86100300_1_20200902-093918

1

คำช้แี จง

ในการเรียนตามแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดบั และอนุกรม เปน็ การเรียนที่
นักเรียนต้องศกึ ษาและพัฒนาทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ซึง่ นักเรียนสามารถ
ศึกษาดว้ ยตนเอง ดังนั้นนกั เรยี นควรปฏิบตั ิ ดังน้ี

1. ศึกษาจดุ ประสงค์การเรียนรู้ของแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ให้เข้าใจถึงเป้าหมาย
ของการเรียนตามแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์น้ี

2. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียน จานวน 10 ข้อ เพ่ือเป็นการประเมินความรู้
พื้นฐานของตนเอง

3. ให้นกั เรียนศึกษาเน้อื หาอย่างละเอียด และทาแบบฝึกทกั ษะตามขั้นตอนที่กาหนด
อย่างเครง่ ครดั

4. เมือ่ มีขอ้ สงสัยหรือปญั หาทีไ่ ม่เข้าใจสามารถขอคาแนะนาจากครผู ู้สอนได้
ตลอดเวลา

5. เมื่อทากิจกรรมระหว่างเรียนในแบบฝึกทกั ษะแต่ละเล่มแล้ว นักเรยี นสามารถ
ตรวจคาตอบได้จากเฉลย ซึง่ อยู่ทา้ ยเล่มของแบบฝึกทกั ษะนี้

6. เมือ่ นกั เรียนทากจิ กรรมจากแบบฝึกทกั ษะ เรื่อง อนกุ รมเรขาคณิต จบแล้วให้
นกั เรียนทาแบบทดสอบหลังเรยี น

7. ให้นกั เรียนนาผลการทดสอบก่อนเรียน – หลังเรียน มาประเมินความก้าวหน้าใน
การเรียน ถา้ นักเรียนได้คะแนนจากการทดสอบหลังเรียนตา่ กวา่ เกณฑ์ท่ีกาหนด
คอื ไดต้ า่ กว่า 8 คะแนน นักเรียนต้องย้อนกลบั ไปศึกษาเน้อื หา ตวั อย่าง และ
ฝึกทาแบบฝึกทักษะแล้วลองทาแบบทดสอบหลงั เรียนอีกครั้ง
เกณฑ์ระดับคะแนน
9 – 10 คะแนน หมายถึง ดมี าก
7 – 8 คะแนน หมายถึง ดี
5 – 6 คะแนน หมายถึง พอใช้
0 – 4 คะแนน หมายถึง ต่ากว่าเกณฑ์

8. นักเรียนต้องมีความซื่อสัตย์ต่อตนเอง ไม่ดเู ฉลยก่อนทาแบบฝึกทักษะ

22

มำตรฐำนกำรเรียนรู้ / ตัวชว้ี ัด 2

มาตรฐาน ค 4.2 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์
(mathematical model) อ่นื ๆ แทนสถานการณ์ต่าง ๆ ตลอดจนแปลความหมายและนาไปใช้
แก้ปญั หา

ตัวชีว้ ดั ม.4-6/6 เข้าใจความหมายของผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิตและ
อนกุ รมเรขาคณิต หาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิตและอนกุ รมเรขาคณิตโดย
ใช้สตู รและนาไปใช้

มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปญั หา การให้เหตุผล การสือ่ สาร การส่อื
ความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชอ่ื มโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์
และเชอ่ื มโยงคณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อ่นื ๆ และมีความคิดริเริ่มสรา้ งสรรค์

ตัวชี้วดั ม.4-6/1 ใช้วธิ กี ารที่หลากหลายแก้ปัญหา
ม.4-6/2 ใช้ความรู้ ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ และเทคโนโลยี

ในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ ตา่ ง ๆ ไดอ้ ย่างเหมาะสม
ม.4-6/4 ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสอ่ื สาร การสื่อ

ความหมายและการนาเสนอ ได้อย่างถกู ต้อง และชัดเจน

33

จุดประสงคก์ ำรเรยี นรู้

เมือ่ นกั เรียนศึกษาเนือ้ หา และทากิจกรรมในแบบฝึกทักษะจบแลว้
นกั เรียนสามารถ

1. เข้าใจความหมายของผลบวก n พจน์แรกของ
อนุกรมเรขาคณิต

2. หาผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้
3. หาผลบวกของพจน์ทุกพจนข์ องอนุกรมเรขาคณิตได้
4. นาอนกุ รมเรขาคณิตไปใชไ้ ด้

4

แบบทดสอบก่อนเรยี น เรอ่ื ง อนกุ รมเรขาคณิต

คาชี้แจง 1. แบบทดสอบฉบบั นีม้ ีจานวน 10 ขอ้ ใช้เวลา 10 นาที
2. ให้นกั เรียนทาเคร่ืองหมาย  ลงใน  ของกระดาษคาตอบ ตรงข้อท่เี หน็

ว่าถูกตอ้ งเพยี งขอ้ เดยี ว

***********************************************

1. ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิตเขียนแทนดว้ ย Snขอ้ ใดคือ Sn เมือ่

กาหนดให้ a1,a2,a3,...,an เป็นลาดับเรขาคณิต

1) Sn  a1 ( 1 rn ) เมื่อ r1
1r

2) Sn  a1rn  a1 เมื่อ r1
r1
 a1  anr
3) Sn 1r เมือ่ r  1

4) ถกู ทกุ ขอ้

2. อนกุ รมในข้อใดเปน็ อนกุ รมเรขาคณิต
1) 1  3  9  27  ...  2,187
2) 1  2  6  24  ...  720
3) 1  7  13  19  ...  85
4) 1  2  4  7  ...  46

5

3. ผลบวกของ 7 พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต 4 + 8 + 16 + ... คือขอ้ ใด
1)  508

2) 508
3)  512

4) 512
4. ผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของอนุกรมเรขาคณิต 9 + 27 + 81 + ... +729 คือข้อใด

1) 2,178
2)  2,178
3) 1,089
4)  1,089
5. อนกุ รมเรขาคณิตชุดหน่ึงมี a1  3 และ a4   24 ผลบวกของ 10 พจนแ์ รก
คอื ข้อใด
1) 1,023
2)  1,023
3) 3,069
4)  3,069
6. อนุกรมเรขาคณิตชุดหน่ึงมี a2   2 และ a5  16 ผลบวกของ 8 พจนแ์ รกคือ
ขอ้ ใด
1)

2)  80
3)  85
4)  90
5)  95

6

7. จานวนพจน์ของอนุกรมทท่ี าให้ 481632...  1,020 เท่ากบั ขอ้ ใด
1) 8
2) 9

3) 10
4) 11
8. ผลบวกของพจน์ที่ 1 และพจน์ที่ 2 ของอนกุ รมเรขาคณิตเทา่ กับ  8 และผลบวก
ของพจน์ที่ 4 และ 5 มีค่าเทา่ กับ 64 ผลบวกของ 10 พจนแ์ รกของอนุกรมนี้คอื ข้อใด
1) 2,727
2)  2,727
3) 2,728
4)  2,728
9. ญาญา่ ตงั้ ใจจะออมเงินโดยวันแรกเธอเก็บไว้ 2 บาท วนั ทีส่ อง 6 บาท วนั ทส่ี าม 18
บาท วันท่ีส่ี 54 บาท เชน่ น้เี ร่อื ยไปจนครบ 10 วัน ญาญา่ จะมีเงินออมท้ังหมดเทา่ ใด
1) 59,045 บาท
2) 59,046 บาท
3) 59,047 บาท
4) 59,048 บาท
10. แบคทเี รียกลุ่มหนึง่ ขยายพันธุ์โดยเพ่มิ ขนึ้ 50% ในแตล่ ะชว่ั โมง ถ้าเดมิ มีแบคทเี รีย
1,600 ตัว เมื่อเวลาผ่านไป 5 ช่วั โมงจะมีแบคทเี รียทั้งหมดกี่ตวั
1) 21,000 ตวั
2) 21,100 ตัว
3) 21,200 ตวั
4) 21,300 ตัว

7

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์
เร่ือง อนกุ รมเรขาคณิต (Geometic Series)

แบง่ ออกเป็น 4 ตอน ดงั นี้
ตอนท่ี 1 ความหมายของผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต
ตอนท่ี 2 หาผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต
ตอนท่ี 3 หาผลบวกของพจนท์ กุ พจนข์ องอนกุ รมเรขาคณิต
ตอนท่ี 4 นาอนกุ รมเรขาคณิตไปใช้
แตล่ ะตอนจะมีเนือ้ หา ตวั อย่าง และแบบฝึกทักษะ ใหน้ กั เรียนปฏิบตั ิ
เพือ่ นาไปใชใ้ นการแกป้ ญั หาต่อไป

ถำ้ พร้อมแล้ว
ไปศกึ ษำกนั เลยนะครับ

8

ใบความรทู้ ี่ 1
ความหมายของผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต

จดุ ประสงคท์ ี่ 1 นักเรียนสามารถเขา้ ใจความหมายของผลบวก n พจน์แรกของ
อนกุ รมเรขาคณิตได้

ให้ a1 ,a2 ,a3 ,...,anเปน็ ลาดับเรขาคณิต เมือ่ เขยี นในรปู a1  a2  a3 ... an
จะเรยี กว่า อนกุ รมเรขาคณิต (Geometic Series)

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิตเขยี นแทนดว้ ย Sn มีความหมายดงั น้ี
S1  a1
S2  a1 a2
S3  a1 a2 a3



Sn  a1  a2  a3 ... an

9

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของ 5 พจน์แรกของลาดบั เรขาคณิต 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , …
วธิ ีทา จากลาดับทีก่ าหนดให้ จะได้ a1  2, a2  4, a3  8, a4  16 และ

a5  32
หาผลบวก 5 พจน์แรก นนั้ คือ n  5

จะได้ S5  a1  a2  a3  a4  a5
 2481632
 62

ดงั นนั้ ผลบวก 5 พจน์แรกของลาดับเรขาคณิต 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , … คอื 62 ตอบ

ตัวอยา่ งที่ 2 จงหาผลบวกของ 8 พจนแ์ รกของลาดับเรขาคณิต  1 , 3 ,  9 , 27 , ...

วธิ ีทา จากลาดับที่กาหนดให้ จะได้ a1   1, a2  3, a3   9, a4  27,
a5   81 , a6  243, a7   729 และ a8  2,187
หาผลบวก 8 พจนแ์ รก นั้นคอื n  8
จะได้ S8  a1  a2  a3 ... a8
 (1)3(9)27(81)  243 
(729)  2,187
 1,640

ดังนนั้ ผลบวกของ 8 พจนแ์ รกของลาดับเรขาคณิต  1 ,3,9,27 , ...คอื 1,640 ตอบ

10

แบบฝกึ ทักษะที่ 1

จุดประสงค์ที่ 1 นกั เรยี นสามารถเขา้ ใจความหมายของผลบวก n พจนแ์ รก

ของอนกุ รมเรขาคณิต
คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาใหถ้ กู ต้อง

1) จงหาผลบวกของ 4 พจนแ์ รกของลาดับเรขาคณิต 5 , 10 , 20 , 40 , 80 …
(คะแนน 5 คะแนน)

...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................

2) จงหาผลบวกของ 7 พจนแ์ รกของลาดับเรขาคณิต  2 ,  6 ,  18 ,  54 , ...
(คะแนน 5 คะแนน)

...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................

11

3) จงหาผลบวกของ 10 พจนแ์ รกของลาดับเรขาคณิต 1 ,  2 , 4 ,  8 , ...
(คะแนน 5 คะแนน)

...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................

คณุ ทำได้
เก่งมำก

12

ใบความร้ทู ี่ 2
ความหมายของผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต(ต่อ)

พิจารณาลาดบั เรขาคณิต 1 , 2 , 4 , 8 , … , 1024 ซึง่ มีอัตราส่วนร่วมคือ 2 การ
หาผลบวกของทุกพจนข์ องลาดับข้างต้นสามารถทาได้โดยวิธีการดงั น้ี

ให้ S  1  2  4  8  ...  1,024 -------- 1

อตั ราสว่ นรว่ ม

1  2 2รSว่ ม  2  4  8  ...  1,024  2,048 -------- 2

2 1 จะได้ S  2,048  1

ดังนน้ั S  2,047

ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของลาดบั เรขาคณิต 5 , 15 , 45 , … , 10935

วธิ ีทา จากลาดับเรขาคณิตทีก่ าหนดให้ มีอตั ราสว่ นร่วม คอื 15  3
5

ให้ S  5 15  45  ...  10,935 ------- 1

อตั ราสว่ นรว่ ม

1  3 3Sรว่ ม 15  45  ...  10,935  32,805 ------- 2

2 1 จะได้ 2S  32,805  5

S  32,800
2

S  16,400

ดังนน้ั ผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลาดับเรขาคณิตนคี้ ือ 16,400 ตอบ

13

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของลาดับเรขาคณิต 3, 12,48, ... ,12288

วธิ ีทา จากลาดับเรขาคณิตที่กาหนดให้ มีอัตราสว่ นร่วม คอื  12  4
3

ให้ S  3  (12) 48  ...  12,288 -------- 1

อตั ราสว่ นร่วม

1  (4)  4Sร่วม (12)  48  ... 12,288(49,152) ----- 2

2 1 จะได้  5S   49,152  3 ตอบ
S   49,155
5
S  9,831

ดังนน้ั ผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลาดับเรขาคณิตนคี้ ือ 9,831

เข้ำใจแล้ว
ไปทำแบบฝึกทักษะกัน

14

แบบฝึกทกั ษะที่ 2

จดุ ประสงค์ที่ 1 นักเรยี นสามารถเขา้ ใจความหมายของผลบวก n พจน์แรก

ของอนุกรมเรขาคณิต
คาชีแ้ จง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาให้ถกู ตอ้ ง

1) จงหาผลบวกของพจน์ทกุ พจนข์ องลาดับเรขาคณิต 2 ,  4 , 8 , ... , 8192

(คะแนน 5 คะแนน)

...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................

2) จงหาผลบวกของพจนท์ กุ พจน์ของลาดับเรขาคณิต 7 , 14 , 28, ... ,7168

(คะแนน 5 คะแนน)

...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................

15

3) จงหาผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของลาดบั เรขาคณิต 4 , 20 , 100, ... ,62500
(คะแนน 5 คะแนน)

...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................

เกง่ มำกครบั
ไปศึกษำตอนที่ 2 กันครับ

16

ใบความรู้ที่ 3
หาผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต

จดุ ประสงคท์ ี่ 2 นักเรยี นสามารถหาผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิตได้

จากความหมายของผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต เราสามารถหา

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิตไดด้ ังนี้

ให้ Sn เป็นผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิตท่มี ี a1 เปน็ พจน์แรก และมี
r เปน็ อัตราสว่ นร่วม จะได้

Sn  a1  a1r  a1r2  a1r3  ...  a1rn1 ----- 1

1  r rSn  a1r  a1r2  a1r3  ...  a1rn1  a1rn ----- 2

2 1 จะได้ rSn  Sn  a1rn  a1

(r 1)Sn  a1rn  a1

Sn  a1rn  a1 เมื่อ r  1
r1

Sn  a1 (rn  1) เมือ่ r  1
r1

หรือ Sn  a1(1 rn) เมือ่ r  1
1 r

และอาจเขียนผลบวกของ n พจนแ์ รกได้อกี แบบหนึ่งดงั นี้

17

จาก Sn  a1(1  rn) rn1r  rn1r1
1 r  rn1 1

a1  a1rn  rn
1 r
Sn 

Sn  a1  a1rn1r an  a1rn1
1 r

ดงั นนั้ Sn  a1  anr เมื่อ r  1
1 r

ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ Sn  a1(1  rn) เมอื่ r1
1 r

หรอื Sn  a1  anr เมอื่ r  1
1 r

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวก 9 พจนแ์ รกของลาดับเรขาคณิต 2 , 4 , 8 , …

วธิ ีทา จากลาดบั เรขาคณิต 2 , 4 , 8 , …

จะได้ a1  2 และ r  4 2
2
a1(1  rn)
จาก Sn  1 r หาผลบวก 9 พจนแ์ รก
นัน้ คอื n  9

2(1  29)
จะได้ S9  1  2

2(1  512)


1 2

2(  511)
 1

  1,022 18
1 ตอบ

 1,022

ดงั นนั้ ผลบวกของ 9 พจนแ์ รกของลาดับเรขาคณิตน้ี คือ 1,022

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต 1    1   1 
3 9 27

  1   ...
81

วธิ ีทา จากอนกุ รมเรขาคณิต 1    1   1    1   ...
3 9 27 81

จะได้ a1  1 และ r    1   1    1   3 1
3 9 3 9 1 3

จาก Sn  a1(1  rn)
1 r
หาผลบวก 7 พจน์แรก

1 1    1 7  นน้ั คอื n  7
3 3 
จะได้ S7 
 1 
1   3

1 1    1 
3 2,187
 1 1

3

 1 1  1
3 2,187 
1
1 3

19

1  2,187  1

 3  2,187 
31

3

1  2,188

 3  2,187 
4

3

 3  1 2,188 
4 3 2,187 

 1 2,188
4 2,187 

 547
2,187

ดังนน้ั ผลบวกของ 7 พจนแ์ รกของลาดับเรขาคณิตน้ี คือ 547 ตอบ
2,187

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาผลบวก 5 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต 1  2  4  ...
39

วธิ ีทา จากอนกุ รมเรขาคณิต 1  2  4  ...
39

จะได้ a1  1 และ r  2 1 2
3 3

จาก Sn  a1(1  rn)
1 r

20

1 1   2 5  หาผลบวก 5 พจนแ์ รก
3  น้ันคอื n  5
จะได้ S5  1 2

3

1   32 
243
 1 2

3

 243  32 

  243 
32

3

 211 

  243
1

3

 3  211
1 243

 211 211
81 81

ดังนน้ั ผลบวกของ 7 พจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิตน้ี คือ ตอบ

21

แบบฝึกทักษะท่ี 3

จดุ ประสงคท์ ี่ 2 นกั เรยี นสามารถหาผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้

คาชีแ้ จง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาใหถ้ กู ต้อง

1) จงหาผลบวก 6 พจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิต 1 , 6 , 36 , … (คะแนน 5 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) จงหาผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต 2  (1)  1  ...
2

(คะแนน 5 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

22

3) จงหาผลบวก 5 พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต 81  27  9  ...

(คะแนน 5 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

23

ใบความรู้ ที่ 4 หาผลบวกของพจนท์ กุ พจนข์ องอนุกรมเรขาคณิต

จุดประสงคท์ ี่ 3 นักเรียนสามารถหาการหาผลบวกของพจนท์ ุกพจน์
ของอนุกรมเรขาคณิตได้

จากผลบวกของ n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต Sn  a1  anr เมือ่ r1
1r

เราสามารถหาผลบวกของพจน์ทกุ พจนข์ องอนกุ รมเรขาคณิตได้ดงั ตัวอยา่ งต่อไปนี้

ตวั อย่างที่ 1 จงหาผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของอนุกรมเรขาคณิต 1 416...1,024

วธิ ีทา จากอนุกรมเรขาคณิต 1  4 16  ...  1,024

จะได้ a1  1 และ r4  4
1
ให้ an  1,024

จาก Sn  a1  anr
1r

แทนค่า a1  1 , r  4 และ an  1,024

1  1,024(4)
จะได้ Sn  1  4

1  4,096 ตอบ


3
 4,095


3
 1,365
ดงั นน้ั ผลบวกของพจน์ทุกพจนข์ องอนกุ รมเรขาคณิตน้ี คือ 1,365

ตวั อย่างที่ 2 จงหาผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของอนกุ รมเรขาคณิต 24
ตอบ
2  4  8  ...  128
3 9 27 2,187

วธิ ีทา จากอนกุ รมเรขาคณิต 2  4  8  ...  128
3 9 27 2,187

จะได้ a1  2 และ r  4  2  4  3  2
3 9 3 9 2 3

ให้ an  128
2,187
a1  anr
จาก Sn  1r

แทนค่า a1  2 ,r 2 และ an  128
3 3 2,187

2  128  2 
3 2,187 3
จะได้ Sn  1 2

3
2  256
3 6,561
 32

3
13,122  768

 19,683
1

3 12,354
 12,354  3 6,561

19,683 1
12,354

6,561

ดงั นน้ั ผลบวกของพจนท์ ุกพจนข์ องอนกุ รมเรขาคณิตนี้ คอื

25

ตวั อย่างที่ 3 จงหาผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของอนกุ รมเรขาคณิต

16  (8)  4  ...    1 
32

วธิ ีทา จากอนุกรมเรขาคณิต 16  (8)  4  ...    1 
32

จะได้ a1  16 และ r  8   1
16 2

ให้ an  1
32

จาก Sn  a1  anr
1r

แทนค่า a1  16 ,r  1 และ an  1
2 32

16    1   1 
32 2
จะได้ Sn 
 1 
1   2

1
16  64
 1 1

2

1,024  1

 264 1

2

1,023 26
ตอบ
 64
3

2

 1,023  2
64 3

 341
32

ดงั นนั้ ผลบวกของพจนท์ ุกพจนข์ องอนกุ รมเรขาคณิตนี้ คอื 341
32

เขำ้ ใจแล้ว
ไปทำแบบฝึกทกั ษะกันครับ

27

แบบฝึกทักษะที่ 4

จุดประสงคท์ ี่ 3 นกั เรียนสามารถหาการหาผลบวกของพจนท์ ุกพจน์

ของอนกุ รมเรขาคณิตได้

คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาใหถ้ ูกต้อง

1) จงหาผลบวกของพจนท์ กุ พจน์ของอนกุ รมเรขาคณิต 1  (3) 9  ...  729

(คะแนน 5 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

28

2) จงหาผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของอนุกรมเรขาคณิต 1  2  8  ...  512
2 39 243

(คะแนน 5 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

29

3) จงหาผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของอนุกรมเรขาคณิต 4  2 1  ...  1
128

(คะแนน 5 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

30

ใบความรู้ที่ 5 นาอนุกรมเรขาคณิตไปใช้

จุดประสงค์ที่ 4 นักเรียนสามารถนาอนกุ รมเรขาคณิตไปใชไ้ ด้

ตัวอย่างที่ 1 อนุกรมเรขาคณิตชุดหนง่ึ มีพจน์แรกเท่ากับ 160 อตั ราส่วนร่วม 3 อนกุ รมน้ี
2
มีกี่พจน์ จึงจะทาให้ Sn  2,110

วธิ ีทา จาก Sn  a1 ( 1  rn )
1r

แทนค่า a1  160 ,r3 และ Sn  2,110
2

160 1   3 n 
 2 
จะได้ 2,110  13

2

160  1   3 n 
 2 
2,110  23

2

160  1   3 n 
 2 
2,110  1

2

2,110    1   1   3 n
160 2 2

 211   3 n
1 2

32

 211  32    3 n 31
32 2 ตอบ

243    3 n
 2

32

243   3 n
32 2

 3 5   3 n
2 2

นนั้ คือ n  5

ดงั นน้ั อนกุ รมเรขาคณิตนีม้ ี 5 พจน์

ตัวอย่างที่ 2 อนุกรมเรขาคณิตมีผลบวกของพจนท์ ่ี 1 และ 2 ของเทา่ กับ  8 และ

ผลบวกของพจน์ที่ 4 และ 5 มีคา่ เทา่ กบั 216 จงหาผลบวกของ 8 พจนแ์ รกของอนุกรมน้ี

วธิ ีทา ผลบวกของพจน์ที่ 1 และ 2 ของเท่ากับ  8

นน้ั คือ a1  a2   8 ---------- 1
a1  a1r   8

a1(1  r)   8
ผลบวกของพจน์ที่ 4 และ 5 มีคา่ เทา่ กบั 216

นน้ั คือ a4  a5  216 ---------- 2
a1r3  a1r4  216
a1r3 (1  r )  216
a1(1  r )r3  216

แทนค่า a1(1  r )   8 ใน 2
จะได้ (8)r3  216

r3  216
8

r3   27 32
r3  (3)3 ตอบ

นน้ั คือ r   3

แทนค่า r   3 ใน 1

จะได้ a1(1  r )   8

a1(1  (3))   8

a1(2)   8

a1  8
2
a1  4

หาผลบวกของ 8 พจนแ์ รก

จาก Sn  a1 ( 1  rn )
1r

แทนค่า a1  8 , r   2 และ n  8
8 ( 1  (3)8 )

จะได้ S8  1  (3)

8 ( 1  6,561)


13

8 (6,560)


4
 2  (6,560)

  13,120

ดังนนั้ ผลบวกของ 8 พจนแ์ รกของอนุกรมน้คี อื  13,120

33

ตวั อยา่ งที่ 3 กาหนดให้ Sn เปน็ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งมี

อัตราสว่ นร่วมเทา่ กบั 1 ถ้า S8  S6   3 แล้วจงหาพจนท์ ่ี 7 ของอนุกรมนี้
2 8

วธิ ีทา S8  a1  a2  a3  ...  a6  a7  a8

และ S6  a1  a2  a3  ...  a6

ดังนน้ั S8  S6  a7  a8

S8  S6  a7  a7r

S8  S6  a7 (1  r)

แทนค่า S8  S6   3 และ r  1
8 2

จะได้ 3  a7  1  1 
8 2

3  a7  2  1 
8  2 

 3  a 7  3 
8 2

 3  2  a7
8 3

a7  1
4

ดังนน้ั พจนท์ ่ี 7 ของอนกุ รมนี้ คอื  1 ตอบ
4

34

แบบฝกึ ทักษะท่ี 5

จดุ ประสงค์ที่ 4 นักเรียนสามารถนาอนกุ รมเรขาคณิตไปใชไ้ ด้

คาชี้แจง ให้นกั เรียนแสดงวธิ ีทาใหถ้ กู ตอ้ ง

1) อนุกรมเรขาคณิตชดุ หน่งึ มีอตั ราส่วนร่วม 2 พจนแ์ รกเทา่ กับ 270 อนุกรมน้ีมีกี่
3

พจน์ จึงจะทาให้ Sn  650 (คะแนน 5 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

35

2) อนุกรมเรขาคณิตมีผลบวกของพจน์ที่ 2 และ 3 ของเทา่ กับ 6 และผลบวกของพจนท์ ่ี 5
และ 6 มีค่าเท่ากับ 48 จงหาผลบวกของ 10 พจนแ์ รกของอนกุ รมน้ี (คะแนน 10 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

36

3) กาหนดให้ Sn เป็นผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต ซึ่งมีอตั ราสว่ นร่วม
เท่ากับ 2 ถ้า S10  S8  12 แล้วจงหาพจนท์ ่ี 9 ของอนุกรมนี้ (คะแนน 5 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

37

ใบความรู้ที่ 6 นาอนกุ รมเรขาคณิต ไปใช้(ตอ่ )

ตัวอย่างที่ 4 ตอ้ มตง้ั ใจจะออมเงินไวเ้ พ่อื ซือ้ เครอ่ื งไฟฟ้า โดยวนั แรกจะออมไว้ 10 บาท

วนั ที่สอง 30 บาท วันที่สาม 90 บาท เชน่ นี้เรือ่ ยไปจนครบ 8 วนั เมือ่ ครบ 8 วัน ตอ้ มจะ

มีเงินเท่าใด

วธิ ีทา จานวนเงินที่ตอ้ มออมในแต่ละวนั เขยี นแทนดว้ ยลาดบั เรขาคณิตดังน้ี

10 , 30 , 90 ...

จะได้ a1  10 และ r  30  3
10
หาจานวนเงินทงั้ หมดที่ต้อมเก็บไว้ท้ัง 8 วัน ( n  8 )

จาก Sn  a1 ( 1  rn )
1r

แทนค่า a1  10 , r  3 และ n  8
10 ( 1  38 )

จะได้ S8  1  3

10 ( 1  6,561)
 2

  5  (6,560)

 32,800

ดงั นน้ั เมือ่ ครบ 8 วัน ต้อมจะมีเงินเก็บ 32,800 บาท ตอบ

38

ตัวอยา่ งที่ 5 ฉนั ทนาเปน็ คนงานในโรงงานแห่งหนึง่ เธอฝากเงินกบั โรงงานเป็นรายเดือน
เดือนละ 1,000 บาท ในแต่ละปีต่อมาฉันทนามีรายได้มากขนึ้ จงึ ฝากเงินเพิ่มขึน้ อีก 10%
ของจานวนเงินท่เี ธอฝากตลอดปีท่ผี ่านมา เมือ่ ส้ินปีท่ี 5 ฉันทนามีความจาเป็นต้องออกจาก
งาน เธอจึงขอถอนเงินที่ฝากไว้ ฉันทนาจะมีเงินฝาก (ไม่รวมดอกเบยี้ ) เปน็ เงินกี่บาท
วธิ ีทา ในปีแรกฉนั ทนามีเงินฝาก 1,000  12  12,000 บาท

ในปีทส่ี องฉันทนาฝากเงินเพิ่มข้นึ อกี 10% ของจานวนเงินทีฝ่ ากไว้ตลอดปีแรก

ดังนนั้ ในปีที่สองฉันทนาจะมีเงินฝาก 12,000  110  12,000  11 บาท
100 10

ในปีทส่ี ามฉันทนาฝากเงินเพิม่ ข้ึนอกี 10% ของจานวนเงินทีฝ่ ากไว้ตลอดปีที่สอง
ดังนนั้ ในปีที่สามฉนั ทนาจะมีเงินฝาก

 12,000 11  110   12,000 1101  11  12,000   11 2 บาท
 10 100 10 10

นน้ั คือ จานวนเงินทีฉ่ นั ทนาฝากไว้แตล่ ะปีเขียนแทนดว้ ยลาดบั เรขาคณิตดังน้ี

12000 , 12000 11 , 12000 11 2 , ...
10 10

จะได้ a1  12,000 และ r 11
10

หาจานวนเงินทงั้ หมดที่ฉนั ทนาเกบ็ ไว้ท้ัง 5 ปี ( n  5 )

จาก Sn  a1 ( 1  rn )
1r

แทนค่า a1  12,000 , r 11 และ n  5 39
10 ตอบ
5
12,000 1   11 
 10 
จะได้ S5  1  11

10

12,000  1  161,051 
100,000
 10  11

10

12,000  100,000 161,051 
100,000
 1

10

 12,000   61,051   10
100,000 1

 73,261.20

ดงั นน้ั เมือ่ ครบ 5 ปี ฉนั ทนามีเงินฝาก 73,261.20 บาท

เขำ้ ใจแล้ว
ไปทำแบบฝึกทกั ษะกนั ครบั

40

แบบฝกึ ทักษะท่ี 6

จุดประสงค์ที่ 4 นกั เรียนสามารถนาอนกุ รมเรขาคณิตไปใชไ้ ด้

คาชีแ้ จง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาให้ถูกตอ้ ง

1) วินัยตั้งใจจะออมเงินไว้เพือ่ ซือ้ ของขวัญให้แฟนในอกี 10 วัน โดยวันแรกจะออมไว้
5 บาท วนั ทส่ี อง 10 บาท วนั ท่สี าม 20 บาท เช่นน้เี รอ่ื ยไปจนครบ 10 วัน เมือ่ ครบ 10 วนั
วินัยจะมีเงินเทา่ ใด (คะแนน 5 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

41

2) แบคทเี รียกลุ่มหนึ่งขยายพันธ์ุโดยเพ่มิ ขึน้ 20% ในแตล่ ะชั่วโมง ถ้าเดิมมีแบคทเี รีย
1,000 ตวั เมื่อเวลาผ่านไป 10 ช่วั โมงจะมีแบคทเี รียท้ังหมดกี่ตัว (คะแนน 5 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

42

แบบทดสอบหลังเรยี น เร่อื ง อนกุ รมเรขาคณิต

คาชีแ้ จง 1. แบบทดสอบฉบบั นมี้ ีจานวน 10 ขอ้ ใช้เวลา 10 นาที
2. ให้นักเรียนทาเครือ่ งหมาย  ลงใน  ของกระดาษคาตอบ ตรงข้อทเ่ี หน็

ว่าถูกตอ้ งเพยี งขอ้ เดยี ว

***********************************************

1. ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิตเขียนแทนดว้ ย Snขอ้ ใดคือ Sn เมือ่

กาหนดให้ a1,a2,a3,...,an เป็นลาดบั เรขาคณิต

1) Sn  a1 ( 1 rn ) เมื่อ r1
1r
a1rn  a1
2) Sn  r1 เมื่อ r1

3) Sn  a1  anr เมื่อ r  1
1r
4) ถกู ทุกขอ้

2. อนุกรมในข้อใดเปน็ อนกุ รมเรขาคณิต

1) 1  2  4  7  ...  46
2) 1  7  13  19  ...  85
3) 1  2  6  24  ...  720
4) 1  3  9  27  ...  2,187

3. ผลบวกของ 7 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต 4 + 8 + 16 + ... คือขอ้ ใด
1) 512
2)  512
3) 508
4)  508

43

4. ผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของอนุกรมเรขาคณิต 9 + 27 + 81 + ... +729 คือข้อใด
1) 1,089
2)  1,089
3) 2,178
4)  2,178

5. อนุกรมเรขาคณิตชุดหน่ึงมี a1  3 และ a4   24 ผลบวกของ 10 พจนแ์ รก
คอื ข้อใด
1) 1,023
2)  1,023
3) 3,069
4)  3,069

6. อนุกรมเรขาคณิตชุดหน่ึงมี a2   2 และ a5  16 ผลบวกของ 8 พจนแ์ รกคือ
ขอ้ ใด
1)  95
2)  90
3)  85
4)  80

7. จานวนพจน์ของอนุกรมท่ที าให้ 481632...  1,020 เท่ากบั ขอ้ ใด
1) 8
2) 9
3) 10
4) 11

44

8. ผลบวกของพจน์ที่ 1 และพจน์ที่ 2 ของอนกุ รมเรขาคณิตเทา่ กบั  8 และผลบวก
ของพจน์ที่ 4 และ 5 มีค่าเทา่ กบั 64 ผลบวกของ 10 พจนแ์ รกของอนกุ รมน้ีคอื ข้อใด
1)  2,727
2) 2,727
3)  2,728
4) 2,728

9. ญาญา่ ตง้ั ใจจะออมเงินโดยวันแรกเธอเก็บไว้ 2 บาท วนั ทีส่ อง 6 บาท วนั ท่สี าม 18
บาท วันท่ีส่ี 54 บาท เช่นน้ีเรอ่ื ยไปจนครบ 10 วนั ญาญา่ จะมีเงินออมท้ังหมดเทา่ ใด
1) 59,047 บาท
2) 59,048 บาท
3) 59,049 บาท
4) 59,050 บาท

10. แบคทเี รียกลุ่มหนึง่ ขยายพนั ธ์ุโดยเพม่ิ ขึน้ 50% ในแตล่ ะชว่ั โมง ถ้าเดมิ มีแบคทเี รีย
1,600 ตวั เมือ่ เวลาผ่านไป 5 ชัว่ โมงจะมีแบคทเี รียท้ังหมดกีต่ วั
1) 21,100 ตัว
2) 21,200 ตวั
3) 21,300 ตัว
4) 21,400 ตัว

45

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์
เร่ือง

อนกุ รมเรขาคณติ (Geometic Series)

46

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน
เรือ่ ง อนกุ รมเรขาคณิต(Geometic Series)

ข้อท่ี คาตอบ
14
21
32
43
52
62
71
83
94
10 2

47

เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 1

จุดประสงค์ที่ 1 นักเรยี นสามารถเขา้ ใจความหมายของผลบวก n พจนแ์ รก
ของอนุกรมเรขาคณิต

คาชีแ้ จง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาให้ถูกตอ้ ง

1) จงหาผลบวกของ 4 พจนแ์ รกของลาดับเรขาคณิต 5 , 10 , 20 , 40 , 80 …
(คะแนน 5 คะแนน)
วธิ ีทา จากลาดบั ทีก่ าหนดให้ จะได้ a1  5, a2  10, a3  20, a4  40

หาผลบวก 4 พจนแ์ รก น้ันคือ n  4
จะได้ S4  a1  a2  a3  a4
 510 20 40
 75

ดงั นน้ั ผลบวก 4 พจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิต 5 , 10 , 20 , 40 , 80 … คอื 75 ตอบ

เกณฑก์ ารให้คะแนน กรอบละ 1 คะแนน ทัง้ หมด 5 กรอบ รวมทง้ั หมด 5 คะแนน

2) จงหาผลบวกของ 7 พจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิต  2 ,  6 ,  18 ,  54 , ...
(คะแนน 5 คะแนน)
วธิ ีทา จากลาดบั ทีก่ าหนดให้ จะได้ a1   2, a2   6, a3   18,

a4   54, a5   162, a6   486 และ a7   1,458
หาผลบวก 7 พจน์แรก นั้นคือ n  7
จะได้ S7  a1 a2 a3 ...a7

 (2) (6)(18)(54)(162) 
(486)  (1,458)
  2,186

48

ดงั นนั้ ผลบวกของ 7 พจนแ์ รกของลาดับเรขาคณิต  2 , 6 , 18 , 54 , ...

คอื  2,186 ตอบ

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน กรอบละ 1 คะแนน ทั้งหมด 5 กรอบ รวมทั้งหมด 5 คะแนน

3) จงหาผลบวกของ 10 พจน์แรกของลาดับเรขาคณิต 1 ,  2 , 4 ,  8 , ...

วธิ ีทา จากลาดบั ที่กาหนดให้ จะได้ a1  1, a2   2, a3  4, a4   8,
a5  16, a6   32, a7  64 , a8   128 , a9  256 และ
a10   512
หาผลบวก 10 พจนแ์ รก นน้ั คือ n  10

จะได้ S10  a1 a2 a3 ...a10
 1(2) 4 (8)16  (32)  64(128)
256  (512)

  341

ดังนนั้ ผลบวกของ 10 พจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิต 1 ,  2 , 4 ,  8 , ...

คอื 341 ตอบ

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน กรอบละ 1 คะแนน ทั้งหมด 5 กรอบ รวมทั้งหมด 5 คะแนน

49

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2

จดุ ประสงคท์ ี่ 1 นกั เรยี นสามารถเขา้ ใจความหมายของผลบวก n พจน์แรก
ของอนกุ รมเรขาคณิต

คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาใหถ้ ูกต้อง

1) จงหาผลบวกของพจน์ทุกพจนข์ องลาดบั เรขาคณิต 2 ,  4 , 8 , ... , 8192

(คะแนน 5 คะแนน)

วธิ ีทา จากลาดับเรขาคณิตที่กาหนดให้ มีอัตราสว่ นร่วม คอื 4  2
2

ให้ S  2 (4)  8  ... 8,192 ------- 1

1 (2)  2S  (4)  8  ...  8,192  (16,384) --- 2

2 1 จะได้  3S   16,384  2

S  16,386
3

S  5,462

ดังนั้น ผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของลาดับเรขาคณิตนีค้ ือ 5,462 ตอบ

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน กรอบละ 1 คะแนน ทงั้ หมด 5 กรอบ รวมทั้งหมด 5 คะแนน

2) จงหาผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของลาดบั เรขาคณิต 7 , 14 , 28, ... ,7168

(คะแนน 5 คะแนน)
วธิ ีทา จากลาดับเรขาคณิตที่กาหนดให้ มีอัตราสว่ นร่วม คอื 14  2

7

50

ให้ S  7  14 28  ... 7,168 ------- 1

1  2 2S  14  28  ...  7,168  14,336 ------- 2

2 1 จะได้ S  14,336  7

S  14,329

ดังนนั้ ผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของลาดบั เรขาคณิตนคี้ ือ 14,329 ตอบ

เกณฑก์ ารให้คะแนน กรอบละ 1 คะแนน ทั้งหมด 5 กรอบ รวมทั้งหมด 5 คะแนน

3) จงหาผลบวกของพจน์ทุกพจนข์ องลาดบั เรขาคณิต 4 , 20 , 100, ... ,62500
(คะแนน 5 คะแนน)
วธิ ีทา จากลาดับเรขาคณิตที่กาหนดให้ มีอัตราสว่ นร่วม คอื 20  5

4

ให้ S  4 20 100 ...62,500 ------- 1

1  5 5S  20 100...62,500312,500 ------- 2

2 1 จะได้ 4S  312,500  4

S  312,496
4

S  78,124

ดงั นน้ั ผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของลาดบั เรขาคณิตนคี้ ือ 78,124 ตอบ

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน กรอบละ 1 คะแนน ท้งั หมด 5 กรอบ รวมทัง้ หมด 5 คะแนน