เฉลยแบบฝึกทักษะ แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มที่ 3 เรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรอื่ ง อนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชัน 48

3) f (x)  x4  2x3  9x2  27 บนชว่ ง [2, 4] 4) f (x)  x3  5x  4 บนช่วง [3, 1]
วธิ ที า จาก f (x)  x4  2x3  9x2  27 วธิ ีทา จาก f (x)  x3  5x  4

จะได้ f (x)  4x3  6x2 18x จะได้ f (x)  3x2  5
เนอื่ งจาก f (x)  3x2  5  0
 2x(2x2  3x  9) ทกุ x (3, 1)
ดงั นน้ั f ไมม่ คี า่ วิกฤตในช่วงเปิด (3,1)
 2x(2x  3)(x  3) ตอ่ ไปคานวณหา f (3) และ f (1) จะได้

ดงั นนั้ f (x)  0 เม่ือ x   3 ,0 หรือ x  3 f (3)  46

2 f (1)  10

จะไดว้ ่าค่าวิกฤตของฟงั กช์ ัน f ในช่วงเปดิ สรปุ ไดว้ า่ f มคี า่ สูงสุดสัมบรู ณ์ที่ x  1
และค่าสงู สดุ สมั บรู ณ์ คือ f (1)  10
(2, 4) คือ  2 และ 2 และ f มคี า่ ตา่ สดุ สมั บรู ณท์ ่ี x  3
และคา่ ตา่ สุดสัมบรู ณค์ อื f (3)46
3

ตอ่ ไปคานวณหา f (2), f   3  , f (0),
 2 

f (3) และ f (4) จะได้

f (2)  23, f   3  297
 2  16

f (0)  27, f (3)  27,

f (4)  1

สรปุ ไดว้ า่ f มีคา่ สงู สุดสมั บูรณ์ท่ี x  0
และคา่ สูงสุดสัมบูรณ์ คือ f (0)  27
และ f มคี า่ ตา่ สดุ สัมบรู ณ์ท่ี x  3
และค่าตา่ สดุ สมั บูรณค์ ือ f (3)27
7.3 โจทยป์ ญั หาเก่ยี วกับค่าสงู สดุ หรือคา่ ต่าสุด

ในชวี ิตจรงิ หรอื ในทางธรุ กิจ มักจะพบปัญหาท่ีเกีย่ วขอ้ งกับการหาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดเสมอเช่น ต้องการ
ให้รายรับหรือผลตอบแทนสูงสุด โดยที่รายจ่ายหรือต้นทุนต่าสุด ในการแก้โจทย์ปัญหาเก่ียวกับค่าสูงสุดหรือค่า
ต่าสุดจะต้องสร้างสมการที่แสดงความสัมพันธ์ของปริมาณที่เก่ียวข้องกัน แล้วเขียนให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันท่ีมีตัว
แปรต้นและตัวแปรตาม จากน้ันจึงพิจารณาเง่ือนไขของโจทย์ว่าฟังก์ชันนั้นมีโดเมนเป็นเซตใด และต้องการหา
คา่ สูงสดุ หรอื คา่ ตา่ สดุ บนโดเมนท่กี าหนด

ขน้ั ตอนในการแก้โจทย์ประยุกตเ์ ก่ยี วกับการหาคา่ สงู สุดหรอื คา่ ต่าสุด
1. ทาความเข้าใจปญั หาอย่างละเอยี ด พจิ ารณาโจทยป์ ญั หาวา่ ต้องการใหห้ าค่าสงู สุดหรือค่าต่าสุด ให้

กาหนดสิ่งนน้ั เปน็ ตัวแปร เชน่ y หรือตัวแปรอ่ืน ตามความเหมาะสม

2. พิจารณาค่า y ข้ึนอยู่กับค่าอะไร สมมติให้ x เป็นตัวแปรสาหรับค่าเหล่านี้ โดยที่ค่าของ y จะ
ข้ึนอยกู่ ับค่าของ x

3. เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร y กับตัวแปร x โดยเขียนค่า y ในรูปของ x

จะได้ y  f (x)

4. หาค่า y  f (x)

5. ให้ f (x)  0 แล้วแก้สมการหาคา่ x

6. นาคา่ วกิ ฤตในข้อ 5 มาทาการตรวจสอบวา่ ทาให้ y มคี า่ สงู สุดหรือตา่ สุดหรอื ไม่

7. นาคา่ y ท่ีไดจ้ ากข้อ 6 ไปแทนคา่ เพอื่ หาค่า y ซ่ึงเปน็ ค่าสูงสุดหรือต่าสดุ ตามต้องการ

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรอ่ื ง อนุพันธข์ องฟงั ก์ชัน 49

ตวั อยา่ งท่ี 1 ณเดชน์ต้องการทากล่องจากกระดาษแข็งรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสที่แต่ละด้านยาว 10 เซนติเมตร โดย
วิธที า
กระดาษเป็นรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสท่ีแต่ละด้านยาว x เซนติเมตร ออกจากมุมท้ังส่ี แล้วพับด้าน

ข้างข้ึนเพ่ือทาเป็นกล่องไม่มีฝาปิด จงหาว่ากล่องจะมีความจุมากท่ีสุด เม่ือ x เป็นเท่าใด และ

กลอ่ งจะมคี วามจุมากทสี่ ุดเท่าใด

ให้ V (x) แทนความจุของกล่อง เม่ือ x เป็นความยาวของด้านของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสท่ีถูกตัด

ออก ดังรปู จะได้ x(0,5) x 10 – 2x
ดังนั้น V (x) = (10  2x)2 x

= 4x3  40x2 100x

จะได้ V (x) =12x2 80x 100

ถ้า V(x)  0 จะได้

3x2  20x  25  0

(3x  5)(x  5)  0

นนั่ คอื x = 5 หรือ x =5

3

แต่ x(0,5) จะไดว้ า่ คา่ วกิ ฤตของฟงั ก์ชันในช่วงเปดิ (0,5) คอื 5

3

ตอ่ ไปหาอนุพันธอ์ นั ดบั ที่ 2 ของฟงั ก์ชนั V จะได้ V(x) = 24x 80

เนอ่ื งจาก V   5   40 ซง่ึ 40  0
3 

ดังน้นั V มีค่าสงู สดุ สมั พัทธ์ที่ x = 5 เพยี งคา่ เดียวบนช่วง (0,5)

3

สรุปไดว้ ่า V มคี ่าสูงสดุ สัมบูรณ์ที่ x = 5 บนช่วง (0,5) และค่าสงู สุดสมั บูรณค์ ือ

3

V  5   2000
 3  27

ดังน้นั กล่องจะมีความจุมากที่สุด เมื่อ x = 5 เซนตเิ มตร

3

ตัวอย่างท่ี 2 และกล่องจะมีความจุมากทีส่ ุด 2000 ลกู บาศก์เซนติเมตร
วธิ ีทา
27

ชายคนหน่ึงมีลวดหนามยาว 1,000 เมตร เขาต้องการนาลวดหนามนี้มากั้นเป็นรูปสี่เหล่ียมมุม

ฉากสาหรับเป็นคอกวัว โดยท่ีพ้ืนท่ีด้านหน่ึงอยู่ติดริมร้ัวบ้านจึงไม่ต้องขึงลวดหนาม จงหาขนาด

ของรูปสีเ่ หล่ยี มดงั กลา่ วที่ทาให้พ้นื ทีค่ อกวัวมากท่สี ดุ และจะไดพ้ น้ื ทีท่ ีม่ ากทีส่ ุดเปน็ เทา่ ใด

ให้ x แทนความกวา้ งของรูปสีเ่ หลี่ยมมุมฉาก

รวั้ บ้าน

xx

1000 – 2x

ดงั นั้น ความยาวของรปู สเ่ี หลยี่ มมุมฉาก คอื 1,000  2x เมตร

และ พ้นื ที่ของรูปสี่เหลีย่ มมุมฉาก คอื x(1,000  2x) ตารางเมตร

เนือ่ งจากความกวา้ งและความยาวของรูปส่ีเหล่ยี มมมุ ฉากเป็นจานวนจริงบวก

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เร่อื ง อนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชัน 50

น่นั คือ x (0,500)

ให้ A(x) แทนฟงั กช์ นั แสดงความสมั พันธร์ ะหวา่ งพื้นท่ีและความกว้างของรปู สี่เหลยี่ มมมุ ฉาก

จะได้วา่

A(x) = x(1,000  2x) เมื่อ x (0,500)

=1, 000x  2x2

ดังนน้ั A(x) =1,000  4x

ถา้ A(x)  0 แล้วจะได้ 1,000  4x  0 หรือ x  250

ดงั นั้น ค่าวกิ ฤตของฟงั กช์ นั ในช่วงเปิด (0,500) คือ 250

ตอ่ ไปหาอนพุ นั ธ์อนั ดบั ที่ 2 ของฟงั ก์ชัน A จะได้ A(x) = 4

เนื่องจาก A(250)  4 ซง่ึ 4  0

ดังนน้ั A มีค่าสงู สุดสัมพทั ธท์ ่ี x = 250 เพยี งคา่ เดยี วบนช่วง (0,500)

สรปุ ไดว้ ่า A มคี ่าสงู สดุ สัมบูรณ์ท่ี x = 250 บนชว่ ง (0,500)

และค่าสูงสดุ สัมบรู ณ์คือ A(250) 125,000

ดังนน้ั ต้องก้นั พื้นทเี่ ป็นรปู สเ่ี หล่ยี มมุมฉากท่ีมีความกว้าง x  250 เมตร และความยาว 500

เมตร จึงจะทาใหไ้ ด้พ้ืนท่ีมากทสี่ ดุ และพ้ืนท่ที ีม่ ากทสี่ ดุ เปน็ 125,000 ตารางเมตร

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาจานวนจริงสองจานวน ซึ่งมผี ลคณู เป็น 9 และผลบวกของกาลงั สองของแต่ละจานวนมีค่า
วธิ ีทา นอ้ ยท่สี ุด
ให้ x และ y เป็นจานวนจรงิ สองจานวนที่คูณกันได้ 9 โดยท่ี x  0 และ y  0

ดงั น้ัน y   9

x

ให้ f (x)  x2  y2 จะได้ f (x)  x2    9 2  x2  81 เมือ่ x (0,)
 x  x2

ดังนน้ั f (x) = 2x  162  2(x4  81)
x3 x3

ถ้า f (x)  0 แล้วจะได้ 2(x4  81)  0
x3

น่นั คือ x = 3 หรือ x = 3

แต่ x(0,) จะไดว้ า่ คา่ วกิ ฤตของฟงั ก์ชนั ในช่วงเปิด (0,) คอื 3

เนอ่ื งจาก f (x)  0 เมอ่ื 0  x  3 และ f (x)  0 เม่อื x  3

จะได้ f เปน็ ฟงั กช์ ันลดบนชว่ ง (0,3) และ f เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ บนช่วง (3,)

ดังนน้ั f มีค่าตา่ สดุ สัมพัทธท์ ี่ x =3 เพยี งคา่ เดียวบนชว่ ง (0,)
สรุปได้วา่ f มคี า่ ตา่ สุดสมั บรู ณ์ท่ี x =3
จะไดว้ า่ จานวนจริงสองจานวน ซ่ึงมีผลคณู เปน็ 9 และผลบวกของกาลงั สองของแตล่ ะจานวนมี

ค่าน้อยทส่ี ุด คอื x = 3 และ y   9 = 3

x

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เร่ือง อนุพันธ์ของฟงั ก์ชนั 51

ตัวอย่างที่ 4 โรงแรมแห่งหนึง่ มีห้องพกั 40 ห้อง เจ้าของโรงแรมพบว่าในช่วงเวลาปกติถ้าเขาคิดค่าห้อง 500
วิธที า บาทต่อวนั จะมผี เู้ ขา้ พกั เต็มทุกห้อง แต่ถ้าเขาขึ้นราคาค่าห้องต่อวัน พบว่าทุก 50 บาทท่ีเพิ่มขึ้น
จะมหี อ้ งว่างเพ่ิมขึ้น 2 ห้อง จงหาว่าเจ้าของโรงแรมควรตั้งราคาค่าห้องวันละเท่าใด จึงจะทาให้
มรี ายได้มากท่ีสุด โดยโรงแรมจะมผี เู้ ข้าพักทั้งหมดกี่ห้อง และเจ้าของโรงแรมจะมีรายได้มากท่ีสุด
เทา่ ใด
ให้ f (x) แทนรายได้ต่อวันของเจ้าของโรงแรม เม่ือ x แทนจานวนครั้งท่ีเจ้าของโรงแรมข้ึน

ราคาค่าห้องครั้งละ 50 บาท
เนอื่ งจากโรงแรมแหง่ นมี้ หี อ้ งพัก 40 ห้อง และในแต่ละคร้ังที่เจ้าของโรงแรมข้ึนราคาค่าห้อง จะ
มหี ้องว่างเพิ่มข้ึน 2 หอ้ ง ดังน้ัน x[0,20] และจะได้

f (x) = (500  50x)(40  2x)

= 20,000 1,000x 100x2

ดังนนั้ f (x) =1,000  200x

ถ้า f (x)  0 แลว้ จะได้ 1,000  200x  0

น่นั คอื x = 5
จะไดว้ ่า คา่ วกิ ฤตของฟังกช์ นั ในชว่ งเปดิ (0,20) คือ 5
ตอ่ ไปคานวณหา f (0), f (5) และ f (20) จะได้

f (0)  20, 000

f (5)  22,500

f (20)  0

สรุปได้ว่า f มีคา่ สูงสดุ สมั บรู ณ์ท่ี x =5 และค่าสงู สดุ สัมบูรณ์คือ f (5)  22,500
ดังนั้น เจ้าของโรงแรมควรตั้งราคาค่าห้องวันละ 500 50(5)  750 บาท จึงจะทาให้รายได้
มากท่สี ดุ โดยโรงแรมจะมีผู้เขา้ พักท้ังหมด 40  2(5)  30 ห้อง และเจ้าของโรงแรมจะมีรายได้
มากทีส่ ุด 22,500 บาท

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรอื่ ง อนุพันธข์ องฟงั ก์ชัน 52

แบบฝกึ หดั
โจทย์ปญั หาเก่ียวกับคา่ สูงสุด

หรือคา่ ต่าสดุ

1. ตอ้ งการนาลวดหนามยาว 200 เมตร มาลอ้ มทด่ี ินรูปสีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากที่มขี นาดเทา่ กัน 3 ดังรปู จงหาว่าจะล้อม
พน้ื ทไ่ี ดม้ ากทสี่ ดุ เท่าใด

วธิ ที า ให้ x แทนความกว้างของรปู สีเ่ หลีย่ มมมุ ฉาก และ y แทนความยาวของรูปสเี่ หลยี่ มมมุ ฉาก

จากโจทยจ์ ะได้ 6x  4y  200 นน่ั คือ y  50  3 x
2

เน่อื งจากความยาวและความกวา้ งของรปู สีเ่ หล่ียมมุมฉากเปน็ จานวนจรงิ บวก ฉะน้นั x   0, 100 
 3 

ให้ A(x) แทนพน้ื ทข่ี องทดี่ ินที่ล้อมดว้ ยลวดหนาม

จะไดว้ า่ A(x)  3xy  3x  50  3 x   150x  9 x2 เมือ่ x   0, 100 
 2  2  3 

ดงั นน้ั A(x) 150  9x และ A(x)  9

ถา้ A(x)  0 แลว้ จะได้ 150 9x  0 หรอื x  50

3

ดงั นั้น คา่ วกิ ฤตของฟังก์ชนั ในช่วงเปดิ  0, 100  คือ 50 เนอ่ื งจาก A  50   9 ซง่ึ 9  0
 3  3 3 

ดังน้นั A มีค่าสูงสดุ สัมพทั ธท์ ่ี x 50 เพียงค่าเดยี วบนชว่ ง  0, 100 
3  3 

สรุปได้ว่า A มีค่าสงู สดุ สัมบรู ณ์ท่ี x 50 บนชว่ ง  0, 100 
3  3 

และค่าสูงสุดสมั บรู ณค์ อื A 50   1, 250 ดงั น้ัน จะล้อมพนื้ ท่ีได้มากท่สี ดุ 1, 250 ตารางเมตร
3 

2. จงหาจานวนจริงทเ่ี ม่อื นาจานวนดงั กล่าวมาลบด้วยกาลังสองของจานวนจริงน้ัน แลว้ ได้ผลลบมีค่ามากทส่ี ุด

วิธีทา ให้ f (x) แทนผลของการลบจานวนจริง x ดว้ ยกาลังสองของ x

จากโจทย์จะได้ f (x)  x  x2 เม่ือ x (,) ดังนั้น f (x) 1 2x

ถา้ f (x)  0 แลว้ จะได้ 1 2x  0 หรือ x  1 ดังนัน้ คา่ วกิ ฤตของฟังกช์ ัน คอื 1

22

ต่อไปหาอนพุ นั ธอ์ นั ดับท่ี 2 ของฟงั กช์ นั f จะได้ f (x)  2

เนอื่ งจาก f   1   2 ซึง่ 2  0
 2 

ดังนัน้ f มคี ่าสงู สดุ สมั พทั ธท์ ่ี x  1 เพียงคา่ เดยี วบนชว่ ง (,) สรปุ ไดว้ า่ f มคี ่าสูงสุดสมั บูรณ์ท่ี x  1

22

ดงั นั้น จานวนจริงท่เี มื่อนาจานวนดังกลา่ วมาลบด้วยกาลงั สองของจานวนจรงิ น้นั แล้วได้ผลลบมีค่ามากท่ีสดุ

คอื 1

2

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรอ่ื ง อนุพันธ์ของฟงั ก์ชัน 53

3. จงหาจานวนจรงิ สองจานวนซง่ึ มผี ลบวกเปน็ 10 และผลคูณของสองจานวนนี้มคี ่ามากท่ีสุด

วธิ ีทา ให้ x แทนจานวนจรงิ จานวนหนึง่ จะได้ จานวนอีกจานวนหนึง่ มคี ่าเป็น 10  x

ให้ f (x) แทนผลคูณของสองจานวนดงั กล่าว

จากโจทย์จะได้ f (x)  x(10  x) 10x  x2 เมอ่ื x (,)

ดงั นั้น f (x) 10  2x

ถ้า f (x)  0 แลว้ จะได้ 10  2x  0 หรอื x  5 ดังนั้น ค่าวิกฤตของฟงั ก์ชัน คือ 5

ต่อไปหาอนุพันธอ์ ันดบั ท่ี 2 ของฟังกช์ ัน f จะได้ f (x)  2

เนอ่ื งจาก f (5)  2 ซง่ึ 2  0

ดงั นนั้ f มคี า่ สงู สุดสมั พัทธท์ ี่ x  5 เพียงค่าเดียวบนช่วง (,)

สรปุ ไดว้ ่า f มคี ่าสงู สุดสัมบูรณท์ ี่ x  5

ดังนน้ั จานวนจรงิ สองจานวนทม่ี ผี ลบวกเปน็ 10 และผลคูณของสองจานวนน้ีมีค่ามากที่สดุ

คอื 5 และ 10 5  5

4. ถา้ ราคาต่อชิน้ และจานวนสนิ ค้าท่ีแมค่ ้าคนหนงึ่ ขายได้ใน 1สัปดาห์ มีความสัมพันธ์ดังสมการ p 100 0.04x

เม่ือ p แทนราคาสินค้าต่อช้ิน (มีหน่วยเป็นบาท) และ x แทนจานวนสินค้าท่ีขายได้ใน 1 (มีหน่วยเป็นชิ้น)

และต้นทนุ ในการผลติ สินคา้ x ชนิ้ เป็น 600  22x บาท จงหาว่าแม่ค้าจะต้องผลิตสินค้าออกขายสัปดาห์ละ

กี่ชน้ิ จึงจะไดก้ าไรมากทส่ี ดุ

วิธีทา จาก p 100 0.04x และเนอื่ งจาก ราคาสินคา้ p เปน็ จานวนจรงิ ที่มากกว่า 0

ดังนน้ั x [0,2500]

ให้ f (x) แทนกาไรทไ่ี ดจ้ ากการผลิตสนิ ค้า x ชิ้น เมือ่ x[0,2500]

และจะได้ f (x)  px  (600  22x)

 (100  0.04x)x  (600  22x)

 0.04x2  78x  600

ดังนั้น f (x)  0.08x  78
ถ้า f (x)  0 แล้วจะได้ 0.08x  78  0 นั่นคือ x  975

จะได้วา่ คา่ วิกฤตของฟงั กช์ ันในช่วงเปิด (0,2500) คอื 975
ต่อไปคานวณหา f (0), f (975) และ f (2500) จะได้

f (0)  600

f (975)  37, 425

f (2500)  55, 600

สรปุ ได้วา่ f มีค่าสูงสุดสมั บรู ณ์ที่ x  975 และคา่ สงู สดุ สมั บรู ณค์ ือ f (975)  37,425
ดงั นน้ั แม่คา้ จะตอ้ งผลติ สินค้าออกขายสปั ดาหล์ ะ 975 ช้ิน จงึ จะไดก้ าไรมากที่สุด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา