เฉลยแบบฝึกทักษะ แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มที่ 3 เรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 5

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะ รหสั วิชา ค33201

คณติ ศาสตร์ ม.6

แคลคูลสั เบ้อื งตน้

เลม่ ท่ี

3

เรอ่ื ง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชัน

ครูผสู้ อน ครคู รรชิต แซ่โฮ่
ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการ

โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
สานักงานเขตพ้นื ที่การศึกษามธั ยมศึกษา เขต 15

กระทรวงศึกษาธิการ

ก

คำนำ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง แคลคูลัสเบ้ืองต้น จัดทาข้ึนเพ่ือใช้ประกอบการจัดกิจกรรม
การเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 รหัสวิชา ค33201 ช้ัน
มัธยมศึกษาปีท่ี 6 ซ่ึงสอดคล้องกับผลการเรียนรูและสาระการเรียนรูเพิ่มเติม กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช
2551 เป็นแบบฝึกทักษะท่ีใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ท่ีส่งเสริมให้ผู้เรียนเกิดการ
เปลี่ยนแปลงพฤติกรรมในการเรียนรู้ตามความสามารถของแต่ละคน เพื่อมุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีความรู้
ความเขา้ ใจในบทเรียนได้ดี ส่งเสริมความก้าวหน้าทางการเรียนรู้ที่มุ่งเน้นผู้เรียนเป็นสาคัญ มุ่งพัฒนา
และส่งเสริมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน ซ่ึงได้แก่ ความสามารถในการ
แก้ปัญหา การให้เหตุผลความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ฝึกให้ผู้เรียนทางานอย่างเป็นระบบ มีระเบียบวินัย
รอบคอบ มีความรบั ผดิ ชอบ ตระหนักในคุณคา่ และมเี จตคติทดี่ ีต่อวิชาคณิตศาสตร์ รวมท้ังตอบสนอง
สาระ มาตรฐานการเรยี นรู้และตวั ช้ีวดั ในรายวชิ าคณิตศาสตร์

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มนี้เป็นเฉลยเล่มท่ี 3 เรื่อง อนุพันธ์
ของฟังก์ชัน เพื่อให้การพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียนเป็นไปตามเป้าหมาย
ผู้เรยี นควรปฏิบตั ติ ามขน้ั ตอนในการใชแ้ บบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์อยา่ งครบถว้ น

ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างย่ิงว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มนี้ คงเป็น
ประโยชน์ต่อผู้เรียนในการเรียนรู้ สามารถนาผู้เรียนไปสู่จุดหมายตามศักยภาพ เป็นผู้ท่ีมีคุณลักษณะ
อันพึงประสงค์ นาความรู้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจาวันได้ และเป็นแนวทางสาหรับผู้ท่ีมีความสนใจ
ตอ่ ไป

ขอขอบพระคุณผู้อานวยการโรงเรียน คณะครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ผู้ท่ีมีส่วน
เก่ียวขอ้ งทกุ ท่าน ที่ได้อานวยความสะดวก เป็นกาลังใจ ให้ความช่วยเหลือ และให้การสนับสนุน และ
ขอขอบใจนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ทุกคนท่ีให้ความร่วมมือในกิจกรรมการเรียนรู้และทาให้แบบ
ฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์เลม่ นสี้ าเรจ็ ลุล่วงด้วยดี ขอขอบคณุ เป็นอย่างสงู ไว้ ณ โอกาสนี้

คุณค่าและประโยชน์ของแบบฝึกทักษะน้ี ผู้จัดทาขอมอบเป็นเคร่ืองบูชาพระคุณแด่บิดา
มารดา และบูรพาจารย์ ตลอดจนผู้มีพระคุณทุกท่าน ท่ีอบรมส่ังสอนประสิทธิ์ประสาทความรู้ทั้งปวง
แกผ่ ้จู ัดทา

ครรชิต แซโ่ ฮ่
ตาแหน่ง ครู วทิ ยฐานะ ครูชานาญการ

สารบัญ ข

เรอ่ื ง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คาอธบิ ายรายวิชา 1
หนว่ ยการเรยี นรู้ 2
โครงสรา้ งรายวชิ า 3
อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั 4
4
1. อตั ราการเปลี่ยนแปลง 4
กจิ กรรมอัตราการเปลีย่ นแปลง 8
แบบฝึกหัดอัตราการเปลีย่ นแปลง 11
11
2. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 14
กจิ กรรมอนพุ ันธข์ องฟังกช์ ัน 15
แบบฝึกหัดอนุพันธข์ องฟังกช์ นั 20
23
3. การหาอนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ ันพีชคณติ โดยใชส้ ูตร 25
แบบฝึกหัดการหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั พชี คณิตโดยใชส้ ตู ร 26
27
4. อนุพนั ธ์อันดับสงู 29
แบบฝึกหัดอนพุ ันธ์อันดับสูง 31
33
5. อนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชันประกอบ 33
แบบฝึกหัดอนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชันประกอบ 35
37
6. เสน้ สัมผสั เสน้ โค้ง 39
แบบฝกึ หัดเส้นสมั ผสั เสน้ โคง้ 44
47
7. การประยกุ ตข์ องอนุพันธ์ 48
7.1 การเคลอื่ นที่แนวตรง 52
แบบฝกึ หัดการเคร่ืองทแี่ นวตรง
7.2 คา่ สูงสุดและค่าต่าสดุ ของฟังก์ชัน
แบบฝึกหดั ฟงั ก์ชันเพิม่ และฟงั กช์ นั ลด
แบบฝกึ หดั ค่าสูงสดุ สัมพทั ธแ์ ละคา่ สูงสดุ สัมพทั ธ์
แบบฝึกหดั คา่ สงู สุดสมั บูรณแ์ ละค่าสงู สุดสัมบรู ณ์
7.3 โจทยป์ ญั หาเกี่ยวกบั ค่าสูงสดุ หรือคา่ ต่าสุด
แบบฝึกหดั โจทยป์ ญั หาเก่ียวกบั คา่ สูงสุดหรือคา่ ตา่ สดุ

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรื่อง อนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชนั 1

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 5 คาอธบิ ายรายวิชา รหสั วิชา ค33201
ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 6 ภาคเรียนท่ี 1 4 ชว่ั โมง/สปั ดาห์
80 ช่วั โมง/ภาคเรียน
2.0 หน่วยกติ

ศึกษา พรอ้ มทง้ั ฝึกทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์อนั ได้แก่ การแกป้ ญั หา การใหเ้ หตุผล
การสือ่ สาร การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชือ่ มโยงความรู้ตา่ ง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และ
เชอ่ื มโยงคณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อ่ืน ๆ และมีความคิดริเรม่ิ สร้างสรรค์ ในเนอ้ื หาสาระ ดังน้ี

ลาดับและอนุกรม ลาดับ ได้แก่ ความหมายของลาดับ ลาดับจากัดและลาดับอนันต์ ลาดับ
เลขคณิต ลาดับเรขาคณิตและลาดับฮาร์มอนิก ลิมิตของลาดับ อนุกรม ได้แก่ อนุกรมจากัดและอนุกรมอนันต์
อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต อนุกรมอนันต์ สัญลักษณ์แสดงการบวก และการประยุกต์ของลาดับและ
อนุกรม

แคลคูลัสเบื้องต้น ลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชันโดยใช้สูตร อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ เส้นสัมผัสเส้นโค้ง อนุพันธ์อันดับสูง การประยุกต์ของอนุพันธ์
ไดแ้ ก่ การเคล่อื นท่แี นวตรง ค่าสูงสุดและค่าตา่ สุด และโจทยป์ ัญหาเกยี่ วกับค่าสงู สดุ และค่าต่าสุด ปฏิยานุพันธ์และ
ปริพนั ธไ์ มจ่ ากดั เขต ปรพิ นั ธ์จากดั เขต พน้ื ทท่ี ่ปี ดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโค้ง

โดยจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ท่ีใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศึกษาค้นคว้าโดยปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป
รายงาน เพือ่ ใหม้ ีความรู้ความเขา้ ใจในเน้อื หา มที กั ษะการแก้ปญั หา การให้เหตุผลและนาประสบการณ์ด้านความรู้
ความคิด การใช้ทักษะชีวิต กระบวนการ และการใช้เทคโนโลยีที่ได้ไปใช้ในชีวิตประจาวันได้ตามหลักปรัชญาของ
เศรษฐกจิ พอเพยี ง รวมทัง้ ให้มีความรักชาติ ศาสน์ กษัตริย์ ซ่ือสัตย์สุจริต มีวินัย ใฝ่เรียนรู้ อยู่อย่างพอเพียง มุ่งมั่น
ในการทางาน รกั ความเปน็ ไทยและมีจิตสาธารณะ

การวัดและประเมินผล ใช้วิธีการที่หลากหลายตามสภาพเป็นจริงให้สอดคล้องกับเน้ือหาและทักษะที่
ต้องการวัด

ผลการเรียนรู้
1. ระบไุ ดว้ ่าลาดับทกี่ าหนดให้เป็นลาดับล่เู ข้าหรือลอู่ อก
2. หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณติ ได้
3. หาผลบวกของอนุกรมอนันต์ได้
4. เข้าใจและนาความรเู้ ก่ียวกับลาดับและอนกุ รมไปใช้
5. ตรวจสอบความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชนั ท่ีกาหนดให้ได้
6. หาอนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชนั พชี คณิตที่กาหนดให้และนาไปใช้แก้ปัญหาได้
7. หาปริพนั ธ์ไมจ่ ากดั เขตและจากดั เขตของฟังก์ชันพชี คณิตที่กาหนดให้ และนาไปใช้แกป้ ัญหาได้

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่ือง อนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั 2

รายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 5 หนว่ ยการเรียนรู้ รหสั วิชา ค33201
ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 6 ภาคเรียนท่ี 1 4 ช่วั โมง/สปั ดาห์
80 ชวั่ โมง/ภาคเรยี น
2.0 หนว่ ยกติ
ชั้นเรยี น/ภาคเรียน สาระการเรยี นรู้
จานวนชัว่ โมง
ม.6 1. ลาดบั และอนกุ รม 30
ภาคเรียนท่ี 1 1.1 ลาดบั
- ความหมายของลาดับ 50
- ลาดับเลขคณติ
- ลาดบั เรขาคณติ 80
- ลาดับฮาร์มอนิก
1.2 ลิมติ ของลาดบั อนันต์
1.3 อนกุ รม
- อนุกรมเลขคณติ
- อนุกรมเรขาคณติ
- อนกุ รมอนันต์
1.4 สญั ลกั ษณแ์ สดงการบวก
1.5 การประยกุ ตข์ องลาดบั และอนุกรม

2. แคลคูลสั เบ้ืองต้น
2.1 ลมิ ิตของฟงั ก์ชัน
2.2 ความตอ่ เน่ืองของฟงั กช์ ัน
2.3 อนุพันธ์ของฟังกช์ นั พีชคณิต
2.4 การหาอนุพันธข์ องฟงั ก์ชนั พีชคณติ โดยใช้สูตร
2.5 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ ันประกอบ
2.6 เสน้ สัมผัสเส้นโค้ง
2.7 อนุพันธอ์ ันดบั สูง
2.8 การประยุกต์อนุพนั ธ์
2.9 ปฏบิ านุพนั ธแ์ ละปริพนั ธ์ไม่จากัดเขต
2.10 ปริพันธ์จากัดเขต
2.11 พนื้ ท่ที ่ปี ิดลอ้ มด้วยเส้นโคง้

รวม

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอื่ ง อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชัน 3

รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 5 โครงสร้างรายวิชา รหสั วิชา ค33201
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 ภาคเรยี นที่ 1 4 ช่ัวโมง/สัปดาห์
80 ชัว่ โมง/ภาคเรียน
2.0 หนว่ ยกิต

ลาดับ ช่ือ ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้แกนกลาง เวลา นา้ หนกั
ท่ี หนว่ ยการเรียนรู้ (ชั่วโมง) คะแนน

1 ลาดบั และอนุกรม 1. ระบุไดว้ ่าลาดับท่ี ลาดับและอนุกรม ลาดับ ได้แก่ 30 45

อนนั ต์ กาหนดให้เป็นลาดับลู่เข้า ความหมายของลาดบั ลาดบั จากดั

หรอื ล่อู อก และลาดบั อนันต์ ลาดับ

2. หาผลบวก n พจน์แรก เลขคณิต ลาดับเรขาคณิตและ

ของอนกุ รมเลขคณติ และ ลาดับฮารม์ อนิก ลิมิตของลาดบั

อนุกรมเรขาคณติ ได้ อนุกรม ได้แก่ อนุกรมจากัดและ

3. หาผลบวกของอนุกรม อนกุ รมอนันต์ อนุกรมเลขคณิต

อนนั ตไ์ ด้ และอนุกรมเรขาคณิต อนกุ รม

4. เข้าใจและนาความรู้ อนนั ต์ สัญลกั ษณ์แสดงการบวก

เก่ียวกับลาดบั และ และการประยกุ ต์ของลาดับและ

อนุกรมไปใช้ อนุกรม

2 แคลคูลสั เบ้ืองตน้ 5. ตรวจสอบความตอ่ เน่อื ง แคลคูลสั เบือ้ งต้น ลิมิตของ 50 55

ของฟงั ก์ชนั ที่กาหนดให้ ฟังกช์ ัน ความต่อเนื่องของฟงั ก์ชนั

ได้ อนุพันธ์ของฟงั ก์ชนั การหา

6. หาอนุพันธข์ องฟงั กช์ นั อนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั โดยใช้สูตร

พีชคณิตที่กาหนดให้และ อนพุ ันธข์ องฟงั กช์ ันประกอบ เส้น

นาไปใชแ้ ก้ปัญหาได้ สัมผสั เสน้ โค้ง อนพุ ันธอ์ ันดบั สูง

7. หาปริพนั ธไ์ ม่จากัดเขต และการประยกุ ต์ของอนุพันธ์

และจากดั เขตของ ได้แก่ การเคล่ือนทแี่ นวตรง

ฟงั ก์ชันพชี คณติ ที่ คา่ สงู สุดและค่าตา่ สุด และโจทย์

กาหนดให้ และนาไปใช้ ปัญหาเกย่ี วกบั ค่าสูงสดุ และค่า

แกป้ ัญหาได้ ตา่ สดุ ปฏยิ านพุ นั ธ์และปรพิ นั ธไ์ ม่

จากดั เขต ปริพนั ธ์จากัดเขต พืน้ ที่

ท่ีปิดล้อมด้วยเสน้ โคง้

รวมตลอดภาคเรยี น 80 100

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่อื ง อนุพันธข์ องฟังก์ชัน 4

Mathematics อนุพันธ์ของฟงั กช์ ัน

KANARAS

1. อัตราการเปล่ียนแปลง

พจิ ารณาจากการทากิจกรรมต่อไปน้ี

กจิ กรรม
อัตราการเปลีย่ นแปลง

ในช่วงวันหยุดสุดสัปดาห์ ลิซ่าขับรถพาครอบครัวไปเที่ยวชายทะเล โดยที่เขาไม่ได้ขับด้วยอัตราเร็วคงท่ี
ตลอดเวลา ขับช้าบ้างเร็วบ้างข้ึนอยู่กับปัจจัยต่าง ๆ เช่น ปริมาณรถบนถนน สภาพถนน สภาพอากาศ เป็นต้น
ดังน้ันการบอกอัตราเร็ว จึงนิยมบอกเป็นอัตราเร็วเฉล่ียของการเดินทางทั้งหมดหรือบอกเป็นอัตราเร็วเฉล่ียใน
ช่วงเวลาที่สนใจ โดยอัตราเร็วเฉล่ียคืออัตราส่วนระหว่างระยะทางที่รถยนต์เคล่ือนที่ได้ต่อช่วงเวลาท่ีใช้ในการ
เคล่อื นท่ี

ตวั อยา่ งท่ี 1 ถ้าระยะทางท่ีรถยนต์เคล่ือนท่ีได้ (หน่วยเป็นกิโลเมตร) เมื่อเวลาผ่านไป t ชั่วโมง หาได้จาก
d(t)  20t2 เมอื่ t [0,2] จะสามารถหาอตั ราเร็วเฉลย่ี ในช่วงเวลาท่ีสนใจไดด้ ังน้ี

จากสมการทก่ี าหนด จะสามารถหาระยะทางทร่ี ถยนตเ์ คลือ่ นทีไ่ ด้ เมื่อเวลาผ่านไป 0, 0.5, 1, 1.5 ชัว่ โมง
ไดด้ งั ตาราง

เวลาทีผ่ า่ นไป (ชว่ั โมง) 0 0.5 1 1.5

ระยะทางท่ีรถยนต์เคลือ่ นท่ีได้ (กโิ ลเมตร) 0 5 20 45

จะได้ระยะทางทร่ี ถยนตเ์ คลือ่ นท่ีไดใ้ นชว่ งเวลาต่าง ๆ ไดด้ งั ตาราง

ช่วงเวลา (ชวั่ โมง) ระยะทางทร่ี ถยนตเ์ คลอื่ นท่ีได้ (กโิ ลเมตร)
t  0 ถึง t  0.5
t  0.5 ถึง t  1 50  5
t  1 ถึง t 1.5 20  5 15
45  20  25

และสามารถหาอัตราเรว็ เฉล่ียในชว่ งเวลาต่าง ๆ ไดด้ งั ตาราง

ช่วงเวลา (ชว่ั โมง) อัตราเร็วเฉลี่ย (กิโลเมตรตอ่ ชว่ั โมง)
t  0 ถงึ t  0.5
t  0.5 ถึง t  1 5  10
t  1 ถึง t 1.5 0.5  0
15  15  30
1 0.5 0.5
25  25  50
1.5 1 0.5

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรอ่ื ง อนุพันธ์ของฟงั ก์ชัน 5

อัตราเรว็ เฉลีย่ ทีห่ าไดข้ า้ งตน้ สามารถใชใ้ นการพิจารณาวา่ ในแตล่ ะชว่ งเวลาทีส่ นใจ รถยนตเ์ คลอ่ื นที่ได้ช้า
หรอื เรว็ เพียงใด

พจิ ารณาอัตราเรว็ เฉล่ยี ในชว่ งเวลาสน้ั ๆ ท่ใี กล้ t 1 ดงั ตารางต่อไปนี้

ช่วงเวลา (ช่วั โมง) อัตราเร็วเฉลย่ี (กิโลเมตรตอ่ ชั่วโมง)
t  1 ถึง t 1.1
t  1 ถงึ t 1.01 d (1.1)  d (1)  20(1.1)2  20(1)2  42
t  1 ถงึ t 1.001 1.11 1.11

d(1.01)  d(1)  20(1.01)2  20(1)2  40.2
1.011 1.011

d(1.001)  d(1)  20(1.01)2  20(1)2  40.02
1.0011 1.011

ถา้ h เป็นจานวนจริงท่ไี ม่เทา่ กับศูนย์ จะไดว้ ่าอัตราเรว็ เฉลย่ี ในช่วงเวลา t 1 ถึง t 1 h คือ

d (1 h)  d (1)  20(1 h)2  20(1)2
hh

= 20(1 2h  h2 )  20

h

= 40h  20h2  40  20h

h

นั่นคอื อตั ราเรว็ เฉล่ยี ในชว่ งเวลา t 1 ถึง t 1 h เมื่อ h  0 คือ…… 40  20h ………………กิโลเมตรตอ่ ชั่วโมง
จะเหน็ ได้ว่ายง่ิ ช่วงเวลาสนั้ ลง อัตราเรว็ เฉลี่ยขณะท่ี t 1 จะยงิ่ เข้าใกล้…… 40 ………………………กิโลเมตรต่อช่ัวโมง

ดังนั้น เมื่อน้อยลงจนเขา้ ใกล้ 0 ( h  0 ) จะได้ว่า อัตราเร็วเฉล่ียในช่วงเวลา t 1 ถึง t 1 h คอื

lim d(1 h)  d(1)  lim(40  20h)  40 กิโลเมตรตอ่ ช่วั โมง
h0 h h0

เรยี กคา่ นี้วา่ อตั ราเร็วของรถยนต์ ณ ขณะเวลา t 1 ซง่ึ ในทางปฏิบตั ิ ผู้ขัยรถยนต์สามารถทราบได้จากมาตรวัด

อตั ราเรว็ บนหน้าปดั รถยนต์ ณ ขณะนนั้

ตัวอย่างข้างต้นแสดงการหาอัตราเร็วเฉลี่ย ซึ่งคืออัตราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของระยะทางเทียบกับเวลา
ในช่วงเวลาท่ีสนใจ และการหาอตั ราเรว็ ขณะเวลาหน่งึ

ในกรณีท่วั ไป สามารถนิยามอตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี และอตั ราการเปล่ยี นแปลงขณะหนงึ่ ไดด้ งั นี้

บทนยิ าม ให้ f เปน็ ฟังก์ชนั และ a อยูใ่ นโดเมนของ f แลว้
1) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉล่ีย (Average rate of change) ของ f เทียบกับ x เม่ือค่า

ของ x เปลี่ยนจาก a เปน็ a  h คอื f (a  h)  f (a)

h

2) อัตราการเปลี่ยนแปลง (Instantaneous rate of change) ของ f เทียบกับ x ขณะท่ี

x  a คอื lim f (a  h)  f (a)

h0 h

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรือ่ ง อนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั 6

ตัวอย่างท่ี 1 กาหนดฟังก์ชนั y  f (x)  x2 3x จงหา
วิธที า 1) อัตราการเปลีย่ นแปลงเฉลีย่ ของ y เทียบกับ x เมอ่ื ค่าของ x เปลย่ี นจาก 3 เปน็ 3.2
2) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของ y เทยี บกับ x เม่ือค่าของ x เปลี่ยนจาก 3 เปน็ 3.1
3) อัตราการเปล่ยี นแปลงเฉล่ียของ y เทยี บกับ x เม่ือคา่ ของ x เปลี่ยนจาก 3 เป็น 3.01
4) อัตราการเปลย่ี นแปลงของ y เทยี บกับ x ขณะที่ x  3
จาก y  f (x)  x2 3x จะได้อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลย่ี ของ y เทยี บกบั x เมื่อค่าของ x

เปล่ยี นจาก a เปน็ a  h คอื f (a  h)  f (a) = ((a  h)2  3(a  h))  (a2  3a)

hh

= a2  2ah  h2  3a  3h  a2  3a

h

= 2a  h  3
1) อัตราการเปลีย่ นแปลงเฉลยี่ ของ y เทียบกับ x เมื่อคา่ ของ x เปลี่ยนจาก 3 เปน็ 3.2

เท่ากับ f (3  0.2)  f (3)  2(3)  0.2  3  3.2

0.2

2) อัตราการเปลีย่ นแปลงเฉลย่ี ของ y เทยี บกับ x เม่อื ค่าของ x เปลย่ี นจาก 3 เปน็ 3.1

เท่ากบั f (3  0.1)  f (3)  2(3)  0.1 3  3.1

0.1

3) อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลย่ี ของ y เทยี บกับ x เมือ่ ค่าของ x เปลี่ยนจาก 3 เปน็ 3.01

ตวั อย่างท่ี 2 เทา่ กับ f (3  0.01)  f (3)  2(3)  0.01 3  3.01

0.01

4) อัตราการเปล่ียนแปลงของ y เทยี บกบั x ขณะที่ x  3

เท่ากบั lim f (3  h)  f (3)  2(3)  0  3  3

h0 h

ในการสูบลมเข้าลูกบอลลูกหนึ่ง ถ้า V เป็นปริมาตรของลมในลูกบอล (มีหน่วยเป็นลูกบาศก์
เซนติเมตร) และ r เป็นความยาวของรัศมีของลูกบอล (มีหน่วยเป็นเซนติเมตร) โดยที่

V  4  r3 แลว้ จงหา

3

1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ยี ของปรมิ าตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูก
บอล เม่ือความยาวของรศั มเี ปลีย่ นจาก 6 เซนตเิ มตร เป็น 9 เซนตเิ มตร

2) อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลี่ยของปรมิ าตรของลมในลกู บอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูก
บอล เมื่อความยาวของรศั มีเปลย่ี นจาก r เซนติเมตร เป็น r  h เซนติเมตร

3) อตั ราการเปลย่ี นแปลงของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล
ขณะรศั มียาว 9 เซนติเมตร

วธิ ที า จาก V  4  r3 จะไดว้ ่า

3

1) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูก
บอล เม่ือความยาวของรัศมเี ปลี่ยนจาก 6 เซนตเิ มตร เป็น 9 เซนติเมตร คือ

V (9) V (6) = 4  (9)3  4  (6)3 = 4  (93  63)
33

96 3 9

=  4  (513)  4 (57)  228

9

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่อื ง อนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชนั 7

2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ียของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูก

บอล เม่ือความยาวของรัศมเี ปลีย่ นจาก r เซนตเิ มตร เปน็ r  h เซนตเิ มตร คือ

V (r  h) V (r) = 4  (r  h)3  4  r3 4 [(r  h)3  r3]
3 3
h h 3h

= 4 [r3  3r2h  3rh2  h3  r3]  4 [3r 2h  3rh2  h3]

3h 3h

= 4 [3r2  3rh  h2 ], h  0

3

3) อัตราการเปล่ียนแปลงของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล

ขณะรัศมียาว r เซนติเมตร คือ

lim V (r  h) V (r) = lim 4 [3r2  3rh  h2 ]  4 [3r2]  4 r2
h0 h h0 3 3

ดงั น้ัน อตั ราการเปลีย่ นแปลงของปรมิ าตรของลมในลูกบอลเทียบกบั ความยาวของรัศมีของลูก

บอล ขณะรัศมียาว 9 เซนติเมตร คอื 4 (9)2  324 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตรตอ่ เซนติเมตร

ขอ้ สงั เกต ในตัวอย่างน้ี อัตราการเปล่ียนแปลงเป็นจานวนบวกแสดงว่าเม่ือความยาวของรัศมีของลูก
บอลเพม่ิ ขึ้น ปริมาตรของลมในลูกบอลจะเพิ่มข้นึ

ตัวอยา่ งท่ี 3 ในการสูบน้าออกจากสระ หลักจากสูบน้าไป t นาที มีน้าเหลืออยู่ในสระ Q(t) ลูกบาศก์เมตร
วธิ ที า
โดยที่ Q(t)  6  t2 เมื่อ t [0, 2.4] จงหา

1) อตั ราการเปลีย่ นแปลงเฉล่ียของปริมาตรของนา้ ในสระเทียบกับเวลา เมื่อเวลาเปล่ียนจาก 0

เปน็ 2 นาที

2) อตั ราการเปลีย่ นแปลงเฉล่ียของปริมาตรของน้าในสระเทียบกับเวลา เมื่อเวลาเปล่ียนจาก t

เซนติเมตร เป็น t  h นาที

3) อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของน้าในสระเทยี บกับเวลา ขณะเวลา 2 นาที

จาก Q(t)  6 t2 จะได้ว่า

1) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของปริมาตรของน้าในสระเทียบกับเวลา เมื่อเวลาเปลี่ยนจาก 0

เปน็ 2 นาที คอื

Q(2)  Q(0) = (6  22 )  (6  02)  2  6  2

20 20 2

2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของน้าในสระเทียบกับเวลา เมื่อเวลาเปล่ียนจาก t

เซนตเิ มตร เปน็ t  h นาที คอื

Q(t  h)  Q(t) = [6  (t  h)2 ]  (6  t2 )  6  t2  2th  h2  6  t2
hh h

=  2th  h2  2t  h, h0
h

3) อตั ราการเปล่ียนแปลงของปริมาตรของนา้ ในสระเทยี บกบั เวลา ขณะเวลา t นาที คอื

lim Q(t  h)  Q(t) = lim(2t  h)  2t
h0 h h0

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของน้าในสระเทียบกับเวลา ขณะเวลา 2 นาที

คือ 2(2)  4 ลูกบาศกเ์ มตรตอ่ นาที

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรื่อง อนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชัน 8

ข้อสังเกต ในตัวอย่างนี้ อัตราการเปล่ียนแปลงเป็นจานวนลบแสดงว่าเมื่อเวลาเพ่ิมขึ้น ปริมาตรของน้า
ในสระจะลดลง

หมายเหตุ สาหรับฟงั กช์ ัน f
ถ้าอัตราการเปลีย่ นแปลงของ f เทยี บกบั x เป็นจานวนจริงบวก แสดงว่า เมื่อ

x เพิ่มข้นึ คา่ ของ f (x) จะเพิ่มข้นึ
แต่ถ้าอัตราการเปล่ียนแปลงของ f เทียบกับ x เป็นจานวนจริงลบ แสดงว่า

เมื่อ x เพ่ิมข้ึน ค่าของ f (x) จะลดลง

แบบฝกึ หดั
อตั ราการเปลีย่ นแปลง

1. กาหนดฟงั ก์ชัน y  f (x)  2x2 3 จงหา

1) อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลย่ี ของ y เทยี บกับ x เม่ือค่าของ x เปลี่ยนจาก 2 เปน็ 2.2

2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ยี ของ y เทยี บกับ x เมื่อค่าของ x เปลีย่ นจาก 2 เป็น 2.1

3) อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อค่าของ x เปลีย่ นจาก 2 เป็น 2.01

4) อัตราการเปลยี่ นแปลงของ y เทยี บกับ x ขณะที่ x  2

วิธที า จาก y  f (x)  2x2 3 จะได้อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลย่ี ของ y เทียบกบั x เมอ่ื ค่าของ x

เปล่ยี นจาก a เปน็ a  h คอื f (a  h)  f (a) = (2(a  h)2  3)  (2a2  3)

hh

= 2a2  4ah  2h2  3  2a2  3

h

= 4a  2h

1) อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลย่ี ของ y เทียบกบั x เม่อื คา่ ของ x เปล่ียนจาก 3 เปน็ 3.2

เทา่ กบั f (2  0.2)  f (2)  4(2)  2(0.2)  8.4

0.2

2) อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี ของ y เทียบกับ x เม่ือค่าของ x เปลย่ี นจาก 3 เป็น 3.1

เทา่ กับ f (2  0.1)  f (2)  4(2)  2(0.1)  8.2

0.1

3) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x เมอ่ื ค่าของ x เปล่ยี นจาก 3 เป็น 3.01

เท่ากับ f (2  0.01)  f (2)  4(2)  2(0.01)  8.02

0.01

4) อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทยี บกบั x ขณะที่ x  3

เท่ากบั lim f (2  h)  f (2)  lim(4(2)  2h)  8
h0 h h0

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรอื่ ง อนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั 9

2. กาหนดฟังกช์ นั y  f (x)  1 จงหา

x

1) อตั ราการเปลีย่ นแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เม่อื ค่าของ x เปลยี่ นจาก 4 เปน็ 5

2) อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลีย่ ของ y เทยี บกบั x เมื่อคา่ ของ x เปลี่ยนจาก 4 เปน็ 4.1

3) อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลยี่ ของ y เทียบกบั x เมอื่ คา่ ของ x เปลีย่ นจาก 4 เปน็ 4.01
4) อัตราการเปลีย่ นแปลงของ y เทียบกับ x ขณะท่ี x  4

วิธที า จาก y  f (x)  1 จะได้อตั ราการเปลีย่ นแปลงเฉลย่ี ของ y เทียบกบั x เม่อื คา่ ของ x

x

เปลี่ยนจาก a เปน็ a  h คอื f (a  h)  f (a) = 1 1 h
ah a 
h h ha(a  h)

= 1

a(a  h)

1) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทยี บกับ x เมื่อค่าของ x เปล่ียนจาก 4 เปน็ 5

เทา่ กบั f (4 1)  f (4)   1   1

1 4(4 1) 20

2) อัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลยี่ ของ y เทียบกับ x เมื่อคา่ ของ x เปลย่ี นจาก 4 เปน็ 4.1

เทา่ กับ f (4  0.1)  f (4)   1   1   5

0.1 4(4  0.1) 16.4 82

3) อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมอื่ ค่าของ x เปล่ียนจาก 4 เปน็ 4.01

เทา่ กบั f (4  0.01)  f (4)   1   1   25

0.01 4(4  0.01) 16.04 401

4) อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทยี บกับ x ขณะที่ x  3

เทา่ กับ lim f (4  h)  f (4)  lim 1   1
h0 h h0 4(4  h) 16

3. จงหา

1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ียของพื้นท่ีรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสเทียบกับความยาวของด้าน เม่ือความยาวของด้าน

ของรูปส่เี หลย่ี มจตั รุ สั เปลยี่ นจาก 10 เปน็ 12 เซนติเมตร
2) อตั ราการเปล่ียนแปลงของพน้ื ท่ีรปู ส่ีเหลี่ยมจตั รุ ัสเทยี บกบั ความยาวของด้าน ขณะดา้ นยาว 10 เซนติเมตร
วธิ ีทา 1) ให้ A เป็นพน้ื ทรี่ ปู สเ่ี หล่ยี มจัตรุ สั (ตารางเซนติเมตร) และ x เป็นความยาวของดา้ นของ

รูปส่เี หลย่ี มจัตุรัส (เซนติเมตร) โดยท่ี A(x)  x2

จะได้อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉล่ยี ของพนื้ ท่รี ปู ส่ีเหล่ียมจตั ุรสั เทียบกบั ความยาวของด้าน เม่อื

ความยาวของด้านของรูปสีเ่ หลีย่ มจัตรุ ัสเปลย่ี นจาก 10 เป็น 12 เซนติเมตร คือ

A(10  2)  f (10)  (10  2)2 102  22 ตารางเซนติเมตรต่อเซนติเมตร

22

2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพ้นื ทีร่ ูปสเ่ี หลี่ยมจัตุรัสเทยี บกบั ความยาวของด้าน ขณะดา้ นยาว

10 เซนติเมตร คือ lim A(10  h)  A(10)  lim (10  h)2 102  lim 20h  h2  20
h0 h h0 h h0 h

ตารางเซนติเมตรต่อเซนตเิ มตร

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรือ่ ง อนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชัน 10

4. จงหา
1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพ้ืนที่รูปสามเหล่ียมด้านเท่าเทียบกับความยาวของด้าน เมื่อความยาวของ
ด้านของรปู สามเหลี่ยมดา้ นเท่าเปล่ยี นจาก 10 เป็น 9 เซนตเิ มตร
2) อัตราการเปล่ียนแปลงของพ้ืนที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเทียบกับความยาวของด้าน ขณะด้านยาว 10
เซนติเมตร
วิธที า 1) ให้ A เป็นพนื้ ทรี่ ูปสามเหลยี่ มดา้ นเท่า (ตารางเซนตเิ มตร) และ x เป็นความยาวของด้าน

ของรูปสามเหล่ียมด้านเท่า (เซนติเมตร) โดยที่ A(x)  3 x2

4

จะได้อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ยี ของพื้นทีร่ ปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ เทียบกับความยาวของด้าน
เมื่อความยาวของด้านของรปู สามเหล่ียมดา้ นเทา่ เปลย่ี นจาก 10 เปน็ 9 เซนตเิ มตร คือ

A(10 1)  f (10)  3 (9)2  3 (10)2  19 3 ตารางเซนตเิ มตรต่อเซนติเมตร
4 4

1 1 4

2) อตั ราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่รปู สี่เหลยี่ มจัตุรสั เทยี บกบั ความยาวของด้าน ขณะดา้ นยาว

10 เซนตเิ มตร คือ

lim A(10  h)  A(10)  lim 3 (10  h)2  3 (10)2
4 4

h0 h h0 h

3 102  20h  h2 102 
4
 lim
h0 h

3 20h  h2 
4
 lim
h0 h

 lim 3 (20  h)
h0 4

5 3

ตารางเซนตเิ มตรตอ่ เซนตเิ มตร
5. ใส่สารหน่ึงลงในน้ายา หลักจากเวลาผ่านไป t นาที สามารถหาปริมาตรของสาร (มีหน่วยเป็นกรัม) ได้จาก

N  8 จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงของ N เทยี บกบั t ขณะท่ี t  3

t 1

วธิ ที า อตั ราการเปลยี่ นแปลงของ N เทียบกับ t ขณะที่ t  3 เทา่ กบั

8 8
lim N (3  h)  N (3)  lim (3  h) 1 3 1
h0 h h0 h

 lim 32  8(4  h)
h0 h(4  h)(4)

 lim 8h
h0 h(4  h)(4)

 8 1
16 2

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรอ่ื ง อนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชนั 11

2. อนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชนั

จากบทนิยามอัตราการเปล่ียนแปลงขณะหน่ึง ถ้าให้ f เป็นฟังก์ชันใด ๆ และ a อยู่ในโดเมนของ f

แล้วอัตราการเปล่ียนแปลงของ f เทียบกับ x ขณะท่ี x  a คือ lim f (a  h)  f (a) ถ้าลิมิตหาค่าได้ จะ

h0 h

เรียกคา่ ของลิมติ นีว้ ่า อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั f ที่ a ดงั บทนิยามต่อไปน้ี

บทนิยาม ให้ f เป็นฟังก์ชัน อนุพันธ์ (Derivative) ของฟังก์ชัน f ท่ี x เขียนแทนด้วย f (x)
คอื f (x)  lim f (x  h)  f (x)

h0 h

ถ้า f (x) มคี า่ จะกลา่ ววา่ ฟงั ก์ชนั f มอี นพุ ันธ์ที่ x หรือฟังกช์ นั f หาอนุพนั ธ์ไดท้ ่ี x
ถ้า f (x) ไมม่ คี า่ จะกล่าวว่า ฟังกช์ นั f ไมม่ อี นุพันธ์ที่ x หรือฟังก์ชนั f หาอนุพนั ธ์ไมไ่ ด้ท่ี x

นอกจากสัญลักษณ์ f (x) แล้ว ยังมีสัญลักษณ์อ่ืน ๆ ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ท่ี x เช่นเมื่อ
กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ ันที่นิยามโดยสมการ y  f (x) อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ท่ี x สามารถเขียนแทนได้ด้วย

สัญลักษณ์ดังน้ี dy (อา่ นวา่ ดีวายบายดเี อกซ์) หรอื d f (x) หรือ y ดังนั้น

dx dx

f (x) = dy  d f (x)  y  lim f (x  h)  f (x)
dx dx h0 h

หมายเหตุ dy ไมไ่ ดห้ มายถงึ เศษส่วนทีม่ ตี ัวเศษคือ d คณู y และตวั ส่วน คือ d คณู x

dx

dy ไมไ่ ด้หมายถึง dy หารดว้ ย dx

dx

กิจกรรม
อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั

ตัวอยา่ งที่ 1 กาหนดให้ f (x)  5x 1 จงหา f (x)
วธิ ีทา
f (x)  lim f (x  h)  f (x)
h0 h

 lim (5(x  h) 1)  (5x 1)
h0 h

 lim 5x  5h 1 5x 1
h0 h

5

ดงั นั้น f (x) = 5 ………………………

จากตวั อยา่ งที่ 1 อาจเขียนโดยใช้สัญลกั ษณข์ องอนุพันธแ์ บบอ่นื ได้ เชน่
dy = 5 หรอื d f (x) = 5 หรอื y = 5

dx dx

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เร่อื ง อนพุ ันธข์ องฟังก์ชัน 12

ตวั อยา่ งที่ 2 กาหนดให้ y(t)  t2  2t  4 จงหา dy
วธิ ีทา
dt
ตวั อย่างท่ี 3
วธิ ีทา dy  lim y(t  h)  y(t)
dt h0 h

 lim ((t  h)2  2(t  h)  4)  (t2  2t  4)
h0 h

 lim 2th  h2  2h  lim(2t  h  2)
h0 h h0

 2t  2

ดงั นน้ั dy = 2t  2

dt

กาหนดให้ f (x)  1 จงหา d f (x)

x dx

d f (x)  lim f (x  h)  f (x)
dx h0 h

1 1 h
 lim x  h x  lim
h0 h h0 h(x  h)x

 lim 1
h0 (x  h)x

 1
x2

ดงั นั้น d f (x) =  1
dx x2

จาก f (x)  lim f (x  h)  f (x) เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ใด ๆ ดังน้ัน สาหรับ a ใด ๆ ที่

h0 h

อยใู่ นโดเมนของ f อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั f ที่ x  a กค็ อื

f (a)  lim f (a  h)  f (a)
h0 h

 lim f (x)  f (a) ( h  x  a)
xa x  a

อาจใชส้ ญั ลกั ษณ์ d f (x) หรือ dy แทน f (a)

dx xa dx xa

ตวั อย่างท่ี 4 กาหนดให้ f (x)  x 1 จงหา f (3)

วิธที า f (3)  lim f (3  h)  f (3)

h0 h

 lim 4  h  2  lim 4  h  2  4  h  2
h0 h h0 h 4h 2

 lim 4  h  4  lim 1  1
h0 h( 4  h  2) h0 4  h  2 4

ดงั นนั้ f (3)= 1

4

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เร่อื ง อนุพันธข์ องฟังก์ชนั 13

ตัวอยา่ งที่ 5 กาหนดให้ f (x)  | x | จงหาอนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั f ที่ x  0
วธิ ีทา
f (0)  lim f (0  h)  f (0)
h0 h

 lim | h |  | 0 |
h0 h

 lim | h |
h0 h

เนอ่ื งจาก lim | h |  lim h  lim 1 1
hh0 hh0 h0

และ lim | h |  lim h  lim 1  1
hh0 hh0 h0

จะไดว้ า่ lim | h | ……  …… lim | h |
hh0 hh0

ดังน้ัน lim | h | ไมม่ ีค่า

h0 h

นั่นคือ f (0) ไม่มคี า่

เราอาจหาคา่ f (a) ได้โดยการหาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชัน f ที่ x ใด ๆ หลังจากนน้ั แทนค่า x ดว้ ย a
ดังตัวอย่างตอ่ ไปนี้
ตวั อยา่ งท่ี 6 กาหนดให้ f (x)  3x2 1 จงหา

1) อนุพันธ์ของฟงั กช์ นั f ที่ x
2) อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั f ท่ี x  3
วธิ ที า 1) f (x)  lim f (x  h)  f (x)

h0 h
 lim (3(x  h)2 1)  (3x2 1)

h0 h

 lim 3x2  6xh  h2 1 3x2 1
h0 h

 lim 6xh  h2
h0 h

 lim(6x  h)
h0

 6x

ดงั นน้ั อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั f ที่ x เท่ากบั 6x
2) จาก f (x)  6x

จะได้ f (3)  6(3) 18
ดังนนั้ อนุพนั ธข์ องฟงั กช์ ัน f ท่ี x  3 เทา่ กบั 18

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรื่อง อนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชนั 14

แบบฝกึ หดั
อนุพันธข์ องฟงั กช์ ัน

1. จงหาอนพุ ันธข์ องฟังก์ชันตอ่ ไปน้ี 2) f (x)  2x2
1) f (x)  4x  7
f (x)  lim f (x  h)  f (x)
f (x)  lim f (x  h)  f (x) h0 h
h0 h
 lim 2(x  h)2  2x2
 lim (4(x  h)  7)  (4x  7) h0 h
h0 h
 lim 2x2  4xh  h2  2x2
 lim 4x  4h  7  4x  7 h0 h
h0 h
 4x
4
4) f (x)  2
3) f (x)  x3
x
f (x)  lim f (x  h)  f (x)
h0 h f (x)  lim f (x  h)  f (x)
h0 h
 lim (x  h)3  x3
h0 h 2 2 2h
 lim x  h x  lim
 lim 3x2h  3xh2  h3 h0 h h0 h(x  h)x
h0 h
 lim 2
 3x2 h0 (x  h)x

 2
x2

5) f (x)  x 1 6) f (x)  1
x2

f (x)  lim f (x  h)  f (x) f (x)  lim f (x  h)  f (x)
h0 h h0 h

 lim x  h 1  x 1  x  h 1  x 1 (x 1  1
x 1  h)2 x2
h0 h x  h 1  lim
h0 h
h
 lim 2 xh  h2
h0 h( x  h 1  x 1)  lim h(x  h)2 x2

h0

1  lim ( 2 xh 2   2
2 x 1 x h)2 x x3
h0

2. จงหาอนุพันธ์ของฟังกช์ ันต่อไปน้ี ณ จุดท่กี าหนดให้
1) f (x)  x2  x ท่ี x  0

f (0)  lim f (0  h)  f (0)
h0 h

 lim (h2  h)  0
h0 h

 lim (h 1)
h0

 1

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรื่อง อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั 15

2) f (x)  2x3 1 ที่ x  2

f (2)  lim f (2  h)  f (2)
h0 h

 lim (2(2  h)3 1)  (2(2)3 1)  lim (2(8 12h  6h2  h3) 1)  (2(8) 1)
h0 h h0 h

 lim 24h 12h2  2h3
h0 h

 lim (24 12h  2h2 )
h0

 24

3) f (x)  1 ท่ี x  1
x2

f (x)  lim f (1 h)  f (1)
h0 h

1 h)2  1
(1  (1)2
 lim
h0 h

 lim 1 (1 2h  h2)
h(1  h)2 (1)2
h0

 lim 2  h
(1  h)2
h0

2

3. การหาอนุพันธ์ของฟงั ก์ชนั พีชคณิตโดยใชส้ ตู ร

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้บทนิยามในรูปของลิมิตนั้นค่อนข้างยุ่งยาก ดังน้ันเพื่อให้การหาอนุพันธ์
สามารถทาได้สะดวกและรวดเร็ว ในหัวข้อนี้จะแสดงวิธีการหาสูตรท่ีใช้สาหรับหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่าย ๆ บาง
ฟังก์ชัน ซึ่งสามารถพิสูจน์สูตรเหล่านี้ได้โดยใช้บทนิยามและทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชันท่ีได้กล่าวไปแล้ว
และสรุปเปน็ สูตรดงั นี้

สตู รที่ 1 ถ้า f (x)  c เมื่อ c เป็นคา่ คงตัว แลว้ f (x) = 0

พสิ จู น์ f (x)  lim f (x  h)  f (x)
h0 h

 lim c  c
h0 h

0

จากสตู รท่ี 1 จะไดว้ า่ อนุพันธข์ องค่าคงตวั เท่ากับศนู ย์

ตัวอยา่ งที่ 1 1) กาหนดให้ y  5 จะได้วา่ dy = 0
2) กาหนดให้ f (x)  20
dx

จะได้วา่ f (x) = 0

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เร่ือง อนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชัน 16

สูตรท่ี 2 ถา้ f (x)  x เม่อื c เปน็ คา่ คงตวั แลว้ f (x) = 1

พิสจู น์ f (x)  lim f (x  h)  f (x)
h0 h

 lim x  h  x
h0 h

1

สูตรที่ 3 ถ้า f (x)  xn เมื่อ n เป็นจานวนจรงิ แลว้ f (x) = nxn1

พสิ ูจน์ จะแสดงเฉพาะกรณีที่ n เป็นจานวนเตม็ บวก เทา่ นัน้ จะได้ว่า

หมายเหตุ f (x)  lim f (x  h)  f (x)
ตัวอย่างท่ี 2 h0 h
วธิ ีทา
ตวั อยา่ งที่ 3  lim (x  h)n  xn
วิธีทา h0 h
ตวั อยา่ งท่ี 4
วิธีทา  n  xn   n  xn1h   n  xn2h2  ...   n  hn  xn
 0   1   2   n 
 lim        

h0 h

nxn1h   n  xn2h2  ...  hn
 2 
 lim  

h0 h

 lim  nxn 1   n  xn 2 h  ...  hn1 
  2  
h0    

 nxn1

ในกรณีที่ n เป็นจานวนจริงใด ๆ ตอ้ งใชแ้ คลคลู ัสระดบั สูงในการพสิ จู นส์ ตู รท่ี 3

กาหนดให้ f (x)  x3 จงหา f (x)
เน่ืองจาก f (x)  x3
จะได้ f (x) = 3x31  3x2

กาหนดให้ y  1 จงหา dy
x5 dx

เนอื่ งจาก y 1 = x5
x5

จะได้ =dy 5x51  5x6   5
x6
dx

กาหนดให้ y  x จงหา dy

dx

1

เนอื่ งจาก y  x = x2

จะได้ =dy 1 1 1  1 1  1

x2 x2
dx 2 2 2 x

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่อื ง อนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชัน 17
สตู รที่ 4 ถ้าฟังกช์ ัน f และ g หาอนุพนั ธ์ไดท้ ี่ x แลว้ ( f  g)(x) = f (x)  g(x)

พิสจู น์ ให้ F(x)  f (x)  g(x) จะได้ว่า

F(x)  lim F (x  h)  F (x)
h0 h

 lim ( f (x  h)  g(x  h))  ( f (x)  g(x))
h0 h

 lim ( f (x  h)  f (x))  (g(x  h)  g(x))
h0 h

 lim f (x  h)  f (x)  lim g(x  h)  g(x)
h0 h h0 h

 f (x)  g(x)

จากสตู รท่ี 4 จะไดว้ า่ อนพุ ันธข์ องผลบวกของฟงั กช์ ันเท่ากับผลบวกของอนพุ ันธ์

ตวั อย่างท่ี 5 กาหนดให้ y  x5  x3 จงหา dy

dx

วิธที า จาก y  x5  x3

จะได้ dy = d (x5  x3)

dx dx

= 5x4  3x2

สูตรที่ 5 ถา้ ฟงั กช์ นั f และ g หาอนุพนั ธ์ได้ที่ x แล้ว ( f  g)(x)= f (x)  g(x)

พิสจู น์ ทานองเดียวกบั การพิสจู นส์ ูตรที่ 4
จากสูตรที่ 5 จะได้ว่า อนุพนั ธ์ของผลต่างของฟงั ก์ชนั เทา่ กับผลตา่ งของอนพุ ันธ์

ตัวอยา่ งที่ 6 กาหนดให้ y  x4  x2 จงหา dy

dx

วธิ ีทา จาก y  x4  x2

จะได้ dy = d (x4  x2 )

dx dx

= 4x3  2x

ข้อสังเกต จากสูตรท่ี 4 และสูตรที่ 5 จะได้ว่า ถ้า y  f (x)  g(x)  h(x) และสามารถหา f (x), g(x)

และ h(x) ได้ แลว้ dy = f (x)  g(x)  h(x)

dx

น่นั คอื จะขยายจานวนฟังกช์ ันทีบ่ วกและลบกนั เป็นกี่ฟงั กช์ ันกไ็ ด้

ตัวอยา่ งท่ี 7 กาหนดให้ y  x6  x3  x2  4 จงหา dy
วธิ ที า
dx

จาก y  x6  x3  x2  4

จะได้ dy = d (x6  x3  x2  4)

dx dx

= 6x5  3x2  2x

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรื่อง อนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั 18
สูตรที่ 6 ถ้า c เปน็ คา่ คงตวั และฟังก์ชนั f หาอนพุ ันธไ์ ด้ที่ x แล้ว cf (x) = cf (x)

พิสจู น์ ให้ F(x)  cf (x) จะได้ว่า

F(x)  lim F (x  h)  F (x)
h0 h

 lim cf (x  h)  cf (x)
h0 h

 lim c  f (x  h)  f (x) 
 h 
h0

 c lim f (x  h)  f (x)
h0 h

 cf (x)

ตัวอย่างที่ 8 กาหนดให้ y  3x2  2x จงหา dy
วธิ ที า
dx

จาก y  3x2  2x

ดังน้นั dy = d (3x2  2x)  d (3x2)  d (2x)
dx dx dx dx

= 3 d (x2 )  2 d (x)  3(2x)  2(1)  6x  2

dx dx

ตวั อยา่ งที่ 9 กาหนดให้ f (x)  8x3  2x2  5x  7 จงหา f (1)
วธิ ที า จาก y  8x3  2x2  5x  7

จะได้ f (x) = d (8x3  2x2  5x  7)  d (8x3)  d (2x2 )  d (5x)  d (7)

dx dx dx dx dx

= 8(3x2)  2(2x)  5(1)  (0)  24x2  4x  5

ดงั นั้น f (1) = 24(1)2  4(1)  5  25

ตัวอย่างท่ี 10 กาหนดให้ f (x)  2x3  4x2 จงหาค่าของ x ท่ีทาให้ f (x)  0
วิธีทา จาก f (x)  2x3  4x2
จะได้ f (x) = d (2x3  4x2 )  d (2x3)  d (4x2 )

dx dx dx

= 2(3x2)  4(2x)  6x2 8x
ให้ f (x)  0
จะได้ 6x2 8x  0

2x(3x  4)  0

น่นั คือ x  0 หรอื x  4

3

ดงั นัน้ f (x)  0 เมอ่ื x  0 หรือ x  4

3

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรื่อง อนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั 19

สตู รท่ี 7 ถา้ ฟังกช์ ัน f และ g หาอนพุ นั ธ์ได้ที่ x แล้ว ( fg)(x) = f (x)g(x)  g(x) f (x)

พิสจู น์ เนอื่ งจาก ( fg)(x)  f (x)g(x) จะไดว้ ่า

( fg)(x)  lim f (x  h)g(x  h)  f (x)g(x)
h0 h

 lim f (x  h)g(x  h)  f (x  h)g(x)  f (x  h)g(x)  f (x)g(x)
h0 h

 lim  f (x  h)  g(x  h)  g(x)  g ( x)  f (x  h)  f (x) 
 h h 
h0

 lim f (x  h)  lim g(x  h)  g(x)  lim g(x)  lim f (x  h)  f (x)
h hh0
h0 h0 h0

 f (x)g(x)  g(x) f (x)

ตวั อยา่ งที่ 11 กาหนดให้ y  (x2  5)(7x  4) จงหา dy
วธิ ที า
dx

จาก y  (x2  5)(7x  4)

จะได้ dy = d ((x2  5)(7x  4))  (x2  5) d (7x  4)  (7x  4) d (x2  5)
dx dx dx dx

= (x2  5)(7)  (7x  4)(2x)  7x2  314x2  8x

= 21x2  8x  3

สตู รที่ 8 ถา้ ฟงั กช์ นั f และ g หาอนุพันธ์ไดท้ ่ี x แลว้  f  (x) = g(x)  f (x)  f (x)  g(x)
 g  ( g ( x))2
 

พิสูจน์ เน่ืองจาก  f   f (x) จะได้ว่า
 g  ( x) g(x)
 

 f  (x)  lim f (x  h)  f (x)
 g  g(x  h) g(x)
  h0
h

 lim f (x  h)  g(x)  f (x)  g(x  h)
h0 h  g(x)  g(x  h)

 lim f (x  h)  g(x)  f (x)  g(x)  f (x)  g(x  h)  f (x)  g(x)
h0 h  g(x)  g(x  h)

 g( x)  f (x  h)  f (x)    f ( x)  g(x  h)  g(x) 
 h   h 
 lim
h0 g(x)  g(x  h)

g(x)  lim f (x  h)  f (x)  f (x)  lim g(x  h)  g(x)
 h0 h h0 h

g(x)  g(x  h)

 g(x)  f (x)  f (x)  g(x)
( g ( x))2

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่ือง อนุพันธข์ องฟังก์ชัน 20

ตวั อย่างที่ 12 กาหนดให้ f (x)  2x  3 จงหา f (x)
วิธที า
2x 3

จาก f (x)  2x  3

2x 3

จะได้ f (x) = (2x  3) d (2x  3)  (2x  3) d (2x  3)
dx dx
(2x  3)2

= (2x  3)(2)  (2x  3)(2)

(2x  3)2

= (4x  6)  (4x  6)

(2x  3)2

= 12

(2x  3)2

แบบฝกึ หดั

การหาอนุพนั ธข์ องฟังก์ชัน
พีชคณติ โดยใชส้ ูตร

1. จงหาอนุพันธข์ องฟงั กช์ นั ต่อไปน้ี 2) y  x3  x
1) y  4
3
dy  0 dy  3x2  1
dx dx 3

3) y  x3  3x  8 4) y  3x2  x  2 x  1

dy  3x2  3 x
dx dy  6x 1 2  1
dx x 2x x
5) s  4t5  3t2  t 8
6) s  (4t2  t 1)(t  2)
ds  20t4  6t 1
dt ds  12t2 18t 1
dt
7) y  x(x 1)(x  2)
8) y  (4x  x2)(x2  3)
dy  3x2  6x  2
dx dy  4x3 12x2  6x 12
dx
9) y  x(x2 1)
10) y  x3  2
dy  3x2 1
dx x
dy  2x3  2
dx x2

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรอื่ ง อนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชัน 21

11) y  3 12) y  1 3x
3x2 1
1 3x

dy   18x dy  6
dx (3x2 1)2 dx (1 3x)2

13) s  t (12  1 ) 14) y  x5  3x2  5x  4
t2 x2

ds  1 12 dy  3x6  5x2  4x
dt t2 dx x4

15) s  5t6  t  3 16) y   1  1  (3x3  27)
 x x2 
t
ds  55t4 t  1  3 dy  6x  3 27  54
dt 2 2 t 2t t dx x2 x3

17) y  4x 1 18) y   3x  2  ( x 5  1)
x2  5  x 

dy   4x2  2x  20 dy   2  15  12
dx (x2  5)2 dx x2 x6 x7

19) y  3 20) y  (2x7  x2 )  x 1 
 x 1 
x 2

dy   3 dy  14x8  4x7 14x6  2x3  2x2  2x
dx (x 1)2
dx 2 x ( x  2)2

2. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั ต่อไปนี้ ณ จดุ ทีก่ าหนดให้

1) f (x)  2x3  1 ทีจ่ ุดซ่ึง x 1 2) f (x)  1 x5  1 x3  1 x2  4x  5 ทจี่ ุดซง่ึ x 1

x 532

f ( x)  2x3  1 f (x)  x4  x2  x  4

x2

f (x)  6x2  1 f (1)  14 12 1 4  3

3

2x2

f (1)  6(1)  1 61
2
3

2(1) 2

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เร่อื ง อนุพันธ์ของฟงั ก์ชนั 22

3) f (x)  (2x2 3x 1)(x  x2) ทจ่ี ดุ ซง่ึ x  1 4) y  2x 1 ทจ่ี ุดซ่ึง x  2

f (x)  (2x2  3x 1)(1 2x)  (x  x2)(4x  3) x 1

f (x)  (x 1)(2)  (2x 1)(1)
(x 1)2

f (1)  (2(1)2  3(1) 1)(1 2(1)) f (2)  (2 1)(2)  (2(2) 1)(1)
 ((1)  (1)2)(4(1)  3) (2 1)2

 32  63  3  1
(2 1)2 9 3
3. กาหนดให้ f (4)  3 และ f (4)  5 จงหา g(4) เม่ือ

1) g(x)  x f (x) 2) g(x)  f (x)

x

g(x)  x f (x)  f (x)( x ) g(x)  xf (x)  f (x)(x)
 x f (x)  f (x) 1 x2
2x
 xf (x)  f (x)
g(4)  4 f (4)  f (4) 1 x2
24
g(4)  (4) f (4)  f (4)
42

 (2)(5)  (3) 1   37  (4)(5)  3   23
44 42 16

4. กาหนดให้ f (2) 1, f (2)  1, g(2)  2 และ g(2)  0 จงหา F(2) เม่อื

1) F(x)  2 f (x)  4g(x) 2) F(x)  f (x)  3g(x)

g(x)

F(x)  2 f (x)  4g(x) F ( x)  g(x) f (x)  f (x)g(x)
( g ( x))2

F(2)  2 f (2)  4g(2) F (2)  g(2) f (2)  f (2)g(2)
( g (2))2

 2(1)  4(0)  (2)(1)  (1)(0)
(2)2

 2   1
2

5. จงหาพหุนามดีกรีสอง P(x)  ax2  bx  c ท่ี P(1) 1, P(1)  1 และ P(0)  3

จาก P(x)  ax2  bx  c จะได้ P(x)  2ax  b

จาก P(0)  3 จะได้ 2a(0)  b  3

นนั่ คอื b  3

จาก P(1)  1 จะได้ P(1)  2a(1)  3  1

นนั่ คอื a 1

จาก P(1) 1 จะได้ P(1)  a  b  c 1

1 (3)  c  1

ดงั น้นั P(x)  x2  3x  3

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เร่อื ง อนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั 23

4. อนุพันธอ์ ันดับสูง

จากการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผ่านมา จะพบว่า ถ้าให้ y  f (x) เป็นฟังก์ชันท่ีสามารถหาอนุพันธ์ได้
แลว้ จะได้ y  f (x) เปน็ ฟงั ก์ชนั เช่นกัน ซง่ึ จะสามารถนาฟังก์ชัน f  ไปหาอนุพันธ์ตอ่ ได้อกี ดังตวั อย่างตอ่ ไปนี้

ตวั อยา่ งที่ 1 กาหนดฟงั กช์ ัน f (x)  4x3 5x2  3x  2
วธิ ีทา
1) จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ท่ี x ใด ๆ

2) จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชนั f  ท่ี x ใด ๆ

1) จาก f (x)  4x3  5x2  3x  2

จะได้ f (x) = 4(3x2)  5(2x)  3(1)  2

=12x2 10x  3

ดังนัน้ อนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชนั f ที่ x ใด ๆ คอื 12x2 10x  3

2) จาก f (x) = 12x2 10x  3

จะได้ d f (x) =12(2x) 10(1)

dx

= 24x 10
ดงั นั้น อนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั f  ท่ี x ใด ๆ คอื 24x 10

จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f สามารถนาไปหาอนุพันธ์ต่อไปได้อีก ซ่ึงจะเรียก
ผลลพั ธน์ ว้ี า่ อนุพนั ธอ์ ันดับที่ 2 ดงั นยิ ามต่อไปน้ี

บทนิยาม ให้ f เปน็ ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพนั ธไ์ ด้ และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ท่ี x เป็นฟังก์ชันที่
หาอนุพันธ์ได้ จะเรียกอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f  ที่ x ว่า อนุพันธ์อันดับท่ี 2 (Second
derivative) ของฟงั ก์ชัน f ที่ x และเขยี นแทนด้วย f 

จากบทนยิ าม ถ้าเขยี นอนุพนั ธ์อนั ดบั ที่ 2 ของ f ที่ x ตามความหมายในรูปของลิมิต จะไดด้ งั นี้
f (x) = lim f (x  h)  f (x)

h0 h

นอกจากสญั ลกั ษณ์ f (x) แลว้ ยงั มสี ญั ลกั ษณ์อืน่ ๆ ทใ่ี ช้แทนอนุพนั ธ์อนั ดับที่ 2 ของ f ท่ี x เช่น

d2y d2 f (x) หรือ y
dx2 , dx2

ตวั อย่างท่ี 2 กาหนดฟงั กช์ ัน f (x)  2x2  3  2 จงหา f (x)
วิธีทา
x

จาก f (x)  2x2  3  2  2x2  3  2x1

x

จะได้ f (x) = 2(2x)  2(1x2)

= 4x  2x2
และ f (x) = 4(1)  2(2x3)

= 4  4x3
ดังน้ัน f (x) = 4  4x3

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรือ่ ง อนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชัน 24

ตัวอยา่ งท่ี 3 กาหนดฟงั ก์ชัน f (x)  x3  7x 8 จงหา f (x)
วธิ ีทา จาก f (x)  x3  7x  8
จะได้ f (x) = 3x2  7

และ f (x) = 6x

ดงั นน้ั f (x) = 6x

ในทานองเดียวกัน เราสามารถกล่าวถึงอนุพนั ธ์อนั ดับอืน่ ไดด้ งั น้ี
อนุพนั ธอ์ ันดับท่ี 3 ของ f เป็นอนพุ นั ธข์ องอนพุ ันธอ์ นั ดับท่ี 2 ของ f

อนุพันธอ์ ันดบั ที่ 4 ของ f เปน็ อนพุ ันธ์ของอนุพันธ์อนั ดับที่ 3 ของ f

อนุพันธอ์ นั ดบั ท่ี n ของ f เปน็ อนุพันธ์ของอนพุ นั ธอ์ นั ดับท่ี n 1 ของ f
และเขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ดงั น้ี

อนุพนั ธอ์ นั ดับที่ 3 ของ f ท่ี x เขียนแทนดว้ ย f (x) หรอื d3y หรอื y
dx3

อนพุ นั ธอ์ นั ดับท่ี 4 ของ f ที่ x เขยี นแทนดว้ ย f (4) (x) หรือ d4y หรอื y(4)
dx4

อนุพนั ธอ์ ันดบั ที่ n ของ f ท่ี x เขยี นแทนด้วย f (n) (x) หรือ dny หรือ y(n)
dxn

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาอนพุ นั ธ์อันดับที่ 3 ของ f (x)  6x4  7x3  2x2 8
วธิ ีทา จาก f (x)  6x4  7x3  2x2 8
จะได้ f (x) = 24x3  21x2  4x
ตวั อย่างที่ 5
วิธีทา f (x) = 72x2  42x  4
ดงั น้นั f (x) =144x  42

จงหาอนพุ นั ธอ์ นั ดบั ที่ 4 ของ f (x)  4x3 3x2 5x  9
จาก f (x)  4x3  3x2  5x  9
จะได้ f (x) =12x2  6x  5

f (x) = 24x  6
f (x) = 24
ดังนน้ั f (4) (x) = 0

ตัวอย่างที่ 6 จงหา f (1) ของ f (x)  1
วิธีทา
x

จาก f (x)  1  x1

x

จะได้ f (x) = (1)x2
f (x) = (1)(2)x3
= 2x3

ดังนัน้ f (1) = 2(1)3  2

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรอ่ื ง อนุพนั ธ์ของฟังก์ชัน 25

แบบฝึกหัด

อนุพนั ธ์อนั ดบั สงู

1. จงหาอนุพนั ธอ์ ันดับที่ 2 ของฟงั ก์ชันตอ่ ไปนี้ 2) f (x)  5  2x  4x3  3x5
1) f (x)  5x2  4x  2
f (x)  2 12x 15x4
f (x)  10x  4
f (x)  10 f (x)  12  60x3

3) f (x)  3x4  2x  x  6 4) f (x)  3 x  2  4x2

1 x

f (x)  3x4  2x  x2  6 1

f (x)  x3  2x1  4x2

f ( x)  12x3  2  1  1 f ( x)  1 2  2 x 2  8x
2
x x3
2 3

f ( x)  36 x 2  1 3 f ( x)   2 5  4 x 3  8

4 x2 9 x3

5) f (x)  (5x2  3)(7x3  x) 6) f (x)  x 1

x

f (x)  35x5 16x3  3x f (x)  1 x1
f (x)  175x4  48x2  3
f (x)  700x3  96x f (x)  x2

f ( x)  2 x 3  2
x3

3. จงหาอนพุ ันธ์อันดบั ที่ 3 ของฟงั กช์ ันตอ่ ไปน้ี 2) f (x)  5x2  4x  7
1) f (x)  x5  x5
f (x)  10x  4
f (x)  5x6  5x4 f (x)  10
f (x)  0
f (x)  30x7  20x3
4) f (x)  x
f (x)  210x8  60x2   210  60x2
x8 x 1

3) f (x)  3x3  4x1  x

f ( x)  (x 1)(1)  x(1)  (x  1) 2
(x 1)2
f (x)  6x3  4x2 1

f (x)  18x4  8x3 f (x)  2(x 1)3

f (x)  72x5  24 x 4   72  24 f ( x)  6( x  1)4  (x 6
x5 x4  1)4

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรอ่ื ง อนุพนั ธข์ องฟังก์ชัน 26

5. อนุพนั ธ์ของฟังกช์ ันประกอบ

ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ (Composite function) ซ่ึงเรียกกฎในการหา
อนพุ นั ธ์น้ีกว่า “กฎลูกโซ่ (Chain rule)”

สูตรท่ี 9 ถา้ f หาอนพุ นั ธ์ไดท้ ี่ x และ g หาอนุพันธไ์ ดท้ ี่ f (x) แลว้
(g f )(x) = g( f (x))  f (x)

จากสูตรที่ 9 สามารถเขียนไดอ้ กี รปู แบบหนึง่ ดงั นี้
ถ้าให้ u  f (x) และให้ y  (g f )(x) จะได้ y  g( f (x))  g(u)

ดังนนั้ dy  (g f )(x) = g( f (x)) f (x)

dx
 g(u)  f (x)

 d g(u)  du
du dx

 dy  du
du dx

นน่ั คอื ถา้ y เป็นฟงั กช์ ันของ u และ u เป็นฟังกช์ นั ของ x และหา dy และ du ได้ แลว้

du dx
dy  dy  du
dx du dx

ตวั อย่างที่ 1 กาหนดให้ f (x)  (3x  2)4 จงหา f (x)
วธิ ที า
ให้ u  3x  2
ดงั นน้ั y  f (x)  (3x  2)4 = u4

โดยกฎลกู โซ่ จะได้ dy  dy  du = d (u4 )  d (3x  2)

dx du dx du dx

= 4u3  (3)

=12u3

ดงั นน้ั f (x) =12(3x  2)3

ตัวอยา่ งท่ี 2 กาหนดให้ y  1 x2 จงหา dy
วิธที า
dx

ให้ u 1 x2

ดังนนั้ y 1 x2 = 1 x2  1

u u2

โดยกฎลกู โซ่ จะได้ dy  dy  du = d 1 d (1 x2 )

(u 2 ) 
dx du dx du dx

= 1 1  (2x)

2 u2

=  1  (x)
2
u

ดังน้ัน dy =  x(1  x2  1  x  x
dx 2 1 1 x2
) (1 x2 )2

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรือ่ ง อนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชัน 27

ตวั อยา่ งท่ี 3 กาหนดให้ y  1 จงหา dy
วธิ ที า (2x 1)2 dx x1

ให้ u  2x 1

ดังน้นั y  1 =1  u2
(2x 1)2
u2

โดยกฎลกู โซ่ จะได้ dy  dy  du
dx du dx

= d (u2 )  d (2x 1)

du dx

= 2u3(2)  4u3

= 4(2x 1)3

ดงั นนั้ dy = 4(2(1) 1)3  4

dx x1

ตัวอยา่ งที่ 4 ให้ F(x)  f (g(x)) และ f (x)  x  g(x)
วิธที า
จงหา F(3) เม่ือ g(1)  3, g(3) 1, g(1)  4 และ g(3)  5

เนอ่ื งจาก f (x)  x  g(x)

จะได้ f (x) = x  g(x)  g(x)

เน่อื งจาก F(x)  f (g(x))

โดยกฎลูกโซ่ จะได้ F(x) = f (g(x))  g(x)

และ F(3) = f (g(3)) g(3)

= f (1)(5)  [(1) g(1)  g(1)](5)

=[4  3](5)

ดังนน้ั F(3) = 35

แบบฝึกหดั
อนพุ นั ธข์ องฟังก์ชันประกอบ

1. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ ันต่อไปนี้ 2) y  (1 3x)4
1) y  (2x  3)3 ให้ u 1 3x
ให้ u  2x  3 ดงั น้ัน y  (1 3x)4  u4
ดงั นนั้ y  (2x  3)3  u3 โดยกฎลูกโซ่ จะได้
โดยกฎลกู โซ่ จะได้
dy  dy  du  d (u4 )  d (1 3x)
dy  dy  du  d (u3)  d (2x  3) dx du dx du dx
dx du dx du dx
 4u3  (3)  12u3
 3u2  (2)  6u2
ดงั นน้ั f (x) = 12(1 3x)3
ดงั นัน้ f (x) = 6(2x  3)2

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เร่ือง อนุพันธข์ องฟงั ก์ชัน 28

3) y  (3  4x2)4 4) y  (4x2  3x  2)3

ให้ u  3 4x2 ให้ u  4x2  3x  2
ดงั นน้ั y  (3 4x2)4  u4 ดงั นั้น y  (4x2  3x  2)3  u3
โดยกฎลูกโซ่ จะได้ โดยกฎลูกโซ่ จะได้

dy  dy  du  d (u4 )  d (3  4x2 ) dy  dy  du  d (u3)  d (4x2  3x  2)
dx du dx du dx dx du dx du dx

 4u3  (8x)  32xu3  3u2  (8x  3)

ดังนน้ั f (x) = 32x(3 4x2)3 ดงั นัน้ f (x) = 3(4x2  3x  2)2 (8x  3)
5) y  (x3  3x)4 6) y  1 2x

ให้ u  x3  3x ให้ u 1 2x
ดงั นน้ั y  (x3  3x)4  u4 ดังนั้น y  1 2x  u1/2
โดยกฎลูกโซ่ จะได้ โดยกฎลูกโซ่ จะได้

dy  dy  du  d (u4 )  d (x3  3x) dy  dy  du  1 u1/2  (2)  u1/2
dx du dx du dx dx du dx 2

 4u3  (3x2  3) ดงั นน้ั f (x) = (1 2x)1/2

ดงั นนั้ f (x) = 4(x3  3x)3 (3x2  3) 8) y  3 x2  2
7) y  3x2  4 ให้ u  x2  2
ดังน้นั y  3 x2  2  u1/3
ให้ u  3x2  4 โดยกฎลูกโซ่ จะได้
ดังน้นั y  3x2  4  u1/2
โดยกฎลูกโซ่ จะได้

dy  dy  du  1 1  (6x)  1  (3x) dy  dy  du  1 u2/3  (2x)
dx du dx 3
dx du dx 2 u2 u2

ดังนั้น f ( x)  (3x2  1  (3x) ดงั นั้น f (x)  1 ( x2   2  (2x)
3
4) 2 2)
3

9) y  (x2  1  2)2 10) y  1
3x
x2  2x
ให้ u  x2  3x  2
ให้ u  x2  2x
ดงั นนั้ y  u2 ดงั น้นั y  u1/2
โดยกฎลูกโซ่ จะได้
โดยกฎลูกโซ่ จะได้
dy  dy  du  u3/2  (x 1)
dy  dy  du  2u3  (2x  3) dx du dx
dx du dx
ดังนนั้ f (x)  (x2  2x)3/2 (x 1)
ดงั นั้น f (x)  2(x2  3x  2)3 (2x  3)

2. กาหนดให้ F(x)  f (g(x)) จงหา F(2) เมอ่ื g(2)  4, g(2)  5, f (2)  6 และ f (4)  9

เนือ่ งจาก F(x)  f (g(x))

โดยกฎลูกโซ่ จะได้ F(x)  f (g(x))  g(x)

และ F(2)  f (g(2))  g(2)  f (4) 5  95  45

ดงั น้ัน F(2)  45

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่ือง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั 29

3. กาหนดให้ F(x)  f (g(x)) และ f (x)  g(x) จงหา F(2) เมอ่ื g(2)  3, g(3)  2, g(2)  9

x

และ g(3)  9

เนื่องจาก f (x)  g(x)
x
จะได้
เนื่องจาก f (x)  xg(x)  g(x)
โดยกฎลกู โซ่ จะได้ x2

F(x)  f (g(x))

F(x)  f (g(x))  g(x)

และ F(2)  f (g(2))  g(2)  f (3) 9

  3g (3)  g (3)   9
 32 

 3(9)  2

 25

ดงั นนั้ F(2)  25

6. เส้นสมั ผัสเสน้ โค้ง

บทนิยาม
กาหนดเสน้ โค้งซึ่งเป็นกราฟของฟงั ก์ชัน y  f (x) และจุด P(a, f (a)) เป็นจดุ บนเสน้ โคง้

เสน้ สัมผสั เสน้ โคง้ ทจ่ี ดุ P(a, f (a)) คือ เส้นตรงทผี่ า่ นจดุ P และมีความชนั เท่ากับ f (a)
จะเรยี กความชนั ของเสน้ สมั ผสั เส้นโค้งทจี่ ดุ P วา่ ความชนั ของเสน้ โค้งทจ่ี ุด P

จากความรู้เร่ืองสมการของเส้นตรง ถ้า L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด P(x1, y1) และมีความชันเท่ากับ m
แล้ว สมการของเส้นตรง L คือ y  y1  m(x  x1)

เส้นตรงสองเสน้ ต้งั ฉากกนั กต็ ่อเมอื่ ผลคณู ของความชนั ของเส้นตรงท้ังสองเท่ากบั 1
เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั ก็ตอ่ เมอ่ื ความชันของเส้นตรงทง้ั สอง เท่ากัน

ดังนั้น ถ้ากาหนดสมการเส้นโค้ง y  f (x) โดยมีจุด P(x1, y1) อยู่บนเส้นโค้ง ซึ่งทาให้หาค่า f (x1)
ไดแ้ ล้ว เราสามารถหาสมการของเสน้ สัมผัสที่สมั ผัสเส้นโคง้ ทีจ่ ดุ P ไดด้ ้วยวธิ ีการตอ่ ไปน้ี

Y y = f(x)

เสน้ สัมผสั ท่ีจุด P

P(x1, y1)
X

1) หาความชนั ของเส้นสัมผัสเส้นโคง้ ทจี่ ดุ P ซึง่ เทา่ กับ f (x1)
2) หาสมการเสน้ สมั ผสั ท่จี ุด P โดยใช้สูตร

y  y1  f (x1)(x  x1)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรื่อง อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั 30

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาความชนั ของเสน้ โค้ง y  x3  2 ที่จุด (1,1)
วธิ ีทา จาก y  f (x)  x3  2
จะได้ ความชันของเสน้ โค้งทจ่ี ดุ (x, y) ใด ๆ เทา่ กบั f (x) = 3x2
เม่ือแทนคา่ x  1 จะได้ f (1) = 3(1)2  3
ดังนั้น ความชนั ของเส้นโค้งทีจ่ ุด (1,1) เท่ากับ 3

ตวั อยา่ งที่ 2 กาหนดฟังก์ชัน y  x  2x2 เปน็ สมการของเสน้ โค้ง จงหา
วิธีทา 1) ความชนั ของเสน้ โคง้ ท่ีจุด (1,1)
2) สมการของเส้นสัมผสั เสน้ โค้งทจ่ี ุด (1,1)
1) จาก y  f (x)  x  2x2

จะได้ ความชันของเสน้ โค้งทจ่ี ุด (x, y) ใด ๆ เท่ากบั f (x) = 1 4x
เม่ือแทนค่า x 1 จะได้ f (1) = 1 4(1)  3
ดังนน้ั ความชันของเส้นโค้งทจ่ี ดุ (1,1) เทา่ กับ 3
2) สมการของเส้นตรงทีผ่ า่ นจุด (x1, y1) และมีความชนั เท่ากับ m คอื y  y1  m(x  x1)
เนื่องจาก เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (1,1) เป็นเส้นตรงท่ีผ่านจุด (1,1) และมีความชัน
เทา่ กบั 3 ดงั น้ัน สมการของเสน้ สมั ผสั เส้นโคง้ ทจี่ ุด (1,1) คอื

y  (1)  (3)(x 1)

y 1  3x  3

y  3x  2  0

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาสมการของเส้นสัมผสั เสน้ โคง้ y  1 x3  x2  3x  4 ที่ x  3
วธิ ที า
3

จาก y  f (x)  1 x3  x2  3x  4

3

จะได้ ความชนั ของเส้นโคง้ ทจ่ี ุด (x, y) ใด ๆ เทา่ กับ f (x) = x2  2x 3
เม่ือแทนคา่ x  3 จะได้ f (3) = (3)2  2(3)  3  0
ดังนน้ั ความชนั ของเสน้ สมั ผัสเสน้ โค้งท่ีจุด x  3 เทา่ กับ 0

และเมือ่ แทนค่า x  3 ใน y  1 x3  x2  3x  4 จะได้ y  f (3) = 5

3

นั่นคอื เส้นสัมผสั เส้นโคง้ ที่ x  3 เป็นเส้นตรงทผ่ี ่านจดุ (3,5) และมคี วามชันเปน็ 0
ดงั นั้น สมการของเสน้ สัมผัสเส้นโค้งที่ x  3 คือ

y  (5)  (0)(x  3)

y50

y  5

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เร่อื ง อนุพนั ธข์ องฟังก์ชัน 31

แบบฝกึ หดั
เสน้ สัมผัสเสน้ โคง้

1. จงหาความชนั ของเส้นโคง้ ต่อไปน้ี ณ จุดท่กี าหนดให้ และหาสมการของเสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง ณ จดุ นนั้
1) y  x2  3x ที่จดุ (3,0)

จาก y  x2  3x จะได้ dy  d (x2  3x)  2x  3

dx dx

ฉะนัน้ ความชันของเส้นโคง้ ที่จดุ (3,0) เทา่ กับ dy  2(3)  3  3

dx x3

เนือ่ งจาก เส้นสมั ผัสเสน้ โค้งทจ่ี ุด (3,0) เปน็ เสน้ ตรงท่ีผ่านจุด (3,0) และมคี วามชันเทา่ กบั 3
ดังนั้น สมการของเสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ ทจี่ ุด (3,0) คือ y  0  (3)(x 3) หรือ y  3x 9

2) y  x  x2 ทีจ่ ดุ ซึ่ง x  1

2

จาก y  x  x2 จะได้ dy  d (x  x2 )  x  2x
dx dx

เมื่อ x  1 จะได้ y  1   1 2  1
2  2  4
2

ฉะนั้น ความชนั ของเสน้ โคง้ ทจ่ี ุด  1 , 1  เท่ากบั dy  1  2  1   0
 2 4  dx  2 
x1
2

เนอ่ื งจาก เส้นสัมผัสเสน้ โค้งท่จี ุดซง่ึ x 1 เปน็ เสน้ ตรงที่ผา่ นจดุ  1 , 1  และมคี วามชันเทา่ กับ 0
2  2 4 

ดังน้ัน สมการของเสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ ที่จุดซง่ึ x  1 คือ y  1  (0)(x  1) หรอื y  1
24 2 4

3) y  x2  2 ทจี่ ุดซ่งึ x 1

x

y  x2  2 จะได้ dy d  x2  2  d
x dx dx  x  dx
 จาก    1 2x2
  x  2x1

เมือ่ x 1 จะได้ y  3

ฉะนนั้ ความชันของเสน้ โคง้ ทจ่ี ดุ (1,3) เท่ากับ dy  1

dx x1

เนอ่ื งจาก เส้นสัมผสั เสน้ โค้งท่ีจุดซง่ึ x 1 เปน็ เส้นตรงทผ่ี ่านจุด (1,3) และมีความชันเท่ากับ 1
ดงั น้ัน สมการของเสน้ สมั ผสั เสน้ โค้งท่จี ดุ ซง่ึ x 1 คือ y 3  (1)(x 1) หรอื y  x  4

4) y  3 3x2  4 ท่ีจุด (2, 2)

dy  d 3 3x2  4  d 1 2
     จาก 3 3
y  3 3x2  4 จะได้ 3x2  4  (2x) 3x2  4
dx dx dx

ฉะนั้น ความชันของเส้นโค้งที่จุด (2,2) เท่ากับ dy  1

dx x2

เน่ืองจาก เสน้ สมั ผัสเสน้ โคง้ ที่จุด (2,2) เปน็ เสน้ ตรงทีผ่ า่ นจดุ (2,2) และมีความชันเท่ากับ 1
ดงั น้นั สมการของเสน้ สมั ผสั เส้นโค้งท่จี ุด (2,2) คอื y  2  (1)(x  (2)) หรอื y  x

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรอ่ื ง อนุพันธ์ของฟงั ก์ชัน 32

2. ถ้าเส้นตรง y  ax ขนานกับเส้นสัมผสั เส้นโคง้ y  3x2 8 ท่ีจุด (1,11) แล้ว จงหา a
เน่ืองจาก เสน้ ตรง y  ax ขนานกับเสน้ สมั ผสั เส้นโค้ง y  3x2 8 ทีจ่ ดุ (1,11)
ดังนน้ั เส้นตรง y  ax มคี วามชนั เทา่ กบั ความชนั ของเสน้ สัมผัสเสน้ โค้ง y  3x2 8 ทีจ่ ดุ (1,11)

จะได้ dy  d (3x2  8)  6x

dx dx

ฉะนั้น ความชันของเสน้ โค้งท่ีจุด (1,11) เทา่ กับ dy  6

dx x1

เนอ่ื งจาก ความชนั ของเส้นตรง y  ax คอื a ดงั นนั้ a  6
3. ถา้ เส้นตรงเส้นหนึง่ มคี วามชนั เป็น 3 และสมั ผสั เส้นโค้ง y  x2  x ที่จดุ (a,b) แลว้ จงหา a  b

จาก y  x2  x จะได้ dy  d (x2  x)  2x 1

dx dx

ฉะนัน้ ความชันของเส้นสมั ผัสเสน้ โคง้ ท่ีจุด (a,b) เท่ากบั dy  2a 1

dx xa

เนอ่ื งจาก ความชนั ของเส้นสมั ผัสเสน้ โค้งท่จี ดุ (a,b) เทา่ กับ 3
ดงั นั้น 2a 1 3 น่ันคอื a  2
4. จงหาสมการเส้นตรงที่ผา่ นจุด (2,3) และขนานกบั เส้นสัมผัสเสน้ โค้ง y  x3 ทีจ่ ุด (1,1)

จาก y  x3 จะได้ dy  d (x3)  3x2

dx dx

ฉะน้นั ความชันของเส้นสัมผสั เส้นโค้งทจี่ ุด (1,1) เทา่ กบั dy  3(1)2  3

dx x1

จะได้ว่า เสน้ ตรงที่ตอ้ งการมคี วามชนั เทา่ กบั 3 และผ่านจุด (2,3)

ดงั นน้ั สมการเส้นตรงที่ตอ้ งการ คือ y 3  3(x  2) หรือ y  3x 3

5. จงหาจุดบนเส้นโค้ง y  x3 3x ท้งั หมดท่ีทาใหเ้ ส้นสมั ผสั เส้นโคง้ ท่จี ดุ นี้ขนานกับแกน X

ให้ (a,b) เป็นจดุ บนเส้นโคง้ y  x3 3x ซง่ึ เส้นสัมผสั เสน้ โคง้ ท่จี ดุ นข้ี นานกับแกน X

เนอ่ื งจาก y  x3  3x จะได้ dy  d (x3  3x)  3x2  3

dx dx

ฉะนัน้ ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เส้นโคง้ ที่จุด (a,b) เท่ากบั dy  3a2  3

dx xa

เนื่องจาก เสน้ สมั ผสั เส้นโค้งท่จี ุด (a,b) ขนานกับแกน X

ดังนั้น เส้นสัมผสั เส้นโคง้ ที่จดุ (a,b) มีความชนั เปน็ 0

นนั่ คือ 3a2  3  0

จะได้ a 1 หรอื a  1

เนื่องจาก (a,b) เป็นจดุ บนเส้นโค้ง y  x3 3x

ดังนั้น b  a3  3a

ฉะนั้นเมอื่ a 1 จะได้ b 13 3(1)  2

และเม่อื a  1 จะได้ b  (1)3  3(1)  2

ดงั นนั้ จดุ บนเสน้ โคง้ y  x3 3x ทัง้ หมดทท่ี าให้เสน้ สมั ผัสเส้นโค้งที่จดุ นี้ขนานกับแกน X คอื

(1, 2) และ (1, 2)

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่ือง อนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชัน 33

7. การประยกุ ตข์ องอนพุ นั ธ์

7.1 การเคลื่อนทีแ่ นวตรง
ในการเคล่ือนท่ีของวัตถุในแนวเส้นตรง มีปริมาณ 3 ชนิดท่ีเกี่ยวข้องกับเวลา ได้แก่ ตาแหน่งของวัตถุ
ความเร็วของวัตถุ และความเรง่ ของวตั ถุ
การเคล่ือนท่ีของวัตถุสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชัน y  s(t) โดยที่ s(t) คือตาแหน่งของวัตถุ ณ ขณะ

เวลา t ใด ๆ

ความเร็วของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ s เทียบกับ t ณ
ขณะเวลา t นนั่ คอื ความเร็ว v เป็นอนุพันธ์ของ s เทียบกับ t ดังนั้น v เป็นฟังก์ชันของเวลา t
กาหนดโดย

v(t)  s(t)  lim s(t  h)  s(t)
h0 h

จะเห็นว่าความเร็ว v เปน็ ฟังก์ชันของเวลา t

ในทานองเดยี วกนั

ความเรง่ ของวตั ถขุ ณะเวลา t ใด ๆ คอื อตั ราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว v เทียบกับ
t ณ ขณะเวลา t น่ันคือ ความเร่ง a เป็นอนุพันธข์ อง v เทียบกับ t นัน่ คอื

a(t)  v(t)  s(t)

ดังนั้น ความเรง่ คอื อนพุ ันธอ์ นั ดบั ที่ 1 ของฟงั กช์ ันความเร็ว v และเปน็ อนพุ นั ธ์อนั ดับท่ี 2 ของฟังก์ชนั ตาแหนง่ s
ความสัมพนั ธร์ ะหว่างสมการการเคลือ่ นที่ ความเร็ว และความเรง่

สมการการเคลื่อนท่ี y  s(t) ความเร่ง a(t)  v(t)  s(t)

อนุพนั ธ์ ความเร็ว v(t)  s(t) อนุพันธ์

ขอ้ ควรรู้ 1. เน่อื งจาก ความเร็ว คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางเมื่อเทยี บกับเวลา ดงั น้ัน
ความเรว็ ต้องมหี นว่ ยเป็น ระยะทางต่อเวลา

2. เนือ่ งจาก ความเรง่ คือ อัตราการเปล่ยี นแปลงของความเร็วเม่ือเทียบกับเวลา ดังนั้น ความเร่ง
ต้องมหี นว่ ยเป็น ความเรว็ /เวลา หรือ (ระยะทาง/เวลา)/เวลา ซ่ึงกค็ ือ ระยะทางตอ่ เวลา2

3. ความเร็วและความเร่ง ต่างก็เป็นปริมาณเวกเตอร์ ท่ีมีท้ังขนาดและทิศทางเข้ามาเก่ียวข้องซ่ึง
แสดงได้ดว้ ยเครอื่ งหมาย

4. อัตราเรว็ เปน็ ปริมาณสเกลาร์ มคี ่าเท่ากบั ขนาดของความเร็ว
5. อตั ราเรง่ เป็นปรมิ าณสเกลาร์ มีค่าเท่ากับขนาดของความเรง่

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เร่ือง อนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชนั 34

ตัวอย่างท่ี 1 ถ้าวัตถชุ น้ิ หนึง่ เคล่ือนท่ีในแนวราบได้ระยะทาง s(t)  t2  t เมตร ขณะเวลา t วนิ าที จงหา
วธิ ที า
1) ระยะหา่ งของวตั ถจุ ากตาแหน่งเร่ิมต้น ขณะเวลา 10 วินาที
2) ความเรว็ ของวตั ถุขณะเวลา 10 วินาที
3) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา 10 วินาที
จาก s(t)  t2  t

จะได้วา่ v(t)  s(t)  2t 1

และ a(t)  v(t)  2

1) ระยะหา่ งของอนุภาคจากตาแหน่งเรมิ่ ต้น ขณะเวลา 10 วนิ าที เมตร
คือ | s(10)  s(0) | |102 10  0 |  |110 | 110

2) ความเร็วของอนุภาคขณะเวลา 10 วนิ าที คือ v(10)  2(10) 1 21 เมตรตอ่ วนิ าที

3) ความเร่งของอนุภาคขณะเวลา 10 วนิ าที คือ a(10)  2 เมตรตอ่ วินาที2

จากตัวอย่างข้างต้น ขณะเวลา 10 วินาที ความเร็วและความเร่งของวัตถุเป็นจานวนจริงบวก แสดงว่า
วัตถุกาลงั เคลือ่ นท่ีไปทางขวาและมีความเร็วเพ่ิมขึน้

ตวั อย่างที่ 2 ซาร่าโยนวัตถุขึ้นในแนวดิ่ง ถ้าตาแหน่งของวัตถุหลังจากโยนวัตถุไปแล้ว t วินาที หาได้จาก
วิธที า s(t)  30t  5t2 เมตร จงหา

1) ระยะห่างของวัตถจุ ากตาแหนง่ เร่ิมต้น หลังจากโยนวตั ถไุ ปแลว้ 5 วินาที
2) ความเรว็ ของวตั ถุขณะเวลา 2 วนิ าที
3) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา 2 วนิ าที
จาก s(t)  30t  5t2

จะได้ว่า v(t)  s(t)  30 10t

และ a(t)  v(t)  10

1) ระยะหา่ งของวตั ถจุ ากตาแหนง่ เรม่ิ ตน้ หลงั จากโยนวตั ถุไปแลว้ 5 วินาที

คอื | s(10)  s(0) | | 30(5)  5(52)  0 |  | 25 |  25 เมตร

2) ความเร็วของอนภุ าคขณะเวลา 2 วนิ าที คือ v(10)  30 10(2) 10 เมตรตอ่ วนิ าที

3) ความเร่งของอนุภาคขณะเวลา 2 วนิ าที คือ a(10)  10 เมตรตอ่ วินาที2

จากตัวอย่างข้างต้น ขณะเวลา 2 วินาที ความเร็วของวัตถุเป็นจานวนจริงบวก แต่ความเร่งของวัตถุเป็น
จานวนจรงิ ลบ แสดงวา่ วัตถุกาลงั เคลื่อนทีข่ นึ้ แตม่ ีความเร็วลดลง

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เร่อื ง อนุพันธ์ของฟงั ก์ชัน 35

แบบฝกึ หดั
การเคร่ืองทแ่ี นวตรง

1. ให้ s(t)  2t3 t  5 เปน็ ฟงั ก์ชันแสดงตาแหน่งของวัตถทุ เี่ คล่ือนท่ีไดใ้ นแนวตรง (มหี นว่ ยเป็นเมตร) ขณะ

เวลา t วินาที จงหา
1) ระยะห่างของวตั ถจุ ากตาแหน่งเร่ิมตน้ ขณะเวลา 1 วินาที
2) ความเร็วของวตั ถุขณะเวลา 1 วินาที
3) ความเร่งของวตั ถุขณะเวลา 1 วินาที

จาก s(t)  2t3  t  5

จะได้วา่ v(t)  s(t)  6t2 1

และ a(t)  v(t)  12t

1) ระยะหา่ งของวตั ถุจากตาแหน่งเร่มิ ต้น ขณะเวลา 1 วินาที

   คอื | s(1)  s(0) | | 2(1)3  (1)  5  2(0)3  (0)  5 |  |1| 1 เมตร

2) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา 1 วนิ าที คอื v(1)  6(1)2 1  5 เมตรตอ่ วินาที
3) ความเร่งของวตั ถุขณะเวลา 1 วินาที คอื a(1) 12 เมตรตอ่ วินาที2

2. กาหนดให้ของวัตถุที่เคล่ือนท่ีได้ในแนวตรง ถ้าตาแหน่งของวัตถุ (มีหน่วยเป็นเมตร) ขณะเวลา t วินาที หาได้
จาก s(t)  t3  3t2  t  5 จงหา

1) ระยะหา่ งของวัตถุจากตาแหนง่ เรมิ่ ตน้ ขณะเวลา 1 วนิ าที
2) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา 1 วนิ าที
3) ความเร่งของวตั ถุขณะเวลา 1 วนิ าที

จาก s(t)  t3  3t2  t  5

จะได้ว่า v(t)  s(t)  3t2  6t 1

และ a(t)  v(t)  6t  6

1) ระยะหา่ งของวตั ถจุ ากตาแหนง่ เริม่ ตน้ ขณะเวลา 1 วินาที

   คือ | s(1)  s(0) | | 13  3(12) 1 5  03  3(02)  0  5 |  | 1| 1 เมตร

2) ความเร็วของวตั ถุขณะเวลา 1 วนิ าที คือ v(1)  3(12)  6(1) 1 2 เมตรตอ่ วินาที
3) ความเร่งของวตั ถุขณะเวลา 1 วินาที คอื a(1)  6(1)  6  0 เมตรตอ่ วนิ าที2

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เร่อื ง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั 36

3. ไบร์ทปล่อยวัตถุจากท่ีสูงลงสู่พื้นดิน ถ้าตาแหน่งของวัตถุ (มีหน่วยเป็นเมตร) หลังจากปล่อยวัตถุไปแล้ว t
วินาที หาไดจ้ าก s(t)  5t2  50 จงหา

1) ระยะห่างของวัตถจุ ากตาแหนง่ เรมิ่ ต้น หลงั จากปลอ่ ยวตั ถุไปแลว้ ขณะเวลา 3 วินาที
2) ความเรว็ ของวตั ถุขณะเวลา 3 วินาที
3) ความเรง่ ของวัตถุขณะเวลา 5 วนิ าที

จาก s(t)  5t2  50

จะไดว้ ่า v(t)  s(t)  10t

และ a(t)  v(t)  10

1) ระยะหา่ งของวตั ถจุ ากตาแหนง่ เร่ิมตน้ หลังจากปล่อยวตั ถุไปแล้ว ขณะเวลา 3 วนิ าที

   คือ | s(3)  s(0) | | 5(3)3  50  5(0)3  50 |  | 45 |  45 เมตร

2) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา 3 วินาที คือ v(1)  10(2)  20 เมตรตอ่ วินาที
3) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา 5 วนิ าที คือ a(5)  10 เมตรตอ่ วินาที2

4. บาสโยนก้อนหินไปในแนวด่ิง ถ้าตาแหน่งของก้อนหิน (มีหน่วยเป็นเมตร) หาได้จาก s(t) 10t 5t2 เม่ือ t

แทนระยะเวลาตั้งแต่เรม่ิ ตน้ โยนกอ้ นหนิ (มหี น่วยเปน็ วินาที๗ จงหา
1) ความเรว็ ของกอ้ นหนิ ขณะเวลา t ใด ๆ
2) ความเร่งของก้อนหนิ ขณะเวลา t ใด ๆ
3) เม่อื เวลาผ่านไปนานเท่าใด กอ้ นกนิ จงึ จะอย่ใู นตาแหน่งท่ีสงู ท่สี ุดจากตาแหน่ งเรมิ่ ตน้

จาก s(t) 10t  5t2

จะไดว้ า่ v(t)  s(t)  10 10t

และ a(t)  v(t)  10

1) ความเรว็ ของก้อนหิน ขณะเวลา t ใด ๆ คือ 10 10t เมตรตอ่ วนิ าที
2) ความเร่งของกอ้ นหนิ ขณะเวลา t ใด ๆ คอื 10 เมตรตอ่ วินาที2

3) เนือ่ งจาก s(t) 10t 5t2 จะได้

s(t)  5(t2  2t)

 5(t2  2t 1)  5

 5(t 1)2  5

นนั่ คือ กราฟของ s เปน็ พาราโบลาควา่ ที่มจี ดุ ยอดอยู่ท่ี (1,5)

ดังน้ัน เมอ่ื เวลาผ่านไป 1 วนิ าที ก้อนกินจึงจะอยูใ่ นตาแหนง่ ท่สี งู ที่สดุ จากตาแหนง่ เริ่มต้น

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เร่ือง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชัน 37

7.2 คา่ สงู สดุ และค่าต่าสุดของฟังก์ชนั

ในหวั ขอ้ น้จี ะกลา่ วถงึ การใช้ความรู้เรื่องอนุพนั ธใ์ นการหาค่าสูงสดุ และค่าต่าสุดของฟังกช์ ัน กลา่ วคือ เม่ือ
กาหนดฟงั กช์ ันในรปู y  f (x) แลว้ ตอ้ งกาหาคา่ ของ x ทีท่ าให้ y มคี ่าสงู สุดหรอื ค่าต่าสุด

สาหรับฟังก์ชันกาลังสอง การหาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดอาจทาได้โดยใช้วิธีกาลังสองสมบูรณ์ดังที่ได้ศึกษา
มาแลว้ เช่น

กาหนด y  x2 12x จะได้

y  (x2 12x  36)  36  (x  6)2  36

เมอ่ื แทน x  6 ทาให้ (x  6)2  0 ดงั นนั้ y จึงมีค่าต่าสุดเท่ากบั 36 เมอื่ x  6

สาหรับฟังก์ชันทั่วไป การหาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดสามารถทาได้โดยใช้ความรู้เรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
และใช้ความรู้เร่ืองฟังก์ชนั เพิ่มและฟังกช์ ันลดทไี่ ด้ศึกษามาแลว้ ในเร่ืองฟังกช์ นั ดังน้ี

กาหนดให้ f เปน็ ฟงั กช์ ันซึ่งมโี ดเมนแลเรนจเ์ ป็นสบั เซตของเซตของจานวนจริง และ A เป็นสับเซตของ
โดเมน

f เป็นฟังก์ชนั เพิ่ม (Increasing function) บนเซต A ก็ต่อเมอ่ื สาหรับ x1 และ x2 ใด ๆ ใน A
ถ้า x1  x2 แลว้ f (x1)  f (x2)

f เป็นฟังก์ชันลด (Decreasing function) บนเซต A กต็ ่อเม่ือ สาหรับ x1 และ x2 ใด ๆ ใน A

ถา้ x1  x2 แลว้ f (x1)  f (x2)

พจิ ารณากราฟของฟังกช์ ันต่อไปน้ี y  f (x)

นลด

ฟังก์ชันลด

ฟงั กช์ นั เพ่มิ ฟงั กช์ นั เพ่มิ

จากรูป จะพบวา่ ในบางชว่ ง f ฟงั ก์ชันลด และในบางชว่ ง f ฟังก์ชนั เพ่ิม

พิจารณาความชันของเส้นสมั ผัสเส้นโค้งซ่ึงเปน็ กราฟของฟังกช์ นั เพ่มิ หรอื ฟงั กช์ นั ลด ดงั ตอ่ ไปน้ี

YY

y  f (x) y  f (x)

f (x)  0 f (x)  0

0X 0X

รูปท่ี 1 ฟังกช์ นั เพ่มิ
จากรูปที่ 1 แสดงกราฟของฟังก์ชันเพิ่ม เนื่องจากเม่ือ x เพิ่มข้ึน ค่าของ f (x) จะเพิ่มข้ึนด้วย และจะ
เห็นวา่ ความชนั ของเส้นสัมผสั เส้นโคง้ ณ จุดใด ๆ บนเส้นโค้งเปน็ จานวนบวก น่นั คอื f (x)  0

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรอื่ ง อนุพันธ์ของฟังก์ชนั 38

YY

f (x)  0 f (x)  0

0 y  f (xX) 0 y  f (x) X

รปู ที่ 2 ฟังก์ชนั ลด

จากรปู ท่ี 2 แสดงกราฟของฟังก์ชันลด เนื่องจากเมื่อ x มีค่าเพ่ิมข้ึน ค่าของ f (x) จะลดลง และจะเห็น
ว่าความชันของเส้นสมั ผสั เสน้ โค้ง ณ จุดใด ๆ บนเส้นโคง้ เปน็ จานวนลบ นนั่ คอื f (x)  0

จากความรู้ข้างต้นน้ี เม่ือพิจารณากรณีทั่ว ๆ ไป การพิจารณาว่าฟังก์ชันท่ีกาหนดให้เป็นฟังก์ชันเพ่ิมหรือ
ฟังกช์ นั ลดบนชว่ งใดบ้าง อาจทาไดโ้ ดยพจิ ารณาจากค่าของความชนั ของเสน้ สัมผัสเส้นโคง้ ดงั ทฤษฎบี ทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท ให้ f เปน็ ฟงั ก์ชันทห่ี าอนุพนั ธไ์ ด้บนช่วง A ซงึ่ เป็นสบั เซตของโดเมนของฟงั กช์ นั f
1) ถ้า f (x)  0 สาหรบั ทุก x ในชว่ ง A แล้ว f จะเป็นฟงั ก์ชัน เพม่ิ บนชว่ ง A
2) ถา้ f (x)  0 สาหรบั ทุก x ในชว่ ง A แลว้ f จะเป็นฟงั กช์ นั ลด บนช่วง A

ตัวอยา่ งท่ี 1 กาหนดให้ f (x)  2x3  3x2 12x  4
วิธีทา 1) จงหาช่วงท่ีทาให้ f เปน็ ฟังกช์ ันเพมิ่
2) จงหาช่วงทที่ าให้ f เป็นฟงั ก์ชนั ลด
จาก f (x)  2x3  3x2 12x  4
จะได้ f (x)  6x2  6x 12  6(x2  x  2)

 6(x 1)(x  2)

ดังน้นั f (x)  0 เม่ือ x = 1 หรอื x = 2
พจิ ารณาค่าของ f (x) โดยเขยี นเสน้ จานวนและจดุ แบง่ ชว่ ง ดงั น้ี

f (x)  0 f (x)  0

f (x)  0 f (x)  0 f (x)  0

-1 2

จะได้ว่า f (x)  0 บน (, 1) (2,)
และ f (x)  0 บน (1, 2)
ดงั นน้ั f เปน็ ฟังก์ชันเพิม่ บนช่วง (,1) และ (2,)
และ f เปน็ ฟังกช์ ันเพิ่มลดช่วง (1,2)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เร่ือง อนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั 39

แบบฝกึ หัด
ฟังกช์ ันเพิ่มและฟังกช์ นั ลด

จากฟงั ก์ชนั ทก่ี าหนดให้ จงระบชุ ่วงทฟี่ ังกช์ นั เป็นฟังกช์ ันเพิ่มและชว่ งท่ฟี ังกช์ นั เปน็ ฟังก์ชันลด

1) f (x)  3  2x  x2 2) f (x)  2x2  x  3

วธิ ีทา เนื่องจาก f (x)  2  2x  2(x 1) วิธที า เนื่องจาก f (x)  4x 1

ดังนนั้ f (x)  0 เมอ่ื x  1 ดงั นัน้ f (x)  0 เมอื่ x 1/ 4

พจิ ารณาค่าของ f (x) โดยเขยี นเสน้ จานวนและ พิจารณาค่าของ f (x) โดยเขียนเส้นจานวนและ

จุดแบ่งชว่ ง ดงั น้ี จุดแบง่ ช่วง ดงั น้ี

จะได้วา่ f (x)  0 บน (, 1) จะได้วา่ f (x)  0 บน (1/ 4,)
และ f (x)  0 บน (1,) และ f (x)  0 บน (,1/ 4)
ดังนั้น f เปน็ ฟงั กช์ ันเพมิ่ บนช่วง (, 1) ดังนั้น f เปน็ ฟังก์ชนั เพมิ่ บนช่วง (1/ 4,)
และ f เป็นฟงั ก์ชนั เพมิ่ ลดช่วง (1,) และ f เป็นฟังกช์ ันเพ่มิ ลดช่วง (,1/ 4)

3) f (x)  x3  x2 8x 4) f (x)  2x3  3x2  36x  5

วิธีทา เนือ่ งจาก f (x)  3x2  2x 8 วิธที า เน่ืองจาก f (x)  6x2  6x  36

 (3x  4)(x  2)  6(x  3)(x  2)

ดงั นั้น f (x)  0 เม่อื x  4 / 3 หรือ x  2 ดงั นัน้ f (x)  0 เมอ่ื x  3 หรือ x  2
พิจารณาคา่ ของ f (x) โดยเขียนเสน้ จานวนและ พจิ ารณาคา่ ของ f (x) โดยเขยี นเสน้ จานวนและ
จุดแบ่งช่วง ดงั น้ี จดุ แบง่ ชว่ ง ดังน้ี

จะได้ว่า f (x)  0 บน (, 4 / 3) จะได้ว่า f (x)  0 บน (, 3)
และ (2,) และ (2,)

และ f (x)  0 บน (4 / 3, 2) และ f (x)  0 บน (3, 2)
ดงั นั้น f เปน็ ฟงั ก์ชันเพม่ิ บนช่วง (2,) ดงั นน้ั f เปน็ ฟังกช์ นั เพม่ิ บนช่วง (, 3)

และชว่ ง (, 4 / 3) และชว่ ง (2,)
และ f เป็นฟงั กช์ ันเพมิ่ ลดชว่ ง (4 / 3, 2) และ f เป็นฟังก์ชนั เพ่มิ ลดช่วง (3, 2)

ต่อไปจะนาความรู้เก่ียวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันจากทฤษฎีบทข้างต้นไปใช้ในการพิจารณาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดของ
ฟงั ก์ชนั แต่ก่อนทจ่ี ะพิจารณาค่าสงู สดุ และคา่ ตา่ สุดของฟงั ก์ชัน ควรรูจ้ กั ค่าสงู สดุ สัมพัทธแ์ ละค่าตา่ สดุ สัมพัทธ์ ดงั น้ี

บทนยิ าม
ฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ท่ี x  c ถ้ามีช่วง (a,b) ซ่ึง c (a,b) และ f (c)  f (x) สาหรับทุก x ใน

โดเมนของฟังก์ชัน f ท่ีอยู่ช่วง (a,b) เรียก f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (Relative maximum) ของฟังก์ชัน f และเรียกจุด
(c, f (c)) ว่าจดุ สงู สุดสัมพทั ธ์ฟังกช์ ัน f

ฟังก์ชัน f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ท่ี x  c ถ้ามีช่วง (a,b) ซึ่ง c (a,b) และ f (c)  f (x) สาหรับทุก x ใน
โดเมนของฟังก์ชัน f ท่ีอยู่ช่วง (a,b) เรียก f (c) เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์ (Relative minimum) ของฟังก์ชัน f และเรียกจุด
(c, f (c)) ว่าจุดต่าสดุ สัมพัทธ์ฟังก์ชัน f

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรื่อง อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั 40
พจิ ารณากราฟของฟงั ก์ชันตอ่ ไปน้ี

รูปท่ี 3

จากรูปที่ 3 จะเห็นวา่ จุด B และ D เป็นจดุ สงู สุดสมั พัทธ์ สว่ นจุด A,C และ E เป็นจุดต่าสุดสัมพัทธ์

กลา่ วคือ A(a, f (a)) จุดตา่ สุดสัมพัทธ์ B(b, f (b)) จุดสูงสุดสัมพัทธ์

C(c, f (c)) จดุ ตา่ สุดสมั พัทธ์ D(d, f (d)) จุดสงู ดสมั พัทธ์

E(e, f (e)) จดุ ตา่ สดุ สมั พัทธ์

ตอ่ ไปพจิ ารณากราฟของฟังก์ชนั ต่อไปนี้

Y f (c)  0

f (x)  0 f (x)  0

0a c b X

รปู ท่ี 4

จากรปู ที่ 4 จะเห็นว่าฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ท่ี x  c เนื่องจากมีช่วง (a,b) ซึ่ง c(a,b) และ
f (c)  f (x) สาหรับทกุ x ในโดเมนของฟงั ก์ชนั f ที่อยู่ช่วง (a,b)

สังเกตว่า f เป็นฟงั กช์ นั เพ่มิ บนชว่ ง (a,c) และฟงั กช์ ัน f เป็นฟังกช์ ันลดบนชว่ ง (c,b) ซ่งึ กล่าวได้ว่า
ถ้า f (x)  0 เม่ือ x น้อยกว่า c เล็กน้อย และ f (x)  0 เมื่อ x มากกว่า c เล็กน้อย แล้วฟังก์ชัน f มี
คา่ สูงสุดสมั พทั ธท์ ี่ x  c และสงั เกตวา่ f (c)  0

ในทานองเดียวกนั เม่อื พิจารณากราฟของฟงั ก์ชัน f ซึ่งมีค่าต่าสุดสมั พทั ธ์ท่ี x  c ดงั รูปที่ 5

Y

f (x)  0 f (x)  0

f (c)  0 X

0a c b

รูปที่ 5

จากรปู ที่ 5 จะเห็นว่าฟังก์ชัน f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่ x  c เน่ืองจากมีช่วง (a,b) ซ่ึง c(a,b) และ
f (c)  f (x) สาหรับทุก x ในโดเมนของฟงั ก์ชนั f ท่อี ยู่ช่วง (a,b)

สังเกตว่า f เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง (a,c) และฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (c,b) น่ันคือ ถ้า
f (x)  0 เมื่อ x น้อยกว่า c เล็กน้อย และ f (x)  0 เมื่อ x มากกว่า c เล็กน้อย แล้วฟังก์ชัน f มีค่า
ตา่ สดุ สัมพัทธท์ ี่ x  c และสังเกตว่า f (c)  0

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรอ่ื ง อนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชัน 41

ดังนั้น ถ้า f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ของ f และ f (c) มีค่า แล้ว f (c)  0
ซง่ึ สรปุ เปน็ ทฤษฎบี ทไดด้ ังนี้

ทฤษฎีบท ให้ f เป็นฟังก์ชันที่นิยามบนช่วง (a,b) และ c(a,b) ถ้าฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุด
สัมพัทธ์หรอื คา่ ต่าสดุ สมั พัทธท์ ี่ x  c และ f (c) มคี า่ แล้ว f (c)  0

บทนยิ าม
ให้ f เป็นฟังก์ชันที่นิยามบนช่วง (a,b) เรียกจานวนจริง c(a,b) ซึ่งทาให้ f (c)  0 หรือ

f (c) ไม่มีค่า วา่ คา่ วิกฤต (Critical value) ของฟังก์ชัน f และเรียกจุด (c, f (c)) ว่าเป็น จุดวิกฤต

(Critical point) ของฟังกช์ ัน f

หมายเหตุ ในทนี่ จ้ี ะกลา่ วถึงเฉพาะฟงั ก์ชันท่ีมเี พียงค่าวิกฤต c ซง่ึ f (c)  0 เทา่ นนั้
โดยจะไม่พจิ ารณาฟังก์ชันทม่ี เี พียงคา่ วิกฤต c ซง่ึ f (c) ไมม่ คี ่า

ในการหาค่าสูงสดุ สมั พัทธ์หรอื คา่ ตา่ สดุ สมั พัทธ์ของฟังก์ชัน เราสามารถใช้ความรู้เรื่องอนุพันธ์ในการหาได้
ซึ่งวธิ ีหามี 2 วิธดี ังตอ่ ไปน้ี

1. โดยใชอ้ นพุ ันธอ์ นั ดับท่ี 1
2. โดยใชอ้ นุพนั ธ์อนั ดับท่ี 2

1. การหาคา่ สงู สุดสมั พทั ธ์หรอื คา่ ต่าสุดสมั พัทธ์ของฟังกช์ นั โดยใชอ้ นพุ ันธ์อนั ดบั ท่ี 1
จากทฤษฎีบทข้างต้น ถ้า f (c)  0 แล้ว f (c) จะไม่ใช่ค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ ดังน้ันใน

การหาคา่ สงู สดุ สัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสมั พทั ธ์ของฟังก์ชัน y  f (x) มีขน้ั ตอนดงั นี้

1) หาค่าวกิ ฤต c ซง่ึ f (c)  0 กอ่ น

2) จากนั้นจึงพิจารณาว่า เม่ือ x เปล่ียนจาก x  c เป็น x  c แล้วค่าของ f (x) เปล่ียน
จากจานวนจริงบวกเปน็ จานวนจริงลบ หรอื เปลยี่ นจากจานวนจรงิ ลบเปน็ จานวนจริงบวก หรือไม่

2.1) ถา้ คา่ ของ f (x) เปลีย่ นจากจานวนจริงบวกเปน็ จานวนจริงลบ แสดงวา่ c เปน็ คา่ วกิ ฤตที่ทาให้

ฟงั กช์ ันมี ค่าสงู สุดสัมพัทธ์และค่าสูงสดุ สัมพทั ธ์ คือ f (c) ดงั รูปที่ 6

Y f (c)  0

f (x)  0 f (x)  0

0 รcูปท่ี 6 X
2.2) ถ้าค่าของ f (x) เปล่ยี นจากจานวนจริงลบเปน็ จานวนจรงิ บวก แสดงว่า c เปน็ คา่ วกิ ฤตท่ีทาให้
ฟงั ก์ชนั มี ค่าตา่ สุดสมั พัทธแ์ ละคา่ ต่าสุดสัมพทั ธ์ คือ f (c) ดงั รูปที่ 7

Y

f (x)  0 f (x)  0

f (c)  0

0c X

รูปที่ 7

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอ่ื ง อนุพันธ์ของฟงั ก์ชัน 42

2.3) แต่ถ้าค่าของ f (x) ไมม่ ีการเปลีย่ นจากจานวนจริงบวกเป็นจานวนจริงลบหรือไม่มีการเปลี่ยนจาก

จานวนจริงลบเป็นจานวนจริงบวก แสดงว่า c เป็นค่าวิกฤตที่ ไม่ได้ทาให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุด

สมั พัทธ์ ดังรปู ที่ 8 และรปู ท่ี 9

Y Y f (x)  0

f (x)  0

f (c)  0 f (c)  0
f (x)  0
f (x)  0 X
0c
0c X
รปู ที่ 9
รปู ท่ี 8

ทฤษฎีบท ให้ f เป็นฟงั ก์ชนั ทหี่ าอนพุ นั ธ์ไดบ้ นชว่ ง (a,b) และ c(a,b) เป็นคา่ วกิ ฤตของ f
1) ถ้า f (x) เปล่ียนจากจานวนจริงบวกเป็นจานวนจริงลบ เม่ือ x เพ่ิมขึ้นรอบ ๆ c

แลว้ f (c) เป็นค่าสูงสดุ สมั พัทธข์ อง f
2) ถ้า f (x) เปลี่ยนจากจานวนจริงลบเป็นจานวนจริงบวก เมื่อ x เพ่ิมขึ้นรอบ ๆ c

แล้ว f (c) เป็นคา่ ต่าสดุ สมั พัทธ์ของ f

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าตา่ สุดสัมพทั ธ์ของฟังก์ชัน f (x)  2x3  3x2 12x  7
วิธีทา จาก f (x)  2x3  3x2 12x  7
จะได้ f (x)  6x2  6x 12

 6(x2  x  2)  6(x  2)(x 1)

ดังนน้ั f (x)  0 เมือ่ x = 2 หรือ x =1
จะได้ ค่าวกิ ฤตของฟังก์ชนั f มี 2 ค่า คือ 2 และ 1
พจิ ารณาคา่ ของ f (x) เมื่อ x เป็นค่าวกิ ฤตและจานวนจริงในช่วงตา่ ง ๆ โดยใช้เส้นจานวน
ดังนี้

f (x)  0 f (x)  0

f (x)  0 f (x)  0 f (x)  0

-2 1

จะเห็นวา่ x  2 เป็นจดุ แบ่งที่ทาให้ f (x) เปลย่ี นจากจานวนจรงิ บวกเป็นจานวนจรงิ ลบ
ดังน้ัน f (2) 13 เปน็ ค่าสงู สดุ สมั พัทธ์
และ x  1 เปน็ จุดแบ่งที่ทาให้ f (x) เปลยี่ นจากจานวนจรงิ ลบเป็นจานวนจรงิ บวก
ดงั นัน้ f (1)  14 เป็นคา่ ต่าสุดสมั พัทธ์

2. การหาคา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์หรือค่าตา่ สดุ สัมพทั ธ์ของฟงั ก์ชัน โดยใชอ้ นุพนั ธ์อนั ดับที่ 2
ที่กล่าวมาข้างต้นเป็นวิธีพิจารณาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่าสุดสัมพัทธ์โดยใช้อนุพันธ์อันดับท่ี 1 ของ
ฟงั กช์ นั ช่วยในการพจิ ารณาหาค่าวกิ ฤตแลว้ พจิ ารณาว่าค่าวิกฤตแต่ละค่าน้ันทาให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่า
ต่าสุดสัมพัทธ์ โดยพิจารณาจากการเปลี่ยนแปลงค่าของอนุพันธ์อันดับท่ี 1 ของฟังก์ชันท่ีจุดบริเวณใกล้เคียงจุด
วกิ ฤตน้ัน

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอ่ื ง อนุพันธ์ของฟงั ก์ชัน 43

นอกจากน้ียังสามารถใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2 มาในช่วยในการพิจารณาว่า ณ ค่าวิกฤตน้ัน ๆ ฟังก์ชันมี
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือไม่ สาหรับในกรณีที่อนุพันธ์อันดับท่ี 2 ของฟังก์ชันหาค่าไม่ได้หรือ
เท่ากับศูนย์ ณ ค่าวิกฤต เราจะพิจารณาโดยวิธีเดิมคือ พิจารณาจากการเปล่ียนแปลงค่าของอนุพันธ์อันดับที่ 1
ของฟงั ก์ชันที่จุดบรเิ วณใกลเ้ คียงจดุ วิกฤตนั้น

ทฤษฎีบท กาหนดให้ f เปน็ ฟงั กช์ ันต่อเน่ืองบนช่วง (a,b) และ c(a,b) เป็นค่าวกิ ฤตของ f
ซง่ึ f (c)  0 และ f (c) มีคา่
1) ถา้ f (c)  0 แล้ว f (c) เป็น ค่าต่าสดุ สัมพัทธ์ ของ f
2) ถ้า f (c)  0 แลว้ f (c) เป็น คา่ สงู สุดสมั พัทธ์ ของ f

จากทฤษฎบี ท จะพบวา่
1) การหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2 จะใช้เฉพาะค่า
วกิ ฤต c ซง่ึ f (c)  0 เท่าน้ัน

2) ถ้าทราบว่า f (c) เป็นจานวนจรงิ บวกหรอื จานวนจริงลบ จะสามารถบอกได้ว่า f (c) เป็นค่าสูงสุด

สัมพทั ธ์หรอื ค่าต่าสดุ สมั พทั ธ์
3) แต่ถ้า f (c)  0 แล้วเราจะไม่สามารถสรุปได้ว่า f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์

เพราะ f (c) อาจจะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ หรืออาจจะไม่เป็นทั้งค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่า

ต่าสดุ สัมพัทธ์เลยกไ็ ด้ ดังน้นั ในกรณีนจ้ี ะตรวจสอบค่าสงู สุดสัมพทั ธห์ รือค่าต่าสุดสมั พทั ธ์โดยใชอ้ นุพนั ธอ์ ันดบั ที่ 1

ตัวอย่างที่ 3 จงหาคา่ สงู สดุ สัมพัทธ์และค่าต่าสุดสัมพทั ธ์ของฟงั กช์ นั f (x)  2x3  3x2 12x  7
วธิ ีทา
จาก f (x)  2x3  3x2 12x  7

จะได้ f (x)  6x2  6x 12

 6(x2  x  2)  6(x  2)(x 1)

ดังนน้ั f (x)  0 เมอ่ื x = 2 หรือ x =1
จะได้ ค่าวิกฤตของฟงั ก์ชัน f มี 2 ค่า คือ 2 และ 1

ตอ่ ไปหาอนุพนั ธอ์ ันดบั ท่ี 2 ของ f จะได้

f (x)  12x  6

เนือ่ งจาก f (2) 12(1)  6  6 ซง่ึ 6  0

และ f (1) 12(1)  6 18 ซง่ึ 18  0

ดงั นัน้ f มีคา่ สูงสดุ สมั พทั ธ์ที่ x = 2 และคา่ สงู สดุ สัมพัทธ์คอื f (2) 13

และ f มีคา่ ต่าสุดสมั พทั ธ์ที่ x =1 และคา่ ต่าสุดสมั พทั ธ์คอื f (1)  14

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาค่าสงู สดุ สมั พัทธ์และค่าตา่ สุดสมั พทั ธข์ องฟังก์ชัน f (x)  x3  3x2  24x  20
วธิ ีทา จาก f (x)  x3  3x2  24x  20
จะได้ f (x)  3x2  6x  24

 3(x2  2x 8)  3(x  4)(x  2)

ดงั นน้ั f (x)  0 เม่อื x = 4 หรือ x = 2
จะได้ ค่าวกิ ฤตของฟังก์ชนั f มี 2 คา่ คอื 4 และ 2

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เร่อื ง อนุพันธข์ องฟงั ก์ชนั 44

ตอ่ ไปหาอนุพนั ธ์อนั ดับท่ี 2 ของ f จะได้

f (x)  6x  6  6(x 1)

เนอื่ งจาก f (4)  18 ซง่ึ 18  0

และ f (2) 18 ซง่ึ 18  0

ดงั นัน้ f มีค่าสูงสุดสมั พทั ธ์ที่ x = 4 และคา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์คือ f (4)  60

และ f มคี ่าต่าสดุ สมั พทั ธ์ที่ x = 2 และคา่ ต่าสดุ สัมพทั ธ์คอื f (2)  48

แบบฝึกหัด
คา่ สูงสุดสัมพัทธ์และ

คา่ สงู สุดสมั พัทธ์

จงหาค่าสงู สดุ สัมพทั ธ์และค่าต่าสุดสมั พทั ธ์ของฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี้

1) f (x)  x2 8x  7 2) f (x)  x3  3x  6

วิธที า จาก f (x)  x2 8x  7 วธิ ที า จาก f (x)  x3  3x  6

จะได้ f (x)  2x 8  2(x  4) จะได้ f (x)  3x2  3  3(x 1)(x 1)

ดงั นน้ั f (x)  0 เมอื่ x  4 ดังนน้ั f (x)  0 เม่ือ x  1 หรือ x 1

จะได้ คา่ วกิ ฤตของฟงั กช์ นั f คอื 4 จะได้ คา่ วกิ ฤตของฟังก์ชนั f คือ 1และ1

ต่อไปหาอนุพนั ธ์อนั ดบั ท่ี 2 ของ f จะได้ ตอ่ ไปหาอนุพันธ์อันดับท่ี 2 ของ f จะได้

f (x)  2 f (x)  6x

เน่ืองจาก f (4)  2 ซึ่ง 2  0 เนือ่ งจาก f (1)  6 ซึ่ง 6  0

ดังน้นั f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่ x  4 และค่า และ f (1)  6 ซึ่ง 6  0

ต่าสุดสมั พทั ธค์ อื f (4)  9 ดงั น้นั f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x  1และ

ค่าสงู สดุ สมั พัทธค์ ือ f (1)  8

และ f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ท่ี x 1 และค่า

ต่าสุดสมั พทั ธค์ ือ f (1)  4

3) f (x)  x3  3x2  24x  4 4) f (x)  x4  8x2 12

วิธีทา จาก f (x)  x3  3x2  24x  4 วิธที า จาก f (x)  x4 8x2 12

จะได้ f (x)  3x2  6x  24 จะได้ f (x)  4x3 16x

 3(x  4)(x  2)  4x(x  2)(x  2)

ดังน้นั f (x)  0 เมือ่ x  4 หรอื x  2 ดงั นน้ั f (x)  0 เมือ่ x  2,0 หรอื x  2

จะได้ คา่ วิกฤตของฟังก์ชนั f คอื 4 และ จะได้ คา่ วิกฤตของฟงั กช์ ัน f คือ 2,0 และ 2

ตอ่ ไปหาอนุพนั ธอ์ ันดบั ที่ 2 ของ f จะได้ ต่อไปหาอนุพันธอ์ นั ดบั ที่ 2 ของ f จะได้

f (x)  6x  6  6(x 1) f (x)  12x2 16

เน่อื งจาก f (4) 18 ซึ่ง 18  0 เนอ่ื งจาก f (2)  32 ซึ่ง 32  0
และ f (2)  18 ซึ่ง 18  0
ดังน้นั f มีคา่ สงู สดุ สัมพัทธ์ที่ x  2 และ f (0)  16 ซึ่ง 16  0
และคา่ สูงสดุ สัมพัทธค์ อื f (2)  32
และ f มคี ่าตา่ สดุ สัมพทั ธ์ท่ี x  4 และ f (2)  32 ซึ่ง 32  0
และค่าต่าสดุ สัมพทั ธค์ อื f (4)  76
ดังนน้ั f มคี ่าสงู สุดสัมพัทธท์ ่ี x  0

และคา่ สูงสุดสมั พัทธค์ อื f (0) 12

และ f มีค่าตา่ สดุ สัมพัทธท์ ่ี x  2, 2

และคา่ ต่าสดุ สัมพทั ธค์ ือ f (2)  f (2)  4

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรื่อง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั 45

ฟังก์ชัน f อาจมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันได้หลายค่า และในบรรดาค่าสูงสุด
สมั พัทธ์หรอื ค่าต่าสดุ สัมพัทธข์ องฟังกช์ นั เหล่าน้นั บางค่าอาจจะเป็นค่ามากท่ีสุดหรือน้อยที่สุดของค่าสูงสุดสัมพัทธ์
หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้นด้วย แต่ค่าเหล่าน้ันอาจจะไม่เป็นค่าที่มากที่สุดหรือเป็นค่าที่น้อยท่ีสุดใน
บรรดาคา่ ของฟังกช์ ัน f แต่ถา้ มีคา่ สูงสุดสัมบรู ณ์หรอื ค่าตา่ สุดสัมบูรณ์จะมเี พียงค่าเดียว จะเรียกค่าของ f (x) ที่
มากท่ีสดุ สาหรับทกุ x Df วา่ ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และเรียกค่าของ f (x) ท่ีน้อยท่ีสุด สาหรับทุก x Df ว่าค่า

ต่าสุดสมั บูรณ์ ดังบทนิยามต่อไปนี้

บทนิยาม
ฟงั ก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (Absolute maximum) ที่ x  c เมื่อ f (c)  f (x) สาหรับ

ทกุ x  Df

ฟังก์ชัน f มีค่าต่าสุดสัมบูรณ์ (Absolute minimum) ที่ x  c เมื่อ f (c)  f (x) สาหรับ
ทกุ x  Df

พิจารณากราฟของฟงั ก์ชัน y  f (x) โดยท่ี Df [a,b] ดงั รูป

Y

y = f(x)

ac รูปที่ 10 db X

จากรปู ที่ 10 จะเหน็ วา่ f (c) และ f (d) เป็นค่าสูงสดุ สมั พทั ธ์ โดยที่ f (c) เป็นค่าสงู สุดสมั บรู ณ์ด้วย

Y

y = f(x)

ac d bX

รูปที่ 11

จากรูปที่ 11 จะเห็นวา่ f (a), f (c) และ f (d) เปน็ ค่าสงู สุดสมั พัทธ์ โดยท่ี f (a) เปน็ ค่าสงู สุดสมั บูรณ์ด้วย

Y y = f(x)

ac db X

รูปที่ 12

จากรปู ที่ 12 จะเหน็ ว่า f (c) และ f (d) เป็นคา่ ตา่ สดุ สมั พทั ธ์ โดยท่ี f (c) เป็นคา่ ตา่ สุดสมั บรู ณ์ดว้ ย

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่ือง อนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชัน 46

Y

y = f(x)

ac d bX

รปู ท่ี 13

จากรูปท่ี 13 จะเห็นวา่ f (c), f (d) และ f (b)เป็นคา่ ตา่ สดุ สัมพัทธ์ โดยท่ี f (b)เปน็ คา่ ตา่ สุดสัมบูรณด์ ้วย

ฟังก์ชันต่อเน่ืองที่นิยามบนช่วงเปิดอาจจะมีหรือไม่มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์หรือค่าต่าสุดสัมบูรณ์ก็ได้ เช่น

f (x)  1 ไม่มคี า่ สูงสดุ สัมบูรณ์และคา่ ต่าสดุ สมั บรู ณ์บนช่วงเปิด (0,1)

x

แตฟ่ งั กช์ ันตอ่ เนือ่ งทน่ี ิยามบนช่วงปดิ จะมีค่าสูงสุดสมั บรู ณ์และค่าตา่ สุดสมั บรู ณ์เสมอ ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎบี ท ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเน่ืองบนช่วงปิด [a,b] แล้ว f จะมีทั้งค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่า
ต่าสุดสัมบูรณ์บนชว่ งปิด [a,b]

จากทฤษฎีบท พบว่า ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเน่ืองบนช่วงปิด [a,b] แล้วค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่าสุด
สมั บรู ณ์ของ f อาจเปน็ ค่าสูงสดุ สัมพทั ธ์หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์ภายในบนช่วงเปิด (a,b) หรือเป็นค่าของฟังก์ชันท่ี
จุดปลายของปิด [a,b]

การหาคา่ สูงสุดสัมบรู ณแ์ ละค่าตา่ สุดสัมบรู ณ์ มขี น้ั ตอนดงั ตอ่ ไปนี้
ถ้าฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเน่ืองบนช่วงปิด [a,b] และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด (a,b) แล้วสามารถ

หาค่าสงู สดุ สัมบรู ณแ์ ละค่าตา่ สุดสมั บูรณข์ องฟงั ก์ชัน f บนชว่ งปดิ [a,b] ได้ดงั นี้

1) หาคา่ วกิ ฤตทง้ั หมดในชว่ งเปดิ (a,b)

2) หาคา่ ของฟงั ก์ชัน ณ ค่าวกิ ฤตทไ่ี ด้จากข้อ 1
3) หาคา่ ของฟงั กช์ นั ที่จดุ ปลายของช่วงปิด [a,b] น่ันคือหา f (a) และ f (b)

4) เปรยี บเทยี บค่าทไ่ี ด้ท้งั หมดจากข้อ 2 และ 3 ซึง่ จะทาใหไ้ ดข้ ้อสรปุ วา่
4.1 ค่ามากทส่ี ดุ เปน็ คา่ สูงสุดสมั บูรณ์ของฟงั ก์ชนั f

4.2 คา่ ที่น้อยที่สดุ เปน็ ค่าต่าสดุ สัมบรู ณ์ของฟังกช์ ัน f

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาค่าสูงสดุ สัมบูรณ์และค่าตา่ สุดสมั บรู ณ์ของฟงั ก์ชัน f (x)  x3 3x  2 บนช่วงปิด [0,2]
วิธีทา จาก f (x)  x3  3x  2
จะได้ f (x)  3x2  3  3(x2 1)

 3(x 1)(x 1)

ดังนน้ั f (x)  0 เมอื่ x =1 หรอื x = 1
แต่ 1(0,2) จะไดว้ ่า คา่ วกิ ฤตของฟังกช์ ัน f ในชว่ งเปิด (0,2) คือ 1
ต่อไปคานวณหา f (0), f (1) และ f (2) จะได้

f (0)  2, f (1)  0, f (2)  4

สรปุ ได้วา่ f มีคา่ สูงสุดสมั บรู ณ์ท่ี x = 2 และคา่ สงู สุดสมั บูรณ์ คือ f (2)  4

และ f มคี ่าตา่ สดุ สัมบูรณ์ท่ี x =1 และค่าตา่ สุดสัมบูรณ์ คือ f (1)  0

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เร่ือง อนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชนั 47

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาค่าสงู สดุ สมั บรู ณแ์ ละค่าตา่ สดุ สัมบรู ณ์ของฟังก์ชัน f (x)  2x3 3x2 36x  42 บนช่วง
วธิ ที า ปิด [5,5]
จาก f (x)  2x3  2x2  36x  42
จะได้ f (x)  6x2  6x  36

 6(x2  x  6)  6(x  3)(x  2)

ดังนนั้ f (x)  0 เม่อื x = 3 หรอื x = 2

จะได้วา่ ค่าวกิ ฤตของฟงั ก์ชัน f ในชว่ งเปดิ (5,5) คือ 3 และ 2

ตอ่ ไปคานวณหา f (5), f (2), f (3) และ f (5) จะได้

f (5)  103, f (2)  86

f (3)  39, f (5)  37

สรปุ ได้ว่า f มีคา่ สูงสดุ สัมบูรณ์ท่ี x = 2 และคา่ สูงสดุ สมั บรู ณ์ คอื f (2)  86

และ f มคี า่ ตา่ สดุ สัมบูรณ์ท่ี x = 5 และคา่ ตา่ สุดสัมบรู ณ์ คือ f (5)  103

แบบฝึกหัด
ค่าสูงสุดสมั บูรณ์และ

ค่าสูงสดุ สัมบูรณ์

จงหาคา่ สงู สดุ สมั บูรณ์และค่าตา่ สุดสมั บูรณ์ของฟงั ก์ชนั ตอ่ ไปน้ี

1) f (x)  x2  4x  3 บนชว่ ง [0,5] 2) f (x)  x3  2x2  4x  8 บนชว่ ง [2,3]

วิธที า จาก f (x)  x2  4x  3 วธิ ที า จาก f (x)  x3  2x2  4x  8

จะได้ f (x)  2x  4 จะได้ f (x)  3x2  4x  4

 2(x  2)  (3x 1)(x  2)

ดังนั้น f (x)  0 เมอื่ x  2 ดังน้ัน f (x)  0 เมื่อ x   2 หรือ x  2
จะได้วา่ ค่าวกิ ฤตของฟงั กช์ นั f ในชว่ งเปดิ
(0,5) คอื 2 3
ตอ่ ไปคานวณหา f (0), f (2) และ f (5)
จะได้ จะไดว้ า่ ค่าวิกฤตของฟงั กช์ นั f ในชว่ งเปิด

f (0)  3 (2,3) คอื  2 และ 2

f (2)  1 3

f (5)  8 ต่อไปคานวณหา f (2), f   2  , f (2)
 3 
สรุปไดว้ ่า f มคี า่ สงู สุดสมั บรู ณ์ที่ x  5
และคา่ สูงสุดสัมบูรณ์ คือ f (5)  8 และ f (3) จะได้
และ f มคี า่ ตา่ สุดสมั บรู ณ์ที่ x  2
และคา่ ตา่ สดุ สมั บูรณ์ คอื f (2)  1 f (2)  0, f   2   256
 3  27

f (2)  0, f (3)  5

สรปุ ไดว้ า่ f มีคา่ สงู สุดสมั บรู ณ์ที่ x   2

3

และค่าสงู สุดสัมบูรณ์ คือ f   2   256
 3  27

และ f มคี ่าตา่ สดุ สัมบรู ณ์ที่ x  2,2

และคา่ ตา่ สุดสัมบรู ณ์คือ f (2) f (2)0

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา