10.เอกสารประกอบการบรรยาย เรขาคณิต ประจำปี พ.ศ. 2560

เอกสารประกอบการบรรยาย

ค่ายโอลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน. คา่ ย 1

ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. สาขาคณติ ศาสตร์
โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

ระหวา่ งวนั ที่ 7 – 25 ตลุ าคม พ.ศ.2560

เรขาคณติ 

ช่ือ-สกลุ ...........................................................โรงเรียน........................................................

ครูครรชิต แซ่โฮ่
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต 1

บทท่ี 0

บทนาและความรู้พืน้ ฐาน

0.1 ประวัติความเป็นมาโดยสงั เขป

เรขาคณติ (Geometry) มาจากรากศัพทภ์ าษากรีกว่า Geometrein (geo หมายถึง earth และ
metrein หมายถึง to measure) แตค่ วามหมายของเรขาคณติ ในปัจจบุ ันมีความแตกตา่ งออกไปมาก
เพราะว่าวิชาเรขาคณติ ไดร้ บั การพัฒนามาอยา่ งต่อเน่ืองและแตกสาขาออกไปหลายสาขา และเรขาคณิตที่
ศึกษาในระดบั มัธยมศึกษากเ็ ป็นเพยี งเรขาคณติ ของยุคลดิ (Euclidean Geometry) ซง่ึ ถือว่าเป็นพน้ื ฐานท่ี
ทาให้มีวิวัฒนาการไปส่เู รขาคณิตแบบอื่น ๆ จนเปน็ ทีย่ อมรับกันว่า ยุคลิดเป็นบดิ าแห่งวิชาเรขาคณติ

เรขาคณติ สมัยก่อนเป็นการศึกษาแบบลองผิดลองถูก อาศัยการสังเกตจากประสบการณ์ เราไม่ทราบ
ประวตั ิทสี่ มบูรณ์ แตก่ ็พอทราบจากแผน่ ศลิ าจารึกวา่ ชาวบาบิโลน (4000 B.C.) สามารถหาพน้ื ทขี่ องรปู
สี่เหลี่ยมผืนผา้ โดยใช้ความกวา้ งคณู ความยาว ชาวอียปิ ต์ (2900 B.C.) สามารถสร้างพรี ามิดไดซ้ ่ึงถือไดว้ ่าเป็น
ความสาเรจ็ ทางเรขาคณติ จนกลายเป็นส่งิ มหศั จรรย์ของโลก

การศึกษาเรขาคณติ เริ่มชดั เจนขึ้นโดยชาวบาบิโลน (2000 B.C.) ตามด้วยชาวอยี ปิ ต์ (1650 B.C.)
ต่อมาไดพ้ ฒั นาไปสกู่ รีกโดยทาลีส (Thales, 640 B.C.) ผ่านไปทางตอนใต้ของอติ าลโี ดยพที าโกรัส
(Pythagorus, 584 B.C.) แลว้ ไปสู่กรุงเอเธนสโ์ ดยพลาโต (Plato, 400 B.C.) และกม็ าถึงนักคณิตศาสตรผ์ ู้
ยงิ่ ใหญ่ ยคุ ลิด (Euclid, 300 B.C.) ซงึ่ เขยี นหนังสือ 13 เล่มในช่อื วา่ Elements จนเป็นท่ียอมรับวา่ เป็นตารา
เรียนเล่มแรกของโลกท่ีใช้กนั อยา่ งแพร่หลาย และถือได้วา่ เป็นแบบฉบบั ในการเขียนตาราอ่ืน ๆ ในสมัยนัน้
และ นิวตนั (Isaac Newton) ก็ได้เขียนหนังสือทีย่ ิ่งใหญอ่ ีกเล่มหนึ่งคือ Principia ตามแบบ Elements น้ี

หลังจากสิน้ สุดยุคของยุคลิด โรมันเร่ิมเรอื งอานาจแตไ่ ม่ไดพ้ ัฒนาทางคณิตศาสตรเ์ ท่าที่ควร จนกลา่ ว
กันวา่ เป็นยุคมืด (Dark ages) ของเรขาคณิต คณติ ศาสตรอ์ ยู่ในสภาพเกือบคงท่ีไม่เปล่ียนแปลง เพ่งิ จะมา
เจริญรุ่งเรืองอกี คร้ังในศตวรรษท่ี 14 ซงึ่ เน้นไปทางดาราศาสตร์ และตรีโกณมิติ อยา่ งไรก็ตามเรขาคณิต
ในแถบเอเชีย เชน่ จนี และอนิ เดยี กม็ ีความเจริญร่งุ เรืองเชน่ กัน แต่การจารกึ หลักฐานไมม่ ั่นคงถาวรเหมอื น
ทางยโุ รปจึงยากท่ีทราบประวัติที่ชัดเจน

ในศตวรรษที่ 17 – 18 ได้มีการนาวิชาพีชคณติ (Algebra) เข้ามาบรู ณาการร่วมกัน จนได้ก่อกาเนิด
วิชาแคลคูลัส และเรขาคณิตวเิ คราะห์ (Calculus and Analytic Geometry) ข้ึน โดยนักคณิตศาสตร์ท่ี
สาคัญในยุคน้ีไดแ้ ก่ Descartes, Pascal, Desargues, Newton and Leibniz

ในศตวรรษที่ 19 นักคณติ ศาสตร์ไดท้ าการศึกษาเรขาคณิตอยา่ งจรงิ จงั อีกคร้ัง จนเกิดมีเรขาคณิตที่
แตกตา่ งจากเรขาคณิตของยุคลิด (Non-Euclidean Geometry) เชน่ Hyperbolic Geometry, Elliptic
Geometry และ Spherical Geometry เป็นตน้ แลว้ พัฒนาไปสู่วิชา Topology ซงึ่ ครอบคลุมเรขาคณิตทุก
ชนดิ ในปจั จุบนั โดยนกั คณิตศาสตร์ท่สี มควรกล่าวถึงคอื Saccheri, Bolyai, Lobachevsky, Gauss และ
Riemann

อย่างไรกต็ าม Euclidean Geometry ก็ยงั ถือวา่ เป็นต้นแบบของเรขาคณิตอืน่ ๆ และมีความสาคัญ
ต่อชีวติ ประจาวันเป็นอยา่ งมาก และเน่ืองจาก Elements เปน็ ตาราเล่มแรกจงึ อาจมีจดุ บกพร่องเป็นธรรมดา
จนทาให้นักคณติ ศาสตร์ส่วนใหญเ่ หน็ วา่ ควรจะมีการเสรมิ สร้างให้มีความสมบูรณย์ ่ิงข้ึน และนักคณิตศาสตร์
ท่ไี ด้รบั การยกย่องวา่ ทาให้ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตยุคลิดมีความสมบูรณ์ข้นึ มากค็ ือ David Hilbert
(1862-1943)

ศูนยโ์ อลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต 2

0.2 สัจพจน์ข้อที่ 5 ของยคู ลดิ

ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตของยุคลดิ ประกอบดว้ ยนยิ าม และสจั พจน์ คานิยามท่ีได้รับการวจิ ารณ์
มากเป็นพิเศษคือ นิยามของคาว่า จดุ ซึง่ เขานิยามว่า หมายถึง ส่ิงที่ไม่มีความกวา้ ง ความยาวและความ
หนา จนในทส่ี ุดในปัจจบุ นั ก็ใหถ้ อื เป็นคาอนิยาม สว่ นสจั พจนท์ ไี่ ด้รบั การวิพากษว์ จิ ารณ์มากท่สี ดุ จนเกิดเป็น
เรขาคณิตชนิดอนื่ ๆ ขึ้นมาก็คือ สัจพจน์ข้อท่ี 5 ในสจั พจนต์ ่อไปนี้

1. ลากเสน้ ตรงจากจดุ หน่ึงไปยงั อีกจดุ หน่ึงได้ (A straight line can be drawn from any point
to any point)

2. ตอ่ เสน้ ตรงท่ีมีความยาวจากัดออกไปเร่ือย ๆ (A finite straight line can be produced
continuously in a straight line)

3. เขียนวงกลมได้เม่ือกาหนดจุดศูนย์กลางและระยะทางใด ๆ (A circle may be described with
any point as center and any distance as radius)

4. มมุ ฉากทกุ มมุ ย่อมเท่ากัน (All right angles are equal to one another)

5. ถ้าเสน้ ตรงเส้นหน่ึง ผ่านเส้นตรง 2 เสน้ ทาให้มมุ ภายในท่อี ยดู่ ้านเดยี วกันรวมกันน้อยกวา่ 2 มุม
ฉาก แลว้ เส้นตรงสองเส้นจะตัดกนั ทางด้านทม่ี ีมุมรวมกนั น้อยกว่า 2 มุมฉาก ถา้ ลากเส้นน้ันตอ่ ไปเรื่อยๆ (If a
transversal falls on two lines in such a way that the interior angle on one side of the
transversal are less than two right angles, then the lines meet on that side on which the
angles are less than two right angles)

โดยใชส้ จั พจนด์ ังกล่าวประกอบกบั นยิ ามและทฤษฎบี ทอ่ืน ๆ ในเรขาคณติ ของยุคลิด ทไี่ ม่ได้นามา
กล่าวไว้ในท่นี ้ี เราสามารถพสิ ูจน์ไดว้ ่า มมุ ภายในของรูปสามเหล่ียมย่อมรวมกันไดส้ องมุมฉาก แตถ่ ้ามกี าร
เปล่ยี นแปลงสัจพจน์ข้อท่ี 5 เปน็ อยา่ งอืน่ เช่น Spherical Geometry กาหนดใหเ้ ส้นขนานตัดกันได้ กจ็ ะทา
ใหผ้ ลบวกของมุมภายในรวมกันได้มากกว่าสองมุมฉาก ซง่ึ Spherical Geometry มปี ระโยชนเ์ ป็นอย่างมาก
ในการคานวณระยะทางเก่ยี วกับการเดนิ เรอื รอบโลก โดยที่เรขาคณิตของยุคลิดสามารถคานวณได้แม่นยาใน
ระยะทางใกล้ ๆ เทา่ น้ันเอง เรายกตวั อยา่ งนข้ี ้ึนมาเพียงเล็กน้อยเพ่ือให้เหน็ ว่ายังมีเรขาคณิตชนดิ อ่นื ท่ี
นอกเหนือจากเรขาคณิตของยุคลิดท่ีเรยี นในระดบั มธั ยมศึกษา ผ้ทู ่สี นใจสามารถเลือกเรียนได้ในระดับที่สงู ขึน้

และต่อไปนเ้ี ราจะกล่าวถงึ เฉพาะเรขาคณิตของยุคลิดเท่าน้ัน ส่วนเน้อื หาและกจิ กรรมในเอกสาร
ประกอบการอบรมครงั้ นโ้ี ดยสว่ นใหญ่จะยึดตามแนวหนงั สือ เรขาคณิต ในโครงการตาราวทิ ยาศาสตรแ์ ละ
คณิตศาสตร์ มลู นธิ ิ สอวน. และเอกสารเสรมิ ความรู้วิชาคณิตศาสตร์ (เรขาคณิต) ของสถาบันสง่ เสริมการ
สอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) จงึ ขอขอบคณุ ไว้ ณ โอกาสนี้

อย่างไรกต็ าม ผู้เรียบเรียงไดพ้ ยายามเพิ่มเติม ความร้แู ละประสบการณ์อ่ืน ๆ ที่ไดร้ บั มาจากการ
เรยี นการสอนเรขาคณิตในระดบั มธั ยมศึกษา และการอบรมเพิ่มเติมจากสถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์
และเทคโนโลยี (สสวท.) สพฐ. และมลู นธิ ิ สอวน. ในส่วนที่คิดวา่ จะส่งเสรมิ ความรู้ ความเข้าใจ ทักษะและ
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ และประสบการณใ์ ห้กบั นักเรียนในค่ายโอลิมปิกวชิ าการ สอวน. คา่ ย 1 ของ
ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา ตลอดจนผู้สนใจได้
ตามสมควร

ศูนยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ 3

0.3 ลักษณะการศึกษาวชิ าเรขาคณิต

การศึกษาวิชาเรขาคณิต มีลักษณะเด่นในเรื่องการพิสูจน์มากกว่าการคิดคานวณ ดังน้ันจึงนับว่า
เปน็ วชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตรท์ ่ีสาคัญ โดยทว่ั ไปแล้วข้อความที่จะพสิ จู น์ในทางเรขาคณิตจะเป็นข้อความที่จัด
ให้อยู่ในรูป “ถ้า……แล้ว……” หรืออาจจะเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์ได้เป็น “pq”
และการพิสูจน์ข้อความดังกล่าวในทางตรรกศาสตร์สามารถพิสูจน์ได้ทั้งในทางตรงและโดยทางอ้อม แต่
ในทางเรขาคณิตส่วนใหญ่เราจะพิสูจน์ในแบบทางตรง โดยถือว่า p เป็นเหตุ หรือส่ิงกาหนดให้ และ q
เป็นผล หรือสิ่งท่ีต้องพิสูจน์ สิ่งที่นามาอ้างอิงในการพิสูจน์ก็คือ อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบทที่
ทราบมาก่อน โดยนามาวิเคราะห์ร่วมกับส่ิงที่กาหนดให้เพื่อนาไปสู่การประมวลผลว่า ผลหรือส่ิงที่ต้อง
พิสูจน์ น้ันเป็นจริง ซ่ึงถือว่าเป็นทักษะทางความคิดที่สาคัญ และแน่นอนที่สุด ทักษะดังกล่าวจะได้รับการ
สง่ เสรมิ และพัฒนาได้ต้องอาศัยการฝึกฝนอยเู่ ปน็ ประจาด้วยใจรัก

เชอ่ื หรือไม่วา่ ในตอนเป็นเดก็ ของเลน่ ท่ี ไอน์สไตน์ ประทบั ใจทีส่ ดุ สงิ่ แรก คือ
......เขม็ ทศิ ............และ ลาดบั ต่อมา ก็คอื ............เรขาคณิต.........น่เี อง

0.4 ข้อควรรพู้ ้นื ฐาน

สัจพจน์ (Postulates) คือสิ่งท่ียอมรับในวิชาเรขาคณิตว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ สัจพจน์ท่ีจะ
กล่าวต่อไปนี้ ขึ้นอยู่กับการสร้างทางเรขาคณิต เม่ือเกิดการค้นพบด้วยการสร้างทางเรขาคณิต เรามักจะ
ประจักษใ์ นเรือ่ งเหล่านัน้ วา่ เปน็ จริง พจิ ารณาสจั พจน์ตอ่ ไปนี้

1. มีเสน้ ตรงเพียงเส้นเดยี วเท่านัน้ ทีล่ ากผา่ นจุดสองจุดที่กาหนดให้
2. ถา้ เส้นตรงสองเส้นตดั กัน แลว้ จะมีจดุ ตัดเพียงจุดเดียวเท่าน้ัน
3. ปลายทัง้ สองของสว่ นของเสน้ ตรง อาจถกู ต่อไปไดโ้ ดยไม่จากัดความยาว
4. บรรดาเสน้ ท้ังหลายทีล่ ากเชอื่ มจุดสองจุด สว่ นของเส้นตรงเป็นเส้นที่ส้ันทีส่ ุด
5. ส่วนของเสน้ ตรงทลี่ ากจากจดุ ภายนอกมาตัง้ ฉากกับเสน้ ตรงเส้นหน่ึงยอ่ มมีเสน้ เดยี ว และเป็น

สว่ นของเส้นตรงที่สั้นท่สี ุดในบรรดาสว่ นของเสน้ ตรงท้ังหลายที่ลากจากจดุ เดียวกนั มายัง
เส้นตรงเดยี วกัน
6. ส่วนของเส้นตรงเส้นหน่งึ มจี ดุ กง่ึ กลางได้เพยี งจดุ เดียวเท่านน้ั
7. รูปเรขาคณติ ตา่ ง ๆ อาจทาให้เคลอ่ื นท่ีไปไดโ้ ดยรูปลักษณะและขนาดคงเดิม
8. ลากเส้นขนานผ่านจุดจุดหนึง่ และขนานกับเส้นที่กาหนดใหไ้ ดเ้ พยี งเสน้ เดยี วเท่าน้ัน
9. ลากเส้นแบง่ ครง่ึ มุมได้เพียงเส้นเดยี วเท่าน้ัน
10. ถ้ามุมสองมมุ อยใู่ นแนวเสน้ ตรงเดียวกนั แลว้ มมุ ทง้ั สองนัน้ เป็นมุมประกอบสองมุมฉาก
11. มุมทีเ่ ท่ากันย่อมทบั กันสนทิ
12. มุมฉากทกุ มมุ มมุ ตรงทุกมุม ยอ่ มเท่ากัน
13. มุมรอบจดุ จุดหนง่ึ รวมกนั ย่อมเปน็ สองเท่าของมมุ ตรง หรือเปน็ ส่เี ท่าของมมุ ฉาก
14. รศั มีของวงกลมทเี่ ทา่ กนั ย่อมเท่ากนั
15. เมื่อมจี ดุ หน่ึงซง่ึ ถือเป็นจุดศูนยก์ ลาง และสว่ นของเสน้ ตรงที่กาหนดให้เป็นรศั มี ย่อมสรา้ ง
วงกลมไดเ้ พียงวงเดยี วเทา่ นนั้

ศูนย์โอลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต 4

บทที่ 1

ความรู้พ้ืนฐานทางเรขาคณติ

ประมาณ 50 ปีก่อนคริสตราช ยุคลิดได้รวบรวมความรู้ทางเรขาคณิตซ่ึงมีมาก่อนหน้าน้ีให้อยู่ใน
รูปแบบเชิงตรรกศาสตร์เป็นครั้งแรก และได้เขียนหนังสือทางเรขาคณิตทั้งหมด 13 เล่ม ซึ่งครอบคลุม
สัจพจน์และทฤษฎีบทต่าง ๆ ทางเรขาคณิตที่เป็นผลจากการให้เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ หนังสือทั้ง 13 เล่ม
ดังกล่าวถือว่าเป็นตาราทางคณิตศาสตร์ชุดแรกของโลก ยุคลิดได้จาแนกข้อความซึ่งถือเป็นสัจพจน์
(ประพจน์ท่ีถือว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์) จากน้ันยุคลิดได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่าง ๆ ซึ่งเป็นผลจากสัจพจน์
เหล่านั้น ความรู้พื้นฐานที่จะกล่าวถึงต่อไปนี้ บางข้อเป็นสัจพจน์ของยุคลิด และบางข้อเป็นทฤษฎีบทที่
ยุคลดิ ได้พสิ จู น์ไว้ โดยเป็นส่งิ ท่ีสั้น กระชับ และเข้าใจได้ง่าย อีกทั้งยังเป็นพ้ืนฐานสาคัญในการพิสูจน์ทฤษฎี
บทและแก้ปญั หาทางเรขาคณิตตอ่ ไป

1.1 เสน้ ตรงและมมุ
1. ผลบวกของมุมบนเส้นตรงเท่ากบั 180 เสมอ

2. มมุ ตรงขา้ มของเสน้ ตรงซง่ึ เส้นตดั กันจะเท่ากนั เสมอ

3. เสน้ ตรงซง่ึ ตัดเส้นตรงทขี่ นานกันจะทาใหเ้ กดิ มมุ แยง้ และมุมสมนยั ซ่ึงเทา่ กนั

นอกจากนี้ บทกลับของข้อความข้างต้นยังคงเป็นจริง กล่าวคือ ถ้าเส้นตรง EF ตัดเส้นตรง AB
และ CD ซึ่งทาให้มุมแยง้ หรอื มุมสมนัยเท่ากันแลว้ เส้นตรง AB จะขนานกับเส้นตรง CD

4. ผลบวกมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะเทา่ กบั 180 เสมอ

ศูนย์โอลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณิต 5

5. กาหนดรปู สามเหลี่ยม ABC ให้ B,C, D เปน็ จดุ บนเสน้ ตรงเดยี วกัน ดังรปู จะเรียกมุม
ACD ว่ามมุ ภายนอกของรปู สามเหลีย่ ม ABC ท่ีอยูต่ รงข้ามมุม A และ B จากข้อ 1. และข้อ 4. จะได้
วา่ ACD  A B (มุมภายนอกเท่ากับผลบวกมุมภายในท่อี ยูต่ รงขา้ ม)

6. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC จะมีดา้ น AC  BC กต็ ่อเม่ือ A  B น่นั คือ ABC เป็นรูป
สามเหลีย่ มหนา้ จั่ว ก็ตอ่ เมือ่ มีมมุ คหู่ น่งึ เทา่ กัน

ตวั อยา่ ง 1.1.1 กาหนด ABC เปน็ รปู สามเหล่ียมหน้าจ่ัว ซ่ึงมีด้าน AB  AC และมีมุม A  40 จาก
จดุ B ลากเส้นไปต้งั ฉาก AC ทจี่ ดุ D จงหามมุ DBC มีขนาดเทา่ กับเท่าใด

ตัวอย่าง 1.1.2 ผลบวกของมุม 1 2  3 4 5 ในรปู เท่ากับเท่าใด

2 3
1

5
4

ศนู ย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณติ 6

ตัวอย่าง 1.1.3 กาหนดรูปสามเหลีย่ ม ABC ซงึ่ มีด้าน BC  AB และ A  70 ให้ D เปน็ จุดบน
ด้าน AB และ E เปน็ จุดบนด้าน BC ซง่ึ BD  BE และ F เปน็ จุดบนดา้ น AC ซง่ึ CE  CF จง

หามุม DEF มีขนาดเท่ากบั เท่าใด

ตวั อยา่ ง 1.1.4 กาหนดรปู สามเหล่ียม ABC เส้นแบ่งคร่ึงแบบภายนอกของมุม C ตดั เส้นแบ่งครงึ่ มมุ

B แบบภายนอกจดุ D ลากเสน้ ตรงผ่านจุด D ขนานกับดา้ น BC ตดั กบั ด้าน AB และ AC ของรูป
สามเหลีย่ ม ABC ทจ่ี ุด E และ F ตามลาดบั ถ้า FC 10 หน่วย และ BE  8 หนว่ ย แล้ว EF
ยาวกห่ี น่วย

ศูนยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต 7

1.2 วงกลม
วงกลมเป็นรูปพ้ืนฐานในเรขาคณิต วงกลมเป็นเซตของจุดท่ีอยู่ห่างจากท่ีเรียกว่าจุดศูนย์กลางเป็น

ระยะคงตวั สมบัตพิ น้ื ฐานที่สาคัญของวงกลมมีดังต่อไปน้ี
1. กาหนด ABCD เปน็ รูปส่ีเหล่ยี มซง่ึ บรรจุภายในวงกลม (จุดยอดทงั่ สข่ี องรปู ส่ีเหล่ยี มอยบู่ น

วงกลม) จะได้ A C 180 และ B  D 180

2. กาหนด AB เป็นส่วนโค้งของวงกลมซึ่งมีจดุ O เป็นจดุ ศนู ย์กลาง จะได้ว่ามุมซ่งึ AB เป็น
ฐานจะมขี นาดเท่ากนั เสมอ และมีขนาดเทา่ กับคร่ึงหนง่ึ ของมมุ AOB

จากรปู จะได้ ACB  ADB  AEB  1 AOB

2

นอกจากน้ี บทกลับยังเป็นจริงด้วย กล่าวคือ ถาคอร์ด AB และ CD รองรับมุมซึ่งเท่ากัน แล้ว
คอร์ด AB และ CD จะมคี วามยาวเทา่ กนั

3. เส้นสมั ผสั วงกลมคือเสน้ ตรงซึ่งตดั วงกลมท่จี ดุ เดยี ว ถา้ l เป็นเสน้ สัมผสั วงกลมทจี่ ดุ A จะได้
วา่ มุมซึ่งคอร์ด AB ทากับเส้นตรง l จะมีขนาดเทา่ กนั มุมที่คอรด์ AB รองรับเสมอ

จากรูป จะได้ ACB  ADB  BAE

ศูนย์โอลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณิต 8

ตัวอย่าง 1.2.1 กาหนดวงกลม  ซง่ึ มี O เป็นจดุ ศนู ยก์ ลางและมรี ัศมียาว r ให้ A เป็นจดุ ภายนอก
วงกลม ลากเส้นผ่านศนู ยก์ ลาง AO ตดั วงกลมที่จุด B และ C ลากเส้นตรงอีกเสน้ หนง่ึ ซึ่งผ่านจุด A

และตดั วงกลมที่จุดสองจุด ได้แก่จดุ D และจดุ E ถา้ AD  r และ DAB  20 และมุม EOC มี
ขนาดเทา่ ไร

ตัวอย่าง 1.2.2 กาหนดวงกลมสองวง w1 และ w2 ซ่ึงตัดกันที่จุด P และQ ลากเส้นตรงผ่านจุด P ตัด
วงกลม w1 และ w2 ที่จุด A และ B ตามลาดับ ลากเส้นตรงผ่านจุด Q ตัดวงกลม w1 และ w2 ท่ีจุด
C และ D ตามลาดบั AB || BD

ศูนยโ์ อลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณิต 9

ตัวอย่าง 1.2.3 กาหนดวงกลมสองวง w1 และ w2 ซ่ึงตัดกันท่ีจุด P และ Q ให้ A เป็นจุดบนวงกลม
w1 ลากเสน้ ตรง AP และ AQ ตดั วงกลม w2 ท่จี ดุ R และ S ตามลาดับ ลากเส้นตรง l สัมผัสวงกลม
w1 ทจ่ี ุด A จงแสดงว่า l || RS

ตัวอย่าง 1.2.4 กาหนดวงกลมสองวง w1 และ w2 ซ่ึงตัดกันที่จุด P และ Q ให้เส้นตรง l เป็นเส้น
สัมผัสร่วมของท้ังสองวง (สัมผัสวงกลม w1 และ w2 ท่ีจุด A และ B ตามลาดับ) ลากเส้นตรง AQ ตัด
วงกลม w2 ท่ีจุด R ถา้ APB  35 แลว้ มุม BPR เทา่ กับเทา่ ใด

ศนู ย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณติ 10

แบบฝกึ หัด บทที่ 1 ความรู้พืน้ ฐานทางเรขาคณติ

1. จากรปู ทีก่ าหนดให้ความยาวมหี นว่ ยเป็นเซนตเิ มตร
พ้นื ทสี่ ว่ นทแ่ี รเงาเทา่ กับเท่าใด (สอวน. มอ.ปตั ตานี 2555)

2. รศั มขี องวงกลมทใี่ หญท่ ีส่ ุดที่บรรจอุ ยใู่ นรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก
ท่ีมีความยาวดา้ นเปน็ 12,35 และ 37 มีรศั มเี ป็นเทา่ ใด

(สอวน. มอ.ปัตตานี 2555)

3. กาหนดวงกลมมจี ุด O เปน็ จุดศูนยก์ ลาง ดังรปู
คอร์ด AB ขนานกบั คอรด์ CD และห่างกนั 14 เซนตเิ มตร
ถา้ วงกลมน้มี รี ศั มี 10 เซนตเิ มตร คอร์ด AB ยาว 16 เซนตเิ มตร
แล้วพืน้ ท่ีของสามเหล่ียม COD เปน็ เท่าใด (สอวน. มอ.ปตั ตานี 2555)

4. จากรูปกาหนดให้ P,Q และ R เปน็ จุดบนเสน้ รอบวงของวงกลมO
ลาก OP และ QR พบกนั ทจี่ ุด S โดยท่ี RS  OP

และมุม PSQ 18 ขนาดของมุม PQR เป็นเทา่ ใด
(สอวน. มอ.ปัตตานี 2555)

5. กาหนดให้ PQR เป็นรปู สามเหลี่ยมดา้ นเท่า โดยท่ี SPR  40

และ TQR  35 แล้วขนาดของเป็น S XT กีอ่ งศา
(สอวน. มอ.ปตั ตานี 2556)

6. จากรปู ABC เปน็ รูปสามเหล่ียม CE แบ่งครง่ึ ACB
และ BE แบ่งคร่งึ ABD ถ้า BAC  78 แลว้
ขนาดของเป็น BEC ก่อี งศา (สอวน. มอ.ปตั ตานี 2556)

7. จากรูป มมุ BEC  40 มมุ AFB  30
ขนาดของ BCD เป็นกอี่ งศา (สอวน. มอ.ปัตตานี 2556)

8. กาหนดวงกลมดังรูป ถา้ AB 18 หน่วย และ ACB  45
แล้วเสน้ รอบวงกลมนี้เป็นเท่าใด (สอวน. มอ.ปตั ตานี 2556)

ศนู ย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ 11

9. กาหนดให้ PQRS เป็นที่ดินรูปสี่เหล่ียม โดย PS || RQ, PSR  90 , PQR  30 และ PQ  20 วา
RQ  40 วา แลว้ พ้นื ทรี่ ูปส่ีเหลย่ี ม PQRS มีคา่ เทา่ ใด (สอวน. มอ.ปตั ตานี 2556)

10. วงกลม O มี A เปน็ จดุ บนเส้นรอบวง AD ผา่ นจดุ ศนู ย์กลางของวงกลมตัดวงกลมที่ C และ DB
สัมผัสวงกลมที่จดุ B ถา้ ABD 115 แลว้ ขนาดของ ADB เปน็ เทา่ ใด (สอวน. มอ.ปตั ตานี 2556)

11. กาหนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มมุมฉาก และ ABC
เปน็ รูปสามเหลย่ี มที่เกิดจากการสะทอ้ นของรูปสามเหลี่ยม
ABC ดงั รปู จงหาความยาวของสว่ นของเสน้ ตรง BB
เป็นกี่เท่าของส่วนของเสน้ ตรง AB ทีท่ าใหพ้ ื้นทแ่ี รเงา
เป็นคร่งึ หน่งึ ของพ้ืนที่รปู สามเหล่ียม ABC (สอวน. มอ.ปตั ตานี 2556)

12. ให้ ABC เปน็ รปู สามเหลยี่ มด้านเท่า สร้างวงกลมโดยให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และวงกลมตัด
AC และ BC ท่ีจุด D และ E ตามลาดับ ถ้า AB ยาว 6 หน่วย แล้วพื้นท่ีรูปสี่เหลี่ยม ABED
เปน็ เท่าใด (สอวน. มอ.ปัตตานี 2556)

13. รปู ส่เี หลี่ยมด้านขนาน ABCD มี E และ F เป็นจุดก่ึงกลาง CD และ AD ตามลาดับ ลาก AE และ
BF ตัดกันทีจ่ ุด G จงหาอัตราสว่ นของพื้นท่ี EFG ตอ่ พ้ืนที่ BCE (สอวน. มอ.ปัตตานี 2556)

14. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ โดยท่ี BC  3 หน่วย ให้ D เป็นจุดบนด้าน BC และ
BD  2 หนว่ ย คา่ ของ AB2  2AC2 3AD2 เปน็ เทา่ ใด (สอวน. มอ.ปัตตานี 2556)

15. จากรูป APQ เปน็ รูปสามเหล่ยี มด้านเทา่ และ ABCD
เป็นรปู สเี่ หลย่ี มจัตรุ ัสมจี ุดยอดร่วมกันท่ี A จงแสดงว่า
ผลรวมของพน้ื ทีร่ ูปสามเหลี่ยม ABP และพน้ื ที่รูปสามเหลย่ี ม ADQ
เทา่ กบั พนื้ ทีร่ ปู สามเหลี่ยม CPQ ถ้าพนื้ ทีร่ ูปสามเหลยี่ ม ADQ  30
ตารางหน่วย แล้วพ้ืนท่รี ปู สามเหลย่ี มCPQ พืน้ ทร่ี ปู สามเหลยี่ ม APQ
และพื้นทีร่ ปู ส่ีเหล่ยี ม ABCD เปน็ เท่าใด (สอวน. มอ.ปตั ตานี 2556)

16. รูปส่เี หลี่ยมคางหมู ABCD มี AB || CD โดยท่ี AD  CD  BC และ 3BAD  BCD ขนาด
ของมมุ CBD ทีเ่ ป็นเท่าใด (สอวน. มอ.ปตั ตานี 2557)

17. กาหนดใหว้ งกลมO มี AB เปน็ เส้นผ่านศูนย์กลางและ C เป็นจุดบนเส้นรอบวง ถ้าลากเส้นจากจุด C
พบส่วนต่อของเส้นตรง BA ท่ีจุด E และ EC ตัดวงกลมที่จุด D ถ้า DE  OA แล้วอัตราส่วน

ของ COB : DEA เป็นเทา่ ใด (สอวน. มอ.ปัตตานี 2557)

ศนู ยโ์ อลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต 12

18. จากรปู ท่ีกาหนดให้ ถา้ อตั ราสว่ นของเสน้ รอบรปู TBC
และ DAT เปน็ 1: 2 แลว้ ความยาวของ AB เป็นเท่าใด
(สอวน. มอ.ปตั ตานี 2557)

19. กาหนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหลีย่ มทม่ี ี AE, BF

และ CD เป็นเส้นมธั ยฐาน โดยท่ี FH  AE และ
FH || AE ต่อ BH และ HE

จงพิสูจน์ว่า BH  DC (สอวน. มอ.ปตั ตานี 2557)

20. รปู สามเหลย่ี ม ABC มี AB  BD  AC และ
AD  CD ดงั รปู แล้ว BAC มีขนาดกีอ่ งศา
(สอวน. มอ.ปัตตานี 2558)

21. จากรูปสามเหลย่ี มดา้ นเท่า DEF แนบใน

รูปสามเหลีย่ มด้านเท่า ABC โดยท่ี F DB  30
อตั ราส่วนดา้ น DF : AB เทา่ กบั เท่าใด
(สอวน. มอ.ปตั ตานี 2558)

22. ให้ ABC เป็นสามเหล่ยี มมมุ ฉากทมี่ ี BAC  90 ลาก AD  BC ทาให้ BD และ CD ยาว 4
หนว่ ยและ 6 หน่วย ตามลาดบั จงหาพืน้ ท่ีของรูปสามเหลยี่ ม ABC (สอวน. มอ.ปัตตานี 2558)

23. จากรปู ขนาดของ x  y เทา่ กบั เท่าใด
(สอวน. มอ.ปัตตานี 2558)

24. กาหนดให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ยี ม AD ตงั้ ฉากกบั BC
และ E เป็นจุดบน AD โดยท่ี AB 10 2 และ AC 12
ดงั รปู แลว้ BE2  EC2 มีค่าเท่ากับเทา่ ใด
(สอวน. มอ.ปัตตานี 2559)

ศนู ยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณติ 13

25. กาหนดใหว้ งกลม A และ B มีรศั มเี ทา่ กับ 8 และ 10
หน่วยตามลาดบั วงกลมทง้ั สองสัมผสั เส้นตรง XY และ
ถ้า C เป็นจุดสัมผัสของวงกลมท้งั สองดังรูป
ระยะหา่ งระหวา่ ง C กับเสน้ สมั ผัส XY เท่ากับเท่าใด
(สอวน. มอ.ปัตตานี 2559)

26. ให้ ABC เปน็ รูปสามเหล่ียมด้านเทา่ มีด้าน BC เป็นฐาน ยาวดา้ นละ 5 นิ้ว ถ้าตอ่ ฐาน BC ออกไป
ทาง C ถึงจุด D ทาให้ ADC  30 ความยาวด้าน AD เทา่ กบั เท่าใด (สอวน. มอ.ปัตตานี 2559)

27. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมแหลม ท่ีมีมุมภายใน ABC  60 , BAC  50 มีจุด O อยู่
ภายในรูปสามเหลี่ยมและอยู่ห่างจากจุด A จุด B และจุด C เป็นระยะทางเท่ากัน ขนาดของมุม
AOB เท่ากบั เทา่ ใด (สอวน. มอ.ปตั ตานี 2559)

28. วงกลมสองวงมีรัศมี 2 เซนติเมตรเท่ากัน จุดศูนย์กลางของวงกลมแต่ละวงอยู่บนเส้นรอบวงของอีกวง
หน่ึง ลากเส้นเชื่อมจุดศูนย์กลางท้ังสองไปตัดเส้นรอบวงท่ีจุด A และ B เส้นรอบวงของวงกลมท้ัง
สองตัดกันท่ีจุด P และ Q รูปส่ีเหลี่ยมที่มีจุด A, B, P และ Q เป็นจุดยอดมีพื้นที่เท่ากับเท่าใด

(สอวน. มอ.ปัตตานี 2559)

29. คอร์ด AB และคอร์ด CD อยู่บนวงกลม O มี OP และ OQ เป็นระยะห่างจากคอร์ด AB และคอร์ด CD
ตามลาดบั กาหนดให้ OP  AB  2a และ OQ  a ความยาวของคอรด์ CD เท่ากบั เทา่ ใด
(สอวน. มอ.ปตั ตานี 2559)

30. รปู ดาวหา้ แฉกบรรจุอย่ใู นวงกลม ดงั รูป ถา้ ADC  80 , BED  70

และรูปดาวหา้ แฉกนี้สมมาตรตามแนวเส้นตรง AO
ซง่ึ ผ่านจดุ ศูนย์กลาง O แลว้ ค่าของ a  2b 3c  4d 5e
เทา่ กบั เทา่ ใด (สอวน. มอ.ปตั ตานี 2559)

31. วงกลมสองวงมี O และ O เป็นจดุ ศูนยก์ ลาง มรี ศั มเี ปน็ 7
และ 15 หน่วยตามลาดับ ดังรปู จดุ ศนู ย์กลางท้ังสองหา่ งกนั
33 หน่วย ระยะทางจากจดุ O ไปยังจุดตัดระหวา่ งเสน้ เชือ่ ม
จุดศนู ย์กลางกับเส้นสัมผัสรว่ ม PP เทา่ กับเท่าใด
(สอวน. มอ.ปตั ตานี 2559)

32. กาหนดรูปสามเหล่ียมด้านเท่ารูปหน่ึงแนบในวงกลม ซึ่งมีรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสล้อมรอบวงกลมนั้น ถ้าด้าน
ของรปู ส่ีเหลีย่ มจตั ุรัสยาว 6 หนว่ ย เสน้ รอบรูปของสามเหลี่ยมดา้ นเทา่ ยาวเทา่ ใด (สอวน. มอ.ปัตตานี 2560)

ศนู ยโ์ อลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณิต 14

33. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน โดยมี E เป็นจุดก่ึงกลางของด้าน BC ลาก DE และ E
เป็นจุดกง่ึ กลางของด้าน DE อัตราส่วนของพ้ืนที่รูปสามเหล่ียม DFC ต่อพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม ABCD
เทา่ กบั เท่าใด (สอวน. มอ.ปัตตานี 2560)

34. จากรูป คอร์ดสองเสน้ ขนานกนั และหา่ งกัน 1 หนว่ ย
ถ้าคอร์ดเส้นยาว ยาว 8 หน่วย และคอรด์ เส้นสน้ั ยาว 6 หนว่ ย
แล้วพ้ืนทข่ี องวงกลมเทา่ กับเทา่ ใด (สอวน. มอ.ปัตตานี 2560)

35. จากรปู ถา้ ABC  43 และ DEC  33 แลว้ DFC มคี า่ เทา่ ใด (สอวน. มอ.ปตั ตานี 2560)

A DB

F

C

E

36. ให้ ABC เปน็ รูปสามเหลย่ี มท่มี ีความยาวด้านด้านละ 5,12 และ 13 หน่วย ตามลาดับ และ P เป็น
จุดภายในรูปสามเหลี่ยมน้ี D ท่ีน้อยท่ีสุดมีเท่าใด เมื่อกาหนดให้ D  AP2  BP2 CP2 หรือ D
คือผลรวมของกาลังสองของระยะทางจากจุด P ไปยงั จดุ ยอดท้ังสามจุด (สอวน. มอ.ปัตตานี 2560)

37. จากรปู กาหนดใหว้ งกลม C1,C2 และ C3 สมั ผสั กับเสน้ ตรง l โดยทว่ี งกลมท้งั สามสมั ผสั กันดังรูป ถ้า
วงกลม C1 และวงกลม C2 มีรัศมีเท่ากันและ C3 มีรัศมีเท่ากับ 6 หน่วย ความยาวรอบรูปของ
วงกลม C1 มคี ่าเทา่ ใด (สอวน. มอ.ปตั ตานี 2560)

C1 C2

C3 l

ศูนยโ์ อลิมปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ 15

บทท่ี 2

รูปสามเหลย่ี ม

จุด A, B,C สามจุดที่ไม่อยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกันในระนาบ ทาให้เกิดรูปสามเหลี่ยม ABC ได้
โดยการลากส่วนของเส้นตรง AB, AC และ BC เช่ือมจุดท้ังสามนี้ เราสามารถจาแนกรูปสามเหล่ียมตาม
ขนาดของมุมภายในไดส้ ามชนิด ได้แก่ รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมแหลม
รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก เป็นรูปสามเหลย่ี มทีม่ มี ุมหน่งึ เป็นมมุ ฉาก รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน เป็นรูปสามเหล่ียมท่ีมี
มุมหนึ่งเป็นมุมป้าน และเรายังสามารถจาแนกรูปสามเหล่ียมตามลักษณะของด้านได้สามชนิด ได้แก่ รูป
สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า เป็นรูปสามเหล่ียมท่ีด้านท้ังสามยาวไม่เท่ากัน รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เป็นรูป
สามเหลยี่ มทด่ี ้านท้งั สามยาวเท่ากัน และ รปู สามเหลี่ยมหนา้ จ่ัว เปน็ รูปสามเหล่ยี มท่ีด้านยาวเทา่ ดนั สองด้าน

ในบทนี้จะศกึ ษาสมบตั แิ ละทฤษฎบี ทต่าง ๆ ที่เก่ียวขอ้ งกับรปู สามเหลยี่ ม

2.1 รปู สามเหล่ียมเท่ากนั ทกุ ประการ
รปู สามเหลย่ี มแต่ละรปู ประกอบด้วยด้านสามด้านและมุมสามมุม สาหรับรูปสามเหล่ียมสองรูปท่ีมี

ดา้ นเทา่ กันสามดา้ นและมุมเทา่ กนั สามมุม จะกล่าววา่ รปู สามเหลยี่ มสองรูปนเี้ ท่ากันทุกประการ

บทนยิ าม 2.1.1 กาหนดรปู สามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหลีย่ ม DEF ซง่ึ
A  D, B  E, C  F และ AB  DE, BC  EF, AC  DF

จะกล่าวว่า รูปสามเหล่ยี มทั้งสองรปู น้ีเทา่ กนั ทุกประการ โดยใช้สญั ลักษณ์  ABC   DEF

จะเห็นว่าการตรวจสอบว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กาหนดเท่ากันทุกประการหรือไม่นั้นมีความ
ยุ่งยากที่จะต้องตรวจสอบปริมาณทั้ง 6 ค่า ได้แก่ ด้านสามด้านและมุมสามมุม ว่าเท่ากันหรือไม่ ทฤษฎีบท
พนื้ ฐานต่อไปนแี้ สดงว่าเปน็ การเพยี งพอทีจ่ ะตรวจสอบการเทา่ กนั ของปริมาณเพยี งแค่ 3 ค่าเท่านน้ั

ทฤษฎบี ท 2.1.2 (ทฤษฎีบทสมนยั ) ขอ้ ความต่อไปนี้สมมลู กนั
1.  ABC   DEF
2. รปู สามเหลย่ี มทงั้ สองรูปมี ดา้ น-มมุ -ดา้ น เท่ากัน ได้แก่ AB  DE, B  E และ BC  EF

(มุมทเ่ี ทา่ กนั อยูร่ ะหวา่ งดา้ นทเ่ี ทา่ กนั )

ศนู ย์โอลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณติ 16

3. รปู สามเหลยี่ มทง้ั สองรูปมี มุม-ดา้ น-มุม เท่ากนั ได้แก่ B  E, BC  EF และ C  F
(ด้านทเี่ ทา่ กันยรู่ ะหว่างมมุ ท่เี ท่ากนั )

4. รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมี ด้าน-ดา้ น-ดา้ น เทา่ กัน ไดแ้ ก่ AB  DE, BC  EF และ AC  DF

5. รปู สามเหลย่ี มท้ังสองรูปมี มมุ -มมุ -ดา้ น เท่ากนั ไดแ้ ก่ A  D, B  E และ BC  EF

6. รปู สามเหล่ียมทง้ั สองรปู มี มมุ ฉาก-ดา้ น-ดา้ น เท่ากนั ได้แก่ B  E  90, BC  EF และ

AC  DF

คาถาม 2.1.3 รูปสามเหลี่ยมสองรูปซ่ึงมี มุม-ด้าน-ด้าน เท่ากัน จะเท่ากันทุกประการกันหรือไม่ ถ้าไม่จริง
จงยกตวั อยา่ ง

ตวั อย่าง 2.1.4 กาหนดรปู สามเหล่ยี ม ABC ซง่ึ มีดา้ น AB  AC จงแสดงวา่ มมุ B  C

ศูนย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณิต 17
ตวั อย่าง 2.1.5 กาหนดรูปสามเหลยี่ ม ABC ซึ่งมมี ุม B  C จงแสดงว่า AB  AC

ข้อสังเกต ตวั อย่างท้งั สองขา้ งต้น แสดงให้เหน็ ว่าสมบตั ขิ องรูปสามเหลย่ี มหนา้ จัว่ เป็นผลมากจากทฤษฎีบท
การเทา่ กันทุกประการของรปู สามเหลย่ี ม

ตัวอย่าง 2.1.6 กาหนดจุด A, B,C บนเส้นตรงเดียวกัน สร้างรูปสามเหล่ียมด้านเท่า ABC และรูป
สามเหล่ียมด้านเท่า BCE ซึ่งอยู่ด้านเดียวกันของเส้นตรง AB ลาก AE ตัด CD ท่ีจุด F มุม EFC
มขี นาดเท่าใด

ตวั อยา่ ง 2.1.7 ลากเสน้ ตรง l1 ตัดวงกลมวงกลม w ทจ่ี ดุ A และ B ลากเส้นตรง l2 ขนานกับเส้นตรง
l1 ตดั วงกลม w ที่จดุ C และ D จงแสดงว่าเส้นทแยงมุม AD และ BC มคี วามยาวเท่ากัน

ศนู ยโ์ อลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ 18

ตัวอย่าง 2.1.8 กาหนด ABCD เป็นรปู สเี่ หลย่ี มด้านขนาน สร้างรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ ADE และ
DCF บนด้านของรปู สเี่ หลี่ยม โดยไมท่ ับสเ่ี หล่ียมเดิม จงแสดงวา่ BEF เป็นรูปสามเหล่ียมดา้ นเทา่

2.2 จดุ สาคญั ของรปู สามเหลี่ยม
ในหัวข้อจะกล่าวถึงจุดสาคัญสี่จุดซ่ึงพบในรูปสามเหล่ียมทุกรูป ได้แก่ จุดศูนย์กลางวงกลม

ล้อมรอบ จุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน จดุ ออร์โทเซนเตอร์ และจุดเซนทรอยด์ นอกจากนี้ ยังจะศึกษาสมบัติ
และการสร้างจดุ ทงั้ ส่ีดังกล่าว
จุดศนู ย์กลางวงกลมล้อมรอบ (Circumcenter)

กาหนดรูปสามเหล่ียมใด ๆ จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งผ่านจุด
ยอดทัง้ สามของรูปสามเหลย่ี ม เราจะแสดงว่าจุดดังกล่าวเกิดจากการตัดกันของเส้นแบ่งคร่ึงตั้งฉากของด้าน
ทั้งสามของรูปสามเหลีย่ ม
บทนิยาม 2.2.1 กาหนดสว่ นของเส้นตรง AB จะเรยี กเสน้ ตรง l ว่า เสน้ แบ่งครึ่งตงั้ ฉาก (Perpen-
dicular Bisector) ของ AB ถา้ l ต้ังฉากกับ AB และแบ่ง AB ออกเป็นสองส่วนซึ่งมคี วามยาวเท่ากัน
( AC  BC ) ดังรูป

เราสามารถตรวจสอบวา่ เส้นตรง l เป็นเสน้ แบง่ คร่งึ ตงั้ ฉากของ AB ได้ โดยทฤษฎีบทตอ่ ไปนี้
ทฤษฎีบท 2.2.2 (ทฤษฎบี ทแบ่งครงึ่ ตง้ั ฉาก)

กาหนดส่วนของเส้นตรง AB จะได้ว่าจุด C อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ AB ก็ต่อเมื่อ

AC  BC

ศนู ยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต 19

กาหนดรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมทั้งสามเส้น มีสมบัติ
พิเศษคือ เสน้ ตรงทั้งสามเสน้ ดังกลา่ วตัดกนั ทจ่ี ุดเดยี วเสมอ ดงั ทฤษฎบี ทต่อไปนี้

ทฤษฎบี ท 2.2.3 (ทฤษฎีบทจุดศนู ยก์ ลางวงกลมล้อมรอบ)
กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ให้ l1,l2,l3 เป็นเส้นแบ่งคร่ึงต้ังฉากของด้าน AB, BC, AC

ตามลาดบั จะไดว้ ่า l1,l2,l3 ตัดกันทจ่ี ดุ เดยี ว และจดุ ดังกลา่ ว เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางวงกลมล้อมรอบของรูป

ตัวอย่าง 2.2.4 กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซึ่ง AB  AC และมีจุด O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม
ล้อมรอบ ABC ให้ AD เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม A ลากเส้นตรงผ่านจุด D ตั้งฉากกับเส้นตรง OA ตัด
ด้าน AB ท่ีจุด E จงแสดงวา่ AE  AC

ศูนย์โอลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต 20

จดุ ศนู ย์กลางวงกลมแนบใน (In-center)
กาหนดรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จุดศูนย์กลางวงกลมแนบในเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมซ่ึงอยู่ภายใน

และสัมผัสด้านท้ังสามของรูปสามเหลี่ยม เราจะแสดงว่าจุดดังกล่าวเกิดจากการตัดกันของเส้นแบ่งคร่ึงมุม
แบบภายในของมมุ ทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม

ท่ีผา่ นมา เรามีทฤษฎีบทซ่งึ ใช้ตรวจสอบวา่ จดุ ที่กาหนดอยู่บนเส้นแบ่งคร่ึงต้ังฉากหรือไม่ ทฤษฎีบท
ต่อไปน้ีเป็นทฤษฎบี ทซึ่งใชใ้ นในการตรวจสอบว่า จดุ ทีก่ าหนดอยู่บนเสน้ แบ่งครึง่ มมุ หรือไม่

ทฤษฎีบท 2.2.5 กาหนดมุม ABC และให้ D เป็นจุดภายในมุม ABC ลากเส้นต้ังฉากจุด D ไปบน
เส้นตรง AB และ AC ท่จี ุด E และ F ดงั รปู

จะได้วา่ จดุ D อยบู่ นเส้นแบง่ คร่งึ มุม ABC ก็ตอ่ เม่ือ DE  DF

ในทานองเดียวกับการพิสูจน์ว่าเส้นแบ่งคร่ึงตั้งฉากด้านท้ังสามด้านของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุด
เดียว เราสามารถใช้ทฤษฎีบท 2.2.5 ในการพิสูจนว์ ่าเสน้ แบ่งคร่ึงมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหล่ียมตัด
กนั ท่ีจดุ เดียว ดังตอ่ ไปน้ี

ศูนย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณติ 21

ทฤษฎบี ท 2.2.6 (ทฤษฎีบทจดุ ศนู ยก์ ลางวงกลมแนบใน)

กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC เส้นแบ่งคร่ึงมุม A, B, C แบบภายในจะตัดกันที่จุดเดียว และจุด
ดังกลา่ วเปน็ จุดศูนยก์ ลางวงกลมแนบในของรปู สามเหลยี่ ม ABC

ตัวอย่าง 2.2.7 กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซึ่งมีจุด I เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน ลากเส้นตรง
AI ตัดวงกลมล้อมรอบ  ABC อกี ครั้งท่ีจุด D จงแสดงวา่  IDC เปน็ รูปสามเหล่ียมหนา้ จวั่

ศูนยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณิต 22

ตัวอย่าง 2.2.8 กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซ่ึงมี O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมรอบและ I เป็นจุด
ศูนย์กลางของวงกลมแนบใน จงแสดงว่า ถ้าจุด O และจุด I เป็นจุดเดียวกัน แล้ว ABC จะเป็นรูป

สามเหลย่ี มด้านเทา่

จดุ ออรโ์ ทเซนเตอร์และจดุ เซนทรอยด์
กาหนดรูปสามเหลยี่ ม ABC นอกจากจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบและจุดศูนย์กลางวงกลมแนบ

ในแลว้ ยงั มีจุดสาคัญอีกสองจุด ได้แก่ จุดตัดของเส้นมัธยฐาน และจุดตัดของส่วนสูงของรูปสามเหล่ียม ซึ่ง
จะกล่าวถึงในทฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ี และจะใหพ้ ิสูจนข์ องทฤษฎบี ทท้ังสองต่อไปในภายหลัง
ทฤษฎีบท 2.2.9 (ทฤษฎบี ทจดุ ออรโ์ ทเซนเตอร)์

กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC จะได้ว่าส่วนสูงจากจุดยอดทั้งสามจุดของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุด
เดยี ว นิยามจุดดงั กลา่ วเปน็ จุดออร์โซนเตอร์ (orthocenter) ของรูปสามเหลีย่ ม ABC

ทฤษฎีบท 2.2.10 (ทฤษฎบี ทจุดเซนทรอยด์)
กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC จะได้ว่าเส้นมัธยฐาน (เส้นซึ่งลากจากจุดยอดไปแบ่งครึ่งด้านตรง

ข้าม) ท้ังสามเส้นของรูปสามเหลี่ยมตัดกันท่ีจุดเดียว นิยามจุดดังกล่าวว่าเป็น จุดเซนทรอยด์ (centroid)
ของรปู สามเหลีย่ ม ABC

นอกจากนี้ จะได้ว่าอตั ราส่วนความยาว AG :GD  BG :GE  CG :GF  2:1

ศนู ยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต 23

ตัวอย่าง 2.2.11 กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซึ่งมีจุดออร์โซนเตอร์ H และจุดเซนทรอยด์ G เป็นจุด
เดยี วกัน จงแสดงวา่  ABC เป็นรูปสามเหล่ียมดา้ นเท่า

ตัวอย่าง 2.2.12 กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซ่ึงมีจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน I และจุดเซนทรอยด์
G เป็นจดุ เดียวกนั  ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่า

คาถาม 2.2.13 กาหนด  ABC ซ่ึงมีจุด O, I, H,G เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ จุดศูนย์กลาง
วงกลมแนบใน จุดออร์โทเซนเตอร์และจุดเซนทรอยด์ ตามลาดับ ถ้ามีจุดคู่ใดเป็นจุดเดียวกัน แล้วจะได้ว่า
 ABC เปน็ รปู สามเหล่ียมด้านเทา่ หรอื ไม่

ศูนย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณิต 24

ตัวอย่าง 2.2.14 กาหนดรปู สามเหลยี่ ม ABC ซ่ึงมมี ุม B  45 และ H เป็นจุดออร์โทเซนเตอร์
จงแสดงวา่ BH  AC

ตัวอย่าง 2.2.15 กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งมีมุม B  45 ให้ AD เป็นส่วนสูงจากจุด A และ
P เป็นจดุ บนด้าน AD สมมติ BP  AC จงแสดงวา่ P เป็นจุดออรโ์ ทเซนเตอรข์ อง  ABC

ตวั อยา่ ง 2.2.16 กาหนดรูปสี่เหล่ียมด้านขนาน ABCD ให้ M และ N เป็นจุดกึ่งกลางด้าน BC และ
CD ตามลาดับ AM และ AN ตดั BD ทจ่ี ุด E และ F ตามลาดับ จงแสดงวา่ BE  EF  FD

ศูนย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณิต 25

2.3 รปู สามเหลย่ี มคลา้ ย
รูปสามเหล่ียมสองรูปจะเท่ากันทุกประการเม่ือรูปทั้งสองมีมุมและด้านทั้งหมดเท่ากัน ถ้าลด

เง่ือนไขลงเหลือเพียง รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีมุมทุกมุมเท่ากัน เราจะเรียกรูปสามเหล่ียมทั้งสองนี้ว่าเป็น
รปู สามเหลย่ี มซงึ่ คลา้ ยกัน ในหัวข้อน้ี จะศึกษาสมบัตติ า่ ง ๆ ของรูปสามเหล่ียมคลา้ ย

บทนิยาม 2.3.1 กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC และ DEF โดยท่ี A  D, B  E และ C  F จะเรียก
ABC ว่าคลา้ ยกับ DEF และใชส้ ัญลกั ษณ์ ABC DEF

คาถาม 2.3.2 ถ้า ABC และ DEF มีมมุ เท่ากันเพียงสองคู่ แลว้ ABC จะคล้ายกบั DEF หรอื ไม่

จากบทนิยาม จะเห็นว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปจะคล้ายกันเม่ือมีมุมเท่ากันสามคู่ แต่จะเห็นว่าไม่มี
การกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างด้านต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปเลย ทฤษฎีบทพื้นฐานท่ีสาคัญ
ตอ่ ไปน้ี จะกลา่ วถงึ ความสมั พนั ธร์ ะหว่างด้านของรูปสามเหลยี่ มทค่ี ลา้ ยกัน

ทฤษฎีบท 2.3.3 (ทฤษฎีบทพน้ื ฐานรปู สามเหลย่ี มคลา้ ย)
กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC และรปู สามเหลี่ยม DEF ซง่ึ ABC DEF

โดยทมี่ มุ A  D, B  E และ C  F

จะได้วา่ BC  AC  AB

EF DF DE

นนั่ คอื อัตราส่วนของความยาวที่อยูต่ รงขา้ มมมุ ทเี่ ทา่ กนั จะมีคา่ เท่ากันเสมอ

ศูนยโ์ อลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณติ 26

ตัวอย่าง 2.3.4 กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ลากเส้นขนานกับ BC ตัดด้าน AB และ AC ท่ีจุด D

และ E ตามลาดบั จงแสดงว่า AD  AE
BD EC

ตวั อยา่ งท่ี 2.3.5 กาหนดรูปสามเหลย่ี ม ABC ซึ่งมีมุม B  90 ให้ BD เป็นส่วนสูงจากจดุ B

ถา้ BC  2 และ AB 1 แลว้ CD มคี า่ เท่าใด
AD

ตัวอย่างที่ 2.3.6 กาหนดวงกลม w และจุด P ซึ่งอยู่ภายนอกวงกลม จากจุด P ลากเส้นสัมผัสวงกลม
ท่ีจุด C และลากเส้นตรงอีกเส้นหน่ึงจากจุด P ตัดวงกลม w ที่จุด A และ B (A  B) สมมติ

BC 1 และ PB  AB แล้ว AC มีความยาวเทา่ ใด

ศนู ย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต 27

ตัวอย่างท่ี 2.3.7 กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ให้เส้นตรงซ่ึงขนานด้าน BC ตัดด้าน AB และ AC ท่ี
จุด D และ E ตามลาดับ BE ตัด CD ที่จุด P ลากเส้นตรงผ่านจุด P ขนานกับด้าน BC ตัดด้าน
AC ที่จดุ F ถ้า EF 1 และ FC  2 แลว้ ความยาว AC เทา่ กับเทา่ ใด

ในกรณีของรูปสามเหลี่ยมท่ีเท่ากันทุกประการ เรามีทฤษฎีบทสมนัย 2.1.2 ช่วยในการตรวจสอบ
ว่ารูปสามเหลี่ยมที่กาหนดให้เท่ากันทุกประการหรือไม่ ทฤษฎีบทต่อไปน้ีจะเป็นเคร่ืองมือท่ีช่วยในการ
ตรวจสอบการคล้ายกนั ของรปู สามเหล่ียมเมื่อมีมุมเท่ากนั เพียงคูเ่ ดยี ว

ทฤษฎีบท 2.3.8

กาหนด ABC และ DEF ซง่ึ มมี มุ B  E

1. ถ้า AB  DE แล้วจะได้ว่า ABC DEF โดยที่ C  F
BC EF

2. ถา้ AB  EF แล้วจะได้วา่ ABC DEF โดยท่ี A  F
BC DE

ข้อสังเกต ทฤษฎีบทข้างต้นกล่าวว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปซึ่งมีมุมเท่ากันเพียงหนึ่งคู่ และมีอัตราส่วนแขน
ประกอบมมุ นน้ั เท่ากัน แลว้ รูปสามเหลยี่ มท้ังสองรูปจะคล้ายกนั

ศนู ยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณติ 28

ตัวอย่างที่ 2.3.9 กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซ่ึงจุด D และ E เป็นจุดก่ึงกลางด้าน AB และ AC
ตามลาดบั จงแสดงวา่ เส้นตรง DE ขนานกบั เสน้ ตรง BC

ตัวอย่างท่ี 2.3.10 กาหนดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ให้ P เป็นจุดภายในรูปสี่เหลี่ยมนี้ โดยที่
PAB  PCB ลากเส้นตรงผ่านจุด P และขนานกับเส้นตรง AD ให้เส้นตรงดังกล่าวตัดด้าน AB และ
CD ท่จี ดุ E และ F ตามลาดับ จงแสดงว่า PEB PDF และ PBA  ADP

ข้อสังเกต คาถามแรกเป็นแนวทางในการแก้ปัญหาสาหรับคาถามท่ีสอง ปัญหาข้อนี้จะยากข้ึนเม่ือถาม
คาถามทีส่ องโดยไมม่ คี าถามแรก

ศนู ยโ์ อลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณิต 29

2.4 ทฤษฎีบทพีทาโกรสั (Pythagoras’s theorem)
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกล่าวว่า พ้ืนที่ของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหล่ียม

มุมฉากเทา่ กับผลบวกของพื้นทีส่ ่เี หล่ียมจตั ุรสั บนด้านประกอบมมุ ฉากรปู สามเหลย่ี มมุมฉากน้นั

ทฤษฎบี ทซึ่งเปน็ ที่รู้จกั กันมากกวา่ 2,000 ปนี ้ี เป็นผลท่ีได้จากทฤษฎีบทพื้นฐานของรูปสามเหล่ียม
คล้าย ดังต่อไปน้ี

ทฤษฎีบท 2.4.1 (ทฤษฎีบทพที าโกรสั )
กาหนดรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC ซ่งึ มี B  90 จะไดว้ ่า AC2  AB2  BC2

ตัวอย่างท่ี 2.4.2 กาหนดรปู สามเหล่ียมมุมฉาก ABC ซ่ึงมีมุม C  90 ให้ด้านตรงข้ามมุม A และ B
ยาว a และ b ตามลาดบั ให้ D เปน็ จดุ กงึ่ กลางด้าน AB จากจดุ D ลากเส้นตั้งฉากด้าน AB ตัดด้าน
AC ทจ่ี ุด E จงเขยี นความยาวด้าน DE ในรูป a และ b

ศูนยโ์ อลิมปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต 30

ตัวอย่างท่ี 2.4.3 กาหนดรูปสามเหล่ียมหน้าจั่ว ABC โดยที่ AB  AC และมุม A  90 จากจุด A
ลากเส้นตงั้ ฉากดา้ น AB ตัดดา้ น BC ที่จุด D ถ้า BD  36 และ DC 14 แล้ว AB จะมีความยาว
เทา่ ใด

2.5 ทฤษฎบี ทแบ่งคร่งึ มมุ
ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งมุมเป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพ้ืนฐานของรูปสามเหลี่ยมคล้ายในอีกรูปแบบ

หนึง่ ทฤษฎีบทน้กี ลา่ วถงึ อตั ราส่วนของด้านตา่ ง ๆ ท่ีเกดิ จากการแบง่ ครึ่งมุม ดังต่อไปน้ี

ทฤษฎีบท 2.5.1 (ทฤษฎีบทแบ่งครึ่งมุม)

กาหนดรปู สามเหลีย่ ม ABC ให้ AD เป็นเส้นแบง่ ครง่ึ มุมภายในของมมุ A จะได้ AB  BD
AC CD

คาถาม 2.5.2 บทกลบั ของทฤษฎีบทแบ่งคร่ึงมุมเป็นจริงหรือไม่ กล่าวคือ ถ้า D เป็นจุดบนด้าน BC ซ่ึง

ทาให้ AB  BD แล้ว AD จะเป็นเส้นแบง่ ครึง่ มุม A แบบภายในเสมอหรอื ไม่
AC CD

ศนู ย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณติ 31

ตวั อยา่ งท่ี 2.5.3 กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ซ่ึงมี AD เป็นเส้นแบ่งคร่ึงมุม A ถ้า BD  2,CD  6
และเส้นรอบรูปสามเหล่ียม ABC มคี วามยาว 20 แล้วด้าน AB จะมีความยาวเทา่ ใด

ตัวอย่างที่ 2.5.4 กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ซึ่งมีมุม B  2A ถ้า AB  3 และ BC  6 แล้วด้าน
AC จะมีความยาวเทา่ ใด

ศนู ย์โอลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต 32

ตัวอย่างที่ 2.5.5 กาหนดรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC โดยท่ี AB  AC ลาเส้นแบ่งคร่ึงมุม B ตัดด้าน

AC ที่จุด D ให้ E เป็นจุดบนด้าน BC ซ่ึงทาให้ BE  BD ถ้า AD  EC แล้วมุม A จะมีขนาด
เท่าใด

2.6 พืน้ ทร่ี ปู สามเหล่ียม
1. พืน้ ทข่ี องรปู สามเหล่ียม เทา่ กบั ครงึ่ หนึง่ ของผลคณู ของความสงู กบั ความยาวฐาน

2. รูปสามเหลีย่ มทตี่ ัง้ อยบู่ นฐานเดียวกันหรือบนฐานที่เทา่ กันและมีความสูงเท่ากัน หรืออยู่ระหว่าง
เส้นคขู่ นานเดียวกัน จะมีพ้ืนทเ่ี ทา่ กนั

ศูนยโ์ อลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต 33

3. พ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยมจะมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของพ้ืนท่ีของรูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปส่ีเหลี่ยม
ดา้ นขนานทีต่ ้ังอยู่บนฐานเดยี วกนั และมคี วามสงู เท่ากัน หรืออย่ใู นระหวา่ งดา้ นคู่ขนานเดยี วกัน

4. ถ้ารปู สามเหลี่ยมสองรูปมีความสูงเท่ากัน แล้วพ้ืนท่ีรูปสามเหลี่ยมคู่นี้จะเป็นสัดส่วนกับฐานของ
สามเหลี่ยมทัง้ สองน้ัน

5. ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมหนึ่งเท่ากัน แล้วพื้นท่ีรูปสามเหล่ียมคู่น้ีจะเป็นสัดส่วนกับผลคูณ
ของดา้ นประกอบมมุ ทเี่ ทา่ กันนั้น

6. พ้ืนทีร่ ูปสามเหลยี่ มคลา้ ยเป็นสัดสว่ นกับกาลังสองของดา้ นทีส่ มนยั กนั

ศนู ยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต 34

แบบฝึกหดั บทที่ 2 รปู สามเหลี่ยม

1. จากรูปที่กาหนดให้ ADˆB  ACˆD และ AD = DC

# C ด้านที่เทา่ กนั อีกคู่คือ.................................

AC  และ ABD  AD2
B AD AB ADC

A #D

2. จากรปู ทีก่ าหนดให้ NM || BC และ NL || AC จงพสิ ูจน์ว่า ANM  NBL

กาหนดให้ AN  2 จงหา A

NB 3

ก. อตั ราสว่ นพ้นื ที่ของ ANM : NBL N
X
ข. NM M

BC

ค. อตั ราส่วนพ้ืนทขี่ อง BNMC : ABC B C

ง. NX L

MC

3. จากรูปที่กาหนดให้ DAˆB CBˆA90 ตอ่ CB ไปถึงจดุ F โดยที่ BC = BF ลาก DF ตดั AB ที่

จดุ E ถา้ EC = 5 เซนตเิ มตร และ ED = 10 เซนติเมตร D

ก. จงหาความยาวของ DF

ข. ถ้ากาหนดให้ CED = 12.5 ตารางเซนตเิ มตร จงแสดงว่า DEˆC = 30 C
ค. จาก ข. จงหาความยาวของ CD

ง. จงพิสูจนว์ ่า DAE CBE A B
E
จ. จงหาอัตราส่วนพ้ืนท่ขี อง CBE : DAE และ CDE : CDF

F

4. กาหนดให้ AX เปน็ เสน้ มธั ยฐานของรปู สามเหลีย่ ม ABC และ D, E เป็นจุดบนดา้ น AB, AC
ตามลาดบั และ DE || BC และ AX ตดั กับ DE ทจ่ี ดุ Y จงแสดงวา่ DY = YE

5. จากรูป QR || ST และอัตราส่วนพื้นทขี่ อง PQR : PST = 9 : 64 จงหา P

ก. PQ
PS
Q R
ข. ถา้ กาหนดให้พื้นท่ี PQR = 36 ตารางเซนติเมตร

จงหาพืน้ ที่ QRTS S T

ศูนย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณิต 35

6. จากรูป AXB, WYB, XYZD และ AWZC ต่างกเ็ ปน็ จุดทีอ่ ยบู่ นเส้นตรงเดียวกัน AB || DC และ

XD || BC , XY = 6 เซนติเมตร YZ = 8 เซนติเมตร ZD = 10 เซนติเมตรและ ZC = 9 เซนตเิ มตร

จงหา A

ก. รูปสามเหลีย่ มทีค่ ลา้ ยกับ ABC XY W D
ข. ค่าของ AZ B Z C

ค. รูปสามเหลยี่ มท่คี ลา้ ยกับ WYZ
ง. คา่ ของ WZ

7. จากรูป AH = BD, HK = HB และ HK || BD
A ก. จงหารปู สามเหลี่ยมทเ่ี ทา่ กันทุกประการกับรปู สามเหลีย่ ม AHK

ข. จงพสิ จู นว์ ่า AHL DCL

ค. ถ้ากาหนดให้ AH = 9 เซนติเมตร HL = 3 เซนตเิ มตร และ

CD = 5 เซนตเิ มตร

HK 1) จงหาค่าของ CL

2) ให้ HK = x เซนตเิ มตร จงหาสมการกาลังสองท่ีทาให้ไดค้ า่ x

L

B D
C

8. จากรูป P เป็นจดุ บนด้าน AC โดยที่ AP = 2PC และ R เป็นจดุ บนด้าน BP โดยท่ี BR = 3RP และ

QR || AC กาหนดใหพ้ นื้ ที่ BPA = 32 ตารางเซนติเมตร จงหา C

ก. พน้ื ท่ี BPC P
ข. พนื้ ที่ BRQ R

B A
M
9. จากรูป LPM อยู่บนเส้นตรงเดยี วกันและ LPˆN  LNˆM Q
N
ก. จงหามมุ ทเ่ี ทา่ กับ LNˆP
ข. กาหนดให้ LP = 6 เซนติเมตร PN = 4 เซนติเมตร P

และ NM = 5 เซนตเิ มตร จงหาความยาวของ LN

L

10. จากรปู ABˆC  BDˆC 90 กาหนดให้ AC = 10 เซนติเมตร และ BC = 7 เซนตเิ มตร

จงหาความยาวของดา้ น CD B

AC
D

ศนู ย์โอลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณติ 36

11. จากรปู DF || AG , DE || AB , DC = 8, CG = 6, DE = 10 และ AB = 15 จงหา AD และ FG

C

F
G

DE

AB

12. รปู สามเหลี่ยม ABC มี C เป็นมุมฉาก ดา้ น AC ยาว 15 เซนตเิ มตร CD ตั้งฉากกับ AB ทจี่ ดุ D
และ ด้าน BD ยาว 16 เซนตเิ มตร จงหาพนื้ ท่ีรปู สามเหล่ยี ม ABC

13. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลีย่ มมุมฉาก มี A เป็นมุมฉาก ด้าน BC ยาว 20 น้วิ ดา้ น AC ยาว 16 นวิ้
ดา้ น AD ตั้งฉากกับด้าน BC จงหา DC : AD

14. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก มี A เป็นมุมฉาก ถ้าต่อ AB และ AC ออกไปทาง B และ C
ถึง X และ Y ตามลาดับ แล้วลาก BY และ CX จงพิสจู นว์ า่ XY2  BC2  CX 2  BY2

15. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก มี A เป็นมมุ ฉาก D เปน็ จดุ ใด ๆ บน AC ลาก BD จงพิสจู น์วา่

BC2  AD2  AC2  BD2

16. ให้ ABC เปน็ รปู สามเหล่ยี มท่ี AD เปน็ เส้นตงั้ ฉากจาก A มายงั BC
จงพสิ จู นว์ ่า AB2  AC2  BD2 CD2

17. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก มี A เปน็ มมุ ฉาก BD และ CE เป็นเส้นมัธยฐาน จงพิสจู น์วา่
BC2  4(AD2  AE2 ) และ BD2  CE2  5(AD2  AE2 )

18. ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ียมมุมฉากที่มี A เป็นมุมฉาก BD และ CE เป็นเส้นมัธยฐานที่ลากจากจุด
B และ C มายงั ฐาน จงพสิ ูจน์วา่ 5BC2  4(BD2  CE2)

19. จงแสดงวา่ สามเท่าของจัตุรัสบนด้านหนึ่งของสามเหล่ียมด้านเท่าเท่ากับสี่เท่าของจัตุรัสบนเส้นตั้งฉาก
เสน้ หน่ึงท่ลี ากจากมุมยอดมายงั ฐาน

20. ในรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก จงพิสจู น์วา่ ผลบวกของจัตุรัสบนดา้ นประกอบมุมฉากเท่ากบั สองเทา่ ของ
จตั ุรัสบนเสน้ ต้งั ฉากทีล่ ากจากมุมฉากไปยงั ด้านตรงข้าม รวมกบั ผลบวกของจตั ุรัสบนสว่ นแบ่งของด้าน
ตรงข้ามมุมฉาก

21. จงพสิ จู นว์ ่า ผลบวกของจัตรุ ัสบนเส้นทแยงมมุ ของรูปส่ีเหล่ียมขนมเปยี กปนู เท่ากับผลบวกของจัตรุ ัส
บนด้านทั้งสีข่ องรูปสเ่ี หลยี่ มน้ัน

22. รูปสามเหลีย่ ม ABC มี AL, BM,CN เป็นเส้นตงั้ ฉาก ตัดกันทจ่ี ดุ P
จงพิสจู นว์ า่ AN2  BL2  CM 2  AM 2  CL2  BN2

23. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลีย่ มดา้ นเท่า โดยที่ AD  BC , E เป็นจดุ กง่ึ กลางของ CD ลาก AE
จงพสิ จู นว์ า่ AE2 13CE2

24. ให้ PMN เป็นรปู สามเหลี่ยมหน้าจ่วั มี PM = PN, MS  PN
จงพสิ จู น์วา่ MN2  (PN)(NS)  (PM )(NS)

25. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มใด ๆ ทม่ี ี AM เป็นเสน้ มธั ยฐาน
จงพสิ ูจน์ว่า AB2  AC2  2BM 2  2AM 2

ศูนยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณติ 37

บทที่ 3

วงกลม

ในหัวข้อนี้จะศึกษาพื้นฐานของวงกลม คอร์ดและเส้นสัมผัส รวมถึงสมบัติและทฤษฎีบทท่ีสาคัญ
เกยี่ วกับวงกลมคอร์ดและเส้นสมั ผสั

3.1 บทนิยามเก่ียวกบั วงกลม
3.1.1 วงกลม (Circle) คือ รูปแบนราบท่ีลอ้ มด้วยเสน้ โคง้ ซึ่งมีระยะห่างจากจุดคงตัวจุดหนึ่งที่ตรึง

อยู่ภายในวงกลมเป็นระยะเท่ากันเสมอ จุดคงตัวน้ีเรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลม (Center) เส้นโค้งที่
ล้อมรอบรปู แบนราบนีเ้ รยี กว่า เสน้ รอบวง (Circumference)

3.1.2 รัศมี (Radius) คือ เส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปจดท่ีเส้นรอบวง รัศมีทุก
เสน้ ของวงกลมเดยี วกันต้องยาวเท่ากัน

3.1.3 เส้นผ่านศูนย์กลาง (Diameter) คือ เส้นตรงที่ลากจากเส้นรอบวงผ่านจุดศูนย์กลางไปพบ
เส้นรอบวงอีกข้างหน่ึงมีความยาวเท่ากับสองเท่าของรัศมีวงกลมเดียวกัน เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่
เท่ากันจะเทา่ กนั

3.1.4 ครึ่งวงกลม (Semi-circle) คือ รูปที่ล้อมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางและเส้นรอบวงท่ียาวเพียง
ครึง่ รอบ วงกลมวงหนึ่งยอ่ มแบ่งเป็นคร่ึงวงกลมได้สองรูป

3.1.5 คอร์ด (Chord) คือ เส้นตรงท่ีอยู่ภายในวงกลมโดยมีปลายท้ังสองข้างจดท่ีเส้นรอบวง
คอรด์ ท่ยี าวเท่ากนั ยอ่ มตัดส่วนโคง้ ท่ียาวเท่ากนั

3.1.6 ส่วนโค้ง (Arc) คือส่วนหนึ่งของเส้นรอบวง เม่ือเส้นรอบวงถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนและไม่
เท่ากันส่วนโค้งที่ส้ันกว่าเรียก ส่วนโค้งน้อย (Minor arc) ส่วนโค้งท่ียาวกว่าเรียก ส่วนโค้งใหญ่ (Major
arc) ส่วนโค้งที่ถูกตัดด้วยคอร์ดท่ียาวเท่ากันจะยาวเท่ากัน ในวงกลมที่เท่ากันคอร์ดที่ยาวเท่ากันจะอยู่ห่าง
จากจุดศูนย์กลางเทา่ กนั

3.1.7 ส่วนของวงกลม (Segment of circle) คือ รปู ทล่ี อ้ มดว้ ยคอรด์ และสว่ นโคง้ ส่วนหนึ่งของ
วงกลมคอร์ด ๆ หน่งึ จะแบ่งวงกลมออกเป็นสองสว่ นไม่เท่ากัน แตล่ ะส่วนเป็นสว่ นของวงกลมแย้งหรือ
ตรงกนั ข้ามกันกบั สว่ นวงกลมอีกส่วนหนึ่ง (Conjugate segment)

3.1.8 คอร์ดร่วม (Common chord) คือ ส่วนของเส้นตรงซ่ึงเป็นคอร์ดของวงกลมตั้งแต่สองวง
ขนึ้ ไป

3.1.9 จดุ ศูนย์กลางรว่ ม (Common center) คือจุดซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมตั้งแต่สองวง
ขึน้ ไป

3.1.10 มุมในส่วนของวงกลม (Angle in the segment) คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่มี่เส้นรอบวง
และฐานที่รองรับมุมน้นั เปน็ คอร์ดท่ีตดั วงกลมออกเป็นสว่ นของวงกลม

3.1.11 เสน้ สัมผัส (Tangents) คอื เส้นตรงซ่ึงตัดวงกลมทีจ่ ุด ๆ เดยี ว เรยี กจดุ ตัดน้วี ่า จดุ สัมผสั
3.1.12 สามเหลยี่ มฐานโค้ง (Sector) คือ สามเหลี่ยมที่มีสองด้าน เป็นรัศมีของวงกลม มีฐานเป็น
เส้นโคง้ ที่ถูกตดั อยูร่ ะหวา่ งรัศมีท้งั สอง จดุ ยอดมุมของสามเหล่ยี มน้จี ะตอ้ งเปน็ จดุ ศูนย์กลางของวงกลมเสมอ

ศนู ย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต 38

3.2 สมบัตพิ ื้นฐานของวงกลม

ทฤษฎบี ท 3.2.1 ส่วนของเสน้ ตรงซงึ่ ผ่านจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลม และตัดคอร์ดซ่ึงไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง
จะตัง้ ฉากกบั คอร์ด ก็ต่อเมอ่ื ส่วนของเสน้ ตรงนัน้ แบง่ ครงึ่ คอร์ดดงั กลา่ ว

ทฤษฎีบท 3.2.2 คอร์ดสองเส้นในวงกลมวงหน่ึงจะยาวเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรงท่ีลากจากจุด
ศนู ยก์ ลางถึงคอรด์ ทั้งสองนนั้ ยาวเท่ากนั

ทฤษฎบี ท 3.2.3 มุมในครง่ึ วงกลมเปน็ มุมฉาก

ทฤษฎีบท 3.2.4 ถา้ มมุ ทจี่ ดุ ศูนย์กลางของวงกลมและมุมในส่วนโค้งของวงกลมรองรับดว้ ยส่วนโค้งเดียวกัน
แล้วมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมจะมขี นาดเปน็ สองเท่าของมมุ ในส่วนโค้งของวงกลม

ศูนยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต 39

ทฤษฎีบท 3.2.5 ในวงกลมเดยี วกัน มมุ ในสว่ นโค้งของวงกลมที่รองรับดว้ ยสว่ นโค้งเดยี วกนั มีขนาดเทา่ กนั

ทฤษฎีบท 3.2.6 เสน้ สมั ผสั วงกลม จะตงั้ ฉากกบั รศั มีของวงกลมท่ีจดุ สมั ผสั

ทฤษฎีบท 3.2.7 เส้นสัมผัสสองเสน้ ทีล่ ากจากจดุ ภายนอกมายังวงกลมวงหนึ่งจะยาวเท่ากัน และรองรับมุม
ท่จี ดุ ศูนยก์ ลางเท่ากนั

ทฤษฎบี ท 3.2.8 มมุ ทีเ่ กิดขึ้นจากเสน้ สัมผัสจดกบั ขอบย่อมเท่ากบั มมุ ท่ีอยู่ในส่วนของวงกลมตรงกนั ขา้ ม

ศนู ยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณติ 40

3.3 กาลงั ของจุด (Power of points)
ทฤษฎบี ท 3.3.1 คอรด์ สองคอร์ดตัดกนั ภายในวงกลม ผลคณู ของส่วนตัดของคอร์ดท้ังสองยอ่ มเท่ากนั

ทฤษฎีบท 3.3.2 คอร์ดสองคอร์ดตัดกันภายนอกวงกลม ผลคูณของส่วนตัดของคอร์ดทั้งสองย่อมเท่ากัน
และต่างเทา่ กบั กาลงั สองของเสน้ สัมผัสวงกลมท่ลี ากจากจดุ ตดั น้นั

ศนู ยโ์ อลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต 41

แบบฝึกหัด บทท่ี 3 วงกลม

1. ถ้า AC และ BD เป็นเส้นผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลมทตี่ งั้ ฉากซึ่งกนั และกนั แลว้
จงพิสูจนว์ า่ รูปสีเ่ หลี่ยม ABCD เป็นรปู สีเ่ หลย่ี มจัตุรัส

2. ถ้า AB เป็นคอร์ดของวงกลม O จดุ C อยบู่ นเส้นรอบวงทาให้ AC = CB จงพิสจู นว์ า่ CO  AB

3. กาหนดให้ AB และ CD เป็นคอร์ดท่ียาวเท่ากันของวงกลม O ต่อ AB และ CD ไปพบกันท่ีจุด E
จงพิสจู น์ว่า BE = DE

4. กาหนดให้ AB และ CD เปน็ คอร์ดท่ียาวเท่ากนั ของวงกลม O และคอร์ดทงั้ สองตัดกันท่ีจุด E
จงพสิ ูจนว์ ่า AE = CE

5. คอรด์ สองเสน้ ของวงกลมวงกลมวงหนึ่งตดั กนั ทจ่ี ุด ๆ หน่ึง ลากเสน้ ตรงจากจดุ ตัดไปยงั จดุ ศูนยก์ ลาง
ถ้าเสน้ ตรงนี้ทามมุ กบั คอรด์ ทงั้ สองเท่ากันแลว้ จงพสิ จู นว์ ่า คอร์ดทัง้ สองนนั้ ยาวเทา่ กนั

6. วงกลม A และวงกลม B ตัดกันท่ีจุด X และ Y ลาก AB และจากจุด O ซ่ึงเป็นจุดกึ่งกลางของ AB
ลากOX แล้วลากเสน้ ตรงใหต้ ้งั ฉากกบั OX ไปจดเส้นรอบวงท้ังสองท่ี P และ Q จงพสิ ูจนว์ า่ PX=XQ

7. วงกลม P และวงกลม Q ตัดกันที่ A และ B ต่อ PQ ไปทาง Q ถึง R ลาก RA และ RB เลยไปพบ
เส้นรอบวงของวงกลม P ท่ีจดุ C และ D ตามลาดบั จงพสิ จู น์วา่ AC = BD

8. วงกลมสองวงตดั กันและมีเสน้ ขนานคู่หนึ่ง แตล่ ะเส้นผา่ นจุดตัดไปสุดทเ่ี สน้ รอบวงท้งั สอง
จงพิสูจนว์ ่าเส้นตรงท้ังสองนย้ี าวเท่ากนั

9. ถ้า AB และ BC เปน็ คอรด์ ของวงกลม O ซงึ่ ทาให้ ABˆC เป็นมมุ แหลม จงพิสจู น์วา่ ABˆC  OAˆC  90

10. จากรปู จงพิสจู น์วา่ BX = XC B

X O

A

C

11. วงกลม O ตดั กบั วงกลม ABC ที่ B และ C และ AO เปน็ เส้นผา่ นศูนย์กลางของวงกลม ABC
จงพิสจู นว์ า่ BAˆC  2OBˆC

12. วงกลมสองวงตัดกันท่ี A และ B ให้ P เป็นจุดใด ๆ บนวงกลมวงหนึ่ง ลาก PAC, PBD และลาก
XY สมั ผัสวงกลมท่ี P จงพิสจู น์ว่า XY || CD

13. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมบรรจุในวงกลม AD และ BE เป็นเส้นตั้งฉากท่ีลากไปยังด้านตรงข้าม
ถ้า PQ เปน็ เส้นสมั ผสั วงกลมท่ีจุด C จงพิสูจน์วา่ PQ || DE

14. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมท่ีมี ABˆC เปน็ มุมฉาก จงพิสจู นว์ ่า ผลบวกของเสน้ ผ่านศูนย์กลางของ
วงกลมทล่ี ้อมรอบรปู สามเหลีย่ ม ABC และวงกลมที่แนบในรูปสามเหล่ียม ABC มีค่าเท่ากับ ผลบวกของ
ดา้ นประกอบมุมฉากของรปู สามเหลี่ยม ABC

ศูนย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณติ 42

15. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมบรรจุในวงกลม ลาก AC และ BD ตัดกันท่ี E ถ้า AD = AB จงพิสูจน์
วา่ AD เปน็ เส้นสมั ผัสวงกลมซึ่งล้อมรอบรูปสามเหลยี่ ม CDE

16. ให้ AB และ CD เปน็ คอรด์ ของวงกลมซึง่ ตอ่ ออกไปพบกันภายนอกทีจ่ ุด X ถ้า BD || AC
จงพิสูจน์ว่า XB = XD และ XA = XC

17. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มหนา้ จัว่ มี BC เป็นฐาน เส้นต้ังฉากจากจุด B และ C ไปยังด้านตรงข้าม
ตดั กันที่ O จงพสิ จู นว์ ่า AO แบง่ คร่งึ BAˆC

18. ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด B และ CD เป็นเส้นสัมผัส
วงกลมทีจ่ ุด D ถ้า DBˆC = 70 องศา DAˆC เท่ากับกี่องศา

A

B

O

C
D

19. ให้คอร์ด CD และคอรด์ AB ตดั กนั ท่จี ดุ E ถ้า CE = 6 เซนติเมตร CD = 24 เซนตเิ มตร และ
AE = 4 แลว้ EB และ AB เท่ากบั กี่เซนติเมตร

C
B

E

AD

20. ให้ O เป็นจุดศนู ย์กลางของวงกลมซึ่งมีรัศมียาว 4 เซนติเมตร ถ้า COˆA เท่ากับ 120 องศา CA ยาว
กเ่ี ซนติเมตร

21. ให้ A, B, C, D และ E เปน็ จดุ บนวงกลม AD || BC , AD  CE ท่ี F ถา้ CF = EF, AF = 8
เซนตเิ มตร FD = 2 เซนติเมตร BC = 6 เซนตเิ มตร จงหาพ้ืนทขี่ องรูปห้าเหล่ยี ม ABCDE

D E
CF

B

A

22. จากรปู วงกลม O มรี ัศมี 10 เซนติเมตร คอร์ด AB ตง้ั ฉากกับคอร์ด CD ที่ X
ถ้า AB =16 เซนตเิ มตร CD = 14 เซนตเิ มตร แล้ว OX ยาวกเี่ ซนติเมตร

A

O D
CX

B

ศนู ยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณติ 43

23. จากรูป วงกลม O แนบในรูปสามเหล่ียม ABC มี AB = 7 เซนติเมตร BC = 8 เซนตเิ มตร และ

AC = 6 เซนตเิ มตร จงหาวา่ x ยาวเทา่ ใด A

x

O
BC

24. จากรูป วงกลม A และ B มรี ัศมี 8 และ 3 นิ้ว ตามลาดบั ถ้ารปู วงกลม 2 วงนี้หา่ งกนั 2 นวิ้

เส้นสัมผัสรว่ ม PQ ยาวเท่าใด P

Q

AB

25. จากรปู O เป็นจดุ ศนู ย์กลางของวงกลมรูปเลก็ OA เปน็ เสน้ ผา่ นศูนยก์ ลางวงกลมรปู ใหญ่ AD ตดั
วงกลมรูปเลก็ ที่ C และ D พรอ้ มกบั ตดั วงกลมรูปใหญ่ท่ี E ถ้า AC = 5 เซนติเมตร CE = 3
เซนตเิ มตร จงหาว่า DE ยาวก่เี ซนติเมตร

O C A
DE

26. จากรูป AC เป็นเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง และ BD เปน็ คอรด์ ตดั AC ท่ีจดุ X ถ้าให้ BCˆA  26 และ
CAˆD  47 จงหาค่า BAˆC และ AXˆD

B

A C
X

D

27. จากรูป O เปน็ จดุ ศนู ย์กลางของวงกลม TB สมั ผัสวงกลมทจ่ี ดุ B และ AC เป็นเส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง
ตดั กับคอร์ด DB ทจ่ี ดุ X ถ้าให้ ABˆT  40 และ DCˆA  32 จงหา OAˆB, ABˆD และ CXˆD

D C
X
O
A

TB

ศนู ย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ 44

บทท่ี 4

รูปส่ีเหล่ียม

รูปส่ีเหลี่ยมคือรูปที่อยู่ในระนาบซึ่งประกอบด้วยจุดสี่จุดท่ีเรียกว่าจุดยอด และส่วนของเส้นตรงซึ่ง
เชื่อมจุดยอดท้ังส่ีเรียกว่าด้าน ในบทน้ี เราจะศึกษาสมบัติท่ีสาคัญเฉพาะรูปส่ีเหล่ียมชนิดท่ีเรียกว่า
รูปส่ีเหลยี่ มนนู ตวั อยา่ งของรูปส่เี หลี่ยมนูนทพ่ี บเหน็ ทวั่ ไป ไดแ้ ก่ รปู ส่ีเหล่ียมมุมฉาก (มุมทุกมุมเป็นมุมฉาก)
รปู สีเ่ หลี่ยมดา้ นขนาน (ดา้ นตรงข้ามขนานกัน) รูปสี่เหล่ียมคางหมู (มีด้านคู่หน่ึงขนานกัน) รูปส่ีเหล่ียมขนม
เปียกปนู (ด้านท้ังสีย่ าวเทา่ กัน) รูปสเ่ี หล่ยี มรูปว่าว (เส้นทแยงมุมต้ังฉากกัน)

บทนิยาม 4.0.1 รูปสี่เหลี่ยม ABCD จะเป็นรูปสี่เหล่ียมนูน เมื่อบริเวณภายในของรูปส่ีเหล่ียมอยู่ด้าน
เดียวกันของเส้นตรง AB, BC,CD และ AD ทงั้ สเ่ี ส้น

ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ยี มนนู

ABCD ไมเ่ ปน็ รปู ส่ีเหลยี่ มนูนเพราะบริเวณภายในรูปสเี่ หล่ียม
ไมไ่ ด้อย่บู นด้านเดยี วกนั ของเส้นตรง CD หรือเส้นตรง BD

บทนยิ าม 4.0.2 รปู สี่เหลยี่ มต่าง ๆ
1. รปู สีเ่ หลยี่ มด้านขนาน คอื รูปสี่เหลี่ยมท่มี ีดา้ นตรงข้ามขนานกัน

รปู สเ่ี หลยี่ มใด ๆ จะเป็นรปู สีเ่ หลยี่ มดา้ นขนาน ถ้าพิสจู น์ (ข้อใดขอ้ หนง่ึ เพียงข้อเดยี ว) ได้ว่า
1. ด้านตรงขา้ มขนานกัน 2 คู่
2. ดา้ นตรงข้ามเทา่ กัน 2 คู่
3. มุมตรงขา้ มเท่ากนั 2 คู่
4. เสน้ ทแยงมุมแบง่ คร่ึงซ่ึงกนั และกนั
5. ด้านตรงข้ามคู่หน่ึงยาวเท่ากันและขนานกัน

2. รูปสเี่ หล่ียมขนมเปยี กปูน คือ รปู ส่ีเหลี่ยมดา้ นขนานทม่ี ีดา้ นเท่ากันทุกดา้ น
รปู สีเ่ หลีย่ มด้านขนาน จะเป็นรปู สีเ่ หล่ยี มขนมเปยี กปนู ถา้ พสิ ูจน์ (ข้อใดขอ้ หนึ่งเพียงขอ้ เดียว) ได้ว่า

1. ด้านท้ังส่ยี าวเท่ากัน
2. เสน้ ทแยงมุมตัดกนั เปน็ มมุ ฉาก
3. รปู ส่ีเหลย่ี มผนื ผา้ คือ รปู สเ่ี หล่ยี มดา้ นขนานซง่ึ มีมมุ เปน็ มมุ ฉาก
4. รูปสเี่ หลี่ยมจัตรุ ัส คือ รูปสเ่ี หลีย่ มผนื ผ้าทมี่ ดี า้ นเทา่ กันทุกดา้ น
5. รปู สี่เหลี่ยมคางหมู คอื รูปสี่เหลีย่ มซง่ึ มีด้านตรงข้ามขนานกันเพยี งคเู่ ดียว
6. รปู สี่เหลย่ี มคางหมหู น้าจั่ว คือ รูปส่เี หลี่ยมคางหมูซึง่ มดี า้ นทไ่ี มข่ นานกันยาวเทา่ กัน
7. รปู ส่ีเหล่ียมวา่ ว คือ รปู ส่เี หลี่ยมซึ่งมีด้านประชิดเท่ากนั ทั้ง 2 คู่

ศูนยโ์ อลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณติ 45

4.1 รูปสีเ่ หล่ียมทม่ี วี งกลมล้อมรอบได้
กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC เราสามารถท่ีจะหาวงกลมซ่ึงผ่านจุดยอด A, B,C ได้เสมอ ซึ่งคือ

วงกลมล้อมรอบรูปสามเหล่ียม ABC แต่ในกรณีของรูปส่ีเหล่ียมนูน ABCD ใดๆ ข้อความดังกล่าว
อาจจะไม่เป็นจริงกล่าวคือ อาจจะไม่มีวงกลมท่ีผ่านจุดยอดทั้งสี่ของรูปส่ีเหล่ียมนูน ABCD ที่กาหนดให้
ในหวั ข้อน้จี งึ จะศกึ ษารูปสเ่ี หลี่ยมทม่ี สี มบัตพิ เิ ศษกลา่ วคอื มีวงกลมล้อมรอบได้ ดงั บทนยิ ามต่อไป

บทนยิ าม 4.1.1 กาหนดรปู ส่ีเหลี่ยมนนู ABCD จะเรียก ABCD วา่ เปน็ รปู สี่เหลีย่ มท่ีมีวงกลม
ล้อมรอบได้ (Cyclic Quadrilateral) เมอ่ื มีวงกลมซ่ึงผ่านจุดยอดทัง้ ส่ีของรูปสีเ่ หล่ียม ABCD

จากความรู้พ้ืนฐาน ถ้ารูปส่ีเหล่ียม ABCD มีวงกลมล้อมรอบได้ จะได้ว่ามุมตรงกันข้ามรวมกัน
เท่ากับ 180 เสมอ ทฤษฏีบทต่อไปนี้เป็นบทกลับของข้อความดังกล่าว และยังเป็นเง่ือนไขสาคัญท่ีใช้
ตรวจสอบว่ารปู ส่เี หลีย่ มที่กาหนดใหส้ ามารถมวี งกลมลอ้ มรอบได้หรือไม่

ทฤษฎบี ท 4.1.2 กาหนดรูปสี่เหลี่ยม ABCD ถ้ามุม A C 180 หรอื มมุ B  D 180
แล้วรูปสีเ่ หลีย่ ม ABCD จะมีวงกลมลอ้ มรอบได้

ตัวอย่าง 4.1.3 กาหนดวงกลม w1 และ w2 ซึ่งไม่ตัดกันและมจี ุดศูนย์กลางท่ี O1 และ O2 ตามลาดับ ให้
เสน้ ตรง l เป็นเส้นสัมผสั รว่ มของวงกลมทั้งสอง โดยท่ี l สมั ผสั w1 และ w2 ทจ่ี ุด A และ B ตามลาดับ
ให้เส้นตรง O1O2 ตัดวงกลม w1 และ w2 ท่ีจุด C และ D ตามลาดับ จงแสดงว่า ABCD มีวงกลม
ลอ้ มรอบได้

ศูนย์โอลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต 46

ตวั อยา่ ง 4.1.4 กาหนดรปู สี่เหลย่ี ม ABC ให้จดุ P,Q, R เปน็ จดุ บนดา้ น AB, BC,CA ตามลาดบั
สมมติว่าจุด M เป็นจดุ หนึ่งของวงกลมล้อมรอบ  APR และวงกลมลอ้ มรอบ  PBQ จงแสดงวา่ จุด
M,Q,C, R อยู่บนวงกลมเดยี วกัน

ตัวอยา่ ง 4.1.5 กาหนดรปู สเ่ี หลีย่ มนูน ABCD ใหเ้ สน้ แบง่ ครง่ึ มุม C ตดั เสน้ แบง่ คร่ึงมุม D และ
เส้นแบ่งครงึ่ มุม B ท่จี ุด P และ Q ตามลาดบั ให้เส้นแบ่งคร่ึงมุม A ตัดเสน้ แบง่ ครึ่งมุม B และ
เสน้ แบง่ ครึ่งมุม D ทจ่ี ุด R และ S ตามลาดบั จงแสดงวา่ รปู สเ่ี หลีย่ ม PQRS มวี งกลมลอ้ มรอบได้

ศูนย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณิต 47

ตัวอยา่ ง 4.1.6 กาหนดรปู ส่ีเหล่ียมนนู ABCD ให้ M และ N เปน็ จดุ บนดา้ น BC ซ่ึงทาให้

BAM  CDN สมมติว่า A, M, N, D เป็นจดุ บนวงกลมเดยี วกนั จงแสดงวา่ ABCD มีวงกลม
ลอ้ มรอบได้

การตรวจสอบว่ารูปสีเ่ หลีย่ ม ABCD ท่ีกาหนดให้มีวงกลมล้อมรอบได้หรือไม่ นอกจากตรวจสอบ
มุมตรงขา้ มรวมกนั เท่ากบั 180 แลว้ ยังสามารถใชท้ ฤษฎีบทต่อไปน้ีเป็นอีกทางเลือกหนึ่งในการตรวจสอบ
ไดด้ ว้ ย
ทฤษฎบี ท 4.1.7 กาหนดรปู สีเ่ หล่ยี มนูน ABCD ถ้ามุม BAC  BDC แลว้ รปู สเ่ี หล่ยี ม ABCD
จะเป็นรูปสีเ่ หล่ยี มทมี่ ีวงกลมลอ้ มรอบได้

ตัวอย่าง 4.1.8 กาหนดรปู ส่เี หลยี่ มนนู ABCD ให้เสน้ ทแยงมุม AC และ BD ตดั กนั ทจี่ ุด P
จงแสดงว่ารูปสเี่ หลย่ี ม ABCD มวี งกลมล้อมรอบได้ ก็ต่อเมื่อ AP PC  BP PD

ศูนยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณติ 48

ตวั อยา่ ง 4.1.9 กาหนดจดุ A, B,C, D เรียงกนั ตามลาดับบนเส้นตรงเสน้ หนึ่ง ให้ w1 และ w2 เป็น
วงกลมซึ่งมี AC และ BD เป็นเสน้ ผ่านศูนย์กลาง วงกลม w1 และ w2 ตัดกนั ทจ่ี ดุ P และ Q
ให้ R เปน็ จุดบน PQ เสน้ ตรง BR และ CR ตัดวงกลม w1 และ w2 ที่จุด M และ N ตามลาดบั

1. จงแสดงวา่ จุด B,M, N,C อยบู่ นวงกลมเดียวกนั
2. จงแสดงว่าจดุ A, M, N, D อยบู่ นวงกลมเดยี วกนั

การตรวจสอบว่าจุดสี่จุดที่กาหนดให้อยู่บนวงกลมเดียวกันหรือไม่ มีความสาคัญต่อการแก้ปัญหา
เรขาคณติ ดงั ตัวอยา่ งต่อไปนี้
ตัวอย่าง 4.1.10 กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC สร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABD และ ACE บนด้าน
AB และ AC ให้ BE ตดั CD ทจี่ ดุ P มมุ APD มขี นาดเทา่ ใด

ศนู ย์โอลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ 49

ตวั อย่าง 4.1.11 กาหนดรปู สามเหล่ยี ม ABC ซงึ่ มี I เป็นจดุ ศูนยก์ ลางวงกลมแนบใน ให้วงกลมแนบใน
รูปสามเหล่ียม ABC สัมผัสด้าน BC และ CA ที่จุด D และ E ตามลาดับ เส้นตรง BI ตัด DE ท่ี
จุด G จงแสดงวา่ AG ตง้ั ฉากกับเส้นตรง BI

ตัวอยา่ ง 4.1.12 กาหนดรปู ส่เี หล่ียมจตั รุ ัส ABCD ให้ M และ N เป็นจดุ บนด้าน BC และ CD
ตามลาดับ โดยทม่ี ุม M AN  45 , BD ตดั AM และ AN ทจ่ี ุด P และ Q ตามลาดบั
ถา้ R เป็นจุดกง่ึ กลาง MN แลว้ จงแสดงวา่ RP  RQ  RC

ศนู ยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา