86100300_1_20200902-093918

51

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 3

จุดประสงค์ที่ 2 นักเรยี นสามารถหาผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตได้
คาชีแ้ จง ให้นกั เรียนแสดงวธิ ีทาให้ถกู ตอ้ ง

1) จงหาผลบวก 6 พจนแ์ รกของลาดับเรขาคณิต 1 , 6 , 36 , … (คะแนน 5 คะแนน)

วธิ ีทา จากลาดบั เรขาคณิต 1 , 6 , 36 , … จะได้ a1  1 และ r6 6
1
a1(1  rn)
จาก Sn  1 r

1(1  66 )
จะได้ S6  1  6

1  46,656
 5

 46,655


5
 9,331

ดงั นน้ั ผลบวกของ 6 พจนแ์ รกของลาดับเรขาคณิตน้ี คือ 9,331 ตอบ

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน กรอบละ 1 คะแนน ทั้งหมด 5 กรอบ รวมทงั้ หมด 5 คะแนน

2) จงหาผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต 2  (1)  1  ...
2
(คะแนน 5 คะแนน)

วธิ ีทา จากลาดบั เรขาคณิต 2  (1)  1  ...
2
1  1
จะได้ a1  2 และ r  2 2

52

จาก Sn  a1(1  rn)
1 r

2  1    1 8 
 2 
จะได้ S8 
 1 
1   2

 21  1 
256
1
1  2

2  256  1 
 256 
 21

2

255

 128
3

2

 255  2
128 3

 85
64

ดงั นนั้ ผลบวกของ 8 พจนแ์ รกของลาดับเรขาคณิตน้ี คือ 85 ตอบ
64

เกณฑก์ ารให้คะแนน กรอบละ 1 คะแนน ทัง้ หมด 5 กรอบ รวมท้งั หมด 5 คะแนน

3) จงหาผลบวก 5 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต 81  27  9  ... 53
(คะแนน 5 คะแนน) ตอบ
วธิ ีทา จากลาดบั เรขาคณิต 81  27  9  ...

จะได้ a1  81 และ r 27  1
81 3

จาก Sn  a1(1  rn)
1 r

81 1   1 5 
 3 
จะได้ S5  1 1

3

81 1  1 
243
 31

3

81 243  1 
 243 
 2

3
242

 3
2

3
 242  3

32

 121

ดังนน้ั ผลบวกของ 5 พจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิตน้ี คือ 121

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน กรอบละ 1 คะแนน ท้งั หมด 5 กรอบ รวมทงั้ หมด 5 คะแนน

54

เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 4

จุดประสงคท์ ี่ 3 นกั เรียนสามารถหาการหาผลบวกของพจนท์ ุกพจน์
ของอนุกรมเรขาคณิตได้

คาชี้แจง ให้นกั เรียนแสดงวธิ ีทาให้ถูกต้อง

1) จงหาผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของอนุกรมเรขาคณิต 1  (3) 9  ...  729
(คะแนน 5 คะแนน)

วธิ ีทา จากอนุกรมเรขาคณิต 1  (3) 9  ...  729

จะได้ a1  1 และ r  3  3
1

ให้ an  729

จาก Sn  a1  anr
1r

แทนค่า a1  1 , r   3 และ an  729
1  729(3)

จะได้ Sn  1  (3)
1  2,187


13
2,188


4

 547

ดงั นน้ั ผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของอนกุ รมเรขาคณิตน้ี คือ 547 ตอบ

เกณฑก์ ารให้คะแนน กรอบละ 1 คะแนน ทั้งหมด 5 กรอบ รวมทัง้ หมด 5 คะแนน

55

2) จงหาผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของอนุกรมเรขาคณิต 1  2  8  ...  512
2 39 243

(คะแนน 5 คะแนน)

วธิ ีทา จากอนกุ รมเรขาคณิต 1  2  8  ...  512
2 39 243
1 2 1 2 2 4
จะได้ a1  2 และ r  3  2  3  1  3

ให้ an  512
243

จาก Sn  a1  anr
1r

แทนค่า a1  1 ,r 4 และ an  512
2 3 243
1 512 4
2  243  3 

จะได้ Sn  1 4

3

1  2,048 729  4,096
2 729
 34  1,458
1
3
3

  3,367    3  3,367
1,458 1 

486

3,367 ตอบ
ดังนน้ั ผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของอนกุ รมเรขาคณิตนี้ คอื

486

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน กรอบละ 1 คะแนน ทัง้ หมด 5 กรอบ รวมทั้งหมด 5 คะแนน

56

3) จงหาผลบวกของพจนท์ กุ พจน์ของอนกุ รมเรขาคณิต 4  2 1  ...  1
128

(คะแนน 5 คะแนน)

วธิ ีทา จากอนุกรมเรขาคณิต 4  2 1  ...  1
128

จะได้ a1  4 และ r2 1
4 2
1
ให้ an  128

จาก Sn  a1  anr
1r

แทนค่า a1  4 ,r 1 และ an  1
2 128

4  1  1 
128 2
จะได้ Sn  1 1

2

4 1 1,024  1
256  2156
 21

2 2
 1,023  2 1,023

256 1 128

1,023 ตอบ
ดงั นนั้ ผลบวกของพจนท์ ุกพจนข์ องอนุกรมเรขาคณิตนี้ คอื

128

เกณฑก์ ารให้คะแนน กรอบละ 1 คะแนน ทงั้ หมด 5 กรอบ รวมท้ังหมด 5 คะแนน

57

แบบฝึกทักษะที่ 5

จุดประสงคท์ ี่ 4 นักเรียนสามารถนาอนกุ รมเรขาคณิตไปใชไ้ ด้
คาชี้แจง ให้นกั เรียนแสดงวธิ ีทาให้ถกู ตอ้ ง

1) อนุกรมเรขาคณิตชุดหนง่ึ มีอัตราส่วนร่วม 2 พจนแ์ รกเทา่ กบั 270 อนกุ รมน้ีมีกี่
3
พจน์ จึงจะทาให้ Sn  650 (คะแนน 5 คะแนน)

วธิ ีทา จาก Sn  a1 ( 1  rn )
1r

แทนค่า a1  270 ,r2 และ Sn  650
3

270 1   2 n 
 3 
จะได้ 650  1 2

3

270  1   2 n 
 3 
650  32

3

270  1   2 n 
 3 
650  1

3

650  1  1   2 n
270 3 3

65  1    2 n 58
81 3 ตอบ

65  81    2 n
81 3

 16    2 n
81 3

16   2 n
81 3

 2 4   3 n
3 2

นน้ั คือ n  4
ดังนน้ั อนกุ รมเรขาคณิตนมี้ ี 4 พจน์

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน กรอบละ 1 คะแนน ทั้งหมด 5 กรอบ รวมทง้ั หมด 5 คะแนน

2) อนุกรมเรขาคณิตมีผลบวกของพจน์ที่ 2 และ 3 ของเทา่ กบั 6 และผลบวกของพจนท์ ่ี

5 และ 6 มีค่าเท่ากับ 48 จงหาผลบวกของ 10 พจนแ์ รกของอนุกรมน้ี (คะแนน 10 คะแนน)

วธิ ีทา ผลบวกของพจน์ที่ 2 และ 3 ของเทา่ กับ 6

นนั้ คือ a2  a3  6
a1r  a1r2  6

a1r(1  r)  6 ---------- 1

ผลบวกของพจน์ที่ 5 และ 6 มีค่าเท่ากับ 48

นนั้ คือ a5  a6  48
a1r4  a1r5  48

a1r4 (1  r )  48 ---------- 2 59
a1r (1  r ) r3  48 ตอบ

แทนค่า a1r(1  r)  6 ใน 2
จะได้ 6r3  48

r3  48
6

r3  8

r3  23

นน้ั คือ r  2

แทนค่า r  2 ใน 1

จะได้ a1(2)(1  2)  6

a1(2)(3)  6

a16  6

a1  1

หาผลบวกของ 10 พจนแ์ รก

จาก Sn  a1 ( 1  rn )
1r

แทนค่า a1  1 , r  2 และ n  10
1 ( 1  210 )

จะได้ S10  1  2

1  1,024


1
  1,023

1
 1,023

ดังนน้ั ผลบวกของ 8 พจนแ์ รกของอนกุ รมน้คี ือ 1,023

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน กรอบละ 1 คะแนน ทัง้ หมด 10 กรอบ รวมท้งั หมด 10 คะแนน

60

3) กาหนดให้ Sn เปน็ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต ซึง่ มีอตั ราส่วนร่วมเท่ากับ

2 ถ้า S10  S8  12 แล้วจงหาพจนท์ ่ี 9 ของอนกุ รมนี้ (คะแนน 5 คะแนน)

วธิ ีทา S10  a1  a2  a3  ...  a8  a9  a10

และ S8  a1  a2  a3  ...  a8

ดงั นน้ั S10  S8  a9  a10

S10  S8  a9  a9r
S10  S8  a9 (1  r)

แทนค่า S10  S8  12 และ r  2

จะได้ 12  a9 (1  2)

12  a9 (3)

12  a9
3

a9  4

ดังนนั้ พจนท์ ่ี 9 ของอนุกรมน้ี คือ 4 ตอบ

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน กรอบละ 1 คะแนน ทัง้ หมด 5 กรอบ รวมทง้ั หมด 5 คะแนน

61

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 6

จุดประสงค์ที่ 4 นกั เรียนสามารถนาอนกุ รมเรขาคณิตไปใชไ้ ด้
คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาให้ถกู ต้อง

1) วินยั ตั้งใจจะออมเงินไว้เพ่ือซือ้ ของขวญั ให้แฟนในอกี 10 วัน โดยวันแรกจะออมไว้

5 บาท วนั ท่สี อง 10 บาท วนั ท่สี าม 20 บาท เช่นน้เี ร่อื ยไปจนครบ 10 วนั เมือ่ ครบ 10 วนั

วินัยจะมีเงินเทา่ ใด (คะแนน 5 คะแนน)

วธิ ีทา จานวนเงินที่วนิ ยั ออมในแต่ละวนั เขยี นแทนดว้ ยลาดับเรขาคณิตดังน้ี

5 , 10 , 20 ...

จะได้ a1  5 และ r 10  2
5

หาจานวนเงินทงั้ หมดทีว่ นิ ัยเกบ็ ไวท้ งั้ 10 วัน ( n  10 )

จาก Sn  a1 ( 1  rn )
1r

แทนค่า a1  5 , r  2 และ n  10
5 ( 1  210 )

จะได้ S10  1  2

5 ( 1  1,024 )


1

5    1,023


1
 5,115


1

 5,115 62
ดงั นนั้ เมื่อครบ 10 วัน วินยั จะมีเงินเกบ็ 5,115 บาท ตอบ

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน กรอบละ 1 คะแนน ทงั้ หมด 5 กรอบ รวมทง้ั หมด 5 คะแนน

2) แบคทเี รียกลุ่มหนึง่ ขยายพนั ธุ์โดยเพ่มิ ขึน้ 20% ในแตล่ ะช่ัวโมง ถ้าเดิมมีแบคทเี รีย
1,000 ตวั เมือ่ เวลาผ่านไป 10 ชัว่ โมงจะมีแบคทเี รียทั้งหมดกีต่ วั (คะแนน 5 คะแนน)
วธิ ีทา ในชวั่ โมงแรกมแี บคทเี รีย 1,000 ตัว

ในชั่วโมงทีส่ องมีแบคทเี รียเพม่ิ ขนึ้ อีก 20% ของจานวนในช่ัวโมงแรก

ดังนนั้ ในช่วั โมงทีส่ องจะมีแบคทเี รีย 1,000  120  1,000  6 ตัว
100 5

ในชว่ั โมงทีส่ ามมีแบคทเี รียเพ่มิ ขนึ้ อีก 20% ของจานวนในชว่ั โมงทส่ี อง
ดังนน้ั ในชั่วโมงทีส่ ามจะมีแบคทเี รีย

 1,000  6  110200   1,000  6  6  1,000   6 2 บาท
 5 5 5 5

นน้ั คือ จานวนแบคทีเรยี ที่เพิม่ ข้ึนในแต่ละชั่วโมงเขียนแทนด้วยลาดบั เรขาคณิตดงั น้ี

1000 , 1000 6 , 1000 6 2 , ...
5 5

จะได้ a1  1,000 และ r 6
5

หาจานวนแบคทเี รียทงั้ หมดเมือ่ เวลาผ่านไป 10 ชั่วโมง ( n  10 )

จาก Sn  a1 ( 1  rn )
1r

63

แทนค่า a1  1,000 , r 6 และ n  10
5

1,000 1   6 10 
 5 
จะได้ S10  1 6

5

1,000  1  60,466,176 
9,765,625
 56

5

1,000  9,765,625 60,466,176 
9,765,625
 1

5

 1,000   50,700,551   5
9,765,625 1

 50,700,551,000
1,953,125

 25,958.68

ดังนนั้ เมือ่ เวลาผ่านไป 10 ช่วั โมงจะมีแบคทเี รียท้ังหมด 25,958.68 ตวั ตอบ

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน กรอบละ 0.5 คะแนน ทง้ั หมด 10 กรอบ รวมทัง้ หมด 5 คะแนน

64

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน
เรื่อง อนกุ รมเรขาคณิต(Geometic Series)

ขอ้ ท่ี คาตอบ
14
22
32
43
54
63
71
84
93
10 1

65

บรรณำนกุ รม

กนกวลี อุษณกรกลุ และรณชัย มาเจริญทรพั ย์. (2553). แบบฝึกหัดและประเมินผล
การเรียนรู้คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 – 6 เล่ม 3.
กรุงเทพฯ: เจริญรัฐ การพิมพ์.

กระทรวงศึกษาธิการ, สานักวิชาการและมาตรฐานการศกึ ษา สานักงานคณะกรรมการ
การศกึ ษาขั้นพ้ืนฐาน.(2552). ตัวชี้วัดและสาระการเรียนร้แู กนกลาง
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษา
ขน้ั พื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพ์ชุนนมุ สหกรณ์การเกษตร
แหง่ ประเทศไทย จากดั .

จกั รินทร์ วรรณโพธิก์ ลาง . (2553). Mini คณิตศาสตร์ O – NET ม.4 – 5 – 6 .
กรุงเทพฯ: บริษทั ธนธชั การพิมพ์ จากดั .

สมยั เหล่าวานิชย์ . (2554). คมู่ ือเตรยี มสอบ ม.4 – 5 – 6 (รายวิชาพื้นฐาน). กรงุ เทพฯ:
เจริญดีม่ันคงการพิมพ.์
. (2554). หนงั สือเรยี นรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 3
ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 – 6. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.