14.เอกสารประกอบการบรรยาย เรขาคณิต ประจำปี พ.ศ. 2562

เอกสารประกอบการอบรม

โครงการสง่ เสริมโอลิมปกิ วิชาการ
ศูนย์โอลมิ ปิกวิชาการ สอวน. คา่ ย 1

วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

ระหวา่ งวนั ท่ี 6 – 24 ตุลาคม พ.ศ. 2562

เรขาคณติ 

ชื่อ-สกลุ ...........................................................โรงเรียน........................................................

ครูครรชิต แซ่โฮ่
โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

สารบญั หนา้
1
บทท่ี 1
0 บทนาและความรพู้ ืน้ ฐาน 2
0.1 ประวัตคิ วามเป็นมาโดยสงั เขป 3
0.2 สจั พจน์ข้อท่ี 5 ของยคู ลิด 3
0.3 ลกั ษณะการศกึ ษาวชิ าเรขาคณติ
0.4 ข้อควรรพู้ ืน้ ฐาน 4
4
1 ความรูพ้ ้นื ฐานทางเรขาคณติ 8
1.1 ความรูพ้ ืน้ ฐานเก่ียวกบั เสน้ ตรง เส้นขนาน และรูปสามเหลี่ยม 13
1.2 วงกลม
1.3 วงกลมและจุดบนวงกลม 19
19
2 รปู สามเหลี่ยม 24
2.1 รปู สามเหลี่ยมเทา่ กันทกุ ประการ 29
2.2 จดุ สาคัญของรูปสามเหล่ยี ม 33
2.3 รปู สามเหล่ียมคลา้ ย 37
2.4 การตรวจสอบรปู สามเหลีย่ มคลา้ ย
2.5 ทฤษฎีบทแบ่งครึง่ มุม 40
40
3 เพิม่ เติมเรือ่ งวงกลม 44
3.1 เพาเวอร์ของจุด
3.2 บทกลบั ของเพาเวอร์ของจดุ 48
48
4 รปู หลายเหลยี่ ม 53
4.1 รปู หลายเหลี่ยมชนิดตา่ ง ๆ
4.2 สมบัติของรูปหลายเหลี่ยมในการแก้ปัญหาทางเรขาคณติ 61

บรรณานุกรม

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 1

บทที่ 0

บทนาและความรพู้ ้ืนฐาน

0.1 ประวตั คิ วามเปน็ มาโดยสังเขป

เรขาคณิต (Geometry) มาจากรากศัพท์ภาษากรีกว่า Geometrein (geo หมายถึง earth และ
metrein หมายถึง to measure) แต่ความหมายของเรขาคณิตในปัจจุบันมีความแตกต่างออกไปมาก
เพราะว่าวิชาเรขาคณิตได้รับการพัฒนามาอย่างต่อเน่ืองและแตกสาขาออกไปหลายสาขา และเรขาคณิตท่ี
ศึกษาในระดับมัธยมศึกษาก็เป็นเพียงเรขาคณิตของยุคลิด (Euclidean Geometry) ซึ่งถือว่าเป็นพ้ืนฐานที่
ทาให้มีววิ ัฒนาการไปสเู่ รขาคณิตแบบอื่น ๆ จนเปน็ ทย่ี อมรับกนั วา่ ยุคลดิ เปน็ บิดาแห่งวชิ าเรขาคณติ

เรขาคณติ สมยั กอ่ นเปน็ การศึกษาแบบลองผิดลองถกู อาศยั การสงั เกตจากประสบการณ์ เราไม่ทราบ
ประวัติท่ีสมบูรณ์ แต่ก็พอทราบจากแผ่นศิลาจารึกว่า ชาวบาบิโลน (4000 B.C.) สามารถหาพื้นท่ีของรูป
สเี่ หล่ียมผืนผ้าโดยใช้ความกว้างคูณความยาว ชาวอียิปต์ (2900 B.C.) สามารถสร้างพีรามิดได้ซ่ึงถือได้ว่าเป็น
ความสาเรจ็ ทางเรขาคณติ จนกลายเปน็ สิ่งมหัศจรรย์ของโลก

การศึกษาเรขาคณิตเริ่มชัดเจนข้ึนโดยชาวบาบิโลน (2000 B.C.) ตามด้วยชาวอียิปต์ (1650 B.C.)
ต่อมาได้พัฒนาไปสู่กรีกโดยทาลีส (Thales, 640 B.C.) ผ่านไปทางตอนใต้ของอิตาลีโดยพีทาโกรัส
(Pythagorus, 584 B.C.) แล้วไปสู่กรุงเอเธนส์โดยพลาโต (Plato, 400 B.C.) และก็มาถึงนักคณิตศาสตร์ผู้
ยิ่งใหญ่ ยุคลิด (Euclid, 300 B.C.) ซง่ึ เขียนหนงั สือ 13 เล่มในชื่อว่า Elements จนเป็นที่ยอมรับว่าเป็นตารา
เรียนเล่มแรกของโลกที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย และถือได้ว่าเป็นแบบฉบับในการเขียนตาราอื่น ๆ ในสมัยนั้น
และ นวิ ตนั (Isaac Newton) กไ็ ด้เขียนหนงั สอื ทยี่ ิ่งใหญ่อีกเล่มหนึ่งคือ Principia ตามแบบ Elements นี้

หลังจากสิ้นสุดยคุ ของยุคลิด โรมันเรม่ิ เรืองอานาจแตไ่ มไ่ ด้พฒั นาทางคณิตศาสตร์เท่าท่ีควร จนกล่าว
กันว่าเป็นยุคมืด (Dark ages) ของเรขาคณิต คณิตศาสตร์อยู่ในสภาพเกือบคงท่ีไม่เปลี่ยนแปลง เพิ่งจะมา
เจริญรุ่งเรืองอีกครั้งในศตวรรษท่ี 14 ซึ่งเน้นไปทางดาราศาสตร์ และตรีโกณมิติ อย่างไรก็ตามเรขาคณิต
ในแถบเอเชีย เช่น จีนและอินเดีย ก็มีความเจริญรุ่งเรืองเช่นกัน แต่การจารึกหลักฐานไม่มั่นคงถาวรเหมือน
ทางยโุ รปจงึ ยากทที่ ราบประวตั ทิ ช่ี ดั เจน

ในศตวรรษที่ 17 – 18 ได้มีการนาวิชาพีชคณิต (Algebra) เข้ามาบูรณาการร่วมกัน จนได้ก่อกาเนิด
วิชาแคลคูลัส และเรขาคณิตวิเคราะห์ (Calculus and Analytic Geometry) ข้ึน โดยนักคณิตศาสตร์ท่ี
สาคัญในยุคน้ีได้แก่ Descartes, Pascal, Desargues, Newton and Leibniz

ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ได้ทาการศึกษาเรขาคณิตอย่างจริงจังอีกครั้ง จนเกิดมีเรขาคณิตที่
แตกต่างจากเรขาคณิตของยุคลิด (Non-Euclidean Geometry) เช่น Hyperbolic Geometry, Elliptic
Geometry และ Spherical Geometry เป็นต้น แล้วพัฒนาไปสู่วิชา Topology ซึ่งครอบคลุมเรขาคณิตทุก
ชนิดในปัจจุบัน โดยนักคณิตศาสตร์ท่ีสมควรกล่าวถึงคือ Saccheri, Bolyai, Lobachevsky, Gauss และ
Riemann

อย่างไรกต็ าม Euclidean Geometry ก็ยังถือว่าเป็นต้นแบบของเรขาคณิตอื่น ๆ และมีความสาคัญ
ต่อชวี ติ ประจาวันเปน็ อย่างมาก และเนอ่ื งจาก Elements เป็นตาราเล่มแรกจึงอาจมีจุดบกพร่องเป็นธรรมดา
จนทาให้นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เห็นว่าควรจะมีการเสริมสร้างให้มีความสมบูรณ์ย่ิงขึ้น และนักคณิตศาสตร์
ท่ีได้รับการยกย่องว่าทาให้ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตยุคลิดมีความสมบูรณ์ข้ึนมาก็คือ David Hilbert
(1862-1943)

ศนู ยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 2

0.2 สจั พจน์ขอ้ ที่ 5 ของยคู ลดิ

ระบบสัจพจนข์ องเรขาคณิตของยุคลิด ประกอบด้วยนิยาม และสัจพจน์ คานิยามท่ีได้รับการวิจารณ์
มากเป็นพิเศษคือ นิยามของคาว่า จุด ซึ่งเขานิยามว่า หมายถึง สิ่งท่ีไม่มีความกว้าง ความยาวและความ
หนา จนในทสี่ ุดในปัจจุบันกใ็ ห้ถอื เปน็ คาอนยิ าม สว่ นสัจพจน์ที่ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์มากที่สุด จนเกิดเป็น
เรขาคณิตชนดิ อ่ืน ๆ ข้ึนมาก็คือ สัจพจนข์ อ้ ที่ 5 ในสัจพจน์ต่อไปนี้

1. ลากเส้นตรงจากจุดหน่ึงไปยังอีกจุดหนึ่งได้ (A straight line can be drawn from any point
to any point)

2. ต่อเส้นตรงท่ีมีความยาวจากัดออกไปเร่ือย ๆ (A finite straight line can be produced
continuously in a straight line)

3. เขียนวงกลมได้เมื่อกาหนดจุดศูนย์กลางและระยะทางใด ๆ (A circle may be described with
any point as center and any distance as radius)

4. มมุ ฉากทุกมุมย่อมเท่ากัน (All right angles are equal to one another)

5. ถ้าเส้นตรงเส้นหน่ึง ผ่านเส้นตรง 2 เส้น ทาให้มุมภายในท่ีอยู่ด้านเดียวกันรวมกันน้อยกว่า 2 มุม
ฉาก แล้วเสน้ ตรงสองเส้นจะตัดกันทางด้านทมี่ ีมุมรวมกันน้อยกว่า 2 มุมฉาก ถ้าลากเส้นน้ันต่อไปเร่ือยๆ (If a
transversal falls on two lines in such a way that the interior angle on one side of the
transversal are less than two right angles, then the lines meet on that side on which the
angles are less than two right angles)

โดยใช้สัจพจน์ดังกล่าวประกอบกับนิยามและทฤษฎีบทอ่ืน ๆ ในเรขาคณิตของยุคลิด ท่ีไม่ได้นามา
กล่าวไว้ในที่น้ี เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมย่อมรวมกันได้สองมุมฉาก แต่ถ้ามีการ
เปลย่ี นแปลงสัจพจน์ข้อที่ 5 เป็นอย่างอ่ืน เช่น Spherical Geometry กาหนดให้เส้นขนานตัดกันได้ ก็จะทา
ให้ผลบวกของมุมภายในรวมกันได้มากกว่าสองมุมฉาก ซ่ึง Spherical Geometry มีประโยชน์เป็นอย่างมาก
ในการคานวณระยะทางเกี่ยวกับการเดินเรือรอบโลก โดยท่ีเรขาคณิตของยุคลิดสามารถคานวณได้แม่นยาใน
ระยะทางใกล้ ๆ เท่านั้นเอง เรายกตัวอย่างน้ีขึ้นมาเพียงเล็กน้อยเพ่ือให้เห็นว่ายังมีเรขาคณิตชนิดอื่นท่ี
นอกเหนอื จากเรขาคณิตของยุคลดิ ที่เรียนในระดับมธั ยมศึกษา ผูท้ ี่สนใจสามารถเลือกเรยี นไดใ้ นระดับทสี่ งู ขน้ึ

และต่อไปนี้เราจะกล่าวถึงเฉพาะเรขาคณิตของยุคลิดเท่านั้น ส่วนเนื้อหาและกิจกรรมในเอกสาร
ประกอบการอบรมครั้งนี้โดยส่วนใหญ่จะยึดตามแนวหนังสือ เรขาคณิต ในโครงการตาราวิทยาศาสตร์และ
คณิตศาสตร์ มูลนิธิ สอวน. และเอกสารเสริมความรู้วิชาคณิตศาสตร์ (เรขาคณิต) ของสถาบันส่งเสริมการ
สอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) จึงขอขอบคุณไว้ ณ โอกาสน้ี

อย่างไรก็ตาม ผู้เรียบเรียงได้พยายามเพิ่มเติม ความรู้และประสบการณ์อื่น ๆ ที่ได้รับมาจากการ
เรียนการสอนเรขาคณิตในระดับมธั ยมศกึ ษา และการอบรมเพิ่มเติมจากสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์
และเทคโนโลยี (สสวท.) สพฐ. และมูลนิธิ สอวน. ในส่วนที่คิดว่าจะส่งเสริมความรู้ ความเข้าใจ ทักษะและ
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ และประสบการณ์ให้กับนักเรียนในค่ายโอลิมปิกวิชาการ สอวน. ค่าย 1 ของ
ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา ตลอดจนผู้สนใจได้
ตามสมควร

ศนู ย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 3

0.3 ลักษณะการศึกษาวชิ าเรขาคณติ

การศึกษาวิชาเรขาคณิต มีลักษณะเด่นในเร่ืองการพิสูจน์มากกว่าการคิดคานวณ ดังนั้นจึงนับว่า
เปน็ วชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตรท์ ี่สาคญั โดยทัว่ ไปแลว้ ข้อความทีจ่ ะพิสูจน์ในทางเรขาคณิตจะเป็นข้อความที่จัด
ให้อยู่ในรูป “ถ้า……แล้ว……” หรืออาจจะเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์ได้เป็น “pq”
และการพิสูจน์ข้อความดังกล่าวในทางตรรกศาสตร์สามารถพิสูจน์ได้ท้ังในทางตรงและโดยทางอ้อม แต่
ในทางเรขาคณิตส่วนใหญ่เราจะพิสูจน์ในแบบทางตรง โดยถือว่า p เป็นเหตุ หรือส่ิงกาหนดให้ และ q
เป็นผล หรือส่ิงท่ีต้องพิสูจน์ สิ่งท่ีนามาอ้างอิงในการพิสูจน์ก็คือ อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบทท่ี
ทราบมาก่อน โดยนามาวิเคราะห์ร่วมกับสิ่งท่ีกาหนดให้เพื่อนาไปสู่การประมวลผลว่า ผลหรือส่ิงท่ีต้อง
พิสูจน์ นั้นเป็นจริง ซ่ึงถือว่าเป็นทักษะทางความคิดที่สาคัญ และแน่นอนที่สุด ทักษะดังกล่าวจะได้รับการ
ส่งเสรมิ และพฒั นาได้ตอ้ งอาศยั การฝึกฝนอย่เู ปน็ ประจาดว้ ยใจรัก

เชอื่ หรอื ไมว่ า่ ในตอนเป็นเด็กของเลน่ ท่ี ไอน์สไตน์ ประทบั ใจทีส่ ุด สงิ่ แรก คอื
......เข็มทิศ............และ ลาดบั ต่อมา ก็คอื ............เรขาคณิต.........น่เี อง

0.4 ขอ้ ควรรู้พ้ืนฐาน

สัจพจน์ (Postulates) คือสิ่งท่ียอมรับในวิชาเรขาคณิตว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ สัจพจน์ที่จะ
กล่าวต่อไปนี้ ขึ้นอยู่กับการสร้างทางเรขาคณิต เม่ือเกิดการค้นพบด้วยการสร้างทางเรขาคณิต เรามักจะ
ประจกั ษใ์ นเรอ่ื งเหล่านน้ั ว่าเปน็ จริง พิจารณาสัจพจนต์ อ่ ไปนี้

1. มเี สน้ ตรงเพียงเส้นเดียวเท่านน้ั ทีล่ ากผา่ นจุดสองจดุ ท่ีกาหนดให้
2. ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นตัดกนั แลว้ จะมจี ุดตัดเพยี งจุดเดยี วเทา่ น้นั
3. ปลายทัง้ สองของสว่ นของเสน้ ตรง อาจถกู ต่อไปได้โดยไม่จากัดความยาว
4. บรรดาเสน้ ทั้งหลายที่ลากเชื่อมจดุ สองจุด ส่วนของเส้นตรงเปน็ เส้นท่สี ัน้ ทสี่ ุด
5. ส่วนของเสน้ ตรงทีล่ ากจากจดุ ภายนอกมาต้งั ฉากกบั เส้นตรงเสน้ หนึง่ ยอ่ มมีเสน้ เดยี ว และเป็น

ส่วนของเสน้ ตรงทสี่ น้ั ทส่ี ุดในบรรดาส่วนของเสน้ ตรงท้ังหลายทล่ี ากจากจดุ เดยี วกนั มายัง
เสน้ ตรงเดียวกัน
6. ส่วนของเส้นตรงเส้นหนึง่ มีจดุ กึง่ กลางไดเ้ พยี งจดุ เดยี วเทา่ น้ัน
7. รปู เรขาคณิตต่าง ๆ อาจทาให้เคลอื่ นท่ีไปได้โดยรปู ลกั ษณะและขนาดคงเดิม
8. ลากเส้นขนานผ่านจุดจดุ หนง่ึ และขนานกับเสน้ ที่กาหนดให้ไดเ้ พยี งเสน้ เดียวเท่าน้ัน
9. ลากเสน้ แบ่งครึง่ มุมไดเ้ พียงเสน้ เดียวเทา่ นัน้
10. ถ้ามุมสองมมุ อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน แลว้ มมุ ทงั้ สองนัน้ เปน็ มุมประกอบสองมุมฉาก
11. มมุ ที่เทา่ กนั ย่อมทับกนั สนทิ
12. มมุ ฉากทุกมุม มมุ ตรงทุกมมุ ยอ่ มเทา่ กนั
13. มุมรอบจดุ จุดหน่งึ รวมกนั ยอ่ มเป็นสองเท่าของมุมตรง หรือเป็นสเ่ี ท่าของมมุ ฉาก
14. รัศมขี องวงกลมท่เี ท่ากัน ยอ่ มเท่ากนั
15. เมื่อมจี ุดหน่งึ ซึ่งถือเป็นจดุ ศูนยก์ ลาง และสว่ นของเส้นตรงท่ีกาหนดใหเ้ ป็นรศั มี ย่อมสรา้ ง
วงกลมไดเ้ พียงวงเดยี วเท่าน้นั

ศูนย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 4

บทท่ี 1

ความรู้พน้ื ฐานทางเรขาคณติ

ประมาณ 50 ปีก่อนคริสตราช ยุคลิดได้รวบรวมความรู้ทางเรขาคณิตซึ่งมีมาก่อนหน้าน้ีให้อยู่ใน
รูปแบบเชิงตรรกศาสตร์เป็นคร้ังแรก และได้เขียนหนังสือทางเรขาคณิตท้ังหมด 13 เล่ม ซึ่งครอบคลุม
สัจพจน์และทฤษฎีบทต่าง ๆ ทางเรขาคณิตที่เป็นผลจากการให้เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ หนังสือท้ัง 13 เล่ม
ดังกล่าวถือว่าเป็นตาราทางคณิตศาสตร์ชุดแรกของโลก ยุคลิดได้จาแนกข้อความซ่ึงถือเป็นสัจพจน์
(ประพจน์ที่ถือว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์) จากน้ันยุคลิดได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่าง ๆ ซึ่งเป็นผลจากสัจพจน์
เหล่าน้ัน ความรู้พื้นฐานที่จะกล่าวถึงต่อไปน้ี บางข้อเป็นสัจพจน์ของยุคลิด และบางข้อเป็นทฤษฎีบทที่
ยคุ ลิดได้พสิ ูจน์ไว้ โดยเป็นส่ิงท่สี ั้น กระชับ และเข้าใจได้ง่าย อีกทั้งยังเป็นพื้นฐานสาคัญในการพิสูจน์ทฤษฎี
บทและแก้ปัญหาทางเรขาคณิตต่อไป นอกจากนี้ความรู้พื้นฐานทางเรขาคณิตยังถูกนาไปใช้ในการไล่มุม
(Angle-chasing) ซึ่งเป็นข้ันแรกในการแก้โจทย์ปัญหาทางเรขาคณิต การไล่มุมเป็นการหาค่ามุมและ
ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งมมุ ตา่ ง ๆ ทเ่ี กยี่ วขอ้ ง

1.1 ความรพู้ ้ืนฐานเกีย่ วกับ เส้นตรง เสน้ ขนาน และรูปสามเหลีย่ ม

1. จดุ A, B,C อยู่บนเสน้ ตรงเดยี วกัน

กต็ อ่ เมือ่ ABC 180

ก็ต่อเมื่อ ABD  CBD 180

2. กาหนดเสน้ ตรง AC
จดุ D, B, E จะอย่บู นเสน้ ตรงเดียวกัน

ก็ต่อเมือ่ ABD  CBE

3. จุด A, B,C อยู่บนเส้นตรงเดยี วกนั
กต็ ่อเมื่อ DAB  DAC

4. กาหนดเส้นตรง l1 ผ่านจุด A, B,C
เส้นตรง l2 ซ่งึ ผา่ นจุด D, E, F และ
เสน้ ตรง l3 ผ่านจดุ G, B, E, H

l1 || l2 ก็ต่อเมื่อ ABE  BEF (มุมแยง้ เทา่ กนั )

ก็ต่อเม่อื GBC  GEF (มุมสมนยั เท่ากนั )
ก็ต่อเมอ่ื CBE  BEF 180

ศนู ยโ์ อลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 5

5. กาหนดรปู สามเหลี่ยม ABC จะไดว้ า่
5.1 ผลบวกของมมุ ภายในของรปู สามเหล่ียม ABC
มีค่าเท่ากับ 180 กลา่ วคอื A B  C 180

5.2 ให้ D เปน็ จดุ บนสว่ นต่อด้าน BC
มุมภายนอก ACD  A B

5.3 AC  AB กต็ อ่ เมอ่ื B  C
ก็ตอ่ เม่ือ มีจุด D บน AC ซึง่ ทาให้ AD  AB

5.4 AB  AC ก็ตอ่ เม่ือ B  C
(รปู สามเหลี่ยมซ่ึงมสี มบัติดงั กล่าว
จะเรยี กว่ารูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั (isosceles))

ตัวอย่าง 1.1.1 กาหนดรูปสามเหล่ียมหนา้ จ่ัว ABC ซงึ่ มี AB  AC ให้ D และ E เปน็ จดุ บนด้าน
BC, AC ตามลาดบั โดยที่ AD  AE และ CDE 15 จงหา BAD มีขนาด
เทา่ กบั เท่าใด

ตัวอย่าง 1.1.2 กาหนดให้ ABCD เป็นรปู ส่ีเหลีย่ ม ให้ BE และ DF เป็นเส้นแบง่ คร่งึ มุม ABC และ
ADC ตามลาดบั ให้ BE ตดั DF ทจ่ี ดุ G ถา้ BCD 140 และ BAD  60
แล้ว BGD มขี นาดเทา่ กบั เท่าใด

ศนู ย์โอลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 6

ตัวอย่าง 1.1.3 กาหนดรูปสามเหลยี่ ม ABC ซงึ่ มดี ้าน BC  AB และ A  70 ให้ D เป็นจุดบน
AB และ E เปน็ จดุ บน BC ซง่ึ BD  BE และ F เปน็ จดุ บนดา้ น AC ซง่ึ

CE  CF จงหา DEF มขี นาดเท่ากบั เท่าใด

ตวั อย่าง 1.1.4 กาหนด ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ยี มจตั รุ ัส ให้ E และ F เปน็ จดุ ซึ่งทาให้ BCE และ
CDF เป็นรูปสามเหลยี่ มดา้ นเท่า จงแสดงว่า A, E, F อยูบ่ นเส้นตรงเดยี วกนั

ตวั อยา่ ง 1.1.5 กาหนดรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส ABCD ให้ P เป็นจุดภายในรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส ซ่ึงทาให้
PAB  PBA 15 จงแสดงว่า PCD เปน็ รูปสามเหล่ยี มด้านเทา่

ศูนยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 7

แบบฝึกหดั 1.1

1. กาหนด ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม ซ่ึงมี C  B ให้เส้นแบ่งคร่ึงมุมแบบภายนอกและภายในของ
จุดยอด A ในรปู สามเหลย่ี ม ABC ตดั กบั เสน้ ตรง BC ทจ่ี ุด D และ E ตามลาดับ

ถา้ AD  AE แล้ว BCACBA มขี นาดเทา่ กบั เทา่ ใด

2. กาหนด ABC เป็นรปู สามเหล่ียมด้านเท่า ให้เส้นแบ่งคร่ึงมุม B และ C ตัดกันท่ีจุด P เส้นตรง
ซึ่งผ่านจุด P และขนานกับเส้นตรง AB ตัดด้าน BC ท่ีจุด M เส้นตรงซึ่งผ่านจุด P และ
ขนานกับเสน้ ตรง AC ตดั ดา้ น BC ท่ีจุด N จงแสดงว่า BM  MN  NC

3. กาหนด ABC เปน็ รปู สามเหล่ียมมมุ แหลมซ่ึงมีมุม B  C ให้ D และ E เป็นจุดบนด้าน BC

ที่ทาให้ AD เป็นส่วนสงู และ AE เป็นเส้นแบ่งครึง่ มมุ A จงแสดงวา่ D AE  1 (B  C)
2

4. กาหนดจุด P เป็นจุดท่ีอยู่ระหว่างเส้นตรง l1,l2 ซ่ึงขนานกัน จากจุด P ลากไปตั้งฉาก l1 และ
l2 ทจ่ี ดุ A และ B ตามลาดบั จงแสดงว่า P, A, B อย่บู นเสน้ ตรงเดยี วกนั

5. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซ่ึงมี B  C  78 ให้ D และ E เป็นจุดบนด้าน AB และ
AC ตามลาดบั โดยที่ BCD  24 และ CBE  51 แลว้ BED มีขนาดเทา่ กับเท่าใด

6. กาหนดรูปสามเหลย่ี ม ABC ซึ่งมี A  B  90 ให้เส้นแบ่งครึ่งมุม C แบบภายในตัดด้าน AB
ทจ่ี ดุ D และเสน้ แบง่ ครง่ึ มุม C แบบภายนอกตัดด้าน AB ทีจ่ ดุ E จงแสดงว่า CD  CE

7. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งมี A  60 ให้ M, N, P เป็นจุดบนด้าน AB, BC, AC ตามลาดับ
โดยท่ี BM  MN  NP  PC ถ้า AP  2AM แลว้ B และ C มขี นาดเทา่ กับเท่าใด

8. กาหนดรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC ซึ่งมี C  90 ให้ E และ F เป็นจุดบนด้าน AB ซึ่งทา
ให้ AE  AC และ BF  BC จงหา ECF มีขนาดเทา่ กบั เท่าใด

9. กาหนดรปู หา้ เหลยี่ ม ABCDE ซ่งึ มดี ้านเท่ากันทุกด้าน และมุมภายในเท่ากันทุกมุม ให้เส้นตรงซึ่ง
ผา่ นจดุ C และต้งั ฉากกบั ดา้ น CD ตดั ด้าน AB ที่จดุ F จงแสดงว่า AE  AF  BE

10. กาหนดรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC ซึ่งมี AC  BC และ C  20 ให้ M และ N เป็นจุด

บนด้าน AC และ BC ตามลาดับ โดยท่ี BAN  50 และ ABM  60 จงหา N MB มี
ขนาดเทา่ กับเทา่ ใด

ศูนย์โอลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 8

1.2 วงกลม

ในหัวข้อน้ีจะศึกษาพื้นฐานของวงกลม คอร์ดและเส้นสัมผัส รวมถึงสมบัติและทฤษฎีบทท่ีสาคัญ
เก่ียวกับวงกลม คอร์ดและเส้นสมั ผสั

บทนิยามเก่ยี วกบั วงกลม
1.2.1 วงกลม (Circle) คอื รปู แบนราบทล่ี ้อมดว้ ยเสน้ โค้งซ่ึงมีระยะห่างจากจุดคงตัวจุดหน่ึงที่ตรึง

อยู่ภายในวงกลมเป็นระยะเท่ากันเสมอ จุดคงตัวนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลม (Center) เส้นโค้งที่
ล้อมรอบรปู แบนราบนี้เรยี กวา่ เส้นรอบวง (Circumference)

1.2.2 รัศมี (Radius) คือ เส้นตรงท่ีลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปจดที่เส้นรอบวง รัศมีทุก
เส้นของวงกลมเดียวกันต้องยาวเท่ากัน

1.2.3 เส้นผ่านศูนย์กลาง (Diameter) คือ เส้นตรงท่ีลากจากเส้นรอบวงผ่านจุดศูนย์กลางไปพบ
เส้นรอบวงอีกข้างหนึ่งมีความยาวเท่ากับสองเท่าของรัศมีวงกลมเดียวกัน เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่
เทา่ กนั จะเทา่ กนั

1.2.4 คร่ึงวงกลม (Semi-circle) คือ รูปท่ีล้อมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางและเส้นรอบวงท่ียาวเพียง
ครงึ่ รอบ วงกลมวงหนง่ึ ย่อมแบ่งเปน็ ครึ่งวงกลมได้สองรูป

1.2.5 คอร์ด (Chord) คือ เส้นตรงท่ีอยู่ภายในวงกลมโดยมีปลายทั้งสองข้างจดที่เส้นรอบวง
คอร์ดที่ยาวเทา่ กันยอ่ มตัดส่วนโคง้ ท่ียาวเทา่ กนั

1.2.6 ส่วนโค้ง (Arc) คือส่วนหน่ึงของเส้นรอบวง เม่ือเส้นรอบวงถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนและไม่
เท่ากันส่วนโค้งที่สั้นกว่าเรียก ส่วนโค้งน้อย (Minor arc) ส่วนโค้งที่ยาวกว่าเรียก ส่วนโค้งใหญ่ (Major
arc) ส่วนโค้งท่ีถูกตัดด้วยคอร์ดที่ยาวเท่ากันจะยาวเท่ากัน ในวงกลมท่ีเท่ากันคอร์ดที่ยาวเท่ากันจะอยู่ห่าง
จากจุดศนู ยก์ ลางเท่ากัน

1.2.7 สว่ นของวงกลม (Segment of circle) คือ รูปทลี่ ้อมด้วยคอรด์ และส่วนโคง้ สว่ นหนึ่งของ
วงกลมคอร์ด ๆ หนึง่ จะแบ่งวงกลมออกเป็นสองสว่ นไม่เทา่ กนั แต่ละส่วนเป็นส่วนของวงกลมแย้งหรือ
ตรงกันขา้ มกันกบั ส่วนวงกลมอกี สว่ นหนงึ่ (Conjugate segment)

1.2.8 คอร์ดร่วม (Common chord) คือ ส่วนของเส้นตรงซ่ึงเป็นคอร์ดของวงกลมต้ังแต่สองวง
ขน้ึ ไป

1.2.9 จุดศูนยก์ ลางร่วม (Common center) คือจุดซ่ึงเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมต้ังแต่สองวง
ขน้ึ ไป

1.2.10 มุมในส่วนของวงกลม (Angle in the segment) คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่ท่ีเส้นรอบวง
และฐานที่รองรับมุมน้นั เปน็ คอร์ดที่ตดั วงกลมออกเปน็ ส่วนของวงกลม

1.2.11 เส้นสมั ผสั (Tangents) คอื เสน้ ตรงซึ่งตัดวงกลมทจ่ี ุด ๆ เดยี ว เรยี กจุดตัดน้วี า่ จุดสัมผสั
1.2.12 สามเหลย่ี มฐานโคง้ (Sector) คอื สามเหลี่ยมที่มีสองด้าน เป็นรัศมีของวงกลม มีฐานเป็น
เสน้ โค้งทถ่ี กู ตดั อยูร่ ะหว่างรศั มีทั้งสอง จดุ ยอดมมุ ของสามเหลยี่ มนีจ้ ะตอ้ งเปน็ จดุ ศูนย์กลางของวงกลมเสมอ

ศนู ยโ์ อลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 9

วงกลมเป็นรูปพื้นฐานในเรขาคณิต วงกลมเป็นเซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดท่ีเรียกว่าจุดศูนย์กลาง
เป็นระยะคงตวั สมบัตพิ ื้นฐานที่สาคญั ของวงกลมมีดงั ตอ่ ไปนี้

1. กาหนดจดุ A, B,C ซ่ึงไม่อยูบ่ นเส้นตรงเดยี วกนั

จะมีวงกลมซงึ่ ผ่านจุด A, B,C เสมอ

และวงกลมดังกล่าวมีได้เพยี งแคว่ งกลมเดยี ว
(เราจะใช้สญั ลักษณ์ วงกลม( ABC )
เขยี นแทนวงกลมดังกล่าว)

2. คอร์ดซ่ึงยาวเท่ากันจะรองรบั มมุ ซงึ่ มีขนาดเทา่ กนั เสมอ
กลา่ วคอื ถ้า AB  CD แล้ว

จะได้ว่า APB  AQB  CRD

3. มุมท่จี ดุ ศูนย์กลางจะมีขนาดเป็น 2 เทา่ ของมุมที่เส้นรอบวง
กล่าวคือ AOB  2ACB เมื่อ O เป็นจดุ ศนู ย์กลางของวงกลม

4. ACB  90 ก็ต่อเมื่อ AB เป็นเสน้ ผ่านศนู ย์กลางของวงกลม( ABC )
ซ่ึงมีจุดกึ่งกลางดา้ น AB เป็นจดุ ศนู ย์กลางของวงกลม

5. กาหนดใหเ้ สน้ ตรง l ตดั วงกลมทจ่ี ุด B จะได้ว่า
จุด B เป็นจดุ สมั ผสั กต็ อ่ เมื่อ ABD  ACB
(กล่าวคอื กต็ ่อเม่ือ มุมทคี่ อรด์ AB กระทากับ
เสน้ ตรง l เทา่ กบั มุมท่ีคอรด์ AB รองรบั )

6. ในกรณที ่ี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง จะไดว้ ่า
จดุ B เป็นจดุ สมั ผสั กต็ ่อเมื่อ AB ตงั้ ฉากกบั เสน้ ตรง l
ทจ่ี ุด B

ศูนยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 10

ตวั อยา่ ง 1.2.1 กาหนดเส้นตรง PQ สัมผัสวงกลมท่ีจดุ C ให้ DB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาวงกลม คอร์ด
AB ขนานกับเส้นตรง PQ ถ้า AC ตัด BD ที่จุด R และ BRC  78 แล้วมุม
ACD มีขนาดเท่าไร

ตัวอยา่ ง 1.2.2 กาหนดวงกลมสองวง C1 และ C2 ตัดกันที่จุด A และ B โดยท่ีวงกลม C2 ผ่านจุดศูนย์กลาง
O ของวงกลมC1 ให้คอร์ด AQ ตดั วงกลมวงกลมC2 อีกครง้ั ท่จี ุด P จงแสดงวา่ PQ  PB

ตวั อยา่ ง 1.2.3 กาหนดวงกลม( ABC ) โดยที่ AC  AB ให้ Q เป็นจุดบนด้าน AC ซึ่งทาให้QC  AB
และ R เป็นจุดบนวงกลม ซึ่งทาให้ CR  CQ ให้ QR ตัดวงกลมอีกคร้ังที่จุด P
จงแสดงวา่ PB  PC

ศูนยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 11

ตวั อยา่ ง 1.2.4 กาหนดวงกลมสองวง w1 และ w2 ซึ่งตัดกันที่จุด P และ Q ให้เส้นตรง l เป็นเส้น
สัมผัสร่วมของท้ังสองวงที่อยู่ใกล้จุด O มากกว่าจุด P ให้เส้นตรง l สัมผัสวงกลม w1
และ w2 ท่ีจุด A และ B ตามลาดับ ลากเส้นตรง AQ ตัดวงกลม w2 อีกครั้งที่จุด R

ถา้ APB  35 แล้วมมุ BPR เทา่ กบั เทา่ ใด

ตวั อย่าง 1.2.5 กาหนดวงกลมสองวงสัมผัสกันแบบภายนอกท่ีจุด A ให้เส้นสัมผัสร่วมสัมผัสวงกลมท้ัง
สองท่ีจุด B และ C ให้จุด D และ E เป็นจุดซึ่งทาให้ BD และ CE เป็นเส้นผ่าน
ศูนยก์ ลางของวงกลม จงแสดงว่า D, A,C อยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกัน

ศูนย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 12

แบบฝึกหัด 1.2

1. กาหนด AB เป็นคอร์ดของวงกลม  ให้ C เป็นจุดก่ึงกลางของส่วนโค้ง AB จงแสดงว่าเส้น
สมั ผัสวงกลม  ที่จุด C ขนานกับ AB

2. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซ่ึงมีจุดยอดทั้งสามอยู่บนวงกลม  และมี AB  AC ให้เส้น
ส่วนสูงจากจุดยอด A ตัดวงกลม  อีกคร้ังที่จุด P ให้ Q เป็นจุดบนด้าน AC เส้นตรง BQ
ตัดวงกลม  อีกครั้งท่ีจุด R จงแสดงว่า PR เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม  ก็ต่อเม่ือ

BQ  CQ

3. กาหนดวงกลมสองวงตัดกันท่ีจุด P และ Q ให้ l เป็นเส้นตรงซ่ึงตัดคอร์ด PQ ถ้าเส้นตรง l
ตัดวงกลมท้ังสองที่จุด A, B,C, D ( A, B,C, D เรียงกันในลาดับน้ีบนเส้นตรง) จงแสดงว่า

APB  CQD

4. กาหนดวงกลม  ซึง่ มี AB เป็นเสน้ ผ่านศนู ยก์ ลาง ให้ E ( E  A, B ) เป็นจุดบนวงกลม ให้ l1
และ l2 เป็นเสน้ สัมผสั วงกลม  ทจี่ ดุ B และ E ตามลาดับ ถา้ l1 ตดั l2 ท่ีจุด C และ l1 ตัด
เส้นตรง AE ทจ่ี ุด D จงแสดงวา่ BC  CD

5. กาหนดรปู สามเหล่ียมมุมฉาก ABC ซ่ึงมี A  90 ,C  30 และ M เป็นจุดก่ึงกลางด้าน BC
ให้  เปน็ วงกลมท่ีผา่ นจดุ A และสมั ผัสด้าน BC ท่ีจุด M สมมติว่าวงกลม  ตัดด้าน AC
ทจ่ี ดุ P และตัดวงกลม( ABC ) อีกครง้ั ที่จุด Q จงแสดงว่า PQ  BC

6. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งมีจุดยอดทั้งสามอยู่บนวงกลม  ให้เส้นแบ่งคร่ึงมุม A แบบ
ภายในตัดด้าน BC ที่จุด M เส้นแบ่งครึ่งมุม A แบบภายนอกตัดเส้นตรง BC ท่ีจุด N และ
เส้นสัมผสั วงกลม  ทจี่ ดุ A ตัดเส้นตรง BC ท่จี ดุ K จงแสดงว่า MK  KN

7. กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซึ่งมีจุดยอดทั้งสามอยู่บนวงกลมท่ีมีจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง ให้
วงกลม  เป็นวงกลมซึ่งผ่านจุด A,O, B เส้นตรง AC และเส้นตรง BC ตัดวงกลม  ที่จุด
D และ E ตามลาดบั จงแสดงว่า DE  OC

8. กาหนดรูปส่ีเหล่ียม ABCD ซงึ่ มจี ดุ ยอดทง้ั ส่ีอยบู่ นวงกลมวงหนงึ่ ให้เส้นทแยงมุม AC และ BD
ตัดกันที่จุด Q รังสี DA และรังสี CB ตัดกันที่จุด P ถ้า CD  CP  DQ แล้ว C AD มี
ขนาดเท่ากับเท่าใด

9. กาหนดวงกลมสองวง 1 และ 2 ซึ่งสัมผัสกันแบบภายในที่จุด A (2 อยู่ภายใน 1 ) ให้ BC
เป็นคอร์ดของวงกลม 1 ซง่ึ สมั ผัสวงกลม 2 ท่ีจุด D จงแสดงวา่ AD แบ่งคร่ึงมุม BAC

10. กาหนดวงกลมสองวง 1 และ 2 ซ่ึงตัดกันท่ีจุด A และ B ให้เส้นตรง PQ เป็นเส้นสัมผัสร่วม
ของทั้งสองวง ( P,Q อยู่บนวงกลม 1 และ 2 ตามลาดับ) ให้ C เป็นจุดบนวงกลม 1
เส้นตรง AC ตัดวงกลม 2 อีกครั้งที่จุด D ให้ E เป็นจุดบนวงกลม 2 ซึ่งทาให้จุด Q เป็น
จุดก่งึ กลางสว่ นโค้ง DE ถา้ เสน้ ตรง BE ตดั วงกลม 1 อกี คร้งั ทจี่ ุด F จงแสดงวา่ PC  PF

ศูนยโ์ อลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 13

1.3 วงกลมและจดุ บนวงกลม

จุด A, B,C, D จะอย่บู นวงกลมเดยี วกัน (Concyclic)
ก็ต่อเมื่อ BAD  BCD 180 หรอื

ABC  ADC 180

กลา่ วคือ กต็ อ่ เม่อื มมุ ภายในของรูปสีเ่ หลีย่ ม ABCD
ซ่ีงอยตู่ รงข้ามกนั รวมกนั 180 องศา

จดุ A, B,C, D จะอยูบ่ นวงกลมเดยี วกัน

ก็ต่อเมื่อ ABD  ACD 180
กต็ อ่ เม่ือ BAC  BDC 180
ก็ต่อเมอ่ื CBD  C AD 180
ก็ตอ่ เม่อื ADB  ACB 180

หมายเหตุ เราจะใช้สญั ลกั ษณ์ วงกลม( ABCD ) แทน วงกลมทีผ่ ่านจุด A, B,C, D

และเรียกรูปสเ่ี หลีย่ มซ่ึงจดุ ยอดทงั้ สอี่ ยู่บนวงกลมเดียวกนั ว่า “รูปส่เี หลย่ี มซึ่งมีวงกลม
ลอ้ มรอบได้”

ตัวอย่าง 1.3.1 กาหนดวงกลมสองวง 1 และ 2 ซึ่งตัดกันท่ีจุด P และ Q ให้ A เป็นจุดบนวงกลม
1 ลากเสน้ ตรง AP และ AQ ตัดวงกลม 2 อีกครั้งที่จุด R และ S ตามลาดับ ให้
เส้นตรง l เป็นเสน้ สัมผัสวงกลม 1 ทีจ่ ดุ A จงแสดงวา่ l || RS

ศนู ย์โอลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 14

ตัวอยา่ ง 1.3.2 กาหนดรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว ABC ซึ่งมี AB  BC และ  เป็นวงกลม( ABC ) ให้
เส้นสัมผัสวงกลม  ที่จุด A และ B ตัดกันที่จุด D เส้นตรง CD ตัดวงกลม  อีก
ครัง้ ทจ่ี ดุ E จงแสดงวา่ เส้นตรง BD เปน็ เส้นสมั ผัสวงกลม( ADE )

ตัวอย่าง 1.3.3 กาหนดวงกลม 1 และ 2 ซ่ึงไม่ตัดกันและมีจุดศูนย์กลางที่จุด O1 และ O2 ตามลาดับ
ใหเ้ ส้นตรง l เป็นเส้นสัมผัสร่วมของวงกลมทั้งสอง โดยที่ l สัมผัส 1 และ 2 ที่จุด A
และ B ตามลาดบั ใหเ้ ส้นตรงO1O2 ตดั วงกลม 1 และ 2 ท่ีจุด C และ D ตามลาดับ
จงแสดงว่า จุด A, B,C, D อยบู่ นวงกลมเดยี วกนั

ตวั อย่าง 1.3.4 กาหนดรูปส่ีเหลี่ยม ABCD ให้ M และ N เป็นจุดบนด้าน BC ซึ่งทาให้ BAM  CDN
สมมติว่า A, M, N, D เป็นจุดบนวงกลมเดียวกัน จงแสดงว่า จุด A, B,C, D อยู่บน

วงกลมเดยี วกนั

ศูนยโ์ อลิมปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 15

ตวั อยา่ ง 1.3.5 กาหนดวงกลม( ABC ) ให้ DE เป็นคอร์ดซ่ึงมี C เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง DE คอร์ด
DE ตัด AC และ BC ที่จุด F และ G ตามลาดับ จงแสดงว่า A, B, F,G อยู่บน

วงกลมเดียวกนั

ตวั อย่าง 1.3.6 กาหนดวงกลมสองวงซง่ึ มีจดุ ศูนย์กลางท่ี O1 และ O2 ตัดกนั ทจ่ี ดุ A และ B เสน้ ตรง
ผ่านจุด A ตดั วงกลมทง้ั สองที่จุด C และ D ให้เสน้ ตรง O1C ตดั O2D ที่จดุ E
จงแสดงว่า O1, E, B,O2 อย่บู นวงกลมเดยี วกนั

การค้นพบว่า ส่ีจุดใด ๆ อยู่บนวงกลมเดียวกัน มีความสาคัญต่อการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต ดัง
ตวั อย่างต่อไปนี้
ตัวอยา่ ง 1.3.7 กาหนดรปู สีเ่ หล่ียม ABCD ซึง่ มีเสน้ ทแยงมมุ AC และ BD ตัดกันเป็นมุมฉาก

ถา้ DAC  30 , ABD  40 และ ACB  60 แลว้ มุม BDC มขี นาดเทา่ กับเทา่ ใด

ศูนยโ์ อลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 16

ตวั อยา่ ง 1.3.8 กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC ซ่ึงมี BE และ CF เป็นส่วนสูง ให้ H เป็น
จุดตัดระหว่าง BE และ CF ให้เส้นตรงผ่านจุด H ตัดด้าน AB และ AC ที่จุด P
และ Q ตามลาดับ จากจุด P และ Q ลากมาตั้งฉาก BE และ CF ที่จุด M และ

N ตามลาดบั จงแสดงวา่ FM ขนานกบั EN

ตัวอย่าง 1.3.9 กาหนดวงกลม( ABC ) ซ่ึงมี O เป็นจุดศูนย์กลาง ให้ D เป็นจุดตัดระหว่างเส้นสัมผัส
วงกลมที่จุด A กับเส้นตรงซ่ึงผ่านจุด C และตั้งฉากกับด้าน BC ให้จุด E เป็นจุดตัด
ระหว่างเส้นตรงซ่ึงผ่านจุด D และขนานกับด้าน AB และด้าน BC จงแสดงว่า
A,O, E อย่บู นเสน้ ตรงเดยี วกนั

ตัวอย่าง 1.3.10 กาหนดวงกลมสองวง C1 และ C2 ซึ่งมี O1 และ O2 เป็นจุดศูนย์กลางตามลาดับ ให้
วงกลม C1 และ C2 ตัดกันท่ีจุด A และ B ให้เส้นตรง CO1 ตัด DO2 ท่ีจุด E ให้
F เปน็ จุดตดั ระหวา่ งเส้นสมั ผสั วงกลม C1 ทจ่ี ุด D และเสน้ สัมผัสวงกลม C2 ท่ีจุด D
จงแสดงว่า BF ต้งั ฉากกับ BE

ศูนยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 17

ตัวอยา่ ง 1.3.11 กาหนด ABCDE เป็นรูปห้าเหลี่ยมซ่ึงมี BEA  BDC  90 และ AC แบ่งครึ่งมุม
BAE และ BCD จงแสดงวา่ A,C, D, E อยบู่ นวงกลมเดียวกนั

ตัวอยา่ ง 1.3.12 กาหนดรูปส่ีเหลย่ี มดา้ นขนาน ABCD ให้ P เป็นจดุ ภายในรูปสี่เหล่ียม ซ่งึ ทาให้
PAB  PCB จงแสดงว่า PBA  PDA

ศนู ยโ์ อลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 18

แบบฝกึ หดั 1.3

1. กาหนดวงกลมสองวง 1 และ 2 ซ่ึงตัดกันท่ีจุด P และ Q ลากเส้นตรงผ่านจุด P ตัดวงกลม
1 และ 2 ท่จี ุด A และ B ตามลาดับ ลากเส้นตรงผ่านจุด Q ตัดวงกลม 1 และ 2 ท่ีจุด
C และ D ตามลาดับ จงแสดงว่า AC || BD

2. กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ให้จุด P,Q, R เป็นจุดบนด้าน AB, BC และ AC ตามลาดับ
ให้วงกลม( APR ) ตัดวงกลม( BPQ ) อีกคร้ังที่จุด M จงแสดงว่า M,Q,C, R อยู่บนวงกลม
เดยี วกนั

3. กาหนดรูปสี่เหล่ียม ABCD ให้เส้นแบ่งครึ่งมุม C ตดั เส้นแบ่งครึ่งมุม B และ D ที่จุด P และ
Q ตามลาดับ ให้เสน้ แบ่งครึง่ มมุ A ตัดเสน้ แบ่งคร่ึงมุม B และ D ที่จุด R และ S ตามลาดับ
จงแสดงวา่ P,Q, R, S อยู่บนวงกลมเดียวกัน

4. กาหนดวงกลม 1 และ 2 ซึ่งมีจุด O1 และ O2 เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมตามลาดับ ให้วงกลม
1 และ 2 ตัดกันทีจ่ ุด A, B เสน้ ตรง O1A ตดั วงกลม 2 อกี ครั้งที่จุด C และเส้นตรง O2 A
ตัดวงกลม 1 อกี คร้งั ท่จี ดุ D จงแสดงวา่ O1,O2, B,C, D อยูบ่ นวงกลมเดยี วกัน

5. กาหนด P เป็นจุดภายนอกวงกลม  ให้เสน้ ตรงผา่ นจุด P ตดั วงกลม  ท่ีจุด A และ B จาก
จุด P ลากเส้นสัมผัสวงกลม  ท่ีจุด C และ D ให้เส้นตรงซ่ึงผ่านจุด D ขนานกับเส้นตรง
AB ตัดวงกลม  อีกคร้ังที่จุด E และ CE ตัด AB ที่จุด M จงแสดงว่า C, D, M, P อยู่
บนวงกลมเดยี วกัน

6. กาหนดรปู สามเหล่ยี ม ABC และจุด P ซง่ึ เป็นจุดภายนอกรูปสามเหลี่ยม จากจุด P ลากไปต้ัง
ฉากเสน้ ตรง AB, BC และ AC ที่จุด L, M และ N ตามลาดับ จงแสดงว่าจุด L, M, N อยู่
บนเสน้ ตรงเดียวกัน ก็ต่อเมอ่ื P เป็นจุดบนวงกลม( ABC )
หมายเหตุ เส้นตรงซงึ่ ผ่านจุด L, M, N ดังกล่าว ได้แก่ เสน้ ตรงซมิ สนั (Simson Line)

7. กาหนดวงกลม 1 และคอร์ด AB ให้ 2 เป็นวงกลมซ่ึงสัมผัสคอร์ด AB ที่จุด T และตัด
วงกลม 1 ทีจ่ ดุ C, D (C อยใู่ กล้ A มากกว่า B ) รังสี AC ตัดรังสี TD ท่ีจุด E รังสี BD
ตัดรังสี TC ที่จดุ F จงแสดงว่า EF || AB

8. กาหนดรูปสามเหล่ียมมุมแหลม ABC และให้  เปน็ วงกลม( ABC ) เส้นส่วนสูงจากจุดยอด C
ตัดดา้ น AB ทจี่ ุด D และตัดวงกลม  อีกครั้งที่จุด E เส้นแบ่งครึ่งมุม C ตัดด้าน AB ท่ีจุด
F และตัดวงกลม  อีกครั้งท่ีจุด G เส้นตรง GD ตัดวงกลม  อีกคร้ังที่จุด H เส้นตรง
HF ตดั วงกลม  อีกครงั้ ทจี่ ดุ I จงแสดงวา่ AI  EB

9. กาหนด ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยม ซ่ึงจุดยอดท้ังส่ีอยู่บนวงกลมเดียวกัน และ CD  AD  BC
ให้เส้นแบ่งครงึ่ มุม A และ B ตดั กันทจี่ ุด M จงแสดงว่าจุด C, D,M อย่บู นเส้นตรงเดยี วกัน

10. กาหนดวงกลม 1 และ 2 ซึ่งตัดกันที่จุด A และ B และมี O1 และ O2 เป็นจุดศูนย์กลาง

ตามลาดับ ให้ P เป็นจุดบนวงกลม 2 และ Q เป็นจุดบนวงกลม 1 โดยที่ PBQ  90 ให้
เสน้ ตรง O1P ตดั วงกลม 2 อกี ครัง้ ทจี่ ดุ M เส้นตรง QM ตัดวงกลม 2 อีกครั้งท่ีจุด N จง

แสดงวา่ จดุ P เปน็ จดุ ก่งึ กลางส่วนโคง้ AN

ศูนยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 19

บทที่ 2

รูปสามเหล่ียม

จุด A, B,C สามจุดท่ีไม่อยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกันในระนาบ ทาให้เกิดรูปสามเหลี่ยม ABC ได้
โดยการลากส่วนของเส้นตรง AB, AC และ BC เชื่อมจุดทั้งสามน้ี เราสามารถจาแนกรูปสามเหล่ียมตาม
ขนาดของมุมภายในไดส้ ามชนดิ ได้แก่ รูปสามเหล่ียมมุมแหลม เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมแหลม
รูปสามเหล่ียมมุมฉาก เป็นรปู สามเหลี่ยมท่ีมมี ุมหนง่ึ เป็นมุมฉาก รปู สามเหล่ียมมุมป้าน เป็นรูปสามเหล่ียมท่ีมี
มุมหนึ่งเป็นมุมป้าน และเรายังสามารถจาแนกรูปสามเหล่ียมตามลักษณะของด้านได้สามชนิด ได้แก่ รูป
สามเหล่ียมด้านไม่เท่า เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ด้านท้ังสามยาวไม่เท่ากัน รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เป็นรูป
สามเหลี่ยมทด่ี า้ นทง้ั สามยาวเท่ากัน และ รปู สามเหลีย่ มหนา้ จ่วั เป็นรปู สามเหล่ียมท่ีดา้ นยาวเท่ากันสองด้าน

ในบทนีจ้ ะศึกษาสมบัตแิ ละทฤษฎีบทต่าง ๆ ทีเ่ กยี่ วข้องกบั รูปสามเหลย่ี ม

2.1 รูปสามเหลยี่ มเท่ากนั ทกุ ประการ

รูปสามเหล่ียมแต่ละรูปประกอบด้วยด้านสามด้านและมุมสามมุม สาหรับรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มี
ดา้ นเทา่ กันสามดา้ นและมุมเทา่ กนั สามมุม จะกล่าวว่า รปู สามเหล่ยี มสองรูปนีเ้ ทา่ กนั ทุกประการ

บทนิยาม 2.1.1 กาหนดรปู สามเหลีย่ ม ABC และรูปสามเหล่ียม DEF ซง่ึ
A  D, B  E, C  F และ AB  DE, BC  EF, AC  DF

จะกล่าววา่ รปู สามเหลี่ยมทง้ั สองรูปนี้เท่ากันทุกประการ โดยใชส้ ัญลกั ษณ์  ABC   DEF

จะเห็นว่าการตรวจสอบว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กาหนดเท่ากันทุกประการหรือไม่นั้นมีความ
ยุ่งยากท่ีจะต้องตรวจสอบปริมาณท้ัง 6 ค่า ได้แก่ ด้านสามด้านและมุมสามมุม ว่าเท่ากันหรือไม่ ทฤษฎีบท
พื้นฐานตอ่ ไปน้แี สดงวา่ เป็นการเพยี งพอทจี่ ะตรวจสอบการเทา่ กนั ของปริมาณเพียงแค่ 3 ค่าเทา่ น้ัน

ทฤษฎีบท 2.1.2 (ทฤษฎบี ทสมนัย) ขอ้ ความตอ่ ไปน้สี มมลู กนั
1.  ABC   DEF
2. รูปสามเหลย่ี มทง้ั สองรูปมี ดา้ น-มุม-ดา้ น เทา่ กัน ได้แก่ AB  DE, B  E และ BC  EF

(มมุ ทีเ่ ท่ากันอยรู่ ะหว่างดา้ นท่ีเท่ากนั )

ศูนย์โอลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 20

3. รูปสามเหลี่ยมทัง้ สองรูปมี มมุ -ดา้ น-มมุ เทา่ กัน ไดแ้ ก่ B  E, BC  EF และ C  F
(ด้านท่เี ทา่ กันอยรู่ ะหวา่ งมมุ ทีเ่ ท่ากนั )

4. รปู สามเหล่ียมท้งั สองรูปมี ดา้ น-ดา้ น-ดา้ น เท่ากนั ไดแ้ ก่ AB  DE, BC  EF และ AC  DF

5. รปู สามเหลี่ยมทงั้ สองรปู มี มุม-มุม-ด้าน เท่ากัน ไดแ้ ก่ A  D, B  E และ BC  EF

6. รูปสามเหลย่ี มทง้ั สองรูปมี มมุ ฉาก-ดา้ น-ดา้ น เท่ากัน ได้แก่ B  E  90, BC  EF และ

AC  DF

ตัวอยา่ ง 2.1.3 รปู ส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน รปู ส่ีเหลีย่ มซง่ึ ดา้ นตรงขา้ มกันขนานกัน จงแสดงว่า
1) รปู สีเ่ หลย่ี ม ABCD เป็นรปู ส่เี หลยี่ มดา้ นขนาน ก็ต่อเมื่อ ดา้ นตรงข้ามของรูป
สเี่ หล่ียมมคี วามยาวเทา่ กัน
2) รปู สเี่ หลี่ยม ABCD เปน็ รปู สีเ่ หลย่ี มด้านขนาน กต็ ่อเมื่อ เส้นทแยงมมุ แบง่ คร่งึ ซึ่งกัน
และกนั

ศูนยโ์ อลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 21

ตวั อยา่ ง 2.1.4 กาหนดจดุ A, B,C บนเสน้ ตรงเดยี วกัน สรา้ งรูปสามเหล่ียมด้านเท่าสองรูป ABD และ

BCE ซ่ึงอยู่ด้านเดียวกันของเส้นตรง AB ลาก AE ตัด CD ท่ีจุด F มุม EFC มี
ขนาดเทา่ ใด

ตวั อย่าง 2.1.5 กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC สร้างรูปสามเหล่ียมด้านเท่า ABD และ ACE บนด้าน
AB และ AC ให้ BE ตดั CD ท่ีจุด P มมุ APD มีขนานเท่าใด

ตวั อย่าง 2.1.6 กาหนดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD, PQRB และ RSTD วางเรียงกัน ดังรูป จงแสดงว่า
P, A,T อยู่บนเส้นตรงเดียวกนั และ PA  AT

ศนู ยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 22

ตวั อยา่ ง 2.1.7 กาหนดรูปสามเหล่ียมหน้าจ่วั ABC ซึ่งมี AB  AC ให้ D เป็นจุดบนด้าน AB และ
E เป็นจดุ บนสว่ นตอ่ ดา้ น AC โดยที่ BD  CE ให้ DE ตัด BC ที่จุด F จงแสดง
ว่า DF  FE

ตัวอยา่ ง 2.1.8 กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซ่ึงมี BE และ CF เป็นเส้นแบ่งคร่ึงมุม สมมติว่า
BE  CF จงแสดงวา่ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มหน้าจั่ว ซงึ่ มี AB  AC

ศนู ย์โอลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 23

แบบฝกึ หัด 2.1

1. กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC จงแสดงว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซ่ึงมี AB  AC ก็ต่อเมื่อ
B  C กต็ ่อเมื่อ เสน้ แบ่งครึง่ มุม A เป็นเสน้ แบง่ ครง่ึ มุมตงั้ ฉาก BC

2. กาหนดรูปสามเหลีย่ ม ABC ซงึ่ มี ACB  60 , BAC  75 ใหส้ ่วนสงู AD และ BE ตัดกนั
ทจี่ ดุ H จงหา CHD

3. กาหนดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD ให้ M เป็นจุดก่ึงกลางด้าน BC และ E เป็นจุดตัดระหว่าง
ดา้ น AC และ DM จงแสดงว่า BE  AM

4. ให้ P และ Q เป็นจดุ บนด้าน AC และ BC ของรูปสามเหล่ียม ABC ซ่ึงทาให้ SABP  SABQ
และ SAQC  SBPC ( SABP หมายถึงความยาวเส้นรอบรูปสามเหล่ียม ABP ) จงพิสูจน์ว่า ABC
เป็นรูปสามเหลย่ี มหน้าจ่ัว

5. กาหนดรูปสามเหล่ียมมุมแหลมสองรูป ABC และ DEF ถ้า AB  DE, BC  EF และC  F แล้ว
จงแสดงว่า ABC  DEF (นั่นคือ ดา้ น-ดา้ น-มุม เปน็ จรงิ ในกรณขี องรปู สามเหล่ยี มมุมแหลม)

6. กาหนดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD ซึ่งมี AB  2AD ให้ E เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB และ F
เปน็ จุดบน CE โดยที่ CFD  90 จงแสดงว่า FAD เป็นรูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั

7. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ( C  90 ) และ AB  2BC จงแสดงว่าโดยไม่ใช้
ตรีโกณมติ ิวา่ มุม A  30

8. กาหนดรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ABCD ให้จุด E และ F เป็นจุดก่ึงกลางด้าน AB และ BC
ตามลาดบั ถ้า CE และ DF ตดั กนั ท่ีจุด M แล้ว จงแสดงวา่ AM  AD

9. กาหนดรูปห้าเหลี่ยม ABCDE ซึ่งมี B  E  90 , AB  AE และ BC  CD  DE ให้เส้น
ทแยงมุม BD และ CE ตัดกันทจ่ี ดุ F จงแสดงว่า FA  AB

10. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซงึ่ มี AC  2AB และ A  2C จงแสดงว่า AB  BC

ศนู ยโ์ อลิมปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 24

2.2 จดุ สาคัญของรูปสามเหลย่ี ม

ในหัวข้อจะกล่าวถึงจุดสาคัญส่ีจุดซ่ึงพบในรูปสามเหล่ียมทุกรูป ได้แก่ จุดศูนย์กลางของวงกลม
ล้อมรอบ จุดออร์โทเซนเตอร์ จุดเซนทรอยด์ และจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน นอกจากนี้ ยังจะศึกษา
สมบัติและการสร้างจดุ ท้ังส่ีดังกลา่ ว

กาหนดรปู สามเหลยี่ ม ABC
1. จดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมล้อมรอบรปู สามเหล่ียม ABC
(Circumcenter) เป็นจดุ ทเ่ี กดิ จากการตดั กนั ของ
เสน้ แบ่งคร่งึ ตงั้ ฉากของดา้ นทัง้ สามของรปู สามเหล่ียม
จากรปู จุด O เป็นจดุ ศูนย์กลางวงกลมลอ้ มรอบ
สังเกตว่า OA  OB  OC

2. จดุ ออร์โทเซนเตอร์ (Orthocenter)
เปน็ จดุ ท่เี กิดจากการตดั กนั ของส่วนสูงจากจดุ ยอด
ทงั้ สามของรปู สามเหลย่ี ม จากรูป สว่ นสูง AD, BE

และ CF ตดั กันที่จุดจุดออร์โทเซนเตอร์ H

3. จดุ เซนทรอยด์ (Centroid)
เปน็ จุดที่เกดิ จากการตดั กันของเสน้ มัธยฐานของ
รูปสามเหลีย่ ม จากรูป เส้นมธั ยฐาน AD, BE

และ CF ตัดกันทจ่ี ดุ เซนทรอยด์ G

นอกจากนี้ จดุ เซนทรอยด์ G ยงั มสี มบัตแิ บง่ เสน้ มัธยฐานออกเปน็ 2:1 กล่าวคือ

AG  BG  CG  2
GD GE GF

4. จดุ ศนู ย์กลางของวงกลมแนบใน
เป็นจุดที่การตดั กันของเส้นแบ่งครง่ึ มุมภายใน
จากรูป I เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมแนบใน
จากจดุ I ลากไปต้งั ฉาก ดา้ น BC, AC และ AB

ท่ีจดุ D, E และ F ตามลาดบั

จะได้ว่า ID  IE  IF และวงกลมซ่งึ มี I
เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี ID จะสัมผัสด้านทง้ั สาม
ของรูปสามเหลยี่ ม ท่จี ุด D, E และ F

สังเกตวา่ เน่อื งจากจดุ D, E, F เป็นจดุ สมั ผัส

จะได้วา่ AE  EF, BD  BF และ CD  CE

ศนู ย์โอลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 25

5. จดุ ศนู ย์กลางของวงกลมแนบนอกตรงข้ามจุดยอด A(IA)

เป็นจดุ ซึง่ เกิดจากการตัดกนั ของเส้นแบ่งครึง่ มมุ A
แบบภายใน และเส้นแบ่งครึ่งมุม B และ C แบบภายนอก
จากจุด IA ลากไปตัง้ ฉากดา้ น BC และ
ส่วนต่อดา้ น AC, AB ที่จดุ D, E, F ตามลาดับ
จะได้ว่า IAD  IAE  IAF และวงกลมซ่ึงมี IA
เปน็ จดุ ศูนย์กลาง รัศมี IAD จะสมั ผสั เสน้ ตรง
BC, AC, AB ทจ่ี ดุ D, E, F ตามลาดับ
ในทานองเดียวกัน เราสามารถนยิ ามจดุ IB และ IC

ตวั อย่าง 2.2.1 กาหนดรปู สามเหลย่ี ม ABC ซึ่งมจี ุด I เป็นจดุ ศูนยก์ ลางวงกลมแนบใน ลากเส้นตรง AI
ตัดวงกลมล้อมรอบ  ABC อกี ครัง้ ท่จี ุด D จงแสดงว่า  IDC เปน็ รปู สามเหลี่ยมหน้าจว่ั

ตวั อยา่ ง 2.2.2 กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซ่ึงมีมุม B  45 และ AD เป็นส่วนสูง ให้ P เป็นจุด
บน AD จงแสดงวา่ P เป็นจุดออรโ์ ทเซนเตอร์ กต็ อ่ เมอ่ื BP  AC

ศนู ย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 26

ตวั อย่าง 2.2.3 กาหนดรูปสี่เหล่ียมด้านขนาน ABCD ให้ M และ N เป็นจุดกึ่งกลางด้าน BC และ
CD ตามลาดับ AM และ AN ตัด BD ที่จุด E และ F ตามลาดับ จงแสดงว่า

BE  EF  FD

ตัวอยา่ ง 2.2.4 กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซ่ึงมีจุด O, H และ I เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม
ล้อมรอบ จุดออร์โทเซนเตอร์และจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน ตามลาดับ จงแสดงว่า
เส้นตรง AI แบง่ ครึ่งมุม OAH

ตวั อย่าง 2.2.5 กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซึ่งมีจุด BAC 120 ให้ AD, BE และ CF เป็นเส้น
แบง่ ครึง่ มมุ A, B และ C ตามลาดบั จงแสดงว่า EDF  90

ศูนยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 27

ตวั อย่าง 2.2.6 กาหนดรปู สามเหลี่ยม ABC ซึ่งมี I เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน ให้วงกลมแนบใน
รูปสามเหล่ียม ABC สัมผัสด้าน BC และ CA ท่ีจุด D และ E ตามลาดับ เส้นตรง
BI ตดั DE ท่จี ดุ G จงแสดงวา่ AG ตัง้ ฉากกับเสน้ ตรง BI

ตวั อยา่ ง 2.2.7 กาหนดรูปสามเหล่ยี ม ABC ซึ่งมีจดุ ศูนยก์ ลางวงกลมแนบใน I และจุดเซนทรอยด์ G
เปน็ จุดเดยี วกัน จงแสดงวา่  ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่

ศนู ย์โอลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 28

แบบฝกึ หดั 2.2

1. กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซ่ึงมี AC  BC และ I เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน ให้
D เป็นจุดบนดา้ น AC ซง่ึ CD  BC จงแสดงวา่ A, B, D, I อย่บู นวงกลมวงเดียวกนั

2. กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซ่ึงมี AB  AC และมี O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ
ให้เส้นแบ่งคร่ึงมุม A ตัด BC ท่ีจุด D เส้นตรงซ่ึงผ่านจุด D และต้ังฉากกับเส้นตรง OA ตัด
ดา้ น AB ท่จี ดุ E จงแสดงวา่ AC  AE

3. กาหนดรูปสามเหล่ียมมุมแหลม ABC ซึ่งมี AD, BE,CF เป็นส่วนสูง จงแสดงว่า จุดออร์โท
เซนเตอรข์ องสามเหลีย่ ม ABC เป็นจดุ ศนู ย์กลางของวงกลมแนบในของสามเหลยี่ ม DEF

4. กาหนดรปู สามเหลยี่ ม ABC ซ่งึ มี I เปน็ จดุ ศูนย์กลางของวงกลมแนบใน ใหเ้ ส้นตรง
AI, BI,CI ตัดวงกลมล้อมรอบ ABC ที่จดุ D, E, F ตามลาดบั
จงแสดงวา่ I เป็นจดุ ออรโ์ ทเซนเตอร์ของสามเหลี่ยม DEF

5. กาหนดรูปสามเหลีย่ ม ABC ให้จดุ D และ E เป็นจดุ บนด้าน BC และ AC ตามลาดับ โดยท่ี
AD และ BE ต่างเป็นเส้นแบง่ คร่งึ มุม ถา้ DE แบง่ ครึ่งมมุ ADC แลว้ มมุ A จะมีขนาดเท่าใด

6. กาหนดรูปสามเหล่ียมมุมแหลม ABC ซ่ึงมี CD เป็นส่วนสูง และ AB  CD สร้างรูปสี่เหล่ียม
จัตุรัส DBEF และ ADGH โดยที่จุด F และ G อยู่บน CD จงแสดงว่า AE, BH,CD
ตดั กนั ทจ่ี ุดเดียว

7. กาหนดรปู สามเหลย่ี ม ABC ให้ D เป็นจุดบนรังสี BC โดยท่ี CD  BC (จุด C อยู่ระหว่าง
B, D ) และจุด E เปน็ จดุ บนรังสี CA โดยที่ AE  2AC (จุด A อยู่ระหว่าง E,C ) สมมติว่า
AD  BE แลว้ จงแสดงว่า ABC เปน็ รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก

8. กาหนดรปู สามเหลี่ยมมุมแหลม ABC ให้  เป็นวงกลมซ่ึงผ่านจุด B และสัมผัสเส้นตรง AC
ท่จี ุด A จงแสดงวา่
8.1 ถา้ AB  AC แล้ว วงกลม  จะผา่ นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ ABC
8.2 ถา้ AB  BC แล้ว วงกลม  จะผา่ นจุดออร์โทเซนเตอรข์ อง ABC
8.3 ถ้า AC  BC แลว้ วงกลม  จะผ่านจดุ ศนู ย์กลางของวงกลมแนบใน ABC

9. กาหนดรูปสามเหล่ยี มมมุ แหลม ABC ซึ่งมี I เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน และ AB  AC
ให้เส้นแบ่งคร่ึงมุม B และ C ตัดด้าน AC และ AB ที่จุด D, E ตามลาดับ จงแสดงว่า

IE  ID ก็ต่อเม่ือ BAC  60
10. กาหนดรปู หา้ เหลย่ี ม ABCDE ซึง่ มี AB  BC, ABE  DBC  EBD และ

AEB  BDC 180 จงแสดงวา่ จดุ ออรโ์ ทเซนเตอรข์ องรปู สามเหลี่ยม BDE อย่บู นเสน้ ตรง

AC

ศูนยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 29

2.3 รปู สามเหลี่ยมคลา้ ย (Similar Triangle)

รูปสามเหล่ียมสองรูปจะเท่ากันทุกประการเมื่อรูปทั้งสองมีมุมและด้านทั้งหมดเท่ากัน ถ้าลด
เง่ือนไขลงเหลือเพียง รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีมุมทุกมุมเท่ากัน เราจะเรียกรูปสามเหล่ียมทั้งสองน้ีว่าเป็น
รูปสามเหลยี่ มซึ่งคลา้ ยกนั ในหวั ข้อน้ี จะศกึ ษาสมบัติตา่ ง ๆ ของรปู สามเหล่ยี มคล้าย

บทนยิ าม 2.3.1 กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC และ DEF โดยท่ี A  D, B  E และ C  F จะเรียก
ABC ว่าคล้ายกับ DEF และใช้สัญลักษณ์ ABC DEF

คาถาม 2.3.2 ถา้ ABC และ DEF มมี ุมเทา่ กันเพียงสองคู่ แล้ว ABC จะคล้ายกับ DEF หรือไม่

จากบทนิยาม จะเห็นว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปจะคล้ายกันเม่ือมีมุมเท่ากันสามคู่ แต่จะเห็นว่าไม่มี
การกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างด้านต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปเลย ทฤษฎีบทพื้นฐานท่ีสาคัญ
ตอ่ ไปน้ี จะกล่าวถงึ ความสัมพนั ธร์ ะหว่างด้านของรูปสามเหลย่ี มท่คี ล้ายกัน

ทฤษฎีบท 2.3.3 (ทฤษฎีบทพืน้ ฐานรปู สามเหลี่ยมคล้าย)
กาหนดรูปสามเหล่ยี ม ABC และรูปสามเหลย่ี ม DEF ซง่ึ ABC DEF

โดยทม่ี ุม A  D, B  E และ C  F

จะไดว้ ่า BC  AC  AB
EF DF DE

นนั่ คอื อตั ราสว่ นของความยาวทอ่ี ยู่ตรงข้ามมมุ ท่ีเท่ากันจะมีคา่ เท่ากันเสมอ

ศูนย์โอลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 30

ตวั อย่าง 2.3.3 กาหนดรปู สามเหล่ยี ม ABC ซึ่งมมี มุ B  90 ให้ BD เปน็ ส่วนสูงจากจุด B

ถ้า BC  2 และ AB 1 แลว้ CD มีค่าเท่าใด
AD

ตวั อย่าง 2.3.4 กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ให้เส้นตรงซึ่งขนานด้าน BC ตัดด้าน AB และ AC ที่
จุด D และ E ตามลาดับ BE ตัด CD ท่ีจุด P ลากเส้นตรงผ่านจุด P ขนานกับ
ด้าน BC ตัดด้าน AC ท่ีจุด F ถ้า EF 1 และ FC  2 แล้วความยาว AC
เท่ากับเทา่ ใด

ตัวอยา่ ง 2.3.5 กาหนดรูปสามเหลี่ยมหน้าจว่ั ABC ซ่ึงมี AB  AC ให้จุด D, E และ F เป็นจุดบน
ดา้ น AB, BC และ AC ตามลาดบั โดยท่ี BDE  EDF และ DFE  EFC
จงแสดงวา่ E เป็นจดุ กงึ่ กลางดา้ น BC

ศนู ยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 31

ตัวอยา่ ง 2.3.6 กาหนดรูปสี่เหลี่ยม ABCD ซ่ึงมี AD || BC, AB  CD และ ADC  90 ให้วงกลม

ซึ่งมี AB เปน็ เสน้ ผ่านศูนย์กลาง ตดั AD อีกคร้งั ทีจ่ ดุ P เส้นสมั ผสั วงกลมทีจ่ ดุ P ตัด
เส้นตรง CD ท่ีจุด M จากจุด M ลากเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด Q เส้นตรง BQ ตัด

CD ทจ่ี ดุ N จงแสดงวา่ N เป็นจดุ กึ่งกลาง CD

ตัวอยา่ ง 2.3.7 กาหนดรปู สามเหลย่ี ม ABC ซง่ึ มีจุด G เป็นจุดเซนทรอยด์ จงแสดงว่า จดุ G แบ่งเส้น
มัธยฐานดว้ ยอตั ราสว่ น 2 :1

ศูนยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 32

แบบฝกึ หดั 2.3

1. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC (A  90 ) ให้ AD เปน็ ส่วนสงู จากจดุ A

จงแสดงวา่ AD2  BDCD, AB2  BD BC และ AC2  CD BC
2. ให้ ABCD เป็นรูปสามเหล่ียมด้านขนาน ให้ F เป็นจุดบนรังสี AD ซึ่ง D อยู่ระหว่าง A

และ F เส้นตรง BF ตัด CD และ AC ท่ีจุด G และ H ตามลาดับ ถ้า FH  32 และ
FG  24 จงหาความยาวด้าน BH

3. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งมีมมุ A 120 ให้ D, E เป็นจดุ บนด้าน BC ซ่ึงทาให้ ADE

เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ( D อยู่ระหว่าง B, E ) ถ้า BD  4,CE 16 จงหาความยาวของ

DE

4. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซ่ึงมี  เป็นวงกลมล้อมรอบ ให้ D เป็นจุดบนด้าน AB โดยที่
4AD  AB ให้ P เป็นจุดบนวงกลม  (อยดู่ ้านเดยี วกนั กับจุด C เมื่อเทียบกับเส้นตรง AB )

โดยที่ ADP  ACB จงแสดงว่า PB  2PD

5. กาหนด ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก( B  90 )สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูป ได้แก่ AMNB
และ BKLC บนด้าน AB และ BC ตามลาดับ (รูปสี่เหล่ียมท่ีสร้างข้ึนไม่ทับกับรูปสามเหลี่ยม
ABC ) ให้ MC ตดั AB ท่ีจดุ R และ AL ตดั BC ท่จี ดุ S จงแสดงวา่ RB  SB

6. กาหนด ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซ่ึงมี B  90 ให้ AD เป็นมัธยฐาน ให้ E เป็นจุด

บน AC ซ่ึงทาให้ BE  AD จากจดุ E ลากไปตงั้ ฉาก BC ทีจ่ ดุ F จงหา AB
EF

7. กาหนดรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว ABC ซ่ึงมี AB  AC และ A  90 ให้ D เป็นจุดบนด้าน

BC ซง่ึ ทาให้ AD  AB ถา้ BD  36, DC 14 จงหาความยาวของ AB

8. กาหนดรูปสามเหล่ียมมุมแหลม ABC ให้เส้นตรงซ่ึงขนานกับ BC ตัดด้าน AB และ AC ท่ี

จุด D และ E ตามลาดับ วงกลมล้อมรอบ ADE ตัด CD ท่ีจุด F (F  D) จงแสดงว่า

สามเหลี่ยม AFE คลา้ ยกบั สามเหลย่ี ม CBD
9. กาหนดรปู สามเหลี่ยมหนา้ จั่ว ABC ซง่ึ มี AB  AC ให้วงกลม  เป็นวงกลมซ่ึงมีจุดศูนย์กลาง

บนด้าน BC และสัมผัสด้าน AB และ AC สมมติว่า P และ Q เป็นจุดบนด้าน AB และ

AC ตามลาดับ จงแสดงว่า เสน้ ตรง PQ สัมผัสกับวงกลม  ก็ต่อเมื่อ PB CQ  1 BC2

4

10. (Ptolemy) กาหนดรูปส่ีเหลยี่ ม ABCD ซง่ึ จุดยอดทง้ั ส่ีอยบู่ นวงกลมเดียวกัน

จงแสดงวา่ AC  BD  ABCD  BC  AD

ศูนยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 33

2.4 การตรวจสอบรปู สามเหลยี่ มคลา้ ย

ในกรณีของรูปสามเหลี่ยมท่ีเท่ากันทุกประการ เรามีทฤษฎีบทสมนัย 2.1.2 ช่วยในการตรวจสอบ
ว่ารูปสามเหลี่ยมที่กาหนดให้เท่ากันทุกประการหรือไม่ ทฤษฎีบทต่อไปน้ีจะเป็นเครื่องมือท่ีช่วยในการ
ตรวจสอบการคลา้ ยกันของรปู สามเหล่ยี มเมือ่ มีมมุ เท่ากนั เพยี งคู่เดียว

ทฤษฎบี ท 2.4.1

กาหนด ABC และ DEF ซง่ึ มมี มุ B  E

1. ถ้า AC  DF แล้วจะได้วา่ ABC DEF โดยที่ C  F
BC EF

2. ถ้า AB  EF แล้วจะได้วา่ ABC DEF โดยท่ี A  F
BC DE

ขอ้ สังเกต ทฤษฎบี ทขา้ งต้นกลา่ ววา่ รูปสามเหล่ียมสองรูปซึ่งมีมุมเท่ากันเพียงหน่ึงคู่ และมีอัตราส่วน
แขนประกอบมมุ นั้นเทา่ กนั แล้วรูปสามเหล่ยี มท้งั สองรูปจะคล้ายกนั

ตวั อย่าง 2.4.2 กาหนดรปู สามเหลีย่ ม ABC ให้จุด D, E เป็นจดุ บนด้าน AB, AC ตามลาดบั

จงแสดงว่า DE || BC กต็ อ่ เมอื่ AD  AE กต็ อ่ เมือ่ AD  AE
AB AC DB EC

ศูนยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 34

ตวั อยา่ ง 2.4.3 (พที าโกรสั ) กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC จะได้ว่า
AC2  AB2  BC2 กต็ อ่ เมอื่ ABC  90

ตัวอย่าง 2.4.4 กาหนดรูปส่ีเหลี่ยม ABCD ซ่ึงมีด้านเท่ากันทุกด้าน และ ABC  60 ให้ l เป็น
เส้นตรงซ่ึงผ่านจุด D ให้เส้นตรง AB และ BC ตัด l ท่ีจุด E และ F ตามลาดับ
ถา้ AF ตดั CE ที่จุด M แล้ว จงแสดงวา่ AC2  CE CM

ตัวอยา่ ง 2.4.5 กาหนดรูปสามเหลยี่ มมมุ แหลม ABC ซง่ึ มี AD, BE,CF เป็นส่วนสูง และ H เป็นจุด

ออร์โทเซนเตอร์ ให้ AM เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบและตัดด้าน BC
ท่จี ุด N ถ้า EF ตดั AD ทจ่ี ดุ G แล้ว จงแสดงว่า GN || HM

ศูนย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 35

ตวั อยา่ ง 2.3.6 กาหนดรูปสี่เหลี่ยม ABCD ซ่ึงมี ABC  ADC  90 และ BC  CD ให้ P และ
Q เปน็ จุดบน AB และ AD ตามลาดับ โดยท่ี CQ  PD จงแสดงว่า BQ  CP

ตัวอยา่ ง 2.3.7 กาหนดรูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน ABCD ให้ P เป็นจุดภายในรูปสี่เหล่ียม ซ่ึงทาให้
PAB  PCB จงแสดงว่า PBA  PDA

ศูนย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 36

แบบฝกึ หัด 2.4

1. กาหนดรูปสี่เหล่ียมด้านขนาน ABCD ให้จุด E และ F เป็นจุดบนเส้นทแยงมุม AC โดยท่ี
AE  CF เส้นตรง BE ตัด AD ที่จุด H เส้นตรง BF ตัด CD ท่ีจุด G จงแสดงว่า

HG || AC

2. กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซึ่งมี BC  AB ให้ D เป็นจุดบนด้าน BC โดยท่ี BD  AB
ให้ E เป็นจุดบนด้าน BD ซง่ึ BD2  BE  BC จงแสดงวา่ AD แบ่งครง่ึ มุม E AC

3. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC ซึ่งมี AM และ BN เป็นส่วนสูง และมุม ACB  45
ให้ K และ T เป็นจุดบนเส้นตรง MA และ NB ตามลาดับ โดยที่ MK  MB และ
NT  NA ( K, A อยู่ข้างเดียวกันเทียบกับเส้นตรง BC และ T, B อยู่ข้างเดียวกันเทียบกับ
เสน้ ตรง AC ) จงแสดงวา่ KT || NM

4. กาหนดวงกลม( ABCD) ซ่ึงมี ABD  DBC ให้ E เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม AC และ
BD ให้ M เป็นจุดกึ่งกลางของ AE และ N เป็นจุดก่ึงกลางของ CD จงแสดงว่า
B,C, M, N อยู่บนวงกลมเดียวกนั

5. กาหนดส่วนของเส้นตรง AD ให้ B,C เป็นจุดบน AD โดยที่ AB  BC  CD สร้างรูป
สี่เหลยี่ มจตั ุรัส EABF, FBCG และ GCDH ( E, F,G, H เรยี งตามลาดับ) สมมติว่า DE ตัด

AG ที่จดุ M จงแสดงวา่ FM  AG และ ADE  ACE  45
6. กาหนดรูปสามเหลยี่ มมุมแหลม ABC ให้ E เปน็ จุดซง่ึ อยคู่ นละดา้ นกบั จุด B เมื่อเทยี บกับ

เส้นตรง AC และ D เปน็ จดุ บน AE โดยที่ ADB  CDE, BAD  ECD และ

ACB  EBA จงแสดงว่า B,C, E อยูบ่ นเส้นตรงเสน้ ตรงเดยี วกัน
7. กาหนดรูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัว ABC ซึ่งมี AB  AC และ M เป็นจุดก่ึงกลางด้าน BC ให้

N เปน็ จุดก่งึ กลาง AM จากจุด M ลากไปต้ังฉาก CN ท่ีจุด D จงแสดงวา่ ABD  BCN
8. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ให้ D, E, F เป็นจุดบนด้าน BC, AC และ AB ตามลาดับ โดย

ท่ี EF || BC และ DE || AC ให้ P เป็นจุดตัดระหว่าง BE กับ DF และ Q เป็นจุดตัด
ระหวา่ ง EF กับ AD จงแสดงว่า PQ || AB
9. กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ให้ D เป็นจุดบนด้าน AC โดยที่ BD  CD และ E เป็นจุด
ใดๆ บนด้าน BC (E  B,C) ให้เส้นตรงผ่านจุด E และขนานกับเส้นตรง BD ตัดเส้นตรง

AB ท่จี ดุ F ถ้า AE ตดั BD ท่ีจุด G แลว้ จงแสดงวา่ BCG  BCF
10. กาหนด ABC เป็นรูปสามเหล่ียมหน้าจั่ว โดยที่ AB  AC ให้ D, E และ F เป็นจุดบนด้าน

BC, AB และ AC ตามลาดับ โดยที่ BDE  CDF เส้นตรงซ่ึงผ่านจุด B และขนานกับ
EF ตดั DF ทีจ่ ดุ M จงแสดงวา่ AM  BC

ศูนย์โอลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 37

2.5 ทฤษฎบี ทแบง่ ครึ่งมมุ (The angle bisector theorem)

ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งมุมเป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพ้ืนฐานของรูปสามเหลี่ยมคล้ายในอีกรูปแบบ
หน่ึง ทฤษฎีบทนีก้ ลา่ วถึงอัตราสว่ นของด้านต่าง ๆ ทเ่ี กดิ จากการแบง่ ครึง่ มุม ดงั ต่อไปน้ี

ทฤษฎีบท 2.5.1 (ทฤษฎบี ทแบ่งครึง่ มุม)

กาหนดรูปสามเหลีย่ ม ABC และ D เป็นจุดบนด้าน BC จะได้ว่า

AD เปน็ เสน้ แบ่งครึง่ มุมภายในของมมุ A ก็ตอ่ เม่อื AB  BD
AC CD

ตัวอยา่ ง 2.5.2 กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งมี AD แบ่งคร่ึงมุม A และ I เป็นจุดศูนย์กลางของ

วงกลมแนบใน ให้ BC  a, AC,b และ AB  C จงเขียน AI ในรปู a,b, c
ID

ตวั อยา่ ง 2.5.3 กาหนดรปู สามเหล่ียม ABC ซึ่งมี B  2A จงแสดงวา่ AC2  AB2  AB BC

ศูนย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 38

ตวั อย่าง 2.5.4 กาหนดรูปสามเหล่ียมหน้าจั่ว ABC โดยที่ AB  AC ลากเส้นแบ่งคร่ึงมุม B ตัดด้าน
AC ท่ีจุด D ให้ E เป็นจุดบนด้าน BC ซ่ึงทาให้ BE  BD ถ้า AD  EC แล้วมุม

A จะมขี นาดเทา่ ใด

ตวั อยา่ ง 2.5.5 กาหนดรูปสีเ่ หลีย่ มดา้ นขนาน ABCD ให้ M และ N เป็นจุดบนด้าน AB และ BC
ตามลาดับ โดยท่ี AM  CN ถ้า AN ตัด CM ท่ีจุด P แล้ว จงแสดงว่า DP แบ่ง

ครงึ่ มมุ ADC

ตวั อยา่ ง 2.5.6 กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC โดยที่ AB  AC และมี  เป็นวงกลมรอบ ให้ I เป็น
จดุ ศนู ยก์ ลางวงกลมแนบในรปู สามเหลยี่ ม ABC ซ่งึ สัมผัสด้าน BC ท่ีจุด D ให้วงกลม
ซึ่งมี AI เป็นผ่านศูนย์กลางตัดวงกลม  อีกครั้งท่ีจุด K ถ้าเส้นตรง AI ตัดวงกลม
 อกี ครงั้ ทจ่ี ุด M จงแสดงวา่ K, D, M อยู่บนเส้นตรงเดียวกนั

ศูนย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 39

แบบฝกึ หดั 2.5

1. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ให้ D เป็นจุดบนรังสี BD ( C อยู่ระหว่าง B, D ) จงแสดงว่า

AD เปน็ เส้นแบ่งคร่งึ มมุ A แบบภายนอก กต็ ่อเม่อื AB  BD
AC CD

2. กาหนดรูปสามเหล่ยี ม ABC ซ่ึงมี A  2B ให้ AD เป็นเส้นแบ่งคร่ึงมมุ A

จงแสดงวา่ AD  AB  AC
BC

3. กาหนดรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ABC ซงึ่ มี A  90 ให้ AM เป็นเส้นแบ่งคร่ึงมุม A เส้นตรงซ่ึง

ผา่ นจดุ M และต้งั ฉากกบั ดา้ น BC ตดั ดา้ น AB ทจ่ี ดุ N จงแสดงวา่ MN  MC

4. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งมีมุม B  40 และ AB  BC  2AC ให้ M และ N เป็น

จุดก่งึ กลางดา้ น AB และ BC ตามลาดบั ถา้ เส้นแบง่ คร่ึงมุม B ตัดดา้ น AC ที่จดุ L แล้ว

จงหา K LM

5. กาหนดรูปสามเหลย่ี ม ABC ให้ D และ E เปน็ จดุ ตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุม C และ B กับด้าน
AB และ AC ตามลาดับ ให้ F เป็นจุดบนรังสี AB (ต่อจากจุด B ) โดยท่ี BF  BC และ

G เปน็ จุดบนรงั สี AC (ต่อจากจุด C ) โดยท่ี CG  BC จงแสดงว่า FG || DE

6. กาหนดรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC ซ่ึงมี AB  AC บนด้าน AC สร้างรูปสามเหล่ียมหน้าจั่ว
ACD โดยท่ี AD  CD  BC ให้ CM ,CN ( M , N อยู่บน AB, AD ตามลาดับ) เป็นเส้น

แบ่งครึ่งมุม C ในรูปสามเหล่ียม ABC และ ACD ตามลาดับ เส้นตรงผ่านจุด M ขนานกับ
BC ตัดด้าน AC ที่จดุ O จงแสดงว่า O เป็นจุดศนู ย์กลางของวงกลม(CMN )

7. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซ่ึงมี B  90 ให้ D เป็นจุดบนด้าน AC โดยท่ี
CD  AB จงแสดงว่า ในรูปสามเหล่ียม ABD เส้นมัธยฐานจากจุด B ส่วนสูงจากจุด D และ

เสน้ แบ่งคร่ึงมุม A ตดั กันท่จี ุดเดยี ว
8. กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ให้ l1 เป็นเส้นตรงซึ่งผ่านจุด B และขนานกับ AC ให้ l2 เป็น

เส้นตรงซึ่งผ่านจุด C และขนานกับ AB ให้ D และ E เป็นจุดบน l1 และ l2 ตามลาดับ โดย

ท่ี BD  CE ( D, E อยู่ข้างเดียวกันกับจุด A เม่ือเทียบเส้นตรง BC ) ถ้า BE ตัด CD ท่ีจุด

P แลว้ จงแสดงวา่ เสน้ ตรง AP แบ่งครึ่งมมุ A

9. กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซึ่งมี A 120 และ I เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน ให้

AD และ CE เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม A,C ตามลาดับ ถ้า BI ตัด DE ท่ีจุด F จงหามุม

D AF

10. กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซง่ึ มี M เป็นจดุ กึ่งกลางด้าน AB และ CD เป็นส่วนสูง จงแสดง
ว่า A  2B ก็ตอ่ เม่อื AC  MD

ศูนย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 40

บทท่ี 3

เพิ่มเตมิ เร่ืองวงกลม

เราได้เรียนรู้สมบัติพื้นฐานต่าง ๆ ของวงกลม เช่น มุมบนส่วนโค้ง เส้นสัมผัสวงกลม จุดบนวงกลม
เป็นต้น มาแล้วในบทที่ 1 ความรู้เร่ืองรูปสามเหล่ียมคล้ายจะทาให้สามารถศึกษาสมบัติที่เก่ียวข้องกับ
วงกลมได้มากข้นึ ซึง่ จะมีประโยชน์อยา่ งยิ่งในการแกโ้ จทย์ปญั หา

3.1 เพาเวอร์ของจุด (Power of point)

กาหนดวงกลม  ซ่ึงมคี อร์ด AB,CD ตัดกนั ทจ่ี ุด P ดงั รปู
สงั เกตว่า ADP BCP ซงึ่ ทาใหไ้ ด้วา่

AP  PD
PC PB

นัน่ คอื AP PB  PC  PD
ในทานองเดยี วกนั ถา้ EF เป็นคอรด์ ซ่ึงผา่ นจุด P
จะไดว้ ่า AP PB  PC  PD  PE  PF

ดังนนั้ จึงเป็นท่ีนา่ สนใจวา่ ค่าท่ีเท่ากันดังกล่าวคือค่าอะไร เพ่อื ตอบปญั หาดังกลา่ ว

ให้ CD เป็นคอร์ดซ่งึ เปน็ เสน้ ผา่ นศนู ย์กลางของวงกลม 
เพราะฉะน้ัน จะไดว้ า่

PA PB  PC  PD  (r  OP)(r  OP)  r2  OP2

เม่อื r เปน็ รัศมีของวงกลม  จะเห็นว่า r2 OP2 เป็นคา่ คงตัว
ซึ่งขน้ึ กับตาแหนง่ ของ P เทา่ นัน้ เราจะเรยี ก คา่ r2 OP2 วา่
“เพาเวอรข์ องจดุ P เมอื่ เทียบวงกลม  ” (Power of point P )

ในกรณซี งึ่ P อยู่ภายนอกวงกลม  เราสามารถพิจารณาทานองเดียวกนั
โดยใช้ PAD PBC แทน และจะได้ว่า

PA PB  PC  PD

และเม่ือ CD เปน็ เส้นผ่านศนู ยก์ ลางของวงกลม 
จะไดว้ า่

PA PB  OP2  r2

กรณีสดุ ท้าย เม่ือ PA เปน็ เส้นสัมผัสวงกลม 
จะได้ PAB PAC และมีผลทาให้

PB  PC  PA2

จากทก่ี ลา่ วมาข้างตน้ สามารถสรุปเปน็ ทฤษฎีได้ดังนี้

ศูนย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 41

ทฤษฎบี ท 3.1.1 (Power of point)

กาหนดวงกลม  ซ่งึ มีรัศมี r และมี O เป็นจดุ ศูนยก์ ลาง
1) กรณี P เปน็ จดุ ภายในวงกลม
ใหเ้ ส้นตรงเสน้ หนึ่งผา่ นจดุ P และตัดวงกลม  ทจ่ี ุด A
และ B ให้เสน้ ตรงอกี เสน้ ผา่ นจุด P ตดั วงกลม  ท่จี ดุ C
และ D จะได้ว่า

PA PB  PC  PD  r2  OP2

2) กรณี P เปน็ จุดภายนอกวงกลม
จะได้ว่า

PA PB  OP2  r2

3) กรณเี สน้ ตรงผ่านจุด P เปน็ เสน้ สัมผสั วงกลม 
ทจ่ี ุด A จะได้วา่

PA PB  PA2  OP2  r2

ตัวอยา่ ง 3.1.2 กาหนดวงกลมสองวงตดั กันท่ีจดุ A และ B ให้ l เป็นเส้นสัมผัสร่วมซึ่งสัมผัสวงกลมท้ัง
สองท่ีจดุ P และ Q จงแสดงว่า เสน้ ตรง AB แบ่งคร่งึ สว่ นของเส้นตรง PQ

ตวั อยา่ ง 3.1.3 กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC สมมติว่า มีวงกลมซ่ึงสามารถแบ่งแต่ละด้านของรูป
สามเหลี่ยมออกเป็น 3 สว่ นเทา่ ๆ กนั ( BD  DE  EC,CF  FG  GA,

AH  HI  IB ) จงแสดงว่า ABC เปน็ รปู สามเหล่ยี มด้านเท่า

ศูนย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 42

ตวั อย่าง 3.1.4 กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งมี BD เป็นเส้นแบ่งคร่ึงมุม ให้วงกลมล้อมรอบรูป
สามเหล่ียม BCD ตัดด้าน AB อีกครั้งท่ีจุด E และให้วงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม
ABD ตดั ดา้ น BC อกี ครง้ั ทจ่ี ดุ F จงแสดงว่า AE  CF

ตวั อยา่ ง 3.1.5 กาหนดรูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน ABCD ให้เส้นแบ่งครึ่งมุม BAD ตัดด้าน CD และ
เส้นตรง BC ที่จุด M และ N ตามลาดับ ถ้าให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม

ลอ้ มรอบรูปสามเหลยี่ ม CMN แล้ว จงแสดงว่า B,C, D,O อยูบ่ นวงกลมเดียวกนั

ศนู ย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 43

แบบฝึกหดั 3.1

1. กาหนดวงกลม ( ABCD ) โดยที่ AB ไม่ขนานกัน CD ให้ 1 เป็นวงกลม ซ่ึงผ่านจุด C, D
และสัมผัสกับ AB ที่จุด P (P  A, B) ให้ 2 เป็นวงกลม ซึ่งผ่านจุด A, B และสัมผัสกับ

CD ทจี่ ดุ Q (Q  C, D) จงแสดงวา่ BPQ  CQP
2. กาหนด P เป็นจุดภายนอกวงกลม  จากจุด P ลากเส้นตรง 2 เส้นไปสัมผัสวงกลม  ที่

จุด A และ B เส้นตรงซึ่งผ่านจุด P อีกเส้นหน่ึงตัดวงกลม  ที่จุด C และ D ( C อยู่
ระหว่าง P, D ) ซึ่งทาให้ AD || PB จงแสดงวา่ เสน้ ตรง AC แบง่ คร่ึง BP
3. กาหนด AB เป็นคอร์ดของวงกลม ซ่ึงมี P เป็นจุดกึ่งกลาง ให้ CD เป็นคอร์ดอีกคอร์ดหน่ึงซ่ึง
ผ่านจุด P ให้  เป็นคร่ึงวงกลม ซ่ึงมี CD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง เส้นตรงผ่านจุด P และต้ัง
ฉากกับ CD ตัดคร่งึ วงกลม  ทจ่ี ดุ Q จงแสดงวา่ PQ  AP

4. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซ่ึงมี AD เป็นเส้นแบ่งคร่ึงมุม A ให้  เป็นวงกลม ซ่ึงผ่านจุด
A และสัมผัสด้าน BC ทจี่ ดุ D เส้นตรง AC ตัดวงกลม  อีกคร้ังที่จุด E เส้นตรง BE ตัด
วงกลม  อีกคร้ังท่จี ุด F จงแสดงวา่ เส้นตรง AF แบ่งครึง่ BD

5. กาหนดรูปสามเหล่ียมมุมแหลม ABC ซึ่งมี H เป็นจุดออร์โทเซนเตอร์ AD เป็นส่วนสูง และ
M , N เปน็ จดุ กึ่งกลาง BC, AD ตามลาดบั ถ้า AD  BC แล้ว จงแสดงวา่ HM  HN

6. กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซึ่งมี AB  AC ให้เส้นสัมผัสวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม
ABC ท่ีจุด A ตัดเส้นตรง BC ท่ีจุด D ให้ E เป็นจุดบนรังสี AD โดยท่ี DE  DA และ
F เป็นจุดบนรงั สี BD โดยที่ DF  DB จงแสดงว่า A,C, E, F อยู่บนวงกลมเดยี วกัน

7. กาหนดวงกลมสองวง 1 และ 2 จะเรียกเซตของจุด P ซ่ึง Power ของจุด P เม่ือเทียบ
วงกลม 1 เทา่ กับ Power ของจุด P เมื่อเทียบวงกลม 2 ว่า “แกนราก” (Radical Axis) ของ
วงกลม 1 และ 2
7.1 ถ้าวงกลม 1 และ 2 ตัดกันท่ีจุด A และ B จงแสดงว่า แกนรากของวงกลม 1
และ 2 ไดแ้ ก่ AB
7.2 ถ้าวงกลม 1 และ 2 สัมผัสกันที่จุด A จงแสดงว่า แกนรากของวงกลม 1 และ 2
ได้แก่ เส้นสมั ผัสรว่ มท่ีผา่ นจุด A ของวงกลมทงั้ สอง
7.3 ถ้าวงกลม 1 ไม่ตัดวงกลม 2 และไม่ได้บรรจุอยู่ภายในวงกลม 2 จงแสดงว่า แกน
รากของวงกลม 1 และ 2 ได้แก่ เส้นตรงซึ่งต้ังฉากกับเส้นตรงซึ่งเช่ือมจุดศูนย์กลาง
ของวงกลม 1 และ 2

8. กาหนดรูปสามเหลย่ี มมุมแหลม ABC ซง่ึ มี H เป็นจุดออร์โทเซนเตอร์ ให้ M และ N เป็นจุด
บนด้าน AB และ AC ตามลาดับ วงกลมซ่ึงมี BN และวงกลมซ่ึงมี CM เป็นเส้นผ่าน
ศนู ย์กลางตดั กันท่ีจุด P และ Q จงแสดงว่า P,Q, H อย่บู นเสน้ ตรงเดยี วกัน

9. กาหนดรูปสามเหล่ียมมุมแหลม ABC ให้ 1 และ 2 เป็นวงกลมซึ่งมี AC และ AB เป็นเส้น
ผ่านศนู ยก์ ลาง ตามลาดับ วงกลม 1 ตดั ดา้ น AB อกี คร้ังท่ีจุด F และวงกลม 2 ตัดด้าน AC
อีกคร้ังที่จุด E สมมติว่า BE ตัด 1 ท่ีจุด P และ CF ตัดวงกลม 2 ที่จุด Q จงแสดงว่า

AP  AQ

ศูนย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 44

10. กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ให้วงกลมแนบในรูปสามเหล่ียม ABC สัมผัสด้าน BC,CA และ
AB ที่จุด D, E และ F ตามลาดับ สมมติว่า AD ตัดวงกลมแนบในอีกครั้งท่ีจุด P และ M

เปน็ จุดกงึ่ กลางของ AF จงแสดงวา่ E, M, P อยบู่ นวงกลมเดียวกนั ก็ตอ่ เม่อื A  B

3.2 บทกลบั ของเพาเวอรข์ องจดุ

บทกลับของทฤษฎีบทข้างต้น มีประโยชน์ในการตรวจสอบว่า 4 จุด จะอยู่บนวงกลมเดียวกัน
หรอื ไม่ ซึ่งเราจะพิจารณาเป็นกรณีตา่ ง ๆ ดังน้ี

สว่ นของเสน้ ตรง AB และ CD ตดั กนั ท่จี ดุ P
และ PA PB  PC  PD เงอ่ื นไขดังกล่าว ทาให้ได้วา่

ACP BDP ( AP  PD และ APC  BPD )

PC PB

ซ่งึ มผี ลให้ PAC  PDB และ A, B,C, D อยู่บนวงกลมเดยี วกนั

เส้นตรง AB และ CD ตัดกันทจ่ี ุด P
และ PA PB  PC  PD เงื่อนไขดังกล่าว ทาให้ไดว้ ่า

APD BPC ( PA  PC และ APD  BPC )

PD PB

ซง่ึ มผี ลให้ ADP  CBP น่ันคือ ADC  CBA
และได้วา่ A, B,C, D อยบู่ นวงกลมวงเดยี วกนั

ในกรณเี ส้นตรง AB ตัดเสน้ ตรง PC ทีจ่ ดุ P
และ PA PB  PC2 จะได้วา่
เส้นตรง PC จะสมั ผัสวงกลมล้อมรอบรูปสามเหล่ยี ม ABC
ทจี่ ุด C

ดังนั้น จากท่ีกลา่ วมาสามารถสรปุ ได้ดงั นที้ ฤษฎบี ทต่อไปนี้

ทฤษฎบี ท 3.2.1 (ทฤษฎีบท Power of point และบทกลับ)

กาหนดวงกลม  ซงึ่ มีรัศมี r และมี O เป็นจุดศนู ย์กลาง
1) กาหนด จุด A, B,C, D ให้ AB ตดั CD ทจี่ ดุ P
จะไดว้ ่า A, B,C, D อยบู่ นวงกลมเดียวกัน
กต็ ่อเมอ่ื PA PB  PC  PD

2) กาหนด จุด A, B,C, D ให้เส้นตรง AB ตดั เสน้ ตรง CD
ทจ่ี ดุ P จะได้วา่ A, B,C, D อย่บู นวงกลมเดียวกนั
ก็ต่อเมอื่ PA PB  PC  PD

ศูนย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 45

3) เสน้ ตรง PC เปน็ เส้นสัมผัสวงกลม
ลอ้ มรอบรูปสามเหล่ยี ม ABC ก็ต่อเม่อื

PA PB  PC2

ตัวอยา่ ง 3.2.2 กาหนดวงกลมสองวง ซึ่งไมต่ ัดกัน ให้เส้นตรง 2 เส้น ตัดกนั ทจ่ี ุด P และตัดวงกลมท้ังสอง
ท่ีจุด A, A, B, B,C,C, D, D ดังรูป จงแสดงว่า A, B,C, D อยู่บนวงกลมเดียวกัน ก็
ต่อเม่อื A, B,C, D อยบู่ นวงกลมเดียวกัน

ตวั อย่าง 3.2.3 กาหนดจดุ A, B,C, D เรยี งกนั ตามลาดบั บนเส้นตรงเสน้ หนงึ่ ให้ 1 และ 2 เป็นวงกลม
ซ่ึงมี AC และ BD เปน็ เส้นผา่ นศูนย์กลาง วงกลม 1 และ 2 ตัดที่จุด P และ Q ให้
R เป็นจุดบน PQ เส้นตรง BR และ CR ตัดวงกลม 2 และ 1 ที่จุด M และ N
ตามลาดับ จงแสดงว่า B, M, N,C อยู่บนวงกลมเดียวกัน และ A, M, N, D อยู่บน
วงกลมเดยี วกัน

ศนู ย์โอลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 46

ตวั อย่าง 3.2.4 กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซ่ึงมี H เป็นจุดออร์โทเซนเตอร์ ให้วงกลม C1 และ C2
เปน็ วงกลม ซึง่ มี AB และ AC เปน็ เส้นผา่ นศูนยก์ ลางของวงกลมตามลาดับ ให้เส้นตรง
BH ตดั วงกลม C2 ที่จดุ P,Q และเส้นตรง CH ตัดวงกลม C1 ท่ีจุด R, S จงแสดง

วา่ P,Q, R, S อยู่บนวงกลมเดียวกนั

ตวั อย่าง 3.2.5 กาหนดรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC ซ่ึงมี AB  AC ให้ครึ่งวงกลมซ่ึงมี EF เป็นเส้น
ผ่านศูนย์กลาง และสัมผัสด้าน AB และ AC ท่ีจุด M และ N ตามลาดับ ให้ AE
ตัดครง่ึ วงกลมน้ีทจี่ ดุ P จงแสดงวา่ PF ผา่ นจดุ ก่งึ กลางของ MN

ศนู ยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 47

แบบฝกึ หัด 3.2

1. กาหนดวงกลม C1 และ C2 ซ่ึงมีจุดศูนย์กลางเดียวกัน โดยที่ C2 อยู่ภายใน C1 ให้ AB เป็น
คอรด์ ของวงกลม C1 ซ่ึงสมั ผัสวงกลม C2 ที่จดุ C ให้เส้นตรงผ่านจุด A ตัดวงกลม C2 ที่จุด D
และ E ถ้า F เปน็ จุดกึ่งกลาง AC แลว้ จงแสดงวา่ B, D, E, F อย่บู นวงกลมเดียวกัน

2. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC ซ่ึงมี AD เป็นส่วนสูง จากจุด D จากไปต้ังฉากกับด้าน
AB, AC ทจ่ี ุด E, F ตามลาดับ จงแสดงว่า B,C, E, F อยบู่ นวงกลมเดยี วกัน

3. กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ให้วงกลมซ่ึงผ่านจุด B และ C ตัดด้าน AB, AC ท่ีจุด D, E
ตามลาดับ จากจดุ B และ E ลากไปตงั้ ฉากกับ CD ท่ีจุด P และ Q ตามลาดับ จากจุด C และ
D ลากไปตั้งฉากกับ BE ที่จุด R และ S ตามลาดับ จงแสดงว่า P,Q, R, S อยู่บนวงกลมวง
เดยี วกนั

4. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC ซึ่งมี M เป็นจุดก่ึงกลางด้าน BC ให้ l1 และ l2 เป็น
เส้นตรงซึ่งผ่านจุด B และ C และต้ังฉากกับด้าน BC เส้นตรงผ่านจุด M และตั้งฉากกับด้าน
AB ตัดด้าน AB และ l1 ทจ่ี ุด D, E ตามลาดับ เส้นตรงผ่านจุด M และตั้งฉากกับด้าน AC
ตัดดา้ น AC และ l2 ทีจ่ ดุ F,G ตามลาดบั จงแสดงวา่ D, E, F,G อยบู่ นวงกลมเดยี วกัน

5. กาหนดรูปสี่เหล่ียมผืนผ้า ABCD ซึ่งมี BC  2AB ให้ E เป็นจุดก่ึงกลางด้าน BC และ P
เป็นจุดบนด้าน AD จากจุด A ลากไปตั้งฉาก BP ท่ีจุด F และจากจุด D ลากไปตั้งฉาก
CP ทีจ่ ดุ G จงแสดงว่า E, F, P,G อย่บู นวงกลมเดยี วกัน

6. กาหนดรปู สามเหลีย่ ม ABC ใหเ้ ส้นแบง่ ครึง่ มุม A ตดั ด้าน BC และวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม
ABC ที่จุด D และ M ตามลาดับ ให้  เป็นวงกลมซึ่งมีจุด M เป็นจุดศูนย์กลาง และรัศมี
BM เส้นตรงผา่ นจุด D ตัดวงกลม  ทจ่ี ดุ P,Q จงแสดงว่า AD แบง่ ครงึ่ มมุ PAQ

7. กาหนด AB ซ่ึงไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ให้ A1B1 และ A2B2 เป็นคอร์ดซ่ึงผ่านจุด
กึ่งกลางของ AB เส้นสัมผัสวงกลมท่ีจุด A1 และ B1 ตัดกันที่จุด C1 และเส้นสัมผัสวงกลมท่ีจุด
A2 และ B2 ตัดกันท่ีจุด C2 จงแสดงว่า C1C2 || AB

8. กาหนดรูปสามเหล่ียมมุมแหลม ABC ซ่ึงมี  เป็นวงกลมล้อมรอบ ให้เส้นแบ่งคร่ึงมุม B ตัด
AC และวงกลม  ท่ีจุด D และ E ตามลาดับ เส้นตรงผ่านจุด E และตั้งฉากกับด้าน BC
ตัดวงกลม  ท่จี ุด F เสน้ ตรง EF ตัดดา้ น AC ท่ีจุด G จงแสดงวา่ BG  AF

9. กาหนดรูปสี่เหลี่ยม ABCD ซ่ึงมี BD แบ่งคร่ึงมุม ABC ให้วงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม
ABC ตดั ด้าน AD และ CD ทจ่ี ดุ M และ N ตามลาดับ เส้นตรงผ่านจุด D และขนานกับ
AC ตัดเส้นตรง BC และ AB ท่ีจุด P และ Q ตามลาดับ จงแสดงว่า M, N, P,Q อยู่บน
วงกลมเดยี วกนั

10. กาหนด ABC รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมี C  90 และ G เป็นจุดเซนทรอยด์ ให้ P เป็นจุด
บนรงั สี AG โดยท่ี CQB  ABC สมมตวิ ่า วงกลมลอ้ มรอบรูปสามเหล่ียม AQG และ BPG
ตัดดันอกี คร้ังท่ีจดุ R จงแสดงวา่ A, B, R อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ศูนย์โอลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 48

บทท่ี 4

รูปหลายเหล่ียม

ในบทนี้จะกล่าวถึงสมบัติต่าง ๆ ของรูปหลายเหลี่ยม โดยเน้นที่รูปสี่เหล่ียมชนิดต่าง ๆ เช่น รูป
สี่เหล่ียมด้านขนาน รูปส่ีเหล่ียมคางหมู รูปส่ีเหล่ียมรูปว่าว เป็นต้น ผู้อ่านได้พบสมบัติบางประการของรูป
สี่เหล่ียมมาจากบทก่อนหน้า เช่น สมบัติของรูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน และรูปสี่เหลี่ยมซ่ึงมีวงกลมล้อมรอบได้
สุดทา้ ยจะกลา่ วถึงการประยุกตใ์ ช้สมบตั ิของรูปหลายเหลี่ยมในการแกป้ ัญหาทางเรขาคณิต

4.1 รปู หลายเหลยี่ มชนดิ ต่าง ๆ

โดยท่ัวไป รูป n -เหลี่ยม คือ รูปทรงทางเรขาคณิตท่ีเกิดจากการนาส่วนของเส้นตรง n เส้น มา
เชอ่ื มกันเป็นรปู ปดิ จะเรียกจุดตอ่ ของแต่ละเส้นว่า จดุ ยอด และสว่ นของเส้นตรง ว่า ดา้ น ของรปู n -เหลี่ยม

1. รปู หลายเหลี่ยมนูน ไดแ้ ก่ รปู หลายเหลี่ยมซงึ่
มมี มุ ภายในทกุ มุมนอ้ ยกว่า 180 องศา
จากรปู ABCDE เป็นรูป 5-เหลีย่ มนนู
แต่ PQRS ไม่ใชร่ ูปสีเ่ หลี่ยมนนู

2. รูปสี่เหลี่ยมซึง่ มวี งกลมลอ้ มรอบได้ (Cyclic Quadrilateral)
ได้แก่ รูปส่ีเหลี่ยมซ่งึ มวี งกลมผา่ นจุดยอดท้งั ส่ีได้
รปู สีเ่ หลย่ี ม ABCD มวี งกลมลอ้ มรอบได้

ก็ตอ่ เม่อื A C 180 หรือ B  D 180

ก็ต่อเมื่อ BAC  BDC

3. รูปสี่เหล่ยี มดา้ นขนาน (Parallelogram)
ได้แก่ รปู สเ่ี หลย่ี มซ่ึงมดี า้ นตรงขา้ มขนานกัน
จากรูป ABCD เปน็ รปู ส่ีเหลยี่ มดา้ นขนาน
ซึ่งมี AB || CD และ BC || AD

- รูปสเ่ี หลี่ยม ABCD จะเปน็ รูปสเี่ หลยี่ มด้านขนาน
กต็ อ่ เมื่อ ด้านตรงข้ามมีความยาวเทา่ กัน
- รูปสีเ่ หลย่ี ม ABCD จะเปน็ รูปส่เี หลย่ี มดา้ นขนาน
ก็ต่อเม่ือเส้นทแยงมมุ AC และ BD แบ่งครึง่ ซ่งึ กนั และกนั

4. รปู ส่ีเหลีย่ มผืนผ้า (Rectangle) คือรูปส่เี หลี่ยมด้านขนาน
ซง่ึ มมี มุ ภายใน เท่ากบั 90 องศา

5. รปู ส่เี หลี่ยมจตั รุ สั (Square) คือรปู สเ่ี หลยี่ มผนื ผา้
ซง่ึ ดา้ นทกุ ดา้ นยาวเทา่ กนั

ศนู ย์โอลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา