The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

2.เอกสารประกอบการบรรยาย ตรรกศาสตร์และระเบียบวิธีพิสูจน์ ประจำปี พ.ศ. 2555

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by ครรชิต แซ่โฮ่, 2021-10-07 00:04:47

2.เอกสารประกอบการบรรยาย ตรรกศาสตร์และระเบียบวิธีพิสูจน์ ประจำปี พ.ศ. 2555

2.เอกสารประกอบการบรรยาย ตรรกศาสตร์และระเบียบวิธีพิสูจน์ ประจำปี พ.ศ. 2555

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวิธพี สิ จู น์ 50

ทฤษฎีบท 2.6 ให้ S เป็นเซตย่อยของจานวนเตม็ บวก ซง่ึ
ถา้ 1.) 1  S

2.) k  , [ k  S  k  1  S ]

แลว้ S 

พิสูจน์ สมมตวิ า่ S เป็นเซตยอ่ ยของจานวนเตม็ บวก ซง่ึ สอดคลอ้ งกบั ขอ้ 1.) และ ขอ้ 2.) 
ตอ้ งการพสิ จู น์ว่า S  โดยใช้ PSI
เน่อื งจาก k  , [{1, 2, ..., k}  S  k  S] และจะเหน็ ไดโ้ ดยงา่ ยวา่

k  , [{1, 2, ..., k}  S  k  S]  k  S  k  1  S

จะไดว้ ่า k  , [{1, 2, ..., k}  S  k  1  S] นนั ่ คอื S สอดคลอ้ งสมมตฐิ านของ PSI
ดงั นนั้ ได้ S 

ทฤษฎีบท 2.7 ขอ้ ความต่อไปน้สี มมลู กนั

1. PMI 2. WOP 3. PSI

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 51

แบบฝึ กหดั 2.4

1. จงใชห้ ลกั การอปุ นยั เชงิ คณิตศาสตรพ์ สิ จู น์ขอ้ ความต่อไปน้เี ป็นจรงิ ทกุ จานวนเตม็ บวก n
1.1 1  3  5  ...  2n  1  n2

12  32  52  ...  2n  1 2  n(2n  1)(2n  1)
 1.2 3

1.3 12  22  ...  n2  nn  12n  1

6

1.4 13  23  33  ...  n3  n(n  1)2
 2 

1.5 1  r  r2  ...  rn  1  rn1 เมอ่ื r  1
1r

   1.6 1 7 n1
2  70  2  7  2  72  ...  2 7 n  4

1.7 1  1  1  ...  1 1  n
3 15 35 4n2  2n  1

1.8 1  1!  2  2!  ...  n  n!  (n  1)!  1

1.9 1  2  ...  n n 1!  1  n 1 1!
2! 3!  

1.10 2  6  10  14  ...  4n  2  2n!

n!

1.11 11 หาร 8102n 6102n1  9 ลงตวั

1.12 ให้ x และ y เป็นจานวนเตม็ บวกทต่ี ่างกนั จงพสิ จู น์วา่ x – y หาร xn  yn ลงตวั

1.13 2n  2n

1.14 1  2  3  ...  n  2  n
2 22 23 2n 2n

1.15 1 1  1  ...  1  2  1
22 32 n2 n

n (1)i i2 1 (1)n
2
1.16  n(n  1)

i1
n
1
1.17 i(i  1)  3 n(n  1)(n  2)

i1
n1
1.18 n
i1 (2i  1)(2i  1)  2n  1
n
1 n
1.19 (3i  2)(3i  1)  3n  1
i1

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวิธพี สิ จู น์ 52

2. จงพสิ จู น์ โดยใชห้ ลกั การจดั อนั ดบั อย่างดี

2.1 n  , 6 (n3  n) 2.2 2 เป็นจานวนอตรรกยะ

2.3 ให้ n เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ จะไดว้ า่

n = 1 หรอื n เป็นจานวนเฉพาะ หรอื n เป็นผลคณู ของจานวนเฉพาะ
n
3. จงหาคา่ m ซง่ึ ทาให้ n  , n  m, n2  3 แลว้ พสิ จู น์คาตอบดว้ ย
2

4. ให้ m และ n เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ จงพสิ จู น์วา่

4.1 n  5, n2  2n 4.2 n  4, 2n  n !

4.3 n  10, n3  2n 4.4 n  4, n2  n !

4.5 n  13, n2   3 n 4.6 m  2, n  , mn  n
 
 2 

5. ให้ a1  3 และ an  3an1 จงพสิ จู น์วา่ an  3n ทกุ n  2

6. ให้ a1  0, a2  6 และ an  5an1  6an2
จงพสิ จู น์วา่ an  3  2n  2  3n ทกุ n  3

7. ให้ a1  4, a2  12 และ an  4an1  2an2

จงพสิ จู น์วา่ an  2  2 n1  2  2 n1 ทกุ n  3

8. ให้ a1  3, a2  3, a3  9 และ an  an1  4an2  4an3
จงพสิ จู น์ว่า an  1   2n ทกุ n  4

9. ให้ a1  3, a2  10, a3  21 และ an  3an1  3an2  an3
จงพสิ จู น์ว่า an  n  2n2 ทุก n  4

10. เชื่อหรอื ไม่ : n  , n  783, 3n4  15n  7 เป็นจานวนคู่

พิสจู น์ ถา้ n = 783 ได้

3(783)4 + 15(783) – 7 = 1,127,634,377,502 ซง่ึ เป็นเลขคู่
สมมตใิ ห้ k  783 และ 3k4  15k  7 เป็นเลขคู่
จะมี m   ซง่ึ 3k4  15k  7  2m

 ดงั นนั้ ได้ 3k  14  15k  1  7  3 k4  4k3  6k2  4k  1  15k  15  7

 3k4  15k  7  12k3  18k2  12k  18

  2 m  6k3  9k2  6k  9 ซง่ึ เป็นเลขคู่ 

ตวั อยา่ งค้าน เม่อื n = 1000 ไดว้ า่ 3n4  15n  7 เป็นเลขค่ี 
เพราะเหน็ ไดช้ ดั ว่า 3n4  15n หารดว้ ย 1000 ลงตวั
ดงั นนั้ เมอ่ื ลบออกดว้ ย 7 ผลทไ่ี ดจ้ งึ เป็นเลขค่ี

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 53

บรรณานุกรม

1. กรรณกิ า กวกั ไพฑรู ย,์ หลกั คณิตศาสตร,์ ภาควชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์
จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั , โรงพมิ พแ์ ห่งจฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั , พ.ศ. 2541.

2. พฒั นี อุดมกะวานิช, หลกั คณิตศาสตร,์ ภาควชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์
จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั , หา้ งหนุ้ สว่ นจากดั พทิ กั ษก์ ารพมิ พ,์ พ.ศ. 2541.

3. พมิ พเ์ พญ็ เวชชาชวี ะ, เอกสารประกอบการบรรยายเรื่อง How to read and do
Proofs, โครงการโอลมิ ปิกวชิ าการ พฒั นามาตรฐานวทิ ยาศาสตร์ คณติ ศาสตรศ์ กึ ษา
ศูนยก์ รงุ เทพมหานคร ณ โรงเรยี นสวนกุหลาบวทิ ยาลยั , พ.ศ. 2552.

4. สภุ า สจุ รติ พงศ์, โครงสรา้ งของระบบจานวน, ภาควชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์
จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั , สานกั พมิ พจ์ ฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั , พ.ศ. 2523.

5. Kurtz, D. C., Foundation of Abstract Analysis, Addison – Wesley
Publishing Company, Inc., 1966.

6. O’Leary, M. L., The Structure of Proof with Logic and Set Theory,
Prentice – Hall, Inc. 2002.

7. Rodgers, N., Learning to Reason An Introduction To Logic, Sets, and
Relations, John Wiley & Sons, Inc., 2000.


Click to View FlipBook Version
Previous Book
KELESTARIAN ALAM - BUDI SUNGAI
Next Book
10 UNIT 1 AL-MUNTAQIMU