10.เอกสารประกอบการบรรยาย เรขาคณิต ประจำปี พ.ศ. 2560

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต 50

4.2 ทฤษฎบี ททอเลมี (Ptolemy Theorem)
ทฤษฎบี ททอเลมกี ลา่ วถงึ ความสัมพันธ์ระหว่างด้านท้งั สแี่ ละเสน้ ทแยงมุมทัง้ สองของรูปสี่เหลี่ยมท่ีมี

วงกลมล้อมรอบได้ ทฤษฎีบทน้ีมีช่ือมาจาก คลอดิอัส ทอเลมี (Claudius Ptolemy) นักคณิตศาสตร์และ
ดาราศาสตร์ชาวกรีกซึ่งมีชีวิตอยู่ในช่วง 100 ปี ก่อนคริสตกาล ทอเลมีได้คิดและพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ไว้ใน
หนงั สอื ทีเ่ ขาเขยี นขึ้น ซึ่งมีความสาคัญจนมีผู้แปลเป็นภาษาละติน ภาษาอารบิก และภาษาอังกฤษ ในเวลา
ต่อมาตามลาดบั

ทฤษฎีบท 4.2.1 (ทฤษฎบี ททอเลมี)
กาหนดรปู สเี่ หล่ียม ABCD ท่มี วี งกลมล้อมรอบได้ จะไดว้ ่า

AC  BD  ABCD  BC  AD

ตัวอยา่ ง 4.2.2 กาหนดรปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ ABC ใหจ้ ดุ Q เปน็ จดุ บนวงกลมล้อมรอบ ABC
จงแสดงวา่ AQ  QC  QB

ศนู ย์โอลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต 51

ตวั อย่าง 4.2.3 กาหนด ABC เปน็ รปู สามเหล่ยี มซง่ึ มมี ุม A 120 ใหเ้ สน้ แบ่งคร่ึงมุม A ตัดด้าน BC

ทจ่ี ดุ D จงแสดงวา่ 1 11
AD AB AC

ตัวอยา่ ง 4.2.4 กาหนดรปู หกเหลี่ยม ABCDEF ทมี่ วี งกลมล้อมรอบได้ กาหนดให้ด้าน AB ยาว 31
หนว่ ย และดา้ นทเี่ หลอื อกี หา้ ด้านยาว 81 หนว่ ยเท่ากัน จงหาว่า AC  AD  AE มคี วามยาวกหี่ นว่ ย

ศูนยโ์ อลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณิต 52

4.2 พื้นทรี่ ูปส่ีเหลย่ี ม = ดา้ น  ดา้ น
1. พื้นทข่ี องสี่เหลย่ี มจัตรุ ัส = 1  (ผลคณู ของเสน้ ทแยงมุม)

2

2. พื้นทขี่ องสี่เหลย่ี มผนื ผ้า = ความกวา้ ง  ความยาว

3. พื้นที่ของสี่เหล่ียมดา้ นขนาน = ความยาวฐาน  ความสงู

4. พื้นทขี่ องสี่เหล่ยี มขนมเปียกปนู = ความยาวฐาน  ความสูง
= 1  (ผลคูณของเสน้ ทแยงมุม)

2

5. พน้ื ที่ของสี่เหลยี่ มคางหมู = 1  ผลบวกของดา้ นคูข่ นาน  ความสงู

2

6. พนื้ ที่ของสเี่ หลีย่ มรูปวา่ ว = 1  (ผลคณู ของเสน้ ทแยงมุม)

2

7. รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ตั้งอยู่บนฐานเดียวกันหรือฐานที่เท่ากันและอยู่ระหว่างเส้นคู่ขนาน
เดียวกัน หรอื มีสว่ นสูงเท่ากัน จะมพี ้ืนที่เท่ากนั

ศนู ยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.ค่าย 1 วิชาเรขาคณติ 53

แบบฝกึ หดั บทที่ 4 รปู สี่เหลี่ยม

1. ให้จดุ P เปน็ จดุ ภายในรูปสเี่ หล่ียม ABCD ใด ๆ ลาก PL, PM, PN และ PK ต้งั ฉากกับ BC,CD,
DA และ AB ตามลาดับ จงพสิ จู น์ว่า AN2  BK2  CL2  DM 2  AK2  BL2  CM 2  DN2

2. ใหร้ ูปส่เี หล่ยี มผนื ผ้า ABCD มี AM , CN  BD ที่ M, N จงพิสูจน์ว่า BM 2  BN2  DM 2  DN2

3. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมคางหมู AB || CD และเส้นทแยงมุมตัดกันที่จดุ O

จงพสิ จู น์วา่ (OA)(OD) = (OB)(OC) และถา้ AB = 2CD แลว้ OA  OB 2
OC OD

4. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมบรรจใุ นวงกลม O และ D เปน็ จุดกงึ่ กลาง BC ลาก DO ไปพบ AC ท่ี E
จงพิสูจนว์ ่า A, B, O, E เปน็ จุดในวงกลมเดยี วกนั

5. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสบรรจุในวงกลม และ P เป็นจุดก่ึงกลางของส่วนโค้ง CD จงพิสูจน์ว่า
PAB เป็นรปู สามเหล่ียมหนา้ จัว่

6. ให้ ABC เปน็ รูปสามเหล่ียมด้านเท่าบรรจุในวงกลม ถ้า P เป็นจุดใด ๆ บนส่วนโค้ง AC ลาก AP เลยไป

พบส่วนต่อของ BC ที่ Q และลาก BP ตัด AC ที่ R จงพิสูจน์ว่า ABQ และ ABR มีมุมเท่ากัน
มมุ ต่อมุม

7. ให้ ABCD เป็นรูปสเี่ หลยี่ มคางหมู AB || CD , E เปน็ จุดกงึ่ กลางของ CD , AC ตดั กับ BE ที่จดุ F
และ AE ตัดกับ BD ที่จุด G จงพิสูจน์วา่ GF || AB

8. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนาน O เป็นจุดใด ๆ ในรปู สเ่ี หลยี่ ม จงพสิ ูจนว์ า่ ผลรวมของพน้ื ทรี่ ปู
สามเหลย่ี ม OAB กับพน้ื ทรี่ ปู สามเหลีย่ ม OCD เป็นครงึ่ หน่งึ ของพื้นทีร่ ปู ส่ีเหลี่ยมด้านขนาน ABCD

9. ให้ ABCD เป็นรปู ส่เี หลีย่ มด้านขนาน E เป็นจดุ บน CD และ F เป็นจดุ บนสว่ นต่อของ AB ทที่ าให้
AB = BF จงพสิ ูจน์วา่ พ้ืนทร่ี ูปสามเหล่ียม AEF เทา่ กับพื้นท่ีรปู สี่เหล่ยี ม ABCD

10. ให้ ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มใด ๆ จดุ P และ Q เป็นจุดบน AB และ AC ตามลาดับ ซ่งึ ทาให้
PQ || BC จงพิสูจน์วา่ พื้นทรี่ ปู สามเหล่ียม ABQ เท่ากบั พื้นทรี่ ปู สามเหล่ียม ACP

11. ให้ ABCD เป็นรปู สีเ่ หลี่ยมดา้ นขนาน AC เป็นเส้นทแยงมมุ และ E เป็นจุดใด ๆ บน AC จงพิสูจน์
วา่ พนื้ ทร่ี ูปสามเหลี่ยม CDE เทา่ กับพนื้ ทร่ี ูปสามเหลยี่ ม CBE

12. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน ต่อ AB ไปถึง E โดยท่ี BE = AB ลาก ED ให้ตัด BC ท่ี
F ลาก AF และ EC จงพิสูจน์วา่ พื้นทร่ี ปู สามเหลย่ี ม AEF เทา่ กับพ้นื ทรี่ ปู สามเหลีย่ ม BEC

13. ให้ ABCD เป็นรปู สเ่ี หลี่ยมดา้ นขนาน จากจุด C มีเส้นตรงลากไปตัดดา้ น AB ท่ี E K

และตัดดา้ น DA ทีต่ อ่ ออกไปท่ี F ทจี่ ุด B ลากเส้นใหข้ นานกับดา้ น FC ตดั ดา้ นท่ีต่อจาก

DAF ที่ K ทจี่ ุด D ลากเส้นให้ขนานกับด้าน FC ตดั ดา้ น BA ทตี่ อ่ ออกไปที่ H F

จงพิสจู น์วา่ พื้นทร่ี ูปสีเ่ หลย่ี ม BCFK มีพื้นที่เทา่ กับพ้ืนท่ีรปู ส่ีเหลี่ยม DCEH

HA EB

DC

ศูนยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

เอกสารโอลิมปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณติ 54

14. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนาน ด้าน BC ถูกแบ่งคร่ึงที่ E ลากเส้น AE แล้วต่อ AE และ DC
ไปพบกันที่ F จากจุด D ลากเส้น DG ขนานกับ FA พบส่วนต่อของเส้น AB ที่ G จงพิสูจน์ว่า พ้ืนท่ี
รปู สเ่ี หล่ียม AFDG เป็นสองเท่าของพนื้ ทรี่ ปู สเี่ หลี่ยมดา้ นขนาน ABCD

G AB

E

DC F

15. ให้ ABCD เปน็ รปู ส่เี หล่ียมด้านขนาน E เป็นจุดบน DC ต่อ AE และ BC ไปพบกนั ทจี่ ดุ F
จงพิสูจน์ว่า พ้ืนท่ีรูปสามเหลี่ยม ADF เท่ากับพื้นท่ีรูปสามเหลี่ยม ABC และพ้ืนท่ีรูปสามเหล่ียม
DEF เทา่ กบั พืน้ ทร่ี ปู สามเหลี่ยม BEC

16. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใด ๆ ท่ีมี P เป็นจุดบน CA ทาให้ CP = 1 CA ต่อ BP ไปถึง Q ให้
3

AQ || BC จงหาว่าพน้ื ที่รปู สามเหลี่ยม CPQ เปน็ เศษส่วนเท่าไรของพื้นทร่ี ปู สามเหล่ียม ABC

AQ

P

BC

17. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนานที่มีจุด P, Q, R และ S เป็นจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสี่ จงพิสูจน์
ว่า รูปส่เี หลยี่ ม PQRS มีพ้ืนท่เี ป็นคร่ึงหนึง่ ของรูป ABCD

18. ให้ PQRS เป็นรูปสเี่ หล่ียมคางหมูท่มี ี X และ Y เป็นจดุ กึ่งกลางของด้านท่ีขนานกัน จงพิสูจนว์ ่า XY
แบง่ พื้นที่ของ PQRS เปน็ สองสว่ นเทา่ ๆ กนั

19. รปู สามเหลีย่ ม ABC ทมี่ ี M เป็นจดุ ก่ึงกลางของด้าน BC และ P เปน็ จดุ บนดา้ น AM
จงพสิ ูจนว์ า่ พน้ื ทร่ี ูปสามเหล่ยี ม ABP เทา่ กับ พ้นื ทรี่ ูปสามเหล่ียม ACP

20. ถ้าต่อด้าน BC ของรูปสามเหลี่ยม ABC ออกไปถึง D ทาให้ CD = BC ถ้า E เป็นจุดกึ่งกลางด้าน
AB จงพิสูจนว์ า่ พ้ืนทรี่ ปู สามเหลย่ี ม ABC เท่ากบั พน้ื ที่รปู สามเหลยี่ ม EBD

21. ให้ D เป็นจุดใด ๆ บนฐาน BC ของรปู สามเหล่ยี ม ABC ถา้ EB และ EC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมท่ี
ลอ้ มรอบรปู สามเหลยี่ ม ABD และรูปสามเหลยี่ ม ACD ทีจ่ ุด B และจดุ C จงพิสจู นว์ ่าวงกลมผ่านจุด
A, B, E และ C ได้ และรปู สามเหลีย่ ม ABD และรูปสามเหล่ยี ม AEC มีมมุ เท่ากัน มุมตอ่ มมุ

22. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มหนา้ จั่วมี BC เป็นฐาน ถา้ XY เป็นเสน้ เชื่อมด้านสองดา้ นและขนานกับ
ฐาน จงพิสจู น์วา่ B, C, X, Y อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมเดียวกัน (Concyclic)

23. จากรูป จงพิสจู นว์ ่า A, B, C, D อยบู่ นเส้นรอบวงของวงกลมเดียวกัน

C
Dx

2 2x B
A1

ศนู ยโ์ อลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณติ 55

24. ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ียมทบ่ี รรจใุ นวงกลม O โดยที่ D เป็นจดุ กึ่งกลาง BC ลาก DO ไปพบ AC

ที่ E จงพิสูจน์ว่า A, B, O, E เป็นจุดในวงกลมเดียวกัน A

25. ให้ ABC เปน็ รูปสามเหล่ียมทม่ี ีเส้นแบง่ ครึ่ง Bˆ,Cˆ B M C
N K
แบบภายในพบกนั ท่ีจดุ M และเส้นแบง่ ครง่ึ Bˆ,Cˆ

แบบภายนอกพบกันท่ี N ดงั รูป
จงพสิ จู น์ว่า B, M, C, N อยู่บนเสน้ รอบวงเดยี วกนั D

26. ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ียมดา้ นเท่า โดยมี M เป็นจดุ ทอี่ ยูใ่ น

ABC และ AMN เป็นสามเหลี่ยมดา้ นเทา่ อีกรูปหนง่ึ
ตอ่ BM ไปพบกับ CN ทจี่ ดุ R จงพิสูจนว์ า่ A, R, N, M เป็น Concyclic

27. ให้ AB เป็นคอร์ดของวงกลม ซ่ึงมี O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม และ P เป็นจุดใด ๆ บนส่วนโค้ง AB

ต่อ AP ไปพบกับเส้นผ่าศูนย์กลางซึ่งต้ังฉากกับคอร์ด AB ที่จุด M จงพิสูจน์ว่า B, O, P, M เป็น

Concyclic R

28. วงกลมสองวงตดั กนั ท่ี A, B ลากส่วนของเส้นตรงผา่ น A M
ไปตดั เสน้ รอบวงที่ P และ Q ลากเสน้ จาก P และ Q N
ไปพบ AB ท่ี R ตัดเส้นรอบวงท่ี M และ N ดงั รูป
จงพสิ ูจน์วา่ B, M, R, N เป็น Concyclic B

P AQ

29. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ยี ม และ AD ตง้ั ฉาก BC ให้ AD เปน็ เส้นผา่ นศนู ยก์ ลางเขียนวงกลมตดั
AB, AC ที่ M, N ดงั รปู จงพิสจู นว์ ่า B, C, N, M เปน็ Concyclic

A

N
M

BD C

30. ให้ PQ เปน็ เสน้ ผ่านศูนย์กลางของวงกลม PX, PY เปน็ คอรด์ สองคอร์ด M
X
ถา้ ตอ่ PX, PY ไปพบกบั เสน้ สมั ผัสซงึ่ สัมผสั วงกลมท่ี Q ที่ M, N ดังรูป
Q
จงพิสจู น์ว่า X, Y, N, M เปน็ Concyclic P

Y

N

ศนู ยโ์ อลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณิต 56

แบบฝึกหัด โจทย์ระคน

1. วงกลมสองวงสัมผัสกันภายในท่ีจุด O จุด A อยู่ภายนอกวงกลมท้ังสอง โดยที่ AO และ AP สัมผัส
วงกลมวงเลก็ ท่ีจุด O และ P ตามลาดบั ถ้า AP ตัดวงกลมวงใหญท่ ่จี ุด T และตอ่ AP ไปตดั เส้นรอบ
วงทจี่ ดุ S จงพิสจู นว์ ่า TOˆP  SOˆP

2. ให้ ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มใด ๆ มี AD แบง่ พน้ื ท่ี
ของรูปสามเหลย่ี ม ABC ออกเปน็ สองสว่ น ซง่ึ ทาให้
พืน้ ทข่ี องรูปสามเหลย่ี ม ABD เป็นสองเทา่ ของพื้นที่
ของรูปสามเหลยี่ ม ADC จากจุด D ลาก DE || BA
ถ้า ADˆB  2ACˆD และ DAˆC  30
จงแสดงวิธหี าขนาดของ AEˆD พรอ้ มทั้งใหเ้ หตุผล

3. ให้ D และ E เป็นจุดก่ึงกลางด้าน AB และ AC ของรูปสามเหล่ียม ABC ตามลาดับ ด้าน BE และ
CD ตัดกันท่ีจุด P โดยท่ีรูปสามเหลี่ยม EDP มีพ้ืนท่ี 4 ตารางน้ิว รูปสามเหลี่ยม PBC มีพื้นท่ี 9
ตารางนิว้ จงหาพน้ื ทข่ี องรูปสามเหล่ยี ม ABC

4. ให้ ABC เปน็ สามเหล่ียมแนบในวงกลมทมี่ ี AB
เปน็ เสน้ ผ่านศูนย์กลาง AP และ BQ เป็น
เส้นแบง่ ครง่ึ BAˆC และ ABˆC ตามลาดบั
PM และ QN ตง้ั ฉากกับ AB ท่จี ุด M และ N ตามลาดบั
จงแสดงวธิ ีหาขนาดของ MCˆN พรอ้ มทั้งให้เหตุผล

5. ให้ F เป็นจุดบนด้าน AB ของรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า D เป็นจุดตัดของด้าน BC กับเส้นตรงที่ลาก
จากจุด A และขนานกับด้าน FC ในทานองเดียวกันให้ E เป็นจุดตัดของด้าน CA กับเส้นตรงท่ีลาก
จากจุด B และขนานกับดา้ น FC จงพิสจู นว์ ่า 1  1  1

CF AD BE

6. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมด้านขนาน ต่อด้าน DA ไปทาง A ไปยังจุด P และให้ PC ตัดด้าน AB ท่ี
จุด Q และดา้ น DB ที่ R ถ้า PQ = 525 และ QR = 80 จงหาความยาวของ RC

7. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉากโดยมี A เป็นมุมฉาก ถ้า D และ F เป็นจุดอยู่บนด้าน AC และ BC
ตามลาดบั โดยที่ AF  BC และ BD = DC = FC = 3 จงหาความยาวของ AC

8. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมท่ีมี Aˆ  Bˆ  90 และ BC + CA = 2AB ถ้า cosC  m เมื่อ

n

ห.ร.ม. (m, n) = 1 จงหา m + n

9. ใหร้ ูปสามเหล่ยี มรูปหนึง่ มีเส้นมธั ยฐานยาว 3, 4 และ 5 หนว่ ย จงหาความยาวของด้านทสี่ นั้ ที่สดุ

10. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มีพื้นที่ 28 ตารางนิ้ว จุด D, E และ F เป็นจุดบนด้าน AB, BC และ
CA ตามลาดับ และ AD = 3 น้ิว DB = 4 นิ้ว ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABE และรูปส่ีเหล่ียม DBEF มี
พน้ื ท่ีเท่ากนั แลว้ รปู สามเหลีย่ ม ABE มีพน้ื ท่เี ท่าไร

ศูนยโ์ อลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ 57

11. ให้ ABCD เป็นรูปสเ่ี หล่ยี มใด ๆ โดยมีจดุ O เป็นจุดตดั ของเสน้ ทแยงมมุ AC และ BD ถ้ารูป
สามเหลี่ยม AOB, BOC และ COD มพี ้ืนที่เทา่ กบั 3, 6 และ 2 ตารางหน่วย ตามลาดับ จงหาพ้นื ที่
ของรูปสามเหล่ียม DOA

12. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉากท่ี ABˆC  90 โดยมี AB = BC = 4 จุด D และ E เป็นจุดบน
ด้าน AB และ BC ตามลาดับ โดยที่ BD = BE = 3 ลาก AE และ CD ตัดกันท่ีจุด F จงหาพ้ืนท่ี
ของรูปสามเหลย่ี ม AFC

13. ในรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ถา้ ลากเส้นตรงจากจุดยอดไปต้ังฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก รูปสามเหล่ียมที่
เกดิ ขึ้นทั้งสองรปู จะคล้ายกัน และคล้ายกบั รปู เดมิ ดว้ ย

14. ให้จุด P แบ่งด้าน BC ของรูปสามเหลี่ยม ABC ด้วยอัตราส่วน BP : PC = 1 : 2 ถ้า ABˆC  45
และ APˆC  60 จงหาขนาดของ ACˆP

15. ให้ D และ E เป็นจุดที่อยู่บนด้าน AB และ AC ของรูปสามเหลี่ยม ABC ตามลาดับ โดยมี BE และ
CD ตัดกันท่ีจุด P ทาให้รูปสามเหลี่ยม BPD มีพ้ืนท่ี 2 ตารางน้ิว รูปสามเหลี่ยม CPE มีพื้นท่ี 3
ตารางน้ิว และรูปสามเหลีย่ ม BCP มีพื้นท่ี 4 ตารางนวิ้ จงหาพน้ื ทข่ี องรปู ส่ีเหล่ยี ม ADPE

16. จากรปู จงหาความยาวของ x

17. ใหแ้ สดงวิธีหาพ้นื ท่บี รเิ วณทอ่ี ย่รู ะหวา่ งเส้นผา่ นศนู ยก์ ลางกบั คอร์ดทย่ี าวเท่ากับรศั มีของวงกลม

18. วงกลม C1 และวงกลม C2 ตดั กนั ท่ีจุด P และ Q ซ่งึ แตกต่างกัน ให้เส้นตรงท่ีผ่านจุด P ตัดวงกลม C1
และวงกลม C2 ที่จุด A และ B ตามลาดับ ให้ Y เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB และ QY ตัดวงกลม C1
และวงกลม C2 ทจี่ ดุ X และ Z ตามลาดบั จงพิสูจน์วา่ Y เปน็ จดุ กึ่งกลางดา้ น XZ

19. ให้ X, Y เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงซึ่งตัดกันที่ A เส้นสัมผัสที่จุด A กับวงกลมทั้งสองพบ
วงกลมอีกครั้งหน่ึงที่ B, C ตามลาดบั ให้ P เป็นจดุ ที่ทาให้ PXAY เปน็ รูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน จงแสดง
วา่ P เปน็ จุดศูนย์กลางของวงกลมท่ลี ้อมรอบรูปสามเหลี่ยม ABC

20. ให้รูปสามเหล่ียม ABC มี O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แนบใน โดยวงกลมน้ีสัมผัสด้าน BC, CA
ที่จุด D, E ตามลาดบั จงแสดงว่า ถ้า BO ตดั DE ท่ี G แลว้ AG  BG

21. ให้ ABCD เป็นรปู ส่ีเหลี่ยมแนบในวงกลมรัศมี 5 หน่วย และ AB = BC = 2CD = 2DA จงหาพื้นที่
ของรปู สเี่ หลีย่ ม ABCD

ศูนย์โอลมิ ปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลิมปิกวิชาการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าเรขาคณติ 58

22. ให้วงกลมสองวงมีจุดศูนย์กลางห่างกัน 13 หน่วย ถ้าวงกลมวงเล็กและวงใหญ่ มีรัศมี 3 และ 8 หน่วย
ตามลาดบั จงหาความยาวของเสน้ สัมผสั ของวงกลมทงั้ สอง

23. ให้ O เปน็ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลม AB และ AC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมท่ีจุด B และ C จงพิสูจน์ว่า
AO แบง่ ครง่ึ และต้ังฉากกบั BC

24. ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม E เป็นจุดภายนองวงกลม ลากเส้นตรงสองเส้นจากจุด E ตัดเส้น
รอบ วงจุดแรกที่จุด B และ D และตัดเส้นรอบวงจุดที่สองท่ี A และ C ตามลาดับ ถ้า BEˆD  30
และ BOˆD  50 จงหาขนาดของมมุ AOˆC

25. สร้างคร่งึ วงกลมรูปหนึ่งบนดา้ น AB ให้ X เป็นจุดใด ๆ บนด้าน AB ลากเส้นตั้งฉากกับด้าน AB ที่จุด
X ไปตัดกบั เสน้ รอบวงท่ีจุด M จงพสิ จู นว์ ่า (AX)(XB) = MX 2

26. จุด A เป็นจุดอยู่ภายนอกวงกลม ลากเสน้ ตรงตัดเสน้ รอบวงจดุ แรกท่ี B และจุดทสี่ องที่ C
ถ้า AB = 5 และ BC = 8 ลาก AP สัมผัสวงกลมท่ี P จงหาขนาดของ AP

27. ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ียมทีแ่ นบในวงกลมที่มีรัศมี 5 นิ้ว โดยมีด้าน AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง AB
เปน็ คอรด์ ทยี่ าว 6 นว้ิ และ AD เปน็ คอรด์ ทีแ่ บง่ ครึ่ง BAˆC จงหาความยาวของ AD

28. ให้ a, b, c เปน็ ความยาวด้านท้ังสามของรูปสามเหล่ียมที่มี r เป็นรัศมีของวงกลมแนบใน ra เป็นรัศมี

ของวงกลมแนบนอกท่ีอยู่ตรงข้ามมุม A ดังนน้ั rra = (s – a)(s – b) เม่ือ s = abc
2

29. ให้ r เป็นรศั มขี องวงกลมที่แนบในรปู สามเหลย่ี ม ABC ที่มี a, b, c เป็นความยาวของด้านท้ังสามและ
มพี ้ืนท่ี K จงพิสูจน์ว่า r  2K

abc

30. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมท่ีมี AB = 2, AC = 3 และ BC = 4 จงหาความยาวของรัศมีของวงกลม
ท่ีมจี ุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ีด่ ้าน BC และสัมผสั ด้าน AB และ AC

31. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมแนบในวงกลมโดยมีด้าน AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง P และ Q อยู่บนด้าน
BC และ AC ที่ทาให้ AP และ BQ เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม A และมุม B ตามลาดับ ลากเส้นตรงจาก P
และ Q ตงั้ ฉากกับด้าน AB ท่ีจุด M และ N ตามลาดบั จงหาขนาดของ MCˆN

32. ให้รูปสามเหล่ียม ABC แนบในวงกลมที่มี O เป็นจุดศูนย์กลาง และด้าน BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
ถ้า AB = 3, AC = 4 จงหา (BO)(OC)

33. ให้รูปสามเหล่ยี มรูปหนึ่ง รัศมีของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมยาวเป็น 3.5 เท่าของรัศมีของวงกลม
แนบในรูปสามเหลี่ยม ถ้าด้านสองด้านยาว 3 หน่วย และ 7 หน่วย และอีกด้านยาวเป็นจานวนเต็ม
หนว่ ย จงหาความยาวของด้านท่ีเหลอื นน้ั

34. ให้รูปส่เี หล่ียม ABCD มีวงกลมล้อมรอบได้ เสน้ แบ่งครึ่งมุม A, B, C, D ตดั กันเกิดเปน็ รูปสี่เหล่ียมรูป
ใหมภ่ ายในรูปสี่เหลย่ี ม ABCD โดยจุดยอดเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึง่ มมุ แต่ละรปู
จงพิสจู นว์ ่า รปู ส่ีเหล่ียมรูปใหม่นี้มวี งกลมลอ้ มรอบได้

ศูนยโ์ อลิมปกิ วชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

เอกสารโอลมิ ปิกวิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าเรขาคณติ 59

35. จากรูป ABCD และ DPQR เปน็ รูปส่ีเหลย่ี มด้านขนานสองรปู B
จงพสิ ูจน์วา่ รปู ส่ีเหลย่ี มท้ังสองมีพ้ืนทีเ่ ท่ากัน

AP

Q
DC

R

36. ให้วงกลมแนบในรูปส่ีเหล่ยี ม ABCD สัมผสั ดา้ น AB, BC, CD, DA ทจ่ี ดุ P, Q, R, S ตามลาดบั
ถ้า AB = 3, DS = 4, PB = 6 และ BC = 10 จงหา DC และ RC

37. ให้รูปส่ีเหลี่ยม ABCD มีวงกลมล้อมรอบได้ ลาก CX ขนานกับด้าน AB ตัดเส้นทแยงมุม BD ท่ีจุด
X จงพิสจู นว์ า่ AC เปน็ เส้นสัมผสั วงกลมท่ีล้อมรอบรูปสามเหลย่ี ม CXD

38. ถ้ารูปสเ่ี หลย่ี มท่แี นบในวงกลมมเี ส้นทแยงมุมต้ังฉากซึ่งกันและกันที่จุด P แล้วเส้นตรงที่ลากผ่านจุด P
ไปต้ังฉากกบั ด้านใดด้านหน่งึ ยอ่ มแบง่ ครึ่งดา้ นตรงขา้ ม

39. ให้ ABCD เป็นรปู สี่เหลี่ยมแนบในวงกลม ถ้าส่วนต่อของด้าน AB และ DC ตัดกันภายนอกวงกลมที่
จุด P จงพสิ จู นว์ ่า (AP)(PB) = (CP)(PD)

40. ให้ ABCD เปน็ รปู สเ่ี หล่ียมท่ีมวี งกลมแนบใน และสมั ผสั ด้านทั้งสี่ทจ่ี ุด P, Q, R และ S ตามลาดบั
จงพสิ ูจนว์ ่า PR และ QS ตัง้ ฉากซงึ่ กันและกนั

41. วงกลมจดุ ศนู ยก์ ลาง A และ B สองวงตัดกันท่ีจุด C และ D มี M เป็นจุดก่ึงกลางของ CD จงพิสูจน์
ว่า A, B, M อยบู่ นเสน้ ตรงเดียวกัน

42. ใหค้ อร์ด AB และ CD ตัดกนั ทจี่ ดุ E จงพสิ จู นว์ ่า รูปสามเหลี่ยม ACE คลา้ ยกับรูปสามเหลยี่ ม BED

43. ให้ A, B, C, D เป็นจุดบนวงกลม และ AB ขนานกับ CD จงพิสูจนว์ ่า AC = BD และ AD = BC

44. กาหนดให้ E, F เป็นจุดบนส่วนโค้งครึ่งวงกลมท่ีมี BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง เส้นตรงที่ผ่าน BF ,
CE ตดั กันท่ี A และเสน้ ตรงท่ผี ่าน CE , BF ตดั กนั ที่ O จงแสดงว่า AO  BC

45. กาหนดให้รูปสามเหล่ียม ABC และรูปสามเหล่ียม DEF เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายที่แนบในวงกลม
เดยี วกัน จงแสดงวา่ รปู สามเหล่ยี ม ABC และรปู สามเหลีย่ ม DEF เทา่ กันทกุ ประการ

ศูนยโ์ อลิมปิกวชิ าการ สอวน.ค่าย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

เอกสารโอลมิ ปกิ วิชาการ สอวน.คา่ ย 1 วิชาเรขาคณติ 60

เอกสารอ้างอิง

กมล เอกไทยเจริญ. (มปป). คมู่ อื เตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.2 เล่มรวม ค 203–ค 204. กรงุ เทพมหานคร
: เทพเนรมติ การพิมพ์.

กมล เอกไทยเจริญ. (มปป). คูม่ อื เตรียมสอบ คณติ ศาสตร์ ม.3 เลม่ รวม ค 011–ค 012. กรงุ เทพมหานคร
: เทพเนรมิตการพิมพ์.

ณฐั พนั ธ์ กติ ิสิน. (มปป). เอกสารประกอบการอบรม : เรขาคณิต การอบรมคณะวิทยากรศนู ย์โรงเรียน
ขยายผล สอวน. สาขาคณิตศาสตร์ ระหวา่ งวันที่ 24 ถงึ 27 มิถนุ ายน 2557 (อัดสาเนา)

ณฐั พันธ์ กติ ิสิน. (มปป). เอกสารประกอบการอบรม : เรขาคณิต การอบรมคณะวิทยากรศูนยโ์ รงเรยี น
ขยายผล สอวน. สาขาคณิตศาสตร์ ระหว่างวันท่ี 22 ถึง 28 กรกฎาคม 2557 (อดั สาเนา)

ดารง ทพิ ยโ์ ยธา. (2551). คณิตศาสตร์ปรนยั เลม่ ท่ี 32 : โลกเรขาคณิต (เสรมิ ความรู้มงุ่ สู่โอลมิ ปิก
คณิตศาสตร)์ . กรุงเทพมหานคร : เทพเนรมิตการพิมพ์.

ยพุ นิ พิพธิ กุล และอุษณยี ์ ลรี วัฒน.์ (2548). เรขาคณิต โครงการตาราวทิ ยาศาสตรแ์ ละคณติ ศาสตร์
มลู นิธิ สอวน. พมิ พค์ รั้งที่ 2. กรงุ เทพมหานคร : บรษิ ัท ดา่ นสุทธาการพิมพ์ จากดั .

วฒั นา เถาว์ทิพย์. เอกสารประกอบการบรรยาย โครงการสง่ เสริมโอลิมปิกวชิ าการฯ ศนู ย์ สอวน.
มหาวิทยาลัยขอนแกน่ ค่าย 1. (อดั สาเนา).

ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์
เลม่ 1 ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 1 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษา
ขนั้ พน้ื ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2553). หนงั สือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณติ ศาสตร์
เลม่ 1 ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 1 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษา
ข้นั พ้นื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. พมิ พ์ครง้ั ท่ี 2. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2553). หนงั สือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณติ ศาสตร์
เล่ม 2 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษา
ขน้ั พื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2553). หนังสอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณติ ศาสตร์
เล่ม 2 ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษา
ขน้ั พ้นื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.

ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2554). หนงั สอื เรยี นรายวิชาพื้นฐาน คณติ ศาสตร์
เล่ม 1 ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 2 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษา
ขน้ั พน้ื ฐาน พทุ ธศักราช 2551. พิมพ์ครั้งที่ 2. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2554). หนังสือเรยี นรายวิชาพ้ืนฐาน คณติ ศาสตร์
เลม่ 1 ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 3 กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษา
ขัน้ พืน้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2554). หนงั สอื เรียนรายวชิ าเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์
เล่ม 2 ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 3 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษา
ขัน้ พื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

ศูนยโ์ อลมิ ปิกวชิ าการ สอวน.คา่ ย 1 วชิ าคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา