แบบฝึกทักษะ ลำดับและอนุกรม เล่มที่ 1 เรื่องลำดับ ปรับปรุง ปีการศึกษา 2563

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่อื ง ลาดับ 47

หาผลตา่ งระหวา่ งสองพจน์ท่ีอยตู่ ดิ กันได้ดังนี้

4 10 18 28

ผลต่างคร้งั ท่ี 1 +6 +8 +10

ผลตา่ งครง้ั ที่ 2 +2 +2

จะพบว่า ผลต่างครัง้ ท่ี 2 มคี า่ คงตัวเทา่ กบั 2 ใหพ้ จนท์ ่ัวไปของลาดบั น้อี ย่ใู นรูป

an  an2  nb  c

จะได้ a1  4  a  b  c …(1)

a2  10  4a  2b  c …(2)

a3  18  9a  3b  c …(3)

แก้ระบบสมการเชิงเสน้ เพ่อื หาคา่ a, b และ c จะได้ a 1, b  3, c  0

น่นั คือ an  n2  3n
ดังน้ัน จานวนเหลก็ เส้นท่ีใช้ทาโครงสร้างตามรูปท่ี n เท่ากับ n2  3n เส้น

วิธีการหาพจน์ทั่วไปท่ีเป็นพหุนามที่แสดงข้างต้น เม่ือหาผลต่างระหว่างสองพจน์
ของลาดับ และหาผลต่างของผลต่างจนได้ค่าคงตัวแล้วต้องนับว่าหาผลต่างครั้งที่เท่าใดจึง
จะได้ค่าคงตัว ถ้าเป็นผลต่างคร้ังท่ี k พหุนามท่ีใช้เป็นพจน์ทั่วไปจะเป็นพหุนามดีกรี k

ทัง้ นข้ี อใหส้ งั เกตการหาผลตา่ งเมื่อพจนท์ วั่ ไปคือ an3 bn2  cn  d ดงั ต่อไปน้ี

abcd 8a4b2cd 27a9b3cd 64a16b4cd 125a 25b5cd

ผลตา่ งคร้ังท่ี 1 7a  3b  c 19a  5b  c 37a  5b  c 61a  9b  c

ผลตา่ งครั้งที่ 2 12a  2b 18a  2b 24a  2b

ผลตา่ งครัง้ ท่ี 3 6a 6a

จะเห็นได้ว่า ผลต่างครั้งที่ 3 เป็นค่าคงตัว ฉะน้ันวิธีการที่แสดงในตัวอย่างจึงเป็นการทาโดย
อาศัยสมบตั พิ หนุ ามที่แสดงข้างต้น

เมือ่ ผู้เรียนเข้าใจดีแล้ว

เรามาทาแบบฝึกทักษะท่ี 1.6 กนั นะครบั

1.6ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั 48

แบบฝกึ ทกั ษะที่ ข้ันตอนที่ 2 Solve : S

จดุ ประสงค์ท่ี 4 ผู้เรียนสามารถหาพจน์ทั่วไปของลาดับที่กาหนดใหไ้ ด้

คาชีแ้ จง ใหผ้ ู้เรยี นหาพจน์ท่วั ไปของลาดับท่ีกาหนดให้ตอ่ ไปน้ี

1. 4, 8, 12, 16, 20, ...
วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. 3, 7, 11, 15, 19, ...
วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. 7, 12, 17, 22, 27, ...
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. 1, 1,  3,  5,  7, ...

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง ลาดับ 49

วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
5. 3, 0,  3,  6,  9, ...

วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
6. 5,  3, 1, 1, 3, ...

วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
7. 7, 11, 15, 19, 23, ...

วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่ือง ลาดับ 50

8. 1, 1 , 1 , 1 , 1 , ...

3 5 73

วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

9. 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ...

5 7 9 11 13

วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

10. 0, 1 , 2 , 3 , 4 , ...

2345

วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑ์การให้คะแนน ขอ้ 1 – 10 ข้อละ 2 คะแนน

แสดงวิธกี ารหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดับได้ถูกตอ้ งให้ 1 คะแนน
และคาตอบถูกต้องให้ 1 คะแนน ถ้าผู้เรยี นทาได้ไม่ถงึ 16 คะแนน

ให้ผู้เรยี นกลับไปศึกษาใบความร้ทู ี่ 1.6 อกี คร้ัง

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่อื ง ลาดับ 51

11. 3, 6, 13, 24, 39, ...

วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
12. ช่างเชอื่ มโลหะคนหน่ึงต้องการหาจานวนจดุ ทตี่ ้องเชื่อมเหล็กแบบรูปด้านลา่ งน้ี

รปู ท่ี 1 รปู ท่ี 2 รูปที่ 3 รปู ที่ 4

กาหนดให้ แทนจุดทีต่ ้องเชื่อมเหลก็ จานวน 1 จุด จงหาจานวนจุดที่ตอ้ งเชื่อมเหล็กตามรูปที่ n

วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑ์การให้คะแนน ขอ้ 11 – 12 ข้อละ 5 คะแนน

แสดงวิธกี ารหาพจนท์ ัว่ ไปของลาดบั ไดถ้ ูกตอ้ งให้ 4 คะแนน
และคาตอบถกู ต้องให้ 1 คะแนน ถา้ ผู้เรยี นทาไดไ้ มถ่ ึง 8 คะแนน

ให้ผู้เรยี นกลับไปศกึ ษาใบความรู้ท่ี 1.6 อีกคร้ัง

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดับ 52

ใบสรปุ ความร้ทู ่ี 1.6 ขั้นตอนที่ 3 Create : C

คาชีแ้ จง ใหผ้ ู้เรยี นเรยี บเรียงและบนั ทกึ ความรู้ของผ้เู รียนท่ไี ด้จากการศึกษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝึกทักษะขา้ งต้น โดยใช้ภาษาทงี่ ่ายตอ่ การเข้าใจ

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

1.6ใบแลกเปลี่ยนเรียนรู้ท่ี ข้ันตอนที่ 4 Share : S

คาชี้แจง ให้ผ้เู รียนแตล่ ะคนแลกเปลี่ยนความรูข้ องตนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ โดยครจู ะ
สมุ่ ผู้เรยี นออกมานาเสนอการสรปุ ความรูห้ รือแนวคดิ และวธิ กี ารในการทากจิ กรรม

ใบสรปุ ความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่ือง ลาดับ 53

แบบทดสอบหลงั เรยี น

เรอื่ ง ลาดับ

คาชแ้ี จง
1. แบบทดสอบหลงั เรยี น เร่อื ง ลาดับ จานวน 15 ขอ้ ข้อละ 1 คะแนน
ใช้เวลา 20 นาที

2. การตอบแบบทดสอบให้ผู้เรียนทาเคร่ืองหมาย x ลงใน  ใต้ตวั อกั ษร

ก ข ค และ ง ท่เี ปน็ คาตอบท่ีถูกท่ีสดุ เพยี งข้อเดียว บนกระดาษคาตอบ

1. ขอ้ ใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
ก. {(1, 2), (2, 4), (3,8), (4,16), (5,32)} เปน็ ลาดับ
ข. {(1,1), (2, 4), (3,9), (4,16), (5, 25)} เป็นลาดับ
ค. {(1, a), (3,b), (5,c), (7, d), (9,e)} ไมเ่ ปน็ ลาดบั
ง. {(1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4), (5,5)} ไม่เปน็ ลาดับ

2. ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถูกต้อง
ก. ลาดับ คือ ฟังกช์ นั ทมี่ ีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก
ข. ลาดบั จากัด คอื ฟังก์ชันที่มีโดเมนเปน็ เซตของจานวนเต็มบวก n ตวั แรก {1, 2, 3, ..., n}
ค. ลาดบั อนนั ต์ คอื ฟังก์ชนั ที่มีโดเมนเปน็ เซตของจานวนเตม็ บวก {1, 2, 3, ..., n}
ง. ถูกทกุ ขอ้

3. ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง
ก. {(1, 4), (2,5), (3,6), ...,(10,13)} ไมเ่ ป็นลาดบั
ข. {(1, a), (3,b), (5,c), ...,(19, j)} ไมเ่ ปน็ ลาดบั
ค. {(1,1), (3, 2), (5,3), (7, 4), (9,5)} เปน็ ลาดบั
ง. {(a,1), (b, 2), (c,3), (d, 4), (e,5)} เป็นลาดับ

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่อื ง ลาดบั 54

4. ลาดับในขอ้ ใดเปน็ ลาดบั อนันต์

ก. f1  {x | x  n, n  1, 2,3,...}
n 1

ข. f2  {x | x  2n, n 1, 2,3,...,10}

ค. f3  {(1,1), (2,8), (3, 27), (4,64)}

ง. f4  {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

5. ลาดบั ในข้อใดเปน็ ลาดบั จากัด
ก. f1  {(1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4), ...}

ข. f2  {(1, 2), (2, 4), (3,8), (4,16), ...}
ค. f3  {x | x  2n 1, n  I }
ง. f4  {x | x  (n 1)2, n 1, 2,3,...,10}

6. กาหนด an   5, n{1, 3, 5, ...} แล้วสพ่ี จน์แรกของลาดับในข้อใด
2n,
n {2, 4, 6, ...}

ก. 2, 4, 6, 8

ข. 5, 4, 5, 8

ค. 5, 10, 15, 20

ง. 5, 2n, 5, 2n

7. ถา้ an  2  (1)n n แล้วขอ้ ใดถกู
2n  3

ก. a1  1
5

ข. a2  4
7

ค. a4  2
11

ง. a5  7
13

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่อื ง ลาดับ 55

8. ใน 40 พจน์แรกของลาดบั an  3 (1)n มีกพ่ี จน์ท่ีมีคา่ เท่ากบั พจนท์ ่ี 40

ก. 10
ข. 20
ค. 30
ง. 40

9. an  253n คอื พจน์ท่วั ไปของลาดับในข้อใด
ก. 28, 25, 22, 19, ...
ข. 28,  25,  22, 19, ...
ค. 22, 19, 16, 13, ...
ง. 22, 19, 16, 13, ...

10. an  2(3n1) คือพจนท์ ัว่ ไปของลาดบั ในข้อใด
ก. 6, 18, 54, 162, ...
ข. 6, 12, 9, 12, ...
ค. 3, 6, 9, 12, ...
ง. 2, 6, 18, 54, ...

11. ถา้ an เป็นพจน์ทั่วไปของลาดับซ่ึงมี a5  9 และ an1  an  2 แล้ว a11 เท่ากับเท่าใด

ก. 5
ข. 3
ค. 1
ง. 1

12. กาหนดพจน์ท่ี n ของลาดับ an  4n 3 เทา่ กบั 21 แล้ว n มีค่าเป็นเท่าใด

ก. 6
ข. 7
ค. 8
ง. 9

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรื่อง ลาดับ 56

13. พจน์ทั่วไปของลาดับ 1, 3, 6, 10, ... คอื ขอ้ ใด

ก. an  2n 1
ข. an  (1)n1(2n 1)

ค. an  n2  n
2

ง. an  n2  n
2

14. ถา้ an เปน็ พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั ซ่งึ มี a1  6 และ an1  an  4 แล้ว a10 มีค่าเป็นเทา่ ใด

ก. 30
ข. 34
ค. 38
ง. 42

15. ผลบวก 3 พจน์แรกของลาดับ an  (1)n1 n เท่ากบั ข้อใด
n 1

ก.  7

12

ข.  5

12

ค. 7

12

ง. 11

12

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอื่ ง ลาดับ 57

กระดาษคาตอบ

แบบทดสอบหลังเรียน

เรือ่ ง ลาดับ

ชื่อ – นามสกลุ …………………………………………………..…….………….……………เลขท…ี่ ….……….
ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 6/………… วันท…่ี …………เดอื น......................................พ.ศ...................

คาช้ีแจง ให้ผู้เรียนทาเครื่องหมาย x ลงใน  ใตต้ ัวอักษร ก ข ค และ ง

ทเ่ี ป็นคาตอบทถ่ี ูกที่สุดเพียงข้อเดียว

ขอ้ ก ข ค ง คะแนน หลงั เรยี น ผลการประเมนิ
1 เตม็ 15
2 ได้
3
4 เกณฑ์การประเมนิ
5 13 – 15 คะแนน ระดบั 4 ดเี ย่ียม
6 10 – 12 คะแนน ระดบั 3 ดี
7 7 – 9 คะแนน ระดับ 2 พอใช้ ผ่านเกณฑ์
8 0 – 6 คะแนน ระดบั 1 ปรบั ปรงุ
9
10 ลงช่อื .................................................ผตู้ รวจ
11 (..........................................................)
12
13 วันที่............เดอื น............................พ.ศ.............
14
15

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่ือง ลาดบั 58

แบบบนั ทึกคะแนนแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์
เลม่ ที่ 1 เร่ือง ลาดบั

ช่อื ……………………………………………………………………………ชนั้ ม.6/................เลขท.่ี ............

ที่ รายการ คะแนนเต็ม คะแนนทไี่ ด้
1 แบบทดสอบก่อนเรยี น 15 **
2 แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.1 20
3 แบบฝึกทกั ษะท่ี 1.2 20
4 แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.3 10
5 แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.4 10
6 แบบฝึกทักษะท่ี 1.5 10
7 แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.6 30
8 แบบทดสอบหลงั เรียน 15
115
คะแนนรวมท้ังหมด

** ไมน่ าคะแนนมารวม บันทกึ เพ่อื เปรียบเทียบผลสัมฤทธท์ิ างการเรยี นเท่านนั้ (ดูพฒั นาการ)

เกณฑก์ ารประเมิน
รอ้ ยละ 80 ขน้ึ ไป ผ่านเกณฑ์ (92 คะแนน)

ผลการประเมนิ  ผ่าน  ไม่ผา่ น 2 1
ระดบั คะแนน 4 3  พอใช้  ปรับปรุง
ระดับคุณภาพ  ดีมาก  ดี

ชว่ งคะแนน ระดบั คุณภาพ ระดับคณุ ภาพ
92 – 115 ระดบั คะแนน ดีมาก
80 – 91 ดี
69 – 79 4 พอใช้
0 – 68 3 ปรบั ปรงุ
2
1

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่ือง ลาดบั 59

บรรณานุกรม

กมล เอกไทยเจรญิ . (ม.ป.ป.). คณติ ศาสตร์ ม.6 เล่ม 5 ค 015. กรุงเทพฯ : ไฮเอด็ พับลชิ ช่งิ .

กมล เอกไทยเจริญ. (ม.ป.ป.). คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 สาระการเรยี นรู้พื้นฐาน. กรุงเทพฯ :
ไฮเอ็ดพับลิชชง่ิ .

กวิยา เนาวประทีป. (2547). เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร์ : ลาดับและอนุกรม. กรุงเทพฯ :
ฟิสกิ สเ์ ซน็ เตอร์.

จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. (ม.ป.ป.). คู่มือเตรียมสอบ O-NET กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์.
กรงุ เทพฯ : พ.ศ.พฒั นา จากดั .

ทรงวทิ ย์ สุวรรณธาดา. (2545). 1001 TESTS IN MATHS 3. กรงุ เทพฯ : แมค็ .

นพพร แหยมแสง. (2548). ชดุ กิจกรรมการเรยี นร้ทู ีเ่ นน้ ผู้เรยี นเปน็ สาคัญ คณิตศาสตร์ กลุ่มสาระ
การเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 5. กรงุ เทพฯ : พัฒนาคณุ ภาพวิชาการ (พว.).

ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2544). หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ค 015
ระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย พุทธศักราช 2524 (ฉบับปรับปรุง 2523). พิมพ์ครั้งที่
11. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์ ครุ สุ ภาลาดพร้าว.

_______. (2553). คู่มือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 3 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 – 6 กลุ่ม
สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช
2551. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

_______. (2554). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 3 ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน
พุทธศกั ราช 2551. พิมพค์ ร้ังท่ี 3. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สมัย เหล่าวานิชย์. (2554). คมู่ ือเตรียมสอบคณิตศาสตร์ ม.4-5-6 (รายวิชาพื้นฐาน). กรุงเทพฯ :
ไฮเอด็ พบั ลิชช่ิง.

สมัย เหลา่ วานชิ ย์ และพวั พรรณ เหลา่ วานิชย์. (ม.ป.ป.). คณติ ศาสตร์ พ้ืนฐาน + เพิ่มเติม 6 ช่วง
ช้นั ที่ 4 (ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4 – 6) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ด
พับลชิ ชงิ่ .

อเนก หิรัญ. (ม.ป.ป.). คณติ ศาสตร์ ค 015. กรงุ เทพฯ : ฟสิ กิ ส์เซน็ เตอร์.

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา