แบบฝึกทักษะ ลำดับและอนุกรม เล่มที่ 3 เรื่องลำดับเรขาคณิต ปีการศึกษา 2558

แบบฝึกทกั ษะ รายวชิ า คณติ ศาสตร์ 6
รหัสวิชา ค33102

คณติ ศาสตร์ ม.6

ลาดับและอนุกรม ดว้ ยรปู แบบ SSCS

เลม่ ที่

3

เร่ือง ลาดับเรขาคณติ

ช่อื ………………………………………..……….ชัน้ ม.6/………เลขท่ี………

ครูผสู้ อน ครคู รรชติ แซ่โฮ่
ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการ

โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
สานกั งานเขตพืน้ ที่การศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 15

กระทรวงศึกษาธิการ

ก

คำนำ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับและอนุกรม จัดทาข้ึนเพื่อใช้ประกอบการจัดกิจกรรม
การเรยี นรู้กลุม่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ รายวชิ าคณติ ศาสตร์ 6 รหัสวิชา ค33102 ชั้นมัธยมศึกษา
ปีที่ 6 ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 เป็นแบบฝึกทักษะที่ใช้
ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ส่งเสริมให้ผู้เรียนเกิดการเปล่ียนแปลงพฤติกรรมในการเรียนรู้
ตามความสามารถของแต่ละคน เพื่อมุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีความรู้ความเข้าใจในบทเรียนได้ดี ส่งเสริม
ความกา้ วหน้าทางการเรียนรู้ที่มุ่งเน้นผู้เรียนเป็นสาคัญ มุ่งพัฒนาและส่งเสริมทักษะและกระบวนการ
ทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน ซ่ึงได้แก่ ความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผลความคิดริเร่ิม
สรา้ งสรรค์ ฝึกให้ผู้เรียนทางานอย่างเป็นระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ ตระหนัก
ในคณุ ค่า และมีเจตคตทิ ี่ดตี อ่ วิชาคณติ ศาสตร์ รวมทงั้ ตอบสนองสาระ มาตรฐานการเรียนรู้และตัวช้ีวัด
ในรายวิชาคณิตศาสตร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลาดับและอนุกรม ด้วยรูปแบบ SSCS เล่มนี้เป็นเล่มที่ 3 เร่ือง
ลาดับเรขาคณิต เพ่ือให้การพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียนเป็นไปตาม
เปา้ หมาย ผู้เรยี นควรปฏิบตั ิตามขน้ั ตอนในการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์อย่างครบถ้วน

ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างย่ิงว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ลาดับและอนุกรม ด้วยรูปแบบ
SSCS เล่มนี้ คงเป็นประโยชน์ต่อผู้เรียนในการเรียนรู้ สามารถนาผู้เรียนไปสู่จุดหมายตามศักยภาพ
เป็นผู้ที่มีคุณลักษณะอันพึงประสงค์ นาความรู้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจาวันได้ และเป็นแนวทาง
สาหรบั ผทู้ ่ีมีความสนใจต่อไป

ขอขอบพระคุณผู้อานวยการโรงเรียน คณะครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ผู้ท่ีมีส่วน
เกี่ยวข้องทกุ ทา่ น ที่ได้อานวยความสะดวก เป็นกาลังใจ ให้ความช่วยเหลือ และให้การสนับสนุน และ
ขอขอบใจนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 6 ทุกคนท่ีให้ความร่วมมือในกิจกรรมการเรียนรู้และทาให้แบบ
ฝึกทกั ษะคณิตศาสตรเ์ ลม่ นสี้ าเร็จลุล่วงดว้ ยดี ขอขอบคุณเปน็ อยา่ งสงู ไว้ ณ โอกาสนี้

คุณค่าและประโยชน์ของแบบฝึกทักษะนี้ ผู้จัดทาขอมอบเป็นเคร่ืองบูชาพระคุณแด่บิดา
มารดา และบูรพาจารย์ ตลอดจนผู้มีพระคุณทุกท่าน ท่ีอบรมส่ังสอนประสิทธ์ิประสาทความรู้ท้ังปวง
แก่ผ้จู ดั ทา

ครรชติ แซ่โฮ่
ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการ

สารบญั ข

เรอื่ ง หน้า

คานา ก
สารบัญ ข
คู่มือผูเ้ รยี น 1
คาแนะนาในการใชแ้ บบฝกึ ทักษะสาหรับผู้เรียน 3
ขนั้ ตอนการเรียนรูโ้ ดยใช้แบบฝึกทกั ษะ 4
สาระ มาตรฐานการเรยี นรู้ ตัวช้วี ดั และจดุ ประสงค์การเรยี นรู้ 5
ผงั มโนทัศน์ 7
แบบทดสอบกอ่ นเรยี น 8
กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียน 12
ใบความรทู้ ี่ 3.1 ความหมายของลาดับเรขาคณิต 13
แบบฝึกทกั ษะท่ี 3.1.1 18
แบบฝึกทักษะท่ี 3.1.2 19
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3.1.3 21
ใบสรุปความรูท้ ี่ 3.1 22
ใบแลกเปลย่ี นเรยี นรทู้ ี่ 3.1 23
ใบความรทู้ ่ี 3.2 พจน์ท่ัวไปของลาดบั เรขาคณติ 24
แบบฝกึ ทักษะท่ี 3.2.1 28
แบบฝกึ ทักษะที่ 3.2.2 30
ใบสรุปความรทู้ ี่ 3.2 33
ใบแลกเปลย่ี นเรยี นรทู้ ี่ 3.2 34
ใบความรทู้ ่ี 3.3 จานวนพจนข์ องลาดบั เรขาคณิต 35
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.3 38
ใบสรุปความรทู้ ี่ 3.3 40
ใบแลกเปลี่ยนเรียนรู้ท่ี 3.3 41
ใบความรทู้ ี่ 3.4 โจทย์ปญั หาเกยี่ วกับลาดับเรขาคณติ 42
แบบฝกึ ทักษะที่ 3.4 46
ใบสรปุ ความรู้ที่ 3.4 50
ใบแลกเปล่ยี นเรยี นรู้ที่ 3.4 51
แบบทดสอบหลังเรยี น 52
กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลังเรยี น 56
บรรณานุกรม 57
แบบบนั ทกึ คะแนนแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ 58

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เร่ือง ลาดับเรขาคณิต 1

คมู่ อื ผ้เู รียน

1. บทบาทของผเู้ รยี น
1.1 ข้ันตอนการเรียนรู้
1.1.1 ก่อนปฏิบัติกิจกรรมทุกคร้ัง ผู้เรียนทุกคนต้องศึกษาบทบาทของผู้เรียนและ

คาแนะนาสาหรบั ผู้ให้เขา้ ใจ
1.1.2 ทาแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธ์ิทางการเรียน เรื่อง ลาดับและอนุกรม จานวน

30 ข้อ ใช้เวลาในการทดสอบ 50 นาที เพ่ือประเมินความรู้พื้นฐานของตนเอง และทาแบบทดสอบ
ก่อนเรียนในแบบฝึกทักษะแต่ละเล่ม เล่มละ 15 ข้อ เมื่อทาเสร็จแล้วให้ตรวจจากเฉลยแบบทดสอบ
กอ่ นเรยี น บนั ทกึ คะแนนลงในแบบบนั ทกึ คะแนน

1.1.3 ผู้เรียนศกึ ษาแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ตามที่กาหนดในแผนการจัดการเรียนรู้
ด้วยความตัง้ ใจและเตม็ กาลงั ความสามารถ ตามลาดับข้นั ตอน

1.1.4 หลังจากเรียนรู้ด้วยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ในแต่ละเล่มจบแล้ว ให้ผู้เรียน
ทาแบบทดสอบหลังเรียน จานวน 15 ข้อ เม่ือทาเสร็จแล้วให้ตรวจจากเฉลยแบบทดสอบหลังเรียน
บันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน และเม่ือเรียนจบทุกแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ให้ผู้เรียนทา
แบบทดสอบวดั ผลสัมฤทธทิ์ างการเรยี น เร่ือง ลาดบั และอนุกรม จานวน 30 ข้อ ใชเ้ วลาในการทดสอบ
50 นาที

1.2. กจิ กรรมการเรยี นรดู้ ว้ ยรปู แบบ SSCS มขี ั้นตอน ดงั นี้
1.2.1 ข้ันตอนท่ี 1 Search : S การศึกษาข้อมูลที่เก่ียวข้องกับปัญหาและการแยก
ประเด็นของปัญหา เป็นข้ันตอนที่ผู้เรียนต้องศึกษาเน้ือหาสาระจากใบความรู้ในแบบฝึกทักษะ
คณติ ศาสตร์แต่ละเล่ม
1.2.2 ขั้นตอนที่ 2 Solve : S การวางแผนและการดาเนินการแก้ปัญหาด้วยวิธีการ
ต่าง ๆ เป็นขั้นตอนที่ผู้เรียนต้องศึกษาวางแผนและดาเนินการแก้ปัญหาโจทย์ปัญหาในแบบฝึกทักษะ
คณติ ศาสตรแ์ ตล่ ะเลม่
1.2.3 ขั้นตอนท่ี 3 Create : C การนาผลท่ีได้มาจัดกระทาเพื่อให้ง่ายต่อความ
เขา้ ใจและเพือ่ สื่อสารกับคนอื่นได้ เปน็ ขั้นตอนท่ีผ้เู รยี นตอ้ งสรุปและบันทึกความรู้ท่ีได้หลังจากทาแบบ
ฝกึ ทกั ษะใหอ้ ยใู่ นรปู ที่เขา้ ใจง่ายมากทสี่ ดุ
1.2.4 ข้ันตอนที่ 4 Share : S การแลกเปลี่ยนความคิดเห็นเก่ียวกับข้อมูลและ
วิธีการแก้ไขปัญหา เป็นขั้นตอนที่ผู้เรียนต้องแลกเปล่ียนความคิดเห็นกับเพ่ือนภายในกลุ่มหรือเพื่อน
ร่วมชั้นเรียนเกี่ยวกบั ความรู้ท่ีไดจ้ ากศกึ ษาเน้อื หาสาระจากใบความรู้และจากการดาเนินการแก้ปัญหา
โจทย์ปัญหาในแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรื่อง ลาดบั เรขาคณิต 2

2. แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ สว่ นประกอบของแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ มีดงั น้ี
2.1 คาแนะนาในการใชแ้ บบฝกึ ทกั ษะสาหรบั ครู
2.2 คาแนะนาในการใชแ้ บบฝึกทกั ษะสาหรับผู้เรยี น
2.3 ขั้นตอนการเรยี นรูโ้ ดยใช้แบบฝกึ ทักษะ
2.4 สาระ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชว้ี ดั และจดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้
2.5 ผังมโนทศั น์
2.6 แบบทดสอบกอ่ นเรยี น
2.7 เอกสารแนะแนวทาง
2.8 ใบความรู้และแบบฝึกทกั ษะ
2.9 แบบทดสอบหลงั เรียน
2.10 บรรณานกุ รม
2.11 ภาคผนวก
2.11.1 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น
2.11.2 เฉลยเอกสารแนะแนวทาง
2.11.3 เฉลยแบบฝึกทักษะ
2.11.4 เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน
2.11.5 แบบบนั ทกึ คะแนน

3. การวดั และประเมนิ ผลการเรียนรู้
การวัดและประเมินผลการเรียนรู้ จะดาเนินการประเมินทั้งสิ้น 3 ด้าน ได้แก่ ด้าน

ความรู้ ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ และด้านคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ ซง่ึ ประเมนิ จาก
1.2.1 ประเมินจากการตรวจแบบทดสอบกอ่ นเรียน แบบฝกึ ทักษะ และแบบทดสอบ

หลังเรยี น และประเมนิ ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 80 ของคะแนนเต็ม
1.2.2 วัดพฤติกรรมการทากิจกรรมกลุ่ม โดยครูผู้สอนสังเกตพฤติกรรมขณะผู้เรียน

ปฏบิ ัติกิจกรรมกล่มุ และประเมินผา่ นตั้งแตร่ ะดับคณุ ภาพระดับ 2 ขึ้นไป
1.2.3 วัดพฤติกรรมด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยการสังเกตพฤติกรรมขณะ

ผู้เรียนปฏบิ ตั กิ จิ กรรมการเรียนรู้ และประเมนิ ผา่ นตง้ั แตร่ ะดบั คุณภาพระดบั 2 ข้ึนไป

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรื่อง ลาดับเรขาคณิต 3

คาแนะนาในการใชแ้ บบฝึกทักษะสาหรบั ผ้เู รยี น

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง ลาดับและอนุกรม ใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้กลุ่ม
สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์ 6 รหัสวิชา ค33102 ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 ตาม
หลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 มีท้ังหมด 5 เล่ม ซ่ึงแบบฝึกทักษะ
คณิตศาสตร์เล่มนี้เป็นเล่มท่ี 3 เร่ือง ลาดับเรขาคณิต ใช้เวลาเรียน 6 ชั่วโมง ประกอบด้วยเรื่องย่อย ๆ
ดังนี้

1. ความหมายของลาดบั เรขาคณิต
2. พจน์ท่วั ไปของลาดับเรขาคณติ
3. จานวนพจน์ของลาดบั เรขาคณิต
4. โจทย์ปญั หาเก่ียวกบั ลาดบั เรขาคณิต
ขอ้ ปฏบิ ัตขิ ณะฝึกทกั ษะ ผเู้ รยี นควรปฏบิ ัตติ ามคาแนะนา ดังน้ี
1. อ่านคาชี้แจงและคาแนะนาในการทาแบบฝึกทักษะใหเ้ ข้าใจก่อนทากจิ กรรมทกุ ครั้ง
2. ศึกษาจุดประสงค์การเรียนรู้และผังมโนทัศน์ของแบบฝึกทักษะ เพื่อให้ทราบว่าเม่ือเรียน
จบแล้ว ผู้เรยี นจะมีความรใู้ นเร่ืองใดบ้าง
3. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน ลงในกระดาษคาตอบ ตรวจคาตอบจากเฉลยแบบทดสอบก่อน
เรยี น พร้อมทงั้ บนั ทึกคะแนนลงในแบบบนั ทกึ คะแนน
4. ทาเอกสารแนะแนวทาง ศึกษาใบความรแู้ ละตัวอยา่ ง
5. ทาแบบฝึกทักษะ ตรวจคาตอบจากเฉลยแบบฝึกทักษะ พร้อมทั้งบันทึกคะแนนลงในแบบ
บนั ทกึ คะแนนรายบคุ คล
6. เมื่อผู้ไม่เข้าใจ ทาแบบฝึกทักษะข้อใดไม่ได้ หรือมีปัญหาข้อสงสัยในเน้ือหา ให้กลับไป
ศกึ ษาใบความรแู้ ละตัวอยา่ งอกี ครั้งจนเข้าใจดี หรือปรกึ ษาครูผู้สอน แลว้ จงึ กลับมาทาแบบฝึกทกั ษะ
7. การเขียนคาตอบของแบบฝึกทักษะให้ผู้เรียนทาด้วยความรอบคอบ ให้ผลงานมีความ
ถกู ตอ้ ง สะอาดเรยี บรอ้ ย และเปน็ ระเบยี บ
8. ทาแบบทดสอบหลังเรียน ตรวจให้คะแนนตามเฉลย ถ้าได้ต่ากว่า 80% ให้กลับไปศึกษา
แบบฝกึ ทกั ษะอีกครั้ง
9. สรปุ ผลการเรียน ประเมิน ปรับปรุงและพัฒนาตนเอง
10. การศึกษาแบบฝึกทักษะเล่มน้ีจะไม่บรรลุผลสาเร็จ ถ้าผู้เรียนขาดความซื่อสัตย์ในการทา
แบบฝกึ ทักษะ

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่ือง ลาดับเรขาคณิต 4

ข้นั ตอนการเรียนรู้โดยใช้แบบฝกึ ทักษะ

1. อ่านคาแนะนาสาหรบั ผู้เรียน

2. ทาแบบทดสอบกอ่ นเรียน

3. ศกึ ษาแบบฝึกทักษะ โดยปฏบิ ัตกิ จิ กรรม ไมผ่ า่ นเกณฑ์
- ศกึ ษาเนอื้ หา
- ทาแบบฝึกทกั ษะ
- ตรวจแบบฝึกทกั ษะ

4. ทาแบบทดสอบหลังเรยี น ประเมินผล

5. ศกึ ษาแบบฝกึ ทักษะเลม่ ต่อไป ผา่ นเกณฑ์

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เร่อื ง ลาดับเรขาคณิต 5

สาระ มาตรฐานการเรยี นรู้ ตัวชีว้ ัด และจดุ ประสงค์การเรียนรู้

สาระ มาตรฐานการเรยี นรู้ และตัวชี้วัด

สาระท่ี 4 : พีชคณติ เข้าใจและวเิ คราะห์แบบรปู (pattern) ความสมั พันธ์ และฟังกช์ ัน
มาตรฐาน ค 4.1 เข้าใจความหมายของลาดบั เลขคณิต และลาดับเรขาคณิต หาพจน์
ตวั ชว้ี ดั ม. 4–6/5 ตา่ ง ๆ ของลาดับเลขคณติ และลาดับเรขาคณติ และนาไปใช้

สาระท่ี 6 : ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์
มาตรฐาน ค 6.1 มคี วามสามารถในการแกป้ ัญหา การให้เหตุผล การส่ือสาร การส่ือ

ความหมายทางคณติ ศาสตร์ และการนาเสนอ การเช่ือมโยงความรู้
ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเช่ือมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น ๆ
และมีความคิดรเิ ร่ิมสร้างสรรค์
ตวั ชวี้ ัด ม. 4–6/1 ใชว้ ิธกี ารที่หลากหลายแก้ปญั หา
ตัวชี้วดั ม. 4–6/2 ใช้ความรู้ ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ และเทคโนโลยี
ในการแก้ปัญหาในสถานการณต์ ่าง ๆ ได้อย่างเหมาะสม
ตวั ชวี้ ัด ม. 4–6/3 ใหเ้ หตุผลประกอบการตดั สินใจและสรปุ ผลไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
ตวั ชี้วดั ม. 4–6/4 ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการส่ือสาร การส่ือ
ความหมาย และการนาเสนอได้อยา่ งถูกต้องและชดั เจน
ตวั ชี้วดั ม. 4–6/5 เช่ือมโยงความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลักการ
กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ไปเชอื่ มโยงกับศาสตร์อ่นื ๆ
ตัวชีว้ ดั ม. 4–6/6 มีความคดิ ริเร่มิ สรา้ งสรรค์

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรื่อง ลาดบั เรขาคณิต 6

สาระ มาตรฐานการเรียนรู้ ตวั ชี้วัด และจุดประสงค์การเรยี นรู้

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

ดา้ นความรู้ : ผเู้ รียนสามารถ
1. บอกความหมายของลาดับเรขาคณิตได้
2. ระบุลาดับที่เป็นลาดับเรขาคณติ ได้ เมื่อกาหนดลาดบั ให้
3. หาพจน์ตา่ ง ๆ ของลาดบั เรขาคณิตได้
4. หาพจน์ท่วั ไปของลาดบั เรขาคณิตได้
5. หาจานวนพจนข์ องลาดับเรขาคณติ ได้
6. นาความร้เู รอื่ งลาดบั เรขาคณิตมาประยุกต์ใช้ในการแกโ้ จทยป์ ัญหาได้

ดา้ นทักษะและกระบวนการ : ผ้เู รยี นมีความสามารถ
1. ในการแก้ปญั หา
2. ในการใหเ้ หตผุ ล
3. ในการสื่อสาร การส่ือความหมายและการนาเสนอ
4. ในการเช่อื มโยงความร้ทู างคณติ ศาสตร์เพื่อให้เกิดความคิดรวบยอด
5. การคิดริเริ่มสร้างสรรค์

ดา้ นคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ : ผูเ้ รียน
1. มกี ารทางานเป็นระบบรอบคอบ
2. มีระเบยี บวินยั
3. มคี วามรับผดิ ชอบ
4. มีความเชอื่ มัน่ ในตนเอง
5. มีความตระหนักในคุณค่าและเจตคตทิ ่ีดตี อ่ คณติ ศาสตร์

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอื่ ง ลาดับเรขาคณิต 7

ผังมโนทัศน์

ความหมายของลาดับเรขาคณิต พจน์ท่ัวไปของลาดบั เรขาคณิต

ลาดับเรขาคณิต

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกบั ลาดบั เรขาคณิต จานวนพจน์ของลาดบั เรขาคณิต

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอื่ ง ลาดับเรขาคณิต 8

แบบทดสอบก่อนเรยี น

เรื่อง ลาดับเรขาคณติ

คาชี้แจง
1. แบบทดสอบกอ่ นเรยี น เรือ่ ง ลาดับเรขาคณติ จานวน 15 ขอ้
ขอ้ ละ 1 คะแนน ใชเ้ วลา 20 นาที

2. การตอบแบบทดสอบให้ผู้เรียนทาเคร่ืองหมาย x ลงใน  ใต้ตัวอักษร

ก ข ค และ ง ทเ่ี ป็นคาตอบที่ถูกที่สดุ เพียงขอ้ เดียว บนกระดาษคาตอบ

1. กาหนดให้ an เปน็ ลาดบั เรขาคณติ ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีไม่ถกู ต้อง
ก. an1 มีค่าคงตัวเสมอ

an

ข. เรยี ก an1 ว่าอัตราส่วนร่วม

an

ค. พจน์ท่ี n ของลาดับเรขาคณติ คือ an  a1rn1
ง. อัตราส่วนร่วมของลาดบั เรขาคณติ มีคา่ ไม่คงตัวเสมอ

2. ขอ้ ใดต่อไปน้ีเปน็ ลาดบั เรขาคณิต
ก. 4, 6, 8, 10, 12, ...
ข. 2, 4, 8, 16, 32, ...
ค. 5, 8, 11, 14, 17, ...
ง. 13, 11, 9, 7, 5, ...

3. ลาดบั เรขาคณติ ในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี มอี ัตราส่วนร่วมอยู่ในช่วง (0.3, 0.5)
ก. 3, 5 , 25 , ...

4 48

ข. 2, 4 , 8 , ...

39

ค. 4, 3, 9 , ...

4

ง. 5, 4, 16 , ...

5

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรื่อง ลาดับเรขาคณิต 9

4. กาหนดให้ a1, a2, a3 เป็นลาดบั เรขาคณิต โดยท่ี a1  2 และ a3  200
ถ้า a2 คอื ค่าในข้อใดข้อหนงึ่ ตอ่ ไปน้ี แล้วคา่ ดังกล่าวตรงกับขอ้ ใด
ก. 100
ข. 60
ค. 20
ง. 50

5. พจน์ที่ 16 ของลาดบั เรขาคณติ 1 , 1 , 1 , ... เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้

625 125 5 125

ก. 25 5
ข. 125
ค. 125 5
ง. 625

6. ลาดับเรขาคณิตลาดับหนึ่งมีผลบวกและผลคูณของ 3 พจน์แรกเป็น 13 และ 27 ตามลาดับ
ถา้ r เป็นอตั ราส่วนรว่ มของลาดบั น้ี แลว้ r  1 มีค่าเทา่ กับข้อใด

r

ก. 10

3

ข. 7

3

ค. 4

3

ง. 1

3

7. ลาดับเรขาคณติ 512,  256, 128, ..., 1 มีท้ังหมดก่ีพจน์
ก. 8
ข. 9
ค. 10
ง. 11

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรือ่ ง ลาดบั เรขาคณิต 10

8. ถ้าลาดับ 1, 2, 4, 8, ..., 1024 มี n พจน์ แล้วพจน์ท่ี 30 ของลาดับ 2n 1, 2n  3, 2n  7

ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 136
ข. 137
ค. 138
ง. 139

9. กาหนดให้ k เป็นจานวนจริงลบ ถ้าลาดับ k  2, k  6, 2k 3 เป็นลาดับเรขาคณิต แล้ว k

มคี ่าตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 14
ข. 3
ค. 3
ง. 14

10. ลาดบั ในขอ้ ใดต่อไปน้ี เป็นลาดับเรขาคณิต
ก. an  2n32n
ข. an  2n  4n

ค. an  3n2
ง. an  (2n)n

11. กาหนดให้ 3, 6, 12, ... เป็นลาดับเรขาคณิต ผลบวกของพจน์ที่ 8 และพจน์ที่ 10

เทา่ กับขอ้ ใด
ก. 2 6
ข. 8 6
ค. 16 6
ง. 24 6

12. ถ้าพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 8 ของลาดับเรขาคณิตเป็น 1 และ  1 ตามลาดับ แล้วพจน์ที่ 4

2 16

เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้
ก. 2
ข. 1
ค. 1
ง. 2

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรื่อง ลาดับเรขาคณิต 11

13. ถ้าสามพจน์แรกของลาดับเรขาคณิตคือ 2,  6 และ 18 ตามลาดับ แล้ว 162 เป็นพจน์ท่ี
เท่าไรของลาดับนี้
ก. 8
ข. 7
ค. 6
ง. 5

14. ถา้ 1, a, b, 64 เป็นพจน์สี่พจน์ที่เรยี งกนั ในลาดบั เลขคณติ แลว้ a  b มีค่าเป็นเทา่ ไร
ก. 11
ข. 12
ค. 13
ง. 14

15. ครอบครัวหนึ่งมบี ตุ ร 3 คน ไดแ้ ก่ หนูดี นายเก่ง และพี่มีสุข ซึ่งอายุ 10, 18 และ 30 ตามลาดับ
อยากทราบว่าอกี ก่ีปที ่ีอายุของ หนูดี นายเก่ง และพมี่ สี ขุ จะเรียงกนั เป็นลาดับเรขาคณิต
ก. 6
ข. 7
ค. 8
ง. 9

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่ือง ลาดบั เรขาคณิต 12

กระดาษคาตอบ

แบบทดสอบก่อนเรียน

เรอ่ื ง ลาดับเรขาคณิต

ชอื่ – นามสกุล…………………………………………………..…….………….……………เลขท…ี่ ….……….
ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 6/………… วันท…่ี …………เดอื น......................................พ.ศ...................

คาชแ้ี จง ให้ผู้เรยี นทาเครอ่ื งหมาย x ลงใน  ใตต้ วั อกั ษร ก ข ค และ ง

ท่ีเปน็ คาตอบทีถ่ กู ที่สุดเพยี งข้อเดยี ว

ข้อ ก ข ค ง คะแนน ก่อนเรยี น ผลการประเมิน
1 เต็ม 15
2 ได้
3
4 เกณฑก์ ารประเมิน
5 13 – 15 คะแนน ระดบั 4 ดเี ยีย่ ม
6 10 – 12 คะแนน ระดับ 3 ดี
7 7 – 9 คะแนน ระดบั 2 พอใช้ ผ่านเกณฑ์
8 0 – 6 คะแนน ระดับ 1 ปรบั ปรุง
9
10 ลงชอ่ื .................................................ผูต้ รวจ
11 (..........................................................)
12
13 วันท่ี............เดือน............................พ.ศ.............
14
15

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรื่อง ลาดบั เรขาคณิต 13

ใบความรู้ท่ี

3.1 ความหมายของลาดับเรขาคณติ ขั้นตอนที่ 1 Search : S

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ ผเู้ รียนสามารถ
1. บอกความหมายของลาดับเรขาคณติ ได้
2. ระบุลาดับทเ่ี ป็นลาดับเรขาคณติ ได้
3. หาพจน์ต่าง ๆ ของลาดบั เรขาคณิตได้

ผเู้ รยี นพรอ้ มแล้วหรอื ยงั ครับ

ถ้าพร้อมแลว้ เราเร่ิมเรียนร้กู ับ
ความหมายของลาดบั เรขาคณิตกนั เลยนะ

ให้ผู้เรยี นพิจารณาสถานการณต์ อ่ ไปนี้
การขยายพันธุ์ของแบคทีเรียที่มีการแบ่งตัวจากหน่ึงตัวเป็นสองตัวทุก ๆ หนึ่งวินาที เร่ิมต้น
ดว้ ยแบคทีเรีย 1 ตวั ดงั ตารางตอ่ ไปนี้

วินาทีท่ี 123456…

จานวนแบคทเี รีย (ตวั ) 2 4 8 16 32 64 …

ผู้เรียนทราบหรือไมว่ ่า วนิ าทีท่ี 7 จานวนแบคทีเรียจะเพ่มิ ขึ้นเป็นเท่าไร

ถ้าผู้เรียนสังเกตใหด้ ีแล้วจะพบว่า หากนาพจน์หลังหารด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน ผลที่ได้จะมี
ค่าคงตัวเสมอ ซึ่งเท่ากับ 2 ดังนั้นพจน์ถัดจาก 64 ก็คือ 128 แสดงว่าวินาทีท่ี 7 จานวนแบคทีเรีย
จะเพิม่ ขึน้ เป็น 128 หรืออาจกล่าวได้วา่ พจน์ที่ 7 ของลาดบั ดงั กล่าวเท่ากับ 128

2 4 8 16 32 64

4  2 8  2 16  2 32  2 64  2
2 4 8 16 32

สรปุ ความสมั พันธร์ ะหว่างพจนข์ องลาดบั ดังกลา่ ว จะมลี กั ษณะดงั นี้
“อตั ราสว่ นของพจนห์ ลงั ตอ่ พจน์หน้าทีอ่ ยตู่ ิดกนั มีค่าเท่ากับ 2 โดยตลอด”

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรื่อง ลาดับเรขาคณิต 14

ในทานองเดียวกนั ให้ผู้เรียนพิจารณาลาดับต่อไปน้ี

27, 9, 3, 1, ...

จะพบว่า “อตั ราส่วนของพจน์หลังตอ่ พจนห์ นา้ ที่อยูต่ ดิ กัน มคี า่ เท่ากันโดยตลอด”
กล่าวคอื

พจนห์ ลัง ÷ พจน์หนา้ มคี า่ คงตัว ซึ่งเท่ากบั 1

3

ลาดับที่มเี งือ่ นไขท่ีกล่าวว่า
“อตั ราส่วนของพจน์หลังต่อพจนห์ น้าที่อยู่ติดกัน มีค่าคงตัว ซ่ึงเทา่ กนั โดยตลอด”
ลาดบั ดงั กลา่ วเรียกว่า ลาดับเรขาคณิต ซึง่ เขียนแทนดว้ ยบทนยิ าม ดังนี้

บทนิยาม

กาหนดให้ a1, a2, a3, ... เป็นลาดับที่มีผลหารท่ีได้จากการนาพจน์ที่ n 1 หารด้วย
พจน์ที่ n ทุกจานวนเต็มบวก n มีค่าคงตัวเสมอ ลาดับดังกล่าวนี้จะเรียกว่า ลาดับเรขาคณิต
(Geometric sequence) และเรียกผลหารทีม่ คี ่าคงตวั วา่ อตั ราส่วนร่วม (Common ratio)

จากบทนิยามข้างต้น จะไดว้ า่ “ลาดบั เรขาคณติ คอื ลาดับท่ี an1 มคี า่ คงตัวเสมอ”

an

และเรยี กค่าคงตัวน้วี ่า “อตั ราสว่ นร่วม” ซง่ึ เขียนแทนด้วย “ r ” ฉะน้นั จากนยิ ามจะได้

a1, a2 a3 a4 ...

จะไดว้ ่า a2  r a3  r a4  r ทกุ จานวนเตม็ บวก n
กล่าวคอื a1 a2 a3
an1  r an1  anr
an หรือ

พจน์ขวามือ = พจนซ์ า้ ยมือ X อัตราส่วนรว่ ม

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรือ่ ง ลาดบั เรขาคณิต 15

ถา้ กาหนดให้ r เป็นอัตราส่วนร่วม และ a1 เป็นพจน์แรก แล้ว เราสามารถเขียนพจน์อ่ืน ๆ
ของลาดับเรขาคณิตในรปู ของ a1 และ r ได้ดังน้ี
จาก an1  anr
จะได้ a2  a1r

a3  a2r  (a1r)r  a1r 2
a4  a3r  (a1r 2 )r  a1r3

ดงั น้ัน ลาดับเรขาคณติ ทใ่ี นรูปของ a1 และ r เป็นดงั นี้

a1, a1r, a1r 2, a1r3, ...

ตัวอยา่ งท่ี 1
1. 1, 2, 4, 8, 16, ...
ลาดับ 1, 2, 4, 8, 16, ... เป็นลาดับเรขาคณติ ที่มี 2 เป็นอตั ราส่วนรว่ ม
เพราะ อัตราสว่ นของพจน์หลงั ตอ่ พจน์หน้าทีอ่ ยตู่ ิดกันมีค่าคงตวั กลา่ วคอื

2  4  8  16  2
124 8

2. 1, 5,  25, 125,  625, ...
ลาดับ 1, 5,  25, 125,  625, ... เป็นลาดับเรขาคณติ ท่มี ี 5 เป็นอัตราส่วนร่วม
เพราะ อตั ราส่วนของพจนห์ ลงั ตอ่ พจนห์ นา้ ที่อย่ตู ดิ กนั มีค่าคงตวั กล่าวคือ

5  25  125  625  5
1 5 25 125

3. 256,  64, 16,  4, 1, ...
ลาดับ 256,  64, 16,  4, 1, ... เป็นลาดบั เรขาคณิตทีม่ ี 1 เป็นอัตราส่วนรว่ ม

4

เพราะ อตั ราส่วนของพจนห์ ลงั ตอ่ พจน์หนา้ ทีอ่ ยู่ตดิ กนั มีค่าคงตัว กล่าวคอื

64  16  4  1
256 64 16 4

ข้อสังเกตเก่ียวกับอตั ราส่วนร่วม
1. จากตัวอย่างท่ี 1 ข้อ 1 และข้อ 3 พบว่า r  0 และพจน์ทุกพจน์ในลาดับเป็นจานวนที่มี

เคร่อื งหมายเหมือนกนั หมด
2. จากตัวอย่างที่ 1 ข้อ 2 พบว่า r  0 และพจน์ทุกพจน์ในลาดับเป็นจานวนบวกและ

จานวนลบสลบั กนั ซ่ึงเรยี กวา่ ลาดับสลับ

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอื่ ง ลาดบั เรขาคณิต 16

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงตรวจสอบวา่ ลาดบั 1 , 1 , 1 , 1 เป็นลาดับเรขาคณติ หรือไม่
วิธีทา
2 22 4 42

ถา้ เป็นให้หาอัตราส่วนรว่ ม

จากลาดับ 1 , 1 , 1 , 1 จะไดว้ า่

2 22 4 42

a1  1 , a2  1 , a3  1 , a4  1
2 22 4 42

และ a2  a3  a4  1

a1 a2 a3 2

ดังนัน้ ลาดบั 5, 5, 5, 5, 5 เป็นลาดบั เรขาคณติ และมี 1 เป็นอตั ราสว่ นรว่ ม

2

ตวั อย่างท่ี 3 จงตรวจสอบว่า ลาดับ 2, 6, 18, 36, 72 เป็นลาดับเรขาคณิตหรือไม่
วิธีทา
ถา้ เป็นใหห้ าอตั ราส่วนรว่ ม
จากลาดับ 2, 6, 18, 36, 72 จะไดว้ ่า

a1  2, a2  6, a3  18, a4  36, a5  72

และ a2  a3  3 แต่ a4  a5  2
a1 a2 a3 a4

ฉะน้นั อัตราส่วนรว่ มไม่เท่ากัน

ดงั นัน้ ลาดบั 2, 6, 18, 36, 72 ไม่เปน็ ลาดบั เรขาคณิต

ตัวอยา่ งท่ี 4 ให้เติมคาตอบลงในชอ่ งวา่ งแตล่ ะข้อให้ถูกต้องสมบูรณ์ และทาเครื่องหมาย  ระบุ
ว่าเป็นลาดบั เรขาคณิตหรือไม่

ข้อท่ี ลาดบั a2 a3 a4 ลาดบั เรขาคณติ
1 5, 10, 20, 40, ... a1 a2 a3 เป็น ไมเ่ ปน็
2 3, 6, 12, 36, ...
3 81, 9, 3, 1, ... 10  2 20  2 40  2 
4 8, 0.8, 0.08, 0.008, ... 5 10 20
6  2 12  2
3 6 36  3 
9 1 31 12
81 9 93
0.8  0.1 0.08  0.1 1
8 0.8
3

0.008  0.1 

0.08

จากตวั อย่างท่ี 4 จะพบวา่ ขอ้ 1 และขอ้ 4 มอี ตั ราสว่ นรว่ มเทา่ กัน จึงเปน็ ลาดับเรขาคณิต
สว่ นขอ้ 2 และขอ้ 3 มีอัตราส่วนไมเ่ ทา่ กนั จงึ ไมเ่ ปน็ ลาดับเรขาคณติ

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอ่ื ง ลาดับเรขาคณิต 17

ตวั อย่างท่ี 5 จงหาสี่พจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิต เมอ่ื กาหนดพจนแ์ รกเทา่ กบั 2
วธิ ที า
3
ตัวอยา่ งท่ี 6
วิธีทา และอตั ราสว่ นร่วมเทา่ กบั 3

โจทย์กาหนดลาดับเลขคณติ ที่มี a1  2 และ d 3
3

เนอ่ื งจาก an1  anr

จะได้ a2  a1r  2 3  2
3

a3  a2r  23  6

a4  a3r  63  18

ดังนัน้ ส่ีพจน์แรกของลาดับเรขาคณิตน้ี คือ 2 , 2, 6, 18

3

จงหาสามพจน์ถดั ไปของลาดบั เรขาคณติ 256,  64, 16,  4, 1, ...

จากโจทย์ จะไดว้ ่า r  1   1
4 4

เน่ืองจาก an1  anr

จะได้ a5  a4r  1 ( 1)   1
4 4

a6  a5r  ( 1 )( 1)  1
4 4 16

a7  a6r  ( 1 )( 1)   1
16 4 64

ดังน้นั สามพจน์ถัดไปของลาดับเรขาคณิตนี้ คือ  1 , 1 ,  1

4 16 64

เมื่อผเู้ รียนเขา้ ใจดแี ล้ว

เราไปทาแบบฝกึ ทักษะกันเลยนะ

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรอ่ื ง ลาดับเรขาคณิต 18

แบบฝกึ ทักษะที่ 3.1.1 ขั้นตอนที่ 2 Solve : S

จุดประสงค์ท่ี 1 ผู้เรียนสามารถบอกความหมายของลาดับเรขาคณติ ได้
คาชี้แจง ใหผ้ ู้เรียนเติมข้อความในชอ่ งว่างใหถ้ ูกต้องสมบูรณ์

1. ลาดบั เรขาคณิต คอื ลาดบั ทม่ี ีผลหารทไี่ ดจ้ ากการนาพจนท์ ่ี................หารดว้ ยพจนท์ ่ี..............
แล้วมคี ่าคงตวั เสมอ และเรียกผลหารทมี่ ีคา่ คงตวั ว่า..............................................

2. อัตราส่วนของพจนห์ ลงั ต่อพจนห์ น้าที่อยู่ติดกันมีค่าคงตัวเสมอ เรียกอัตราส่วนที่มีค่าคงตัวว่า
.........................................และเรียกลาดับนเ้ี รียกวา่ ..............................................

3. ให้ผู้เรียนยกตวั อยา่ งลาดบั ทเ่ี ปน็ ลาดบั เรขาคณิตท่ีมอี ตั ราสว่ นรว่ มเป็นจานวนบวก มา 3 ข้อ
และลาดบั เรขาคณติ ทีม่ อี ตั ราสว่ นร่วมเปน็ จานวนลบ มา 2 ขอ้
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน
ขอ้ 1 ตอบได้ถูกต้องให้ 3 คะแนน
ขอ้ 2 ตอบได้ถูกต้องให้ 2 คะแนน
ข้อ 3 ตอบได้ถกู ต้องให้ 5 คะแนน
ถ้าผู้เรยี นทาได้ไม่ถึง 8 คะแนน

ให้ผู้เรียนกลบั ไปศึกษาใบความรทู้ ี่ 3.1 อีกครั้ง

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เร่ือง ลาดับเรขาคณิต 19

แบบฝกึ ทักษะท่ี 3.1.2 ขั้นตอนที่ 2 Solve : S

จดุ ประสงค์ท่ี 2 ผู้เรยี นสามารถระบลุ าดับที่เป็นลาดับเรขาคณิตได้
คาชี้แจง ใหผ้ ู้เรียนเติมข้อความในช่องว่างใหถ้ กู ต้องสมบูรณ์

1. ให้ผู้เรยี นเติมคาตอบลงในช่องวา่ งแตล่ ะข้อใหถ้ ูกต้องสมบรู ณ์ และทาเครื่องหมาย  ระบุว่า
เป็นลาดบั เรขาคณิตหรือไม่

ข้อท่ี ลาดบั a2 a3 a4 ลาดบั เรขาคณิต
1 1, 3, 9, 27, ... a1 a2 a3 เป็น ไมเ่ ปน็

2 16, 8, 2, 1 , ...

2

3 6, 12, 24,  48, ...

4 120, 60, 30, 15, ...

5 75, 15, 3, 3 , ...

5

6 8, 16, 24, 32, ...

7 1 , 1 , 1 , 1 , ...

2468

8 5, 4, 3, 2, ...

9 9, 6,  3, 0, ...

10 2 , 4 , 8 , 16 , ...

333 3

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรอื่ ง ลาดบั เรขาคณิต 20

2. ให้ผู้เรยี นหาอตั ราส่วนรว่ ม ( r ) และพจิ ารณาวา่ เป็นลาดบั เรขาคณิตหรือไม่ โดยทา
เคร่อื งหมาย  ในชอ่ งว่างให้สมบูรณ์

ข้อที่ ลาดบั อัตราสว่ นร่วม ( r ) ลาดับเรขาคณิต
1 4, 8, 16, 32, ..., 2n1, ... เปน็ ไมเ่ ปน็

2 3, 5, 7, ..., 2n 1, ...

3 6, 16, 26, ..., 10n  4, ...

4 5, 10, 20, 40, ..., 5(2n1), ...

5 1 , 1 , 1 , ..., 1 , ... เมือ่ x  0
x x2 x3 xn

6  1 , 3 ,  9 , 27 , ...

22 2 2

7 2 , 4 , 8 , 16 , ...

1 5 25 125

8 7, 14, 21, 28, ...

9 360, 90, 30, 15, ...

10 10, 5, 5 , 5 , ...

24

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ขอ้ ละ 1 คะแนน คะแนนเตม็ 20 คะแนน
ถา้ ผู้เรียนทาได้ไม่ถงึ 16 คะแนน ให้ผู้เรียนกลบั ไปศึกษาใบความร้ทู ี่ 3.1 อีกครง้ั

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรอื่ ง ลาดบั เรขาคณิต 21

แบบฝึกทักษะที่ 3.1.3 ขั้นตอนที่ 2 Solve : S

จุดประสงค์ท่ี 3 ผู้เรียนสามารถหาพจน์ตา่ ง ๆ ของลาดบั เรขาคณิตได้

คาชี้แจง ใหผ้ ู้เรียนตอบคาถามตามท่โี จทย์กาหนดให้ในแตล่ ะตอ่ ไปนี้ใหถ้ กู ต้อง

1. จงหาสีพ่ จนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิตต่อไปน้ี
1) เมอ่ื กาหนดพจน์แรกเท่ากบั 4 และอัตราสว่ นรว่ มเทา่ กบั 3
……………………………………………………………………………………………………………………………

2) เมอ่ื กาหนดพจน์แรกเทา่ กบั 75 และอัตราส่วนรว่ มเทา่ กบั 1

3

……………………………………………………………………………………………………………………………
3) เมอ่ื กาหนดพจนแ์ รกเทา่ กับ 8 และอตั ราส่วนรว่ มเทา่ กับ 1

……………………………………………………………………………………………………………………………
4) เม่อื กาหนดให้ a1  5 และ r  2

……………………………………………………………………………………………………………………………
5) เม่อื กาหนดให้ a1  0.1 และ r  0.2

……………………………………………………………………………………………………………………………
2. จงเขยี นส่ีพจน์ถัดไปของลาดับเรขาคณติ ท่ีกาหนดให้ต่อไปน้ี

1) 1, 7, 49, 343, ...
……………………………………………………………………………………………………………………………

2) 1, 2,  4, 8, ...
……………………………………………………………………………………………………………………………

3) 3, 1, 1 , 1 , ...

39

……………………………………………………………………………………………………………………………
4) 10, 5, 5 , 5 , ...

24

……………………………………………………………………………………………………………………………
5)  1 , 3 ,  9 , 27 , ...

22 2 2

……………………………………………………………………………………………………………………………

เกณฑก์ ารให้คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน คะแนนเตม็ 20 คะแนน

ถา้ ผู้เรยี นทาไดไ้ ม่ถงึ 16 คะแนน ใหผ้ ู้เรยี นกลบั ไปศึกษาใบความรทู้ ี่ 3.1 อีกคร้ัง

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรอ่ื ง ลาดบั เรขาคณิต 22

ใบสรปุ ความร้ทู ี่ 3.1 ขั้นตอนที่ 3 Create : C

คาชี้แจง ใหผ้ ู้เรียนเรียบเรียงและบนั ทกึ ความรู้ของผ้เู รียนท่ไี ดจ้ ากการศกึ ษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝกึ ทักษะท่ี 3.1.1 – 3.1.3 โดยใช้ภาษาท่ีงา่ ยตอ่ การเขา้ ใจ

ใบสรปุ ความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรื่อง ลาดับเรขาคณิต 23

3.1ใบแลกเปลี่ยนเรียนรู้ท่ี ขั้นตอนท่ี 4 Share : S

คาชีแ้ จง ให้ผ้เู รียนแต่ละคนแลกเปลยี่ นความรู้ของตนจากการทาแบบฝกึ ทกั ษะ โดยครูจะ
สมุ่ ผู้เรียนออกมานาเสนอการสรปุ ความรหู้ รือแนวคิดและวิธกี ารในการทากิจกรรม

ใบสรปุ ความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรือ่ ง ลาดับเรขาคณิต 24

ใบความรู้ท่ี

3.2 พจนท์ ่ัวไปของลาดบั เรขาคณติ ขั้นตอนที่ 1 Search : S

จุดประสงคท์ ่ี 4 ผู้เรียนสามารถหาพจน์ท่ัวไปของลาดับเรขาคณติ ได้

ให้ผู้เรียนพจิ ารณาการหาพจนท์ วั่ ไปของลาดับเรขาคณิตต่อไปนี้

2, 6, 18, 54, 162, ...

ให้ a1  2

a2  6  2(3)
a3  18  6(3)  2(32 )
a4  54  18(3)  2(33)
a5  162  54(3)  2(34 )

จะได้ an  2(3n1)

ข้อสงั เกต การหาพจน์ทั่วไป หรือพจน์ท่ี n ( an ) ของลาดับเรขาคณิต
สามารถทาไดโ้ ดยการคณู พจน์ทห่ี น่ึง ด้วยอตั ราสว่ นร่วม ( r ) ในแตล่ ะคร้งั

ในกรณีท่ัวไปถ้า a1, a2, a3, ..., an, ... เป็นลาดับเรขาคณิต และมี r เป็นอัตราส่วนร่วม
แล้ว พจน์ท่ัวไป หรือพจนท์ ่ี n ของลาดับเรขาคณติ หาได้ดงั น้ี

ให้ a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนร่วม จะเขียนพจน์อ่ืน ๆ ของลาดับเรขาคณิตใน
รูปของ a1 และ r ไดด้ ังน้ี

a2  a1r
a3  a2r  (a1r)r  a1r 2
a4  a3r  (a1r 2 )  a1r 3

an  an1r  (a1r n2 )r  a1r n1

ดงั น้ัน พจนท์ ว่ั ไปหรือพจน์ที่ n ของลาดับเรขาคณิต

an  a1r n1

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่อื ง ลาดบั เรขาคณิต 25

สรปุ ถ้า a1 เปน็ พจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนรว่ มของลาดับเรขาคณติ แล้ว
พจน์ทั่วไป หรอื พจนท์ ่ี n ของลาดบั เรขาคณิต หาไดจ้ ากสูตร

an  a1r n1

ขอ้ สงั เกต

an  a1r n1

n มคี า่ มากกว่า n 1 อยู่ 1 เสมอ

จากลักษณะของพจน์ที่ n ดังกล่าว เราสามารถหาพจน์ต่าง ๆ ของลาดับเรขาคณิตได้ทันที
เช่น หาพจน์ที่ 9 เราก็แทน n ด้วย 9 หาพจน์ท่ี 88 เราก็แทน n ด้วย 88 เปน็ ตน้

ตวั อย่างท่ี 1 จงเขียนสามพจนถ์ ัดไปของลาดบั เรขาคณติ 2, 6, 18, 54, ...
วธิ ที า
จากลาดบั เรขาคณิต 2, 6, 18, 54, ...

จะได้ a1  2 และ r  6 3
2

จากสตู ร an  a1r n1
จะได้ a5  a1r 4  2(34 )  162

a6  a1r5  2(35)  486

a7  a1r6  2(36 )  1458

ดงั นน้ั สามพจนถ์ ัดไปของลาดบั เรขาคณติ นี้ คอื 162, 486, 1458

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาพจนท์ ี่ 5 ของลาดับเรขาคณิต 4, 20, 100, ...
วธิ ีทา
จากลาดับเรขาคณติ 4, 20, 100, ...

จะได้ a1  4, r  20 5 และ n5
4

จากสตู ร an  a1r n1
จะได้ a5  a1r 4

 4(54 )  2500

ดังน้ัน พจนท์ ี่ 5 ของลาดับน้ี คือ 2500

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรื่อง ลาดับเรขาคณิต 26

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดบั เรขาคณติ 4, 8, 16, 32, ...
วธิ ที า
จากลาดับเรขาคณิต 4, 8, 16, 32, ...
ตวั อย่างท่ี 4
วธิ ที า จะได้ a1  4 และ r  8  2
4
จากสูตร
จะได้ an  a1r n1

an  4(2n1)

 22 (2n1)

 2n1

ดังนน้ั พจน์ทั่วไปของลาดบั เรขาคณิตน้ี คอื an  2n1

จงหาพจนท์ ั่วไปของลาดบั เรขาคณติ 64, 32, 16, 8, ...

จากลาดับเรขาคณิต 64, 32, 16, 8, ...

จะได้ a1  64 และ r  32  1
จากสตู ร 64 2
จะได้
an  a1r n1

an  64   1 n1
 2 

an  64   1  n 1  26   1  n 1
 2   2 

 (1)n1(27n )

ดังนนั้ พจนท์ ั่วไปของลาดบั เรขาคณิตนี้ คอื an  (1)n1(27n)

ตวั อย่างท่ี 5 จงหาพจน์แรกของลาดบั เรขาคณติ ทมี่ ี 32 เปน็ พจนท์ ี่หา้ และ 2 เปน็ อตั ราส่วนร่วม
วิธีทา 2

จากสตู ร an  a1r n1

และ a5  32 และ r2
2

จะได้ a5  a1r4

32  a1(24 )
2

a1  32 1
2 16

2
3

ดงั นัน้ พจน์แรกของลาดับเรขาคณติ น้ี คือ 2

3

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรื่อง ลาดับเรขาคณิต 27

ตัวอยา่ งท่ี 6 จงหาพจน์ทว่ั ไปของลาดับเรขาคณิตทีม่ พี จน์ที่ 3 เป็น 12 และพจน์ท่ี 6 เปน็ 96
วธิ ที า
จากสูตร an  a1r n1

และ a3  12 และ a6  96

จะได้ a3  a1r 2 หรอื 12  a1r 2 (1)
96  a1r5 (2)
และ a6  a1r5 หรอื

นา (2)  (1) จะได้ r3  8

r2

แทน r  2 ใน (1) จะได้

12  a1(22 )

a1  3

และจาก an  a1r n1

จะได้ an  3(2n1)

ดังนน้ั พจน์ทวั่ ไปของลาดบั เลขคณิตน้ี คอื an  3(2n1)

จากตัวอยา่ งที่ 6 พบว่า

ถ้าโจทย์กาหนดลาดับเรขาคณิตมาให้ 2 พจน์ แล้ว ถามหาพจน์ท่ี 1 ( a1)
ผลต่างรว่ ม ( d ) หรือพจนท์ ี่ n ของลาดบั เรขาคณิต มีหลักการดังนี้

1. ใช้สูตร an  a1rn1 สร้างสมการขึ้นมา 2 สมการ จากนั้นแก้ระบบสมการ
หาคา่ r และ a1

2. ต่อไปจะหาค่าของพจน์ท่ี n ท่ตี ้องการได้จากสตู ร an  a1rn1

เมือ่ ผ้เู รยี นเข้าใจดแี ล้ว
เราไปทาแบบฝกึ ทักษะกันเลยนะ

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอ่ื ง ลาดบั เรขาคณิต 28

แบบฝึกทักษะท่ี 3.2.1 ข้ันตอนที่ 2 Solve : S

จดุ ประสงค์ท่ี 3 ผู้เรยี นสามารถหาพจน์ตา่ ง ๆ ของลาดับเรขาคณิตได้
คาชี้แจง ให้ผู้เรียนตอบคาถามตามท่โี จทย์กาหนดให้ในแต่ละตอ่ ไปน้ีใหถ้ กู ต้อง

1. ให้ผู้เรียนเขยี นสพ่ี จนแ์ รกของลาดบั เรขาคณติ ตามสง่ิ ท่โี จทยก์ าหนดให้ต่อไปนี้

1) a1  3 และ r  4
……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

2) a1  4 และ r  2
……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

3) a1  0.5 และ r  4
……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

4) a1  1 และ r  1
2 2

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

5) a1  5 และ r  2
……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรือ่ ง ลาดับเรขาคณิต 29

2. ให้ผู้เรยี นหาพจนข์ องลาดับเรขาคณติ ทกี่ าหนดให้ในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี

1) หา a3 เม่อื a1  4 และ r  3
……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

2) หา a5 เม่ือ a1  4 และ r  5
……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

3) หา a9 เมอื่ a1  5 และ r  2
……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

4) หา a11 เม่อื a1 4 และ r  1
2

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

5) หา a15 เม่อื a1   1 และ r  2
2

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน

เขียนหรือแสดงวธิ ที าไดถ้ ูกตอ้ งให้ 1 คะแนน และคาตอบถูกต้องให้ 1 คะแนน
ถา้ ผเู้ รียนทาได้ไม่ถึง 16 คะแนน ให้ผเู้ รียนกลบั ไปศึกษาใบความรทู้ ี่ 3.2 อกี ครั้ง

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรอื่ ง ลาดับเรขาคณิต 30

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3.2.2 ข้ันตอนท่ี 2 Solve : S

จดุ ประสงค์ท่ี 4 ผู้เรยี นสามารถหาพจน์ท่ัวไปของลาดับเรขาคณิตได้

คาชี้แจง ใหผ้ ู้เรยี นเขียนแสดงวิธหี าพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณติ ตอ่ ไปน้ี

1. จงหาพจน์ท่ี n ของลาดับเรขาคณิตตอ่ ไปนี้
1) 1, 3, 9, ...
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
2) 25, 5, 1, ...
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
3) 2, 4, 8, ...
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
4) 8,  0.8,  0.08,  0.008, ...
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
5) 2, 2 3, 6, ...
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรือ่ ง ลาดับเรขาคณิต 31

2. จงหาพจน์ทั่วไปของลาดบั เรขาคณติ ทม่ี พี จน์แรกเป็น 3 และพจน์ที่ 3 เป็น 1

3

………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. จงหาพจน์ท่ัวไปของลาดบั เรขาคณติ ที่มพี จน์ที่ 2 เป็น 8 และพจน์ท่ี 5 เปน็ 64

3 81

………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรื่อง ลาดับเรขาคณิต 32

4. จงหา an , r และ a8 ของลาดบั เรขาคณิตทม่ี ีพจน์ท่ี 5 เป็น 1 และพจน์ที่ 10 เป็น 1
16 512

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 20 คะแนน

ขอ้ 1 ขอ้ ละ 2 คะแนน เขียนหรือแสดงวธิ ที าไดถ้ กู ต้องให้ 1 คะแนน และคาตอบถูกต้องให้ 1 คะแนน
ข้อ 2-3 ขอ้ ละ 3 คะแนน เขยี นหรอื แสดงวิธที าได้ถกู ต้องให้ 2 คะแนน และคาตอบถกู ต้องให้ 1 คะแนน
ขอ้ 4 ข้อละ 4 คะแนน เขียนหรอื แสดงวิธีทาไดถ้ กู ต้องให้ 2 คะแนน และคาตอบถกู ต้องให้ 2 คะแนน

ถ้าผู้เรยี นทาไดไ้ มถ่ งึ 16 คะแนน ใหผ้ ู้เรยี นกลับไปศกึ ษาใบความรู้ท่ี 2.2 อีกคร้ัง

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เร่ือง ลาดบั เรขาคณิต 33

ใบสรุปความรู้ท่ี 3.2 ข้ันตอนท่ี 3 Create : C

คาชี้แจง ใหผ้ ู้เรยี นเรยี บเรียงและบันทกึ ความรู้ของผ้เู รยี นท่ไี ด้จากการศกึ ษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝึกทักษะท่ี 3.2.1 – 3.2.2 โดยใช้ภาษาที่งา่ ยต่อการเขา้ ใจ

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรอ่ื ง ลาดบั เรขาคณิต 34

3.2ใบแลกเปลยี่ นเรยี นรู้ที่ ข้ันตอนที่ 4 Share : S

คาชีแ้ จง ให้ผ้เู รยี นแต่ละคนแลกเปลี่ยนความรขู้ องตนจากการทาแบบฝกึ ทกั ษะ โดยครจู ะ
สมุ่ ผู้เรียนออกมานาเสนอการสรุปความร้หู รือแนวคิดและวิธีการในการทากิจกรรม

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เร่ือง ลาดบั เรขาคณิต 35

ใบความรู้ท่ี

3.3 จานวนพจน์ของลาดับเรขาคณิต ขั้นตอนท่ี 1 Search : S

จดุ ประสงคท์ ่ี 5 ผ้เู รยี นสามารถหาจานวนพจน์ของลาดบั เรขาคณติ ได้

ผเู้ รยี นพร้อมแล้วหรอื ยังครบั

ถ้าพร้อมแลว้ เราเร่ิมเรยี นรูก้ ับ
การหาจานวนพจนข์ องลาดบั เรขาคณิตกันเลยนะ

ให้ผู้เรยี นพจิ ารณาการหาจานวนพจนข์ องลาดบั เรขาคณิตตอ่ ไปน้ี

1, 2, 4, 8, ..., 1024

จากลาดบั ท่ีกาหนดให้ พบว่า a1  1, r  2 2 และให้ an  1024
1

จากสตู ร an  a1r n1

จะได้ 1024  2n1

210  2n1

n 1  10

n  11

ดงั นัน้ ลาดบั นีม้ จี านวน 11 พจน์

ในการหาจานวนพจน์ของลาดับเรขาคณิตข้างต้น สามารถหาได้โดยใช้สูตร an  a1rn1 ซ่ึง
เราแก้สมการที่อยู่ในรูปของเลขยกกาลังเพ่ือหาค่า n โดยท่ีเราต้องทราบค่าของพจน์แรก ( a1)
อัตราส่วนร่วม ( r ) และพจนท์ ี่ n ( an ) กอ่ นเสมอ

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 3 เร่อื ง ลาดับเรขาคณิต 36

สรุป การหาจานวนพจน์ของลาดับเรขาคณติ ข้างต้น สามารถหาไดด้ ว้ ยสตู รดงั นี้

an  a1r n1

โดยการแก้สมการหาคา่ n ซง่ึ เราจาเป็นตอ้ งทราบค่าต่อไปน้ีก่อนเสมอ
1. พจนแ์ รก ( a1)
2. อตั ราส่วนรว่ ม ( r ) และ
3. พจนท์ ี่ n ( an )

“เรามาฝึกหาจานวนพจนข์ องลาดบั เรขาคณิตกนั เลยดีกว่า”

ตวั อย่างท่ี 1 กาหนดลาดับเรขาคณติ 3, 6, 12, 9, ..., 6144 จงหาวา่ ลาดบั นี้มีกีพ่ จน์
วธิ ีทา
จากโจทย์พบว่า a1  3, r  6  2 และให้ an  6144
3

จากสตู ร an  a1r n1

จะได้ 6144  3(2n1)

2048  2n1

211  2n1

n 1  11

n  12

ดังน้นั ลาดบั น้ีมี 12 พจน์

ตวั อย่างท่ี 2 กาหนดลาดบั เรขาคณติ 10, 5, 5 ,  5 , ...,  5 จงหาว่าลาดบั นี้มกี พ่ี จน์
วิธที า 24 64

จากโจทย์พบว่า a1  10, r  5   1 และให้ an   5
10 2 64

จากสูตร an  a1r n1

จะได้  5  10   1 n1
64  2 

 1    1  n 1
128  2 

  1 7    1  n 1
 2   2 

n 1 7

n8

ดงั น้ัน ลาดับนีม้ ี 8 พจน์

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เร่อื ง ลาดบั เรขาคณิต 37

ตัวอยา่ งท่ี 3 162 เปน็ พจน์ทเี่ ทา่ ใดของลาดบั เรขาคณิต 2,  6, 18, ...
วธิ ที า
จากโจทย์พบว่า a1  2, r  6  3 และให้ an  162
2

จากสตู ร an  a1r n1

จะได้ 162  2(3)n1

81  (3)n1

(3)4  (3)n1

n 1 4

n5

ดังน้ัน 162 เป็นพจนท์ ่ี 5 ของลาดบั น้ี

ตัวอยา่ งท่ี 4 พจนท์ ่ีเท่าใดของลาดบั เรขาคณติ 5 , 5 , 5 , ... มีค่าเท่ากับ 135
วิธีทา
243 81 27

5

จากโจทย์พบว่า a1  5 , r  81 3 และให้ an  135
243 5

จากสูตร 243
จะได้ an  a1r n1
135  5 (3n1)

243
6561  3n1

38  3n1

n 1 8

n9

ดงั นน้ั พจน์ท่ีมีคา่ เทา่ กับ 135 คอื พจนท์ ี่ 9

เม่อื ผ้เู รียนเขา้ ใจดแี ล้ว
เราไปทาแบบฝกึ ทักษะกันเลยนะ

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เรื่อง ลาดับเรขาคณิต 38

แบบฝกึ ทักษะที่ 3.3 ขั้นตอนที่ 2 Solve : S

จุดประสงคท์ ่ี 5 ผู้เรยี นสามารถหาจานวนพจนข์ องลาดับเรขาคณิตได้
คาชี้แจง ใหผ้ ้เู รียนเขียนแสดงวธิ กี ารหาจานวนพจนข์ องลาดับเรขาคณิตในแต่ละต่อไปนี้

1. กาหนดลาดบั เรขาคณิต 1, 4, 16, ..., 4096 จงหาว่าลาดบั น้ีมกี ีพ่ จน์
วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. กาหนดลาดับเรขาคณติ 1 ,  1 , 1 , ...,  256 จงหาว่าลาดับนีม้ กี ่ีพจน์

8 42

วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. ลาดับ 6,  3, 3 ,  3 ...,  3 มีกีพ่ จน์

2 4 256

วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรื่อง ลาดับเรขาคณิต 39

4. 2048 เปน็ พจน์ทเ่ี ทา่ ใดของลาดบั เรขาคณติ 8, 16, 32, ...

วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
5. 1280 เป็นพจน์ที่เท่าใดของลาดับเรขาคณิตท่ีมีพจน์ท่ี 3 และพจน์ที่ 6 เท่ากับ 20 และ
160 ตามลาดับ
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเตม็ 10 คะแนน

แสดงวิธที าได้ถูกต้องให้ 1 คะแนน และคาตอบถกู ต้องให้ 1 คะแนน
ถ้าผู้เรียนทาได้ไม่ถึง 8 คะแนน ให้ผู้เรยี นกลับไปศึกษาใบความรทู้ ่ี 3.3 อกี ครั้ง

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรอ่ื ง ลาดับเรขาคณิต 40

ใบสรุปความรู้ท่ี 3.3 ข้ันตอนที่ 3 Create : C

คาชีแ้ จง ใหผ้ ้เู รยี นเรียบเรียงและบนั ทึกความรู้ของผ้เู รียนท่ีได้จากการศกึ ษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝกึ ทักษะที่ 3.3 โดยใช้ภาษาท่งี า่ ยต่อการเขา้ ใจ

ใบสรปุ ความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เรือ่ ง ลาดบั เรขาคณิต 41

3.3ใบแลกเปล่ยี นเรยี นรทู้ ี่ ข้ันตอนที่ 4 Share : S

คาชี้แจง ให้ผ้เู รยี นแต่ละคนแลกเปลยี่ นความรขู้ องตนจากการทาแบบฝกึ ทกั ษะ โดยครูจะ
สมุ่ ผู้เรยี นออกมานาเสนอการสรุปความรหู้ รือแนวคิดและวธิ กี ารในการทากจิ กรรม

ใบสรปุ ความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เร่อื ง ลาดับเรขาคณิต 42

ใบความรู้ท่ี

3.4 โจทยป์ ัญหาเก่ียวกับลาดับเรขาคณิต ข้ันตอนที่ 1 Search : S

จุดประสงคท์ ่ี 6 ผเู้ รยี นสามารถนาความรู้เรือ่ งลาดับเรขาคณิตมาประยกุ ต์ใช้
ในการแกโ้ จทยป์ ัญหาได้

ในชีวิตประจาวัน เราสามารถนาความรู้เก่ียวกับลาดับเรขาคณิตไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหา
คณิตศาสตร์ และศาสตร์สาขาอื่น ๆ ได้มากมาย และการแก้โจทย์ปัญหาเพ่ือหาคาตอบน้ัน ควร
วิเคราะห์โจทย์ว่า โจทย์กาหนดอะไรมาให้บ้าง ต้องการหาอะไร เขียนสูตรท่ีนามาใช้แก้ปัญหา และ
ดาเนนิ การแกป้ ญั หา ดังตวั อย่างต่อไปนี้

ตวั อยา่ งท่ี 1 พอเพียงส่งจดหมาย 4 ฉบับ ถึงเพ่ือน 4 คน เม่ือทุกคนได้รับจดหมายแล้วหลัง
วธิ ีทา
จากนั้น 1 สัปดาห์ จะต้องส่งจดหมายคนละ 2 ฉบับไปยังเพื่อนอีก 2 คน ทาเช่นนี้

เร่ือยไป ในสปั ดาห์ท่ี 6 จะมีการสง่ จดหมายก่ีฉบับ

เร่ิมแรก สง่ จดหมาย 4 ฉบับ

สปั ดาห์ที่ 2 มีการส่งจดหมาย 8 ฉบบั

สัปดาหท์ ่ี 3 มกี ารสง่ จดหมาย 16 ฉบับ เช่นนเ้ี ร่อื ยไป

เขยี นลาดับเรขาคณติ แทนจานวนการส่งจดหมายได้ดงั น้ี

4, 8, 16, ...

จาก an  a1r n1 เมอ่ื a1  4, r  8 2 และ n6
4
จะได้ a6  a1r5

 4(25 )

 4 32

 128

ดงั น้นั ในสปั ดาห์ที่ 6 จะมกี ารสง่ จดหมาย 128 ฉบบั

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 3 เร่อื ง ลาดับเรขาคณิต 43

ตวั อยา่ งท่ี 2 บริษัทแหง่ หนึ่งซอื้ รถยนตม์ าในราคา 1,000,000 บาท ถา้ พนักงานบัญชีต้ังค่าเสื่อม
วธิ ที า
ราคาไว้ปีละ 20% ซ่ึงหมายถึงราคารถยนต์คันนี้จะลดลง 20% ทุกปี อยากทราบ
วา่ เมื่อครบห้าปีรถยนต์คันนีจ้ ะมีมูลคา่ เทา่ ใด
เขียนลาดับเลขคณติ แทนจานวนไม้จากช้ันล่างสุดขน้ึ มาได้ดังนี้

จากโจทย์ พบว่า ในปที ี่ 1 รถยนต์มีราคา 1,000,000 บาท

ในปที ี่ 2 รถยนต์มีราคา 1,000,000 80 บาท

100

ในปีที่ 3 รถยนตม์ ีราคา บาท 1,000,000 80  80 บาท

100 100

เขียนเป็นลาดบั เรขาคณติ ได้ คอื

1, 000, 000, 1, 000, 000 80 , 1, 000, 000 80  80 , ...
100 100 100

จาก an  a1r n1 เมื่อ a1  1, 000, 000, r  80  0.8 และ n6
100

จะได้ a6  a1r5

 1, 000, 000(0.8)5

 327,860

ดงั นั้น เม่ือครบหา้ ปีรถยนต์คันนี้จะมีมูลคา่ 327,860 ฉบับ

ตวั อย่างท่ี 3 ครอบครัวหนึ่งมี 3 คน ได้แก่ หนูดี นายเก่ง และพ่ีมีสุข ซ่ึงอายุ 5, 17 และ 41
วิธที า
ตามลาดบั อยากทราบว่าอีกกี่ปีท่ีอายุของ หนูดี นายเก่ง และพ่ีมีสุข จะเรียงกันเป็น

ลาดับเรขาคณิต

ให้อกี x ปี อายุของ หนดู ี นายเก่ง และพม่ี ีสขุ จะเรยี งกนั เป็นลาดบั เรขาคณิต

จะได้ลาดับเรขาคณติ ดงั น้ี 5  x, 17  x, 41 x

ซ่ึงจะมอี ัตราสว่ นร่วมเท่ากัน จะได้

17  x  41 x
5  x 17  x

(17  x)(17  x)  (5  x)(41 x)

289  34x  x2  205  46x  x2

12x  84

x7

ดงั นั้น อกี 7 ปี อายขุ อง หนดู ี นายเก่ง และพี่มีสขุ จะเรียงกันเปน็ ลาดับเรขาคณิต

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เรื่อง ลาดับเรขาคณิต 44

ตวั อย่างท่ี 4 ถ้า 1, a, b, 64 เป็นพจน์ส่ีพจน์ที่เรียงกันในลาดับเรขาคณิต แล้ว a  b มีค่าเป็น
วิธที า
เทา่ ไร

เนอ่ื งจาก 1, a, b, 64 เป็นลาดบั เรขาคณิตท่ีมี a1  1 และ a4  64

และจาก an  a1r n1

จะได้ a4  a1r3

64  (1)r3

43  r3

r4

และจาก an1  anr
จะได้ a  (1)r  4

และ b  ar  4(4) 16

ดงั น้นั a  b  4 16  20

ตวั อย่างท่ี 5 ถา้ ผลบวกและผลคูณของสามจานวนที่เรียงกันในลาดับเรขาคณิตมีค่าเป็น 3 และ
วธิ ีทา
8 ตามลาดบั แลว้ จานวนทมี่ ีคา่ น้อยที่สดุ เป็นเท่าไร เม่ืออตั ราส่วนร่วมมากกวา่ 2

ให้ a , a, ar เป็นสามจานวนท่ีเรียงกันในลาดบั เรขาคณติ

r

จากโจทย์จะได้ a  a  ar  3 (1)

r

และ  a  (a)(ar)  8 (2)
 r 

จาก (2) ได้ a3  8

นนั่ คอื a  2

แทน a  2 ใน (1) จะได้ 2  2  2r  3
r
2  2r  2r 2  3r

2r 2  5r  2  0

(2r 1)(r  2)  0

r 1, 2
2

เนือ่ งจาก อตั ราสว่ นร่วมตอ้ งมากกว่า 2 จะได้ r   1

2

ฉะน้นั a  2 และ r   1 จะได้ลาดับเรขาคณติ 4, 2, 1

2

ดังน้นั จานวนทม่ี คี ่าน้อยที่สุดเปน็ 4

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 3 เรอ่ื ง ลาดบั เรขาคณิต 45

ตวั อยา่ งท่ี 6 ถ้า 4 และ 27 เป็นพจน์สองพจน์ของลาดับเรขาคณิต โดยมีพจน์สามพจน์ท่ีเป็น
วธิ ีทา
3 64

จานวนบวกซึ่งเรียงอยู่ระหว่างพจน์ทั้งสองท่ีกาหนดให้น้ี แล้วจานวนท่ีมีค่ามากที่สุด
ในสามพจน์ดงั กลา่ วเปน็ เทา่ ไร

เนื่องจาก 4 และ 27 เป็นพจน์สองพจน์ของลาดับเรขาคณิต โดยมีพจน์สามพจน์

3 64

ซง่ึ เรยี งอยูร่ ะหว่างพจน์ทงั้ สองนี้ จะได้วา่

a1  4, a5  27
3 64

เป็นพจน์ท่ี 1 และพจน์ที่ 5 ในลาดบั เรขาคณติ

และจาก an  a1r n1
จะได้ a5  a1r 4

27  4 r 4
64 3

r 4  81
256

r3
4

เนอ่ื งจาก สามพจน์ดังกล่าวเป็นจานวนบวก ฉะนนั้ r  3

4

ฉะน้นั สามพจน์ซ่งึ เรียงอยูร่ ะหวา่ ง 4 และ 27 คือ 1, 3 , 9
3 64 4 16

ดงั นั้น จานวนท่มี คี ่ามากท่สี ดุ ในสามพจน์ดังกล่าว เท่ากับ 1

เมื่อผ้เู รยี นเขา้ ใจดแี ลว้
เรามาทาแบบฝึกทักษะกนั นะครบั

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 3 เร่ือง ลาดบั เรขาคณิต 46

แบบฝึกทักษะที่ 3.4 ขั้นตอนที่ 2 Solve : S

จุดประสงคท์ ่ี 6 ผู้เรยี นสามารถนาความร้เู ร่อื งลาดบั เรขาคณติ มาประยุกตใ์ ช้ในการแกโ้ จทย์
ปญั หาได้

คาชี้แจง ใหผ้ ้เู รียนเขยี นแสดงวธิ กี ารหาคาตอบในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้

1. นายขยันนาเงินใส่กระปุกออมสินทุกวัน โดยเร่ิมวันแรก 1 บาท วันที่สอง 2 บาท วันท่ีสาม
4 บาท วันที่สี่ 8 บาท ทาเช่นน้ีเร่ือยไป เม่ือครบ 14 วัน นายขยันจะมีเงินอยู่ในกระปุก
ออมสินก่ีบาท
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. ในปี พ.ศ. 2540 ประชากรในจังหวัดหน่ึง มี 600,000 คน ถ้าในแต่ละปีประชากรใน
จังหวัดเพ่ิมข้ึนปีละ 5% จงหาสูตรท่ัวไปของจานวนประชากรในแต่ละปีและจานวน
ประชากรในปี พ.ศ. 2557
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 3 เร่ือง ลาดับเรขาคณิต 47

3. ถ้าปลอ่ ยลูกบอลใบหน่งึ ให้ตกลงมาจากท่ีสูง 60 เมตร พบว่า แต่ละคร้ังท่ีลูกบอลกระทบพ้ืน

ลูกบอลจะกระดอนข้ึนไปเป็นระยะทาง 2 ของระยะที่ตกลงมา จงหาว่าเมื่อลูกบอลกระทบ

3

พืน้ เปน็ ครัง้ ที่ 10 ลกู บอลจะกระดอนข้นึ ไปเปน็ ระยะทางเท่าใด
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
4. จากการนบั จานวนแบคทเี รียในห้องปฏิบัติการทางการแพทย์แห่งหนึ่งพบว่า เมื่อเริ่มต้นนับมี
จานวนแบคทีเรีย 3,000 ตัว และพบว่าจานวนแบคทีเรียเพิ่มข้ึนเป็นสองเท่าในทุกช่ัวโมง

จงหาจานวนแบคทเี รียโดยประมาณ เมอ่ื เวลาผ่านไป 1 วนั
วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา