The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

2.เอกสารประกอบการบรรยาย ตรรกศาสตร์และระเบียบวิธีพิสูจน์ ประจำปี พ.ศ. 2555

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by ครรชิต แซ่โฮ่, 2021-10-07 00:04:47

2.เอกสารประกอบการบรรยาย ตรรกศาสตร์และระเบียบวิธีพิสูจน์ ประจำปี พ.ศ. 2555

2.เอกสารประกอบการบรรยาย ตรรกศาสตร์และระเบียบวิธีพิสูจน์ ประจำปี พ.ศ. 2555

เอกสารประกอบการบรรยาย

โครงการสง่ เสรมิ โอลมิ ปิกวชิ าการฯ สอวน.

ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. สาขาคณติ ศาสตร์
โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

ระหว่างวนั ท่ี 1 – 19 ตุลาคม พ.ศ.2555

[ ค่าย 1 ]

ตรรกศาสตร์และระเบยี บวธิ พี ิสูจน์

ชื่อ-สกลุ ...........................................................โรงเรยี น........................................................

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ และ ครูฟาตเี มาะ อีซอ

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวิธีพิสจู น์

 ตรรกศาสตรส์ ญั ลกั ษณ์ (Symbolic Logic)

บทนิยาม 1.1 ประพจน์ (Proposition or Statement) คอื ประโยคบอกเล่าหรอื ปฏเิ สธทส่ี ามารถบอก
ไดว้ า่ เป็นจรงิ หรอื เป็นเทจ็ อย่างใดอยา่ งหน่งึ เทา่ นนั้

ตวั อยา่ ง 1.1 ประโยคต่อไปน้เี ป็นประพจน์
1. 2(3)  5  1 (เป็นจรงิ )
2. ทวปี อเมรกิ าเป็นทวปี ทม่ี พี น้ื ทม่ี ากทส่ี ดุ (เป็นเทจ็ )

ประโยคต่อไปน้ีไม่เป็นประพจน์ 
1. ทาไมเรามานงั่ เรยี นอยตู่ รงน้ี

2. x2  5x  6  0

ในหวั ขอ้ น้จี ะพจิ ารณาเฉพาะประโยคทเ่ี ป็นประพจน์เทา่ นนั้
ถา้ ประพจน์ p เป็นจรงิ จะกลา่ ววา่ p มคี า่ ความจริงเป็นจริง หรอื กลา่ วสนั้ ๆ วา่ p เป็นจรงิ

ใชส้ ญั ลกั ษณ์ T แทนคาว่า “เป็นจรงิ ”
ถา้ ประพจน์ p เป็นเทจ็ เรากล่าววา่ p มคี ่าความจริงเป็นเทจ็ หรอื กล่าวสนั้ ๆ ว่า p เป็นเทจ็

ใชส้ ญั ลกั ษณ์ F แทนคาว่า “เป็นเทจ็ ”

บทนิยาม 1.2 ประพจน์เชิงเดี่ยว (Simple proposition) เป็นประพจน์ทเ่ี ราไม่สามารถแยกเป็นประพจน์
ยอ่ ยมากกว่าหน่งึ ประพจนไ์ ด้

ตวั อยา่ ง 1.2 ประพจน์ต่อไปน้เี ป็นประพจน์เชงิ เดย่ี ว 
1. ดวงอาทติ ยข์ น้ึ ทางทศิ ตะวนั ออก
2. 31 เป็นจานวนเฉพาะ

บทนิยาม 1.3 ประพจน์เชิงประกอบ (Complex proposition) เป็นประพจน์ทเ่ี กดิ จากการนเิ สธ
ประพจน์ หรอื รวมประพจนต์ งั้ แต่สองประพจนข์ น้ึ ไปโดยใชต้ วั เชอ่ื มในเชงิ ตรรกศาสตร์ ซง่ึ คอื

“นิเสธ” เขยี นแทนดว้ ย “~”
“และ” เขยี นแทนดว้ ย “  ”
“หรอื ” เขยี นแทนดว้ ย “  ”
“ถา้ … แลว้ …” เขยี นแทนดว้ ย “ ” หรอื “”
“กต็ ่อเมอ่ื ” เขยี นแทนดว้ ย “ ” หรอื “”

ต่อไปจะกล่าวถงึ ตวั เชอ่ื มในเชงิ ตรรกศาสตรแ์ ละค่าความจรงิ ของประพจน์เชงิ ประกอบ ซง่ึ แสดงใน
รปู ตารางทเ่ี รยี กว่า ตารางคา่ ความจริง (Truth table) ดงั น้ี

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวธิ พี สิ จู น์ 2

บทนิยาม 1.4 ให้ p เป็นประพจน์ใด ๆ ประพจน์นิเสธ (Negation proposition) ของ p ใชส้ ญั ลกั ษณ์
~p (อา่ นวา่ ไมใ่ ช่ p (not p)) คอื ประพจน์ทม่ี คี า่ ความจรงิ ตรงขา้ มกบั p ดงั ตารางคา่ ความจรงิ ขา้ งลา่ งน้ี

p ~p
TF
FT

ตวั อยา่ ง 1.3 ต่อไปน้เี ป็นตวั อยา่ งของขอ้ ความนเิ สธ 
ให้ p แทน วนั น้วี นั จนั ทร์ จะไดว้ ่า ~p แทน วนั น้ไี มใ่ ชว่ นั จนั ทร์

บทนิยาม 1.5 ประพจน์รวม (conjunction proposition) ของประพจน์ p กบั q คอื ประพจน์ซง่ึ เกดิ
จากการเช่อื มประพจน์ทงั้ สองดว้ ยตวั เช่อื ม “และ” เขยี นแทน“p และ q” ดว้ ย “ p  q ” มคี า่ ความจรงิ
เป็นจรงิ กรณีเดยี วเทา่ นนั้ คอื กรณที ่ี p เป็นจรงิ q เป็นจรงิ ในกรณีอ่นื ๆ เป็นเทจ็ ดงั ตารางคา่ ความจรงิ

p Q pq

TT T

TF F

FT F

FF F

บทนิยาม 1.6 ประพจน์เลอื ก (disjunction proposition) ของประพจน์ p กบั q คอื ประพจน์ซง่ึ เกดิ
จากการเช่อื มประพจน์ทงั้ สองดว้ ยตวั เชอ่ื ม “หรอื ” เขยี นแทน“p หรอื q” ดว้ ย “ p  q ” มคี ่าความจรงิ
เป็นเทจ็ กรณีเดยี วเท่านนั้ คอื กรณที ่ี p เป็นเทจ็ q เป็นเทจ็ ในกรณีอน่ื ๆ เป็นจรงิ ดงั ตารางค่าความจรงิ

p Q pq
TTT
TFT
FTT
FFF

ตวั อยา่ ง 1.4 ต่อไปน้เี ป็นตวั อย่างของประพจน์รวม และประพจน์เลอื ก
ให้ p แทน จานวนตรรกยะทกุ จานวนเป็นจานวนเตม็
q แทน  เป็นจานวนอตรรกยะ
ดงั นนั้ p  q แทน จานวนตรรกยะทกุ จานวนเป็นจานวนเตม็ และ  เป็นจานวนอตรรกยะ
p  q แทน จานวนตรรกยะทกุ จานวนเป็นจานวนเตม็ หรอื  เป็นจานวนอตรรกยะ
ประพจน์ p  q เป็นเทจ็ แต่ p  q เป็นจรงิ เพราะประพจน์ p เป็นเทจ็ แต่ q เป็นจรงิ 

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 3

บทนิยาม 1.7 ประพจน์แจงเหตสุ ่ผู ลหรอื ประพจน์เงอื่ นไข (Implication or conditional
proposition) ของ p กบั q คอื ประพจน์ทเ่ี กดิ จากตวั เชอ่ื ม “ถา้ ... แลว้ ...” เขยี นแทน “ถา้ p แลว้
q” ดว้ ย "p  q" หรอื " p  q "

กล่าววา่ p เป็นเง่อื นไขเพียงพอ (sufficient condition) สาหรบั q หรอื q เป็นเง่ือนไขจาเป็น
(necessary condition) สาหรบั p เรยี กประพจน์ p วา่ ขอ้ กาหนด หรอื สมมติฐาน หรอื เหตุ
(premise or hypothesis) และเรยี กประพจน์ q วา่ ขอ้ ยุติ หรอื ข้อสรปุ (conclusion) ค่าความจรงิ ของ
p  q เป็นเทจ็ กรณเี ดยี วเท่านนั้ คอื กรณที ่ี p เป็นจรงิ q เป็นเทจ็ ในกรณอี น่ื ๆ เป็นจรงิ ดงั ตาราง

p q pq

TT T

TF F

FT T

FF T

ตวั อยา่ ง 1.5 ต่อไปน้เี ป็นตวั อยา่ งของประพจน์แจงเหตุสผู่ ล 

ให้ p แทน ควิ ขยนั เรยี นหนงั สอื

q แทน ควิ ตอ้ งสอบได้
ดงั นนั้ p  q แทน ถา้ ควิ ขยนั เรยี นหนงั สอื แลว้ ควิ ตอ้ งสอบได้
อาจเขยี นไดห้ ลายแบบดงั น้ี

ควิ ขยนั จงึ สอบได้
ควิ ขยนั ยอ่ มสอบได้
ควิ สอบไดเ้ มอ่ื ควิ ขยนั
ควิ ตอ้ งสอบไดเ้ พราะควิ ขยนั

ข้อสงั เกต เรามกั สบั สนวา่ ประพจน์ “ p  q ” มคี า่ ความจรงิ เหมอื นกนั กบั ประพจน์ “~ p ~ q ”
และ “ q  p ” ทุกกรณี และมกั ใชแ้ ทนกนั ซง่ึ เป็นความเขา้ ใจที่ไมถ่ กู ต้อง สามารถตรวจสอบไดด้ งั
ตารางคา่ ความจรงิ ต่อไปน้ี

p q p  q q  p ~ p ~ q ~ q ~ p

TT T T T T

TF F T T F

FT T F F T

FF T T T T

จากตารางจะพบวา่
1. p  q กบั ~ q ~ p มคี า่ ความจรงิ เหมอื นกนั ทกุ กรณี กรณีต่อกรณี

2. q  p กบั ~ p ~ q มคี ่าความจรงิ เหมอื นกนั ทุกกรณี กรณีต่อกรณี
ดงั นนั้ จงึ สามารถใชป้ ระพจนท์ งั้ สองน้แี ทนกนั ได้ เพราะถา้ ประพจน์ p  q เป็นจรงิ แลว้ จะไดว้ ่า
~ q ~ p เป็นจรงิ ดว้ ย และ ถา้ ประพจน์ q  p เป็นจรงิ แลว้ จะไดว้ ่า ~ p ~ q เป็นจรงิ ดว้ ย

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวธิ พี สิ จู น์ 4

เรยี กประพจน์ q  p ว่า บทกลบั (Converse) ของ p  q
เรยี ก ~ q  ~ p ว่า ประพจน์แย้งสลบั ท่ี (Contrapositive) ของ p  q

และเรยี ก ~ p ~ q วา่ ประพจน์ผกผนั (Inverse) ของ p  q

ใหส้ งั เกตว่า คา่ ความจรงิ ของ p  q และ q  p ไม่เหมอื นกนั ทุกกรณี จงึ ใชแ้ ทนกนั ไม่ได้ ใน
ทานองเดยี วกนั เราไมส่ ามารถใช้ p  q แทนดว้ ย ~ p ~ q ไดเ้ ช่นกนั

บทนิยาม 1.8 ประพจน์ผนั กลบั ได้ (Bicondition or Equivalence proposition) ของ p กบั q คอื
ประพจน์ทใ่ี ชต้ วั เช่อื ม “… กต็ อ่ เม่อื ...” เขยี นแทน “p กต็ ่อเมอ่ื q” ดว้ ย “ p  q ” หรอื “ p  q ”
อา่ นว่า “ p กต็ ่อเม่อื q” (p if and only if q or p iff q) จะกล่าววา่ q เป็ นเง่อื นไขที่จาเป็ นและ
เพียงพอสาหรบั p (a necessary and sufficient condition for p is q) คา่ ความจรงิ ของ
p  q เป็นจรงิ กรณีท่ี p เป็นจรงิ q เป็นจรงิ และ p เป็นเทจ็ q เป็นเทจ็ ในกรณีอ่นื ๆ เป็นเทจ็ ดงั ตาราง

p q pq

TT T

TF F

FT F

FF T

ตวั อยา่ ง 1.6 ต่อไปน้เี ป็นตวั อย่างของประพจน์ผนั กลบั ได้ 
ให้ p แทน 4 = 3
q แทน 4 + 5 = 8
ดงั นนั้ p  q แทน 4 = 3 กต็ ่อเม่ือ 4 + 5 = 8
ประพจน์ p  q เป็นจรงิ เพราะประพจน์ p เป็นเทจ็ q เป็นเทจ็

ข้อสงั เกต พจิ ารณาตารางคา่ ความจรงิ ของ p  q กบั p  q  q  p ดงั น้ี

p q p  q p  q q  p (p  q)  (q  p)

TT T T T T

TF F F T F

FT F T F F

FF T T T T

จากตารางจะพบวา่ p  q กบั (p  q)  (q  p) มคี า่ ความจรงิ เหมอื นกนั ทุกกรณี กรณี
ต่อกรณี ดงั นนั้ จงึ สามารถใชป้ ระพจน์ทงั้ สองนแ้ี ทนกนั ได้

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 5

 สจั นิรนั ดร์

เราสามารถสรา้ งประพจน์ทม่ี คี วามสลบั ซบั ซอ้ นโดยใชต้ วั เช่อื มในเชงิ ตรรกศาสตรไ์ ดม้ ากมาย
โดยทวั่ ไปเมอ่ื ประพจน์เชงิ ประกอบ P มปี ระพจน์ยอ่ ยเชงิ เดย่ี ว n ประพจน์ เราจะแจงกรณไี ดท้ งั้ หมด
2n กรณี ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

ตวั อยา่ ง 1.7 จงสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ ของประพจน์ต่อไปน้ี
1. ~ p  q  [~ p ~ q]

2. p  q  (~ p  q)

3. p  q  p  r  p  q  r

วิธีทา ขอ้ 1. – 2. มปี ระพจน์ยอ่ ยเชงิ เดย่ี ว 2 ประพจน์คอื p กบั q เราสามารถสรา้ งตารางค่าความจรงิ

ของประพจน์โดยแจกแจงกรณีไดท้ งั้ หมด 22  4 กรณี ไดด้ งั น้ี

1.

p q p  q ~ (p  q) ~p ~q ~ p ~ q ~ (p  q)  (~ p ~ q)

TT T F FF F T

TF F T FT T T

FT F T TF T T

FF F T TT T T

2.

p q p  q ~p ~ p  q p  q  (~ p  q)

TT T F T T

TF F F F T

FT T T T T
FF T T T T

3. ในขอ้ น้มี ปี ระพจน์ย่อยเชงิ เดย่ี ว 3 ประพจน์คอื p, q และ r เราสามารถสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ ของ
ประพจน์โดยแจกแจงกรณีไดท้ งั้ หมด 23  8 กรณี ไดด้ งั น้ี

p q r q  r p  (q  r) p  qp  r p  q  p  r  p  (q  r)

TT T T T T T
TT F F T T T
TFT F T T T
TF F F T T T
FTT T T T T
FT F F F F T
FFT F F F T
FF F F F F T



ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวธิ พี สิ จู น์ 6

บทนิยาม 1.9 สจั นิรนั ดร์ (Tautologies) คอื ประพจนท์ ม่ี คี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ เสมอ
ประพจน์ทม่ี คี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ เสมอ เรยี กวา่ เป็นเทจ็ โดยรปู แบบ (Contradiction)

หมายเหตุ เพ่อื ความสะดวกในบางครงั้ อาจไมใ่ สว่ งเลบ็ บางคู่ โดยมขี อ้ ตกลงสาหรบั การเรยี งลาดบั ก่อนหลงั
ของตวั เชอ่ื มดงั น้ี

1. ~

2. ,  กรณีทม่ี ที งั้ สองตวั เช่อื มตอ้ งใสว่ งเลบ็ คนั่

3. 
4. 

ต่อไปน้เี ป็นการรวบรวมประพจน์ทเ่ี ป็นสจั นิรนั ดร์ เพ่อื จะไดอ้ า้ งใชไ้ ดใ้ นภายหลงั ผอู้ า่ นสามารถ
ตรวจสอบโดยการสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ

ประพจน์ท่ีเป็นสจั นิรนั ดร์

ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ใด ๆ T เป็นประพจน์ทเ่ี ป็นสจั นริ นั ดร์ และ F เป็นประพจน์ทเ่ี ป็น
เทจ็ โดยรปู แบบ
T1. กฎการผกผนั (Inverse law) : p  ~ p

T2. ~ (p ~ p)
T3. p  p

T4. กฎไอเดมโพเทนต์ (Idempotent laws) ข) p  p  p
ก) p  p  p

T5. กฎการนิเสธสองชนั้ (Double negation) : ~(~ p)  p

T6. กฎการสลบั ท่ี (Commutative laws) ข) p  q  q  p
ก) p  q  q  p

ค) p  q  q  p

T7. กฎการเปลย่ี นกลมุ่ (Associative laws)
ก) p  q  r ((p  q)  r) ข) p  q  r  ((p  q)  r)

T8. กฎการแจกแจง (Distributive laws)
ก) p  q  r ((p  q)  (p  r))

ข) p  q  r  ((p  q)  (p  r))

T9. กฎเอกลกั ษณ์ (Identity laws) ข) p  T  p
ก) p  F  p

กฎการครอบงา(Domination laws) ง) p  F  F
ค) p  T  T

T10. กฎของเดอมอรแ์ กน (DeMorgan’s laws)

ก) ~ p  q  ~ p ~ q ข) ~ p  q  ~ p ~ q

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 7

T11. กฎการสมมลู (Equivalence)
ก) p  q  ((p  q)  (q  p))

ข) p  q  ((p  q)  (~ p ~ q))

ค) p  q  ~ p ~ q

ง) ~ (p  q)  p  ~ q

T12. กฎการแจงเหตุสผู่ ล (Implication) ข) ~ p  q  p ~ q
ก) p  q  ~ p  q

T13. กฎการแยง้ สลบั ท่ี (Contrapositive) : p  q  ~ q ~ p

T14. กฎการพสิ จู น์โดยความขดั แยง้ กนั (Proof by Contradiction)
p  q  p ~ q  F

T15. กฎการพสิ จู น์โดยการแจงกรณี (Proof by cases)
ก) ((p  r)  (q  r))  p  q  r

ข) ((p  q)  (p  r))  p  q  r

T16. กฎการพสิ จู น์แบบเงอ่ื นไข (Exportation law) : p  q  r  p  q  r

T17. กฎการเพม่ิ (Addition) : p  p  q
T18. กฎการทาผลรวมเป็นรปู อย่างง่าย (Simplification) : p  q  p
T19. โมดสั โพเนนส์ (Modus ponens) : p  p  q  q

T20. โมดสั โทเลนส์ (Modus tollens) : ((p  q) ~ q)  ~ p

T21. กฎการถ่ายทอด (Transitive law) : ((p  q)  (q  r)) p  r

T22. กฎการเลอื ก (Disjunctive syllogism) : ((p  q) ~ p)  q

T23. Absurdity : p  F  ~ p

T24. กฎทวบิ ทเสรมิ สรา้ ง (Constructive dilemma)

((p  q)  (r  s))  ((p  r)  (q  s))
T25. (p  q)  ((p  r)  (q  r))

ขอ้ สงั เกต จากตารางสจั นริ นั ดร์ ขอ้ 4. – 16. ใชต้ วั เช่อื ม 

 การสมมลู เชิงตรรกศาสตร์

บทนิยาม 1.10 ให้ p และ q เป็นประพจน์ จะกลา่ ววา่ p และ q สมมูลกนั ในเชิงตรรกศาสตร์
(logically equivalent) เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ p  q กต็ ่อเมอ่ื p  q เป็นสจั นิรนั ดร์

ขอ้ สงั เกต นนั่ คอื p และ q สมมลู กนั ในเชงิ ตรรกศาสตร์ กต็ ่อเมอ่ื ค่าความจรงิ ของ p และ q ตรงกนั ทุกกรณี
จากตารางสจั นริ นั ดร์ ขอ้ 4. – 16. ใชต้ วั เช่อื ม  จงึ ไดต้ ารางสมมลู ดงั น้ี

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวธิ พี สิ จู น์ 8

ประพจน์ที่สมมลู กนั ในเชิงตรรกศาสตร์

ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ใด ๆ T เป็นประพจน์ทเ่ี ป็นสจั นริ นั ดร์ และ F เป็นประพจน์ทเ่ี ป็น
เทจ็ โดยรปู แบบ

1. ก) p  p  p กฎไอเดม็ โพเทนต์

ข) p  p  p

2. ~(~ p)  p กฎการนเิ สธสองชนั้

3. ก) p  q  q  p กฎการสลบั ท่ี

ข) p  q  q  p

ค) p  q  q  p

4. ก) p  q  r  ((p  q)  r) กฎการเปลย่ี นกลุ่ม

ข) p  q  r  ((p  q)  r)

5. ก) p  q  r  ((p  q)  (p  r)) กฎการแจกแจง

ข) p  q  r  ((p  q)  (p  r))

6. ก) p  F  p กฎเอกลกั ษณ์

ข) p  T  p

ค) p  T  T กฎการครอบงา

ง) p  F  F

7. ก) ~ p  q  ~ p ~ q กฎของเดอมอรแ์ กน

ข) ~ p  q  ~ p ~ q

8. ก) p  q  ((p  q)  (q  p)) กฎการสมมลู

ข) p  q  ((p  q)  (~ p ~ q))

ค) p  q  ~ p ~ q

ง) ~ (p  q)  p  ~ q

9. ก) p  q  ~ p  q กฎการแจงเหตุสผู่ ล

ข) ~ p  q  p ~ q

10. p  q  ~ q ~ p กฎการแยง้ สลบั ท่ี

11. p  q  p ~ q  F กฎการพสิ จู น์โดยความ

12. ก) ((p  r)  (q  r))  p  q  r ขดั แยง้ กนั
กฎการพสิ จู น์โดยการแจงกรณี

ข) ((p  q)  (p  r))  p  q  r

13. p  q  r  p  q  r กฎการพสิ จู น์แบบเง่อื นไข

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 9

ตวั อยา่ ง 1.8 จงแสดงว่าประพจน์ ~ p  ~ p  q กบั ~ p  ~ q สมมลู กนั ในเชงิ ตรรกศาสตร์

วิธีทา ประพจน์ท่ีสมมลู กนั เหตผุ ล

~ p  ~ p  q ขอ้ กาหนด
 ~ p  ~ ~ p  q กฎของเดอมอรแ์ กน ขอ้ ข)
กฎของเดอมอรแ์ กน ขอ้ ก)
 ~ p  [~ (~ p) ~ q] กฎการนิเสธสองชนั้
 ~ p  (p  ~ q) กฎการแจกแจง ขอ้ ก)
 (~ p  p)  (~ p  ~ q)
 F  (~ p  ~ q) ~ppF
 (~ p  ~ q) F
 ~ p ~ q กฎการสลบั ท่ี ขอ้ ก)
กฎเอกลกั ษณ์ ขอ้ ก)
นนั่ คอื ~ p  ~ p  q กบั ~ p  ~ q สมมลู กนั ในเชงิ ตรรกศาสตร์ 

 ตวั บ่งปริมาณ

ในหวั ขอ้ น้จี ะให้ + แทนเซตของจานวนเตม็ บวก
 แทนเซตของจานวนเตม็

 แทนเซตของจานวนนบั  แทนเซตของจานวนตรรกยะ

+ แทนเซตของจานวนตรรกยะบวก c แทนเซตของจานวนอตรรกยะ

 แทนเซตของจานวนจรงิ + แทนเซตของจานวนจรงิ บวก

ขอ้ ความต่อไปน้เี รามกั ใชก้ นั อย่เู สมอ
“สามเหลย่ี มดา้ นเท่าทกุ รปู เป็นสามเหลย่ี มหน้าจวั่ ”
“สามเหลย่ี มหน้าจวั่ บางรปู เป็นสามเหลย่ี มดา้ นเท่า”

“แต่ละจานวนเตม็ x จะไดว้ ่า x2  0 ”
คาวา่ “ทกุ ๆ” “ทงั้ หมด” “แต่ละ” และ คาว่า “บาง” เรยี กวา่ ตวั บ่งปริมาณ (Quantifier)
พบวา่ ประโยคบางประโยคไม่เป็นประพจน์ เชน่ x2  5x  6  0

จะเหน็ ว่าประโยคขา้ งบนเกย่ี วขอ้ งกบั ตวั แปร x เราจงึ เรยี กประโยคขา้ งบนวา่ ประโยคเปิดหรอื
ขอ้ ความฟงั กช์ นั

บทนิยาม 1.11 ประโยคเปิ ดหรอื ข้อความฟังกช์ นั (Open statement or Predicate) คอื ประโยค
ซง่ึ มสี มบตั ติ ่อไปน้ี

1. ประกอบดว้ ยตวั แปรตงั้ แต่หน่งึ ตวั ขน้ึ ไป
2. ไมใ่ ช่ประพจน์
3. จะเป็นประพจน์เม่อื แทนค่าตวั แปรทป่ี รากฏอยทู่ งั้ หมดดว้ ยค่าบางค่าในเอกภพสมั พทั ธ์

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวธิ พี สิ จู น์ 10

ตวั อยา่ ง 1.9 x2  5x  6  0 เป็นประโยคเปิดทม่ี ี x เป็นตวั แปรอสิ ระ
และใชส้ ญั ลกั ษณ์เหมอื นเป็นฟงั กช์ นั เขยี นแทนดว้ ย p(x) : x2  5x  6  0
หมายถงึ “p(x) แทนขอ้ ความ x2  5x  6  0 ” และเมอ่ื แทนค่า x ดว้ ยจานวนใดจานวนหน่งึ
แลว้ จะทาใหป้ ระโยคเปิดน้เี ป็นประพจน์ เชน่

p(1) : (1)2  5(1)  6  0 เป็นประพจน์ทม่ี คี ่าความจรงิ เป็นเทจ็
p(2) : 22  5(2)  6  0 เป็นประพจน์ทม่ี คี ่าความจรงิ เป็นจรงิ
2. x2  5xy  6  y2 เป็นประโยคเปิดทม่ี ี x และ y เป็นตวั แปรอสิ ระและเขยี นแทนดว้ ย

p(x, y) : x2  5xy  6  y2

ถา้ แทน y ดว้ ย 2 ได้ p(x,2) : x2  10x  6  22 เป็นประโยคเปิดทม่ี ี x เป็นตวั แปรอสิ ระ
ถา้ แทน x ดว้ ย 1 ได้ p(1, y) : 12  5y  6  y2 เป็นประโยคเปิดทม่ี ี y เป็นตวั แปรอสิ ระ
แต่ถา้ แทนค่าทงั้ x และ y ในประโยคเปิด p(x, y) กจ็ ะไดป้ ระพจน์ เชน่

p(1,2) : 12  5(1)(2)  6  22 เป็นประพจน์ทม่ี คี ่าความจรงิ เป็นเทจ็
p(10,1) : 102  5(10)(1)  6  12 เป็นประพจน์ทม่ี คี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ 

ประพจน์บ่งปริมาณท่ีมีตวั แปรเพียงตวั เดียว

ตวั บ่งปรมิ าณมี 2 แบบ คอื
แบบที่ 1 ตวั บ่งปริมาณทงั้ หมด (Universal quantifier)

ในประโยคจะมคี าว่า “สาหรบั ทกุ ” หรอื “สาหรบั ทงั้ หมด” หรอื “สาหรบั แต่ละ” (for every
or for all or for each) หรอื วลใี นทานองเดยี วกนั น้ี เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ “  ”

ถา้ p(x) เป็นประโยคเปิด และ D เป็นเอกภพสมั พทั ธข์ อง x เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์
x  D, p(x) หรอื x  D [p(x)]

หรอื อาจละเอกภพสมั พทั ธไ์ วใ้ นกรณที ไ่ี ม่สบั สนเกย่ี วกบั เอกภพสมั พทั ธโ์ ดยเขยี นอยใู่ นรปู
x, p(x) หรอื x [p(x)]

ตวั อยา่ ง 1.10 ประพจน์บ่งปรมิ าณต่อไปนม้ี คี วามหมายเหมอื นกนั 
จานวนเตม็ ทุกจานวนเป็นจานวนตรรกยะ
สาหรบั ทุก x, ถา้ x เป็นจานวนเตม็ แลว้ x เป็นจานวนตรรกยะ
สาหรบั แต่ละ x, ถา้ x เป็นจานวนเตม็ แลว้ x เป็นจานวนตรรกยะ
จานวนเตม็ แต่ละจานวนเป็นจานวนตรรกยะ

เขยี นอย่ใู นรปู สญั ลกั ษณ์ไดเ้ ป็น
x, x   x  หรอื x, [ x   x ]

หรอื x   x 

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 11

ข้อสงั เกต ขอ้ ความในตาราคณิตศาสตรท์ งั้ ทเ่ี ป็นทฤษฎบี ทและบทนิยามสว่ นมากจะละตวั บง่ ปรมิ าณ
“  ” ไวใ้ หผ้ อู้ ่านเขา้ ใจเอง เช่น “ sin2 x  cos2 x  1”

และละเอกภพสมั พทั ธข์ อง x ซง่ึ คอื เซตของจานวนจรงิ

แบบที่ 2 ตวั บง่ ปริมาณมีอยา่ งน้อยหนึ่ง (Existential quantifier)

ในประโยคจะมคี าว่า “สาหรบั บาง” หรอื “สาหรบั อยา่ งน้อยหน่งึ ” หรอื “มอี ยา่ งน้อยหน่งึ ”
(for some or there exist) เขยี นแทนดว้ ย “  ”
ถา้ p(x) เป็นประโยคเปิด และ D เป็นเอกภพสมั พทั ธข์ อง x เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์

x  D, p(x) หรอื x  D [p(x)]

หรอื อาจละเอกภพสมั พทั ธไ์ วโ้ ดยเขยี นอยใู่ นรปู
x, p(x) หรอื x [p(x)]

ตวั อยา่ ง 1.11 ประพจน์บง่ ปรมิ าณต่อไปน้มี คี วามหมายเหมอื นกนั 
มจี านวนตรรกยะอย่างน้อยหน่งึ จานวนทเ่ี ป็นจานวนเตม็
มจี านวนบางจานวนเป็นจานวนตรรกยะและเป็นจานวนเตม็
สาหรบั บาง x, x เป็นจานวนตรรกยะและเป็นจานวนเตม็

เขยี นอย่ใู นรปู สญั ลกั ษณ์ไดเ้ ป็น
x, x   x  หรอื x [ x   x ]

ขอ้ สงั เกต มกั ใชต้ วั เช่อื ม “และ” ในประโยคทม่ี ตี วั บ่งปรมิ าณ 
นอกจากน้ยี งั มตี วั บง่ ปรมิ าณทเ่ี ฉพาะเจาะจงลงไปอกี คอื “ มเี พยี งหน่งึ เดยี วเทา่ นนั้ ”

หรอื “ มเี พยี งหน่งึ ” (there exists a unique) เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ “  ! ”

เชน่ “มจี านวนเตม็ x เพยี งจานวนเดยี วเทา่ นนั้ ซง่ึ x  2  7 ” เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ได้

 ! x , x  2  7

ค่าความจริงของประพจน์บ่งปริมาณที่มีตวั แปรเดียว

บทนิยาม 1.12 ประพจน์ x  D, p(x) มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ กต็ ่อเมอ่ื ในการแทนท่ี x ดว้ ย

สมาชกิ a ทกุ ตวั ใน D แลว้ ทาให้ p(a) มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ
ประพจน์ x  D, p(x) มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ กต็ ่อเม่อื มสี มาชกิ a อย่างน้อยหน่งึ ตวั ใน

เซต D ซง่ึ ทาให้ p(a) มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ
ประพจน์ x  D, p(x) มคี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ กต็ ่อเมอ่ื มสี มาชกิ b บางตวั ใน D ทท่ี า

ให้ p(b) เป็นเทจ็
ประพจน์ x  D, p(x) มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็ กต็ ่อเม่อื แทน x ดว้ ยสมาชกิ b ทุกตวั ใน

D แลว้ ทาให้ p(b) เป็นเทจ็

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวิธพี สิ จู น์ 12

ตวั อยา่ ง 1.12 ให้ D = {1, 2, 3, 4}, S = {-1, 0, 1, 2} และ T = {3, 4, 5}

p(x) : x < 3

จงพจิ ารณาค่าความจรงิ ของประพจน์บ่งปรมิ าณต่อไปน้ี

1. x  D, p(x) 2. x  S, p(x) 3. x  D, p(x)

4. x  S, p(x) 5. x  T , p(x)

วิธีทา 1. เน่อื งจาก p(3) เป็นเทจ็ โดยบทนยิ าม 1.12 ไดว้ า่ x  D, p(x) เป็นเทจ็ 

2. เน่อื งจาก p(-1), p(0), p(1) และ p(2) เป็นจรงิ
นนั ่ คอื p(1)  p(0)  p(1)  p(2) เป็นจรงิ

โดยบทนยิ าม 1.12 ไดว้ ่า x  S, p(x) เป็นจรงิ

3. เน่อื งจาก p(1) เป็นจรงิ นนั ่ คอื p(1)  p(2)  p(3)  p(4) เป็นจรงิ
โดยบทนยิ าม 1.12 ไดว้ ่า x  D, p(x) เป็นจรงิ

4. เน่อื งจาก p(-1) เป็นจรงิ โดยบทนยิ าม 1.12 ไดว้ า่ x  S, p(x) เป็นจรงิ

5. เน่อื งจาก p(3), p(4) หรอื p(5) เป็นเทจ็ นนั ่ คอื p(3)  p(4)  p(5) เป็นเทจ็
โดยบทนยิ าม 1.12 ไดว้ ่า x  T , p(x) เป็นเทจ็

ขอ้ สงั เกต 1. ถา้ ให้ D  {x1, x2,..., xn} แลว้ จะไดว้ ่า
x  D, p(x) เป็นจรงิ  p(x1)  p(x2) 
 p(xn) เป็นจรงิ
x  D, p(x) เป็นจรงิ  p(x1)  p(x2)   p(xn) เป็นจรงิ

2. ถา้ เอกภพสมั พทั ธ์ D   แลว้ จะไดว้ า่
x  D, p(x) เป็นจรงิ แต่ x D, p(x) เป็นเทจ็ เสมอ

นิเสธของประพจน์บ่งปริมาณที่มตี วั แปรเพียงตวั เดียว

บทนิยาม 1.13 ~ [x  D, p(x)]  x  D, ~ p(x)
~ [x  D, p(x)]  x  D, ~ p(x)

ตวั อยา่ ง 1.13 จงหานเิ สธของขอ้ ความต่อไปน้ี (T12 ขอ้ ข.)
1. ขอ้ ความ : [x, ~ q(x)]  [x, p(x)] (บทนยิ าม 1.13)
นเิ สธ : ~ [[x, ~ q(x)]  [x, p(x)]]

 [x, ~ q(x)] ~ [x, p(x)]]

 [x, ~ q(x)]  [~ x, ~ p(x)]

2. ขอ้ ความ : มจี านวนบวก y ซง่ึ ทาให้ 0  gy  1
สญั ลกั ษณ์ : y  0, 0  g(y)  1

นิเสธ : y  0, gy  0  gy  1

ขอ้ ความ : สาหรบั ทกุ จานวนบวก y จะทาให้ gy  0 หรอื gy  1 

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 13

การพิสจู น์ประพจน์บ่งปริมาณท่ีมีตวั แปรตวั เดียว

การพสิ จู น์วา่ ประพจน์ x  D, p(x) เป็นจรงิ มโี ครงร่างการพสิ จู น์ ดงั น้ี

การพิสจู น์ x  D, p(x) เป็นจริง 
พิสจู น์ สมมตวิ ่า x เป็นสมาชกิ ใด ๆ ในเซต D 

  เน้อื หาการพสิ จู น์

เพราะฉะนนั้ p(x) 
นนั ่ คอื x  D, p(x) 

ตวั อยา่ ง 1.14 จงพสิ จู น์ว่า

1. ทกุ จานวนจรงิ บวก x จะทาให้ x  1  2
x

2. ทกุ จานวนจรงิ ลบ x จะทาให้ x  1  2
x

พิสูจน์ 1. ให้ x  

เน่อื งจาก x  1  2  x2  2x  1  (x  1)2 0
x x x

ดงั นนั้ ได้ x  1  2
x

2. พสิ จู น์ไดใ้ นทานองเดยี วกนั 

ฝึ กหดั ทา จงพสิ จู น์ว่า x, y   [ (x  y)  (3x2  10xy  3y2  0)  (y  x  2)]
y  x

พิสจู น์ …………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวธิ พี สิ จู น์ 14

การพิสจู น์ x  D, p(x) เป็นจริง

พิสูจน์ เลอื ก x = a ซง่ึ เป็นสมาชกิ ในเซต D 

 

 เน้อื หาการพสิ จู น์

เพราะฉะนนั้ p(a) 


นนั ่ คอื x  D, p(x)

ตวั อยา่ ง 1.15 จงพสิ จู น์ว่า  x  , x4 10x3  26x2 10x  1  0
พรอ้ มหาค่า x ทงั้ หมด

พิสูจน์ …………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….

การพิสจู น์ประพจน์ว่าไม่จริง หรอื เป็ นเทจ็ (Disproof)

เราจะแสดงว่าประพจน์ p เป็นเทจ็ ไดโ้ ดยพสิ จู นว์ า่ ~p เป็นจรงิ

ตวั อยา่ ง 1.16 จงพจิ ารณาวา่ มบี างจานวนจรงิ x ทท่ี าให้ x2  x  1  0 เป็นจรงิ หรอื ไม่
พรอ้ มพสิ จู น์คาตอบ

พิสูจน์ เขยี นอยใู่ นรปู สญั ลกั ษณ์ไดเ้ ป็น x , x2  x  1  0

ซง่ึ จะแสดงว่าประพจน์บง่ ปรมิ าณน้ีเป็นเทจ็ โดยการแสดงวา่ นเิ สธของขอ้ ความน้เี ป็นจรงิ

นนั่ คอื จะแสดงว่า x , x2  x  1  0

ให้ x เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ จะไดว้ ่าคาตอบของสมการ x2  x  1  0

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 15

คอื x  1 12  4(1)(1)  1 3
2(1) 2

ดงั นนั้ เซตคาตอบของสมการ x2  x  1  0 คอื { 1  3 i,  1  3 i }
2 2 2 2

ซง่ึ ไม่เป็นจานวนจรงิ

จะไดว้ า่ ทกุ จานวนจรงิ x จะไมเ่ ป็นผลเฉลยของสมการ x2  x  1  0

ดงั นนั้ x , x2  x  1  0 เป็นจรงิ

นนั ่ คอื x , x2  x  1  0 เป็นเทจ็ 

ตวั อยา่ ง 1.17 จงพจิ ารณาว่า ทกุ จานวนจรงิ บวก x จะทาให้ x  x  1  1  1
x x

เป็นจรงิ หรอื ไม่พรอ้ มพสิ จู น์คาตอบ

พิสูจน์ …………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวธิ พี สิ จู น์ 16

หมายเหตุ ในการทจ่ี ะพสิ จู น์วา่ ขอ้ ความ x , p x เป็นเทจ็ นนั่ คอื จะตอ้ งแสดงวา่ x , ~ p x

เป็นจรงิ เราทาโดยการเลอื ก x มาอยา่ งน้อยหน่งึ ตวั ซง่ึ ทาให้ ~p(x) เป็นจรงิ เรยี กการพสิ จู น์แบบน้ีวา่
การยกตวั อย่างคา้ น (Disproof by counterexample) ซง่ึ เป็นการพสิ จู น์วา่ ประพจน์บง่ ปรมิ าณทงั้ หมด
เป็นเทจ็ โดยการแสดงว่านิเสธของขอ้ ความบ่งปรมิ าณนนั้ เป็นจรงิ ดงั ตวั อยา่ ง 1.17

 ประพจน์บง่ ปริมาณท่ีมตี วั แปรมากกว่าหน่ึงตวั

ตวั บง่ ปรมิ าณทใ่ี ชก้ ากบั ในประพจน์บ่งปรมิ าณตอ้ งมจี านวนเทา่ กบั จานวนตวั แปรอสิ ระทป่ี รากฏใน
ประโยคเปิด และในการหาค่าความจรงิ และการพสิ จู น์ประพจน์บ่งปรมิ าณพจิ ารณาในทานองเดยี วกนั กบั
ประพจน์ทม่ี ตี วั บ่งปรมิ าณเพยี งตวั เดยี ว

พจิ ารณาประพจน์บง่ ปรมิ าณทม่ี สี องตวั แปร และตวั บง่ ปรมิ าณทงั้ สองตวั ต่างกนั คอื
x  S y  T, p(x, y) สมมลู กบั x  S [ y  T, p(x, y)]
y T x  S, p(x, y) สมมลู กบั y T [ x  S, p(x, y)]

ตวั อยา่ ง 1.18 ให้ S  {1, 2} และ T  {3, 4} จงพจิ ารณาว่าประพจน์
x  S y  T, p(x, y) กบั y T x  S, p(x, y) สมมลู กนั หรอื ไม่

วิธีทา พจิ ารณาประพจน์ x  S y  T, p(x, y)จะใชค้ วามหมายของตวั บง่ ปรมิ าณ “  ” ก่อนดงั น้ี

[y  T, p(1, y)]  [y  T, p(2, y)]

แลว้ จงึ ใชค้ วามหมายของตวั บ่งปรมิ าณ “  ” ไดป้ ระพจน์ทส่ี มมลู กนั คอื (1.1)

[p(1, 3)  p(1, 4)]  [ p(2, 3)  p(2, 4)]

ต่อไปพจิ ารณาในทานองเดยี วกนั สาหรบั ประพจน์ y Tx  S, p(x, y)

จะใชค้ วามหมายของตวั บ่งปรมิ าณ “  ” กอ่ นไดป้ ระพจน์ทส่ี มมลู กนั คอื

[ x  S, p(x, 3)]  [x  S, p(x, 4)]

แลว้ จงึ ใชค้ วามหมายของตวั บ่งปรมิ าณ “  ” จะไดป้ ระพจน์ทส่ี มมลู คอื (1.2)

[ p(1, 3)  p(2, 3)]  [ p(1, 4)  p(2, 4)]

พจิ ารณา (1.1) และ (1.2) จะเหน็ วา่ ประพจน์ทงั้ สองไมส่ มมลู กนั เน่อื งจากถา้ ให้
p(1, 4) และ p(2, 3) เป็นจรงิ ทงั้ คู่

p(1, 3) และ p(2, 4) เป็นเทจ็ ทงั้ คู่

จะไดว้ ่า ประพจน์ (1.1) เป็นจรงิ แต่ประพจน์ (1.2) เป็นเทจ็ 
นนั ่ คอื ประพจน์ x  S y  T, p(x, y) กบั y Tx  S, p(x, y) ไม่สมมลู กนั

ขอ้ สงั เกต ผเู้ รยี นตอ้ งระมดั ระวงั เป็นอยา่ งมากในการสลบั อนั ดบั ของตวั บ่งปริมาณ เพ่อื ใหเ้ ขา้ ใจยงิ่ ขน้ึ

พจิ ารณาตวั อย่างต่อไปน้ี

ให้ S = T เป็นเซตของคนทงั้ หลายและ p(x, y) แทนขอ้ ความ y เป็นพ่อของ x

ดงั นนั้ ประพจน์ x  S y  T, p(x, y)

หมายถงึ “ไมว่ า่ x จะเป็นใครกต็ ามจะตอ้ งมคี นอยา่ งน้อยหน่งึ คนคอื y ซง่ึ y เป็นพอ่ ของ x”

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 17

หรอื กลา่ วไดอ้ กี แบบว่า “คนทกุ คนตอ้ งมพี อ่ ” (แต่ละคนอาจมพี ่อคนเดยี วกนั หรอื ต่างกนั กไ็ ด)้ ซง่ึ เป็น
ประพจน์ทเ่ี ป็นจรงิ ในขณะทป่ี ระพจน์

y T x  S, p(x, y)

หมายถงึ “มคี นอย่างน้อยหน่งึ คนซง่ึ เป็นพอ่ ของคนทุกคนรวมถงึ ตวั เองดว้ ย” ซง่ึ เป็นเทจ็
จากตวั อยา่ งน้ี จะเหน็ ไดช้ ดั วา่ ประพจน์ทงั้ สองมคี วามหมายทต่ี ่างกนั

ขอ้ สงั เกต จากกฎการสลบั ทเ่ี ป็นจรงิ สาหรบั ตวั เช่อื ม  และกฎการสลบั ทย่ี งั เป็นจรงิ สาหรบั ตวั เชอ่ื ม  ดว้ ย
ทาใหแ้ สดงไดว้ ่าสามารถสลบั อนั ดบั ของสองตวั บง่ ปรมิ าณทเ่ี ป็นแบบเดยี วกนั ได้ ดงั นนั้ สรุปไดว้ ่า

1. x  Sy  T, p(x, y)  y  T x  S, p(x, y)
2. x  Sy  T, p(x, y)  y T x  S, p(x, y)
3. [y T x  S, p(x, y)]  [x  S y  T, p(x, y)]

นิเสธของประพจน์บ่งปริมาณท่ีมตี วั แปรมากกว่าหน่ึงตวั

~ [x  Sy  T, p(x, y)]  x  S y  T, ~p(x, y)
~ [x  Sy  T, p(x, y)]  x Sy  T, ~p(x, y)
~ [x S y  T, p(x, y)]  x  S y  T, ~p(x, y)
~ [x  S y  T, p(x, y)]  x S y  T, ~p(x, y)
~ [x S y  T z  W, p(x, y, z)]  x S y  T z  W, ~p(x, y, z)

การพิสจู น์ประพจน์บ่งปริมาณที่มีตวั แปรมากกว่าหน่ึงตวั

ตวั อยา่ ง 1.19 จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์บง่ ปรมิ าณต่อไปน้พี รอ้ มทงั้ พสิ จู น์คาตอบ

1. x y, x2  3xy  2y2  0

ตอ้ งการแสดงว่า x y, x2  3xy  2y2  0
พิสูจน์ …………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….

2. x, y  , x  y  x2  y2

ตอ้ งการแสดงวา่ x, y  , x  y  x2  y2
พิสูจน์ …………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวิธพี สิ จู น์ 18

3. สาหรบั ทุก x, y + ถา้ x  y  1 แลว้ จะไดว้ ่า

3.1 0  xy  1
4

3.2 x2  y2  1
2

3.3 x4  y4  1
8

3.4  x  1 2   y  1 2  25
    2
 x   y 

โดยไม่ใชค้ วามรเู้ รอ่ื ง A.M. และ G.M [RMO Delhi 1993, INMO 1989]

พิสจู น์ …………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 19

4.   0   0 x  [ 1    x  1    5    2x  3  5   ]

พิสจู น์ …………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….

5. ทกุ จานวนเตม็ บวก n ใดๆ จะมจี านวนเตม็ x, y และ z ซง่ึ ทาให้

x2  y2  z2  n

พิสจู น์ …………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

6. e   x    y   [(x  e  e  x  x)  (x  y  y  x  e)]

นยิ าม ab  ab สาหรบั ทุก a, b  
2

พิสูจน์ …………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวธิ พี สิ จู น์ 20

ตวั อยา่ ง 1.20 โดยไม่ใชค้ วามรเู้ ร่อื ง A.M. และ G.M จงพสิ จู น์วา่ ทกุ จานวนจรงิ a, b และ c

1. a2  b2  1 (a  b)
ab 2

2. a2  b2  b2  c2  c2  a2  abc [RMO 1991]
a  b b  c c a

3. a2  b2  c2  ab  bc  ca

4. a4  b4  b4  c4  c4  a4  ab  bc  ca
a2  b2 b2  c2 c2  a2

พิสจู น์ …………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 21

 การพิสจู น์ว่าข้อความ ! x, p x เป็ นจริง

ในการพสิ จู น์ขอ้ ความ ! x, p x เป็นจรงิ เราตอ้ งแบ่งการพสิ จู น์เป็น 2 ตอน คอื
ตอนท่ี 1 พสิ จู น์วา่ x, p x เป็นจรงิ
และ ตอนท่ี 2 พสิ จู น์วา่ x y, p x  py  (x  y) เป็นจรงิ

ตวั อยา่ ง 1.21 จงพสิ จู นว์ า่
มจี านวนเตม็ x เพยี งจานวนเดยี ว ทท่ี าให้ x + 2 = 5

พิสูจน์ ขอ้ ความทต่ี อ้ งการพสิ ูจน์เขยี นอยใู่ นรปู สญั ลกั ษณ์ไดเ้ ป็น

! x  , x + 2 = 5

แบ่งการพสิ จู น์เป็น 2 ตอน คอื
ตอนท่ี 1 ตอ้ งการพสิ จู น์ว่า x , x  2  5
เลอื ก x = 3 ซง่ึ เป็นจานวนเตม็ จะไดว้ า่ x + 2 = 3 + 2 = 5

ตอนท่ี 2 ตอ้ งการแสดงว่า 

x, y  , [(x  2  5)  (y  2  5)]  (x  y)

สมมตวิ า่ x และ y เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ ทท่ี าให้
x  2  5 และ y  2  5

ดงั นนั้ x + 2 = y + 2 จะได้ (x + 2) – 2 = (y + 2) – 2
เพราะฉะนนั้ x = y
จากตอนท่ี 1 และ 2 ไดว้ ่า
มจี านวนเตม็ เพยี งจานวนเดยี วซง่ึ คอื 3 ทน่ี ามาบวกกบั 2 แลว้ ได้ 5

หมายเหตุ ในการพสิ จู น์ตอนท่ี 2 ของตวั อยา่ ง 1.21 เราจะละการสมมตใิ ห้ p(x) เป็นจรงิ ไว้ นนั่ คอื
ละการสมมตวิ ่า x  2  5 จงึ สามารถเขยี นพสิ จู น์ไดอ้ กี แบบ ดงั น้ี

ให้ y เป็นจานวนเตม็ ทท่ี าให้ y  2  5
ดงั นนั้ y  5  2  3  x

ตวั อยา่ ง 1.22 จงพสิ จู น์วา่ ทุกจานวนจรงิ x ถา้ x  2 แลว้ จะมจี านวนจรงิ y เพยี งจานวนเดยี ว

เท่านนั้ ซง่ึ สอดคลอ้ งสมการ x  2y
1 y

พิสูจน์ …………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวธิ พี สิ จู น์ 22

แบบฝึ กหดั 1.1

ขอ้ 1. – 8. จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์บ่งปรมิ าณต่อไปนพ้ี รอ้ มทงั้ พสิ จู น์คาตอบ

1. x  , x3  x  x2 2. x, y  , x2y  xy

3. xy, y  x3  y3  x3 4. x, y  [x  y  y2  x2 ]

5. x, y , x  y  x  y 6. y x, x2  3xy  2y2  0

7. x  , y  c, 0  y  x

8. ระหว่างจานวนจรงิ x และ y ใด ๆ ทไ่ี มเ่ ทา่ กนั ยอ่ มมจี านวนเตม็ n อยเู่ สมอ
ขอ้ 9. – 10. จงพสิ จู น์ว่าประพจน์บง่ ปรมิ าณต่อไปน้ีเป็นจรงิ

9. m   ! n  , m  n  5

x y 
 10. x y 0 
x, y   {0}  y   2  x  xy 



11. จงพสิ จู น์ว่า x, y   [ (x  y)  (3x2  10xy  3y2  0)  ( y  x  2)]
y  x

12. ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ทแ่ี ตกต่างกนั โดยไมใ่ ชค้ วามรเู้ ร่อื ง A.M. และ G.M

จงพสิ จู นว์ า่  2a  b 2   2b  c 2   2c  a 2  5
     
 ab   bc   c  a 

13. ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ โดยไมใ่ ชค้ วามรเู้ รอ่ื ง A.M. และ G.M
จงพสิ จู นว์ า่

13.1 a2  b2  c2  ab  bc  ca

13.2 a4  b4  c4  a2b2  b2c2  c2a2  abc (a  b  c)

13.3 ab  bc  ac  a b c
c a b

13.4  a  b  c 2  1 (ab  bc  ca)
 3
 3 

14. ให้ y  1 โดยท่ี x0 จงหาค่า ymax, ymin

x  1  5
x

15. จงพสิ จู นว์ ่า x y z, x  y  z  z

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 23

2. ระเบยี บวิธีพิสจู น์ (Methods of proof)

บทนิยาม 2.1 ให้ m เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ จะกล่าวว่า
(1) m เป็นจานวนคู่ กต็ ่อเมอ่ื m = 2k สาหรบั บางจานวนเตม็ k
(2) m เป็นจานวนค่ี กต็ ่อเม่อื m = 2j + 1 สาหรบั บางจานวนเตม็ j

วธิ พี สิ จู น์ทใ่ี ชก้ นั อยเู่ สมอมอี ยหู่ ลายแบบ ดงั น้ี

1. การพิสจู น์ p  q โดยวิธีตรง (Direct proof)

ถา้ ขอ้ ความทต่ี อ้ งการพสิ จู น์ว่าเป็นจรงิ อย่ใู นรปู การแจงเหตุสผู่ ล แลว้ จากตารางคา่ ความจรงิ ของ
p  q จะเหน็ ว่า ในกรณที ่ี p เป็นเทจ็ แลว้ p  q เป็นจรงิ เสมอ ดงั นนั้ ในการพสิ จู น์ว่า p  q
เป็นจรงิ นนั้ จงึ เป็นการเพยี งพอทจ่ี ะสมมตวิ ่า p เป็นจรงิ แลว้ พยายามแสดงใหเ้ หน็ ว่า q เป็นจรงิ ดว้ ย ดงั
รปู แบบขา้ งลา่ งน้ี

การพิสจู น์ p  q โดยวิธีตรง 
พิสจู น์ สมมตวิ า่ p 

เพราะฉะนนั้ q  เน้อื หาการพสิ จู น์
นนั่ คอื p  q 



ตวั อยา่ ง 2.1 ให้ m เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ

จงพสิ จู น์ว่า ถา้ m เป็นจานวนคู่ แลว้ m2 จะเป็นจานวนคู่
ในตวั อยา่ งน้ขี อ้ ความอย่ใู นรปู การแจงเหตุสผู่ ลจะใชก้ ารพสิ จู น์โดยวธิ ตี รง โดยให้

p แทนขอ้ ความ m เป็นจานวนคู่
q แทนขอ้ ความ m2 เป็นจานวนคู่

โครงรา่ งการพิสจู น์โดยวิธีตรง

สมมตใิ ห้ m เป็นจานวนคู่ 
ดงั นนั้ ได้ m2 เป็นจานวนคู่ 

 เน้อื หาการพสิ จู น์




พิสจู น์ สมมติให้ m เป็นจานวนคู่

จะมบี างจานวนเตม็ k ซง่ึ m = 2k [บทนิยาม 2.1 ขอ้ (1)]

เน่อื งจาก m2 = (2k)2 = 2(2k2) และ 2k2 เป็นจานวนเตม็

ดงั นัน้ ได้ m2 เป็นจานวนคู่ [บทนิยาม 2.1 ขอ้ (1)] 

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวธิ พี สิ จู น์ 24

ตวั อยา่ ง 2.2 ให้ m และ n เป็นจานวนเตม็ ใดๆ
จงพสิ จู นว์ า่ ถา้ m และ n เป็นจานวนค่ี แลว้ m + n จะเป็นจานวนคู่

พิสจู น์ สมมตใิ ห้ m และ n เป็นจานวนค่ี

จะมบี างจานวนเตม็ k และ j ซง่ึ

m = 2k + 1 และ n = 2j + 1 [บทนยิ าม 2.1 ขอ้ (2)]

ดงั นนั้ ได้ m + n = (2k + 1) + (2j + 1)

= 2k + 2j + 2 = 2(k + j + 1)

และ k + j + 1 เป็นจานวนเตม็

ดงั นนั้ ได้ m + n จะเป็นจานวนคู่ [บทนยิ าม 2.1 ขอ้ (1)]

บทนิยาม 2.2 ให้ a และ b เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ ซง่ึ a  0 จะกลา่ วว่า a หาร b ลงตวั
เขยี นแทนดว้ ย a b กต็ ่อเม่อื b  ak สาหรบั บางจานวนเตม็ k

ตวั อยา่ ง 2.3 3 27 เพราะ 27 = 3(9) และ 5 29

ขอ้ สงั เกต n เป็นจานวนคู่ กต็ ่อเมอ่ื 2 n

ตวั อยา่ ง 2.4 ให้ m และ n เป็นจานวนเตม็ ค่ี
จงพสิ จู นว์ ่า ถา้ m และ n หารดว้ ย 4 เหลอื เศษ 1 แลว้ mn หารดว้ ย 4 เหลอื เศษ 1

พิสูจน์ …………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….

2. การพิสจู น์ p  q โดยใช้ข้อความแย้งสลบั ที่

(Proof by Using Contrapositive)

เน่อื งจาก p  q  ~ q ~ p ดงั นนั้ ในการพสิ จู น์ขอ้ ความทอ่ี ยใู่ นรปู p  q เป็นจรงิ
วธิ นี ้เี ราจะพสิ จู น์ขอ้ ความ ~ q ~ p แทน ซง่ึ อยใู่ นรปู แบบการแจงเหตุสผู่ ล ถา้ พสิ จู น์ขอ้ ความ
~ q ~ p โดยวธิ ตี รง เราจงึ เรม่ิ พสิ จู น์ดว้ ยการสมมตใิ ห้ ~q เป็นจรงิ แลว้ พยายามแสดงใหไ้ ดว้ ่า ~p
เป็นจรงิ มรี ปู แบบการพสิ จู น์ดงั น้ี

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 25

การพิสจู น์ p  q โดยใช้ขอ้ ความแย้งสลบั ท่ี

พิสูจน์ สมมตวิ ่า ~ q 

เพราะฉะนนั้ ~ p 
นนั่ คอื ~ q ~ p 
ดงั นนั้ p  q  เน้อื หาการพสิ จู น์





ตวั อยา่ ง 2.5 กาหนดให้ m และ n เป็นจานวนเตม็
จงพสิ จู น์ว่า ถา้ m และ n เป็นจานวนค่ี แลว้ m + n เป็นจานวนคู่

ในตวั อยา่ งน้ใี ชก้ ารพสิ จู น์โดยใชข้ อ้ ความแยง้ สลบั ท่ี โดยให้
p แทนขอ้ ความ m และ n เป็นจานวนค่ี
q แทนขอ้ ความ m + n จะเป็นจานวนคู่

ดงั นนั้ มโี ครงรา่ งการพสิ จู น์ ดงั น้ี

โครงรา่ งการพิสจู น์โดยใช้ขอ้ ความแย้งสลบั ที่

สมมตใิ ห้ m + n จะเป็นจานวนค่ี  เน้อื หาการพสิ จู น์
ดงั นนั้ ได้ m หรอื n เป็นจานวนคู่ 






พิสจู น์ สมมติให้ m + n เป็นจานวนค่ี

จะมจี านวนเตม็ k ซง่ึ ทาให้ m + n = 2k + 1

แยกพจิ ารณา m เป็น 2 กรณี คอื

กรณี m เป็นจานวนคู่ จบการพิสูจน์

กรณี m เป็นจานวนค่ี

จะมจี านวนเตม็ j ซง่ึ ทาให้ m = 2j + 1

ดงั นนั้ n = (m + n) – m = (2k + 1) – (2j + 1) = 2(k – j + 1)

และ k – j + 1 เป็นจานวนเตม็

เพราะฉะนัน้ n เป็นจานวนคู่

ดงั นนั้ ไดว้ า่ ถา้ m + n เป็นจานวนคู่ แลว้ m เป็นจานวนคหู่ รอื n เป็นจานวนคู่

นนั่ คอื ถา้ m และ n เป็นจานวนค่ี แลว้ m + n เป็นจานวนคู่ 

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวิธพี สิ จู น์ 26

ตวั อยา่ ง 2.6 กาหนดให้ m เป็นจานวนเตม็
จงพสิ จู นว์ า่ ถา้ m2 เป็นจานวนคู่ แลว้ m จะเป็นจานวนคู่

พิสจู น์ สมมตใิ ห้ m เป็นจานวนค่ี

จะมบี างจานวนเตม็ k ซง่ึ m = 2k + 1 [บทนิยาม 2.1 ขอ้ (2)]
[บทนยิ าม 2.1 ขอ้ (2)]
เน่อื งจาก m2 = (2k  1)2

= 4k2  4k  1

= 2(2k2  2k)  1

และ 2k2  2k เป็นจานวนเตม็

ดงั นนั้ ได้ m2 เป็นจานวนค่ี

ฝึ กหดั พิสูจน์ จงพสิ จู น์วา่ x, y  x y 
  {0}x  2  x  y xy  0 
 y


พิสจู น์ …………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….

3. การพิสจู น์ p  q โดยวิธีอ้อม (Indirect proof)

เน่อื งจาก p  q  [(p ~ q)  F] เมอ่ื F เป็นประพจน์ทเ่ี ป็นเทจ็ โดยรปู แบบ ดงั นนั้
ในการพสิ จู น์ขอ้ ความทอ่ี ยใู่ นรปู p  q เราสามารถพสิ จู น์ดว้ ย (p ~ q)  F โดยเรม่ิ ดว้ ยการ
สมมตใิ ห้ p  ~ q เป็นจรงิ แลว้ พยายามแสดงจนได้ r ~ r ซง่ึ เป็นเทจ็ เสมอ หรอื อาจกลา่ ววา่
เกดิ ขอ้ ขดั แยง้ กนั วธิ นี ้มี รี ปู แบบการพสิ จู น์ดงั น้ี

การพิสจู น์ p  q โดยวิธีอ้อม 
พิสจู น์ สมมตใิ ห้ p และ ~q 

เกดิ ขอ้ ขดั แยง้ ไดป้ ระพจน์ r ~ r  เน้อื หาการพสิ จู น์
ดงั นนั้ (p ~ q)  F 
นนั่ คอื p  q 


รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 27

ตวั อยา่ ง 2.7 กาหนดให้ m และ n เป็นจานวนเตม็

จงพสิ จู น์วา่ ถา้ m และ n เป็นจานวนค่ี แลว้ m + n เป็นจานวนคู่

ในตวั อยา่ งน้ใี ชก้ ารพสิ จู น์โดยวธิ อี อ้ ม โดยให้

p แทนขอ้ ความ m และ n เป็นจานวนค่ี

q แทนขอ้ ความ m + n จะเป็นจานวนคู่

ดงั นนั้ มโี ครงร่างการพสิ จู น์ ดงั น้ี

โครงรา่ งการพิสจู น์โดยวิธีอ้อม

สมมตใิ ห้ m, n และ m + n เป็นจานวนค่ี 



 เน้อื หาการพสิ จู น์

เกดิ ขอ้ ขดั แยง้ 

พิสูจน์ สมมติให้ m, n และ m + n เป็นจานวนค่ี 
จะมบี างจานวนเตม็ k และ j ซง่ึ
m = 2k + 1 และ n = 2j + 1
เน่อื งจาก m + n = (2k + 1) + (2j + 1)

= 2k + 2j + 2

= 2(k + j + 1)

และ k + j + 1 เป็นจานวนเตม็
ดงั นนั้ ได้ m + n จะเป็นจานวนคู่ ซง่ึ ขดั แย้งกบั สมมติฐาน
นนั่ คอื ถา้ m และ n เป็นจานวนค่ี แลว้ m + n เป็นจานวนคู่

ตวั อยา่ ง 2.8 กาหนดให้ x เป็นจานวนจรงิ
จงพสิ จู น์ว่า ถา้ x  2x  8 แลว้ x  4

พิสจู น์ สมมตใิ ห้ x  2x  8 และ x  4

ดงั นนั้ ได้ x2  2x  8

x2  2x  8  0
(x  2)(x  4)  0

จะไดว้ า่ x  2 หรอื x  4

จากสมมตฐิ าน x  4 ดงั นนั้ ได้ x  2

ดงั นนั้ ได้  2  x  2x  8  2(2)  8  2 ซง่ึ ขดั แยง้ กนั

นนั่ คอื ถา้ x  2x  8 แลว้ x  4 

หมายเหตุ เม่อื คนุ้ เคยกบั การพสิ จู น์โดยวธิ อี อ้ มน้แี ลว้ เรามกั ละการสมมตใิ ห้ p เป็นจรงิ เหลอื เพยี งการ
สมมตใิ ห้ ~ q เป็นจรงิ เท่านนั้ ดงั ตวั อย่าง

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวธิ พี สิ จู น์ 28

ตวั อยา่ ง 2.9 กาหนดให้ m และ n เป็นจานวนเตม็
จงพสิ จู น์วา่ ถา้ m และ n เป็นจานวนค่ี แลว้  m  n2 จะเป็นจานวนคู่

พิสูจน์ ………………………………………………………………………………………….

............................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………..………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………..
............................................................................................................................

บทนิยาม 2.3 จานวนเตม็ บวก n จะเรยี กว่า จานวนสามเหลี่ยม กต็ ่อเมอ่ื มจี านวนเตม็ บวก k ทท่ี าให้

n  123k

ตวั อยา่ งเช่น เน่อื งจาก

1 1
3  12
6  123


55  1  2  3    10


276  1  2  3  4    23

ดงั นนั้ ได้ 1, 3, 6,..., 55,...,276,... เป็นจานวนสามเหลย่ี ม

ฝึ กหดั พิสจู น์ จงพสิ จู น์วา่ ถา้ n เป็นจานวนสามเหลย่ี ม แลว้ 9n  1 เป็นจานวนสามเหลย่ี ม

พิสูจน์ ………………………………………………………………………………………….

............................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 29

บทนิยาม 2.4 จานวนเตม็ p จะเรยี กว่า จานวนเฉพาะ (prime number) กต็ ่อเม่อื p   1
และถา้ a, b เป็นจานวนเตม็ ทท่ี าให้ p = ab แลว้ a   1 หรอื b   1 และเรยี กจานวนทไ่ี ม่เป็นจานวน
เฉพาะวา่ จานวนประกอบ (composite number)

ขอ้ สงั เกต จากบทนยิ ามของจานวนเฉพาะ จะไดว้ ่า
1. 2 และ –2 เป็นจานวนเฉพาะทเ่ี ป็นจานวนค่เู ทา่ นนั้ จานวนเฉพาะอ่นื ทเ่ี หลอื เป็นจานวนค่ี
2. ถา้ p เป็นจานวนเฉพาะแลว้ –p เป็นจานวนเฉพาะดว้ ย
3. ถา้ a  p แลว้ จะไดว้ า่ a   1 หรอื a   p

ดว้ ยขอ้ สงั เกตขา้ งบนทาใหเ้ มอ่ื พจิ ารณาสมบตั ขิ องจานวนเฉพาะ จะพจิ ารณาจานวนเฉพาะทเ่ี ป็นจานวนเตม็
บวกทม่ี ากกว่า 1 เท่านนั้ ดงั บทนยิ ามต่อไปน้ี

บทนิยาม 2.5 จานวนเตม็ บวก p ทม่ี ากกวา่ 1 จะเรยี กวา่ จานวนเฉพาะ (prime number) กต็ ่อเมอ่ื
ตวั หารทเ่ี ป็นบวกของ p มเี พยี ง 2 ตวั เท่านนั้ คอื 1 และ p และเรยี กจานวนทไ่ี ม่เป็นจานวนเฉพาะวา่
จานวนประกอบ (composite number)

ตวั อยา่ งเช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … เป็นจานวนเฉพาะ
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, … เป็นจานวนประกอบ

ฝึ กหดั พิสจู น์ จงพสิ จู นว์ ่า ถา้ n เป็นจานวนเตม็ บวกทท่ี าให้ n4 20n2  4 เป็นจานวนเตม็ บวกท่ี
มากกวา่ 1 แลว้ n4 20n2  4 ไมเ่ ป็นจานวนเฉพาะ

พิสูจน์ ………………………………………………………………………………………….

............................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………..………………………………………………………………

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวธิ พี สิ จู น์ 30

การพิสจู น์ p  q

เน่อื งจาก p  q  ~ p  q ดงั นนั้ ในการพสิ จู น์ p  q เราจงึ สมมตใิ ห้ ~ p เป็นจรงิ

แลว้ พยายามพสิ จู น์ใหไ้ ดว้ ่า q เป็นจรงิ ซง่ึ เป็นการพสิ จู น์แบบการแจงเหตุสผู่ ลโดยวธิ ตี รงนนั่ เอง ดงั
รปู แบบขา้ งลา่ งน้ี

การพิสูจน์ p  q

สมมตวิ า่ ~ p 
ดงั นนั้ q 

 เน้อื หาการพสิ จู น์




เพราะฉะนนั้ ~ p  q

นนั่ คอื p  q

ตวั อยา่ ง 2.10 กาหนดให้ m, n เป็นจานวนเตม็ และ mn เป็นจานวนคู่

จงพสิ จู นว์ า่ m เป็นจานวนคู่ หรอื n เป็นจานวนคู่
ในตวั อยา่ งน้ใี ห้

p แทนขอ้ ความ m เป็นจานวนคู่
q แทนขอ้ ความ n เป็นจานวนคู่
มโี ครงร่างการพสิ จู น์ ดงั น้ี

โครงรา่ งการพิสจู น์ข้อความ p  q

สมมตใิ ห้ m เป็นจานวนค่ี 

 
 เน้อื หาการพสิ จู น์
ดงั นนั้ n เป็นจานวนคู่ 



พิสจู น์ สมมติให้ m เป็นจานวนคี่

มบี างจานวนเตม็ k ซง่ึ m = 2k + 1

เน่อื งจาก mn เป็นจานวนคู่ มบี างจานวนเตม็ j ซง่ึ ทาให้ mn = 2j

จะไดว้ ่า 2j = mn = (2k + 1)n = 2kn + n

n = 2j – 2kn = 2(j – kn)

และ j – kn เป็นจานวนเตม็
ดงั นัน้ ได้ n เป็นจานวนคู่

นนั่ คอื สาหรบั จานวนเตม็ m และ n ใด ๆ ซง่ึ mn เป็นจานวนคู่

จะไดว้ ่า m เป็นจานวนคู่ หรอื n เป็นจานวนคู่ 

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 31

ตวั อยา่ ง 2.11 ให้ m, n และ p เป็นจานวนเตม็ จงพสิ จู น์ว่า m  n, n  pหรอื m  p อย่างน้อยหน่งึ
จานวนเป็นจานวนคู่

พิสจู น์ ………………………………………………………………………………………….

............................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..

ฝึ กหดั พิสจู น์ x y 
จงพสิ จู น์วา่  x, y  x 2 x 0 
 {0}  y     y  xy 



พิสจู น์ ………………………………………………………………………………………….

............................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..

การพิสจู น์ p  q

ถา้ เราตอ้ งการพสิ จู นข์ อ้ ความทอ่ี ย่ใู นรปู p  q เป็นจรงิ
นนั่ คอื ตอ้ งแสดงใหไ้ ดว้ ่าขอ้ ความ p เป็นจรงิ และขอ้ ความ q เป็นจรงิ ดว้ ย

ตวั อยา่ ง 2.12 กาหนดให้ x และ y เป็นจานวนจรงิ ซง่ึ x  y
x y
จงพสิ จู นว์ ่า x    y
2

ในตวั อยา่ งน้ี ถา้ ให้ x y

p แทนขอ้ ความ x  
2
x  y
q แทนขอ้ ความ 2  y

ทาใหข้ อ้ ความทต่ี อ้ งการพสิ จู น์อยใู่ นรปู p  q

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวธิ พี สิ จู น์ 32

พิสูจน์ เน่อื งจาก xy จะได้ x  x  x  y

ดงั นนั้ 2x  x  y นนั่ คอื x  x  y
2

ในทานองเดยี วกนั x  y  y  y ดงั นนั้ x  y  2y

นนั่ คอื x  y  y
2
x  y x  y
ดงั นนั้ x  2 และ 2  y

สรุปไดว้ ่า สาหรบั จานวนจรงิ x และ y ซง่ึ xy จะได้ x  x  y  y 
2

4. การพิสจู น์ p  q

เราทราบว่าประพจน์ p  q  p  q  q  p
ดงั นนั้ ในการพสิ จู น์ p  q จงึ แยกพสิ จู น์เป็น 2 ตอน คอื

1. พสิ จู น์ p  q เรยี กว่า การพิสูจน์ขาไป
และ 2. พสิ จู น์ q  p เรยี กวา่ การพิสูจน์ขากลบั

เราจะพสิ จู น์ทงั้ สองตอนดว้ ยวธิ ที ่ี 1. – 3. ทไ่ี ดศ้ กึ ษามาแลว้

ตวั อยา่ ง 2.13 กาหนดให้ m เป็นจานวนเตม็
จงพสิ จู น์ว่า m  12 เป็นจานวนคู่ กต็ ่อเม่อื m เป็นจานวนค่ี

พิสูจน์ การพสิ จู น์แยกเป็น 2 ตอน คอื
ตอนท่ี 1 ถา้ m  12 เป็นจานวนคู่ แลว้ m เป็นจานวนค่ี
ตอนท่ี 2 ถา้ m เป็นจานวนค่ี แลว้ m  12 เป็นจานวนคู่

พิสจู น์ตอนท่ี 1 พสิ จู น์โดยใชข้ อ้ ความแยง้ สลบั ท่ี

นนั่ คอื ตอ้ งการแสดงวา่ ถา้ m เป็นจานวนคู่ แลว้ m  12 เป็นจานวนค่ี

สมมติให้ m เป็นจานวนคู่

จะมบี างจานวนเตม็ k ซง่ึ m = 2k

เน่อื งจาก (m  1)2 = (2k  1)2

= 4k2  4k  1

= 2(2k2  2k)  1

และ 2k2  2k เป็นจานวนเตม็

ดงั นัน้ ได้ (m  1)2 เป็นจานวนค่ี

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 33

พิสจู น์ตอนท่ี 2 พสิ จู น์โดยวธิ ตี รง

สมมติให้ m เป็นจานวนค่ี

จะมบี างจานวนเตม็ k ซง่ึ m = 2k + 1

ดงั นนั้ ได้ (m  1)2 = (2k  1  1)2 = (2k  2)2 = 2[2(k  1)2 ]

และ 2(k  1)2 เป็นจานวนเตม็

ดงั นัน้ ได้ (m  1)2 เป็นจานวนคู่

ข้อสงั เกต จากตวั อยา่ ง 2.1 และตวั อย่าง 2.6 สามารถสรปุ ไดว้ ่า
สาหรบั จานวนเตม็ m ใด ๆ m เป็นจานวนคู่ กต็ ่อเม่อื m2 เป็นจานวนคู่

ดงั นนั้ สาหรบั จานวนเตม็ ใด ๆ 2 m กต็ ่อเม่อื 2 m2

และจากการสมมลู กนั ของประพจน์ (p  q)  (~ p  ~ q) ทาใหไ้ ดว้ า่

สาหรบั จานวนเตม็ m ใด ๆ m เป็นจานวนค่ี กต็ ่อเม่อื m2 เป็นจานวนค่ี

ตวั อยา่ ง 2.14 ให้ m เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ จงพสิ จู น์ว่า ขอ้ ความต่อไปน้สี มมลู กนั

1. 3 m 2. 9 3m 3. 3 (m +3)

พิสูจน์ จาก T21. กฎการถ่ายทอด (Transitive law) : 
เป็นการเพยี งพอทจ่ี ะพสิ จู น์เพยี ง 3 ตอน ดงั น้ี

ตอนที่ 1 ตอ้ งการพสิ จู นว์ ่า ถา้ 3 m แลว้ 9 3m
สมมตใิ ห้ 3 m จะมจี านวนเตม็ k ซง่ึ ทาให้ m = 3k
ดงั นนั้ ได้ 3m = 3(3k) = 9k จะไดว้ า่ 9 3m

ตอนท่ี 2 ตอ้ งการพสิ จู นว์ า่ ถา้ 9 3m แลว้ 3 (m +3)
สมมตใิ ห้ 9 3m จะมจี านวนเตม็ k ซง่ึ ทาให้ 3m = 9k
จะไดว้ ่า m = 3k ดงั นนั้ m + 3 = 3 + 3k = 3(1 + k) และ k + 1 เป็นจานวนเตม็
ดงั นนั้ 3 (m +3)

ตอนท่ี 3 ตอ้ งการพสิ จู น์ว่า ถา้ 3 (m +3) แลว้ 3 m
สมมตใิ ห้ 3 (m +3) จะมจี านวนเตม็ k ซง่ึ ทาให้ m + 3 = 3k
ดงั นนั้ ได้ 3 = 3k – 3 = 3(k – 1) และ k – 1 เป็นจานวนเตม็ จะไดว้ า่ 3 m

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวธิ พี สิ จู น์ 34

แบบฝึ กหดั 2.1

1. กาหนดให้ m และ n เป็นจานวนเตม็ จงพสิ จู น์วา่
1.1 ถา้ m และ n เป็นจานวนคแู่ ลว้ m + n จะเป็นจานวนคู่
1.2 ถา้ m และ n เป็นจานวนคแ่ี ลว้ m + n จะเป็นจานวนคู่
1.3 ถา้ m เป็นจานวนค่ี และ n เป็นจานวนคแู่ ลว้ m + n จะเป็นจานวนค่ี
1.4 ถา้ m และ n เป็นจานวนคแู่ ลว้ mn จะเป็นจานวนคู่
1.5 ถา้ m และ n เป็นจานวนคแ่ี ลว้ mn จะเป็นจานวนค่ี
1.6 ถา้ m เป็นจานวนค่ี และ n เป็นจานวนคแู่ ลว้ mn จะเป็นจานวนคู่
1.7 ถา้ m เป็นจานวนค่ี แลว้ m3 เป็นจานวนค่ี
1.8 ถา้ m เป็นจานวนคแู่ ลว้ m4 เป็นจานวนคู่
1.9 ถา้ m และ n เป็นจานวนค่ี แลว้  m  n 2 จะเป็นจานวนคู่
1.10 ถา้  m  n 2 เป็นจานวนค่แู ลว้ m เป็นจานวนคู่ หรอื n เป็นจานวนค่ี
1.11 ถา้ m2 เป็นจานวนค่ี แลว้ m เป็นจานวนค่ี
1.12 ถา้ mn เป็นจานวนคู่ แลว้ m เป็นจานวนคู่ หรอื n เป็นจานวนคู่

 1.13 ถา้ m และ n เป็นจานวนค่ี แลว้ 16 | m4  n4  2

1.14 ถา้ m เป็นจานวนเตม็ ค่ี แลว้ จะมจี านวนเตม็ k ทท่ี าให้ m2  8k  1

1.15 ถา้ m4 เป็นจานวนคู่ แลว้ m เป็นจานวนคู่
1.16 ถา้ m3  m2 เป็นจานวนค่ี แลว้ m เป็นจานวนค่ี
1.17 ถา้ mn เป็นจานวนคู่ แลว้ m เป็นจานวนคู่ หรอื n เป็นจานวนคู่

 1.18 ถา้ m และ n เป็นจานวนค่ี แลว้ 8 m2  n2

1.19 ถา้ a2  b2  c2 แลว้ มี a, b หรอื c อย่างน้อยหน่งึ จานวนทเ่ี ป็นจานวนค่ี
1.20 ถา้ (a  b)2  a2  b2 แลว้ a  0 หรอื b  0
1.21 ถา้ a และ b เป็นจานวนค่แู ละ c เป็นจานวนค่ี แลว้ สมการ ax  by  c

ไม่มผี ลเฉลยเป็นจานวนเตม็
1.22 ถา้ a  2 แลว้ a b หรอื a (b  1)

2. ให้ a และ b เป็นจานวนเตม็ จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ถี กู หรอื ผดิ พรอ้ มทงั้ พสิ จู น์คาตอบ

 2.1 ถา้ a และ b เป็นจานวนคู่ แลว้ 8 a4  b4  32
 2.2 ถา้ a และ b เป็นจานวนค่ี แลว้ 4 a3  b3  6
 2.3 ถา้ a เป็นจานวนเตม็ แลว้ 3 a3  a

 3. สาหรบั ทกุ จานวนเตม็ n จงแสดงว่า n2  1 หารดว้ ย 4 ไม่ลงตวั

4. ให้ m และ n เป็นจานวนเตม็ และ m + n เป็นจานวนค่ี
จงพสิ จู น์วา่ m เป็นจานวนค่ี หรอื n เป็นจานวนค่ี

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 35

5. ให้ m และ n เป็นจานวนเตม็ บวก ซง่ึ n3  n  m
จงพสิ จู นว์ า่ n เป็นจานวนค่ี หรอื m > 6

6. ให้ a และ b เป็นจานวนเตม็ จงพสิ จู น์ว่า ถา้ ab = 0 แลว้ a = 0 หรอื b = 0

7. กาหนดให้ m, n และ p เป็นจานวนเตม็ จงพสิ จู นแ์ ต่ละขอ้ ต่อไปน้ี
7.1 m เป็นจานวนคู่ กต็ ่อเมอ่ื m2 เป็นจานวนคู่
7.2 m เป็นจานวนค่ี กต็ ่อเม่อื m2  1 เป็นจานวนคู่
7.3 m เป็นจานวนค่ี กต็ ่อเม่อื m + 1 เป็นจานวนคู่
7.4 m เป็นจานวนคู่ กต็ ่อเม่อื m + 2 เป็นจานวนคู่
7.5. m + n เป็นจานวนคู่ กต็ ่อเม่อื m – n เป็นจานวนคู่
7.6 m2 เป็นจานวนค่ี กต็ ่อเมอ่ื m + 2 เป็นจานวนค่ี
7.7 m3  m2  m เป็นจานวนคู่ กต็ ่อเมอ่ื m เป็นจานวนคู่
7.8 ถา้ k  0 แลว้ จะไดว้ ่า m n กต็ ่อเมอ่ื mk nk

8. ให้ m เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ จงพสิ จู น์ว่า ขอ้ ความต่อไปน้สี มมลู กนั
8.1 m หารดว้ ย 3 เหลอื เศษ 1
8.2 m3 หารดว้ ย 3 เหลอื เศษ 1
8.3 m3  1 หารดว้ ย 3 เหลอื เศษ 2

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวิธพี สิ จู น์ 36

5. การพิสจู น์โดยการหาข้อขดั แยง้ (Proof by Contradiction)

จากการสรา้ งตารางคา่ จรงิ จะพบว่าขอ้ ความ q ~ q เป็นเทจ็ เสมอ กลา่ วไดว้ ่า ขอ้ ความ q

และ ~q เป็นขอ้ ความทข่ี ดั แยง้ กนั

เน่อื งจาก ~ p  F  ~ ~ p  F

 pF

p

ถา้ ตอ้ งการพสิ จู น์วา่ p เป็นจรงิ เราจะพสิ จู นข์ อ้ ความ ~ p  F เป็นจรงิ แทน ซง่ึ จบดว้ ยการ
เกดิ ขอ้ ขดั แยง้ ดงั นนั้ ในการพสิ จู น์ว่า p เป็นจรงิ โดยวธิ หี าขอ้ ขดั แยง้ มรี ปู แบบการพสิ จู น์ดงั น้ี

การพิสจู น์ข้อความ p โดยการหาขอ้ ขดั แยง้ 
พิสูจน์ สมมตใิ ห้ ~p เป็นจรงิ 

เกดิ ขอ้ ขดั แยง้ F  เน้อื หาการพสิ จู น์
ดงั นนั้ ~ p  F
นนั่ คอื p เป็นจรงิ 



หมายเหตุ การพสิ จู น์ขอ้ ความ p  q เป็นจรงิ โดยวธิ อี อ้ มกเ็ ป็นการพสิ จู น์โดยการหาขอ้ ขดั แยง้ วธิ หี น่งึ
กลา่ วคอื ให้ R แทนขอ้ ความ p  q

สมมตใิ ห้ ~ R เป็นจรงิ

แต่  ~ R : ~ p  q  p  ~ q

บทนิยาม 2.6 จะกลา่ วว่าจานวนจรงิ x เป็นจานวนตรรกยะ กต็ ่อเมอ่ื x  m สาหรบั บางจานวน
n

เตม็ m, n ซง่ึ n  0 และถา้ x ไมเ่ ป็นจานวนตรรกยะแลว้ จะกลา่ ววา่ x เป็นจานวนอตรรกยะ

หมายเหตุ เราสามารถเขยี นจานวนตรรกยะ x ซง่ึ อยใู่ นรปู x  m เป็นเศษสว่ นอย่างต่าได้
n

กล่าวคอื m และ n มตี วั ประกอบทเ่ี ป็นบวกร่วมกนั ตวั เดยี ว คอื 1

ตวั อยา่ ง 2.15 จงพสิ จู น์ว่า 2 เป็นจานวนอตรรกยะ

ในตวั อยา่ งน้ี ถา้ ให้ p แทนขอ้ ความ 2 เป็นจานวนอตรรกยะ
มโี ครงร่างการพสิ จู น์ ดงั น้ี

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 37

โครงรา่ งการพิสจู น์โดยวิธีหาข้อขดั แย้ง

สมมตใิ ห้ 2 เป็นจานวนตรรกยะ 

 
 เน้อื หาการพสิ จู น์
เกดิ ขอ้ ขดั แยง้ 



พิสจู น์ สมมตวิ ่า 2 เป็นจานวนตรรกยะ โดยบทนยิ าม 2.3 ไดว้ ่า
m
2  n

สาหรบั บางจานวนเตม็ m, n ซง่ึ n  0

และ ตวั ประกอบทเ่ี ป็นบวกรว่ มกนั ของ m กบั n คอื 1 -------- (*)

จะไดว้ า่  22  m2 หรอื 2  m2
ดงั นนั้ n2 n2

2n2  m2 เพราะฉะนนั้ m2 เป็นจานวนคู่

จะไดว้ า่ m เป็นจานวนค่ดู ว้ ย (จากตวั อยา่ ง 5.8)

นนั่ คอื m = 2k สาหรบั บางจานวนเตม็ k

จะไดว้ า่ m2  4k2

ดงั นนั้ 2n2  4k2 เพราะต่างกเ็ ท่ากบั m2

นนั ่ คอื n2  2k2

จงึ ไดว้ ่า n2 เป็นจานวนคู่ ดงั นนั้ n เป็นจานวนคู่ 
เพราะฉะนนั้ 2 เป็นตวั ประกอบร่วมของ m และ n เพราะต่างกเ็ ป็น
จานวนคู่ ซง่ึ ขดั แยง้ กบั (*)
ดงั นนั้ สรปุ ไดว้ ่า 2 เป็นจานวนอตรรกยะ

ตวั อยา่ ง 2.16 จงพสิ จู น์ว่า
ถา้ x เป็นจานวนตรรกยะ และ y เป็นจานวนอตรรกยะ แลว้ x + y เป็นจานวนอตรรกยะ

พิสจู น์ ………………………………………………………………………………………….

............................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวธิ พี สิ จู น์ 38

ตวั อยา่ ง 2.17 เกมโชวร์ ายการหน่ึงทไ่ี ดร้ บั ความนยิ ม รายการน้ไี ดต้ งั้ กตกิ าไวส้ าหรบั การแขง่ ขนั รอบ
แจกพอ็ ตวา่ บุคคลแรกทส่ี ามารถนาจานวนเตม็ บวกตงั้ แต่ 1 ถงึ 36 ตดิ ลงในช่องวงลอ้ กลมทม่ี ี 36 ชอ่ ง ๆ ละ
จานวน โดยใหผ้ ลบวกของจานวนใน 3 ช่องทเ่ี รยี งตดิ กนั ใด ๆ ตอ้ งน้อยกวา่ 55 บุคคลนนั้ จะไดร้ บั เงนิ
รางวลั จานวน 30 ลา้ นบาท ทา่ นคดิ วา่ เกมโชวน์ ห้ี ลอกลวงหรอื ไม่ พรอ้ มพสิ จู น์คาตอบของทา่ น

พิสจู น์ ………………………………………………………………………………………….

............................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..

ตวั อยา่ ง 2.18 จงพสิ จู น์วา่ ไม่มจี านวนเฉพาะ a, b และ c ใดเลย ทท่ี าให้

a3  b3  c3

พิสจู น์ ให้  แทนเซตของจานวนเฉพาะ เขยี นแทนขอ้ ความขา้ งบนอยใู่ นรปู สญั ลกั ษณ์ ไดด้ งั น้ี

............................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 39

แบบฝึ กหดั 2.2

1. จงพสิ จู น์ว่า ถา้ x เป็นจานวนตรรกยะและ y เป็นจานวนอตรรกยะ แลว้ y – x เป็นจานวนอตรรกยะ
2. จงพสิ จู นว์ ่า ถา้ x เป็นจานวนตรรกยะซง่ึ ไมเ่ ท่ากบั ศนู ย์ และ y เป็นจานวนอตรรกยะ แลว้ xy

เป็นจานวนอตรรกยะ
3. จงพสิ จู นว์ ่า 3 เป็นจานวนอตรรกยะ
4. จงพสิ จู น์ว่า p เป็นจานวนอตรรกยะ เม่อื p เป็นจานวนเฉพาะ
5. สาหรบั จานวนจรงิ x ใดๆ จงพสิ จู น์ว่า

3  2x เป็นจานวนอตรรกยะ หรอื 3  2x เป็นจานวนอตรรกยะ
6. จงพสิ จู น์ว่า ไม่มจี านวนจรงิ x, y ใด ๆ ทส่ี อดคลอ้ งกบั สมการ

2x + 3y = 1 และ 6x + 9y = 3
(แนะนา ตอ้ งพสิ จู น์วา่ x y [(2x  3y  1)  (6x  9y  3)]

ซง่ึ สมมลู กบั ~ {x y [(2x  3y  1)  (6x  9y  3)]}

7. จงพสิ จู น์วา่ ไม่มจี านวนจรงิ x ใดเลยทท่ี าให้ x  3x  2

8. จงพสิ จู นว์ า่ ไมม่ จี านวนเตม็ x ใดเลยทส่ี อดคลอ้ งสมการ 6x2  5x  4  0

9. จงพสิ จู น์ว่า ถา้ x เป็นจานวนจรงิ บวก แลว้ x  1  2
x

10. จงพสิ จู นว์ า่ ไมส่ ามารถแยกตวั ประกอบของพหุนาม x2  x  1ออกเป็นผลคณู ของพหนุ ามซง่ึ

ไมใ่ ช่ 1 และมสี มั ประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเตม็ ได้

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวิธพี สิ จู น์ 40

6. การพิสจู น์โดยการแจงกรณี (Proof by cases)

การพสิ จู น์โดยการแจงกรณนี ้ี ใชส้ าหรบั การพสิ จู น์ขอ้ ความทอ่ี ยใู่ นรปู แจงเหตุสผู่ ลโดยมขี อ้ กาหนด
หรอื เหตุหลาย ๆ เหตุ แลว้ ไดข้ อ้ สรปุ อยา่ งเดยี วกนั ขอ้ ความจะอยใู่ นรปู

(p  q)  r

เน่อื งจากขอ้ ความ [(p  q)  r]  [(p  r)  (q  r)]

ดงั นนั้ เราจงึ สามารถพสิ จู น์ขอ้ ความ (p  q)  r แทนดว้ ย (p  r)  (q  r)
ซง่ึ จะพสิ จู นแ์ ยกเป็น 2 กรณี คอื

กรณีท่ี 1 พสิ จู น์วา่ p  r เป็นจรงิ
กรณีท่ี 2 พสิ จู น์วา่ q  r เป็นจรงิ
จะเหน็ ว่าทงั้ สองกรณี ขอ้ ความอยใู่ นรปู การแจงเหตุสผู่ ล เราจะใชว้ ธิ ที ไ่ี ดศ้ กึ ษาแลว้ ดงั กลา่ วขา้ งตน้
ในทานองเดยี วกนั ถา้ เราแสดงไดว้ ่าขอ้ ความ p  r  q  r   s  r เป็นจรงิ เรา

สามารถสรุปไดว้ า่ (p  q  s)  r เป็นจรงิ ดว้ ย ซง่ึ จะพสิ จู น์

โดยกรณีทวั่ ไป ถา้ เราตอ้ งการพสิ จู น์ขอ้ ความ

(p1  p2  ...  pn)  q เป็นจรงิ

เรากจ็ ะพสิ จู น์ขอ้ ความ (p1  q)  (p2  q)  ...  pn  q เป็นจรงิ แทน

โดยแยกเป็น n กรณี ดงั ตวั อย่างทจ่ี ะกลา่ วต่อไปน้ี

ตวั อยา่ ง 2.19 จงพสิ จู น์ว่า ถา้ a เป็นจานวนเตม็ แลว้ 3 a(a + 1)(a + 2)

พิสูจน์ ………………………………………………………………………………………….

............................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 41

แบบฝึ กหดั 2.3

1. จงพสิ จู น์ขอ้ ความต่อไปน้ี
1.1 ทุกจานวนเตม็ a ถา้ a = 0 หรอื b = 0 แลว้ ab = 0
1.2 กาลงั สองของจานวนเตม็ คใ่ี ด ๆ จะอยใู่ นรปู 8k + 1
สาหรบั บางจานวนเตม็ k
1.3 ถา้ a เป็นจานวนเตม็ แลว้ a3  a  1 เป็นจานวนค่ี
1.4 กาลงั สข่ี องจานวนเตม็ คใ่ี ด ๆ จะอยใู่ นรปู 16k + 1
สาหรบั บางจานวนเตม็ k

1.5 ให้ a เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ จะไดว้ ่า 2 a(a + 1)

1.6 ให้ a เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ จะไดว้ า่ 4 a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวธิ พี สิ จู น์ 42

7. การพิสจู น์โดยหลกั การอปุ นัยเชิงคณิตศาสตร์

(Proof by Mathematical Induction)

หลกั การอปุ นยั เชงิ คณติ ศาสตรจ์ ะใชพ้ สิ จู น์ขอ้ ความทอ่ี ยใู่ นรปู

n  , P(n) เป็นจรงิ

นนั่ คอื เราตอ้ งการพสิ จู น์ว่าขอ้ ความ P(1), P(2),…, P(n),… เป็นจรงิ เชน่ ตอ้ งการพสิ จู น์วา่

ขอ้ ความต่อไปน้เี ป็นจรงิ สาหรบั ทกุ จานวนเตม็ บวก n

(1) 1 + 2 + 3 +… + n = nn  1

(2) 3 หาร 7n  4n ลงตวั 2

(3.) 2n  2n

จาก (1) ให้ P(n) แทนขอ้ ความ 1 + 2 + 3 +…+ n = nn  1

2

นนั่ คอื เราตอ้ งการพสิ จู น์ขอ้ ความดงั ต่อไปน้เี ป็นจรงิ

P(1) แทนขอ้ ความ 1  11  1 ,

2 1
22 
P(2) แทนขอ้ ความ 1  2  ,
2
33  1
P(3) แทนขอ้ ความ 1+2+3  ,
2



P(n) แทนขอ้ ความ 1 + 2 + 3 + …+ n  nn  1

2



การพสิ จู น์ว่าขอ้ ความขา้ งบนเป็นจรงิ เราจะใชห้ ลกั การอปุ นยั เชงิ คณติ ศาสตร์

แต่ก่อนอน่ื ขอกล่าวถงึ หลกั การจดั อนั ดบั อยา่ งดี ทก่ี ล่าวไวด้ งั น้ี

หลกั การจดั อนั ดบั อยา่ งดี (The Well – Ordering Principle ใชต้ วั ย่อวา่ WOP)
สาหรบั S ทเ่ี ป็นเซตยอ่ ยของจานวนเตม็ บวก ถา้ S ไม่เป็นเซตวา่ ง แลว้ S จะมสี มาชกิ ค่าน้อยสดุ

เราสามารถเขยี นหลกั การจดั อนั ดบั อย่างดอี ย่ใู นรปู สญั ลกั ษณ์ ไดด้ งั น้ี

S  [(S  )  (y  S x  S, y  x) ]

หลกั การจดั อนั ดบั อย่างดยี งั นาไปส่หู ลกั การทส่ี าคญั ทใ่ี ชเ้ พอ่ื พสิ จู น์ขอ้ ความต่าง ๆ ซง่ึ เกย่ี วขอ้ งกบั
จานวนเตม็ บวก เรยี กหลกั การน้วี า่ “หลกั การอปุ นัยเชิงคณิตศาสตร”์ (Principle of Mathematical

Induction)

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 43

ทฤษฎีบท 2.1 หลกั การอปุ นยั เชิงคณิตศาสตร์ (Principle of Mathematical Induction: PMI)

สาหรบั จานวนเตม็ บวก n ใด ๆ ให้ P(n) แทนขอ้ ความทเ่ี กย่ี วกบั n
ถา้ 1.) P(1) เป็นจรงิ และ
2.) สาหรบั ทุกจานวนเตม็ บวก k ใด ๆ ถา้ P(k) เป็นจรงิ แลว้ P(k + 1) เป็นจรงิ
จะไดว้ ่า P(n) เป็นจรงิ สาหรบั ทกุ จานวนเตม็ บวก n

เขยี นหลกั การอปุ นยั เชงิ คณิตศาสตรใ์ นรปู สญั ลกั ษณ์ ไดด้ งั น้ี

[ P(1)  {k  , P(k)  P(k  1)}]  [n  , P(n)]

พิสจู น์ ให้ P(n) แทนขอ้ ความทส่ี อดคลอ้ งกบั เงอ่ื นไขขอ้ 1.) และ 2.) 
ตอ้ งการแสดงวา่ P(n) เป็นจรงิ ทกุ จานวนเตม็ บวก n

สมมตใิ ห้ S  { i  P(i) เป็นเทจ็ }

จะไดว้ า่ S  ตอ้ งการแสดงว่า S   จะพสิ จู น์โดยวธิ หี าขอ้ ขดั แยง้
สมมตวิ า่ S   จากการจดั อนั ดบั อยา่ งดี ไดว้ ่า
มสี มาชกิ y  S ซง่ึ เป็นสมาชกิ ทน่ี ้อยทส่ี ดุ จะได้ P(y) เป็นเทจ็
จากสมมตฐิ านขอ้ 1.) ไดว้ ่า P(1) เป็นจรงิ
และเน่อื งจาก P(y) เป็นเทจ็ จะไดว้ า่ y  1 ดงั นนั้ y  1
แสดงว่า y  1  1 และ y  1  S ดงั นนั้ P(y – 1) เป็นจรงิ
จากสมมตฐิ านขอ้ 2.) ไดว้ า่ P(y) เป็นจรงิ ซง่ึ ขดั แยง้ กบั P(y) เป็นเทจ็
ดงั นนั้ S  
จากนยิ ามของเซต S จะไดว้ ่า P(n) เป็นจรงิ ทุกจานวนเตม็ บวก n

ในการนาหลกั การอปุ นยั เชงิ คณติ ศาสตรไ์ ปใช้ เราเรม่ิ ตน้ ดว้ ยการกาหนดให้ P(n) แทนขอ้ ความ
ทเ่ี ราตอ้ งการพสิ จู น์ซง่ึ เกย่ี วกบั n แลว้ แบง่ การพสิ จู น์ออกเป็น 2 ขนั้ ตอน คอื

ขนั้ ท่ี 1 ตอ้ งแสดงว่า P(1) เป็นจรงิ เรยี กขนั้ ท่ี 1 น้วี า่ ขนั้ พืน้ ฐาน (Basic step)
ขนั้ ท่ี 2 ในการแสดงว่าขอ้ ความ k  , P(k)  P(k  1) เป็นจรงิ

เราเรม่ิ ตน้ ดว้ ยการ
สมมตใิ ห้ k เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ ซง่ึ ทาให้ P(k) เป็นจรงิ
แลว้ พยายามแสดงใหไ้ ดว้ ่า P(k + 1) เป็นจรงิ ดว้ ย
เรยี กขนั้ ท่ี 2 น้วี า่ ขนั้ ตอนการอปุ นัย (Inductive step)
เม่อื แสดงไดแ้ ลว้ วา่ ทงั้ สองขนั้ ตอนเป็นจรงิ
จงึ จะสรุปว่า ขอ้ ความ P(n) เป็นจรงิ ทกุ จานวนเตม็ บวก n

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวธิ พี สิ จู น์ 44

ตวั อยา่ ง 2.20 จงพสิ จู น์ว่า 1 + 2 + 3 + … + n = n n  1 ทุกจานวนเตม็ บวก n
2

พิสจู น์ วิธีที่ 1 พิสจู น์โดยใช้หลกั การอปุ นัยเชิงคณิตศาสตร์

ให้ P(n) แทนขอ้ ความ 1+2+3+…+n = n n  1
2
1
ขนั้ ที่ 1 ถา้ n = 1 ได้ P(1) แทนขอ้ ความ 1  2 1  1 ซง่ึ เป็นจรงิ

ขนั้ ท่ี 2 ให้ k เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ สมมตใิ ห้ P(k) เป็นจรงิ จะไดว้ ่า

1+2+3+…+k = k k  1 --------- (2.1)
2

ตอ้ งการพสิ จู น์ว่า P(k + 1) เป็นจรงิ

นนั่ คอื ตอ้ งการแสดงว่า 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = k  1 k  1  1
2

จากสมการ (2.1) บวกดว้ ย k + 1 เขา้ ไปทงั้ สองขา้ ง จะไดว้ า่

1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = k k  1  k  1
2

= k  1  k  1
2

= k  1 k  2
2
k 2
=  k  2
2
k 1
=  k  1  1
2

ดงั นนั้ ได้ P(k + 1) เป็นจรงิ โดยหลกั การอุปนยั เชงิ คณติ ศาสตร์ ไดว้ า่
n
1+2+3+…n = 2 n  1 ทกุ จานวนเตม็ บวก n

วิธีท่ี 2 พิสจู น์โดยใช้หลกั การจดั อนั ดบั อยา่ งดี

ให้ P(n) แทนขอ้ ความ 1+2+3+…+n = n n  1
2

สมมตใิ ห้ S  { i  P(i) เป็นเทจ็ }

จะไดว้ า่ S  ตอ้ งการแสดงว่า S   จะพสิ จู น์โดยวธิ หี าขอ้ ขดั แยง้
สมมตวิ ่า S   จากการจดั อนั ดบั อยา่ งดี ไดว้ ่า
มสี มาชกิ y  S ซง่ึ เป็นสมาชกิ ทน่ี ้อยทส่ี ดุ จะได้ P(y) เป็นเทจ็

นนั ่ คอื 1 + 2 + 3 + … + y  y  y  1 ………… (*)
2

เน่อื งจาก 1  1 1  1 จะไดว้ ่า P(1) เป็นจรงิ จะได้ 1  S ดงั นนั้ y 1
2

แสดงว่า y  1  1 และ y  1  S ดงั นนั้ P(y – 1) เป็นจรงิ จะไดว้ ่า

1 + 2 + 3 + … + (y – 1)  y(y  1)
2

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 45

ดงั นนั้ 1 + 2 + 3 + … + (y – 1) + y  y(y  1)  y  y(y  1)  2y
2 2 2

 y (y  1  2)  y (y  1) ซง่ึ ขดั แยง้ กบั (*)
2 2

ดงั นนั้ S   จากนยิ ามของเซต S จะไดว้ า่ P(n) เป็นจรงิ ทุกจานวนเตม็ บวก n
n
นนั่ คอื 1+2+3+…n = 2 n  1 ทุกจานวนเตม็ บวก n 

ฝึ กหดั พิสูจน์ จงพสิ จู น์วา่

   2  70  2  7  2  72  ...  2 1 7 n1
7 n  4 ทุกจานวนเตม็ บวก n

พิสูจน์ ………………………………………………………………………………………….

............................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..

ตวั อยา่ ง 2.21 จงพสิ จู น์ว่า 3 หาร 7n  4n ลงตวั ทกุ จานวนเตม็ บวก n

พิสูจน์ ………………………………………………………………………………………….

............................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวิธพี สิ จู น์ 46

หมายเหตุ ในการพสิ จู น์โดยใชห้ ลกั การอุปนยั เชงิ คณติ ศาสตร์ เราอาจละการเขยี น P(n) ดงั ตวั อยา่ ง

ฝึ กหดั พิสจู น์ จงพสิ จู น์วา่ n  , 1  21  22  ...  2n  2

พิสจู น์ ………………………………………………………………………………………….

............................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………..………………………………………………………………

ขอ้ ความ P(n) บางขอ้ ความ เม่อื เราตรวจสอบอาจพบว่า P(1) และ P(2) ไมจ่ รงิ แต่เมอ่ื
ตรวจสอบพบวา่ P(3), P(4) และ P(5), …. เป็นจรงิ เชน่

ให้ P(n) แทนขอ้ ความ 2n  2n
เม่อื ตรวจสอบดู จะเหน็ ว่า P(1) และ P(2) ไมจ่ รงิ แต่ P(3), P(4) และ P(5) เป็นจรงิ ทาให้
เราคดิ วา่ แลว้ P(n) เป็นจรงิ หรอื ไม่ สาหรบั ทกุ จานวนเตม็ บวกทม่ี ากกวา่ 2 และยงั สามารถใชห้ ลกั การ
อุปนยั เชงิ คณิตศาสตรไ์ ดอ้ ยอู่ กี หรอื ไม่ คาตอบคอื ได้ แต่ในการแสดงวา่ P(1) เป็นจรงิ ในขนั้ ท่ี 1 ตอ้ ง
เปลย่ี นเป็นแสดงวา่ P(3) เป็นจรงิ ดงั ทฤษฎบี ทขา้ งลา่ งน้ี

ทฤษฎีบท 2.2 ให้ m เป็นจานวนเตม็ บวก และ ให้ P(n) แทนขอ้ ความเกย่ี วกบั จานวนเตม็ บวก n
ถา้ 1.) P(m) เป็นจรงิ และ
2.) สาหรบั จานวนเตม็ บวก k ใด ๆ ซง่ึ k  m ถา้ P(k) เป็นจรงิ แลว้ P(k +1) เป็นจรงิ
จะได้ P(n) เป็นจรงิ สาหรบั ทกุ จานวนเตม็ บวก n  m

ตวั อยา่ ง 2.22 จงพสิ จู น์ว่า 2n  2n ทุกจานวนเตม็ บวก n  3
พิสูจน์ ให้ P(n) แทนขอ้ ความ 2n  2n

ขนั้ ท่ี 1 ถา้ n = 3 ไดว้ า่ P(3) แทนขอ้ ความ 23  23 ซง่ึ เป็นจรงิ

ขนั้ ที่ 2 ให้ k เป็นจานวนเตม็ บวก ซง่ึ k  3 สมมตใิ ห้ P(k) เป็นจรงิ
จะไดว้ ่า 2k  2k

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 47

ตอ้ งการแสดงวา่ P(k + 1) เป็นจรงิ 
นนั่ คอื ตอ้ งการแสดงวา่ 2k  1  2k1
เน่อื งจาก 2k  1  2k  2

 2k  2 (จากสมมตฐิ าน)

 2k  2k (เพราะ 2  2k ทุก k  3 )

 22k  2k1

นนั่ คอื P(k + 1) เป็นจรงิ โดยหลกั การอุปนยั เชงิ คณติ ศาสตรไ์ ดว้ ่า
2n  2n ทกุ จานวนเตม็ บวก n  3

หลกั การอุปนยั เชงิ คณติ ศาสตร์ ยงั มอี กี รปู หน่งึ ดงั ทฤษฎบี ทต่อไปน้ี

ทฤษฎีบท 2.3 หลกั การอปุ นัยเชิงคณิตศาสตรอ์ ยา่ งเข้ม

(Principle of Strong Mathematical Induction: PSI)

ให้ P(n) แทนขอ้ ความทเ่ี กย่ี วกบั จานวนเตม็ บวก n
ถา้ 1.) P(1) เป็นจรงิ และ

2.) สาหรบั จานวนเตม็ บวก k ใด ๆ ถา้ P1  P2  ...  Pk เป็นจรงิ แลว้ P(k  1) เป็นจรงิ

จะไดว้ า่ P(n) เป็นจรงิ ทุกจานวนเตม็ บวก n

หมายเหตุ เขยี นหลกั การอปุ นยั เชงิ คณิตศาสตรอ์ ยา่ งเขม้ ในรปู สญั ลกั ษณ์ ไดด้ งั น้ี

[ P(m)  {k   k  m, P m  P m  1  ...  P k }  [ n  , P(n)]

ตวั อยา่ ง 2.23 ลาดบั 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … เรยี กวา่ ลาดบั ฟิ โบนักซี (Fibonacci

sequence) โดยกาหนด u1  1, u2  2 และ un  un1  un2 เมอ่ื n  3

จงพสิ จู นว์ ่า un   7 n สาหรบั ทุกจานวนเตม็ บวก n
4

พิสูจน์ ………………………………………………………………………………………….

............................................................................................................................

…………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………..

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวิธพี สิ จู น์ 48

ฝึ กหดั พิสจู น์ โดยใช้หลกั การอปุ นัยเชิงคณิตศาสตร์

 1. จงพสิ จู น์ว่า n  , 8 n2  1 เม่อื แทนเซตของจานวนเตม็ คบ่ี วก

2. จงพสิ จู นว์ า่ n  N, n  2 , 1  1  1  ...  1  n
23 n

3. ในการจดั ขายสนิ คา้ งานหน่งึ ใหใ้ ชค้ ปู องในการซอ้ื ไดเ้ ทา่ นนั้ โดยคปู องมรี าคา 3 และ 5 บาท
ในการซอ้ื จะไมม่ กี ารทอนคปู อง อยากทราบวา่ พอ่ คา้ สามารถตงั้ ราคาสนิ คา้ ไดเ้ ทา่ ใดบา้ ง
พรอ้ มพสิ จู น์คาตอบ

 รปู แบบท่ีสมมลู กนั ของหลกั การอปุ นัยเชิงคณิตศาสตร์

หลกั การอปุ นัยเชิงคณิตศาสตร์ (Principle of Mathematical Induction: PMI)

สาหรบั จานวนเตม็ บวก n ใด ๆ ให้ P(n) แทนขอ้ ความทเ่ี กย่ี วกบั n
ถา้ 1.) P(1) เป็นจรงิ และ

2.) สาหรบั ทกุ จานวนเตม็ บวก k ใด ๆ ถา้ P(k) เป็นจรงิ แลว้ P(k + 1) เป็นจรงิ
จะไดว้ า่ P(n) เป็นจรงิ สาหรบั ทกุ จานวนเตม็ บวก n

หลกั การจดั อนั ดบั อยา่ งดี (The Well – Ordering Principle: WOP)
สาหรบั S ทเ่ี ป็นเซตย่อยของจานวนเตม็ บวก ถา้ S ไมเ่ ป็นเซตวา่ ง แลว้ S จะมสี มาชกิ คา่ น้อยสดุ

หลกั การอปุ นัยเชิงคณิตศาสตรอ์ ย่างเข้ม

(Principle of Strong Mathematical Induction: PSI)

ให้ P(n) แทนขอ้ ความทเ่ี กย่ี วกบั จานวนเตม็ บวก n
ถา้ 1.) P(1) เป็นจรงิ และ

2.) สาหรบั จานวนเตม็ บวก k ใด ๆ ถา้ P1  P2  ...  Pk เป็นจรงิ แลว้ P(k  1) เป็นจรงิ

จะไดว้ ่า P(n) เป็นจรงิ ทกุ จานวนเตม็ บวก n
ในหวั ขอ้ น้จี ะแสดงวา่ หลกั การต่อไปน้สี มมลู กนั

1. PMI 2. WOP 3. PSI

โดยจะแสดงว่า PMI  WOP

WOP  PSI

PSI  PMI

เรมิ่ พสิ จู น์วา่ PMI  WOP โดยสมมตใิ ห้ หลกั การอุปนยั เชงิ คณติ ศาสตร์ (PMI) เป็นจรงิ แลว้
จะแสดงวา่ หลกั การจดั อนั ดบั อย่างดี (WOP) เป็นจรงิ นนั่ คอื จะพสิ จู น์ว่าทฤษฎบี ทต่อไปน้ี

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 49

ทฤษฎีบท 2.4 ให้ S เป็นเซตยอ่ ยของจานวนเตม็ บวก ถา้ S ไมเ่ ป็นเซตว่างแลว้ S จะมสี มาชกิ ค่าน้อยสดุ

พิสูจน์ วิธีอ้อม สมมตวิ ่า S เป็นเซตยอ่ ยของจานวนเตม็ บวก ทไ่ี มเ่ ป็นเซตวา่ ง ซง่ึ S ไมม่ สี มาชกิ ค่าน้อยสดุ
ให้ Sc เป็นคอมพลเี มนตข์ อง S นนั ่ คอื Sc   S และนิยามให้ T  {x  y  x, y  Sc}

เน่อื งจาก 1  Sc (เพราะ ถา้ 1  S แลว้ 1 จะเป็นสมาชกิ ค่าน้อยสดุ ซง่ึ x  , 1  x ) ไดว้ า่ 1  T

สมมตใิ ห้ k  T โดยนยิ ามของ T จะไดว้ า่ 1, 2, ..., k  Sc ต่อไปพจิ ารณา k + 1

ถา้ k  1  S แลว้ k  1 จะเป็นสมาชกิ ค่าน้อยสดุ ของ S ซง่ึ เป็นไปไมไ่ ดต้ ามสมมตฐิ าน

เพราะฉะนนั้ k  1  Sc ดงั นนั้ k  1  T ดงั นนั้ S   เกดิ ขอ้ ขดั แยง้

จาก PMI เป็นจรงิ จะไดว้ ่า T  นนั่ คอื Sc  
เพราะฉะนนั้ S มสี มาชกิ คา่ น้อยสดุ

ต่อไปจะพสิ จู น์วา่ WOP  PSI โดยสมมตใิ ห้ หลกั การจดั อนั ดบั อย่างดี (WOP) เป็นจรงิ แลว้
จะแสดงวา่ หลกั การอุปนยั เชงิ คณิตศาสตรอ์ ย่างเขม้ (PSI) เป็นจรงิ นนั่ คอื จะพสิ จู น์วา่ ทฤษฎบี ทต่อไปน้ี

ทฤษฎีบท 2.5 ให้ S เป็นเซตยอ่ ยของจานวนเตม็ บวก ซง่ึ
ถา้ 1.) 1  S

2.) k  , [{1, 2, ..., k}  S  k  1  S]

แลว้ S 

พิสูจน์ สมมตวิ า่ S เป็นเซตย่อยของจานวนเตม็ บวก ซง่ึ สอดคลอ้ งกบั ขอ้ 1.) และ ขอ้ 2.) 

พจิ ารณาเซต Sc ตอ้ งการแสดงวา่ Sc   จะพสิ จู นโ์ ดยวธิ หี าขอ้ ขดั แยง้
สมมตใิ ห้ Sc   จาก WOP จะไดว้ า่ Sc มสี มาชกิ ค่าน้อยสดุ ใหเ้ ป็น y
เน่อื งจาก 1  S ดงั นนั้ y  1
จาก 1, 2, ..., y  1  y และ y เป็นสมาชกิ คา่ น้อยสดุ ของ Sc จะไดว้ า่ 1, 2, ..., y  1  S
จากสมมตฐิ านขอ้ 2.) ไดว้ า่ y  S เกดิ ขอ้ ขดั แยง้ ดงั นนั้ Sc   นนั่ คอื S 

ขนั้ สดุ ทา้ ยจะพสิ จู น์ว่า PSI  PMI โดยสมมตใิ ห้ หลกั การอุปนยั เชงิ คณิตศาสตรอ์ ยา่ งเขม้
(PSI) เป็นจรงิ แลว้ จะแสดงว่าหลกั การอปุ นยั เชงิ คณติ ศาสตร์ (PMI) เป็นจรงิ นนั่ คอื จะพสิ จู น์วา่ ทฤษฎบี ท
ต่อไปน้ี


Click to View FlipBook Version
Previous Book
KELESTARIAN ALAM - BUDI SUNGAI
Next Book
10 UNIT 1 AL-MUNTAQIMU