14.เอกสารประกอบการบรรยาย เรขาคณิต ประจำปี พ.ศ. 2562

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 49

6. รูปสเ่ี หล่ยี มขนมเปียกปนู (Rhombus)
ไดแ้ ก่ รูปส่ีเหลีย่ มซ่งึ มดี า้ นเท่ากนั ทุกดา้ น

7. รปู สี่เหลย่ี มรูปว่าว (Kite) ได้แก่ รปู ส่ีเหลี่ยมซ่ึงมีด้านติดกัน
ยาวเท่ากันอย่างน้อยหน่งึ ดา้ น
- รปู ส่เี หลยี่ ม ABCD จะเป็นรปู สี่เหล่ยี มรปู ว่าว
ก็ต่อเมื่อ เส้นทแยงมมุ ตั้งฉากซ่งึ กันและกนั

8. รปู สเี่ หลย่ี มคางหมู (Trapezoid) ได้แก่ รูปส่เี หลย่ี ม
ซ่ึงมีด้านขนานกันเพียงคูเ่ ดยี ว
จะเรียกด้านท่ขี นานกนั ว่า ฐาน ของรูปส่เี หลี่ยมคางหมู

9. รูปส่ีเหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว (Isosceles Trapezoid)
ได้แก่ รปู สี่เหลย่ี มคางหมูซ่ึงมดี ้านท่ีไม่ขนานกนั ยาวเทา่ กัน
- รูปสเี่ หล่ียมคางหมู เป็นรูปส่ีเหล่ยี มคางหมูหนา้ จว่ั
ก็ต่อเมื่อ ABC  BCD กต็ ่อเม่ือ AC  BD

10. รูป n -เหล่ยี มนูน
จะเป็นรูป n -เหลย่ี มปกติ (Regular n -gon)
ถ้ารปู n -เหล่ียมมดี ้านเทา่ กันทกุ ด้าน และ
มุมภายในเทา่ กันทุกมุม
จากรูป ABCDEF เปน็ รูปหกเหลี่ยมปกติ
- รปู สี่เหลี่ยมปกติ มีวงกลมล้อมรอบได้เสมอ

ศูนยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 50

ตัวอยา่ ง 4.1.1 กาหนดรูปส่ีเหล่ียมคางหมูหน้าจ่ัว ABCD ซ่ึงมี AD || BC ให้ P,Q, R, S เป็นจุด
กึ่งกลางด้าน AD, AB, BC,CD ตามลาดับ จงแสดงว่า PQRS เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนม
เปียกปูน

ตัวอยา่ ง 4.1.2 กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC ซึ่งมีจุด H เป็นจุดออร์โทเซนเตอร์ BE และ
CD เป็นส่วนสูง ให้ P,Q, R, S เป็นจุดก่ึงกลางด้าน BH,CH, AC, AB ตามลาดับ

จงแสดงวา่ PQRS เป็นรปู สีเ่ หลี่ยมผืนผา้

ศนู ย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 51

ตวั อย่าง 4.1.3 กาหนดวงกลม C1 และ C2 ซึ่งมี O1 และ O2 เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมตามลาดับ

ให้วงกลม C1 ตัดวงกลม C2 ที่จุด A, B เส้นแบ่งครึ่งมุม O1 AO2 ตัดวงกลม C1 และ
C2 อีกครั้งทจี่ ดุ C และ D ตามลาดบั ให้ O1C ตดั O2D ที่จดุ P จงแสดงวา่

1. O1PO2A เป็นรูปส่เี หลีย่ มด้านขนาน
2. O1BPO2 เป็นรูปสเี่ หล่ยี มคางหมูหน้าจ่วั

ศนู ย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 52

แบบฝกึ หัด 4.1

1. รูปสเ่ี หลย่ี มรปู วา่ ว คือรปู สีเ่ หล่ยี มนูนมีดา้ นท่ีตดิ กนั ยาวเท่ากนั สองคู่
จงแสดงว่ารูปส่ีเหลี่ยม ABCD เป็นส่ีเหล่ียมรูปว่าว ก็ต่อเมื่อ เส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งเป็นเส้นแบ่ง
คร่ึงตัง้ ฉากของเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนง่ึ

2. จงแสดงว่า รูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD(AD || BC) จะเป็นรูปส่ีเหล่ียมคางหมูหน้าจ่ัว ก็ต่อเมื่อ

ABCD มวี งกลมล้อมรอบได้ กต็ ่อเม่อื AC  BD
3. กาหนดรปู ส่เี หล่ียมคางหมู ABCD(AD || BC) ให้ M และ N เปน็ จดุ บนด้าน AB และ CD

ตามลาดบั จงแสดงว่า MN || BC และ MN  1 ( AD  BC) กต็ ่อเมื่อ M และ N เป็นจุดก่ึงกลาง
2

4. กาหนดวงกลม C1 และ C2 ซึ่งตัดกันท่ีจุด M และ N ให้เส้นสัมผัสร่วม (ซ่ึงอยู่ใกล้ M

มากกว่า N ) สัมผสั วงกลม C1 และ C2 ทีจ่ ดุ A และ B ตามลาดับ เส้นตรงผ่านจุด M และ

ขนานกับ AB ตัดวงกลม C1 และ C2 ที่จุด C และ D ตามลาดับ เส้นตรง AC ตัดเส้นตรง

BD ท่จี ุด E จงแสดงวา่ ABEM เปน็ ส่ีเหลี่ยมรูปว่าว

5. กาหนดรปู ส่ีเหลี่ยมนูน ABCD ซง่ึ ไม่มีด้านคู่ใดขนานกัน ให้เส้นตรง AB ตัดเส้นตรง CD ที่จุด

N เสน้ ตรง AD ตดั เสน้ ตรง BC ทีจ่ ดุ M ให้เสน้ แบ่งคร่งึ มมุ AMB ตัดด้าน AB และ CD

ที่จุด P และ R ตามลาดับ เส้นแบ่งครึ่งมุม BNC ตัดด้าน AD และ BC ที่จุด S และ Q

ตามลาดับ จงแสดงว่า PQRS เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ก็ต่อเมื่อ รูปสี่เหลี่ยม ABCD มี

วงกลมล้อมรอบได้

6. กาหนดรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัส ABCD ให้ E เป็นจุดบนเส้นทแยงมุม BD สมมติว่า P และ Q

เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม ABE และ ADE ตามลาดับ จงแสดงว่า APEQ

เป็นรูปสเี่ หลีย่ มจัตุรสั

7. กาหนดรูปสี่เหลี่ยมนนู ABCD ใหเ้ ส้นแบ่งครงึ่ ต้ังฉาก AC ตัดเส้นแบ่งครึ่งต้ังฉาก BD ที่จุด P

ซ่งึ อยู่ภายในรปู ส่เี หลีย่ ม ABCD เส้นแบง่ คร่ึงมุม APB, BPC,CPD และ DPA ตัดด้าน AB,

BC,CD และ AD ที่จุด K, L, M และ N ตามลาดับ จงแสดงว่า KLMN เป็นรูปส่ีเหล่ียม

ด้านขนาน
8. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม PBC โดยท่ี PB  PC ให้จุด A และ D เป็นจุดบนด้าน PB

และ PC ตามลาดับ จุด M , N เป็นจุดก่ึงกลางของด้าน BC และ AD ตามลาดับ ให้เส้นตรง

AC และ BD ตัดกันท่ีจุด O จากจุดO ลากไปต้ังฉาก AB และCD ท่ีจุด E และ F ตามลาดับ
จงแสดงว่า EMFN เป็นรูปส่เี หลย่ี มรูปว่าว
9. กาหนดรูปสี่เหลี่ยมนูน ABCD ให้ E และ F เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB และ BC ตามลาดับ
DE และ DF ตัดเส้นทแยงมุม AC ท่ีจุด M และ N ตามลาดับ ถ้า AM  MN  NC
แล้วจงแสดงว่า ABCD เป็นรูปสเ่ี หลยี่ มดา้ นขนาน
10. กาหนด ABCDE เป็นรูปห้าเหลี่ยมนูน ซึ่งมี BC  CD  DE และเส้นทแยงมุมทุกเส้นขนาน
กับด้านใดดา้ นหนึง่ ของหา้ เหลีย่ ม ABCDE จงแสดงวา่ ABCDE เปน็ รปู หา้ เหลยี่ มปกติ

ศูนย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 53

4.2 สมบัตขิ องรูปหลายเหลยี่ มในการแกป้ ัญหาทางเรขาคณติ

ต่อไปจะกล่าวถึงการประยุกต์ใช้สมบัติของรูปหลายเหล่ียมชนิดต่าง ๆ ในการแก้ปัญหาทาง
เรขาคณิต
ตวั อยา่ ง 4.2.1 กาหนดรูปสามเหล่ยี มมุมแหลม ABC ซ่ึงมีจุด H เป็นออร์โทเซนเตอร์ BD และ CE

เป็นส่วนสูง ให้ M และ N เป็นจุดกง่ึ กลางของ BC, AH ตามลาดับ จงแสดงว่า MN
ตั้งฉากกบั DE

ตวั อย่าง 4.2.2 กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC ซ่งึ มจี ดุ H เปน็ จุดออรโ์ ทเซนเตอร์ ให้ AP เป็น
เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ ABC ถ้า M เป็นจุดก่ึงกลางของด้าน BC

แล้ว จงแสดงว่า H, M, P อยูบ่ นเสน้ ตรงเดยี วกนั

ตวั อยา่ ง 4.2.3 กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซ่ึงมีมุม A  90 ให้ D, E เป็นจุดก่ึงกลางด้าน AB
และ AC ตามลาดับ และ F เป็นจุดบนด้าน BC โดยที่ AF  BF เส้นตรงผ่านจุด
F ขนานกบั ดา้ น AB ตดั DE ทจ่ี ดุ G จงแสดงวา่ BAG  90

ศนู ย์โอลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 54

ตวั อยา่ ง 4.2.4 กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซ่ึงมีวงกลมแนบในสัมผัสด้าน BC,CA และ AB ที่จุด
D, E, F ตามลาดบั ใหเ้ ส้นตรง AD ตัดวงกลมแนบในอีกครั้งที่จุด P, PB และ PC
ตัดวงกลมแนบในอีกคร้ังท่ีจุด Q และ R ตามลาดับ ถ้า AP  PD แล้ว จงแสดงว่า

QE  RF

บางครั้งเราตอ้ งสร้างรูปส่ีเหลี่ยมชนิดต่าง ๆ ข้ึนเองเพือ่ ชว่ ยในการแกป้ ัญหา ดงั ตวั อย่างต่อไปนี้
ตวั อย่าง 4.2.5 กาหนดรปู สี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD ให้ P และ Q เป็นจุดบนด้าน BC,CD ตามลาดับ

โดยที่ BP  DQ  PQ จงหาค่ามุม PAQ

ตัวอยา่ ง 4.2.6 กาหนดรปู สามเหลยี่ ม ABC ซ่ึงมมี มุ B  70 ให้ P เป็นจุดภายในรูปสามเหลี่ยม โดย
ท่ี PC  AB, PAC  44 และ PCA  26 จงหามมุ PAB

ศูนย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 55

แบบฝึกหัด 4.2

1. กาหนดรปู สามเหลย่ี มมมุ แหลม ABC ซึ่งมี D, E, F เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AC, AB, BC ตามลาดับ

ให้ BG เป็นส่วนสูง จงแสดงวา่ EGF  EDF
2. กาหนดรปู สามเหลยี่ ม ABC ให้ 1 เปน็ วงกลม ซง่ึ สมั ผัสเสน้ ตรง AB และ AC ท่ีจุด A และ

C ตามลาดับ 2 เป็นวงกลมซึ่งผ่านจุด B และสัมผัสเส้นตรง AC ท่ีจุด C ถ้าวงกลม 1
และ 2 ตดั กันทจ่ี ุด D แล้วจงแสดงวา่ เส้นตรง AD แบ่งครง่ึ BC
3. กาหนด ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมที่มีวงกลมล้อมรอบได้ ให้วงกลมซ่ึงมี AB เป็นเส้นผ่าน
ศูนย์กลาง ตัด AC และ AD ที่จุด P และ Q ตามลาดับ วงกลมซึ่งมี CD เป็นเส้นผ่าน
ศูนยก์ ลาง ตัด BD และ AD ท่ีจุด R และ S ตามลาดับ จงแสดงว่า PS  QR
4. กาหนดวงกลม 1 และ2 ซึ่งอยู่ภายในวงกลม  ให้วงกลม 1 สัมผัส  ท่ีจุด A วงกลม
2 สัมผัส  ที่จุด B และวงกลม 1 ตัด 2 ที่จุด C และ D สมมติว่า C หรือ D อยู่บน
เส้นตรง AB แล้ว จงแสดงว่า r1  r2  r เมื่อ r1, r2, r เป็นรัศมีของวงกลม 1,2 และ 
ตามลาดบั
5. กาหนดรปู สามเหลีย่ ม ABC ซงึ่ มี G เป็นจดุ เซนทรอยด์ และ D เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AC
เส้นตรงผา่ นจดุ G และขนานกับ BC ตดั ดา้ น AB ที่จุด E จงแสดงว่า AEC  DGC ก็ต่อเมื่อ

C  90

6. กาหนดส่วนของเส้นตรง AB ให้ C เป็นจุดบน AB โดยที่ AC  BC สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ACPQ และ BCRS บนดา้ น AB(QAC  RCB  90 ) ให้เสน้ ตรง BR ตัด PQ ที่จุด M
เส้นตรงผ่านจุด P ขนานกับเส้นตรง BM ตัด BS ที่จุด N จงแสดงว่า AM  MN และ

AM N  90

7. กาหนดรปู สามเหลย่ี ม ABC ให้ D เป็นจุดบนรังสี BC โดยที่ CD  BC (จุด C อยู่ระหว่าง
B, D ) และจดุ E เปน็ จดุ บนรงั สี CA โดยท่ี AE  2AC (จุด A อยู่ระหว่าง E,C ) สมมติว่า
AD  BE แลว้ จงแสดงว่า ABC เป็นรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก

8. กาหนดวงกลมสองวง 1 และ 2 ซ่ึงมีจุด O1 และ O2 เป็นจุดศูนย์กลางตามลาดับ ให้วงกลม
1 และ2 ตัดกันท่ีจุด A, B รังสี O1B ตัดวงกลม 2 อีกครั้งท่ีจุด F รังสี O2B ตัดวงกลม
1 อีกคร้ังท่ีจุด E ให้เส้นตรงซ่ึงผ่านจุด B และขนานกับ EF ตัดวงกลม 1 และ 2 ที่จุด
M และ N ตามลาดบั จงแสดงว่า MN  AE  AF

9. กาหนดรปู สามเหลี่ยม ABC ซ่งึ มี AB  AC และ  เป็นวงกลมล้อมรอบ ให้เส้นส่วนสูงจากจุด
A ตดั ด้าน BC ที่จุด D และวงกลม  ท่ีจุด P วงกลมซ่ึงผ่านจุด P และสัมผัสเส้นตรง BC
ทจ่ี ดุ D ตัดวงกลม  อกี คร้งั ทีจ่ ุด Q สมมตวิ ่า PQ  DQ จงแสดงว่า BD  AD  DC

10. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC ซึ่งมี AB  AC ให้วงกลม  เป็นวงกลมล้อมรอบรูป
สามเหลี่ยม ABC ซ่งึ มีจุดO เปน็ จุดศูนยก์ ลาง ให้ D เป็นจุดบนด้าน BC โดยท่ี BAD  C AO
เส้นตรง AD ตัดวงกลม  อีกครั้งท่ีจุด E ถ้า M , N และ P เป็นจุดก่ึงกลาง BE,OD และ
AC ตามลาดับ จงแสดงว่า M, N, P อยูบ่ นเสน้ ตรงเดยี วกัน

ศนู ย์โอลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 56

แบบฝึกหดั โจทยร์ ะคน 1

1. ให้จดุ P เป็นจุดภายในรปู สเ่ี หลยี่ ม ABCD ใด ๆ ลาก PL, PM, PN และ PK ต้งั ฉากกบั BC,CD,
DA และ AB ตามลาดับ จงพิสจู นว์ ่า AN2  BK2  CL2  DM 2  AK2  BL2  CM 2  DN2

2. ให้รูปสีเ่ หล่ยี มผืนผ้า ABCD มี AM , CN  BD ที่ M, N จงพิสจู นว์ ่า BM 2  BN2  DM 2  DN2

3. ให้ ABCD เป็นรปู สี่เหลย่ี มคางหมู AB || CD และเส้นทแยงมมุ ตัดกันท่จี ดุ O

จงพิสูจน์ว่า (OA)(OD) = (OB)(OC) และถ้า AB = 2CD แลว้ OA  OB 2
OC OD

4. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มบรรจใุ นวงกลม O และ D เปน็ จุดกง่ึ กลาง BC ลาก DO ไปพบ AC ท่ี E
จงพสิ จู นว์ า่ A, B, O, E เป็นจุดในวงกลมเดยี วกนั

5. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสบรรจุในวงกลม และ P เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้ง CD จงพิสูจน์ว่า
PAB เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จวั่

6. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าบรรจุในวงกลม ถ้า P เป็นจุดใด ๆ บนส่วนโค้ง AC ลาก AP เลยไป

พบส่วนต่อของ BC ท่ี Q และลาก BP ตัด AC ที่ R จงพิสูจน์ว่า ABQ และ ABR มีมุมเท่ากัน
มมุ ต่อมุม

7. ให้ ABCD เป็นรูปส่เี หลย่ี มคางหมู AB || CD , E เปน็ จดุ ก่งึ กลางของ CD , AC ตดั กบั BE ท่ีจดุ F
และ AE ตดั กับ BD ทจ่ี ดุ G จงพสิ ูจนว์ ่า GF || AB

8. ให้ D เป็นจุดใด ๆ บนฐาน BC ของรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า EB และ EC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมท่ี
ล้อมรอบรูปสามเหล่ียม ABD และรูปสามเหลี่ยม ACD ที่จุด B และจุด C จงพิสูจน์ว่าวงกลมผ่านจุด
A, B, E และ C ได้ และรูปสามเหลยี่ ม ABD และรปู สามเหล่ียม AEC มีมมุ เท่ากัน มุมต่อมมุ

9. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัวมี BC เป็นฐาน ถ้า XY เป็นเส้นเชื่อมด้านสองด้านและขนานกับ
ฐาน จงพิสูจนว์ ่า B, C, X, Y อยบู่ นเส้นรอบวงของวงกลมเดยี วกัน

10. จากรูป จงพสิ จู นว์ ่า A, B, C, D อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมเดยี วกนั

C
Dx

2x
AB

11. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมทบ่ี รรจุในวงกลม O โดยที่ D เป็นจดุ กงึ่ กลาง BC ลาก DO ไปพบ AC
ที่ E จงพิสูจน์ว่า A, B, O, E เป็นจุดในวงกลมเดยี วกัน

ศูนย์โอลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 57

A

12. ให้ ABC เปน็ รูปสามเหลีย่ มที่มีเส้นแบ่งคร่ึง Bˆ,Cˆ B M C
N K
แบบภายในพบกนั ที่จุด M และเส้นแบ่งครึ่ง Bˆ,Cˆ

แบบภายนอกพบกนั ท่ี N ดงั รูป
จงพิสูจน์ว่า B, M, C, N อยู่บนเส้นรอบวงเดยี วกนั

D

13. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลีย่ มดา้ นเทา่ โดยมี M เปน็ จดุ ทอี่ ยใู่ น

ABC และ AMN เป็นสามเหลยี่ มดา้ นเท่าอีกรปู หน่ึง
ตอ่ BM ไปพบกับ CN ท่จี ดุ R จงพิสจู น์ว่า A, R, N, M เป็น Concyclic

14. ให้ AB เป็นคอร์ดของวงกลม ซึ่งมี O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม และ P เป็นจุดใด ๆ บนส่วนโค้ง AB

ต่อ AP ไปพบกับเส้นผ่าศูนย์กลางซ่ึงตั้งฉากกับคอร์ด AB ที่จุด M จงพิสูจน์ว่า B, O, P, M เป็น

Concyclic R

15. วงกลมสองวงตัดกันท่ี A, B ลากส่วนของเสน้ ตรงผ่าน A M N
ไปตดั เสน้ รอบวงท่ี P และ Q ลากเส้นจาก P และ Q B
ไปพบ AB ท่ี R ตดั เสน้ รอบวงที่ M และ N ดังรปู
จงพสิ ูจน์วา่ B, M, R, N เป็น Concyclic

P AQ

16. ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ยี ม และ AD ตัง้ ฉาก BC ให้ AD เปน็ เสน้ ผา่ นศนู ย์กลางเขยี นวงกลมตัด
AB, AC ที่ M, N ดงั รปู จงพิสูจน์วา่ B, C, N, M เปน็ Concyclic

A

N
M

BD C

17. ให้ PQ เป็นเส้นผ่านศนู ย์กลางของวงกลม PX, PY เป็นคอรด์ สองคอร์ด M
X
ถ้าต่อ PX, PY ไปพบกบั เส้นสมั ผสั ซึง่ สัมผัสวงกลมที่ Q ที่ M, N ดงั รูป
Q
จงพสิ ูจน์วา่ X, Y, N, M เป็น Concyclic P

Y

N

ศูนย์โอลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 58

แบบฝึกหดั โจทยร์ ะคน 2

1. วงกลมสองวงสัมผัสกันภายในท่ีจุด O จุด A อยู่ภายนอกวงกลมทั้งสอง โดยที่ AO และ AP สัมผัส
วงกลมวงเลก็ ที่จดุ O และ P ตามลาดบั ถ้า AP ตัดวงกลมวงใหญท่ ่จี ดุ T และต่อ AP ไปตดั เส้นรอบ
วงที่จดุ S จงพิสจู น์วา่ TOˆP  SOˆP

2. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมแนบในวงกลมท่มี ี AB
เป็นเส้นผ่านศนู ย์กลาง AP และ BQ เป็น
เสน้ แบ่งคร่ึง BAˆC และ ABˆC ตามลาดบั
PM และ QN ตั้งฉากกับ AB ทจี่ ดุ M และ N ตามลาดบั
จงแสดงวิธีหาขนาดของ MCˆN พร้อมท้งั ให้เหตุผล

3. ให้ F เป็นจุดบนด้าน AB ของรูปสามเหล่ียม ABC ถ้า D เป็นจุดตัดของด้าน BC กับเส้นตรงท่ีลาก
จากจุด A และขนานกับด้าน FC ในทานองเดียวกันให้ E เป็นจุดตัดของด้าน CA กับเส้นตรงท่ีลาก
จากจดุ B และขนานกับดา้ น FC จงพิสูจนว์ ่า 1  1  1

CF AD BE

4. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน ต่อด้าน DA ไปทาง A ไปยังจุด P และให้ PC ตัดด้าน AB ที่
จุด Q และดา้ น DB ท่ี R ถา้ PQ = 525 และ QR = 80 จงหาความยาวของ RC

5. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมี A เป็นมุมฉาก ถ้า D และ F เป็นจุดอยู่บนด้าน AC และ BC
ตามลาดบั โดยท่ี AF  BC และ BD = DC = FC = 3 จงหาความยาวของ AC

6. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี Aˆ  Bˆ  90 และ BC + CA = 2AB ถ้า cosC  m เม่ือ

n

ห.ร.ม. (m, n) = 1 จงหา m + n

7. ใหร้ ูปสามเหล่ียมรปู หนง่ึ มีเส้นมธั ยฐานยาว 3, 4 และ 5 หนว่ ย จงหาความยาวของด้านทสี่ ั้นท่สี ุด

8. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าลากเส้นตรงจากจุดยอดไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมที่
เกดิ ขึ้นท้ังสองรปู จะคลา้ ยกัน และคล้ายกับรูปเดิมดว้ ย

9. ให้จุด P แบ่งด้าน BC ของรูปสามเหล่ียม ABC ด้วยอัตราส่วน BP : PC = 1 : 2 ถ้า ABˆC  45
และ APˆC  60 จงหาขนาดของ ACˆP

10. จากรูป จงหาความยาวของ x

11. วงกลม C1 และวงกลม C2 ตดั กนั ทีจ่ ดุ P และ Q ซึ่งแตกตา่ งกัน ให้เสน้ ตรงท่ีผ่านจุด P ตัดวงกลม C1
และวงกลม C2 ที่จุด A และ B ตามลาดับ ให้ Y เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB และ QY ตัดวงกลม C1
และวงกลม C2 ทจี่ ดุ X และ Z ตามลาดบั จงพิสจู น์ว่า Y เป็นจดุ กึง่ กลางด้าน XZ

ศนู ย์โอลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 59

12. ให้ X, Y เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงซ่ึงตัดกันที่ A เส้นสัมผัสที่จุด A กับวงกลมท้ังสองพบ
วงกลมอกี คร้ังหนึง่ ที่ B, C ตามลาดบั ให้ P เป็นจดุ ทที่ าให้ PXAY เป็นรปู สี่เหลี่ยมด้านขนาน จงแสดง
ว่า P เปน็ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลมทลี่ อ้ มรอบรูปสามเหลย่ี ม ABC

13. ให้รูปสามเหล่ียม ABC มี O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมท่ีแนบใน โดยวงกลมนี้สัมผัสด้าน BC, CA
ท่จี ุด D, E ตามลาดบั จงแสดงว่า ถา้ BO ตดั DE ที่ G แลว้ AG  BG

14. ให้วงกลมสองวงมีจุดศูนย์กลางห่างกัน 13 หน่วย ถ้าวงกลมวงเล็กและวงใหญ่ มีรัศมี 3 และ 8 หน่วย
ตามลาดบั จงหาความยาวของเสน้ สมั ผัสของวงกลมทงั้ สอง

15. ให้ O เปน็ จดุ ศูนยก์ ลางของวงกลม AB และ AC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด B และ C จงพิสูจน์ว่า
AO แบง่ คร่ึงและตงั้ ฉากกบั BC

16. ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม E เป็นจุดภายนองวงกลม ลากเส้นตรงสองเส้นจากจุด E ตัดเส้น

รอบ วงจุดแรกที่จุด B และ D และตัดเส้นรอบวงจุดท่ีสองที่ A และ C ตามลาดับ ถ้า BEˆD  30
และ BOˆD  50 จงหาขนาดของมมุ AOˆC

17. สร้างครึง่ วงกลมรูปหนึ่งบนด้าน AB ให้ X เป็นจุดใด ๆ บนด้าน AB ลากเส้นต้ังฉากกับด้าน AB ที่จุด
X ไปตดั กับเส้นรอบวงที่จุด M จงพสิ จู นว์ า่ (AX)(XB) = MX 2

18. จุด A เปน็ จดุ อยู่ภายนอกวงกลม ลากเสน้ ตรงตดั เส้นรอบวงจุดแรกท่ี B และจุดท่สี องที่ C
ถา้ AB = 5 และ BC = 8 ลาก AP สมั ผสั วงกลมที่ P จงหาขนาดของ AP

19. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มที่แนบในวงกลมท่ีมีรัศมี 5 น้ิว โดยมีด้าน AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง AB
เป็นคอร์ดทยี่ าว 6 น้วิ และ AD เป็นคอร์ดท่แี บง่ ครง่ึ BAˆC จงหาความยาวของ AD

20. ให้ a, b, c เป็นความยาวด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมที่มี r เป็นรัศมีของวงกลมแนบใน ra เป็นรัศมี

ของวงกลมแนบนอกท่อี ยตู่ รงขา้ มมุม A ดงั น้ัน rra = (s – a)(s – b) เมอ่ื s = abc
2

21. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมท่ีมี AB = 2, AC = 3 และ BC = 4 จงหาความยาวของรัศมีของวงกลม
ทมี่ ีจดุ ศูนยก์ ลางอยูท่ ดี่ า้ น BC และสมั ผสั ดา้ น AB และ AC

22. ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ียมมุมแหลม โดยที่ ACB  60 , AD ตั้งฉากกับ BC , BE ต้งั ฉากกบั
AC และ M เป็นจดุ กึง่ กลางของ AB จงพิสูจน์วา่ รูปสามเหลี่ยม DEM เป็นรปู สามเหล่ียมด้านเท่า

23. ให้รูปสามเหล่ียม ABC แนบในวงกลมท่ีมี O เป็นจุดศูนย์กลาง และด้าน BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
ถ้า AB = 3, AC = 4 จงหา (BO)(OC)

24. ให้รูปสามเหลี่ยมรูปหน่ึง รัศมีของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหล่ียมยาวเป็น 3.5 เท่าของรัศมีของวงกลม
แนบในรูปสามเหล่ียม ถ้าด้านสองด้านยาว 3 หน่วย และ 7 หน่วย และอีกด้านยาวเป็นจานวนเต็ม
หนว่ ย จงหาความยาวของดา้ นทเ่ี หลอื นั้น

25. ให้รปู สเ่ี หล่ียม ABCD มวี งกลมลอ้ มรอบได้ เสน้ แบง่ ครึ่งมมุ A, B, C, D ตดั กนั เกิดเป็นรูปส่เี หลี่ยมรูป
ใหมภ่ ายในรูปสี่เหลย่ี ม ABCD โดยจุดยอดเป็นจดุ ตัดของเสน้ แบง่ ครึ่งมมุ แต่ละรปู
จงพสิ ูจน์ว่า รปู สเี่ หล่ียมรูปใหมน่ ้ีมีวงกลมล้อมรอบได้

26. ให้วงกลมแนบในรปู สเ่ี หล่ยี ม ABCD สัมผัสดา้ น AB, BC, CD, DA ท่ีจุด P, Q, R, S ตามลาดบั

ศูนยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณติ ( G E O M E T R Y ) 60

ถ้า AP = 3, DS = 4, PB = 6 และ BC = 10 จงหา DC และ RC

27. ให้รูปส่ีเหล่ียม ABCD มีวงกลมล้อมรอบได้ ลาก CX ขนานกับด้าน AB ตัดเส้นทแยงมุม BD ท่ีจุด
X จงพิสจู น์วา่ AC เปน็ เส้นสัมผัสวงกลมที่ล้อมรอบรปู สามเหล่ยี ม CXD

28. ถ้ารูปสเ่ี หลี่ยมท่แี นบในวงกลมมีเส้นทแยงมุมต้ังฉากซึ่งกันและกันที่จุด P แล้วเส้นตรงท่ีลากผ่านจุด P
ไปต้งั ฉากกบั ด้านใดดา้ นหนงึ่ ยอ่ มแบ่งครึง่ ด้านตรงขา้ ม

29. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม ถ้าส่วนต่อของด้าน AB และ DC ตัดกันภายนอกวงกลมท่ี
จุด P จงพิสูจน์ว่า (AP)(PB) = (CP)(PD)

30. ให้ ABCD เปน็ รูปส่ีเหลยี่ มท่มี ีวงกลมแนบใน และเปน็ รูปสเ่ี หลี่ยมท่ีแนบในวงกลม และสัมผัสดา้ นทง้ั ส่ี
ที่จุด P, Q, R และ S ตามลาดบั จงพิสูจนว์ า่ PR และ QS ตัง้ ฉากซ่ึงกันและกัน

31. วงกลมจุดศนู ยก์ ลาง A และ B สองวงตัดกันที่จุด C และ D มี M เป็นจุดกึ่งกลางของ CD จงพิสูจน์
ว่า A, B, M อยู่บนเส้นตรงเดยี วกนั

32. ให้คอร์ด AB และ CD ตัดกนั ทจี่ ุด E จงพิสจู นว์ ่า รปู สามเหลย่ี ม ACE คลา้ ยกบั รปู สามเหลี่ยม BED

33. ให้ A, B, C, D เปน็ จุดบนวงกลม และ AB ขนานกบั CD จงพิสจู น์ว่า AC = BD และ AD = BC

34. กาหนดให้ E, F เป็นจุดบนส่วนโค้งครึ่งวงกลมท่ีมี BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง เส้นตรงที่ผ่าน BF ,
CE ตดั กันท่ี A และเสน้ ตรงท่ผี า่ น BE , CF ตัดกนั ที่ O จงแสดงว่า AO  BC

35. กาหนดใหร้ ปู สามเหล่ียม ABC และรปู สามเหล่ยี ม DEF เปน็ รปู สามเหล่ยี มคลา้ ยทีแ่ นบในวงกลม
เดยี วกนั จงแสดงว่า รูปสามเหลี่ยม ABC และรปู สามเหล่ียม DEF เทา่ กนั ทกุ ประการ

ศูนยโ์ อลิมปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณิต ( G E O M E T R Y ) 61

บรรณานุกรม

กมล เอกไทยเจริญ. (มปป). คู่มอื เตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.2 เลม่ รวม ค 203–ค 204. กรงุ เทพมหานคร :
เทพเนรมติ การพมิ พ์.

กมล เอกไทยเจริญ. (มปป). คู่มอื เตรยี มสอบ คณิตศาสตร์ ม.3 เล่มรวม ค 011–ค 012. กรงุ เทพมหานคร :
เทพเนรมิตการพมิ พ.์

ณฐั พนั ธ์ กิตสิ นิ . (มปป). เอกสารประกอบการอบรม : เรขาคณติ การอบรมคณะวิทยากรศูนย์โรงเรียน ขยาย
ผล สอวน. สาขาคณิตศาสตร์ ระหวา่ งวันที่ 24 ถงึ 27 มถิ นุ ายน 2557 (อดั สาเนา)

ณัฐพันธ์ กิติสนิ . (มปป). เอกสารประกอบการอบรม : เรขาคณิต การอบรมคณะวิทยากรศนู ยโ์ รงเรียน ขยาย
ผล สอวน. สาขาคณิตศาสตร์ ระหวา่ งวันท่ี 22 ถงึ 28 กรกฎาคม 2557 (อัดสาเนา)

ณฐั พันธ์ กิติสนิ . (2562). รา่ งเอกสารประกอบการอบรม ค่าย 1 สอวน วชิ าเรขาคณิต ฉบับแก้ไขวันท่ี 28
สงิ หาคม 2562 (อัดสาเนา)

ดารง ทิพยโ์ ยธา. (2551). คณติ ศาสตร์ปรนัย เล่มท่ี 32 : โลกเรขาคณิต (เสริมความรมู้ ุง่ สู่โอลิมปกิ
คณติ ศาสตร์). กรงุ เทพมหานคร : เทพเนรมติ การพมิ พ์.

ยพุ นิ พิพธิ กุล และอุษณยี ์ ลีรวฒั น.์ (2548). เรขาคณิต โครงการตาราวทิ ยาศาสตร์และคณติ ศาสตรม์ ลู นธิ ิ
สอวน. พิมพ์ครัง้ ที่ 2. กรงุ เทพมหานคร : บรษิ ทั ด่านสุทธาการพมิ พ์ จากัด.

วฒั นา เถาวท์ พิ ย.์ เอกสารประกอบการบรรยาย โครงการส่งเสรมิ โอลมิ ปิกวชิ าการฯ ศูนย์ สอวน.
มหาวทิ ยาลยั ขอนแกน่ ค่าย 1. (อัดสาเนา).

สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2552). หนังสอื เรยี นรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์
เล่ม 1 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 1 กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พืน้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบัน. (2553). หนงั สือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์
เลม่ 2 ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 1 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาข้ัน
พืน้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบัน. (2553). หนังสอื เรียนรายวชิ าพื้นฐาน คณติ ศาสตร์
เลม่ 1 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 1 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาข้ัน
พน้ื ฐาน พทุ ธศักราช 2551. พมิ พค์ รัง้ ที่ 2. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2553). หนังสือเรยี นรายวิชาพ้นื ฐาน คณติ ศาสตร์
เลม่ 1 ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 2 กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขนั้
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. พมิ พค์ รง้ั ท่ี 2. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2553). หนังสอื เรียนรายวิชาพนื้ ฐาน คณิตศาสตร์
เล่ม 2 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2 กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาข้นั
พืน้ ฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2554). หนงั สือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์
เลม่ 1 ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 3 กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขน้ั
พนื้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2554). หนงั สอื เรียนรายวิชาเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์
เลม่ 2 ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 3 กล่มุ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขัน้
พื้นฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

ศูนยโ์ อลิมปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา