะนั้น เม่ือหาพจน์ทว่ั ไปของลาดบั ท่กี าหนดให้ได้แลว้ ควรแทนค่า n
ด้วยสมาชกิ {1, 2, 3, ..., m} เพือ่ ตรวจสอบว่า an เป็นพจนท์ ั่วไปของลาดับท่ี

กาหนดมาใหห้ รือไม่

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาพจน์ท่ัวไปของลาดับ
วิธที า 1) 3, 5, 7, 9, 11, ...
2) 2, 1, 0, 1,  2, ...
1) พจิ ารณาความสัมพันธ์ของพจน์ในลาดบั 3, 5, 7, 9, 11, ...

+2 +2 +2 +2

3 5 7 9 11

พบวา่ พจนท์ อ่ี ยู่ถัดไปจะมากกวา่ พจน์ท่ีอย่ขู ้างหนา้ อยู่ 2 เสมอ
พจิ ารณาหาความสมั พนั ธ์ของ ลาดบั ท่ขี องพจน์ กบั พจน์ ท่ีกาหนดให้

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

คู่มือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดับ 38

พจนท์ ่ี (1) (2) (3) (4) (5)
11
35 79

21 41 6 1 8 1 10 1

(21) 1 (2 2) 1 (23) 1 (2 4) 1 (25) 1

ดังน้ัน พจนท์ ่ัวไปของลาดับน้ี คือ an  2n 1
2) พิจารณาความสัมพันธข์ องพจนใ์ นลาดบั 2, 1, 0, 1,  2, ...

-1 -1 -1 -1

2 1 0 1 2

พบวา่ พจนท์ ่ีอยถู่ ดั ไปจะน้อยกว่ากว่าพจนท์ ี่อยูข่ ้างหน้าอยู่ 1 เสมอ
พิจารณาหาความสมั พันธ์ของ ลาดับทขี่ องพจน์ กับ พจน์ ท่ีกาหนดให้
พจน์ท่ี (1) (2) (3) (4) (5)

21 0 1 2

31 3 2 33 34 35

ดงั นั้น พจน์ทว่ั ไปของลาดบั นี้ คือ an  3 n

ตวั อยา่ งท่ี 4 รักเรยี นตัง้ ใจออมเงินทุกวันดังนี้ วันท่ีหนึ่ง 20 บาท วันท่ีสอง 23 บาท วันที่สาม 26
วธิ ที า บาท และออมเพิม่ วนั ละ 3 บาท เชน่ นี้ไปเร่อื ย ๆ จงหาจานวนเงนิ ออมในวนั ที่ n
จานวนเงินที่รกั เรยี นออมในแต่ละวันสามารถเขียนเปน็ ลาดับ 20,23,26,29,32, ...

พจิ ารณาความสัมพนั ธ์ของพจน์ในลาดบั 20, 23, 26, 29, 32, ...

พบว่า พจน์ถดั ไปจะมากกว่าพจนท์ อ่ี ยู่ขา้ งหน้าอยู่ 3 เสมอ
พิจารณาหาความสมั พนั ธ์ของลาดบั ที่ของพจนก์ บั พจน์ที่กาหนดใหด้ ังนี้
พจนท์ ่ี (1) (2) (3) (4) (5)

20 23 26 29 32

3117 3 2 17 3317 3 4 17 35 17

จะได้ พจน์ทวั่ ไปของลาดบั น้ี คอื an  3n 17
ดังนน้ั จานวนเงินออมในวนั ที่ n เทา่ กบั an  3n 17

เมอ่ื ผู้เรียนเข้าใจดีแลว้
เรามาทาแบบฝกึ ทักษะที่ 1.5 กันนะครับ

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรือ่ ง ลาดบั 39

แบบฝึกทกั ษะที่ 1.5 ข้ันตอนท่ี 2 Solve : S

จุดประสงค์ท่ี 4 ผู้เรยี นสามารถหาพจน์ท่ัวไปของลาดับที่กาหนดให้ได้

คาชี้แจง ใหผ้ ู้เรยี นหาพจน์ท่วั ไปของลาดับที่กาหนดให้ต่อไปนี้

1. 3, 6, 9, 12, 15, ...
วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. 2, 5, 8, 11, 14, ...
วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. 5,  3, 1, 1, 3, ...
วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั 40

4. 3, 1, 1,  3,  5, ...

วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
5. ผ้จู ดั การแสดงจัดทนี่ ่ังสาหรับผู้เข้าชมการแสดงในโรงละครแห่งหน่ึงดังน้ี แถวที่หน่ึง 20 ท่ีนั่ง
แถวทีส่ อง 22 ที่น่งั แถวท่ีสาม 24 ทีน่ ั่ง และเพ่ิมที่นั่งแถวละ 2 ท่ีนั่ง เช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนเต็ม
พ้นื ทใ่ี นโรงละคร แลว้ จานวนทนี่ ั่งทีจ่ ัดในแถวท่ี n เทา่ กบั เทา่ ใด
วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑก์ ารให้คะแนน ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเตม็ 10 คะแนน

แสดงวธิ ีการหาพจน์ทว่ั ไปของลาดับได้ถูกต้องให้ 1 คะแนน
และคาตอบถูกต้องให้ 1 คะแนน ถ้าผู้เรยี นทาได้ไม่ถึง 8 คะแนน

ให้ผู้เรียนกลบั ไปศึกษาใบความรูท้ ่ี 1.5 อีกครัง้

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา