แบบฝึกทักษะ ลำดับและอนุกรม เล่มที่ 1 เรื่องลำดับ ปรับปรุง ปีการศึกษา 2563

แบบฝกึ ทกั ษะ รายวชิ า คณติ ศาสตร์ 5
รหัสวิชา ค33101

คณติ ศาสตร์ ม.6

ลาดับและอนกุ รม ดว้ ยรูปแบบ SSCS

เล่มท่ี

1

เรื่อง ลาดบั

ชื่อ………………………………………..……….ชนั้ ม.6/………เลขที่………

ครผู ู้สอน ครคู รรชิต แซ่โฮ่
ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการ

โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
สานกั งานเขตพื้นที่การศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 15

กระทรวงศึกษาธิการ

ก

คำนำ

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดับและอนุกรม ด้วยรูปแบบ SSCS เล่มที่ 1 เรื่อง ลำดับ
จัดทาข้ึนเพ่ือใช้เป็นสื่อประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชา
คณิตศาสตร์ 5 รหัสวิชา ค33101 ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 6 ท่ีสอดคล้องกับตัวช้ีวัดและสาระการเรียนรู้
แกนกลาง กล่มุ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช
2551 เป็นแบบฝึกทักษะท่ีใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ท่ีส่งเสริมให้ผู้เรียนเกิดการเปลี่ยนแปลง
พฤติกรรมในการเรียนรู้ตามความสามารถของแต่ละคน เพ่ือมุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีความรู้ความเข้าใจใน
บทเรยี นไดด้ ี สง่ เสริมความกา้ วหนา้ ทางการเรียนรูท้ ่ีมุ่งเนน้ ผเู้ รียนเป็นสาคัญ มุ่งพัฒนาและส่งเสริมทักษะ
และกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน ซ่ึงได้แก่ ความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล
ความคดิ ริเริ่มสร้างสรรค์ ฝกึ ให้ผเู้ รียนทางานอย่างเป็นระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ
ตระหนักในคุณค่า และมีเจตคติที่ดีต่อวิชาคณิตศาสตร์ รวมทั้งตอบสนองสาระ มาตรฐานการเรียนรู้และ
ตวั ช้ีวดั ในรายวชิ าคณิตศาสตร์

สาหรบั แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดับและอนุกรม ด้วยรปู แบบ SSCS รายวิชา
คณติ ศาสตร์ 5 รหัสวิชา ค33101 ช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 6 ที่ทั้งหมด 5 เลม่ คอื

เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง ลาดับ
เลม่ ที่ 2 เรอื่ ง ลาดบั เลขคณิต
เลม่ ท่ี 3 เรื่อง ลาดับเรขาคณติ
เล่มท่ี 4 เรอื่ ง อนุกรมเลขคณิต
เล่มท่ี 5 เรอื่ ง อนุกรมเรขาคณติ
ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างย่ิงว่าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับและอนุกรม ด้วยรูปแบบ
SSCS เลม่ น้ี คงเป็นประโยชนต์ อ่ ผูเ้ รยี นในการเรยี นรู้ สามารถนาผู้เรียนไปสู่จุดหมายตามศักยภาพ เป็น
ผู้ท่ีมคี ณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์ นาความรู้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจาวันได้ และเป็นแนวทางสาหรับผู้
ท่มี ีความสนใจต่อไป
ขอขอบพระคุณผู้อานวยการโรงเรียน คณะผู้บริหารและครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
รวมถึงผู้ทม่ี สี ่วนเกย่ี วขอ้ งทุกท่าน ทไ่ี ดอ้ านวยความสะดวก เปน็ กาลงั ใจ ให้ความชว่ ยเหลือ และให้การ
สนับสนุน และขอขอบใจนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6 ทุกคนท่ีให้ความร่วมมือในกิจกรรมการเรียนรู้
และทาให้แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตรเ์ ล่มนี้สาเร็จลุลว่ งด้วยดี ขอขอบคณุ เปน็ อยา่ งสงู ไว้ ณ โอกาสน้ี
คุณค่าและประโยชน์ของแบบฝึกทักษะนี้ ผู้จัดทาขอมอบเป็นเครื่องบูชาพระคุณแด่บิดา
มารดา และบูรพาจารย์ ตลอดจนผู้มีพระคุณทุกท่าน ท่ีอบรมสั่งสอนประสิทธ์ิประสาทความรู้ทั้งปวง
แกผ่ จู้ ดั ทา

ครรชติ แซโ่ ฮ่
ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการ

สารบญั ข

เรอื่ ง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คมู่ อื สาหรับผูเ้ รียน 1
คาแนะนาในการใช้แบบฝกึ ทกั ษะสาหรบั ผู้เรยี น 3
ขั้นตอนการเรยี นรู้โดยใชแ้ บบฝึกทักษะ 4
สาระ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชวี้ ัด และจดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ 5
ผังมโนทศั น์ 6
แบบทดสอบก่อนเรยี น 7
กระดาษคาตอบแบบทดสอบกอ่ นเรยี น 11
เอกสารแนะแนวทางท่ี 1.0 12
เอกสารแนะแนวทางที่ 1.1 13
ใบความรู้ท่ี 1.1 ความหมายของลาดบั 14
แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.1 16
ใบสรปุ ความรู้ท่ี 1.1 17
ใบแลกเปลย่ี นเรยี นรู้ท่ี 1.1 17
เอกสารแนะแนวทางท่ี 1.2 18
ใบความร้ทู ่ี 1.2 ลาดบั จากดั และลาดับอนนั ต์ 19
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.2 20
ใบสรปุ ความรทู้ ี่ 1.2 21
ใบแลกเปล่ยี นเรียนรทู้ ่ี 1.2 21
ใบความรู้ท่ี 1.3 การเขยี นลาดับในรูปแจงพจน์ 22
แบบฝกึ ทักษะที่ 1.3 26
ใบสรุปความรู้ท่ี 1.3 28
ใบแลกเปล่ยี นเรยี นรทู้ ี่ 1.3 28
ใบความรู้ท่ี 1.4 การเขียนลาดับในรปู แจงพจน์ (ตอ่ ) 29
แบบฝกึ ทักษะที่ 1.4 32
ใบสรปุ ความรทู้ ่ี 1.4 34
ใบแลกเปล่ียนเรียนรู้ที่ 1.4 34
ใบความรทู้ ่ี 1.5 การหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดับ 35
แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.5 39
ใบสรุปความรู้ที่ 1.5 41

สำรบญั (ตอ่ ) หนำ้

เรื่อง 41
42
ใบแลกเปลี่ยนเรยี นรู้ที่ 1.5 48
ใบความรทู้ ี่ 1.6 การหาพจน์ท่วั ไปของลาดบั (ต่อ) 52
แบบฝึกทกั ษะท่ี 1.6 52
ใบสรปุ ความรทู้ ี่ 1.6 53
ใบแลกเปลย่ี นเรียนรูท้ ี่ 1.6 57
แบบทดสอบหลังเรียน 58
กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลงั เรยี น 59
แบบบันทึกคะแนนแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์
บรรณานุกรม

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั 1

คู่มือสาหรับผู้เรียน

1. บทบาทของผู้เรียน
1.1 ขั้นตอนการเรียนรู้
1.1.1 ก่อนปฏิบตั กิ ิจกรรมทุกครงั้ ผู้เรยี นทกุ คนตอ้ งศึกษาบทบาทของ

ผู้เรยี นและคาแนะนาสาหรับผู้ใหเ้ ข้าใจ
1.1.2 ทาแบบทดสอบก่อนเรียนในแบบฝกึ ทักษะแตล่ ะเลม่ เล่มละ 15 ขอ้

ใชเ้ วลาในการทดสอบ 30 นาที เพือ่ ประเมนิ ความรู้พนื้ ฐานของตนเอง เมอ่ื ทาเสรจ็ แลว้ ให้ตรวจจาก
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน บันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน

1.1.3 ผู้เรยี นศกึ ษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตรต์ ามทก่ี าหนดด้วยความต้งั ใจ
และเตม็ กาลงั ความสามารถ ตามลาดบั ข้นั ตอน

1.1.4 หลังจากเรียนรู้ด้วยแบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตรใ์ นแต่ละเลม่ จบแลว้
ให้ผู้เรียนทาแบบทดสอบหลังเรยี น จานวน 15 ข้อ เมอื่ ทาเสรจ็ แลว้ ใหต้ รวจจากเฉลยแบบทดสอบ
หลงั เรยี น บันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน

1.1.5 เม่อื เรยี นจบทุกแบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ให้ผู้เรยี นทาแบบทดสอบ
วดั ผลสมั ฤทธิท์ างการเรียน เรอื่ ง ลาดบั และอนุกรม จานวน 30 ข้อ ใช้เวลาในการทดสอบ 60 นาที

1.2. ขนั้ กิจกรรมการเรียนรู้ ใชก้ ระบวนการเรยี นรู้ด้วยรปู แบบ SSCS มีขั้นตอน ดังน้ี
1.2.1 ขั้นตอนที่ 1 Search : S (ขนั้ สบื เสาะค้นหาความรู้) การศึกษาข้อมลู ท่ี

เกี่ยวข้องกบั ปัญหาและการแยกประเด็นของปัญหา เปน็ ขั้นตอนท่ีผเู้ รียนตอ้ งศึกษาเน้ือหาสาระจาก
ใบความรู้ในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์แตล่ ะเลม่

1.2.2 ข้นั ตอนที่ 2 Solve : S (ขน้ั การแก้ปัญหา) การวางแผนและการดาเนิน
การแก้ปญั หาด้วยวธิ ีการต่าง ๆ เปน็ ข้นั ตอนทีผ่ ู้เรียนต้องศึกษาวางแผนและดาเนนิ การแก้ปัญหาโจทย์
ปญั หาในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์แต่ละเล่ม

1.2.3 ขน้ั ตอนท่ี 3 Create : C (ขนั้ สร้างความรู้) การนาผลที่ไดม้ าจัดกระทา
เพื่อให้งา่ ยต่อความเข้าใจและเพ่อื สื่อสารกบั คนอื่นได้ เปน็ ขนั้ ตอนท่ผี เู้ รยี นต้องสรปุ และบนั ทกึ ความรูท้ ่ี
ไดห้ ลังจากทาแบบฝกึ ทักษะใหอ้ ยู่ในรูปท่เี ข้าใจง่ายมากทีส่ ุด

1.2.4 ขน้ั ตอนที่ 4 Share : S (ขนั้ อภิปรายแลกเปล่ยี นความคดิ เห็น)
การแลกเปลีย่ นความคิดเหน็ เกีย่ วกับข้อมลู และวิธีการแก้ไขปญั หา เปน็ ขัน้ ตอนทผี่ ู้เรียนต้องแลกเปลี่ยน
ความคิดเหน็ กบั เพ่ือนภายในกลมุ่ หรอื เพื่อนร่วมช้นั เรยี นเกยี่ วกบั ความร้ทู ี่ไดจ้ ากศึกษาเน้ือหาสาระจาก
ใบความรแู้ ละจากการดาเนนิ การแก้ปัญหาโจทย์ปญั หาในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง ลาดบั 2

2. แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ สว่ นประกอบของแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ มีดังน้ี
2.1 คาแนะนาในการใช้แบบฝกึ ทกั ษะสาหรับผู้เรียน
2.2 ขน้ั ตอนการเรยี นรโู้ ดยใช้แบบฝกึ ทักษะ
2.3 สาระ มาตรฐานการเรยี นรู้ ตวั ชว้ี ดั และจดุ ประสงค์การเรยี นรู้
2.4 ผงั มโนทศั น์
2.5 แบบทดสอบก่อนเรียน
2.6 เอกสารแนะแนวทาง
2.7 ใบความรู้และแบบฝึกทักษะ
2.8 แบบทดสอบหลังเรยี น
2.9 บรรณานุกรม

3. การวัดและประเมินผลการเรียนรู้
การวัดและประเมนิ ผลการเรียนรู้ จะดาเนนิ การประเมนิ ทง้ั ส้นิ 3 ดา้ น ไดแ้ ก่

ดา้ นความรู้ (K) ด้านทกั ษะกระบวนการ (P) และดา้ นคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A) ซึง่ ประเมินจาก
3.1 การตรวจแบบทดสอบก่อนเรยี น แบบฝึกทกั ษะ และแบบทดสอบหลังเรียน

และประเมนิ ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 80 ของคะแนนเต็ม
3.2 แบบสงั เกตพฤติกรรมผเู้ รียนด้านทักษะกระบวนการ โดยการสงั เกตพฤติกรรม

ขณะผู้เรยี นปฏิบตั ิกิจกรรมการเรียนรู้ และการผา่ นเกณฑ์ต้องได้ระดบั คุณภาพโดยรวมต้ังแต่ 10
คะแนนข้นึ ไป

3.3 แบบสังเกตพฤติกรรมผเู้ รียนดา้ นคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยการสังเกต
พฤติกรรมขณะผู้เรยี นปฏิบัติกจิ กรรมการเรียนรู้ และการผา่ นเกณฑต์ ้องไดร้ ะดบั คุณภาพโดยรวม
ตง้ั แต่ 10 คะแนนขนึ้ ไป

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอื่ ง ลาดับ 3

คาแนะนาในการใช้แบบฝกึ ทกั ษะสาหรบั ผู้เรียน

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง ลาดบั และอนุกรม ใชป้ ระกอบการจดั กิจกรรมการเรียนรู้กลุ่ม
สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ รายวชิ าคณิตศาสตร์ 5 รหัสวชิ า ค33101 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6 ทีส่ อดคล้อง
กับตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสตู รแกนกลาง
การศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 มที ง้ั หมด 5 เล่ม ซง่ึ แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์เลม่ นี้เป็น
เล่มท่ี 1 เร่ือง ลาดบั ใชเ้ วลาเรียน 6 คาบ ประกอบดว้ ยเร่ืองย่อยดังน้ี

1. ความหมายของลาดบั
2. ลาดบั จากัดและลาดบั อนนั ต์
3. การเขยี นลาดับในรปู แจงพจน์
4. การหาพจน์ทั่วไปของลาดับ
ขอ้ ปฏบิ ตั ขิ ณะฝึกทกั ษะ ผูเ้ รียนควรปฏิบตั ิตามคาแนะนา ดังน้ี
1. อา่ นคาช้ีแจงและคาแนะนาในการทาแบบฝึกทักษะใหเ้ ข้าใจก่อนทากิจกรรมทุกครั้ง
2. ศกึ ษาตัวช้ีวดั จดุ ประสงค์การเรยี นรแู้ ละผังมโนทัศน์ของแบบฝกึ ทกั ษะ เพ่ือใหท้ ราบว่า
เมอ่ื เรยี นจบแลว้ ผู้เรยี นจะมีความร้ใู นเร่ืองใดบา้ ง
3. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน ลงในกระดาษคาตอบ ตรวจคาตอบจากเฉลยแบบทดสอบก่อน
เรียน พรอ้ มทง้ั บนั ทึกคะแนนลงในแบบบนั ทึกคะแนน
4. ทาเอกสารแนะแนวทาง (ถ้าม)ี ศึกษาใบความรู้ ตัวอย่าง และทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้
กระบวนการเรยี นรู้ด้วยรปู แบบ SSCS ตรวจคาตอบจากเฉลยแบบฝึกทักษะ พร้อมทัง้ บันทกึ คะแนน
ลงในแบบบันทึกคะแนนรายบุคคล
5. เมอ่ื ผู้เรยี นไมเ่ ขา้ ใจ ทาแบบฝึกทักษะไม่ได้ หรือมีปัญหาขอ้ สงสัยในเน้ือหาของแบบฝึก
ทักษะ ใหก้ ลับไปศึกษาใบความร้แู ละตัวอย่างอีกคร้ังจนเขา้ ใจดี หรือปรกึ ษาครูผสู้ อน แล้วจึงกลับมา
ทาแบบฝกึ ทักษะอีกคร้ัง
6. การเขยี นคาตอบของแบบฝกึ ทักษะ ให้ผู้เรยี นทาดว้ ยความละเอียดรอบคอบ เขยี นคาตอบ
ใหก้ ระชบั และชัดเจน ใหผ้ ลงานมคี วามถูกตอ้ ง สะอาด เรยี บรอ้ ยและเปน็ ระเบยี บ
7. ทาแบบทดสอบหลังเรียน ตรวจให้คะแนนตามเฉลย ถ้าได้คะแนนตา่ กวา่ ร้อยละ 80
ให้กลบั ไปศึกษาแบบฝึกทกั ษะเล่มนี้อีกคร้ัง
8. สรุปผลการเรียน ประเมิน ปรบั ปรุงและพัฒนาตนเอง
9. การศึกษาแบบฝึกทกั ษะเล่มนี้จะไมบ่ รรลุผลสาเรจ็ ถ้าผู้เรียนขาดความซื่อสัตยใ์ นการทา
แบบฝึกทักษะ

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั 4

ขัน้ ตอนการเรียนร้โู ดยใชแ้ บบฝึกทักษะ

1. อ่านคมู่ ือและคาแนะนาสาหรับผ้เู รียน

2. ทาแบบทดสอบกอ่ นเรียน

3. ศึกษาแบบฝึกทกั ษะ โดยปฏบิ ตั กิ จิ กรรม ไมผ่ า่ นเกณฑ์
- ศกึ ษาเนื้อหา
- ทาแบบฝกึ ทกั ษะ
- ตรวจแบบฝกึ ทักษะ

4. ทาแบบทดสอบหลังเรยี น ประเมินผล

5. ศึกษาแบบฝึกทกั ษะเลม่ ต่อไป ผา่ นเกณฑ์

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่ือง ลาดับ 5

สาระ มาตรฐานการเรียนรู้ ตวั ชีว้ ัด และจดุ ประสงค์การเรยี นรู้

สาระ มาตรฐานการเรยี นรู้ และตัวช้ีวัด

สาระท่ี 1 จานวนและพชี คณติ

มาตรฐาน ค 1.2 เขา้ ใจและวิเคราะหแ์ บบรปู ความสัมพันธ์ ฟังก์ชนั ลาดับและ

อนกุ รม และนาไปใช้

ตัวชว้ี ัด ม. 5/2 เข้าใจและนาความรูเ้ ก่ียวกบั ลาดับและอนกุ รมไปใช้

จุดประสงค์การเรยี นรู้

ด้านความรู้ : ผู้เรียนสามารถ
1. บอกความหมายของลาดับได้
2. บอกไดว้ ่าลาดบั ที่กาหนดใหเ้ ปน็ ลาดบั จากัดหรือลาดับอนันต์
3. เขยี นลาดับในรูปแจงพจนไ์ ด้
4. หาพจน์ท่วั ไปของลาดบั ท่ีกาหนดให้ได้

ดา้ นทักษะและกระบวนการ : ผู้เรียนมีความสามารถ
1. ในการแก้ปญั หา
2. ในการใหเ้ หตุผล
3. ในการสื่อสาร การส่ือความหมายและการนาเสนอ
4. ในการเช่อื มโยงความรทู้ างคณติ ศาสตรเ์ พ่ือให้เกิดความคิดรวบยอด
5. การคดิ รเิ ร่มิ สรา้ งสรรค์

ดา้ นคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ : ผู้เรียนมี
1. การทางานเป็นระบบ รอบคอบ
2. ระเบียบวินัย
3. ความรบั ผดิ ชอบ
4. ความเช่ือมน่ั ในตนเอง
5. ความซอื่ สัตย์

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรื่อง ลาดับ 6

ผงั มโนทศั น์

ความหมายของลาดับ ลาดับจากัดและลาดบั อนันต์

ลาดับ

การหาพจนท์ ่วั ไปของลาดับ การเขียนลาดับในรปู แจงพจน์

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่ือง ลาดับ 7

แบบทดสอบก่อนเรียน

เรอ่ื ง ลาดบั

คาช้แี จง
1. แบบทดสอบก่อนเรียน เรอ่ื ง ลาดบั จานวน 15 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน
ใชเ้ วลา 20 นาที

2. การตอบแบบทดสอบให้ผู้เรยี นทาเครื่องหมาย x ลงใน  ใต้ตัวอกั ษร

ก ข ค และ ง ทเี่ ปน็ คาตอบที่ถูกทีส่ ุดเพียงขอ้ เดียว บนกระดาษคาตอบ

1. ข้อใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง
ก. ลาดบั คือ ฟังก์ชันท่ีมีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก
ข. ลาดบั จากดั คือ ฟงั ก์ชันท่ีมีโดเมนเปน็ เซตของจานวนเต็มบวก n ตวั แรก {1, 2, 3, ..., n}
ค. ลาดับอนันต์ คอื ฟังกช์ นั ท่มี ีโดเมนเปน็ เซตของจานวนเต็มบวก {1, 2, 3, ..., n}
ง. ถูกทกุ ขอ้

2. ข้อใดต่อไปนถ้ี กู ตอ้ ง
ก. {(1,1), (3, 2), (5,3), (7, 4), (9,5)} เปน็ ลาดับ
ข. {(a,1), (b, 2), (c,3), (d, 4), (e,5)} เปน็ ลาดบั
ค. {(1, 4), (2,5), (3,6), ...,(10,13)} ไมเ่ ปน็ ลาดบั
ง. {(1, a), (3,b), (5,c), ...,(19, j)} ไมเ่ ป็นลาดับ

3. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
ก. {(1, 2), (2, 4), (3,8), (4,16), (5,32)} เป็นลาดบั
ข. {(1,1), (2, 4), (3,9), (4,16), (5, 25)} เป็นลาดับ
ค. {(1, a), (3,b), (5,c), (7, d), (9,e)} ไมเ่ ปน็ ลาดบั
ง. {(1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4), (5,5)} ไม่เป็นลาดับ

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรือ่ ง ลาดบั 8

4. ลาดับในขอ้ ใดเปน็ ลาดับจากัด
ก. f1  {(1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4), ...}

ข. f2  {(1, 2), (2, 4), (3,8), (4,16), ...}
ค. f3  {x | x  2n 1, n  I }
ง. f4  {x | x  (n 1)2, n 1, 2,3,...,10}

5. ลาดบั ในข้อใดเป็นลาดบั อนนั ต์

ก. f1  {x | x  n, n  1, 2, 3, ...}
n 1

ข. f2  {x | x  2n, n 1, 2,3,...,10}

ค. f3  {(1,1), (2,8), (3, 27), (4,64)}

ง. f4  {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

6. ถา้ an  2  (1)n n แลว้ ขอ้ ใดถกู
2n  3

ก. a1  1
5

ข. a2  4
7

ค. a4  2
11

ง. a5  7
13

7. ใน 40 พจนแ์ รกของลาดบั an  3 (1)n มีกีพ่ จน์ทมี่ ีค่าเท่ากบั พจน์ที่ 40

ก. 10
ข. 20
ค. 30
ง. 40

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรือ่ ง ลาดบั 9

8. กาหนด an   5, n{1, 3, 5, ...} แล้วส่พี จน์แรกของลาดับในขอ้ ใด
2n,
n {2, 4, 6, ...}

ก. 2, 4, 6, 8

ข. 5, 4, 5, 8

ค. 5, 10, 15, 20

ง. 5, 2n, 5, 2n

9. ถา้ an เปน็ พจนท์ วั่ ไปของลาดับซึง่ มี a5  9 และ an1  an  2 แลว้ a11 เทา่ กบั เท่าใด

ก. 5
ข. 3
ค. 1
ง. 1

10. an  253n คอื พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั ในข้อใด
ก. 28, 25, 22, 19, ...
ข. 28,  25,  22, 19, ...
ค. 22, 19, 16, 13, ...
ง. 22, 19, 16, 13, ...

11. an  2(3n1) คอื พจน์ทวั่ ไปของลาดับในข้อใด
ก. 6, 18, 54, 162, ...
ข. 6, 12, 9, 12, ...
ค. 3, 6, 9, 12, ...
ง. 2, 6, 18, 54, ...

12. พจนท์ ั่วไปของลาดับ 1, 3, 6, 10, ... คอื ขอ้ ใด

ก. an  2n 1
ข. an  (1)n1(2n 1)

ค. an  n2  n
2

ง. an  n2  n
2

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรอื่ ง ลาดับ 10

13. ถ้า an เปน็ พจน์ทั่วไปของลาดบั ซ่งึ มี a1  6 และ an1  an  4 แลว้ a10 มคี ่าเปน็ เท่าใด

ก. 30
ข. 34
ค. 38
ง. 42

14. ผลบวก 3 พจนแ์ รกของลาดับ an  (1)n1 n เท่ากับข้อใด
n 1

ก.  7

12

ข.  5

12

ค. 7

12

ง. 11

12

15. กาหนดพจนท์ ่ี k ของลาดบั an  4n 3 เท่ากับ 21 แลว้ k มีค่าเป็นเทา่ ใด

ก. 6
ข. 7
ค. 8
ง. 9

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เรื่อง ลาดบั 11

กระดาษคาตอบ

แบบทดสอบกอ่ นเรียน

เรือ่ ง ลาดับ

ชือ่ – นามสกุล…………………………………………………..…….………….……………เลขท…่ี ….……….
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6/………… วนั ท…ี่ …………เดือน......................................พ.ศ...................

คาชแ้ี จง ให้ผู้เรียนทาเครอื่ งหมาย x ลงใน  ใตต้ วั อักษร ก ข ค และ ง

ท่ีเป็นคาตอบทีถ่ ูกที่สุดเพียงขอ้ เดยี ว

ขอ้ ก ข ค ง คะแนน ก่อนเรยี น ผลการประเมนิ
1 เตม็ 15
2 ได้
3
4 เกณฑก์ ารประเมิน
5 13 – 15 คะแนน ระดับ 4 ดเี ยีย่ ม
6 10 – 12 คะแนน ระดบั 3 ดี
7 7 – 9 คะแนน ระดบั 2 พอใช้ ผา่ นเกณฑ์
8 0 – 6 คะแนน ระดบั 1 ปรับปรงุ
9
10 ลงชอ่ื .................................................ผตู้ รวจ
11 (..........................................................)
12
13 วันท่ี............เดือน............................พ.ศ.............
14
15

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรือ่ ง ลาดับ 12

เอกสารแนะแนวทางที่ 1.0

คาชแี้ จง จากฟังก์ชนั ทก่ี าหนดให้ต่อไปนี้ ให้ผู้เรยี นหาโดเมนและเรนจ์ของฟงั ก์ชนั
โดยเติมคาตอบลงในตารางให้ถกู ตอ้ ง

ข้อท่ี ฟังก์ชนั โดเมนของฟังก์ชนั เรนจ์ของฟงั ก์ชัน

1 f1  {(3,1), (4, 2), (5,3), (6, 4)} {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4}
2 f2  {(1, x), (2, y), (3, z)}
3 f3  {(1, 2), (2,3), (3, 4), ..., (10,11)}
4 f4  {(1,6), (2,7), (3,8), ...}
5 f5  {(1, a), (2,b), (3, c), ...}
6 f6  {(2,3), (4,6), (8,12)}
7 f7  {(5,7), (7,9), (9,11), ..., (15,17)}
8 f8  {(1,3), (2, 4), (3,5), ...}
9 f9  {(x, y) | y  2x 1, x  I }
10 f10  {(x, y) | y  2x 1, x  3, 4,5,...,8}

จากตารางผู้เรยี นสรปุ ไดว้ ่า
โดเมนของฟังก์ชนั หมายถงึ ………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………….…
เรนจข์ องฟังกช์ ัน หมายถึง …………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………….………

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดบั 13

เอกสารแนะแนวทางท่ี 1.1

คาชี้แจง จากฟังกช์ ันทกี่ าหนดใหต้ ่อไปน้ี ให้ผู้เรยี นพิจารณาว่าฟังก์ชนั ใดบา้ งเป็นลาดับ
โดยทาเครอื่ งหมาย  ในตารางใหถ้ ูกต้อง

ข้อที่ ฟังกช์ ัน โดเมนของฟังก์ชัน เป็นลาดับ ไม่เป็นลาดบั

1 f1  {(1, 2), (2,3), (3, 4), (4,5)} {1, 2, 3, 4} 

2 f2  {(2, 4), (4,6), (6,8), ...} {2, 4, 6, ...} 

3 f3  {(1,5), (2,7), (3,12), (4,17), (5, 22)}

4 f4  {(1,5), (2,7), (3,9)}

5 f5  {(1, 2), (2, 4), (3,8), ...}

6 f6  {(2,1), (4, 2), (8,3), (16, 4)}

7 f7  {(1,1), (2, 1), (3,1), (4, 1)}

8 f8  {(1 ,1), (2 , 2), (3 , 3)}
2 3 4

9 f9  {(x, y) | y  2x 1, x  I }
10 f10  {(a,b) | b  2a 1, a  I }

จากตารางผ้เู รียนสรปุ ได้วา่
ลาดบั หมายถึง ………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………..…

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่อื ง ลาดับ 14

ใบความรู้ที่ ข้ันตอนท่ี 1 Search : S

1.1 ความหมายของลาดับ

ผเู้ รียนพร้อมแลว้ หรอื ยงั ครบั

ถ้าพร้อมแล้ว เราเริม่ เรยี นรกู้ ับ
ความหมายของลาดบั กันเลยนะ

จดุ ประสงค์ท่ี 1 ผู้เรยี นสามารถบอกความหมายของลาดบั ได้

1. ช่างก่อสร้างต้องการติดกระเบ้ืองบนผนังห้องภายในบ้านตามแบบรูปด้านล่างนี้ ให้ผู้เรียน
พจิ ารณาความสมั พันธข์ องแบบรปู ดงั กล่าว

กาหนดให้ แทนพนื้ ท่ีติดกระเบอ้ื ง 1 ตารางหน่วย จากแบบรูปข้างต้นพบว่า ลาดับของ
รูปและพื้นท่ีตดิ กระเบื้องในแตล่ ะรปู มีความสมั พนั ธ์กนั ดังตารางตอ่ ไปน้ี

รปู ที่ 1 2 3 4 5
พ้นื ท่ีติดกระเบื้อง (ตารางหน่วย) 1 3 6 10 15

จากตารางพบวา่ ความสัมพันธข์ องลาดับของรปู และพ้ืนที่ติดกระเบ้ืองในแต่ละรปู เป็นฟังก์ชนั
{(1, 1), (2, 3), (3, 6), (4, 10), (5, 15)} ท่ีมโี ดเมนเปน็ {1, 2, 3, 4, 5} และมีเรนจเ์ ป็น

{1, 3, 6, 10, 15}

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรือ่ ง ลาดับ 15

2. รกั ชาตอิ อมเงินทุกเดอื น เดือนละ 100 บาท ทาให้เขามีจานวนเงินออมสะสมในแต่ละเดือน
ดังแบบรปู ของจานวนต่อไปน้ี

100, 200, 300, 400, ...

จากแบบรูปข้างต้น เขียนความสัมพันธ์ระหว่างลาดับของเดือนที่ออมกับจานวนเงินออม
สะสมในแต่ละเดือนมีความสมั พันธ์ดงั ตารางตอ่ ไปนี้

เดอื นท่ี 1 2 3 4 …
เงินออกสะสม (บาท) 100 200 300 400 …

จากตารางพบวา่ ความสมั พนั ธ์ระหว่างลาดบั ของเดือนที่ออมกับจานวนเงินออมสะสมในแต่ละ
เดือนเป็นฟังก์ชัน {(1, 100), (2, 200), (3, 300), (4, 400), ...} ที่มีโดเมนเป็น {1, 2, 3, 4, ...}

และมเี รนจเ์ ป็น {100, 200, 300, 400, ...}

เราสามารถสรุปไดว้ ่า

สรปุ

ฟังกช์ นั ที่มโี ดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก หรอื เซตย่อยของจานวนเต็มบวกใน
รูป {1, 2, 3, ..., n} เรยี กวา่ ลาดบั (Sequence)

ในการเขียนลาดบั นน้ั จะเขยี นเฉพาะสมาชิกของเรนจเ์ รียงกันไป
ดงั การพจิ ารณาข้อ 1. เขยี นลาดบั ได้เปน็ 1, 3, 6, 10, 15

และข้อ 2. เขียนลาดบั ไดเ้ ป็น 100, 200, 300, 400, ...

เมือ่ ผเู้ รยี นเข้าใจดแี ลว้

เราไปทาแบบฝกึ ทักษะท่ี 1.1 กนั เลยนะ

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่ือง ลาดับ 16

แบบฝึกทักษะที่ 1.1 ข้ันตอนที่ 2 Solve : S

จุดประสงค์ท่ี 1 ผู้เรยี นสามารถบอกความหมายของลาดับได้
คาชแี้ จง ใหผ้ ู้เรยี นพจิ ารณาฟังก์ชันทกี่ าหนดใหต้ ่อไปน้ีวา่ เป็นลาดับหรอื ไม่ เพราะเหตุใด

1. f1  {(1, 4), (2,8), (3,12), ...}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

2. f2  {(1, 2), (2,3), (3, 4), (4,5), (5,6)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

3. f3  {(2,1), (3, 2), (4,3)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

4. f4  {(1,3), (2, 4), (3,5), ..., (7,9)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

5. f5  {(3, 4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

6. f6  {(1,5), (2,8), (3,11), (4,14)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

7. f7  {(x, y) | y  2x  3, x  I }
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

8. f8  {(x, y) | y  3x2 1, x  I }
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

9. f9  {(x, y) | y  x 1, xI , 1 x  10}
2

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

10. f10  {(x, y) | y  2x, x  I , 1  x 100}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

เกณฑ์การให้คะแนน ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเตม็ 20 คะแนน

ตอบได้ถกู ต้องให้ 1 คะแนน และให้เหตผุ ลประกอบได้ถูกต้องให้ 1 คะแนน
ถา้ ผู้เรยี นทาได้ไม่ถงึ 16 คะแนน ให้ผู้เรยี นกลับไปศึกษาใบความรู้ที่ 1.1 อีกครั้ง

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั 17

ใบสรุปความรทู้ ่ี 1.1 ข้ันตอนที่ 3 Create : C

คาชีแ้ จง ใหผ้ ้เู รียนเรียบเรียงและบันทึกความรู้ของผ้เู รยี นท่ีได้จากการศึกษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝกึ ทักษะขา้ งตน้ โดยใช้ภาษาทง่ี ่ายตอ่ การเข้าใจ

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

1.1ใบแลกเปลย่ี นเรียนรู้ที่ ขั้นตอนท่ี 4 Share : S

คาชีแ้ จง ให้ผ้เู รียนแตล่ ะคนแลกเปลี่ยนความรขู้ องตนจากการทาแบบฝกึ ทักษะ โดยครจู ะ
สมุ่ ผู้เรยี นออกมานาเสนอการสรปุ ความรู้หรือแนวคิดและวธิ กี ารในการทากิจกรรม

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่ือง ลาดบั 18

เอกสารแนะแนวทางท่ี 1.2

คาชแ้ี จง จากฟงั กช์ นั ทีก่ าหนดให้ต่อไปนี้ ให้ผู้เรียนพจิ ารณาวา่ ฟังกช์ ันใดเปน็ ลาดบั จากดั
หรือลาดับอนนั ต์ โดยทาเครื่องหมาย  ลงใน  ใหถ้ ูกตอ้ ง พรอ้ มทั้งใหเ้ หตุผล

ข้อ ฟังกช์ ัน โดเมนของ ชนิดของลาดบั เหตุผล
ที่ ฟงั กช์ นั
 ลาดับจากดั เพราะมโี ดเมนเปน็
1 f1  {(1, 1), (2,5), (3,11), (4,17)} {1, 2, 3, 4}  ลาดับอนนั ต์ จานวนเตม็ บวก 4 ตัวแรก

2 f2  {(1,0), (2,1), (3, 2), ...}  ลาดับจากดั เพราะมโี ดเมนเป็น
{1, 2, 3, ...}  ลาดบั อนนั ต์ จานวนเตม็ บวก

3 f3  {(1,1), (2, 4), (3,9), (4,16), (5, 25)}  ลาดับจากัด
 ลาดับอนันต์

4 f4  {(1,1), (2, 1 ), (3, 1), (4, 1 )}  ลาดบั จากดั
2 3 4  ลาดบั อนนั ต์

5 f5  {(1, 2), (2, 4), (3,8), ...}  ลาดบั จากดั
 ลาดับอนันต์

6 f6  {(x, y) | y  4x, x 1, 2,3,...,10}  ลาดับจากดั
 ลาดับอนนั ต์

7 f7  {(x, y) | y  x2 1, x  I }  ลาดับจากดั
 ลาดบั อนนั ต์

จากตารางผู้เรียนสรปุ ได้วา่
ลาดับจากดั หมายถึง ……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………….
ลาดับอนันต์ หมายถึง ………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………..
… ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั 19

ใบความรู้ท่ี

1.2 ลาดบั จากดั และลาดบั อนันต์ ขั้นตอนท่ี 1 Search : S

จุดประสงค์ที่ 2 ผู้เรยี นสามารถบอกได้ว่าลาดับทกี่ าหนดใหเ้ ปน็ ลาดับจากัดหรอื
ลาดบั อนนั ต์

ให้ผู้เรียนพิจารณาจานวนสมาชิกของลาดับต่อไปนี้

1. ลาดบั 1, 3, 6, 10, 15
2. ลาดบั 100, 200, 300, 400, ...

พบว่า ข้อ 1. มจี านวนสมาชิกเพียง 5 ตวั ในขณะที่ขอ้ 2. มจี านวนสมาชกิ มากมายนับไม่ถ้วน
เราสามารถจาแนกลาดบั ตามจานวนสมาชกิ ได้ 2 ชนดิ คอื ลาดับจากัดและลาดบั อนนั ต์

ในกรณีท่ฟี ังกช์ นั เป็นลาดับท่ีมีโดเมนเป็น {1, 2, 3, ..., n} เราเรียกลาดับดังกล่าวว่า ลาดับ

จากัด (finite sequence) และในกรณที ฟี่ งั ก์ชันเป็นลาดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก เรา

เรียกลาดบั ดงั กล่าวว่า ลาดบั อนันต์ (infinite sequence)

ตัวอยา่ ง

1. f {(1,1), (2,5), (3,11), (4,17)} เปน็ ลาดบั จากัด
เน่ืองจากมีโดเมนเปน็ {1, 2, 3, 4}

2. g  {(x, y) | y  x2 1, x  I } เป็นลาดบั อนนั ต์
เนอื่ งจากมีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก

3. h {(1,2), (2,4), (3,8), ...} เปน็ ลาดับอนนั ต์
เนือ่ งจากมีโดเมนเป็น {1, 2, 3, ...}

4. k {(x, y) | y  4x, x 1,2,3,...,10} เปน็ ลาดับจากัด
เน่อื งจากมโี ดเมนเป็น {1, 2, 3, ..., 10}

5. 3, 6, 9, 12, 15 เปน็ ลาดบั จากดั เมอื่ ผ้เู รยี นเข้าใจดแี ล้ว
เนอ่ื งจากมโี ดเมนเป็น {1, 2, 3, 4, 5}
เราไปทาแบบฝึกทกั ษะที่ 1.2 กนั เลยนะ

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรอื่ ง ลาดบั 20

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.2 ข้ันตอนท่ี 2 Solve : S

จดุ ประสงค์ท่ี 2 ผู้เรียนสามารถบอกได้วา่ ลาดับทกี่ าหนดใหเ้ ปน็ ลาดับจากดั หรอื ลาดบั อนนั ต์
คาชีแ้ จง ใหผ้ ู้เรยี นพิจารณาฟังกช์ ันที่กาหนดให้ต่อไปนี้ว่าเปน็ ลาดับจากัดหรือลาดับอนันต์

เพราะเหตใุ ด

1. f1  {(1, 4), (2,8), (3,12), ...}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

2. f2  {(1, 2), (2,3), (3, 4), (4,5), (5,6)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

3. f3  {(1,1), (2, 2), (3,3), ...}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

4. f4  {(1,3), (2, 4), (3,5), ..., (7,9)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

5. f5  {(1,1), (2, 1 ), (3, 1), (4, 1 )}
2 3 4

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

6. f6  {(1,5), (2,8), (3,11), (4,14)}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

7. f7  {(x, y) | y  2x  3, x  I }
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

8. f8  {(x, y) | y  3x2 1, x  I }
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

9. f9  {(x, y) | y  x 1, x  1, 2,3,...,99}
2

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

10. f10  {(x, y) | y  2x, x  I , 1  x 100}
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน

ตอบได้ถกู ต้องให้ 1 คะแนน และใหเ้ หตุผลประกอบได้ถูกต้องให้ 1 คะแนน
ถา้ ผู้เรยี นทาได้ไม่ถึง 16 คะแนน ให้ผู้เรยี นกลบั ไปศึกษาใบความรูท้ ี่ 1.2 อีกครัง้

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั 21

ใบสรุปความรทู้ ่ี 1.2 ข้ันตอนที่ 3 Create : C

คาชีแ้ จง ใหผ้ ้เู รียนเรียบเรียงและบันทกึ ความรู้ของผ้เู รยี นทไ่ี ด้จากการศึกษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝกึ ทักษะขา้ งตน้ โดยใช้ภาษาทง่ี ่ายตอ่ การเข้าใจ

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

1.2ใบแลกเปลย่ี นเรียนรู้ที่ ข้ันตอนท่ี 4 Share : S

คาชีแ้ จง ให้ผ้เู รียนแตล่ ะคนแลกเปลี่ยนความรขู้ องตนจากการทาแบบฝกึ ทักษะ โดยครูจะ
สมุ่ ผู้เรยี นออกมานาเสนอการสรปุ ความรหู้ รือแนวคิดและวธิ กี ารในการทากจิ กรรม

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดบั 22

ใบความรู้ที่

1.3 การเขยี นลาดับในรูปแจงพจน์ ข้ันตอนท่ี 1 Search : S

จุดประสงคท์ ี่ 3 ผู้เรียนสามารถเขียนลาดบั ในรูปแจงพจน์ได้

ให้ผู้เรียนพิจารณาฟงั กช์ ันต่อไปน้ี

f  {(1,1), (2,3), (3,5), (4,7), (5,9)}

จากตวั อยา่ ง พบว่า ฟังก์ชันเป็นลาดับทมี่ โี ดเมนเป็น {1, 2, 3, 4, 5} และมเี รนจ์เป็น
{1, 3, 5, 7, 9} ถา้ นาเฉพาะสมาชิกของเรนจ์มาเขยี นเรยี งกันไป จะได้

1, 3, 5, 7, 9 เป็นลาดบั จากดั
ซง่ึ การเขยี นลาดบั ในลกั ษณะนี้เรยี กวา่ การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์ และ

เรยี ก 1 ว่าพจนท์ ี่ 1 ของลาดบั แทนด้วย a1
3 ว่าพจนท์ ่ี 2 ของลาดบั แทนด้วย a2
5 ว่าพจน์ที่ 3 ของลาดบั แทนดว้ ย a3
7 ว่าพจนท์ ่ี 4 ของลาดบั แทนดว้ ย a4

และ 9 ว่าพจน์ที่ 5 ของลาดบั แทนดว้ ย a5

สรปุ

ในการเขียนลาดับ เราจะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไปกล่าวคือ ถ้า a
เป็นลาดบั จากัด จะเขยี นแทนด้วย

a1, a2, a3, ..., an

ในกรณีท่ี a เปน็ ลาดับอนันต์ จะเขียนแทนด้วย

และเรียก a1, a2, a3, ..., an, ...

a1 วา่ พจนท์ ี่ 1 ของลาดบั
a2 ว่า พจนท์ ี่ 2 ของลาดับ
a3 ว่า พจน์ท่ี 3 ของลาดบั

an ว่า พจนท์ ี่ n หรอื พจน์ท่วั ไป (general term) ของลาดับ

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรือ่ ง ลาดับ 23

ตัวอยา่ ง
1. ลาดับ 1, 3, 6, 10, 15 เปน็ ลาดับจากัดทม่ี ี a1 1, a2  3, a3  6, a4 10 และ a5 15

2. ลาดบั 1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... เปน็ ลาดบั อนันตท์ ่ีมี a1 1, a2  4, a3  9, a4 16,
a5  25 และ an  n2

การเขยี นลาดบั นอกจากจะเขียนโดยการแจงพจน์แล้ว อาจจะเขียนเฉพาะพจน์ทั่วไปพร้อม

ท้ังระบุสมาชกิ ในโดเมน

ตวั อยา่ ง

1. ลาดับ 3, 6, 9, 12, 15 อาจเขยี นแทนดว้ ย

an  3n เมื่อ n{1, 2, 3, 4, 5}

2. ลาดบั 1, 3, 5, 7, 9, ..., 2n 1, ... อาจเขยี นแทนด้วย

an  2n 1 เม่อื n{1, 2, 3, 4, ...}

หมายเหตุ ในกรณที ่ีกาหนดลาดบั โดยพจนท์ ว่ั ไป ถ้าไม่ได้ระบสุ มาชิกในโดเมน
ให้ถือวา่ ลาดบั นั้นเปน็ ลาดบั อนนั ต์

ตัวอยา่ งของลาดบั

1. 6, 12, 18, 24, 30, 36 เปน็ ลาดับจากัด
เปน็ ลาดบั อนนั ต์
2. 4, 9, 16, 25, 36, ..., (n 1)2, ... เป็นลาดับจากดั

3. an  2n 1, n{1, 2, 3, 4, ..., 10} เปน็ ลาดับอนนั ต์

4. an  1 เปน็ ลาดบั อนนั ต์
2n

5. an  2n2  3

เราสามารถเขียนลาดับซ่ึงอยู่ในรูปพจน์ท่ัวไปให้อยู่ในรูปแจงพจน์ได้ โดยการแทนค่าตัวแปร
n ลงในพจนท์ ่วั ไป กล่าวคอื

ตอ้ งการหา a1 คอื พจนท์ ่ี 1 ของลาดบั ดว้ ยการแทน n ดว้ ย 1 ในพจนท์ ั่วไป

a2 คอื พจนท์ ่ี 2 ของลาดับ ดว้ ยการแทน n ดว้ ย 2 ในพจน์ทว่ั ไป

a3 คือ พจน์ที่ 3 ของลาดับ ดว้ ยการแทน n ดว้ ย 3 ในพจน์ทั่วไป

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง ลาดับ 24

“เรามาฝึกเขยี นพจน์ต่าง ๆ ของลาดบั กนั เลยดีกว่า”

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาหา้ พจนแ์ รกของลาดับ an  2n 1
วิธีทา แทน n ใน an  2n 1 ด้วย 1, 2, 3, 4 และ 5 จะไดห้ า้ พจนแ์ รกของลาดับดงั น้ี

a1  2(1) 1  3

a2  2(2) 1  5

a3  2(3) 1  7

a4  2(4) 1  9

a5  2(5) 1  11

ดังนั้น ห้าพจน์แรกของลาดับ คือ 3, 5, 7, 9, 11

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาหา้ พจน์แรกของลาดับ an  3 (1)n
วธิ ที า แทน n ใน an  3 (1)n ด้วย 1, 2, 3, 4 และ 5 จะได้ห้าพจน์แรกของลาดับ
ดังน้ี

a1  3  (1)1  3 1  2

a2  3  (1)2  3 1  4

a3  3  (1)3  3 1  2

a4  3  (1)4  3 1  4

a5  3  (1)5  3 1  2

ดังนน้ั หา้ พจน์แรกของลาดับ คอื 2, 4, 2, 4, 2

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาหา้ พจน์แรกของลาดับอนันต์ท่ี an  2n 1 แล้วเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
วธิ ที า
พจนท์ ี่ 1 คอื 21 1  3
พจน์ที่ 2 คอื 22 1  5
พจน์ที่ 3 คือ 23 1  9
พจนท์ ่ี 4 คอื 24 1 17
พจน์ที่ 5 คือ 25 1  33
ดงั นน้ั ลาดบั ในรปู แจงพจน์ คอื 3, 5, 9, 17, 33, , ..., 2n 1, ...

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอื่ ง ลาดับ 25

 8, n {1, 3, 5, ...}
ตัวอย่างที่ 4 จงหาห้าพจนแ์ รกของลาดบั อนันตท์ ี่ 
วธิ ีทา an   4
 1 , n {2, 4, 6, ...}
n

แล้วเขยี นลาดับในรปู แจงพจน์

พจนท์ ี่ 1 คือ 8

พจนท์ ่ี 2 คือ 4  4

21 3

พจน์ท่ี 3 คือ 8

พจน์ที่ 4 คือ 4  4

41 5

พจนท์ ี่ 5 คือ 8

ดังนั้น ลาดับในรูปแจงพจน์ คือ

8, 4, 8, 4, 8, ..., an   8, , n {1, 3, 5, ...} ...
3 5  4 n {2, 4, 6, ...},
 n
1

ตัวอย่างท่ี 5 จงหาห้าพจนแ์ รกของลาดบั อนนั ต์ a1, a2, a3, ... ซ่งึ กาหนดเงื่อนไขดังน้ี
วิธที า a1  4 และ an  2(an1 1), n  2
จากโจทย์ a1  4 และ an  2(an1 1), n  2
จะได้ a2  2(a1 1)  2(4 1)  6

a3  2(a2 1)  2(6 1)  10

a4  2(a3 1)  2(10 1)  18

a5  2(a4 1)  2(18 1)  34

ดังนั้น ห้าพจน์แรกของลาดบั คือ 4, 6, 10, 18, 34

เมือ่ ผ้เู รียนเข้าใจดีแล้ว

เราไปทาแบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.3 กันเลยนะ

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอื่ ง ลาดบั 26

แบบฝึกทักษะที่ 1.3 ขั้นตอนท่ี 2 Solve : S

จดุ ประสงค์ท่ี 3 ผู้เรยี นสามารถเขยี นลาดบั ในรูปแจงพจน์ได้
คาชีแ้ จง ใหผ้ ้เู รยี นเขียนแสดงวธิ ีการหาพจน์ตา่ ง ๆ ตามที่โจทย์กาหนดให้ในแต่ละต่อไปน้ี

1. จงหาหา้ พจนแ์ รกของลาดบั an  (n 1)2
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. จงหาลาดับ an  n2 1 เมื่อ n {1, 2, 3, 4, 5}
n

วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. จงหาห้าพจนแ์ รกของลาดบั อนันต์ท่ี an  2n 1 แล้วเขยี นลาดบั ในรูปแจงพจน์
วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรื่อง ลาดบั 27

 555, n {1, 3, 5, ...}
4. จงหาห้าพจนแ์ รกของลาดับอนนั ต์ที่ 
an   n , n {2, 4, 6, ...}
 1
n

วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

5. จงหาเจด็ พจน์แรกของลาดบั อนันต์ a1, a2, a3, ... ซงึ่ กาหนดเงือ่ นไขดังนี้
a1  a2  1 และ an  an1  an2, n  3
วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน คะแนนเตม็ 10 คะแนน

แสดงวธิ ที าได้ถูกต้องให้ 1 คะแนน และคาตอบถูกต้องให้ 1 คะแนน
ถ้าผู้เรียนทาได้ไม่ถึง 8 คะแนน ให้ผู้เรยี นกลับไปศึกษาใบความร้ทู ี่ 1.3 อีกครงั้

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดบั 28

ใบสรปุ ความรู้ที่ 1.3 ข้ันตอนท่ี 3 Create : C

คาชี้แจง ใหผ้ ู้เรยี นเรยี บเรียงและบันทกึ ความรู้ของผ้เู รียนทไ่ี ดจ้ ากการศกึ ษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝึกทักษะข้างตน้ โดยใช้ภาษาทงี่ ่ายต่อการเข้าใจ

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

1.3ใบแลกเปล่ยี นเรยี นร้ทู ี่ ขั้นตอนที่ 4 Share : S

คาชีแ้ จง ให้ผ้เู รียนแตล่ ะคนแลกเปล่ียนความร้ขู องตนจากการทาแบบฝกึ ทกั ษะ โดยครจู ะ
สมุ่ ผู้เรียนออกมานาเสนอการสรปุ ความรหู้ รือแนวคิดและวธิ ีการในการทากจิ กรรม

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ใบความรู้ที่ ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

1.4

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดับ 29

การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์ (ตอ่ ) ข้ันตอนท่ี 1 Search : S

จุดประสงคท์ ี่ 3 ผู้เรียนสามารถเขยี นลาดบั ในรูปแจงพจนไ์ ด้

ตัวอย่าง ผเู้ รยี นพรอ้ มแล้วหรอื ยังครบั
วิธที า
เรามาศึกษาตวั อย่างเพ่ิมเติมกันเลยนะ

จงหาพจน์ถดั ไปสองพจน์ของลาดบั ทก่ี าหนดใหต้ ่อไปน้ี
1) 1, 3, 7, 13, 21, ...
2) 55, 54, 52, 49, 45, ...
3) 5, 50, 500, 5000, ...
4) 128, 64, 32, 16, 8, ...
1) 1, 3, 7, 13, 21, ...

พจิ ารณาความสมั พนั ธข์ องพจนใ์ นลาดับ พบวา่
+2 +4 +6 +8

1 3 7 13 21

จะพบวา่ พจนท์ ่อี ย่ถู ดั ไปจะเพมิ่ ขึน้ 2, 4, 6 และ 8 ตามลาดบั
ดังน้ัน พจน์สองพจนถ์ ดั ไปของลาดับนจ้ี ะเพ่ิมข้นึ 10 และ 12 ตามลาดบั
จะได้ 31 และ 43 เปน็ พจนส์ องพจน์ถดั ไปของลาดบั น้ี

แสดงการตรวจคาตอบไดด้ งั น้ี
+2 +4 +6 +8 +10 +12

1 3 7 13 21 31 43

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรื่อง ลาดับ 30

2) 55, 54, 52, 49, 45, ...
พจิ ารณาความสัมพันธข์ องพจนใ์ นลาดบั พบว่า
-1 -2 -3 -4

55 54 52 49 45

จะพบว่า พจนท์ ่อี ยูถ่ ดั ไปจะลดลง 1, 2, 3 และ 4 ตามลาดบั
ดังนน้ั พจน์สองพจนถ์ ดั ไปของลาดบั นจี้ ะลดลง 5 และ 6 ตามลาดบั
จะได้ 40 และ 34 เปน็ พจน์สองพจน์ถดั ไปของลาดับน้ี

แสดงการตรวจคาตอบไดด้ ังนี้
-1 -2 -3 -4 -5 -6

55 54 52 49 45 40 34

3) 5, 50, 500, 5000, ...
พจิ ารณาความสัมพนั ธข์ องพจนใ์ นลาดับ พบวา่
x10 x10 x10

5 50 500 5000

จะพบวา่ พจนท์ ี่อยู่ถดั ไปจะเพ่ิมขึน้ เปน็ 10 เท่าของพจน์ทอี่ ยขู่ ้างหน้า
จะได้ 50000 และ 500000 เปน็ พจน์สองพจนถ์ ัดไปของลาดบั น้ี

แสดงการตรวจคาตอบได้ดังน้ี
x10 x10 x10 x10 x10

5 50 500 5000 50000 500000

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรื่อง ลาดับ 31

4) 128, 64, 32, 16, 8, ...
พจิ ารณาความสมั พนั ธ์ของพจน์ในลาดับ พบวา่
÷2 ÷2 ÷2 ÷2

128 64 32 16 8

จะพบว่า พจนท์ ีอ่ ยู่ถดั ไปจะเปน็ ครง่ึ หนงึ่ ของพจน์ท่อี ยู่ข้างหนา้
จะได้ 4 และ 2 เป็นพจนส์ องพจนถ์ ัดไปของลาดับนี้

แสดงการตรวจคาตอบได้ดังน้ี
÷2 ÷2 ÷2 ÷2 ÷2 ÷2

128 64 32 16 8 4 2

เมือ่ ผู้เรียนเข้าใจดีแลว้

เรามาทาแบบฝึกทักษะที่ 1.4 กันนะครับ

1.4ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดบั 32

แบบฝกึ ทักษะที่ ข้ันตอนท่ี 2 Solve : S

จุดประสงค์ท่ี 3 ผู้เรียนสามารถเขยี นลาดบั ในรปู แจงพจน์ได้

คาชี้แจง ใหผ้ ้เู รยี นเขยี นแสดงวธิ กี ารหาพจน์ถดั ไปสองพจนข์ องลาดับที่กาหนดให้ต่อไปนี้

1. 2, 3, 6, 11, ...
วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. 55, 54, 51, 46, ...
วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. 1024, 256, 64, 16, ...
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. 5, 5, 10, 30, ...

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรอื่ ง ลาดับ 33

วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
5. 6, 4, 0,  6, ...

วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑก์ ารให้คะแนน ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเตม็ 10 คะแนน

แสดงวิธกี ารหาพจนถ์ ัดไปสองพจนข์ องลาดับไดถ้ ูกต้องให้ 1 คะแนน
และคาตอบถูกต้องให้ 1 คะแนน ถ้าผู้เรียนทาได้ไม่ถงึ 8 คะแนน

ให้ผู้เรียนกลบั ไปศึกษาใบความร้ทู ่ี 1.4 อีกคร้ัง

1.4ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดบั 34

ใบสรุปความร้ทู ่ี ขั้นตอนท่ี 3 Create : C

คาชี้แจง ใหผ้ ้เู รยี นเรียบเรียงและบนั ทึกความรู้ของผ้เู รียนท่ีไดจ้ ากการศึกษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝึกทักษะขา้ งตน้ โดยใชภ้ าษาท่ีง่ายตอ่ การเข้าใจ

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

1.4ใบแลกเปลย่ี นเรยี นรู้ท่ี ขั้นตอนที่ 4 Share : S

คาชีแ้ จง ให้ผ้เู รียนแต่ละคนแลกเปล่ียนความรขู้ องตนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ โดยครูจะ
สมุ่ ผู้เรียนออกมานาเสนอการสรุปความรู้หรือแนวคิดและวิธีการในการทากจิ กรรม

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ใบความรู้ที่ ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

1.5

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เรือ่ ง ลาดบั 35

การหาพจน์ท่วั ไปของลาดบั ข้ันตอนที่ 1 Search : S

จดุ ประสงคท์ ี่ 4 ผู้เรยี นสามารถหาพจนท์ ่ัวไปของลาดบั ทกี่ าหนดใหไ้ ด้

การหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดบั คือ การเขยี นแสดงพจนท์ ่วั ไป an ในรูปท่ี
มี n เป็นตัวแปร และเมื่อแทน n ด้วยสมาชิกในเซต {1, 2, 3, ..., m} แล้วได้

พจนท์ ่ี 1, 2, 3, ..., m ของลาดับตรงตามท่กี าหนด
วิธีการหาพจน์ทั่วไปเช่นน้ี โดยทั่วไปใช้การสังเกตความสัมพันธ์ของพจน์

ตา่ ง ๆ และความสมั พนั ธ์ระหวา่ งพจน์กับลาดบั ที่ของพจน์ ดงั ตัวอยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับจากัดตอ่ ไปน้ี
วธิ ีทา
1) 4, 8, 12, 16

2) 2 , 3 , 4 , 5

3456

1) 4, 8, 12, 16 พิจารณาพจนท์ ่ีกาหนดให้ดงั น้ี

a1  4  41

a2  8  4 2

a3  12  43

a4  16  4 4

จะได้ an  4n เมื่อ n{1, 2,3, 4}

2) 2 , 3 , 4 , 5 พิจารณาพจน์ทีก่ าหนดให้ดังน้ี

3456

a1  2  11
3 1 2

a2  3  2 1
4 22

a3  4  31
5 32

a4  5  4 1
6 42

จะได้ an  n 1 เมอ่ื n{1, 2,3, 4}
n2

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรือ่ ง ลาดบั 36

สาหรับการกาหนด ลาดับอนันต์ จะเขียนพจน์ท่ัวไป an กากับไว้กับ

การเขียนลาดับเสมอ เช่น 2 , 3 , 4 , 5 , ..., n 1 , ... ยกเว้นในกรณีท่ีระบุได้

3 4 5 6 n2

ว่า ลาดับอนันต์น้ันมีสมบัติเฉพาะที่ทราบกันว่าจะหาพจน์ถัดจากพจน์แรก ๆ
อยา่ งไร เช่น 1, 2, 3, 4, 5, ...

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาพจน์ท่วั ไปของลาดบั อนันต์ตอ่ ไปนี้ แล้วเขียนลาดับใหม่
วิธีทา 1) 1, 2,  3, 4,  5, ...
2) 2, 4, 8, ...
1) 1, 2,  3, 4,  5, ...

พิจารณาความสัมพนั ธ์ของ พจน์ และ ลาดบั ทีข่ องแตล่ ะพจน์ ดังนี้

a1  1  (1)1 1

a2  2  (1)2  2

a3  3  (1)3  3

a4  4  (1)4  4

a5  5  (1)5  5

พจิ ารณาความสมั พันธ์ 5 พจนแ์ รก จะได้ an  (1)n n
และเขยี นลาดบั ทก่ี าหนดให้ใหม่ ดังนี้ 1, 2, 3, 4, 5, ..., (1)n  n, ...
2) 2, 4, 8, ...
กรณที ่ี 1 พจิ ารณาความสัมพันธข์ อง พจน์ และ ลาดับทีข่ องแต่ละพจน์

ดังน้ี

a1  2  21

a2  4  22

a3  8  23

a4 16  24

a5  32  25

พิจารณาความสัมพนั ธ์ 5 พจนแ์ รก จะได้ an  2n
และเขยี นลาดบั ใหม่ คือ 2, 4, 8, 16, 32, ..., 2n, ...

กรณที ่ี 2 ถ้าพิจารณาความสมั พันธข์ องพจน์ในลาดบั ข้างต้น ดงั น้ี
ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่อื ง ลาดบั 37

+2 +4 +6 +8

2 4 8 14 22

จะไดล้ าดบั 2, 4, 8, 14, 22, 32, ... และหาพจน์ทว่ั ไปไดด้ ังนี้

a1  2  12 1 2
a2  4  22  2  2
a3  8  32  3  2
a4 14  42  4  2
a5  22  52  5  2

พิจารณาความสัมพนั ธ์ 5 พจน์แรก จะได้ an  n2  n  2
และเขยี นลาดับใหม่ คือ 2, 4, 8, 14, 22, ..., n2  n  2, ...

ข้อสงั เกต

จาก ตัวอย่างท่ี 2 ข้อ 2) การพิจารณาลาดับ 2, 4, 8, ... ที่ต่างกัน

จะทาใหไ้ ด้พจนท์ วั่ ไปหรือ an ต่างกันด้วย
ดังนั้น ในการหาพจน์ทั่วไปของลาดับที่กาหนดจานวนพจน์น้อยเกินไป

อาจทาให้ได้พจนท์ ั่วไปทีแ่ ตกตา่ งกัน
ฉะน้ัน เมื่อหาพจน์ทั่วไปของลาดับท่ีกาหนดให้ได้แล้ว ควรแทนค่า n

ด้วยสมาชิก {1, 2, 3, ..., m} เพ่ือตรวจสอบว่า an เป็นพจน์ท่ัวไปของลาดับที่
กาหนดมาให้หรือไม่

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาพจน์ทัว่ ไปของลาดบั
วิธที า 1) 3, 5, 7, 9, 11, ...
2) 2, 1, 0, 1,  2, ...
1) พิจารณาความสัมพนั ธ์ของพจนใ์ นลาดบั 3, 5, 7, 9, 11, ...

+2 +2 +2 +2

3 5 7 9 11

พบว่า พจนท์ อ่ี ยู่ถดั ไปจะมากกว่าพจน์ที่อย่ขู ้างหนา้ อยู่ 2 เสมอ
พิจารณาหาความสัมพันธข์ อง ลาดับที่ของพจน์ กับ พจน์ ท่กี าหนดให้

พจนท์ ี่ (1) (2) (3) (4) (5)

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรือ่ ง ลาดบั 38

3 5 7 9 11

21 41 6 1 8 1 10 1

(21) 1 (2 2) 1 (23) 1 (2 4) 1 (25) 1

ดงั นั้น พจน์ท่ัวไปของลาดับน้ี คือ an  2n 1
2) พิจารณาความสัมพันธข์ องพจน์ในลาดบั 2, 1, 0, 1,  2, ...

-1 -1 -1 -1

2 1 0 1 2

พบวา่ พจน์ทอ่ี ยู่ถดั ไปจะน้อยกว่ากว่าพจน์ท่ีอยขู่ ้างหน้าอยู่ 1 เสมอ

พิจารณาหาความสมั พันธข์ อง ลาดับทีข่ องพจน์ กบั พจน์ ท่ีกาหนดให้

พจน์ที่ (1) (2) (3) (4) (5)

21 0 1 2

31 3 2 33 34 35

ดังน้นั พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั น้ี คือ an  3 n

ตวั อย่างที่ 4 รกั เรียนตัง้ ใจออมเงินทุกวันดังนี้ วันที่หน่ึง 20 บาท วันท่ีสอง 23 บาท วันที่สาม 26
วธิ ที า บาท และออมเพิ่มวันละ 3 บาท เช่นนไี้ ปเร่อื ย ๆ จงหาจานวนเงินออมในวันที่ n
จานวนเงนิ ที่รกั เรยี นออมในแต่ละวันสามารถเขยี นเป็นลาดับ 20,23,26,29,32, ...

พจิ ารณาความสัมพนั ธ์ของพจน์ในลาดบั 20, 23, 26, 29, 32, ...

พบวา่ พจน์ถดั ไปจะมากกวา่ พจน์ท่ีอยู่ข้างหน้าอยู่ 3 เสมอ
พจิ ารณาหาความสมั พันธ์ของลาดบั ทีข่ องพจนก์ ับพจนท์ ่กี าหนดให้ดังน้ี
พจนท์ ่ี (1) (2) (3) (4) (5)

20 23 26 29 32

3117 3 2 17 3317 3 4 17 35 17

จะได้ พจนท์ วั่ ไปของลาดับนี้ คอื an  3n 17
ดังน้ัน จานวนเงนิ ออมในวันท่ี n เท่ากบั an  3n 17

เมอ่ื ผู้เรียนเข้าใจดแี ลว้
เรามาทาแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.5 กันนะครับ

1.5ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรื่อง ลาดบั 39

แบบฝกึ ทักษะที่ ขั้นตอนที่ 2 Solve : S

จุดประสงค์ท่ี 4 ผู้เรียนสามารถหาพจน์ท่ัวไปของลาดับทีก่ าหนดใหไ้ ด้

คาชี้แจง ใหผ้ ้เู รียนหาพจน์ทั่วไปของลาดับท่ีกาหนดให้ต่อไปน้ี

1. 3, 6, 9, 12, 15, ...
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. 2, 5, 8, 11, 14, ...
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. 5,  3, 1, 1, 3, ...
วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. 3, 1, 1,  3,  5, ...

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่ือง ลาดบั 40

วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
5. ผจู้ ัดการแสดงจัดท่นี ่งั สาหรับผู้เข้าชมการแสดงในโรงละครแห่งหนึ่งดังน้ี แถวท่ีหน่ึง 20 ที่น่ัง
แถวท่สี อง 22 ท่นี ั่ง แถวทสี่ าม 24 ท่นี ั่ง และเพ่ิมที่น่ังแถวละ 2 ท่ีนั่ง เช่นน้ีไปเรื่อย ๆ จนเต็ม
พื้นที่ในโรงละคร แล้วจานวนทีน่ ัง่ ทีจ่ ัดในแถวที่ n เทา่ กบั เทา่ ใด
วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑ์การให้คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน คะแนนเตม็ 10 คะแนน

แสดงวธิ ีการหาพจน์ท่ัวไปของลาดับได้ถูกต้องให้ 1 คะแนน
และคาตอบถูกต้องให้ 1 คะแนน ถา้ ผู้เรยี นทาได้ไม่ถงึ 8 คะแนน

ให้ผู้เรยี นกลบั ไปศึกษาใบความรู้ท่ี 1.5 อกี ครงั้

1.5ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรื่อง ลาดับ 41

ใบสรุปความรู้ที่ ข้ันตอนท่ี 3 Create : C

คาชแี้ จง ใหผ้ ้เู รยี นเรียบเรียงและบันทกึ ความรู้ของผู้เรยี นทไี่ ด้จากการศึกษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝึกทักษะข้างตน้ โดยใช้ภาษาทงี่ ่ายตอ่ การเข้าใจ

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

1.5ใบแลกเปลย่ี นเรียนรู้ท่ี ขั้นตอนท่ี 4 Share : S

คาชีแ้ จง ให้ผ้เู รียนแต่ละคนแลกเปลี่ยนความรู้ของตนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ โดยครูจะ
สมุ่ ผู้เรียนออกมานาเสนอการสรปุ ความรหู้ รือแนวคิดและวธิ กี ารในการทากจิ กรรม

ใบสรปุ ความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ใบความรู้ที่ ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

1.6

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่ือง ลาดบั 42

การหาพจน์ทั่วไปของลาดบั (ตอ่ ) ข้ันตอนท่ี 1 Search : S

จุดประสงคท์ ่ี 4 ผู้เรียนสามารถหาพจน์ทว่ั ไปของลาดับทีก่ าหนดให้ได้

ผเู้ รยี นพรอ้ มแล้วหรอื ยงั ครับ

เรามาศกึ ษาตวั อย่างเพิ่มเตมิ กันเลยนะ

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาพจน์ท่วั ไปของลาดับ 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ...
วธิ ีทา
45678

พิจารณาความสัมพนั ธข์ อง ตวั เศษ ของพจน์ในลาดับ

+1 +1 +1 +1

2 3 45 6

พบวา่ พจน์ท่อี ยถู่ ดั ไปจะมากกวา่ พจนท์ ่ีอย่ขู ้างหนา้ อยู่ 1 เสมอ

พจิ ารณาหาความสมั พันธ์ของ ลาดับของพจน์ กับ พจน์ ทก่ี าหนดให้

พจน์ท่ี (1) (2) (3) (4) (5)

23 456

11 21 31 41 51

ดงั นนั้ พจนท์ ัว่ ไปของตัวเศษของจานวนในลาดบั น้ี คือ n 1

พิจารณาความสัมพนั ธข์ อง ตวั ส่วน ของพจนใ์ นลาดบั

+1 +1 +1 +1

4 5 678

พบวา่ พจน์ท่ีอยถู่ ัดไปจะมากกวา่ พจนท์ ี่อย่ขู ้างหน้าอยู่ 1 เสมอ

พิจารณาหาความสมั พันธ์ของ ลาดับของพจน์ กบั พจน์ ทก่ี าหนดให้
พจนท์ ่ี (1) (2) (3) (4) (5)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่ือง ลาดบั 43

45 678

13 23 33 43 53

ดังนน้ั พจน์ทั่วไปของตวั สว่ นของจานวนในลาดับนี้ คอื n  3

เพราะฉะนัน้ พจน์ทั่วไปของลาดบั นี้ คอื an  n 1
n3

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาพจน์ท่ัวไปของลาดับ 1, 1 , 1 , 1 , 1 , ...
วธิ ีทา 22 33 44 55

a1  1  1
11

a2  1
22

a3  1
33

a4  1
44

a5  1
55

ดงั น้ัน พจน์ทัว่ ไปของลาดับนี้ คอื an  1
nn

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดบั 1, 2, 3, 2, 5, ...
วธิ ที า a1 1  1

a2  2

a3  3

a4  2  4

a5  5

ดังนนั้ พจน์ทว่ั ไปของลาดับน้ี คอื an  n

การหาพจน์ทั่วไปของลาดับในตัวอย่างที่กล่าวมาข้างต้นเป็นการหาโดยใช้การ
สงั เกตความสัมพันธข์ องแตล่ ะพจน์และลาดับของพจน์ ซ่ึงในบางครั้งอาจจะไม่สะดวกท่ี
จะใช้วิธีการดังกล่าว อีกวิธีหนึ่งที่นิยมใช้กันคือ การใช้ฟังก์ชันพหุนามหาพจน์ท่ัวไปของ
ลาดบั ในที่นจ้ี ะพจิ ารณาเป็น 2 กรณี ดงั นี้

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดบั 44

กรณที ่ี 1 ผลต่างคร้ังที่ 1 มคี ่าคงตัว

a1 a2 a3 a4 a5

ผลต่างครั้งท่ี 1 d d d d
ดังนั้น พจน์ทัว่ ไปของลาดบั น้ี อย่ใู นรูป

an  an  b

เม่ือ a, b เปน็ ค่าคงตวั ใด ๆ

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาพจน์ทัว่ ไปของลาดบั
วิธีทา 1) 5, 4, 3, 2, 1, ...
2) 3, 5, 7, 9, 11, ...
1) 5, 4, 3, 2, 1, ...
จากลาดับท่กี าหนดให้ หาผลต่างระหว่างสองพจน์ทอ่ี ยตู่ ดิ กนั ไดด้ งั นี้

5 43 21

ผลต่างครั้งที่ 1 -1 -1 -1 -1
จะพบว่า ผลตา่ งคร้งั ที่ 1 มคี า่ คงตวั เทา่ กบั 1 ให้พจน์ท่วั ไปของลาดับนอ้ี ยูใ่ นรปู

an  an  b

แทน n ในพจน์ทว่ั ไปดว้ ย 1 และ 2

จะได้ a1  5  a  b …(1)
…(2)
a2  4  2a  b
นาสมการ (2) – (1)
จะได้ a  1

แทน a  1 ในสมการ (1) จะได้ b6

ดงั น้ัน an  n  6  6  n

จากตัวอย่างขา้ งตน้ เม่ือแทน n ดว้ ย 1, 2, 3, 4 และ 5 ใน an  6  n จะได้
a1, a2, a3, a4 และ a5 เท่ากับค่าท่ีกาหนดให้ แสดงว่า an ที่หาได้เป็นพจน์ทั่วไปของลาดับท่ี
กาหนดให้

2) 3, 5, 7, 9, 11, ...
ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง ลาดบั 45

จากลาดับทกี่ าหนดให้ หาผลตา่ งระหวา่ งสองพจนท์ อี่ ย่ตู ดิ กนั ไดด้ งั นี้

3 5 7 9 11

ผลตา่ งครั้งที่ 1 +2 +2 +2 +2
จะพบว่า ผลตา่ งครั้งท่ี 1 มคี ่าคงตวั เท่ากบั 2 ให้พจน์ทั่วไปของลาดับนีอ้ ยูใ่ นรูป

an  an  b

แทน n ในพจนท์ ่ัวไปด้วย 1 และ 2 …(1)
จะได้ a1  3  a  b …(2)

a2  5  2a  b

นาสมการ (2) – (1) จะได้ a2

แทน a  2 ในสมการ (1) จะได้ b 1

ดังน้ัน an  2n 1

จากตัวอย่างขา้ งต้นเม่ือแทน n ดว้ ย 1, 2, 3, 4 และ 5 ใน an  2n 1 จะได้
a1, a2, a3, a4 และ a5 เท่ากับค่าที่กาหนดให้ แสดงว่า an ท่ีหาได้เป็นพจน์ทั่วไปของลาดับท่ี
กาหนดให้

กรณีที่ 2 ผลตา่ งครัง้ ที่ 2 มีค่าคงตัว

a1 a2 a3 a4 a5

ผลต่างครง้ั ท่ี 1 d1 d2 d3 d4

ผลต่างครัง้ ที่ 2 dd d

ดังน้ัน พจน์ท่วั ไปของลาดบั นี้ อยูใ่ นรูป

an  an2  nb  c

เมอ่ื a, b, c เป็นค่าคงตวั ใด ๆ

ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหาพจน์ทวั่ ไปของลาดบั 1, 5, 11, 19, 29, ...
ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดับ 46

วิธที า จากลาดับท่กี าหนดให้ หาผลตา่ งระหวา่ งสองพจน์ทีอ่ ยตู่ ดิ กนั ไดด้ งั น้ี

1 5 11 19 29

ผลตา่ งครง้ั ท่ี 1 +4 +6 +8 +10

ผลต่างครั้งที่ 2 +2 +2 +2

จะพบวา่ ผลต่างครง้ั ที่ 2 มีค่าคงตัวเท่ากับ 2 ใหพ้ จนท์ ่วั ไปของลาดับนีอ้ ยใู่ นรปู

an  an2  nb  c

แทน n ในพจนท์ ัว่ ไปด้วย 1, 2 และ 3

จะได้ a1 1  a  b  c …(1)
…(2)
a2  5  4a  2b  c …(3)

a3  11  9a  3b  c

แก้ระบบสมการเชงิ เสน้ เพอ่ื หาค่า a, b และ c ได้ดังน้ี

นาสมการ (2) – (1) จะได้ 4  3a  b …(4)

นาสมการ (3) – (2) จะได้ 6  5a  b …(5)

นาสมการ (5) – (4) จะได้ 2  2a

หรือ a 1

แทน a 1 ในสมการ (5) จะได้ b 1

แทน a 1 และ b 1 ในสมการ (1) จะได้ c  1

ดงั นั้น an  n2  n 1
จากตัวอย่างข้างต้นเมือ่ แทน n ดว้ ย 1, 2, 3, 4 และ 5 ใน an  n2  n 1 จะได้
a1, a2, a3, a4 และ a5 เท่ากบั ค่าที่กาหนดให้ แสดงว่า an ทห่ี าไดเ้ ป็นพจนท์ ่ัวไปของลาดับที่
กาหนดให้

ตัวอย่างที่ 6 วิศวกรคนหนึง่ ต้องการหาจานวนเหลก็ เส้นทใี่ ชท้ าโครงสร้างตามแบบรปู ด้านล่างนี้

รูปท่ี 1 รูปที่ 2 รปู ท่ี 3 รปู ท่ี 4

กาหนดให้ แทนเหลก็ เสน้ จานวน 1 เส้น

จงหาจานวนเหลก็ เส้นท่ใี ช้ทาโครงสรา้ งตามรูปท่ี n

วิธที า จานวนเหล็กเสน้ ที่ใช้ทาตามแตล่ ะรูปสามารถเขียนเปน็ ลาดบั 4, 10, 18, 28, ...

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา