untuk Kelas X SMA/MA/Sederajat BAHAN AJAR BARISAN DAN DERET BERBASIS PENALARAN MATEMATIS Rahmat Kusharyadi
Disclaimer: Bahan ajar ini disiapkan oleh penulis dalam rangka penelitian tesis yang berjudul “Pengembangan Desain Didaktis Barisan dan Deret Untuk Meningkatkan Kemampuan Penalaran Matematis Siswa”. Bahan ajar ini digunakan oleh siswa dalam rangka penelitian. Bahan ajar ini telah disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak baik dari dosen, guru, akademisi, dan praktisi pendidikan. Bahan ajar ini merupakan dokumen hidup yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai pihak mengenai kualitas bahan ajar ini dapat dikirimkan ke alamat surel [email protected] untuk meningkatkan kualitas bahan ajar ini. Hak Cipta pada Rahmat Kusharyadi. BARISAN DAN DERET Dilindungi Undang-Undang. BAHAN AJAR BARISAN DAN DERET BERBASIS PENALARAN MATEMATIS Penulis Rahmat Kusharyadi, S.Pd. Penelaah Prof. Siti Fatimah, S.Pd., M.Si., P.hD. Dr. Kusnandi, M.Si. Editor Muhamad Chairudin, S.Pd., Gr. Muhammad Tareq Ghifari, S.Pd., Gr. Penata Letak (Desainer) Riska Mulyani, S.Pd. Isi bahan ajar ini menggunakan huruf Times New Roman, Open Sans, Comic Sans 12/14 pt xvi, 40 hlm: 21 29,7 cm i
Kata Pengantar P uji syukur kehadirat Allah SWT karena atas berkat rahmat-Nya, dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan bahan ajar ini tepat waktu. Bahan ajar ini dirancang untuk meningkatkan kemampuan penalaran matematis siswa. Soal-soal yang disusun disesuaikan dengan indikator penalaran matematis siswa sehingga siswa terbiasa mengerjakan soal-soal berbasis penalaran. Penyusunan bahan ajar ini juga sudah mempertimbangkan hambatan belajar (learning obstacle) yang dihadapi siswa dalam mengerjakan soal penalaran matematis. Bahan ajar ini diperuntukkan bagi siswa/i SMA/MA/Sederajat yang membutuhkan soal-soal penalaran khususnya materi barisan dan deret. Bahan ajar yang disusun, sudah menyesuaikan Kurikulum Merdeka yang saat ini sedang diterapkan oleh Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. Capaian belajar pada modul ini fokus pada materi barisan dan deret yang sesuai dengan Keputusan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 958/P/2020 tentang Capaian Pembelajaran pada Pendidikan Anak Usia Dini, Pendidikan Dasar, dan Pendidikan Menengah. Pada kesempatan ini kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan bahan ajar ini mulai dari penelaah, editor, penata letak (desainer), reviewer, dan pihak lainnya yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Akhir kata, semoga bahan ajar ini dapat bermanfaat untuk meningkatkan kemampuan penalaran matematis siswa khususnya pada materi barisan dan deret. Bandung, 15 Januari 2024 Penulis Rahmat Kusharyadi, S.Pd. BARISAN DAN DERET ii
Prakata P uji syukur kehadirat Allah SWT karena atas berkat rahmat-Nya, dan karunia-Nya dalam menyelesaikan bahan ajar ini. Penulisan modul ini disiapkan oleh penulis - dalam rangka penelitian tesis yang berjudul “Pengembangan Desain Didaktis Barisan dan Deret Untuk Meningkatkan Kemampuan Penalaran Matematis Siswa”. Dalam penelitian Desain Didaktis yang dikembangkan oleh Guru Besar Universitas Pendidikan Indonesia (UPI) yaitu Prof. Didi Suryadi, M.Ed, penelitian Desain Didaktis atau DDR (Didactical Design Research) terdiri atas 3 tahap yaitu tahap prospektif, metapedadidaktik, dan retrospektif dan menggunakan 2 paradigma, yaitu interpretif dan kritis. Tahap awal dalam penelitian DDR yaitu tahap prospektif yang menganalisis situasi didaktis yang dilakukan sebelumnya pembelajaran yang wujudnya adalah hambatan belajar (learning obstacle) yang dialami siswa. Temuan learning obstacle yang dialami siswa dijadikan acuan untuk membuat hyphotetical learning trajectory (HLT) atau alur pembelajaran. Hal-hal yang dilakukan pada tahap prospektif merupakan bagian dari paradigma interpretif. Bahan ajar ini sudah disesuaikan dengan temuan hambatan belajar (learning obstacle) dan kemampuan penalaran matematis siswa sehingga wujud HLT yang akan dikembangkan oleh penulis mengacu pada sajian modul ini. Modul ini disusun agar dapat mengatasi hambatan belajar (learning obstacle) siswa dan meningkatkan kemampuan penalaran matematis siswa. Kami mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu proses penyusunan modul ini khususnya Kepala Sekolah SMA Negeri 2 Jakarta, yaitu Setianingrum, M.Pd yang telah mengizinkan penulis untuk mengkaji hambatan belajar (learning obstacle) di SMA Negeri 2 Jakarta, serta kepada para penelaah, yaitu Prof. Siti Fatimah, M.Si., Ph.D, dan Dr. Kusnandi, M.Si untuk bimbingan dan masukan berharga dari awal hingga akhir penyusunan bahan ajar ini. Akhir kata, semoga dengan kehadiran bahan ajar ini dapat membuat siswa/i SMA/MA/Sederajat bersemangat dalam belajar khususnya pada materi barisan dan deret, mempermudah proses kegiatan belajar mengajar (KBM) yang diterapakan di kelas. Bandung, 15 Januari 2024 Penulis BARISAN DAN DERET iii
Daftar Isi BARISAN DAN DERET iv Kata Pengantar.............................................................................................................. ii Prakata.......................................................................................................................... iii Daftar Isi........................................................................................................................ iv Barisan dan Deret Petunjuk Penggunaan Bahan Ajar.................................................................................. v 1. Barisan................................................................................................................... 5 1.1 Barisan Aritmatika.......................................................................................... 5 1.2 Barisan Geometri............................................................................................ 12 2. Deret..................................................................................................................... 21 2.1 Deret Aritmatika............................................................................................. 23 2.2 Deret Geometri................................................................................................ 30 2.3 Deret Geometri Tak Hingga............................................................................ 35 Glosarium....................................................................................................................... x Daftar Pustaka............................................................................................................... xi Biodata Penulis.............................................................................................................. xii Biodata Editor.............................................................................................................. xiv Biodata Penata Letak (Desainer)................................................................................... xvi
Petunjuk Penggunaan Bahan Ajar Kalian akan menemukan bagian ini pada awal bab karena merupakan pertanyaan yang menuntun pemahaman materi dan pengembangannya sepanjang pembelajaran bab tersebut. Kalian akan menemukan kedalaman dan keluasan dari materi pelajaran tersebut melalui pertanyaan tersebut. BARISAN DAN DERET v Pertanyaan Pemantik Kata Kunci Kata atau konsep yang merupakan kunci untuk dihubungkan dengan kata atau konsep lain. Pemahaman terhadap kata kunci menolong kalian untuk mengaitkan konsep yang satu dengan konsep lainnya Peta Konsep Peta konsep yang terdapat pada awal bab merupakan diagram yang menunjukkan hubungan antarkonsep yang terdapat dalam setiap bab. Kalian perlu mencermati peta konsep ini untuk mendapatkan gambaran yang luas tentang isi bab tersebut.
BARISAN DAN DERET vi Pengalaman Belajar Terdapat pada awal bab yang menjadi arahan tercapainya kompetensi setelah mempelajari bab tersebut. Pengalaman belajar menolong kalian untuk memonitor perkembangan belajar kalian dalam bab tersebut yang akan dihubungkan dengan refleksi pada akhir pembahasan. Ayo Bereksplorasi Ayo Bereksplorasi Kalian melakukan kegiatan ini untuk menyelidiki konsep matematika yang berkaitan dengan pembahasan materi. Eksplorasi selalu dilakukan sebelum kalian mendalami konsep matematika beserta aplikasinya. Ayo Berpikir Kreatif Kalian berpikir kreatif jika kalian dapat membuat ide atau alternatif solusi yang baru yang berbeda dari hal umum. Ayo Berpikir Kritis Kalian berpikir kritis jika kalian dapat menganalisis informasi untuk mengambil kesimpulan atau menilai suatu hal dengan tepat. Keterampilan ini perlu kalian latih terus-menerus karena merupakan salah satu dari keterampilan abad ke-21.
BARISAN DAN DERET vii Ayo Mencoba Kalian diharapkan dapat mengerjakan soal atau kegiatan sejenis setelah diberikan penjelasan penyelesaian satu atau lebih dari satu soal. Ayo Mencoba Ayo Berdiskusi Ayo Berdiskusi Bertukar pikiran dengan teman-teman dan menyatakan gagasan merupakan kegiatan yang bermanfaat untuk memperdalam pengetahuan sehingga dapat menyelesaikan masalah atau menjawab pertanyaan. Hint Hint Petunjuk untuk kalian gunakan dalam pemecahan masalah. Baca dan gunakan bagian ini jika kalian mengalami kendala saat mencari solusi dari sebuah masalah. Tahukah Kalian? Tahukah Kalian? Kalian mendapatkan informasi tambahan yang berkaitan dengan materi yang sedang kalian pelajari yang merupakan aplikasi matematika dalam suatu fenomena atau peristiwa. Ayo Berefleksi Ayo Berefleksi Merenungkan dan melihat kembali secara evaluatif dan mendalam apa yang sudah dipelajari, membandingkannya, dan menarik pelajaran atau kesimpulan sederhana.
BARISAN DAN DERET viii Ayo Mengingat Kembali Merenungkan dan melihat kembali secara evaluatif dan mendalam apa yang sudah dipelajari, membandingkannya, dan menarik pelajaran atau kesimpulan sederhana. Ayo Mengingat Kembali Contoh Soal: Bagian ini diberikan untuk membantu pemahaman kalian atas konsep yang dipelajari. Perhatikan contoh soal dan kaitkan dengan penjelasan sebelumnya agar kalian merasakan manfaat bagian tersebut. Alternatif Solusi Bagian ini terdapat pada contoh soal yang memberikan alternatif solusi dari suatu permasalahan agar lebih ringkas dan memudahkan kalian dalam menjawab permasalahan. Alternatif Solusi Catatan BARISAN DAN DERET CATATAN: Perhatikan n indeks pada rumus mencari suku ke-n barisan aritmatika, dimana: Sehingga, rumus tersebut dapat diperluas dengan memperhatikan indeks yang digunakan. Contoh: atau dapat ditulis atau Bagian ini memberikan alternatif rumus yang dapat digunakan oleh kalian dalam menyelesaikan permasalahan.
Setelah mempelajari bab ini, kalian diharapkan dapat: 1.Menjelaskan pengertian barisan aritmatika 2.Menentukan suku ke-n dan beda dari barisan aritmatika Menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep barisan aritmatika 3. 4.Menjelaskan pengertian barisan geometri 5.Menentukan suku ke-n dan rasio dari barisan geometri Menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan barisan geometri 6. Menentukan jumlah suku ke-n dari deret aritmatika dan deret geometri 7. Menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep deret aritmatika dan deret geometri 8. 9.Menentukan jumlah suku dari deret geometri tak hingga Menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep deret geometri tak hingga 10. Pengalaman Belajar BARISAN DAN DERET ix BARISAN DAN DERET
Barisan aritmatika, barisan geometri, deret aritmatika, deret geometri, deret geometri tak hingga Peta Konsep Barisan dan deret Barisan Deret Barisan Aritmatika Barisan Geometri Deret Geometri Deret Aritmatika Divergen Konvergen Barisan dan deret merupakan materi yang sangat berkaitan dengan barisan bilangan yang telah dipelajari pada jenjang SMP. Materi barisan dan deret ini sangat mudah ditemui dalam kehidupan sehari-hari. Konsep barisan dan deret yang sering kita jumpai terkait dengan menghitung susunan kursi dengan banyaknya kursi yang berbeda pada tiap barisnya pada sebuah bioskop. Kalian juga dapat menentukan banyaknya bakteri jika melakukan pembelahan pada waktu tertentu. Pertanyaan Pemantik 1.Apakah barisan bilangan merupakan barisan aritmatika atau geometri? 2.Bagaimana hubungan antar suku barisan aritmatika atau geometri? 3.Bagaimana bentuk umum barisan aritmatika atau geometri? 4.Bagaimana menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika atau geometri? 5.Bagaimana bentuk umum deret aritmatika atau geometri? 6.Bagimana menentukan jumlah n suku pertama suatu deret? 7.Bagaimana menentukan jumlah deret geometri tak hingga? 8.Apa perbedaan barisan dan deret? Kata Kunci BARISAN DAN DERET 1
Ayo Mengingat Kembali Pola bilangan adalah susunan yang membentuk pola tertentu. Suku ke-1 dilambangkan dengan Suku ke-2 dilambangkan dengan Suku ke-3 dilambangkan dengan Suku ke-n dilambngkan dengan Tentukanlah pola bilangan selanjutnya, dan berikan argumentasimu! Ayo Bereksplorasi Anak-anak tulis jawabanmu di bawah ini ya! ............................................................................................ ............................................................................................ ............................................................................................ ............................................................................................ ............................................................................................ BARISAN DAN DERET 2
Dari hasil jawabanmu di atas, coba jawab pertanyaan berikut: Bagaimana kalian dapat menentukan pola bilangan selanjutnya? Apakah kalian melihat keteraturan dari pola bilangan di atas? Bagaimana hubungan antar sukunya? Apakah memiliki keteraturan tertentu? Dari soal di atas, kalian sudah dapat mengidentifikasi makna dari pola bilangan. Pola bilangan sangat berkaitan dengan barisan bilangan. Mari simak pertanyaan berikut: Apakah kalian mengetahui makna barisan bilangan? Pernahkah kalian menemukan angka-angka yang dapat membentuk barisan bilangan? Bisakah kalian memberikan satu contoh? Dengan teman sebangkumu, mari diskusikan soal berikut: Ayo Berdiskusi Da Perhatikan barisan bilangan berikut: Dari barisan bilangan di atas, maka: Angka 8 dimaknai sebagai suku pertama Angka 11 dimaknai sebagai suku kedua Angka 14 dimaknai sebagai suku ketiga dst Pertanyaan: a. Dapatkah kalian menemukan nilai suku keenam? b. Dugalah berapakah nilai suku ke-lima puluh barisan bilangan tersebut? Dari soal di atas, apakah kalian merasa kesulitan menentukan jawabannya? BARISAN DAN DERET 3
Ayo Bereksplorasi Gambar 2. 2 kg daging sate setara dengan 40 Tusuk Sate Jawablah pertanyaan berikut dengan berdiskusi bersama teman kelompokmu. 1.Berapa banyak tusuk sate yang dapat dibuat jika diketahui berat daging ayam kkditentukan. Ayo berkolaborasi dengan temanmu dalam mengisi Tabel 1 berikut untuk kkmenjawab pertanyaan tersebut. Berat Daging (kg) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Banyak Sate (tusuk) 20 40 ... ... ... ... ... ... ... ... 1 kg daging ayam 20 Tusuk Sate Gambar 1. 1 kg daging sate setara dengan 20 Tusuk Sate Ayo bandingkan banyaknya berat daging ayam (kg) dengan banyak tusuk sate pada gambar di bawah ini. Pada Gambar 1 terdapat 1 kg ayam yang dapat dibuat menjadi 20 tusuk sate, sementara Gambar 2 terdapat 2 kg ayam yang dapat dibuat menjadi 40 tusuk sate. 40 Tusuk Sate 2 kg daging ayam Ayo Berdiskusi Tabel 1. Hubungan Berat Daging (kg) dan Bayak Sate (Tusuk) BARISAN DAN DERET 4
Anak-anak, menggunakan data pada Tabel 1 silahkan isi simbol-simbol berikut ya! Sehingga, barisan-barisan tersebut dapat dibentuk menjadi bentuk umum, yaitu: 2. Jika Deni dapat membuat 90 tusuk sate, maka berapa berat daging yang dimiliki Deni kkuntuk membuat tusuk sate tersebut? Bagaimaana kalian mengetahuinya? Jelaskan kkjawabanmu. 1. Barisan Perhatikan Tabel 1. angka-angka yang diperoleh yaitu 20, 40, 60, .... Pola tersebut jika diamati memiliki keteraturan tertentu. Pola-pola yang seperti ini disebut dengan Barisan Bilangan. 1.1 Barisan Aritmatika Barisan yang dibentuk dari Tabel 1 yaitu 20, 40, 60 .... Coba kalian perhatikan keteraturan barisan tersebut. Operasi perhitungan apa yang dapat digunakan? 20, 40, 60, ... ... ... BARISAN DAN DERET 5
Berapakah beda/selisih barisan yang berdekatan? Apakah beda/selisih antar dua suku yang berdekatan nilainya sama? Barisan aritmatika adalah barisan yang memiliki beda/selisih dua suku yang berdekatan sama/konstan. Barisan-barisan yang dibentuk pada Tabel 1 merupakan barisan aritmatika karena beda/selisih barisan dua suku yang berdekatan selalu sama/konstan yaitu 20. 20 dalam barisan tersebut disebut dengan suku pertama atau dapat disimbolkan dengan a, sementara beda/selisih yaitu 20 dapat disimbolkan dengan b. Pak! Saya mau tanya, rumus suku ke-n barisan aritmatika apa ya? Apakah ada formulasinya? BARISAN DAN DERET 6
Jadi, rumus untuk mencari suku ke-n barisan aritmatika adalah BARISAN DAN DERET n : Nomor Suku b : beda/selisih CATATAN: Perhatikan n indeks pada rumus mencari suku ke-n barisan aritmatika, dimana: Sehingga, rumus tersebut dapat diperluas dengan memperhatikan indeks yang digunakan. Contoh: atau dapat ditulis atau Perhatikan penjelasan berikut. . . . sebanyak Keterangan: Suku ke-n a : Suku pertama Kalian sudah mengetahui rumus suku ke-n barisan aritmatika. Menggunakan rumus tersebut coba kalian selesaikan soal halaman 3. BARISAN DAN DERET 7
Contoh Soal: 1. Suku ke-10 dan ke-20 barisan aritmatika berturut-turut adalah 80 dan 160. Berapakah kksuku ke-28 barisan aritmatika tersebut? Penyelesaian: Dari soal dapat dibuat model matematikanya, yaitu: Substitusi, ke Suku ke-28 barisan tersebut adalah Jadi, suku ke-28 barisan tersebut adalah 224. Alternatif Solusi Model matematika BARISAN DAN DERET 8
2. Diketahui barisan aritmatika dengan . Buktikanlah bahwa suku ke-10 dan kkbeda barisan aritmatika tersebut berturut-turut adalah 48 dan 4. Penyelesaian: Adb: Suku ke-10 barisan tersebut adalah 48. Untuk membuktikan suku ke-10 adalah 48 dengan cara mensubstitusikan nilai n dengan 10 ....................(i) Adb: Beda dari barisan aritmatika tersebut adalah 4. Untuk mencari beda dari barisan aritmatika dengan cara melihat selisih 2 barisan yang berdekatan, karena sudah memiliki nilai suku ke-10 maka kita perlu mencari nilai dari suku yang berdekatan yaitu suku ke-9. ....................(ii) Berdasarkan pernyataan (i) dan (ii), maka pernyataan terbukti BENAR. Ayo Mencoba Selidiki apakah barisan dibawah ini adalah barisan aritmatika? Jika ya, tentukan dua suku berikutnya. 1. a. 10, 16, 22, ..., .... b. 1, 8, 27, 64, ..., ... c. -10, -7, -3, ..., .... d. 1, 1, 2, 3, 5, ..., .... Alternatif Solusi Perhatikan bentuk umum barisan aritmatika yaitu: dalam soal tertulis, Karena 4 merupakan koefisien dari n, maka 4 merupakan beda/selisihnya. BARISAN DAN DERET 9
4. Seorang petani alpukat mencatat hasil panennya setiap kkbulan. Jika pada bulan Maret 2023 hasil panennya kkseberat 19 kg, dan selalu mengalami kenaikan setiap kkbulan seberat 4 kg. Apakah benar bahwa hasil panen kkpada bulan April 2024 adalah 67 kg? Berikan alasanmu! 2. Diketahui barisan aritmatia -10, -8, -6, -4, .... Berapakah suku ke-50 barisan aritmatika kktersebut? 3. Jika diberikan barisan aritmatika dengan suku ke-5 dan ke-10 berturut-turut adalah 32 kkdan 67. Tentukanlah: a. Selisih b. Suku ke-15 c. Rumus suku ke-n Hint Cari tahu bulan April 2024 suku ke berapa? Jika sudah, tentukan nilai dari suku tersebut. Buatlah kesimpulan dari penemuanmu! Tuliskan Jawabanmu! .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................... BARISAN DAN DERET 10
Ayo Berpikir Kritis Pada subbab sebelumnya, kalian sudah mempelajari barisan aritmatika. Dapatkah kalian menyelesaikan soal di bawah ini menggunakan konsep barisan aritmatika? Jelaskan. Ayo Berpikir Kreatif Berikan contoh aplikasi barisan aritmatika dalam kehidupan sehari - hari selain dari yang telah dibahas pada subbab ini. Seorang teman kalian menyakini bahwa barisan bilangan yang memiliki beda sama dengan 0 juga disebut dengan barisan aritmatika. Setujukah kalian dengan pendapatnya? Jelaskan. Da Perhatikan barisan bilangan berikut: Dari barisan bilangan di atas, maka: Angka 4 dimaknai sebagai suku pertama Angka 12 dimaknai sebagai suku kedua Angka 36 dimaknai sebagai suku ketiga dst Pertanyaan: a. Dapatkah kalian menemukan nilai suku kelima? b. Dugalah berapakah nilai suku ke-lima puluh barisan bilangan tersebut? BARISAN DAN DERET 11
Siapkan kertas berbentuk persegi panjang, lalu ayo bereksplorasi melipat kertas menjadi beberapa kali seperti Gambar 2. Petunjuk: Lipatan pertama akan membuat kertas terbagi menjadi 2 bagian sama besar. 1. Lipatan kedua akan membuat kertas terbagi menjadi 4 bagian sama besar. 2. 3.Lakukan lipatan secara beberapa kali. Dari hasil eksplorasimu, isilah Tabel 2 berikut. 4. 1.2 Barisan Geometri sumber: zmescience.com Gambar 2. Cara Melipat Kertas Jumlah Lipatan kertas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Banyak bagian sama yang terbentuk 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... Tabel 2. Jumlah Lipatan Kertas dan banyak bagian sama yang terbentuk Berdasarkan Tabel 2 jawablah pertanyaan berikut dengan berdiskusi dengan teman sebangkumu. 1.Berapa banyak bagian sama yang terbentuk pada lipatan ke-10. 2.Banyak bagian sama yang terbentuk adalah 64 bagian, terjadi pada lipatan? Ayo Bereksplorasi Ayo Berdiskusi BARISAN DAN DERET 12
2, 4, 8, ... ... ... 3. Apakah banyak bagian yang sama besar pada sebuah lipatan kertas membentuk kkbarisan bilangan? 4. Aturan apa yang terjadi pada barisan bilangan tersebut? 5. Operasi hitung apa yang ada di antara suku-suku barisan bilangan di atas? Anak-anak ayo amati rasio antara dua suku yang berdekatan ya! Bagaimana hasil pengamatan kalian? Apakah rasio dari dua suku yang berdekatan nilainya sama? Barisan geometri adalah barisan yang memiliki nilai rasio dua suku yang berdekatan sama/konstan. Barisan yang disusun pada Tabel 2. merupakan barisan geometri dengan nilai 2 sebagai suku pertama atau dapat disimbolkan a, sementara rasio dapat disimbolkan r. BARISAN DAN DERET 13
Diskusikan permasalahan berikut dengan teman sekelompokmu! Amir adalah siswa kelas X SMA Juara Nusantara. Amir memiliki keingintahuan yang kuat bagaimana jika rasio-rasio yang ditemukan sampai suku ke-(n-1) masing-masing dikalikan. Apakah akan mengahasilkan sebuah formulasi? Bantu Amir memecahkan masalah ini yuk! Petunjuk: . . . sebanyak Ayo Berdiskusi ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ BARISAN DAN DERET 14
Dari keingintahuan yang kuat dari Amir diperoleh bahwa rumus suku ke-n barisan geometri itu adalah . Jadi, rumus untuk mencari suku ke-n barisan geometri adalah Keterangan: n : Nomor Suku r : rasio Suku ke-n a : Suku pertama CATATAN: Perhatikan n indeks pada rumus mencari suku ke-n barisan geometri, dimana: Sehingga, rumus tersebut dapat diperluas dengan memperhatikan indeks yang digunakan. Contoh: atau dapat ditulis atau Contoh Soal: Suku ke-3 dan ke-8 barisan geometri adalah 18 dan 576. Berapakah suku ke-5 barisan geometri tersebut? 1. Penyelesaian: Dari soal dapat dibuat model matematikanya, yaitu: Model matematika Dari model matematika yang dibuat maka, Kalian sudah mengetahui rumus suku ke-n barisan geometri. Menggunakan rumus tersebut coba kalian selesaikan soal halaman 11. BARISAN DAN DERET 15
Substitusi ke , Sehingga suku ke-5 yaitu: Jadi, suku ke-5 barisan geometri tersebut adalah 72. 2. Jumlah ketiga bilangan pertama barisan geometri adalah 57, dan hasil kali ketiga kkbilangan tersebut adalah 343. Tentukanlah: kka. Model matematikanya kkb. Buktikan bahwa rasio barisan tersebut positif. kkc. Dari hasil jawabanmu, sebutkan barisan geometrinya. BARISAN DAN DERET 16
Penyelesaian: a. Model Matematika Dari informasi soal pada pernyataan 1, maka model matematikanya yaitu: Ruas kiri masing-masing dapat dibagi dengan r sehingga diperoleh, Dari informasi soal pada pernyataan 2, maka model matematikanya yaitu: Jadi, model matematika dari soal tersebut yaitu: b. adb: Rasio selalu bernilai positif Dari model matematika yang diperoleh dari a maka , atau atau Diperoleh nilai r yaitu atau 7, maka nilai r selalu bernilai positif. BARISAN DAN DERET 17
c. Barisan geometri yang sesuai Barisan geometri yang sesuai pada soal tersebut terdapat 2, yaitu: Pada saat nilai r = Pada saat nilai r = 7 Jadi, barisannya yaitu 49, 7, 1 atau 1, 7, 49 Selidiki apakah barisan dibawah ini adalah barisan geometri? Jika ya, tentukan dua suku berikutnya. 1. a. 5, 15, 45, ..., .... b. c. 20, 10, 10, 5, ..., .... d. 2, 9, 28, 65, ..., .... 2. Buatlah rumus suku ke-n dari barisan geometri: 48, 16, 3. Diberikan barisan geometri dengan suku ke-4 dan ke-7 berturut-turut adalah 24 dan kk192. Apakah benar suku ke-12 barisan geometri tersebut adalah 48? Berikan kkargumentasi yang rasional! 4. Diketahui rumus suku ke-n barisan geometri yaitu: , maka tentukanlah suku kkpertama, dan rasio barisan geometri tersebut? 5. Diberikan suatu barisan geometri dengan jumlah ketiga suku pertamanya adalah -14, kkdan hasil kali ketiga sukunya adalah 216. Tentukanlah: kka. Apakah nilai suku ke-3 selalu bernilai positif? Berikan argumentasimu! kkb. Nilai suku pertama dan kedua. Ayo Mencoba BARISAN DAN DERET 18
6. Dinas Kesehatan Provinsi DKI Jakarta mencatat bahwa pada bulan Maret 2021 kkkasus Covid-19 yang terjadi sebanyak 20.000 jiwa. Setiap bulan kasus Covid-19 kkyang terjadi di Provinsi DKI Jakarta selalu mengalami peningkat dua kali lebih kkbanyak dari bulan sebelumnya. Namun, mulai pada bulan Juni 2021 kasus Covid-19 mengalami lonjakan yang signifikan yaitu tiga kali lebih banyak dari bulan sebelumnya. Dimulai pada bulan apakah kasus Covid-19 yang terjadi di Jakarta lebih dari 1.000.000 jiwa? Berikan argumentasimu! Hint Rasio dari soal tersebut ada 2 disesuaikan dengan bulannya. Tuliskan Jawabanmu! ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... BARISAN DAN DERET 19
Ayo Berpikir Kreatif Ayo Berpikir Kritis Berikan contoh aplikasi barisan geometri dalam kehidupan sehari - hari selain dari yang telah dibahas pada subbab ini. Seorang teman kalian menyakini bahwa barisan bilangan geometri yang memiliki rasio antara 0 dan 1 pasti terdapat setidaknya satu suku yang merupakan bilangan pecahan. Setujukah kalian dengan pernyataannya? Jelaskan. Pada subbab ini, kalian telah mempelajari barisan aritmatika dan geometeri. Ayo Berefleksi 1.Apakah barisan bilangan merupakan barisan aritmatika atau geometri? 2.Bagaimana hubungan antar suku barisan aritmatika atau geometri? 3.Bagaimana bentuk umum barisan aritmatika atau geometri? 4.Bagaimana menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika atau geometri? BARISAN DAN DERET 20
Ayo Mengingat Kembali Barisan bilangan terdiri dari barisan aritmatika, dan geometri. Rumus suku ke-n barisan aritmatika dinyatakan dengan Beda/selisih barisan aritmatika dinyatakan dengan Rumus suku ke-n barisan geometri dinyatakan dengan Rasio barisan geometri dinyatakan dengan Ayo Bereksplorasi Ayo Berdiskusi 2. Deret Ayo bereksplorasi dengan berjabat tangan bersama beberapa teman sekelompokmu. Gambar 4. Berjabat Tangan Setelah itu, ayo berkolaborasi dengan teman sekelompokmu untuk menjawab pertanyaan berikut. Jika ada 2 orang, berapa banyak jabat tangan terjadi? Jika ada 3 orang, berapa banyak jabat tangan terjadi? Jika ada 4 orang, berapa banyak jabat tangan terjadi? BARISAN DAN DERET 21
Banyak orang yang hadir Banyak jabat tangan Uraian dari jabat tangan 2 orang 1 1 3 orang 3 1+2 4 orang ... 1+...+... 5 orang ... ... Lengkapi Tabel 3 berikut berdasarkan hasil diskusimu dengan teman sekelompokmu! Tabel 3. Banyak jabat tangan yang terjadi di kelas Bentuk penjumlahan dari barisan bilangan akan membentuk deret bilangan. Jumlah suku-suku barisan bilangan disebut dengan deret bilangan. Deret bilangan terbagi menjadi 2, yaitu deret aritmatika, dan deret geometri. Deret aritmatika saling berkaitan dengan barisan geometri, sementara deret geometri saling berkaitan dengan barisan geometri. BARISAN DAN DERET 22
Tahukah Kalian? Carl Friedrich Gaus (1777-1855) merupakan matematikawan asal Jerman yang dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa. Sejak kecil Gauss dikenal oleh gurunya sebagai seseorang yang memiliki kemampuan pemecahan masalah. Ketika duduk di kelas 4 SD seorang guru matematikanya memberikan soal berupa penjumlahan bilangan 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 = .... Dengan bakat yang dimilikinya, ia tidak membutuhkan waktu yang lama untuk menyelesaikan soal tersebut. Dengan cepat ia menjawab pertanyaan gurunya “5050”. Gambar 3. Carl Friedrich Gauss sumber: https://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss Cara yang digunakan Gauss adalah dengan mengelompokkan nilai-nilari dari deret yang diberikan oleh gurunya. Dengan cara yang digunakan ini, ia berhasil mengelompokkan nilai yang sama ketika dijumlahkan. Dengan cara pemecahan masalah yang digunakan oleh Gauss ini, maka ia berhasil menjawab pertanyaan gurunya dengan tepat dan ceoar. Berikut cara yang digunakan oleh Gauss untuk menjawab pertanyaan gurunya. 101 101 101 101 Ia mengelompokkan suku-suku pada deret tersebut sehingga memiliki nilai yang sama ketika dijumlahkan. sebanyak-50 kali 2.1 Deret Aritmatika BARISAN DAN DERET 23
Ayo Berdiskusi Diskusikan soal berikut dengan teman sebangkumu. Menggunakan konsep yang digunakan Gauss, hitunglah semua bilangan asli kelipatan 3, tetapi habis dibagi 2 yang kurang dari 100. Jelaskan. Petunjuk: Carilah bilangan asli yang merupakan kelipatan 3. Carilah bilangan asli yang merupakan kelipatan 3, namun dapat dibagi dengan 2 Hitunglah deret barisan yang terbentuk Anak-anak tulis hasil diskusimu ya! ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. BARISAN DAN DERET 24
r r r Permasalahan di atas merupakan masalah yang berkaitan dengan konsep deret aritmatika. Secara umum penjumlahan deret aritmatika dapat diformulasikan sebagai berikut: Menggunakan konsep yang digunakan Gauss, penjumlahan deret aritmatika dibalik dari suku pertama menuju suku ke-n menjadi suku ke-n menuju suku pertama, diperoleh: sebanyak-n Formulasi 1 Turunan Formulasi 1 Turunan Formulasi 1 n : Nomor Suku b : beda/selisih Keterangan: Suku ke-n a : Suku pertama Jumlah suku ke-n Suku tengah Turunan formulasi bentuk hanya dapat digunakan apabila selisih/beda serta indeks dari sukusukunya tetap/konstan. BARISAN DAN DERET 25
Diketahui deret aritmatika 12 + 16 + 20 + .... Berapakah jumlah 8 suku pertama deret aritmatika tersebut? 1. Jadi, rumus untuk mencari jumlah suku ke-n, yaitu: atau atau Contoh Soal: Penyelesian: Dari informasi soal diperoleh bahwa, 12 + 16 + 20 + ... Jumlah 8 suku pertama yaitu: Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret 12 + 16 + 20 + ... adalah 108. 2. Diberikan merupakan barisan aritmatika. Jika , maka kkberdasarkan nilai di atas, berapakah nilai Penyelesian: Dari informasi soal diperoleh bahwa, BARISAN DAN DERET 26
Perhatikan bahwa indeks-indeksnya tetap/konstan maka ini merupakan , dengan suku tengah adalah , sehingga Jadi, nilai dari adalah 136. Nilai dari , yaitu: Ayo Mencoba Diketahui deret aritmatika 5 + 11 + 17 + 23 + .... Berapakah jumlah 10 suku pertama deret tersebut? 1. 2.Berapakah jumlah deret aritmatika 8 + 11 + 14 + ... + 155? 3.Misalkan suku ke-n barisan aritmatika dengan: Berdasarkan pernyataan di atas, berapakah nilai 4. Diketahui deret aritmatika dengan suku pertama a dan beda . Jika kkdan , berapakah nilai Z? BARISAN DAN DERET 27
5. Dalam sebuah gedung pentas seni yang terdapat 20 baris akan disusun kursi. Baris kkpaling depan terdiri dari 18 buah, baris ke-2 berisi 24 buah, baris ke-3 berisi 30 buah. kkApakah benar jumlah kursi pada gedung pentas seni berjumlah 1050 kursi? Jika benar kkbuktikanlah, jika salah tunjukkan kesalahannya! 6. Diberikan rumus deret aritmatika suku ke-n kkyaitu kkkkkkkkkkkk. Buktikanlah bahwa kknilai suku ke-10, dan beda deret tersebut kkberturut-turut adalah 42 dan 4. Hint Tentukanlah nilai dari Tentukanlah barisannya Tuliskan Jawabanmu! ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... BARISAN DAN DERET 28
Ayo Berpikir Kreatif Ayo Berpikir Kritis Riska percaya bahwa penjumlahan deret 1 - 2 + 3 - 4 + ... + 99 - 100 dapat diformulasikan sebagai selisih dari jumlah deret bilangan ganjil dan genap kurang dari sama dengan 100. Apakah kalian setuju dengan pendapat Riska? Jelaskan. Lina menjumlahkan nomor-nomor halaman buku yang terdiri 50 halaman yang jumlahnya 1305. Ternyata terjadi kekeliruan, ada 1 halaman yang terhitung 2 kali. Halaman berapakah yang terhitung dua kali? Pada subbab sebelumnya, kalian sudah mempelajari deret aritmatika. Dapatkah kalian menyelesaikan soal di bawah ini menggunakan konsep deret aritmatika? Jelaskan. Da Perhatikan deret bilangan berikut: Pertanyaan: a. Dapatkah kalian menemukan jumlah 5 suku pertama deret di atas? b. Dugalah berapakah nilai jumlah 20 suku pertama deret di atas? BARISAN DAN DERET 29
Persegi KePanjang Sisi Uraian Luas Persegi Luas Persegi 1 20 400 2 ... 3 ... ... 4 ... ... 5 ... ... Ayo berkolaborasi dengan teman kelompokmu untuk menjawab pertanyaan tersebut dengan mengisi Tabel 4 berikut. 2.2 Deret Geometri Bagas ingin membuat sebuah desain motif batik berbentuk persegi yang memiliki panjang sisi 20 cm. Desain motif batik Bagas tersaji pada Gambar 5 yang terdiri dari 5 buah persegi. Tentukanlah jumlah dari persegi-persegi yang tersusun. Ayo Berdiskusi Tabel 4. Hubungan panjang dengan luas Gambar 5. Desain Motif Batik BARISAN DAN DERET 30
Dari Tabel 4, diperoleh jumlah luas dari persegi yaitu: 400 + ...... + ..... + ..... + ..... = ...... Jadi, jumlah dari luas persegi-persegi yang tersusun adalah ............... Permasalahan Bagas merupakan masalah yang berkaitan dengan konsep deret geometri. Secara umum deret geometri dapat diformulasikan sebagai berikut: ........(i) Untuk mendapakan formulasi deret geometri, dari pernyataan (i) kedua ruas masingmasing dikalikan dengan r, sehingga diperoleh: ........(ii) Kurangkan pernyataan (i) dan (ii) diperoleh, atau Keterangan: n : Nomor Suku r : rasio a : Suku pertama jumlah suku ke-n Jadi, rumus untuk mencari jumlah suku ke-n deret geomteri, yaitu: BARISAN DAN DERET 31 atau
Contoh Soal: Diketahui suatu suku ke-2 dan ke-5 deret geometri berturut-turut adalah 48 dan 6. Tentukanlah jumlah 6 suku pertama deret tersebut? 1. Penyelesian: Dari soal diketahui: Sehingga, Substitusi ke diperoleh, Sehingga, jumlah 6 suku pertama yaitu: BARISAN DAN DERET 32
Jadi, jumlah 6 suku pertama deret geometri tersebut adalah 189. Ayo Mencoba Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian sehingga panjang masing-masing potongan membentuk barisan geomteri. Jika potongan tali terpendek 2 m dan yang terpanjang 486 m, berapakah panjang tali mula-mula? 1. Diketahui deret geometri dengan suku ke-2 dan ke-4 berturut-turut adalah 42 dan 378. Berapakah nilai 4 suku pertama deret geometri tersebut? 2. BARISAN DAN DERET 33
3. Diketahui suku ke-n dari deret geometri kkadalah . Apakah jumlah n suku kkpertama deret tersebut adalah ? kkJika benar, buktikanlah, jika salah tunjukkan kkkesalahannya! Hint Tentukanlah nilai dari Tentukanlah rasionya. Substitusikan nilai a dan rasio ke rumus jumlah n suku pertama deret geometri Tuliskan Jawabanmu! ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... BARISAN DAN DERET 34
2.3 Deret Geometri Tak Hingga Ayo Bereksplorasi Bola tenis dilemparkan ke atas setinggi 1 m. Bola tersebut terus memantul sampai akhirnya berhenti. Setelah dicermati, setiap kali bola memantul, tingginya menjadi kali dari tinggi sebelumnya. Kira-kira berapa panjang lintasan bola dari awal memantul sampai berhenti? Ayo berkesplorasi dengan melakukan percobaan melempar bola bersama teman sekelompokmu, lalu jawablah pertanyaan berikut. Menurutmu, apakah tinggi pantulan bola pada permasalahan di atas membentuk deret geometri? Bagaimana kalian mengetahuinya? Setelah melakukan percobaan, apakah kalian mengetahui dengan pasti berapa kali bola memantul sampai akhirnya berhenti? Bola di lempat Pantulan 1 Pantulan 2 Pantulan (n-1) Pantulan n Gambaf 6. Lintasan Bola Anak-anak tulis hasil diskusimu di kotak ini ya! ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. BARISAN DAN DERET 35
Permasalahan pada masalah di atas merupakan masalah yang berkaitan dengan deret geomteri tak hingga. Pada permasalahan di atas, nilai dari r yaitu . Perhatikan: Pantulan pertama: Pantulan kedua: Pantulan ketiga: . . . Pantulan ketiga: Disubstitusikan ke dalam rumus deret geometri diperoleh, Keterangan: n : Nomor Suku r : rasio a : Suku pertama jumlah suku ke-n Jadi, bentuk umum deret tak hingga adalah . BARISAN DAN DERET 36
Da Diberikan deret geometri tak hingga: Ayo Berdiskusi Soal 1: Soal 2: Diberikan deret geometri tak hingga: Berdasarkan soal 1 dan 2, tentukanlah: a. Berapakah nilai deret geometri tak hingganya dari masing-masing soal di atas? b. Apakah keduanya memiliki nilai deret geometri tak hingganya? c. Apakah perbedaan yang tampak dari kedua deret di atas? Diskusikan dengan teman sebangkumu 2 soal berikut. Anak-anak tulis hasil diskusimu ya! ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... BARISAN DAN DERET 37
Pada deret geometri terbagi menjadi 2, yaitu deret geometri tak hingga konvergen, dan divergen. Deret geometri tak hingga konvergen dapat diartikan sebagai deret geometri yang masih memiliki limit jumlah. Syarat dari deret geometri tak hingga ini adalah rasio berada diantara - 1 dan 1. Sementara itu, deret geometri tak hingga divergen dapat diartikan sebagai deret geometri tak hingga yang tidak terbatas jumlahnya. Syarat deret geometri tak hingga divergen adalah r < - 1 atau r > 1 Deret geometri tak hingga konvergen dengan - 1 < r < 1 : Deret geometri tak hingga divergen dengan r < -1 atau r > 1 : Keterangan: r : rasio a : Suku pertama jumlah deret tak hingga Contoh Soal: 1.Tentukan jumlah deret tak hingga dari 8 + 4 + 2 + .... Penyelesian: Deret geometri di atas adalah deret geometri tak hingga konvergen karena memiliki nilai rasio , yang masuk ke dalam rentang - 1 < r < 1 maka jumlah deret tak hingga adalah Jadi, deret geometri tak hingga dari 8 + 4 + 2 + ... adalah 16. BARISAN DAN DERET 38
Ayo Mencoba 1.Berapakah jumlah deret geometri tak hingga dari deret Suku pertama dari deret geometri tak hingga adalah Z. Berapakah nilai Z agar nilai dari deret geometri tak hingga adalah 60? (Petunjuk: hubungkan rumus deret tak hingga dengan syarat rasio pada deret geometri tak hingga konvergen) 2. Agar nilai dari adalah deret geometri tak hingga konvergen. Berapakah nilai m? 3. Tuliskan Jawabanmu! .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. BARISAN DAN DERET 39
Pada subbab ini, kalian telah mempelajari barisan aritmatika dan geometri. Ayo Berefleksi 1.Bagaimana bentuk umum deret aritmatika atau geometri? 2.Bagimana menentukan jumlah n suku pertama suatu deret? 3.Bagaimana menentukan jumlah deret geometri tak hingga? 4.Apa perbedaan barisan dan deret? BARISAN DAN DERET 40