คู่มือการใช้หลักสูตรคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560)

ค่มู อื การใชห้ ลกั สตู ร ระดับมธั ยมศึกษาตอนปลาย 51

ซึ่งตรงกับสาระการเรียนรู้แกนกลาง คือ “ประพจน์และตัวเชื่อม” ดังน้ัน
การวัดผลประเมินผลตามผลการเรียนรู้ดังกล่าวสำ�หรับประพจน์และตัวเช่ือม
ให้ถือเป็นการวัดผลประเมินผลสำ�หรับรายวิชาคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน ส่วน
การวัดผลประเมินผลตามผลการเรียนรู้นี้สำ�หรับ “ประโยคท่ีมีตัวบ่งปริมาณ
ตัวเดียว” และ “การอ้างเหตุผล” ซ่ึงไม่ปรากฏในสาระการเรียนรู้แกนกลางน้ัน
ให้ถือเป็นการวัดผลประเมินผลส�ำ หรับรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม
นอกจากนเี้ มอื่ พจิ ารณาตารางแสดงการเทยี บเคยี งตวั ชวี้ ดั ของรายวชิ า
คณิตศาสตร์พ้ืนฐานกับผลการเรียนรู้ของรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติมดังแสดง
ข้างต้น จะเห็นว่าตัวชี้วัดของรายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานและผลการเรียนรู้
ของรายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติมเรื่องเซต และเร่ืองความน่าจะเป็น มีสาระ
การเรยี นรแู้ กนกลางเหมอื นกบั สาระการเรยี นรเู้ พมิ่ เตมิ อยา่ งไรกต็ ามเนอ้ื หาใน
รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติมเป็นการต่อยอดองค์ความรู้ของเน้ือหาในรายวิชา
คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน ซึ่งสถานศึกษาสามารถพิจารณาเพิ่มเติมความลึกของ
เนอื้ หาตามศกั ยภาพของผเู้ รยี น เชน่ ในเรอ่ื งเซต สถานศกึ ษาอาจเพมิ่ เตมิ เนอ้ื หา
เร่ืองเพาเวอร์เซต และการแก้ปัญหาโดยใช้เซตสำ�หรับปัญหาที่มีความซับซ้อน
มากขึ้นให้กับผู้เรียนแผนการเรียนวิทยาศาสตร์ โดยที่การวัดผลประเมินผล
ตามผลการเรียนรู้ในเรื่องน้ีสำ�หรับเนื้อหาที่เพ่ิมเติมเข้ามาจะเป็นการวัดผล
ประเมินผลสำ�หรับรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ส่วนในเร่ืองความน่าจะเป็นนั้น
สถานศกึ ษาอาจเพม่ิ เตมิ ปญั หาเกยี่ วกบั ความนา่ จะเปน็ ทตี่ อ้ งเชอ่ื มโยงกบั ความรู้
เรื่องการเรียงสับเปล่ียนเชิงเส้นกรณีท่ีสิ่งของไม่แตกต่างกันท้ังหมด และ
การเรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ วงกลม ซงึ่ เปน็ สาระการเรยี นรเู้ พมิ่ เตมิ ในเรอื่ งหลกั การนบั
เบ้ืองต้น ให้กับผู้เรียนแผนการเรียนวิทยาศาสตร์ โดยท่ีการวัดผลประเมินผล
ตามผลการเรียนรู้ในเร่ืองนี้สำ�หรับเนื้อหาที่ต้องเช่ือมโยงความรู้ดังกล่าว
จะเปน็ การวดั ผลประเมินผลสำ�หรบั รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม
นอกจากนี้ สำ�หรบั ผลการเรียนรูข้ องรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ อ่นื ๆ
ท่ีไม่เทียบเคียงกันกับตัวชี้วัดของรายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานนั้น ให้การวัดผล
ประเมินผลตามผลการเรียนรู้เหล่าน้ีเป็นการวัดผลประเมินผลสำ�หรับรายวิชา
คณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม

52 สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ความรูเ้ พิ่มเติมสำ�หรบั ผสู้ อนคณิตศาสตร์

หลักสูตร การสอน และการวัดผลประเมินผล เป็นองค์ประกอบหลัก
ท่ีสำ�คัญในการออกแบบแนวทางการจัดการเรียนรู้ หากมีการเปล่ียนแปลง
องคป์ ระกอบใดองคป์ ระกอบหนงึ่ จะสง่ ผลตอ่ องคป์ ระกอบอน่ื ตามไปดว้ ย ดงั นนั้
เพ่ือความสอดคล้องและเกิดประสิทธิผลในการนำ�ไปใช้ หลักสูตรกลุ่มสาระ
การเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลาง
การศกึ ษาข้ันพื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551 จึงกำ�หนดเปา้ หมายและจุดเน้นหลาย
ประการท่ีผู้สอนควรตระหนักและทำ�ความเข้าใจ ท้ังนี้เพื่อให้การจัดการเรียนรู้
สัมฤทธ์ผิ ลตามที่ก�ำ หนดไวใ้ นหลักสตู ร ผู้สอนควรศึกษาเพม่ิ เตมิ ในเร่อื งต่อไปน้ี

การจดั การเรียนรใู้ นศตวรรษที่ 21
ในศตวรรษท่ี 21 (1 มกราคม ค.ศ. 2001 ถึง 31 ธนั วาคม ค.ศ. 2100)
โลกมกี ารเปลยี่ นแปลงในทกุ ๆ ดา้ น ไมว่ า่ จะเปน็ ดา้ นเศรษฐกจิ สงั คม วทิ ยาศาสตร์
และเทคโนโลยี สง่ ผลใหจ้ �ำ เปน็ ตอ้ งมกี ารเตรยี มผเู้ รยี นใหพ้ รอ้ มรบั การเปลย่ี นแปลง
ของโลก ผู้สอนจึงต้องมีความตื่นตัวและเตรียมพร้อมในการจัดการเรียนรู้ให้
ผู้เรียนมีความรู้ ในวิชาหลัก (core subjects) มีทักษะการเรียนรู้ (learning
skills) และพฒั นาผเู้ รยี นใหม้ ที กั ษะทจ่ี �ำ เปน็ ในศตวรรษท่ี 21 ไมว่ า่ จะเปน็ ทกั ษะ
การใชเ้ ทคโนโลยสี ารสนเทศ ทักษะการคดิ และการแก้ปัญหา ทักษะการส่อื สาร
และทักษะชีวติ ทัง้ นี้ เครอื ขา่ ย P21 (Partnership for 21st Century Skills)
ไดจ้ �ำ แนกทักษะทจ่ี ำ�เป็นในศตวรรษที่ 21 ออกเป็น 3 หมวด ได้แก่

1. ทักษะการเรียนรู้และนวัตกรรม (Learning and Innovation Skills)
ได้แก่ การคิดสร้างสรรค์และนวัตกรรม (creativity and innovation)
การคิดแบบมีวิจารณญาณและการแก้ปัญหา (critical thinking and
problem-solving) การส่ือสาร (communication) และการร่วมมือ
(collaboration)

2. ทกั ษะดา้ นสารสนเทศ สอื่ และเทคโนโลยี (Information, Media, and
Technology Skills) ไดแ้ ก่ การรเู้ ทา่ ทนั สารสนเทศ (information literacy)
การรเู้ ท่าทนั สอื่ (media literacy) การรเู้ ทา่ ทนั เทคโนโลยีและการส่อื สาร
(information, communication, and technology literacy)

3. ทักษะชีวติ และอาชีพ (Life and Career Skills) ได้แก่ ความยดื หย่นุ และ
ความสามารถในการปรับตัว (flexibility and adaptability) มีความคิด

ค่มู อื การใชห้ ลกั สูตร ระดับมธั ยมศึกษาตอนปลาย 53

ริเริม่ และกำ�กบั ดแู ลตัวเองได้ (initiative and self-direction) ทกั ษะสงั คม
และเข้าใจในความต่างระหว่างวัฒนธรรม (social and cross-cultural
skills) การเป็นผู้สร้างผลงานหรือผู้ผลิตและมีความรับผิดชอบเช่ือถือได้
(productivity and accountability) และมภี าวะผนู้ �ำ และความรบั ผดิ ชอบ
(leadership and responsibility)
ดงั นน้ั การจดั การเรยี นการสอนในศตวรรษท่ี 21 ตอ้ งมกี ารเปลย่ี นแปลง
ให้เข้ากับสภาพแวดล้อม บริบททางสังคมและเทคโนโลยีท่ีเปล่ียนแปลงไป
ผสู้ อนตอ้ งออกแบบการเรยี นรทู้ เ่ี นน้ ผเู้ รยี นเปน็ ส�ำ คญั โดยใหผ้ เู้ รยี นไดเ้ รยี นจาก
สถานการณ์ในชีวิตจริงและเป็นผู้สร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง มีผู้สอนเป็น
ผู้จุดประกายความสนใจใฝ่รู้ อำ�นวยความสะดวก และสร้างบรรยากาศให้เกิด
การแลกเปล่ยี นเรียนรู้รว่ มกนั

การใชเ้ ทคโนโลยีในการสอนคณิตศาสตร์ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย
การใช้เทคโนโลยีมีความสำ�คัญและจำ�เป็นสำ�หรับผู้เรียนและผู้สอน
ในศตวรรษท่ี 21 ผสู้ อนและผทู้ เี่ กย่ี วขอ้ งกบั การจดั การศกึ ษาควรบรู ณาการและ
ใช้เทคโนโลยีในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ตามสภาพแวดล้อมท่ีเป็นอยู่
ในปัจจุบัน และจัดหาสิ่งอำ�นวยความสะดวกในการใช้เทคโนโลยีเพื่อช่วยให้ผู้
เรยี นเกิดการเรยี นรู้ มีทกั ษะการคิดอย่างมวี ิจารณญาณ สามารถปฏบิ ัตงิ านได้
หลากหลาย ตลอดจนสามารถประยุกต์ใช้เทคโนโลยีอย่างมีประสิทธิภาพ
การสอนคณิตศาสตร์ในระดับมัธยมศึกษาตอนปลายตามหลักสูตรกลุ่มสาระ
การเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลาง
การศกึ ษาขน้ั พนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 ไดเ้ นน้ การใชเ้ ทคโนโลยที งั้ ในหอ้ งเรยี น
และนอกห้องเรียน โดยบูรณาการกับการจัดการเรียนรู้และเน้นให้เกิดทักษะ
และกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ ดังนี้

1. ใช้เทคโนโลยีในการเรียนรู้ เนื่องจากการเรียนรู้คณิตศาสตร์ในระดับ
มัธยมศึกษาตอนปลาย เป็นการศกึ ษาเนอื้ หาทางคณติ ศาสตรท์ ่ลี กึ ซึ้งมากขึน้
และเนน้ การน�ำ ไปประยกุ ตใ์ นชวี ติ จรงิ ดงั นนั้ การน�ำ เทคโนโลยมี าใชใ้ นการ
เรียนการสอนจะช่วยลดเวลา ลดขั้นตอนที่ไม่จำ�เป็น และเพ่ิมเวลาในการ
มงุ่ เนน้ ใหผ้ ู้เรียนบรรลเุ ปา้ หมายของการเรยี น เช่น
• สถิติ เป็นเนื้อหาท่ีเกี่ยวข้องกับการคำ�นวณและมีการใช้
ขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณเปน็ จ�ำ นวนมาก หากผสู้ อนน�ำ เทคโนโลยมี าประกอบการ
เรียนรู้ เช่น Spreadsheet หรือ GeoGebra จะช่วยลดเวลาใน

54 สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

การคำ�นวณ และลดขั้นตอนการคำ�นวณ ทำ�ให้ผู้เรียนมีเวลาใน
การคิดวิเคราะห์ พิจารณาความสมเหตุสมผลของคำ�ตอบ และมุ่งเน้น
การนำ�ค่าสถติ ไิ ปใช้ในการแปลความหมายของขอ้ มลู ได้มากข้นึ
• ฟังก์ชันและกราฟ การคำ�นวณเกี่ยวกับฟังก์ชันและ
การเขียนกราฟด้วยมือนั้นใช้เวลาค่อนข้างมากและไม่ใช่จุดเน้นของ
การเรียน หากผู้สอนใช้เทคโนโลยีช่วยในการเขียนกราฟ เขียนตาราง
เขียนรูปภาพต่าง ๆ เช่น The Geometer’s Sketchpad (GSP) หรือ
GeoGebra จะท�ำ ให้สามารถจัดการเรยี นรูท้ ม่ี ุง่ เน้นไปทีก่ ารท�ำ ความเข้าใจ
กับแนวคิดและหลักการทางคณิตศาสตร์ เปิดโอกาสให้ผู้เรียนได้สำ�รวจ
ตง้ั ข้อสงั เกต และคาดการณ์

2. ใชเ้ ทคโนโลยเี ปน็ แหลง่ การเรยี นร ู้ ในโลกการศกึ ษาปจั จบุ นั มแี หลง่ ขอ้ มลู
ทเี่ ปน็ ประโยชนส์ �ำ หรบั การเรยี นการสอนมากมาย ไมไ่ ดม้ เี ฉพาะในหอ้ งเรยี น
เท่าน้นั ผูเ้ รียนสามารถศึกษาค้นคว้าขอ้ มลู ต่าง ๆ ท้งั ที่เกย่ี วกับเนื้อหาและ
การประยุกต์ได้ในอินเทอร์เน็ตหรือแหล่งเรียนรู้อื่น เช่น เว็บไซต์ต่าง ๆ
สารานุกรมออนไลน์ หรือ หนังสือเรียนอิเล็กทรอนิกส์ (E-Book) เป็นต้น
ซึ่งผู้เรียนสามารถค้นคว้าหาข้อมูลได้อย่างรวดเร็ว ดังนั้นผู้สอนควรนำ�
เทคโนโลยเี หลา่ นไ้ี ปใชป้ ระโยชนใ์ นการจดั การเรยี นการสอน โดยเปดิ โอกาส
ใหผ้ เู้ รยี นศกึ ษาคน้ ควา้ ดว้ ยตนเอง และน�ำ ขอ้ มลู ทไ่ี ดม้ าใชป้ ระโยชนโ์ ดยผา่ น
กระบวนการคิดวเิ คราะห์อย่างเป็นเหตเุ ปน็ ผล

3. ใช้เทคโนโลยีในการส่ือสาร การใช้เทคโนโลยีในการสื่อสารจะทำ�ให้
การสอนคณติ ศาสตรม์ ปี ระสทิ ธภิ าพมากขน้ึ และเปน็ ประโยชนใ์ นการพฒั นา
ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน ทั้งในห้องเรียนและ
นอกหอ้ งเรียน เชน่ การน�ำ เทคโนโลยีมาช่วยในการนำ�เสนอขอ้ มลู สง่ งาน
ส่งการบ้าน หรือเป็นช่องทางการสอนแบบไม่เป็นทางการนอกห้องเรียน
เป็นต้น

หมายเหตุ ดตู วั อยา่ งและแหลง่ ขอ้ มลู เพม่ิ เตมิ เกยี่ วกบั เทคโนโลยไี ดใ้ นภาคผนวก

ค่มู อื การใชห้ ลักสตู ร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย 55

แนวการพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์

ในการจดั การเรยี นรู้ ผสู้ อนจะตอ้ งจดั กจิ กรรม ก�ำ หนดสถานการณห์ รอื
ปัญหาเพ่ือพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ให้กับผู้เรียน โดยมี
ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ทจ่ี �ำ เปน็ 5 ทักษะดังน้ี

การแกป้ ญั หา 1

2

การสอ่ื สารและการสอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร์

การเชื่อมโยง 3
การให้เหตผุ ล 4
การคิดสร้างสรรค์ 5

56 สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

1

การแกป้ ัญหา

การแกป้ ญั หาเปน็ กระบวนการทผี่ เู้ รยี นควรจะเรยี นรู้ ฝกึ ฝน และพฒั นา
ให้เกิดทักษะขึ้นในตนเองเพื่อสร้างองค์ความรู้ใหม่ เพ่ือให้ผู้เรียนมีแนวทางใน
การคดิ ทห่ี ลากหลาย รจู้ กั ประยกุ ตแ์ ละปรบั เปลยี่ นวธิ กี ารแกป้ ญั หาใหเ้ หมาะสม
รู้จักตรวจสอบและสะทอ้ นกระบวนการแก้ปัญหา มนี ิสยั กระตือรอื ร้น ไม่ย่อทอ้
รวมถงึ มคี วามมนั่ ใจในการแกป้ ญั หาทเี่ ผชญิ อยทู่ งั้ ภายในและภายนอกหอ้ งเรยี น
นอกจากนี้ การแกป้ ญั หายงั เปน็ ทกั ษะพนื้ ฐานทผ่ี เู้ รยี นสามารถน�ำ ไปใชใ้ นชวี ติ จรงิ
ไดก้ ารส่งเสริมให้ผู้เรยี นไดเ้ รียนรเู้ กีย่ วกับการแก้ปัญหาอยา่ งมปี ระสิทธผิ ล ควร
ใช้สถานการณ์หรือปัญหาทางคณิตศาสตร์ท่ีกระตุ้น ดึงดูดความสนใจ
สง่ เสรมิ ใหม้ กี ารประยกุ ตค์ วามรทู้ างคณติ ศาสตร์ ขน้ั ตอน/กระบวนการแกป้ ญั หา
และยุทธวิธีแกป้ ัญหาท่หี ลากหลาย
การจัดการเรียนรู้เพื่อให้ผู้เรียนมีทักษะและกระบวนการแก้ปัญหา
ผู้สอนต้องให้โอกาสผู้เรียนได้ฝึกคิดด้วยตนเองให้มาก โดยจัดสถานการณ์หรือ
ปัญหาหรือเกมที่น่าสนใจ ท้าทายให้อยากคิด เริ่มด้วยปัญหาที่เหมาะสมกับ
ศักยภาพของผู้เรียนแต่ละคนหรือผู้เรียนแต่ละกลุ่มโดยอาจเริ่มด้วยปัญหาท่ี
ผู้เรียนสามารถใช้ความรู้ที่เรียนมาแล้วมาประยุกต์ก่อนต่อจากน้ันจึงเพิ่ม
สถานการณ์หรือปัญหาที่แตกต่างจากที่เคยพบมา สำ�หรับผู้เรียนที่มีความ
สามารถสูงผู้สอนควรเพิ่มปัญหาท่ียากซึ่งต้องใช้ความรู้ท่ีซับซ้อน หรือมากกว่า
ทกี่ ำ�หนดไว้ในหลกั สูตรให้ผ้เู รยี นไดฝ้ ึกคดิ ดว้ ย
ในการเร่ิมพัฒนาผู้เรียนให้มีทักษะและกระบวนการแก้ปัญหา ผู้สอน
จะตอ้ งสรา้ งพนื้ ฐานใหผ้ เู้ รยี นเกดิ ความคนุ้ เคยกบั กระบวนการแกป้ ญั หาซง่ึ มอี ยู่
4 ขนั้ ตอนแล้ว จึงฝึกทกั ษะในการแกป้ ญั หา

ค่มู ือการใชห้ ลกั สตู ร ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนปลาย 57

ข้นั ท่ี 1 ทำ�ความเขา้ ใจปญั หา
ขั้นตอนนี้เป็นการพิจารณาว่าสถานการณ์ท่ีกำ�หนด
ให้เป็นปัญหาเก่ียวกับอะไร ต้องการให้หาอะไร
กำ�หนดอะไรให้บ้าง เกี่ยวข้องกับความรู้ใดบ้าง
การทำ�ความเข้าใจปัญหาอาจใช้วิธีการต่าง ๆ ช่วย
เชน่ การวาดภาพ การเขยี นตาราง การบอกหรอื เขยี น
สถานการณ์ปัญหาด้วยภาษาของตนเอง

ข้นั ท ่ี 2 วางแผนแก้ปัญหา
ขัน้ ตอนน้ีเปน็ การพิจารณาวา่ จะแก้ปญั หาด้วยวิธีใด
จะแก้อย่างไร รวมถึงพิจารณาความสัมพันธ์ของ
ส่ิงต่างๆ ในปัญหา ผสมผสานกับประสบการณ์
การแก้ปัญหาท่ีผู้เรียนมีอยู่ เพื่อกำ�หนดแนวทาง
ในการแกป้ ญั หา และเลอื กยุทธวธิ แี ก้ปญั หา

ขนั้ ท ี่ 3 ดำ�เนนิ การแกป้ ัญหา
ขน้ั ตอนนเ้ี ปน็ การลงมอื ปฏบิ ตั ติ ามแผนหรอื แนวทาง
ทวี่ างไว ้ จนสามารถหาค�ำ ตอบได้ ถา้ แผนหรอื ยทุ ธวธิ ี
ที่ เ ลื อ ก ไ ว้ ไ ม่ ส า ม า ร ถ ห า คำ � ต อ บ ไ ด้ ผู้ เ รี ย น ต้ อ ง
ตรวจสอบความถูกต้องของแต่ละข้ันตอนในแผน
ที่วางไว้ หรอื เลอื กยทุ ธวิธใี หมจ่ นกว่าจะได้ค�ำ ตอบ

ขั้นที ่ 4 ตรวจสอบ
ขั้นตอนนี้เป็นการพิจารณาความถูกต้องและความ
สมเหตสุ มผลของค�ำ ตอบ ผเู้ รยี นอาจมองยอ้ นกลบั ไป
พิจารณายุทธวิธีอ่ืน ๆ ในการหาคำ�ตอบ และขยาย
แนวคดิ ไปใช้กบั สถานการณ์ปัญหาอ่นื

58 สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

การสอนการแก้ปัญหาควรมุ่งเน้นกระบวนการคิด ให้ผู้เรียนสามารถ
คิดเป็น แกป้ ญั หาไดต้ ามขั้นตอนของการแก้ปัญหา ไม่ใชม่ ุ่งเน้นเฉพาะผลลัพธ์
หรือคำ�ตอบของปัญหา ผู้สอนสามารถจัดกิจกรรมให้ผู้เรียนเรียนรู้อย่าง
ค่อยเป็นค่อยไป โดยกำ�หนดประเด็นหรือคำ�ถามนำ�ให้คิดและหาคำ�ตอบเป็น
ลำ�ดับเร่ือยไปจนผู้เรียนสามารถหาคำ�ตอบได้ หลังจากนั้นในปัญหาต่อ ๆ ไป
ผู้สอนจึงค่อย ๆ ลดประเด็นคำ�ถามลงมา จนสุดท้ายเม่ือเห็นว่าผู้เรียนมีทักษะ
ในการแก้ปัญหาเพียงพอแล้ว ก็ไม่จำ�เป็นต้องให้ประเด็นคำ�ถามชี้นำ�ก็ได้ ท้ังนี้
ผู้สอนควรเสริมแรงเมื่อผู้เรียนแก้ปัญหาได้ เพ่ือช่วยให้ผู้เรียนมีเจตคติที่ดีต่อ
การเรียนคณิตศาสตร์ซ่ึงจะช่วยพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก
ซับซ้อนตอ่ ไปในอนาคต

ในการจดั ใหม้ กี ารเรยี นรกู้ ระบวนการแกป้ ญั หาตามล�ำ ดบั ขน้ั ตอนนนั้ เมอ่ื ผเู้ รยี น
เขา้ ใจกระบวนการแลว้ ผสู้ อนควรพฒั นาผเู้ รยี นใหม้ ที กั ษะ โดยควรเนน้ ใหผ้ เู้ รยี น
ฝึกการวิเคราะห์แนวคิดอย่างหลากหลายในขั้นวางแผนแก้ปัญหาเพราะเป็น
ข้นั ตอนทม่ี ีความส�ำ คญั และยากส�ำ หรบั ผเู้ รยี น
กำ�หนดสถานการณ์ปญั หา “ไกก่ ับกระตา่ ย” ดงั นี้

ตัวอย่าง พอ่ ของนติ ยาเลยี้ งไกก่ บั กระตา่ ยไวจ้ �ำ นวนหนงึ่ ปกตพิ อ่ จะแยกเลย้ี งไกไ่ วใ้ นเลา้
การแกป้ ัญหา และเลี้ยงกระต่ายไว้ในกรง วันหนึ่งพ่อปล่อยให้ไก่กับกระต่ายออกมาวิ่งเล่น
ในทุ่งหญา้ หลังบา้ น นิตยาออกมาเดนิ เล่นและเหน็ ไก่กบั กระต่ายจงึ ไปถามพอ่
นิตยา : คุณพ่อเล้ยี งไก่กับกระต่ายไว้อย่างละกี่ตวั คะ
พอ่ : ถ้าลูกอยากรู้ตอ้ งหาคำ�ตอบเองนะ พอ่ รวู้ า่ นบั ไกก่ บั กระตา่ ยรวมกันได้
30 ตวั ถา้ นบั ขาไก่กับขากระตา่ ยรวมกนั จะได้ 86 ขา
นติ ยา : ไม่ยากเลยค่ะคณุ พ่อ หนหู าค�ำ ตอบได้

ผู้สอนอาจให้ผู้เรียนแต่ละคนหาคำ�ตอบตามแนวคิดของตนเองหรืออาจจัดเป็น
กิจกรรมกลุ่มให้ผู้เรียนช่วยกันคิดหาค�ำ ตอบก็ได้ ซึ่งปัญหานี้ผู้เรียนสามารถหา
ค�ำ ตอบไดโ้ ดยใชว้ ิธตี ่างกนั เช่น

วธิ ีที่ 1 ใช้แผนภาพ
1) เริ่มด้วยการวาดภาพ 30 ภาพ แทนตวั ของสตั วท์ งั้ หมด
2) สมมติวา่ สัตว์ทกุ ตวั เปน็ ไก่โดยเขียนขาของทุกตวั เปน็ 2 ขา แลว้ วาดขาเพ่มิ
ไปทลี ะรูปแทนกระต่ายจนจำ�นวนขาครบตามทก่ี ำ�หนด

ค่มู อื การใชห้ ลักสูตร ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนปลาย 59

แทนกระตา่ ย 1 ตวั

แทนไก่ 1 ตวั

คำ�ตอบ มีกระตา่ ย 13 ตัว และไก่ 17 ตัว

วธิ ีท่ี 2 ใช้ตารางช่วยในการวิเคราะห์
1) กำ�หนดจำ�นวนไก่ และกระตา่ ยรวมกนั เป็น 30 ตวั กอ่ น
2) ค่อย ๆ ลดหรือเพม่ิ จ�ำ นวนไก่และกระต่ายให้สอดคลอ้ งกับจำ�นวนขา
ตามทีก่ ำ�หนด

ขา้ มขัน้ จำ�นวน จำ�นวน จำ�นวน จำ�นวน จำ�นวน
ข้ามข้ัน กระตา่ ย ขากระต่าย ไก่ ขาของไก่ ขาท้งั หมด
(ตัว)
(ตวั ) (ขา) 29 (ขา) (ขา)
1 4 25 58 62
5 20 20 50 70
10 40 19 40 80
11 44 18 38 82
12 48 17 36 84
13 52 34 86

ได้จำ�นวนขาเทา่ กบั ทโี่ จทย์กำ�หนด
คำ�ตอบ มีกระต่าย 13 ตัว และไก ่ 17 ตัว

จะสังเกตเหน็ วา่ จากวธิ ีท่ี 2 ผเู้ รียนเร่มิ ตน้ ดว้ ยการจับคูก่ ระตา่ ย 1 ตวั และไก่
29 ตวั กอ่ น แลว้ หาจ�ำ นวนขาของสตั วท์ ง้ั หมด สงั เกตผลลพั ธ์ ใชท้ กั ษะการคาดเดา
และการวเิ คราะหค์ �ำ ตอบ โดยขา้ มขนั้ ตอนบางขน้ั ตอน จนกระทงั่ ไดค้ �ำ ตอบตาม
ตอ้ งการ

60 สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

วิธที ี่ 3 ใชส้ มการ
สมมติให้มีไก่อย ู่ x ตัว
จะมีกระตา่ ย 30 – x ตวั
จะไดจ้ ำ�นวนขาของไก ่ 2x ขา
และจำ�นวนขาของกระต่าย 4(30 – x) ขา
ปญั หาไดก้ �ำ หนดใหจ้ �ำ นวนขาของไกแ่ ละขาของกระตา่ ยรวมกนั 86 ขา
เขยี นสมการและแก้สมการดังน้ี
2x + 4(30 – x) = 86
2x + 120 – 4x = 86
– 2x = 86 – 120
x = ––324
x = 17
คำ�ตอบ มีไก ่ 17 ตวั และกระตา่ ย 13 ตวั

จากสถานการณ์ปัญหา “ไก่และกระต่าย” ท่ีให้เป็นตัวอย่างข้างต้นนี้
ผู้เรียนอาจแสดงแนวคิดที่แตกต่างจากน้ีได้อีก ผู้สอนจะต้องใช้ดุลพินิจพิจารณา
วิธีการต่าง ๆ ที่ผู้เรียนแสดงแนวคิด โดยกล่าวชมเชยส่งเสริมแนวคิดนั้น ช้ีข้อ
บกพรอ่ งตลอดจนอธบิ ายและให้ความรเู้ พิม่ เตมิ
ขั้นตอนท่ีสำ�คัญอีกข้ันตอนหนึ่งท่ีผู้สอนจะต้องเน้นอยู่เสมอคือ ข้ันตอน
การตรวจสอบคำ�ตอบท่ีต้องคำ�นวณจำ�นวนขาของไก่และขาของกระต่ายจาก
จ�ำ นวนตวั ทผ่ี เู้ รยี นหาไดว้ า่ สอดคลอ้ งกบั ทโ่ี จทยห์ รอื ปญั หาก�ำ หนดใหห้ รอื ไม ่ ดงั น ้ี
ไก ่ 17 ตวั มี 34 ขา
กระต่าย 13 ตวั มี 52 ขา
รวมจ�ำ นวนตวั ได้ 30 ตัว และจำ�นวนขาได้ 86 ขา
ซงึ่ สอดคล้องกบั ขอ้ กำ�หนดของปญั หา

2

การพฒั นาทกั ษะและกระบวนการการสอ่ื สารและการสอ่ื ความหมาย
ทางคณติ ศาสตร์

การสื่อสาร เป็นวิธีการแลกเปล่ียนความคิดและสร้างความเข้าใจ
ระหว่างบุคคล ผา่ นชอ่ งทางการสอ่ื สารต่าง ๆ ไดแ้ ก่ การฟัง การพูด การอ่าน
การเขยี น การสงั เกต และการแสดงท่าทาง

ค่มู ือการใชห้ ลักสูตร ระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลาย 61

การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ เป็นกระบวนการส่ือสารท่ีนอกจากนำ�เสนอ
ผ่านช่องทางการสอ่ื สาร การฟงั การพดู การอ่าน การเขยี น การสงั เกต และการแสดงทา่ ทาง
ตามปกตแิ ลว้ ยงั เปน็ การสอ่ื สารทมี่ ลี กั ษณะพเิ ศษ โดยมกี ารใชส้ ญั ลกั ษณ์ ตวั แปร ตาราง กราฟ
สมการ อสมการ ฟังก์ชนั หรอื แบบจำ�ลอง เป็นตน้ มาชว่ ยในการส่อื ความหมายด้วย
การส่ือสารและการส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์เป็นทักษะและกระบวนการ
ทางคณิตศาสตร์ท่ีจะช่วยให้ผู้เรียนสามารถถ่ายทอดความรู้ความเข้าใจ แนวคิดทาง
คณิตศาสตร์ หรือกระบวนการคิดของตนให้ผู้อ่ืนรับรู้ได้อย่างถูกต้อง ชัดเจน และมี
ประสทิ ธภิ าพ การทผี่ เู้ รยี นมสี ว่ นรว่ มในการอภปิ รายหรอื การเขยี นเพอื่ แลกเปลย่ี นความรแู้ ละ
ความคดิ เหน็ ถ่ายทอดประสบการณซ์ ึง่ กนั และกัน ยอมรบั ฟังความคดิ เหน็ ของผอู้ ่นื จะช่วยให้
ผู้เรียนเรียนรู้คณิตศาสตร์ได้อย่างมีความหมาย เข้าใจได้อย่างกว้างขวางลึกซ้ึงและจดจำ�ได้
นานมากขนึ้
การจดั การเรยี นรเู้ พอื่ ใหเ้ กดิ ทกั ษะการสอ่ื สารและการสอื่ ความหมายทางคณติ ศาสตร์
ทำ�ได้ทุกเนื้อหาท่ีต้องการให้คิดวิเคราะห์ สังเคราะห์ เพ่ือนำ�ไปสู่การแก้ปัญหา เช่น ในวิชา
เรขาคณติ มเี นือ้ หาทีต่ ้องฝกึ การวิเคราะห์ การให้เหตผุ ล และการพิสูจน์ ผ้เู รยี นต้องฝึกทักษะ
ในการสังเกต การน�ำ เสนอรูปภาพต่าง ๆ เพอ่ื สอ่ื ความหมายแลว้ น�ำ ความรู้ทางเรขาคณิตไป
อธบิ ายปรากฏการณแ์ ละสงิ่ แวดล้อมต่าง ๆ ท่ีเก่ยี วขอ้ งกับชีวติ ประจ�ำ วนั
การจดั การเรยี นรูเ้ พื่อใหเ้ กิดทักษะการสอ่ื สารและการสอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร์
ในวิชาพีชคณิต เป็นการฝึกทักษะให้ผู้เรียนรู้จักคิดวิเคราะห์ปัญหา สามารถเขียนปัญหาใน
รปู แบบของตาราง กราฟ หรอื ขอ้ ความ เพอ่ื สอ่ื สารความสมั พนั ธข์ องจ�ำ นวนเหลา่ นนั้ ขนั้ ตอน
ในการดำ�เนินการเร่ิมจากการกำ�หนดโจทย์ปัญหาให้ผู้เรียนวิเคราะห์ กำ�หนดตัวแปร เขียน
ความสมั พนั ธข์ องตวั แปรในรปู ของสมการหรอื อสมการตามเงอื่ นไขทโ่ี จทยก์ �ำ หนด และด�ำ เนนิ
การแกป้ ัญหาโดยใช้วธิ กี ารทางพีชคณติ
การจดั การเรยี นรเู้ พอื่ ใหเ้ กดิ ทกั ษะการสอ่ื สารและการสอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร์
มีแนวทางในการด�ำ เนินการดงั น้ี
1. ก�ำ หนดโจทยป์ ญั หาท่ีน่าสนใจและเหมาะสมกับความสามารถของผเู้ รียน
2. ให้ผู้เรียนได้ลงมือปฏิบัติและแสดงความคิดเห็นด้วยตนเอง โดยผู้สอนช้ีแนะแนวทาง

ในการส่ือสารและการสอ่ื ความหมาย
การฝึกทกั ษะและกระบวนการนต้ี อ้ งทำ�อย่างต่อเนือ่ ง โดยสอดแทรกอยู่ทุกขั้นตอน
ของการจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ ใหผ้ เู้ รยี นคดิ ตลอดเวลาทเ่ี หน็ ปญั หาวา่ ท�ำ ไมจงึ เปน็ เชน่ นนั้
จะมวี ธิ แี กป้ ญั หาอยา่ งไร เขยี นรปู แบบความสมั พนั ธข์ องตวั แปรเปน็ อยา่ งไร จะใชภ้ าพ ตาราง
หรือกราฟใดชว่ ยในการสอ่ื ความหมาย

62 สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

ตวั อย่างการส่อื สารและการสอื่ ความหมายทางคณติ ศาสตร์
กำ�หนดสถานการณ์ดังน้ี

ตัวอย่างการ รา้ นคา้ แหง่ หนึง่ มีลูกจ้าง 3 คน คือ แดง น้อย และจติ โดยแต่ละคนเสนอค่าจ้าง
สอ่ื สารและการ ทำ�งานช่ัวโมงละ 100 , 110 และ 120 บาท ตามลำ�ดับ และมีงาน 3 อย่าง
สื่อความหมายทาง คอื a, b และ c

คณติ ศาสตร์

จำ�นวนชว่ั โมงทแ่ี ดงทำ�งาน a , b และ c คอื 7.5 , 8 และ 4.5 ชว่ั โมง ตามลำ�ดบั
จำ�นวนชว่ั โมงทน่ี อ้ ยทำ�งาน a , b และ c คอื 6 , 8.5 และ 5 ชว่ั โมง ตามลำ�ดบั
จำ�นวนชว่ั โมงทจ่ี ติ ทำ�งาน a , b และ c คอื 6.5 , 7 และ 3.5 ชว่ั โมง ตามลำ�ดบั

อยากทราบว่านายจ้างควรให้ลูกจ้างคนใดทำ�งานอย่างใดท่ีสามารถทำ�งานน้ัน
เสร็จ และจ่ายเงินน้อยที่สุด และถ้านายจ้างต้องการรับลูกจ้างเพ่ือเข้าทำ�งาน
ทัง้ สามอยา่ งเพียงหนึ่งคน เขาควรรับลูกจา้ งคนใดเขา้ ทำ�งานจึงจะจา่ ยเงินน้อย
ทสี่ ุด

ในการแก้ปัญหาน้ีผู้เรียนจะวิเคราะห์ปัญหาและใช้ตารางช่วยใน
การสอื่ สาร การสื่อความหมายข้อมูลทีก่ �ำ หนดให้ ดังตารางท่ี 1

จำ�นวนชวั่ โมงการทำ�งาน จิต
งาน
แดง นอ้ ย

a 7.5 6 6.5
b 8 8.5 7
c 4.5 5 3.5

ตารางที่ 1 แสดงช่ัวโมงการทำ�งาน

ค่มู อื การใชห้ ลกั สตู ร ระดบั มัธยมศกึ ษาตอนปลาย 63

จากนน้ั ผเู้ รยี นชว่ ยกนั หาค�ำ ตอบและสรา้ งตารางใหมเ่ พอ่ื แสดงจ�ำ นวน
เงินทน่ี ายจ้างต้องจ่ายจากการท�ำ งานทั้ง 3 อย่าง ดงั ตารางที่ 2

งาน จำ�นวนเงินท่ีนายจ้างต้องจ่าย (บาท)

แดง น้อย จิต

a 750 660 780

b 800 935 840

c 450 550 420

รวม 2,000 2,145 2,040

ตารางที่ 2 แสดงจำ�นวนเงนิ ทนี่ ายจา้ งตอ้ งจา่ ย

ผเู้ รียนสามารถใช้ตารางที่ 2 นำ�เสนอค�ำ ตอบดงั นี้

ควรจา้ งนอ้ ยทำ�งาน a เพราะจ่ายค่าจ้างน้อยที่สดุ

ควรจ้างแดงทำ�งาน b เพราะจ่ายค่าจา้ งนอ้ ยท่สี ดุ

ควรจ้างจิตท�ำ งาน c เพราะจ่ายค่าจ้างน้อยทสี่ ดุ

และควรจ้างแดงทำ�งานท้ัง 3 อย่าง เพราะจ่ายค่าจ้างในการทำ�งาน

รวมนอ้ ยทส่ี ุด

การพฒั นาทกั ษะและกระบวนการการเช่ือมโยง 3

การเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ เป็นกระบวนการท่ีต้องอาศัยการคิด
วเิ คราะห์ และความคดิ ริเรม่ิ สร้างสรรค์ ในการน�ำ ความรู้ เนอื้ หา และหลักการ
ทางคณติ ศาสตร์ มาสรา้ งความสมั พนั ธอ์ ยา่ งเปน็ เหตเุ ปน็ ผลระหวา่ งความรแู้ ละ
ทกั ษะและกระบวนการทม่ี ใี นเนอื้ หาคณติ ศาสตรก์ บั งานทเี่ กยี่ วขอ้ ง เพอ่ื น�ำ ไปสู่
การแก้ปญั หาและการเรยี นรแู้ นวคดิ ใหมท่ ซ่ี บั ซ้อนหรือสมบรู ณ์ขนึ้
การทผี่ เู้ รยี นเหน็ การเชอื่ มโยงทางคณติ ศาสตร์ จะสง่ เสรมิ ใหผ้ เู้ รยี นเหน็
ความสมั พนั ธข์ องเนอ้ื หาตา่ ง ๆ ในคณติ ศาสตร์ และความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งแนวคดิ
ทางคณิตศาสตร์กับศาสตร์อ่ืน ๆ ทำ�ให้ผู้เรียนเข้าใจเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ได้
ลกึ ซงึ้ และมคี วามคงทนในการเรยี นรู้ ตลอดจนชว่ ยใหผ้ เู้ รยี นเหน็ วา่ คณติ ศาสตร์
มีคุณคา่ นา่ สนใจ และสามารถนำ�ไปใช้ประโยชน์ในชีวติ จรงิ ได้
ในการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์ท่ีต้องการให้ผู้เรียนมีความรู้และมี
พน้ื ฐานในการทจี่ ะน�ำ ไปศกึ ษาตอ่ นนั้ จ�ำ เปน็ ตอ้ งบรู ณาการเนอ้ื หาตา่ ง ๆ ในวชิ า
คณิตศาสตร์เข้าด้วยกัน เช่น การใช้ความรู้ในเร่ืองเซตในการให้คำ�จำ�กัดความ
หรือบทนยิ ามในเร่อื งตา่ ง ๆ เชน่ บทนยิ ามของฟงั ก์ชันในรปู ของเซต บทนิยาม
ของล�ำ ดับในรูปของฟงั ก์ชัน

64 สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

นอกจากการเชอ่ื มโยงระหวา่ งเนอ้ื หาตา่ ง ๆ ในคณติ ศาสตรด์ ว้ ยกนั แลว้
ยงั มกี ารเชอ่ื มโยงคณิตศาสตร์กบั ศาสตรอ์ ่นื ๆ โดยใช้คณิตศาสตรเ์ ป็นเครือ่ งมือ
ในการเรียนรู้ และใช้การแก้ปัญหา เช่น เร่ืองการเงิน การคิดดอกเบี้ยทบต้น
ก็อาศัยความรู้ในเรื่องเลขยกกำ�ลังและผลบวกของอนุกรม ในงานศิลปะและ
การออกแบบบางชนดิ ก็ใชค้ วามรูเ้ กยี่ วกบั รปู เรขาคณติ
นอกจากนั้นแล้วยังมีการนำ�ความรู้ทางคณิตศาสตร์ไปประยุกต์ใน
วิชาชีพบางอย่างโดยตรง เช่น การตัดเย็บเสื้อผ้า งานคหกรรมเก่ียวกับอาหาร
งานเกษตร งานออกแบบสร้างหีบห่อ บรรจุภัณฑ์ต่าง ๆ รวมถึงการนำ�
คณติ ศาสตรไ์ ปเชอ่ื มโยงกบั ชวี ติ ความเปน็ อยปู่ ระจ�ำ วนั เชน่ การซอ้ื ขาย การชงั่
ตวง วัด การคำ�นวณระยะทางและเวลาที่ใช้ในการเดินทาง การวางแผนใน
การออมเงินไว้ใชใ้ นชว่ งบั้นปลายของชวี ิต
องคป์ ระกอบหลกั ทสี่ ง่ เสรมิ การพฒั นาการเรยี นรทู้ กั ษะและกระบวนการ
การเชอื่ มโยงความรูต้ ่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเชือ่ มโยงคณติ ศาสตรก์ บั ศาสตร์
อ่ืน ๆ มีดงั นี้
1. มีความคิดรวบยอดทางคณิตศาสตร์อยา่ งเด่นชัดในเรอื่ งนัน้
2. มีความรู้ในเนื้อหาท่ีจะนำ�ไปเชื่อมโยงกับสถานการณ์หรืองานอื่น ๆ

ท่ีต้องการเปน็ อย่างดี
3. มีทักษะในการมองเห็นความเกี่ยวข้องเช่ือมโยงระหว่างความรู้และทักษะ

และกระบวนการท่ีมใี นเนือ้ หาน้นั กบั งานท่ีเก่ียวข้อง
4. มีทักษะในการสร้างแบบจำ�ลองทางคณิตศาสตร์เพ่ือสร้างความสัมพันธ์

และเช่ือมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อ่ืน ๆ หรือคณิตศาสตร์กับสถานการณ์
ท่ตี อ้ งเกี่ยวข้อง
5. มีความเข้าใจในการแปลความหมายของคำ�ตอบท่ีหาได้จากแบบจำ�ลอง
ทางคณิตศาสตร์ว่ามีความเป็นไปได้หรือสอดคล้องกับสถานการณ์น้ัน ๆ
อยา่ งสมเหตสุ มผล
ในการจัดการเรียนรู้ให้ผู้เรียนได้พัฒนาทักษะและกระบวนการ
การเช่อื มโยงความรู้ทางคณิตศาสตรน์ นั้ ผสู้ อนอาจจดั กจิ กรรมหรือสถานการณ์
ปญั หาสอดแทรกในการเรยี นรอู้ ยเู่ สมอ เพอื่ ใหผ้ เู้ รยี นไดเ้ หน็ การน�ำ ความรู้ เนอื้ หา
สาระ และกระบวนการทางคณิตศาสตร์มาใช้ในการเรียนรู้เน้ือหาใหม่ หรือ
น�ำ ความรแู้ ละกระบวนการทางคณติ ศาสตรม์ าแกป้ ญั หาในสถานการณท์ ผ่ี สู้ อน
ก�ำ หนดขนึ้ เพอ่ื ใหผ้ เู้ รยี นเหน็ ความเชอื่ มโยงของคณติ ศาสตรก์ บั ศาสตรอ์ นื่ ๆ หรอื
เหน็ การน�ำ คณติ ศาสตรไ์ ปประยกุ ตใ์ นชวี ติ ประจ�ำ วนั เพอื่ ใหผ้ เู้ รยี นไดม้ กี ารปฏบิ ตั ิ
จริงและมีทักษะและกระบวนการเชื่อมโยงความรู้นี้ ผู้สอนอาจมอบหมายงาน
หรอื กจิ กรรมใหผ้ เู้ รยี นไดไ้ ปศกึ ษาคน้ ควา้ หาความรทู้ เ่ี กย่ี วขอ้ งกบั กจิ กรรมนนั้ ๆ
แลว้ นำ�เสนองานต่อผู้สอนและผู้เรยี น ใหม้ ีการอภิปรายและหาขอ้ สรุปร่วมกัน

คมู่ อื การใช้หลักสตู ร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนปลาย 65

ตวั อย่างการเช่อื มโยง
ก�ำ หนดสถานการณป์ ัญหาดงั นี้

ตวั อยา่ งการ บริษัทกอ่ สรา้ งด�ำ รงตอ้ งการเช่าทีด่ นิ ขนาด 2 ไร ่ จ�ำ นวน 1 แปลง สำ�หรบั เก็บ
เชื่อมโยง วัสดุก่อสรา้ งในราคาประหยัด และมีผู้น�ำ ท่ีดินมาเสนอให้เช่า 2 ราย ดงั นี้

นายบญุ เสนอทด่ี นิ 2 ไร่ 1 งาน คดิ ราคาคา่ เชา่ ทด่ี นิ ทง้ั แปลงเดอื นละ 7,000 บาท
นางลว้ น เสนอทด่ี ิน 5 ไร่ 3 งาน แบ่งท่ดี ินให้เช่าได้โดยคดิ ค่าเชา่ ตารางวาละ
100 บาทต่อปี

ถ้าผู้เรียนเป็นเจ้าของบริษัทก่อสร้างดำ�รง ผู้เรียนจะตกลงเช่าท่ีดินของใคร
เพราะเหตใุ ด

จากสถานการณ์ปัญหาข้างต้น จะเห็นว่าผู้เรียนต้องใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์

ในการค�ำ นวณคา่ เชา่ ทด่ี นิ ตอ้ งค�ำ นงึ ถงึ ราคาทต่ี อ้ งการประหยดั ตอ้ งใชเ้ หตผุ ล

ประกอบการตดั สนิ ใจ การน�ำ เสนอเฉพาะค�ำ ตอบของผเู้ รยี นไมใ่ ชส่ ง่ิ ส�ำ คญั ทส่ี ดุ

ผสู้ อนจะตอ้ งใหค้ วามส�ำ คญั ตอ่ แนวคดิ และเหตผุ ลของผเู้ รยี นแตล่ ะคนประกอบ

ด้วย

ตัวอย่างคำ�ตอบและเหตผุ ลของผู้เรยี นอาจเปน็ ดงั นี้

ด.ช.กอ่ ตอบวา่ ควรเชา่ ทด่ี นิ ของนายบญุ ซง่ึ มคี า่ ใชจ้ า่ ยปลี ะ 84,000 บาท

(7,000 × 12 = 84,000) และได้ท่ีดินมากกว่าทก่ี ำ�หนดไว้อีก 1 งาน

ด.ญ.นติ ยา ตอบว่า ควรเช่าทีด่ นิ ของนางล้วน ซ่งึ คดิ ค่าเชา่ 2 ไรห่ รือ

800 ตารางวา เปน็ เงนิ 80,000 บาทตอ่ ป ี ซงึ่ เปน็ ราคาเชา่ ทถี่ กู กวา่ เชา่ ทดี่ นิ ของ

นายบุญ

ด.ญ.นชุ ตอบวา่ ควรเชา่ ทด่ี นิ ของนายบญุ ซง่ึ เมอ่ื คดิ คา่ เชา่ เปน็ ตารางวา

ตอ่ ปแี ลว้ จะจ่ายเพยี งตารางวาละ 93 บาท 7000 × 12 ≈ 93
ซง่ึ ถูกกวา่ คา่ เช่าที่ดินของนางลว้ น 900

ผู้สอนอาจเปิดประเด็นให้ผู้เรียนได้มีการอภิปรายต่อในเร่ืองน้ีได้อีก

ในประเด็นที่ว่าในชีวิตจริงแล้วก่อนตัดสินใจลงทุนทำ�กิจการใดผู้ลงทุนจะ

ไมพ่ จิ ารณาเฉพาะคา่ เชา่ เพยี งอยา่ งเดยี วตอ้ งพจิ ารณาองคป์ ระกอบอนื่ ๆ ดว้ ย เชน่

สภาพแวดลอ้ ม ความสะดวกในการเขา้ หรอื ออก ทดี่ นิ อยใู่ กลห้ รอื ไกลจากบรษิ ทั

66 สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

เพียงใด ประเด็นเหล่านี้จะช่วยทำ�ให้ผู้เรียนมีความคิดพิจารณาในวงกว้างข้ึน
สามารถน�ำ ความคิดเชน่ นีไ้ ปประยุกตใ์ นชีวติ จริงได้ เปน็ การส่งเสริมทกั ษะและ
กระบวนการการให้เหตุผล ความคิดสร้างสรรค์ ส่งเสริมคุณธรรม จริยธรรม และ
ค่านยิ มในดา้ นความคดิ อย่างถถี่ ้วนรอบคอบ กลา้ แสดงความคดิ เหน็ และคิด
อย่างมีวิจารณญาณอีกด้วย ในการจัดการเรียนรู้ท่ีต้องการให้ผู้เรียนมีการ
พัฒนาการเรียนรู้ ผู้สอนควรจัดกิจกรรมหรือให้ปัญหาท่ีเปิดโอกาสให้ผู้เรียน
ได้คิด สามารถบอกแนวคิดและแสดงเหตุผลได้ ผู้สอนไม่ควรดูเฉพาะคำ�ตอบท่ี
หาไดจ้ ากการค�ำ นวณเทา่ นน้ั ค�ำ ตอบของปญั หาอาจมมี ากกวา่ 1 ค�ำ ตอบ ขนึ้ อยู่
กับการให้เหตผุ ลประกอบทสี่ มเหตสุ มผลด้วย

4

การพฒั นาทักษะและกระบวนการการให้เหตุผล

การใหเ้ หตผุ ล เปน็ กระบวนการคดิ ทางคณติ ศาสตรท์ ต่ี อ้ งอาศยั การคดิ
วิเคราะห์และความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์ ในการรวบรวมข้อเท็จจริง ข้อความ
แนวคดิ สถานการณท์ างคณติ ศาสตรต์ า่ ง ๆ แจกแจงความสมั พนั ธ์ หรอื การเชอื่ มโยง
เพ่ือให้เกดิ ขอ้ เท็จจรงิ หรือสถานการณ์ใหม่
การให้เหตุผลเป็นทักษะและกระบวนการท่ีส่งเสริมให้ผู้เรียนรู้จักคิด
อยา่ งมเี หตุผล คิดอยา่ งเปน็ ระบบ สามารถคดิ วิเคราะห์ปัญหาและสถานการณ์
ได้อย่างถ่ีถ้วนรอบคอบ สามารถคาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ และแก้ปัญหา
ไดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ งและเหมาะสม การคดิ อยา่ งมเี หตผุ ลเปน็ เครอ่ื งมอื ส�ำ คญั ทผ่ี เู้ รยี น
จะน�ำ ไปใชพ้ ฒั นาตนเองในการเรยี นรสู้ ง่ิ ใหม ่ เพอ่ื น�ำ ไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นการท�ำ งาน
และการด�ำ รงชีวิต
การจัดการเรียนรู้ให้ผู้เรียนรู้จักคิดและให้เหตุผลเป็นสิ่งสำ�คัญ โดย
ทั่วไปเข้าใจกันว่าการฝึกให้รู้จักให้เหตุผลท่ีง่ายที่สุด คือ การฝึกจากการเรียน
เรขาคณติ ตามแบบยคุ ลดิ เพราะมโี จทยเ์ กยี่ วกบั การใหเ้ หตผุ ลมากมาย มที ง้ั การ
ใหเ้ หตผุ ลอยา่ งงา่ ย ปานกลาง และยาก แตแ่ ทท้ จ่ี รงิ แลว้ การฝกึ ใหผ้ เู้ รยี นรจู้ กั คดิ
และใหเ้ หตผุ ลอยา่ งสมเหตสุ มผลนน้ั สามารถสอดแทรกไดใ้ นการเรยี นรทู้ กุ เนอ้ื หา
ของวิชาคณิตศาสตร์ และวชิ าอืน่ ๆ ด้วย

ค่มู อื การใชห้ ลักสตู ร ระดับมธั ยมศึกษาตอนปลาย 67

องค์ประกอบหลักท่ีส่งเสริมให้ผู้เรียนสามารถคิดอย่างมีเหตุมีผลและ
รู้จกั ใหเ้ หตุผลมีดงั น้ี
1. ควรใหผ้ เู้ รยี นไดพ้ บกบั โจทย์ หรอื ปญั หาทผ่ี เู้ รยี นสนใจ เปน็ ปญั หาทไ่ี มย่ าก

เกินความสามารถของผูเ้ รียนทีจ่ ะคิด และให้เหตุผลในการหาคำ�ตอบได้
2. ใหผ้ เู้ รยี นมโี อกาสและเปน็ อสิ ระทจ่ี ะแสดงออกถงึ ความคดิ เหน็ ในการใชแ้ ละ

ให้เหตผุ ลของตนเอง
3. ผูส้ อนช่วยสรุปและช้แี จงให้ผเู้ รียนเข้าใจวา่ เหตผุ ลของผู้เรยี นถูกตอ้ งตาม

หลักเกณฑ์หรือไม่ ขาดตกบกพร่องอยา่ งไร

การเรมิ่ ตน้ ทจี่ ะสง่ เสรมิ ใหผ้ เู้ รยี นเรยี นรู้ และเกดิ ทกั ษะในการใหเ้ หตผุ ล
ผสู้ อนควรจดั สถานการณห์ รอื ปัญหาทนี่ ่าสนใจใหผ้ เู้ รยี นได้ลงมอื ปฏบิ ัติ ผสู้ อน
สังเกตพฤติกรรมของผเู้ รียนและคอยชว่ ยเหลือโดยกระตุน้ หรอื ชี้แนะอย่างกว้าง ๆ
โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นด้วยคำ�ว่า “ทำ�ไม” “อย่างไร” “เพราะเหตุใด” เป็นต้น
พรอ้ มทง้ั ใหข้ อ้ คดิ เพม่ิ เตมิ อกี เชน่ “ถา้ ... แลว้ ...” “ผเู้ รยี นคดิ วา่ ... จะเปน็ อยา่ งไร”
ผเู้ รยี นทใ่ี หเ้ หตผุ ลไดไ้ มส่ มบรู ณ์ ผสู้ อนตอ้ งไมต่ ดั สนิ ดว้ ยค�ำ วา่ ไมถ่ กู ตอ้ ง แตอ่ าจใช้
คำ�พูดเสริมแรงและให้กำ�ลังใจว่า คำ�ตอบที่ผู้เรียนตอบมามีบางส่วนถูกต้อง
ผู้เรียนคนใดจะให้คำ�อธิบายหรือให้เหตุผลเพ่ิมเติมของเพื่อนได้อีกบ้าง เพ่ือให้
ผู้เรียนมกี ารเรยี นร้รู ว่ มกนั มากยิง่ ขนึ้
ในการจัดการเรียนรู้ผู้สอนควรเปิดโอกาสให้ผู้เรียนได้คิดอย่าง
หลากหลาย โจทย์ปญั หาหรอื สถานการณ์ทกี่ ำ�หนดใหค้ วรเป็นปัญหาปลายเปิด
(open – ended problem) ทผี่ ้เู รยี นสามารถแสดงความคดิ เหน็ หรอื ใหเ้ หตุผล
ท่แี ตกต่างกนั ได้

68 สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ตัวอยา่ งการให้เหตผุ ล
กำ�หนดโจทยป์ ญั หา ดงั น้ี

ตัวอย่างการ
ให้เหตุผล

ไม้ไผ่ลำ�หน่ึงยาว 2.85 เมตร ปักอยู่ในบึงแห่งหน่ึง ซึ่งมีนำ้�ลึกโดยเฉล่ีย

1.30 เมตร ถ้าส่วนท่ีอยู่เหนือนำ้�คิดเป็น 13 ของความยาวของไม้ไผ่ลำ�นี้
ไม้ไผส่ ่วนที่ปักอยูใ่ นดินยาวกเี่ มตร

สมมติวา่ ด.ช.ก่อ แสดงวธิ ีทำ�ตามแนวคดิ ดงั น้ี

ความยาวของไมไ้ ผส่ ว่ นทอี่ ยูเ่ หนือน้ำ�คดิ เป็น 31 ของ 2.85 = 0.95 เมตร

ความยาวของไม้ไผ่สว่ นท่ีปักอยใู่ นน�ำ้ เทา่ กับ 1.30 เมตร

ดังนัน้ ไม้ไผ่ส่วนท่ีอยูใ่ นดนิ ยาว 2.85 – (0.95 + 1.30) = 0.6 เมตร

ตอบ 0.6 เมตร

ด.ญ.ศรีเพญ็ แสดงความคดิ เหน็ ว่า โจทย์ข้อนห้ี าค�ำ ตอบไมไ่ ด้ เพราะ
วา่ โจทยก์ �ำ หนดความลกึ ของนำ้� โดยเฉลีย่ 1.30 เมตร ตรงต�ำ แหนง่ ทไ่ี มป้ ักอยู่
ไม่ทราบว่ามีความลึกของนำ้�เท่าไรแน่ จึงไม่สามารถหาความยาวของไม้ส่วนที่
ปักอยู่ในดนิ ได้
ผสู้ อนอาจใชค้ �ำ ถามกระตนุ้ วา่ “ใครมคี วามคดิ เหน็ แตกตา่ งไปจากสอง
แนวคดิ นอ้ี กี หรอื ไม”่ ถา้ ไมม่ คี วามเหน็ เพมิ่ เตมิ ผสู้ อนควรถามความคดิ เหน็ ตอ่ วา่
ค�ำ ตอบของศรเี พ็ญมีเหตุผลท่ยี อมรับได้หรอื ไม่

คู่มอื การใช้หลกั สตู ร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนปลาย 69

ในการฝกึ ใหผ้ เู้ รยี นใหเ้ หตผุ ลอยา่ งสมเหตสุ มผล ค�ำ ตอบของ ด.ญ.ศรเี พญ็
ถอื ว่าเป็นคำ�ตอบท่ถี กู ต้องสมเหตสุ มผลค�ำ ตอบหน่ึง
อาจมีผู้เรียนบางคนแสดงความคิดเห็นว่า วิธีทำ�ของ ด.ช.ก่อ ยังไม่
ถูกต้องเพราะเหตุว่าตำ�แหน่งที่ไม้ปักอยู่อาจปักอยู่ในบริเวณที่ต้ืน หรือลึกกว่า
1.30 เมตร เพราะฉะน้ันความยาวของไม้ส่วนทป่ี กั อยูใ่ นดนิ อาจนอ้ ยกว่า หรือ
มากกวา่ 0.6 เมตร กไ็ ด้ ถา้ ผเู้ รยี นแสดงความคดิ เหน็ เชน่ นี้ ผสู้ อนควรใชค้ �ำ ถาม
ให้ผู้เรียนคิดต่อว่าผู้เรียนจะแก้ไขวิธีทำ�ของ ด.ช.ก่อ อย่างไรจึงจะได้คำ�ตอบ
ท่ถี กู ตอ้ งและสมเหตุสมผล
ผเู้ รยี นอาจจะใหเ้ หตผุ ลเพม่ิ เตมิ โดยใชค้ �ำ วา่ “ถา้ ” ในบรรทดั ทสี่ อง ดงั น ี้
ถ้า ไมส้ ว่ นทป่ี กั อยู่ในนำ้�ยาว 1.30 เมตร ไม้ส่วนท่ปี กั อย่ใู นดินกจ็ ะ
ยาว 0.6 เมตร
หรอื สรปุ ตรงค�ำ ตอบวา่ ไมส้ ว่ นทป่ี กั อยใู่ นดนิ ยาวประมาณ 0.6 เมตรกไ็ ด้

ตวั อยา่ งการใหเ้ หตผุ ลในกระบวนการแกป้ ญั หาทใ่ี ชค้ ำ�ถามประกอบการหา
คำ�ตอบ
ผ้สู อนกำ�หนดโจทย ์ จงทำ� (x-3 y-2z0)-2 เมือ่ x , y , z ไม่เท่ากบั 0
ให้อยใู่ นรูปอยา่ งงา่ ย

คำ�ถามของผ้สู อน ข้ันตอนแสดงวธิ ีทำ� การให้เหตุผลของผู้เรยี น

1. จากโจทยผ์ ู้เรียนควรจะลดรูป (x-3 y-2z0)-2 = (x-3 y-2)-2 1. ลดรปู z0 ก่อน เพราะว่า

ส่วนใดกอ่ น เพราะเหตุใด เมอื่ z ≠ 0 จะได้ z0 = 1

จะท�ำ ให้ลดตวั แปรเหลอื

เพียงสองตัว

2. ผเู้ รียนจะใช้สมบัตใิ ดตอ่ ไป = (x-3)-2 ∙ (y-2)-2 2. จากสตู รทเ่ี คยทราบว่า

(ab)n = anbn เม่อื a ≠ 0

และ b ≠ 0

3. ผู้เรียนจะใช้สมบัติใดต่อไปอีก = x6 ∙ y4 3. จากสูตรที่เคยทราบว่า

(am)n = amn เมอื่ a ≠ 0

70 สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี 5

การพัฒนาทกั ษะและกระบวนการการคิดสรา้ งสรรค์

การคิดสร้างสรรค์ เป็นกระบวนการคิดที่อาศัยความรู้พ้ืนฐาน
จินตนาการและวิจารณญาณ ในการพัฒนาหรือคิดค้นองค์ความรู้ หรือสิ่ง
ประดิษฐ์ใหม่ ๆ ท่ีมีคุณค่าและเป็นประโยชน์ต่อตนเองและสังคม ความคิด
สร้างสรรค์มีหลายระดับ ตั้งแต่ระดับพ้ืนฐานที่สูงกว่าความคิดพื้น ๆ เพียง
เลก็ น้อย ไปจนกระทั่งเป็นความคิดท่อี ยใู่ นระดบั สงู มาก
การพัฒนาความคิดสร้างสรรค์จะช่วยให้ผู้เรียนมีแนวทางการคิดท่ี
หลากหลาย มกี ระบวนการคดิ จนิ ตนาการในการประยกุ ต์ ทจ่ี ะน�ำ ไปสกู่ ารคดิ คน้
ส่ิงประดิษฐ์ที่แปลกใหม่และมีคุณค่าท่ีคนส่วนใหญ่คาดคิดไม่ถึงหรือมองข้าม
ตลอดจนสง่ เสรมิ ใหผ้ เู้ รยี นมนี สิ ยั กระตอื รอื รน้ ไมย่ อ่ ทอ้ อยากรอู้ ยากเหน็ อยาก
คน้ คว้าและทดลองสิ่งใหม่ ๆ อยูเ่ สมอ
บรรยากาศทช่ี ว่ ยสง่ เสรมิ ความคดิ รเิ รมิ่ สรา้ งสรรค ์ ไดแ้ ก่ การเปดิ โอกาส
ใหผ้ เู้ รยี นคดิ และน�ำ เสนอแนวคดิ ของตนเองอยา่ งอสิ ระภายใตก้ ารใหค้ �ำ ปรกึ ษา
แนะนำ�ของผู้สอน การจัดกิจกรรม การเรียนรู้สามารถเร่ิมต้นจากการนำ�เสนอ
ปัญหาที่ท้าทาย น่าสนใจ เหมาะกับวัยของผู้เรียนและเป็นปัญหาที่ผู้เรียน
สามารถนำ�ความร้พู ้นื ฐานทางคณิตศาสตร์ท่มี ีอยู่มาใช้แก้ปัญหาได้ การแก้ปัญหา
ควรจัดเป็นกิจกรรมในลักษณะร่วมกันแก้ปัญหา ให้ผู้เรียนได้อภิปรายร่วมกัน
การเปิดโอกาสให้ผู้เรียนได้เสนอแนวคิดหลาย ๆ แนวคิด เป็นการช่วยเสริม
เติมเตม็ ท�ำ ใหไ้ ดแ้ นวคดิ ในการแกป้ ัญหาท่สี มบรู ณแ์ ละหลากหลาย
ปญั หาปลายเปดิ ซึง่ เป็นปญั หาที่มีค�ำ ตอบหลายค�ำ ตอบ หรอื มแี นวคิด
หรือวิธีการในการหาคำ�ตอบได้หลายอย่าง เป็นปัญหาที่ช่วยส่งเสริมความคิด
ริเริ่มสร้างสรรค์ของผู้เรียน สำ�หรับปัญหาท่ีมีหลายคำ�ตอบ เมื่อผู้เรียนคนหนึ่ง
หาค�ำ ตอบหนง่ึ ไดแ้ ล้ว ก็ยงั มีสง่ิ ทา้ ทายใหผ้ ู้เรียนคนอืน่ ๆ คดิ หาคำ�ตอบอื่น ๆ ที่
เหลืออยู่ สำ�หรับปัญหาท่ีมีแนวคิด หรือวิธีการในการหาคำ�ตอบได้หลายอย่าง
แม้วา่ ผเู้ รียนจะหาค�ำ ตอบได้ ผสู้ อนต้องแสดงใหผ้ เู้ รยี นตระหนักถงึ การให้ความ
สำ�คัญกับแนวคิด หรือวิธีการในการหาคำ�ตอบนั้นด้วยการส่งเสริมและยอมรับ
แนวคิด หรือวิธีการที่หลากหลายของผู้เรียน ในการให้ผู้เรียนได้มีประสบการณ์
ในการเรยี นร้แู นวคดิ หรอื วธิ กี ารหลาย ๆ อยา่ งในการแก้ปัญหาปญั หาหนึง่ เปน็
สิ่งที่มีคุณค่ามากกว่าการให้ผู้เรียนมีประสบการณ์ในการแก้ปัญหาหลาย ๆ
ปัญหาโดยใชแ้ นวคดิ หรอื วิธีการเพียงอย่างเดียว
นอกจากนี้การให้ผู้เรียนได้มีโอกาสสร้างปัญหาข้ึนเองให้มีโครงสร้าง
ของปัญหาคล้ายกับปัญหาเดิมที่ผู้เรียนมีประสบการณ์ในการแก้มาแล้ว
จะเปน็ การชว่ ยใหผ้ เู้ รยี นมคี วามเขา้ ใจปญั หาเดมิ อยา่ งแทจ้ รงิ และเปน็ การชว่ ย
สง่ เสริมความคิดริเริม่ สรา้ งสรรค์ของผูเ้ รยี นอีกดว้ ย

คมู่ ือการใชห้ ลักสูตร ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนปลาย 71

ตัวอยา่ ง ตวั อย่างปัญหาท่ีมคี �ำ ตอบไดห้ ลายค�ำ ตอบ
ปญั หา
ปลายเปดิ “จงหาความยาวด้านท่ีเป็นจำ�นวนเต็มของรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว ท่ีมี
ความยาวรอบรปู เท่ากบั 15 หน่วย”

ผู้เรียนอาจแก้ปัญหาน้ีโดยการสมมติความยาวของด้านต่าง ๆ ของ
รูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัวซ่ึงต้องใช้ความรู้พื้นฐานท่ีว่า “ผลบวกของความยาวของ
ด้านสองด้านของรปู สามเหล่ียมย่อมยาวกว่าด้านทส่ี าม”

กรณที ี่ ด้านที่ 1 ดา้ นท่ี 2 ดา้ นที่ 3 หมายเหตุ

1 771
2 663
3 555
4 447
5 3 3 9 3 + 3 < 9 ไมใ่ ช่รูปสามเหลี่ยม
6
2 2 11 2 + 2 < 11 ไม่ใช่รูปสามเหลย่ี ม

จากตารางข้างต้น จะมคี ำ�ตอบเพยี ง 4 คำ�ตอบเท่าน้นั คือกรณีที่ 1 – 4

นอกจากนี้ผู้เรียนท่ีมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการสมมติตัวแปร อาจใช้
การสมมติตัวแปรสรา้ งสมการ และหาค�ำ ตอบของสมการ ดงั น้ี
ใหด้ ้านทีย่ าวเท่ากนั ของรปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั ยาวดา้ นละ x หน่วย
ดา้ นทสี่ ามยาว y หนว่ ย
จะไดส้ มการ 2x + y = 15
จากนัน้ ใช้การสมมติคา่ x แล้วหาค่า y ซึง่ ต้องอยใู่ นเงอื่ นไข “ผลบวก
ของความยาวของดา้ นสองดา้ นของรูปสามเหลยี่ มย่อมยาวกว่าด้านทีส่ าม”

72 สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ตัวอย่างปัญหาท่ีสามารถแสดงแนวคิดหรือวิธีการในการแก้ปัญหาได้
หลายอยา่ ง

“พนี่ อ้ งสามคน มีอายุหา่ งกนั คนละ 2 ปี เรียงตามล�ำ ดบั อายจุ ากน้อย
ไปหามาก คือ สมใจ สมหวงั และสมจติ ร ทั้งสามคนมอี ายุรวมกนั เท่ากบั 75 ป ี
จงหาอายขุ องคนทั้งสาม”

แนวคิด 1
75 เปน็ จ�ำ นวนคี่ ซง่ึ ไดจ้ ากผลบวกของจ�ำ นวนสามจ�ำ นวน แตล่ ะจ�ำ นวน
ท่ีอยู่ถัดกันมีคา่ แตกต่างกัน 2 ดงั น้นั จ�ำ นวนท้งั สามจำ�นวนเป็นจ�ำ นวนค่ี
สมมติจำ�นวนแล้วตรวจสอบผลบวก
19 + 21 + 23 = 63
21 + 23 + 25 = 69
23 + 25 + 27 = 75
คำ�ตอบคอื สมใจ สมหวัง และสมจิตร มีอายุ 23, 25 และ 27 ปี ตามลำ�ดับ

แนวคิด 2
อายขุ องคนกลางคือ สมหวัง เป็นค่าเฉลย่ี ของอายุของท้งั สามคน
หาค่าเฉลย่ี ของอายไุ ด้ 75 ÷ 3 = 25 เปน็ อายขุ องสมหวงั
ดังนัน้ สมใจมอี าย ุ 25 – 2 = 23 ปี และ
สมจิตรมอี ายุ 25 + 2 = 27 ปี

แนวคดิ 3
สมมติอายขุ องน้องสุดทอ้ งคอื สมใจ มอี าย ุ x ป ี จะไดส้ มหวงั และ
สมจติ ร มอี าย ุ x + 2 และ x + 4 ป ี ตามล�ำ ดับ
x + (x + 2) + (x + 4) = 75
3x + 6 = 75
3x = 69
x = 23
ดังนัน้ สมใจ สมหวงั และสมจิตร มีอายุ 23, 25 และ 27 ปี ตามล�ำ ดบั
นอกจากจะฝกึ ความคดิ สร้างสรรค์กบั โจทยป์ ัญหาแลว้ ผสู้ อนสามารถ
พัฒนาความคิดสร้างสรรค์ในการเรียนรู้กิจกรรมอ่ืน ๆ ได้อีก เช่น กิจกรรม
เก่ียวกบั การออกแบบ การต่อรูป การประดิษฐจ์ ากเงอ่ื นไขท่ีกำ�หนดให้

คมู่ อื การใชห้ ลกั สตู ร ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนปลาย 73

ภาคผนวก แหล่งความรเู้ พ่ิมเติม

ซอฟตแ์ วร์ประยุกตท์ ช่ี ่วยในการสอนคณิตศาสตร์

GeoGebra GeoGebra เปน็ โปรแกรมคณติ ศาสตรเ์ ชงิ พลวตั ซงึ่ รวมเรขาคณติ พชี คณติ สถติ ิ
และแคลคูลัสไว้ด้วยกัน เหมาะสำ�หรับใช้ในโรงเรียนและสถาบันการศึกษาต่าง ๆ
โปรแกรมนี้จัดเป็นระบบเรขาคณิตแบบโต้ตอบท่ีผู้ใช้งานสามารถสร้างชิ้นงาน
ด้วยจุด สว่ นของเส้นตรง เสน้ ตรง เวกเตอร์ รปู หลายเหลย่ี ม ภาคตดั กรวย และ
ฟังก์ชัน ซึง่ สามารถเปล่ียนแปลงเชงิ พลวัตไดใ้ นภายหลงั นอกจากนี้สามารถใส่
สมการและจุดพิกัดได้โดยตรง ดังนั้นโปรแกรม GeoGebra จึงมีความสามารถ
ท่ีจะจัดการกับตัวแปรที่เกี่ยวกับจำ�นวน เวกเตอร์ และจุด อีกท้ังยังสามารถ
ใช้หาอนพุ นั ธ์ ปรพิ ันธ์ของฟังกช์ ัน และการปอ้ นค�ำ สง่ั ตา่ ง ๆ

ตวั อย่างการนำ�โปรแกรม GeoGebra ตัวอยา่ งการนำ�โปรแกรม GeoGebra
ไปใชใ้ นการจดั การเรยี นรูใ้ นระดับ ไปใชใ้ นการจดั การเรยี นรู้ในระดบั
มัธยมศึกษาตอนตน้ ในเรอื่ งแผนภาพจดุ มธั ยมศึกษาตอนปลาย ในเร่ืองพาราโบลา

The The Geometer’s Sketchpad หรือ GSP เป็นซอฟต์แวร์ทางคณิตศาสตร์
Geometer’s เชงิ เรขาคณติ พลวัต นยิ มใชใ้ นการสร้าง สำ�รวจ และวิเคราะห์ส่งิ ตา่ ง ๆ ทีเ่ กีย่ วกบั
Sketchpad เนื้อหาวิชาคณติ ศาสตร์ ท้ังยงั ใชส้ ร้างตัวแบบเชิงคณติ ศาสตร์ (mathematical
model) รวมทัง้ วาดภาพทีม่ ีความซบั ซอ้ น และสามารถเคลอ่ื นไหวได้ อกี ทัง้ จะ
(GSP) ช่วยเสริมความรู้ทางคณิตศาสตร์เก่ียวกับเรขาคณิต พีชคณิต ตรีโกณมิติ
แคลคลู สั และเรอื่ งอนื่ ๆ เออ้ื ตอ่ การอธบิ ายหลกั การคณติ ศาสตร์ การตอบปญั หา
และกระตนุ้ ใหผ้ เู้ รยี นสร้างข้อคาดการณ์ หรือใช้ตรวจสอบสมบตั ิของการสรา้ ง

ภาพหนา้ จอของโปรแกรม

74 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

เวบ็ ไซตส์ ื่อและแหลง่ เรยี นรทู้ ชี่ ่วยในการสอนคณิตศาสตร์

DLIT โครงการพัฒนาคุณภาพการศึกษาด้วยเทคโนโลยีสารสนเทศ
(Distance Learning Information Technology: DLIT)
จากเวบ็ ไซต์ http://www.dlit.ac.th
เว็บไซต์ท่ีจัดทำ�ข้ึนเพ่ือเสนอการจัดการเรียนรู้ผ่านเทคโนโลยีสารสนเทศ ที่มุ่ง
แก้ปัญหาการขาดแคลนครูของโรงเรียนขนาดกลางและขนาดใหญ่ ครอบคลุม
โรงเรียนท่ัวประเทศ มีสว่ นประกอบหลัก 5 ส่วน ได้แก่ ห้องเรียน DLIT คลงั สอ่ื
การเรยี นร้ ู ชุมชนแหง่ การเรยี นรู้ คลงั ขอ้ สอบ และห้องสมุดดจิ ิทัล จดั ท�ำ โดย
ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพืน้ ฐาน

kanchana โครงการสารานุกรมไทยสำ�หรบั เยาวชน
pisek.or.th โดยพระราชประสงค์ในพระบาทสมเดจ็ พระเจา้ อยูห่ วั
จากเว็บไซต์ http://kanchanapisek.or.th/kp6
เว็บไซต์ท่ีรวบรวมสารานุกรมไทยสำ�หรับเยาวชน โดยพระราชประสงค์
ในพระบาทสมเด็จพระเจ้าอยู่หัว ซึ่งเป็นสารานุกรมที่จัดทำ�ขึ้นเพ่ือให้เด็ก
เยาวชน และผู้ท่ีสนใจได้มีโอกาสอ่านและศึกษาความรู้ด้วยตนเอง เว็บไซต์นี้
รวบรวมสารานุกรมดังกล่าวในรูปแบบหนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (E-Book)
จำ�นวน 37 เล่ม โดยสารานุกรมในหมวดคณิตศาสตร์เป็นสารานุกรมเล่มท่ี 6
จัดทำ�โดยโครงการสารานุกรมไทยสำ�หรับเยาวชน โดยพระราชประสงค์
ในพระบาทสมเดจ็ พระเจ้าอยู่หวั

ค่มู ือการใช้หลักสตู ร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนปลาย 75

Thai โทรทศั นค์ รู (Thai Teachers TV)
Teachers จากเว็บไซต์ http://www.thaiteachers.tv
เว็บไซต์ท่ีจัดทำ�ข้ึนเพื่อเป็นแหล่งรวมข้อมูล วีดิทัศน์ เพ่ือการศึกษาไทยและ
TV พัฒนาสู่ความเป็นครูมืออาชีพ ประกอบด้วยรายการที่เกี่ยวข้องกับการจัดการ
เรยี นการสอนรายวชิ าตา่ ง ๆ รวมทงั้ รายวชิ าคณติ ศาสตร์ ซง่ึ มตี งั้ แตร่ ะดบั ประถม
ศึกษาถึงระดับมัธยมศึกษา จัดทำ�โดยสำ�นักงานคณะกรรมการการอุดมศึกษา
กระทรวงศกึ ษาธิการ

Online ระบบทดสอบออนไลน์ (Online Testing System)
Testing จากเว็บไซต์ http://onlinetesting.ipst.ac.th
System เปน็ ระบบหลักระบบหนึง่ ในศูนยก์ ารเรยี นรดู้ จิ ิทลั ฯ ท่ใี ห้บริการแก่ ครู นกั เรยี น
และผู้สนใจในการทำ�แบบทดสอบความรู้ด้านวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์และ
เทคโนโลยี ทั้งในส่วนของข้อสอบตามหลักสูตรแกนกลางฯ ที่สอดคล้องกับ
ตัวชี้วัด และข้อสอบแข่งขันโครงการต่าง ๆ เช่น โครงการพัฒนาอัจฉริยภาพ
ทางวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ โครงการ TEDET เป็นต้น จัดทำ�โดย
สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธิการ

76 สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

PISA ระบบออนไลนข์ อ้ สอบ PISA
จากเว็บไซต์ http://pisaitems.ipst.ac.th
เป็นระบบออนไลน์ข้อสอบ PISA ท่ีได้รับอนุญาตให้เผยแพร่ เพื่อให้ผู้เรียนได้
พัฒนาศักยภาพผ่านการฝึกทำ�ข้อสอบบนระบบคอมพิวเตอร์ และเป็นแหล่ง
การเรียนรู้ท่ีสามารถนำ�ไปใช้ประโยชน์ทางการศึกษาได้ต่อไป จัดทำ�โดย
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ

IPST ศนู ยเ์ รียนรดู้ ิจทิ ัลระดบั ชาติดา้ นวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และเทคโนโลยี
Learning สสวท. (IPST Learning Space)
Space จากเว็บไซต์ http://learningspace.ipst.ac.th
เวบ็ ไซต์ที่จดั ทำ�ขน้ึ เพอ่ื เป็นแหลง่ เรียนร้อู อนไลนด์ า้ นวทิ ยาศาสตร์ คณติ ศาสตร์
และเทคโนโลยี โดยรวบรวมส่ือการเรียนรู้ที่มีมาตรฐาน คัดกรองคุณภาพ
และความถูกต้องโดยผู้เชี่ยวชาญ และสอดคล้องกับหลักสูตรในโรงเรียนไว้
อย่างครบครัน จัดทำ�โดยสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

ค่มู ือการใชห้ ลกั สูตร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนปลาย 77

สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)
IPST จากเว็บไซต์ http://www.ipst.ac.th

เว็บไซต์ที่จัดทำ�ขึ้นเพ่ือเป็นศูนย์รวมข่าวสาร ทุนการศึกษา กิจกรรม สื่อการเรียน
การสอน ทง้ั ในสว่ นของวชิ าคณติ ศาสตร ์ วทิ ยาศาสตร ์ คอมพวิ เตอร ์ เทคโนโลยี
และสะเตม็ ศกึ ษา จดั ท�ำ โดยสถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

NCTM สภาครูคณิตศาสตร์แห่งสหรฐั อเมริกา
(National Council of Teachers of Mathematics: NCTM)
จากเว็บไซต์ http://www.nctm.org
เว็บไซต์ท่ีจัดทำ�ข้ึนเพ่ือรวบรวมข่าวสาร กิจกรรม เผยแพร่สื่อสิ่งพิมพ์
อิเล็กทรอนิกส์และส่ือการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ท่ีมีคุณภาพและ
ผ่านการวิจัยจากท่ัวโลก เพ่ือพัฒนาคุณภาพการจัดการเรียนการสอน
คณติ ศาสตรอ์ ยา่ งกวา้ งขวาง จดั ทำ�โดยสภาครูคณิตศาสตรแ์ ห่งสหรฐั อเมรกิ า

78 สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

STEM สะเต็มศกึ ษา ประเทศไทย (STEM Education Thailand)
จากเว็บไซต์ http://www.stemedthailand.org
เว็บไซต์ท่ีจัดทำ�ข้ึนเพ่ือรวมรวมข่าวสาร กิจกรรม บทความ และแหล่งเรียนรู้
ทเ่ี กยี่ วขอ้ งกบั สะเตม็ ศกึ ษา จดั ท�ำ โดยสถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละ
เทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธิการ

MATH สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ สสวท. จากเวบ็ ไซต์ http://math.ipst.ac.th
IPST เวบ็ ไซตท์ จี่ ดั ท�ำ ขนึ้ เพอื่ รวมรวมขา่ วสาร กจิ กรรม บทความ สอื่ การเรยี นการสอน
หนังสือเรียนอิเล็กทรอนิกส์ (E-Book) ในวิชาคณิตศาสตร์ ต้ังแต่ระดับ
ประถมศึกษาจนถึงระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย จัดทำ�โดยสถาบันส่งเสริม
การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ

ค่มู อื การใชห้ ลกั สตู ร ระดับมธั ยมศึกษาตอนปลาย 79

อภิธานศัพท์

การแจกแจงความน่าจะเปน็ (probability distribution)
การอธิบายลักษณะของตัวแปรสุ่มโดยการแสดงค่าท่ีเป็นไปได้ และ
ความน่าจะเป็นของการเกดิ คา่ ตา่ ง ๆ ของตวั แปรสุ่มนน้ั

การแจกแจงทวนิ าม (binomial distribution)
การแจกแจงของตวั แปรสมุ่ X ซงึ่ แทนจ�ำ นวนครงั้ ของการเกดิ ผลส�ำ เรจ็
ของเหตุการณ์หนึ่งจากการลอง (trial) n ครัง้ ทีเ่ ปน็ อิสระกัน และในแตล่ ะคร้งั
มีโอกาสเกิดผลสำ�เร็จด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ p และไม่เกิดผลสำ�เร็จด้วย
ความนา่ จะเป็น q = 1 – p ความน่าจะเปน็ ของ X = x คอื

P(X = x) = n px qn – x , x = 0, 1, ... , n
x

เขยี นแทนด้วย X ~ B (n, p)

การแจกแจงเอกรปู (uniform distribution)
การแจกแจงของตวั แปรสมุ่ ทีค่ วามน่าจะเป็นของการเกิดคา่ ใด ๆ หรือ
ช่วงทีค่ วามกวา้ งเท่ากนั ใด ๆ มคี า่ เท่ากัน
กรณตี วั แปรสุ่มไม่ตอ่ เน่ือง เรียกการแจกแจงนี้ว่า การแจกแจงเอกรูป
ไมต่ อ่ เน่อื ง (discrete uniform distribution) ถ้า X มีคา่ เป็น x1, x2, ..., xn
การแจกแจงของ X จะเปน็ การแจกแจงเอกรูปไมต่ ่อเน่ือง เม่อื
P(X = xj) = n1 , j = 1, 2, ... , n
กรณีตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เรียกการแจกแจงนี้ว่า การแจกแจงเอกรูป
ต่อเน่ือง (continuous uniform distribution) ถ้า X มีค่าในช่วง (a, b)
การแจกแจงของ X จะเป็นการแจกแจงเอกรปู ตอ่ เนือ่ ง เมอ่ื
f(x) = b 1– a , a < x < b

ข้อมูล (data)
ขอ้ มลู เปน็ ขอ้ เทจ็ จรงิ หรอื สง่ิ ทยี่ อมรบั วา่ เปน็ ขอ้ เทจ็ จรงิ ของเรอื่ งทส่ี นใจ
ซ่ึงได้จากการเกบ็ รวบรวม อาจเป็นไดท้ ้ังขอ้ ความและตวั เลข

ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร ์
ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรเ์ ปน็ ความสามารถทจ่ี ะน�ำ ความรู้
ไปประยุกต์ใช้ในการเรียนรู้ส่ิงต่าง ๆ เพ่ือให้ได้มาซึ่งความรู้และประยุกต์ใช้
ในชวี ติ ประจำ�วันได้อยา่ งมปี ระสทิ ธภิ าพ

80 สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

การแก้ปญั หา
การแก้ปัญหา เป็นกระบวนการที่ผู้เรียนควรจะเรียนรู้ ฝึกฝน และ
พัฒนาให้เกิดทักษะขึ้นในตนเอง เพ่ือสร้างองค์ความรู้ใหม่ เพ่ือให้ผู้เรียนมี
แนวทางในการคิดทหี่ ลากหลาย รู้จกั ประยุกต์และปรบั เปลย่ี นวิธกี ารแก้ปัญหา
ให้เหมาะสม รู้จักตรวจสอบและสะท้อนกระบวนการแก้ปัญหา มีนิสัย
กระตอื รอื รน้ ไมย่ อ่ ทอ้ รวมถงึ มคี วามมน่ั ใจในการแกป้ ญั หาทเี่ ผชญิ อยทู่ ง้ั ภายใน
และภายนอกห้องเรยี น นอกจากน้ี การแก้ปัญหายังเปน็ ทักษะพน้ื ฐานท่ีผเู้ รยี น
สามารถนำ�ไปใช้ในชีวิตจริงได้ การส่งเสริมให้ผู้เรียนได้เรียนรู้เกี่ยวกับการ
แก้ปัญหาอย่างมีประสิทธิผล ควรใช้สถานการณ์หรือปัญหาทางคณิตศาสตร์
ที่กระตุ้น ดึงดูดความสนใจ ส่งเสริมให้มีการประยุกต์ความรู้ทางคณิตศาสตร์
ขั้นตอน/กระบวนการแกป้ ัญหา และยทุ ธวธิ ีแก้ปัญหาท่ีหลากหลาย
การสอื่ สารและการสอื่ ความหมายทางคณติ ศาสตร์
การส่ือสาร เป็นวิธีการแลกเปล่ียนความคิดและสร้างความเข้าใจ
ระหวา่ งบุคคล ผา่ นชอ่ งทางการสือ่ สารตา่ ง ๆ ไดแ้ ก่ การฟงั การพดู การอา่ น
การเขียน การสังเกต และการแสดงทา่ ทาง
การสอื่ ความหมายทางคณติ ศาสตร์ เปน็ กระบวนการสอื่ สารทน่ี อกจาก
นำ�เสนอผา่ นชอ่ งทางการสื่อสาร การฟัง การพดู การอ่าน การเขียน การสงั เกต
และการแสดงท่าทางตามปกติแล้ว ยังเป็นการสื่อสารท่ีมีลักษณะพิเศษ
โดยมีการใช้สัญลักษณ์ ตัวแปร ตาราง กราฟ สมการ อสมการ ฟังก์ชัน หรือ
แบบจ�ำ ลอง เปน็ ตน้ มาชว่ ยในการส่อื ความหมายด้วย
การส่ือสารและการสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ เป็นทักษะและ
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่จะช่วยให้ผู้เรียนสามารถถ่ายทอดความรู้
ความเข้าใจ แนวคิดทางคณิตศาสตร์ หรือกระบวนการคิดของตนให้ผู้อ่ืนรับรู้
ไดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ งชดั เจนและมปี ระสทิ ธภิ าพ การทผ่ี เู้ รยี นมสี ว่ นรว่ มในการอภปิ ราย
หรือการเขียนเพ่ือแลกเปลี่ยนความรู้และความคิดเห็นถ่ายทอดประสบการณ์
ซึ่งกันและกัน ยอมรับฟังความคิดเห็นของผู้อ่ืน จะช่วยให้ผู้เรียนเรียนรู้
คณิตศาสตร์ได้อย่างมีความหมาย เข้าใจได้อย่างกว้างขวางลึกซ้ึงและจดจำ�ได้
นานมากขนึ้
การเชือ่ มโยง
การเช่ือมโยงทางคณิตศาสตร์ เป็นกระบวนการท่ีต้องอาศัยการคิด
วเิ คราะห์ และความคิดรเิ ร่มิ สรา้ งสรรค์ ในการนำ�ความรู้ เน้ือหา และหลักการ
ทางคณติ ศาสตร์ มาสรา้ งความสมั พนั ธอ์ ยา่ งเปน็ เหตเุ ปน็ ผลระหวา่ งความรแู้ ละ
ทกั ษะและกระบวนการทม่ี ใี นเนอื้ หาคณติ ศาสตรก์ บั งานทเ่ี กยี่ วขอ้ ง เพอ่ื น�ำ ไปสู่
การแก้ปัญหาและการเรยี นรแู้ นวคดิ ใหม่ทซี่ บั ซอ้ นหรอื สมบรู ณ์ข้นึ

ค่มู ือการใช้หลกั สูตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย 81

การเชอ่ื มโยงความรตู้ า่ ง ๆ ทางคณติ ศาสตร์ เปน็ การน�ำ ความรแู้ ละทกั ษะ
และกระบวนการต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ไปสัมพันธ์กันอย่างเป็นเหตุเป็นผล
ทำ�ให้สามารถแก้ปัญหาได้หลากหลายวิธีและกะทัดรัดขึ้น ทำ�ให้การเรียนรู้
คณติ ศาสตร์มคี วามหมายส�ำ หรบั ผเู้ รยี นมากยิ่งข้ึน
การเช่ือมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น ๆ เป็นการนำ�ความรู้ ทักษะ
และกระบวนการตา่ ง ๆ ทางคณติ ศาสตร์ ไปสมั พนั ธก์ นั อยา่ งเปน็ เหตเุ ปน็ ผลกบั
เนื้อหาและความรู้ของศาสตร์อ่ืน ๆ เช่น วิทยาศาสตร์ ดาราศาสตร์ จิตวิทยา
พนั ธกุ รรมศาสตร์ และเศรษฐศาสตร์ เปน็ ตน้ ท�ำ ใหก้ ารเรยี นคณติ ศาสตรน์ า่ สนใจ
มคี วามหมาย และผ้เู รยี นมองเหน็ ความส�ำ คัญของการเรยี นคณิตศาสตร์ การท่ี
ผเู้ รยี นเหน็ การเชอ่ื มโยงทางคณติ ศาสตร์ จะสง่ เสรมิ ใหผ้ เู้ รยี นเหน็ ความสมั พนั ธ์
ของเน้ือหาต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดทาง
คณติ ศาสตร์กับศาสตรอ์ ่ืน ๆ ทำ�ใหผ้ เู้ รยี นเขา้ ใจเนอ้ื หาทางคณิตศาสตร์ได้ลกึ ซึ้ง
และมีความคงทนในการเรียนรู้ ตลอดจนช่วยให้ผู้เรียนเห็นว่าคณิตศาสตร์
มคี ณุ ค่า น่าสนใจ และสามารถน�ำ ไปใชป้ ระโยชน์ในชวี ิตจริงได้
การใหเ้ หตุผล
การให้เหตุผล เป็นกระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์ท่ีต้องอาศัย
การคิดวิเคราะห์และความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์ ในการรวบรวมข้อเท็จจริง
ขอ้ ความ แนวคดิ สถานการณท์ างคณติ ศาสตรต์ า่ ง ๆ แจกแจงความสมั พนั ธ์ หรอื
การเชอ่ื มโยง เพ่อื ใหเ้ กิดขอ้ เทจ็ จรงิ หรือสถานการณ์ใหม่
การให้เหตุผลเป็นทักษะและกระบวนการที่ส่งเสริมให้ผู้เรียนรู้จักคิด
อย่างมีเหตผุ ล คิดอย่างเปน็ ระบบ สามารถคดิ วเิ คราะห์ปญั หาและสถานการณ์
ได้อย่างถถี่ ้วนรอบคอบ สามารถคาดการณ์ วางแผน ตดั สินใจ และแกป้ ญั หาได้
อย่างถูกต้องและเหมาะสม การคิดอย่างมีเหตุผลเป็นเครื่องมือสำ�คัญที่ผู้เรียน
จะน�ำ ไปใชพ้ ฒั นาตนเองในการเรยี นรสู้ งิ่ ใหม ่ เพอ่ื น�ำ ไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นการท�ำ งาน
และการด�ำ รงชวี ิต
การคดิ สรา้ งสรรค์
การคิดสร้างสรรค์ เป็นกระบวนการคิดท่ีอาศัยความรู้พ้ืนฐาน
จินตนาการ และวิจารณญาณ ในการพัฒนาหรือคิดค้นองค์ความรู้ หรือ
สง่ิ ประดษิ ฐใ์ หม่ ๆ ทม่ี คี ณุ คา่ และเปน็ ประโยชนต์ อ่ ตนเองและสงั คม ความคดิ สรา้ งสรรค์
มีหลายระดับ ตั้งแต่ระดับพื้นฐานท่ีสูงกว่าความคิดพื้น ๆ เพียงเล็กน้อย
ไปจนกระท่ังเป็นความคิดที่อยู่ในระดับสูงมาก การพัฒนาความคิดสร้างสรรค์
จะชว่ ยให้ผู้เรียนมแี นวทางการคดิ ทีห่ ลากหลาย มกี ระบวนการคิด จนิ ตนาการ
ในการประยกุ ต์ ทจ่ี ะน�ำ ไปสกู่ ารคดิ คน้ สง่ิ ประดษิ ฐท์ แ่ี ปลกใหมแ่ ละมคี ณุ คา่ ทค่ี น
สว่ นใหญค่ าดคดิ ไมถ่ งึ หรอื มองขา้ ม ตลอดจนสง่ เสรมิ ใหผ้ เู้ รยี นมนี สิ ยั กระตอื รอื รน้
ไม่ย่อทอ้ อยากรู้อยากเห็น อยากค้นคว้าและทดลองสง่ิ ใหม่ ๆ อยเู่ สมอ

82 สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

บรรณานุกรม

Black, P., & Wiliam, D. (2009). Developing the theory of formative assessment.

Educational Assessment Evaluation and Accountability, 21(1), 5-31.

Cambridge International Examination. (2015). Evaluation of the Thai Primary

Curriculum for Mathematics and Science. Unpublished document.

Cambridge International Examination. (2016). Evaluation of the Thai Secondary

Curriculum for Mathematics and Science. Unpublished document.

Earl, L. M. (2006). Assessment as learning: Using classroom assessment to

maximize student learning. Corwin Press.

Manitoba Education, Citizenship and Youth. (2016, November 11). Rethinking classroom

assessment with purpose in mind: assessment for learning, Assessment as Learning,

Assessment of Learning. Retrieved from https://www.edu.gov.mb.ca/k12/assess/wncp/

full_doc.pdf

National Research Council. (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. J. Kilpatrick,

J. Swaffold, and B. Findell (Eds.). Mathematics Learning Study Committee, Center for

Educational, Division of Behavioral and Social Sciences and Education. Washington,

DC: National Academy Press.

Partnership for 21st Century Skills. (2016, November 11). P21 common core toolkit: A guide to

aligning the common core state standards with the framework for 21st century skills.

Retrieved from http://www.p21.org/storage/documents/P21CommonCoreToolkit.pdf

คณะกรรมการการศึกษาขนั้ พน้ื ฐาน, ส�ำ นกั งาน. (2557). รายงานผลการน�ำ หลกั สูตรแกนกลางการศึกษา

ข้นั พื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551 ไปสู่การปฏบิ ตั ิ : การสงั เคราะหง์ านวจิ ัย เอกสาร และรายงาน

ทีเ่ กี่ยวข้องกบั การนำ�หลกั สตู รไปสูก่ ารปฎิบัติ เอกสารล�ำ ดับท่ี 1/2557. สืบค้น 11 กนั ยายน 2559,

จาก http://www. curriculum51.net/upload/20150211224227.pdf

คณะกรรมการพฒั นาเศรษฐกจิ และสงั คมแห่งชาติ, สำ�นกั งาน. (2559). แผนพฒั นาเศรษฐกิจและสังคมแห่งชาติ

ฉบบั ที่สบิ สอง (พ.ศ. 2560 – 2564). สบื ค้น 17 พฤศจิกายน 2560, จากhttp://www.nesdb.go.th/

ewt_dl_link.php?nid=6422

ทดสอบทางการศึกษา, สำ�นกั . (2557). ผลการประเมินคุณภาพผู้เรียนระดบั ชาติ ปีการศึกษา 2555 บทสรปุ

และขอ้ เสนอแนะเชงิ นโยบาย. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพช์ มุ นุมสหกรณก์ ารเกษตรแหง่ ประเทศไทย จำ�กดั .

นายกรฐั มนตร,ี ส�ำ นกั . (2559). ร่างกรอบยทุ ธศาสตรช์ าติ ระยะ 20 ปี (พ.ศ. 2560 – 2579).

สบื คน้ 17 พฤศจกิ ายน 2560, จาก http://www.nesdb.go.th

ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบัน. (2546). การวัดผลประเมินผลคณิตศาสตร.์ กรุงเทพฯ:

สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี.

สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบัน. (2548). คูม่ ืออา้ งอิง The Geometer’s Sketchpad

ซอฟตแ์ วรส์ ำ�รวจเชิงคณิตศาสตร์ เรขาคณติ พลวตั . กรุงเทพฯ: สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร ์

และเทคโนโลย.ี

สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2554). รายงานผลการวิจัยโครงการ TIMSS 2011

วชิ าคณิตศาสตร์ [Online]. http://timssthailand.ipst.ac.th/timss2011-math-report

[2559, พฤษภาคม, 11].

ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบัน. (2556). ผลการตดิ ตามการใชส้ ่ือประกอบหลกั สตู ร

แกนกลางการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551 กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์

[เอกสารใชภ้ ายใน]

ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2557). ผลการประเมนิ PISA 2012 คณิตศาสตร์

การอา่ น และวทิ ยาศาสตร์ [Online]. http://pisathailand.ipst.ac.th/

isbn9786163621344[2559, พฤษภาคม, 11].

สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบนั . (2558). หลกั สูตรอบรมครูระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย

ในการจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตรด์ ้วยโปรแกรมสำ�เรจ็ รปู GeoGebra. (เอกสารไมต่ พี ิมพ์)

คูม่ อื การใชห้ ลักสูตร ระดบั มัธยมศกึ ษาตอนปลาย 83

คณะผูจ้ ัดทำ�

คณะทปี่ รกึ ษา ผู้อำ�นวยการสถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
ดร.พรพรรณ ไวทยางกูร รองผอู้ �ำ นวยการสถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
รศ.ดร.สัญญา มิตรเอม รองผอู้ �ำ นวยการสถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
ดร.สพุ ัตรา ผาติวสิ ันติ์

คณะทำ�งานยกร่าง

นายสมเกยี รติ เพ็ญทอง ผู้อำ�นวยการสาขาคณติ ศาสตรป์ ระถมศึกษา สสวท.

นางณัตตยา มังคลาสิริ สาขาคณติ ศาสตรป์ ระถมศึกษา สสวท.

นางนวลจนั ทร์ ฤทธขิ์ �ำ สาขาคณิตศาสตร์ประถมศกึ ษา สสวท.

นางสาวเบญจมาศ เหล่าขวัญสถติ ย์ สาขาคณิตศาสตรป์ ระถมศกึ ษา สสวท.

ดร.ภทั รวด ี หาดแก้ว สาขาคณิตศาสตรป์ ระถมศึกษา สสวท.

นายภีมวัจน์ ธรรมใจ สาขาคณิตศาสตร์ประถมศึกษา สสวท.

นางเหมือนฝนั เยาวว์ ิวฒั น์ สาขาคณิตศาสตรป์ ระถมศึกษา สสวท.

นางสาวอุษณีย์ วงศอ์ ามาตย์ สาขาคณติ ศาสตร์ประถมศึกษา สสวท.

ดร.อลงกรณ ์ ตัง้ สงวนธรรม รักษาการผู้อำ�นวยการสาขาคณติ ศาสตรม์ ธั ยมศึกษา สสวท.

นางสาวจันทร์นภา อตุ ตะมะ สาขาคณิตศาสตรม์ ธั ยมศึกษา สสวท.

นางสาวดนิตา ช่นื อารมณ์ สาขาคณิตศาสตรม์ ัธยมศึกษา สสวท.

นางสาวปฐมาภรณ ์ อวชยั สาขาคณติ ศาสตรม์ ธั ยมศึกษา สสวท.

นายพัฒนชยั รววิ รรณ สาขาคณิตศาสตรม์ ธั ยมศกึ ษา สสวท.

นางสาวพิลาลักษณ ์ ทองทพิ ย์ สาขาคณิตศาสตร์มัธยมศึกษา สสวท.

นางสาวภญิ ญดา กลับแกว้ สาขาคณติ ศาสตรม์ ธั ยมศกึ ษา สสวท.

ดร.รณชยั ปานะโปย สาขาคณติ ศาสตร์มธั ยมศึกษา สสวท.

นางสาววรนารถ อยสู่ ขุ สาขาคณิตศาสตร์มธั ยมศกึ ษา สสวท.

ดร.ศศิวรรณ เมลืองนนท์ สาขาคณติ ศาสตรม์ ธั ยมศึกษา สสวท.

นางสาวสริ วิ รรณ จนั ทรก์ ลู สาขาคณติ ศาสตรม์ ธั ยมศกึ ษา สสวท.

ดร.สธุ ารส นลิ รอด สาขาคณิตศาสตร์มธั ยมศกึ ษา สสวท.

ดร.อลงกต ใหมด่ ว้ ง สาขาคณติ ศาสตรม์ ัธยมศกึ ษา สสวท.

นางสาวอัมรสิ า จนั ทนะศิริ สาขาคณติ ศาสตร์มธั ยมศกึ ษา สสวท.

ดร.พดุ เตย ตาฬวฒั น์ สาขาวิจัยและประเมินมาตรฐาน สสวท.

คณะผู้รว่ มพจิ ารณารา่ งค่มู อื การใช้หลักสตู ร
นายประสาท สอ้านวงศ์ ผเู้ ชีย่ วชาญพเิ ศษ สสวท.
นายสเุ ทพ กติ ตพิ ิทกั ษ ์ ผ้ชู �ำ นาญ สสวท.
ผศ.ดร.ธีระเดช เจยี รสขุ สกลุ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกล้าธนบรุ ี

คณะบรรณาธิการ

รศ.ดร.สริ พิ ร ทพิ ย์คง ผ้เู ช่ยี วชาญ สสวท.

นางสาวจนิ ตนา อารยะรงั สฤษฏ ์ ผูช้ ำ�นาญ สสวท.

84 สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี