คู่มือ การใช้แบบฝึกทักษะ ลำดับและอนุกรม เล่มที่ 1 เรื่องลำดับ ปรับปรุง ปีการศึกษา 2563

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรือ่ ง ลาดับ 41

ใบสรุปความร้ทู ี่ 1.5 ข้ันตอนท่ี 3 Create : C

คาชีแ้ จง ใหผ้ ู้เรยี นเรยี บเรียงและบนั ทกึ ความรู้ของผ้เู รียนที่ได้จากการศึกษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝึกทักษะข้างตน้ โดยใชภ้ าษาท่ีง่ายตอ่ การเข้าใจ

ใบสรปุ ความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

1.5ใบแลกเปลย่ี นเรียนรู้ท่ี ข้ันตอนท่ี 4 Share : S

คาชีแ้ จง ให้ผู้เรยี นแตล่ ะคนแลกเปลี่ยนความรู้ของตนจากการทาแบบฝกึ ทกั ษะ โดยครูจะ
สมุ่ ผู้เรยี นออกมานาเสนอการสรปุ ความร้หู รือแนวคิดและวธิ ีการในการทากจิ กรรม

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

คู่มอื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรื่อง ลาดับ 42

ใบความรู้ท่ี

1.6 การหาพจน์ท่ัวไปของลาดบั (ต่อ) ข้ันตอนท่ี 1 Search : S

จุดประสงคท์ ่ี 4 ผู้เรยี นสามารถหาพจน์ท่ัวไปของลาดับทกี่ าหนดใหไ้ ด้

ผเู้ รียนพรอ้ มแลว้ หรอื ยังครบั

เรามาศกึ ษาตัวอย่างเพิ่มเติมกันเลยนะ

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาพจนท์ วั่ ไปของลาดบั 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ...
วิธที า
45678

พจิ ารณาความสัมพันธข์ อง ตวั เศษ ของพจนใ์ นลาดบั

+1 +1 +1 +1

2 3 45 6

พบวา่ พจนท์ ี่อยถู่ ดั ไปจะมากกวา่ พจนท์ ี่อยขู่ ้างหนา้ อยู่ 1 เสมอ
พิจารณาหาความสัมพันธ์ของ ลาดบั ของพจน์ กบั พจน์ ที่กาหนดให้
พจนท์ ่ี (1) (2) (3) (4) (5)

23 456

11 21 31 41 51

ดังนน้ั พจนท์ ัว่ ไปของตวั เศษของจานวนในลาดบั น้ี คือ n 1

พิจารณาความสัมพันธข์ อง ตวั ส่วน ของพจน์ในลาดบั

+1 +1 +1 +1

4 5 678

พบว่า พจน์ท่อี ยถู่ ดั ไปจะมากกวา่ พจนท์ ี่อยขู่ ้างหนา้ อยู่ 1 เสมอ

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

คมู่ อื การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอื่ ง ลาดับ 43

พจิ ารณาหาความสมั พนั ธข์ อง ลาดับของพจน์ กับ พจน์ ที่กาหนดให้
พจนท์ ี่ (1) (2) (3) (4) (5)

45 678

13 23 33 43 53

ดังนน้ั พจนท์ ่ัวไปของตวั ส่วนของจานวนในลาดับน้ี คอื n  3

เพราะฉะนน้ั พจนท์ ่วั ไปของลาดับนี้ คอื an  n 1
n3

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาพจนท์ ั่วไปของลาดับ 1, 1 , 1 , 1 , 1 , ...
วิธที า 22 33 44 55

ตัวอยา่ งที่ 3 พจิ ารณา a1  1  1
วิธที า 11

a2  1
22

a3  1
33

a4  1
44

a5  1
55

ดังน้ัน พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั นี้ คอื an  1
nn

จงหาพจน์ทั่วไปของลาดบั 1, 2, 3, 2, 5, ...

พจิ ารณา a1  1  1

a2  2

a3  3

a4  2  4

a5  5

ดงั น้ัน พจนท์ ่วั ไปของลาดบั น้ี คอื an  n

การหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดับในตัวอย่างท่ีกล่าวมาข้างต้นเป็นการหาโดยใช้การสังเกต
ความสัมพันธ์ของแต่ละพจน์และลาดับของพจน์ ซึ่งในบางครั้งอาจจะไม่สะดวกท่ีจะใช้
วิธีการดงั กลา่ ว อีกวิธีหนึง่ ทีน่ ยิ มใชก้ นั คอื การใช้ฟงั ก์ชนั พหนุ ามหาพจนท์ ัว่ ไปของลาดบั
ในทน่ี ้ีจะพจิ ารณาเปน็ 2 กรณี ดังนี้

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

คู่มือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอื่ ง ลาดับ 44

กรณีท่ี 1 ผลตา่ งคร้ังที่ 1 มีค่าคงตัว

a1 a2 a3 a4 a5

ผลตา่ งคร้งั ที่ 1 d d d d
ดงั นน้ั พจนท์ ว่ั ไปของลาดับน้ี อยู่ในรูป

an  an  b

เมอื่ a, b เป็นคา่ คงตัวใด ๆ

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดบั
วิธที า 1) 5, 4, 3, 2, 1, ...
2) 3, 5, 7, 9, 11, ...
1) 5, 4, 3, 2, 1, ...
จากลาดบั ที่กาหนดให้ หาผลตา่ งระหว่างสองพจนท์ อ่ี ยตู่ ิดกนั ได้ดังน้ี

5 43 21

ผลตา่ งคร้งั ที่ 1 -1 -1 -1 -1
จะพบวา่ ผลตา่ งคร้ังท่ี 1 มคี ่าคงตวั เทา่ กบั 1 ให้พจน์ทว่ั ไปของลาดบั นี้อยใู่ นรูป

an  an  b

แทน n ในพจนท์ ัว่ ไปด้วย 1 และ 2

จะได้ a1  5  a  b …(1)
…(2)
a2  4  2a  b

นาสมการ (2) – (1) จะได้ a  1

แทน a  1 ในสมการ (1) จะได้ b6

ดงั นน้ั an  n  6  6  n

จากตวั อยา่ งขา้ งต้นเมอ่ื แทน n ดว้ ย 1, 2, 3, 4 และ 5 ใน an  6  n จะได้
a1, a2, a3, a4 และ a5 เท่ากับคา่ ท่ีกาหนดให้ แสดงวา่ an ท่ีหาได้เปน็ พจน์ทว่ั ไปของลาดับที่
กาหนดให้

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

คมู่ อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่ือง ลาดับ 45

2) 3, 5, 7, 9, 11, ...
จากลาดับท่กี าหนดให้ หาผลตา่ งระหวา่ งสองพจน์ท่อี ยตู่ ดิ กนั ไดด้ ังน้ี

3 5 7 9 11

ผลตา่ งคร้งั ท่ี 1 +2 +2 +2 +2
จะพบวา่ ผลตา่ งครงั้ ท่ี 1 มคี ่าคงตัวเท่ากับ 2 ใหพ้ จนท์ ั่วไปของลาดบั นอ้ี ยู่ในรูป

an  an  b

แทน n ในพจน์ทั่วไปดว้ ย 1 และ 2

จะได้ a1  3  a  b …(1)
…(2)
a2  5  2a  b

นาสมการ (2) – (1) จะได้ a2

แทน a  2 ในสมการ (1) จะได้ b 1

ดงั น้ัน an  2n 1

จากตวั อย่างขา้ งต้นเม่อื แทน n ดว้ ย 1, 2, 3, 4 และ 5 ใน an  2n 1 จะได้
a1, a2, a3, a4 และ a5 เท่ากับคา่ ท่ีกาหนดให้ แสดงว่า an ทีห่ าไดเ้ ป็นพจนท์ วั่ ไปของลาดบั ที่
กาหนดให้

กรณที ่ี 2 ผลต่างครง้ั ที่ 2 มคี า่ คงตัว

a1 a2 a3 a4 a5

ผลตา่ งคร้งั ท่ี 1 d1 d2 d3 d4

ผลตา่ งครง้ั ท่ี 2 dd d

ดังน้นั พจน์ท่ัวไปของลาดบั น้ี อย่ใู นรูป

an  an2  nb  c

เมือ่ a, b, c เปน็ คา่ คงตัวใด ๆ

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

คู่มอื การใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่ือง ลาดบั 46

ตวั อย่างท่ี 5 จงหาพจนท์ ัว่ ไปของลาดบั 1, 5, 11, 19, 29, ...
วิธีทา จากลาดบั ทก่ี าหนดให้ หาผลตา่ งระหวา่ งสองพจนท์ อ่ี ยตู่ ิดกันได้ดังนี้

1 5 11 19 29

ผลตา่ งครง้ั ท่ี 1 +4 +6 +8 +10

ผลตา่ งครัง้ ที่ 2 +2 +2 +2

จะพบว่า ผลตา่ งครั้งที่ 2 มีคา่ คงตวั เทา่ กบั 2 ใหพ้ จนท์ ว่ั ไปของลาดบั นอ้ี ยใู่ นรปู

an  an2  nb  c

แทน n ในพจนท์ ั่วไปด้วย 1, 2 และ 3

จะได้ a1 1  a  b  c …(1)

a2  5  4a  2b  c …(2)

a3  11  9a  3b  c …(3)

แก้ระบบสมการเชิงเส้นเพอ่ื หาค่า a, b และ c ได้ดงั นี้

นาสมการ (2) – (1) จะได้ 4  3a  b …(4)

นาสมการ (3) – (2) จะได้ 6  5a  b …(5)

นาสมการ (5) – (4) จะได้ 2  2a

หรอื a 1

แทน a 1 ในสมการ (5) จะได้ b 1

แทน a 1 และ b 1 ในสมการ (1) จะได้ c  1

ดังนั้น an  n2  n 1
จากตัวอย่างข้างตน้ เม่อื แทน n ดว้ ย 1, 2, 3, 4 และ 5 ใน an  n2  n 1 จะได้
a1, a2, a3, a4 และ a5 เทา่ กับคา่ ที่กาหนดให้ แสดงวา่ an ท่หี าได้เปน็ พจนท์ ่ัวไปของลาดบั ท่ี
กาหนดให้

ตัวอยา่ งท่ี 6 วศิ วกรคนหนึ่งตอ้ งการหาจานวนเหลก็ เส้นทีใ่ ชท้ าโครงสรา้ งตามแบบรปู ด้านลา่ งนี้

รปู ท่ี 1 รปู ที่ 2 รูปท่ี 3 รปู ท่ี 4

กาหนดให้ แทนเหลก็ เส้นจานวน 1 เสน้

จงหาจานวนเหล็กเส้นที่ใชท้ าโครงสร้างตามรปู ที่ n

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

คู่มือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง ลาดับ 47

วธิ ีทา จานวนเหลก็ เสน้ ท่ใี ชท้ าตามแต่ละรปู สามารถเขียนเป็นลาดบั 4, 10, 18, 28, ...
หาผลตา่ งระหว่างสองพจนท์ ่อี ยู่ตดิ กันไดด้ งั นี้

4 10 18 28

ผลต่างครงั้ ท่ี 1 +6 +8 +10

ผลต่างครั้งท่ี 2 +2 +2

จะพบว่า ผลต่างครง้ั ที่ 2 มคี ่าคงตัวเทา่ กบั 2 ใหพ้ จน์ท่ัวไปของลาดบั นี้อยูใ่ นรปู

an  an2  nb  c

จะได้ a1  4  a  b  c …(1)

a2  10  4a  2b  c …(2)

a3  18  9a  3b  c …(3)

แกร้ ะบบสมการเชิงเส้นเพือ่ หาค่า a, b และ c จะได้ a 1, b  3, c  0

นนั่ คอื an  n2  3n
ดงั นนั้ จานวนเหลก็ เส้นท่ใี ช้ทาโครงสรา้ งตามรปู ที่ n เท่ากับ n2  3n เสน้

วิธีการหาพจน์ทั่วไปท่ีเป็นพหุนามที่แสดงข้างต้น เม่ือหาผลต่างระหว่างสองพจน์
ของลาดับ และหาผลต่างของผลต่างจนได้ค่าคงตัวแล้วต้องนับว่าหาผลต่างคร้ังท่ีเท่าใดจึง
จะได้ค่าคงตัว ถ้าเป็นผลต่างคร้ังที่ k พหุนามที่ใช้เป็นพจน์ท่ัวไปจะเป็นพหุนามดีกรี k

ท้งั นข้ี อใหส้ ังเกตการหาผลต่างเมือ่ พจน์ท่ัวไปคือ an3 bn2  cn  d ดงั ตอ่ ไปน้ี

abcd 8a4b2cd 27a9b3cd 64a16b4cd 125a 25b5cd

ผลตา่ งครั้งที่ 1 7a  3b  c 19a  5b  c 37a  5b  c 61a  9b  c

ผลต่างครง้ั ที่ 2 12a  2b 18a  2b 24a  2b

ผลตา่ งครง้ั ที่ 3 6a 6a

จะเห็นได้ว่า ผลต่างครั้งท่ี 3 เป็นค่าคงตัว ฉะนั้นวิธีการท่ีแสดงในตัวอย่างจึงเป็นการทาโดย
อาศัยสมบตั ิพหุนามที่แสดงข้างตน้

เมื่อผ้เู รยี นเขา้ ใจดีแลว้

เรามาทาแบบฝกึ ทักษะที่ 1.6 กันนะครบั

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั 48

แบบฝึกทกั ษะท่ี 1.6 ข้ันตอนท่ี 2 Solve : S

จดุ ประสงค์ท่ี 4 ผู้เรยี นสามารถหาพจน์ท่ัวไปของลาดับท่กี าหนดให้ได้

คาชีแ้ จง ใหผ้ ้เู รยี นหาพจน์ทวั่ ไปของลาดับท่ีกาหนดให้ตอ่ ไปน้ี

1. 4, 8, 12, 16, 20, ...
วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. 3, 7, 11, 15, 19, ...
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. 7, 12, 17, 22, 27, ...
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอ่ื ง ลาดับ 49

4. 1, 1,  3,  5,  7, ...

วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
5. 3, 0,  3,  6,  9, ...

วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
6. 5,  3, 1, 1, 3, ...

วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
7. 7, 11, 15, 19, 23, ...

วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง ลาดับ 50

8. 1, 1 , 1 , 1 , 1 , ...

3 5 73

วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

9. 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ...

5 7 9 11 13

วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

10. 0, 1 , 2 , 3 , 4 , ...

2345

วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ข้อ 1 – 10 ข้อละ 2 คะแนน

แสดงวธิ กี ารหาพจนท์ ัว่ ไปของลาดับได้ถูกต้องให้ 1 คะแนน
และคาตอบถูกต้องให้ 1 คะแนน ถ้าผู้เรียนทาได้ไม่ถึง 16 คะแนน

ให้ผู้เรยี นกลบั ไปศึกษาใบความร้ทู ี่ 1.6 อีกคร้งั

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่ือง ลาดบั 51

11. 3, 6, 13, 24, 39, ...

วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
12. ช่างเชอ่ื มโลหะคนหน่ึงตอ้ งการหาจานวนจดุ ทตี่ ้องเช่อื มเหล็กแบบรูปด้านล่างนี้

รูปท่ี 1 รูปท่ี 2 รูปที่ 3 รปู ท่ี 4

กาหนดให้ แทนจุดท่ีต้องเชื่อมเหล็กจานวน 1 จุด จงหาจานวนจุดที่ต้องเชื่อมเหล็กตามรูปท่ี n

วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ข้อ 11 – 12 ขอ้ ละ 5 คะแนน

แสดงวธิ กี ารหาพจนท์ ่วั ไปของลาดบั ได้ถกู ตอ้ งให้ 4 คะแนน
และคาตอบถกู ตอ้ งให้ 1 คะแนน ถา้ ผู้เรยี นทาไดไ้ มถ่ งึ 8 คะแนน

ใหผ้ ู้เรียนกลบั ไปศกึ ษาใบความร้ทู ี่ 1.6 อกี คร้ัง

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรือ่ ง ลาดบั 52

ใบสรุปความร้ทู ี่ 1.6 ข้ันตอนที่ 3 Create : C

คาชีแ้ จง ใหผ้ ู้เรยี นเรียบเรียงและบนั ทกึ ความรู้ของผู้เรยี นที่ได้จากการศกึ ษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝึกทักษะข้างตน้ โดยใช้ภาษาทีง่ ่ายต่อการเข้าใจ

ใบสรปุ ความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

1.6ใบแลกเปลย่ี นเรียนรู้ท่ี ข้ันตอนที่ 4 Share : S

คาชีแ้ จง ให้ผู้เรยี นแตล่ ะคนแลกเปลี่ยนความรู้ของตนจากการทาแบบฝกึ ทักษะ โดยครูจะ
สมุ่ ผู้เรยี นออกมานาเสนอการสรปุ ความรู้หรือแนวคดิ และวิธีการในการทากจิ กรรม

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

คู่มือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั 53

แบบทดสอบหลงั เรียน

เรื่อง ลาดับ

คาชี้แจง
1. แบบทดสอบกอ่ นเรยี น เรื่อง ลาดบั จานวน 15 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน
ใช้เวลา 30 นาที

2. การตอบแบบทดสอบให้ผู้เรยี นทาเครือ่ งหมาย x ลงใน  ใตต้ วั อกั ษร

ก ข ค และ ง ที่เป็นคาตอบท่ถี กู ที่สุดเพยี งข้อเดียว บนกระดาษคาตอบ

1. ข้อใดตอ่ ไปน้ถี ูกตอ้ ง
ก. ลาดบั คือ ฟงั ก์ชนั ท่มี โี ดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก
ข. ลาดบั อนนั ต์ คือ ฟงั ก์ชนั ท่มี โี ดเมนเปน็ เซตของจานวนเต็มบวก {1, 2, 3, ..., n}
ค. ลาดบั จากดั คือ ฟังกช์ นั ที่มโี ดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก n ตวั แรก {1, 2, 3, ..., n}
ง. ถูกทุกขอ้

2. ข้อใดต่อไปน้ีถูกต้อง
ก. {(a,1), (b, 2), (c,3), (d, 4), (e,5)} เปน็ ลาดบั
ข. {(1,1), (3, 2), (5,3), (7, 4), (9,5)} เป็นลาดบั
ค. {(1, a), (3,b), (5,c), ...,(19, j)} ไม่เปน็ ลาดบั
ง. {(1, 4), (2,5), (3,6), ...,(10,13)} ไมเ่ ปน็ ลาดบั

3. ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ไม่ถูกตอ้ ง
ก. {(1,1), (2, 4), (3,9), (4,16), (5, 25)} เปน็ ลาดบั
ข. {(1, 2), (2, 4), (3,8), (4,16), (5,32)} เปน็ ลาดับ
ค. {(1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4), (5,5)} ไมเ่ ป็นลาดบั
ง. {(1, a), (3,b), (5,c), (7, d), (9,e)} ไมเ่ ปน็ ลาดบั

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

คู่มอื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรือ่ ง ลาดับ 54

4. ลาดบั ในขอ้ ใดเป็นลาดับจากัด
ก. f1  {(1, 2), (2, 4), (3,8), (4,16), ...}

ข. f2  {(1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4), ...}
ค. f3  {x | x  (n 1)2, n 1, 2,3,...,10}
ง. f4  {x | x  2n 1, n  I }

5. ลาดบั ในขอ้ ใดเปน็ ลาดบั อนันต์

ก. f1  {x | x  2n, n 1, 2,3,...,10}

ข. f2  {x | x  n, n  1, 2,3,...}
n 1

ค. f3  {(1, 1), (2, 2), (3,3), (4, 4)}
ง. f4  {(1,1), (2,8), (3, 27), (4,64)}

6. ถ้า an  2  (1)n n แล้วขอ้ ใดถูก
2n  3

ก. a5  7
13

ข. a4  2
11

ค. a2  4
7

ง. a1  1
5

7. ใน 40 พจนแ์ รกของลาดับ an  3 (1)n มกี ี่พจนท์ ม่ี ีคา่ เทา่ กบั พจนท์ ี่ 40

ก. 40
ข. 30
ค. 20
ง. 10

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

คู่มือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่อื ง ลาดับ 55

8. กาหนด an   5, n{1, 3, 5, ...} แลว้ สพี่ จน์แรกของลาดับในข้อใด
2n,
n {2, 4, 6, ...}

ก. 5, 4, 5, 8

ข. 2, 4, 6, 8

ค. 5, 2n, 5, 2n

ง. 5, 10, 15, 20

9. ถา้ an เป็นพจนท์ ่ัวไปของลาดับซ่ึงมี a5  9 และ an1  an  2 แลว้ a11 เทา่ กบั เท่าใด

ก. 1
ข. 1
ค. 3
ง. 5

10. an  253n คือพจนท์ ่วั ไปของลาดบั ในขอ้ ใด
ก. 28,  25,  22, 19, ...
ข. 28, 25, 22, 19, ...
ค. 22, 19, 16, 13, ...
ง. 22, 19, 16, 13, ...

11. an  2(3n1) คือพจนท์ วั่ ไปของลาดบั ในข้อใด
ก. 2, 6, 18, 54, ...
ข. 3, 6, 9, 12, ...
ค. 6, 12, 9, 12, ...
ง. 6, 18, 54, 162, ...

12. พจนท์ วั่ ไปของลาดบั 1, 3, 6, 10, ... คอื ขอ้ ใด

ก. an  (1)n1(2n 1)
ข. an  2n 1

ค. an  n2  n
2

ง. an  n2  n
2

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

คมู่ อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดบั 56

13. ถา้ an เปน็ พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั ซง่ึ มี a1  6 และ an1  an  4 แลว้ a10 มีคา่ เปน็ เท่าใด

ก. 42
ข. 38
ค. 34
ง. 30

14. ผลบวก 3 พจน์แรกของลาดบั an  (1)n1 n เทา่ กบั ข้อใด
n 1

ก. 11

12

ข. 7

12

ค.  5

12

ง.  7

12

15. กาหนดพจนท์ ี่ k ของลาดบั an  4n 3 เทา่ กบั 21 แลว้ k มีคา่ เปน็ เท่าใด

ก. 9
ข. 8
ค. 7
ง. 6

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

คูม่ อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่ือง ลาดบั 57

กระดาษคาตอบ

แบบทดสอบหลังเรียน

เรือ่ ง ลาดับ

ชื่อ – นามสกลุ …………………………………………………..…….………….……………เลขท…ี่ ….……….
ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 6/………… วนั ท…่ี …………เดือน......................................พ.ศ...................

คาชี้แจง ให้ผู้เรยี นทาเคร่ืองหมาย x ลงใน  ใตต้ วั อกั ษร ก ข ค และ ง

ทเ่ี ป็นคาตอบท่ถี ูกท่สี ดุ เพียงขอ้ เดียว

ขอ้ ก ข ค ง คะแนน หลังเรยี น ผลการประเมิน
1 เตม็ 15
2 ได้
3
4 เกณฑก์ ารประเมิน
5 13 – 15 คะแนน ระดบั 4 ดเี ยีย่ ม
6 10 – 12 คะแนน ระดบั 3 ดี
7 7 – 9 คะแนน ระดบั 2 พอใช้ ผ่านเกณฑ์
8 0 – 6 คะแนน ระดับ 1 ปรับปรงุ
9
10 ลงชอ่ื .................................................ผตู้ รวจ
11 (..........................................................)
12
13 วันท่ี............เดือน............................พ.ศ.............
14
15

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอ่ื ง ลาดับ 58

แบบบนั ทึกคะแนนแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์
เล่มท่ี 1 เรื่อง ลาดบั

ชื่อ……………………………………………………………………………ชน้ั ม.6/................เลขท่.ี ............

ท่ี รายการ คะแนนเต็ม คะแนนทีไ่ ด้
1 แบบทดสอบก่อนเรียน 15 **
2 แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.1 20
3 แบบฝึกทกั ษะที่ 1.2 20
4 แบบฝึกทักษะที่ 1.3 10
5 แบบฝึกทกั ษะที่ 1.4 10
6 แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.5 10
7 แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.6 30
8 แบบทดสอบหลังเรยี น 15
115
คะแนนรวมทั้งหมด

** ไมน่ าคะแนนมารวม บนั ทึกเพ่ือเปรียบเทียบผลสมั ฤทธิ์ทางการเรียนเทา่ นั้น (ดูพฒั นาการ)

เกณฑ์การประเมนิ
ร้อยละ 80 ขึ้นไป ผ่านเกณฑ์ (92 คะแนน)

ผลการประเมิน  ผ่าน  ไม่ผา่ น 2 1
ระดบั คะแนน 4 3  พอใช้  ปรับปรุง
ระดบั คณุ ภาพ  ดีมาก  ดี

ช่วงคะแนน ระดบั คณุ ภาพ ระดบั คุณภาพ
92 – 115 ระดบั คะแนน ดมี าก
80 – 91 ดี
69 – 79 4 พอใช้
0 – 68 3 ปรับปรุง
2
1

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

คมู่ อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่อื ง ลาดบั 59

บรรณานุกรม

กมล เอกไทยเจริญ. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ ม.6 เลม่ 5 ค 015. กรงุ เทพฯ : ไฮเอด็ พับลชิ ชง่ิ .

กมล เอกไทยเจริญ. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 สาระการเรียนรู้พนื้ ฐาน. กรงุ เทพฯ :
ไฮเอ็ดพบั ลิชชงิ่ .

กวิยา เนาวประทปี . (2547). เทคนคิ การเรยี นคณิตศาสตร์ : ลาดบั และอนกุ รม. กรุงเทพฯ :
ฟสิ ิกส์เซน็ เตอร์.

จักรนิ ทร์ วรรณโพธ์ิกลาง. (ม.ป.ป.). คู่มือเตรยี มสอบ O-NET กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์.
กรุงเทพฯ : พ.ศ.พัฒนา จากดั .

ทรงวิทย์ สวุ รรณธาดา. (2545). 1001 TESTS IN MATHS 3. กรุงเทพฯ : แม็ค.

นพพร แหยมแสง. (2548). ชุดกจิ กรรมการเรียนร้ทู ่ีเนน้ ผู้เรียนเป็นสาคัญ คณิตศาสตร์ กลุ่มสาระ
การเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 5. กรงุ เทพฯ : พฒั นาคุณภาพวิชาการ (พว.).

ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2544). หนงั สอื เรยี นคณติ ศาสตร์ ค 015
ระดบั ช้ันมัธยมศึกษาตอนปลาย พุทธศักราช 2524 (ฉบบั ปรับปรงุ 2523). พิมพ์ครงั้ ที่
11. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์ ครุ ุสภาลาดพร้าว.

_______. (2553). ค่มู ือครูรายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร์ เลม่ 3 ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 – 6
กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาขัน้ พ้ืนฐาน พทุ ธศักราช
2551. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

_______. (2554). หนังสอื เรียนรายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร์ เล่ม 3 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 4 – 6
กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พื้นฐาน
พุทธศักราช 2551. พมิ พ์ครั้งท่ี 3. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สมยั เหลา่ วานชิ ย.์ (2554). คูม่ ือเตรียมสอบคณติ ศาสตร์ ม.4-5-6 (รายวิชาพนื้ ฐาน). กรงุ เทพฯ :
ไฮเอ็ดพับลชิ ชิ่ง.

สมยั เหลา่ วานิชย์ และพวั พรรณ เหล่าวานิชย์. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ พนื้ ฐาน + เพ่ิมเติม 6
ชว่ งชน้ั ท่ี 4 (ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 4 – 6) กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์. กรงุ เทพฯ :
ไฮเอด็ พับลชิ ชงิ่ .

อเนก หริ ญั . (ม.ป.ป.). คณติ ศาสตร์ ค 015. กรงุ เทพฯ : ฟิสกิ สเ์ ซน็ เตอร์.

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอ่ื ง ลาดับ 60

ภาคผนวก

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรื่อง ลาดับ 61

เฉลย

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์

เลม่ ท่ี



เร่ือง ลาดบั

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดบั 62

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น

เรอื่ ง ลาดบั

1. ข
2. ง
3. ง
4. ง
5. ก
6. ง
7. ข
8. ข
9. ข
10. ค
11. ง
12. ค
13. ง
14. ค
15. ก

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

คมู่ ือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรือ่ ง ลาดับ 63

เฉลย.... 1.0

เอกสารแนะแนวทางท่ี

ข้อท่ี ฟงั ก์ชัน โดเมนของฟังกช์ นั เรนจ์ของฟงั ก์ชัน

1 f1  {(3,1), (4, 2), (5,3), (6, 4)} {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4}
2 f2  {(1, x), (2, y), (3, z)} {1, 2, 3} {x, y, z}
3 f3  {(1, 2), (2,3), (3, 4), ..., (10,11)} {2, 3, 4, ..., 11}
4 f4  {(1,6), (2,7), (3,8), ...} {1, 2, 3, ..., 10} {6, 7, 8, ...}
5 f5  {(1, a), (2,b), (3, c), ...} {1, 2, 3, ...} {a, b, c, ...}
{1, 2, 3, ...}

6 f6  {(2,3), (4,6), (8,12)} {2, 4, 8} {3, 6, 12}

7 f7  {(5,7), (7,9), (9,11), ..., (15,17)} {5, 7, 9, ..., 15} {7, 9, 11, ..., 17}

8 f8  {(1,3), (2, 4), (3,5), ...} {1, 2, 3, ...} {3, 4, 5, ...}

9 f9  {(x, y) | y  2x 1, x  I } {1, 2, 3, ...} {1, 3, 5, ...}

10 f10  {(x, y) | y  2x 1, x  3, 4,5,...,8} {3, 4, 5, ..., 8} {7, 15, 31, ..., 255}

จากตารางผู้เรยี นสรุปได้ว่า
โดเมนของฟังกช์ ัน คือ สมาชิกตวั หนา้ ของคูอ่ นั ดบั ทุกคอู่ ันดับในฟงั ก์ชนั

เรนจ์ของฟังกช์ นั คอื สมาชิกตวั หลังของคอู่ ันดับทกุ คอู่ นั ดบั ในฟังกช์ ัน

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรื่อง ลาดบั 64

เฉลย.... 1.1

เอกสารแนะแนวทางที่

ขอ้ ท่ี ฟงั กช์ นั โดเมนของฟังกช์ นั เป็นลาดบั ไม่เป็นลาดับ
1 f1  {(1, 2), (2,3), (3, 4), (4,5)}
2 f2  {(2, 4), (4,6), (6,8), ...} {1, 2, 3, 4} 

{2, 4, 6, ...} 

3 f3  {(1,5), (2,7), (3,12), (4,17), (5, 22)} {1, 2, 3, 4, 5} 

4 f4  {(1,5), (2,7), (3,9)} {1,  2,  3} 

5 f5  {(1, 2), (2, 4), (3,8), ...} {1, 2, 3, ...}

6 f6  {(2,1), (4, 2), (8,3), (16, 4)} {2, 4, 8, 16} 

7 f7  {(1,1), (2, 1), (3,1), (4, 1)} {1, 2, 3, 4} 

8 f8  {(1 ,1), (2 , 2), (3 , 3)} {1 , 2 , 3} 
2 3 4 234

9 f9  {(x, y) | y  2x 1, x  I } {1,  2,  3, ...} 

10 f10  {(a,b) | b  2a 1, a  I } {1, 2, 3, ...} 

จากตารางผู้เรียนสรุปไดว้ ่า
ลาดับ หมายถึง ฟังก์ชันทมี่ โี ดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวกหรอื

เซตยอ่ ยของจานวนเตม็ บวกในรปู {1, 2, 3, …, n}

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรื่อง ลาดับ 65

เฉลย.... 1.1

แบบฝึกทกั ษะที่

1. f1  {(1, 4), (2,8), (3,12), ...}
ตอบ ฟังกช์ นั นเ้ี ปน็ ลาดับ เพราะมโี ดเมนเปน็ เซต {1, 2, 3, …}

2. f2  {(1, 2), (2,3), (3, 4), (4,5), (5,6)}

ตอบ ฟงั กช์ นั นี้เปน็ ลาดับ เพราะมโี ดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, 4, 5}
3. f3  {(2,1), (3, 2), (4,3)}

ตอบ ฟังกช์ นั นี้ไม่เป็นลาดับ เพราะมีโดเมนเปน็ เซต {2, 3, 4} ซึ่งไม่เป็นเซตย่อยของ
จานวนเตม็ บวกในรปู {1, 2, 3, …, n}

4. f4  {(1,3), (2, 4), (3,5), ..., (7,9)}
ตอบ ฟงั ก์ชันนี้เปน็ ลาดบั เพราะมโี ดเมนเปน็ เซต {1, 2, 3, …, 7}

5. f5  {(3, 4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8)}
ตอบ ฟงั กช์ นั นไ้ี ม่เปน็ ลาดับ เพราะมโี ดเมนเป็นเซต {3, 4, 5, 6, 7} ซง่ึ ไม่เซตยอ่ ยของ

จานวนเต็มบวกในรปู {1, 2, 3, …, n}
6. f6  {(1,5), (2,8), (3,11), (4,14)}

ตอบ ฟังกช์ นั นีเ้ ปน็ ลาดับ เพราะมีโดเมนเปน็ เซต {1, 2, 3, 4}
7. f7  {(x, y) | y  2x  3, x  I }

ตอบ ฟังก์ชนั นี้ไม่เปน็ ลาดบั เพราะมีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ ลบ

8. f8  {(x, y) | y  3x2 1, x  I }
ตอบ ฟังก์ชันนี้เปน็ ลาดับ เพราะมโี ดเมนเปน็ เซตของจานวนเต็มบวก

9. f9  {(x, y) | y  x 1, xI , 1 x  10}
2

ตอบ ฟังกช์ ันนี้ไม่เปน็ ลาดบั เพราะมีโดเมนเปน็ เซต {2, 3, 4, …, 10} ซ่ึงไม่เซตยอ่ ยของ

จานวนเต็มบวกในรูป {1, 2, 3, …, n}
10. f10  {(x, y) | y  2x, x  I , 1  x 100}

ตอบ ฟงั กช์ นั น้เี ปน็ ลาดับ เพราะมีโดเมนเปน็ เซต {1, 2, 3, …, 100}

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

คู่มือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอ่ื ง ลาดับ 66

เฉลย.... 1.2

เอกสารแนะแนวทางท่ี

ขอ้ ฟังก์ชัน โดเมนของ ชนิดของลาดบั เหตุผล
ที่ ฟังกช์ นั

1 f1  {(1, 1), (2,5), (3,11), (4,17)} {1, 2, 3, 4}  ลาดบั จากดั เพราะมโี ดเมนเปน็
 ลาดับอนนั ต์ จานวนเตม็ บวก 4 ตัวแรก

2 f2  {(1,0), (2,1), (3, 2), ...}  ลาดบั จากดั เพราะมโี ดเมนเป็น
{1, 2, 3, ...}  ลาดับอนนั ต์ จานวนเตม็ บวก

3 f3  {(1,1), (2, 4), (3,9), (4,16), (5, 25)}  ลาดับจากัด เพราะมีโดเมนเป็น
{1, 2, 3, 4, 5}  ลาดับอนันต์ จานวนเต็มบวก 5 ตัวแรก

4 f4  {(1,1), (2, 1 ), (3, 1), (4, 1 )}  ลาดบั จากัด เพราะมโี ดเมนเป็น
2 3 4 {1, 2, 3, 4}  ลาดับอนนั ต์ จานวนเต็มบวก 4 ตัวแรก

5 f5  {(1, 2), (2, 4), (3,8), ...}  ลาดับจากัด เพราะมีโดเมนเป็น
6 f6  {(x, y) | y  4x, x 1, 2,3,...,10} {1, 2, 3, ...}  ลาดับอนันต์ จานวนเตม็ บวก

 ลาดบั จากัด เพราะมโี ดเมนเป็น
{1, 2, 3, ...,10}  ลาดับอนนั ต์ จานวนเตม็ บวก10ตวั แรก

7 f7  {(x, y) | y  x2 1, x  I }  ลาดบั จากัด เพราะมโี ดเมนเปน็
{1, 2, 3, ...}  ลาดบั อนนั ต์ จานวนเต็มบวก

จากตารางผ้เู รยี นสรปุ ไดว้ า่
ลาดับจากดั หมายถงึ ฟังก์ชนั ซึง่ มโี ดเมนเปน็ เซตของจานวนเต็มบวก n

ตวั แรก {1, 2, 3, …, n}

ลาดบั อนันต์ หมายถงึ ฟังกช์ ันซ่งึ มโี ดเมนเปน็ เซตของจานวนเตม็ บวก

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง ลาดับ 67

เฉลย.... 1.2

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี

1. f1  {(1, 4), (2,8), (3,12), ...}
ตอบ ลาดบั นเี้ ปน็ ลาดบั อนันต์ เพราะมโี ดเมนเปน็ เซต {1, 2, 3, …}

2. f2  {(1, 2), (2,3), (3, 4), (4,5), (5,6)}

ตอบ ลาดบั นเ้ี ปน็ ลาดบั จากดั เพราะมโี ดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, 4, 5}
3. f3  {(1,1), (2, 2), (3,3), ...}

ตอบ ลาดับนเี้ ปน็ ลาดบั อนันต์ เพราะมีโดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, …}
4. f4  {(1,3), (2, 4), (3,5), ..., (7,9)}

ตอบ ลาดับนเ้ี ป็นลาดับจากัด เพราะมีโดเมนเปน็ เซต {1, 2, 3, …, 7}

5. f5  {(1,1), (2, 1 ), (3, 1), (4, 1 )}
2 3 4

ตอบ ลาดับนีเ้ ปน็ ลาดับจากดั เพราะมีโดเมนเปน็ เซต {1, 2, 3, 4}

6. f6  {(1,5), (2,8), (3,11), (4,14)}

ตอบ ลาดบั นเ้ี ป็นลาดับจากดั เพราะมีโดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, 4}

7. f7  {(x, y) | y  2x  3, x  I }

ตอบ ลาดับนเ้ี ปน็ ลาดับอนันต์ เพราะมีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก

8. f8  {(x, y) | y  3x2 1, x  I }
ตอบ ลาดับนเ้ี ป็นลาดบั อนันต์ เพราะมโี ดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก

9. f9  {(x, y) | y  x 1, x  1, 2,3,...,99}
2

ตอบ ลาดับนเ้ี ปน็ ลาดบั จากัด เพราะมโี ดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, …, 99}

10. f10  {(x, y) | y  2x, x  I , 1  x 100}
ตอบ ลาดับน้ีเปน็ ลาดับจากัด เพราะมโี ดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, …, 100}

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอื่ ง ลาดบั 68

เฉลย.... 1.3

แบบฝกึ ทักษะที่

1. จงหาห้าพจน์แรกของลาดบั an  (n 1)2
วธิ ีทา แทน n ใน an  (n 1)2 ดว้ ย 1, 2, 3, 4 และ 5 จะได้

a1  (11)2  0

a2  (2 1)2  1

a3  (3 1)2  4

a4  (4 1)2  9

a5  (5 1)2  16

ดงั นน้ั หา้ พจนแ์ รกของลาดับน้ี คอื 0, 1, 4, 9, 16

2. จงหาลาดับ an  n2 1 เมื่อ n {1, 2, 3, 4, 5}
n

วิธที า แทน n ใน an  n2 1 ด้วย 1, 2, 3, 4 และ 5 จะได้
n

a1  12 1  2
1

a2  22 1  5
2 2

a3  32 1  10
3 3

a4  42 1  17
4 4

a5  52 1  26
5 5

ดงั นน้ั หา้ พจนแ์ รกของลาดับนี้ คอื 2, 5 , 10 , 17 , 26

23 4 5

3. จงหาหา้ พจนแ์ รกของลาดับอนันต์ท่ี an  2n 1 แล้วเขยี นลาดบั ในรปู แจงพจน์
วธิ ีทา แทน n ใน an  2n 1 ดว้ ย 1, 2, 3, 4 และ 5 จะได้

a1  21 1  1

a2  22 1  3

a3  23 1  7

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่อื ง ลาดับ 69

a4  24 1  15

a5  25 1  31

ดังนั้น ห้าพจน์แรกของลาดับน้ี คือ 1, 3, 7, 15, 31

4. จงหาห้าพจน์แรกของลาดับอนันตท์ ี่ an   555, n {1, 3, 5, ...}
 n, n {2, 4, 6, ...}
 n 1

วิธีทา แทน n ใน an   555, n {1, 3, 5, ...}
 n
 n  1 , ดว้ ย 1, 2, 3, 4 และ 5 จะได้

n {2, 4, 6, ...}

a1  555

a2  2  2
2 1 3

a3  555

a4  4  4
4 1 5

a5  555

ดังนน้ั หา้ พจน์แรกของลาดับ คือ 555, 2 , 555, 4 , 555

35

5. จงหาเจด็ พจนแ์ รกของลาดบั อนันต์ a1, a2, a3, ... ซึ่งกาหนดเงือ่ นไขดงั น้ี
a1  a2  1 และ an  an1  an2, n  3
วธิ ที า จากโจทย์ a1  a2 1 และ an  an1  an2, n  3
แทน n ใน an  an1  an2 ดว้ ย 3, 4, 5, 6 และ 7

a3  a2  a1  11  2

a4  a3  a2  2 1  3

a5  a4  a3  3  2  5

a6  a5  a4  5  3  8
a7  a6  a5  8  5  13

ดงั นั้น เจด็ พจนแ์ รกของลาดบั คอื 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอื่ ง ลาดับ 70

เฉลย.... 1.4

แบบฝกึ ทักษะท่ี

1. 2, 3, 6, 11, ...
วิธที า พิจารณาความสมั พันธข์ องพจนใ์ นลาดับ พบว่า

+1 +3 +5 +7 +9

2 3 6 11 18 27

จะพบวา่ พจน์ท่ีอย่ถู ัดไปจะเพ่มิ ขึ้น 1, 3 และ 5 ตามลาดับ
ดังนน้ั พจน์สองพจน์ถดั ไปของลาดับนี้จะเพิ่มขึน้ 7 และ 9 ตามลาดบั
จะได้ 18 และ 27 เปน็ พจน์สองพจน์ถดั ไปของลาดับน้ี

2. 55, 54, 51, 46, ...
วิธที า พจิ ารณาความสมั พนั ธข์ องพจน์ในลาดับ พบวา่

-1 -3 -5 -7 -9

55 54 51 46 39 30

จะพบวา่ พจน์ท่อี ยถู่ ดั ไปจะลดลง 1, 3 และ 5 ตามลาดบั
ดังนัน้ พจนส์ องพจนถ์ ัดไปของลาดับนีจ้ ะลดลง 7 และ 9 ตามลาดบั
จะได้ 39 และ 30 เปน็ พจน์สองพจนถ์ ัดไปของลาดับนี้

3. 1,024, 256, 64, 16, ...
วิธีทา พจิ ารณาความสมั พนั ธ์ของพจน์ในลาดบั พบว่า

÷4 ÷4 ÷4 ÷4 ÷4

1,024 256 64 16 4 1

จะพบว่า พจนท์ ีอ่ ยถู่ ัดไปจะเปน็ ครง่ึ หนึ่งของพจน์ท่ีอยู่ขา้ งหนา้
จะได้ 4 และ 1 เปน็ พจน์สองพจน์ถัดไปของลาดับนี้

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่ือง ลาดบั 71

4. 5, 5, 10, 30, ...
วิธที า พจิ ารณาความสัมพันธข์ องพจน์ในลาดบั พบวา่

1 2 3 4 5

5 5 10 30 120 600

จะพบว่า พจน์ท่อี ยู่ถดั ไปจะเพ่ิมขนึ้ เป็น 1 เทา่ 2 เท่า และ 3 เท่าของพจน์ที่อยู่
ขา้ งหนา้
จะได้ 120 และ 600 เปน็ พจนส์ องพจนถ์ ดั ไปของลาดับน้ี

5. 6, 4, 0,  6, ...
วธิ ที า พิจารณาความสมั พันธ์ของพจน์ในลาดับ พบว่า

-2 -4 -6 -8 -10

6 4 0 6 14 24

จะพบว่า พจนท์ ี่อยถู่ ัดไปจะลดลง 2, 4 และ 6 ตามลาดับ
ดงั นนั้ พจน์สองพจนถ์ ัดไปของลาดับนี้จะลดลง 8 และ 10 ตามลาดบั
จะได้ 14 และ 24 เปน็ พจนส์ องพจนถ์ ัดไปของลาดับน้ี

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่ือง ลาดับ 72

เฉลย.... 1.5

แบบฝึกทักษะที่

1. 3, 6, 9, 12, 15, ...

วิธที า พจิ ารณาความสัมพันธข์ องพจนใ์ นลาดับ 3, 6, 9, 12, 15, ...

พบว่า พจน์ทอ่ี ยถู่ ัดไปจะมากกวา่ พจนท์ ่ีอย่ขู ้างหน้าอยู่ 3 เสมอ
พิจารณาหาความสัมพันธข์ อง ลาดับที่ของพจน์ กบั พจน์ ทีก่ าหนดให้
พจนท์ ี่ (1) (2) (3) (4) (5)

36 9 12 15

31 3 2 33 34 35

ดังน้ัน พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั นี้ คอื an  3n

2. 2, 5, 8, 11, 14, ...

วธิ ที า พิจารณาความสัมพันธ์ของพจนใ์ นลาดบั 2, 5, 8, 11, 14, ...

พบว่า พจน์ทีอ่ ยูถ่ ดั ไปจะมากกวา่ พจน์ท่ีอยขู่ ้างหน้าอยู่ 3 เสมอ

พิจารณาหาความสมั พนั ธ์ของ ลาดับที่ของพจน์ กบั พจน์ ทกี่ าหนดให้

พจนท์ ่ี (1) (2) (3) (4) (5)

2 5 8 11 14

(31) 1 (3 2) 1 (33) 1 (3 4) 1 (35) 1

ดงั น้ัน พจน์ทว่ั ไปของลาดบั น้ี คือ an  3n 1
3. 5,  3, 1, 1, 3, ...

วิธีทา พจิ ารณาความสัมพันธ์ของพจน์ในลาดับ 5, 3, 1, 1, 3, ...
พบว่า พจนท์ ีอ่ ยถู่ ัดไปจะมากกวา่ พจน์ท่ีอย่ขู ้างหน้าอยู่ 2 เสมอ
พจิ ารณาหาความสมั พันธ์ของ ลาดบั ท่ขี องพจน์ กับ พจน์ ที่กาหนดให้
พจน์ที่ (1) (2) (3) (4) (5)

5 3 1 1 3

(21)  7 (2 2)  7 (23)  7 (2 4)  7 (25)  7

ดังนั้น พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั นี้ คอื an  2n  7

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่ือง ลาดบั 73

4. 3, 1, 1,  3,  5, ...
วิธที า พิจารณาความสมั พันธ์ของพจน์ในลาดบั 3, 1, 1, 3, 5, ...
พบว่า พจน์ท่ีอย่ถู ัดไปจะนอ้ ยกว่าพจนท์ ่ีอยขู่ ้างหน้าอยู่ 2 เสมอ
พิจารณาหาความสัมพันธ์ของ ลาดบั ท่ขี องพจน์ กบั พจน์ ทกี่ าหนดให้
พจน์ท่ี (1) (2) (3) (4) (5)

3 1 1 3 5

5  (21) 5  (2 2) 5  (23) 5  (2 4) 5  (25)

ดังน้ัน พจน์ทัว่ ไปของลาดบั นี้ คือ an  5 2n

5. ผู้จัดการแสดงจัดที่นั่งสาหรับผู้เข้าชมการแสดงในโรงละครแห่งหนึ่งดังนี้ แถวท่ีหนึ่ง 20 ท่ีน่ัง
แถวท่ีสอง 22 ทีน่ ง่ั แถวท่ีสาม 24 ที่นั่ง และเพ่ิมท่ีน่ังแถวละ 2 ท่ีนั่ง เช่นนี้ไปเร่ือย ๆ จนเต็ม
พ้ืนทีใ่ นโรงละคร แล้วจานวนท่นี ั่งทีจ่ ดั ในแถวท่ี n เท่ากบั เท่าใด
วิธที า จานวนท่นี งั่ ทจ่ี ัดในแต่ละแถวสามารถเขยี นเปน็ ลาดบั

20, 22, 24, 26, 28, ...

พจิ ารณาความสมั พันธข์ องพจน์ในลาดบั 20, 22, 24, 26, 28, ...
พบวา่ พจน์ถัดไปจะมากกว่าพจน์ทีอ่ ยู่ข้างหนา้ อยู่ 2 เสมอ
พจิ ารณาหาความสัมพันธข์ อง ลาดับทีข่ องพจน์ กับ พจน์ ทีก่ าหนดให้
พจนท์ ี่ (1) (2) (3) (4) (5)

20 22 24 26 28

(21) 18 (2 2) 18 (23) 18 (2 4) 18 (25) 18

จะได้ พจนท์ ัว่ ไปของลาดบั นี้ คือ an  2n 18
ดังนนั้ จานวนท่ีนั่งทจี่ ัดในแถวท่ี n เทา่ กับ 2n 18

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรือ่ ง ลาดบั 74

เฉลย.... 1.6

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี

1. 4, 8, 12, 16, 20, ...

วิธีทา พจิ ารณา a1  4  4(1)

a2  8  4(2)

a3  12  4(3)

a4  16  4(4)

a5  20  4(5)

ดงั นัน้ พจน์ทัว่ ไปของลาดับน้ี คือ an  4n

2. 3, 7, 11, 15, 19, ...

วิธที า พิจารณา a1  3  4(1) 1

a2  7  4(2) 1

a3  11  4(3) 1

a4  15  4(4) 1

a5  19  4(5) 1

ดงั น้นั พจน์ทว่ั ไปของลาดบั น้ี คอื an  4n 1

3. 7, 12, 17, 22, 27, ...

วิธีทา พจิ ารณา a1  7  5(1)  2

a2  12  5(2)  2

a3  17  5(3)  2

a4  22  5(4)  2

a5  27  5(5)  2

ดงั นั้น พจน์ทวั่ ไปของลาดับนี้ คือ an  5n  2

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรือ่ ง ลาดับ 75

4. 1, 1,  3,  5,  7, ...

วธิ ที า พิจารณา a1  1  3  2(1)

a2  1  3  2(2)

a3   3  3  2(3)

a4   5  3  2(4)

a5   7  3  2(5)

ดังน้นั พจนท์ ั่วไปของลาดบั น้ี คือ an  3 2n

5. 3, 0,  3,  6,  9, ...

วิธีทา พิจารณา a1  3  6  3(1)

a2  0  6  3(2)

a3   3  6  3(3)

a4   6  6  3(4)

a5   9  6  3(5)

ดังน้ัน พจนท์ ว่ั ไปของลาดับน้ี คอื an  6 3n

6. 5,  3, 1, 1, 3, ...

วิธที า พิจารณา a1  5  2(1)  7

a2   3  2(2)  7

a3  1  2(3)  7

a4  1  2(4)  7

a5  3 2(5)  7

ดงั นนั้ พจน์ทว่ั ไปของลาดบั น้ี คอื an  2n  7

7. 7, 11, 15, 19, 23, ...

วธิ ีทา พิจารณา a1  7  4(1)  3

a2 11  4(2)  3

a3  15  4(3)  3

a4 19  4(4)  3

a5  23 4(5)  3

ดังนั้น พจน์ทวั่ ไปของลาดบั นี้ คอื an  4n  3

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่อื ง ลาดบั 76

8. 1, 1 , 1 , 1 , 1 , ...

3 5 73

วธิ ที า พิจารณา a1 1  1 1
1 2(1) 1

a2  1 1 a4  1  1
3 2(2) 1 7 2(4) 1

a3  1 1 a5  1  1 1
5 2(3) 1 3 9 2(5) 1

ดังนนั้ พจน์ทั่วไปของลาดับน้ี คอื an  1
2n 1

9. 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ...

5 7 9 11 13

วิธีทา พจิ ารณา a1  2  21 3
5 2(1) 

a2  4  22 3
7 2(2) 

a3  8  23 3
9 2(3) 

a4  16  24
11 2(4)  3

a5  32  25 3
13 2(5) 

ดงั นน้ั พจนท์ ั่วไปของลาดับน้ี คือ an  2n
2n  3

10. 0, 1 , 2 , 3 , 4 , ...

2345

วธิ ีทา พิจารณา a1  0  1 1
1

a2  1  2 1
2 2

a3  2  31
3 3

a4  3  4 1
4 4

a5  4  5 1
5 5

ดังน้ัน พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั นี้ คือ an  n 1
n

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรื่อง ลาดบั 77

11. 3, 6, 13, 24, 39, ...
วธิ ีทา จากลาดับท่ีกาหนดให้ หาผลต่างระหว่างสองพจนท์ อี่ ย่ตู ิดกันได้ดงั นี้

3 6 13 24 39

ผลต่างครง้ั ท่ี 1 +3 +7 +11 +15

ผลต่างคร้ังที่ 2 +4 +4 +4

จะพบว่า ผลต่างครง้ั ท่ี 2 มีค่าคงตัวเท่ากบั 4

ให้พจน์ท่ัวไปของลาดับนอ้ี ยูใ่ นรปู an  an2  nb  c
แทน n ในพจน์ท่ัวไปดว้ ย 1, 2 และ 3

จะได้ a1  3  a  b  c …(1)

a2  6  4a  2b  c …(2)

a3  13  9a  3b  c …(3)

แกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ เพ่ือหาค่า a, b และ c ได้ดงั นี้

นาสมการ (2) – (1) จะได้ 3  3a  b …(4)

นาสมการ (3) – (2) จะได้ 7  5a  b …(5)

นาสมการ (5) – (4) จะได้ 4  2a

หรอื a  2

แทน a  2 ในสมการ (4) จะได้ b  3

แทน a  2 และ b  3 ในสมการ (1) จะได้ c  4

ดงั นัน้ an  2n2  3n  4
12. ชา่ งเชือ่ มโลหะคนหน่ึงต้องการหาจานวนจดุ ทต่ี ้องเช่ือมเหล็กแบบรปู ด้านลา่ งนี้

รูปท่ี 1 รปู ท่ี 2 รูปท่ี 3 รูปท่ี 4

กาหนดให้ แทนจุดที่ต้องเชื่อมเหล็กจานวน 1 จุด จงหาจานวนจดุ ที่ต้องเชอื่ มเหล็กตามรูปท่ี n

วิธีทา จานวนจดุ ท่ตี อ้ งเช่อื มเหล็กตามแต่ละรูปสามารถเขยี นเปน็ ลาดบั 3, 6, 10, 15, ...

หาผลต่างระหวา่ งสองพจนท์ ี่อยู่ติดกนั ไดด้ ังนี้

3 6 10 15

ผลตา่ งคร้ังที่ 1 +3 +4 +5

ผลตา่ งคร้งั ที่ 2 +1 +1

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรื่อง ลาดบั 78

จะพบวา่ ผลต่างครั้งที่ 2 มคี า่ คงตวั เทา่ กบั 1

ใหพ้ จน์ทวั่ ไปของลาดบั น้ีอยใู่ นรปู an  an2  nb  c
แทน n ในพจน์ท่วั ไปด้วย 1, 2 และ 3

จะได้ a1  3  a  b  c …(1)
…(2)
a2  6  4a  2b  c …(3)

a3  10  9a  3b  c

แกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ เพอื่ หาค่า a, b และ c ได้ดังน้ี

นาสมการ (2) – (1) จะได้ 3  3a  b …(4)

นาสมการ (3) – (2) จะได้ 4  5a  b …(5)

นาสมการ (5) – (4) จะได้ 1  2a

หรอื a  1

2

แทน a  1 ในสมการ (4) จะได้ b 3
2
2

แทน a  1 และ b  3 ในสมการ (1) จะได้ c 1

22

นนั่ คอื an  n2  3n 1
2 2

ดังน้นั จานวนจุดท่ีตอ้ งเชื่อมเหลก็ ตามรปู ท่ี n เท่ากับ an  n2  3n 1 จดุ
2 2

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดับ 79

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน

เรื่อง ลาดับ

1. ค
2. ค
3. ค
4. ค
5. ข
6. ก
7. ค
8. ก
9. ค
10. ง
11. ก
12. ง
13. ก
14. ข
15. ง

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา